华师大版七年级下册数学全册教案设计


     华师大版数学七年级下册 全册教案设计 清风染绿叶 第6章 一元一次方程 6.1 从实际问题到方程 1.掌握如何设未知数. 2.掌握如何找等式来列方程. 3.了解尝试法、代入法寻找方程的解. 重点 1.确定所有的已知量和确定“谁”是未知数x. 2.列方程. 难点 找出问题中的相等关系. 一、创设情境,问题引入 在现实生活中,有很多问题都跟数学有关,例如下面的问题: 问题1:某校初一年级有328名师生乘车外出春游,已有2辆校车乘坐了64人,还需租用44座的客车多少辆? 这个问题用数学中的什么方法来解决呢? 二、探索问题,引入新知 1.在小学里,我们学过方程,你还能记得什么样的式子是方程吗? 含有未知数的等式叫方程. 2.讲解导入中的问题: 根据小学所学的列方程,按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数x的方法来解决这个问题. 分析:设需租用客车x辆,则客车可以乘坐44x人,加上2辆校车上的64人,就是328人.列方程为44x+64=328. 解:设还需租用44座的客车x辆,则共可乘坐44x人.根据题意列方程得:44x+64=328. 设问:你们谁会解这个方程?请大家自己试一试. 问题2:张老师发现同学们的年龄大多是13岁,就问同学:“我今年45岁,几年后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 方法一:我们可以按年龄的增长依次去试. 1年后,老师的年龄是46岁,同学的年龄是14岁,不是老师年龄的三分之一; 2年后,老师的年龄是47岁,同学的年龄是15岁,也不是老师年龄的三分之一; 3年后,老师的年龄是48岁,同学的年龄是16岁,恰好是老师年龄的三分之一. 方法二:也可以用列方程的办法来解. 解:设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一,x年后同学的年龄是(13+x)岁,老师年龄是(45+x)岁.根据题意,列出方程得13+x=(45+x). 这个方程不太好解,大家可以用尝试、检验的方法找出它的解,即只要将x=1,2,3,4,…代入方程的左右两边,看哪个数能使左右两边的值相等,这样得到方程的解为 x=3. 结论:使方程左右两边的值相等的未知数的值,就是方程的解. 要检验一个数是否为方程的解,只要把这个数代入方程的左右两边,看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等,那么这个数就是方程的解. 3.由上面的两个问题,你能总结出列方程解决实际问题的步骤吗? 结论:设未知数x;找出相等关系;根据相等关系列方程. 【例】 某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的,结果打了16个包还多40本;第二次他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包,那么这批书共有多少本?(列方程不必求解) 分析:设这批书共有3x本,根据每包书的数目相等,即可得出关于x的方程,解之即可得出结论. 解:设这批书共有3x本,根据题意列方程得:=. 点评:本题考查了方程的应用,根据每包书的数目相等,列出关于x的一元一次方程是解题的关键. 三、巩固练习 1.下列各式中,是方程的是(  ) A.3+5 B.x+1=0 C.4+7=11 D.x+3>0 2.下列方程中,解为x=-3的是(  ) A.x+1=0 B.2x-1=8-x C.-3x=1 D.x+=0 3.下列四个数中,方程x+2=0的解为(  ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.已知甲数比乙数的2倍大1,如果设甲数为x,那么乙数可表示为________;如果设乙数为y,那么甲数可表示为________. 5.一根细铁丝用去后还剩2 m,若设铁丝的原长为x m,可列方程为________________. 6.检验下列各数是不是方程=x-2的解. (1)x=2; (2)x=-1. 7.小明今年12岁,他爸爸今年36岁,几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍?(列方程并估计问题的解) 四、小结与作业 小结 这节课主要讲了下面两个问题: 1.复习了用列方程的方法来解应用题; 2.检验一个数是否为方程的解的方法. 作业 1.教材第4页“习题6.1”中第1,3题. 2.完成练习册中本课时练习. 现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变,本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间,让学生能积极地动手、动口、动脑,使学生在学知识的同时形成方法.整个教学过程突出了三个注重: ①注重学生参与知识的形成过程,体验应用数学知识解决简单问题的乐趣. ②注重师生间、同学间的互动协作、共同提高.③注重知能统一,让学生在获取知识的同时,掌握方法,灵活应用. 6.2 解一元一次方程 6.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第1课时 等式的性质 1.借助天平的操作活动,发现并理解等式的性质. 2.应用等式的性质进行等式的变换. 3.经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动,发展学生的数学思维能力. 重点 等式的性质和运用. 难点 引导学生发现并概括出等式的性质. 一、创设情境,问题引入 同学们,你们还记得“曹冲称象”的故事吗?请同学说说这个故事. 小时候的曹冲是多么地聪明啊!随着社会的进步,科学水平的发达,我们有越来越多的方法测量物体的重量. 最常见的方法是用天平测量一个物体的质量. 我们来做这样一个实验,测一个物体的质量(设它的质量为x).首先把这个物体放在天平的左盘内,然后在右盘内放上砝码,并使天平处于平衡状态,此时两边的质量相等,那么砝码的质量就是所要称的物体的质量. 二、探索问题,引入新知 请同学来做这样一个实验:如下图,天平处于平衡状态,它表示左右两个盘内物体的质量a,b是相等的. 得到:a=b. 1.若在平衡天平两边的盘内都添上(或都拿去)质量相等的物体,则天平仍然平衡. 得到:a+c=b+c  a-c=b-c 2.若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大(或缩小)相同的倍数,则天平仍然平衡. 得到:ac=bc(c≠0)  =(c≠0) 观察上面的实验操作过程,回答下列问题: (1)从这个变形过程,你发现了什么一般规律? (2)这几个等式两边分别进行了什么变化?等式有何变化? (3)通过上面的操作活动,你能说一说等式有什么性质吗? 结论:等式的基本性质: 性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,等式仍然成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c. 性质2:等式两边都乘或除以同一个数(除数不为0),等式仍然成立.如果a=b,那么ac=bc,=(c≠0). 【例1】 用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪一条性质,以及怎样变形的: (1)如果2x+7=10,那么2x=10-________________________________________; (2)如果=2,那么a=________________________________________; (3)如果2a=1.5,那么6a=________________________________________; (4)如果-5x=5y,那么x=________________________________________. 分析:根据等式的基本性质进行填空. 解:(1)根据等式的性质1,若2x+7=10,则2x=10-7(等式的两边同时减去7,等式仍成立);故填:7(等式的两边同时减去7,等式仍成立); (2)根据等式性质2,若=2,则a=8(等式的两边同时乘以4,等式仍成立);故填:8(等式的两边同时乘以4,等式仍成立); (3)根据等式性质2,若2a=1.5,则6a=4.5(等式的两边同时乘以3,等式仍成立);故填:4.5(等式的两边同时乘以3,等式仍成立); (4)根据等式性质2,若-5x=5y,则x=-y(等式的两边同时除以-5,等式仍成立);故填:-y(等式的两边同时除以-5,等式仍成立). 点评:等式性质:1.等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式,等式仍成立;2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或整式,等式仍成立. 三、巩固练习 1.下列说法正确的是(  ) A.等式两边都加上一个数或一个整式,所得结果仍是等式 B.等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式 C.等式两边都除以同一个数,所得结果仍是等式 D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式 2.对于数x,y,c,下列结论正确的是(  ) A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则= D.若=,则2x=3y 3.在方程的两边都加上4,可得方程x+4=5,那么原方程是________. 4.在方程x-6=-2的两边都加上________,可得x=________. 5.方程5+x=-2的两边都减5得x=______. 6.如果-7x=6,那么x=________. 7.只列方程,不求解. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少100套,如果每天平均生产32套服装,就可以超过订货任务20套,问原计划几天完成? 四、小结与作业 小结 通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化,在练习中,要求学生说出计算的依据,帮助学生巩固等式性质的同时,也提升了说理能力. 作业 1.教材第5页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课教学中,充分利用原有的知识,探索、验证,从而获得新知,给每个学生提供思考、表现、创造的机会,使他成为知识的发现者、创造者,培养学生自我探究和实践能力.通过两次实践活动,学生亲自参与了等式的性质发现的过程,真正做到“知其然,知其所以然”,而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高. 第2课时 方程的简单变形 1.理解并掌握方程的两个变形规则; 2.使学生了解移项法则,即移项后变号,并且能熟练运用移项法则解方程; 3.运用方程的两个变形规则解简单的方程. 重点 运用方程的两个变形规则解简单的方程. 难点 运用方程的两个变形规则解简单的方程. 一、创设情境、复习引入 1.等式有哪些性质? 2.在4x-2=1+2x两边都减去________,得2x-2=1,两边再同时加上________,得2x=3,变形依据是________. 3.在x-1=2中两边乘以________,得x-4=8,两边再同时加上4,得x=12,变形依据分别是________. 二、探索问题、引入新知 1.方程是不是等式? 2.你能根据等式的性质类比出方程的变形依据吗? 结论:方程的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,方程的解不变.方程两边都乘以(或都除以)同一个不为零的数,方程的解不变. 3.你能根据这些规则,对方程进行适当的变形吗? 【例1】 解下列方程: (1)x-5=7;     (2)4x=3x-4. 