211 二次根式
1．二次根式表示实际问题中数量数量关系体会研究二次根式必性(难点)
2．根算术方根意义解二次根式概念性质会求二次根式中开方数中字母取值范围．(重点)
情境导入
问题1：带根号式子填空？
(1)面积3正方形边长________面积S正方形边长________．
(2)长方形围栏长宽2倍面积130m2宽________m
(3)物体高处落落面时间t(单位：s)落高度h(单位：m)满足关系h＝5t2果含h式子表示tt＝______．
问题2：面式子分表示什意义？什特征？
二合作探究
探究点：二次根式定义
列式中二次根式二次根式？
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)(x≤3)
(7)(x≥0)(8)(9)
(10)(ab≥0)．
解析：判断根式二次根式根指数2二开方数非负数．
解：＝(x≤3)(ab≥0)中根指数2开方数非负数二次根式根指数2(x≥0)开方数0二次根式．
方法总结：判断式子二次根式式子否具备条件：(1)带二次根号(2)开方数非负数．
探究点二：二次根式意义条件
类型 根二次根式意义求字母取值范围
求列式子意义x取值范围．
(1)(2)(3)
解析：根二次根式性质分式意义开方数等0分母等0列等式(组)求解．
解：(1)题意4－3x＞0解x＜x＜时意义
(2)题意解x≤3x≠2x≤3x≠2时意义
(3)题意解x≥－5x≠0x≥－5x≠0时意义．
方法总结：含二次根式式子意义条件：
(1)果式子中含二次根式意义条件二次根式中开方数必须非负数(2)果式子中含分母保证二次根式中开方数非负数外必须保证分母零．
类型二 利二次根式非负性求解
(1)已知ab满足＋|b－|＝0解关x方程(a＋2)x＋b2＝a－1
(2)已知xy实数y＝＋＋4求yx方根．
解析：(1)根二次根式非负性绝值非负性求解(2)根二次根式非负性求x值进求y值进求出yx方根．
解：(1)根题意解(a＋2)x＋b2＝a－1－2x＋3＝－5解x＝4
(2)根题意解x＝3y＝4yx＝43＝64±＝±8∴yx方根±8
方法总结：二次根式绝值具非负性非负数0非负数0
探究点三：二次根式关规律探究性问题
先观察列等式回答列问题．
①＝1＋－＝1
②＝1＋－＝1
③＝1＋－＝1
(1)请根面三等式提供信息写出结果
(2)请面等式反映规律试写出
含n式子表示等式(n正整数)．
解析：(1)三等式中发现等号右边第加数1第二加数分数设分母n第三分数分母n＋1结果带分数整数部分1分数部分分子1分母前项分数分母积(2)根(1)找规律写出表示规律式子．
解：(1)＝1＋－＝1
(2)＝1＋－＝1(n正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题通仔细观察找出字母数间关系通阅读找出题目隐含条件关系式表示出．
三板书设计
1．二次根式定义
般形(a≥0)式子做二次根式．
2．二次根式意义条件
开方数(式)非负数意义⇔a≥0
通新知识旧知识进行联系学生熟悉实际问题出发已知识进行探究引入二次根式．教学程中学生感受研究二次根式实际需体会数学实际生活间紧密联系充分激发学生学兴趣．
212 二次根式
1二次根式法
1．掌握二次根式法法(重点)
2．会进行二次根式法运算．(重点难点)
情境导入
颖家块长方形菜长m宽m长方形菜面积少？
二合作探究
探究点：二次根式法
类型 二次根式法法成立条件
式子·＝成立条件( )
A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
解析：根题意解
－1≤x≤2选C
方法总结：运二次根式法法：·＝(a≥0b≥0)必须注意开方数均非负数条件．
类型二 二次根式法运算
计算：
(1)×(2)×
(3)6×(－3)
(4)·
解析：理式法运算律法公式二次根式样适计算时注意结果化简形式．
解：(1)×＝＝
(2)×＝＝＝4
(3)6×(－3)＝－18＝
－18＝－18×9＝－162
(4) ·＝
－··＝－·＝
－·6b＝－
方法总结：运算程中注意根号前数带分数时必须化成假分数果开方数开方数式先二次根式化简相．
三板书设计
教学安排体现具体抽象认识程．二次根式法法推导先利二次根式具体计算纳出二次根式法运算法．具体计算时通组合作交流放手学生思考讨样安排助学生缜密思考严谨表达更助学生合作精神培养．
2积算术方根
1．掌握积算术方根性质(重点)
2．会积算术方根性质二次根式进行化简．(难点)
情境导入
计算：
(1)×
(2)×
思考：
×呢？
计算结果发现×＝什道理呢？
二合作探究
探究点：积算术方根性质
化简：
(1)
(2)
(3)
解析：运公式＝·(a≥0b≥0)＝a(a≥0)二次根式进行化简．
解：(1)＝＝＝××＝6×4×3＝72
(2)＝＝＝×＝12×5＝60
(3)＝＝·＝|x＋3y|
方法总结：利积算术方根性质二次根式进行化简．
探究点二：二次根式法综合应
明爸爸做长cm宽cm矩形木相框想做面积相等圆形木相框请帮计算圆半径(结果保留根号)．
解析：根矩形面积公式圆面积公式构造等式进行计算．
解：设圆半径rcm矩形木相框面积×＝168π(cm2)πr2＝168πr＝2cm(r＝－2舍)．
答：圆半径2cm
方法总结：实际问题转化数学问题列出相应式子进行计算体现转化思想．
三板书设计
1．二次根式法法：
·＝(a≥0b≥0)
2．积算术方根：
＝·(a≥0b≥0)
教学安排体现具体抽象认识程．二次根式法法推导先利二次根式具体计算纳出二次根式法运算法．具体计算时通组合作交流放手学生思考讨样安排助学生缜密思考严谨表达更助学生合作精神培养．
3二次根式法
1．掌握二次根式法法商算术方根性质会运进行相关运算(重点)
2．综合运已学性质进行二次根式化简运算．(难点)
情境导入
计算列题观察什规律？
(1)＝________＝________．
(2)＝________＝________．
________________
二合作探究
探究点：二次根式法
类型 二次根式法运算
计算：
(1)(2)－÷
(3)(4)÷
解析：题运二次根式法法进行计算开方数分数开方数相时先数等数倒数方法进行计算进行约分．
解：(1)＝＝＝2
(2)－÷＝－＝－＝－＝－3
(3)＝＝
(4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－
方法总结：利二次根式法法进行计算时零数等数倒数进行约分化简．
类型二 二次根式混合运算
计算：
(1)9÷3×
(2)a2··b÷
解析：先系数进行运算根二次根式法运算．
解：(1)原式＝9×××＝18
(2)原式＝a2·b·＝
方法总结：二次根式混合运算方法整式混合运算方法相运算时注意运算符号运算序开方数带分数先化假分数．
探究点二：商算术方根性质
类型 利商算术方根性质确定字母取值范围
＝a取值范围( )
A．a＜2 B．a≤2
C．0≤a＜2 D．a≥0
解析：根题意解0≤a＜2选C
方法总结：运商算术方根性质：＝(a＞0b≥0)必须注意开方数非负数分母等零条件．
类型二 利商算术方根性质化简二次根式
化简：
(1) (2)(a＞0b＞0c＞0)．
解析：运商算术方根性质分子算术方根分母算术方根．
解：(1)＝＝＝
(2)＝＝
方法总结：开方数中带分数化假分数开方数中分母化开方数含分母化简二次根式．
探究点三：简二次根式
列式中简二次根式？？说明理．
(1)(2)(3)(4)(5)
解析：根满足简二次根式两条件判断．
解：(1)＝3开方数含开方数简二次根式
(2)＝开方数中含分母简二次根式
(3)开方数含分母开方数含开方数式简二次根式
(4)＝＝开方数含数简二次根式
(5)＝＝开方数中含分母简二次根式．
方法总结：解决题关键掌握简二次根式定义简二次根式必须满足两条件：
(1)开方数含分母
(2)开方数含开方数式．
探究点四：二次根式法综合运
座钟摆针摆动回需时间称周期周期计算公式T＝2π中T表示周期(单位：秒)l表示摆长(单位：米)g＝98米秒2假台座钟摆长05米摆动回发出次滴答声1分钟该座钟约发出少次滴答声(π≈314)
解析：出公式代入数计算．先求出钟摆周期然利时间周期次数．
解：∵T＝2π≈142＝≈42(次)∴1分钟该座钟约发出42次滴答声．
方法总结：解决题关键正确运公式．二次根式法进行运算解类问题时注意代入数单位否统．
三板书设计
1．二次根式法运算
2．商算术方根
3．简二次根式
开方数含分母开方数中含开方数式．
教学中应注重积商互相转换学生通具体实例结合积算术方根性质纳商算术方根性质．程中应予适指导提出问题学生定探索方．设计课堂教学容时提问方式引出节课解决问题学生探究探究程中观察知识产生发展全程学生学情感学品质升华学生创新精神发展．
213 二次根式加减
1．会二次根式化简二次根式掌握二次根式加减法运算(重点)
2．熟练进行二次根式加减运算运解决问题．(难点)
3．正确运二次根式加减法运算律进行运算结果化简．(难点)
情境导入
明家客厅长75m宽5m长方形客厅中截出两面积分8m218m2正方形铺颜色砖问否截出？
二合作探究
探究点：类二次根式
已知简二次根式够合类项求a＋b值．
解析：利简二次根式概念求出ab值代入a＋b求解．
解：∵简二次根式够合类项∴a＋b＝22a＋b＝3a－4解a＝3b＝－1∴a＋b＝3＋(－1)＝2
方法总结：根类二次根式概念求定字母值时应该根类二次根式概念建立方程方程组求解．
探究点二：二次根式运算
类型 二次根式加减运算
计算：－－()2＋|2－|
解析：二次根式加减运算应先化简合类二次根式．
解：原式＝2－－2＋2－＝＝
方法总结：二次根式相加减先二次根式化成简二次根式开方数相二次根式进行合合时系数相加减根式变．
类型二 二次根式四运算
计算：
(1)×9÷
(2)÷2＋
(3)－(＋2)÷
解析：先二次根式化简二次根式括号合进行二次根式法运算然进行加法运算．
解：(1)原式＝×9×＝×9×＝
(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5
(3)原式＝－(＋2)÷＝－＝－1－
方法总结：二次根式混合运算：先二次根式化简二次根式进行二次根式运算然合类二次根式．
类型三 二次根式化简求值
先化简求值：÷中a＝2＋b＝2－
解析：先原式化简形式ab值代入计算求出．
解：原式＝÷＝·＝a＝2＋b＝2－时原式＝＝＝
方法总结：化简求值时般先化简简分式整式代入求值．化简时跨度太缺少必步骤易造成错解．
类型四 二次根式运算实际生活中应
母亲节快表示妈妈感恩号学特做两张正方形壁画送妈妈中张面积800cm2张面积450cm2想果金色细彩带壁画边镶会更漂亮手现12m长金色细彩带请帮算算金色细彩带够？果够需买长金色细彩带(≈1414结果保留整数)
解析：先求出张正方形壁画边长根正方形周长公式求需金色细彩带长．
解：镶壁画金色细彩带长：4×(＋)＝4×(20＋15)＝140≈19796(cm)．12m＝120cm＜19796cm号金色细彩带够19796－120＝7796≈78(cm)需买78cm金色细彩带．
方法总结：利二次根式解决生活中问题应认真分析题意注意计算正确性结果求．
三板书设计
1．类二次根式
2．二次根式加减
般二次根式加减时先二次根式化简成简二次根式开方数相二次根式进行合．
3．二次根式四运算
先算方(开方)算算加减括号先算括号．
授课程中学生体进行探究性学学生发现规律出结．例题选择简难符合学生认知规律便学生掌握知识．定义法程中学生历发现思考探究程体会学知识成功快乐．
221 元二次方程
1．理解元二次方程相关概念够熟练元二次方程化般形式．
2．会应元二次方程解定义解决关问题．
3．分析揭示实际问题中数量关系实际问题转化数学模型程中感受方程刻画现实世界中数量关系工具增强元二次方程感性认识．
情境导入
参加次集会果x两间握次手握21次手请列出符合述条件方程判断方程什类型？
二合作探究
探究点：元二次方程概念
类型元二次方程识
列选项中关x元二次方程( )
A．x2＋＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
解析：选项A中方程分母含未知数元二次方程选项B中方程含2未知数元二次方程a＝0时选项D中方程含二次项元二次方程排ABD选C
方法总结：判断方程元二次方程必须方程化简进行判断．元二次方程三条件：方程两边整式二含未知数三未知数高次数2述三条件必须时满足缺．
类型二利元二次方程概念确定字母系数
关x方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0元二次方程k值________．
解析：题意∴
∴k＝3
方法总结：元二次方程概念满足条件：未知数高次数2构造方程解出字母取值利二次项系数0排二次项系数0字母取值确定字母取值．
探究点二：元二次方程般形式
列方程化元二次方程般形式指出二次项系数次项系数常数项．
(1)3x2－2＝5x
(2)9x2＝16
(3)2x(3x＋1)＝17
(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2
解析：先分方程化般形式指出部分名称．
解：(1)方程化般形式3x2－5x－2＝0二次项系数3次项系数－5常数项－2
(2)方程化般形式9x2－16＝0二次项系数9次项系数0常数项－16
(3)方程化般形式6x2＋2x－17＝0二次项系数6次项系数2常数项－17
(4)方程化般形式3x2－9x－3＝0二次项系数3次项系数－9常数项－3
方法总结：求元二次方程项系数常数项必须先方程化般形式特注意确认项系数常数项定包括前面符号．
探究点三：列元二次方程
(2015·深圳模)张矩形床单四周绣宽度相等花边剩部分面积16m2已知床单长2m宽14m求花边宽度．请根题意列出方程．
解析：设花边宽度xm图知剩部分长(2－2x)m剩部分宽(14－2x)m∵剩部分面积16m2∴列方程(2－2x)(14－2x)＝16
方法总结：列方程重审题理解题意恰设出未知数准确找出已知量未知量间等量关系正确列出方程．
探究点四：元二次方程解
类型判断元二次方程解
方程x2－2x＝0解( )
A．x1＝1x2＝2 B．x1＝0x2＝1
C．x1＝0x2＝2 D．x1＝x2＝2
解析：选项中未知数值分代入方程左右两边选项C中x1＝0x2＝2方程x2－2x＝0左右两边相等选C
方法总结：判断未知数值否元二次方程解未知数值代入方程左右两边方程左右两边相等未知数值元二次方程解．
类型二利元二次方程解意义求字母代数式值
已知1关x元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0根m值( )
A．1 B．－1
C．0 D．法确定
解析：根方程根概念直接代入方程左右两边相等考虑元二次方程二次项系数等0(m－1)＋1＋1＝0解m＝－1时m－1＝－2≠0∴m＝－1选B
方法总结：方程根方程左右两边相等未知数值涉方程根题目中般根代入方程左右两边转化求定系数方程解决问题．
三板书设计
教学程中强调学生探索合作交流历实际问题转化数学问题体会数学建模思想方法
222 元二次方程解法
1直接开方法式分解法
第1课时 直接开方法
1．学会根方根意义元二次方程降次转化两元次方程．
2．运开方法解形(x＋m)2＝n方程．
3．体验类转化降次数学思想方法增强学数学兴趣．
情境导入
正方形花坛面积10设边长x根正方形面积列出样方程？样方法求出列方程解呢？
二合作探究
探究点：直接开方法
类型直接开方法解元二次方程
运开方法解列方程：
(1)4x2＝9
(2)(x＋3)2－2＝0
解析：(1)先方程化x2＝a(a≥0)形式(2)原方程变形(x＋3)2＝2x＋32方根运开方法求解．
解：(1)4x2＝9x2＝两边直接开方x＝±∴原方程解x1＝x2＝－
(2) 移项(x＋3)2＝2两边直接开方x＋3＝±∴x＋3＝x＋3＝－∴原方程解x1＝－3x2＝
－－3
方法总结：面解法出元二次方程通降次元二次方程转化元次方程求解解元二次方程基思想般形x2＝a(a≥0)方程根方根定义解x1＝x2＝－
类型二直接开方法应
元二次方程ax2＝b(ab>0)两根分m＋12m－4＝________
解析：∵ax2＝b∴x＝±∴方程两根互相反数∴m＋1＋2m－4＝0解m＝1∴元二次方程ax2＝b(ab＞0)两根分2－2∴＝2∴＝4答案4
类型三直接开方法方程解综合应
元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0根0a＝________．
解析：∵元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0根0∴a＋2≠0a2－4＝0∴a＝2答案2
类型四直接开方法实际应
边长11cm正方形长13cm宽8cm矩形作面积两图形面积正方形边长应少厘米？
分析：求新正方形边长先求出原正方形矩形面积然开方计算．
解：设新正方形边长xcm根题意x2＝112＋13×8x2＝225解x＝±15边长正x＝－15合题意舍取x＝15答：新正方形边长应15cm
方法总结：解决方根关实际问题时根题意解题外时结合实际方根中符合实际情况负值舍．
三板书设计
教学程中强调利开方法解元二次方程质求数方根程．时体会解元二次方程程降次程
第2课时 式分解法
1．认识式分解法解方程．
2．会式分解法解特殊元二次方程．
情境导入
知道ab＝0a＝0b＝0类似解方程(x＋1)(x－1)＝0时转化两元次方程x＋1＝0x－1＝0解求出(x＋3)(x－5)＝0解？
二合作探究
探究点：式分解法解元二次方程
类型利提公式法分解式解元二次方程
式分解法解列方程：
(1)x2＋5x＝0
(2)(x－5)(x－6)＝x－5
解析：变形方程右边零左边分解二次三项式式分解法．
解：(1)原方程转化x(x＋5)＝0∴x＝0x＋5＝0∴原方程解x1＝0x2＝－5
(2)原方程转化(x－5)(x－6)－(x－5)＝0∴(x－5)[(x－6)－1]＝0∴(x－5)(x－7)＝0∴x－5＝0x－7＝0∴原方程解x1＝5x2＝7
类型二利公式法分解式解元二次方程
式分解法解列方程：
(1)x2－6x＝－9
(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0
解：(1)原方程变形：x2－6x＋9＝0(x－3)2＝0∴x－3＝0原方程解：x1＝x2＝3
(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0(7x－16)(－3x＋4)＝0∴7x－16＝0－3x＋4＝0∴原方程解x1＝x2＝
方法总结：式分解法解元二次方程般步骤：①方程右边化0②方程左边分解两次式积③令式分零两元次方程④解两元次方程解原方程解．
探究点二：式分解法解决问题
abc△ABC三边abc满足a2－ac－ab＋bc＝0试判断△ABC形状．
解析：先分解式确定abc关系判断三角形形状．
解：∵a2－ac－ab＋bc＝0∴(a－b)(a－c)＝0∴a－b＝0a－c＝0∴a＝ca＝b∴△ABC等腰三角形．
三板书设计
利式分解法解元二次方程否分解关键熟练掌握式分解知识提高分解式法解方程力．式分解法时先考虑公式果没考虑公式法
2配方法
1．解配方概念掌握运配方法解元二次方程步骤．
2．探索直接开方法配方法间区联系够熟练运配方法解决关问题．
情境导入
李老师学生解元二次方程x2－6x－5＝0学束手策学委员蔡亮考虑方程两边时加14方程左边完全方公式分解式……想法求出方程解？
二合作探究
探究点：配方法
类型配方
配方法解元二次方程x2－4x＝5时方程变形( )
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
解析：方程左边关x代数式二次项系数1方程两边加次项系数半方然方程左边写成完全方式形式右边化简．x2－4x＝5x2－4x＋4＝5＋4(x－2)2＝9选D
方法总结：配方法元二次方程变形般步骤：(1)常数项移等号右边方程左边留二次项次项(2)二次项系数化1(3)等式两边时加次项系数半方．
类型二利配方法解元二次方程
配方法解方程：x2－4x＋1＝0
解析：二次项系数1时先常数项移右边然左右两边时加次项系数半方方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)形式直接开方法求解．
解：移项x2－4x＝－1配方x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2(x－2)2＝3解方程x－2＝±∴x1＝2＋x2＝2－
方法总结：配方法解元二次方程实质元二次方程变形转化成开方需形式．
类型三配方解决求值问题
已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0求值．
解：原方程化(x＋2)2＋(y－3)2＝0∴(x＋2)2＝0(y－3)2＝0∴x＝－2y＝3∴原式＝＝－
类型四配方解决证明问题
(1)配方法证明2x2－4x＋7值恒零
(2)第(1)题启发请写出三恒零二次三项式．
证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5∵2(x－1)2≥0∴2(x－1)2＋5≥52x2－4x＋7≥52x2－4x＋7值恒零．
(2)x2－2x＋32x2－2x＋53x2＋6x＋8等．
类型五配方法等式知识综合应
证明关x方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0m值时元二次方程．
解析：证明m值时方程元二次方程需证明二次项系数m2－8m＋17值等0
证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1∵(m－4)2≥0∴(m－4)2＋1＞0m2－8m＋17＞0∴m值时原方程元二次方程．
三板书设计
教学程中强调配方法解方程方程左边配成完全方式程．需熟练掌握完全方式形式
3公式法
1．理解元二次方程求根公式推导程
2．会公式法解元二次方程(重点)
情景导入
果元二次方程般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)否配方法步骤求出两根？请学独立完成面问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0试推导两根x1＝x2＝
二合作探究
探究点：公式法解元二次方程
方程3x2－8＝7x化般形式__________中a＝________b＝________c＝________方程根____________．
解析：方程移项化3x2－7x－8＝0中a＝3b＝－7c＝－8b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0代入求根公式x＝
答案分3x2－7x－8＝03－7－8
方法总结：元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根方程系数abc确定确定系数abc值代入公式求方程根．
公式法解列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0 (2)2x2＋3x＋3＝0
(3)x2－2x＋1＝0
解析：先确定abcb2－4ac值代入公式求解．
解：(1)－3x2－5x＋2＝03x2＋5x－2＝0
∵a＝3b＝5c＝－2
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0
∴x＝＝
∴x1＝x2＝－2
(2)∵a＝2b＝3c＝3
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝
－15＜0
∴原方程没实数根
(3)∵a＝1b＝－2c＝1
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0
∴x＝＝
∴x1＝x2＝1
方法总结：公式法解元二次方程时首先应变形般形式然确定公式中abc值求出b2－4ac值0较利求根公式求出方程根(说明没实数根)．
类型二元二次方程解法综合运
三角形两边分26第三边方程x2－10x＋21＝0解第三边长( )
A．7 B．3
C．73 D．法确定
解析：解元二次方程x2－10x＋21＝0x1＝3x2＝7根三角形三边关系第三边应满足4＜x＜8第三边长x＝7选A
方法总结：解题关键正确求解元二次方程会运三角形三边关系进行取舍．
三 板书设计
历配方法解数字系数元二次方程解字母系数元二次方程探索求根公式通公式推导认识元二次方程求根公式适元二次方程．体会数式通性感受数学严谨性数学结确定性．提高学生运算力养成良运算惯
4元二次方程根判式
1．理解掌握元二次方程根判式运判式解方程前提判断元二次方程根情况(重点难点)
2．通元二次方程根情况探究程体会特殊般猜想分类讨数学思想提高观察分析纳力．
情境导入
老师写4元二次方程学判断否解家解第方程呢强突然站起说出方程解情况想知道判断？
二合作探究
探究点：元二次方程根情况
类型判断元二次方程根情况
解方程判断列方程根情况．
(1)2x2＋3x－4＝0
(2)x2－x＋＝0
(3)x2－x＋1＝0
解析：根根判式知道b2－4ac≥0时方程实数根b2－4ac<0时方程没实数根．解方程判断元二次方程根情况．
解：(1)2x2＋3x－4＝0a＝2b＝3c＝－4∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0∴方程两相等实数根．
(2)x2－x＋＝0a＝1b＝－1c＝∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0∴方程两相等实数根．
(3)x2－x＋1＝0a＝1b＝－1c＝1∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0∴方程没实数根．
方法总结：出元二次方程解方程b2－4ac值符号判断方程根情况．b2－4ac＞0时元二次方程两相等实数根b2－4ac＝0时元二次方程两相等实数根b2－4ac＜0时元二次方程实数根．
类型二元二次方程根情况确定字母系数取值
已知关x元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0两相等实数根a取值范围( )
A．a>2 B．a<2
C．a<2a≠1 D．a<－2
解析：元二次方程两相等实数根判式0等式二次项系数0知a－104－4(a－1)＞0a－1≠0解a＜2a≠1选C
方法总结：方程实数根b2－4ac≥0题强调说明方程元二次方程二次项系数0题道易错题．
类型三 元二次方程根判式三角形综合
已知abc分△ABC三边长求证：关x方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没实数根．
解析：欲证元二次方程没实数根需证明判式Δ<0．abc三角形三条边长知abc正数．三角形三边关系知a＋b>ca＋c>bb＋c>a
证明：∵b三角形边长∴b≠0∴b2≠0∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0关x元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵abc三角形三条边长∴a>0b>0c>0a＋b＋c>0a＋b>cb＋c>aa＋c>b∴(b＋c)－a>0(a＋b)－c>0b－(a＋c)<0∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0Δ<0∴原方程没实数根．
方法总结：利根判式三角形三边关系：常根判式关三角形三边式子结合三边关系确定Δ符号．
类型四 利根判式解决存性问题
否存样非负整数m关x元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0两相等实数根？存请求出m值存请说明理．
解：存理：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0两相等实数根[－(2m－1)]2－4m2>0解m<∵m非负整数∴m＝0
m＝0时原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0元次方程实数根假设矛盾．
