第11章 数开方
111方根立方根
1方根
第1课时 方根
学目标：
1理解方根概念表示方法
2理解掌握方根性质（重点）
3理解开方运算体会数学中互逆思想（难点）．
学
知识链接
填填：10方等________10方等__________．
二新知预
试试：根面填空认方等100数____________
合作探究
探究程
探究点1：方根概念求法
概念提出般果数方等a数做a__________
例1 求列数方根：
(1)4 (2)001 (3) (4)1
针训练求列数方根：
(1)25 (2)036 （3）（17）2 （4） ．
探究点2：方根性质
问题1：根试试中填空果a正数a方根什关系？
问题2：根定义认0方根少？4方根？什？
点纳正数_____方根互________0_____方根方根____负数____方根
例2 正数两方根分2a＋1a－4求数．
方法总结正数两方根互______________ ．
针训练正数方根分mm4m值少？正数少？
探究点3：开方
概念提出求数________运算做________
例3求列式中x值．
(1) x2＝36 (2)81x2－4＝0．
方法总结利方根定义解方程求出未知数值正数方根两互相反数漏掉负方根．
针训练
求列式中x值．
(1) (x－1)2＝9 (2)49(x2＋1)＝50．
二课堂结
容
方根概念
般果数方等a数做a_________．
方根性质
正数_____方根互________．
0______方根方根_____负数______方根
开方
求数________运算做________
堂检测
1．9方根（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±9
2．方根（ ）
A． B． C． D．
3．列说法正确（ ）
A．﹣a2定没方根 B．416方根
C．16方根4 D．﹣9方根±3
4．81方根 004方根 72方根
(1)2方根_________方根__________
5列数方根？果写出方根果没说明理
（1）49 （2） （3） （4）
6果正数两方根a+32a15正数少？
7求列式中x值：
（1）x2 121 （2）4x2−49 0 （3） (3x－1)2＝(－5)2．
参考答案
学
知识链接 填填：100 100
二新知预 试试：1010
合作探究
探究点1：
概念提出方根
例1 解(1)±2 (2)±01 (3)± (4)±
针训练解(1)±5 (2)±06 (3)±17 （4）±．
探究点2：
问题1：解：2互相反数
问题2：解：0方根04没方根根定义没方等4 数4没方根
点纳2 相反数 1 0 没
例2 解：题意2a＋1+a－40解a1∴2a＋13∴（2a＋1）29∴数9
方法总结相反数 0
针训练解：题意m+m40解m2∴正数4
探究点3：
概念提出方根 开方
例3 解：(1)x±6 (2)x±
针训练解：（1）x4x－2 （2）x±
二课堂结
方根 2 相反数 1 0 没 方根 开方
堂检测
1．B 2．D 3．B 4．±9 ±02 ±7 ±1 ±
5解：（1）方根±7 （2）方根±
（3）方根± （4）没方根负数没方根
6解：正数两方根互相反数（a+3）+（2a15）0解a4a4时a+372a157数49
7解：（1）x ±11 （2）x ± （3）x2x
第2课时 算术方根
学目标：
1理解算术方根概念
2根算术方根概念求数算术方根（重点）
3理解方根算术方根区联系（难点）
学
知识链接
1什方根？
答般果数方等a数做a_________．
2方根性质？
答：正数_____方根互________
0_____方根方根____负数_______方根
二新知预
根方根定义填空：
（1）100方根 中正方根________
（2）方根 中正方根________．
合作探究
探究程
探究点1：算术方根概念求法
概念提出正数a____方根做a算术方根记作_______读作_______
思考：述填空中发现100算术方根0呢？负数呢？
点纳正数 算术方根0算术方根_____负数______算术方根
例1 求列数算术方根：
(1)64 (2)036 (3)2 (4)
方法总结求数算术方根时首先弄清求数算术方根分清求81算术方根意义．
针训练列式子中正确( )
A B C D
例2 已知3＋a算术方根5求a值．
纳总结已知数算术方根原数等算术方根方．
针训练4x＋6算术方根2x＝___________
例3 计算：＋－
易错提醒解题时容易出现＝＋错误．
针训练
计算：
探究点2：计算器求算术方根
问题1：计算器计算需键？
问题2：利计算器计算表中算术方根计算结果填表中发现什规律说出中道理
…
…
…
…
方法总结开方数数点右移动 位算术方根数点右移动 位开方数数点左移动 位算术方根数点左移动 位
例4 计算器计算(精确0001)利问题2中发现规律写出
似值根 值写出 值
探究点3：算术方根非负性
问题：根算术方根定义写出a非负数时取值范围？
点纳a0时0a＞0时＞0a≥0时≥0
例5 已知xy理数＋3(y－2)2＝0求x－y值．
方法总结算术方根绝值方具非负性≥0|a|≥0a2≥0非负数0时数均0
针训练
已知mn满足+|n+2|0求2mn值．
二课堂结
容
概念
正数两方根互________正数a____方根做a算术方根
性质
正数 算术方根0算术方根_____负数____算术方根
非负性
a≥0时 0
堂检测
1 算术方根（ ）
A． B． C． D．
249算术方根（ ）
A 7 B －7 C 49 D－49
3列命题中正确数( )
①1方根1②11算术方根③(−1)2方根−1④0算术方根0
A．1 B．2 C．3 D．4
4已知xy满足xy值( )
A4 B－4 C D
5计算器计算≈ （精确001）．
6算术方根3a
7求列数算术方根：
（1）36 （2）15 （3）0 （4）004
（5） （6） （7）
参考答案
学
知识链接
1方根
22 相反数 1 0 没
二新知预
±10 10 ±
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出正 根号a
思考：解：0算术方根0负数没算术方根
点纳1 0 没
例1 解： (1)8 (2)06 (3) (4)3
针训练A
例2 解：题意3＋a25解a22
针训练
例3 解：原式7+5153
针训练解：原式25×3×514
探究点2：
问题1 解：需次5三键
问题2 025 0790569415 25 790569415 25 790569415 250
方法总结两 两
例4 解：≈1732根值写出值
探究点3：
思考：解：≥0
例5 解：题意x1y2xy1
针训练解：题意m30n+20m3n2∴2mn8
二课堂结
相反数 正 1 0 没 ≥
堂检测
1C 2A 3B 4B 51615 681
7解：（1）6 （2） （3）0 （4）02 （5） （6）08 （7）
2立方根
学目标：
1掌握立方根概念运算（重点）
2解方根立方根点会进行开立方运算（难点）
3理解开立方立方互逆运算
学
知识链接
填填：23 （2）3
二新知预
（1）果正方体棱长a厘米体积 立方厘米
（2）果正方体体积8立方厘米棱长 厘米（结合填填中式子）
合作探究
探究程
探究点1：立方根概念性质
概念提出般果数立方等a数做a 记作 读作 中a 3
问题1：根2立方等8结合立方根概念说28什？
问题2：正数立方根正数负数？负数立方根呢？0立方根呢？
点纳正数立方根 数负数立方根 数0立方根
例1求列数立方根
（1）64 （2）0216 （3）
例2计算：
例324求值
问题3：根填填中式子分求88立方根说明立方根什关系？
点纳互相反数两数立方根互
例4互相反数求a值
探究点2：计算器求立方根
问题1：计算器没键计算器进行开立方运算步骤什？
问题2：计算器计算：…
发现什规律？计算器计算（精确0001）利发现规律求似值
点纳 开立方数数点左（右）移动3n位时立方根数点相应左（右）移动n位（n正整数）
针训练
1计算器求列数立方根：3431331
2计算器求似值（精确0001）
二课堂结
立方根
立方根概念
果数立方等a数做a_________
立方根性质
（1）正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
（2） 开立方数数点左（右）移动3n位时立方根数点相应左（右）移动n位（n正整数）
堂检测
1列说法中错误（ ）
A负数没立方根 B0立方根0
C1立方根1 D1立方根1
2体积2立方体边长（ ）
A．2方根 B．2立方根
C．2算术方根 D．2开方结果
3立方根（ ）
A．2 B．4
C．±2 D．±8
4计算：
（1） （2） （3） （4）
5分求出列数立方根：
00640
6较列组数
（1）25 （2）
7已知x+3立方根23x+y﹣1算术方根4求3x+6y立方根．
8已知互相反数求x+2y立方根．
参考答案
学
知识链接 填填：8 8
二新知预 （1）a3 （2）2
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出立方根 三次根号a 开方数 根指数
问题1 解：28立方根
问题2 解：正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
点纳正 负 0
例1 解：（1）4（2）06（3）
例2 解：原式3+2（1）6
例3 解：题意x8y4404
问题3 解：8立方根28立方根2互相反数
点纳相反数
例4 解：题知2a1+6a0解a5
探究点2：
问题1 解：需SHIFTx3然输入开立方数字
问题2 解：规律：开立方数数点右移动三位时结果数点右移动位
≈4642 ≈04642≈004642≈4642
针训练
1 解：7 11
2 解：1260
二课堂结 立方根
堂检测
1A 2B 3A 4（1）3 （3）1 （4）10
5解：立方根分040
6 解：（1）＜25 （2）＞
7解：题解∴3x+6y＝27∴3x+6y立方根3
8解：题意+＝0∴2x﹣11+4y﹣5＝02（x+2y）＝16解x+2y＝8∴x+2y立方根2．
112 实 数
第1课时 实数概念分类
学目标：
1解实数概念实数求进行准确分类（重点）
2熟练掌握实数较方法（重点）
3解实数数轴点应数轴点表示理数（难点）
学
知识链接
1什理数？理数分类？
2列数中理数？
二新知预
计算器求观察结果属理数？认什样数？
合作探究
探究程
探究点1：理数
概念提出限循环数做
例1 代表列数序号填相应横线．
①②﹣086 ③﹣5 ④0 ⑤﹣ ⑥﹣
⑦27 ⑧π ⑨11010010001…（相邻两1间次0）
属正理数：
属整数：
属负分数：
属理数： ．
探究点2：实数概念分类
概念提出 统称实数
思考：实数样分类？
例2列数分填入列相应括号：
理数：{ …}
理数：{ …}
正实数：{ …}
负实数：{ …}．
探究点3：实数数轴点
问题：数轴找表示π样理数致位置应点？找？
点纳实数数轴点表示实数数轴点
例3 图数轴四点表示列数：π|3|35请图点标出正确数字
针训练
图已知数轴AB两点表示数分51画出AB致位置AB两点间表示整数点少？
二课堂结
理数概念
________________称理数
实数概念
统称实数
实数分类
定义分：
正负性分：
实数数轴表示
实数数轴点表示换句话说实数数轴点___________
堂检测
1列说法正确（ ）
Aa定正实数 B理数
C理数 D数轴点应理数
2数值转换器原理输入x81时输出y （ ）
A9 B3 C D±3
3判断：
（1）实数理数理数 （ ）
（2）理数限循环数 （ ）
（3）带根号数理数 （ ）
（4）理数限数 （ ）
（5）理数定带根号 （ ）
4请写出34理数： ．
5列数分填相应集合里：
﹣24﹣10333…0﹣（﹣228）﹣|﹣2|1010010001…﹣
（1）正理数集合{ …}
（2）整数集合{ …}
（3）负分数集合{ …}
（4）理数集合{ …}
6数轴表示列数致位置．
﹣0﹣|﹣2|
参考答案
学
知识链接
1解：理数整数（正整数0负整数）分数统称
2解：1414理数
二新知预
解：属限循环数
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出理数
例1 ①⑦ ③④ ②⑤ ⑥⑧⑨
探究点2：
概念提出理数 理数
思考： 解：实数分正数0负数
例2 理数：{ …}
理数：{ …}
正实数：{ … }
负实数：{ …}
探究点3：
问题： 解：：边长均1网格中画出面积2正方形原点圆心该正方形边长半径画圆交数轴正半轴点表示点
π：半径1圆原点起数轴正半轴滚动周止2π取中点表示π点
点纳应
例3 解：图示
针训练解：AB致位置图示AB两点间表示整数点4
二课堂结
限循环数 理数 理数 理数理数 正数0负数 应
堂检测
1B 2C 3（1）√（2）√（3）×（4）√（5）× 4π（答案唯）
5（1）0333…﹣（﹣228）
（2）0﹣|﹣2|
（3）﹣24﹣1
（4）1010010001…﹣
6解：数轴表示图示：
第2课时 实数运算较
学目标：
1会求实数相反数倒数绝值会计算器进行实数运算熟练应运算法实数进行运算提高计算力（重点）
2掌握实数较法实数估算（重点）
3通独立思考组合作探究学会利类方法探究实数运算法运算律（难点）
学
知识链接
1理数范围求数a相反数绝值？
2实数包含数？
3理数中学运算法运算律？
二新知预
图面积分23两正方形放置数轴正方形顶点原点O重合条边恰落数轴正方顶点分数轴点A点B
（1） 两正方形面积边长？
（2） 面积分ab（a>b）两正方形图示方式摆放边长____（填＞＝＜）
合作探究
探究程
探究点1：实数性质
思考：理数求相反数绝值方法实数中否适？
点纳
例1分求列数相反数绝值．
针训练
1已知＝求a值
2试求相反数绝值
探究点2：实数较估算
知识点
实数较理数较方法样数轴_____点表示实数_____点表示实数
例2数轴表示列数应点致位置较<连接起
针训练估计位（ ）
A01间 B12间 C23间 D34间
探究点3：实数运算
问题：理数中学运算法运算律实数否适？适请写出混合运算序
例3计算（结果保留数点两位）：
方法总结实数运算中果遇理数需求出结果似值时求精确度相应似限数代理数进行计算
二课堂结
实数性质
实数范围相反数绝值倒数意义理数范围相反数绝值倒数意义完全样
实数较
数轴_______点表示实数_______点表示实数
实数运算
理数运算性质运算律实数范围样适
堂检测
1绝值（ ）
A3 B3 C D
2列数中互相反数( )
A3 B2(2）2 C D5|5|
3值( )
A B1 C1 D+1
4判断正误：
(1) （ ）
(2)绝值 （ ）
(3)相反数3 （ ）
5 相反数2π相反数
6较：﹣5 ﹣7 1
+1 3﹣π ﹣4﹣ ﹣3．
7较列组数
（1） （2）﹣π（3）05 （4）
8计算
（1）5（结果精确001） （2）
（3）
参考答案
学
知识链接
1解：a相反数a绝值
2解：实数包含理数理数
3解：加减方开方运算法加法交换律结合律法结合律交换律分配律
二新知预
解：（1）OAOB （2）＞
合作探究
探究程
探究点1：
思考：解：适
点纳 a 0 a a 0 a
例1 解：（1）相反数绝值
（2）相反数 绝值
（3）相反数4绝值4
针训练1解：a
2解：π314相反数314 ππ314绝值π314
探究点2：
知识点右边 左边
例2 解：数轴表示图2＜＜1＜＜
针训练B
探究点3：
问题：解：适 先方加减级运算左右进行括号先算括号括号中括号括号次进行
例3 解：（1）原式≈538 （2）原式≈032 （3）原式≈802
二课堂结 右边 左边
堂检测
1A 2C 3C 4（1）×（2）×（3）√ 5 π
6＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞
7解：（1）＞ （2）＜﹣π （3）05＜（4）＞
8解：（1）原式≈193 （2）原式1 （3）原式4
第12章 整式
121 幂运算
1底数幂法
学目标：
1理解掌握底数幂法法（重点）
2够运底数幂法法进行相关计算（难点）
3通底数幂法运算法推导总结提升身推理力
学
知识链接
1填空：2×2×22（ ）（3）×（3）×（3）×（3）（3）（ ）
2根学知识na相表示
二新知预
试试：根幂意义填空：
23×24（2×2×2）（2×2×2×2）2（ ） （3）3×（3）4（3）（ ）
合作探究
探究程
探究点1：底数幂法法
思考1：根试试中规律填空：a3×a4 a（ ）
点纳底数幂法法：am · an _________ (mn正整数)
底数幂相 底数______指数______
思考2：果am 中a换成（x+y）等式否然成立？请说明理
（x+y）m ·（x+y）n _________ （x+y）m+n(填≠）
理：
纳总结公式am · an am+n中底数a仅代表数单项式代表项式
例1 计算：
（1）103×104＝ （2）x•x5＝
（3）﹣x3•x4＝ （4）（a+2b）（a+2b）2
针训练计算：（1）x2000•x3＝ （2）﹣a2•（﹣a3）＝
（3）（m﹣n）3（n﹣m）2＝ ．
例2 根法运算律计算列题：
（1）a2 ·a6 ·a3（a2 · ______）·______a ___
（2）x ·x2 ·x3（x · ______）·______x ___
纳总结am · an · ap _________（mnp均正整数）
针训练计算：
（1）a•a2•a4＝ （2）（﹣b）2•（﹣b）3•（﹣b）5＝
（3）（x﹣y）3（y﹣x）2（y﹣x）＝ ．
方法总结底数互相反数幂相时先底数统进行计算
偶次幂奇次幂符号变化：(1)(－a)n＝
(2)(a－b)n＝
探究点2：底数幂法法逆
思考：am+n写成两式积？
试试：xm 3 xn 2：
（1）xm+n _____·__________×_____ _____
（2）x2m _____·__________×_____ _____
（3）x2m+n _____·_____·__________×_____×_____ _____
方法总结关键逆底数幂法公式求代数式转化已知式积形式然求值
例3 (1)xa＝3xa+b＝12求xb值
(2)已知2x+2＝32求x值
方法总结第（2）问关键等式两边化底数相幂形式然根指数相等列方程解答
二课堂结
底数幂法法：am · an _________ (mn正整数)
底数幂相 底数______指数______
堂检测
1列式结果等26( )
A2+25 B2·25 C23·25 D022· 024
2列计算结果正确( )
Aa3 ·a3a9 Bm2·n2mn4 Cxm·x3x3m Dy·ynyn+1
3计算：
(1) 105×106 (2) a7·a3 (3) (b)3·(b)2 (4) a4·（a)2
(5) xn+1·x2n_______ (6) （ab)2·（ab)3_______(7) y4·y3·y2·y _______
4填空：
(1)x·x2·x( )x7 (2)xm·（ ）x3m (3)8×42xx( )
5计算：
(1)b2n＋1·b3 (2)(ab)3·(ba)4
(3) (3)×(3)2 ×(3)3 (4)－a3·(－a)2·(－a)3
6 （1）已知xa8xb9求xa+b值 （2）已知an3·a2n+1a10求n值
（3） 3×27×9 32x4求x值
参考答案
学
知识链接
13 4 2an
二新知预
试试：7 7
合作探究
探究程
探究点1：
思考1：解：（a·a·a）（a·a·a·a） 7
点纳am+n 变 相加
思考2：解： （x+y）成整体
例1 （1）107 （2）x6 （3）﹣x7 （4）（a+2b）3
针训练（1）x2003 （2）a5 （3）（m﹣n）5
例2 （1）a6 a3 11 （2）x2 x3 6
点纳am+n+p
针训练（1）a7 （2）b10 （3）（y﹣x）6
探究点2：
思考：解：am an
试试：（1）xm xn 3 2 6 （2）xm xm 3 3 9 （3）xm xm xn 3 3 2 18
例3 解：(1)xa+b＝xa·xb＝12xa＝3xb＝4
(2)2x+2＝2x·22＝322x·4322x823x3
二课堂结
am+n 变 相加
堂检测
1B 2D 3（1）1011 （2）a10 （3）b5 （4）a6 （5）x3n+1 （6）（ab)5 （7）y10
4（1）4 （2）x2m （3）5
5解：（1）原式b2n＋4 （2）原式 (ab)7 （3）原式 36 （4）原式a8
6解：（1）xa+b xa·xb8×972
（2）an3·a2n+1a3n2a103n210n4
（3）3×27×9 32x43×33×32 32x42x46解x5
2幂方
学目标：1理解掌握幂方法（重点）
2会运幂方法进行幂方运算（难点）
学
知识链接
1底数幂法法：am·an_____
2 计算：
(1) 73×75 ________ (2)a6·a2 ________
(3) x2·x3·x4 ________ (4)(－x)3·(－x)5________
二新知预
填填：根方意义底数幂法法填空：
(1) (43)243·434（ ） (2) (52)3 （ ）·（ ）·（ ）5（ ）
合作探究
探究程
探究点1： 幂方运算
试试：根填填中形式填空：(a3)4 a（ ）
点纳(am)n ________ (mn正整数)幂方底数_________指数________
思考：(a2)5(a5)2结果相什
（n____数）
（n____数）
点纳
例1计算：
(1) (x4)3 (2)(a2)7
针训练计算： (1)(x3)6 (2)[(a－b)4]5 (3)(x3)2·(x3)4
探究点2：幂方法逆
例2已知10m＝310n＝2求列式值
(1)103m (2)102n (3)103m＋2n．
方法总结类题关键逆幂方底数幂法求代数式正确变形然代入已知条件求值
针训练已知x2n＝3求(x3n)4值
二课堂结
幂方：数学语言：(am)n ________ (mn正整数)
文字语言：幂方底数_________指数________
堂检测
1．计算(x4)2结果 ( )
A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4
2．列式括号应填入b4( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6 C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
3．列计算中错误( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
4．果(9n)2＝312n值( )
A．43 B．34 C．23 D．1
5计算：
(1)(22)4________ (2)(xm)2________(3)(－a7)4________
6．计算：
(1)(102)8 (2)(xm+2)2 (3)[(－a)3]5 (4)－(x2)m
7已知3x+4y50求27x·81y值
参考答案
学
知识链接
1 am+n 2(1) 78 (2)a8 (3) x9 (4)x 8
二新知预
填填：(1)6 (2)52 52 52 6
合作探究
探究程
探究点1：
试试：a3·a3 · a3· a3 12
点纳amn 变 相
思考：解：相前者结果a10者结果a10
点纳偶 奇
例1 解：（1）原式x12 （2）原式a14
针训练
(1)原式x18 (2)原式(a－b)20 (3) 原式x18
探究点2：
例2 解：（1）原式（10m）327 （2）原式（10n）2224 （3）原式103m×102n27×4108
针训练 解：(x3n)4（x2n)636
二课堂结
amn 变 相
堂检测
1．B 2．C 3．B 4．B
5解：（1）28 （2）x2m （3）a28
6解：（1）原式1016 (2) 原式x2m+4 (3) 原式 －a15 (4) 原式－x2m
7解：3x+4y503x+4y527x·81y 33x+4y35
3积方
学目标：1理解掌握积方法应（重点）
2会运积方运算法进行计算（难点）
学
知识链接
1计算（1） 10×102×103 _________
（2） (x5)2_________
2（1）底数幂法：am·an_________( mn正整数)
（2）幂方：(am)n__________(mn正整数）
二新知预
填填：根方意义法交换律结合律进行计算：
方意义
法_____律_____律
底数幂法法
(ab)2 (ab)3
（ab）(ab) _____·______·____
(aa)（bb） _____·______
a2b2 _____
合作探究
探究程
探究点1：积方运算
问题：根计算程果23换成意正整数n(ab)n_____
点纳积方法： (ab)n ______（n正整数）积方等积式分_______幂________
例1计算：(1)(2ab)3 (2)－(3x2y)2 (3)(－3ab2c3)3 (4)(－xmy3m)2
针训练
1．计算(2a2)2结果( )
A．2a4 B．－2a4 C．4a4 D．－4a4
2 填空：
（1）（－2xy）4___________（2）（3a2）n___________
方法总结运积方法进行计算时注意式方尤字母系数漏方．
例2计算
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3 (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3
方法总结涉积方混合运算般先算积方算法算加减然合类项．
针训练计算：（1）（2tm）2·t （2）(－xy2)6＋(－3x2y4)3
探究点2：积方法逆
例3 计算：（1） （2）
例4 已知（ab）m2bn＝3求ambm+n值．
方法总结逆积方公式an·bn＝(ab)n灵活运符合公式形式通恒等变形转化公式形式运公式进行简便运算．
针训练已知实数xy满足x+y2xy5解出xy值求（x+y）13（xy）14值．
二课堂结
积方
（ab）n___________（n正整数）
范围
底数式积方
方法
积式分_________幂___________
注意事项
运算程注意字母系数漏方应防止符号错误
堂检测
1计算（ab2）3结果正确（ ）
A．a3b6 B．a3b5 C．ab6 D．ab5
2计算 (x2y)2结果（ ）
Ax4y2 B．x4y2 C．x2y2 D．x2y2
3列运算正确（ ）
A（ab3）2＝ab6 B（﹣3xy）3＝﹣9x3y3
C(x2)3x6 D（3x）2＝9x2
4面计算？果请改正（正确答案填横线）
(1)(3cd)39c3d3 ( ) 改正：______________
(2)(3a3)2 9a6 ( ) 改正：______________
(3)(2x3y)3 8x6y3 ( ) 改正：______________
(4)(ab2)2 a2b4 ( ) 改正：______________
5 计算： (1) 82026×01252025 ________ (2)
6计算
(1) (ab)8 (2) (2m)3 (3) (xy)5
(4) (5ab2 )3 (5) (2×102 )2 (6) (3×103)3
7计算
（1）(2x3)3·(x2 )2 （2）a3·a4·a+（2a4）2 （3）(x2y)4 +(x4y2)2
拓展提升
8果（an•bm•b)3a9b15求m n值
参考答案
学
知识链接
1（1）106 （2）x10
2（1）am+n （2）amn
二新知预
填填：交换 结合 （ab） （ab） （ab） （aaa） （bbb） a3 b3
合作探究
探究程
探究点1：
问题： anbn
点纳anbn 方 相
例1 解：(1)原式8a3b3 (2) 原式－9x4y2
(3) 原式－27a3b6c9 (4) 原式x2my6m
针训练1C 2（1）16x4y4 （2）3na2n
例2 解：(1) 原式 32x9y6 (2) 原式 0
针训练解：（1）原式4t2m+1 （2）原式26x6y12
探究点2：
例3 解：（1）原式4
（2）原式042019×(025)2019×04[04×(025)]2019×041×0404
例4 解：ambm+nam·bm·bn(ab)m·bn2×36
针训练解：原式[(x+y)13(xy)13](xy)[(x+y)(xy)]13(xy)5×1013
二课堂结
anbn 方 相
堂检测
1A 2A 3D 4（1）× 27c3d3 （2）× 9a6 （3）× 8x9y3 （4）√
5（1）8 （2）3
6 解：(1) 原式a8b8 (2) 原式8m3 (3) 原式x5y5
(4) 原式125a3b6 (5) 原式4×104 (6) 原式27×109
7 解： （1）原式8x13 （2）原式5a8 （3）原式2x8y4
8解：（an•bm•b)3a9b15a3n•b3m+3a9b153n93m+315解n3m4
4底数幂法
学目标：
1理解底数幂法法
2熟练灵活运法进行底数幂法运算（重点）
3应底数幂法法解决数学问题（难点）．
学
知识链接
填填：22·23_________103·104_________a3·a4___________
二新知预
试试：根述式子填空：
（1）________（2）________
（3）________（a≠0）
合作探究
探究程
探究点1 底数幂法运算法
思考：面计算发现：a7÷a3＝a4＝a7－3
果7换成m3换成nam÷an＝a（ ）
纳总结般设mn正整数m>na≠0
说底数幂相底数变指数______
例1 计算：
(1)a8÷a3 (2)(－a)10÷(－a)3 (3)(2a)7÷(2a)4
例2 计算：
(1)(－a)5÷a3 (2)[(－xy)6]2÷(xy)2 (3)(a＋b)4÷(ab)2
方法总结底数相时直接运法计算例1．底数相反数时先底数进行转化a＞0时例2
针训练计算：
(1)b5÷b5＝________
(2)(ab)7÷(ab)3＝________ (3)y9÷(y7÷y3)＝________．
探究点2 底数幂法混合运算
例3 计算：(1)(－a2)4÷(a3)2·a4 (2)273×92÷312．
方法总结法混合运算时序致括号→方→左右中间涉底数化相例3（2）
探究点3 底数幂法法逆
例4 已知3a＝43b＝53c＝8．
（1）求3b+c值 （2）求32a﹣3b值．
针训练5x＝165x3y＝2求5y值．
二课堂结
底数幂法法
底数幂相底数变指数相减
数学符号表示：（mn正整数m＞na≠0）
底数幂法法逆
数学符号表示： （mn正整数m＞na≠0）
堂检测
1计算x8÷（﹣x）2正确结果（ ）
A．x10 B．x6 C．﹣x6 D．x4
2．面运算正确( )．
A．x3÷x3＝0 B．x12÷x2＝x6 C．xn＋2÷xn＋1＝x D．a6÷a2＝a3
3．计算：
(1)(ab)6÷(ab)3＝________ (2)yn＋2÷yn＝________
(3)(m3)4÷(m2)3＝________(4)252÷52＝________
4计算：
（1）a7÷（﹣a2） （2）x2•（x2）3÷x5
（3）（a2）5•（﹣a）4÷（﹣a2）3 （4）（y2）3÷y3÷(y)2．
5（1）已知2x＝34y＝5求23x﹣4y值
（2）已知3m＝43m+n﹣2＝．求3n值．
参考答案
学
知识链接
填填：25 107 a7
二新知预
试试：（1）23 （2）104 （3）a4
合作探究
探究程
探究点1：
思考：mn
纳总结 amn 相减
例1 解： (1)原式a5 (2) 原式－a7 (3) 原式8a3
例2 解：(1)原式a2 (2) 原式 (xy)10 (3) 原式 (a＋b)2
针训练(1)1 (2)a4b4 (3)y5
探究点2：
例3 解：(1) 原式a6 (2) 原式3
探究点3：
例4 解：（1）3b+c＝3b•3c＝5×8＝40
（2）32a﹣3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝．
针训练
解：5x＝165x3y＝5x÷53y＝5x÷（5y）3＝16÷（5y）3＝25y＝2．
堂检测
1B 2．C 3．（1）a3b3 （2）y2 （3）m6 （4）25
4 解：（1）原式＝﹣a7÷a2＝﹣a5
（2）原式＝x2•x6÷x5＝x3．
（3）原式＝a10•a4÷（﹣a6）＝﹣a8．
（4）原式＝（y6）÷y3÷y2＝y．
5 解：（1）2x＝34y＝523x﹣4y＝（2x）3÷（4y）2＝33÷52＝
（2）3m＝43m+n﹣2＝3m×3n÷32＝4×3n÷9＝3n＝2
122 整式法
1单项式单项式相
学目标：
1掌握单项式单项式相运算法（重点）
2够灵活进行单项式单项式相运算（难点）
学
知识链接
幂运算性质：
(1)底数幂法公式：am·an＝____________(mn正整数)．
(2)幂方公式：(am)n＝____________(mn正整数)．
(3)积方公式：(ab)n＝____________(n正整数)．
二新知预
问题1 假面两幅风景图片加美丽相框需知道两幅图片现告诉左图长2x宽2计算出该图片面积？张风景图片长ab宽b计算出图片面积？
列式：_______________ 列式：________________
问题2 光真空中传播速度约3×108ms3×107s传播路程约少？
列式：____________________________
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
思考： 果问题2中数字改字母ac8 ·bc7样计算式子？
纳总结
单项式单项式相___________________分相单项式里含字母连________起作积式
例1计算：
(1) 3x2 ·5x3 (2)4y ·(2xy2) (3)(2a)3·(3a)2
方法总结(1)计算时应先进行符号运算积系数等式系数积(2)注意序运算方运算先算方算法(3)漏掉单项式里含字母式(4)性质单项式相然成立．
针训练计算：（1）2a•3a2 ＝
（2）（﹣2x2y）•（﹣3x2y3）＝ ．
例2已知－2x3m＋17xm－6积x4类项求m值．
方法总结单项式单项式系数底数幂分相结合类项定义列出方程求出参数值然代入求值．
针训练单项式﹣6x2ymxn﹣1y3类项两单项式积 ．
二课堂结
实质
注意事项
单项式单项式
转化底数幂法运算
(1) 注意符号问题
(2) 出现漏现象
(3) 运算序出错
堂检测
1．计算6x2•x3结果（ ）
A．6x B．6x5 C．6x6 D．6x9
2．计算：
（1）8xy•x＝ （2）2x2y3•（﹣7x3y）＝
（3）＝ （4）（﹣ab5）2•（﹣2a2b）3＝
3．计算2x•（﹣3xy）2•（﹣x2y）3结果
4（ambn）·(a2b)a5b3 m+n
5．计算：
（1）2a2•3a5 （2）（﹣2x2y3）•3xy2
（3）（﹣8ab2）（﹣a）3 （4）（3a2b）2•（a2）4•（﹣b2）5
（5）3x3y3•（﹣x2y2）+（﹣x2y）3•9xy2．
6明长a厘米尺子量黑板长20尺子长黑板宽16尺子长黑板面积少？
参考答案
学
知识链接
(1)am+n (2)amn (3)anbn
二新知预
问题1 2x·2 ab·b
问题2 (3×108)×(3×107)
合作探究
探究程
探究点：
思考 ac8·bc7abc15
纳总结系数 相字母幂 指数
例1 解：(1) 原式15x5 (2) 原式8xy3 (3) 原式72a5
针训练（1）6a3 （2） 6x4y4
例2 解：－2x3m＋1·7xm－6－14x4m5题意4m54解m
针训练﹣3x4y6
堂检测
1B 2（1）2x2y （2）﹣14x5y4 （3）﹣x5 （4）﹣8a8b13
3．﹣18x9y5 45
5 解：（1）原式6a7 （2）原式﹣6x3y5 （3）原式a4b2
（4）原式﹣9a12b12 （5）原式﹣2x5y5﹣x7y5
6解：黑板面积20a·16a320a2（方厘米）．
2单项式项式相
学目标：
1掌握单项式项式相运算法（重点）
2够灵活进行单项式项式相运算（难点）
学
知识链接
填填：2a2·3a2__________2a2·5b__________
二新知预
试试：法分配律计算：2a2（3a2+5b）
合作探究
探究程
探究点：单项式项式
问题1： 图试求出三块草坪总面积少？
面积 ____________ 面积____________ 面积____________
总面积_______________________
问题2：三块长方形草坪拼成长方形草坪求长方形面积？
长___________________
面积__________________
根等积法出结___________________________________
点纳单项式项式相单项式分项式项积相______
例1计算：
（1）2x（3x2+1） （2）（﹣3x+1）（﹣2x）2．
针训练计算：（1）3x2（x+1） （2）2x（﹣x2+3x﹣4）
例2先化简求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)中a＝－2
针训练先化简求值：中x1y2
例3果(－3x)2(x2－2nx＋2)展开式中含x3项求n值．
方法总结项式中含项表示项系数0
二课堂结
实质
注意事项
单项式单项式
转化底数幂法运算
(4) 注意符号问题
(5) 出现漏现象
(6) 运算序出错
单项式项式
转化单项式单项式
堂检测
1计算﹣3a2（4a﹣3）等（ ）
A．﹣12a3+9a2 B．﹣12a2+9a2 C．﹣12a3﹣9a2 D．﹣12a2﹣9a2
2果长方体长3a﹣4宽2a高a体积（ ）
A．3a2﹣4a B．a2 C．6a3﹣8a2 D．6a2﹣8a
3计算
(1)4(ab+1)__________ (2)3x(2xy2)_______________
(3) (2x5y+6z)(3x) _______________(4)(2a2)2(a2b+c)_____________
4(x2＋ax＋5)(－6x3)展开式中含x4项a应等
5计算：
(1)(2xy2－3xy)·2xy (2)－2ab(ab－3ab2－1)
(3)x2(3－x)＋x(x2－2x) (4)－2x2·(xy+y2)5x(x2yxy2)
6 已知ab21求（ab）（a2b5ab3b）值．
7图块长方形建造住宅广场商厦求块面积
拓展提升
8某学计算项式﹣3x2时抄错符号算成加﹣3x2答案x2﹣05x+1正确计算结果少？
参考答案
学
知识链接 填填：6a4 10a2b
二新知预 试试：解：原式2a2·3a2+2a2·5b6a4+10a2b
合作探究
问题1 ap bp cp ap+bp+cp
问题2 a+b+c ( a+b+c)p ( a+b+c)p ap+bp+cp
点纳加
例1 解：（1）原式＝2x·3x2+2x6x3+2x
（2）原式＝（﹣3x+1）·4x2＝（﹣3x）·4x2+1·4x2＝12x3+4x2
针训练解：（1）原式＝x3+3x2 （2）原式＝﹣2x3+6x2﹣8x
例2 解：原式20a2+9aa＝－2时原式801898
针训练解：原式＝﹣2x3y+x2y2﹣2xy．x1y2时原式12
例3 解：原式9x2(x22nx+2)9x418nx3+18x2展开式中含x3项n0
堂检测
1A 2C
3（1）4a4b+4 （2）6x23xy2 （3）6x2+15xy18xz （4）4a58a4b+4a4c
40
5解：（1）原式4x2y36x2y2 （2）原式2a2b2+6a2b3+2ab （3）原式x2
（4）原式7x3y+3x2y2
6 解：∵ab21∴原式a3b6+a2b4+ab2（ab2）3+（ab2）2+ab21+111．
7解：原式＝4a（3a+2b+2a﹣b）＝4a（5a+b）＝20a2+4ab．
8解：项式（x2﹣05x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣05x+1正确计算结果：（4x2﹣05x+1）•
（﹣3x2）＝﹣12x4+15x3﹣3x2．
3项式项式相
学目标：
1理解掌握项式项式法运算法（重点）
2够灵活运项式项式法运算法进行计算（难点）
学
知识链接
填填：（m+n）x____________
二新知预
试试：xa+b（m+n）xmx+nx____________+____________________________
合作探究
探究程
探究点：项式项式
问题 某区退耕林期间块原长m米宽a米长方形林区长增加n米宽增加b米请计算块林区现面积？
方法三：_________________________________
方法二：_________________________________
方法：_________________________________
形式表示林区现面积？
根式子出等式？
点纳项式项式相先项式项分________项式项积________
例1 计算：（1）（x﹣3）（x+1） （2）（a+2b）（2a﹣4b）．
针训练
计算：（1）（3x+2）（2x1） （2）（x+y）（x2﹣xy+y2）．
例2 先化简求值：（3y+2）（y﹣4）﹣（y﹣2）（y﹣3）中y1
方法总结进行项式项式计算时需注意三问题(1)漏(2)符号问题(3)结果应化成简形式
针训练先化简求值：（2x+1）（x﹣5）﹣（3x+1）（5x﹣2）中x＝﹣1
例3（x﹣2）（x2+3mx）积中含x2项求m值
方法总结解决类问题首先利项式项式法法计算出展开式合类项根含某项项系数等零列出方程解答．
针训练已知ax2＋x＋1(a≠0)3x－2积中含x2项求系数a值．
二课堂结
1项式项式法法：项式项式相先项式项分________项式项积________
2注意事项：(1)漏(2)符号问题(3)结果应化成简形式
堂检测
1．（x+1）（2x﹣5）计算结果（ ）
A．2x2﹣3x﹣5 B．2x2﹣6x﹣5 C．2x2﹣3x+5 D．x2﹣3x﹣5
2．列项式相结果x2﹣4x﹣12（ ）
A．（x﹣4）（x+3） B．（x﹣6）（x+2） C．（x﹣4）（x﹣3） D．（x+6）（x﹣2）
3．2x+mx+2积中含x次项m值（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6a＝ ．
5．计算：
（1）（5x+2y）•（3x﹣2y）
（2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b）．
6先化简求值：（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2中x＝y＝﹣1
7．图某区规划长（3x+4y）米宽（2x+3y）米长方形场修建1横2三条宽x米甬道余部分绿求：
（1）甬道面积
（2）绿面积（结果化简）
参考答案
学
知识链接 填填：mx+nx
二新知预 试试：m( a+b) n( a+b) am+bm+ an+bn
合作探究
探究程
探究点：
问题 ( a+b)( m+n) ( a+b)m+ ( a+b)n am+bm+ an+bn
( a+b)( m+n) ( a+b)m+ ( a+b)n am+bm+ an+bn
点纳 相加
例1 解：（1）原式x2﹣2x﹣3 （2）原式2a2﹣8b2
针训练解：（1）原式3x•2x3x+2×2x26x2+x2 （2）原式x3+y3
例2 解：原式＝3y2﹣12y+2y﹣8﹣（y2﹣3y2y+6）＝3y2﹣10y﹣8﹣y2+5y﹣6＝2y2﹣5y﹣14
y1时原式7
针训练解：原式＝2x2﹣10x+x﹣5﹣（15x2﹣6x+5x﹣2）＝2x2﹣9x﹣5﹣15x2+x+2＝﹣13x2﹣8x﹣3x＝﹣1原式＝﹣13×1+8﹣3＝﹣8
例3 解：（x﹣2）（x2+3mx）x32x2+3mx26mx积中含x2项2+3m0m
针训练解：（ax2+x+1）（3x2）3ax32ax2+3x22x+3x2∵积中含x2项∴2a+30解a
二课堂结 相加
堂检测
1．A 2．B 3．A 4．1
5．解：（1）原式＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2＝15x2﹣4xy﹣4y2．
（2）原式＝2a2﹣ab+2ab﹣b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2＝4a2﹣2ab﹣3b2．
6解：原式＝x2+2xyx2xy﹣4y2+2y+4y2＝x2﹣x+2yx＝y＝﹣1时原式＝﹣﹣2＝﹣2
7．解：（1）甬道面积2x（2x+3y）+x（3x+4y）﹣2x2＝(5x2+10xy)（方米）．
（2）绿面积（3x+4y）（2x+3y）﹣（5x2+10xy）＝6x2+17xy+12y2﹣5x2﹣10xy＝(x2+7xy+12y2)（方米）．
123 法公式
1两数两数差
学目标：
1历方差公式探索推导程掌握方差公式结构特征（重点）
2灵活运方差公式进行计算解决实际问题（难点）
学
知识链接
项式项式法：项式项式相先项式项_________项式项积_______．
二新知预
算算：根项式项式法进行计算：
①（x ＋ 1)( x－1）x2x+x1_______________
②（m ＋ 2)( m－2）m22m+2m4_______________
③（2m＋ 1)(2m－1）______________________________
合作探究
探究程
探究点1：方差公式
问题 观察算算中式子结果什特点？
点纳出现两项式相时候呈现形式(a+b)(a−b)_________（中ab代表数字母式子）两数两数差积等两数__________
试试：边长a正方形中剪边长b正方形然剩余两长方形拼成长方形两图形面积说明方差公式？
剩余部分面积：____________
新长方形面积：____________
等式：___________________
例1利方差公式计算：
(1)(x－5)(x＋5) (2)(－a－b)(b－a) （3）（x+1）（﹣x+1）
针训练计算：(1)(a－1)(a＋1) (2)(2m＋3n)(2m－3n)．