分析:(1)利用方程的变形规律,在方程x-5=7的两边同时加上5,即x-5+5=7+5,可求得方程的解. (2)利用方程的变形规律,在方程4x=3x-4的两边同时减去3x,即4x-3x=3x-3x-4,可求得方程的解. 像上面,将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边的变形叫做移项. 点评:(1)上面两小题方程变形中,均把含未知数x的项,移到方程的左边,而把常数项移到了方程的右边. (2)移项需变号. 【例2】 解下列方程: (1)-5x=2;     (2)x=; 分析:(1)利用方程的变形规律,在方程-5x=2的两边同除以-5,即-5x÷(-5)=2÷(-5)(或=,也就是x=) 可求得方程的解. (2)利用方程的变形规律,在方程x=的两边同除以或同乘以,即x÷=÷(或x×=×),可求得方程的解. 解: (1)方程两边都除以-5,得x=-. (2)①方程两边都除以,得x=÷=×,即x=.②方程两边同乘以,得x=×=,即x=. 结论:(1)上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1”.(2)上面两个解方程的过程,都是对方程进行适当的变形,得到x=a的形式.根据上面的例题,你能总结出解一元一次方程的一般步骤吗? 点评:解方程的一般步骤是:(1)移项;(2)合并同类项;(3)系数化为1. 三、巩固练习 1.下面是方程x+3=8的三种解法,请指出对与错,并说明为什么? (1)x+3=8=x=8-3=5; (2)x+3=8,移项得x=8+3,所以x=11; (3)x+3=8,移项得x=8-3,所以x=5. 2.下列方程的变形是否正确?为什么? (1)由3+x=5,得x=5+3. (2)由7x=-4,得x=-. (3)由y=0,得y=2. (4)由3=x-2,得x=-2-3. 3.解下列方程. (1)4x-3=2x-2; (2)1.3x+1.2-2x=1.2-2.7x; (3)3y-2=y+1+6y. 4.方程 2x+1=3和方程2x-a=0 的解相同,求a的值. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第9页“习题6.2.1”中第1 、2 、3题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课是在等式基本性质的基础上总结出方程的变形规则,再根据方程的变形规则,通过移项、系数化为1来解简单的方程.学生掌握的较好. 6.2.2 解一元一次方程                第1课时 一元一次方程的解法(1) 1.一元一次方程的定义. 2.了解如何去括号解方程. 3.了解去分母解方程的方法. 重点 1.一元一次方程的定义; 2.解一元一次方程的步骤. 难点 灵活使用变形解方程. 一、创设情境、复习引入 上两堂课讨论了一些方程的解法,那么那些方程究竟是什么类型的方程呢?先看下面几个方程:每一行的方程各有什么特征?(主要从方程中所含未知数的个数和次数两方面分析) 4+x=7;3x+5=7-2x;y-=+1; x+y=10;x+y+z=6;x2-2x-3=0; x3-1=0. 二、探索问题、引入新知 1.比较一下,第一行的方程(即前3个方程)与其余方程有什么区别?(学生答) 可以看出,前一行方程的特点是:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的次数都是一次的.“元”是指未知数的个数,“次”是指方程中含有未知数的项的最高次数,根据这一命名方法,上面各方程是什么方程呢?(学生答) 结论:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程. 2.上两堂课我们探讨的方程都是一元一次方程,并且得出了解一元一次方程的一些步骤.下面我们继续通过解一元一次方程来探究方程中含有括号的一元一次方程的解法. 【例1】 解方程:3(x-2)+1=x-(2x-1). 分析:方程中有括号,先去括号,转化成上节课所讲方程的特点,然后再解方程. 解:去括号3x-6+1=x-2x+1,合并同类项 3x-5=-x+1,移项 3x+x=1+5,合并同类项4x=6,系数化为1,x=1.5. 【例2】 解方程:-=1. 分析:只要把分母去掉,就可将方程化为上节课的类型.和-的分母为2和3,最小公倍数是6,方程两边都乘以6,则可去分母. 解:去分母3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号3x-9-4x-2=6,合并同类项-x-11=6,移项-x=17,系数化为1,x=-17. 回顾上面的解题过程,总结一下:解一元一次方程通常有哪些步骤? 结论:解一元一次方程通常的一般步骤为:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1. 三、巩固练习 1.下列方程为一元一次方程的是(  ) A.y+3=0 B.x+2y=3 C.x2=2x D.+y=2 2.若代数式x+2的值为1,则x等于________. 3.解下列一元一次方程. (1)2-3x=6-5x; (2)2(x-2)-3(1-2x)=0; (3)(a-1)-2-a=2; (4)-=1. 3.y取何值时,2(3y+4)的值比5(2y-7)的值大3? 4.当x为何值时,代数式与x-1互为相反数? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第11页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 从学生的作业中反馈出:对去分母的第一步还存在较大的问题,是不是说明过程的叙述不太清楚,部分学生模棱两可,自己做的时候就会暴露出不懂的,这也提醒我今后的教学中在关键的知识点上要下“功夫”,切不可轻易的解决问题(想当然).备课时应该多多思考学生的具体情况,然后再修改初备的教案,尽量完善,尽量完美. 第2课时 一元一次方程的解法(2) 1.掌握分母中含有小数的一元一次方程的解法,灵活运用解方程的步骤解方程. 2.通过练习使学生灵活的解一元一次方程. 重点 使学生灵活的解一元一次方程. 难点 使学生灵活的解一元一次方程. 一、创设情境、复习引入 通过前面的学习,得出了解一元一次方程的一般步骤,任何一个一元一次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤转化成x=a的形式.因此当一个方程中的分母含有小数时,应首先考虑化去分母中的小数,然后再求解这个方程. 二、探索问题,引入新知 【例1】 解方程: --=1 分析:此方程的分母中含有小数,通常将分母中的小数化为整数,然后再按解方程的一般步骤求解. 解:--=1 利用分数的基本性质,将方程化为: --=1 去分母,得6(9x+2)-14(3+2x)-21(3x+14)=42,去括号,得54x+12-42-28x-63x-294=42,移项,得54x-28x-63x=42-12+42+294,合并同类项,得-37x=366,系数化为1,得x=-. 点评:解此方程时一定要注意区别:将分母中的小数化为整数根据的是分数的基本性质,分数的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变,所以等号右边的1不变.去分母是方程的两边都乘以各分母的最小公倍数42,所以等号右边的1也要乘以42,才能保证所得结果仍成立. 【例2】 解下列方程: (1)3(2x-1)+4=1-(2x-1); (2)++=1. 分析:我们已经学习了解方程的一般步骤,具体解题时,要观察题目的结构特征,灵活应用步骤. 第(1)小题中可以把(2x-1)看成一个整体,先求出(2x-1)的值,再求x的值; 第(2)小题,应注意到分子都是4x+3,且++=1,所以如果把4x+3看成一个整体,则无需去分母. 解:(1)3(2x-1)+4=1-(2x-1) , 3(2x-1)+(2x-1)=1-4, 4(2x-1)=-3, 2x-1=-, 2x=, x= (2)++=1, (++)(4x+3)=1, 4x+3=1, 4x=-2, x=- 点评:解方程时,要注意观察分析题目的结构,根据具体情况合理安排解题的步骤,注意简化运算,这样可以提高解题速度,培养观察能力和决策能力. 三、巩固练习 1.解方程 (1)5x+3=-7x+9; (2)5(x-1)-2(3x-1)=4x-1; (3)=; (4)-=1+; (5)-=0.75. 2.m为何值时,代数式2m-的值与代数式的值的和等于5? 3.如下是某同学解方程的过程,请你仔细阅读,然后回答问题. 解:-1=2+ -1×4=2+×4 ① 2x+2-4=8+2-x ② 2x+x=8+2+2+4 ③ 3x=16 ④ x= ⑤ (1)该同学有哪几步出现错误? (2)请你解题中的方程. 4.马虎同学在解方程-m=时,不小心把等式左边m前面的“-”当做“+”进行求解,得到的结果为x=1,求代数式m2-2m+1的值. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第14页“习题6.2.2”中第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 这几堂课我们都在探讨一元一次方程的解法,具体解题时要仔细审题,根据方程的结构特征,灵活选择解法,以简化解题步骤,提高解题速度.对于利用方程的意义解决的有关数学题,仔细领会题目中的信息,应把它转化为方程来求解. 第3课时 一元一次方程的实际应用                     1.使学生掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤;初步了解用列方程解实际问题(代数方法)比用算术方法解的优越性. 2.通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系,并根据等量关系列出方程. 重点 掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤. 难点 通过分析找出实际问题中已知量和未知量之间的等量关系,并根据等量关系列出方程. 一、创设情境、复习引入 在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否用一元一次方程来解决,若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较它有什么优越性? 某数的3倍减2等于它与4的和,求某数.(用算术方法解由学生回答) 解:(4+2)÷(3-1)=3 答:某数为3. 如果设某数为x,根据题意,其数学表达式为3x-2=x+4, 此式恰是关于x的一元一次方程.解之得x=3. 上述两种解法,很明显算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一. 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等的关系.对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系,然后再将这个相等的关系表示成方程. 下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤. 二、探索问题,引入新知 【例1】 如图,天平的两个盘内分别盛有51 g,45 g盐,问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内,才能使两者所盛盐的质量相等? 分析:设应从盘A内拿出盐x g,可列出下表. 盘A 盘B 原有盐(g) 51 45 现有盐(g) (51-x) (45+x)   等量关系:盘A中现有的盐=盘B中现有的盐. 解:设应从盘A内拿出盐x g,放到盘B内,则根据题意,得51-x=45+x, 解这个方程,得x=3. 经检验,符合题意. 答:应从盘A内拿出盐3 g放到盘B内. 【例2】 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖.女同学每人搬6块,男同学每人搬8块,每人各搬4次,总共搬了1800块.问有多少名男同学? 分析:设男同学有x人,可列出下表.(完成下表) 男同学 女同学 总数 参加人数(名) x 65 每人搬砖数(块) 6×4 共搬砖数(块) 1800   解:设男同学有x人,根据题意,得32x+24(65-x)=1800, 解这个方程得x=30. 经检验,符合题意. 答:这些团员中有30名男同学. 3.根据上面两道例题的解答过程,你能总结出用一元一次方程解实际问题的过程吗? 结论:用一元一次方程解答实际问题,关键在于抓住问题中有关数量的相等关系,列出方程.求得方程的解后,经过检验,就可得到实际问题的解答. 这一过程也可以简单地表述为: 问题方程解答 其中分析和抽象的过程通常包括: (1)弄清题意和其中的数量关系,用字母表示适当的未知数; (2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系; (3)对这个等量关系中涉及的量,列出所需的表达式,根据等量关系,得到方程.在设未知数和解答时,应注意量的单位要统一. 三、巩固练习 1.某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是(  ) A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x) C.2×16x=22(27-x) D.2×22x=16(27-x) 2.一球鞋厂,现打折促销卖出330双球鞋,比上个月多卖10%,设上个月卖出x双,列出方程(  ) A.10%x=330 B.(1-10%)x=330 C.(1-10%)2x=330 D.(1+10%)x=330 3.一台空调标价2000元,若按6折销售仍可获利20%,则这台空调的进价是________元. 4.某种商品每件的进价为80元,标价为120元,后来由于该商品积压,将此商品打七折销售,则该商品每件销售利润为________元. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结,最后教师作以补充. 作业 1.教材第14页“习题6.2.2”中第4,5 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课我始终把分析题意、寻找数量关系作为重点来进行教学,不断地对学生加以引导、启发,努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.但学生在学习的过程中,却不能很好地掌握这一要领,经常会出现一些意想不到的错误.如,数量之间的相等关系找得不清楚;列方程忽视了解设的步骤等.在教学中我始终把分析题意与寻找数量关系作为重点来进行教学,不断地对学生加以引导、启发,努力使学生理解、掌握解题的基本思路和方法.针对学生在学习过程中不重视分析等量关系的现象,在教学过程中我要求学生仔细审题,认真阅读例题的内容提要,弄清题意,找出能够表示应用题全部含义的相等关系.在课堂练习的安排上适当让学生通过模仿例题的思想方法,加强学生解应用题的能力,通过一元一次方程应用题的教学,学生能够比较正确的理解和掌握解应用题的方法,初步养成正确思考问题的良好习惯. 6.3 实践与探索 第1课时 体积和面积问题 1.使学生能够找出简单应用题中的已知量、未知量和相等关系,然后列出一元一次方程来解简单应用题,并会根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理. 2.能够利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题. 重点 利用一元一次方程解决图形面积、体积等相关问题. 难点 找问题中的等量关系. 一、创设情境、复习引入 我们学过一些图形的相关公式,你能回忆一下,有哪些公式? 回忆一些图形的有关公式,为本节课学习用一元一次方程解决图形相关问题,找等量关系起到帮助作用. 二、探索问题,引入新知 问题:用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形: (1)如果长方形的宽是长的,求这个长方形的长和宽; (2)如果长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积; (3)比较(1),(2)所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗? 解:(1)设长方形的长为x厘米,则宽为x厘米.根据题意,得 2(x+x)=60,解这个方程, 得x=18,所以长方形的长为18厘米,宽为12厘米. (2)设长方形的长为x厘米,则宽为(x-4)厘米,根据题意,得2(x+x-4)=60,解这个方程, 得x=17,所以S=13×17=221(平方厘米). (3)在(1)的情况下S=12×18=216(平方厘米);在(2)的情况下S=13×17=221(平方厘米).还能围出面积更大的长方形,当围出的长方形的长宽相等时,即为正方形,其面积最大,此时其边长为15厘米,面积为225平方厘米. 讨论:在第(2)小题中,能不能直接设面积为x平方厘米?如不能,怎么办? 如果直接设长方形的面积为x平方厘米,则如何才能找出相等关系列出方程呢? 诱导学生积极探索:不能直接设面积为未知数,则需要设谁为未知数呢?那么设未知数的原则又是什么呢? 结论:在周长一定的情况下,长方形的面积在长和宽相等的情况下最大;如果可以围成任何图形,则圆的面积最大. 【例】 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,π≈3.14). 分析:根据水的体积不变可得长方体铁盒和圆柱水桶的体积相等,根据长方体和圆柱的体积公式即可列出关于水桶高的方程,求解即可. 解:设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得π·()2x=300×300×80,解得:x≈229.3. 答:圆柱形水桶的高约为229.3毫米. 点评:解题的关键在于记熟圆柱和长方体的体积公式. 三、巩固练习 1.已知一个长方形的周长为60 cm. (1)若它的长比宽多6 cm,这个长方形的宽是多少?面积是多少? (2)若它的长与宽的比是2∶1,这个长方形的长是多少?面积是多少? 2.药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示.根据图中数据,如果长方体盒子的长比宽多4 cm,求这种药品包装盒的体积. 3.将棱长为6 cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12 cm2,问量筒中水面升高了多少cm? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第16页“练习”; 2.完成练习册中本课时练习. 现实生活中,蕴含着大量的数学信息,数学在现实生活中有着广泛的应用.解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程,解方程往往并不困难,难的是如何列出方程,列方程最关键的是如何挖掘问题中的相等关系.等积类应用题的基本关系式是:变形前的体积=变形后的体积.一般利用几何变形前后的体积相等的等量关系来列出方程. 第2课时 利润和储蓄问题 1.掌握商品利润等有关知识,会用方程解决实际问题. 2.通过分析商品利润等有关知识,经历运用方程解决实际问题的过程,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型. 重点 探索这些实际问题中的等量关系,由此等量关系列出方程. 难点 找出能表示整个题意的等量关系. 一、创设情境,问题引入 思考下面问题,小组讨论 问题1:新学年开始,某校三个年级为地震灾区捐款,经统计,七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的,八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数,已知九年级捐款1946元,求其他两个年级的捐款数. 问题2:爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为4.00%).3年后能取5600元,他开始存入了多少元? 二、探索问题,引入新知 问题1分析:七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的,八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数,七年级和八年级的捐款数都与全校捐款总数有关,如果设全校捐款总数,那么三个年级的捐款数就都知道了,这样就可以列出方程. 设全校捐款总数为x,则七年级的捐款数为x,八年级捐款数为x,根据题意,可列方程得x+x+1964=x,解得 x=7365, 所以,七年级捐款数为:×7365=2946(元) 八年级捐款数为:×7365=2455(元) 还有没有其它的设未知数的方法?比较一下,哪种设未知数的方法比较容易列出方程?说说你的道理. 问题2分析:5600元是什么量?要求的是什么量?相等的关系是什么? 等量关系:本息和=本金+利息=本金+本金×年利率×期数 解:设他开始存入x元,根据题意,可列方程x(1+4.00%×3)=5600,解得x=5000, 所以他开始存入5000元. 你还知道储蓄问题中有哪些计算公式? 利息的计算方法:利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×(1+利率×期数) 【例1】 某校九年级社会实践小组去商店调查商品销售情况,了解到该商店以每条80元的价格购进了某品牌牛仔裤50条,并以每条120元的价格销售了40条.商店准备采取促销措施,将剩下的牛仔裤降价销售.请你帮商店计算一下,每条牛仔裤降价多少元时,销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标? 分析:设每条牛仔裤降价x元,根据销售总价=成本×(1+45%),即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 解:设每条牛仔裤降价x元,根据题意得:120×40+(120-x)×10=80×50×(1+45%),解得x=20. 答:每条牛仔裤降价20元时,销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标. 点评:利润问题中的等量关系式:商品利润=商品售价-商品进价,商品售价=商品标价×折扣数,×100%=商品利润率,商品售价=商品进价×(1+利润率) 【例2】 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万,每年需要付利息5万元.甲种贷款利率为12%,乙种贷款年利率为14%,该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少元.(列方程解答) 分析:设该厂甲种贷款的数额为x万元,则乙种贷款的数额为(40-x)万元,根据等量关系:每年需要付利息5万元,列方程求解. 解:设该厂甲种贷款的数额为x万元,则乙种贷款的数额为(40-x)万元,依题意有12%x+14%(40-x)=5,解得x=30,40-x=40-30=10. 答:该厂甲种贷款的数额为30万元,乙种贷款的数额为10万元. 点评:解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组求解. 三、巩固练习 1.学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元.店方表示:如果多购可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本. 2.某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售,恰逢“春节”来临,为了促销,他将售价提高了50元再标价,打出了“大酬宾,八折优惠”的牌子,结果每套服装的利润是进价的,该老板到底给顾客优惠了吗?