∴存样非负整数原方程两相等实数根．
易错提醒：求出m＝0常常会草率认m＝0满足条件非负整数忽略二次项系数0隐含条件解题程中务必考虑全面．
三板书设计
节课元二次方程解法基础学根判式应．学生容易计算取值范围时候忘记二次项系数零节课需注意方应予特强调
5元二次方程根系数关系
1．探索元二次方程根系数关系．
2．会解方程利元二次方程根系数解决问题．
情境导入
般关x方程x2＋px＋q＝0(pq已知常数p2－4q≥0)试求根公式求出两解x1x2算算x1＋x2x1·x2值出什结果？
二合作探究
探究点：元二次方程根系数关系
类型利元二次方程根系数关系求关方程根代数式值
已知mn方程2x2－x－2＝0两实数根＋值( )
A．－1 B C．－ D．1
解析：根根系数关系求出m＋nmn值原代数式变形整体代入计算．mn方程2x2－x－2＝0两实数根m＋n＝mn＝－1＋＝＝＝－选C
方法总结：解题时先代数式变形成两根积关形式注意前提：方程两实数根时判式等0
类型二根方程根确定元二次方程
已知元二次方程两根分4－5元二次方程( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：∵方程两根分4－5设两根x1x2x1＋x2＝－1x1·x2＝－20果令方程ax2＋bx＋c＝0中a＝1－b＝－1c＝－20∴方程x2＋x－20＝0选D
方法总结：先构造方程二次项系数定1利元二次方程根系数关系确定元二次方程次项系数常数项．
类型三根根系数关系确定方程解
已知x＝4元二次方程x2－3x＋c＝0根根________．
解析：设根x1根系数关系x1＋4＝3∴x1＝－1答案x＝－1
方法总结：解决类问题时利元二次方程根系数关系列出方程解决．
类型四利元二次方程根系数关系确定字母系数
关x方程x2－ax＋2a＝0两根方5a值( )
A．－15 B．1
C．5 D．－1
解析：两根方转化两根积表示形式利元二次方程根系数关系解决．设方程两根x1x2题意x＋x＝5∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5∵x1＋x2＝ax1x2＝2a∴a2－2×2a＝5解a1＝5a2＝－1∵Δ＝a2－8aa＝5时Δ<0时方程实数根舍a＝5a＝－1时Δ>0时方程两实数根．取a＝－1选D
方法总结：解答类题关键方程两根关式子转化两根积表示形式利元二次方程根系数关系解决问题．注意忽略题目中隐含条件Δ≥0导致解答全面．
类型五元二次方程根系数关系根情况综合应
已知x1x2元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0两实数根．
(1)否存实数a－x1＋x1x2＝4＋x2成立？存求出a值存请说明理
(2)求(x1＋1)(x2＋1)负整数实数a整数值．
解：(1)根题意Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0解a≥0∵a－6≠0∴a≠6根系数关系：x1＋x2＝－x1x2＝－x1＋x1x2＝4＋x2x1＋x2＋4＝x1x2∴－＋4＝解a＝24检验a＝24方程－＋4＝解．存a＝24－x1＋x1x2＝4＋x2成立．
(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝负整数6－a－1－2－3－6解a＝78912
三板书设计
教学程中强调元二次方程根系数关系通求根公式利关系确定字母取值时定记住Δ≥0前提条件
223 实践探索
第1课时 利元二次方程解决问题
1．掌握面积法建立元二次方程数学模型运解决实际问题．
2．继续探究实际问题中数量关系列出元二次方程解应题．
3．通探究体会列方程实质提高灵活处理问题力．
情境导入
图长10cm宽8cm矩形四角截四全等正方形留图形(图中阴影部分)面积原矩形面积80求出截正方形边长？
二合作探究
探究点：元二次方程解决图形面积问题
类型利面积构造元二次方程模型
10米长铝材制成矩形窗框面积6方米．设条边长x米根题意列出关x方程( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
解析：设边长x米外边长(5－x)米根面积6方米列出方程：x(5－x)＝6选择B
方法总结：理解题意恰设未知数题中相关量未知数表示出相等关系列出方程．
现块长80cm宽60cm矩形钢片四角剪边长xcm正方形做成底面积1500cm2盖长方体盒子求正方形边长．
解析：设正方形边长xcm长方体盒子底面长宽均含x代数式表示根面积建立等量关系列出方程．
解：设正方形边长xcm长方体盒子底面长(80－2x)cm宽(60－2x)cm根矩形面积计算方法表示出矩形底面积方程列(80－2x)(60－2x)＝1500整理x2－70x＋825＝0解x1＝55x2＝1560－2x>0∴x＝55(舍)．∴正方形边长15cm
方法总结：已知条件中找出关键求问题关信息通图形求出面积解题关键熟记种图形面积公式列出符合题意方程整理．
类型二整体法构造元二次方程模型
图块长22米宽17米矩形面修建样宽两条互相垂直道路(两条道路分矩形条边行)剩余部分种草坪草坪面积300方米．设道路宽x米根题意列出方程______________．
解析：解法：两条道路移矩形边含x代数式表示草坪长(22－x)米宽(17－x)米根草坪面积300方米列出方程(22－x)(17－x)＝300
解法二：根面积差列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300
方法总结：解答道路关面积问题根图形面积差关系寻找相等关系建立方程求解移方法道路移构建特殊图形利面积建立方程求解．
类型三利元二次方程解决动点问题
图示△ABC中∠C＝90°AC＝6cmBC＝8cm点P点A出发边AC点C1cms速度移动点QC点出发CB边点B2cms速度移动．
(1)果PQ时出发秒钟△PCQ面积8方厘米？
(2)点PQ移动程中否存某时刻△PCQ面积等△ABC面积半．存求出运动时间存说明理．
解析：道动态问题设出未知数表示出PCCQ长根面积公式建立方程求解．
解：(1)设xs△PCQ面积8cm2AP＝xcmPC＝(6－x)cmCQ＝2xcm根题意·(6－x)·2x＝8整理x2－6x＋8＝0解方程x1＝2x2＝4PQ时出发2s4s△PCQ面积8cm2
(2) 设点P出发x秒△PCQ面积等△ABC面积半．根题意(6－x)·2x＝××6×8整理x2－6x＋12＝0方程没实数根存△PCQ面积等△ABC面积半时刻．
三板书设计
图形关问题元二次方程应常见题型解决类问题关键规图形分割补全成规图形找出部分面积间关系运面积等计算公式列出方程图形进行分割补全原：转化成规图形时越简单越直观越
第2课时 利元二次方程解决均变化率利润问题
1．掌握倍数关系建立数学模型利解决具体问题．
2．会解关增长率销售方面实际问题．
情境导入
月季花盆盈利盆株数定关系．盆植3株时均株盈利4元盆增加1株均株盈利减少05元．盆盈利达15元盆应植少株？
二合作探究
探究点：元二次方程解决增长率问题
类型增长率问题
某工厂种产品2013年产量100万件计划2015年产量达121万件．假设2013年2015年种产品产量年增长率相．
(1)求2013年2015年种产品产量年增长率
(2)2014年种产品产量应达少万件？
解析：(1)通增长率公式列出元二次方程求出增长率(2)求增长率代入2014年产量表达式解决．
解：(1)设种产品产量年增长率x根题意列方程100(1＋x)2＝121解x1＝01x2＝－21(舍)．
答：种产品产量年增长率10
(2)100×(1＋10)＝110(万件)．
答：2014年种产品产量应达110万件．
方法总结：增长率问题中设基数a均增长率x增长次数n增长结果a(1＋x)n增长率负数时降低结果a(1－x)n
某工厂旧设备生产月生产收入90万元月需支付设备维护费5万元年1月份起新设备生产收入提高设备维护费月生产收入达100万元13月份生产收入相百分率逐月增长累计达364万元3月份月生产收入稳定3月份水．
(1)求新设备2月3月生产收入月增长率
(2)购进新设备需次性支付640万元新设备月该厂累计利润低旧设备累计利润？(累计利润指累计生产收入减旧设备维护费新设备购进费)
解析：(1)设2月3月生产收入月增长率x根题意建立等量关系3月364万元解方程时结果进行合理取舍(2)根题意建立等关系：前三月生产收入＋月收入减次性支付640万元等旧设备月生产收入－月维护费然解等式．
解：(1)设2月3月生产收入月增长率x根题意100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝36425x2＋75x－16＝0解x1＝－32(舍)x2＝022月3月生产收入月增长率20
(2)设m月新设备累计利润低旧设备累计利润根题意364＋100(1＋20)2(m－3)－640≥90m－5m解m≥12新设备12月累计利润低旧设备累计利润．
方法总结：根实际问题中数量关系题目中出数量关系方程通解方程解决实际问题方程解时根题意实际问题确定出符合题意解．
类型二利润问题
学校绿化校园环境某园林公司购买批树苗园林公司规定：果购买树苗超60棵棵售价120元果购买树苗超60棵增加1棵出售批树苗棵售价均降低05元棵树苗低售价少100元．该校终园林公司支付树苗款8800元．请问该校购买少棵树苗？
解析：根条件设该校购买x棵树苗根售价＝数量×单价求解．
解：∵60棵树苗售价120元×60＝7200元<8800元∴该校购买树苗超60棵．设该校购买x棵树苗题意x[120－05(x－60)]＝8800解x1＝220x2＝80x1＝220时120－05(220－60)＝40＜100∴x1＝220合题意舍x2＝80时120－05(80－60)＝110＞100∴x2＝80∴x＝80
答：该校购买80棵树苗．
方法总结：根实际问题中数量关系题目中出数量关系方程求出方程解时根题意实际问题确定出符合题意解．
类型三方案设计问题
菜农李伟种植某蔬菜计划千克5元价格外批发销售．部分菜农盲目扩种植造成该蔬菜滞销李伟加快销售减少损失价格两次调千克32元价格外批发销售．
(1)求均次调百分率
(2)华准备李伟处购买5吨该蔬菜数量李伟决定予两种优惠方案供选择：方案九折销售方案二折吨优惠现金200元．试问华选择种方案更优惠？请说明理．
分析：第(1)题设均次调百分率x列元二次方程求出x舍合题意解第(2)题通计算进行较求解．
解：(1)设均次调百分率x题意5(1－x)2＝32解x1＝02＝20x2＝18(舍)．∴均次调百分率20
(2)华选择方案购买更优惠理：方案需费：32×09×5000＝14400(元)方案二需费：32×5000－200×5＝15000(元)∵14400＜15000∴华选择方案购买更优惠．
三板书设计
教学程中强调解决关增长率利润问题时应考虑实际方程根进行取舍
231 成例线段
1成例线段
1知道线段概念会计算两条线段（重点）
2理解成例线段概念（重点）
3掌握成例线段判定方法（难点）
情景导入
请观察列幅图片发现什？观察图片特点进行纳？
例子形状相图形图应线段长度
二合作探究
探究点：线段
类型 求线段
已知线段AB＝25m线段CD＝400cm求线段ABCD
解析：求ABCD需根线段定义计算注意ABCD单位统
解：∵AB＝25m＝250cm
∴＝＝
方法总结：求线段时首先检查单位否致致应先统单位求
类型二 例尺
例尺1：50 000图量甲乙两距离3cm甲乙两实际距离 m
解析：根例尺＝求解
设甲乙两实际距离xcm1：50 000＝3：x解x＝150 000 150 000cm＝1500m答案1500
方法总结：理解例尺意义注意实际尺寸单位进行恰转化
探究点二：成例线段
类型 判断线段成例
列四组线段中成例线段（ ）
A3cm4cm5cm6cm
B4cm8cm3cm5cm
C5cm15cm2cm6cm
D8cm4cm1cm3cm
解析：组数序排列前两条线段两条线段相等四条线段成例四选项中C项排列＝选C
方法总结：判断四条线段否成例方法：
（1）四条线段序排计算前两条线段两条线段否相等做出判断
（2）四条线段序排计算前两数积中间两数积否相等作出判断
类型二 线段成例求线段长
已知：四条线段abcd中a＝3cmb＝8cmc＝6cm
（1）abcd成例线段求线段d长度
（2）bacd成例线段求线段d长度
解析：紧扣成例线段概念利例式构造方程求解
解：（1）abcd成例线段
＝＝解d＝16
线段d长度16cm
（2）bacd成例线段
＝＝解d＝
线段d长度cm
方法总结：利例线段关系求线段长度方法：根线段关系写出例式作相等关系构造关求线段方程解方程求出线段长
已知三条线段长分1cmcm2cm请出条线段长前面三条线段长够组成例式
解析：题中没明确告知求12第四例项添加线段长前三数第四例项前三数第四例项应进行分类讨
解：x：1＝：2x＝1：x＝：2x＝1：＝x：2x＝1：＝2：xx＝2
添加线段长三种cmcm2cm
方法总结：四数成例应满足中两数等外两数转化中两数积恰等外两数积
三板书设计
丰富实例入手引导学生进行观察发现概括探究合作交流程中适时引入新知识通引导学生建立新数学模型开拓思维提升学生认知力
2分线分线段成例
1解行线分线段成例基事实推（重点）
2会行线分线段成例推解决相关问题（难点）
情景导入
梯子生活中常见工具
图生产程中合格左右称梯子简图测量AB＝BC＝CDAA1∥BB1∥CC1∥DD1A1B1B1C1相等？
二合作探究
探究点：行线分线段成例
图直线l1∥l2∥l3直线AC分交三条直线点ABC直线DF分交三条直线点DEFAB＝3DE＝EF＝4求BC长
解：∵直线l1∥l2∥l3AB＝3DE＝EF＝4
∴根行线分线段成例＝
BC＝·AB＝×3＝
方法总结：利行线分线段成例求线段长方法：先确定图中行线联想线段间例关系结合求线段已知线段写出含例关系式构造出方程解方程求出求线段长
图示直线l1∥l2∥l3列例式中成立（ ）
A＝
B＝
C＝
D＝
解析：分线分线段成例知＝A选项成立＝知B选项成立＝知C选项成立D选项成立选D
方法总结：应行线分线段成例例式中四条线段两条直线交点位置关关键线段应简记：＝＝＝＝＝
探究点二：行线分线段成例推
图示△ABC中点DE分ABAC边DE∥BCAD：AB＝3∶4AE＝6AC等（ ）
A3
B4
C6
D8
解析：DE∥BC＝＝∴AC＝8选D
易错提醒：行线推出成例线段例式时注意相互位置关系例式写错应线段写应位置
图△ABC边AB取点DAC取点EAD＝AE直线DEBC延长线相交P求证：＝
解析：题法直接证明分析求证等式中BP：CP含BD考虑点C作PD行线CF便构造出＝时需证CE＝DF
证明：图点C作CF∥PD交AB点F＝＝
∵AD＝AE∴DF＝CE∴＝
方法总结：证明四条线段成例时果图形中行线直接应行线分线段成例基事实推相关例式果图中没行线需构造辅助线创造行条件应行线分线段成例基事实推相关例式
三板书设计
通教学培养学生观察分析概括力
解特殊般辩证关系次锻炼类数学思想复杂图形分成基图形通应锻炼识图力推理证力探索程中积累数学活动验体验探索结方法程发展学生合情推理力条理说理表达力
232 相似图形
1解相似边形相似概念
2会根条件判断两边形否相似边形（重点）
3掌握相似边形性质根相似进行相关计算（难点）
情景导入
观察三组图形组图形应边应角什关系呢？
二合作探究
探究点：相似边形判定
列图形相似？什？
（1）正方形（2）矩形（3）菱形（4）等边三角形（5）等腰三角形（6）等腰梯形（7）等腰直角三角形（8）正五边形
解析：利定义判断边数相边形否相似两方面进行判断：（1）应角相等（2）应边成例两者缺
解：（1）相似正方形角等90°应角相等正方形边长相等应边成例
（2）定然矩形角等90°应角相等应边定成例图①
（3）定菱形四条边长相等两菱形应边定成例应角定相等图②显然两菱形应角相等
（4）相似等边三角形三条边相等两等边三角形应边定成例应角等60°
（5）定图③应边成例应角相等
（6）定图④应边成例应角相等
（7）相似等腰直角三角形三角分45°45°90°应角相等三角形三边1：1：应边成例
（8）相似正五边形角等108°应角相等正五边形边相等应边成例
方法总结：（1）相似边形定义相似边形判定方法判定两边形相似时必须时具备两点：应角相等应边成例（2）说明图形相似时需画图举出反例（3）边数相等正边形相似
探究点二：相似边形性质
已知四边形ABCD四边形EFGH相似试根图中出数求出四边形EFGH四边形ABCD相似
解：∵四边形ABCD四边形EFGH相似∠A＝∠E＝80°∠B＝∠F＝75°
∴ABEF应边∵＝＝
∴四边形EFGH四边形ABCD相似
方法总结：找准相似边形应边解决类问题关键方法类似找全等三角形应边应角方法
探究点三：相似边形应
图示四边形ABCD中AD∥BCEF∥BCEF四边形ABCD分成两相似四边形AEFDEBCFAD＝3BC＝4求AE：EB值
解析：根相似边形应边成例＝求出EF长求AE：EB值
解：四边形AEFD∽四边形EBCF
＝
EF2＝AD·BC＝3×4＝12
EF＝＝2
四边形AEFD∽四边形EBCF
AE：EB＝AD：EF＝3：2＝：2
方法总结：两边形相似应边成例根特性列等式例式求解
AB＝20mAD＝30m矩形花坛ABCD四周建筑路
（1）果四周路宽均相等图①路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似？请说明理
（2）果应着两条路宽均相等图②试问路宽xy值少时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似？
解析：（1）根两矩形应边否成例判断两矩形否相似
（2）根矩形相似条件列出等量关系式求出xy值
解：（1）矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似理：
假设两矩形相似妨设路宽xm
＝解x＝0
∵题意知路宽0
∴矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
（2）xy值3：2时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似理：
矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
＝＝
∴xy值3：2时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
方法总结：矩形四角均直角关矩形相似问题中需应边否成例成例相似否相似
三板书设计
相似边形
探索相似边形质特征程中学生运观察－较－猜想分析问题进步发展学生观察分析判断纳类反思交流等方面力提高数学思维水体会反例作培养交流合作意识品质
233 相似三角形
1相似三角形
1．解相似三角形关概念(重点)
2．掌握利行线法判定三角形相似(重点)
3．应行线法判定三角形相似解决问题．(难点)
情境导入
图△ABC中D边AB点作DE∥BC交边ACE刻度尺量角器量量判断△ADE△ABC否相似．
二合作探究
探究点：相似三角形关概念
图示已知△OAC∽△OBDOA＝4AC＝2OB＝2∠C＝∠D求：
(1)△OAC△OBD相似
(2)BD长．
解析：(1)△OAC∽△OBD∠C＝∠D找两三角形应边求出相似(2)根相似三角形应边成例求出BD长．
解：(1)∵△OAC∽△OBD∠C＝∠D∴线段OA线段OB应边△OAC△OBD相似＝＝
(2)∵△OAC∽△OBD∴＝∴BD＝＝＝1
方法总结：相似三角形定义相似三角形性质相似三角形判定方法．
探究点二：相似三角形引理
类型 利相似三角形引理判定三角形相似
图▱ABCD中EAB延长线点AB＝3BEDEBC相交点F请找出图中相似三角形求出相应相似．
解析：行四边形性质：BC∥ADAB∥CD进△EFB∽△EDA△EFB∽△DFC进步求解．
解：∵四边形ABCD行四边形∴BC∥ADAB∥CD∴△EFB∽△EDA△EFB∽△DFC∴△DFC∽△EDA∵AB＝3BE∴相似分1∶41∶33∶4
方法总结：求相似仅找准应边需注意两三角形先序．
类型二 利相似三角形引理求线段长
图已知AB∥EF∥CDADBC相交点O
(1)果CE＝3EB＝9DF＝2求AD长
(2)果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3AB＝3求CD长．
解析：(1)根行线分线段成例求AF＝6AD＝AF＋FD＝8(2)根行线AB∥CD分线段成例知BO∶OE＝AB∶EF结合已知条件求EF＝6理EF∥CD推知EFCD间数量关系求CD＝105
解：(1)∵CE＝3EB＝9∴BC＝CE＋EB＝12∵AB∥EF∴＝＝∵EF∥CD∴＝＝∴＝＝∴AF＝6∴AD＝AF＋FD＝6＋2＝8AD长8
(2)∵AB∥CD∴BO∶OE＝AB∶EF∵BO∶OE＝2∶4AB＝3∴EF＝6∵EF∥CD∴＝∵OE∶EC＝4∶3∴＝∴＝∴CD＝EF＝105CD长105
方法总结：运行线分线段成例基事实推定找准应线段防解答错误．
三板书设计
1．相似三角形定义关概念
2．相似三角形引理．
节课宜采探究式教学教师教学中学生学组织者引导者合作者研究者．鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新．课时教师关键处点拨足时补充．教师学生等交流创设民谐学氛围
2相似三角形判定
第1课时 利两角判定两三角形相似
1．理解两角分相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点)
2．会运两角分相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题．(难点)
情景导入
图放镜里三角尺原三角尺相似？
二合作探究
探究点：两角分相等两三角形相似
△ABC△A′B′C′中∠A＝∠A′＝80°∠B＝70°∠C′＝30°两三角形相似？请说明理
解：△ABC∽△A′B′C′
理：三角形角180°
∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°
∠A＝∠A′∠C＝∠C′
△ABC∽△A′B′C′（两角分相等两三角形相似）
方法总结：两三角形已角相等否角相等般解题程中特注意公角顶角角（等角）余角等隐含条件
探究点二：两角分相等两三角形相似应
已知：图△ABC高ADBE相交点F求证：＝
解析：证明＝考虑例式中四条线段三角形否相似考虑△AFE△BFD否相似利两角应相等三角形相似证明结
证明：∵BE⊥ACAD⊥BC
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∵∠AFE＝∠BFD
∴△AFE∽△BFD∴＝
方法总结：证明例式构造相似三角形证明两三角形相似根相似三角形应边成例相关例式
图示已知DE∥BCDF∥ACAD＝4cmBD＝8cmDE＝5cm求线段BF长
解：方法：DE∥BC∠ADE＝∠B∠AED＝∠C△ADE∽△ABC
＝＝
BC＝15cmDF∥AC
四边形DFCE行四边形
FC＝DE＝5cm
BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）
方法二：DE∥BC∠ADE＝∠B
DF∥AC∠A＝∠BDF
△ADE∽△DBF
＝＝
BF＝10cm
方法总结：求线段长常通找三角形相似成例线段求选择两三角形成解题关键需通已知线段求线段分析
三板书设计
相似三角形判定定理1：两角分相等两三角形相似
感受相似三角形相似边形相似三角形全等三角形区联系体验事物间特殊般关
系学生历实验探究纳证明程发展学生合情推理力培养学生观察动手探究纳总结力
第2课时 利两边夹角三边判定两三角形相似
1掌握相似三角形判定定理2判定定理3（重点）
2熟练运相似三角形判定定理2判定定理3（难点）
情景导入
画△ABC△A′B′C′∠A＝∠A′等定值k设法较∠B∠B′（∠C∠C′）△ABC△A′B′C′相似？
二合作探究
探究点：两边成例夹角相等两三角形相似
图已知点D△ABC边AC点根列条件△ABC∽△BDC（ ）
AAB·CD＝BD·BC
BAC·CB＝CA·CD
CBC2＝AC·DC
DBD2＝CD·DA
解析：两边应成例说明两三角形相似知道成例两边夹角相等两三角形相似题中∠C△ABC△BDC公角关键找出∠C两边应成例＝BC2＝AC·DC选C
方法总结：判定两三角形相似时应根条件适选择方法题已知公角两条夹边成例应选择判定定理2加判断
探究点二：三边成例两三角形相似
已知△ABC三边长分1△DEF三边长分2试判断△ABC△DEF否相似
解析：已知两三角形三边长考虑根三边间例关系判定两三角形否相似
解：＝＝
△ABC△DEF相似
方法总结：已知两三角形三边判断否相似关键通计算说明三边否应成例相似三角形中短（长）边短（长）边应边判定两三角形三边否成例时应先确定边便找准应关系
探究点三：相似三角形判定定理2判定定理3应
图甲正方形边长均1乙图中三角形（阴影部分）△ABC相似图形？
解析：图中三角形均格点三角形根勾股定理求出边长然根三角形三边否应成例判断乙图中三角形△ABC否相似
解：甲图知AC＝＝BC＝2AB＝＝
理图①中三角形三边长分12
理图②中三角形三边长分1
理图③中三角形三边长分3
理图④中三角形三边长分2
∵＝＝＝
∴图②中三角形△ABC相似
方法总结：（1）图形中三角形均格点三角形根勾股定理求出边长然根三角形三边长度否成例判断两三角形否相似（2）判断三边否成例三角形三边长序排列然分计算应边值否相等确定两三角形否相似
图示零件外径a求厚度x需求出孔直径AB直接量出AB现交叉长钳（ACBD相等）量OA：OC＝OB：OD＝n量CD＝b求厚度x
解析：欲求厚度xx＝根题意较易推出△AOB∽△COD利相似三角形应边成例列出关AB例式解
解：OA：OC＝OB：OD∠AOB＝∠COD
△AOB∽△COD
＝＝nAB＝bn
x＝
方法总结：条件中两边应成例时通常考虑相似三角形判定定理2注意利图形隐含条件公角顶角
图△ABC中AB＝8cmBC＝16cm点P点A开始AB点B1cms速度移动点Q点B开始BC点C2cms速度移动果点PQ时出发长时间△PBQ△ABC相似？
解析：证明△PBQ△ABC相似显然∠B公角运两边应成例夹角相等相似根应边成例列方程求解时注意分类讨
解：设t s△PBQ△ABC相似
（1）＝时
△PBQ∽△ABC
时＝解t＝4
4s△PBQ△ABC相似
（2）＝时△PBQ∽△CBA
时＝解t＝16
16s△PBQ△ABC相似
综知点PQ时出发16s4s△PBQ△ABC相似
易错提醒：点运动情况寻找相似条件着点位置变化△PBQ形状会发生变化考虑△PBQ∽△ABC情况考虑△PBQ∽△CBA情况
三板书设计
相似三角形判定定理2：两边成例夹角相等两三角形相似
相似三角形判定定理3：三边成例两三角形相似
学生已学知识入手通设置问题引导学生进行计算推理纳提高分析问题解决问题力感受两三角形相似判定定理2全等三角形判定定理（SAS）两三角形相似判定定理3全等三角形判定定理（SSS）区联系体会事物间般特殊特殊般关系学生历实验探究纳证明程发展学生合情推理力培养学生交流合作意识品质
3相似三角形性质
1．理解相似三角形性质(重点)
2．会利相似三角形性质解决简单问题．(难点)
情境导入
两三角形相似应边成例应角相等外许结．例图中△ABC△A′B′C′两相似三角形相似k中ADA′D′分BCB′C′边高ADA′D′间什关系？
二合作探究
探究点： 相似三角形性质
类型 利相似求三角形周长面积
图示行四边形ABCD中EBC边点BE＝ECBDAE相交F点．
(1)求△BEF△AFD周长
(2)S△BEF＝6cm2求S△AFD
解析：利相似三角形应边周长面积然进步求解．
解：(1)∵行四边形ABCD中AD∥BCAD＝BC∴△BEF∽△AFD∵BE＝BC∴＝＝＝∴△BEF△AFD周长＝
(2)(1)知△BEF∽△DAF相似∴＝()2∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2
方法总结：理解相似三角形周长等相似面积等相似方解决问题关键．
类型二 利相似三角形周长面积求相似
△ABC∽△A′B′C′面积1∶2△ABC△A′B′C′相似( )
A．1∶2 B∶2
C．1∶4 D∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′面积1∶2∴△ABC△A′B′C′相似1∶＝∶2选B