方法总结应方差公式计算时应注意问题：
(1)左边两二项式相两二项式中项完全相项互相反数
(2)右边相项方减相反项方
(3)公式中ab具体数单项式项式．
例2先化简求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)中x＝1y＝2
针训练先化简求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1中x＝
探究点2：方差公式应
例3计算(1) 51×49 (2)598×602
方法总结根方差公式特征合理变形简化运算例（1）中51化（50+1）49化（501）
例4王伯家块边长a米正方形土租邻居李妈．年王伯李妈说：块边减少4米外边增加4米继续原价租？李妈听答应．认李妈吃亏？什？
方法总结解决实际问题关键根题意列出算式然根公式化简算式解决问题．
相项a
(a+b)(ab)a2b2
二课堂结
符号相反项b
堂检测
1列运算中方差公式计算( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2计算（2x2+1）（2x21）等（ ）
A．4x41 B．2x41 C．4x21 D．4x4+1
3图1中阴影部分长方形变换图2位置根两图形面积关系数学公式______________________．
图1 图2
4已知x2y28x+y4xy
5两正方形边长5边长差2较正方形面积减较正方形面积差
________．
6利方差公式计算：
（1）(a+3b)(a 3b) （2）(3+2a)(－3+2a) （3）(－2x2－y)(－2x2+y)
7计算：（1）20222 － 2021×2023 （2)(a2)(a+2)(a2 + 4)
8先化简求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3中x＝2
9意正整数n整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)值定10整数倍？
参考答案
学
知识链接
相加
二新知预
算算：①x21 ②m24 ③4m²2m+2m1 4m²1
合作探究
探究程
探究点1：
问题 解：二项式二项式二项式两项式中间符号样
点纳a²b² 方差
试试：a²b² ( a+b)( ab) a²b²( a+b)( ab)
例1 解：（1）原式x225 （2）原式a2b2 （3）原式1x2
针训练解：（1）原式a2－1 （2）原式4m2－9n2
例2 解：原式4x2y24y2+x25x25y2x1y2时原式5×125×2215．
针训练解：原式19x2+9x2+2x12xx时原式1
探究点2：
例3 解：（1）原式(50+1)×(501)50²12499
（2）原式(6002)×(60+02)60²02²3600004359996
例4 解：李妈吃亏理：原正方形土面积a2方米改变边长土面积（a+4）（a4）a216（方米）∵a2＞a216∴土面积减少．∴李妈吃亏．
堂检测
1C 2A 3(a+b)(a−b)a2 b2 42 510
6解：（1）原式a29b2 （2）原式4a2－9 （3）原式4x4－y2
7解：（1）原式1 （2）原式a416
8解：原式x21+x2x3+x32x21x2时原式7．
9解：（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）9n21（9n2）9n219+n210n21010（n21）．n意正整数n21整数整式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）值定10整数倍．
2两数（差）方
学目标：
1理解掌握完全方公式推导程结构特点解释（重点）
2灵活运完全方公式进行计算（难点）
学
知识链接
1计算：(1)22＝___________(2)（3）2＝___________．
2项式项式法：
二新知预
试试 根项式项式法方定义填空：
（1） （p+1)2(p+1)(p+1)___________（2） （m+2)2(m+2)(m+2)___________
（3） （p1)2( )( )___________（4） （m2)2( )( )___________．
合作探究
探究程
探究点1：两数（差）方公式（称完全方公式）
问题1 观察面两图形方式表示图1面积图2中Ⅲ面积？
两种方法求图1面积：S＝(_________)2S＝(_________)2＋_________＋(_________)2
两种方法求图2中Ⅲ面积：
SⅢ＝(_________)2SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2
问题2 根面规律直接写出列式子答案？
（a+b)2 ___________ （ab)2___________
点纳完全方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2两数（差）方等两数_______加（减）积________
例1计算：
(1)(2a＋b)2 (2)(－a－b)2 (3)(5＋3p)2 (4)(2x－7y)2．
方法总结直接运完全方公式进行计算关键掌握完全方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2巧记首方末方首末两倍中间放．
针训练利完全方公式计算：
(1) (5－a)2 (2)(－3m－4n)2 (3)(－3a＋b)2
（4）（a+2b﹣1）2（提示：中两项成整体）
探究点2：两数（差）方公式应
例2利法公式计算：
(1)2012 (2)982－101×99
针训练利法公式计算：20222－2022×4042＋20212
方法总结运法公式进行简便运算熟记法公式（方差公式完全方公式）特征原式转化利法公式运算形式进行计算．
例3 已知x－y＝6xy＝－8求
(1) x2＋y2值 (2)(x+y)2值
方法总结运完全方公式变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy(x－y)2＝(x+y)2－4xy快速解题
二课堂结
完全方公式
公式
结构特征
常变形
(a+b)2_________
(ab)2_________
(1) 公式左边二项式方右边二次三项式
(2)公式右边第三项分左边二项式中两项方中间项左边两项积2倍．
a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab
4ab(a+b)2(ab)2
堂检测
1运法公式计算(a2)2结果（ ）
A．a24a+4 B．a22a+4 C．a24 D．a24a4
2列计算结果2ab－a2－b2( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3运完全方公式计算
(1)(x＋6)2_______________(2) (6a+5b)2_______________
(3) (4x3y)2_______________(4)(2m1)2 _______________
4完全方公式知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64运方法计算：4321 2＋8642×0679＋06792＝________．
5计算：
（1）（﹣m﹣4n）2 （2）（x﹣2y+1）2．
6已知a+b＝5ab＝﹣6求列式值．
（1）a2+b2 （2）（a﹣b）2．
7已知x+y＝12x﹣y＝4解出xy值求x y值．
参考答案
学
知识链接
1（1）4 （2）9
2项式项式相项式项分项式项积相加
二新知预
试试 （1）p2＋2p+1 （2）m2＋4m+4
（3）p1 p1 p2－2p+1 （4）m2 m2 m2－4m+4
合作探究
探究程
探究点1：
问题1 a+b a 2ab b ab a 2ab b
问题2 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2
点纳
a 2ab b a 2ab b 方 2倍
例1 解：（1）原式4a2+4ab＋b2． （2）原式a2+2ab＋b2．
（3）原式25+30p＋9p2． （4）原式4x2－28xy＋49y2．
针训练解：（1）原式2510a+a2． （2）原式9m2+24mn+16n2．
（3）原式9a26ab+b2． （4）原式（a+2b）22（a+2b）+1a2+4ab+4b22a4b+1．
探究点2：
例2 解：（1）2012（200+1）22002+2×200×1+1240401
（2）原式（1002）2－（100+1）（1001）100²400+4100²+1395
针训练解：原式（20222021）²1
例3 解：（1）∵xy6xy8∴x2+y2（xy）2+2xy361620
（2）（x+y）2x2+y2+2xy20+2×（8）4．
二课堂结
a2+2ab+b2 a22ab+b2
堂检测
1A 2D
3（1）x2+12x＋36 （2）36a2+60ab＋25b2
（3）16x224xy＋9y2 （4）4m2+4m＋1
425
5解：（1）原式＝m2+8mn+16n2．（2）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．
6解：（1）∵a+b＝5ab＝﹣6∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣6）＝37
（2）∵a+b＝5ab＝﹣6∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝49．
7解：已知两式方（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144①（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝16②
①﹣②4xy＝128xy＝32．
124 整式法
1单项式单项式
学目标：
1会进行单项式单项式运算（重点）
2探索单项式单项式法程（难点）
学
知识链接
填填：(1)a2·a3＝ (2)2x·3x4＝ （3）2a2b·a3b5＝
二新知预
试试：根填填中结果填写列等式：
(1)a5÷a2＝ (2)6x5÷2x＝ （3）a5b6÷2a2b＝
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
问题 观察试试中式子发现商系数字母次数式式什关系？
点纳单项式单项式法单项式相 ______________________分相作商______式中出现字母连______起作商式
例1 计算：（1）4x5÷2x3 (2)（﹣8x9y6）÷（2x2y）
针训练
1计算8a3÷（2a）结果（ ）
A．4a B．4a C．4a2 D．4a2
2计算：（1）4a3b2÷2ab （2）（6x2y3 )2÷(3xy2)2 （3）﹣5x5y3z÷15x4y÷x y
方法总结掌握整式法运算法解题关键注意计算程中方先算方算．T2（2）
例2 已知|a+5|+|b2|0求代数式5a5b4c÷[（2a2b2）2c]·2b2值
二课堂结
单项式单项式
1_____相
2底数幂______
3式中出现式搬作商式
堂检测
1计算4x3yz÷2xy正确结果（ ）
A．2xyz B．xyz C．2x2z D．x2z
2计算：6a3b4÷3a2b÷ab＝（ ）
A．2 B．2ab3 C．3ab3 D．2b2
3单项式A﹣3x2y积6x6y2单项式A（ ）
A．2x3y B．﹣2x3y C．﹣2x4y D．2x4y
4图1张长方形纸板四角切样正方形制成图2盖纸盒该纸盒容积4a2b图2中纸盒底部长方形面积（ ）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
5已知﹣21x2ya÷（﹣3x2y3）＝7ya
6．填空：（1）200xy÷（－8y）
（2）（－3ax）3÷（ ）－3ax
（3）（ ）÷（－5ab3）3ac．
7．计算：
（1）2x2y÷（﹣x） （2）（﹣2x3y2）3÷2x2y
（3）（3a2b3c4）2 ÷（a2b4） （4）[（﹣5mn）6÷（﹣5mn）4]2
（5）（﹣3x2y）2•6xy3÷9x3y4 （6）﹣x2y+（﹣ax4y3）÷（﹣ax2y2）
8明进行两单项式相时心7ab成7ab结果﹣21a2b2求实际相结果
参考答案
学
知识链接
填填：(1)a5 （2) 6x5 (3) a5b6
二新知预
试试：(1)a3 （2) 3x4 (3) a3b5
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
问题 解：商系数式式系数商次数应字母次数相减
点纳 系数 底数幂 式 指数
例1 解：（1）原式2x2 (2)原式＝﹣4x7y5
针训练
1D 2 解：（1）原式2a2b （2）原式4x2y2（3）原式＝﹣xy2z÷xy＝﹣yz
例2 解：原式＝ |a+5|+|b2|0a5b2原式＝
二课堂结
系数 相
堂检测
1C 2D 3C 4A 54 6（1）25x （2）9a²x2 （3）－15a2b3c
7解：（1）原式＝﹣8xy．
（2）原式＝﹣8x9y6÷2x2y＝﹣4x7y5．
（3）原式9a4b6c8÷（a2b4）27a2b2c8．
（4）原式＝[（﹣5mn）2]2＝625m4n4．
（5）原式＝9x4y2•6xy3÷9x3y4＝6x2y．
（6）原式＝﹣x2y+x2y＝x2y
8解：题意：式﹣21a2b2÷7ab＝﹣3ab
正确结果﹣3ab÷7ab＝﹣．
2项式单项式
学目标：
1项式单项式运算法应．（重点）
2探索项式单项式法程灵活运法解题（难点）
学
知识链接
1单项式项式相法：_____ ___．
2计算：2x(x2＋3x＋4)＝__________．
二新知预
1幅长方形油画长(a+b)宽m求面积
面积_______________________________
2已知该油画面积(ma+mb)宽m求长 解：列式：_____________________
合作探究
探究程
探究点：项式单项式
问题 根T1中式子算出T2中列式结果？写出结果
点纳项式单项式先项式________________商________
例1 计算：
（1）（18a2b﹣6ab）÷（﹣6ab） （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
针训练计算：
(1)(－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3 (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
方法总结项式单项式实质利法分配律项式单项式问题转化单项式单项式问题解决．计算程中注意符号问题
例2 先化简求值：（9ab3+12a4b2）÷3ab中a＝﹣1b＝﹣2．
针训练先化简求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y中x＝2020y＝2021
二课堂结
项式单项式：
1．项式单项式运算实质项式单项式运算转化单项式法．
2．项式单项式商项数项式项数相式n项商n项漏项．
3．熟练进行项式单项式运算必须掌握基础运算幂运算性质整式法基础．
4．符号运算中重问题项式项单项式时注意项符号单项式符号．
堂检测
1．计算（﹣4x3+2x）÷2x结果正确（ ）
A．﹣2x2+1 B．2x2+1 C．﹣2x3+1 D．﹣8x4+2x
2．计算：（﹣6x3+9x2﹣3x）÷（﹣3x）＝（ ）
A．2x2﹣3x B．2x2﹣3x+1 C．﹣2x2﹣3x+1 D．2x2+3x﹣1
3．计算：（1）（﹣2a2bc﹣ab）÷（﹣ab）＝
（2）（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝ ．
4．长方形面积3a2+a边长a相邻边长 ．
5．已知项式单项式﹣7x2y3积21x4y5﹣28x7y4+14x6y6项式 ．
6．计算：
（1）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2 （2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）
（3）（y3﹣3y2+y）÷y （4）
（5）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣2xy）
7．先化简求值：[(x−y)2+(2x+y)(1−y)−y]÷(−x)中x1y
参考答案
学
知识链接
1单项式项式单项式项式项相积相加
22x3＋6x2＋8x
二新知预
1 (a+b)m am+bm
2 (ma+mb)÷m
合作探究
探究程
探究点：项式单项式
问题 解：结果a+b
点纳项 单项式 相加
例1 解：（1）原式＝18a2b÷（﹣6ab）﹣6ab÷（﹣6ab）＝﹣3a+1
（2）原式＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1
针训练解：（1）原式2xz+1 （2）原式8x²y2+4xy1
例2 解：原式＝3b2+4a3ba＝﹣1b＝﹣2时原式3×（2）2+4×（1）3×（2）＝20．
针训练 解：原式（2x3y2x2y2+x2y2x3y）÷x2y（x3yx2y2）÷x2yxyx＝2020y＝2021时原式xy1
堂检测
1．A 2．B 3．（1）2ac+1 （2） 4．3a+1 5．﹣3x2y2+4x5y﹣2x4y3
6解：（1）原式＝y﹣xz． （2）原式＝﹣1﹣5mn+m2．
（3）原式＝y2﹣y+1． （4）原式＝2x﹣y﹣4．
（5）原式＝（4xy2﹣8xy+2x﹣2x）÷（﹣2xy）＝﹣2y+4．
7解：原式（x22xy+y2+2x2xy+yy2y）÷（x）（x24xy+2x）÷（x）2x+8y4x1y时原式2×1+8×42+442．
125 式分解
第1课时 式分解提公式法分解式
学目标：
1理解式分解意义概念（重点）式分解整式法区联系
2理解掌握提公式法熟练运提公式法分解式（难点）
学
知识链接
填填：x（x+1） 3a(a+2) m(a+b+c) __________
二新知预
想想：根面三等式列式子写成两式子相形式：
x2+x（___）（______） 3a2+6a（_____）（_______） ma+mb+mc（____）（_________）
合作探究
探究程
探究点1：式分解
思考1：想想中三式子左右变化什特点？
点纳项式化成 形式做项式
思考2：通观察填填想想中式子发现式分解整式法什联系？
例1列左右变形中式分解( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1②x3＋x＝x(x2＋1)
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1 B．2 C．3 D．4
方法总结判断变形程否式分解：等式右边否整式积形式二等式左边否项式．
针训练列等式中左右变形式分解___________ （填序号）
①24x2y3x ·8xy ②am+bm+cm(a+b)+c ③x21(x+1)(x1)
④(2x+1)24x2+4x+1 ⑤2x+4y+6z2(x+2y+3z) ⑥x2+xx2(1+)
探究点2：公式
思考：式子ma+mb+mc中ma · mb · mc · 式
点纳项式中项含相式称
问题：确定项式公式？
找找：3x 2 6 xy公式
(1) 项式3x 2 6 xy____项分___________________系数分_____________系数公约数__________含字母_________该字母指数分___________
(2) 该项式公式______________
方法总结正确找出项式公式步骤：
1定系数：公式系数项式项系数_______________
2定字母：字母取项式项中含字母
3定指数：相字母指数取项中______字母_____次数
针训练列项式公式填横线
(1) 3x+6y ___________ (2)ab2ac ___________
(3) a2 a3 ___________ (4 )9m2n6mn ___________
(5)6x2y8xy 2 ___________ (6)4(m+n) 2 +2(m+n) ___________
探究点3：提公式法分解式
概念提出项式 提出写成两式 形式种式分解方法做
例2列式分解式：
(1)8a3b2＋12ab3c (2) x2+xyxz (3)2a(b＋c)－3(b＋c)
方法总结提公式法步骤（分两步）第步找出公式 第二步提取公式 项式化两式积
针训练
1列某学分解式结果画√错画×改正
(1) 分解式 12xy3+18xy23xy(4y2 + 6y) ____________
正解：________________________________
(2) 分解式3x2 6xy+x x(3x6y)____________
正解：________________________________
(3) (a＋b)(a－b)－a+b(a＋b)(a－b－1)____________
正解：________________________________
易错纳 (1)提取公式项式中项含公式．(2)提取公式漏掉式1项(3)找公式时符号出错
例3运提公式法进行简便运算：
（1）2×97+8×97 （2）125×77+025×7725×77
例4先式分解求值：m（a3）2n（3a）中a1m06n02
针训练
ab互相反数时代数式a2+ab2值（ ）
A．2 B．0 C．2 D．1
二课堂结
式分解
公式
提公式法分解式
式分解______互逆运算
式分解右边两整式积形式
步骤：
1定__________
2定__________
3定__________
步骤：1找公式2提公式
注意事项：1公式提2漏项3提负号注意变号
堂检测
1列左边右边变形属式分解（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
2．项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公式（x﹣2）余部分（ ）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3列项式分解式正确（ ）
A．12xyz9x2y23xyz（43xyz）
B．3a2y3ay+6y3y（a2a+2）
C．x2+xyxzx（x2+yz）
D．a2b+5abbb（a2+5a）
4．式分解：
（1）3xy﹣6y＝
（2）a2b+b﹣2ab2＝
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝
59a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)整式M等____________
6简便计算：
(1) 199×198+199×002 (2)(2)101+(2)100
7ab＝22a+b＝6求项式4a3b22a2b3值
8．△ABC三边长分abca+2ab＝c+2bc判断△ABC形状．
参考答案
学
知识链接
填填：x²+x 3a²+6a ma+mb+mc
二新知预
想想：x x+1 3a a+2 m a+b+c
合作探究
探究程
探究点1：
思考1：解：三式子式子相加变成式子相
点纳整式积 式分解
思考2：解：式分解整式法相反方变形互逆运算二者式子表现形式．
例1 B
针训练③⑤
探究点2：
思考：m a m b m c m
点纳公式
找找：（1）2 3x 2 6 xy 3 6 3 x 2 1 （2）3x
方法总结公约数 次数 低
针训练（1）3 （2）a （3）a² （4）3mn （5）2xy （6）2(m+n)
探究点3：
概念提出公式 积 提公式法
例2 解：（1）原式4ab²（2a²+3bc） （2）原式x（xy+z） （3）原式（b+c）（2a3）
针训练1（1）× 6xy2(2y+3) （2） × x(3x6y+1)
（3）× （ab）（a+b1）
例3 解：（1）原式（2+8）×97970（2）原式（125+02525）×7777
例4 解：原式（m+2n）（a3）（06+02×2）×（13） 2
针训练C
二课堂结
整式法 系数 字母 指数
堂检测
1 D 2D 3B
4（1）3y（x﹣2） （2）b（a2+1﹣2ab） （3）（x﹣2）（3x+1）
53a(x－y)2 6解：（1）原式398 （2）原式2100
7解：∵ab＝22a+b＝6∴4a3b22a2b3＝2a2b2（2a+b）＝2×22×6＝48．
8解：∵a+2ab＝c+2bc∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0（a﹣c）（2b+1）＝0．∵abc△ABC边长∴b＞0∴2b+1≠0∴a﹣c＝0∴a＝c△ABC等腰三角形
第2课时 运方差公式分解式
学目标：
1学会运方差公式进行式分解．（重点）
2会综合运提公式法方差公式项式进行式分解．（难点）
学
知识链接
填填：（1）（a+5）（a5）___________（2）（4m+3n）（4m3n）___________．
二新知预
试试：观察计算结果分解列式：
（1）a2－25___________（2）16m2－9n2___________．
合作探究
探究程
探究点1：方差公式分解式
思考1：试试中两式子左右变化什特点？
思考2：根填填试试中式子a2－b2式分解？写出分解式结果
点纳a2－b2____________两数方差等两数_____两数______________
例1列式中方差公式分解式( )
①2x2＋y2②x2－4③－4x2－y2④1－a2b2
A．1 B．2 C．3 D．4
方法总结方差公式分解式项式具特征：两数方减号中央．
针训练列运方差公式式分解正确( )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b) D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)
例2分解式：
(1)a2－4b2 (2)(m＋n)2－(m－n)2
方法总结式分解时出现两方相减形式应分转化两数（式）整体方方差公式式分解
针训练式分解：(1)a2－b2 (2)(2x＋3y)2－(3x－2y)2
易错题醒式分解需注意系数变化例T（1）中b2改写成（b）2进行计算
例3式分解：(1)x－xy2 (2)3xy3－3xy
针训练分解式：
(1)a4－b4 (2)a2－4b2－a－2b
方法总结分解式前应先分析项式特点般先提公式套公式注意分解式必须进行项式分解式止．
例4计算：(1)1012－992 (2)5352×44652×4
方法总结较复杂理数运算运式分解进行变形运算简化
针训练简便方法计算：36×18－24×12
例5已知x2－y2＝－2x＋y＝1求xyxy值．
方法总结x2－y2x±y关求代数式未知数值问题中通常需先式分解然整体代入联立方程组求值
针训练已知|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0求a2﹣b2值．
运方差公式分解式
公式：a2b2______________
步骤：提：提______
二套：套______
三查：检查项式否分解式
二课堂结
堂检测
1列项式中方差公式分解式( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－9y2 D．－x2＋9
2分解式(2x+3)2 x2结果（ ）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3a+b3ab7b2a2值（ ）
A．21 B．21 C．10 D．10
4列式分解式：
（1）9m2﹣n2＝ （2）x2﹣（y﹣2）2＝
（3）ax3y﹣axy3＝ （4）2m﹣32m5＝ ．
5(2x)n81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x3)n值______
6已知4m+n＝402m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2值．
7边长a 厘米正方形木板开出边长 b（b）厘米四正方形孔（图）求剩余部分面积（含ab代数式表示）求a＝146b＝27时剩余部分面积
拓展提升
8 (1)993﹣99100整？
(2)n整数（2n+1）2﹣25否4整？
参考答案
学
知识链接 填填：a225 16m29n2
二新知预 试试：（1）（a+5）（a5） （2）（4m+3n）（4m3n）
合作探究
探究程
思考1：解：两数方相减变成两式子相两式子中间符号相反
思考2：解：a2b2（a+b）（a－b）
点纳（a+b）（a－b） 差 积
例1 B 针训练B
例2 解：(1)原式(a+2b)(a2b) (2)原式（m+nm+n）（m+n+mn）4nm
针训练 解：（1）原式(a+b)(ab) （2）原式 (5x＋y)( 5y－x)
例3 解：（1）原式x（1+y）（1－y） （2）原式3xy（y+1）（y－1）
针训练解：（1）原式（a²+b²）（a+b）（ab） （2）原式（a+2b）（a2b1）
例4 解：（1）原式（101+99）（10199）400 （2）原式4（535+465）（535465）4×100×72800
针训练解：原式182×2－122×22×（182－122）2×（18+12）（18－12）2×3×0636
例5 解：式分解x²y²（x+y）（xy）2∵x+y1∴xy 2．联立 解
针训练解：∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0∵∴a﹣b＝3a+b＝2∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
二课堂结
（a+b）（a－b） 公式 公式
堂检测
1D 2D 3A
4（1）（3m+n）（3m﹣n） （2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）
（3）axy（x+y）（x﹣y） （4）2m（1+4m2）（1+2m）（1﹣2m）
54
6 解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣（4m+n）·（2m﹣3n）4m+n＝402m﹣3n＝5时原式＝﹣40×5＝﹣200．
7 解：根题意剩余部分面积＝a2﹣4b2∵a＝146b＝27∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（146+2×27）（146﹣2×27）＝184(方厘米)．
8 解：（1）理：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝98×99×100993﹣99100整．
（2）理：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1+5）（2n+15）＝4（n+3）(n2)n整数∴（2n+1）2﹣254整．
第3课时 运两数（差）方分解式
学目标：
1理解掌握完全方公式分解式．（重点）
2灵活应种方法分解式利式分解进行计算．（难点）
学
知识链接
填填：（1）（x+1）2___________（2）（2a3）2___________．
二新知预
试试：观察计算结果分解列式：
（1）x2+2x+1___________（2）4a2－12a+9___________．
合作探究
探究程
探究点1：完全方式
问题1：整式法中学完全方公式请写出完全方公式
问题2：观察完全方公式右边式子什特点？
点纳a²+______+b²a²______+b²样式子做完全方式
例1 果x26x+N完全方式N( )
A 11 B 9 C 11 D 9
方法总结题熟练掌握完全方公式结构特征 根参数位置结合公式找出参数已知项间数量关系求出参数值计算程中注意积2倍符号避免错解漏解．
针训练
1列式子中完全方式( )
A．a2＋b2 B．a2＋2a C．a2－2ab－b2 D．a2＋4a＋4
2x2＋mx＋16完全方式m值________．
探究点2：完全方公式进行式分解
问题1：根填填试试中式子写出列式子分解式结果？
解：a2＋2ab＋b2＝________ a2－2ab＋b2＝________
点纳两数方加(减)两数积 倍等两数(差)方完全方公式分解式
例2 分解式：
(1)m2－6m＋9 (2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9
针训练分解式：－3x2＋24x－48
问题2：两节课中学运方差公式分解式运完全方公式分解式名称取名字？
点纳利公式（____________________等）某具特殊形式项式分解式种分解式方法做公式法
例3 式分解：(a2＋4)2－16a2
例4 简便计算
(1)1002－2×100×99+99² (2)342＋34×32＋162
方法总结较复杂理数运算中通常先观察式子特征利式分解变形转化较简单运算
例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0求x2y2＋2xy＋1值．
方法总结类问题般情况原式进行变形转化非负数形式然利非负数性质求出未知数值然代入求代数式值．
针训练已知|x y﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0求x2+4xy+4y2值．
二课堂结
式分解
方法
提公式法
公式法
方差公式
完全方公式
公式
ma+mb+mc__________
a2b2__________
a2±2ab+b2________
步骤
1 提：提____________________2套：套_____________________
3检查：检查______________________________________________
易错题型
1提公式时易出现漏项丢系数符号错误2式分解彻底
堂检测
1列四项式中式分解（ ）
A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
2分解式x3y﹣2x2y2+xy3正确（ ）
A．xy（x+y）2 B．xy（x2﹣2xy+y2） C．xy（x2+2xy﹣y2） D．xy（x﹣y）2
3填空：
(1)x²+4x+4 ( )² +2·( )·( )+( )² ( )²
(2)a²+4ab+4b²( )²+2· ( ) ·( )+( )²( )²
4m＝2n＋1m2－4mn＋4n2值_______．
5关x项式x2－8x＋m2完全方式m值_______
6列项式式分解
（1）x2－12x+36 （2）4xy2－4x2y－y3 (3) y2+2y+1－x2
7计算：
（1）3892﹣2×389×489+4892 （2）202422024×4026+20232
8分解式(1)4x2＋4x＋1(2)
聪明解答程：
做？错误请帮忙纠正
9（1）已知a﹣b＝3求a（a﹣2b）+b2值
（2）已知ab＝2a+b＝5求a3b+2a2b2+ab3值．
拓展提升
10已知abc分△ABC三边长a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0请判断△ABC形状说明理．
参考答案
学
知识链接 填填：x2+2x+1 4a2－12a+9
二新知预 试试：（x+1）2 （2a3）2
合作探究
探究程
探究点1：
问题1：解：（a+b）2a²+2ab+b²（ab）2a²2ab+b²
问题2：解：式子里含两数方相加两数积2倍
点纳2ab 2ab
例1 B
针训练1D 28
探究点2：
问题1：解：（a+b）2 （ab）2
点纳2
例2 解：（1）原式（m3）2（2）原式（x＋y+3）2
针训练解：原式3（x²8x+16）3（x4）²
问题2：解：公式分解式称公式法
点纳方差公式 完全方公式
例3 解：原式（a2+44a）（a2+4+4a）（a2）2（a+2）2
例4 解：（1）原式(10099)²1 （2）原式（34+16）22500
例5 解：x2－4x＋y2－10y＋29＝0（x2）2＋（y5）2＝0∴x20y50解x2y5x2y2＋2xy＋1（xy+1）²11²121
针训练 解：∵|xy﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0∴xy＝4x﹣2y＝2∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝（x2y）²+8xy＝2²+8×436．
二课堂结
m(a+b+c) (a+b)(ab) (a±b)² 公式 公式 式分解否彻底
堂检测
1 B 2D 3（1）x x 2 2 x+2 （2）a a 2b 2b a+2b 41 54
6解：（1）原式（x－6）2 （2）原式y（2xy）2 （3）原式（y+1+x）（y+1x）
7解：（1）原式＝（389﹣489）2＝100 （2）原式＝（20242023）2＝1
8解：做错．（1）原式（2x+1）2（2）原式
9解：（1）∵a﹣b＝3∴原式＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝32＝9
（2）∵ab＝2a+b＝5∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×52＝50．
10解：△ABC等边三角形理a2+2b2+c22b（a+c）0a22ab+b2+b22bc+c20（ab）2+（bc）20∴ab0bc0∴abbc∴abc∴△ABC等边三角形．
第13章 全等三角形
131 命题定理证明
1 命 题
学目标：
1解命题意义命题真假做出判断
2掌握题设结命题改写果…………形式（重点）
3够判定命题真假进行说明（难点）
学
知识链接
填填：（1）两角相加等90度两角互
（2）行条直线两条直线
二新知预
试试：学知识试判断列句子否正确：
(1)果两角顶角两角相等 （ ）
(2)三角形角180° （ ）
(3)位角相等． （ ）
合作探究
探究程
探究点1 命题
问题1 观察面填填容发现什特点？
点纳样表示判断语句做命题．
例1 判断列语句命题？√×表示
（1）顶角相等？（ ）
（2）画条线段AB2cm．（ ）
（3）两条直线行错角相等（ ）
针训练判断列语句命题？√×表示
（1）长度相等两条线段相等线段（ ）
（2）两条直线相交交点．（ ）
（3）角度相等两角角．（ ）
（4）取线段AB中点C．（ ）
问题2 试试中句子命题？认命题组成部分什？
点纳数学中许命题条件结两部分组成．条件已知事项结已知事项推出事项．种命题常写成果…………形式．
例2 命题等边三角形三条边相等改写成果…………形式分指出命题条件结．
问题3 命题正确？：四条腿动物猫句话正确？
点纳样表示判断语句做命题．正确命题称_____命题错误命题称_____命题．
例3 判断列命题真假真√假×表示
（1）旁角互补．（ ）
（2）角补角角．（ ）
（3）相等两角顶角．（ ）
（4）两点确定条直线．（ ）
（5）两点间线段短．（ ）
（6）角余角相等．（ ）
针训练命题：①顶角相等②垂直条直线两直线行③相等角互补角④位角相等中真命题（ ）
A1 B2 C3 D4
探究点2：举反例
问题4 明说：a+b定a红马说：1＋（2）没1
完面短话认红样说明明？
点纳说明该命题成立举出符合该命题条件符合该命题结例子种方法称举反例
例4 列五命题中假命题？举反例说明．
①相等角顶角②错角相等③垂线段短
④三角形里定2钝角⑤面互重合两条直线行相交．
二课堂结
1表示判断某事件语句做______．正确命题称___命题错误命题称___命题
2许命题写成果…………形式．中果开始部分_____开始部分_____．
堂检测
1．列语句中命题（ ）
A．延长线段ABC B．正数总负数
C．点O作直线a∥b D．锐角相等
2．命题果ab＝0a＝0 命题（填真假）
3．垂直条直线两条直线互相行命题条件 ．
4．列命题改写成果…………形式：
（1）命题顶角相等：果 ．
（2）命题行直线两直线行：果 __________ ．
（3）命题角补角相等：果 ．
5列句子命题？命题指出真命题假命题？
（1)错角相等
（2)画条直线
（3)四边形正方形
（4)作业做完？
（5)点P画线段MN垂线
（6)x＞2
6举反例说明列命题假命题．
(1)两角顶角两角相等
(2)ab＝0a＋b＝0
参考答案
学
知识链接
填填：（1）余 （2）行
二新知预
试试：(1)正确 (2)正确 (3)错误
合作探究
探究程
探究点1
例1 （1）× （2）× （3）√
针训练（1）× （2）√ （3）√ （4）×
例2 解：果三角形等边三角形三角形三条边相等该命题条件三角形等边三角形结三角形三条边相等．
点纳真 假
例3 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）√
针训练A
探究点2：
例4 解：①假命题图①30°角顶角
②假命题图②错角相等
③真命题
④假命题三角形三角分50°60°70°中钝角没
⑤真命题
二课堂结 命题 真 假 条件 结
堂检测
1．B 2．假 3．两条直线垂直条直线
4．（1）两角顶角 两角相等
（2）两条直线行条直线 两条直线行
（3）两角角补角 两角相等
5解：（1)假命题． （2)命题． （3)假命题．
（4)命题． （5)命题． （6)命题．
6解：（1）图∠1∠2顶角相等
（2）a0b2时ab0a+b≠0
2 定理证明
学目标：
1解命题基事实 定理含义理解证明必性
2培养学生说理条理表达想法良意识 掌握证明步骤书写格式
3够判定命题真假进行说明够判定命题否存逆命题（重点难点）
学
知识链接
1什命题命题结构什
2命题分类证明命题假命题
二新知预
填写列命题：
（1）两点确定 条直线
（2）两点间 短
（3）直线外点 条直线条直线行
（4）两条直线第三条直线截果位角相等两条直线
思考：命题真命题？般？
合作探究
探究程
探究点1：定理
概念提出基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做_______
问题 学定理？请写出定理名称
例1 列命题中属基事实 （填序号）
①角余角相等②n边形角（n2）×180°③两条直线垂直条直线两条直线垂直
探究点2：证明
问题 前面学举反例说明假命题成立判断命题否正确呢？
点纳根条件定义基事实定理等演绎推理判断命题否正确种推理程做证明
样文字叙述命题证明应列步骤进行：
第步题意画图文字语言转换符号（图形）语言
第二步根图形写出已知求证
第三步根基事实已定理进行证明
例2 C
A
B
D
E
F
1
2
已知：图AB⊥BCBC⊥CD∠1∠2求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BCBC⊥CD（已知）
∴ 90°（ ）
∵∠1∠2（已知）
∴ （等式性质）
∴BE∥CF（ ）
纳总结结逆推进行分析出条件反程证明结程．
针训练求证：直角三角形两锐角互余．
二课堂结
1长期实践中总结出真命题命题做
2基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做
3根条件定义基事实定理等演绎推理判断命题否正确样推理程做
堂检测
1列说法错误( )
A．定理真命题 B．基事实真命题
C．证明真命题 D．假命题命题
2．命题直线外点条直线条直线行( )
A．定义 B．定理
C．基事实 D．定义
3图面证明正确( )
A．AB∥CD∠1∠3 B．∠2∠4AB∥CD
C．AE∥CF∠2∠4 D．∠1∠3AE∥CF
第3题图 第4题图
4图完成列证明程
①∵∠1∠2(已知)∴ ∥ ( )．
②∵∠3∠4(已知)∴ ∥ ( )．
③∵ + 180°∴AB∥CD．
5图△ABC中DEF分ABACBC点DE∥BCEF∥AB．求证：
∠ADE∠EFC．
6证明：三角形外角等相邻两角．（提示：C作CE∥AB）
参考答案
学
知识链接
（1）表示判断语句做命题命题条件结两部分组成
（2）命题分真命题假命题两类判断命题假命题举出例子说明该命题成立举出符合该命题条件符合该命题结例子
二新知预（1） （2）线段 （3） （4）行
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出定理
例1 ①②
探究点2：
例2 ∠ABC ∠BCD 垂直定义 ∠EBC ∠FCB 错角相等两直线行
针训练 已知：△ABC中∠C＝90°．
求证：∠A∠B互余．
证明：图
∵∠A+∠B+∠C＝180°∠C＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∴∠A∠B互余
二课堂结 基事实 定理 证明
堂检测
1C 2C 3B
4①AD BC 错角相等两直线行
②AB CD 错角相等两直线行
③∠ABC ∠BCD(∠BAD ∠ADC)
5证明： ∵DE∥BC(已知)∴∠ADE∠B (两直线行位角相等)．
∵EF∥AB(已知)∴∠EFC∠B(两直线行位角相等)．∴∠ADE∠EFC(等量代换)．
6已知：图∠ACD△ABC外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B
证明：C作CE∥AB∴∠ACE＝∠A(两直线行错角相等)
∠ECD＝∠B(两直线行位角相等)∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE(已知)
∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换)．
132 三角形全等判定
1全等三角形
2全等三角形判定条件
学目标：
1解全等形全等三角形概念正确识全等三角形应元素