说出你的理由. 3.为了准备小敏6年后上大学的学费5000元,她的父母现在就参加了教育储蓄.3年期的年利率为2.7%,6年期的年利率为2.88%,下面有两种储蓄方式: (1)直接存一个6年期; (2)先存一个3年期的,3年后将本息和自动转存一个3年期. 你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第18页“习题6.3.1”中第3题. 2.完成练习册中本课时练习. 数学源于生活、植根于生活.数学教学就是要从学生的生活经验出发,激发学生学习数学的兴趣,让学生深刻体会到数学是解决生活问题的钥匙.本节课就以实际生活问题为主线,使学生亲身经历将实际问题数学化的过程,充分体现学生的主体地位.经过本节课的教学,了解到学生对利润问题掌握的不够好,公式之间不能灵活的转换,这方面有待加强练习. 第3课时 行程和工程问题 1.使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律. 2.通过对“行程问题、工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力. 重点 用一元一次方程解决行程问题、工程问题. 难点 如何找行程问题中的等量关系. 一、创设情境,问题引入 1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系?相遇问题中含有怎样的相等关系?追及问题中含有怎样的相等关系呢? 2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系? 二、探索问题,引入新知 【例1】 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地,A、B两地间的路程是多少? 分析:设A,B两地间的路程为x km,根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间,根据两车时间差为1小时即可列出方程,求出x的值. 解:设A,B两地间的路程为x km,根据题意得-=1,解得x=420. 答:A,B两地间的路程为420 km. 点评:解答本题的关键是根据两车所用时间之差为1小时列出方程. 【例2】 一队学生去校外进行军事野营训练.他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟的时候,学校要将一个紧急通知传给队长.通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去.通讯员用多少时间可以追上学生队伍? 分析:(1)细审题意:学生队伍出发18分钟后,通讯员才开始出发,并且与学生队伍同向而行.通讯员追上队伍时,通讯员所走的距离和学生队伍所走的距离相等,但是在同一时间里(从通讯员出发到追上队伍),他们所走的路程是不同的,通讯员比学生队伍多走了5×千米,设通讯员用x小时可以追上学生队伍. (2)找等量关系:追上学生队伍时,通讯员走的路程=学生队伍走的路程. 解:设通讯员用x小时可以追上学生队伍,根据题意,得14x=5×+5x. 解这个方程,得x=(小时)=10(分钟). 答:通讯员用10分钟可以追上学生队伍. 结论:1.行程问题中基本数量关系是:路程=速度×时间;变形可得到:速度=路程÷时间,时间=路程÷速度. 2.常见题型是相遇问题、追及问题,不管哪个题型都有以下的相等关系:相遇:相遇时间×速度和=路程和;追及:追及时间×速度差=被追及距离. 【例3】 将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作? 分析:30分=小时,可设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作,等量关系为:甲小时的工作量+甲乙合作x小时的工作量=1,把相关数值代入求解即可. 解:设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意,得×+(+)x=1,解这个方程,得x=,小时=2小时12分,答:甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作. 点评:用一元一次方程解决工程问题,得到工作量1的等量关系是解决本题的关键. 结论:工程问题中的三个量,根据工作量=工作效率×工作时间,已知其中两个量,就可以表示第三个量.两人合作的工作效率=每个人的工作效率的和. 三、巩固练习 1.甲、乙两人登一座山,甲每分钟登高10米,并且先出发30分钟,乙每分钟登高15米,两人同时登上山顶.甲用多少时间登山?这座山有多高? 2.一艘船由A地开往B地,顺水航行需5小时,逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静水中每小时走12千米,求水流速度. 3.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作? 四、小结与作业 小结 本节课你学习了哪些知识,掌握了哪些方法?请相互交流. 作业 1.教材第20页“习题6.3.2”中第3,4 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课的教学难点是行程问题,而行程问题又分几种类型,如:相遇、追及、同向、逆向、水流、环行问题等.环行问题的基本特征是路径呈环状或为环线的一部分.事实上,这类问题也有“相遇”与“追及”之分: (1)若同地出发,反向而行,则每次相遇,两者的行程之和等于环形的周长. (2)若同地出发,同向而行,则每次追及,两者的行程之差等于环行道的周长,或表示为快者的行程=慢者的行程+环形周长. 此外,若是同时出发,则相遇(或追及)时,两者行走的时间相等.在水流问题中:船的顺水速度=船的静水速度+水流速度,船的逆水速度=船的静水速度-水流速度. 第7章 一次方程组 7.1 二元一次方程组和它的解 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义. 2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 3.能根据问题情境列二元一次方程组. 重点 二元一次方程组和它的解的概念. 难点 二元一次方程组的解的概念. 一、创设情境,问题引入 暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢? 二、探索问题,引入新知 1.能否用我们已经学过的知识来解决这个问题? 可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程:3x+(9-x-2)=17. 解这个方程可得x=5.所以勇士队胜了5场, 平了2场. 2.由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数,而这其中有两个未知数,那么能不能同时设出这两个未知数呢? 师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场.在下表的空格中填入数字或式子. 胜 平 合计 场数 x y   根据填表的结果可知: x+y=7   ① 3x+y=17 ② 观察这两个式子,和我们以前所学的一元一次方程有什么不同?它们有什么共同点? 引导学生观察方程①,②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1. 结论: 含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程. 把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组. 3.什么是方程的解? 答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 由算术法我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即x=5,y=2.x=5与y=2既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说x=5与y=2是二元一次方程组的解, 并记作. 结论: 一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解. 注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取x=4, y=3时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解. (2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把x=5与y=2合起来, 才是方程组的解. 【例1】 某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,购买了黑白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出售,所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表: 批发价(元) 零售价(元) 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出,共获利1860元,求黑白两种文化衫各多少件?(只要求列出二元一次方程组) 分析:设黑色文化衫x件,白色文化衫y件,依据黑白两种颜色的文化衫共140件,文化衫全部售出共获利1860元,列二元一次方程组. 解:设黑色文化衫x件,白色文化衫y件,依题意得 点评:当问题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样设元,设几个未知数,就要列几个方程. 【例2】 某校现有校舍20000 m2, 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30%,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2, 请你根据题意列一个方程组. 分析:由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程y=4x.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程y-x=20000×30%. 解:设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2,根据题意列出方程组:                 三、巩固练习 1.下列方程组中,是二元一次方程组的是(  ) A. B. C. D. 2.解为的方程组是(  ) A. B. C. D. 3.关于m,n的两个方程2m-n=3与3m+2n=1的公共解是(  ) A. B. C. D. 4.由x+2y=4,得到用y表示x的式子为x=________;得到用x表示y的式子为y=________. 5.若是方程组的解,则m-n=________. 6.已知是一个二元一次方程的解,试写出一个符合条件的二元一次方程组. 7.根据题意列出方程组: (1)将含铁72%和含铁58%的两种矿石,混合后配成含铁64%的矿石70吨,若设需含铁72%的矿石x吨,含铁58%的矿石y吨,列出方程组. (2)某人从学校出发骑自行车去县城,中途因为道路施工步行一段路,1.5小时后到达县城.他骑车的平均速度是15千米/时,步行的平均速度是5千米/时,路程全长20千米,他骑车与步行各用多少时间? (3)某企业去年国内、国外销售共1000万元,因金融风暴,今年比去年降低10%,其国内销售收入下降了5%,国外销售收入下降了15%,求该企业去年国内、国外各销售多少万元? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第26页“习题7.1”中第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节从学生感兴趣的问题入手,意在让学生经历一个实际背景,激发学生自觉探究数学问题,体验发现问题的乐趣.学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组,初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系.在本节课的学习中让学生运用自主学习、观察猜想、合作交流、抽象概括、总结归纳等方法.学生的角色从学会转变为会学,本节课,学生不是停留在学会课本知识的层面上,而是与老师一起站在探究者的角度深入其境,体验探究的氛围与真谛. 7.2 二元一次方程组的解法 第1课时 代入消元法 1.会用代入消元法解简单的二元一次方程组. 2.通过探索代入消元法解二元一次方程的过程,理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法. 重点 用代入消元法解二元一次方程组. 难点 探索如何用代入消元法解二元一次方程组,感受“消元”思想. 一、创设情境、复习引入 1.复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解? 2.回顾上节课中的问题:设应拆除旧校舍x m2 , 建造新校舍y m2, 那么根据题意可列出方程组: 问:怎样求出这个二元一次方程组的解? 二、探索问题,引入新知 我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍x m2, 则建造新校舍4x m2, 根据题意可得到4x-x=20000×30%. 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗? 可是如何来转化呢? 引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系. 在方程组中的方程②y=4x, 把它代入方程①中y的位置, 我们就可以得到一元一次方程4x-x=20000×30%.通过“代入”, 我们消去了未知数y,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了. 解方程得:x=2000, 把x=2000代入②得y=8000. 所以 答:应拆除旧校舍2000 m2 , 建造新校舍8000 m2. 【归纳结论】 由上面解法可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”. 【例】 用代入消元法解方程组. (1) 分析:方程组利用代入消元法求出解即可. 解:把①代入②得:3x+2(x-1)=8,解得:x=2,把x=2代入①得:y=1,则方程组的解为 (2) 分析:与(1)方程组不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢?可以将方程①变形成为用y来表示x的形式, 即x=3+y, 然后再将它代入方程②, 就能消去x, 得到一个关于y的一元一次方程. 解:由①得:x=3+y③,把③代入②得:3(3+y)-8y=14,所以y=-1.把y=-1代入③得:x=2,∴原方程组的解为 (3) 分析:观察分析此方程组与2题中的方程组在形式上的差别. 易知2题的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数?显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成1题的形式;另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的. 显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见方程①中x的系数比较简单, 所以将方程①中的x用y来表示. 解:由①,得 x=4+y③.将③代入②, 得: 3(4+y)-8y-10=0, 解得y=-0.8.将y=-0.8代入③, 得 x=1.2,所以 【归纳结论】 代入法解二元一次方程组的方法: 1.将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示. 2.把得到的式子代入另一个方程,得到一元一次方程,并求解. 3.把求得的解代入方程,求另一未知数的解.                  三、巩固练习 1.若则y用只含x的代数式表示为(  ) A.y=2x+7 B.y=7-2x C.y=-2x-5 D.y=2x-5 2.用代入法解方程组时,下列代入变形正确的是(  ) A.3x-4x-1=1 B.3x-4x+1=1 C.3x-4x-2=-1 D.3x-4x+2=1 3.用代入法解方程组有以下过程: (1)由①得x= ③; (2)把③代入②得3×-5y=5; (3)去分母得24-9y-10y=5; (4)解之得y=1,再由③得x=2.5,其中错误的一步是(  ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 4.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式: (1) 3x+4y-1=0; (2)5x-2y+9=0. 5.解下列方程组. (1) (2) (3) (4) 6.在解方程组时,小明把方程①抄错了,从而得到错解而小亮却把方程②抄错了,得到错解你能求出正确答案吗?原方程组到底是怎样的? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第30页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 本课按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消元法——典型例题——归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计.在教学过程中,充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用,坚持启发式教学.教师创设有趣的情境,引发学生自觉参与学习活动的积极性,使知识发现过程融于有趣的活动中.重视知识的发生过程.将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较,从而得到二元一次方程组的代入(消元)解法,这种比较,可使学生在复习旧知识的同时,使新知识得以掌握,这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的. 第2课时 加减消元法 1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路.通过“加减”达到“消元”的目的,从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解; 2.会用加减法解简单的二元一次方程组. 重点 学会用加减法解简单的二元一次方程组. 难点 准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组. 一、创设情境、复习引入 用代入法解下面这个程组说说用代入法解方程组的关键是什么?你还能用别的方法解这个方程组吗? 二、探索问题,引入新知 观察方程组: (1)未知数x的系数有什么特点? (2)怎么样才能把这个未知数x消去?这样做的依据是什么? (3)把两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减.你得到了什么结果? 9y=-18,(消去了未知数x,达到了消元的目的),y=-2. 把y=-2代入①,得3x+5×(-2)=5,x=5.所以 从上面的解答过程中,你发现了二元一次方程组的新的解法吗? 将两个方程相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解.这种解法叫做加减消元法,简称加减法. 【例1】 解方程组: 分析:看一看y的系数有什么特点?想一想先消去哪一个比较方便呢?用什么方法来消去这个未知数呢? 解:①+②得,7x=14,x=2.把x=2代入①得,6+7y=9,7y=3,y=.所以 讨论:用加减法解二元一次方程组的时候,什么条件下用加法、什么条件下用减法? 当方程组中同一未知数的系数互为相反数时,我们可以把两方程相加,当方程组中同一未知数的系数相等时,我们可以把两方程相减,从而达到消元的目的. 【例2】 解方程组: 分析:能直接相加减消掉一个未知数吗?如何把同一未知数的系数变成一样呢? 解:方法一:利用加减消元法消去未知数y. ①×3,②×2得, ③+④得,19x=114,x=6. 把x=6代入②得,30+6y=42,y=2. 所以 思考:能否先消去x再求解? 方法二:利用加减消元法消去未知数x. 解:①×5,②×3,得 ④-③得38y=76,y=2 把y=2代入②得,5x+12=42,x=6, 所以 当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数,该如何求解呢? 一般步骤是:(1)方程组的两个方程中,如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使一个未知数的系数互为相反数或相等;(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一次方程;(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.                  三、巩固练习 1.若二元一次方程组的解为则a-b=(  ) A.1 B.3 C. D. 2.已知关于x,y的二元一次方程组的解为则a-2b的值是(  ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 3.解下列方程组: (1) (2) (3) (4) 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第34页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元;加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法,虽然消元的途径不同,但是它们的目的相同,即把“二元”转化为“一元”,可谓“异曲同工”. 第3课时 选择恰当的方法解二元一次方程组 1.会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 2.理解二元一次方程组的解的三种情况. 重点 会根据方程组的具体情况选择合适的消元法. 难点 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 一、创设情境、复习引入 回顾代入法解二元一次方程组的步骤是什么?加减法解二元一次方程组的步骤是什么?代入法、加减法的基本思想是什么? 我们在解二元一次方程组时,该选取何种方法呢? 二、探索问题,引入新知 【例1】 分别用代入法和加减消元法解下列方程组. (1) (2) 解:(1)方法一:由①得y=2x-8,代入②得:3x+2(2x-8)=5,解得x=3,把x=3代入①得:y=-2,则方程组的解为 方法二:①×2+②得:7x=21,即x=3,把x=3代入①得:y=-2,则方程组的解为 (2)方法一:方程组整理得:,由①得x=6y-1,代入②得:2(6y-1)-y=9,解得y=1,把y=1代入①得:x=5,则方程组的解为 方法二:方程组整理得:②-①×2得:11y=11,即y=1,把y=1代入①得:x=5,则方程组的解为 点评:观察上面的解题过程,回答下列问题: (1)代入法和加减法有什么共同点? (2)什么样的方程组用代入法简单?