方法总结：解决问题关键掌握相似三角形面积等相似方．
类型三 利相似三角形性质判定进行计算
图示锐角三角形ABC中ADCE分BCAB边高△ABC△BDE面积分188DE＝3求AC边高．
解析：求AC边高先高线作出△ABC面积18求出AC长求出AC边高． 解：点B作BF⊥AC垂足点F∵AD⊥BC CE⊥AB∴Rt△ADB∽Rt△CEB∴＝＝∠ABC＝∠DBE∴△EBD∽△CBA ∴＝()2＝∵DE＝3∴AC＝45∵S△ABC＝AC·BF＝18 ∴BF＝8
方法总结：解决类问题利相似三角形周长等相似面积等相似方解答．
类型四 利相似三角形线段等相似解决问题
图示PN∥BCAD⊥BC交PNE交BCD
(1)AP∶PB＝1∶2S△ABC＝18求S△APN
(2)S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2求值．
解析：(1)相似三角形面积等应边方求解(2)△APN四边形PBCN面积△APN△ABC面积进应边．
解：(1)PN∥BC∠APN＝∠B∠ANP＝∠C△APN∽△ABC＝()2AP∶PB＝1∶2AP∶AB＝1∶3S△ABC＝18＝()2＝S△APN＝2
(2)PN∥BC∠APE＝∠B∠AEP＝∠ADB△APE∽△ABD＝＝()2＝()2S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2＝＝()2＝＝
方法总结：利相似三角形应线段等相似推出相似三角形面积等相似方．
类型五 利相似三角形性质解决动点问题
图已知△ABC中AB＝5BC＝3AC＝4PQ∥ABP点AC(AC重合)Q点BC．
(1)△PQC面积四边形PABQ面积时求CP长
(2)△PQC周长四边形PABQ周长相等时求CP长．
解析：(1)PQ∥AB△PQC∽△ABC△PQC面积四边形PABQ面积时△CPQ△CAB面积1∶4根相似三角形面积等相似方求出CP长(2)△PQC∽△ABC根相似三角形性质CP表示出PQCQ长进表示出APBQ长．根△CPQ四边形PABQ周长相等相关边相加求出CP长．
解：(1)∵PQ∥AB∴△PQC∽△ABC∵S△PQC＝S四边形PABQ∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4∵＝∴CP＝CA＝2
(2)∵△PQC∽△ABC∴＝＝∴＝∴CQ＝CP理知PQ＝CP∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CPC四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－CP＋CP＝12－CP∴12－CP＝3CP∴CP＝12∴CP＝
方法总结：相似三角形出线段例关系根线段例关系解决面积线段问题解题关键．
三板书设计
1．相似三角形应角相等应边相等
2．相似三角形(边形)周长等相似相似三角形应线段(应中线应角分线应边高)等相似
3．相似三角形面积等相似方．
节教学程中学生动参课堂活动积极交流探讨发现问题较：相似三角形周长面积相似书写时注意应关系应时计算结果正相反两性质前提条件相似三角形等等．学讨非常激烈节课堂教学取明显效果
4相似三角形应
1．运三角形相似知识计算直接测量物体长度高度(重点)
2．灵活运三角形相似知识解决实际问题．(难点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔喻世界古代七奇观 古希腊位伟科学家泰勒斯．天希腊国王阿马西斯说：听说什知道请测量埃金字塔高度吧时条件难题难爬塔顶．知道泰勒斯样测量金字塔高度？
二合作探究
探究点：相似三角形应
类型 利影子长度测量物体高度
图某时刻根2m长竹竿EF影长GE12m时红测棵风吹斜柏树面成30°角树顶端B面影子点DB垂直面落点C距离36m求树AB长．
解析：先利△BDC∽△FGE＝计算出BC＝6m然Rt△ABC中利含30度直角三角形三边关系AB长．
解：图CD＝36m∵△BDC∽△FGE∴＝＝∴BC＝6mRt△ABC中∵∠A＝30°∴AB＝2BC＝12m树长AB12m
方法总结：解答类问题时首先实际问题转化数学问题．利相似三角形应边成例建立相等关系求解．
类型二 利镜子反射测量物体高度
红面方法测量学校教学楼AB高度．图水面点E处放面面镜镜子教学楼距离AE＝20m镜子距离CE＝25m时刚镜子中教学楼顶端B已知眼睛距面高度DC＝16m请帮助红测量出楼AB高度(注：入射角＝反射角)．
解析：根物理知识∠BEA＝∠DEC△BAE∽△DCE根相似三角形性质解答．
解：图∵根光反射定律知∠BEA＝∠DEC∵∠BAE＝∠DCE＝90°∴△BAE∽△DCE∴＝∵CE＝25mDC＝16m∴＝∴AB＝128∴楼AB高度128m
方法总结：解题关键找出相似三角形然根应边成例列出方程．解题时灵活运学学科知识．
类型三 利标杆测量物体高度
图某时刻旗杆AB影子部分面部分建筑物墙面．明测旗杆AB面影长BC96m墙面影长CD2m时刻明测竖立面长1m标杆影长12m请帮助明求出旗杆高度．
解析：根时刻物高影长成正例利相似三角形应边成例解答．
解：图点D作DE∥BC交ABE∴DE＝CB＝96mBE＝CD＝2m∵时刻物高影长成正例∴EA∶ED＝1∶12∴AE＝8m∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m∴学校旗杆高度10m
方法总结：利杆直尺测量物体高度利杆(直尺)高(长)作三角形边构建相似三角形相似三角形应边相等性质求物体高度．
类型四 利相似三角形性质设计方案测量高度
星期天丽学碧沙岗公园游玩1928年冯玉祥军纪念北伐军阵亡士立纪念碑前丽问：纪念碑高呢？请利初中数学知识设计种方案测量纪念碑高度(画出示意图)说明理．
解析：设计相似三角形利相似三角形性质求解．距离纪念碑AB面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDEBE长算出纪念碑AB高．
解：设计方案例子：图距离纪念碑AB面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDEBE长算出纪念碑AB高．
理：测量出CDDEBE长∠CED＝∠AEB∠D＝∠B＝90°易△ABE∽△CDE根＝算出AB高．
方法总结：解题关键根相似三角形性质设计出具体图形实际问题抽象出数学问题求解．
三板书设计
1．利相似三角形测量物体高度
2．利相似三角形测量河宽度
3．设计方案测量物体高度．
通节知识学学生综合运三角形相似判定性质解决问题发展学生应意识加深学生相似三角形理解认识．基达预期教学目标部分学生学会建立数学模型利相似判定性质解决实际问题
234 中位线
1．掌握中位线定义中位线定理(重点)
2．综合运行四边形判定中位线定理解决问题．(难点)
情境导入
图示吴伯伯家块等边三角形空ABC已知点EF分边ABAC中点量EF＝5米想四边形BCFE篱笆围成圈放养鸡求出需篱笆长度？
二合作探究
探究点：三角形中位线
类型 利三角形中位线定理求线段长
图△ABC中DE分ACBC中点AF分∠CAB交DE点FDF＝3AC长( )
A B．3 C．6 D．9
解析：∵DE分ACBC中点∴DE∥AB∴∠2＝∠3∵AF分∠CAB∠1＝∠3∴∠1＝∠2∴AD＝DF＝3∴AC＝2AD＝6选C
方法总结：题考查三角形中位线定理等腰三角形判定性质．解题关键熟记性质熟练应．
类型二 利三角形中位线定理求角
图CD分EAEB中点∠E＝30°∠1＝110°∠2度数( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
解析：∵CD分EAEB中点∴CD三角形EAB中位线∴CD∥AB∴∠2＝∠ECD∵∠1＝110°∠E＝30°∴∠ECD＝80°选A
方法总结：中位线定理牵扯行线利中位线定理中行关系解决角度计算问题．
类型三 运三角形中位线性质进行证明
图△ABC中AB＝5AC＝3点NBC中点AM分∠BACCM⊥AM垂足点M延长CM交AB点D求MN长．
解析：证MN△BCD中位线应根三线合DM＝MC解决问题．
解：∵AM分∠BACCM⊥AM∴AD＝AC＝3DM＝CM∵BN＝CN∴MN△BCD中位线∴MN＝(5－3)＝1
方法总结：已知三角形边中点时注意分析问题中否隐含中点．已知三角形边高边角分线时根三线合知实际告诉中点．
类型四 中位线定理综合应
图E行四边形ABCD中DC边延长线点CE＝DC连接AE分交BCBD点FG连接AC交BDO连接OF判断ABOF位置关系关系证明结．
解析：题先证明△ABF≌△ECF出BF＝CF样出OF△ABC中位线利中位线定理出线段OF线段AB关系．
解：AB＝2OF
证明：∵四边形ABCD行四边形∴AB＝CDOA＝OC∴∠BAF＝∠CEF∠ABF＝∠ECF∵CE＝DC行四边形ABCD中CD＝AB∴AB＝CE∴△ABF△ECF中∴△ABF≌△ECF(ASA)∴BF＝CF∵OA＝OC∴OF△ABC中位线∴AB＝2OFAB∥OF
方法总结：题综合知识点较解答题关键判断出OF△ABC中位线．
三板书设计
1．三角形中位线
连接三角形两边中点线段做三角形中位线．
2．三角形中位线定理
三角形中位线行第三边等第三边半．
节课通实际生活中例子引出三角形中位线理进行验证．学程中体会三角形中位线定理应时机．整课堂学程进行反思够促进理解提高认识水促进数学观点形成发展更进行知识建构实现良性循环
235 位似图形
1解位似边形关概念解位似相似联系区（重点）
2掌握位似图形性质会画位似图形（重点）
3会利位似图形放缩（难点）
情景导入
生活中常片放缩没改变图形形状片真实观察图图中相似边形？果种相似什特征？
二合作探究
探究点：位似边形
图示指出列图中两图形否位似图形？请指出位似中心
解：（1）（2）（4）三图中两图形位似图形位似中心分APP
方法总结：解决类题关键首先判断两图形相似图形然找出应点作出应点直线观察否点两图形相似图形作直线点两图形位似图形判断（1）（2）（4）位似图形（3）位似图形
探究点二：位似边形性质
图示△ABC△A′B′C′关点O位似BO＝3B′O＝6
（1）AC＝5求A′C′长
（2）△ABC面积7求△A′B′C′面积
解：（1）△ABC△A′B′C′位似图形位似OB：OB′＝3：6＝1：2
＝＝A′C′＝10
（2）根题意＝（）2＝
＝S△A′B′C′＝7×4＝28
方法总结：位似边形种特殊相似图形图形意应点位似中心距离等相似利相似三角形性质解决关问题
探究点三：位似边形画法
（1）图甲位似中心点O异侧作出已知四边形ABCD位似图形A′B′C′D′四边形A′B′C′D′四边形ABCD相似2：3
（2）图乙已知五边形ABCDE位似中心点O侧作五边形ABCDE位似图形A′B′C′D′E′五边形A′B′C′D′E′五边形ABCDE相似1：3
（3）图丙已知六边形ABCDEF位似中心点OAB边点O侧作位似图形A′B′C′D′E′F′六边形A′B′C′D′E′F′六边形ABCDEF相似1：2
解：（1）画法：
①分连接OAOBOCOD反延长
②分AOBOCODO延长线截取OA′OB′OC′OD′＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′A′
四边形A′B′C′D′求作四边形
（2）画法：
①分连接OAOBOCODOE
②分AOBOCODOOE截取OA′OB′OC′OD′OE′＝＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′E′E′A′
五边形A′B′C′D′E′求作五边形
（3）画法：
①分连接AOBOCODOEOFO延长
②分AOBOCODOEOFO延长线截取OA′OB′OC′OD′OE′OF′＝＝＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′E′E′F′F′A′
六边形A′B′C′D′E′F′求作六边形
方法总结：（1）画位似图形时注意相似分清楚已知原图新图相似新图原图相似（2）画位似图形关键画出图形中顶点应点画图方法致两种：应点位似中心侧二应点位似中心两侧（3）没指定位似中心位置画图时位似中心取法种画图言边形顶点位似中心时画图简便
三板书设计
位似相似图形延伸深化历位似图形探索程进步发展学生探究交流力培养学生动手操作力体验学乐趣位似图形实际生产生活中着广泛应通现实情境进步发展学生数学角度提出问题分析问题解决问题力培养学生数学应意识体会数学然社会联系
236 图形坐标
1坐标确定位置
1．解面直角坐标系方位表示物体间位置意义(重点)
2．利坐标表示物体间位置(重点)
3．建立适直角坐标系利面直角坐标系解决实际问题．(难点)
情境导入
怪兽吃豆种计算机游戏图示标志表示怪兽先位置．果(12)表示怪兽图中箭头指路线第三位置样方式表示图中怪兽位置？
二合作探究
探究点：建立适面直角坐标系
图某公园景点面图(例尺1∶10000)请建立适面直角坐标系坐标分表示建筑位置．
解析：根利点坐标表示原选广场原点较适广场水距离垂直距离相较．
解：图广场原点正东方x轴正方正北方y轴正方建立面直角坐标系．测量出碰碰车距广场图距离15cm根例尺实际距离150m1m单位长度图中坐标广场(00)靶场(－15075)钓鱼台(－75225)碰碰车(0150)动物馆(75225)．
方法总结：利面直角坐标系绘制区域点分布情况面图程：(1)建立坐标系选择适参点原点确定x轴y轴正方(2)根具体问题确定适例尺坐标轴标出单位长度(3)坐标面描出点确定出点坐标点名称．注意：构建直角坐标系时般选水右x轴正方竖直y轴正方东x轴正方北y轴正方．
探究点二：方距离描述位置
图示明家附简单图 已知OA＝2cmOB＝25cmOP＝4cmCOP中点．回答列问题(O处表示明家)：
(1)图中明家距离相等方？
(2)图中商场学校公园停车场分明家什位置？
解析：首先根图形确定方然应射线确定距离．
解：(1)学校公园
(2)图中商场明家北偏西30°方25cm处学校明家北偏东45°方(东北方)2cm处公园明家南偏东60°方2cm处停车场明家南偏东60°方4cm处．
方法总结：(1)方距离表示物体位置时必须选定统参物时数数相参物方位距离(2)方距离确定物体位置时考虑方前距离序．
三板书设计
利直角坐标系方位描述物体间位置
1．建立适面直角坐标系表示面点位置
2．方距离描述位置．
现实生活中常定位方法呈现学生进步丰富学生数学活动验培养学生观察分析纳概括力．教学程中创设生动活泼直观形象贴生活问题情境方面学生创造学合作交流机会促动参积极探究
2图形变换坐标
1学生掌握面直角坐标系中点图形移称位似变换引起点坐标变化规律(重点难点)
2学生面直角坐标系数形间桥梁感受代数相互转化初步建立空间观念．
情境导入
观察图示坐标系．
试着发现坐标系中图形间联系然作出类似图形．
二合作探究
探究点：面直角坐标系中点移
点(12)左移1单位移2单位应点坐标________．
解析：左移1单位横坐标减1移2单位坐标减2点(12)变(00)．答案(00)．
方法总结：根移前图形坐标关系：①加减(坐标变化)左减右加(横坐标变化)②正加负减x(y)轴正方移横()坐标增加负方移横()坐标减．
探究点二：关x轴y轴称点坐标
点A(2a－3b)点A′(4a＋2)关x轴称求ab
解析：题应根关x轴称两点坐标特点：横坐标相坐标互相反数2a－34相等ba＋2互相反数．
解：点A(2a－3b)点A′(4a＋2)关x轴称2a－3＝4a＋2＝－ba＝b＝－
方法总结：面直角坐标系中关坐标轴称点坐标规律：A(xy)B(mn)关x轴称x＝my＝－nA(xy)B(mn)关y轴称x＝－my＝nA(xy)B(mn)关原点称x＝－my＝－n
探究点三：面直角坐标系中位似
类型 利位似求点坐标
图线段AB两端点坐标分A(66)B(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD端点C坐标( )
A．(33) B．(43)
C．(31) D．(41)
解析：∵线段AB两端点坐标分A(66)B(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD∴端点C横坐标坐标变A点半∴端点C坐标(33)．选A
方法总结：关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(kxky)(－kx－ky)．
类型二 坐标系中确定位似
△ABC三顶点A(36)B(62)C(2－1)原点位似中心位似图形△A′B′C′三顶点分A′(12)B′(2)C′(－)△A′B′C′△ABC位似________．
解析：∵△ABC三顶点A(36)B(62)C(2－1)原点位似中心位似图形△A′B′C′三顶点分A′(12)B′(2)C′(－)∴△A′B′C′△ABC位似1∶3
方法总结：原点位似中心位似图形位似应点应坐标．
类型三 位似变换移旋转轴称综合
图点A坐标(34)点O坐标(00)点B坐标(40)．
(1)△AOBx轴左移1单位△A1O1B1点A1坐标(________)△A1O1B1面积________
(2)△AOB绕原点旋转180°△A2O2B2点A2坐标(________)
(3)△AOBx轴翻折△A3O3B3点A3坐标(________)
(4)O位似中心例尺1∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点A4坐标(________)△A4O4B4面积________．
解析：(1)△AOBx轴左移1单位△A1O1B1点A1坐标(24)△A1O1B1面积×4×4＝8(2)△AOB绕原点旋转180°△A2O2B2点A2坐标(－3－4)(3)△AOBx轴翻折△A3O3B3点A3坐标(3－4)(4)O位似中心例尺1∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点A4坐标(－6－8)△A4O4B4面积×8×8＝32答案(1)248(2)－3－4(3)3－4(4)－6－832
方法总结：题考查图形旋转移位似变换三角形面积求法等知识出应点坐标解题关键．
三 板书设计
1 移变换坐标特征：
（1） x轴移：坐标变右加左减
（2） y轴移：横坐标变加减
2 称变换坐标特征：
（1）点(xy)关x轴称点坐标(x－y)
（2）点(xy)关y轴称点坐标
(－xy)．
3位似变换坐标特征：
关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(kxky)(－kx－ky)．
节课学生感受面直角坐标系中位似图形根坐标变化变化教学程中提高学生学积极性心情愉悦思维活跃样真正激发学生学数学兴趣提高课堂学效率
第24章 解直角三角形
241 测 量
1熟练运勾股定理进行测量(重点)
2熟练运相似三角形进行测量(重点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔誉世界古代八奇迹古希腊数学家天文学家泰勒斯利相似三角形原理测量金字塔高度
根图示说出测量金字塔原理？
二合作探究
探究点：利勾股定理进行测量
图离水面高度5米岸绳子拉船岸开始时绳子BC长13米05米秒速度收绳．问6秒船岸边移动少米(假设绳子始终直结果保留根号)
解析：开始时AC＝5米BC＝13米求AB值6秒根BCAC长度求AB值然解答．
解：Rt△ABC中BC＝13米AC＝5米AB＝＝12米6秒B′C＝13－05×6＝10米AB′＝＝5(米)船岸边移动距离(12－5)米．
方法总结：题直接考查勾股定理实际生活中运建立合理数学模型已知条件转化直角三角形中求解．
图示次夏令营活动中明坐车营A点出发北偏东60°方走100km达B点然北偏西30°方走100km达目C点求出AC两点间距离．
解析：根走方判断出△ABC直角三角形根勾股定理求出解．
解：∵AD∥BE∴∠ABE＝∠DAB＝60°∵∠CBF＝30°∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°Rt△ABC中AB＝100kmBC＝100km∴AC＝＝＝200(km)∴AC两点间距离200km
方法总结：先确定△ABC直角三角形根边长勾股定理求出AC长．
探究点二：运相似三角形解决高度（长度）测量问题
图示某学身高（AB）166m测面影长（BC）249m果时操场旗杆影长423m（BE）旗杆高度（DE）少米？
解析：首先根已知条件求△ABC∽△DEB然出例式求出结果
解：∵AC∥DB（行光）∴∠ACB＝∠DBE∵∠ABC＝∠DEB＝90°∴△ABC∽△DEB∴＝DE＝＝282m旗杆高度282m
方法总结：时刻点垂直面两物体说影长等高度
图示估算河宽度河岸选定点A河边选定点B点CAB⊥BC然选定点EEC⊥BC确定BCAE交点D测BD＝180mDC＝60mEC＝50m河宽 m
解析：∵∠ABD＝∠DCE＝90°∠ADB＝∠EDC∴△ABD∽△ECD∴＝AB＝∵BD＝180mDC＝60mEC＝50m∴AB＝＝＝150m填150
方法总结：测量象法接宽度测量便采间接方式完成构造相似三角形种行效途径
三板书设计
1．运勾股定理进行测量
2．运相似三角形进行测量
次教学程勾股定理相似三角形知识进行系统全面回顾教学程中仅引导学生认真纳总结进行知识点系统梳理更重发现学生疏忽知识点时效帮助学生解决知识疏漏坚实基础
242 直角三角形性质
1．理解掌握直角三角形性质(重点)
2．利直角三角形性质解决问题．(难点)
情境导入
两全等含30°角直角三角尺拼出等边三角形？说说理发现家交流．
二合作探究
探究点：直角三角形斜边中线性质
图△ABC中AD高EF分ABAC中点．
(1)AB＝10AC＝8求四边形AEDF周长
(2)求证：EF垂直分AD
解析：(1)根直角三角形斜边中线等斜边半DE＝AE＝ABDF＝AF＝AC根四边形周长公式计算解(2)根线段两端点距离相等点线段垂直分线证明．
(1)解：∵AD△ABC高EF分ABAC中点∴DE＝AE＝AB＝×10＝5DF＝AF＝AC＝×8＝4∴四边形AEDF周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18
(2)证明：∵DE＝AEDF＝AF∴EF线段AD垂直分线∴EF垂直分AD
方法总结：已知条件含线段中点直角三角形条件时联想直角三角形斜边中线性质进行求解．
探究点二：直角三角形中30°角直角边等斜边半
等腰三角形底角75°腰长4cm腰高________cm三角形面积________cm2
解析：75°特殊角根三角形角180°知等腰三角形顶角30°题意画出图形∠A＝30°BD⊥ACAB＝4cmBD＝2cmS△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．答案24
方法总结：作出准确图形构造含30°角直角三角形解决题关键．
图某船午11时30分A处观测海岛B北偏东60°方该船时10海里速度东航行C处观测海岛B北偏东30°方航行D处观测海岛B北偏西30°方船达C处时恰海岛B相距20海里．请确定轮船达C处D处时间．
解析：根题意出∠BAC∠BCD∠BDA度数根直角三角形性质求出BCACCD长度．根速度时间路程关系式求出时间．
解：题意∠BCD＝90°－30°＝60°∠BDC＝90°－30°＝60°∴∠BCD＝∠BDC＝60°∴△BCD等边三角形．△ABD中∵∠BAD＝90°－60°＝30°∠BDC＝60°∴∠ABD＝90°△ABD直角三角形∴∠ABC＝30°∵BC＝20海里∴CD＝BD＝20海里．∵BD＝AD∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船速度时10海里轮船A处C处时间＝2(h)A处D处时间＝4(h)．∴轮船达C处时间13时30分达D处时间15时30分．
方法总结：方位角遵循北南左西右东原弄清楚方位角解决类题关键利含30°角直角三角形性质解题．
三板书设计
直角三角形性质：
1．直角三角形斜边中线性质
直角三角形斜边中线等斜边半．
2． 含30°锐角直角三角形性质
直角三角形中30°角直角边等斜边半
教学中应该注意强调两性质直角三角形中果般三角形两边二倍关系斜边直角边间关系两直角边关系教学中注意强调学生常犯错误
243 锐角三角函数
1锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
1．理解正弦余弦正切概念(重点)
2．熟练运锐角三角函数概念进行关计算．(重点)
情境导入
牛庄算新建水站选择水泵时必须知道水站(点A)水面(BC)高度(AB)．斜坡水面成角(∠C)量角器测出水长度(AC)直接量．
二合作探究
探究点：锐角三角函数
类型 正弦函数
图sinA等( )
A．2 B C D
解析：根正弦函数定义sinA＝选C
方法总结：锐角A边a斜边c做∠A正弦记作sinAsinA＝＝
类型二 余弦函数
Rt△ABC中∠C＝90°AB＝13AC＝12cosA＝( )
A B C D
解析：∵Rt△ABC中∠C＝90°AB＝13AC＝12∴cosA＝＝选C
方法总结：直角三角形中锐角余弦等角邻边斜边值．
类型三 正切函数
图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点tanA＝( )
A B
C D
解析：直角△ABC中∵∠ABC＝90°∴tanA＝＝选D
方法总结：直角三角形中锐角正切等边邻边值．
探究点二：求三角函数值
图△ABC中∠C＝90°点DBCAD＝BC＝5cos∠ADC＝求sinB值．
解析：先AD＝BC＝5cos∠ADC＝勾股定理求出ACAB长锐角三角函数定义解答．
解：∵AD＝BC＝5cos∠ADC＝∴CD＝3Rt△ACD中∵AD＝5CD＝3∴AC＝＝＝4Rt△ACB中∵AC＝4BC＝5∴AB＝＝＝∴sinB＝＝＝
方法总结：直角三角形中根三角函数定义分清边角关系结合勾股定理解答类问题关键．
图△ABC中ADBC高tanB＝cos∠DAC
(1)求证：AC＝BD
(2)sinC＝BC＝36求AD长．
解析：(1)根高定义∠ADB＝∠ADC＝90°分利正切余弦定义tanB＝cos∠DAC＝利tanB＝cos∠DAC＝AC＝BD(2)Rt△ACD中根正弦定义sinC＝＝设AD＝12kAC＝13k根勾股定理计算出CD＝5kBD＝AC＝13k利BC＝BD＋CD13k＋5k＝36解k＝2AD＝24
(1)证明：∵ADBC高∴∠ADB＝∠ADC＝90°Rt△ABD中tanB＝Rt△ACD中cos∠DAC＝∵tanB＝cos∠DAC∴＝∴AC＝BD
(2)解：Rt△ACD中sinC＝＝设AD＝12kAC＝13k∴CD＝＝5k∵BD＝AC＝13k∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36解k＝2∴AD＝12×2＝24
三板书设计
锐角三角函数
1．正弦定义
2．余弦定义
3．正切定义
4．求三角函数值
节课教学设计直角三角形线力求体现生活化课堂理念学生历问题情境——形成概念——应拓展——反思提高基程中体验知识间联系学生感受探究乐趣学生学中思思中学．教学程中重视程深化理解通学生动探究体现体位教师通学生参学启发调整激励体现引导作学生体意识合作交流力起着积极作
第2课时 特殊角三角函数值
1．历探索30°45°60°角三角函数值程进步体会三角函数意义(重点)
2．够进行30°45°60°角三角函数值计算(重点)
3．够结合30°45°60°三角函数值解决简单实际问题．(难点)
情境导入
问题1：直角三角形中锐角正弦余弦正切值定义？
问题2：两块三角尺中锐角？少度？设三角尺较短边长1分求出锐角正弦值余弦值正切值．
二合作探究
探究点：特殊角三角函数值
类型 利特殊三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°
(2)
解析：特殊角三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2××－××＝－＝－1
(2)原式＝＝2－3
方法总结： 解决类题目关键熟记特殊角三角函数值．
类型二 已知三角函数值求角取值范围
cosα＝锐角α致范围( )
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