2掌握全等三角形应边相等应角相等性质（重点）
3够利全等三角形性质解决问题（难点）
学
知识链接
1已知△ABC
（1）画出△ABC右移1 cm△DEF
（2）△ABC△DEF应点分_____________________________应边分___________________________应角分_____________________________
二新知预
1观察列组图片思考问题
问题图中形状相图形试指出够完全重合举出类似例子
合作探究
探究程
探究点1：全等三角形性质
问题1：观察思考：根移特点说说述△ABC△DEF形状什特点？
点纳够完全重合两三角形做全等三角形
例1 判断（正确√错误×）：
(1)全等三角形应边相等应角相等 ( )
(2)全等三角形周长相等 ( )
(3)面积相等三角形全等三角形 ( )
(4)全等三角形面积相等． ( )
问题2：观察面两组图形全等三角形？什？
① ② ③
点纳全等三角形应边______应角________
A
B
C
D
E
F
例2 图△ABC ≌△DEF完成列填空：
点A_____点B_____点C_____应顶点
AB_____BC_____AC_____应边
∠A_____∠B_____ ∠C_____应角
针训练图△BOD≌△COE∠B＝∠C指出两全等三角形应边△ADO≌△AEO指出两三角形应角．
方法总结找全等三角形应元素关键准确分析图形外记全等三角形时应顶点写应位置样较容易写出应角应边．
例3 图△ABD≌△CDBAB4AD5BD6求BCCD长
方法总结题考查运全等三角形性质求角度数线段长解决问题关键准确识图形．
针训练图△ABC≌△DEF∠A＝70°∠B＝50°BF＝4EF＝7求∠DEF度数CF长．
探究点2：全等三角形判定条件
探索发现
1条件：条边家分画出三角形组交流画三角形否全等角家分画出三角形组交流画三角形否全等．
2出两条件画三角形时种情况？两三角形定会全等？分面条件刻度尺量角器画三角形周围学较画图形否全等．
①三角形角60°条边3 cm
② 三角形两角分30°70°
③ 三角形两条边分3 cm5 cm．
画图学较程中出什结？
纳总结面探索发现知道两三角形组两组应相等元素（边角）两三角形定全等
二课堂结
全等三角形概念
图示
表示方法
性质
全等变换
够完全重合两三角形做全等三角形．
△ABC≌△A1B1C1
_______相等_______相等
ABA1B1
∠A∠A1
翻折移旋转三角形原三角形______
堂检测
1图△ABC≌△BAD果AB5cm BD4cmAD6cm BC长 （ ）
A6cm B5cm
C4cm D法确定
第1题图 第3题图
2题中∠CAB应角 （ ）
A∠DAB B∠DBA
C∠DBC D∠CAD
3图已知△ABC≌△A＇B＇C＇∠A＝30°∠B＝130°∠C′＝ °．
4图已知△ABC≌△DEFAC＝4BC＝3EF长 ．
第4题图 第5题图
5图已知△ABC≌△DEF∠A＝80°∠B＝65°∠F °．
6图已知△ABC≌△FEDAF＝8BE＝2．
（1）求证：AC∥DF
（2）求AB长．
参考答案
学
知识链接
1解：（1）画图略．
（2） 点A应点D 点B应点E点C应点F AB应DEBC应EFAC应DF ∠A应∠D∠B应∠E∠C应∠F
合作探究
探究程
探究点1
例1 1(1)√ (2)√ (3)× (4)√
点纳相等 相等
例2 D E F DE EF DF ∠D ∠E ∠F
针训练
解：△BOD≌△COE应边：BOCOODOEBDCE△ADO△AEO应角：∠DAO∠EAO∠ADO∠AEO∠AOD∠AOE．
例3 解：∵△ABD≌△CDB．∴BCADCDAB．∵AB4AD5．∴BC5CD4．
针训练
解：∵△ABC≌△DEF∴∠DEF∠B50°BCEF7∴CFBC BF743．
二课堂结
应边 应角 全等
堂检测
1A 2B 320 43 535
6（1）证明：∵△ABC≌△FED∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．
（2）解：∵△ABC≌△FED∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝5
3 边角边
学目标：
1．掌握三角形全等条件边角边(SAS)（重点）
2．历探索三角形全等条件程体会利操作纳获数学结程
3．运SAS证明简单三角形全等问题．（难点）
学
知识链接
1全等三角形应边 应角
2画图：（1）画线段AB2a
（2）∠C∠α
二新知预
两条边角分应相等两三角形全等呢？
1画△ABC求ABaACb∠BAC∠α
思考：学画三角形否模样发现什？
合作探究
探究程
探究点1：利边角边（SAS）证明三角形全等
问题：根述作图结合ABAC∠BAC位置关系发现什？
点纳基事实 两边夹角分相等两三角形 (简记 边角边)
语言
图．
例1图ABCB∠1 ∠2 求证
（1）ADCD
（2）DB 分∠ADC
A
D
B
C
1
2
4
3
变式题图ADCDDB分∠ADC 求证∠A∠C
A
D
B
C
1
2
4
3
探究点2：运边角边（SAS）解决实际问题
例2图池塘测池塘两端AB距离先取直接达AB点C连接AC延长点DCD＝CA连接BC延长点ECE＝CB．连接DE量出DE长AB距离请说明理
方法总结证明线段相等者角相等时常常通证明全等三角形应边应角解决
针训练
图点AEFC条直线AD∥BCAD＝CBAE＝CF．求证：BE＝DF．
二课堂结
简称
图示
符号语言
两边夹角应相等两三角形全等
边角边SAS
∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)．
注意：角指两边___角
堂检测
1图点EFACAD＝BCDF＝BE△ADF≌△CBE（SAS）需添加条件 ．（添加条件）
第1题图 第2题图 第3题图
2 两根钢条AB′A′B中点连起做成测量工件槽宽工具（卡钳）．图测AB5厘米槽宽_______米
3图已知AC＝DB∠ACB＝∠DBC推出△ABC≌△DCB ．
4列图形中没全等三角形？果请说明全等．
5列推理中填写需补充条件结成立
△AEC△ADB中
∴△AEC≌△ADB（ ）
6图ABDBCBEB∠1＝∠2求证∠A∠D
7图点ADCB条直线AD＝BCAE＝BFAE∥FB求证：CE∥DF．
参考答案
学
知识链接
1相等 相等
2图略
二新知预
1解：图示
合作探究
探究程
探究点1
点纳全等 SAS
语言AB DE ∠A ∠D AC DF ≌
例1 证明：（1）△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴ADCD
（2）∵△ABD≌△CBD∴∠3∠4∴DB 分∠ADC
变式题 证明：∵DB分∠ADC∴∠3∠4△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD∴∠A∠C
探究点2
例2 解：△ACB△DCE中∴△ACB≌△DCE（SAS）∴ABDEDE长AB距离．
针训练 证明：∵AD∥BC∴∠A＝∠C．∵AE＝FC∴AF＝CE．△ADF△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）．∴BE＝DF．
二课堂结 夹
堂检测
1 ∠D＝∠B 2005
3SAS（边角边）
4解：甲丙全等：SAS 5 AC AB AE AD SAS
6证明：∵ ∠1＝∠2(已知)∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC ∠ABC＝∠DBE △ABC△DBE中∴△ABC≌△DBE(SAS)∴ ∠A∠D
7证明：∵AD＝BC∴AD+DC＝BC+DC∴AC＝BD．∵AE∥BF∴∠A＝∠B．△ACE△BDF中∴△ACE≌△BDF（SAS）．∴∠ACE＝∠BDF．∴CE∥DF．
4 角边角
第1课时 角边角
学目标：
1掌握三角形全等判定方法角边角（ASA）（重点）
2应角边角证明两三角形全等进证明线段角相等（难点）
学
知识链接
1够 两三角形做全等三角形
2已掌握判定两三角形全等方法
边角边： 应相等两三角形全等
二新知预
1三角形中研究已知两边角情况天接着探究已知两角边否判断两三角形全等三角形中已知两角边分种呢？
2现实情境：张教学三角板硬纸心撕坏图示制作张原样新道具？ 恢复原三角形原貌？
（1） ①模板画画原？
（2） ②模板画画原？
（3） ③模板画画原？
（4） 第③块中三角形边角六元素中固定变元素_____________
猜想两角夹边分相等两三角形_______
合作探究
探究程
探究点1：利角边角（ASA）证明三角形全等
A
B
C
问题：先意画出△ABC画△A′B′C′A′B′AB∠A′∠A∠B′∠B画△A′B′C′剪放△ABC全等？出什结？
点纳 分相等两三角形全等(简称角边角ASA)
语言
图△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF
例1 图∠ABC＝∠DCB∠ACB＝ ∠DBC求证：△ABC≌△DCB．
针训练图AD∥BCBE∥DFAE＝CF求证：△ADF≌△CBE
探究点2：全等三角形判定（角边角）性质综合运
例2 图点DAB点EACABAC ∠B∠C求证：ADAE
方法总结证明线段角度相等先证两三角形全等利应边应角相等解决
二课堂结
全等三角形判定定理
简称
图示
符号语言
两角夹边应相等两三角形全等
角边角ASA
∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．
易错提醒：三角分相等两三角形________全等(填定定)
堂检测
1△ABC△DEF中AB＝DE∠B＝∠E△ABC≌△DEF列条件中正确（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠F C．∠A＝∠D D．∠C＝∠B
2 △ABC△A′B′C′中已知∠A＝44°∠B＝67°∠C′＝69° ∠A′＝44°
AC＝A′C′两三角形（ ）
A．定全等 B．定全等 C．定全等 D．
3图已知∠ACB∠DBC∠ABC∠CDB判断△ABC△DBC否全等：
第3题图 第4题图
4图∠ACB∠DFEBCEF需补充条件： ASA判定△ABC≌△DEF
5图ACBD相交点O∠OAB＝∠OBAOA＝OB∠DAB＝∠CBA．求证：△DAO≌△CBO．
拓展提升
6 图测量河流AB长法测河流附点AAB线外取点DAB延长线取点E连接EDBD延长BD点GDG＝BD延长ED点FDF＝ED连接FG延长FG点H点HDA直线．求证：HGAB．
参考答案
学
知识链接
1完全重合 2两三角形两边 夹角
二新知预
1答：角边角：两角夹边 角角边：两角中角应边
2（1） （2） （3） （4）两角夹边
猜想全等
合作探究
探究程
探究点1
点纳两角夹边
语言∠A ∠D AC DF ∠C ∠F
例1 证明：△ABC△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA）．
针训练 证明：∵AD∥BCBE∥DF∴∠A∠C∠DFE∠BEC∵AECF∴AE+EFCF+EFAFCE．△ADF△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）
探究点2
例2 证明：△ABE△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA）∴ADAE．
二课堂结 定
堂检测
1C 2 B 3全等 4∠B∠E
5证明：∵∠OAB＝∠OBA∠DAB＝∠CBA∴∠DAO＝∠CBO△DAO△CBO中∴△DAO≌△CBO（ASA）．
6证明：∵DB＝DG∠BDE＝∠GDFDE＝DF∴△BED≌△GFD（SAS）∴∠EBD＝∠FGD∴∠ABD＝∠HGD．∵BD＝GD∠ADB＝∠HDG∴△ABD≌△HGD（ASA）∴AB＝GH．
第2课时 角角边应线段相等
学目标：
1掌握三角形全等条件判定方法角角边（AAS）（重点）
2应角角边证明两三角形全等进证明线段角相等（难点）
学
知识链接
1够 两三角形做全等三角形
2已学判定两三角形全等方法
边角边（SAS）： 应相等两三角形全等
角边角（ASA）：两角________应相等两三角形全等．
二新知预
三角形中研究已知两边角已知两角夹边天接着探究已知两角边否判断两三角形全等三角形中已知两角边分成种情况？
合作探究
探究程
探究点1：利角角边（AAS）证明三角形全等
做做：已知三角形两角分60°45°45°边边长3cm画出三角形
问题：里条件角边角中条件什相点点？
点纳 相等两三角形全等(简称角角边AAS)
语言图△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF
例1 图△ABC△DEF中∠A＝∠D∠B＝∠EACDF求证：△ABC≌△DEF．
探究点2：全等三角形判定（角角边）性质综合运
例2图△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线m点ABD⊥直线mCE⊥直线m垂足分点DE求证：
（1）△BDA≌△AEC
（2）DE＝CE＋BD
方法总结利全等三角形解决线段间关系线段相等关系差关系等解决问题关键运全等三角形判定性质进行线段间转化．
针训练 图已知△ABC六元素面甲乙丙三三角形中△ABC全等图形 ．
探究点3：全等三角形应线段相等
例3 图△ABC≌△DEF中AHDG分BCEF边中线求证：AHDE
点纳两全等三角形应边中线高应角分线相等
二课堂结
全等三角形判定定理
简称
图示
符号语言
两角分相等中组等角边相等两三角形全等
角角边AAS
∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)．
推：角角边利三角形角定理转化成角边角证明两三角形全等
堂检测
1△ABC△DEF中AB＝DE∠B＝∠E△ABC≌△DEF 列补充条件中错误（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2图AB＝AC点DE分ABAC补充列条件判断△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
第2题图 第3题图 第4题图
3图∠ACB∠DFEBCEF应需补充条件： AAS证明△ABC≌△DEF
4图BA⊥ACCD∥ABBC＝DEBC⊥DEAB＝2CD＝6AE＝ ．
5图AB⊥BCAD⊥DC∠1＝∠2求证：AB＝AD．
6．图∠1＝∠2AD＝AB∠AED＝∠C求证：△ADE≌△ABC．
拓展提升
7 图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等
参考答案
学
知识链接 1完全重合 2两边 夹角 夹边
二新知预 两角夹边两角中角边两种情况
合作探究
探究点1 做做：解：图示：
问题：相点：已知两角条边 点：角边角两角夹边应相等角角边两角分相等中组等角边相等
点纳两角分相等中组等角边
语言∠A ∠D ∠C ∠F AB DE
例1 证明：△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF．
探究点2
例2 证明：（1）∵BD⊥mCE⊥m∴∠ADB∠CEA90°∴∠ABD+∠BAD90°
∵∠BAC90°∴∠BAD+∠CAE90°∴∠ABD∠CAE△BDA△AEC中∴△BDA≌△AEC（AAS）
（2）∵△BDA≌△AEC∴BDAEADCE∴DEDA+AECE+BD．
探究点3
例3 证明：∵△ABC≌△DEF∴ABDEBCEF∠ABC∠DEF∵AHDG分BCEF边中线∴BHBCEGEF∴BHEG∴△ABH≌△DEG∴AHDG
针训练 乙丙
堂检测
1A 2D 3∠A∠D 44
5证明：∵AB⊥BCAD⊥DC∴∠B＝∠D＝90°．∵△ABC△ADC中∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD．
6证明：∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE∠DAE＝∠BAC．△ADE△ABC中∵∴△ADE≌△ABC（AAS）．
7 证明：∵∠BCE∠ACD90°∴∠3+∠4∠4+∠5∴∠3∠5△ACD中∠ACD90°∴∠2+∠D90°∵∠BAE∠1+∠290°∴∠1∠D△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）
5 边边边
学目标：
1探索三角形全等条件（重点）
2掌握边边边（SSS）判定三角形全等方法够应（难点）
学
知识链接
1前面学种证明三角形全等方法？请列出（简写法）
2种证明方法什特点？
二新知预
试试：准备长13cm细绳
（1）学起根绳折成边长分3cm4cm6cm三角形折出三角形学折出三角形进行较重合？__________
（2）学起根绳余1cm余部分折成边长分3cm4cm5cm三角形学折出三角形进行较重合？__________
（3）根绳取组够构成三角形三边长数桌分数折三角形折成两三角形重合？____
合作探究
探究程
探究点1：利边边边（SSS）证明三角形全等
问题 根述画图意两三边应相等三角形全等？
点纳基事实 三边分相等两三角形全等
例1 图AB＝DEAC＝DF点EC直线BFBE＝CF求证：△ABC≌△DEF
方法总结判定两三角形全等先根已知条件求证结确定三角形然根三角形全等判定方法缺什条件证什条件．
针训练图点CAB中点AD＝CECD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
探究点2：全等三角形判定（边边边）性质综合运
例2 图已知ACBE交点DADCDBDDEAEBCAEBC位置关系样？说明理．
例3 图△ABC钢架AB＝ACAD连接点ABC中点D支架AD⊥BC？请说明理．
方法总结垂直关系转化证明两角相等利全等三角形证明两角相等全等三角形间接应．
针训练雨伞中截面图示伞骨AB＝AC支撑杆OE＝OFAE＝ABAF＝ACOAD滑动时雨伞开闭问雨伞开闭程中∠BAD∠CAD关系？说明理．
二课堂结
容
边边边
三边分相等两三角形________(简写边边边________)．
△ABC△A′B′C′中
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
两三角形中果两边应相等没角应相等时通寻找构造组边相等利SSS证明全等
堂检测
1 图DF线段BC两点ABCEAFDE△ABF≌△ECD 需添加条件：___________________
2图ABCDACBD△ABC△DCB否全等？请完成列解题步骤
解： △ABC≌△DCB
理：
△ABC△DCB中
∴△ABC ≌ ________（ ________ ）
3图 已知点BDAFACFEADFBBCDE求证：
(1)△ABC≌△FDE
(2) ∠C ∠E
4图AB＝CBAD＝CD求证：∠A＝∠C．
参考答案
学
知识链接
1解：边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）
2解：边角边（SAS）已知两边夹角分相等角边角（ASA）已知两角夹边分相等角角边（AAS）已知两角分相等中组等角边相等证明方法源已知条件
二新知预 （1） （2） （3）
合作探究
探究点1
例1 证明：∵BECF∴BE+ECEC+CFBCEF△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）．
针训练证明：∵点CAB中点∴AC＝CB．△ACD△CBE中∴△ACD≌△CBE（SSS）．
探究点2
例2 解：AEBC行理：△ADE△CDB中∴△ADE≌
△CDB（SSS）∴∠DAE∠DCB∴AE∥BC
例3 解：AD⊥BC．理：∵AD连接点ABC中点D支架∴BD＝DC．
△ABD△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC．∵∠ADB+∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°AD⊥BC．
针训练解：∠BAD＝∠CAD．理：∵AB＝ACAE＝ABAF＝AC∴AE＝AF．△AOE△AOF中∴△AOE≌△AOF（SSS）∴∠BAD＝∠CAD．
二课堂结
全等 SSS
堂检测
1 BFCD BDFC 2BC CB △DCB SSS
3证明：（1）∵ ADFB∴ABFD△ABC△FDE 中∴△ABC≌△FDE（SSS）
（2）∵ △ABC≌△FDE∴ ∠C∠E
4证明：连接BD△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD（SSS）∴∠A＝∠C．
6 斜边直角边
学目标：
1历探索直角三角形全等条件程体会利操作纳获数学结程
2掌握直角三角形全等条件运解决实际问题（重点）
3熟练运直角三角形全等条件解决实际问题（难点）
学
知识链接
1已学判定三角形全等方法___________________ （简写法）
2图点CFBEAB⊥BEBDE⊥BEE
（1）∠A∠DABDE△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
（2） ∠A∠DBCEF△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
（3） ABDEBCEF△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
二新知预
1图已知ACDFBCEF∠B∠E
（1）△ABC△DEF全等？
A
B
C
D
E
F
（2）∠B∠E90°猜想Rt△ABCRt△DEF否全等动手画画
合作探究
探究程
探究点1：利斜边直角边（HL）证明三角形全等
问题1：两直角三角形中斜边锐角应相等两直角三角形全等？什？
问题2：两直角三角形中条直角边锐角应相等两直角三角形全等？什？
做做：张空白纸意画出Rt△ABC∠C90°画Rt△A ′B ′C ′∠C′90 °B′C′BCA ′B ′AB画Rt△A′B′ C′ 剪放Rt△ABC重合？
点纳
分相等两直角三角形全等(简称斜边直角边HL)
语言
图 Rt△ABC Rt△A ′B ′C ′中
∵
∴Rt△ABC____Rt△A ′B ′C ′（HL）
例1 图 ∠ACB ∠ADB90°证明△ABC≌△BAD需什条件？条件写出相应括号填写出判定全等理
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
变式题图AC＝BDAD⊥ACBC⊥BD．求证：AD＝BC．
例2 图DE⊥ACEBF⊥ACFAD＝BCDE＝BF求证：AB∥DC．
探究点2：证明直角三角形全等综合判定
例3图△ABC中ABACBD⊥ACCE⊥AB．求证：BDCE．
点纳证明直角三角形全等仅HL前面学SASAASASASSS
二课堂结
直角三角形全等判定
简称
图示
符号语言
斜边条直角边分相等两直角三角形全等
斜边直角边HL
∴Rt△ABC≌Rt△A ′B ′C ′(HL)．
注意：利斜边直角边证明两三角形全等前提条件直角三角形中
堂检测
1判断两直角三角形全等方法正确（ ）
A两条直角边应相等 B斜边锐角应相等
C斜边条直角边应相等 D两锐角应相等
2图△ABC中ABACAD高△ADB△ADC （填全等全等）
（简写法）
第2题图 第3题图
3图△ABC中AD⊥BC点DCE⊥AB点EADCE交点H．已知EH＝EB＝3AE＝4CH 长
4图EF线段AC两点DE⊥AC点EBF⊥AC点FAB＝CDAE＝CF．求证：BF＝DE．
变式题1图已知AE＝CFAB＝CDDE⊥AC点EBF⊥AC点FBDEF交点G求证：BD分EF．
变式题2图ABCD BF⊥ACDE⊥ACAECFBDEF交点G求证：BD分EF
参考答案
学
知识链接
1SASASAAASSSS
2（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS
二新知预
1（1）定全等． （2）全等画图略
合作探究
探究程
探究点1
点纳斜边条直角边
语言AB A＇B＇ AC A＇C＇ ≌
例1 （1）ACBD HL （2）BCAD HL （3）∠ABC∠BAD∠CAB∠DBA AAS
变式题 证明：连接DC∵AD⊥ACBC⊥BD∴∠A∠B90°Rt△ADCRt△BCD中∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）∴ADBC．
例2 证明：∵DE⊥ACBF⊥AC∴∠AED＝∠CFB＝90°∠AFB＝∠CED＝90°．Rt△ADERt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）．∴AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．△AFB△CED中∴△AFB≌△CED （SAS）∴∠ACD＝∠BAC∴AB∥CD．
探究点2
例3 证明：∵BD⊥ACCE⊥AB∴∠ADB∠AEC90°．△ABD△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BDCE．
堂检测
1D 2全等 HL 31
4证明：∵DE⊥ACBF⊥AC∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE．
变式题1证明：∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴DE＝BF△DEG△BFG中
∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG∴BD分EF．
变式题2证明：∵AECF∴AF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE．△BFG△EDG中
∴△BFG≌△EDG（ASA）．∴FG＝EGBD分EF．
133 等腰三角形
1 等腰三角形性质
学目标：
1理解等腰三角形等边三角形关概念
2助轴称图形性质理解等腰（边）三角形性质（重点）
3运等腰（边）三角形性质解决关问题（难点）
学
知识链接
1 三角形边分类分 三角形 三角形 三角形
2 证明两三角形全等方法
二新知预
根已知识完成题：
1两条边相等三角形做 相等两边做 边
做 两腰夹角做 腰底边夹角做 (请图中标出）
2（1）已知等腰三角形周长14 cm边长6 cm外两边
（2）等腰三角形顶角150°底角
合作探究
探究程
探究点1：等腰三角形性质
活动：图张长方形纸片图中虚线折剪阴影部分展开△ABC什特点？
问题1 △ABC等腰三角形？果请指出腰底角
问题2 剪三角形ABAC重合时发现∠A∠C什特点？
点纳等腰三角形两底角相等（简写成 ）
例1 图△ABC中已知ABACBC分∠ABD∠A100°求∠1度数．
问题3 前面活动中ADBC位置关系什？量量∠BAD∠CAD度数发现什？
点纳等腰三角形底边中线高顶角分线互相重合（简称 ）
例2 图△ABC中ABACADBC边中线EAD点求证：BECE．
纳总结
1．三线合证明两角相等两线段相等两条直线互相垂直重
2．三线合逆：三角形中已知三线中二线重合（高角分线重合）直接说明三角形等腰三角形通三角形全等证明三角形等腰三角形
例3 图点DE△ABC边BCADAEABAC求证：BDCE．
探究点2：等边三角形概念性质
问题 根学知识知道等边三角形三条边相等．试根等边等角说说等边三角形三角关系
点纳等边三角形性质定理：等边三角形 角相等角等 ．
例4 图已知等边△ABC中DAC中点CEBC延长线CECD．求∠BDE度数．
二课堂结
容
等腰三角形
概念
相等三角形做等腰三角形
性质定理
（1）等腰三角形 相等（简称 ）
（2）等腰三角形 重合（简称 ）
等边三角形
概念
三边 三角形做等边三角形
性质定理
等边三角形 相等角等
堂检测
1等腰三角形底角40°顶角（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
变式题等腰三角形外角等100°相邻两角度数分（ ）
A．40° 40° B．80° 20°
C．50° 50° D．50° 50°80° 20°
2图已知OA＝OB＝OCBC∥AO．∠A＝36°∠B等（ ）
A．54° B．60° C．72° D．76°
第2题图 第3题图 第4题图
3图△ABC中AB＝AC∠A＝36°BD分∠ABC交AC点D∠ADB度数 ．
4．图△ABC中AE中线AD高∠BAD∠EAD．BC10DC ．
5．图△ABC中ABACD△ABC点BDDC．求证：∠ABD∠ACD．
6图△ABC等边三角形AD⊥BC点DDE⊥AC点E求∠ADE度数．
参考答案
学
知识链接
1三条边相等 等腰 等边
2SAS ASA AAS SSS HL
二新知预
1等腰三角形 腰 底边 顶角 底角
2（1）6cm2cm4cm4cm （2）15°
合作探究
探究程
探究点1
点纳等边等角
例1 解：∵ABAC∠A100°∴∠ABC∠C40°∵BC分∠ABD∴∠1∠ABC
∠ ABD∴∠1∠C40°
点纳 三线合
例2 证明：∵ABACADBC边中线∴AD分∠BAC∠BAE∠CAE△ABE△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BECE
例3 证明：作AF⊥BC点F∵AD＝AEAB＝AC∴BF＝CFDF＝EF
∴BF﹣DF＝CF﹣EF∴BD＝EC
探究点2
点纳三 60°
例4 解：∵△ABC等边三角形∴∠ACB∠ABC60°ABBC∵DAC中点
∴∠DBC∠ABC×60°30°．∵DCCE∴∠E∠CDE．∵∠ACB∠E+∠EDC60°
∴∠E∠CDE30°．∴∠BDE180°30°30°120°．
二课堂结
容
等腰三角形
概念
两条边 相等三角形做等腰三角形
性质定理
（1）等腰三角形 底角 相等（简称 等边等角 ）
（2）等腰三角形 顶角分线 底边中线 底边高 重合（简称 三线合 ）
等边三角形
概念
三条边 相等 三角形做等边三角形
性质定理
等边三角形 三角 相等角等 60°
堂检测
1D 变式题D 2C 3108° 4．75
5证明：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB．∵BD＝CD．∴∠1＝∠2．∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2．∠ABD＝∠ACD．
6解：∵△ABC等边三角形∴∠C＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC点D∴∠DAC＝30°∵DE⊥AC∴∠DEA＝90°∴∠ADE＝60°．
133 等腰三角形
2 等腰三角形判定
学目标：
1掌握判定等腰（边）三角形判定定理（重点）
2运等腰（边）三角形判定定理解决关问题（难点）
学
知识链接
等腰三角形性质：
（1）边：等腰三角形 相等．
（2）角：等腰三角形 相等．简写成 ．
（3）重线段：等腰三角形底边 顶角 互相重合．简称 ．
二新知预
1图△ABC中AD∠BAC分线∠B∠C求证：ABAC
思考：三角形中果两角相等等腰三角形？
合作探究
探究程
探究点1：等角等边
活动：请出张半透明纸方法进行操作：
（1）半透明纸画条线段BC
（2）BC始边分点B点C顶点BC侧量角器画两相等角两角终边交点A
（3）刻度尺找出BC中点D连接AD然△ABCAD折．
问题1：ABAC否重合？
问题2：等边等角实验条件结描述？
点纳等腰三角形判定定理：果三角形 相等两角边相等（简称 ）．
例1图△ABC中∠A36°∠C72°∠ABC分线交AC点D求证：△BCD等腰三角形
方法总结证三角形等腰三角形证出两条边相等等角等边证明两边相等重常方法．
针训练图AE△ABC外角分线AE∥BC．求证：△ABC等腰三角形．
探究点2：等边三角形判定
问题1：图△ABC中∠A∠B∠C 根等角等边试说明间关系样？
点纳等边三角形判定定理： 相等三角形等边三角形．
符号语言：∵∠ ∠ ∠ ∴△ABC．
问题2：△ABC中ABAC∠A60°试说明△ABC形状？
点纳等边三角形判定定理：角 等腰三角形等边三角形．
符号语言：∵ ∠ °∴△ABC．
例2 已知：图等边三角形ABC三边分取点DEFADBECF．
求证：△DEF等边三角形．
二课堂结
容
等腰三角形判定定理
果三角形 相等三角形等腰三角形．中两相等角边相等．（简称 ）．
等边三角形判定定理
（1） 相等三角形等边三角形．
（2）角 等腰三角形等边三角形．
堂检测
1．图中△ABC等腰三角形（ ）
2．三角形外角130°相邻角65 °三角形（ ）
A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
3图△ABC中ABAC∠A36°BDCE分∠ABC∠BCD分线图中等腰三角形（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第3题图 第4题图 第6题图
4．图ACBD相交点OAB∥DCOAOBOC3OD
5△ABC中已知∠A＝60°判定△ABC等边三角形需添加条件：_________________（写出）．
6次夏令营活动中明学营A出发A北偏东 60°方C处先 正东方走200m达B北偏东30°方走恰达目C（图）知BC两相距 m．
7图AB＝BC∠CDE＝120°DF∥BADF分∠CDE求证：△ABC等边三角形．
参考答案
学
知识链接
（1）腰 （2）底角 等边等角 （2）中线 高 分线 三线合
二新知预
1证明思路：通证明三角形全等线段相等．
合作探究
探究程
探究点1
点纳两角 等角等边
例1 解：△ABC中∠A36°∠C72°∴∠ABC180°∠A∠C72°∠C∵BD分∠ABC∴∠ABD∠DBC36°∴∠BDC∠A+∠ABD36°+36°72°∠C∴BD＝BC∴△BDC等腰三角形
针训练证明：∵AE∥BC∴∠DAE＝∠B∠EAC＝∠C∵AE△ABC外角分线∴∠DAE＝∠EAC∴∠B＝∠C∴AB＝AC△ABC等腰三角形．
探究点2
点纳三角 A B C 等边三角形
点纳等60° AB BC B 60 等边三角形
例2 证明：∵△ABC等边三角形∴ABBCAC∵ADBECF∴AFBD．△ADF
△BED中∴△ADF≌△BED（SAS）∴DFDE．理DEEF∴DEDFEF．
∴△DEF等边三角形．
二课堂结
两角 等角等边 三角 等60°
堂检测
1C 2．C 3A 4．3 5AB＝AC（答案唯） 6200
7证明：∵DF分∠CDE∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE．∵∠CDE＝120°∴∠CDF＝60°．∵DF∥BA∴∠ABC＝∠CDF＝60°．∵AB＝BC∴△ABC等边三角形．
134 尺规作图
1作条线段等已知线段 2作角等已知角
3作已知角分线
学目标：
1解尺规作图概念会尺规作图法作线段角
2熟悉尺规作图步骤熟练运作图语言（重点）
3会作条线段等已知线段作角等已知角作已知角分线（难点）
学
新知预
直尺量角器圆规家熟悉工具家知道直尺画线量角器画角圆规画圆
请家画条长4cm线段画48°角画半径3cm圆
果刻度直尺圆规画出符合条件线段角
实际_______________直尺两种工具作图形方法称尺规作图
合作探究
探究程
探究点1：作条线段等已知线段
操作1 已知线段a直尺圆规准确画条线段等已知线段a
方法总结画条线段等已知线段先画出条射线然圆规射线端点圆心已知线段长半径截取该线段
针训练图已知线段a线段b画线段AB求ABba
探究点2：作角等已知角
操作2 已知∠AOB直尺圆规准确画∠A′O′B′求∠A′O′B′∠AOB
方法总结画角等已知角
(1)画射线OA
(2)∠MPN顶点P圆心适长半径画弧交∠MPN两边EF
(3)点O圆心PE长半径画弧交OA点C
(4)点C圆心EF长半径画弧交前条弧点D
(5)点D作射线OB∠AOB画角
问题 根作图程请说明操作2中∠A′O′B′∠AOB原
探究点3：尺规作已知角角分线
操作3 面步骤画图
（1）O圆心适长半径作弧分交OAOBMN．
（2）分MN圆心MN长半径作弧．两弧∠AOB部交点C．
（3）作射线OC射线OC求．
问题 根作图程说明OC∠AOB分线
二课堂结
容
作条线段等已知线段
（1）作射线A’C’ （2）点A’圆心AB长半径画弧交射线A’C’点B’A’B’求作线段
作角等已知角
（1）已知∠AOBO圆心取意长度半径作圆弧交∠AOB两条边CD（2）O’端点作条射线圆规取OC长度半径O’圆心画弧交射线C’（3）C’圆心CD长度半径作圆弧交第二步作圆弧D’点D’作射线O’ B’图示：∠A’ O’ B’∠AOB
作已知角分线
(1)作法：①点O圆心适长半径画弧交OA点M交OB点N②分MN圆心MN长半径画弧两弧相交∠AOB部点C③画射线OC射线OC求．(2)述作角分线理________．
堂检测
1．图李直尺圆规作∠CAB分线AD已知∠CAD＝25°∠DAB（ ）
A．30°
B．50°
C．25°
D．法结
2图AB∥CD点A圆心AC长半径作圆弧分交ABAC点EF分EF圆心EF长半径作圆弧两弧交点P作射线AP交CD点M．∠ACD＝110°∠CMA度数（ ）
A．30° B．35°
C．70° D．45°
第2题图 第3题图
3．图∠C＝90°根作图痕迹知∠ADC＝ °．
4已知∠α线段a求作△ABC∠A＝∠α∠B＝2∠αAB＝2α．（保留作图痕迹写作法）
参考答案
学
新知预
圆规 没刻度
合作探究
探究程
探究点1
操作1 解：图AC求作
针训练解：图AB求作
探究点2
操作2 解：图示：
问题 解：作图知ODO′D′OCO′C′CDC′D′∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）∴∠A′O′B′∠AOB
探究点3
操作3 解：图示：
问题 解：作图知ONOMCNCMOCOC∴△OCM≌△OCN（SSS）∴∠AOC∠BOCOC∠AOB分线
二课堂结 SSS
堂检测
1．C 2．B 3．70
4解：图△ABC作．
134 尺规作图
4已知点作已知直线垂线 5作已知线段垂直分线
学目标：
1学生学会利直尺圆规作已知直线垂线 (重点)
2学生学会利直尺圆规作已知线段垂直分线 (难点）．
学
新知预
1根节课知识作角ACB分线CD问：CD直线AB位置关系？
2．AB直线AB两定点AC＝BCAD＝BDCD重合问：CD垂直分AB？直线AB点C作出AB垂线？
合作探究
探究程
探究点1：已知点作已知直线垂线
问题1 根作角ACB分线CD试直线l点A作该直线垂线
操作1 直线AB外点C作直线AB垂线步骤画图：
（1）点C圆心意长半径作弧直线AB相交点D点E
（2）连接CDCE作∠DCE分线CF
（3）作直线CF
问题2 根述作图说明CF⊥AB
针训练利直尺圆规点H作OAOB垂线
探究点2：作已知线段垂直分线
操作2 已知线段AB步骤作出线段AB垂直分线CD
（1）分AB圆心AB长半径作弧两弧交点C点D
（2）作直线CD
思考1述作法中什AB长半径作弧
思考2根面作法中步骤请说明CD什AB垂直分线伴进行交流
纳总结运线段垂直分线尺规作图确定线段中点
二课堂结
容
已知点作已知直线垂线
（1）点直线
（2）点直线外
作已知线段垂直分线
分AB圆心AB长半径画弧两弧相交EF两点作直线EF_________垂直分线
堂检测
1．尺规作图：已知直线外点作条直线垂线列作图中正确（ ）
A． B． C． D．
2列四种基尺规作图中作法错误（ ）
A．作角等已知角 B．作角分线
C．作条线段垂直分线 D．直线外点P作已知直线垂线
3．尺规直线l点P作已知直线l垂线面作法合理序 ．
①分AB圆心AB长半径画弧两弧相交点C
②直线l点P两旁分截取线段PAPBPA＝PB
③点CP作直线CP直线CP求作直线．
4．尺规作图（写作法保留作图痕迹）：
图已知△ABC求作△ABC高AD．
参考答案
学
新知预
1解：CD⊥ABCD分角ACB∠ACD＝∠BCD＝90°CD⊥AB
2解：连接CD直线CD⊥AB
合作探究
探究程
探究点1
问题1 解：图示：
操作1 解：图示：
问题2 解：略
针训练解：图示：
探究点2
操作2 解：图示：
思考1解：AB长半径作弧没交点等AB长半径作弧交点AB中点
思考2解：SSS证明
二课堂结
直线EF
堂检测
1．B 2．C 3．②①③
4．图AD求．
135 逆命题逆定理
1互逆命题互逆定理
学目标：
1．学生理解互逆命题互逆定理概念通较提高学生辨析力
2．正确写出命题逆命题判断命题逆命题否逆定理（重点）
3．正确理解互逆命题互逆定理联系区（难点）．
学
知识链接
1_________________做命题．
2．命题分______________命题__________两部分组成写成果…………形式．
3．命题面点作已知直线垂线条直线条直线垂直改写成果…………形式_____________________________________________．
4数学中命题基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做__________
二新知预
说出列命题条件结：
1．两直线行错角相等 2．错角相等两直线行
3．a＝ba2＝b2 4．a2＝b2a＝b
观察面组命题发现1234两命题__________恰互相换位置．
纳般说两命题中果命题条件第二命题结第命题结第二命题条件两命题做_________．果中命题做________命题做逆命题．原命题正确逆命题定正确．
合作探究
探究程
探究点1：互逆命题
例1指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)果三角形直角三角形两锐角互余
条件：_____________________．
结：_____________________．
逆命题：_______________________________．逆命题___命题．
(2)全等三角形应角相等．
条件：____________________．
结：____________________．
逆命题：____________________________________________．逆命题___命题．
针训练指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)果数10整数定5整
条件：___________________．
结：___________________．
逆命题：________________________________．逆命题___命题．
(2)两条直线第三条直线截果错角相等两条直线行．
条件：________________________________________．
结：_________________．
逆命题：________________________________________．逆命题___命题．
变式题指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)等角等边
条件：____________________________．
结：____________________．
逆命题：___________．逆命题___命题．
(2)等边三角形三条边高相等．
条件：_______________________．
结：_______________．
逆命题：_________________________________________________．逆命题___命题．
探究点2：互逆定理
1．果定理逆命题定理两定理做________中定理做定理_______．
2．假命题逆命题真命题甚定理．
例2(1)命题：两直线行错角相等
逆命题：________________________．
_________
(2)命题：_____________________．
逆命题：顶角相等．
逆命题___命题_____．
二课堂结
容
互逆命题
果第命题条件第二命题_____第命题结第二命题_____两命题做互逆命题．
互逆定理
果定理逆命题______两定理做互逆定理．
堂检测
1．列命题逆命题真命题（ ）
A．位角相等
B．顶角相等
C．等边等角
D．全等三角形面积相等
2．列命题逆命题假命题（ ）
A．全等三角形面积相等
B．等腰三角形两底角相等
C．∠1+∠2180°∠1∠2互补角
D．aba3b3
3．位角相等逆命题_________________________．
4．已学定理例：①全等三角形应边相等②等腰三角形两底角相等③等边三角形三角相等．
述定理中存逆定理 （填序号）．
5．列定理中逆定理？果逆定理写出逆定理．
（1）全等三角形应角相等
（2）旁角互补两直线行．
6．写出命题等腰三角形底边高线中线互相重合逆命题判断真假真命题请证明假命题请举出反例．
参考答案
学
知识链接
1 表示判断语句 2．真命题 假命题 条件 结
3．果面点作已知直线垂线条直线条直线垂直
4．定理
二新知预 条件 结
纳互逆命题 原命题
合作探究
探究程
探究点1
例1 （1）三角形直角三角形 两锐角互余 果三角形两锐角互余三角形直角三角形 真
（2）两三角形全等三角形 应角相等 果两三角形应角相等两三角形全等 假
针训练(1)数10整 数定5整 果数5整数定10整 假
(2)两条直线第三条直线截错角相等 两条直线行 两条直线第三条直线截果两条直线行错角相等 真
变式题
(1)三角形中两角相等 两角边相等 等边等角 真
(2)三角形等边三角形 该三角形三条边高相等 果三角形三条边高相等三角形等边三角形 真
探究点2 互逆定理 逆定理
例2 (1)错角相等两直线行 互逆定理 (2)相等角顶角 真 定理
二课堂结 结 条件 定理
堂检测
1．C 2．A 3．相等角位角 4．①②③
5．解：（1）没全等三角形应角相等逆命题应角相等三角形全等三角形假命题
（2）逆定理：两直线行旁角互补．