什么样的方程组用加减法简单? ①关于二元一次方程组的两种解法:代入消元法和加减消元法,通过比较,我们发现其实质都是消元,即通过消去一个未知数,化“二元”为“一元”. ②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时,用代入消元法较简单,其他的用加减消元法较简单. 通过学生自学、对比、讨论、互帮互助,既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识,又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法. 【例2】 若关于x,y的方程组与有相同的解. (1)求这个相同的解; (2)求m,n的值. 分析:(1)联立两方程中不含m,n的方程求出相同的解即可; (2)把求出的解代入剩下的方程中求出m与n的值即可. 解:(1)联立得:解得: (2)把x=2,y=-1代入得:解得:m=6,n=4. 【例3】 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的a,得到方程组的解为乙看错了方程中的b,得到方程组的解试计算a2020+(-b)2021的值. 分析:将x=-3,y=-1代入方程组的第二个方程,x=5,y=4代入方程组的第一个方程,联立求出a与b的值,即可求出所求式子的值. 解:将代入方程组中的4x-by=-2得:-12+b=-2,即b=10;将代入方程组中的ax+5y=15得:5a+20=15,即a=-1,则原式=1-1=0. 三、巩固练习 1.用恰当方法解下列二元一次方程组: (1) (2) (3) 2.已知方程组的解能使等式4x-6y=2成立,求m的值. 3.已知甲、乙二人解关于x,y的方程组甲正确地解出而乙把c抄错了,结果解得求a、b、c的值. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第36页“习题7.2”中第1题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择合适的消元法.在学习二元一次方程组的解法中,关键是领会其本质思想——消元,体会“化未知为已知”的化归思想.因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设,激发学生的学习兴趣,并通过精心设计的问题,引导学生在已有知识的基础上,自己比较、分析总结出在解二元一次方程组时,根据方程组的特点选择恰当的方法. 第4课时 列二元一次方程组解决实际问题 1.通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用,体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型,增强应用意识; 2.能够由题意找出等量关系,列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义. 重点 把应用问题转化为数学问题的过程,即对实际问题的数学模型的建立. 难点 在实践探索中寻找解题方案. 一、创设情境,问题引入 问题:某电脑公司有A,B两种型号的电脑,其中A型电脑每台6000元,B型电脑每台4000元.学校计划花费150000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台,问购买A型、B型电脑各多少台? 学生讨论:可设购买A型电脑x台,B型电脑35-x台,根据总价=单价×数量,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 设购买A型电脑x台,B型电脑(35-x)台,根据题意得:6000x+4000(35-x)=150000,解得x=5,35-x=30.即购买A型电脑5台,B型电脑30台. 二、探索问题,引入新知 我们可以发现在实际问题中,都存在着一些等量关系,因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题. 对于上面的问题我们也可以用二元一次方程组来求解:设购买A型电脑x台,B型电脑y台,根据题意得:解得:购买A型电脑5台,B型电脑30台. 【例1】 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天粗加工,几天精加工,才能按期完成任务?如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后为2000元,那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元? 分析:问题的关键是先解答前一半问题,即先求出安排精加工和粗加工的天数.我们不妨用列方程组的方法来解答.要列方程组就需要找出两个相等关系.第一个关系就是15天完成加工任务;第二个相等关系就是总加工140吨蔬菜. 解:设应安排x天精加工,y天粗加工,根据题意得解这个方程组得出售这些加工后的蔬菜一共可获得2000×6×10+1000×16×5=200000(元).答:应安排10天精加工,5天粗加工,加工后出售共可获利200000元. 根据上面的例题, 用二元一次方程组解实际问题的步骤: (1)审题,分析题目中的已知量与未知量; (2)找出数量关系; (3)设未知数列方程组; (4)求解方程组; (5)检验; (6)写出答案. 处理这些实际问题的过程可以进一步概括为: 问题方程(组)解答 【例2】 甲乙两个施工队在城际高铁施工中,每天甲队比乙队多铺设100米钢轨,甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离.若设甲队每天铺设x米,乙队每天铺设y米. (1)依题意列出二元一次方程组; (2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米? 解:(1)∵甲队每天铺设x米,乙队每天铺设y米,每天甲队比乙队多铺设100米钢轨,甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离,∴ (2)解得:答:甲队每天铺设600米,乙队每天铺设500米.                  三、巩固练习 1.小明到商店购买“五四青年节”活动奖品,购买20只铅笔和10本笔记本共需110元,但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元,设每支铅笔x元,每本笔记本y元,则可列方程组(  ) A. B. C. D. 2.我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题:“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?设大、小和尚各有x,y人,则可以列方程组为________________. 3.某专卖店有A,B两种商品,已知在打折前,买60件A商品和30件B商品用了1080元,买50件A商品和10件B商品用了840元,A,B两种商品打相同折以后,某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元,计算打了多少折? 4.学校“百变魔方”社团准备购买A,B两种魔方,已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元,购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同. (1)求这两种魔方的单价; (2)结合社员们的需求,社团决定购买A,B两种魔方共100个(其中A种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第36页“习题7.2”中第2、3、4题. 2.完成练习册中本课时练习. 列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题,是用两种不同的表达形式揭示问题中的相等关系;反过来,求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式,从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系. *7.3 三元一次方程组及其解法 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决. 3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 重点 三元一次方程组的解法及“消元”思想. 难点 根据方程组的特点,选择消哪个元,选择用什么方法消元. 一、创设情境,问题引入 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题,可以列出二元一次方程组来解决,实际上,有不少问题含有更多未知数,我们来看下面的问题: 在足球比赛中,胜一场积3分,平一场积1分,负一场及0分,勇士队参加了10场比赛,共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和,那么勇士队在比赛中胜、平、负的场次各是多少? 对于这个问题,我们可以用二元一次方程组来解决.这个问题中有三个未知数,如果我们设三个未知数,你能列出几个方程?它们组成一个方程组,你能解出来吗? 二、探索问题,引入新知 对于上面的问题,设胜、负、平的场次分别为x,y,z,分别将已知条件直接“翻译”出来,列出方程,并将它们写成方程组的形式,得: 像这样的方程组称为三元一次方程组. 怎样解三元一次方程组呢? 回忆我们在解二元一次方程组时,其基本思想是什么?你会用几种方法解二元一次方程组? 对于三元一次方程组,我们能不能先消掉一个或两个未知数,转化为二元一次方程组或一元一次方程求解. 将③代入①和②中得: 解得: 将代入方程③中,可得:x=5. 所以这个三元一次方程组的解是: 试一试:上面的三元一次方程组能否用加减消元法求解?或者能否利用方程③,直接代入方程①中的y+z?比较一下,哪种方法更简便?由此你能总结出解三元一次方程组的步骤吗? 解三元一次方程组的步骤: 1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组. 2.解二元一次方程组. 3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程,求出第三个未知数. 【例】 解三元一次方程组: 分析:利用代入法或加减法先消掉一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组.由①-③得2a-2b=8 ④,④-②得b=-2,代入②求得a=2,再将a,b的值代入③求得c即可. 解:①-③得:2a-2b=8 ④,④-②得:-5b=10,∴b=-2,将b=-2代入②得:a=2,将a=2,b=-2代入③得:c=-1,∴该方程组的解为 点评:熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键.                  三、巩固练习 1.利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(  ) A.要消去z,先将①+②,再将①×2+③ B.要消去z,先将①+②,再将①×3-③ C.要消去y,先将①-③×2,再将②-③ D.要消去y,先将①-②×2,再将②+③ 2.已知则x+y+z的值是(  ) A.80 B.40 C.30 D.不能确定 3.把方程组消去未知数z,转化为只含x,y的方程组为____________. 4.已知关于x,y的方程组的解满足2x-3y=9,则m=________. 5.解下列方程组. (1)    (2) (3) 6.一个三位数,个位,百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍比个位,十位上的数字的和大2,个位,十位,百位上的数字的和是14,求这个三位数. 