解析：∵cos30°＝cos45°＝cos60°＝＜＜∴cos60°＜cosα＜cos45°∴锐角α范围45°＜α＜60°选C
方法总结：解决类问题熟记特殊角三角函数值三角函数增减性．
类型三 根三角函数值求角度
tan(α＋10°)＝1锐角α度数( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
解析：∵tan(α＋10°)＝1∴tan(α＋10°)＝∵tan30°＝∴α＋10°＝30°∴α＝20°选A
方法总结：熟记特殊角三角函数值解决问题关键．
探究点二：特殊角三角函数值应
类型 利三角形边角关系求线段长
图△ABC中∠ABC＝90°∠A＝30°D边AB点∠BDC＝45°AD＝4求BC长．
解析：题意知△BCD等腰直角三角形BD＝BCRt△ABC中利锐角三角函数定义求出BC长．
解：∵∠B＝90°∠BDC＝45°∴△BCD等腰直角三角形∴BD＝BCRt△ABC中tan∠A＝tan30°＝＝解BC＝2(＋1)．
方法总结：直角三角形中求线段长果特殊角考虑利三角函数定义列出式子求出三角函数值进求出答案．
类型二 判断三角形形状
已知△ABC中∠A∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0试判断△ABC形状．
解析：根非负性性质求出tanAsinB值根特殊角三角函数值求出∠A∠B度数进出结．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0∴tanA＝1sinB＝∴∠A＝45°∠B＝60°∠C＝180°－45°－60°＝75°∴△ABC锐角三角形．
方法总结：数绝值偶次方非负数数式绝值偶次方相加0时中项必须等0
类型三 构造三角函数模型解决问题
求tan30°值构造图示直角三角形进行计算．作Rt△ABC∠C＝90°斜边AB＝2直角边AC＝1BC＝∠ABC＝30°∴tan30°＝＝＝图基础通添加适辅助线探究tan15°tan75°值．
解析：根角分线性质勾股定理首先求出CD长进出tan15°＝tan75°＝求出．
解：作∠B分线交AC点D作DE⊥AB垂足E∵BD分∠ABCCD⊥BCDE⊥AB∴CD＝DE设CD＝xAD＝1－xAE＝2－BE＝2－BC＝2－Rt△ADE中DE2＋AE2＝AD2x2＋(2－)2＝(1－x)2解x＝2－3∴tan15°＝＝2－tan75°＝＝＝2＋
方法总结：解决问题关键添加辅助线构造含15°75°直角三角形根三角函数定义求出15°75°三角函数值．
三板书设计
1．特殊角三角函数值：
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
2应特殊角三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接三角尺引入直击课题时前两节学知识进行整体复效果．讲解特殊角三角函数值时讲解细说前面部分教学成功学生理解
2计算器求锐角三角函数值
1．初步掌握计算器求三角函数值方法(重点)
2．熟练运计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
情境导入
教师讲解：通面节课学知道锐角∠A30°45°60°等特殊角时求特殊角正弦值余弦值正切值果锐角∠A特殊角样三角函数值呢？助计算器求锐角三角函数值．
二合作探究
探究点：计算器求锐角三角函数值锐角
类型 已知角度计算器求函数值
计算器求列式值(精确00001)：
(1)sin47°(2)sin12°30′
(3)cos25°18′(4)sin18°＋cos55°－tan59°
解析：熟练计算器计算器出结果根效数字概念四舍五入法取似数．
解：根题意计算器求出：
(1)sin47°≈07314
(2)sin12°30′≈02164
(3)cos25°18′≈09041
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈
－07817
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
类型二 已知三角函数值计算器求锐角度数
已知列锐角三角函数值计算器求锐角∠A∠B度数(结果精确01°)：
(1)sinA＝07sinB＝001
(2)cosA＝015cosB＝08
(3)tanA＝24tanB＝05
解析：三角函数值求角度数时键第二功键注意键序．
解：(1)sinA＝07∠A≈444°sinB＝001∠B≈06°
(2)cosA＝015∠A≈814°cosB＝08∠B≈369°
(3)tanA＝24∠A≈674°tanB＝05∠B≈266°
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
类型三 利计算器验证结
(1)通计算(计算器)较列数提出猜想：
①sin30°________2sin15°cos15°
②sin36°________2sin18°cos18°
③sin45°________2sin225°cos225°
④sin60°________2sin30°cos30°
⑤sin80°________2sin40°cos40°
猜想：已知0°＜α＜45°sin2α________2sinαcosα
(2)图△ABC中AB＝AC＝1∠BAC＝2α请根提示利面积方法验证结．
解析：(1)利计算器分计算①⑤式中左边右边较(2)通计算△ABC 面积验证．
解：(1)通计算知：
①sin30°＝2sin15°cos15°
②sin36°＝2sin18°cos18°
③sin45°＝2sin225°cos225°
④sin60°＝2sin30°cos30°
⑤sin80°＝2sin40°cos40°
sin2α＝2sinαcosα
(2)∵S△ABC＝AB·sin2α·AC＝sin2αS△ABC＝×2ABsinα·ACcosα＝sinα·cosα∴sin2α＝2sinαcosα
方法总结：题运面积法通方法表示三角形面积三角函数关系种方法面学中会常．
类型四 计算器较三角函数值
计算器较：20sin87°________tan87°
解析：20sin87°≈20×09986＝19974tan87°≈19081∵19974>19081∴20sin87°>tan87°
方法总结：利计算器求值时注意计算器键序．
探究点二：计算器求三角函数值解决实际问题
图AB公路需C图中AC＝20km∠CAB＝25°∠CBA＝37°城市规划需AB两间修建条笔直公路．
(1)求改直公路AB长
(2)公路改直原缩短少千米？
解析：(1)作CH⊥ABHRt△ACH中根CH＝AC·sin∠CAB求出CH长AH＝AC·cos∠CAB求出AH长理求出BH长根AB＝AH＋BH求AB长(2)Rt△BCH中BC＝求出BC长AC＋BC－AB出结．
解：(1)作CH⊥ABHRt△ACH中CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×042＝84kmAH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×091＝182kmRt△BCH中BH＝≈＝111km∴AB＝AH＋BH＝182＋111＝293km改直公路AB长293km
(2)Rt△BCH中BC＝＝≈＝14kmAC＋BC－AB＝20＋14－293＝47km
答：公路改直原缩短47km
方法总结：根题意作出辅助线构造出直角三角形解答类问题关键．
三板书设计
1．已知角度计算器求函数值
2．已知三角函数值计算器求锐角度数
3．计算器求三角函数值解决实际问题．
备课时站学生角度思考问题设计教学细节学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折．舍课堂学生课堂投入更情感素丰富课堂语言课堂更加鲜活充满性魅力真正提高课堂教学效率提高成绩
244 解直角三角形
第1课时 解直角三角形简单应
1．理解解直角三角形意义条件根元素间关系选择适关系式求出未知元素(重点)
2．够实际问题转化数学问题建立数学模型运解直角三角形求解通生活中实际问题体会锐角三角函数解题程中作．(难点)
情境导入
世界遗产意利萨斜塔1350年落成时已倾斜．设塔顶中心点B 塔身中心线垂直中心线夹角∠A点B垂直中心线引垂线垂足点CRt△ABC中∠C＝90°BC＝52mAB＝545m求∠A度数．
述Rt△ABC中求未知边角？
二合作探究
探究点：解直角三角形
类型 利解直角三角形求边角
已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A∠B∠C边分abc列条件解直角三角形．
(1)a＝36∠B＝30°求∠A度数边bc长
(2)a＝6b＝6求∠A∠B度数边c长．
解析：(1)已知直角边锐角解直角三角形(2)已知两条直角边解直角三角形．
解：(1)Rt△ABC中∵∠B＝30°a＝36∴∠A＝90°－∠B＝60°∵cosB＝c＝＝＝24∴b＝sinB·c＝×24＝12
(2)Rt△ABC中∵a＝6b＝6∴tanA＝＝∴∠A＝30°∴∠B＝60°∴c＝2a＝12
方法总结：解直角三角形时应求出未知元素解题时选择包含求元素两已知元素关系式求解．
类型二 构造直角三角形解决长度问题
副直角三角板图放置点CFD延长线AB∥CF∠F＝∠ACB＝90°∠E＝30°∠A＝45°AC＝12试求CD长．
解析：点B作BM⊥FD点M求出BMCM长度然△EFD中求出∠EDF＝60°利解直角三角形解答．
解：点B作BM⊥FD点M△ACB中∠ACB＝90°∠A＝45°AC＝12∴BC＝AC＝12∵AB∥CF∴BM＝sin45°BC＝12×＝12CM＝BM＝12△EFD中∠F＝90°∠E＝30°∴∠EDF＝60°∴MD＝＝4∴CD＝CM－MD＝12－4
方法总结：解答类题目关键根题意构造直角三角形然利学三角函数关系进行解答．
类型三 运解直角三角形解决面积问题
图△ABC中已知∠C＝90°sinA＝D边AC点∠BDC＝45°DC＝6求△ABC面积．
解析：首先利正弦定义设BC＝3kAB＝7k利BC＝CD＝3k＝6求k值求AB长然利勾股定理求AC长进步求解．
解：∵∠C＝90°∴Rt△ABC中sinA＝＝设BC＝3kAB＝7k(k＞0)Rt△BCD中∵∠BCD＝90°∴∠BDC＝45°∴∠CBD＝∠BDC＝45°∴BC＝CD＝3k＝6∴k＝2∴AB＝14Rt△ABC中AC＝＝＝4∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12△ABC面积12
方法总结：已知条件中线段利三角函数设出辅助未知数列方程解答．
探究点二：解直角三角形简单应
类型 求河宽度
根网消息益阳市改善市区交通状况计划康富路北端修建通资江北岸新桥．图新桥两端位AB两点张测量AB间河宽垂直新桥AB直线型道路l测数：∠BDA＝761°∠BCA＝682°CD＝82米．求AB长(精确01米)．参考数：sin761°≈097cos761°≈024tan761°≈40sin682°≈093cos682°≈037tan682°≈25
解析：设AD＝xmAC＝(x＋82)mRt△ABC中根三角函数AB＝25(x＋82)mRt△ABD中根三角函数AB＝4x关x方程进步求解．
解：设AD＝xmAC＝(x＋82)mRt△ABC中tan∠BCA＝∴AB＝AC·tan∠BCA＝25(x＋82)．Rt△ABD中tan∠BDA＝∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x∴25(x＋82)＝4x解x＝∴AB＝4x＝4×≈5467m
答：AB长约5467m
方法总结：解题关键构造出直角三角形通测量角度数测量边长度计算出求物体高度长度．
类型二 求达两点高度
图放置水桌面台灯灯臂AB长30cm灯罩BC长20cm底座厚度2cm灯臂底座构成∠BAD＝60°发现光线佳时灯罩BC水线成角30°时灯罩顶端C桌面高度CE少(结果精确01cm参考数：≈1732)
解析：首先点B作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G进求出FC长求出BG长出答案．
解：点B作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G∴四边形BFDG矩形∴BG＝FDRt△BCF中∠CBF＝30°∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cmRt△ABG中∵∠BAG＝60°∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈380(cm)．
答：时灯罩顶端C桌面高度CE约380cm
方法总结：实际问题抽象数学问题画出面图形构造出直角三角形转化解直角三角形问题．
三板书设计
1．解直角三角形基类型解法
2．解直角三角形简单应
节课充分发挥学生观动性引导学生通组讨胆发表意见提高学生学数学兴趣．够学生构造实际问题中直角三角形模型通解直角三角形解决实际问题
第2课时 仰角俯角问题
1．学生掌握仰角俯角意义学会正确判断(重点)
2．初步掌握实际问题转化解直角三角形问题力．(难点)
情境导入
实际生活中解直角三角形着广泛应例通常遇视线水线铅垂线构成直角三角形．测量时视线水线成角中视线水线方角做仰角水线方角做俯角．天学仰角俯角关应性问题．
二合作探究
探究点：利仰(俯)角解决实际问题
类型 利仰角求高度
星期天身高均16米红涛公园学知识测算座塔高度．图红站A处测塔顶C仰角α45°涛站B处测塔顶C仰角β30°测出AB两点距离415m假设眼睛离头顶10cm求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高xm利锐角三角函数关系出PM长利＝tan30°求出x值．
解：设塔底面中心O塔高xmMN∥AB塔中轴线相交点P△CPM△CPN直角三角形＝tan45°∵tan45°＝1∴PM＝CP＝x－15Rt△CPN中＝tan30°＝解x＝
答：塔高m
方法总结：解决类问题解角角间关系找已知未知相关联直角三角形．图形中没直角三角形时通作高垂线构造直角三角形．
类型二 利俯角求高度
图两建筑物间旗杆EG高15米A点旗杆顶部E点恰矮建筑物墙角C点俯角α60°A点测D点俯角β30°旗杆底部G点BC中点求矮建筑物高CD
解析：根点GBC中点判断EG△ABC中位线求出ABRt△ABCRt△AFD中利特殊角三角函数值分求出BCDF继求出CD长度．
解：点D作DF⊥AF点F∵点GBC中点EG∥AB∴EG△ABC中位线∴AB＝2EG＝30mRt△ABC中∵∠CAB＝30°∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10mRt△AFD中∵AF＝BC＝10m∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m
答：矮建筑物高20m
方法总结：题考查利俯角求高度解答题关键构造直角三角形利三角函数知识求解相关线段长度．
类型三 利俯角求达两点间距离
图测量河宽度AB测量员高21m建筑物CD顶端D处测河岸B处俯角45°测河岸A处俯角30°(ABC条直线)河宽度AB约少m(精确01m参考数：≈141≈173)
解析：Rt△ACD中根已知条件求出AC值Rt△BCD中根∠EDB＝45°求出BC＝CD＝21m根AB＝AC－BC代值计算．
解：∵Rt△ACD中CD＝21m∠DAC＝30°∴AC＝＝＝21m∵Rt△BCD中∠EDB＝45°∴∠DBC＝45°∴BC＝CD＝21m∴AB＝AC－BC＝21－21≈153(m)．河宽度AB约153m
方法总结：解决类问题解角间关系找已知未知相关联直角三角形实际问题化直角三角形中边角关系问题加解决．
类型四 仰角俯角综合
某数学兴趣组学次数学活动中测量某建筑物AB高建筑物AB相距12m建筑物CDC处观察测建筑物顶部A仰角30°底部B俯角45°求建筑物AB高(精确1m供选数：≈14≈17)．
解析：点C作AB垂线CE垂足E根题意出四边形CDBE正方形BD＝12m知BE＝CE＝12mAE＝CE·tan30°出AE长进出结．
解：点C作AB垂线垂足E∵CD⊥BDAB⊥BD∠ECB＝45°∴四边形CDBE正方形．∵BD＝12m∴BE＝CE＝12m∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)∴AB＝4＋12≈19(m)．
答：建筑物AB高19m
方法总结：题考查解直角三角形应中仰角俯角问题根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
三板书设计
1．仰角俯角概念
2．利仰角俯角求高度
3．利仰角俯角求达两点间距离
4．仰角俯角综合．
备课时站学生角度思考问题设计教学程中细节．课前揣摩学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生学生做课堂舞台角．课堂更加鲜活充满性魅力课反思做反馈工作断总结失断进步．样真正提高课堂教学效率
第3课时 坡度问题
1．理解掌握坡度坡定义
2．学会坡度坡解决实际问题．(重点难点)
情境导入
现实生活中测量某量采取方法某斜面截面图示两位学分选取点进行测量．F处进行测量A处进行测量数图示．
否通学知识求该坡面铅直高度？
二合作探究
探究点：坡度坡角关实际问题
辆汽车坡底走坡顶30s车速2ms汽车行驶水距离40m斜坡坡度________．
解析：坡面距离30×2＝60m水距离40m∴铅直高度＝20(m)∴坡度i＝20∶40＝∶2
方法总结：根坡度定义i＝解题时需先求水距离l铅直高度h
图示面种植树木时求株距(相邻两树间水距离)4m果坡度075山坡种树求株距4m相邻两树间坡面距离( )
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
解析：题知水距离l＝4mi＝075∴铅直高度h＝l·i＝4×075＝3(m)∴坡面距离＝5(m)．选A
方法总结：解类题首先根坡度定义求水距离铅直高度根勾股定理求坡面距离．
图示高3米坡度1∶15楼梯表面铺毯．已知级楼梯长度15米毯价格方米8元铺完整楼梯需少元？
解析：楼梯长度已知求毯总面积需求毯总长度题意知毯总长度BCAC坡度定义知＝AC求．
解：∵＝∴AC＝15BC＝15×3＝45(米)．
∴AC＋BC＝45＋3＝75(米)．
∴毯总面积15×75＝1125(方米)．
∴需钱数8×1125＝90(元)．
答：铺完整楼梯需90元．
三板书设计
坡度(坡)问题：
坡面铅直高度h水宽度l坡度(坡)i＝tanα＝坡面水面夹角α坡角．
课时培养学生分析问题解决问题力渗透数形结合数学思想方法．进步感知坡度坡角实际生活密切联系认识知识应实践意义．
251 重复试验中观察确定现象
1．通生活中种事件概率判断纳出必然事件事件机事件特点根特点关事件做出准确判断．
2．知道事件发生性．
情境导入
成语中蕴含着事件类型例瓮中捉鳖拔苗助长守株兔水中捞月描述事件分属什类型事件呢？
二合作探究
探究点：事件分类
类型必然事件识
列事件必然事件( )
A．果|a|＝|b|a＝b
B．分弦直径垂直弦分弦两条弧
C．圆半径3圆外点圆心距离5点引圆切线切线长4
D．三角形角360°
解析：互相反数两数绝值相等绝值相等两数相等A选项错误分弦直径两条直径互相分明显定互相垂直B选项错误直接利勾股定理计算C选项正确三角形角等180°D选项错误选择C
方法总结：定发生必然事件定发生事件发生发生机事件．
透明袋子中装5黑球3白球球质完全相机袋子中摸出4球列事件必然事件( )
A．摸出4球中少白球
B．摸出4球中少球黑球
C．摸出4球中少两黑球
D．摸出4球中少两白球
解析：∵袋子中3白球5黑球∴摸出4球黑球选项A确定事件摸出4球黑球3黑1白2黑2白1黑3白种情况少球黑球∴选项B必然事件摸出4球1黑3白∴选项C确定事件摸出4球黑球1白3黑∴选项D确定事件选B
方法总结：事件类型判断首先判断该事件发生否确定．确定判断必然发生(必然事件)必然发生(事件)确定该事件确定事件．
类型二机事件识
列事件：①意翻书某页页页码奇数②测某天高气温100℃③掷次骰子面数字2④度量四边形角结果360°中机事件________．(填序号)
解析：书页码奇数偶数事件①机事件100℃气温生存测样气温事件②事件属确定事件骰子六面数字分123456事件③机事件四边形角总360°事件④必然事件属确定事件．答案：①③
类型三事件识
列事件中发生( )
A．开电视机中央台正播放新闻
B．班学会选劳动模范
C．空气中光传播速度声音传播速度快
D．天掉馅饼
解析：天掉馅饼事件定会发生事件．选D
类型四判断事件类型
列事件中事件？必然事件？确定事件？
(1)副扑克牌中意抽出张牌花色红桃
(2)年出生367名学生中少两生日天
(3)梦成真
(4)意买张电影票座位号偶数
(5)太阳西边升起
(6)室外温度低－10℃时碗清水放室外会结冰．
解析：(1)副扑克牌中4种花色说抽出张牌花色红桃发生发生(2)年366天367名学生中天出生出生366名学天出生天少出生2名学年出生367名学生中少两生日天定发生(3)梦成真种愿会发生发生(4)电影票座位号奇数偶数意买张电影票座位号偶数发生发生(5)太阳东边升起绝会西边升起太阳西边升起定发生(6)水0℃开始结冰低0℃定会结冰室外温度低－10℃时碗清水放室外会结冰定发生．
解：(5)事件(2)(6)必然事件(1)(3)(4)确定事件．
三板书设计
教学程中结合生活实际身边事件发生情况作出判断分类巩固学概念
252 机事件概率
1概率意义
1．知道机事件发生性．
2．理解掌握概率意义计算．
3．会进行简单概率计算应．
情境导入
箱子中放红黄黑三球三先摸球摸次次摸出球摸出放回摸出黑色球赢游戏否公．
二合作探究
探究点：性
类型性意义理解
气象台预报市明天降雨性80．信息列说法正确( )
A．市明天80区降雨
B．市明天80时间降雨
C．市明天肯定雨
D．市明天降水性较
解析：事件发生性范围0～180应该较市明天降雨性80指市明天降雨性较．选D
方法总结：某事发生性指发生概率．
类型二利面积关系判断性
图示(ABC三区域)图形中机撒豆子豆子落________区域性(填ABC)．
解析：先分算出ABC三部分面积面积豆子落入性．SC＝π×22＝4πSB＝π(42－22)＝12πSA＝π(62－42)＝20π见A面积豆子落入性填A
探究点二：概率
类型概率简单计算
玲次班会中参知识抢答活动现语文题6数学题5综合题9中机抽取1抽中数学题概率( )
A B C D
解析：总20种情况抽中数学题5种＝选择C
方法总结：等性事件概率计算公式：P(A)＝中m总结果数n该事件成立包含结果数．
类型二利面积求概率
童行走图示板意停时终停板阴影部分概率( )
A B C D
解析：观察图知：阴影区域(3块)面积占总面积(9块)概率选A
方法总结：某事件A发生性相关图形面积关时概率计算方法事件A结果组成图形面积结果组成总图形面积P(A)＝概率求法关键找准两点：(1)全部情况总数(2)符合条件情况数目二者值发生概率．
三板书设计
教学程中强调简单概率计算应确定事件总数事件A包含数目．事件A发生概率P(A)范围0≤P(A)≤1
2频率概率
1．进步理解限等事件概率意义．
2．会树状图列表法求出次试验中涉素时重复遗漏求出结果正确计算问题概率．
3．理解试验次数较时试验频率趋稳定规律结合具体情境掌握频率估计概率．
情境导入
养鱼专业户估计承包鱼塘里少条鱼(假设鱼塘里养种鱼)先捕100条做标记然放回塘里段时间带标记鱼完全塘里鱼混合捕100条发现中带标记鱼10条塘里约鱼少条？
二合作探究
探究点：树状图列表法分析机事件等结果
类型树状图求概率
盒子装形状相四球中红球1绿球1白球2明摸出球放回摸出球两次摸白球概率( )
A B C D
解析：树状图列表法列举出情况然概率公式计算求．画树状图(图示)：
∴两次摸白球概率＝选C
类型二列表法求概率
012三数中取数作点P横坐标剩两数中取数作点P坐标点P落抛物线y＝－x2＋x＋2概率________．
解析：列表法列举点P坐标出现结果数点P落抛物线结果数然代入概率计算公式计算．列表法表示：
0
1
2
0
——
(01)
(02)
1
(10)
——
(12)
2
(20)
(21)
——
6种等结果中点P落抛物线(20)(02)(12)三种点P落抛物线概率＝答案
方法总结：列表法求概率时应注意利列表法重漏表示出等结果
探究点二：频率估计概率
类型频率估计概率
掷枚质均匀硬币10次列说法正确( )
A．5次正面
B．必5次正面
C．掷2次必1次正面
D．10次正面
解析：掷枚质均匀硬币1次出现正面反面概率均两次中1次正面1次反面．选项BCD定正确选项A正确选A
方法总结：机事件频率指事件发生次数试验总次数值试验次数时具定稳定性稳定某常数附偏离性．
类型二推算影响频率变化素
六·期间洁妈妈营玩具店进纸箱颜色外相散装塑料球1000洁纸箱里面球搅匀中机摸出球记颜色放回纸箱中搅匀机摸出球记颜色放回纸箱中……次重复述程发现摸红球频率逐渐稳定02估计纸箱红球数约________．
解析：量重复摸球实验摸红球频率逐渐稳定02说明红球约占总数02球总数1000×02＝200答案：200
方法总结：解题关键知道量重复摸球实验某事件发生频率接该事件发生概率．概率频率关系：(1)试验次数时频率稳定概率附(2)频率估计概率．
类型三 频率估计概率实际应
估计鱼塘中鱼条数养鱼者首先鱼塘中捞30条鱼做标记然放鱼塘段时间等标记鱼完全混合鱼群中捞200条鱼发现中带标记鱼5条鱼塘中估计________条鱼．
解析：设鱼塘中估计x条鱼5∶200＝30∶x解：x＝1200答案：1200
方法总结：求出带标记鱼占百分运样估计总体思想．
三 板书设计
1树状图列表法分析机事件等结果
2概率频率关系：(1)试验次数时频率稳定概率附(2)频率估计概率．
教学程中强调频率概率联系区．会频率估计概率解决实际问题
253 列举机会均等结果
1．会树状图列表法次试验中涉素时重复遗漏列举结果正确计算问题概率．
2．进步提高运分类思想解题力掌握关数学技．
情境导入
学生甲学生乙玩种转盘游戏．图两完全相转盘转盘分成面积相等四区域分数字1234表示．固定指针时转动两转盘停止两指针指数字积奇数甲获胜两指针指数字积偶数乙获胜指针指扇形分界线重转次．该游戏中乙获胜概率少？
二合作探究
探究点：树状图列表法求概率
类型摸球问题
透明袋子中装两完全相球面分标12两数字机中摸出球记号码放回机摸出球两次摸出球号码积偶数概率( )
A B C D
解析：先列表列举出结果根概率计算公式计算．列表分析：
1
2
1
(11)
(12)
2
(12)
(22)
列表知两次摸出球号码积4种等情况号码积偶数3种：(12)(12)(2 2)∴P＝选D
类型二转盘问题
两构造完全相(标数字外)转盘AB游戏规定转动两转盘次指数字获胜．现明选择转盘游戏会选择什？
解析：首先根题意画出树状图然树状图求等结果．中AB5种情况AB4种情况利概率公式求答案．
解：选择A转盘．画树状图：
∵9种等结果AB5种情况AB4种情况
∴P(AB)＝P(AB)＝∴选择A转盘．
方法总结：树状图法适合两步两步完成事件．知识点：概率＝求情况数总情况数．
类型三学科间综合题
图灯泡否通电发光概率05合开关时少灯泡发光概率( )
A．025 B．05 C．075 D．095
解析：先列表法表示出结果根概率计算公式计算．列表表示结果：
灯泡1发光
灯泡1发光
灯泡2发光
(发光发光)
(发光发光)
灯泡2发光
(发光发光)
(发光发光)
根表知4种等结果中少灯泡发光结果3种∴P(少灯泡发光)＝选择C
方法总结：求事件A概率首先列举出结果中找出事件A包含结果根概率公式计算．
类型四游戏公性判断
明军两学做游戏游戏规：透明文具袋中装型号完全相3支红笔2支黑笔两先袋中取出支笔(放回)两取笔颜色相明胜否军胜．
(1)请树状图列表法列出摸笔游戏结果
(2)请计算明获胜概率指出游戏规否公公认谁利？
解析：(1)设红笔A1A2 A3 黑笔B1B2 根抽取程放回列表作树状图表示出结果(2)根树状图列表出两取笔颜色相情况求出明军获胜概率较概率判断否公概率越谁利．
解：(1)根题意设红笔A1A2 A3 黑笔B1B2 作树状图：