6．解：逆命题：果三角形边高线中线互相重合三角形等腰三角形真命题．证明：
已知：图△ABC中AD⊥BCBD＝DC
求证：△ABC等腰三角形
证明：∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°△ADB△ADC中
∴△ADB≌△ADC（SAS）．∴AB＝AC△ABC等腰三角形．
135 逆命题互逆定理
2线段垂直分线
学目标：
1理解掌握线段垂直分线性质判定方法（重点）
2够运线段垂直分线性质判定解决实际问题．（难点）
学
知识链接
1线段______________条线段________做条线段垂直分线
2线段轴称图形称轴 线
二新知预
操作：图已知线段AB作直线MN垂直分线段AB
问题：（1）设两弧线交点P量出APPB长度什关系？
（2）学方法证明APBP关系．
合作探究
探究程
探究点1：线段垂直分线性质
问题 通述操作认线段垂直分线意点线段两端点距离什特点？
点纳线段垂直分线点线段两端距离________
例1图△ABC中AB＝AC＝20cmDE垂直分AB垂足E交ACD
△DBC周长35cmBC长( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．175cm
方法总结利线段垂直分线性质实现线段间相互转化求出未知线段长．
例2 已知图ΔABC中边ABBC垂直分线交P求证：PAPBPC
点纳三角形三边垂直分线交点点三角形三顶点距离_______
变式题某区政府方便居民生活计划三住宅区ABC间修建购物中心试问该购物中心应建处三区距离相等？图中作出购物中心位置．
例3图四边形ABCD中AD∥BCECD中点连接AEBE延长AE交BC延长线点FBE⊥AE求证：
(1)FC＝AD
(2)AB＝BC＋AD
方法总结证明线段相等常方法：1全等应线段相等2线段垂直分线性质出线段相等
探究点2：线段垂直分线判定
问题 写出垂直分线性质定理逆命题认真命题假命题？
点纳线段两端距离________点条线段______________
例4 图点E∠AOB分线点EC⊥OAED⊥OB垂足分CD连接CD
求证：OECD垂直分线
二课堂结
线段垂直分线判定
线段垂直分线性质判定
线段垂直分线性质
三角形三边垂直分线交点三角形三顶点距离______
证明线段相等
堂检测
1图直线CD线段AB垂直分线点P直线CD点PA5线段PB长（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
第1题图 第2题图 第3题图
2明做图示风筝中EHFHEDFD明说测量知道DHEF垂直分线．中蕴含道理
3图△ABC中AC垂直分线交AB点D∠A50°∠BDC °
4图△ABC中∠ACB＝90°BE分∠ABC交ACEDE垂直分ABD求证：BE+DE＝AC．
5图△ABC中AD高线段DC取点EBD＝DEAB+BD＝DC求证：点E线段AC垂直分线．
6图△ABC中已知AD分∠BACDE⊥AB点EDF⊥AC点F试说明ADEF关系．
拓展提升
7图四边形ADBC中ABCD互相垂直分垂足点O．
（1）找出图中相等线段
（2）OEOF分点O∠CAD两边距离试说明什关系
参考答案
学
知识链接
1中点 垂直 直线 2垂直分
二新知预
操作：图示：
问题：（1）APBP． （2）作图知MN垂直分AB设MNAB相交点CACBC∠ACP∠BCPCPCP△ACP≌△BCPAPBP
合作探究
探究程
探究点1：
点纳相等
例1 C
例2 证明：∵点P边ABBC垂直分线交点∴PAPBPBPC∴PAPBPC．
点纳相等
变式题解：图连接AB分AB圆心AB长半径画弧两弧交两点连接两点AB垂直分线理连接BC作出BC垂直分线两条直线交点P点P购物中心位置
例3 证明：（1）∵AD∥BC∴∠ADC∠ECF∵ECD中点∴DEEC．∵△ADE△FCE中∴△ADE≌△FCE（ASA）∴FCAD．
（2）∵△ADE≌△FCE∴AEEFADCF∴BE线段AF垂直分线∴ABBFBC+CF∵ADCF∴ABBC+AD．
探究点2：
点纳相等 垂直分线
例4 证明：∵OE分∠AOB∴∠COE∠DOE．∵EC⊥OAED⊥OB∴∠OCE∠ODE90°△OCE△ODE中∴△OCE≌△ODE（AAS）∴OCOD∵OE∠AOB分线∴OECD垂直分线．
二课堂结
相等
堂检测
1 B
2条线段两端点距离相等点条线段垂直分线
3100
4证明：∵∠ACB＝90°∴AC⊥BC∵ED⊥ABBE分∠ABC∴CE＝DE∵DE垂直分AB∴AE＝BE∵AC＝AE+CE∴BE+DE＝AC．
5证明：∵AD高∴AD⊥BC∵BD＝DE∴AD直线线段BE垂直分线∴AB＝AE∴AB+BD＝AE+DE∵AB+BD＝DC∴DC＝AE+DE∴DE+EC＝AE+DE∴EC＝AE∴点E线段AC垂直分线．
6解：AD垂直分EF理：∵AD分∠BAC∴∠EAD＝∠FAD∵DE⊥ABDF⊥AC∴∠AED＝∠AFD．△AED△AFD中∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE＝AFDE＝DF∴ADEF垂直分线AD垂直分EF．
7解：（1）∵ABCD互相垂直分∴OC＝ODAO＝OBAC＝BC＝AD＝BD
（2）OE＝OF理：△AOC△AOD中∴△AOC≌△AOD（SSS）∴∠CAO＝∠DAO∵OE⊥ACOF⊥AD∴∠AEO∠AFO∵AOAO∴△AOE≌△AOF（AAS）∴OE＝OF．
135 逆命题互逆定理
3角分线
学目标：
1理解掌握角分线性质定理逆定理（重点）
2利角分线性质定理逆定理证明相关结应（难点）
学
知识链接
知道角轴称图形称轴角分线直线试着图中画出∠ABC称轴BD
二新知预
图BD取点H点H∠ABC部作HE⊥ABHF⊥BC求证：HEHF
合作探究
探究程
探究点1：角分线性质定理
问题 根述作图证明认角分线点角两边作垂线两条垂线什关系？
点纳角分线性质定理 角分线点角两边距离 ___
例1 图D△ABC外角∠ACG分线点．DE⊥ACDF⊥CG垂足分EF．求证：CE＝CF．
例2 图AD△ABC角分线DE⊥AB垂足ES△ABC＝7DE＝2AB＝4AC长( )
A．6
B．5
C．4
D．3
方法总结利角分线性质作辅助线构造三角形高利三角形面积公式求出线段长度常方法．
针训练图OP∠MON分线点AON点作线段OA垂直分线交OM点B点A作CA⊥ON交OP点C连接BCAB＝10cmCA＝4cm．△OBC面积 cm2．
探究点2：角分线性质定理逆定理
问题 写出角分线性质定理逆命题真命题假命题？
点纳角分线性质定理逆定理
角部角两边距离相等点角
例3 图BE＝CFDE⊥AB延长线点EDF⊥AC点FDB＝DC求证：AD∠BAC分线．
方法总结证明条射线角分线方法两种：利三角形全等证明两角相等二利角分线性质定理逆定理．
针训练
图已知△ABC∠ABC∠ACB外角分线交点D求证：AD∠BAC分线．（提示：作辅助线图示）
二课堂结
容
角分线性质定理
角分线点角两边距离相等
果点P∠AOB分线PD⊥OA点DPE⊥OB点EPD＝________．
角分线性质定理逆定理
角部角两边距离________点角分线．
果点P∠AOB点PD⊥OA点DPE⊥OB点EPD＝PE点P∠AOB分线
堂检测
1图DE⊥ABDF⊥BG垂足分EF DE DF ∠EDB 60° ∠EBF______度BE________
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2图△ABC中 ∠C90°AD分∠CABBC8BD5点DAB距离______
3图已知△ABC周长21BOCO分分∠ABC∠ACBOD⊥BCDOD4△ABC面积________．
4图∠B＝∠C＝90°MBC中点DM分∠ADC∠ADC＝110°∠MAB＝ °．
5图△ABC中AB＝ACAD∠BAC分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF．面出四结①DA分∠EDF②AE＝AF③AD点BC两点距离相等④AEAF距离相等点DEDF距离相等．中正确结( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6图点BC分∠A两边点D∠A点DE⊥ABDF⊥AC垂足分EFAB＝ACDE＝DF．求证：BD＝CD．
参考答案
学
知识链接
解：称轴图示：
二新知预
证明：作图知BD分∠ABC∴∠FBH∠EBH∵EH⊥ABHF⊥BC∴∠BEH∠BFH∵BHBH∴△BEH≌△BFH∴EHFH
合作探究
探究程
探究点1
点纳相等
例1 证明：∵CD∠ACG分线DE⊥ACDF⊥CG∴DE＝DFRt△CDERt△CDF中∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）∴CE＝CF．
例2 D
针训练20
探究点2
点纳分线
例3 证明：∵DE⊥AB延长线点EDF⊥AC点F∴∠BED∠CFD90°．Rt△BDERt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴DEDF∴AD∠BAC分线．
针训练证明：分D作ABBCAC垂线垂足分EFG∵BD分∠CBEDE⊥BEDF⊥BC∴DE＝DF．理DG＝DF∴DE＝DG∴点D∠EAG分线∴AD∠BAC分线．
二课堂结
PE 相等
堂检测
160 BF 23 342 435 5D
6证明：连接AD∵DE⊥ABDF⊥ACDEDF∴∠BAD∠CAD△ABD△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）∴BDCD．
第14章 勾股定理
141 勾股定理
1直角三角形三边关系
第1课时 探索直角三角形三边关系
学目标：
1掌握勾股定理会勾股定理进行简单计算（重点）
2会勾股定理解决简单问题（难点）
学
知识链接
1 果正方形边长a面积
2果直角三角形两直角边分ab面积
二新知预
1图正方形瓷砖铺成面
（1）正方形P面积 （AC表示）
（2）正方形Q面积 （BC表示）
（3）正方形R面积 （AB表示）
（4）正方形PQR面积关系写出ACBCAB间关系
思考：述图中便找直角三角形画出图三边存（4）中关系？
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理初步认识
操作 作图：（1）画∠A90°（2）两边A端点分截取长3 cm
4 cm线段ab连接两线段端点组成三角形连线长度c
问题1 量量c长度分计算a2b2c2值发现什？
问题2 改变ab长度分计算a2b2c2值发现什？
点纳意直角三角形果两条直角边分ab斜边c定 种关系称 直角三角形两直角边方等斜边
例1图已知Rt△ABC中∠C
（1）
（2）
（3）
（4） ．
方法总结勾股定理基关系式a2+b2c2变形式．：
等
针训练直角三角形两直角边边长分815第三边长 ．
变式题已知直角边→未知直角边
直角三角形两边长分815第三边长方 ．
探究点2：利勾股定理求面积
例2 求列图中正方形边长xy值：
针训练
图Rt△ABC三边斜边分外作三等腰直角三角形试探索三等腰直角三角形面积间关系．
方法总结等腰直角三角形性质：S△ABE＝AB2S△BCF＝BC2S△ACH＝AC2AC2+BC2＝AB2出结．样三边长直径三半圆面积存定关系．
二课堂结
容
勾股定理
果直角三角形两直角边长分ab斜边长ca2+b2c2公式变形：
注 意
1运勾股定理前提：必须直角三角形
2清角直角
3已知两边没指明直角边斜边时定分类讨
堂检测
1列说法中正确 （ ）
A已知abc三角形三边a2+b2c2
B直角三角形中两边方等第三边方
CRt△ABC中∠C90°a2+b2c2
DRt△ABC中∠B90°a2+b2c2
2 图图中阴影部分正方形正方形面积_________cm2
第2题图 第3题图
3图直线侧三正方形面积分512面积
4图△ABC中ABAC13BC10．
（1）求高AD长
（2）求△ABC面积．
拓展提升
5△ABC中AB＝15AC＝20BC边高AD＝12求BC长（注意三角形高三角形部外部应分类讨）
参考答案
学
知识链接 1a² 2ab
二 新知预
1（1）AC² （2）BC² （3）AB² （4）AB²AC²+BC²
合作探究
探究程
探究点1
操作
点纳 a²+b²c² 勾股定理 方
例1 （1）13 （2）6 （3）7 （4）15 25
针训练17 变式题289161
探究点2
例2 图知x2144+81x15图知y2169144y5．
针训练
解：∵S△ABES△BCFS△ACH分表示Rt△ABC斜边AB直角边BCAC斜边外作等腰直角三角形面积∴S△ABEAB2S△BCFBC2S△ACH
AC2∵AC2+BC2AB2∴S△ABES△BCF+S△ACH．
堂检测
1C 236 317
4解：（1）∵ABACAD⊥BC∴BDCD∵BC10∴BD5．Rt△ABD中根勾股定理AD＝12．
（2）△ABC面积BC•AD＝×10×12＝60．
5 解：（1）图1△ABC中AB15AC20BC边高AD12Rt△ABD中AB15AD12勾股定理BD9Rt△ADC中AC20AD12勾股定理DC16∴BC
BD+DC9+1625．图2理BD9DC16∴BCCD BD7．综述BC长257．
1直角三角形三边关系
第2课时 勾股定理验证简单应
学目标：
1掌握勾股定理拼图方法验证勾股定理（难点）
2会勾股定理解决简单问题（重点）
学
知识链接
1勾股定理容什？
直角三角形两直角边方_____斜边方．
2果abc分表示直角三角形两直角边长斜边长定__________勾2＋股2＝弦2
二新知预
利国古代数学家赵爽赵爽弦图 证明勾股定理．
证明：∵S正方形＝________
S正方形＝________
S正方形＝___·S三角形＋S正方形
∴________________+__________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理验证
例1较图中两正方形面积验证勾股定理
纳总结利面积验证勾股定理两角度图形面积建立含直角三角形三边等式a2+b2c2．
针训练
请利图直角梯形验证勾股定理证明a2+b2＝c2．
探究点2：勾股定理简单应
例2 图湖两端AB两点BA方成直角BC方点C测CA130米CB120米求AB两点间距离
针训练图学校教学楼前块长4米宽3米长方形草坪极少数避开拐角走捷径草坪走出条路踩伤花草
（1）求条路长
（2）仅仅少走步(假设2步1米)？
例3 次台风袭击中明家房前棵树离面6米处断裂树顶部落离树根底部8米处告诉明棵树折断前高？
方法总结利勾股定理解决实际问题般步骤：（1）读懂题意分析已知未知间关系（2）构造直角三角形（3）利勾股定理等列方程（4）解决实际问题
二课堂结
利________求长度
勾股定理应
利勾股定理解决实际问题
堂检测
1．图某长方形理石广场示意图（单位：米）琴A角走C角少走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
第1题图 第2题图 第3题图
2．图笑笑张A4纸（A4纸尺寸210mm×297mmAC＞AB）剪角量CF＝90mmBE＝137mm剪直角三角形斜边长 mm
3．图某动感应门正方A处装着感应器离AB＝25米体进入感应器感应范围时感应门会动开．身高16米学生CD正门缓慢走离门12米方时（BC＝12米）感应门动开AD＝ 米．
4．图甲乙两时A出发分3kmh4kmh速度步行甲正南方乙正东方15h两相距远？
拓展提升
5．积极响应国家新农村建设遂宁市某镇政府采移动宣讲形式进行宣传动员．图笔直公路MN侧点A处村庄村庄A公路MN距离600米假设宣讲车P周围1000米听广播宣传宣讲车P公路MNPN方行驶时：
（1）请问村庄A村民否听宣传？请说明理
（2）果听已知宣讲车速度200米分村庄A村民总听长时间宣传？
参考答案
学
知识链接
1等 2a2＋b2＝c2
二新知预 c² （ba）² 4 c² 2ab （ba）²
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：（a+b）²c2+ab×4化简 c2a2+b2
针训练解：∵S梯形＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2+2ab）S梯形＝2×ab+c2
∴（a+b）2＝2×ab+c2整理 a2+b2＝c2．
探究点2：
例2 解：Rt△ABC中AC130米BC120米勾股定理AB50米．AB两点间距离50米．
针训练解（1）条路长5（米）
（2）少走步数2×（3+45）4（步）
例3 解：图Rt△ABC中AB6米BC8米勾股定理AC10米∴AC+AB10+616（米）．树折断前16米高．
二课堂结 勾股定理
堂检测
1．B 2．200 3．15
4．解：15h甲走路程3×15＝45（km）15h乙走路程4×15＝6（km）
勾股定理两距离＝75（km）．
答：15h两相距75 km．
5．解：（1）村庄A村民听宣传理：∵村庄A公路MN距离600米＜1000米∴村庄A村民听宣传
（2）图假设宣讲车行驶P点开始影响村庄行驶Q点结束村庄影响AP＝AQ＝1000米．∵AB＝600米∴BP＝BQ＝（米）∴PQ＝1600（米）∴影响村庄时间1600÷200＝8（分钟）∴村庄A村民总听8分钟宣传．
2直角三角形判定
学目标：
1掌握勾股定理逆定理概念（重点）
2学生理解勾股数概念牢记勾股数学会勾股定理技巧
3利勾股定理逆定理解决实际问题（难点）
学
知识链接
1勾股定理容什？
2 求线段ab直角边直角三角形斜边c长：
① a＝3b＝4c_____ ② a＝25b＝6c_____ ③ a＝4b＝75c_____
二新知预
1画图：画出边长分列组数三角形（单位：厘米）
A343 B345 C346 D6810
2判断通测量角度判断述画三角形形状
A_________ B__________ C_________ D_________
3找规律根述三角形组边长请找出长边（c）方两边（ab）方间关系
A_________ B__________ C_________ D_________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理逆定理
活动 三组数分组数三边长作出三角形量角器量量直角三角形？①51213 ②72425 ③81517
问题 算算面边长方间关系结合形状判断发现什？
猜测 果三角形三边长abc满足___________三角形_________三角形
验证 面根全等进行证明
已知：△ABC三边长abc满足a2+b2c2．
求证：△ABC直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′∠C′90°A′C′bB′C′a
A′B′2_______+________
∵a2+b2c2∴A′B′_______
△ABC△A′B′C′中
A′C′AC
B′C′BC
_____________
∴△ABC____△A′B′C′(________)
∴∠C____∠C′_____90° △ABC__________三角形
点纳勾股定理逆定理：果三角形三边长a b c关系a2+b2c2三角形直角三角形边c角直角
特说明：勾股定理逆定理直角三角形判定定理已知三角形三边长满足两条较边方等长边方判断三角形直角三角形 长边应角直角
例1△ABC三边abc满足 ab c345判断△ABC形状
方法总结已知三角形三边例关系判断三角形形状：先设出参数表示出三条边长勾股定理逆定理判断否直角三角形果直角三角形三边中两相数该三角形等腰三角形
针训练
1列组线段中构成直角三角形（ ）
A．234 B．346 C．51213 D．467
2已知abc△ABC三边长|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0△ABC ．
例2 某木工做长方形门框AB15mAD2m测BD26m．∠DAB90°符合求请问做门框符合求？说明理
探究点2：勾股数
概念提出 勾股数：够成直角三角形三条边长三正整数
典例精析
例3 面组abc勾股数 ．（填序号）
①a＝7b＝24c＝25 ②a＝5b＝13c＝12
③a＝4b＝5c＝6 ④a＝05b＝03c＝04
方法总结根勾股数定义勾股数必须正整数先排数计算长边方否等两边方
二课堂结
容
勾股定理逆定理
果三角形三边长a b c关系a2+b2c2三角形直角三角形边c角直角
勾股定理逆定理作
三边数量关系判定三角形否直角三角形
注 意
1 长边定c ∠C定直角
2 勾股数定______数
堂检测
1列组数勾股数 ( )
A347 B6108 C15225 D135
2直角三角形三边长扩样倍数三角形 ( )
A直角三角形 B锐角三角形
C钝角三角形 D直角三角形
3△ABC中∠A ∠B ∠C边分abc(c+a)(ca)b2△ABC（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形
C直角三角形 D等腰三角形
4abc满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0abc边三角形面积 ．
5三角形三边长分15cm20cm25cm该三角形长边高 cm
6 图△ABC中CD⊥ABDAC＝4BC＝3CD＝
（1）求AD长
（2）求证：△ABC直角三角形．
拓展提升
7△ABC三边长abc 满足a2+b2+c2+506a+8b+10c 试判断△ABC形状说明理
参考答案
学
知识链接
1直角三角形两直角边方等斜边方．
2① 5 ②65 ③85
二新知预
1画图略
2锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 直角三角形
3a²+b²＞c² a²+b²c² a²+b²＜c² a²+b²c²
合作探究
探究程
探究点1：
猜测 a²+b²c² 直角
验证 A′C′2 B′C′2 c A′B′ AB ≌ SSS 直角
例1 解：设a3kb4kc5kk≠0a2+b29k2+16 k225k2c2∴a2+b2c2∴△ABC直角三角形．
针训练
1C 2等腰直角三角形
例2 解：符合理：152+22625262676AB2+AD2≠BD2△ABD满足直角三角形条件∠DAB≠90°符合求
探究点2：
例3 ①②
课堂结
正整数
堂检测
1B 2A 3C 430 512
6（1）解：∵CD⊥AB∴∠ADC＝90°∴AD＝＝＝
（2）证明：（1）知AD＝理BD＝∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52∴BC2+AC2＝AB2∴△ABC直角三角形．
7解：a2+b2+c2+506a+8b+10c变形（a3）²+（b4）²+（c5）²0a3b4c5∵a2+b2c2∴△ABC直角三角形．
3反证法
学目标：
1解反证法意义反证法证明命题真命题般步骤（重点）
2学会运反证法证明关命题（难点）
学
知识链接
1证明命题真命题时般采__________法
2证明图形关命题时般步骤？
答：第步：____________________第二步：_______________第三步：_________________
二新知预
1 直接证明方法_________证明方法_________法常间接证明方法
2证明命题时时先假设______反面正确然通_________推出基事实已证定理定义已知条件相矛盾说明假设___________进出原结正确种证明方法做_______法
合作探究
探究程
探究点：反证法
操作 画出三角形计算较短两边长方较长边方否相等？
（1）11524（2）15225（3）15253
猜想 三角形三边abc（a≤b≤c）关系a2+b2≠c2时三角形直角三角形
问题 会证明猜想？
点纳反证法步骤：先假设结反面正确然通演绎推理推出基事实已证定理定义已知条件相矛盾说明假设成立进出原结正确
例1求证：果两条直线第三条直线行两条直线行
已知：
求证：
证明：假设 设相交点A点A 条直线直线c行直线外点 矛盾
∴假设成立
∴
纳总结推理证时新增已知条件（假设容）加进然逐步推出已知公理定理间矛盾
针训练求证：三角形中少角等60°
已知：
求证：
证明：假设 _______________________．
∴∠A+∠B+∠C＞____________三角形 相矛盾．
∴假设成立
∴ ．
例2 求证：命题三角形中角直角
纳总结结反面止种情况必须种情况全部列举出逐加否定肯定原结正确
二课堂结
反证法意义
反证法 反证法般步骤
反证法证明关命题
堂检测
1证明△ABC中少角锐角时第步应假设（ ）
A．三角形少角锐角 B．三角形中少两锐角
C．三角形中没锐角 D．三角形中三角锐角
2反证法证明命题旁角互补两条直线行时应先假设
3写出列结反面：
（1）ab：
（2）a≥0：
（3）b正数：
（4）三角形中钝角： ．
4已知直线mn相交线直线l1⊥m直线l2⊥n．求证：直线l1l2必相交．
5图△ABC中DE分ACAB中点BD≠CE求证：AB≠AC．
参考答案
学
知识链接
1反证 2画图写出已知 写求证程 写出结
二新知预
1间接 反证
2结 演绎推理 基事实 成立 反证
合作探究
探究程
探究点：
操作 解：三角形图①②③示：
（1）12+152≠242（2）152+22252（3）152+252≠32（2）中相等（1）（3）中相等
例1 面直线a∥cb∥c 直线a∥b 直线a直线b相交 2 条直线已知直线行 直线a∥b
针训练∠A∠B∠C△ABC角 △ABC中少角等60° △ABC中没角等60° ∠A∠B∠C60° 180° 角180° 三角形三角中少角等60°
例2 证明：假设三角形中两角90°三角形三角180°三角形角180°相悖假设正确三角形中角直角
堂检测
1 C 2旁角互补两条直线行
3（1）直线a直线b行 （2）a＜0
（3）b非正数 （4）三角形中少两钝角
4证明：假设直线l1l2相交两直线行．∵l1∥l2直线l1⊥m直线l2⊥n．∴m∥n直线mn相交线相矛盾．∴假设正确直线l1l2必相交．
5解：假设AB＝AC∠ABC＝∠ACB．∵AB＝ACDE分ACAB中点∴BE＝CD．△BCD△CBE中∴△BCD≌△CBE．∴BD＝CEBD≠CE相矛盾．AB≠AC．
142 勾股定理应
学目标：
1会运勾股定理求线段长解决简单实际问题（重点）
2实际问题中抽象出直角三角形模型利勾股定理建立已知边未知边长度间联系进步求出未知边长（难点）
学
知识链接
1 补全勾股定理容？
果直角三角形两直角边长分ab斜边长c____________
2 勾股定理公式变形：a_________b_________c_________
3 Rt△ABC中∠C90°
(1)a3b4c_________(2)a5c13b_________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理应
例1 图根12米高电线杆CD两侧15米铁丝固定求两固定点AB间距离
方法总结 解题关键利转化思想实际问题转化成直角三角形模型然利勾股定理求出未知边长
针训练图两棵树棵高10米棵高4米两树相距8米鸟棵树树梢飞棵树树梢问鸟少飞行少米？
探究点2：勾股定理逆定理应
例2 图某港口P位东西方海岸线 远航号海天号轮船时离开港口固定方航行远航号时航行16海里海天号时航行12海里离开港口半时分位点QR处相距30海里果知道远航号东北方航行知道海天号方航行？
分析：题目已知远航号航两艘船半时航程距离实质求
出两艘船航成角容易联想勾股定理逆定理
方法总结解决实际问题步骤：构建模型(整体局部)标注信息明确已知求应数学知识求解
例3 零件形状图示规定零件中∠A∠DBC应直角工师傅量零件边尺寸图示零件符合求？
针训练图四边形ABCD中AC⊥DC△ADC面积30DC＝12AB＝3BC＝4求△ABC面积．
探究点3：利勾股定理求短距离
例4 图圆柱形油罐A点环绕油罐建梯子正建A点正方点B处问梯子短需少米？（已知油罐底面半径2 m高AB5 mπ取3）
例5 图牧童河南4 kmA处牧马正位屋B西8km北7km处想马牵河边饮水然回家．完成件事情走短路程少？
方法总结求直线侧两点直线点连线段短路径方法：先找中点关条直线称点连接称点点线段短路径长连接称点点线段斜边构造出直角三角形运勾股定理求短路径
针训练图蚂蚁棱长12cm正方体纸盒顶点A处纸盒表面爬点B处已知BC＝4 cm蚂蚁爬行短距离少？
二课堂结
勾股定理解决实际问题
勾股定理
应
勾股定理逆定理解决实际问题
勾股定理解决点距离路径短问题
堂检测
1梯子（图）垂直面墙顶端面距离28m底端距离墙面21m梯子长度（ ）
A21cm B28cm C35cm D37cm
第1题图 第2题图 第4题图
2图支铅笔放圆柱体笔筒中面露出截笔筒部底面直径9cm壁高12cm铅笔长度（ ）
A9cm B12cm C15cm D18cm
3已知甲乙两点出发甲东走4 km乙南走3 km时甲乙两相距 km．
4图三级台阶级长宽高分1631点A点B台阶两相端点A点蚂蚁想B点短路程 ．
5图已知AB＝13cmAD＝4cmCD＝3cmBC＝12cm∠D＝90°求四边形ABCD面积．
6高速公路侧AB两城镇图示高速公路直线MN距离分AA′＝2kmBB′＝4kmA′B′＝8km高速公路A′B′间建出口PAB两城镇P距离短求短路程．
参考答案
学
知识链接
1 a²+b²c² 2 35 12
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：△ADC中∠ADC90°AC15米CD12米∴AD9米．理BD9米∴AB9+918（米）AB间距离18米
针训练
解：图设树高AB10米树高CD4米C点作CE⊥ABE连接AC∴EB4米EC8米AEABEB1046（米）．Rt△AEC中AC10（米）鸟少飞行10 米．
探究点2：
例2 解：题意RP18海里PQ24海里QR30海里∵182+242302∴△RPQ直角三角形∴∠RPQ90°∵远航号东北方航行∠QPN45°∴∠RPN45°∴海天号西北方航行
例3 解：∵AD4AB3BD5DC13BC12∴AB2+AD2BD2BD2+BC2DC2∴△ABD△BDC直角三角形∠A90°∠DBC90°零件符合求
针训练解：∵S△ADC∴AC＝5∵AB2+CB2＝42+32＝25＝AC2
∴△ABC直角三角形∠ABC＝90°∴△ABC面积＝．
探究点3：
例4 解：图∵油罐底面半径2m∴油罐底面周长2π×24π≈12 m．∵高AB5m展开图中BC5m∴AB≈13（m）．建梯子短约13m．
例5 解：图作出A点关MN称点A′连接A′B交MN点PAAPPPBB走路程短时AP+BPA′B．Rt△A′DB中勾股定理A′B17（km）
答：完成件事情走短路程17 km．
针训练解：蚂蚁爬行短路径展开图图示：
易AB＝＝20cm∴蚂蚁爬行短路程20cm．
堂检测
1D 2D 35 420
5解：连接AC．∵AD＝4cmCD＝3cm∠ADC＝90°∴AC＝＝＝5（cm）∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．△ABC中∵52+122＝132AC2+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形∠ACB＝90°∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．
6解：图作A点关直线MN称点C连接CB交直线MN点P时AP+PBCB长点B作BD⊥CA交CA延长线点D∵AA′＝2kmBB′＝4km
A′B′＝8km∴A′C＝2kmA′D＝4kmBD＝8kmCD＝6kmRt△CDB中CB＝＝10（km）短距离10km
第15章 数收集表示
151 数收集
1数 2数收集
学目标：
1通实践历收集数整理数程掌握简单收集整理数方法（重点）
2理解频数频率概念进行计算（难点）
学
知识链接
1学学收集数方法？
2收集数样分类整理？
二新知预
1解七年级学家做家务时间选择校七年级(1)班进行调查问题中调查问题____________________________________调查象_____________________．
2范例：假想知道全班学踢足球篮球乒乓球跑步爱情况调查收集数程中：
(1)调查问题___________________________
(2)调查象__________
(3)记录数_______________________
(4)调查方法______________．
3(1)_______________________称频数
(2)_____________________________________称频率
(3)频数频率反映象出现__________．
合作探究
探究程
探究点1：数收集
问题1：果解全班学新闻体育动画娱乐戏曲五类电视节目喜爱情况会样做？
问题2：样收集数进行整理？
例1 某市30天空气质量状况统计：411074710075927693921299078947791103981271021054210972105961129012390149中w≤50时空气质量优50＜w≤100时空气质量良100＜w≤150时空气质量轻微污染．
根优良轻微污染三种情况表格整理面数请表补充完整
空气质量
记录
出现次数
优（w≤50）
良（50＜w≤100）
轻微污染（100＜w≤150）
方法总结收集整理调查数时常需类数进行分类统计时利唱票画记法数进行累计画记般正字表示正字笔代表数．
探究点2：频数频率
例2 （1）某学校全校进行调查3402参加容应选择数：认名高素质教师需具备条件？A较强教学力(604)B合理知识结构(235)C学生爱心(838)D现代教育理念(1725)．根次调查认名教师需具备条件 占例约 （精确1％）
（2）手写串数字：10100110001110100110111出现频数 频率 0出现频数 频率 ．
方法总结频率频数总数间关系：
1．频率＝
2．频率等1
针训练刚骰子意抛10次．出现点数分6312343534．10次中出现频率高 4出现频数 ．
二课堂结
数收集
收集数步骤：1明确调查问题2确定调查象3选择调查方式4展开调查5记录结果6出结
频数
表示象出现次数
频率
表示象出现次数总次数值（者百分）
频数频率够反映象出现频繁程度
堂检测
1．某校篮球队队员六位学身高：168167160164168168（单位：cm）获组数方法（ ）
A．直接观察 B．查阅文献资料 C．互联网查询 D．测量
2．进行数收集调查时明确调查问题确定调查象般完成4步骤：①展开调查 ②出结 ③记录结果 ④选择调查方法．序弄乱正确序（ ）
A．④①③② B．③④①② C．④③①② D．②④③①
3．某学调查全班50名学感兴趣课外活动项目绘制成面统计表：
课外活动项目
划记
数
体育运动
正正
10
学科兴趣组
正正
10
音乐
正正正
15
舞蹈
正
5
美术
正正
10
中全班学感兴趣课外活动项目（ ）
A体育运动 B学科兴趣组 C音乐 D舞蹈
4．某班40名学次数学成绩进行统计适分组8090分分数段划记数：正班分数段数占全班数百分（ ）
A．20 B．40 C．15 D．25
5．红机写串数31323321112233数字3出现频数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．阳光体育活动市校蓬勃开展某校次课间活动中抽查10名学生分钟跳绳次数获数（单位：次）：83899399117121130146158188．中跳绳次数100频率
7．次跳远赛中成绩405米8频率04参加赛运动员_________．
8．明解学课余生活设计调查问题：
时喜欢项课余活动（ ）
A．课外书 B．体育活动 C．电视 D．踢足球
认问题选项设计合理？什？果合理请修改．
9．航模兴趣组老师想知道全组学生年龄情况家年龄写纸表全组40名学生年龄（单位：岁）．
14
13
13
15
16
12
14
16
17
13
14
15
12
12
13
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13
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17
16
16
13
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15
13
16
15
16
17
14
14
13
（1）统计表中13岁频数 频率
（2） 岁频率频率
（3）假老师机问名学生年龄认老师听回答少岁？
参考答案
学
知识链接
1运调查法收集数
2简单基础方法记录定分类标准整理呈现数
二新知预
1解七年级学家做家务时间 校七年级(1)班学生
2(1)全班学踢足球篮球乒乓球跑步四项运动爱情况 (2)全班学
(3)爱踢足球篮球乒乓球跑步四种运动中项数 (4)直接问卷调查
3(1)象出现次数 (2)象出现次数总次数值(百分) (3)频繁程度
合作探究
探究点1：
问题1：答：进行问卷调查．
问题2：答：制成统计图统计表．
例1 解：填表．
空气质量
记录
出现次数
优（w≤50）
3
良（50＜w≤100）
正正正
16
轻微污染（100＜w≤150）
正正
11
例2 （1）D 51 （2）12 10
针训练3 2
堂检测
1．D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．06 7．20
8．解：问题选项设计合理．理：∵体育活动包含踢足球∴选项重复课余活动全面踢足球改．
9．解：（1）8 02
（2）14 025 解析：图12岁出现频数514岁出现频数1015岁出现频数716岁出现频数717岁出现频数314岁出现频数14岁频率频率＝025答案14025
（3）14岁频率老师听回答14岁．
152 数表示
1扇形统计图
学目标：
1．学生通实际问题认识扇形统计图含义特点（重点）
2．学生解扇形统计图绘制程学会制作简单扇形统计图（难点）
学
知识链接
1常见三种统计图
2数收集整理般步骤：
①通 收集数②列 整理数③制作 描述数
④观察 分析数
二新知预
节课介绍数收集方法知道收集数数直观表示出呢？学电视报纸等关媒体中常图形分统计表扇形统计图折线统计图条形统计图．节课学运图表数进行表示．
合作探究
探究程
探究点1：扇形统计图
活动 观察图2扇形统计图
问题 （1）扇形统计图中百分少？
（2）量量圆心角度数百分圆心角度数什关系？
点纳扇形统计图清楚反映出部分占总数量百分．表示部分数量总数量中占份额时常扇形统计图
例1 图实验中学七年级学生参加课外活动数扇形统计图参加舞蹈类学生42参加球类活动学生( )
A．145 B．147 C．149 D．151
方法总结1体占总体百分＝×100
2．扇形圆心角＝体占总体百分×360°
3．体占总体百分等1
4．扇形圆心角度数等360°
探究点2：制作扇形统计图
制作扇形统计图般步骤：
(1)先算出部分数量占______百分
(2)算出表示部分数量扇形_________度数
(3)取适半径画圆面算出________度数圆里画出扇形
(4)扇形中标明表示部分数量名称占总体______颜色条纹扇形区开．
注意：定明确扇形统计图表示意义分清部分整体关系
例2某农户耕种40亩中20亩种植水稻12亩种植棉花8亩种植甘蔗请制作扇形统计图表示出家农户类作物占百分．
二课堂结
1扇形统计图圆表示部分总数量圆里_____表示部分占总数量______．种统计图清楚反映出部分总数量间关系．
2（1）体占总体百分＝×100
（2）扇形圆心角＝体占总体百分×360°
（3）体占总体百分等1
（4）扇形圆心角度数等360°
3制作扇形统计图步骤：
（1）计算部分占百分
（2）计算部分扇形圆心角度数
（3）画出扇形统计图．
堂检测
1．某年国粮食总产量54000万吨中谷物49000万吨豆类2700万吨薯类2300万吨．果扇形图表示组数豆类应扇形圆心角度数（ ）
A．16° B．18° C．20° D．22°
2．某校图书理员清理课外书籍时中甲乙丙三类书籍关数制成图完整统计图．已知甲类书30丙类书数（ ）
A．80 B．144 C．200 D．90
第2题图 第3题图 第5题图
3．甲乙两学校统计数分绘制扇形统计图（图）列说法正确（ ）
A．甲校男女生数样 B．甲乙两学校数样
C．甲校男生数乙校男生数 D．乙校女生数甲校女生数
4．扇形统计图中中扇形圆心角216°部分扇形表示部分占总体百分 ．
5．某校解学生参加体育兴趣组情况机调查干名学生根调查结果绘制扇形统计图（图）已知参加羽毛球兴趣组数参加乒乓球兴趣组少6该校调查学生总数 ．
6．某校学生学方式进行次问卷调查根结果绘制出图示扇形统计图．已知该校学生2 560调查学生中骑车21求：
（1）调查学生总数少？
（2）步行扇形圆心角少度？
（3）该校学生中骑车学学生约少？
参考答案
学
知识链接
1条形统计图 扇形统计图 折线统计图
2①问卷调查 ②统计表 ③统计图 ④统计图
合作探究
探究程
探究点1：
例1 B
探究点2：
(1)总体 (2)圆心角 (3)圆心角 (4)百分
例2 解：水稻种植面积占总面积百分：20÷40＝50棉花种植面积占总面积百分：12÷40＝30甘蔗种植面积占总面积百分：8÷40＝20计算相应圆心角：360°×50＝180°360°×30＝108°360°×20＝72°量角器圆分成相应三部分相应扇形中标明种作物名称标志求扇形统计图图．
二课堂结
扇形 百分
堂检测
1．B 2．A 3．A 4．60 5．60
6．解：（1）调查学生总数60．
（2）1﹣35﹣15﹣5＝45360°×45＝162°．步行扇形圆心角162°
（3）2560×35＝896（）该校学生中骑车学学生约896．
2利统计图表传递信息
学目标：
1．学生掌握常三种统计图功特点
2．学生根实际问题收集数特点选择合适统计图获取价值信息（重点）
3．结合种统计图学生学会中获取正确信息会作出合理解释推断计算（难点）．
学
知识链接
1前面学描述数方法？什特点？
2扇形统计图清楚表示部分总体中占________．扇形圆心角等部分数量占总数量________360°
合作探究
探究程
探究点1：利统计表传递信息
例1天津杭州两城市某年月降水量统计表（单位：1mm）：
城市
月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
八月
九月
十月
十
十二
天津
30
58
90
265
287
707
1755
1820
489
177
60
63
杭州
287
297
482
677
855
960
1592
1830
1234
946
600
588
根表回答列问题：
（1）城市年降水量？城市降水量幅度？
（2）两城市月降水量相差？差少？
（3）月两城市降水量相差30毫米？
探究点2：利折线统计图传递信息
例2 图市某天气温变化图：
①天中高气温24℃
②天中高气温低气温差16℃
③天中2时14时间气温逐渐升高
④天中14时24时间气温逐渐降低．
根图表列说法中正确 ．(填序号)
方法：折线图单位表示定数量根数量少描出点然点线段次连接起折线升降表示统计数量增减变化折线统计图表示出数量少够清楚表示出数量增减变化情况．
探究点3：利条形统计图传递信息
例3 某市半年PM25月均浓度变化情况图示．
根统计图提供信息面三推断：
①该市半年PM25均浓度高月份11月
②7月﹣10月该市PM25均浓度逐月持续降
③7月﹣12月半年均浓度值51微克立方米（月30天计算）．
中推断合理序号： ．
探究点4：统计图表综合应
例4 中国梦中华民族梦中学生梦中学开展典诵读活动疑中国梦教育宏乐章里响亮音符学校典诵读活动中全校学生ABCD四等级进行评价现中抽取干学生进行调查绘制出两幅完整统计图请根图中信息解答列问题：
(1)抽取少学生进行调查？
(2)图甲中折线统计图补充完整
(3)求出图乙中B等级占圆心角度数．
针训练
某超市销售四种家电冰箱彩电洗衣机空调销售量5∶4∶2∶1中空调已销售15万台．根述销售情况绘制两完整统计图：
请根信息解答问题：
(1)补全条形统计图
(2)四种家电销售总量 万台
(3)扇形统计图中彩电部分应圆心角少度？
二课堂结
数表示
统计表
收集数制成表格形式数更直观清楚便分析．
扇形统计图
清楚表示出部分总体中占_______
折线统计图
清楚反映事物变化情况
条形统计图
清楚表示出项目具体数目．
堂检测
1．根条形统计图知列说法正确 （ ）
A．步行数50
B．步行骑行车数坐公汽车少
C．坐公汽车占总数50
D．步行少90
第1题图 第3题图
2．某次数学测验抽取部分学成绩（分整数）整理制成统计表根表中信息列描述正确（ ）
分数段
495～595
595～695
695～795
795～895
895～100
数
4
10
18
12
6
A．抽样学生50 B．估计格率（60分）92左右
C．估计优秀率（80分）36左右 D．595～695分数段频率10
3．图某厂连续7年产量增长率（相年增长率）统计图仔细观察图形列说法正确（ ）
A．年产量增减 B．产量断增加
C．开始产量降产量回升 D．说法
4．护士统计病昼夜体温变化情况应选 统计图．
5．样中100数分布5组第二四五组频数分9164015扇形图数进行统计第三组应扇形圆心角度数 ．
6．某中学开展喜欢职业题调查活动通学生机抽样调查组数．面两图（图）根组数绘制两幅完整统计图次活动中喜欢职业教师 ．
7．某校根课程设置求开设数学类拓展性课程．解学生喜欢课程容机抽取部分学生进行问卷调查（必须选中项）统计结果绘制成图示统计图（完整）：
请根图中信息回答问题：
（1）求mn值
（2）补全条形统计图．
参考答案
学
知识链接
1扇形图条形图折线图扇形统计图表示部分总体中占百分般直接图中具体数折线统计图表示事物变化情况条形统计图清楚表示出项目具体数目．
2百分 百分
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：（1）杭州年降水量天津降水量幅度
（2）十月降水量相差差：946﹣177＝769 (mm)
（3）八月：1830﹣1820＝10 mm＜30 mm八月两城市降水量相差30 mm．
探究点2：
例2 ①③
探究点3：
例3 ①③
探究点4：