四、小结与作业 小结 1.三元一次方程组的概念. 2.三元一次方程组的解法.注意选好要消的“元”,选好要消的“法”. 3.谈谈求解多元一次方程组的思路. 作业 1.教材第41页“习题7.3”中第1 ,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 通过本节课的学习能让学生在本节课上了解到三元一次方程组的概念,掌握用“代入法”、“加减法”对三元一次方程组进行消元,并逐步领会如何选择适合的方法,以提高解题效率.原来本环节的目的是让学生熟练掌握三元一次方程组的解法和调动学生学习的积极性,但因为计算结果比较复杂,学生不敢肯定自己动手计算结果,从而影响了效果. 7.4 实践与探索 1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力. 2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题. 重点 1.学生积极参与讨论和探究问题; 2.抽象出数学模型. 难点 用二元一次方程组解决简单的实际问题. 一、创设情境、复习引入 通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键? 二、探索问题,引入新知 问题1:要用20张白卡纸做长方体的包装盒,准备把这些白卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面,已知每张白卡纸可以做2个侧面,或者3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套? 请同学们独立思考,1.本题有哪些已知量? 2.求什么?用几张白卡纸做盒身?几张白卡纸做盒底盖? 3.若设用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖,那么可做盒身多少个?盒底盖多少个?(2x个盒身,3y个盒底盖) 4.找出2个等量关系. (1)用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20; (2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍,才能使盒身与盒底盖正好配套. 根据题意,得 解这个方程组,得 由于解为分数,所以如果不允许剪开,则只能做成16个包装盒,无法全部利用;如果允许剪开,则分法很多,例如可以将一张白卡纸一分为二,用8张半做盒身,11张半做盒底盖,可以做成盒身17个,盒底盖34个,正好配套成17个包装盒,较充分地利用了材料. 问题2:小明在拼图时,发现8个大小一样的长方形,恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形.小红看见了,说:“我来试一试”,结果小红拼成如下图所示的正方形,但中间还留有一个边长刚好为2 mm的小正方形,你能解释一下吗?你能求出这些长方形的长和宽吗? 1.观察小明的拼图你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗? 2.再观察小红的拼图,你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm之间的另一个关系式吗? 这样得到方程解之得 8个小矩形的面积和=8xy=8×10×6=480(mm2); 大正方形的面积=(x+2y)2=(10+2×6)2=484(mm2); 484-480=4(mm2)=2×2(mm2) 因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2 mm的小正方形. 【例】 某地新建的一个企业,每月将生产1960吨污水,为保护环境,该企业计划购置污水处理器,并在如下两个型号中选择: 污水处理器型号 A型 B型 处理污水能力(吨/月) 240 180   已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元,售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元. (1)求每台A型、B型污水处理器的价格; (2)为确保将每月产生的污水全部处理完,该企业决定购买上述的污水处理器,那么他们至少要支付多少钱? 分析:(1)可设每台A型污水处理器的价格是x万元,每台B型污水处理器的价格是y万元,根据等量关系:①2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元,②1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元,列出方程组求解即可;(2)由于求至少要支付的钱数,可知购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器,费用最少,进而求解即可. 解:(1)可设每台A型污水处理器的价格是x万元,每台B型污水处理器的价格是y万元,依题意有解得答:每台A型污水处理器的价格是10万元,每台B型污水处理器的价格是8万元;(2)购买6台A型污水处理器、3台B型污水处理器,费用最少,10×6+8×3=60+24=84(万元).答:他们至少要支付84万元钱. 点评:解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的等量关系. 三、巩固练习 1.有两个长方形,第一个长方形的长与宽之比为5∶4,第二个长方形的长与宽之比为3∶2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112 cm,第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6 cm,求这两个长方形的面积. 2.甲、乙两家公司组织员工游览某景点门票售价如下: 人数 1~50人 50~100人 100人以上 票价 120元/人 100元/人 80元/人   (1)若甲公司有50人游览,则共付门票费________元;若乙公司共付门票费12000元,则乙公司有________人游览; (2)若甲、乙两家公司共有120人游览,其中甲公司不超过50人,两家公司先后共付门票费12800元,求甲、乙两家公司游览的人数. 3.如图:用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形,每块小长方形的长和宽分别是多少? 4.用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒,现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第43页“习题7.4”中第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课通过师生交流,对学生的解法给予鼓励,并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受,从中体会到什么时候应用一元一次方程,什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便.再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.教学效果较好. 第8章 一元一次不等式 8.1 认识不等式 1.能够从现实问题中抽象出不等式,理解不等式的意义,会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 3.理解不等式的解的意义,能举出一个不等式的几个解并且会检验一个数是否是某个不等式的解. 重点 理解并会用不等式表达数学量之间的关系,知道不等式的解的意义. 难点 不等号的准确应用;不等式的解. 一、创设情境,问题引入 问题:世纪公园的票价是:每人5元;一次购票满30张,每张可少收1元.某班有27名少先队员去世纪公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时,爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白,明明我们只有27个人,买30张票,岂不是“浪费”吗? 那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的“浪费”呢? 二、探索问题,引入新知 同学们的探索过程如下: 买27张票,付款:5×27=135(元); 买30张票,付款:4×30=120(元). 显然 120<135. 这就是说,买30张票比买27张票付款要少,表面上看是“浪费”了3张票,而实际上节省了. 思考:(1)我们只用120元就买了30张票,买30张票,我们不仅省钱,而且多买了票,那么剩下的3张票如何处理呢? (2)买30张票比买27张票付的款还要少,这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少? (3)至少要有多少人去参观,多买票反而合算呢?能否用数学知识来解决? 设有x人要进世纪公园,如果x≥30,显然按实际人数买票,每张票只要付4元.如果x<30,那么: 按实际人数买票x张,要付款5x(元), 买30张票,要付款4×30=120(元), 如果买30张票合算,那么应有120<5x. 现在的问题就是:x取哪些数值时,上式成立? 前面已经算过,当x=27时,上式成立.让我们再取一些值试一试,将结果填入课本P51页的表格中. 由上表可见,当x=________时,不等式120<5x成立.也就是说,少于30人时,至少要有________人进公园时,买30张票反而合算. 像上面出现的120<135,x<30,120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子,叫做不等式. 不等式120<5x中含有未知数x.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 【例1】 判断下列各式哪些是等式,哪些是不等式. (1)4<5; (2)x2+1>0; (3)x<2x-5; (4)x=2x+3; (5)3a2+a; (6)a2+2a≥4a-2. 分析:根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可. 解:(1)4<5是不等式; (2)x2+1>0是不等式; (3)x<2x-5是不等式; (4)x=2x+3是方程; (5)3a2+a是代数式; (6)a2+2a≥4a-2是不等式. 故(1),(2),(3),(6)是不等式. 点评:熟知用不等号连结的式子叫不等式是解答此题的关键. 【例2】 用适当的符号表示下列关系: (1)x的与x的2倍的和是非正数; (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米; (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元; (4)明天下雨的可能性不小于70%; (5)小明的身体不比小刚轻. 分析:(1)非正数用“≤0”表示; (2),(4)不小于就是大于等于,用“≥”来表示; (3)不高于就是等于或低于,用“≤”表示; (5)不比小刚轻,就是与小刚一样重或者比小刚重.用“≥”表示. 解:(1)x+2x≤0; (2)设炮弹的杀伤半径为r,则应有r≥300; (3)设每件上衣为a元,每条长裤是b元,应有3a+4b≤268; (4)用P表示明天下雨的可能性,则有P≥70%; (5)设小明的体重为a千克,小刚的体重为b千克,则应有a≥b. 点评:一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别常见不等号:>,<,≤,≥,≠. 三、巩固练习 1.