20种．
(2)树状图出两次抽取笔颜色相8种情况明获胜概率＝军获胜概率显然游戏规公军利．
方法总结：树状图法分求出两获胜概率进行较．相等游戏双方公相等谁胜概率越谁越利．
三板书设计
树状图列表法求概率：
1 树状图：面步完成事件时通常选择树状图求概率
2 列表法：次实验需分两步骤完成般列表法．
教学程中强调生活学中方面均概率知识学概率身边现象开始
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1．二次根式表示实际问题中数量数量关系体会研究二次根式必性(难点)
2．根算术方根意义解二次根式概念性质会求二次根式中开方数中字母取值范围．(重点)
情境导入
问题1：带根号式子填空？
(1)面积3正方形边长________面积S正方形边长________．
(2)长方形围栏长宽2倍面积130m2宽________m
(3)物体高处落落面时间t(单位：s)落高度h(单位：m)满足关系h＝5t2果含h式子表示tt＝______．
问题2：面式子分表示什意义？什特征？
二合作探究
探究点：二次根式定义
列式中二次根式二次根式？
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)(x≤3)
(7)(x≥0)(8)(9)
(10)(ab≥0)．
解析：判断根式二次根式根指数2二开方数非负数．
解：＝(x≤3)(ab≥0)中根指数2开方数非负数二次根式根指数2(x≥0)开方数0二次根式．
方法总结：判断式子二次根式式子否具备条件：(1)带二次根号(2)开方数非负数．
探究点二：二次根式意义条件
类型 根二次根式意义求字母取值范围
求列式子意义x取值范围．
(1)(2)(3)
解析：根二次根式性质分式意义开方数等0分母等0列等式(组)求解．
解：(1)题意4－3x＞0解x＜x＜时意义
(2)题意解x≤3x≠2x≤3x≠2时意义
(3)题意解x≥－5x≠0x≥－5x≠0时意义．
方法总结：含二次根式式子意义条件：
(1)果式子中含二次根式意义条件二次根式中开方数必须非负数(2)果式子中含分母保证二次根式中开方数非负数外必须保证分母零．
类型二 利二次根式非负性求解
(1)已知ab满足＋|b－|＝0解关x方程(a＋2)x＋b2＝a－1
(2)已知xy实数y＝＋＋4求yx方根．
解析：(1)根二次根式非负性绝值非负性求解(2)根二次根式非负性求x值进求y值进求出yx方根．
解：(1)根题意解(a＋2)x＋b2＝a－1－2x＋3＝－5解x＝4
(2)根题意解x＝3y＝4yx＝43＝64±＝±8∴yx方根±8
方法总结：二次根式绝值具非负性非负数0非负数0
探究点三：二次根式关规律探究性问题
先观察列等式回答列问题．
①＝1＋－＝1
②＝1＋－＝1
③＝1＋－＝1
(1)请根面三等式提供信息写出结果
(2)请面等式反映规律试写出
含n式子表示等式(n正整数)．
解析：(1)三等式中发现等号右边第加数1第二加数分数设分母n第三分数分母n＋1结果带分数整数部分1分数部分分子1分母前项分数分母积(2)根(1)找规律写出表示规律式子．
解：(1)＝1＋－＝1
(2)＝1＋－＝1(n正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题通仔细观察找出字母数间关系通阅读找出题目隐含条件关系式表示出．
三板书设计
1．二次根式定义
般形(a≥0)式子做二次根式．
2．二次根式意义条件
开方数(式)非负数意义⇔a≥0
通新知识旧知识进行联系学生熟悉实际问题出发已知识进行探究引入二次根式．教学程中学生感受研究二次根式实际需体会数学实际生活间紧密联系充分激发学生学兴趣．
212 二次根式
1二次根式法
1．掌握二次根式法法(重点)
2．会进行二次根式法运算．(重点难点)
情境导入
颖家块长方形菜长m宽m长方形菜面积少？
二合作探究
探究点：二次根式法
类型 二次根式法法成立条件
式子·＝成立条件( )
A．x≤2 B．x≥－1
C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2
解析：根题意解
－1≤x≤2选C
方法总结：运二次根式法法：·＝(a≥0b≥0)必须注意开方数均非负数条件．
类型二 二次根式法运算
计算：
(1)×(2)×
(3)6×(－3)
(4)·
解析：理式法运算律法公式二次根式样适计算时注意结果化简形式．
解：(1)×＝＝
(2)×＝＝＝4
(3)6×(－3)＝－18＝
－18＝－18×9＝－162
(4) ·＝
－··＝－·＝
－·6b＝－
方法总结：运算程中注意根号前数带分数时必须化成假分数果开方数开方数式先二次根式化简相．
三板书设计
教学安排体现具体抽象认识程．二次根式法法推导先利二次根式具体计算纳出二次根式法运算法．具体计算时通组合作交流放手学生思考讨样安排助学生缜密思考严谨表达更助学生合作精神培养．
2积算术方根
1．掌握积算术方根性质(重点)
2．会积算术方根性质二次根式进行化简．(难点)
情境导入
计算：
(1)×
(2)×
思考：
×呢？
计算结果发现×＝什道理呢？
二合作探究
探究点：积算术方根性质
化简：
(1)
(2)
(3)
解析：运公式＝·(a≥0b≥0)＝a(a≥0)二次根式进行化简．
解：(1)＝＝＝××＝6×4×3＝72
(2)＝＝＝×＝12×5＝60
(3)＝＝·＝|x＋3y|
方法总结：利积算术方根性质二次根式进行化简．
探究点二：二次根式法综合应
明爸爸做长cm宽cm矩形木相框想做面积相等圆形木相框请帮计算圆半径(结果保留根号)．
解析：根矩形面积公式圆面积公式构造等式进行计算．
解：设圆半径rcm矩形木相框面积×＝168π(cm2)πr2＝168πr＝2cm(r＝－2舍)．
答：圆半径2cm
方法总结：实际问题转化数学问题列出相应式子进行计算体现转化思想．
三板书设计
1．二次根式法法：
·＝(a≥0b≥0)
2．积算术方根：
＝·(a≥0b≥0)
教学安排体现具体抽象认识程．二次根式法法推导先利二次根式具体计算纳出二次根式法运算法．具体计算时通组合作交流放手学生思考讨样安排助学生缜密思考严谨表达更助学生合作精神培养．
3二次根式法
1．掌握二次根式法法商算术方根性质会运进行相关运算(重点)
2．综合运已学性质进行二次根式化简运算．(难点)
情境导入
计算列题观察什规律？
(1)＝________＝________．
(2)＝________＝________．
________________
二合作探究
探究点：二次根式法
类型 二次根式法运算
计算：
(1)(2)－÷
(3)(4)÷
解析：题运二次根式法法进行计算开方数分数开方数相时先数等数倒数方法进行计算进行约分．
解：(1)＝＝＝2
(2)－÷＝－＝－＝－＝－3
(3)＝＝
(4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－
方法总结：利二次根式法法进行计算时零数等数倒数进行约分化简．
类型二 二次根式混合运算
计算：
(1)9÷3×
(2)a2··b÷
解析：先系数进行运算根二次根式法运算．
解：(1)原式＝9×××＝18
(2)原式＝a2·b·＝
方法总结：二次根式混合运算方法整式混合运算方法相运算时注意运算符号运算序开方数带分数先化假分数．
探究点二：商算术方根性质
类型 利商算术方根性质确定字母取值范围
＝a取值范围( )
A．a＜2 B．a≤2
C．0≤a＜2 D．a≥0
解析：根题意解0≤a＜2选C
方法总结：运商算术方根性质：＝(a＞0b≥0)必须注意开方数非负数分母等零条件．
类型二 利商算术方根性质化简二次根式
化简：
(1) (2)(a＞0b＞0c＞0)．
解析：运商算术方根性质分子算术方根分母算术方根．
解：(1)＝＝＝
(2)＝＝
方法总结：开方数中带分数化假分数开方数中分母化开方数含分母化简二次根式．
探究点三：简二次根式
列式中简二次根式？？说明理．
(1)(2)(3)(4)(5)
解析：根满足简二次根式两条件判断．
解：(1)＝3开方数含开方数简二次根式
(2)＝开方数中含分母简二次根式
(3)开方数含分母开方数含开方数式简二次根式
(4)＝＝开方数含数简二次根式
(5)＝＝开方数中含分母简二次根式．
方法总结：解决题关键掌握简二次根式定义简二次根式必须满足两条件：
(1)开方数含分母
(2)开方数含开方数式．
探究点四：二次根式法综合运
座钟摆针摆动回需时间称周期周期计算公式T＝2π中T表示周期(单位：秒)l表示摆长(单位：米)g＝98米秒2假台座钟摆长05米摆动回发出次滴答声1分钟该座钟约发出少次滴答声(π≈314)
解析：出公式代入数计算．先求出钟摆周期然利时间周期次数．
解：∵T＝2π≈142＝≈42(次)∴1分钟该座钟约发出42次滴答声．
方法总结：解决题关键正确运公式．二次根式法进行运算解类问题时注意代入数单位否统．
三板书设计
1．二次根式法运算
2．商算术方根
3．简二次根式
开方数含分母开方数中含开方数式．
教学中应注重积商互相转换学生通具体实例结合积算术方根性质纳商算术方根性质．程中应予适指导提出问题学生定探索方．设计课堂教学容时提问方式引出节课解决问题学生探究探究程中观察知识产生发展全程学生学情感学品质升华学生创新精神发展．
213 二次根式加减
1．会二次根式化简二次根式掌握二次根式加减法运算(重点)
2．熟练进行二次根式加减运算运解决问题．(难点)
3．正确运二次根式加减法运算律进行运算结果化简．(难点)
情境导入
明家客厅长75m宽5m长方形客厅中截出两面积分8m218m2正方形铺颜色砖问否截出？
二合作探究
探究点：类二次根式
已知简二次根式够合类项求a＋b值．
解析：利简二次根式概念求出ab值代入a＋b求解．
解：∵简二次根式够合类项∴a＋b＝22a＋b＝3a－4解a＝3b＝－1∴a＋b＝3＋(－1)＝2
方法总结：根类二次根式概念求定字母值时应该根类二次根式概念建立方程方程组求解．
探究点二：二次根式运算
类型 二次根式加减运算
计算：－－()2＋|2－|
解析：二次根式加减运算应先化简合类二次根式．
解：原式＝2－－2＋2－＝＝
方法总结：二次根式相加减先二次根式化成简二次根式开方数相二次根式进行合合时系数相加减根式变．
类型二 二次根式四运算
计算：
(1)×9÷
(2)÷2＋
(3)－(＋2)÷
解析：先二次根式化简二次根式括号合进行二次根式法运算然进行加法运算．
解：(1)原式＝×9×＝×9×＝
(2)原式＝÷2＋＝×＋＝＋＝5
(3)原式＝－(＋2)÷＝－＝－1－
方法总结：二次根式混合运算：先二次根式化简二次根式进行二次根式运算然合类二次根式．
类型三 二次根式化简求值
先化简求值：÷中a＝2＋b＝2－
解析：先原式化简形式ab值代入计算求出．
解：原式＝÷＝·＝a＝2＋b＝2－时原式＝＝＝
方法总结：化简求值时般先化简简分式整式代入求值．化简时跨度太缺少必步骤易造成错解．
类型四 二次根式运算实际生活中应
母亲节快表示妈妈感恩号学特做两张正方形壁画送妈妈中张面积800cm2张面积450cm2想果金色细彩带壁画边镶会更漂亮手现12m长金色细彩带请帮算算金色细彩带够？果够需买长金色细彩带(≈1414结果保留整数)
解析：先求出张正方形壁画边长根正方形周长公式求需金色细彩带长．
解：镶壁画金色细彩带长：4×(＋)＝4×(20＋15)＝140≈19796(cm)．12m＝120cm＜19796cm号金色细彩带够19796－120＝7796≈78(cm)需买78cm金色细彩带．
方法总结：利二次根式解决生活中问题应认真分析题意注意计算正确性结果求．
三板书设计
1．类二次根式
2．二次根式加减
般二次根式加减时先二次根式化简成简二次根式开方数相二次根式进行合．
3．二次根式四运算
先算方(开方)算算加减括号先算括号．
授课程中学生体进行探究性学学生发现规律出结．例题选择简难符合学生认知规律便学生掌握知识．定义法程中学生历发现思考探究程体会学知识成功快乐．
221 元二次方程
1．理解元二次方程相关概念够熟练元二次方程化般形式．
2．会应元二次方程解定义解决关问题．
3．分析揭示实际问题中数量关系实际问题转化数学模型程中感受方程刻画现实世界中数量关系工具增强元二次方程感性认识．
情境导入
参加次集会果x两间握次手握21次手请列出符合述条件方程判断方程什类型？
二合作探究
探究点：元二次方程概念
类型元二次方程识
列选项中关x元二次方程( )
A．x2＋＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
解析：选项A中方程分母含未知数元二次方程选项B中方程含2未知数元二次方程a＝0时选项D中方程含二次项元二次方程排ABD选C
方法总结：判断方程元二次方程必须方程化简进行判断．元二次方程三条件：方程两边整式二含未知数三未知数高次数2述三条件必须时满足缺．
类型二利元二次方程概念确定字母系数
关x方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0元二次方程k值________．
解析：题意∴
∴k＝3
方法总结：元二次方程概念满足条件：未知数高次数2构造方程解出字母取值利二次项系数0排二次项系数0字母取值确定字母取值．
探究点二：元二次方程般形式
列方程化元二次方程般形式指出二次项系数次项系数常数项．
(1)3x2－2＝5x
(2)9x2＝16
(3)2x(3x＋1)＝17
(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2
解析：先分方程化般形式指出部分名称．
解：(1)方程化般形式3x2－5x－2＝0二次项系数3次项系数－5常数项－2
(2)方程化般形式9x2－16＝0二次项系数9次项系数0常数项－16
(3)方程化般形式6x2＋2x－17＝0二次项系数6次项系数2常数项－17
(4)方程化般形式3x2－9x－3＝0二次项系数3次项系数－9常数项－3
方法总结：求元二次方程项系数常数项必须先方程化般形式特注意确认项系数常数项定包括前面符号．
探究点三：列元二次方程
(2015·深圳模)张矩形床单四周绣宽度相等花边剩部分面积16m2已知床单长2m宽14m求花边宽度．请根题意列出方程．
解析：设花边宽度xm图知剩部分长(2－2x)m剩部分宽(14－2x)m∵剩部分面积16m2∴列方程(2－2x)(14－2x)＝16
方法总结：列方程重审题理解题意恰设出未知数准确找出已知量未知量间等量关系正确列出方程．
探究点四：元二次方程解
类型判断元二次方程解
方程x2－2x＝0解( )
A．x1＝1x2＝2 B．x1＝0x2＝1
C．x1＝0x2＝2 D．x1＝x2＝2
解析：选项中未知数值分代入方程左右两边选项C中x1＝0x2＝2方程x2－2x＝0左右两边相等选C
方法总结：判断未知数值否元二次方程解未知数值代入方程左右两边方程左右两边相等未知数值元二次方程解．
类型二利元二次方程解意义求字母代数式值
已知1关x元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0根m值( )
A．1 B．－1
C．0 D．法确定
解析：根方程根概念直接代入方程左右两边相等考虑元二次方程二次项系数等0(m－1)＋1＋1＝0解m＝－1时m－1＝－2≠0∴m＝－1选B
方法总结：方程根方程左右两边相等未知数值涉方程根题目中般根代入方程左右两边转化求定系数方程解决问题．
三板书设计
教学程中强调学生探索合作交流历实际问题转化数学问题体会数学建模思想方法
222 元二次方程解法
1直接开方法式分解法
第1课时 直接开方法
1．学会根方根意义元二次方程降次转化两元次方程．
2．运开方法解形(x＋m)2＝n方程．
3．体验类转化降次数学思想方法增强学数学兴趣．
情境导入
正方形花坛面积10设边长x根正方形面积列出样方程？样方法求出列方程解呢？
二合作探究
探究点：直接开方法
类型直接开方法解元二次方程
运开方法解列方程：
(1)4x2＝9
(2)(x＋3)2－2＝0
解析：(1)先方程化x2＝a(a≥0)形式(2)原方程变形(x＋3)2＝2x＋32方根运开方法求解．
解：(1)4x2＝9x2＝两边直接开方x＝±∴原方程解x1＝x2＝－
(2) 移项(x＋3)2＝2两边直接开方x＋3＝±∴x＋3＝x＋3＝－∴原方程解x1＝－3x2＝
－－3
方法总结：面解法出元二次方程通降次元二次方程转化元次方程求解解元二次方程基思想般形x2＝a(a≥0)方程根方根定义解x1＝x2＝－
类型二直接开方法应
元二次方程ax2＝b(ab>0)两根分m＋12m－4＝________
解析：∵ax2＝b∴x＝±∴方程两根互相反数∴m＋1＋2m－4＝0解m＝1∴元二次方程ax2＝b(ab＞0)两根分2－2∴＝2∴＝4答案4
类型三直接开方法方程解综合应
元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0根0a＝________．
解析：∵元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0根0∴a＋2≠0a2－4＝0∴a＝2答案2
类型四直接开方法实际应
边长11cm正方形长13cm宽8cm矩形作面积两图形面积正方形边长应少厘米？
分析：求新正方形边长先求出原正方形矩形面积然开方计算．
解：设新正方形边长xcm根题意x2＝112＋13×8x2＝225解x＝±15边长正x＝－15合题意舍取x＝15答：新正方形边长应15cm
方法总结：解决方根关实际问题时根题意解题外时结合实际方根中符合实际情况负值舍．
三板书设计
教学程中强调利开方法解元二次方程质求数方根程．时体会解元二次方程程降次程
第2课时 式分解法
1．认识式分解法解方程．
2．会式分解法解特殊元二次方程．
情境导入
知道ab＝0a＝0b＝0类似解方程(x＋1)(x－1)＝0时转化两元次方程x＋1＝0x－1＝0解求出(x＋3)(x－5)＝0解？
二合作探究
探究点：式分解法解元二次方程
类型利提公式法分解式解元二次方程
式分解法解列方程：
(1)x2＋5x＝0
(2)(x－5)(x－6)＝x－5
解析：变形方程右边零左边分解二次三项式式分解法．
解：(1)原方程转化x(x＋5)＝0∴x＝0x＋5＝0∴原方程解x1＝0x2＝－5
(2)原方程转化(x－5)(x－6)－(x－5)＝0∴(x－5)[(x－6)－1]＝0∴(x－5)(x－7)＝0∴x－5＝0x－7＝0∴原方程解x1＝5x2＝7
类型二利公式法分解式解元二次方程
式分解法解列方程：
(1)x2－6x＝－9
(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0
解：(1)原方程变形：x2－6x＋9＝0(x－3)2＝0∴x－3＝0原方程解：x1＝x2＝3
(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0(7x－16)(－3x＋4)＝0∴7x－16＝0－3x＋4＝0∴原方程解x1＝x2＝
方法总结：式分解法解元二次方程般步骤：①方程右边化0②方程左边分解两次式积③令式分零两元次方程④解两元次方程解原方程解．
探究点二：式分解法解决问题
abc△ABC三边abc满足a2－ac－ab＋bc＝0试判断△ABC形状．
解析：先分解式确定abc关系判断三角形形状．
解：∵a2－ac－ab＋bc＝0∴(a－b)(a－c)＝0∴a－b＝0a－c＝0∴a＝ca＝b∴△ABC等腰三角形．
三板书设计
利式分解法解元二次方程否分解关键熟练掌握式分解知识提高分解式法解方程力．式分解法时先考虑公式果没考虑公式法
2配方法
1．解配方概念掌握运配方法解元二次方程步骤．
2．探索直接开方法配方法间区联系够熟练运配方法解决关问题．
情境导入
李老师学生解元二次方程x2－6x－5＝0学束手策学委员蔡亮考虑方程两边时加14方程左边完全方公式分解式……想法求出方程解？
二合作探究
探究点：配方法
类型配方
配方法解元二次方程x2－4x＝5时方程变形( )
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
解析：方程左边关x代数式二次项系数1方程两边加次项系数半方然方程左边写成完全方式形式右边化简．x2－4x＝5x2－4x＋4＝5＋4(x－2)2＝9选D
方法总结：配方法元二次方程变形般步骤：(1)常数项移等号右边方程左边留二次项次项(2)二次项系数化1(3)等式两边时加次项系数半方．
类型二利配方法解元二次方程
配方法解方程：x2－4x＋1＝0
解析：二次项系数1时先常数项移右边然左右两边时加次项系数半方方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)形式直接开方法求解．
解：移项x2－4x＝－1配方x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2(x－2)2＝3解方程x－2＝±∴x1＝2＋x2＝2－
方法总结：配方法解元二次方程实质元二次方程变形转化成开方需形式．
类型三配方解决求值问题
已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0求值．
解：原方程化(x＋2)2＋(y－3)2＝0∴(x＋2)2＝0(y－3)2＝0∴x＝－2y＝3∴原式＝＝－
类型四配方解决证明问题
(1)配方法证明2x2－4x＋7值恒零
(2)第(1)题启发请写出三恒零二次三项式．
证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5∵2(x－1)2≥0∴2(x－1)2＋5≥52x2－4x＋7≥52x2－4x＋7值恒零．
(2)x2－2x＋32x2－2x＋53x2＋6x＋8等．
类型五配方法等式知识综合应
证明关x方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0m值时元二次方程．
解析：证明m值时方程元二次方程需证明二次项系数m2－8m＋17值等0
证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1∵(m－4)2≥0∴(m－4)2＋1＞0m2－8m＋17＞0∴m值时原方程元二次方程．
三板书设计
教学程中强调配方法解方程方程左边配成完全方式程．需熟练掌握完全方式形式
3公式法
1．理解元二次方程求根公式推导程
2．会公式法解元二次方程(重点)
情景导入
果元二次方程般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)否配方法步骤求出两根？请学独立完成面问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0试推导两根x1＝x2＝
二合作探究
探究点：公式法解元二次方程
方程3x2－8＝7x化般形式__________中a＝________b＝________c＝________方程根____________．
解析：方程移项化3x2－7x－8＝0中a＝3b＝－7c＝－8b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0代入求根公式x＝
答案分3x2－7x－8＝03－7－8
方法总结：元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根方程系数abc确定确定系数abc值代入公式求方程根．
公式法解列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0 (2)2x2＋3x＋3＝0
(3)x2－2x＋1＝0
解析：先确定abcb2－4ac值代入公式求解．
解：(1)－3x2－5x＋2＝03x2＋5x－2＝0
∵a＝3b＝5c＝－2
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0
∴x＝＝
∴x1＝x2＝－2
(2)∵a＝2b＝3c＝3
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝
－15＜0
∴原方程没实数根
(3)∵a＝1b＝－2c＝1
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0
∴x＝＝
∴x1＝x2＝1
方法总结：公式法解元二次方程时首先应变形般形式然确定公式中abc值求出b2－4ac值0较利求根公式求出方程根(说明没实数根)．
类型二元二次方程解法综合运
三角形两边分26第三边方程x2－10x＋21＝0解第三边长( )
A．7 B．3
C．73 D．法确定
解析：解元二次方程x2－10x＋21＝0x1＝3x2＝7根三角形三边关系第三边应满足4＜x＜8第三边长x＝7选A
方法总结：解题关键正确求解元二次方程会运三角形三边关系进行取舍．
三 板书设计
历配方法解数字系数元二次方程解字母系数元二次方程探索求根公式通公式推导认识元二次方程求根公式适元二次方程．体会数式通性感受数学严谨性数学结确定性．提高学生运算力养成良运算惯
4元二次方程根判式
1．理解掌握元二次方程根判式运判式解方程前提判断元二次方程根情况(重点难点)
2．通元二次方程根情况探究程体会特殊般猜想分类讨数学思想提高观察分析纳力．
情境导入
老师写4元二次方程学判断否解家解第方程呢强突然站起说出方程解情况想知道判断？
二合作探究
探究点：元二次方程根情况
类型判断元二次方程根情况
解方程判断列方程根情况．
(1)2x2＋3x－4＝0
(2)x2－x＋＝0
(3)x2－x＋1＝0
解析：根根判式知道b2－4ac≥0时方程实数根b2－4ac<0时方程没实数根．解方程判断元二次方程根情况．
解：(1)2x2＋3x－4＝0a＝2b＝3c＝－4∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0∴方程两相等实数根．
(2)x2－x＋＝0a＝1b＝－1c＝∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0∴方程两相等实数根．
(3)x2－x＋1＝0a＝1b＝－1c＝1∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0∴方程没实数根．
方法总结：出元二次方程解方程b2－4ac值符号判断方程根情况．b2－4ac＞0时元二次方程两相等实数根b2－4ac＝0时元二次方程两相等实数根b2－4ac＜0时元二次方程实数根．
类型二元二次方程根情况确定字母系数取值
已知关x元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0两相等实数根a取值范围( )
A．a>2 B．a<2
C．a<2a≠1 D．a<－2
解析：元二次方程两相等实数根判式0等式二次项系数0知a－104－4(a－1)＞0a－1≠0解a＜2a≠1选C
方法总结：方程实数根b2－4ac≥0题强调说明方程元二次方程二次项系数0题道易错题．
类型三 元二次方程根判式三角形综合
已知abc分△ABC三边长求证：关x方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没实数根．
解析：欲证元二次方程没实数根需证明判式Δ<0．abc三角形三条边长知abc正数．三角形三边关系知a＋b>ca＋c>bb＋c>a
证明：∵b三角形边长∴b≠0∴b2≠0∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0关x元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵abc三角形三条边长∴a>0b>0c>0a＋b＋c>0a＋b>cb＋c>aa＋c>b∴(b＋c)－a>0(a＋b)－c>0b－(a＋c)<0∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0Δ<0∴原方程没实数根．
方法总结：利根判式三角形三边关系：常根判式关三角形三边式子结合三边关系确定Δ符号．
类型四 利根判式解决存性问题