例4 解：(1)10÷20＝50()抽取50学生进行调查．
(2)B等级数＝50－15－10－5＝20()．补充折线统计图图．
(3)图乙中B等级占圆心角度数360°×＝144°
针训练
解：(1)洗衣机销量：15×2＝30(万台)彩电销量：15×4＝60(万台)冰箱销量15×5＝75(万台)．图．
(2)180
(3)360°×＝120°扇形统计图中彩电部分应圆心角120°
二课堂结
百分
堂检测
1C 2D 3B 4．折线 5．72° 6．40
7．解：（1）∵调查总数12÷20＝60（）∴m＝×100＝25n＝×100＝15
（2）D类数60×30＝18（）E类数60﹣（12+15+9+18）＝6（）补全条形统计图：
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111方根立方根
1方根
第1课时 方根
学目标：
1理解方根概念表示方法
2理解掌握方根性质（重点）
3理解开方运算体会数学中互逆思想（难点）．
学
知识链接
填填：10方等________10方等__________．
二新知预
试试：根面填空认方等100数____________
合作探究
探究程
探究点1：方根概念求法
概念提出般果数方等a数做a__________
例1 求列数方根：
(1)4 (2)001 (3) (4)1
针训练求列数方根：
(1)25 (2)036 （3）（17）2 （4） ．
探究点2：方根性质
问题1：根试试中填空果a正数a方根什关系？
问题2：根定义认0方根少？4方根？什？
点纳正数_____方根互________0_____方根方根____负数____方根
例2 正数两方根分2a＋1a－4求数．
方法总结正数两方根互______________ ．
针训练正数方根分mm4m值少？正数少？
探究点3：开方
概念提出求数________运算做________
例3求列式中x值．
(1) x2＝36 (2)81x2－4＝0．
方法总结利方根定义解方程求出未知数值正数方根两互相反数漏掉负方根．
针训练
求列式中x值．
(1) (x－1)2＝9 (2)49(x2＋1)＝50．
二课堂结
容
方根概念
般果数方等a数做a_________．
方根性质
正数_____方根互________．
0______方根方根_____负数______方根
开方
求数________运算做________
堂检测
1．9方根（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±9
2．方根（ ）
A． B． C． D．
3．列说法正确（ ）
A．﹣a2定没方根 B．416方根
C．16方根4 D．﹣9方根±3
4．81方根 004方根 72方根
(1)2方根_________方根__________
5列数方根？果写出方根果没说明理
（1）49 （2） （3） （4）
6果正数两方根a+32a15正数少？
7求列式中x值：
（1）x2 121 （2）4x2−49 0 （3） (3x－1)2＝(－5)2．
参考答案
学
知识链接 填填：100 100
二新知预 试试：1010
合作探究
探究点1：
概念提出方根
例1 解(1)±2 (2)±01 (3)± (4)±
针训练解(1)±5 (2)±06 (3)±17 （4）±．
探究点2：
问题1：解：2互相反数
问题2：解：0方根04没方根根定义没方等4 数4没方根
点纳2 相反数 1 0 没
例2 解：题意2a＋1+a－40解a1∴2a＋13∴（2a＋1）29∴数9
方法总结相反数 0
针训练解：题意m+m40解m2∴正数4
探究点3：
概念提出方根 开方
例3 解：(1)x±6 (2)x±
针训练解：（1）x4x－2 （2）x±
二课堂结
方根 2 相反数 1 0 没 方根 开方
堂检测
1．B 2．D 3．B 4．±9 ±02 ±7 ±1 ±
5解：（1）方根±7 （2）方根±
（3）方根± （4）没方根负数没方根
6解：正数两方根互相反数（a+3）+（2a15）0解a4a4时a+372a157数49
7解：（1）x ±11 （2）x ± （3）x2x
第2课时 算术方根
学目标：
1理解算术方根概念
2根算术方根概念求数算术方根（重点）
3理解方根算术方根区联系（难点）
学
知识链接
1什方根？
答般果数方等a数做a_________．
2方根性质？
答：正数_____方根互________
0_____方根方根____负数_______方根
二新知预
根方根定义填空：
（1）100方根 中正方根________
（2）方根 中正方根________．
合作探究
探究程
探究点1：算术方根概念求法
概念提出正数a____方根做a算术方根记作_______读作_______
思考：述填空中发现100算术方根0呢？负数呢？
点纳正数 算术方根0算术方根_____负数______算术方根
例1 求列数算术方根：
(1)64 (2)036 (3)2 (4)
方法总结求数算术方根时首先弄清求数算术方根分清求81算术方根意义．
针训练列式子中正确( )
A B C D
例2 已知3＋a算术方根5求a值．
纳总结已知数算术方根原数等算术方根方．
针训练4x＋6算术方根2x＝___________
例3 计算：＋－
易错提醒解题时容易出现＝＋错误．
针训练
计算：
探究点2：计算器求算术方根
问题1：计算器计算需键？
问题2：利计算器计算表中算术方根计算结果填表中发现什规律说出中道理
…
…
…
…
方法总结开方数数点右移动 位算术方根数点右移动 位开方数数点左移动 位算术方根数点左移动 位
例4 计算器计算(精确0001)利问题2中发现规律写出
似值根 值写出 值
探究点3：算术方根非负性
问题：根算术方根定义写出a非负数时取值范围？
点纳a0时0a＞0时＞0a≥0时≥0
例5 已知xy理数＋3(y－2)2＝0求x－y值．
方法总结算术方根绝值方具非负性≥0|a|≥0a2≥0非负数0时数均0
针训练
已知mn满足+|n+2|0求2mn值．
二课堂结
容
概念
正数两方根互________正数a____方根做a算术方根
性质
正数 算术方根0算术方根_____负数____算术方根
非负性
a≥0时 0
堂检测
1 算术方根（ ）
A． B． C． D．
249算术方根（ ）
A 7 B －7 C 49 D－49
3列命题中正确数( )
①1方根1②11算术方根③(−1)2方根−1④0算术方根0
A．1 B．2 C．3 D．4
4已知xy满足xy值( )
A4 B－4 C D
5计算器计算≈ （精确001）．
6算术方根3a
7求列数算术方根：
（1）36 （2）15 （3）0 （4）004
（5） （6） （7）
参考答案
学
知识链接
1方根
22 相反数 1 0 没
二新知预
±10 10 ±
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出正 根号a
思考：解：0算术方根0负数没算术方根
点纳1 0 没
例1 解： (1)8 (2)06 (3) (4)3
针训练A
例2 解：题意3＋a25解a22
针训练
例3 解：原式7+5153
针训练解：原式25×3×514
探究点2：
问题1 解：需次5三键
问题2 025 0790569415 25 790569415 25 790569415 250
方法总结两 两
例4 解：≈1732根值写出值
探究点3：
思考：解：≥0
例5 解：题意x1y2xy1
针训练解：题意m30n+20m3n2∴2mn8
二课堂结
相反数 正 1 0 没 ≥
堂检测
1C 2A 3B 4B 51615 681
7解：（1）6 （2） （3）0 （4）02 （5） （6）08 （7）
2立方根
学目标：
1掌握立方根概念运算（重点）
2解方根立方根点会进行开立方运算（难点）
3理解开立方立方互逆运算
学
知识链接
填填：23 （2）3
二新知预
（1）果正方体棱长a厘米体积 立方厘米
（2）果正方体体积8立方厘米棱长 厘米（结合填填中式子）
合作探究
探究程
探究点1：立方根概念性质
概念提出般果数立方等a数做a 记作 读作 中a 3
问题1：根2立方等8结合立方根概念说28什？
问题2：正数立方根正数负数？负数立方根呢？0立方根呢？
点纳正数立方根 数负数立方根 数0立方根
例1求列数立方根
（1）64 （2）0216 （3）
例2计算：
例324求值
问题3：根填填中式子分求88立方根说明立方根什关系？
点纳互相反数两数立方根互
例4互相反数求a值
探究点2：计算器求立方根
问题1：计算器没键计算器进行开立方运算步骤什？
问题2：计算器计算：…
发现什规律？计算器计算（精确0001）利发现规律求似值
点纳 开立方数数点左（右）移动3n位时立方根数点相应左（右）移动n位（n正整数）
针训练
1计算器求列数立方根：3431331
2计算器求似值（精确0001）
二课堂结
立方根
立方根概念
果数立方等a数做a_________
立方根性质
（1）正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
（2） 开立方数数点左（右）移动3n位时立方根数点相应左（右）移动n位（n正整数）
堂检测
1列说法中错误（ ）
A负数没立方根 B0立方根0
C1立方根1 D1立方根1
2体积2立方体边长（ ）
A．2方根 B．2立方根
C．2算术方根 D．2开方结果
3立方根（ ）
A．2 B．4
C．±2 D．±8
4计算：
（1） （2） （3） （4）
5分求出列数立方根：
00640
6较列组数
（1）25 （2）
7已知x+3立方根23x+y﹣1算术方根4求3x+6y立方根．
8已知互相反数求x+2y立方根．
参考答案
学
知识链接 填填：8 8
二新知预 （1）a3 （2）2
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出立方根 三次根号a 开方数 根指数
问题1 解：28立方根
问题2 解：正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
点纳正 负 0
例1 解：（1）4（2）06（3）
例2 解：原式3+2（1）6
例3 解：题意x8y4404
问题3 解：8立方根28立方根2互相反数
点纳相反数
例4 解：题知2a1+6a0解a5
探究点2：
问题1 解：需SHIFTx3然输入开立方数字
问题2 解：规律：开立方数数点右移动三位时结果数点右移动位
≈4642 ≈04642≈004642≈4642
针训练
1 解：7 11
2 解：1260
二课堂结 立方根
堂检测
1A 2B 3A 4（1）3 （3）1 （4）10
5解：立方根分040
6 解：（1）＜25 （2）＞
7解：题解∴3x+6y＝27∴3x+6y立方根3
8解：题意+＝0∴2x﹣11+4y﹣5＝02（x+2y）＝16解x+2y＝8∴x+2y立方根2．
112 实 数
第1课时 实数概念分类
学目标：
1解实数概念实数求进行准确分类（重点）
2熟练掌握实数较方法（重点）
3解实数数轴点应数轴点表示理数（难点）
学
知识链接
1什理数？理数分类？
2列数中理数？
二新知预
计算器求观察结果属理数？认什样数？
合作探究
探究程
探究点1：理数
概念提出限循环数做
例1 代表列数序号填相应横线．
①②﹣086 ③﹣5 ④0 ⑤﹣ ⑥﹣
⑦27 ⑧π ⑨11010010001…（相邻两1间次0）
属正理数：
属整数：
属负分数：
属理数： ．
探究点2：实数概念分类
概念提出 统称实数
思考：实数样分类？
例2列数分填入列相应括号：
理数：{ …}
理数：{ …}
正实数：{ …}
负实数：{ …}．
探究点3：实数数轴点
问题：数轴找表示π样理数致位置应点？找？
点纳实数数轴点表示实数数轴点
例3 图数轴四点表示列数：π|3|35请图点标出正确数字
针训练
图已知数轴AB两点表示数分51画出AB致位置AB两点间表示整数点少？
二课堂结
理数概念
________________称理数
实数概念
统称实数
实数分类
定义分：
正负性分：
实数数轴表示
实数数轴点表示换句话说实数数轴点___________
堂检测
1列说法正确（ ）
Aa定正实数 B理数
C理数 D数轴点应理数
2数值转换器原理输入x81时输出y （ ）
A9 B3 C D±3
3判断：
（1）实数理数理数 （ ）
（2）理数限循环数 （ ）
（3）带根号数理数 （ ）
（4）理数限数 （ ）
（5）理数定带根号 （ ）
4请写出34理数： ．
5列数分填相应集合里：
﹣24﹣10333…0﹣（﹣228）﹣|﹣2|1010010001…﹣
（1）正理数集合{ …}
（2）整数集合{ …}
（3）负分数集合{ …}
（4）理数集合{ …}
6数轴表示列数致位置．
﹣0﹣|﹣2|
参考答案
学
知识链接
1解：理数整数（正整数0负整数）分数统称
2解：1414理数
二新知预
解：属限循环数
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出理数
例1 ①⑦ ③④ ②⑤ ⑥⑧⑨
探究点2：
概念提出理数 理数
思考： 解：实数分正数0负数
例2 理数：{ …}
理数：{ …}
正实数：{ … }
负实数：{ …}
探究点3：
问题： 解：：边长均1网格中画出面积2正方形原点圆心该正方形边长半径画圆交数轴正半轴点表示点
π：半径1圆原点起数轴正半轴滚动周止2π取中点表示π点
点纳应
例3 解：图示
针训练解：AB致位置图示AB两点间表示整数点4
二课堂结
限循环数 理数 理数 理数理数 正数0负数 应
堂检测
1B 2C 3（1）√（2）√（3）×（4）√（5）× 4π（答案唯）
5（1）0333…﹣（﹣228）
（2）0﹣|﹣2|
（3）﹣24﹣1
（4）1010010001…﹣
6解：数轴表示图示：
第2课时 实数运算较
学目标：
1会求实数相反数倒数绝值会计算器进行实数运算熟练应运算法实数进行运算提高计算力（重点）
2掌握实数较法实数估算（重点）
3通独立思考组合作探究学会利类方法探究实数运算法运算律（难点）
学
知识链接
1理数范围求数a相反数绝值？
2实数包含数？
3理数中学运算法运算律？
二新知预
图面积分23两正方形放置数轴正方形顶点原点O重合条边恰落数轴正方顶点分数轴点A点B
（1） 两正方形面积边长？
（2） 面积分ab（a>b）两正方形图示方式摆放边长____（填＞＝＜）
合作探究
探究程
探究点1：实数性质
思考：理数求相反数绝值方法实数中否适？
点纳
例1分求列数相反数绝值．
针训练
1已知＝求a值
2试求相反数绝值
探究点2：实数较估算
知识点
实数较理数较方法样数轴_____点表示实数_____点表示实数
例2数轴表示列数应点致位置较<连接起
针训练估计位（ ）
A01间 B12间 C23间 D34间
探究点3：实数运算
问题：理数中学运算法运算律实数否适？适请写出混合运算序
例3计算（结果保留数点两位）：
方法总结实数运算中果遇理数需求出结果似值时求精确度相应似限数代理数进行计算
二课堂结
实数性质
实数范围相反数绝值倒数意义理数范围相反数绝值倒数意义完全样
实数较
数轴_______点表示实数_______点表示实数
实数运算
理数运算性质运算律实数范围样适
堂检测
1绝值（ ）
A3 B3 C D
2列数中互相反数( )
A3 B2(2）2 C D5|5|
3值( )
A B1 C1 D+1
4判断正误：
(1) （ ）
(2)绝值 （ ）
(3)相反数3 （ ）
5 相反数2π相反数
6较：﹣5 ﹣7 1
+1 3﹣π ﹣4﹣ ﹣3．
7较列组数
（1） （2）﹣π（3）05 （4）
8计算
（1）5（结果精确001） （2）
（3）
参考答案
学
知识链接
1解：a相反数a绝值
2解：实数包含理数理数
3解：加减方开方运算法加法交换律结合律法结合律交换律分配律
二新知预
解：（1）OAOB （2）＞
合作探究
探究程
探究点1：
思考：解：适
点纳 a 0 a a 0 a
例1 解：（1）相反数绝值
（2）相反数 绝值
（3）相反数4绝值4
针训练1解：a
2解：π314相反数314 ππ314绝值π314
探究点2：
知识点右边 左边
例2 解：数轴表示图2＜＜1＜＜
针训练B
探究点3：
问题：解：适 先方加减级运算左右进行括号先算括号括号中括号括号次进行
例3 解：（1）原式≈538 （2）原式≈032 （3）原式≈802
二课堂结 右边 左边
堂检测
1A 2C 3C 4（1）×（2）×（3）√ 5 π
6＞ ＞ ＜ ＜ ＜ ＞ ＞
7解：（1）＞ （2）＜﹣π （3）05＜（4）＞
8解：（1）原式≈193 （2）原式1 （3）原式4
第12章 整式
121 幂运算
1底数幂法
学目标：
1理解掌握底数幂法法（重点）
2够运底数幂法法进行相关计算（难点）
3通底数幂法运算法推导总结提升身推理力
学
知识链接
1填空：2×2×22（ ）（3）×（3）×（3）×（3）（3）（ ）
2根学知识na相表示
二新知预
试试：根幂意义填空：
23×24（2×2×2）（2×2×2×2）2（ ） （3）3×（3）4（3）（ ）
合作探究
探究程
探究点1：底数幂法法
思考1：根试试中规律填空：a3×a4 a（ ）
点纳底数幂法法：am · an _________ (mn正整数)
底数幂相 底数______指数______
思考2：果am 中a换成（x+y）等式否然成立？请说明理
（x+y）m ·（x+y）n _________ （x+y）m+n(填≠）
理：
纳总结公式am · an am+n中底数a仅代表数单项式代表项式
例1 计算：
（1）103×104＝ （2）x•x5＝
（3）﹣x3•x4＝ （4）（a+2b）（a+2b）2
针训练计算：（1）x2000•x3＝ （2）﹣a2•（﹣a3）＝
（3）（m﹣n）3（n﹣m）2＝ ．
例2 根法运算律计算列题：
（1）a2 ·a6 ·a3（a2 · ______）·______a ___
（2）x ·x2 ·x3（x · ______）·______x ___
纳总结am · an · ap _________（mnp均正整数）
针训练计算：
（1）a•a2•a4＝ （2）（﹣b）2•（﹣b）3•（﹣b）5＝
（3）（x﹣y）3（y﹣x）2（y﹣x）＝ ．
方法总结底数互相反数幂相时先底数统进行计算
偶次幂奇次幂符号变化：(1)(－a)n＝
(2)(a－b)n＝
探究点2：底数幂法法逆
思考：am+n写成两式积？
试试：xm 3 xn 2：
（1）xm+n _____·__________×_____ _____
（2）x2m _____·__________×_____ _____
（3）x2m+n _____·_____·__________×_____×_____ _____
方法总结关键逆底数幂法公式求代数式转化已知式积形式然求值
例3 (1)xa＝3xa+b＝12求xb值
(2)已知2x+2＝32求x值
方法总结第（2）问关键等式两边化底数相幂形式然根指数相等列方程解答
二课堂结
底数幂法法：am · an _________ (mn正整数)
底数幂相 底数______指数______
堂检测
1列式结果等26( )
A2+25 B2·25 C23·25 D022· 024
2列计算结果正确( )
Aa3 ·a3a9 Bm2·n2mn4 Cxm·x3x3m Dy·ynyn+1
3计算：
(1) 105×106 (2) a7·a3 (3) (b)3·(b)2 (4) a4·（a)2
(5) xn+1·x2n_______ (6) （ab)2·（ab)3_______(7) y4·y3·y2·y _______
4填空：
(1)x·x2·x( )x7 (2)xm·（ ）x3m (3)8×42xx( )
5计算：
(1)b2n＋1·b3 (2)(ab)3·(ba)4
(3) (3)×(3)2 ×(3)3 (4)－a3·(－a)2·(－a)3
6 （1）已知xa8xb9求xa+b值 （2）已知an3·a2n+1a10求n值
（3） 3×27×9 32x4求x值
参考答案
学
知识链接
13 4 2an
二新知预
试试：7 7
合作探究
探究程
探究点1：
思考1：解：（a·a·a）（a·a·a·a） 7
点纳am+n 变 相加
思考2：解： （x+y）成整体
例1 （1）107 （2）x6 （3）﹣x7 （4）（a+2b）3
针训练（1）x2003 （2）a5 （3）（m﹣n）5
例2 （1）a6 a3 11 （2）x2 x3 6
点纳am+n+p
针训练（1）a7 （2）b10 （3）（y﹣x）6
探究点2：
思考：解：am an
试试：（1）xm xn 3 2 6 （2）xm xm 3 3 9 （3）xm xm xn 3 3 2 18
例3 解：(1)xa+b＝xa·xb＝12xa＝3xb＝4
(2)2x+2＝2x·22＝322x·4322x823x3
二课堂结
am+n 变 相加
堂检测
1B 2D 3（1）1011 （2）a10 （3）b5 （4）a6 （5）x3n+1 （6）（ab)5 （7）y10
4（1）4 （2）x2m （3）5
5解：（1）原式b2n＋4 （2）原式 (ab)7 （3）原式 36 （4）原式a8
6解：（1）xa+b xa·xb8×972
（2）an3·a2n+1a3n2a103n210n4
（3）3×27×9 32x43×33×32 32x42x46解x5
2幂方
学目标：1理解掌握幂方法（重点）
2会运幂方法进行幂方运算（难点）
学
知识链接
1底数幂法法：am·an_____
2 计算：
(1) 73×75 ________ (2)a6·a2 ________
(3) x2·x3·x4 ________ (4)(－x)3·(－x)5________
二新知预
填填：根方意义底数幂法法填空：
(1) (43)243·434（ ） (2) (52)3 （ ）·（ ）·（ ）5（ ）
合作探究
探究程
探究点1： 幂方运算
试试：根填填中形式填空：(a3)4 a（ ）
点纳(am)n ________ (mn正整数)幂方底数_________指数________
思考：(a2)5(a5)2结果相什
（n____数）
（n____数）
点纳
例1计算：
(1) (x4)3 (2)(a2)7
针训练计算： (1)(x3)6 (2)[(a－b)4]5 (3)(x3)2·(x3)4
探究点2：幂方法逆
例2已知10m＝310n＝2求列式值
(1)103m (2)102n (3)103m＋2n．
方法总结类题关键逆幂方底数幂法求代数式正确变形然代入已知条件求值
针训练已知x2n＝3求(x3n)4值
二课堂结
幂方：数学语言：(am)n ________ (mn正整数)
文字语言：幂方底数_________指数________
堂检测
1．计算(x4)2结果 ( )
A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4
2．列式括号应填入b4( )
A．b12＝( )8 B．b12＝( )6 C．b12＝( )3 D．b12＝( )2
3．列计算中错误( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
4．果(9n)2＝312n值( )
A．43 B．34 C．23 D．1
5计算：
(1)(22)4________ (2)(xm)2________(3)(－a7)4________
6．计算：
(1)(102)8 (2)(xm+2)2 (3)[(－a)3]5 (4)－(x2)m
7已知3x+4y50求27x·81y值
参考答案
学
知识链接
1 am+n 2(1) 78 (2)a8 (3) x9 (4)x 8
二新知预
填填：(1)6 (2)52 52 52 6
合作探究
探究程
探究点1：
试试：a3·a3 · a3· a3 12
点纳amn 变 相
思考：解：相前者结果a10者结果a10
点纳偶 奇
例1 解：（1）原式x12 （2）原式a14
针训练
(1)原式x18 (2)原式(a－b)20 (3) 原式x18
探究点2：
例2 解：（1）原式（10m）327 （2）原式（10n）2224 （3）原式103m×102n27×4108
针训练 解：(x3n)4（x2n)636
二课堂结
amn 变 相
堂检测
1．B 2．C 3．B 4．B
5解：（1）28 （2）x2m （3）a28
6解：（1）原式1016 (2) 原式x2m+4 (3) 原式 －a15 (4) 原式－x2m
7解：3x+4y503x+4y527x·81y 33x+4y35
3积方
学目标：1理解掌握积方法应（重点）
2会运积方运算法进行计算（难点）
学
知识链接
1计算（1） 10×102×103 _________
（2） (x5)2_________
2（1）底数幂法：am·an_________( mn正整数)
（2）幂方：(am)n__________(mn正整数）
二新知预
填填：根方意义法交换律结合律进行计算：
方意义
法_____律_____律
底数幂法法
(ab)2 (ab)3
（ab）(ab) _____·______·____
(aa)（bb） _____·______
a2b2 _____
合作探究
探究程
探究点1：积方运算
问题：根计算程果23换成意正整数n(ab)n_____
点纳积方法： (ab)n ______（n正整数）积方等积式分_______幂________
例1计算：(1)(2ab)3 (2)－(3x2y)2 (3)(－3ab2c3)3 (4)(－xmy3m)2
针训练
1．计算(2a2)2结果( )
A．2a4 B．－2a4 C．4a4 D．－4a4
2 填空：
（1）（－2xy）4___________（2）（3a2）n___________
方法总结运积方法进行计算时注意式方尤字母系数漏方．
例2计算
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3 (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3
方法总结涉积方混合运算般先算积方算法算加减然合类项．
针训练计算：（1）（2tm）2·t （2）(－xy2)6＋(－3x2y4)3
探究点2：积方法逆
例3 计算：（1） （2）
例4 已知（ab）m2bn＝3求ambm+n值．
方法总结逆积方公式an·bn＝(ab)n灵活运符合公式形式通恒等变形转化公式形式运公式进行简便运算．
针训练已知实数xy满足x+y2xy5解出xy值求（x+y）13（xy）14值．
二课堂结
积方
（ab）n___________（n正整数）
范围
底数式积方
方法
积式分_________幂___________
注意事项
运算程注意字母系数漏方应防止符号错误
堂检测
1计算（ab2）3结果正确（ ）
A．a3b6 B．a3b5 C．ab6 D．ab5
2计算 (x2y)2结果（ ）
Ax4y2 B．x4y2 C．x2y2 D．x2y2
3列运算正确（ ）
A（ab3）2＝ab6 B（﹣3xy）3＝﹣9x3y3
C(x2)3x6 D（3x）2＝9x2
4面计算？果请改正（正确答案填横线）
(1)(3cd)39c3d3 ( ) 改正：______________
(2)(3a3)2 9a6 ( ) 改正：______________
(3)(2x3y)3 8x6y3 ( ) 改正：______________
(4)(ab2)2 a2b4 ( ) 改正：______________
5 计算： (1) 82026×01252025 ________ (2)
6计算
(1) (ab)8 (2) (2m)3 (3) (xy)5
(4) (5ab2 )3 (5) (2×102 )2 (6) (3×103)3
7计算
（1）(2x3)3·(x2 )2 （2）a3·a4·a+（2a4）2 （3）(x2y)4 +(x4y2)2
拓展提升
8果（an•bm•b)3a9b15求m n值
参考答案
学
知识链接
1（1）106 （2）x10
2（1）am+n （2）amn
二新知预
填填：交换 结合 （ab） （ab） （ab） （aaa） （bbb） a3 b3
合作探究
探究程
探究点1：
问题： anbn
点纳anbn 方 相
例1 解：(1)原式8a3b3 (2) 原式－9x4y2
(3) 原式－27a3b6c9 (4) 原式x2my6m
针训练1C 2（1）16x4y4 （2）3na2n
例2 解：(1) 原式 32x9y6 (2) 原式 0
针训练解：（1）原式4t2m+1 （2）原式26x6y12
探究点2：
例3 解：（1）原式4
（2）原式042019×(025)2019×04[04×(025)]2019×041×0404
例4 解：ambm+nam·bm·bn(ab)m·bn2×36
针训练解：原式[(x+y)13(xy)13](xy)[(x+y)(xy)]13(xy)5×1013
二课堂结
anbn 方 相
堂检测
1A 2A 3D 4（1）× 27c3d3 （2）× 9a6 （3）× 8x9y3 （4）√
5（1）8 （2）3
6 解：(1) 原式a8b8 (2) 原式8m3 (3) 原式x5y5
(4) 原式125a3b6 (5) 原式4×104 (6) 原式27×109
7 解： （1）原式8x13 （2）原式5a8 （3）原式2x8y4
8解：（an•bm•b)3a9b15a3n•b3m+3a9b153n93m+315解n3m4
4底数幂法
学目标：
1理解底数幂法法
2熟练灵活运法进行底数幂法运算（重点）
3应底数幂法法解决数学问题（难点）．
学
知识链接
填填：22·23_________103·104_________a3·a4___________
二新知预
试试：根述式子填空：
（1）________（2）________
（3）________（a≠0）
合作探究
探究程
探究点1 底数幂法运算法
思考：面计算发现：a7÷a3＝a4＝a7－3
果7换成m3换成nam÷an＝a（ ）
纳总结般设mn正整数m>na≠0
说底数幂相底数变指数______
例1 计算：
(1)a8÷a3 (2)(－a)10÷(－a)3 (3)(2a)7÷(2a)4
例2 计算：
(1)(－a)5÷a3 (2)[(－xy)6]2÷(xy)2 (3)(a＋b)4÷(ab)2
方法总结底数相时直接运法计算例1．底数相反数时先底数进行转化a＞0时例2
针训练计算：
(1)b5÷b5＝________
(2)(ab)7÷(ab)3＝________ (3)y9÷(y7÷y3)＝________．
探究点2 底数幂法混合运算
例3 计算：(1)(－a2)4÷(a3)2·a4 (2)273×92÷312．
方法总结法混合运算时序致括号→方→左右中间涉底数化相例3（2）
探究点3 底数幂法法逆
例4 已知3a＝43b＝53c＝8．
（1）求3b+c值 （2）求32a﹣3b值．
针训练5x＝165x3y＝2求5y值．
二课堂结
底数幂法法
底数幂相底数变指数相减
数学符号表示：（mn正整数m＞na≠0）
底数幂法法逆
数学符号表示： （mn正整数m＞na≠0）
堂检测
1计算x8÷（﹣x）2正确结果（ ）
A．x10 B．x6 C．﹣x6 D．x4
2．面运算正确( )．
A．x3÷x3＝0 B．x12÷x2＝x6 C．xn＋2÷xn＋1＝x D．a6÷a2＝a3
3．计算：
(1)(ab)6÷(ab)3＝________ (2)yn＋2÷yn＝________
(3)(m3)4÷(m2)3＝________(4)252÷52＝________
4计算：
（1）a7÷（﹣a2） （2）x2•（x2）3÷x5
（3）（a2）5•（﹣a）4÷（﹣a2）3 （4）（y2）3÷y3÷(y)2．
5（1）已知2x＝34y＝5求23x﹣4y值
（2）已知3m＝43m+n﹣2＝．求3n值．
参考答案
学
知识链接
填填：25 107 a7
二新知预
试试：（1）23 （2）104 （3）a4
合作探究
探究程
探究点1：
思考：mn
纳总结 amn 相减
例1 解： (1)原式a5 (2) 原式－a7 (3) 原式8a3
例2 解：(1)原式a2 (2) 原式 (xy)10 (3) 原式 (a＋b)2
针训练(1)1 (2)a4b4 (3)y5
探究点2：
例3 解：(1) 原式a6 (2) 原式3
探究点3：
例4 解：（1）3b+c＝3b•3c＝5×8＝40
（2）32a﹣3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝．
针训练
解：5x＝165x3y＝5x÷53y＝5x÷（5y）3＝16÷（5y）3＝25y＝2．
堂检测
1B 2．C 3．（1）a3b3 （2）y2 （3）m6 （4）25
4 解：（1）原式＝﹣a7÷a2＝﹣a5
（2）原式＝x2•x6÷x5＝x3．
（3）原式＝a10•a4÷（﹣a6）＝﹣a8．
（4）原式＝（y6）÷y3÷y2＝y．
5 解：（1）2x＝34y＝523x﹣4y＝（2x）3÷（4y）2＝33÷52＝
（2）3m＝43m+n﹣2＝3m×3n÷32＝4×3n÷9＝3n＝2
122 整式法
1单项式单项式相
学目标：
1掌握单项式单项式相运算法（重点）
2够灵活进行单项式单项式相运算（难点）
学
知识链接
幂运算性质：
(1)底数幂法公式：am·an＝____________(mn正整数)．
(2)幂方公式：(am)n＝____________(mn正整数)．
(3)积方公式：(ab)n＝____________(n正整数)．
二新知预
问题1 假面两幅风景图片加美丽相框需知道两幅图片现告诉左图长2x宽2计算出该图片面积？张风景图片长ab宽b计算出图片面积？
列式：_______________ 列式：________________
问题2 光真空中传播速度约3×108ms3×107s传播路程约少？
列式：____________________________
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
思考： 果问题2中数字改字母ac8 ·bc7样计算式子？
纳总结
单项式单项式相___________________分相单项式里含字母连________起作积式
例1计算：
(1) 3x2 ·5x3 (2)4y ·(2xy2) (3)(2a)3·(3a)2
方法总结(1)计算时应先进行符号运算积系数等式系数积(2)注意序运算方运算先算方算法(3)漏掉单项式里含字母式(4)性质单项式相然成立．
针训练计算：（1）2a•3a2 ＝
（2）（﹣2x2y）•（﹣3x2y3）＝ ．
例2已知－2x3m＋17xm－6积x4类项求m值．
方法总结单项式单项式系数底数幂分相结合类项定义列出方程求出参数值然代入求值．
针训练单项式﹣6x2ymxn﹣1y3类项两单项式积 ．
二课堂结
实质
注意事项
单项式单项式
转化底数幂法运算
(1) 注意符号问题
(2) 出现漏现象
(3) 运算序出错
堂检测
1．计算6x2•x3结果（ ）
A．6x B．6x5 C．6x6 D．6x9
2．计算：
（1）8xy•x＝ （2）2x2y3•（﹣7x3y）＝
（3）＝ （4）（﹣ab5）2•（﹣2a2b）3＝
3．计算2x•（﹣3xy）2•（﹣x2y）3结果
4（ambn）·(a2b)a5b3 m+n
5．计算：
（1）2a2•3a5 （2）（﹣2x2y3）•3xy2
（3）（﹣8ab2）（﹣a）3 （4）（3a2b）2•（a2）4•（﹣b2）5
（5）3x3y3•（﹣x2y2）+（﹣x2y）3•9xy2．
6明长a厘米尺子量黑板长20尺子长黑板宽16尺子长黑板面积少？
参考答案
学
知识链接
(1)am+n (2)amn (3)anbn
二新知预
问题1 2x·2 ab·b
问题2 (3×108)×(3×107)
合作探究
探究程
探究点：
思考 ac8·bc7abc15
纳总结系数 相字母幂 指数
例1 解：(1) 原式15x5 (2) 原式8xy3 (3) 原式72a5
针训练（1）6a3 （2） 6x4y4
例2 解：－2x3m＋1·7xm－6－14x4m5题意4m54解m
针训练﹣3x4y6
堂检测
1B 2（1）2x2y （2）﹣14x5y4 （3）﹣x5 （4）﹣8a8b13
3．﹣18x9y5 45
5 解：（1）原式6a7 （2）原式﹣6x3y5 （3）原式a4b2
（4）原式﹣9a12b12 （5）原式﹣2x5y5﹣x7y5
6解：黑板面积20a·16a320a2（方厘米）．
2单项式项式相
学目标：
1掌握单项式项式相运算法（重点）
2够灵活进行单项式项式相运算（难点）
学
知识链接
填填：2a2·3a2__________2a2·5b__________
二新知预
试试：法分配律计算：2a2（3a2+5b）
合作探究
探究程
探究点：单项式项式
问题1： 图试求出三块草坪总面积少？
面积 ____________ 面积____________ 面积____________
总面积_______________________
问题2：三块长方形草坪拼成长方形草坪求长方形面积？
长___________________
面积__________________
根等积法出结___________________________________
点纳单项式项式相单项式分项式项积相______
例1计算：
（1）2x（3x2+1） （2）（﹣3x+1）（﹣2x）2．
针训练计算：（1）3x2（x+1） （2）2x（﹣x2+3x﹣4）
例2先化简求值：3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)中a＝－2
针训练先化简求值：中x1y2
例3果(－3x)2(x2－2nx＋2)展开式中含x3项求n值．
方法总结项式中含项表示项系数0
二课堂结
实质
注意事项
单项式单项式
转化底数幂法运算
(4) 注意符号问题
(5) 出现漏现象
(6) 运算序出错
单项式项式
转化单项式单项式
堂检测
1计算﹣3a2（4a﹣3）等（ ）
A．﹣12a3+9a2 B．﹣12a2+9a2 C．﹣12a3﹣9a2 D．﹣12a2﹣9a2
2果长方体长3a﹣4宽2a高a体积（ ）
A．3a2﹣4a B．a2 C．6a3﹣8a2 D．6a2﹣8a
3计算
(1)4(ab+1)__________ (2)3x(2xy2)_______________
(3) (2x5y+6z)(3x) _______________(4)(2a2)2(a2b+c)_____________
4(x2＋ax＋5)(－6x3)展开式中含x4项a应等
5计算：
(1)(2xy2－3xy)·2xy (2)－2ab(ab－3ab2－1)
(3)x2(3－x)＋x(x2－2x) (4)－2x2·(xy+y2)5x(x2yxy2)
6 已知ab21求（ab）（a2b5ab3b）值．
7图块长方形建造住宅广场商厦求块面积
拓展提升
8某学计算项式﹣3x2时抄错符号算成加﹣3x2答案x2﹣05x+1正确计算结果少？
参考答案
学
知识链接 填填：6a4 10a2b
二新知预 试试：解：原式2a2·3a2+2a2·5b6a4+10a2b
合作探究
问题1 ap bp cp ap+bp+cp
问题2 a+b+c ( a+b+c)p ( a+b+c)p ap+bp+cp
点纳加
例1 解：（1）原式＝2x·3x2+2x6x3+2x
（2）原式＝（﹣3x+1）·4x2＝（﹣3x）·4x2+1·4x2＝12x3+4x2
针训练解：（1）原式＝x3+3x2 （2）原式＝﹣2x3+6x2﹣8x
例2 解：原式20a2+9aa＝－2时原式801898
针训练解：原式＝﹣2x3y+x2y2﹣2xy．x1y2时原式12
例3 解：原式9x2(x22nx+2)9x418nx3+18x2展开式中含x3项n0
堂检测
1A 2C
3（1）4a4b+4 （2）6x23xy2 （3）6x2+15xy18xz （4）4a58a4b+4a4c
40
5解：（1）原式4x2y36x2y2 （2）原式2a2b2+6a2b3+2ab （3）原式x2
（4）原式7x3y+3x2y2
6 解：∵ab21∴原式a3b6+a2b4+ab2（ab2）3+（ab2）2+ab21+111．
7解：原式＝4a（3a+2b+2a﹣b）＝4a（5a+b）＝20a2+4ab．
8解：项式（x2﹣05x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣05x+1正确计算结果：（4x2﹣05x+1）•
（﹣3x2）＝﹣12x4+15x3﹣3x2．
3项式项式相
学目标：
1理解掌握项式项式法运算法（重点）
2够灵活运项式项式法运算法进行计算（难点）
学
知识链接
填填：（m+n）x____________
二新知预
试试：xa+b（m+n）xmx+nx____________+____________________________
合作探究
探究程
探究点：项式项式
问题 某区退耕林期间块原长m米宽a米长方形林区长增加n米宽增加b米请计算块林区现面积？
方法三：_________________________________
方法二：_________________________________
方法：_________________________________
形式表示林区现面积？
根式子出等式？
点纳项式项式相先项式项分________项式项积________
例1 计算：（1）（x﹣3）（x+1） （2）（a+2b）（2a﹣4b）．
针训练
计算：（1）（3x+2）（2x1） （2）（x+y）（x2﹣xy+y2）．
例2 先化简求值：（3y+2）（y﹣4）﹣（y﹣2）（y﹣3）中y1
方法总结进行项式项式计算时需注意三问题(1)漏(2)符号问题(3)结果应化成简形式
针训练先化简求值：（2x+1）（x﹣5）﹣（3x+1）（5x﹣2）中x＝﹣1
例3（x﹣2）（x2+3mx）积中含x2项求m值
方法总结解决类问题首先利项式项式法法计算出展开式合类项根含某项项系数等零列出方程解答．
针训练已知ax2＋x＋1(a≠0)3x－2积中含x2项求系数a值．
二课堂结
1项式项式法法：项式项式相先项式项分________项式项积________
2注意事项：(1)漏(2)符号问题(3)结果应化成简形式
堂检测
1．（x+1）（2x﹣5）计算结果（ ）
A．2x2﹣3x﹣5 B．2x2﹣6x﹣5 C．2x2﹣3x+5 D．x2﹣3x﹣5
2．列项式相结果x2﹣4x﹣12（ ）
A．（x﹣4）（x+3） B．（x﹣6）（x+2） C．（x﹣4）（x﹣3） D．（x+6）（x﹣2）
3．2x+mx+2积中含x次项m值（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6a＝ ．
5．计算：
（1）（5x+2y）•（3x﹣2y）
（2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b）．
6先化简求值：（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2中x＝y＝﹣1
7．图某区规划长（3x+4y）米宽（2x+3y）米长方形场修建1横2三条宽x米甬道余部分绿求：
（1）甬道面积
（2）绿面积（结果化简）
参考答案
学
知识链接 填填：mx+nx
二新知预 试试：m( a+b) n( a+b) am+bm+ an+bn
合作探究
探究程
探究点：
问题 ( a+b)( m+n) ( a+b)m+ ( a+b)n am+bm+ an+bn
( a+b)( m+n) ( a+b)m+ ( a+b)n am+bm+ an+bn
点纳 相加
例1 解：（1）原式x2﹣2x﹣3 （2）原式2a2﹣8b2
针训练解：（1）原式3x•2x3x+2×2x26x2+x2 （2）原式x3+y3
例2 解：原式＝3y2﹣12y+2y﹣8﹣（y2﹣3y2y+6）＝3y2﹣10y﹣8﹣y2+5y﹣6＝2y2﹣5y﹣14
y1时原式7
针训练解：原式＝2x2﹣10x+x﹣5﹣（15x2﹣6x+5x﹣2）＝2x2﹣9x﹣5﹣15x2+x+2＝﹣13x2﹣8x﹣3x＝﹣1原式＝﹣13×1+8﹣3＝﹣8
例3 解：（x﹣2）（x2+3mx）x32x2+3mx26mx积中含x2项2+3m0m
针训练解：（ax2+x+1）（3x2）3ax32ax2+3x22x+3x2∵积中含x2项∴2a+30解a
二课堂结 相加
堂检测
1．A 2．B 3．A 4．1
5．解：（1）原式＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2＝15x2﹣4xy﹣4y2．
（2）原式＝2a2﹣ab+2ab﹣b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2＝4a2﹣2ab﹣3b2．
6解：原式＝x2+2xyx2xy﹣4y2+2y+4y2＝x2﹣x+2yx＝y＝﹣1时原式＝﹣﹣2＝﹣2
7．解：（1）甬道面积2x（2x+3y）+x（3x+4y）﹣2x2＝(5x2+10xy)（方米）．
（2）绿面积（3x+4y）（2x+3y）﹣（5x2+10xy）＝6x2+17xy+12y2﹣5x2﹣10xy＝(x2+7xy+12y2)（方米）．
123 法公式
1两数两数差
学目标：
1历方差公式探索推导程掌握方差公式结构特征（重点）
2灵活运方差公式进行计算解决实际问题（难点）
学
知识链接
项式项式法：项式项式相先项式项_________项式项积_______．
二新知预
算算：根项式项式法进行计算：
①（x ＋ 1)( x－1）x2x+x1_______________
②（m ＋ 2)( m－2）m22m+2m4_______________
③（2m＋ 1)(2m－1）______________________________
合作探究
探究程
探究点1：方差公式
问题 观察算算中式子结果什特点？