否存样非负整数m关x元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0两相等实数根？存请求出m值存请说明理．
解：存理：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0两相等实数根[－(2m－1)]2－4m2>0解m<∵m非负整数∴m＝0
m＝0时原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0元次方程实数根假设矛盾．
∴存样非负整数原方程两相等实数根．
易错提醒：求出m＝0常常会草率认m＝0满足条件非负整数忽略二次项系数0隐含条件解题程中务必考虑全面．
三板书设计
节课元二次方程解法基础学根判式应．学生容易计算取值范围时候忘记二次项系数零节课需注意方应予特强调
5元二次方程根系数关系
1．探索元二次方程根系数关系．
2．会解方程利元二次方程根系数解决问题．
情境导入
般关x方程x2＋px＋q＝0(pq已知常数p2－4q≥0)试求根公式求出两解x1x2算算x1＋x2x1·x2值出什结果？
二合作探究
探究点：元二次方程根系数关系
类型利元二次方程根系数关系求关方程根代数式值
已知mn方程2x2－x－2＝0两实数根＋值( )
A．－1 B C．－ D．1
解析：根根系数关系求出m＋nmn值原代数式变形整体代入计算．mn方程2x2－x－2＝0两实数根m＋n＝mn＝－1＋＝＝＝－选C
方法总结：解题时先代数式变形成两根积关形式注意前提：方程两实数根时判式等0
类型二根方程根确定元二次方程
已知元二次方程两根分4－5元二次方程( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：∵方程两根分4－5设两根x1x2x1＋x2＝－1x1·x2＝－20果令方程ax2＋bx＋c＝0中a＝1－b＝－1c＝－20∴方程x2＋x－20＝0选D
方法总结：先构造方程二次项系数定1利元二次方程根系数关系确定元二次方程次项系数常数项．
类型三根根系数关系确定方程解
已知x＝4元二次方程x2－3x＋c＝0根根________．
解析：设根x1根系数关系x1＋4＝3∴x1＝－1答案x＝－1
方法总结：解决类问题时利元二次方程根系数关系列出方程解决．
类型四利元二次方程根系数关系确定字母系数
关x方程x2－ax＋2a＝0两根方5a值( )
A．－15 B．1
C．5 D．－1
解析：两根方转化两根积表示形式利元二次方程根系数关系解决．设方程两根x1x2题意x＋x＝5∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5∵x1＋x2＝ax1x2＝2a∴a2－2×2a＝5解a1＝5a2＝－1∵Δ＝a2－8aa＝5时Δ<0时方程实数根舍a＝5a＝－1时Δ>0时方程两实数根．取a＝－1选D
方法总结：解答类题关键方程两根关式子转化两根积表示形式利元二次方程根系数关系解决问题．注意忽略题目中隐含条件Δ≥0导致解答全面．
类型五元二次方程根系数关系根情况综合应
已知x1x2元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0两实数根．
(1)否存实数a－x1＋x1x2＝4＋x2成立？存求出a值存请说明理
(2)求(x1＋1)(x2＋1)负整数实数a整数值．
解：(1)根题意Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0解a≥0∵a－6≠0∴a≠6根系数关系：x1＋x2＝－x1x2＝－x1＋x1x2＝4＋x2x1＋x2＋4＝x1x2∴－＋4＝解a＝24检验a＝24方程－＋4＝解．存a＝24－x1＋x1x2＝4＋x2成立．
(2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝负整数6－a－1－2－3－6解a＝78912
三板书设计
教学程中强调元二次方程根系数关系通求根公式利关系确定字母取值时定记住Δ≥0前提条件
223 实践探索
第1课时 利元二次方程解决问题
1．掌握面积法建立元二次方程数学模型运解决实际问题．
2．继续探究实际问题中数量关系列出元二次方程解应题．
3．通探究体会列方程实质提高灵活处理问题力．
情境导入
图长10cm宽8cm矩形四角截四全等正方形留图形(图中阴影部分)面积原矩形面积80求出截正方形边长？
二合作探究
探究点：元二次方程解决图形面积问题
类型利面积构造元二次方程模型
10米长铝材制成矩形窗框面积6方米．设条边长x米根题意列出关x方程( )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
解析：设边长x米外边长(5－x)米根面积6方米列出方程：x(5－x)＝6选择B
方法总结：理解题意恰设未知数题中相关量未知数表示出相等关系列出方程．
现块长80cm宽60cm矩形钢片四角剪边长xcm正方形做成底面积1500cm2盖长方体盒子求正方形边长．
解析：设正方形边长xcm长方体盒子底面长宽均含x代数式表示根面积建立等量关系列出方程．
解：设正方形边长xcm长方体盒子底面长(80－2x)cm宽(60－2x)cm根矩形面积计算方法表示出矩形底面积方程列(80－2x)(60－2x)＝1500整理x2－70x＋825＝0解x1＝55x2＝1560－2x>0∴x＝55(舍)．∴正方形边长15cm
方法总结：已知条件中找出关键求问题关信息通图形求出面积解题关键熟记种图形面积公式列出符合题意方程整理．
类型二整体法构造元二次方程模型
图块长22米宽17米矩形面修建样宽两条互相垂直道路(两条道路分矩形条边行)剩余部分种草坪草坪面积300方米．设道路宽x米根题意列出方程______________．
解析：解法：两条道路移矩形边含x代数式表示草坪长(22－x)米宽(17－x)米根草坪面积300方米列出方程(22－x)(17－x)＝300
解法二：根面积差列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300
方法总结：解答道路关面积问题根图形面积差关系寻找相等关系建立方程求解移方法道路移构建特殊图形利面积建立方程求解．
类型三利元二次方程解决动点问题
图示△ABC中∠C＝90°AC＝6cmBC＝8cm点P点A出发边AC点C1cms速度移动点QC点出发CB边点B2cms速度移动．
(1)果PQ时出发秒钟△PCQ面积8方厘米？
(2)点PQ移动程中否存某时刻△PCQ面积等△ABC面积半．存求出运动时间存说明理．
解析：道动态问题设出未知数表示出PCCQ长根面积公式建立方程求解．
解：(1)设xs△PCQ面积8cm2AP＝xcmPC＝(6－x)cmCQ＝2xcm根题意·(6－x)·2x＝8整理x2－6x＋8＝0解方程x1＝2x2＝4PQ时出发2s4s△PCQ面积8cm2
(2) 设点P出发x秒△PCQ面积等△ABC面积半．根题意(6－x)·2x＝××6×8整理x2－6x＋12＝0方程没实数根存△PCQ面积等△ABC面积半时刻．
三板书设计
图形关问题元二次方程应常见题型解决类问题关键规图形分割补全成规图形找出部分面积间关系运面积等计算公式列出方程图形进行分割补全原：转化成规图形时越简单越直观越
第2课时 利元二次方程解决均变化率利润问题
1．掌握倍数关系建立数学模型利解决具体问题．
2．会解关增长率销售方面实际问题．
情境导入
月季花盆盈利盆株数定关系．盆植3株时均株盈利4元盆增加1株均株盈利减少05元．盆盈利达15元盆应植少株？
二合作探究
探究点：元二次方程解决增长率问题
类型增长率问题
某工厂种产品2013年产量100万件计划2015年产量达121万件．假设2013年2015年种产品产量年增长率相．
(1)求2013年2015年种产品产量年增长率
(2)2014年种产品产量应达少万件？
解析：(1)通增长率公式列出元二次方程求出增长率(2)求增长率代入2014年产量表达式解决．
解：(1)设种产品产量年增长率x根题意列方程100(1＋x)2＝121解x1＝01x2＝－21(舍)．
答：种产品产量年增长率10
(2)100×(1＋10)＝110(万件)．
答：2014年种产品产量应达110万件．
方法总结：增长率问题中设基数a均增长率x增长次数n增长结果a(1＋x)n增长率负数时降低结果a(1－x)n
某工厂旧设备生产月生产收入90万元月需支付设备维护费5万元年1月份起新设备生产收入提高设备维护费月生产收入达100万元13月份生产收入相百分率逐月增长累计达364万元3月份月生产收入稳定3月份水．
(1)求新设备2月3月生产收入月增长率
(2)购进新设备需次性支付640万元新设备月该厂累计利润低旧设备累计利润？(累计利润指累计生产收入减旧设备维护费新设备购进费)
解析：(1)设2月3月生产收入月增长率x根题意建立等量关系3月364万元解方程时结果进行合理取舍(2)根题意建立等关系：前三月生产收入＋月收入减次性支付640万元等旧设备月生产收入－月维护费然解等式．
解：(1)设2月3月生产收入月增长率x根题意100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝36425x2＋75x－16＝0解x1＝－32(舍)x2＝022月3月生产收入月增长率20
(2)设m月新设备累计利润低旧设备累计利润根题意364＋100(1＋20)2(m－3)－640≥90m－5m解m≥12新设备12月累计利润低旧设备累计利润．
方法总结：根实际问题中数量关系题目中出数量关系方程通解方程解决实际问题方程解时根题意实际问题确定出符合题意解．
类型二利润问题
学校绿化校园环境某园林公司购买批树苗园林公司规定：果购买树苗超60棵棵售价120元果购买树苗超60棵增加1棵出售批树苗棵售价均降低05元棵树苗低售价少100元．该校终园林公司支付树苗款8800元．请问该校购买少棵树苗？
解析：根条件设该校购买x棵树苗根售价＝数量×单价求解．
解：∵60棵树苗售价120元×60＝7200元<8800元∴该校购买树苗超60棵．设该校购买x棵树苗题意x[120－05(x－60)]＝8800解x1＝220x2＝80x1＝220时120－05(220－60)＝40＜100∴x1＝220合题意舍x2＝80时120－05(80－60)＝110＞100∴x2＝80∴x＝80
答：该校购买80棵树苗．
方法总结：根实际问题中数量关系题目中出数量关系方程求出方程解时根题意实际问题确定出符合题意解．
类型三方案设计问题
菜农李伟种植某蔬菜计划千克5元价格外批发销售．部分菜农盲目扩种植造成该蔬菜滞销李伟加快销售减少损失价格两次调千克32元价格外批发销售．
(1)求均次调百分率
(2)华准备李伟处购买5吨该蔬菜数量李伟决定予两种优惠方案供选择：方案九折销售方案二折吨优惠现金200元．试问华选择种方案更优惠？请说明理．
分析：第(1)题设均次调百分率x列元二次方程求出x舍合题意解第(2)题通计算进行较求解．
解：(1)设均次调百分率x题意5(1－x)2＝32解x1＝02＝20x2＝18(舍)．∴均次调百分率20
(2)华选择方案购买更优惠理：方案需费：32×09×5000＝14400(元)方案二需费：32×5000－200×5＝15000(元)∵14400＜15000∴华选择方案购买更优惠．
三板书设计
教学程中强调解决关增长率利润问题时应考虑实际方程根进行取舍
231 成例线段
1成例线段
1知道线段概念会计算两条线段（重点）
2理解成例线段概念（重点）
3掌握成例线段判定方法（难点）
情景导入
请观察列幅图片发现什？观察图片特点进行纳？
例子形状相图形图应线段长度
二合作探究
探究点：线段
类型 求线段
已知线段AB＝25m线段CD＝400cm求线段ABCD
解析：求ABCD需根线段定义计算注意ABCD单位统
解：∵AB＝25m＝250cm
∴＝＝
方法总结：求线段时首先检查单位否致致应先统单位求
类型二 例尺
例尺1：50 000图量甲乙两距离3cm甲乙两实际距离 m
解析：根例尺＝求解
设甲乙两实际距离xcm1：50 000＝3：x解x＝150 000 150 000cm＝1500m答案1500
方法总结：理解例尺意义注意实际尺寸单位进行恰转化
探究点二：成例线段
类型 判断线段成例
列四组线段中成例线段（ ）
A3cm4cm5cm6cm
B4cm8cm3cm5cm
C5cm15cm2cm6cm
D8cm4cm1cm3cm
解析：组数序排列前两条线段两条线段相等四条线段成例四选项中C项排列＝选C
方法总结：判断四条线段否成例方法：
（1）四条线段序排计算前两条线段两条线段否相等做出判断
（2）四条线段序排计算前两数积中间两数积否相等作出判断
类型二 线段成例求线段长
已知：四条线段abcd中a＝3cmb＝8cmc＝6cm
（1）abcd成例线段求线段d长度
（2）bacd成例线段求线段d长度
解析：紧扣成例线段概念利例式构造方程求解
解：（1）abcd成例线段
＝＝解d＝16
线段d长度16cm
（2）bacd成例线段
＝＝解d＝
线段d长度cm
方法总结：利例线段关系求线段长度方法：根线段关系写出例式作相等关系构造关求线段方程解方程求出线段长
已知三条线段长分1cmcm2cm请出条线段长前面三条线段长够组成例式
解析：题中没明确告知求12第四例项添加线段长前三数第四例项前三数第四例项应进行分类讨
解：x：1＝：2x＝1：x＝：2x＝1：＝x：2x＝1：＝2：xx＝2
添加线段长三种cmcm2cm
方法总结：四数成例应满足中两数等外两数转化中两数积恰等外两数积
三板书设计
丰富实例入手引导学生进行观察发现概括探究合作交流程中适时引入新知识通引导学生建立新数学模型开拓思维提升学生认知力
2分线分线段成例
1解行线分线段成例基事实推（重点）
2会行线分线段成例推解决相关问题（难点）
情景导入
梯子生活中常见工具
图生产程中合格左右称梯子简图测量AB＝BC＝CDAA1∥BB1∥CC1∥DD1A1B1B1C1相等？
二合作探究
探究点：行线分线段成例
图直线l1∥l2∥l3直线AC分交三条直线点ABC直线DF分交三条直线点DEFAB＝3DE＝EF＝4求BC长
解：∵直线l1∥l2∥l3AB＝3DE＝EF＝4
∴根行线分线段成例＝
BC＝·AB＝×3＝
方法总结：利行线分线段成例求线段长方法：先确定图中行线联想线段间例关系结合求线段已知线段写出含例关系式构造出方程解方程求出求线段长
图示直线l1∥l2∥l3列例式中成立（ ）
A＝
B＝
C＝
D＝
解析：分线分线段成例知＝A选项成立＝知B选项成立＝知C选项成立D选项成立选D
方法总结：应行线分线段成例例式中四条线段两条直线交点位置关关键线段应简记：＝＝＝＝＝
探究点二：行线分线段成例推
图示△ABC中点DE分ABAC边DE∥BCAD：AB＝3∶4AE＝6AC等（ ）
A3
B4
C6
D8
解析：DE∥BC＝＝∴AC＝8选D
易错提醒：行线推出成例线段例式时注意相互位置关系例式写错应线段写应位置
图△ABC边AB取点DAC取点EAD＝AE直线DEBC延长线相交P求证：＝
解析：题法直接证明分析求证等式中BP：CP含BD考虑点C作PD行线CF便构造出＝时需证CE＝DF
证明：图点C作CF∥PD交AB点F＝＝
∵AD＝AE∴DF＝CE∴＝
方法总结：证明四条线段成例时果图形中行线直接应行线分线段成例基事实推相关例式果图中没行线需构造辅助线创造行条件应行线分线段成例基事实推相关例式
三板书设计
通教学培养学生观察分析概括力
解特殊般辩证关系次锻炼类数学思想复杂图形分成基图形通应锻炼识图力推理证力探索程中积累数学活动验体验探索结方法程发展学生合情推理力条理说理表达力
232 相似图形
1解相似边形相似概念
2会根条件判断两边形否相似边形（重点）
3掌握相似边形性质根相似进行相关计算（难点）
情景导入
观察三组图形组图形应边应角什关系呢？
二合作探究
探究点：相似边形判定
列图形相似？什？
（1）正方形（2）矩形（3）菱形（4）等边三角形（5）等腰三角形（6）等腰梯形（7）等腰直角三角形（8）正五边形
解析：利定义判断边数相边形否相似两方面进行判断：（1）应角相等（2）应边成例两者缺
解：（1）相似正方形角等90°应角相等正方形边长相等应边成例
（2）定然矩形角等90°应角相等应边定成例图①
（3）定菱形四条边长相等两菱形应边定成例应角定相等图②显然两菱形应角相等
（4）相似等边三角形三条边相等两等边三角形应边定成例应角等60°
（5）定图③应边成例应角相等
（6）定图④应边成例应角相等
（7）相似等腰直角三角形三角分45°45°90°应角相等三角形三边1：1：应边成例
（8）相似正五边形角等108°应角相等正五边形边相等应边成例
方法总结：（1）相似边形定义相似边形判定方法判定两边形相似时必须时具备两点：应角相等应边成例（2）说明图形相似时需画图举出反例（3）边数相等正边形相似
探究点二：相似边形性质
已知四边形ABCD四边形EFGH相似试根图中出数求出四边形EFGH四边形ABCD相似
解：∵四边形ABCD四边形EFGH相似∠A＝∠E＝80°∠B＝∠F＝75°
∴ABEF应边∵＝＝
∴四边形EFGH四边形ABCD相似
方法总结：找准相似边形应边解决类问题关键方法类似找全等三角形应边应角方法
探究点三：相似边形应
图示四边形ABCD中AD∥BCEF∥BCEF四边形ABCD分成两相似四边形AEFDEBCFAD＝3BC＝4求AE：EB值
解析：根相似边形应边成例＝求出EF长求AE：EB值
解：四边形AEFD∽四边形EBCF
＝
EF2＝AD·BC＝3×4＝12
EF＝＝2
四边形AEFD∽四边形EBCF
AE：EB＝AD：EF＝3：2＝：2
方法总结：两边形相似应边成例根特性列等式例式求解
AB＝20mAD＝30m矩形花坛ABCD四周建筑路
（1）果四周路宽均相等图①路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似？请说明理
（2）果应着两条路宽均相等图②试问路宽xy值少时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似？
解析：（1）根两矩形应边否成例判断两矩形否相似
（2）根矩形相似条件列出等量关系式求出xy值
解：（1）矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似理：
假设两矩形相似妨设路宽xm
＝解x＝0
∵题意知路宽0
∴矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
（2）xy值3：2时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似理：
矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
＝＝
∴xy值3：2时路四周围成矩形A′B′C′D′矩形ABCD相似
方法总结：矩形四角均直角关矩形相似问题中需应边否成例成例相似否相似
三板书设计
相似边形
探索相似边形质特征程中学生运观察－较－猜想分析问题进步发展学生观察分析判断纳类反思交流等方面力提高数学思维水体会反例作培养交流合作意识品质
233 相似三角形
1相似三角形
1．解相似三角形关概念(重点)
2．掌握利行线法判定三角形相似(重点)
3．应行线法判定三角形相似解决问题．(难点)
情境导入
图△ABC中D边AB点作DE∥BC交边ACE刻度尺量角器量量判断△ADE△ABC否相似．
二合作探究
探究点：相似三角形关概念
图示已知△OAC∽△OBDOA＝4AC＝2OB＝2∠C＝∠D求：
(1)△OAC△OBD相似
(2)BD长．
解析：(1)△OAC∽△OBD∠C＝∠D找两三角形应边求出相似(2)根相似三角形应边成例求出BD长．
解：(1)∵△OAC∽△OBD∠C＝∠D∴线段OA线段OB应边△OAC△OBD相似＝＝
(2)∵△OAC∽△OBD∴＝∴BD＝＝＝1
方法总结：相似三角形定义相似三角形性质相似三角形判定方法．
探究点二：相似三角形引理
类型 利相似三角形引理判定三角形相似
图▱ABCD中EAB延长线点AB＝3BEDEBC相交点F请找出图中相似三角形求出相应相似．
解析：行四边形性质：BC∥ADAB∥CD进△EFB∽△EDA△EFB∽△DFC进步求解．
解：∵四边形ABCD行四边形∴BC∥ADAB∥CD∴△EFB∽△EDA△EFB∽△DFC∴△DFC∽△EDA∵AB＝3BE∴相似分1∶41∶33∶4
方法总结：求相似仅找准应边需注意两三角形先序．
类型二 利相似三角形引理求线段长
图已知AB∥EF∥CDADBC相交点O
(1)果CE＝3EB＝9DF＝2求AD长
(2)果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3AB＝3求CD长．
解析：(1)根行线分线段成例求AF＝6AD＝AF＋FD＝8(2)根行线AB∥CD分线段成例知BO∶OE＝AB∶EF结合已知条件求EF＝6理EF∥CD推知EFCD间数量关系求CD＝105
解：(1)∵CE＝3EB＝9∴BC＝CE＋EB＝12∵AB∥EF∴＝＝∵EF∥CD∴＝＝∴＝＝∴AF＝6∴AD＝AF＋FD＝6＋2＝8AD长8
(2)∵AB∥CD∴BO∶OE＝AB∶EF∵BO∶OE＝2∶4AB＝3∴EF＝6∵EF∥CD∴＝∵OE∶EC＝4∶3∴＝∴＝∴CD＝EF＝105CD长105
方法总结：运行线分线段成例基事实推定找准应线段防解答错误．
三板书设计
1．相似三角形定义关概念
2．相似三角形引理．
节课宜采探究式教学教师教学中学生学组织者引导者合作者研究者．鼓励学生胆探索引导学生关注程时肯定学生表现鼓励创新．课时教师关键处点拨足时补充．教师学生等交流创设民谐学氛围
2相似三角形判定
第1课时 利两角判定两三角形相似
1．理解两角分相等两三角形相似含义分清条件结文字图形符号语言表示(重点)
2．会运两角分相等两三角形相似判定两三角形相似解决简单问题．(难点)
情景导入
图放镜里三角尺原三角尺相似？
二合作探究
探究点：两角分相等两三角形相似
△ABC△A′B′C′中∠A＝∠A′＝80°∠B＝70°∠C′＝30°两三角形相似？请说明理
解：△ABC∽△A′B′C′
理：三角形角180°
∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°
∠A＝∠A′∠C＝∠C′
△ABC∽△A′B′C′（两角分相等两三角形相似）
方法总结：两三角形已角相等否角相等般解题程中特注意公角顶角角（等角）余角等隐含条件
探究点二：两角分相等两三角形相似应
已知：图△ABC高ADBE相交点F求证：＝
解析：证明＝考虑例式中四条线段三角形否相似考虑△AFE△BFD否相似利两角应相等三角形相似证明结
证明：∵BE⊥ACAD⊥BC
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∵∠AFE＝∠BFD
∴△AFE∽△BFD∴＝
方法总结：证明例式构造相似三角形证明两三角形相似根相似三角形应边成例相关例式
图示已知DE∥BCDF∥ACAD＝4cmBD＝8cmDE＝5cm求线段BF长
解：方法：DE∥BC∠ADE＝∠B∠AED＝∠C△ADE∽△ABC
＝＝
BC＝15cmDF∥AC
四边形DFCE行四边形
FC＝DE＝5cm
BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）
方法二：DE∥BC∠ADE＝∠B
DF∥AC∠A＝∠BDF
△ADE∽△DBF
＝＝
BF＝10cm
方法总结：求线段长常通找三角形相似成例线段求选择两三角形成解题关键需通已知线段求线段分析
三板书设计
相似三角形判定定理1：两角分相等两三角形相似
感受相似三角形相似边形相似三角形全等三角形区联系体验事物间特殊般关
系学生历实验探究纳证明程发展学生合情推理力培养学生观察动手探究纳总结力
第2课时 利两边夹角三边判定两三角形相似
1掌握相似三角形判定定理2判定定理3（重点）
2熟练运相似三角形判定定理2判定定理3（难点）
情景导入
画△ABC△A′B′C′∠A＝∠A′等定值k设法较∠B∠B′（∠C∠C′）△ABC△A′B′C′相似？
二合作探究
探究点：两边成例夹角相等两三角形相似
图已知点D△ABC边AC点根列条件△ABC∽△BDC（ ）
AAB·CD＝BD·BC
BAC·CB＝CA·CD
CBC2＝AC·DC
DBD2＝CD·DA
解析：两边应成例说明两三角形相似知道成例两边夹角相等两三角形相似题中∠C△ABC△BDC公角关键找出∠C两边应成例＝BC2＝AC·DC选C
方法总结：判定两三角形相似时应根条件适选择方法题已知公角两条夹边成例应选择判定定理2加判断
探究点二：三边成例两三角形相似
已知△ABC三边长分1△DEF三边长分2试判断△ABC△DEF否相似
解析：已知两三角形三边长考虑根三边间例关系判定两三角形否相似
解：＝＝
△ABC△DEF相似
方法总结：已知两三角形三边判断否相似关键通计算说明三边否应成例相似三角形中短（长）边短（长）边应边判定两三角形三边否成例时应先确定边便找准应关系
探究点三：相似三角形判定定理2判定定理3应
图甲正方形边长均1乙图中三角形（阴影部分）△ABC相似图形？
解析：图中三角形均格点三角形根勾股定理求出边长然根三角形三边否应成例判断乙图中三角形△ABC否相似
解：甲图知AC＝＝BC＝2AB＝＝
理图①中三角形三边长分12
理图②中三角形三边长分1
理图③中三角形三边长分3
理图④中三角形三边长分2
∵＝＝＝
∴图②中三角形△ABC相似
方法总结：（1）图形中三角形均格点三角形根勾股定理求出边长然根三角形三边长度否成例判断两三角形否相似（2）判断三边否成例三角形三边长序排列然分计算应边值否相等确定两三角形否相似
图示零件外径a求厚度x需求出孔直径AB直接量出AB现交叉长钳（ACBD相等）量OA：OC＝OB：OD＝n量CD＝b求厚度x
解析：欲求厚度xx＝根题意较易推出△AOB∽△COD利相似三角形应边成例列出关AB例式解
解：OA：OC＝OB：OD∠AOB＝∠COD
△AOB∽△COD
＝＝nAB＝bn
x＝
方法总结：条件中两边应成例时通常考虑相似三角形判定定理2注意利图形隐含条件公角顶角
图△ABC中AB＝8cmBC＝16cm点P点A开始AB点B1cms速度移动点Q点B开始BC点C2cms速度移动果点PQ时出发长时间△PBQ△ABC相似？
解析：证明△PBQ△ABC相似显然∠B公角运两边应成例夹角相等相似根应边成例列方程求解时注意分类讨
解：设t s△PBQ△ABC相似
（1）＝时
△PBQ∽△ABC
时＝解t＝4
4s△PBQ△ABC相似
（2）＝时△PBQ∽△CBA
时＝解t＝16
16s△PBQ△ABC相似
综知点PQ时出发16s4s△PBQ△ABC相似
易错提醒：点运动情况寻找相似条件着点位置变化△PBQ形状会发生变化考虑△PBQ∽△ABC情况考虑△PBQ∽△CBA情况
三板书设计
相似三角形判定定理2：两边成例夹角相等两三角形相似
相似三角形判定定理3：三边成例两三角形相似
学生已学知识入手通设置问题引导学生进行计算推理纳提高分析问题解决问题力感受两三角形相似判定定理2全等三角形判定定理（SAS）两三角形相似判定定理3全等三角形判定定理（SSS）区联系体会事物间般特殊特殊般关系学生历实验探究纳证明程发展学生合情推理力培养学生交流合作意识品质
3相似三角形性质
1．理解相似三角形性质(重点)
2．会利相似三角形性质解决简单问题．(难点)
情境导入
两三角形相似应边成例应角相等外许结．例图中△ABC△A′B′C′两相似三角形相似k中ADA′D′分BCB′C′边高ADA′D′间什关系？
二合作探究
探究点： 相似三角形性质
类型 利相似求三角形周长面积
图示行四边形ABCD中EBC边点BE＝ECBDAE相交F点．
(1)求△BEF△AFD周长
(2)S△BEF＝6cm2求S△AFD
解析：利相似三角形应边周长面积然进步求解．
解：(1)∵行四边形ABCD中AD∥BCAD＝BC∴△BEF∽△AFD∵BE＝BC∴＝＝＝∴△BEF△AFD周长＝
(2)(1)知△BEF∽△DAF相似∴＝()2∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2
方法总结：理解相似三角形周长等相似面积等相似方解决问题关键．
类型二 利相似三角形周长面积求相似
△ABC∽△A′B′C′面积1∶2△ABC△A′B′C′相似( )
A．1∶2 B∶2
C．1∶4 D∶1
解析：∵△ABC∽△A′B′C′面积1∶2∴△ABC△A′B′C′相似1∶＝∶2选B
方法总结：解决问题关键掌握相似三角形面积等相似方．
类型三 利相似三角形性质判定进行计算
图示锐角三角形ABC中ADCE分BCAB边高△ABC△BDE面积分188DE＝3求AC边高．
解析：求AC边高先高线作出△ABC面积18求出AC长求出AC边高． 解：点B作BF⊥AC垂足点F∵AD⊥BC CE⊥AB∴Rt△ADB∽Rt△CEB∴＝＝∠ABC＝∠DBE∴△EBD∽△CBA ∴＝()2＝∵DE＝3∴AC＝45∵S△ABC＝AC·BF＝18 ∴BF＝8
方法总结：解决类问题利相似三角形周长等相似面积等相似方解答．
类型四 利相似三角形线段等相似解决问题
图示PN∥BCAD⊥BC交PNE交BCD
(1)AP∶PB＝1∶2S△ABC＝18求S△APN
(2)S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2求值．
解析：(1)相似三角形面积等应边方求解(2)△APN四边形PBCN面积△APN△ABC面积进应边．
解：(1)PN∥BC∠APN＝∠B∠ANP＝∠C△APN∽△ABC＝()2AP∶PB＝1∶2AP∶AB＝1∶3S△ABC＝18＝()2＝S△APN＝2
(2)PN∥BC∠APE＝∠B∠AEP＝∠ADB△APE∽△ABD＝＝()2＝()2S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2＝＝()2＝＝
方法总结：利相似三角形应线段等相似推出相似三角形面积等相似方．
类型五 利相似三角形性质解决动点问题
图已知△ABC中AB＝5BC＝3AC＝4PQ∥ABP点AC(AC重合)Q点BC．
(1)△PQC面积四边形PABQ面积时求CP长
(2)△PQC周长四边形PABQ周长相等时求CP长．
解析：(1)PQ∥AB△PQC∽△ABC△PQC面积四边形PABQ面积时△CPQ△CAB面积1∶4根相似三角形面积等相似方求出CP长(2)△PQC∽△ABC根相似三角形性质CP表示出PQCQ长进表示出APBQ长．根△CPQ四边形PABQ周长相等相关边相加求出CP长．
解：(1)∵PQ∥AB∴△PQC∽△ABC∵S△PQC＝S四边形PABQ∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4∵＝∴CP＝CA＝2
(2)∵△PQC∽△ABC∴＝＝∴＝∴CQ＝CP理知PQ＝CP∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CPC四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－CP＋CP＝12－CP∴12－CP＝3CP∴CP＝12∴CP＝
方法总结：相似三角形出线段例关系根线段例关系解决面积线段问题解题关键．
三板书设计
1．相似三角形应角相等应边相等
2．相似三角形(边形)周长等相似相似三角形应线段(应中线应角分线应边高)等相似
3．相似三角形面积等相似方．
节教学程中学生动参课堂活动积极交流探讨发现问题较：相似三角形周长面积相似书写时注意应关系应时计算结果正相反两性质前提条件相似三角形等等．学讨非常激烈节课堂教学取明显效果
4相似三角形应
1．运三角形相似知识计算直接测量物体长度高度(重点)
2．灵活运三角形相似知识解决实际问题．(难点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔喻世界古代七奇观 古希腊位伟科学家泰勒斯．天希腊国王阿马西斯说：听说什知道请测量埃金字塔高度吧时条件难题难爬塔顶．知道泰勒斯样测量金字塔高度？
二合作探究
探究点：相似三角形应
类型 利影子长度测量物体高度
图某时刻根2m长竹竿EF影长GE12m时红测棵风吹斜柏树面成30°角树顶端B面影子点DB垂直面落点C距离36m求树AB长．
解析：先利△BDC∽△FGE＝计算出BC＝6m然Rt△ABC中利含30度直角三角形三边关系AB长．
解：图CD＝36m∵△BDC∽△FGE∴＝＝∴BC＝6mRt△ABC中∵∠A＝30°∴AB＝2BC＝12m树长AB12m
方法总结：解答类问题时首先实际问题转化数学问题．利相似三角形应边成例建立相等关系求解．
类型二 利镜子反射测量物体高度
红面方法测量学校教学楼AB高度．图水面点E处放面面镜镜子教学楼距离AE＝20m镜子距离CE＝25m时刚镜子中教学楼顶端B已知眼睛距面高度DC＝16m请帮助红测量出楼AB高度(注：入射角＝反射角)．
解析：根物理知识∠BEA＝∠DEC△BAE∽△DCE根相似三角形性质解答．
解：图∵根光反射定律知∠BEA＝∠DEC∵∠BAE＝∠DCE＝90°∴△BAE∽△DCE∴＝∵CE＝25mDC＝16m∴＝∴AB＝128∴楼AB高度128m
方法总结：解题关键找出相似三角形然根应边成例列出方程．解题时灵活运学学科知识．
类型三 利标杆测量物体高度
图某时刻旗杆AB影子部分面部分建筑物墙面．明测旗杆AB面影长BC96m墙面影长CD2m时刻明测竖立面长1m标杆影长12m请帮助明求出旗杆高度．
解析：根时刻物高影长成正例利相似三角形应边成例解答．
解：图点D作DE∥BC交ABE∴DE＝CB＝96mBE＝CD＝2m∵时刻物高影长成正例∴EA∶ED＝1∶12∴AE＝8m∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m∴学校旗杆高度10m
方法总结：利杆直尺测量物体高度利杆(直尺)高(长)作三角形边构建相似三角形相似三角形应边相等性质求物体高度．
类型四 利相似三角形性质设计方案测量高度
星期天丽学碧沙岗公园游玩1928年冯玉祥军纪念北伐军阵亡士立纪念碑前丽问：纪念碑高呢？请利初中数学知识设计种方案测量纪念碑高度(画出示意图)说明理．
解析：设计相似三角形利相似三角形性质求解．距离纪念碑AB面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDEBE长算出纪念碑AB高．
解：设计方案例子：图距离纪念碑AB面放面镜子E退D处镜子里恰见纪念碑顶A眼距面距离CD测量出CDDEBE长算出纪念碑AB高．
理：测量出CDDEBE长∠CED＝∠AEB∠D＝∠B＝90°易△ABE∽△CDE根＝算出AB高．
方法总结：解题关键根相似三角形性质设计出具体图形实际问题抽象出数学问题求解．
三板书设计
1．利相似三角形测量物体高度
2．利相似三角形测量河宽度
3．设计方案测量物体高度．
通节知识学学生综合运三角形相似判定性质解决问题发展学生应意识加深学生相似三角形理解认识．基达预期教学目标部分学生学会建立数学模型利相似判定性质解决实际问题
234 中位线
1．掌握中位线定义中位线定理(重点)
2．综合运行四边形判定中位线定理解决问题．(难点)
情境导入
图示吴伯伯家块等边三角形空ABC已知点EF分边ABAC中点量EF＝5米想四边形BCFE篱笆围成圈放养鸡求出需篱笆长度？
二合作探究
探究点：三角形中位线
类型 利三角形中位线定理求线段长
图△ABC中DE分ACBC中点AF分∠CAB交DE点FDF＝3AC长( )
A B．3 C．6 D．9
解析：∵DE分ACBC中点∴DE∥AB∴∠2＝∠3∵AF分∠CAB∠1＝∠3∴∠1＝∠2∴AD＝DF＝3∴AC＝2AD＝6选C
方法总结：题考查三角形中位线定理等腰三角形判定性质．解题关键熟记性质熟练应．
类型二 利三角形中位线定理求角
图CD分EAEB中点∠E＝30°∠1＝110°∠2度数( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
解析：∵CD分EAEB中点∴CD三角形EAB中位线∴CD∥AB∴∠2＝∠ECD∵∠1＝110°∠E＝30°∴∠ECD＝80°选A
方法总结：中位线定理牵扯行线利中位线定理中行关系解决角度计算问题．
类型三 运三角形中位线性质进行证明
图△ABC中AB＝5AC＝3点NBC中点AM分∠BACCM⊥AM垂足点M延长CM交AB点D求MN长．
解析：证MN△BCD中位线应根三线合DM＝MC解决问题．
解：∵AM分∠BACCM⊥AM∴AD＝AC＝3DM＝CM∵BN＝CN∴MN△BCD中位线∴MN＝(5－3)＝1
方法总结：已知三角形边中点时注意分析问题中否隐含中点．已知三角形边高边角分线时根三线合知实际告诉中点．
类型四 中位线定理综合应
图E行四边形ABCD中DC边延长线点CE＝DC连接AE分交BCBD点FG连接AC交BDO连接OF判断ABOF位置关系关系证明结．
解析：题先证明△ABF≌△ECF出BF＝CF样出OF△ABC中位线利中位线定理出线段OF线段AB关系．
解：AB＝2OF
证明：∵四边形ABCD行四边形∴AB＝CDOA＝OC∴∠BAF＝∠CEF∠ABF＝∠ECF∵CE＝DC行四边形ABCD中CD＝AB∴AB＝CE∴△ABF△ECF中∴△ABF≌△ECF(ASA)∴BF＝CF∵OA＝OC∴OF△ABC中位线∴AB＝2OFAB∥OF
方法总结：题综合知识点较解答题关键判断出OF△ABC中位线．
三板书设计
1．三角形中位线
连接三角形两边中点线段做三角形中位线．
2．三角形中位线定理
三角形中位线行第三边等第三边半．
节课通实际生活中例子引出三角形中位线理进行验证．学程中体会三角形中位线定理应时机．整课堂学程进行反思够促进理解提高认识水促进数学观点形成发展更进行知识建构实现良性循环
235 位似图形
1解位似边形关概念解位似相似联系区（重点）
2掌握位似图形性质会画位似图形（重点）
3会利位似图形放缩（难点）
情景导入
生活中常片放缩没改变图形形状片真实观察图图中相似边形？果种相似什特征？
二合作探究
探究点：位似边形
图示指出列图中两图形否位似图形？请指出位似中心
解：（1）（2）（4）三图中两图形位似图形位似中心分APP
方法总结：解决类题关键首先判断两图形相似图形然找出应点作出应点直线观察否点两图形相似图形作直线点两图形位似图形判断（1）（2）（4）位似图形（3）位似图形
探究点二：位似边形性质
图示△ABC△A′B′C′关点O位似BO＝3B′O＝6
（1）AC＝5求A′C′长
（2）△ABC面积7求△A′B′C′面积
解：（1）△ABC△A′B′C′位似图形位似OB：OB′＝3：6＝1：2
＝＝A′C′＝10
（2）根题意＝（）2＝
＝S△A′B′C′＝7×4＝28
方法总结：位似边形种特殊相似图形图形意应点位似中心距离等相似利相似三角形性质解决关问题
探究点三：位似边形画法
（1）图甲位似中心点O异侧作出已知四边形ABCD位似图形A′B′C′D′四边形A′B′C′D′四边形ABCD相似2：3
（2）图乙已知五边形ABCDE位似中心点O侧作五边形ABCDE位似图形A′B′C′D′E′五边形A′B′C′D′E′五边形ABCDE相似1：3
（3）图丙已知六边形ABCDEF位似中心点OAB边点O侧作位似图形A′B′C′D′E′F′六边形A′B′C′D′E′F′六边形ABCDEF相似1：2
解：（1）画法：
①分连接OAOBOCOD反延长
②分AOBOCODO延长线截取OA′OB′OC′OD′＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′A′
四边形A′B′C′D′求作四边形
（2）画法：
①分连接OAOBOCODOE
②分AOBOCODOOE截取OA′OB′OC′OD′OE′＝＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′E′E′A′
五边形A′B′C′D′E′求作五边形
（3）画法：
①分连接AOBOCODOEOFO延长
②分AOBOCODOEOFO延长线截取OA′OB′OC′OD′OE′OF′＝＝＝＝＝＝
③次连接A′B′B′C′C′D′D′E′E′F′F′A′
六边形A′B′C′D′E′F′求作六边形
方法总结：（1）画位似图形时注意相似分清楚已知原图新图相似新图原图相似（2）画位似图形关键画出图形中顶点应点画图方法致两种：应点位似中心侧二应点位似中心两侧（3）没指定位似中心位置画图时位似中心取法种画图言边形顶点位似中心时画图简便
三板书设计
位似相似图形延伸深化历位似图形探索程进步发展学生探究交流力培养学生动手操作力体验学乐趣位似图形实际生产生活中着广泛应通现实情境进步发展学生数学角度提出问题分析问题解决问题力培养学生数学应意识体会数学然社会联系
236 图形坐标
1坐标确定位置
1．解面直角坐标系方位表示物体间位置意义(重点)
2．利坐标表示物体间位置(重点)
3．建立适直角坐标系利面直角坐标系解决实际问题．(难点)
情境导入
怪兽吃豆种计算机游戏图示标志表示怪兽先位置．果(12)表示怪兽图中箭头指路线第三位置样方式表示图中怪兽位置？
二合作探究
探究点：建立适面直角坐标系
图某公园景点面图(例尺1∶10000)请建立适面直角坐标系坐标分表示建筑位置．
解析：根利点坐标表示原选广场原点较适广场水距离垂直距离相较．
解：图广场原点正东方x轴正方正北方y轴正方建立面直角坐标系．测量出碰碰车距广场图距离15cm根例尺实际距离150m1m单位长度图中坐标广场(00)靶场(－15075)钓鱼台(－75225)碰碰车(0150)动物馆(75225)．
方法总结：利面直角坐标系绘制区域点分布情况面图程：(1)建立坐标系选择适参点原点确定x轴y轴正方(2)根具体问题确定适例尺坐标轴标出单位长度(3)坐标面描出点确定出点坐标点名称．注意：构建直角坐标系时般选水右x轴正方竖直y轴正方东x轴正方北y轴正方．
探究点二：方距离描述位置
图示明家附简单图 已知OA＝2cmOB＝25cmOP＝4cmCOP中点．回答列问题(O处表示明家)：
(1)图中明家距离相等方？
(2)图中商场学校公园停车场分明家什位置？
解析：首先根图形确定方然应射线确定距离．
解：(1)学校公园
(2)图中商场明家北偏西30°方25cm处学校明家北偏东45°方(东北方)2cm处公园明家南偏东60°方2cm处停车场明家南偏东60°方4cm处．
方法总结：(1)方距离表示物体位置时必须选定统参物时数数相参物方位距离(2)方距离确定物体位置时考虑方前距离序．
三板书设计
利直角坐标系方位描述物体间位置
1．建立适面直角坐标系表示面点位置
2．方距离描述位置．
现实生活中常定位方法呈现学生进步丰富学生数学活动验培养学生观察分析纳概括力．教学程中创设生动活泼直观形象贴生活问题情境方面学生创造学合作交流机会促动参积极探究
2图形变换坐标
1学生掌握面直角坐标系中点图形移称位似变换引起点坐标变化规律(重点难点)
2学生面直角坐标系数形间桥梁感受代数相互转化初步建立空间观念．
情境导入
观察图示坐标系．
试着发现坐标系中图形间联系然作出类似图形．
二合作探究
探究点：面直角坐标系中点移
点(12)左移1单位移2单位应点坐标________．
解析：左移1单位横坐标减1移2单位坐标减2点(12)变(00)．答案(00)．
方法总结：根移前图形坐标关系：①加减(坐标变化)左减右加(横坐标变化)②正加负减x(y)轴正方移横()坐标增加负方移横()坐标减．
探究点二：关x轴y轴称点坐标
点A(2a－3b)点A′(4a＋2)关x轴称求ab
解析：题应根关x轴称两点坐标特点：横坐标相坐标互相反数2a－34相等ba＋2互相反数．
解：点A(2a－3b)点A′(4a＋2)关x轴称2a－3＝4a＋2＝－ba＝b＝－
方法总结：面直角坐标系中关坐标轴称点坐标规律：A(xy)B(mn)关x轴称x＝my＝－nA(xy)B(mn)关y轴称x＝－my＝nA(xy)B(mn)关原点称x＝－my＝－n
探究点三：面直角坐标系中位似
类型 利位似求点坐标
图线段AB两端点坐标分A(66)B(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD端点C坐标( )
A．(33) B．(43)
C．(31) D．(41)
解析：∵线段AB两端点坐标分A(66)B(82)原点O位似中心第象限线段AB缩原线段CD∴端点C横坐标坐标变A点半∴端点C坐标(33)．选A
方法总结：关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(kxky)(－kx－ky)．
类型二 坐标系中确定位似
△ABC三顶点A(36)B(62)C(2－1)原点位似中心位似图形△A′B′C′三顶点分A′(12)B′(2)C′(－)△A′B′C′△ABC位似________．
解析：∵△ABC三顶点A(36)B(62)C(2－1)原点位似中心位似图形△A′B′C′三顶点分A′(12)B′(2)C′(－)∴△A′B′C′△ABC位似1∶3
方法总结：原点位似中心位似图形位似应点应坐标．
类型三 位似变换移旋转轴称综合
图点A坐标(34)点O坐标(00)点B坐标(40)．
(1)△AOBx轴左移1单位△A1O1B1点A1坐标(________)△A1O1B1面积________
(2)△AOB绕原点旋转180°△A2O2B2点A2坐标(________)
(3)△AOBx轴翻折△A3O3B3点A3坐标(________)
(4)O位似中心例尺1∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点A4坐标(________)△A4O4B4面积________．
解析：(1)△AOBx轴左移1单位△A1O1B1点A1坐标(24)△A1O1B1面积×4×4＝8(2)△AOB绕原点旋转180°△A2O2B2点A2坐标(－3－4)(3)△AOBx轴翻折△A3O3B3点A3坐标(3－4)(4)O位似中心例尺1∶2△AOB放△A4O4B4点B4x轴负半轴点A4坐标(－6－8)△A4O4B4面积×8×8＝32答案(1)248(2)－3－4(3)3－4(4)－6－832
方法总结：题考查图形旋转移位似变换三角形面积求法等知识出应点坐标解题关键．
三 板书设计
1 移变换坐标特征：
（1） x轴移：坐标变右加左减
（2） y轴移：横坐标变加减
2 称变换坐标特征：
（1）点(xy)关x轴称点坐标(x－y)
（2）点(xy)关y轴称点坐标
(－xy)．
3位似变换坐标特征：
关原点成位似两图形位似k原图形点(xy)位似变化应点坐标(kxky)(－kx－ky)．
节课学生感受面直角坐标系中位似图形根坐标变化变化教学程中提高学生学积极性心情愉悦思维活跃样真正激发学生学数学兴趣提高课堂学效率
第24章 解直角三角形
241 测 量
1熟练运勾股定理进行测量(重点)
2熟练运相似三角形进行测量(重点)
情境导入
胡夫金字塔埃现存规模金字塔誉世界古代八奇迹古希腊数学家天文学家泰勒斯利相似三角形原理测量金字塔高度
根图示说出测量金字塔原理？
二合作探究
探究点：利勾股定理进行测量
图离水面高度5米岸绳子拉船岸开始时绳子BC长13米05米秒速度收绳．问6秒船岸边移动少米(假设绳子始终直结果保留根号)
解析：开始时AC＝5米BC＝13米求AB值6秒根BCAC长度求AB值然解答．
解：Rt△ABC中BC＝13米AC＝5米AB＝＝12米6秒B′C＝13－05×6＝10米AB′＝＝5(米)船岸边移动距离(12－5)米．
方法总结：题直接考查勾股定理实际生活中运建立合理数学模型已知条件转化直角三角形中求解．
图示次夏令营活动中明坐车营A点出发北偏东60°方走100km达B点然北偏西30°方走100km达目C点求出AC两点间距离．
解析：根走方判断出△ABC直角三角形根勾股定理求出解．
解：∵AD∥BE∴∠ABE＝∠DAB＝60°∵∠CBF＝30°∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°Rt△ABC中AB＝100kmBC＝100km∴AC＝＝＝200(km)∴AC两点间距离200km
方法总结：先确定△ABC直角三角形根边长勾股定理求出AC长．
探究点二：运相似三角形解决高度（长度）测量问题
图示某学身高（AB）166m测面影长（BC）249m果时操场旗杆影长423m（BE）旗杆高度（DE）少米？
解析：首先根已知条件求△ABC∽△DEB然出例式求出结果
解：∵AC∥DB（行光）∴∠ACB＝∠DBE∵∠ABC＝∠DEB＝90°∴△ABC∽△DEB∴＝DE＝＝282m旗杆高度282m
方法总结：时刻点垂直面两物体说影长等高度
图示估算河宽度河岸选定点A河边选定点B点CAB⊥BC然选定点EEC⊥BC确定BCAE交点D测BD＝180mDC＝60mEC＝50m河宽 m
解析：∵∠ABD＝∠DCE＝90°∠ADB＝∠EDC∴△ABD∽△ECD∴＝AB＝∵BD＝180mDC＝60mEC＝50m∴AB＝＝＝150m填150
方法总结：测量象法接宽度测量便采间接方式完成构造相似三角形种行效途径
三板书设计
1．运勾股定理进行测量
2．运相似三角形进行测量
次教学程勾股定理相似三角形知识进行系统全面回顾教学程中仅引导学生认真纳总结进行知识点系统梳理更重发现学生疏忽知识点时效帮助学生解决知识疏漏坚实基础
242 直角三角形性质
1．理解掌握直角三角形性质(重点)
2．利直角三角形性质解决问题．(难点)
情境导入
两全等含30°角直角三角尺拼出等边三角形？说说理发现家交流．
二合作探究
探究点：直角三角形斜边中线性质
图△ABC中AD高EF分ABAC中点．
(1)AB＝10AC＝8求四边形AEDF周长
(2)求证：EF垂直分AD
解析：(1)根直角三角形斜边中线等斜边半DE＝AE＝ABDF＝AF＝AC根四边形周长公式计算解(2)根线段两端点距离相等点线段垂直分线证明．
(1)解：∵AD△ABC高EF分ABAC中点∴DE＝AE＝AB＝×10＝5DF＝AF＝AC＝×8＝4∴四边形AEDF周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18
(2)证明：∵DE＝AEDF＝AF∴EF线段AD垂直分线∴EF垂直分AD
方法总结：已知条件含线段中点直角三角形条件时联想直角三角形斜边中线性质进行求解．
探究点二：直角三角形中30°角直角边等斜边半
等腰三角形底角75°腰长4cm腰高________cm三角形面积________cm2
解析：75°特殊角根三角形角180°知等腰三角形顶角30°题意画出图形∠A＝30°BD⊥ACAB＝4cmBD＝2cmS△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．答案24
方法总结：作出准确图形构造含30°角直角三角形解决题关键．
图某船午11时30分A处观测海岛B北偏东60°方该船时10海里速度东航行C处观测海岛B北偏东30°方航行D处观测海岛B北偏西30°方船达C处时恰海岛B相距20海里．请确定轮船达C处D处时间．
解析：根题意出∠BAC∠BCD∠BDA度数根直角三角形性质求出BCACCD长度．根速度时间路程关系式求出时间．
解：题意∠BCD＝90°－30°＝60°∠BDC＝90°－30°＝60°∴∠BCD＝∠BDC＝60°∴△BCD等边三角形．△ABD中∵∠BAD＝90°－60°＝30°∠BDC＝60°∴∠ABD＝90°△ABD直角三角形∴∠ABC＝30°∵BC＝20海里∴CD＝BD＝20海里．∵BD＝AD∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船速度时10海里轮船A处C处时间＝2(h)A处D处时间＝4(h)．∴轮船达C处时间13时30分达D处时间15时30分．
方法总结：方位角遵循北南左西右东原弄清楚方位角解决类题关键利含30°角直角三角形性质解题．
三板书设计
直角三角形性质：
1．直角三角形斜边中线性质
直角三角形斜边中线等斜边半．
2． 含30°锐角直角三角形性质
直角三角形中30°角直角边等斜边半
教学中应该注意强调两性质直角三角形中果般三角形两边二倍关系斜边直角边间关系两直角边关系教学中注意强调学生常犯错误
243 锐角三角函数
1锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
1．理解正弦余弦正切概念(重点)
2．熟练运锐角三角函数概念进行关计算．(重点)
情境导入
牛庄算新建水站选择水泵时必须知道水站(点A)水面(BC)高度(AB)．斜坡水面成角(∠C)量角器测出水长度(AC)直接量．
二合作探究
探究点：锐角三角函数
类型 正弦函数
图sinA等( )
A．2 B C D
解析：根正弦函数定义sinA＝选C
方法总结：锐角A边a斜边c做∠A正弦记作sinAsinA＝＝
类型二 余弦函数
Rt△ABC中∠C＝90°AB＝13AC＝12cosA＝( )
A B C D
解析：∵Rt△ABC中∠C＝90°AB＝13AC＝12∴cosA＝＝选C
方法总结：直角三角形中锐角余弦等角邻边斜边值．
类型三 正切函数
图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点tanA＝( )
A B
C D
解析：直角△ABC中∵∠ABC＝90°∴tanA＝＝选D
方法总结：直角三角形中锐角正切等边邻边值．
探究点二：求三角函数值
图△ABC中∠C＝90°点DBCAD＝BC＝5cos∠ADC＝求sinB值．
解析：先AD＝BC＝5cos∠ADC＝勾股定理求出ACAB长锐角三角函数定义解答．
解：∵AD＝BC＝5cos∠ADC＝∴CD＝3Rt△ACD中∵AD＝5CD＝3∴AC＝＝＝4Rt△ACB中∵AC＝4BC＝5∴AB＝＝＝∴sinB＝＝＝
方法总结：直角三角形中根三角函数定义分清边角关系结合勾股定理解答类问题关键．
图△ABC中ADBC高tanB＝cos∠DAC
(1)求证：AC＝BD
(2)sinC＝BC＝36求AD长．
解析：(1)根高定义∠ADB＝∠ADC＝90°分利正切余弦定义tanB＝cos∠DAC＝利tanB＝cos∠DAC＝AC＝BD(2)Rt△ACD中根正弦定义sinC＝＝设AD＝12kAC＝13k根勾股定理计算出CD＝5kBD＝AC＝13k利BC＝BD＋CD13k＋5k＝36解k＝2AD＝24
(1)证明：∵ADBC高∴∠ADB＝∠ADC＝90°Rt△ABD中tanB＝Rt△ACD中cos∠DAC＝∵tanB＝cos∠DAC∴＝∴AC＝BD
(2)解：Rt△ACD中sinC＝＝设AD＝12kAC＝13k∴CD＝＝5k∵BD＝AC＝13k∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36解k＝2∴AD＝12×2＝24
三板书设计
锐角三角函数
1．正弦定义
2．余弦定义
3．正切定义
4．求三角函数值
节课教学设计直角三角形线力求体现生活化课堂理念学生历问题情境——形成概念——应拓展——反思提高基程中体验知识间联系学生感受探究乐趣学生学中思思中学．教学程中重视程深化理解通学生动探究体现体位教师通学生参学启发调整激励体现引导作学生体意识合作交流力起着积极作
第2课时 特殊角三角函数值
1．历探索30°45°60°角三角函数值程进步体会三角函数意义(重点)
2．够进行30°45°60°角三角函数值计算(重点)
3．够结合30°45°60°三角函数值解决简单实际问题．(难点)
情境导入
问题1：直角三角形中锐角正弦余弦正切值定义？
问题2：两块三角尺中锐角？少度？设三角尺较短边长1分求出锐角正弦值余弦值正切值．
二合作探究
探究点：特殊角三角函数值
类型 利特殊三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°
(2)
解析：特殊角三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2××－××＝－＝－1
(2)原式＝＝2－3
方法总结： 解决类题目关键熟记特殊角三角函数值．
类型二 已知三角函数值求角取值范围
cosα＝锐角α致范围( )
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
解析：∵cos30°＝cos45°＝cos60°＝＜＜∴cos60°＜cosα＜cos45°∴锐角α范围45°＜α＜60°选C
方法总结：解决类问题熟记特殊角三角函数值三角函数增减性．
类型三 根三角函数值求角度