点纳出现两项式相时候呈现形式(a+b)(a−b)_________（中ab代表数字母式子）两数两数差积等两数__________
试试：边长a正方形中剪边长b正方形然剩余两长方形拼成长方形两图形面积说明方差公式？
剩余部分面积：____________
新长方形面积：____________
等式：___________________
例1利方差公式计算：
(1)(x－5)(x＋5) (2)(－a－b)(b－a) （3）（x+1）（﹣x+1）
针训练计算：(1)(a－1)(a＋1) (2)(2m＋3n)(2m－3n)．
方法总结应方差公式计算时应注意问题：
(1)左边两二项式相两二项式中项完全相项互相反数
(2)右边相项方减相反项方
(3)公式中ab具体数单项式项式．
例2先化简求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)中x＝1y＝2
针训练先化简求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1中x＝
探究点2：方差公式应
例3计算(1) 51×49 (2)598×602
方法总结根方差公式特征合理变形简化运算例（1）中51化（50+1）49化（501）
例4王伯家块边长a米正方形土租邻居李妈．年王伯李妈说：块边减少4米外边增加4米继续原价租？李妈听答应．认李妈吃亏？什？
方法总结解决实际问题关键根题意列出算式然根公式化简算式解决问题．
相项a
(a+b)(ab)a2b2
二课堂结
符号相反项b
堂检测
1列运算中方差公式计算( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2计算（2x2+1）（2x21）等（ ）
A．4x41 B．2x41 C．4x21 D．4x4+1
3图1中阴影部分长方形变换图2位置根两图形面积关系数学公式______________________．
图1 图2
4已知x2y28x+y4xy
5两正方形边长5边长差2较正方形面积减较正方形面积差
________．
6利方差公式计算：
（1）(a+3b)(a 3b) （2）(3+2a)(－3+2a) （3）(－2x2－y)(－2x2+y)
7计算：（1）20222 － 2021×2023 （2)(a2)(a+2)(a2 + 4)
8先化简求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3中x＝2
9意正整数n整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)值定10整数倍？
参考答案
学
知识链接
相加
二新知预
算算：①x21 ②m24 ③4m²2m+2m1 4m²1
合作探究
探究程
探究点1：
问题 解：二项式二项式二项式两项式中间符号样
点纳a²b² 方差
试试：a²b² ( a+b)( ab) a²b²( a+b)( ab)
例1 解：（1）原式x225 （2）原式a2b2 （3）原式1x2
针训练解：（1）原式a2－1 （2）原式4m2－9n2
例2 解：原式4x2y24y2+x25x25y2x1y2时原式5×125×2215．
针训练解：原式19x2+9x2+2x12xx时原式1
探究点2：
例3 解：（1）原式(50+1)×(501)50²12499
（2）原式(6002)×(60+02)60²02²3600004359996
例4 解：李妈吃亏理：原正方形土面积a2方米改变边长土面积（a+4）（a4）a216（方米）∵a2＞a216∴土面积减少．∴李妈吃亏．
堂检测
1C 2A 3(a+b)(a−b)a2 b2 42 510
6解：（1）原式a29b2 （2）原式4a2－9 （3）原式4x4－y2
7解：（1）原式1 （2）原式a416
8解：原式x21+x2x3+x32x21x2时原式7．
9解：（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）9n21（9n2）9n219+n210n21010（n21）．n意正整数n21整数整式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）值定10整数倍．
2两数（差）方
学目标：
1理解掌握完全方公式推导程结构特点解释（重点）
2灵活运完全方公式进行计算（难点）
学
知识链接
1计算：(1)22＝___________(2)（3）2＝___________．
2项式项式法：
二新知预
试试 根项式项式法方定义填空：
（1） （p+1)2(p+1)(p+1)___________（2） （m+2)2(m+2)(m+2)___________
（3） （p1)2( )( )___________（4） （m2)2( )( )___________．
合作探究
探究程
探究点1：两数（差）方公式（称完全方公式）
问题1 观察面两图形方式表示图1面积图2中Ⅲ面积？
两种方法求图1面积：S＝(_________)2S＝(_________)2＋_________＋(_________)2
两种方法求图2中Ⅲ面积：
SⅢ＝(_________)2SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2
问题2 根面规律直接写出列式子答案？
（a+b)2 ___________ （ab)2___________
点纳完全方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2两数（差）方等两数_______加（减）积________
例1计算：
(1)(2a＋b)2 (2)(－a－b)2 (3)(5＋3p)2 (4)(2x－7y)2．
方法总结直接运完全方公式进行计算关键掌握完全方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2巧记首方末方首末两倍中间放．
针训练利完全方公式计算：
(1) (5－a)2 (2)(－3m－4n)2 (3)(－3a＋b)2
（4）（a+2b﹣1）2（提示：中两项成整体）
探究点2：两数（差）方公式应
例2利法公式计算：
(1)2012 (2)982－101×99
针训练利法公式计算：20222－2022×4042＋20212
方法总结运法公式进行简便运算熟记法公式（方差公式完全方公式）特征原式转化利法公式运算形式进行计算．
例3 已知x－y＝6xy＝－8求
(1) x2＋y2值 (2)(x+y)2值
方法总结运完全方公式变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy(x－y)2＝(x+y)2－4xy快速解题
二课堂结
完全方公式
公式
结构特征
常变形
(a+b)2_________
(ab)2_________
(1) 公式左边二项式方右边二次三项式
(2)公式右边第三项分左边二项式中两项方中间项左边两项积2倍．
a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab
4ab(a+b)2(ab)2
堂检测
1运法公式计算(a2)2结果（ ）
A．a24a+4 B．a22a+4 C．a24 D．a24a4
2列计算结果2ab－a2－b2( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3运完全方公式计算
(1)(x＋6)2_______________(2) (6a+5b)2_______________
(3) (4x3y)2_______________(4)(2m1)2 _______________
4完全方公式知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64运方法计算：4321 2＋8642×0679＋06792＝________．
5计算：
（1）（﹣m﹣4n）2 （2）（x﹣2y+1）2．
6已知a+b＝5ab＝﹣6求列式值．
（1）a2+b2 （2）（a﹣b）2．
7已知x+y＝12x﹣y＝4解出xy值求x y值．
参考答案
学
知识链接
1（1）4 （2）9
2项式项式相项式项分项式项积相加
二新知预
试试 （1）p2＋2p+1 （2）m2＋4m+4
（3）p1 p1 p2－2p+1 （4）m2 m2 m2－4m+4
合作探究
探究程
探究点1：
问题1 a+b a 2ab b ab a 2ab b
问题2 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2
点纳
a 2ab b a 2ab b 方 2倍
例1 解：（1）原式4a2+4ab＋b2． （2）原式a2+2ab＋b2．
（3）原式25+30p＋9p2． （4）原式4x2－28xy＋49y2．
针训练解：（1）原式2510a+a2． （2）原式9m2+24mn+16n2．
（3）原式9a26ab+b2． （4）原式（a+2b）22（a+2b）+1a2+4ab+4b22a4b+1．
探究点2：
例2 解：（1）2012（200+1）22002+2×200×1+1240401
（2）原式（1002）2－（100+1）（1001）100²400+4100²+1395
针训练解：原式（20222021）²1
例3 解：（1）∵xy6xy8∴x2+y2（xy）2+2xy361620
（2）（x+y）2x2+y2+2xy20+2×（8）4．
二课堂结
a2+2ab+b2 a22ab+b2
堂检测
1A 2D
3（1）x2+12x＋36 （2）36a2+60ab＋25b2
（3）16x224xy＋9y2 （4）4m2+4m＋1
425
5解：（1）原式＝m2+8mn+16n2．（2）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．
6解：（1）∵a+b＝5ab＝﹣6∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣6）＝37
（2）∵a+b＝5ab＝﹣6∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝49．
7解：已知两式方（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144①（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝16②
①﹣②4xy＝128xy＝32．
124 整式法
1单项式单项式
学目标：
1会进行单项式单项式运算（重点）
2探索单项式单项式法程（难点）
学
知识链接
填填：(1)a2·a3＝ (2)2x·3x4＝ （3）2a2b·a3b5＝
二新知预
试试：根填填中结果填写列等式：
(1)a5÷a2＝ (2)6x5÷2x＝ （3）a5b6÷2a2b＝
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
问题 观察试试中式子发现商系数字母次数式式什关系？
点纳单项式单项式法单项式相 ______________________分相作商______式中出现字母连______起作商式
例1 计算：（1）4x5÷2x3 (2)（﹣8x9y6）÷（2x2y）
针训练
1计算8a3÷（2a）结果（ ）
A．4a B．4a C．4a2 D．4a2
2计算：（1）4a3b2÷2ab （2）（6x2y3 )2÷(3xy2)2 （3）﹣5x5y3z÷15x4y÷x y
方法总结掌握整式法运算法解题关键注意计算程中方先算方算．T2（2）
例2 已知|a+5|+|b2|0求代数式5a5b4c÷[（2a2b2）2c]·2b2值
二课堂结
单项式单项式
1_____相
2底数幂______
3式中出现式搬作商式
堂检测
1计算4x3yz÷2xy正确结果（ ）
A．2xyz B．xyz C．2x2z D．x2z
2计算：6a3b4÷3a2b÷ab＝（ ）
A．2 B．2ab3 C．3ab3 D．2b2
3单项式A﹣3x2y积6x6y2单项式A（ ）
A．2x3y B．﹣2x3y C．﹣2x4y D．2x4y
4图1张长方形纸板四角切样正方形制成图2盖纸盒该纸盒容积4a2b图2中纸盒底部长方形面积（ ）
A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
5已知﹣21x2ya÷（﹣3x2y3）＝7ya
6．填空：（1）200xy÷（－8y）
（2）（－3ax）3÷（ ）－3ax
（3）（ ）÷（－5ab3）3ac．
7．计算：
（1）2x2y÷（﹣x） （2）（﹣2x3y2）3÷2x2y
（3）（3a2b3c4）2 ÷（a2b4） （4）[（﹣5mn）6÷（﹣5mn）4]2
（5）（﹣3x2y）2•6xy3÷9x3y4 （6）﹣x2y+（﹣ax4y3）÷（﹣ax2y2）
8明进行两单项式相时心7ab成7ab结果﹣21a2b2求实际相结果
参考答案
学
知识链接
填填：(1)a5 （2) 6x5 (3) a5b6
二新知预
试试：(1)a3 （2) 3x4 (3) a3b5
合作探究
探究程
探究点：单项式单项式
问题 解：商系数式式系数商次数应字母次数相减
点纳 系数 底数幂 式 指数
例1 解：（1）原式2x2 (2)原式＝﹣4x7y5
针训练
1D 2 解：（1）原式2a2b （2）原式4x2y2（3）原式＝﹣xy2z÷xy＝﹣yz
例2 解：原式＝ |a+5|+|b2|0a5b2原式＝
二课堂结
系数 相
堂检测
1C 2D 3C 4A 54 6（1）25x （2）9a²x2 （3）－15a2b3c
7解：（1）原式＝﹣8xy．
（2）原式＝﹣8x9y6÷2x2y＝﹣4x7y5．
（3）原式9a4b6c8÷（a2b4）27a2b2c8．
（4）原式＝[（﹣5mn）2]2＝625m4n4．
（5）原式＝9x4y2•6xy3÷9x3y4＝6x2y．
（6）原式＝﹣x2y+x2y＝x2y
8解：题意：式﹣21a2b2÷7ab＝﹣3ab
正确结果﹣3ab÷7ab＝﹣．
2项式单项式
学目标：
1项式单项式运算法应．（重点）
2探索项式单项式法程灵活运法解题（难点）
学
知识链接
1单项式项式相法：_____ ___．
2计算：2x(x2＋3x＋4)＝__________．
二新知预
1幅长方形油画长(a+b)宽m求面积
面积_______________________________
2已知该油画面积(ma+mb)宽m求长 解：列式：_____________________
合作探究
探究程
探究点：项式单项式
问题 根T1中式子算出T2中列式结果？写出结果
点纳项式单项式先项式________________商________
例1 计算：
（1）（18a2b﹣6ab）÷（﹣6ab） （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
针训练计算：
(1)(－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3 (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
方法总结项式单项式实质利法分配律项式单项式问题转化单项式单项式问题解决．计算程中注意符号问题
例2 先化简求值：（9ab3+12a4b2）÷3ab中a＝﹣1b＝﹣2．
针训练先化简求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y中x＝2020y＝2021
二课堂结
项式单项式：
1．项式单项式运算实质项式单项式运算转化单项式法．
2．项式单项式商项数项式项数相式n项商n项漏项．
3．熟练进行项式单项式运算必须掌握基础运算幂运算性质整式法基础．
4．符号运算中重问题项式项单项式时注意项符号单项式符号．
堂检测
1．计算（﹣4x3+2x）÷2x结果正确（ ）
A．﹣2x2+1 B．2x2+1 C．﹣2x3+1 D．﹣8x4+2x
2．计算：（﹣6x3+9x2﹣3x）÷（﹣3x）＝（ ）
A．2x2﹣3x B．2x2﹣3x+1 C．﹣2x2﹣3x+1 D．2x2+3x﹣1
3．计算：（1）（﹣2a2bc﹣ab）÷（﹣ab）＝
（2）（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝ ．
4．长方形面积3a2+a边长a相邻边长 ．
5．已知项式单项式﹣7x2y3积21x4y5﹣28x7y4+14x6y6项式 ．
6．计算：
（1）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2 （2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）
（3）（y3﹣3y2+y）÷y （4）
（5）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣2xy）
7．先化简求值：[(x−y)2+(2x+y)(1−y)−y]÷(−x)中x1y
参考答案
学
知识链接
1单项式项式单项式项式项相积相加
22x3＋6x2＋8x
二新知预
1 (a+b)m am+bm
2 (ma+mb)÷m
合作探究
探究程
探究点：项式单项式
问题 解：结果a+b
点纳项 单项式 相加
例1 解：（1）原式＝18a2b÷（﹣6ab）﹣6ab÷（﹣6ab）＝﹣3a+1
（2）原式＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1
针训练解：（1）原式2xz+1 （2）原式8x²y2+4xy1
例2 解：原式＝3b2+4a3ba＝﹣1b＝﹣2时原式3×（2）2+4×（1）3×（2）＝20．
针训练 解：原式（2x3y2x2y2+x2y2x3y）÷x2y（x3yx2y2）÷x2yxyx＝2020y＝2021时原式xy1
堂检测
1．A 2．B 3．（1）2ac+1 （2） 4．3a+1 5．﹣3x2y2+4x5y﹣2x4y3
6解：（1）原式＝y﹣xz． （2）原式＝﹣1﹣5mn+m2．
（3）原式＝y2﹣y+1． （4）原式＝2x﹣y﹣4．
（5）原式＝（4xy2﹣8xy+2x﹣2x）÷（﹣2xy）＝﹣2y+4．
7解：原式（x22xy+y2+2x2xy+yy2y）÷（x）（x24xy+2x）÷（x）2x+8y4x1y时原式2×1+8×42+442．
125 式分解
第1课时 式分解提公式法分解式
学目标：
1理解式分解意义概念（重点）式分解整式法区联系
2理解掌握提公式法熟练运提公式法分解式（难点）
学
知识链接
填填：x（x+1） 3a(a+2) m(a+b+c) __________
二新知预
想想：根面三等式列式子写成两式子相形式：
x2+x（___）（______） 3a2+6a（_____）（_______） ma+mb+mc（____）（_________）
合作探究
探究程
探究点1：式分解
思考1：想想中三式子左右变化什特点？
点纳项式化成 形式做项式
思考2：通观察填填想想中式子发现式分解整式法什联系？
例1列左右变形中式分解( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1②x3＋x＝x(x2＋1)
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1 B．2 C．3 D．4
方法总结判断变形程否式分解：等式右边否整式积形式二等式左边否项式．
针训练列等式中左右变形式分解___________ （填序号）
①24x2y3x ·8xy ②am+bm+cm(a+b)+c ③x21(x+1)(x1)
④(2x+1)24x2+4x+1 ⑤2x+4y+6z2(x+2y+3z) ⑥x2+xx2(1+)
探究点2：公式
思考：式子ma+mb+mc中ma · mb · mc · 式
点纳项式中项含相式称
问题：确定项式公式？
找找：3x 2 6 xy公式
(1) 项式3x 2 6 xy____项分___________________系数分_____________系数公约数__________含字母_________该字母指数分___________
(2) 该项式公式______________
方法总结正确找出项式公式步骤：
1定系数：公式系数项式项系数_______________
2定字母：字母取项式项中含字母
3定指数：相字母指数取项中______字母_____次数
针训练列项式公式填横线
(1) 3x+6y ___________ (2)ab2ac ___________
(3) a2 a3 ___________ (4 )9m2n6mn ___________
(5)6x2y8xy 2 ___________ (6)4(m+n) 2 +2(m+n) ___________
探究点3：提公式法分解式
概念提出项式 提出写成两式 形式种式分解方法做
例2列式分解式：
(1)8a3b2＋12ab3c (2) x2+xyxz (3)2a(b＋c)－3(b＋c)
方法总结提公式法步骤（分两步）第步找出公式 第二步提取公式 项式化两式积
针训练
1列某学分解式结果画√错画×改正
(1) 分解式 12xy3+18xy23xy(4y2 + 6y) ____________
正解：________________________________
(2) 分解式3x2 6xy+x x(3x6y)____________
正解：________________________________
(3) (a＋b)(a－b)－a+b(a＋b)(a－b－1)____________
正解：________________________________
易错纳 (1)提取公式项式中项含公式．(2)提取公式漏掉式1项(3)找公式时符号出错
例3运提公式法进行简便运算：
（1）2×97+8×97 （2）125×77+025×7725×77
例4先式分解求值：m（a3）2n（3a）中a1m06n02
针训练
ab互相反数时代数式a2+ab2值（ ）
A．2 B．0 C．2 D．1
二课堂结
式分解
公式
提公式法分解式
式分解______互逆运算
式分解右边两整式积形式
步骤：
1定__________
2定__________
3定__________
步骤：1找公式2提公式
注意事项：1公式提2漏项3提负号注意变号
堂检测
1列左边右边变形属式分解（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
2．项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公式（x﹣2）余部分（ ）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3列项式分解式正确（ ）
A．12xyz9x2y23xyz（43xyz）
B．3a2y3ay+6y3y（a2a+2）
C．x2+xyxzx（x2+yz）
D．a2b+5abbb（a2+5a）
4．式分解：
（1）3xy﹣6y＝
（2）a2b+b﹣2ab2＝
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝
59a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)整式M等____________
6简便计算：
(1) 199×198+199×002 (2)(2)101+(2)100
7ab＝22a+b＝6求项式4a3b22a2b3值
8．△ABC三边长分abca+2ab＝c+2bc判断△ABC形状．
参考答案
学
知识链接
填填：x²+x 3a²+6a ma+mb+mc
二新知预
想想：x x+1 3a a+2 m a+b+c
合作探究
探究程
探究点1：
思考1：解：三式子式子相加变成式子相
点纳整式积 式分解
思考2：解：式分解整式法相反方变形互逆运算二者式子表现形式．
例1 B
针训练③⑤
探究点2：
思考：m a m b m c m
点纳公式
找找：（1）2 3x 2 6 xy 3 6 3 x 2 1 （2）3x
方法总结公约数 次数 低
针训练（1）3 （2）a （3）a² （4）3mn （5）2xy （6）2(m+n)
探究点3：
概念提出公式 积 提公式法
例2 解：（1）原式4ab²（2a²+3bc） （2）原式x（xy+z） （3）原式（b+c）（2a3）
针训练1（1）× 6xy2(2y+3) （2） × x(3x6y+1)
（3）× （ab）（a+b1）
例3 解：（1）原式（2+8）×97970（2）原式（125+02525）×7777
例4 解：原式（m+2n）（a3）（06+02×2）×（13） 2
针训练C
二课堂结
整式法 系数 字母 指数
堂检测
1 D 2D 3B
4（1）3y（x﹣2） （2）b（a2+1﹣2ab） （3）（x﹣2）（3x+1）
53a(x－y)2 6解：（1）原式398 （2）原式2100
7解：∵ab＝22a+b＝6∴4a3b22a2b3＝2a2b2（2a+b）＝2×22×6＝48．
8解：∵a+2ab＝c+2bc∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0（a﹣c）（2b+1）＝0．∵abc△ABC边长∴b＞0∴2b+1≠0∴a﹣c＝0∴a＝c△ABC等腰三角形
第2课时 运方差公式分解式
学目标：
1学会运方差公式进行式分解．（重点）
2会综合运提公式法方差公式项式进行式分解．（难点）
学
知识链接
填填：（1）（a+5）（a5）___________（2）（4m+3n）（4m3n）___________．
二新知预
试试：观察计算结果分解列式：
（1）a2－25___________（2）16m2－9n2___________．
合作探究
探究程
探究点1：方差公式分解式
思考1：试试中两式子左右变化什特点？
思考2：根填填试试中式子a2－b2式分解？写出分解式结果
点纳a2－b2____________两数方差等两数_____两数______________
例1列式中方差公式分解式( )
①2x2＋y2②x2－4③－4x2－y2④1－a2b2
A．1 B．2 C．3 D．4
方法总结方差公式分解式项式具特征：两数方减号中央．
针训练列运方差公式式分解正确( )
A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b) D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)
例2分解式：
(1)a2－4b2 (2)(m＋n)2－(m－n)2
方法总结式分解时出现两方相减形式应分转化两数（式）整体方方差公式式分解
针训练式分解：(1)a2－b2 (2)(2x＋3y)2－(3x－2y)2
易错题醒式分解需注意系数变化例T（1）中b2改写成（b）2进行计算
例3式分解：(1)x－xy2 (2)3xy3－3xy
针训练分解式：
(1)a4－b4 (2)a2－4b2－a－2b
方法总结分解式前应先分析项式特点般先提公式套公式注意分解式必须进行项式分解式止．
例4计算：(1)1012－992 (2)5352×44652×4
方法总结较复杂理数运算运式分解进行变形运算简化
针训练简便方法计算：36×18－24×12
例5已知x2－y2＝－2x＋y＝1求xyxy值．
方法总结x2－y2x±y关求代数式未知数值问题中通常需先式分解然整体代入联立方程组求值
针训练已知|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0求a2﹣b2值．
运方差公式分解式
公式：a2b2______________
步骤：提：提______
二套：套______
三查：检查项式否分解式
二课堂结
堂检测
1列项式中方差公式分解式( )
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－9y2 D．－x2＋9
2分解式(2x+3)2 x2结果（ ）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3a+b3ab7b2a2值（ ）
A．21 B．21 C．10 D．10
4列式分解式：
（1）9m2﹣n2＝ （2）x2﹣（y﹣2）2＝
（3）ax3y﹣axy3＝ （4）2m﹣32m5＝ ．
5(2x)n81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x3)n值______
6已知4m+n＝402m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2值．
7边长a 厘米正方形木板开出边长 b（b）厘米四正方形孔（图）求剩余部分面积（含ab代数式表示）求a＝146b＝27时剩余部分面积
拓展提升
8 (1)993﹣99100整？
(2)n整数（2n+1）2﹣25否4整？
参考答案
学
知识链接 填填：a225 16m29n2
二新知预 试试：（1）（a+5）（a5） （2）（4m+3n）（4m3n）
合作探究
探究程
思考1：解：两数方相减变成两式子相两式子中间符号相反
思考2：解：a2b2（a+b）（a－b）
点纳（a+b）（a－b） 差 积
例1 B 针训练B
例2 解：(1)原式(a+2b)(a2b) (2)原式（m+nm+n）（m+n+mn）4nm
针训练 解：（1）原式(a+b)(ab) （2）原式 (5x＋y)( 5y－x)
例3 解：（1）原式x（1+y）（1－y） （2）原式3xy（y+1）（y－1）
针训练解：（1）原式（a²+b²）（a+b）（ab） （2）原式（a+2b）（a2b1）
例4 解：（1）原式（101+99）（10199）400 （2）原式4（535+465）（535465）4×100×72800
针训练解：原式182×2－122×22×（182－122）2×（18+12）（18－12）2×3×0636
例5 解：式分解x²y²（x+y）（xy）2∵x+y1∴xy 2．联立 解
针训练解：∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0∵∴a﹣b＝3a+b＝2∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．
二课堂结
（a+b）（a－b） 公式 公式
堂检测
1D 2D 3A
4（1）（3m+n）（3m﹣n） （2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）
（3）axy（x+y）（x﹣y） （4）2m（1+4m2）（1+2m）（1﹣2m）
54
6 解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣（4m+n）·（2m﹣3n）4m+n＝402m﹣3n＝5时原式＝﹣40×5＝﹣200．
7 解：根题意剩余部分面积＝a2﹣4b2∵a＝146b＝27∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（146+2×27）（146﹣2×27）＝184(方厘米)．
8 解：（1）理：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝98×99×100993﹣99100整．
（2）理：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1+5）（2n+15）＝4（n+3）(n2)n整数∴（2n+1）2﹣254整．
第3课时 运两数（差）方分解式
学目标：
1理解掌握完全方公式分解式．（重点）
2灵活应种方法分解式利式分解进行计算．（难点）
学
知识链接
填填：（1）（x+1）2___________（2）（2a3）2___________．
二新知预
试试：观察计算结果分解列式：
（1）x2+2x+1___________（2）4a2－12a+9___________．
合作探究
探究程
探究点1：完全方式
问题1：整式法中学完全方公式请写出完全方公式
问题2：观察完全方公式右边式子什特点？
点纳a²+______+b²a²______+b²样式子做完全方式
例1 果x26x+N完全方式N( )
A 11 B 9 C 11 D 9
方法总结题熟练掌握完全方公式结构特征 根参数位置结合公式找出参数已知项间数量关系求出参数值计算程中注意积2倍符号避免错解漏解．
针训练
1列式子中完全方式( )
A．a2＋b2 B．a2＋2a C．a2－2ab－b2 D．a2＋4a＋4
2x2＋mx＋16完全方式m值________．
探究点2：完全方公式进行式分解
问题1：根填填试试中式子写出列式子分解式结果？
解：a2＋2ab＋b2＝________ a2－2ab＋b2＝________
点纳两数方加(减)两数积 倍等两数(差)方完全方公式分解式
例2 分解式：
(1)m2－6m＋9 (2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9
针训练分解式：－3x2＋24x－48
问题2：两节课中学运方差公式分解式运完全方公式分解式名称取名字？
点纳利公式（____________________等）某具特殊形式项式分解式种分解式方法做公式法
例3 式分解：(a2＋4)2－16a2
例4 简便计算
(1)1002－2×100×99+99² (2)342＋34×32＋162
方法总结较复杂理数运算中通常先观察式子特征利式分解变形转化较简单运算
例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0求x2y2＋2xy＋1值．
方法总结类问题般情况原式进行变形转化非负数形式然利非负数性质求出未知数值然代入求代数式值．
针训练已知|x y﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0求x2+4xy+4y2值．
二课堂结
式分解
方法
提公式法
公式法
方差公式
完全方公式
公式
ma+mb+mc__________
a2b2__________
a2±2ab+b2________
步骤
1 提：提____________________2套：套_____________________
3检查：检查______________________________________________
易错题型
1提公式时易出现漏项丢系数符号错误2式分解彻底
堂检测
1列四项式中式分解（ ）
A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
2分解式x3y﹣2x2y2+xy3正确（ ）
A．xy（x+y）2 B．xy（x2﹣2xy+y2） C．xy（x2+2xy﹣y2） D．xy（x﹣y）2
3填空：
(1)x²+4x+4 ( )² +2·( )·( )+( )² ( )²
(2)a²+4ab+4b²( )²+2· ( ) ·( )+( )²( )²
4m＝2n＋1m2－4mn＋4n2值_______．
5关x项式x2－8x＋m2完全方式m值_______
6列项式式分解
（1）x2－12x+36 （2）4xy2－4x2y－y3 (3) y2+2y+1－x2
7计算：
（1）3892﹣2×389×489+4892 （2）202422024×4026+20232
8分解式(1)4x2＋4x＋1(2)
聪明解答程：
做？错误请帮忙纠正
9（1）已知a﹣b＝3求a（a﹣2b）+b2值
（2）已知ab＝2a+b＝5求a3b+2a2b2+ab3值．
拓展提升
10已知abc分△ABC三边长a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0请判断△ABC形状说明理．
参考答案
学
知识链接 填填：x2+2x+1 4a2－12a+9
二新知预 试试：（x+1）2 （2a3）2
合作探究
探究程
探究点1：
问题1：解：（a+b）2a²+2ab+b²（ab）2a²2ab+b²
问题2：解：式子里含两数方相加两数积2倍
点纳2ab 2ab
例1 B
针训练1D 28
探究点2：
问题1：解：（a+b）2 （ab）2
点纳2
例2 解：（1）原式（m3）2（2）原式（x＋y+3）2
针训练解：原式3（x²8x+16）3（x4）²
问题2：解：公式分解式称公式法
点纳方差公式 完全方公式
例3 解：原式（a2+44a）（a2+4+4a）（a2）2（a+2）2
例4 解：（1）原式(10099)²1 （2）原式（34+16）22500
例5 解：x2－4x＋y2－10y＋29＝0（x2）2＋（y5）2＝0∴x20y50解x2y5x2y2＋2xy＋1（xy+1）²11²121
针训练 解：∵|xy﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0∴xy＝4x﹣2y＝2∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝（x2y）²+8xy＝2²+8×436．
二课堂结
m(a+b+c) (a+b)(ab) (a±b)² 公式 公式 式分解否彻底
堂检测
1 B 2D 3（1）x x 2 2 x+2 （2）a a 2b 2b a+2b 41 54
6解：（1）原式（x－6）2 （2）原式y（2xy）2 （3）原式（y+1+x）（y+1x）
7解：（1）原式＝（389﹣489）2＝100 （2）原式＝（20242023）2＝1
8解：做错．（1）原式（2x+1）2（2）原式
9解：（1）∵a﹣b＝3∴原式＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝32＝9
（2）∵ab＝2a+b＝5∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×52＝50．
10解：△ABC等边三角形理a2+2b2+c22b（a+c）0a22ab+b2+b22bc+c20（ab）2+（bc）20∴ab0bc0∴abbc∴abc∴△ABC等边三角形．
第13章 全等三角形
131 命题定理证明
1 命 题
学目标：
1解命题意义命题真假做出判断
2掌握题设结命题改写果…………形式（重点）
3够判定命题真假进行说明（难点）
学
知识链接
填填：（1）两角相加等90度两角互
（2）行条直线两条直线
二新知预
试试：学知识试判断列句子否正确：
(1)果两角顶角两角相等 （ ）
(2)三角形角180° （ ）
(3)位角相等． （ ）
合作探究
探究程
探究点1 命题
问题1 观察面填填容发现什特点？
点纳样表示判断语句做命题．
例1 判断列语句命题？√×表示
（1）顶角相等？（ ）
（2）画条线段AB2cm．（ ）
（3）两条直线行错角相等（ ）
针训练判断列语句命题？√×表示
（1）长度相等两条线段相等线段（ ）
（2）两条直线相交交点．（ ）
（3）角度相等两角角．（ ）
（4）取线段AB中点C．（ ）
问题2 试试中句子命题？认命题组成部分什？
点纳数学中许命题条件结两部分组成．条件已知事项结已知事项推出事项．种命题常写成果…………形式．
例2 命题等边三角形三条边相等改写成果…………形式分指出命题条件结．
问题3 命题正确？：四条腿动物猫句话正确？
点纳样表示判断语句做命题．正确命题称_____命题错误命题称_____命题．
例3 判断列命题真假真√假×表示
（1）旁角互补．（ ）
（2）角补角角．（ ）
（3）相等两角顶角．（ ）
（4）两点确定条直线．（ ）
（5）两点间线段短．（ ）
（6）角余角相等．（ ）
针训练命题：①顶角相等②垂直条直线两直线行③相等角互补角④位角相等中真命题（ ）
A1 B2 C3 D4
探究点2：举反例
问题4 明说：a+b定a红马说：1＋（2）没1
完面短话认红样说明明？
点纳说明该命题成立举出符合该命题条件符合该命题结例子种方法称举反例
例4 列五命题中假命题？举反例说明．
①相等角顶角②错角相等③垂线段短
④三角形里定2钝角⑤面互重合两条直线行相交．
二课堂结
1表示判断某事件语句做______．正确命题称___命题错误命题称___命题
2许命题写成果…………形式．中果开始部分_____开始部分_____．
堂检测
1．列语句中命题（ ）
A．延长线段ABC B．正数总负数
C．点O作直线a∥b D．锐角相等
2．命题果ab＝0a＝0 命题（填真假）
3．垂直条直线两条直线互相行命题条件 ．
4．列命题改写成果…………形式：
（1）命题顶角相等：果 ．
（2）命题行直线两直线行：果 __________ ．
（3）命题角补角相等：果 ．
5列句子命题？命题指出真命题假命题？
（1)错角相等
（2)画条直线
（3)四边形正方形
（4)作业做完？
（5)点P画线段MN垂线
（6)x＞2
6举反例说明列命题假命题．
(1)两角顶角两角相等
(2)ab＝0a＋b＝0
参考答案
学
知识链接
填填：（1）余 （2）行
二新知预
试试：(1)正确 (2)正确 (3)错误
合作探究
探究程
探究点1
例1 （1）× （2）× （3）√
针训练（1）× （2）√ （3）√ （4）×
例2 解：果三角形等边三角形三角形三条边相等该命题条件三角形等边三角形结三角形三条边相等．
点纳真 假
例3 （1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ （6）√
针训练A
探究点2：
例4 解：①假命题图①30°角顶角
②假命题图②错角相等
③真命题
④假命题三角形三角分50°60°70°中钝角没
⑤真命题
二课堂结 命题 真 假 条件 结
堂检测
1．B 2．假 3．两条直线垂直条直线
4．（1）两角顶角 两角相等
（2）两条直线行条直线 两条直线行
（3）两角角补角 两角相等
5解：（1)假命题． （2)命题． （3)假命题．
（4)命题． （5)命题． （6)命题．
6解：（1）图∠1∠2顶角相等
（2）a0b2时ab0a+b≠0
2 定理证明
学目标：
1解命题基事实 定理含义理解证明必性
2培养学生说理条理表达想法良意识 掌握证明步骤书写格式
3够判定命题真假进行说明够判定命题否存逆命题（重点难点）
学
知识链接
1什命题命题结构什
2命题分类证明命题假命题
二新知预
填写列命题：
（1）两点确定 条直线
（2）两点间 短
（3）直线外点 条直线条直线行
（4）两条直线第三条直线截果位角相等两条直线
思考：命题真命题？般？
合作探究
探究程
探究点1：定理
概念提出基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做_______
问题 学定理？请写出定理名称
例1 列命题中属基事实 （填序号）
①角余角相等②n边形角（n2）×180°③两条直线垂直条直线两条直线垂直
探究点2：证明
问题 前面学举反例说明假命题成立判断命题否正确呢？
点纳根条件定义基事实定理等演绎推理判断命题否正确种推理程做证明
样文字叙述命题证明应列步骤进行：
第步题意画图文字语言转换符号（图形）语言
第二步根图形写出已知求证
第三步根基事实已定理进行证明
例2 C
A
B
D
E
F
1
2
已知：图AB⊥BCBC⊥CD∠1∠2求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BCBC⊥CD（已知）
∴ 90°（ ）
∵∠1∠2（已知）
∴ （等式性质）
∴BE∥CF（ ）
纳总结结逆推进行分析出条件反程证明结程．
针训练求证：直角三角形两锐角互余．
二课堂结
1长期实践中总结出真命题命题做
2基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做
3根条件定义基事实定理等演绎推理判断命题否正确样推理程做
堂检测
1列说法错误( )
A．定理真命题 B．基事实真命题
C．证明真命题 D．假命题命题
2．命题直线外点条直线条直线行( )
A．定义 B．定理
C．基事实 D．定义
3图面证明正确( )
A．AB∥CD∠1∠3 B．∠2∠4AB∥CD
C．AE∥CF∠2∠4 D．∠1∠3AE∥CF
第3题图 第4题图
4图完成列证明程
①∵∠1∠2(已知)∴ ∥ ( )．
②∵∠3∠4(已知)∴ ∥ ( )．
③∵ + 180°∴AB∥CD．
5图△ABC中DEF分ABACBC点DE∥BCEF∥AB．求证：
∠ADE∠EFC．
6证明：三角形外角等相邻两角．（提示：C作CE∥AB）
参考答案
学
知识链接
（1）表示判断语句做命题命题条件结两部分组成
（2）命题分真命题假命题两类判断命题假命题举出例子说明该命题成立举出符合该命题条件符合该命题结例子
二新知预（1） （2）线段 （3） （4）行
合作探究
探究程
探究点1：
概念提出定理
例1 ①②
探究点2：
例2 ∠ABC ∠BCD 垂直定义 ∠EBC ∠FCB 错角相等两直线行
针训练 已知：△ABC中∠C＝90°．
求证：∠A∠B互余．
证明：图
∵∠A+∠B+∠C＝180°∠C＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∴∠A∠B互余
二课堂结 基事实 定理 证明
堂检测
1C 2C 3B
4①AD BC 错角相等两直线行
②AB CD 错角相等两直线行
③∠ABC ∠BCD(∠BAD ∠ADC)
5证明： ∵DE∥BC(已知)∴∠ADE∠B (两直线行位角相等)．
∵EF∥AB(已知)∴∠EFC∠B(两直线行位角相等)．∴∠ADE∠EFC(等量代换)．
6已知：图∠ACD△ABC外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B
证明：C作CE∥AB∴∠ACE＝∠A(两直线行错角相等)
∠ECD＝∠B(两直线行位角相等)∵∠ACD＝∠ACE＋∠DCE(已知)
∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换)．
132 三角形全等判定
1全等三角形
2全等三角形判定条件
学目标：
1解全等形全等三角形概念正确识全等三角形应元素
2掌握全等三角形应边相等应角相等性质（重点）
3够利全等三角形性质解决问题（难点）
学
知识链接
1已知△ABC
（1）画出△ABC右移1 cm△DEF
（2）△ABC△DEF应点分_____________________________应边分___________________________应角分_____________________________
二新知预
1观察列组图片思考问题
问题图中形状相图形试指出够完全重合举出类似例子
合作探究
探究程
探究点1：全等三角形性质
问题1：观察思考：根移特点说说述△ABC△DEF形状什特点？
点纳够完全重合两三角形做全等三角形
例1 判断（正确√错误×）：
(1)全等三角形应边相等应角相等 ( )
(2)全等三角形周长相等 ( )
(3)面积相等三角形全等三角形 ( )
(4)全等三角形面积相等． ( )
问题2：观察面两组图形全等三角形？什？
① ② ③
点纳全等三角形应边______应角________
A
B
C
D
E
F
例2 图△ABC ≌△DEF完成列填空：
点A_____点B_____点C_____应顶点
AB_____BC_____AC_____应边
∠A_____∠B_____ ∠C_____应角
针训练图△BOD≌△COE∠B＝∠C指出两全等三角形应边△ADO≌△AEO指出两三角形应角．
方法总结找全等三角形应元素关键准确分析图形外记全等三角形时应顶点写应位置样较容易写出应角应边．
例3 图△ABD≌△CDBAB4AD5BD6求BCCD长
方法总结题考查运全等三角形性质求角度数线段长解决问题关键准确识图形．
针训练图△ABC≌△DEF∠A＝70°∠B＝50°BF＝4EF＝7求∠DEF度数CF长．
探究点2：全等三角形判定条件
探索发现
1条件：条边家分画出三角形组交流画三角形否全等角家分画出三角形组交流画三角形否全等．
2出两条件画三角形时种情况？两三角形定会全等？分面条件刻度尺量角器画三角形周围学较画图形否全等．
①三角形角60°条边3 cm
② 三角形两角分30°70°
③ 三角形两条边分3 cm5 cm．
画图学较程中出什结？
纳总结面探索发现知道两三角形组两组应相等元素（边角）两三角形定全等
二课堂结
全等三角形概念
图示
表示方法
性质
全等变换
够完全重合两三角形做全等三角形．
△ABC≌△A1B1C1
_______相等_______相等
ABA1B1
∠A∠A1
翻折移旋转三角形原三角形______
堂检测
1图△ABC≌△BAD果AB5cm BD4cmAD6cm BC长 （ ）
A6cm B5cm
C4cm D法确定
第1题图 第3题图
2题中∠CAB应角 （ ）
A∠DAB B∠DBA
C∠DBC D∠CAD
3图已知△ABC≌△A＇B＇C＇∠A＝30°∠B＝130°∠C′＝ °．
4图已知△ABC≌△DEFAC＝4BC＝3EF长 ．
第4题图 第5题图
5图已知△ABC≌△DEF∠A＝80°∠B＝65°∠F °．
6图已知△ABC≌△FEDAF＝8BE＝2．
（1）求证：AC∥DF
（2）求AB长．
参考答案
学
知识链接
1解：（1）画图略．
（2） 点A应点D 点B应点E点C应点F AB应DEBC应EFAC应DF ∠A应∠D∠B应∠E∠C应∠F
合作探究
探究程
探究点1
例1 1(1)√ (2)√ (3)× (4)√
点纳相等 相等
例2 D E F DE EF DF ∠D ∠E ∠F
针训练
解：△BOD≌△COE应边：BOCOODOEBDCE△ADO△AEO应角：∠DAO∠EAO∠ADO∠AEO∠AOD∠AOE．
例3 解：∵△ABD≌△CDB．∴BCADCDAB．∵AB4AD5．∴BC5CD4．
针训练
解：∵△ABC≌△DEF∴∠DEF∠B50°BCEF7∴CFBC BF743．
二课堂结
应边 应角 全等
堂检测
1A 2B 320 43 535
6（1）证明：∵△ABC≌△FED∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．
（2）解：∵△ABC≌△FED∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝5
3 边角边
学目标：
1．掌握三角形全等条件边角边(SAS)（重点）
2．历探索三角形全等条件程体会利操作纳获数学结程
3．运SAS证明简单三角形全等问题．（难点）
学
知识链接
1全等三角形应边 应角
2画图：（1）画线段AB2a
（2）∠C∠α
二新知预
两条边角分应相等两三角形全等呢？
1画△ABC求ABaACb∠BAC∠α
思考：学画三角形否模样发现什？
合作探究
探究程
探究点1：利边角边（SAS）证明三角形全等
问题：根述作图结合ABAC∠BAC位置关系发现什？
点纳基事实 两边夹角分相等两三角形 (简记 边角边)
语言
图．
例1图ABCB∠1 ∠2 求证
（1）ADCD
（2）DB 分∠ADC
A
D
B
C
1
2
4
3
变式题图ADCDDB分∠ADC 求证∠A∠C
A
D
B
C
1
2
4
3
探究点2：运边角边（SAS）解决实际问题
例2图池塘测池塘两端AB距离先取直接达AB点C连接AC延长点DCD＝CA连接BC延长点ECE＝CB．连接DE量出DE长AB距离请说明理
方法总结证明线段相等者角相等时常常通证明全等三角形应边应角解决
针训练
图点AEFC条直线AD∥BCAD＝CBAE＝CF．求证：BE＝DF．
二课堂结
简称
图示
符号语言
两边夹角应相等两三角形全等
边角边SAS
∴△ABC≌△A1B1C1(SAS)．
注意：角指两边___角
堂检测
1图点EFACAD＝BCDF＝BE△ADF≌△CBE（SAS）需添加条件 ．（添加条件）
第1题图 第2题图 第3题图
2 两根钢条AB′A′B中点连起做成测量工件槽宽工具（卡钳）．图测AB5厘米槽宽_______米
3图已知AC＝DB∠ACB＝∠DBC推出△ABC≌△DCB ．
4列图形中没全等三角形？果请说明全等．
5列推理中填写需补充条件结成立
△AEC△ADB中
∴△AEC≌△ADB（ ）
6图ABDBCBEB∠1＝∠2求证∠A∠D
7图点ADCB条直线AD＝BCAE＝BFAE∥FB求证：CE∥DF．
参考答案
学
知识链接
1相等 相等
2图略
二新知预
1解：图示
合作探究
探究程
探究点1
点纳全等 SAS
语言AB DE ∠A ∠D AC DF ≌
例1 证明：（1）△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD（SAS）．∴ADCD
（2）∵△ABD≌△CBD∴∠3∠4∴DB 分∠ADC
变式题 证明：∵DB分∠ADC∴∠3∠4△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD∴∠A∠C
探究点2
例2 解：△ACB△DCE中∴△ACB≌△DCE（SAS）∴ABDEDE长AB距离．
针训练 证明：∵AD∥BC∴∠A＝∠C．∵AE＝FC∴AF＝CE．△ADF△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）．∴BE＝DF．
二课堂结 夹
堂检测
1 ∠D＝∠B 2005
3SAS（边角边）
4解：甲丙全等：SAS 5 AC AB AE AD SAS
6证明：∵ ∠1＝∠2(已知)∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC ∠ABC＝∠DBE △ABC△DBE中∴△ABC≌△DBE(SAS)∴ ∠A∠D
7证明：∵AD＝BC∴AD+DC＝BC+DC∴AC＝BD．∵AE∥BF∴∠A＝∠B．△ACE△BDF中∴△ACE≌△BDF（SAS）．∴∠ACE＝∠BDF．∴CE∥DF．
4 角边角
第1课时 角边角
学目标：
1掌握三角形全等判定方法角边角（ASA）（重点）
2应角边角证明两三角形全等进证明线段角相等（难点）
学
知识链接
1够 两三角形做全等三角形
2已掌握判定两三角形全等方法
边角边： 应相等两三角形全等
二新知预
1三角形中研究已知两边角情况天接着探究已知两角边否判断两三角形全等三角形中已知两角边分种呢？
2现实情境：张教学三角板硬纸心撕坏图示制作张原样新道具？ 恢复原三角形原貌？
（1） ①模板画画原？
（2） ②模板画画原？
（3） ③模板画画原？
（4） 第③块中三角形边角六元素中固定变元素_____________
猜想两角夹边分相等两三角形_______
合作探究
探究程
探究点1：利角边角（ASA）证明三角形全等
A
B
C
问题：先意画出△ABC画△A′B′C′A′B′AB∠A′∠A∠B′∠B画△A′B′C′剪放△ABC全等？出什结？
点纳 分相等两三角形全等(简称角边角ASA)
语言
图△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF
例1 图∠ABC＝∠DCB∠ACB＝ ∠DBC求证：△ABC≌△DCB．
针训练图AD∥BCBE∥DFAE＝CF求证：△ADF≌△CBE
探究点2：全等三角形判定（角边角）性质综合运
例2 图点DAB点EACABAC ∠B∠C求证：ADAE
方法总结证明线段角度相等先证两三角形全等利应边应角相等解决
二课堂结
全等三角形判定定理
简称
图示
符号语言
两角夹边应相等两三角形全等
角边角ASA
∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．
易错提醒：三角分相等两三角形________全等(填定定)
堂检测
1△ABC△DEF中AB＝DE∠B＝∠E△ABC≌△DEF列条件中正确（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠F C．∠A＝∠D D．∠C＝∠B
2 △ABC△A′B′C′中已知∠A＝44°∠B＝67°∠C′＝69° ∠A′＝44°
AC＝A′C′两三角形（ ）
A．定全等 B．定全等 C．定全等 D．
3图已知∠ACB∠DBC∠ABC∠CDB判断△ABC△DBC否全等：
第3题图 第4题图
4图∠ACB∠DFEBCEF需补充条件： ASA判定△ABC≌△DEF
5图ACBD相交点O∠OAB＝∠OBAOA＝OB∠DAB＝∠CBA．求证：△DAO≌△CBO．
拓展提升
6 图测量河流AB长法测河流附点AAB线外取点DAB延长线取点E连接EDBD延长BD点GDG＝BD延长ED点FDF＝ED连接FG延长FG点H点HDA直线．求证：HGAB．
参考答案
学
知识链接
1完全重合 2两三角形两边 夹角
二新知预
1答：角边角：两角夹边 角角边：两角中角应边
2（1） （2） （3） （4）两角夹边
猜想全等
合作探究
探究程
探究点1
点纳两角夹边
语言∠A ∠D AC DF ∠C ∠F
例1 证明：△ABC△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA）．
针训练 证明：∵AD∥BCBE∥DF∴∠A∠C∠DFE∠BEC∵AECF∴AE+EFCF+EFAFCE．△ADF△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）
探究点2
例2 证明：△ABE△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA）∴ADAE．
二课堂结 定
堂检测
1C 2 B 3全等 4∠B∠E
5证明：∵∠OAB＝∠OBA∠DAB＝∠CBA∴∠DAO＝∠CBO△DAO△CBO中∴△DAO≌△CBO（ASA）．
6证明：∵DB＝DG∠BDE＝∠GDFDE＝DF∴△BED≌△GFD（SAS）∴∠EBD＝∠FGD∴∠ABD＝∠HGD．∵BD＝GD∠ADB＝∠HDG∴△ABD≌△HGD（ASA）∴AB＝GH．
第2课时 角角边应线段相等
学目标：
1掌握三角形全等条件判定方法角角边（AAS）（重点）
2应角角边证明两三角形全等进证明线段角相等（难点）
学
知识链接
1够 两三角形做全等三角形
2已学判定两三角形全等方法
边角边（SAS）： 应相等两三角形全等
角边角（ASA）：两角________应相等两三角形全等．
二新知预
三角形中研究已知两边角已知两角夹边天接着探究已知两角边否判断两三角形全等三角形中已知两角边分成种情况？
合作探究
探究程
探究点1：利角角边（AAS）证明三角形全等
做做：已知三角形两角分60°45°45°边边长3cm画出三角形
问题：里条件角边角中条件什相点点？
点纳 相等两三角形全等(简称角角边AAS)
语言图△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF
例1 图△ABC△DEF中∠A＝∠D∠B＝∠EACDF求证：△ABC≌△DEF．
探究点2：全等三角形判定（角角边）性质综合运
例2图△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线m点ABD⊥直线mCE⊥直线m垂足分点DE求证：
（1）△BDA≌△AEC
（2）DE＝CE＋BD
方法总结利全等三角形解决线段间关系线段相等关系差关系等解决问题关键运全等三角形判定性质进行线段间转化．
针训练 图已知△ABC六元素面甲乙丙三三角形中△ABC全等图形 ．
探究点3：全等三角形应线段相等
例3 图△ABC≌△DEF中AHDG分BCEF边中线求证：AHDE
点纳两全等三角形应边中线高应角分线相等
二课堂结
全等三角形判定定理
简称
图示
符号语言
两角分相等中组等角边相等两三角形全等
角角边AAS
∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)．
推：角角边利三角形角定理转化成角边角证明两三角形全等
堂检测
1△ABC△DEF中AB＝DE∠B＝∠E△ABC≌△DEF 列补充条件中错误（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2图AB＝AC点DE分ABAC补充列条件判断△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD
第2题图 第3题图 第4题图
3图∠ACB∠DFEBCEF应需补充条件： AAS证明△ABC≌△DEF
4图BA⊥ACCD∥ABBC＝DEBC⊥DEAB＝2CD＝6AE＝ ．
5图AB⊥BCAD⊥DC∠1＝∠2求证：AB＝AD．
6．图∠1＝∠2AD＝AB∠AED＝∠C求证：△ADE≌△ABC．
拓展提升
7 图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等
参考答案
学
知识链接 1完全重合 2两边 夹角 夹边
二新知预 两角夹边两角中角边两种情况
合作探究
探究点1 做做：解：图示：
问题：相点：已知两角条边 点：角边角两角夹边应相等角角边两角分相等中组等角边相等
点纳两角分相等中组等角边
语言∠A ∠D ∠C ∠F AB DE
例1 证明：△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF．
探究点2
例2 证明：（1）∵BD⊥mCE⊥m∴∠ADB∠CEA90°∴∠ABD+∠BAD90°
∵∠BAC90°∴∠BAD+∠CAE90°∴∠ABD∠CAE△BDA△AEC中∴△BDA≌△AEC（AAS）
（2）∵△BDA≌△AEC∴BDAEADCE∴DEDA+AECE+BD．
探究点3
例3 证明：∵△ABC≌△DEF∴ABDEBCEF∠ABC∠DEF∵AHDG分BCEF边中线∴BHBCEGEF∴BHEG∴△ABH≌△DEG∴AHDG
针训练 乙丙
堂检测
1A 2D 3∠A∠D 44
5证明：∵AB⊥BCAD⊥DC∴∠B＝∠D＝90°．∵△ABC△ADC中∴△ABC≌△ADC（AAS）∴AB＝AD．
6证明：∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE∠DAE＝∠BAC．△ADE△ABC中∵∴△ADE≌△ABC（AAS）．
7 证明：∵∠BCE∠ACD90°∴∠3+∠4∠4+∠5∴∠3∠5△ACD中∠ACD90°∴∠2+∠D90°∵∠BAE∠1+∠290°∴∠1∠D△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）
5 边边边
学目标：
1探索三角形全等条件（重点）
2掌握边边边（SSS）判定三角形全等方法够应（难点）
学
知识链接
1前面学种证明三角形全等方法？请列出（简写法）
2种证明方法什特点？
二新知预
试试：准备长13cm细绳
（1）学起根绳折成边长分3cm4cm6cm三角形折出三角形学折出三角形进行较重合？__________
（2）学起根绳余1cm余部分折成边长分3cm4cm5cm三角形学折出三角形进行较重合？__________
（3）根绳取组够构成三角形三边长数桌分数折三角形折成两三角形重合？____
合作探究
探究程
探究点1：利边边边（SSS）证明三角形全等
问题 根述画图意两三边应相等三角形全等？
点纳基事实 三边分相等两三角形全等
例1 图AB＝DEAC＝DF点EC直线BFBE＝CF求证：△ABC≌△DEF
方法总结判定两三角形全等先根已知条件求证结确定三角形然根三角形全等判定方法缺什条件证什条件．
针训练图点CAB中点AD＝CECD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
探究点2：全等三角形判定（边边边）性质综合运
例2 图已知ACBE交点DADCDBDDEAEBCAEBC位置关系样？说明理．
例3 图△ABC钢架AB＝ACAD连接点ABC中点D支架AD⊥BC？请说明理．
方法总结垂直关系转化证明两角相等利全等三角形证明两角相等全等三角形间接应．
针训练雨伞中截面图示伞骨AB＝AC支撑杆OE＝OFAE＝ABAF＝ACOAD滑动时雨伞开闭问雨伞开闭程中∠BAD∠CAD关系？说明理．
二课堂结
容
边边边
三边分相等两三角形________(简写边边边________)．
△ABC△A′B′C′中
∵
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
两三角形中果两边应相等没角应相等时通寻找构造组边相等利SSS证明全等
堂检测
1 图DF线段BC两点ABCEAFDE△ABF≌△ECD 需添加条件：___________________
2图ABCDACBD△ABC△DCB否全等？请完成列解题步骤
解： △ABC≌△DCB
理：
△ABC△DCB中
∴△ABC ≌ ________（ ________ ）
3图 已知点BDAFACFEADFBBCDE求证：
(1)△ABC≌△FDE
(2) ∠C ∠E
4图AB＝CBAD＝CD求证：∠A＝∠C．
参考答案
学
知识链接
1解：边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）
2解：边角边（SAS）已知两边夹角分相等角边角（ASA）已知两角夹边分相等角角边（AAS）已知两角分相等中组等角边相等证明方法源已知条件
二新知预 （1） （2） （3）
合作探究
探究点1
例1 证明：∵BECF∴BE+ECEC+CFBCEF△ABC△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）．
针训练证明：∵点CAB中点∴AC＝CB．△ACD△CBE中∴△ACD≌△CBE（SSS）．
探究点2
例2 解：AEBC行理：△ADE△CDB中∴△ADE≌
△CDB（SSS）∴∠DAE∠DCB∴AE∥BC
例3 解：AD⊥BC．理：∵AD连接点ABC中点D支架∴BD＝DC．
△ABD△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠ADB＝∠ADC．∵∠ADB+∠ADC＝180°∴∠ADB＝∠ADC＝90°AD⊥BC．
针训练解：∠BAD＝∠CAD．理：∵AB＝ACAE＝ABAF＝AC∴AE＝AF．△AOE△AOF中∴△AOE≌△AOF（SSS）∴∠BAD＝∠CAD．
二课堂结
全等 SSS
堂检测
1 BFCD BDFC 2BC CB △DCB SSS
3证明：（1）∵ ADFB∴ABFD△ABC△FDE 中∴△ABC≌△FDE（SSS）
（2）∵ △ABC≌△FDE∴ ∠C∠E
4证明：连接BD△ABD△CBD中∴△ABD≌△CBD（SSS）∴∠A＝∠C．
6 斜边直角边
学目标：
1历探索直角三角形全等条件程体会利操作纳获数学结程
2掌握直角三角形全等条件运解决实际问题（重点）
3熟练运直角三角形全等条件解决实际问题（难点）
学
知识链接
1已学判定三角形全等方法___________________ （简写法）
2图点CFBEAB⊥BEBDE⊥BEE
（1）∠A∠DABDE△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
（2） ∠A∠DBCEF△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
（3） ABDEBCEF△ABC△DEF
（填全等全等 ）根 （简写法）
二新知预
1图已知ACDFBCEF∠B∠E
（1）△ABC△DEF全等？
A
B
C
D
E
F
（2）∠B∠E90°猜想Rt△ABCRt△DEF否全等动手画画
合作探究
探究程
探究点1：利斜边直角边（HL）证明三角形全等
问题1：两直角三角形中斜边锐角应相等两直角三角形全等？什？
问题2：两直角三角形中条直角边锐角应相等两直角三角形全等？什？
做做：张空白纸意画出Rt△ABC∠C90°画Rt△A ′B ′C ′∠C′90 °B′C′BCA ′B ′AB画Rt△A′B′ C′ 剪放Rt△ABC重合？
点纳
分相等两直角三角形全等(简称斜边直角边HL)
语言
图 Rt△ABC Rt△A ′B ′C ′中
∵
∴Rt△ABC____Rt△A ′B ′C ′（HL）
例1 图 ∠ACB ∠ADB90°证明△ABC≌△BAD需什条件？条件写出相应括号填写出判定全等理
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
变式题图AC＝BDAD⊥ACBC⊥BD．求证：AD＝BC．
例2 图DE⊥ACEBF⊥ACFAD＝BCDE＝BF求证：AB∥DC．
探究点2：证明直角三角形全等综合判定
例3图△ABC中ABACBD⊥ACCE⊥AB．求证：BDCE．
点纳证明直角三角形全等仅HL前面学SASAASASASSS
二课堂结
直角三角形全等判定
简称
图示
符号语言
斜边条直角边分相等两直角三角形全等
斜边直角边HL
∴Rt△ABC≌Rt△A ′B ′C ′(HL)．
注意：利斜边直角边证明两三角形全等前提条件直角三角形中
堂检测
1判断两直角三角形全等方法正确（ ）
A两条直角边应相等 B斜边锐角应相等
C斜边条直角边应相等 D两锐角应相等
2图△ABC中ABACAD高△ADB△ADC （填全等全等）
（简写法）
第2题图 第3题图
3图△ABC中AD⊥BC点DCE⊥AB点EADCE交点H．已知EH＝EB＝3AE＝4CH 长
4图EF线段AC两点DE⊥AC点EBF⊥AC点FAB＝CDAE＝CF．求证：BF＝DE．
变式题1图已知AE＝CFAB＝CDDE⊥AC点EBF⊥AC点FBDEF交点G求证：BD分EF．
变式题2图ABCD BF⊥ACDE⊥ACAECFBDEF交点G求证：BD分EF
参考答案
学
知识链接
1SASASAAASSSS
2（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS
二新知预
1（1）定全等． （2）全等画图略
合作探究
探究程
探究点1
点纳斜边条直角边
语言AB A＇B＇ AC A＇C＇ ≌
例1 （1）ACBD HL （2）BCAD HL （3）∠ABC∠BAD∠CAB∠DBA AAS
变式题 证明：连接DC∵AD⊥ACBC⊥BD∴∠A∠B90°Rt△ADCRt△BCD中∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）∴ADBC．
例2 证明：∵DE⊥ACBF⊥AC∴∠AED＝∠CFB＝90°∠AFB＝∠CED＝90°．Rt△ADERt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）．∴AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．△AFB△CED中∴△AFB≌△CED （SAS）∴∠ACD＝∠BAC∴AB∥CD．
探究点2
例3 证明：∵BD⊥ACCE⊥AB∴∠ADB∠AEC90°．△ABD△ACE中∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BDCE．
堂检测
1D 2全等 HL 31
4证明：∵DE⊥ACBF⊥AC∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE．
变式题1证明：∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EFAF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴DE＝BF△DEG△BFG中
∴△DEG≌△BFG（AAS）∴EG＝FG∴BD分EF．
变式题2证明：∵AECF∴AF＝CE．Rt△ABFRt△CDE中
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF＝DE．△BFG△EDG中
∴△BFG≌△EDG（ASA）．∴FG＝EGBD分EF．
133 等腰三角形
1 等腰三角形性质
学目标：
1理解等腰三角形等边三角形关概念
2助轴称图形性质理解等腰（边）三角形性质（重点）
3运等腰（边）三角形性质解决关问题（难点）
学
知识链接
1 三角形边分类分 三角形 三角形 三角形
2 证明两三角形全等方法
二新知预
根已知识完成题：
1两条边相等三角形做 相等两边做 边
做 两腰夹角做 腰底边夹角做 (请图中标出）
2（1）已知等腰三角形周长14 cm边长6 cm外两边
（2）等腰三角形顶角150°底角
合作探究
探究程
探究点1：等腰三角形性质
活动：图张长方形纸片图中虚线折剪阴影部分展开△ABC什特点？
问题1 △ABC等腰三角形？果请指出腰底角
问题2 剪三角形ABAC重合时发现∠A∠C什特点？
点纳等腰三角形两底角相等（简写成 ）
例1 图△ABC中已知ABACBC分∠ABD∠A100°求∠1度数．
问题3 前面活动中ADBC位置关系什？量量∠BAD∠CAD度数发现什？
点纳等腰三角形底边中线高顶角分线互相重合（简称 ）
例2 图△ABC中ABACADBC边中线EAD点求证：BECE．
纳总结
1．三线合证明两角相等两线段相等两条直线互相垂直重
2．三线合逆：三角形中已知三线中二线重合（高角分线重合）直接说明三角形等腰三角形通三角形全等证明三角形等腰三角形
例3 图点DE△ABC边BCADAEABAC求证：BDCE．
探究点2：等边三角形概念性质
问题 根学知识知道等边三角形三条边相等．试根等边等角说说等边三角形三角关系
点纳等边三角形性质定理：等边三角形 角相等角等 ．
例4 图已知等边△ABC中DAC中点CEBC延长线CECD．求∠BDE度数．
二课堂结
容
等腰三角形
概念
相等三角形做等腰三角形
性质定理
（1）等腰三角形 相等（简称 ）
（2）等腰三角形 重合（简称 ）
等边三角形
概念
三边 三角形做等边三角形
性质定理
等边三角形 相等角等
堂检测
1等腰三角形底角40°顶角（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
变式题等腰三角形外角等100°相邻两角度数分（ ）
A．40° 40° B．80° 20°
C．50° 50° D．50° 50°80° 20°
2图已知OA＝OB＝OCBC∥AO．∠A＝36°∠B等（ ）
A．54° B．60° C．72° D．76°
第2题图 第3题图 第4题图
3图△ABC中AB＝AC∠A＝36°BD分∠ABC交AC点D∠ADB度数 ．
4．图△ABC中AE中线AD高∠BAD∠EAD．BC10DC ．
5．图△ABC中ABACD△ABC点BDDC．求证：∠ABD∠ACD．
6图△ABC等边三角形AD⊥BC点DDE⊥AC点E求∠ADE度数．
参考答案
学
知识链接
1三条边相等 等腰 等边
2SAS ASA AAS SSS HL
二新知预
1等腰三角形 腰 底边 顶角 底角
2（1）6cm2cm4cm4cm （2）15°
合作探究
探究程
探究点1
点纳等边等角
例1 解：∵ABAC∠A100°∴∠ABC∠C40°∵BC分∠ABD∴∠1∠ABC
∠ ABD∴∠1∠C40°
点纳 三线合
例2 证明：∵ABACADBC边中线∴AD分∠BAC∠BAE∠CAE△ABE△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BECE
例3 证明：作AF⊥BC点F∵AD＝AEAB＝AC∴BF＝CFDF＝EF
∴BF﹣DF＝CF﹣EF∴BD＝EC
探究点2
点纳三 60°
例4 解：∵△ABC等边三角形∴∠ACB∠ABC60°ABBC∵DAC中点
∴∠DBC∠ABC×60°30°．∵DCCE∴∠E∠CDE．∵∠ACB∠E+∠EDC60°
∴∠E∠CDE30°．∴∠BDE180°30°30°120°．
二课堂结
容
等腰三角形
概念
两条边 相等三角形做等腰三角形
性质定理
（1）等腰三角形 底角 相等（简称 等边等角 ）
（2）等腰三角形 顶角分线 底边中线 底边高 重合（简称 三线合 ）
等边三角形
概念
三条边 相等 三角形做等边三角形
性质定理
等边三角形 三角 相等角等 60°
堂检测
1D 变式题D 2C 3108° 4．75
5证明：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB．∵BD＝CD．∴∠1＝∠2．∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2．∠ABD＝∠ACD．
6解：∵△ABC等边三角形∴∠C＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC点D∴∠DAC＝30°∵DE⊥AC∴∠DEA＝90°∴∠ADE＝60°．
133 等腰三角形
2 等腰三角形判定
学目标：
1掌握判定等腰（边）三角形判定定理（重点）
2运等腰（边）三角形判定定理解决关问题（难点）
学
知识链接
等腰三角形性质：
（1）边：等腰三角形 相等．
（2）角：等腰三角形 相等．简写成 ．
（3）重线段：等腰三角形底边 顶角 互相重合．简称 ．
二新知预
1图△ABC中AD∠BAC分线∠B∠C求证：ABAC
思考：三角形中果两角相等等腰三角形？
合作探究
探究程
探究点1：等角等边
活动：请出张半透明纸方法进行操作：
（1）半透明纸画条线段BC
（2）BC始边分点B点C顶点BC侧量角器画两相等角两角终边交点A
（3）刻度尺找出BC中点D连接AD然△ABCAD折．
问题1：ABAC否重合？
问题2：等边等角实验条件结描述？
点纳等腰三角形判定定理：果三角形 相等两角边相等（简称 ）．
例1图△ABC中∠A36°∠C72°∠ABC分线交AC点D求证：△BCD等腰三角形
方法总结证三角形等腰三角形证出两条边相等等角等边证明两边相等重常方法．
针训练图AE△ABC外角分线AE∥BC．求证：△ABC等腰三角形．
探究点2：等边三角形判定
问题1：图△ABC中∠A∠B∠C 根等角等边试说明间关系样？
点纳等边三角形判定定理： 相等三角形等边三角形．
符号语言：∵∠ ∠ ∠ ∴△ABC．
问题2：△ABC中ABAC∠A60°试说明△ABC形状？
点纳等边三角形判定定理：角 等腰三角形等边三角形．
符号语言：∵ ∠ °∴△ABC．
例2 已知：图等边三角形ABC三边分取点DEFADBECF．
求证：△DEF等边三角形．
二课堂结
容
等腰三角形判定定理
果三角形 相等三角形等腰三角形．中两相等角边相等．（简称 ）．
等边三角形判定定理
（1） 相等三角形等边三角形．
（2）角 等腰三角形等边三角形．
堂检测
1．图中△ABC等腰三角形（ ）
2．三角形外角130°相邻角65 °三角形（ ）
A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
3图△ABC中ABAC∠A36°BDCE分∠ABC∠BCD分线图中等腰三角形（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第3题图 第4题图 第6题图
4．图ACBD相交点OAB∥DCOAOBOC3OD
5△ABC中已知∠A＝60°判定△ABC等边三角形需添加条件：_________________（写出）．
6次夏令营活动中明学营A出发A北偏东 60°方C处先 正东方走200m达B北偏东30°方走恰达目C（图）知BC两相距 m．
7图AB＝BC∠CDE＝120°DF∥BADF分∠CDE求证：△ABC等边三角形．
参考答案
学
知识链接
（1）腰 （2）底角 等边等角 （2）中线 高 分线 三线合
二新知预
1证明思路：通证明三角形全等线段相等．
合作探究
探究程
探究点1
点纳两角 等角等边
例1 解：△ABC中∠A36°∠C72°∴∠ABC180°∠A∠C72°∠C∵BD分∠ABC∴∠ABD∠DBC36°∴∠BDC∠A+∠ABD36°+36°72°∠C∴BD＝BC∴△BDC等腰三角形
针训练证明：∵AE∥BC∴∠DAE＝∠B∠EAC＝∠C∵AE△ABC外角分线∴∠DAE＝∠EAC∴∠B＝∠C∴AB＝AC△ABC等腰三角形．
探究点2
点纳三角 A B C 等边三角形
点纳等60° AB BC B 60 等边三角形
例2 证明：∵△ABC等边三角形∴ABBCAC∵ADBECF∴AFBD．△ADF
△BED中∴△ADF≌△BED（SAS）∴DFDE．理DEEF∴DEDFEF．
∴△DEF等边三角形．
二课堂结
两角 等角等边 三角 等60°
堂检测
1C 2．C 3A 4．3 5AB＝AC（答案唯） 6200
7证明：∵DF分∠CDE∴∠CDF＝∠EDF＝∠CDE．∵∠CDE＝120°∴∠CDF＝60°．∵DF∥BA∴∠ABC＝∠CDF＝60°．∵AB＝BC∴△ABC等边三角形．
134 尺规作图
1作条线段等已知线段 2作角等已知角
3作已知角分线
学目标：
1解尺规作图概念会尺规作图法作线段角
2熟悉尺规作图步骤熟练运作图语言（重点）
3会作条线段等已知线段作角等已知角作已知角分线（难点）
学
新知预
直尺量角器圆规家熟悉工具家知道直尺画线量角器画角圆规画圆
请家画条长4cm线段画48°角画半径3cm圆
果刻度直尺圆规画出符合条件线段角
实际_______________直尺两种工具作图形方法称尺规作图
合作探究
探究程
探究点1：作条线段等已知线段
操作1 已知线段a直尺圆规准确画条线段等已知线段a
方法总结画条线段等已知线段先画出条射线然圆规射线端点圆心已知线段长半径截取该线段
针训练图已知线段a线段b画线段AB求ABba
探究点2：作角等已知角
操作2 已知∠AOB直尺圆规准确画∠A′O′B′求∠A′O′B′∠AOB
方法总结画角等已知角
(1)画射线OA
(2)∠MPN顶点P圆心适长半径画弧交∠MPN两边EF
(3)点O圆心PE长半径画弧交OA点C
(4)点C圆心EF长半径画弧交前条弧点D
(5)点D作射线OB∠AOB画角
问题 根作图程请说明操作2中∠A′O′B′∠AOB原
探究点3：尺规作已知角角分线
操作3 面步骤画图
（1）O圆心适长半径作弧分交OAOBMN．
（2）分MN圆心MN长半径作弧．两弧∠AOB部交点C．
（3）作射线OC射线OC求．
问题 根作图程说明OC∠AOB分线
二课堂结
容
作条线段等已知线段
（1）作射线A’C’ （2）点A’圆心AB长半径画弧交射线A’C’点B’A’B’求作线段
作角等已知角
（1）已知∠AOBO圆心取意长度半径作圆弧交∠AOB两条边CD（2）O’端点作条射线圆规取OC长度半径O’圆心画弧交射线C’（3）C’圆心CD长度半径作圆弧交第二步作圆弧D’点D’作射线O’ B’图示：∠A’ O’ B’∠AOB
作已知角分线
(1)作法：①点O圆心适长半径画弧交OA点M交OB点N②分MN圆心MN长半径画弧两弧相交∠AOB部点C③画射线OC射线OC求．(2)述作角分线理________．
堂检测
1．图李直尺圆规作∠CAB分线AD已知∠CAD＝25°∠DAB（ ）
A．30°
B．50°
C．25°
D．法结
2图AB∥CD点A圆心AC长半径作圆弧分交ABAC点EF分EF圆心EF长半径作圆弧两弧交点P作射线AP交CD点M．∠ACD＝110°∠CMA度数（ ）
A．30° B．35°
C．70° D．45°
第2题图 第3题图
3．图∠C＝90°根作图痕迹知∠ADC＝ °．
4已知∠α线段a求作△ABC∠A＝∠α∠B＝2∠αAB＝2α．（保留作图痕迹写作法）
参考答案
学
新知预
圆规 没刻度
合作探究
探究程
探究点1
操作1 解：图AC求作
针训练解：图AB求作
探究点2
操作2 解：图示：
问题 解：作图知ODO′D′OCO′C′CDC′D′∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）∴∠A′O′B′∠AOB
探究点3
操作3 解：图示：
问题 解：作图知ONOMCNCMOCOC∴△OCM≌△OCN（SSS）∴∠AOC∠BOCOC∠AOB分线
二课堂结 SSS
堂检测
1．C 2．B 3．70
4解：图△ABC作．
134 尺规作图
4已知点作已知直线垂线 5作已知线段垂直分线
学目标：
1学生学会利直尺圆规作已知直线垂线 (重点)
2学生学会利直尺圆规作已知线段垂直分线 (难点）．
学
新知预
1根节课知识作角ACB分线CD问：CD直线AB位置关系？
2．AB直线AB两定点AC＝BCAD＝BDCD重合问：CD垂直分AB？直线AB点C作出AB垂线？
合作探究
探究程
探究点1：已知点作已知直线垂线
问题1 根作角ACB分线CD试直线l点A作该直线垂线
操作1 直线AB外点C作直线AB垂线步骤画图：
（1）点C圆心意长半径作弧直线AB相交点D点E
（2）连接CDCE作∠DCE分线CF
（3）作直线CF
问题2 根述作图说明CF⊥AB
针训练利直尺圆规点H作OAOB垂线
探究点2：作已知线段垂直分线
操作2 已知线段AB步骤作出线段AB垂直分线CD
（1）分AB圆心AB长半径作弧两弧交点C点D
（2）作直线CD
思考1述作法中什AB长半径作弧
思考2根面作法中步骤请说明CD什AB垂直分线伴进行交流
纳总结运线段垂直分线尺规作图确定线段中点
二课堂结
容
已知点作已知直线垂线
（1）点直线
（2）点直线外
作已知线段垂直分线
分AB圆心AB长半径画弧两弧相交EF两点作直线EF_________垂直分线
堂检测
1．尺规作图：已知直线外点作条直线垂线列作图中正确（ ）
A． B． C． D．
2列四种基尺规作图中作法错误（ ）
A．作角等已知角 B．作角分线
C．作条线段垂直分线 D．直线外点P作已知直线垂线
3．尺规直线l点P作已知直线l垂线面作法合理序 ．
①分AB圆心AB长半径画弧两弧相交点C
②直线l点P两旁分截取线段PAPBPA＝PB
③点CP作直线CP直线CP求作直线．
4．尺规作图（写作法保留作图痕迹）：
图已知△ABC求作△ABC高AD．
参考答案
学
新知预
1解：CD⊥ABCD分角ACB∠ACD＝∠BCD＝90°CD⊥AB
2解：连接CD直线CD⊥AB
合作探究
探究程
探究点1
问题1 解：图示：
操作1 解：图示：
问题2 解：略
针训练解：图示：
探究点2
操作2 解：图示：
思考1解：AB长半径作弧没交点等AB长半径作弧交点AB中点
思考2解：SSS证明
二课堂结
直线EF
堂检测
1．B 2．C 3．②①③
4．图AD求．
135 逆命题逆定理
1互逆命题互逆定理
学目标：
1．学生理解互逆命题互逆定理概念通较提高学生辨析力
2．正确写出命题逆命题判断命题逆命题否逆定理（重点）
3．正确理解互逆命题互逆定理联系区（难点）．
学
知识链接
1_________________做命题．
2．命题分______________命题__________两部分组成写成果…………形式．
3．命题面点作已知直线垂线条直线条直线垂直改写成果…………形式_____________________________________________．
4数学中命题基事实真命题出发逻辑推理方法判断正确作进步判断命题真假样真命题做__________
二新知预
说出列命题条件结：
1．两直线行错角相等 2．错角相等两直线行
3．a＝ba2＝b2 4．a2＝b2a＝b
观察面组命题发现1234两命题__________恰互相换位置．
纳般说两命题中果命题条件第二命题结第命题结第二命题条件两命题做_________．果中命题做________命题做逆命题．原命题正确逆命题定正确．
合作探究
探究程
探究点1：互逆命题
例1指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)果三角形直角三角形两锐角互余
条件：_____________________．
结：_____________________．
逆命题：_______________________________．逆命题___命题．
(2)全等三角形应角相等．
条件：____________________．
结：____________________．
逆命题：____________________________________________．逆命题___命题．
针训练指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)果数10整数定5整
条件：___________________．
结：___________________．
逆命题：________________________________．逆命题___命题．
(2)两条直线第三条直线截果错角相等两条直线行．
条件：________________________________________．
结：_________________．
逆命题：________________________________________．逆命题___命题．
变式题指出列命题条件结说出逆命题判断逆命题真假．
(1)等角等边
条件：____________________________．
结：____________________．
逆命题：___________．逆命题___命题．
(2)等边三角形三条边高相等．
条件：_______________________．
结：_______________．
逆命题：_________________________________________________．逆命题___命题．
探究点2：互逆定理
1．果定理逆命题定理两定理做________中定理做定理_______．
2．假命题逆命题真命题甚定理．
例2(1)命题：两直线行错角相等
逆命题：________________________．
_________
(2)命题：_____________________．
逆命题：顶角相等．
逆命题___命题_____．
二课堂结
容
互逆命题
果第命题条件第二命题_____第命题结第二命题_____两命题做互逆命题．
互逆定理
果定理逆命题______两定理做互逆定理．
堂检测
1．列命题逆命题真命题（ ）
A．位角相等
B．顶角相等
C．等边等角
D．全等三角形面积相等
2．列命题逆命题假命题（ ）
A．全等三角形面积相等
B．等腰三角形两底角相等
C．∠1+∠2180°∠1∠2互补角
D．aba3b3
3．位角相等逆命题_________________________．
4．已学定理例：①全等三角形应边相等②等腰三角形两底角相等③等边三角形三角相等．
述定理中存逆定理 （填序号）．
5．列定理中逆定理？果逆定理写出逆定理．
（1）全等三角形应角相等
（2）旁角互补两直线行．
6．写出命题等腰三角形底边高线中线互相重合逆命题判断真假真命题请证明假命题请举出反例．
参考答案
学
知识链接
1 表示判断语句 2．真命题 假命题 条件 结
3．果面点作已知直线垂线条直线条直线垂直
4．定理
二新知预 条件 结
纳互逆命题 原命题
合作探究
探究程
探究点1
例1 （1）三角形直角三角形 两锐角互余 果三角形两锐角互余三角形直角三角形 真
（2）两三角形全等三角形 应角相等 果两三角形应角相等两三角形全等 假
针训练(1)数10整 数定5整 果数5整数定10整 假
(2)两条直线第三条直线截错角相等 两条直线行 两条直线第三条直线截果两条直线行错角相等 真
变式题
(1)三角形中两角相等 两角边相等 等边等角 真
(2)三角形等边三角形 该三角形三条边高相等 果三角形三条边高相等三角形等边三角形 真
探究点2 互逆定理 逆定理
例2 (1)错角相等两直线行 互逆定理 (2)相等角顶角 真 定理
二课堂结 结 条件 定理
堂检测
1．C 2．A 3．相等角位角 4．①②③
5．解：（1）没全等三角形应角相等逆命题应角相等三角形全等三角形假命题
（2）逆定理：两直线行旁角互补．
6．解：逆命题：果三角形边高线中线互相重合三角形等腰三角形真命题．证明：