tan(α＋10°)＝1锐角α度数( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
解析：∵tan(α＋10°)＝1∴tan(α＋10°)＝∵tan30°＝∴α＋10°＝30°∴α＝20°选A
方法总结：熟记特殊角三角函数值解决问题关键．
探究点二：特殊角三角函数值应
类型 利三角形边角关系求线段长
图△ABC中∠ABC＝90°∠A＝30°D边AB点∠BDC＝45°AD＝4求BC长．
解析：题意知△BCD等腰直角三角形BD＝BCRt△ABC中利锐角三角函数定义求出BC长．
解：∵∠B＝90°∠BDC＝45°∴△BCD等腰直角三角形∴BD＝BCRt△ABC中tan∠A＝tan30°＝＝解BC＝2(＋1)．
方法总结：直角三角形中求线段长果特殊角考虑利三角函数定义列出式子求出三角函数值进求出答案．
类型二 判断三角形形状
已知△ABC中∠A∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0试判断△ABC形状．
解析：根非负性性质求出tanAsinB值根特殊角三角函数值求出∠A∠B度数进出结．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0∴tanA＝1sinB＝∴∠A＝45°∠B＝60°∠C＝180°－45°－60°＝75°∴△ABC锐角三角形．
方法总结：数绝值偶次方非负数数式绝值偶次方相加0时中项必须等0
类型三 构造三角函数模型解决问题
求tan30°值构造图示直角三角形进行计算．作Rt△ABC∠C＝90°斜边AB＝2直角边AC＝1BC＝∠ABC＝30°∴tan30°＝＝＝图基础通添加适辅助线探究tan15°tan75°值．
解析：根角分线性质勾股定理首先求出CD长进出tan15°＝tan75°＝求出．
解：作∠B分线交AC点D作DE⊥AB垂足E∵BD分∠ABCCD⊥BCDE⊥AB∴CD＝DE设CD＝xAD＝1－xAE＝2－BE＝2－BC＝2－Rt△ADE中DE2＋AE2＝AD2x2＋(2－)2＝(1－x)2解x＝2－3∴tan15°＝＝2－tan75°＝＝＝2＋
方法总结：解决问题关键添加辅助线构造含15°75°直角三角形根三角函数定义求出15°75°三角函数值．
三板书设计
1．特殊角三角函数值：
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
2应特殊角三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接三角尺引入直击课题时前两节学知识进行整体复效果．讲解特殊角三角函数值时讲解细说前面部分教学成功学生理解
2计算器求锐角三角函数值
1．初步掌握计算器求三角函数值方法(重点)
2．熟练运计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
情境导入
教师讲解：通面节课学知道锐角∠A30°45°60°等特殊角时求特殊角正弦值余弦值正切值果锐角∠A特殊角样三角函数值呢？助计算器求锐角三角函数值．
二合作探究
探究点：计算器求锐角三角函数值锐角
类型 已知角度计算器求函数值
计算器求列式值(精确00001)：
(1)sin47°(2)sin12°30′
(3)cos25°18′(4)sin18°＋cos55°－tan59°
解析：熟练计算器计算器出结果根效数字概念四舍五入法取似数．
解：根题意计算器求出：
(1)sin47°≈07314
(2)sin12°30′≈02164
(3)cos25°18′≈09041
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈
－07817
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
类型二 已知三角函数值计算器求锐角度数
已知列锐角三角函数值计算器求锐角∠A∠B度数(结果精确01°)：
(1)sinA＝07sinB＝001
(2)cosA＝015cosB＝08
(3)tanA＝24tanB＝05
解析：三角函数值求角度数时键第二功键注意键序．
解：(1)sinA＝07∠A≈444°sinB＝001∠B≈06°
(2)cosA＝015∠A≈814°cosB＝08∠B≈369°
(3)tanA＝24∠A≈674°tanB＝05∠B≈266°
方法总结：解决类问题关键熟练计算器计算器时注意键序．
类型三 利计算器验证结
(1)通计算(计算器)较列数提出猜想：
①sin30°________2sin15°cos15°
②sin36°________2sin18°cos18°
③sin45°________2sin225°cos225°
④sin60°________2sin30°cos30°
⑤sin80°________2sin40°cos40°
猜想：已知0°＜α＜45°sin2α________2sinαcosα
(2)图△ABC中AB＝AC＝1∠BAC＝2α请根提示利面积方法验证结．
解析：(1)利计算器分计算①⑤式中左边右边较(2)通计算△ABC 面积验证．
解：(1)通计算知：
①sin30°＝2sin15°cos15°
②sin36°＝2sin18°cos18°
③sin45°＝2sin225°cos225°
④sin60°＝2sin30°cos30°
⑤sin80°＝2sin40°cos40°
sin2α＝2sinαcosα
(2)∵S△ABC＝AB·sin2α·AC＝sin2αS△ABC＝×2ABsinα·ACcosα＝sinα·cosα∴sin2α＝2sinαcosα
方法总结：题运面积法通方法表示三角形面积三角函数关系种方法面学中会常．
类型四 计算器较三角函数值
计算器较：20sin87°________tan87°
解析：20sin87°≈20×09986＝19974tan87°≈19081∵19974>19081∴20sin87°>tan87°
方法总结：利计算器求值时注意计算器键序．
探究点二：计算器求三角函数值解决实际问题
图AB公路需C图中AC＝20km∠CAB＝25°∠CBA＝37°城市规划需AB两间修建条笔直公路．
(1)求改直公路AB长
(2)公路改直原缩短少千米？
解析：(1)作CH⊥ABHRt△ACH中根CH＝AC·sin∠CAB求出CH长AH＝AC·cos∠CAB求出AH长理求出BH长根AB＝AH＋BH求AB长(2)Rt△BCH中BC＝求出BC长AC＋BC－AB出结．
解：(1)作CH⊥ABHRt△ACH中CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×042＝84kmAH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×091＝182kmRt△BCH中BH＝≈＝111km∴AB＝AH＋BH＝182＋111＝293km改直公路AB长293km
(2)Rt△BCH中BC＝＝≈＝14kmAC＋BC－AB＝20＋14－293＝47km
答：公路改直原缩短47km
方法总结：根题意作出辅助线构造出直角三角形解答类问题关键．
三板书设计
1．已知角度计算器求函数值
2．已知三角函数值计算器求锐角度数
3．计算器求三角函数值解决实际问题．
备课时站学生角度思考问题设计教学细节学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折．舍课堂学生课堂投入更情感素丰富课堂语言课堂更加鲜活充满性魅力真正提高课堂教学效率提高成绩
244 解直角三角形
第1课时 解直角三角形简单应
1．理解解直角三角形意义条件根元素间关系选择适关系式求出未知元素(重点)
2．够实际问题转化数学问题建立数学模型运解直角三角形求解通生活中实际问题体会锐角三角函数解题程中作．(难点)
情境导入
世界遗产意利萨斜塔1350年落成时已倾斜．设塔顶中心点B 塔身中心线垂直中心线夹角∠A点B垂直中心线引垂线垂足点CRt△ABC中∠C＝90°BC＝52mAB＝545m求∠A度数．
述Rt△ABC中求未知边角？
二合作探究
探究点：解直角三角形
类型 利解直角三角形求边角
已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A∠B∠C边分abc列条件解直角三角形．
(1)a＝36∠B＝30°求∠A度数边bc长
(2)a＝6b＝6求∠A∠B度数边c长．
解析：(1)已知直角边锐角解直角三角形(2)已知两条直角边解直角三角形．
解：(1)Rt△ABC中∵∠B＝30°a＝36∴∠A＝90°－∠B＝60°∵cosB＝c＝＝＝24∴b＝sinB·c＝×24＝12
(2)Rt△ABC中∵a＝6b＝6∴tanA＝＝∴∠A＝30°∴∠B＝60°∴c＝2a＝12
方法总结：解直角三角形时应求出未知元素解题时选择包含求元素两已知元素关系式求解．
类型二 构造直角三角形解决长度问题
副直角三角板图放置点CFD延长线AB∥CF∠F＝∠ACB＝90°∠E＝30°∠A＝45°AC＝12试求CD长．
解析：点B作BM⊥FD点M求出BMCM长度然△EFD中求出∠EDF＝60°利解直角三角形解答．
解：点B作BM⊥FD点M△ACB中∠ACB＝90°∠A＝45°AC＝12∴BC＝AC＝12∵AB∥CF∴BM＝sin45°BC＝12×＝12CM＝BM＝12△EFD中∠F＝90°∠E＝30°∴∠EDF＝60°∴MD＝＝4∴CD＝CM－MD＝12－4
方法总结：解答类题目关键根题意构造直角三角形然利学三角函数关系进行解答．
类型三 运解直角三角形解决面积问题
图△ABC中已知∠C＝90°sinA＝D边AC点∠BDC＝45°DC＝6求△ABC面积．
解析：首先利正弦定义设BC＝3kAB＝7k利BC＝CD＝3k＝6求k值求AB长然利勾股定理求AC长进步求解．
解：∵∠C＝90°∴Rt△ABC中sinA＝＝设BC＝3kAB＝7k(k＞0)Rt△BCD中∵∠BCD＝90°∴∠BDC＝45°∴∠CBD＝∠BDC＝45°∴BC＝CD＝3k＝6∴k＝2∴AB＝14Rt△ABC中AC＝＝＝4∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12△ABC面积12
方法总结：已知条件中线段利三角函数设出辅助未知数列方程解答．
探究点二：解直角三角形简单应
类型 求河宽度
根网消息益阳市改善市区交通状况计划康富路北端修建通资江北岸新桥．图新桥两端位AB两点张测量AB间河宽垂直新桥AB直线型道路l测数：∠BDA＝761°∠BCA＝682°CD＝82米．求AB长(精确01米)．参考数：sin761°≈097cos761°≈024tan761°≈40sin682°≈093cos682°≈037tan682°≈25
解析：设AD＝xmAC＝(x＋82)mRt△ABC中根三角函数AB＝25(x＋82)mRt△ABD中根三角函数AB＝4x关x方程进步求解．
解：设AD＝xmAC＝(x＋82)mRt△ABC中tan∠BCA＝∴AB＝AC·tan∠BCA＝25(x＋82)．Rt△ABD中tan∠BDA＝∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x∴25(x＋82)＝4x解x＝∴AB＝4x＝4×≈5467m
答：AB长约5467m
方法总结：解题关键构造出直角三角形通测量角度数测量边长度计算出求物体高度长度．
类型二 求达两点高度
图放置水桌面台灯灯臂AB长30cm灯罩BC长20cm底座厚度2cm灯臂底座构成∠BAD＝60°发现光线佳时灯罩BC水线成角30°时灯罩顶端C桌面高度CE少(结果精确01cm参考数：≈1732)
解析：首先点B作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G进求出FC长求出BG长出答案．
解：点B作BF⊥CD点F作BG⊥AD点G∴四边形BFDG矩形∴BG＝FDRt△BCF中∠CBF＝30°∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cmRt△ABG中∵∠BAG＝60°∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈380(cm)．
答：时灯罩顶端C桌面高度CE约380cm
方法总结：实际问题抽象数学问题画出面图形构造出直角三角形转化解直角三角形问题．
三板书设计
1．解直角三角形基类型解法
2．解直角三角形简单应
节课充分发挥学生观动性引导学生通组讨胆发表意见提高学生学数学兴趣．够学生构造实际问题中直角三角形模型通解直角三角形解决实际问题
第2课时 仰角俯角问题
1．学生掌握仰角俯角意义学会正确判断(重点)
2．初步掌握实际问题转化解直角三角形问题力．(难点)
情境导入
实际生活中解直角三角形着广泛应例通常遇视线水线铅垂线构成直角三角形．测量时视线水线成角中视线水线方角做仰角水线方角做俯角．天学仰角俯角关应性问题．
二合作探究
探究点：利仰(俯)角解决实际问题
类型 利仰角求高度
星期天身高均16米红涛公园学知识测算座塔高度．图红站A处测塔顶C仰角α45°涛站B处测塔顶C仰角β30°测出AB两点距离415m假设眼睛离头顶10cm求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高xm利锐角三角函数关系出PM长利＝tan30°求出x值．
解：设塔底面中心O塔高xmMN∥AB塔中轴线相交点P△CPM△CPN直角三角形＝tan45°∵tan45°＝1∴PM＝CP＝x－15Rt△CPN中＝tan30°＝解x＝
答：塔高m
方法总结：解决类问题解角角间关系找已知未知相关联直角三角形．图形中没直角三角形时通作高垂线构造直角三角形．
类型二 利俯角求高度
图两建筑物间旗杆EG高15米A点旗杆顶部E点恰矮建筑物墙角C点俯角α60°A点测D点俯角β30°旗杆底部G点BC中点求矮建筑物高CD
解析：根点GBC中点判断EG△ABC中位线求出ABRt△ABCRt△AFD中利特殊角三角函数值分求出BCDF继求出CD长度．
解：点D作DF⊥AF点F∵点GBC中点EG∥AB∴EG△ABC中位线∴AB＝2EG＝30mRt△ABC中∵∠CAB＝30°∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10mRt△AFD中∵AF＝BC＝10m∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m
答：矮建筑物高20m
方法总结：题考查利俯角求高度解答题关键构造直角三角形利三角函数知识求解相关线段长度．
类型三 利俯角求达两点间距离
图测量河宽度AB测量员高21m建筑物CD顶端D处测河岸B处俯角45°测河岸A处俯角30°(ABC条直线)河宽度AB约少m(精确01m参考数：≈141≈173)
解析：Rt△ACD中根已知条件求出AC值Rt△BCD中根∠EDB＝45°求出BC＝CD＝21m根AB＝AC－BC代值计算．
解：∵Rt△ACD中CD＝21m∠DAC＝30°∴AC＝＝＝21m∵Rt△BCD中∠EDB＝45°∴∠DBC＝45°∴BC＝CD＝21m∴AB＝AC－BC＝21－21≈153(m)．河宽度AB约153m
方法总结：解决类问题解角间关系找已知未知相关联直角三角形实际问题化直角三角形中边角关系问题加解决．
类型四 仰角俯角综合
某数学兴趣组学次数学活动中测量某建筑物AB高建筑物AB相距12m建筑物CDC处观察测建筑物顶部A仰角30°底部B俯角45°求建筑物AB高(精确1m供选数：≈14≈17)．
解析：点C作AB垂线CE垂足E根题意出四边形CDBE正方形BD＝12m知BE＝CE＝12mAE＝CE·tan30°出AE长进出结．
解：点C作AB垂线垂足E∵CD⊥BDAB⊥BD∠ECB＝45°∴四边形CDBE正方形．∵BD＝12m∴BE＝CE＝12m∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)∴AB＝4＋12≈19(m)．
答：建筑物AB高19m
方法总结：题考查解直角三角形应中仰角俯角问题根题意作出辅助线构造出直角三角形解答题关键．
三板书设计
1．仰角俯角概念
2．利仰角俯角求高度
3．利仰角俯角求达两点间距离
4．仰角俯角综合．
备课时站学生角度思考问题设计教学程中细节．课前揣摩学生更参课堂教学程中学生体验思考程体验成功喜悦失败挫折舍课堂学生学生做课堂舞台角．课堂更加鲜活充满性魅力课反思做反馈工作断总结失断进步．样真正提高课堂教学效率
第3课时 坡度问题
1．理解掌握坡度坡定义
2．学会坡度坡解决实际问题．(重点难点)
情境导入
现实生活中测量某量采取方法某斜面截面图示两位学分选取点进行测量．F处进行测量A处进行测量数图示．
否通学知识求该坡面铅直高度？
二合作探究
探究点：坡度坡角关实际问题
辆汽车坡底走坡顶30s车速2ms汽车行驶水距离40m斜坡坡度________．
解析：坡面距离30×2＝60m水距离40m∴铅直高度＝20(m)∴坡度i＝20∶40＝∶2
方法总结：根坡度定义i＝解题时需先求水距离l铅直高度h
图示面种植树木时求株距(相邻两树间水距离)4m果坡度075山坡种树求株距4m相邻两树间坡面距离( )
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
解析：题知水距离l＝4mi＝075∴铅直高度h＝l·i＝4×075＝3(m)∴坡面距离＝5(m)．选A
方法总结：解类题首先根坡度定义求水距离铅直高度根勾股定理求坡面距离．
图示高3米坡度1∶15楼梯表面铺毯．已知级楼梯长度15米毯价格方米8元铺完整楼梯需少元？
解析：楼梯长度已知求毯总面积需求毯总长度题意知毯总长度BCAC坡度定义知＝AC求．
解：∵＝∴AC＝15BC＝15×3＝45(米)．
∴AC＋BC＝45＋3＝75(米)．
∴毯总面积15×75＝1125(方米)．
∴需钱数8×1125＝90(元)．
答：铺完整楼梯需90元．
三板书设计
坡度(坡)问题：
坡面铅直高度h水宽度l坡度(坡)i＝tanα＝坡面水面夹角α坡角．
课时培养学生分析问题解决问题力渗透数形结合数学思想方法．进步感知坡度坡角实际生活密切联系认识知识应实践意义．
251 重复试验中观察确定现象
1．通生活中种事件概率判断纳出必然事件事件机事件特点根特点关事件做出准确判断．
2．知道事件发生性．
情境导入
成语中蕴含着事件类型例瓮中捉鳖拔苗助长守株兔水中捞月描述事件分属什类型事件呢？
二合作探究
探究点：事件分类
类型必然事件识
列事件必然事件( )
A．果|a|＝|b|a＝b
B．分弦直径垂直弦分弦两条弧
C．圆半径3圆外点圆心距离5点引圆切线切线长4
D．三角形角360°
解析：互相反数两数绝值相等绝值相等两数相等A选项错误分弦直径两条直径互相分明显定互相垂直B选项错误直接利勾股定理计算C选项正确三角形角等180°D选项错误选择C
方法总结：定发生必然事件定发生事件发生发生机事件．
透明袋子中装5黑球3白球球质完全相机袋子中摸出4球列事件必然事件( )
A．摸出4球中少白球
B．摸出4球中少球黑球
C．摸出4球中少两黑球
D．摸出4球中少两白球
解析：∵袋子中3白球5黑球∴摸出4球黑球选项A确定事件摸出4球黑球3黑1白2黑2白1黑3白种情况少球黑球∴选项B必然事件摸出4球1黑3白∴选项C确定事件摸出4球黑球1白3黑∴选项D确定事件选B
方法总结：事件类型判断首先判断该事件发生否确定．确定判断必然发生(必然事件)必然发生(事件)确定该事件确定事件．
类型二机事件识
列事件：①意翻书某页页页码奇数②测某天高气温100℃③掷次骰子面数字2④度量四边形角结果360°中机事件________．(填序号)
解析：书页码奇数偶数事件①机事件100℃气温生存测样气温事件②事件属确定事件骰子六面数字分123456事件③机事件四边形角总360°事件④必然事件属确定事件．答案：①③
类型三事件识
列事件中发生( )
A．开电视机中央台正播放新闻
B．班学会选劳动模范
C．空气中光传播速度声音传播速度快
D．天掉馅饼
解析：天掉馅饼事件定会发生事件．选D
类型四判断事件类型
列事件中事件？必然事件？确定事件？
(1)副扑克牌中意抽出张牌花色红桃
(2)年出生367名学生中少两生日天
(3)梦成真
(4)意买张电影票座位号偶数
(5)太阳西边升起
(6)室外温度低－10℃时碗清水放室外会结冰．
解析：(1)副扑克牌中4种花色说抽出张牌花色红桃发生发生(2)年366天367名学生中天出生出生366名学天出生天少出生2名学年出生367名学生中少两生日天定发生(3)梦成真种愿会发生发生(4)电影票座位号奇数偶数意买张电影票座位号偶数发生发生(5)太阳东边升起绝会西边升起太阳西边升起定发生(6)水0℃开始结冰低0℃定会结冰室外温度低－10℃时碗清水放室外会结冰定发生．
解：(5)事件(2)(6)必然事件(1)(3)(4)确定事件．
三板书设计
教学程中结合生活实际身边事件发生情况作出判断分类巩固学概念
252 机事件概率
1概率意义
1．知道机事件发生性．
2．理解掌握概率意义计算．
3．会进行简单概率计算应．
情境导入
箱子中放红黄黑三球三先摸球摸次次摸出球摸出放回摸出黑色球赢游戏否公．
二合作探究
探究点：性
类型性意义理解
气象台预报市明天降雨性80．信息列说法正确( )
A．市明天80区降雨
B．市明天80时间降雨
C．市明天肯定雨
D．市明天降水性较
解析：事件发生性范围0～180应该较市明天降雨性80指市明天降雨性较．选D
方法总结：某事发生性指发生概率．
类型二利面积关系判断性
图示(ABC三区域)图形中机撒豆子豆子落________区域性(填ABC)．
解析：先分算出ABC三部分面积面积豆子落入性．SC＝π×22＝4πSB＝π(42－22)＝12πSA＝π(62－42)＝20π见A面积豆子落入性填A
探究点二：概率
类型概率简单计算
玲次班会中参知识抢答活动现语文题6数学题5综合题9中机抽取1抽中数学题概率( )
A B C D
解析：总20种情况抽中数学题5种＝选择C
方法总结：等性事件概率计算公式：P(A)＝中m总结果数n该事件成立包含结果数．
类型二利面积求概率
童行走图示板意停时终停板阴影部分概率( )
A B C D
解析：观察图知：阴影区域(3块)面积占总面积(9块)概率选A
方法总结：某事件A发生性相关图形面积关时概率计算方法事件A结果组成图形面积结果组成总图形面积P(A)＝概率求法关键找准两点：(1)全部情况总数(2)符合条件情况数目二者值发生概率．
三板书设计
教学程中强调简单概率计算应确定事件总数事件A包含数目．事件A发生概率P(A)范围0≤P(A)≤1
2频率概率
1．进步理解限等事件概率意义．
2．会树状图列表法求出次试验中涉素时重复遗漏求出结果正确计算问题概率．
3．理解试验次数较时试验频率趋稳定规律结合具体情境掌握频率估计概率．
情境导入
养鱼专业户估计承包鱼塘里少条鱼(假设鱼塘里养种鱼)先捕100条做标记然放回塘里段时间带标记鱼完全塘里鱼混合捕100条发现中带标记鱼10条塘里约鱼少条？
二合作探究
探究点：树状图列表法分析机事件等结果
类型树状图求概率
盒子装形状相四球中红球1绿球1白球2明摸出球放回摸出球两次摸白球概率( )
A B C D
解析：树状图列表法列举出情况然概率公式计算求．画树状图(图示)：
∴两次摸白球概率＝选C
类型二列表法求概率
012三数中取数作点P横坐标剩两数中取数作点P坐标点P落抛物线y＝－x2＋x＋2概率________．
解析：列表法列举点P坐标出现结果数点P落抛物线结果数然代入概率计算公式计算．列表法表示：
0
1
2
0
——
(01)
(02)
1
(10)
——
(12)
2
(20)
(21)
——
6种等结果中点P落抛物线(20)(02)(12)三种点P落抛物线概率＝答案
方法总结：列表法求概率时应注意利列表法重漏表示出等结果
探究点二：频率估计概率
类型频率估计概率
掷枚质均匀硬币10次列说法正确( )
A．5次正面
B．必5次正面
C．掷2次必1次正面
D．10次正面
解析：掷枚质均匀硬币1次出现正面反面概率均两次中1次正面1次反面．选项BCD定正确选项A正确选A
方法总结：机事件频率指事件发生次数试验总次数值试验次数时具定稳定性稳定某常数附偏离性．
类型二推算影响频率变化素
六·期间洁妈妈营玩具店进纸箱颜色外相散装塑料球1000洁纸箱里面球搅匀中机摸出球记颜色放回纸箱中搅匀机摸出球记颜色放回纸箱中……次重复述程发现摸红球频率逐渐稳定02估计纸箱红球数约________．
解析：量重复摸球实验摸红球频率逐渐稳定02说明红球约占总数02球总数1000×02＝200答案：200
方法总结：解题关键知道量重复摸球实验某事件发生频率接该事件发生概率．概率频率关系：(1)试验次数时频率稳定概率附(2)频率估计概率．
类型三 频率估计概率实际应
估计鱼塘中鱼条数养鱼者首先鱼塘中捞30条鱼做标记然放鱼塘段时间等标记鱼完全混合鱼群中捞200条鱼发现中带标记鱼5条鱼塘中估计________条鱼．
解析：设鱼塘中估计x条鱼5∶200＝30∶x解：x＝1200答案：1200
方法总结：求出带标记鱼占百分运样估计总体思想．
三 板书设计
1树状图列表法分析机事件等结果
2概率频率关系：(1)试验次数时频率稳定概率附(2)频率估计概率．
教学程中强调频率概率联系区．会频率估计概率解决实际问题
253 列举机会均等结果
1．会树状图列表法次试验中涉素时重复遗漏列举结果正确计算问题概率．
2．进步提高运分类思想解题力掌握关数学技．
情境导入
学生甲学生乙玩种转盘游戏．图两完全相转盘转盘分成面积相等四区域分数字1234表示．固定指针时转动两转盘停止两指针指数字积奇数甲获胜两指针指数字积偶数乙获胜指针指扇形分界线重转次．该游戏中乙获胜概率少？
二合作探究
探究点：树状图列表法求概率
类型摸球问题
透明袋子中装两完全相球面分标12两数字机中摸出球记号码放回机摸出球两次摸出球号码积偶数概率( )
A B C D
解析：先列表列举出结果根概率计算公式计算．列表分析：
1
2
1
(11)
(12)
2
(12)
(22)
列表知两次摸出球号码积4种等情况号码积偶数3种：(12)(12)(2 2)∴P＝选D
类型二转盘问题
两构造完全相(标数字外)转盘AB游戏规定转动两转盘次指数字获胜．现明选择转盘游戏会选择什？
解析：首先根题意画出树状图然树状图求等结果．中AB5种情况AB4种情况利概率公式求答案．
解：选择A转盘．画树状图：
∵9种等结果AB5种情况AB4种情况
∴P(AB)＝P(AB)＝∴选择A转盘．
方法总结：树状图法适合两步两步完成事件．知识点：概率＝求情况数总情况数．
类型三学科间综合题
图灯泡否通电发光概率05合开关时少灯泡发光概率( )
A．025 B．05 C．075 D．095
解析：先列表法表示出结果根概率计算公式计算．列表表示结果：
灯泡1发光
灯泡1发光
灯泡2发光
(发光发光)
(发光发光)
灯泡2发光
(发光发光)
(发光发光)
根表知4种等结果中少灯泡发光结果3种∴P(少灯泡发光)＝选择C
方法总结：求事件A概率首先列举出结果中找出事件A包含结果根概率公式计算．
类型四游戏公性判断
明军两学做游戏游戏规：透明文具袋中装型号完全相3支红笔2支黑笔两先袋中取出支笔(放回)两取笔颜色相明胜否军胜．
(1)请树状图列表法列出摸笔游戏结果
(2)请计算明获胜概率指出游戏规否公公认谁利？
解析：(1)设红笔A1A2 A3 黑笔B1B2 根抽取程放回列表作树状图表示出结果(2)根树状图列表出两取笔颜色相情况求出明军获胜概率较概率判断否公概率越谁利．
解：(1)根题意设红笔A1A2 A3 黑笔B1B2 作树状图：
20种．
(2)树状图出两次抽取笔颜色相8种情况明获胜概率＝军获胜概率显然游戏规公军利．
方法总结：树状图法分求出两获胜概率进行较．相等游戏双方公相等谁胜概率越谁越利．
三板书设计
树状图列表法求概率：
1 树状图：面步完成事件时通常选择树状图求概率
2 列表法：次实验需分两步骤完成般列表法．
教学程中强调生活学中方面均概率知识学概率身边现象开始
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