已知：图△ABC中AD⊥BCBD＝DC
求证：△ABC等腰三角形
证明：∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°△ADB△ADC中
∴△ADB≌△ADC（SAS）．∴AB＝AC△ABC等腰三角形．
135 逆命题互逆定理
2线段垂直分线
学目标：
1理解掌握线段垂直分线性质判定方法（重点）
2够运线段垂直分线性质判定解决实际问题．（难点）
学
知识链接
1线段______________条线段________做条线段垂直分线
2线段轴称图形称轴 线
二新知预
操作：图已知线段AB作直线MN垂直分线段AB
问题：（1）设两弧线交点P量出APPB长度什关系？
（2）学方法证明APBP关系．
合作探究
探究程
探究点1：线段垂直分线性质
问题 通述操作认线段垂直分线意点线段两端点距离什特点？
点纳线段垂直分线点线段两端距离________
例1图△ABC中AB＝AC＝20cmDE垂直分AB垂足E交ACD
△DBC周长35cmBC长( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．175cm
方法总结利线段垂直分线性质实现线段间相互转化求出未知线段长．
例2 已知图ΔABC中边ABBC垂直分线交P求证：PAPBPC
点纳三角形三边垂直分线交点点三角形三顶点距离_______
变式题某区政府方便居民生活计划三住宅区ABC间修建购物中心试问该购物中心应建处三区距离相等？图中作出购物中心位置．
例3图四边形ABCD中AD∥BCECD中点连接AEBE延长AE交BC延长线点FBE⊥AE求证：
(1)FC＝AD
(2)AB＝BC＋AD
方法总结证明线段相等常方法：1全等应线段相等2线段垂直分线性质出线段相等
探究点2：线段垂直分线判定
问题 写出垂直分线性质定理逆命题认真命题假命题？
点纳线段两端距离________点条线段______________
例4 图点E∠AOB分线点EC⊥OAED⊥OB垂足分CD连接CD
求证：OECD垂直分线
二课堂结
线段垂直分线判定
线段垂直分线性质判定
线段垂直分线性质
三角形三边垂直分线交点三角形三顶点距离______
证明线段相等
堂检测
1图直线CD线段AB垂直分线点P直线CD点PA5线段PB长（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
第1题图 第2题图 第3题图
2明做图示风筝中EHFHEDFD明说测量知道DHEF垂直分线．中蕴含道理
3图△ABC中AC垂直分线交AB点D∠A50°∠BDC °
4图△ABC中∠ACB＝90°BE分∠ABC交ACEDE垂直分ABD求证：BE+DE＝AC．
5图△ABC中AD高线段DC取点EBD＝DEAB+BD＝DC求证：点E线段AC垂直分线．
6图△ABC中已知AD分∠BACDE⊥AB点EDF⊥AC点F试说明ADEF关系．
拓展提升
7图四边形ADBC中ABCD互相垂直分垂足点O．
（1）找出图中相等线段
（2）OEOF分点O∠CAD两边距离试说明什关系
参考答案
学
知识链接
1中点 垂直 直线 2垂直分
二新知预
操作：图示：
问题：（1）APBP． （2）作图知MN垂直分AB设MNAB相交点CACBC∠ACP∠BCPCPCP△ACP≌△BCPAPBP
合作探究
探究程
探究点1：
点纳相等
例1 C
例2 证明：∵点P边ABBC垂直分线交点∴PAPBPBPC∴PAPBPC．
点纳相等
变式题解：图连接AB分AB圆心AB长半径画弧两弧交两点连接两点AB垂直分线理连接BC作出BC垂直分线两条直线交点P点P购物中心位置
例3 证明：（1）∵AD∥BC∴∠ADC∠ECF∵ECD中点∴DEEC．∵△ADE△FCE中∴△ADE≌△FCE（ASA）∴FCAD．
（2）∵△ADE≌△FCE∴AEEFADCF∴BE线段AF垂直分线∴ABBFBC+CF∵ADCF∴ABBC+AD．
探究点2：
点纳相等 垂直分线
例4 证明：∵OE分∠AOB∴∠COE∠DOE．∵EC⊥OAED⊥OB∴∠OCE∠ODE90°△OCE△ODE中∴△OCE≌△ODE（AAS）∴OCOD∵OE∠AOB分线∴OECD垂直分线．
二课堂结
相等
堂检测
1 B
2条线段两端点距离相等点条线段垂直分线
3100
4证明：∵∠ACB＝90°∴AC⊥BC∵ED⊥ABBE分∠ABC∴CE＝DE∵DE垂直分AB∴AE＝BE∵AC＝AE+CE∴BE+DE＝AC．
5证明：∵AD高∴AD⊥BC∵BD＝DE∴AD直线线段BE垂直分线∴AB＝AE∴AB+BD＝AE+DE∵AB+BD＝DC∴DC＝AE+DE∴DE+EC＝AE+DE∴EC＝AE∴点E线段AC垂直分线．
6解：AD垂直分EF理：∵AD分∠BAC∴∠EAD＝∠FAD∵DE⊥ABDF⊥AC∴∠AED＝∠AFD．△AED△AFD中∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE＝AFDE＝DF∴ADEF垂直分线AD垂直分EF．
7解：（1）∵ABCD互相垂直分∴OC＝ODAO＝OBAC＝BC＝AD＝BD
（2）OE＝OF理：△AOC△AOD中∴△AOC≌△AOD（SSS）∴∠CAO＝∠DAO∵OE⊥ACOF⊥AD∴∠AEO∠AFO∵AOAO∴△AOE≌△AOF（AAS）∴OE＝OF．
135 逆命题互逆定理
3角分线
学目标：
1理解掌握角分线性质定理逆定理（重点）
2利角分线性质定理逆定理证明相关结应（难点）
学
知识链接
知道角轴称图形称轴角分线直线试着图中画出∠ABC称轴BD
二新知预
图BD取点H点H∠ABC部作HE⊥ABHF⊥BC求证：HEHF
合作探究
探究程
探究点1：角分线性质定理
问题 根述作图证明认角分线点角两边作垂线两条垂线什关系？
点纳角分线性质定理 角分线点角两边距离 ___
例1 图D△ABC外角∠ACG分线点．DE⊥ACDF⊥CG垂足分EF．求证：CE＝CF．
例2 图AD△ABC角分线DE⊥AB垂足ES△ABC＝7DE＝2AB＝4AC长( )
A．6
B．5
C．4
D．3
方法总结利角分线性质作辅助线构造三角形高利三角形面积公式求出线段长度常方法．
针训练图OP∠MON分线点AON点作线段OA垂直分线交OM点B点A作CA⊥ON交OP点C连接BCAB＝10cmCA＝4cm．△OBC面积 cm2．
探究点2：角分线性质定理逆定理
问题 写出角分线性质定理逆命题真命题假命题？
点纳角分线性质定理逆定理
角部角两边距离相等点角
例3 图BE＝CFDE⊥AB延长线点EDF⊥AC点FDB＝DC求证：AD∠BAC分线．
方法总结证明条射线角分线方法两种：利三角形全等证明两角相等二利角分线性质定理逆定理．
针训练
图已知△ABC∠ABC∠ACB外角分线交点D求证：AD∠BAC分线．（提示：作辅助线图示）
二课堂结
容
角分线性质定理
角分线点角两边距离相等
果点P∠AOB分线PD⊥OA点DPE⊥OB点EPD＝________．
角分线性质定理逆定理
角部角两边距离________点角分线．
果点P∠AOB点PD⊥OA点DPE⊥OB点EPD＝PE点P∠AOB分线
堂检测
1图DE⊥ABDF⊥BG垂足分EF DE DF ∠EDB 60° ∠EBF______度BE________
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2图△ABC中 ∠C90°AD分∠CABBC8BD5点DAB距离______
3图已知△ABC周长21BOCO分分∠ABC∠ACBOD⊥BCDOD4△ABC面积________．
4图∠B＝∠C＝90°MBC中点DM分∠ADC∠ADC＝110°∠MAB＝ °．
5图△ABC中AB＝ACAD∠BAC分线DE⊥ABDF⊥AC垂足分EF．面出四结①DA分∠EDF②AE＝AF③AD点BC两点距离相等④AEAF距离相等点DEDF距离相等．中正确结( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6图点BC分∠A两边点D∠A点DE⊥ABDF⊥AC垂足分EFAB＝ACDE＝DF．求证：BD＝CD．
参考答案
学
知识链接
解：称轴图示：
二新知预
证明：作图知BD分∠ABC∴∠FBH∠EBH∵EH⊥ABHF⊥BC∴∠BEH∠BFH∵BHBH∴△BEH≌△BFH∴EHFH
合作探究
探究程
探究点1
点纳相等
例1 证明：∵CD∠ACG分线DE⊥ACDF⊥CG∴DE＝DFRt△CDERt△CDF中∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）∴CE＝CF．
例2 D
针训练20
探究点2
点纳分线
例3 证明：∵DE⊥AB延长线点EDF⊥AC点F∴∠BED∠CFD90°．Rt△BDERt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴DEDF∴AD∠BAC分线．
针训练证明：分D作ABBCAC垂线垂足分EFG∵BD分∠CBEDE⊥BEDF⊥BC∴DE＝DF．理DG＝DF∴DE＝DG∴点D∠EAG分线∴AD∠BAC分线．
二课堂结
PE 相等
堂检测
160 BF 23 342 435 5D
6证明：连接AD∵DE⊥ABDF⊥ACDEDF∴∠BAD∠CAD△ABD△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）∴BDCD．
第14章 勾股定理
141 勾股定理
1直角三角形三边关系
第1课时 探索直角三角形三边关系
学目标：
1掌握勾股定理会勾股定理进行简单计算（重点）
2会勾股定理解决简单问题（难点）
学
知识链接
1 果正方形边长a面积
2果直角三角形两直角边分ab面积
二新知预
1图正方形瓷砖铺成面
（1）正方形P面积 （AC表示）
（2）正方形Q面积 （BC表示）
（3）正方形R面积 （AB表示）
（4）正方形PQR面积关系写出ACBCAB间关系
思考：述图中便找直角三角形画出图三边存（4）中关系？
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理初步认识
操作 作图：（1）画∠A90°（2）两边A端点分截取长3 cm
4 cm线段ab连接两线段端点组成三角形连线长度c
问题1 量量c长度分计算a2b2c2值发现什？
问题2 改变ab长度分计算a2b2c2值发现什？
点纳意直角三角形果两条直角边分ab斜边c定 种关系称 直角三角形两直角边方等斜边
例1图已知Rt△ABC中∠C
（1）
（2）
（3）
（4） ．
方法总结勾股定理基关系式a2+b2c2变形式．：
等
针训练直角三角形两直角边边长分815第三边长 ．
变式题已知直角边→未知直角边
直角三角形两边长分815第三边长方 ．
探究点2：利勾股定理求面积
例2 求列图中正方形边长xy值：
针训练
图Rt△ABC三边斜边分外作三等腰直角三角形试探索三等腰直角三角形面积间关系．
方法总结等腰直角三角形性质：S△ABE＝AB2S△BCF＝BC2S△ACH＝AC2AC2+BC2＝AB2出结．样三边长直径三半圆面积存定关系．
二课堂结
容
勾股定理
果直角三角形两直角边长分ab斜边长ca2+b2c2公式变形：
注 意
1运勾股定理前提：必须直角三角形
2清角直角
3已知两边没指明直角边斜边时定分类讨
堂检测
1列说法中正确 （ ）
A已知abc三角形三边a2+b2c2
B直角三角形中两边方等第三边方
CRt△ABC中∠C90°a2+b2c2
DRt△ABC中∠B90°a2+b2c2
2 图图中阴影部分正方形正方形面积_________cm2
第2题图 第3题图
3图直线侧三正方形面积分512面积
4图△ABC中ABAC13BC10．
（1）求高AD长
（2）求△ABC面积．
拓展提升
5△ABC中AB＝15AC＝20BC边高AD＝12求BC长（注意三角形高三角形部外部应分类讨）
参考答案
学
知识链接 1a² 2ab
二 新知预
1（1）AC² （2）BC² （3）AB² （4）AB²AC²+BC²
合作探究
探究程
探究点1
操作
点纳 a²+b²c² 勾股定理 方
例1 （1）13 （2）6 （3）7 （4）15 25
针训练17 变式题289161
探究点2
例2 图知x2144+81x15图知y2169144y5．
针训练
解：∵S△ABES△BCFS△ACH分表示Rt△ABC斜边AB直角边BCAC斜边外作等腰直角三角形面积∴S△ABEAB2S△BCFBC2S△ACH
AC2∵AC2+BC2AB2∴S△ABES△BCF+S△ACH．
堂检测
1C 236 317
4解：（1）∵ABACAD⊥BC∴BDCD∵BC10∴BD5．Rt△ABD中根勾股定理AD＝12．
（2）△ABC面积BC•AD＝×10×12＝60．
5 解：（1）图1△ABC中AB15AC20BC边高AD12Rt△ABD中AB15AD12勾股定理BD9Rt△ADC中AC20AD12勾股定理DC16∴BC
BD+DC9+1625．图2理BD9DC16∴BCCD BD7．综述BC长257．
1直角三角形三边关系
第2课时 勾股定理验证简单应
学目标：
1掌握勾股定理拼图方法验证勾股定理（难点）
2会勾股定理解决简单问题（重点）
学
知识链接
1勾股定理容什？
直角三角形两直角边方_____斜边方．
2果abc分表示直角三角形两直角边长斜边长定__________勾2＋股2＝弦2
二新知预
利国古代数学家赵爽赵爽弦图 证明勾股定理．
证明：∵S正方形＝________
S正方形＝________
S正方形＝___·S三角形＋S正方形
∴________________+__________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理验证
例1较图中两正方形面积验证勾股定理
纳总结利面积验证勾股定理两角度图形面积建立含直角三角形三边等式a2+b2c2．
针训练
请利图直角梯形验证勾股定理证明a2+b2＝c2．
探究点2：勾股定理简单应
例2 图湖两端AB两点BA方成直角BC方点C测CA130米CB120米求AB两点间距离
针训练图学校教学楼前块长4米宽3米长方形草坪极少数避开拐角走捷径草坪走出条路踩伤花草
（1）求条路长
（2）仅仅少走步(假设2步1米)？
例3 次台风袭击中明家房前棵树离面6米处断裂树顶部落离树根底部8米处告诉明棵树折断前高？
方法总结利勾股定理解决实际问题般步骤：（1）读懂题意分析已知未知间关系（2）构造直角三角形（3）利勾股定理等列方程（4）解决实际问题
二课堂结
利________求长度
勾股定理应
利勾股定理解决实际问题
堂检测
1．图某长方形理石广场示意图（单位：米）琴A角走C角少走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
第1题图 第2题图 第3题图
2．图笑笑张A4纸（A4纸尺寸210mm×297mmAC＞AB）剪角量CF＝90mmBE＝137mm剪直角三角形斜边长 mm
3．图某动感应门正方A处装着感应器离AB＝25米体进入感应器感应范围时感应门会动开．身高16米学生CD正门缓慢走离门12米方时（BC＝12米）感应门动开AD＝ 米．
4．图甲乙两时A出发分3kmh4kmh速度步行甲正南方乙正东方15h两相距远？
拓展提升
5．积极响应国家新农村建设遂宁市某镇政府采移动宣讲形式进行宣传动员．图笔直公路MN侧点A处村庄村庄A公路MN距离600米假设宣讲车P周围1000米听广播宣传宣讲车P公路MNPN方行驶时：
（1）请问村庄A村民否听宣传？请说明理
（2）果听已知宣讲车速度200米分村庄A村民总听长时间宣传？
参考答案
学
知识链接
1等 2a2＋b2＝c2
二新知预 c² （ba）² 4 c² 2ab （ba）²
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：（a+b）²c2+ab×4化简 c2a2+b2
针训练解：∵S梯形＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2+2ab）S梯形＝2×ab+c2
∴（a+b）2＝2×ab+c2整理 a2+b2＝c2．
探究点2：
例2 解：Rt△ABC中AC130米BC120米勾股定理AB50米．AB两点间距离50米．
针训练解（1）条路长5（米）
（2）少走步数2×（3+45）4（步）
例3 解：图Rt△ABC中AB6米BC8米勾股定理AC10米∴AC+AB10+616（米）．树折断前16米高．
二课堂结 勾股定理
堂检测
1．B 2．200 3．15
4．解：15h甲走路程3×15＝45（km）15h乙走路程4×15＝6（km）
勾股定理两距离＝75（km）．
答：15h两相距75 km．
5．解：（1）村庄A村民听宣传理：∵村庄A公路MN距离600米＜1000米∴村庄A村民听宣传
（2）图假设宣讲车行驶P点开始影响村庄行驶Q点结束村庄影响AP＝AQ＝1000米．∵AB＝600米∴BP＝BQ＝（米）∴PQ＝1600（米）∴影响村庄时间1600÷200＝8（分钟）∴村庄A村民总听8分钟宣传．
2直角三角形判定
学目标：
1掌握勾股定理逆定理概念（重点）
2学生理解勾股数概念牢记勾股数学会勾股定理技巧
3利勾股定理逆定理解决实际问题（难点）
学
知识链接
1勾股定理容什？
2 求线段ab直角边直角三角形斜边c长：
① a＝3b＝4c_____ ② a＝25b＝6c_____ ③ a＝4b＝75c_____
二新知预
1画图：画出边长分列组数三角形（单位：厘米）
A343 B345 C346 D6810
2判断通测量角度判断述画三角形形状
A_________ B__________ C_________ D_________
3找规律根述三角形组边长请找出长边（c）方两边（ab）方间关系
A_________ B__________ C_________ D_________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理逆定理
活动 三组数分组数三边长作出三角形量角器量量直角三角形？①51213 ②72425 ③81517
问题 算算面边长方间关系结合形状判断发现什？
猜测 果三角形三边长abc满足___________三角形_________三角形
验证 面根全等进行证明
已知：△ABC三边长abc满足a2+b2c2．
求证：△ABC直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′∠C′90°A′C′bB′C′a
A′B′2_______+________
∵a2+b2c2∴A′B′_______
△ABC△A′B′C′中
A′C′AC
B′C′BC
_____________
∴△ABC____△A′B′C′(________)
∴∠C____∠C′_____90° △ABC__________三角形
点纳勾股定理逆定理：果三角形三边长a b c关系a2+b2c2三角形直角三角形边c角直角
特说明：勾股定理逆定理直角三角形判定定理已知三角形三边长满足两条较边方等长边方判断三角形直角三角形 长边应角直角
例1△ABC三边abc满足 ab c345判断△ABC形状
方法总结已知三角形三边例关系判断三角形形状：先设出参数表示出三条边长勾股定理逆定理判断否直角三角形果直角三角形三边中两相数该三角形等腰三角形
针训练
1列组线段中构成直角三角形（ ）
A．234 B．346 C．51213 D．467
2已知abc△ABC三边长|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0△ABC ．
例2 某木工做长方形门框AB15mAD2m测BD26m．∠DAB90°符合求请问做门框符合求？说明理
探究点2：勾股数
概念提出 勾股数：够成直角三角形三条边长三正整数
典例精析
例3 面组abc勾股数 ．（填序号）
①a＝7b＝24c＝25 ②a＝5b＝13c＝12
③a＝4b＝5c＝6 ④a＝05b＝03c＝04
方法总结根勾股数定义勾股数必须正整数先排数计算长边方否等两边方
二课堂结
容
勾股定理逆定理
果三角形三边长a b c关系a2+b2c2三角形直角三角形边c角直角
勾股定理逆定理作
三边数量关系判定三角形否直角三角形
注 意
1 长边定c ∠C定直角
2 勾股数定______数
堂检测
1列组数勾股数 ( )
A347 B6108 C15225 D135
2直角三角形三边长扩样倍数三角形 ( )
A直角三角形 B锐角三角形
C钝角三角形 D直角三角形
3△ABC中∠A ∠B ∠C边分abc(c+a)(ca)b2△ABC（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形
C直角三角形 D等腰三角形
4abc满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0abc边三角形面积 ．
5三角形三边长分15cm20cm25cm该三角形长边高 cm
6 图△ABC中CD⊥ABDAC＝4BC＝3CD＝
（1）求AD长
（2）求证：△ABC直角三角形．
拓展提升
7△ABC三边长abc 满足a2+b2+c2+506a+8b+10c 试判断△ABC形状说明理
参考答案
学
知识链接
1直角三角形两直角边方等斜边方．
2① 5 ②65 ③85
二新知预
1画图略
2锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 直角三角形
3a²+b²＞c² a²+b²c² a²+b²＜c² a²+b²c²
合作探究
探究程
探究点1：
猜测 a²+b²c² 直角
验证 A′C′2 B′C′2 c A′B′ AB ≌ SSS 直角
例1 解：设a3kb4kc5kk≠0a2+b29k2+16 k225k2c2∴a2+b2c2∴△ABC直角三角形．
针训练
1C 2等腰直角三角形
例2 解：符合理：152+22625262676AB2+AD2≠BD2△ABD满足直角三角形条件∠DAB≠90°符合求
探究点2：
例3 ①②
课堂结
正整数
堂检测
1B 2A 3C 430 512
6（1）解：∵CD⊥AB∴∠ADC＝90°∴AD＝＝＝
（2）证明：（1）知AD＝理BD＝∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52∴BC2+AC2＝AB2∴△ABC直角三角形．
7解：a2+b2+c2+506a+8b+10c变形（a3）²+（b4）²+（c5）²0a3b4c5∵a2+b2c2∴△ABC直角三角形．
3反证法
学目标：
1解反证法意义反证法证明命题真命题般步骤（重点）
2学会运反证法证明关命题（难点）
学
知识链接
1证明命题真命题时般采__________法
2证明图形关命题时般步骤？
答：第步：____________________第二步：_______________第三步：_________________
二新知预
1 直接证明方法_________证明方法_________法常间接证明方法
2证明命题时时先假设______反面正确然通_________推出基事实已证定理定义已知条件相矛盾说明假设___________进出原结正确种证明方法做_______法
合作探究
探究程
探究点：反证法
操作 画出三角形计算较短两边长方较长边方否相等？
（1）11524（2）15225（3）15253
猜想 三角形三边abc（a≤b≤c）关系a2+b2≠c2时三角形直角三角形
问题 会证明猜想？
点纳反证法步骤：先假设结反面正确然通演绎推理推出基事实已证定理定义已知条件相矛盾说明假设成立进出原结正确
例1求证：果两条直线第三条直线行两条直线行
已知：
求证：
证明：假设 设相交点A点A 条直线直线c行直线外点 矛盾
∴假设成立
∴
纳总结推理证时新增已知条件（假设容）加进然逐步推出已知公理定理间矛盾
针训练求证：三角形中少角等60°
已知：
求证：
证明：假设 _______________________．
∴∠A+∠B+∠C＞____________三角形 相矛盾．
∴假设成立
∴ ．
例2 求证：命题三角形中角直角
纳总结结反面止种情况必须种情况全部列举出逐加否定肯定原结正确
二课堂结
反证法意义
反证法 反证法般步骤
反证法证明关命题
堂检测
1证明△ABC中少角锐角时第步应假设（ ）
A．三角形少角锐角 B．三角形中少两锐角
C．三角形中没锐角 D．三角形中三角锐角
2反证法证明命题旁角互补两条直线行时应先假设
3写出列结反面：
（1）ab：
（2）a≥0：
（3）b正数：
（4）三角形中钝角： ．
4已知直线mn相交线直线l1⊥m直线l2⊥n．求证：直线l1l2必相交．
5图△ABC中DE分ACAB中点BD≠CE求证：AB≠AC．
参考答案
学
知识链接
1反证 2画图写出已知 写求证程 写出结
二新知预
1间接 反证
2结 演绎推理 基事实 成立 反证
合作探究
探究程
探究点：
操作 解：三角形图①②③示：
（1）12+152≠242（2）152+22252（3）152+252≠32（2）中相等（1）（3）中相等
例1 面直线a∥cb∥c 直线a∥b 直线a直线b相交 2 条直线已知直线行 直线a∥b
针训练∠A∠B∠C△ABC角 △ABC中少角等60° △ABC中没角等60° ∠A∠B∠C60° 180° 角180° 三角形三角中少角等60°
例2 证明：假设三角形中两角90°三角形三角180°三角形角180°相悖假设正确三角形中角直角
堂检测
1 C 2旁角互补两条直线行
3（1）直线a直线b行 （2）a＜0
（3）b非正数 （4）三角形中少两钝角
4证明：假设直线l1l2相交两直线行．∵l1∥l2直线l1⊥m直线l2⊥n．∴m∥n直线mn相交线相矛盾．∴假设正确直线l1l2必相交．
5解：假设AB＝AC∠ABC＝∠ACB．∵AB＝ACDE分ACAB中点∴BE＝CD．△BCD△CBE中∴△BCD≌△CBE．∴BD＝CEBD≠CE相矛盾．AB≠AC．
142 勾股定理应
学目标：
1会运勾股定理求线段长解决简单实际问题（重点）
2实际问题中抽象出直角三角形模型利勾股定理建立已知边未知边长度间联系进步求出未知边长（难点）
学
知识链接
1 补全勾股定理容？
果直角三角形两直角边长分ab斜边长c____________
2 勾股定理公式变形：a_________b_________c_________
3 Rt△ABC中∠C90°
(1)a3b4c_________(2)a5c13b_________
合作探究
探究程
探究点1：勾股定理应
例1 图根12米高电线杆CD两侧15米铁丝固定求两固定点AB间距离
方法总结 解题关键利转化思想实际问题转化成直角三角形模型然利勾股定理求出未知边长
针训练图两棵树棵高10米棵高4米两树相距8米鸟棵树树梢飞棵树树梢问鸟少飞行少米？
探究点2：勾股定理逆定理应
例2 图某港口P位东西方海岸线 远航号海天号轮船时离开港口固定方航行远航号时航行16海里海天号时航行12海里离开港口半时分位点QR处相距30海里果知道远航号东北方航行知道海天号方航行？
分析：题目已知远航号航两艘船半时航程距离实质求
出两艘船航成角容易联想勾股定理逆定理
方法总结解决实际问题步骤：构建模型(整体局部)标注信息明确已知求应数学知识求解
例3 零件形状图示规定零件中∠A∠DBC应直角工师傅量零件边尺寸图示零件符合求？
针训练图四边形ABCD中AC⊥DC△ADC面积30DC＝12AB＝3BC＝4求△ABC面积．
探究点3：利勾股定理求短距离
例4 图圆柱形油罐A点环绕油罐建梯子正建A点正方点B处问梯子短需少米？（已知油罐底面半径2 m高AB5 mπ取3）
例5 图牧童河南4 kmA处牧马正位屋B西8km北7km处想马牵河边饮水然回家．完成件事情走短路程少？
方法总结求直线侧两点直线点连线段短路径方法：先找中点关条直线称点连接称点点线段短路径长连接称点点线段斜边构造出直角三角形运勾股定理求短路径
针训练图蚂蚁棱长12cm正方体纸盒顶点A处纸盒表面爬点B处已知BC＝4 cm蚂蚁爬行短距离少？
二课堂结
勾股定理解决实际问题
勾股定理
应
勾股定理逆定理解决实际问题
勾股定理解决点距离路径短问题
堂检测
1梯子（图）垂直面墙顶端面距离28m底端距离墙面21m梯子长度（ ）
A21cm B28cm C35cm D37cm
第1题图 第2题图 第4题图
2图支铅笔放圆柱体笔筒中面露出截笔筒部底面直径9cm壁高12cm铅笔长度（ ）
A9cm B12cm C15cm D18cm
3已知甲乙两点出发甲东走4 km乙南走3 km时甲乙两相距 km．
4图三级台阶级长宽高分1631点A点B台阶两相端点A点蚂蚁想B点短路程 ．
5图已知AB＝13cmAD＝4cmCD＝3cmBC＝12cm∠D＝90°求四边形ABCD面积．
6高速公路侧AB两城镇图示高速公路直线MN距离分AA′＝2kmBB′＝4kmA′B′＝8km高速公路A′B′间建出口PAB两城镇P距离短求短路程．
参考答案
学
知识链接
1 a²+b²c² 2 35 12
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：△ADC中∠ADC90°AC15米CD12米∴AD9米．理BD9米∴AB9+918（米）AB间距离18米
针训练
解：图设树高AB10米树高CD4米C点作CE⊥ABE连接AC∴EB4米EC8米AEABEB1046（米）．Rt△AEC中AC10（米）鸟少飞行10 米．
探究点2：
例2 解：题意RP18海里PQ24海里QR30海里∵182+242302∴△RPQ直角三角形∴∠RPQ90°∵远航号东北方航行∠QPN45°∴∠RPN45°∴海天号西北方航行
例3 解：∵AD4AB3BD5DC13BC12∴AB2+AD2BD2BD2+BC2DC2∴△ABD△BDC直角三角形∠A90°∠DBC90°零件符合求
针训练解：∵S△ADC∴AC＝5∵AB2+CB2＝42+32＝25＝AC2
∴△ABC直角三角形∠ABC＝90°∴△ABC面积＝．
探究点3：
例4 解：图∵油罐底面半径2m∴油罐底面周长2π×24π≈12 m．∵高AB5m展开图中BC5m∴AB≈13（m）．建梯子短约13m．
例5 解：图作出A点关MN称点A′连接A′B交MN点PAAPPPBB走路程短时AP+BPA′B．Rt△A′DB中勾股定理A′B17（km）
答：完成件事情走短路程17 km．
针训练解：蚂蚁爬行短路径展开图图示：
易AB＝＝20cm∴蚂蚁爬行短路程20cm．
堂检测
1D 2D 35 420
5解：连接AC．∵AD＝4cmCD＝3cm∠ADC＝90°∴AC＝＝＝5（cm）∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．△ABC中∵52+122＝132AC2+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形∠ACB＝90°∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．
6解：图作A点关直线MN称点C连接CB交直线MN点P时AP+PBCB长点B作BD⊥CA交CA延长线点D∵AA′＝2kmBB′＝4km
A′B′＝8km∴A′C＝2kmA′D＝4kmBD＝8kmCD＝6kmRt△CDB中CB＝＝10（km）短距离10km
第15章 数收集表示
151 数收集
1数 2数收集
学目标：
1通实践历收集数整理数程掌握简单收集整理数方法（重点）
2理解频数频率概念进行计算（难点）
学
知识链接
1学学收集数方法？
2收集数样分类整理？
二新知预
1解七年级学家做家务时间选择校七年级(1)班进行调查问题中调查问题____________________________________调查象_____________________．
2范例：假想知道全班学踢足球篮球乒乓球跑步爱情况调查收集数程中：
(1)调查问题___________________________
(2)调查象__________
(3)记录数_______________________
(4)调查方法______________．
3(1)_______________________称频数
(2)_____________________________________称频率
(3)频数频率反映象出现__________．
合作探究
探究程
探究点1：数收集
问题1：果解全班学新闻体育动画娱乐戏曲五类电视节目喜爱情况会样做？
问题2：样收集数进行整理？
例1 某市30天空气质量状况统计：411074710075927693921299078947791103981271021054210972105961129012390149中w≤50时空气质量优50＜w≤100时空气质量良100＜w≤150时空气质量轻微污染．
根优良轻微污染三种情况表格整理面数请表补充完整
空气质量
记录
出现次数
优（w≤50）
良（50＜w≤100）
轻微污染（100＜w≤150）
方法总结收集整理调查数时常需类数进行分类统计时利唱票画记法数进行累计画记般正字表示正字笔代表数．
探究点2：频数频率
例2 （1）某学校全校进行调查3402参加容应选择数：认名高素质教师需具备条件？A较强教学力(604)B合理知识结构(235)C学生爱心(838)D现代教育理念(1725)．根次调查认名教师需具备条件 占例约 （精确1％）
（2）手写串数字：10100110001110100110111出现频数 频率 0出现频数 频率 ．
方法总结频率频数总数间关系：
1．频率＝
2．频率等1
针训练刚骰子意抛10次．出现点数分6312343534．10次中出现频率高 4出现频数 ．
二课堂结
数收集
收集数步骤：1明确调查问题2确定调查象3选择调查方式4展开调查5记录结果6出结
频数
表示象出现次数
频率
表示象出现次数总次数值（者百分）
频数频率够反映象出现频繁程度
堂检测
1．某校篮球队队员六位学身高：168167160164168168（单位：cm）获组数方法（ ）
A．直接观察 B．查阅文献资料 C．互联网查询 D．测量
2．进行数收集调查时明确调查问题确定调查象般完成4步骤：①展开调查 ②出结 ③记录结果 ④选择调查方法．序弄乱正确序（ ）
A．④①③② B．③④①② C．④③①② D．②④③①
3．某学调查全班50名学感兴趣课外活动项目绘制成面统计表：
课外活动项目
划记
数
体育运动
正正
10
学科兴趣组
正正
10
音乐
正正正
15
舞蹈
正
5
美术
正正
10
中全班学感兴趣课外活动项目（ ）
A体育运动 B学科兴趣组 C音乐 D舞蹈
4．某班40名学次数学成绩进行统计适分组8090分分数段划记数：正班分数段数占全班数百分（ ）
A．20 B．40 C．15 D．25
5．红机写串数31323321112233数字3出现频数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．阳光体育活动市校蓬勃开展某校次课间活动中抽查10名学生分钟跳绳次数获数（单位：次）：83899399117121130146158188．中跳绳次数100频率
7．次跳远赛中成绩405米8频率04参加赛运动员_________．
8．明解学课余生活设计调查问题：
时喜欢项课余活动（ ）
A．课外书 B．体育活动 C．电视 D．踢足球
认问题选项设计合理？什？果合理请修改．
9．航模兴趣组老师想知道全组学生年龄情况家年龄写纸表全组40名学生年龄（单位：岁）．
14
13
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13
（1）统计表中13岁频数 频率
（2） 岁频率频率
（3）假老师机问名学生年龄认老师听回答少岁？
参考答案
学
知识链接
1运调查法收集数
2简单基础方法记录定分类标准整理呈现数
二新知预
1解七年级学家做家务时间 校七年级(1)班学生
2(1)全班学踢足球篮球乒乓球跑步四项运动爱情况 (2)全班学
(3)爱踢足球篮球乒乓球跑步四种运动中项数 (4)直接问卷调查
3(1)象出现次数 (2)象出现次数总次数值(百分) (3)频繁程度
合作探究
探究点1：
问题1：答：进行问卷调查．
问题2：答：制成统计图统计表．
例1 解：填表．
空气质量
记录
出现次数
优（w≤50）
3
良（50＜w≤100）
正正正
16
轻微污染（100＜w≤150）
正正
11
例2 （1）D 51 （2）12 10
针训练3 2
堂检测
1．D 2．A 3．C 4．C 5．C 6．06 7．20
8．解：问题选项设计合理．理：∵体育活动包含踢足球∴选项重复课余活动全面踢足球改．
9．解：（1）8 02
（2）14 025 解析：图12岁出现频数514岁出现频数1015岁出现频数716岁出现频数717岁出现频数314岁出现频数14岁频率频率＝025答案14025
（3）14岁频率老师听回答14岁．
152 数表示
1扇形统计图
学目标：
1．学生通实际问题认识扇形统计图含义特点（重点）
2．学生解扇形统计图绘制程学会制作简单扇形统计图（难点）
学
知识链接
1常见三种统计图
2数收集整理般步骤：
①通 收集数②列 整理数③制作 描述数
④观察 分析数
二新知预
节课介绍数收集方法知道收集数数直观表示出呢？学电视报纸等关媒体中常图形分统计表扇形统计图折线统计图条形统计图．节课学运图表数进行表示．
合作探究
探究程
探究点1：扇形统计图
活动 观察图2扇形统计图
问题 （1）扇形统计图中百分少？
（2）量量圆心角度数百分圆心角度数什关系？
点纳扇形统计图清楚反映出部分占总数量百分．表示部分数量总数量中占份额时常扇形统计图
例1 图实验中学七年级学生参加课外活动数扇形统计图参加舞蹈类学生42参加球类活动学生( )
A．145 B．147 C．149 D．151
方法总结1体占总体百分＝×100
2．扇形圆心角＝体占总体百分×360°
3．体占总体百分等1
4．扇形圆心角度数等360°
探究点2：制作扇形统计图
制作扇形统计图般步骤：
(1)先算出部分数量占______百分
(2)算出表示部分数量扇形_________度数
(3)取适半径画圆面算出________度数圆里画出扇形
(4)扇形中标明表示部分数量名称占总体______颜色条纹扇形区开．
注意：定明确扇形统计图表示意义分清部分整体关系
例2某农户耕种40亩中20亩种植水稻12亩种植棉花8亩种植甘蔗请制作扇形统计图表示出家农户类作物占百分．
二课堂结
1扇形统计图圆表示部分总数量圆里_____表示部分占总数量______．种统计图清楚反映出部分总数量间关系．
2（1）体占总体百分＝×100
（2）扇形圆心角＝体占总体百分×360°
（3）体占总体百分等1
（4）扇形圆心角度数等360°
3制作扇形统计图步骤：
（1）计算部分占百分
（2）计算部分扇形圆心角度数
（3）画出扇形统计图．
堂检测
1．某年国粮食总产量54000万吨中谷物49000万吨豆类2700万吨薯类2300万吨．果扇形图表示组数豆类应扇形圆心角度数（ ）
A．16° B．18° C．20° D．22°
2．某校图书理员清理课外书籍时中甲乙丙三类书籍关数制成图完整统计图．已知甲类书30丙类书数（ ）
A．80 B．144 C．200 D．90
第2题图 第3题图 第5题图
3．甲乙两学校统计数分绘制扇形统计图（图）列说法正确（ ）
A．甲校男女生数样 B．甲乙两学校数样
C．甲校男生数乙校男生数 D．乙校女生数甲校女生数
4．扇形统计图中中扇形圆心角216°部分扇形表示部分占总体百分 ．
5．某校解学生参加体育兴趣组情况机调查干名学生根调查结果绘制扇形统计图（图）已知参加羽毛球兴趣组数参加乒乓球兴趣组少6该校调查学生总数 ．
6．某校学生学方式进行次问卷调查根结果绘制出图示扇形统计图．已知该校学生2 560调查学生中骑车21求：
（1）调查学生总数少？
（2）步行扇形圆心角少度？
（3）该校学生中骑车学学生约少？
参考答案
学
知识链接
1条形统计图 扇形统计图 折线统计图
2①问卷调查 ②统计表 ③统计图 ④统计图
合作探究
探究程
探究点1：
例1 B
探究点2：
(1)总体 (2)圆心角 (3)圆心角 (4)百分
例2 解：水稻种植面积占总面积百分：20÷40＝50棉花种植面积占总面积百分：12÷40＝30甘蔗种植面积占总面积百分：8÷40＝20计算相应圆心角：360°×50＝180°360°×30＝108°360°×20＝72°量角器圆分成相应三部分相应扇形中标明种作物名称标志求扇形统计图图．
二课堂结
扇形 百分
堂检测
1．B 2．A 3．A 4．60 5．60
6．解：（1）调查学生总数60．
（2）1﹣35﹣15﹣5＝45360°×45＝162°．步行扇形圆心角162°
（3）2560×35＝896（）该校学生中骑车学学生约896．
2利统计图表传递信息
学目标：
1．学生掌握常三种统计图功特点
2．学生根实际问题收集数特点选择合适统计图获取价值信息（重点）
3．结合种统计图学生学会中获取正确信息会作出合理解释推断计算（难点）．
学
知识链接
1前面学描述数方法？什特点？
2扇形统计图清楚表示部分总体中占________．扇形圆心角等部分数量占总数量________360°
合作探究
探究程
探究点1：利统计表传递信息
例1天津杭州两城市某年月降水量统计表（单位：1mm）：
城市
月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
八月
九月
十月
十
十二
天津
30
58
90
265
287
707
1755
1820
489
177
60
63
杭州
287
297
482
677
855
960
1592
1830
1234
946
600
588
根表回答列问题：
（1）城市年降水量？城市降水量幅度？
（2）两城市月降水量相差？差少？
（3）月两城市降水量相差30毫米？
探究点2：利折线统计图传递信息
例2 图市某天气温变化图：
①天中高气温24℃
②天中高气温低气温差16℃
③天中2时14时间气温逐渐升高
④天中14时24时间气温逐渐降低．
根图表列说法中正确 ．(填序号)
方法：折线图单位表示定数量根数量少描出点然点线段次连接起折线升降表示统计数量增减变化折线统计图表示出数量少够清楚表示出数量增减变化情况．
探究点3：利条形统计图传递信息
例3 某市半年PM25月均浓度变化情况图示．
根统计图提供信息面三推断：
①该市半年PM25均浓度高月份11月
②7月﹣10月该市PM25均浓度逐月持续降
③7月﹣12月半年均浓度值51微克立方米（月30天计算）．
中推断合理序号： ．
探究点4：统计图表综合应
例4 中国梦中华民族梦中学生梦中学开展典诵读活动疑中国梦教育宏乐章里响亮音符学校典诵读活动中全校学生ABCD四等级进行评价现中抽取干学生进行调查绘制出两幅完整统计图请根图中信息解答列问题：
(1)抽取少学生进行调查？
(2)图甲中折线统计图补充完整
(3)求出图乙中B等级占圆心角度数．
针训练
某超市销售四种家电冰箱彩电洗衣机空调销售量5∶4∶2∶1中空调已销售15万台．根述销售情况绘制两完整统计图：
请根信息解答问题：
(1)补全条形统计图
(2)四种家电销售总量 万台
(3)扇形统计图中彩电部分应圆心角少度？
二课堂结
数表示
统计表
收集数制成表格形式数更直观清楚便分析．
扇形统计图
清楚表示出部分总体中占_______
折线统计图
清楚反映事物变化情况
条形统计图
清楚表示出项目具体数目．
堂检测
1．根条形统计图知列说法正确 （ ）
A．步行数50
B．步行骑行车数坐公汽车少
C．坐公汽车占总数50
D．步行少90
第1题图 第3题图
2．某次数学测验抽取部分学成绩（分整数）整理制成统计表根表中信息列描述正确（ ）
分数段
495～595
595～695
695～795
795～895
895～100
数
4
10
18
12
6
A．抽样学生50 B．估计格率（60分）92左右
C．估计优秀率（80分）36左右 D．595～695分数段频率10
3．图某厂连续7年产量增长率（相年增长率）统计图仔细观察图形列说法正确（ ）
A．年产量增减 B．产量断增加
C．开始产量降产量回升 D．说法
4．护士统计病昼夜体温变化情况应选 统计图．
5．样中100数分布5组第二四五组频数分9164015扇形图数进行统计第三组应扇形圆心角度数 ．
6．某中学开展喜欢职业题调查活动通学生机抽样调查组数．面两图（图）根组数绘制两幅完整统计图次活动中喜欢职业教师 ．
7．某校根课程设置求开设数学类拓展性课程．解学生喜欢课程容机抽取部分学生进行问卷调查（必须选中项）统计结果绘制成图示统计图（完整）：
请根图中信息回答问题：
（1）求mn值
（2）补全条形统计图．
参考答案
学
知识链接
1扇形图条形图折线图扇形统计图表示部分总体中占百分般直接图中具体数折线统计图表示事物变化情况条形统计图清楚表示出项目具体数目．
2百分 百分
合作探究
探究程
探究点1：
例1 解：（1）杭州年降水量天津降水量幅度
（2）十月降水量相差差：946﹣177＝769 (mm)
（3）八月：1830﹣1820＝10 mm＜30 mm八月两城市降水量相差30 mm．
探究点2：
例2 ①③
探究点3：
例3 ①③
探究点4：
例4 解：(1)10÷20＝50()抽取50学生进行调查．
(2)B等级数＝50－15－10－5＝20()．补充折线统计图图．
(3)图乙中B等级占圆心角度数360°×＝144°
针训练
解：(1)洗衣机销量：15×2＝30(万台)彩电销量：15×4＝60(万台)冰箱销量15×5＝75(万台)．图．
(2)180
(3)360°×＝120°扇形统计图中彩电部分应圆心角120°
二课堂结
百分
堂检测
1C 2D 3B 4．折线 5．72° 6．40
7．解：（1）∵调查总数12÷20＝60（）∴m＝×100＝25n＝×100＝15
（2）D类数60×30＝18（）E类数60﹣（12+15+9+18）＝6（）补全条形统计图：
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