给出下面5个式子:①3>0;②4x+3y≠0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤3,其中不等式有(  ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是(  ) A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人 3.x与y的平方和一定是非负数,用不等式表示为________. 4.下列各数:0,-3,3,4,-0.5,-20 ,-0.4中,________是方程x+3=0的解;________是不等式x+3>0的解;________是不等式2x+3<x的解. 5.用不等式表示. (1)x的与5的差小于1; (2)x与6的和大于9; (3)8与y的2倍的和是正数; (4)a的3倍与7的差是负数; (5)x的3倍大于或等于1; (6)x与5的和不小于0. 四、小结与作业 小结 通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教? 作业 1.教材第52页“习题8.1”中第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节教学过程中,始终通过师生互动,鼓励学生积极思考,努力探索,合作交流,关注学生能否发现问题,提出问题,能否敢于发表自己的见解,吸取正确的见解;关注学生学习过程中表现的学习习惯、个性品质、情感态度等. 通过游戏、分组竞赛等激发学生的积极性,培养团队精神.通过例题和闯关游戏,检测学生学习情况,及时反馈调节;通过不同层次的变式题,评价各层学生的学习效果,增强学习信心.留给学生思考、探究的时间和空间.对学生回答是否正确、全面都给予及时的肯定和鼓励,时刻注意激发学习内驱力,确保学生学得更多、更快、更好!总之,本节教学既贴近生活,又超越生活,既努力从生活中来,又努力到生活中去,实现了:生活世界、数学世界、教学世界的融会贯通! 8.2 解一元一次不等式 8.2.1 不等式的解集 1.使学生掌握不等式的解集的概念,以及什么是解不等式. 2.使学生能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来,初步理解数形结合的思想. 重点 1.认识不等式的解集的概念. 2.将不等式的解集表示在数轴上. 难点 不等式的解集的概念. 一、创设情境,问题引入 问题1:已知有理数m,n的位置在数轴上如图所示,用不等号填空. (1)n-m______0;   (2)m+n______0; (3)m-n______0; (4)n+1______0; (5)m·n______0; (6)m+1______0. 问题2:下列各数中,哪些是不等式x+2>5的解?哪些不是? -3,-2,-1,0,1.5,3,3.5,5,7 二、探索问题,引入新知 在上面问题2中,我们发现3.5,5,7都是不等式x+2>5的解.由此可以看出,不等式x+2>5有许多个解. 进而看出,大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解,而不大于3的每一个数都不是不等式x+2>5的解.由此可见,不等式x+2>5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>5的解集. 结论:一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3,它也可以在数轴上直观地表示出来,如图所示. 同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来,如图所示. 观察讨论:这两条折线所指的方向为什么不同?它们有什么规律吗?数轴上空心的圆点和实心的圆点是什么意义? 结论:不等式的解集在数轴上可直观地表示出来,但应注意不等号的类型,小于在左边,大于在右边.当不等号为“>”“<”时用空心圆圈,当不等号为“≥”“≤”时用实心圆圈. 【例1】 在数轴上表示下列不等式的解集: (1)x<-2; (2)x≥1; 分析:(1)在-2处用空心圆点,折线向左即可; (2)在1处用实心圆点,折线向右即可. 解:(1)如图所示: (2)如图所示: 点评:熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键. 【例2】 在数轴上表示不等式-4≤x<1的解集,并写出其整数解. 分析:根据“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线,可得答案. 解:在数轴上表示不等式-4≤x<1的解集,如图: 整数解为:-4,-3,-2,-1,0. 点评:不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线. 三、巩固练习 1.方程3x=6的解有________个,不等式3x<6的解有________个. 2.在数轴上表示下列不等式的解集. (1)x>-4; (2)x≤3.5; (3)-2.5<x≤4. 3.请用不等式表示如图的解集. (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第61页“习题8.2”中第2,3题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课属于一节概念课,按照“情境诱导—学生自学—展示归纳—巩固练习”的步骤进行.但从教学中来看,部分学生不会自学,个别学生不积极参与到小组活动之中.通过本节课的教学让我深深认识到,作为一名数学教师,要想让自己的学生出类拔萃,一定要在平时培养学生的自学习惯,自学能力,表达能力,教师要舍得时间,不能急躁. 8.2.2 不等式的简单变形 1.通过本节的学习让学生在自主探索的基础上,联系方程的基本变形得到不等式的基本性质. 2.掌握一次不等式的变形求解一元一次不等式基本方法. 3.体会一元一次不等式和方程的区别与联系. 重点 掌握不等式的三条基本性质. 难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形. 一、创设情境、复习引入 复习等式的基本性质一:在等式的两边都________或________同一个________或________,等式仍然成立. 等式的基本性质二:在等式的两边都________或________同一个________,等式仍然成立. 不等式有哪些基本性质?解一元一次方程有哪些基本步骤呢?一元一次不等式的解与方程的解是不是步骤类似呢? 二、探索问题,引入新知 在解一元一次方程时,我们主要是对方程进行变形.在研究解不等式时,我们同样应先探究不等式的变形规律. 如图,一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然a>b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,那么盘子仍然像原来那样倾斜(即a+c>b+c). 结论:不等式的性质1:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 这就是说,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变. 思考:不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢? 试一试:将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<”,“>”或“=”填空: 7×3________4×3, 7×2________4×2, 7×1________4×1, 7×0________4×0, 7×(-1)________4×(-1), 7×(-2)________4×(-2), 7×(-3)________4×(-3), …… 从中你能发现什么? 结论:不等式的性质2:如果a>b,并且c>0,那么ac>bc. 不等式的性质3:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc. 这就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 与解方程一样,解不等式的过程,就是要将不等式变形成x>a或x<a的形式. 【例1】 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)4x>3x+5; (2)-2x<17. 分析:(1)根据不等式的性质1:两边都减3x,可得答案; (2)根据不等式的性质3:不等式的两边都除以-2,可得答案. 解:(1)两边都减3x,得x>5; (2)两边都除以-2,得x>-. 点评:不等式两边同乘以(或除以)同一个数时,不仅要考虑这个数不等于0,而且必须先确定这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向必须改变. 【例2】 根据不等式性质解下列不等式. (1)x+3>5; (2)-x<50; (3)5x+5<3x-2. 分析:根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可. 解:(1)根据不等式性质1,不等式两边都减3,不等号的方向不变,得x+3-3>5-3,即x>2; (2)根据不等式性质2,不等式两边都乘以-,不等号的方向改变,得-x×(-)>50×(-),即x>-75; (3)根据不等式性质1,2,不等式两边同时减去(5+3x),然后除以2,不等号的方向不变,得(5x+5-5-3x)÷2<(3x-2-5-3x)÷2,即x<-. 点评:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变. (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 三、巩固练习 1.已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的是(  ) A.a>b B.a+2>b+2 C.-a<-b D.2a>3b 2.若3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是(  ) A.x+y>0 B.x-y>0 C.x+y<0 D.x-y<0 3.如果a<b,则-3a________-3b(用“>”或“<”填空). 4.判断以下各题的结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”). (1)若 b-3a<0,则b<3a;________ (2)如果-5x>20,那么x>-4;________ (3)若a>b,则 ac2>bc2;________ (4)若ac2>bc2,则a>b;________ (5)若a>b,则 a(c2+1)>b(c2+1); (6)若a>b>0,则<.________ 5.指出下列各式成立的条件: (1)由mx<n,得x>; (2)由a<b,得m2a<m2b; (3)由a>-2,得a2≤-2a. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第58页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 让学生参与知识的形成过程的学习,有利于培养学生动手实践,积极探索的科学学习方法,有利于培养学生的良好学习习惯和严谨的学习态度,有利于发展学生的直觉思维、形象思维和逻辑思维能力,有利于培养学生的独立钻研、相互交流和共同协作的科学态度,符合新课标的思想. 8.2.3 解一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1.掌握一元一次不等式的概念. 2.体会解不等式的步骤,体会数学学习中比较和转化的作用. 3.用数轴表示解集,启发学生对数形结合思想的进一步理解和掌握. 重点 掌握一元一次不等式的解法. 难点 掌握一元一次不等式的解法. 一、创设情境、复习引入 1.不等式的三条基本性质是什么? 2.一个方程是一元一次方程的三个条件是什么? 3.解一元一次方程的一般步骤是什么? 二、探索问题,引入新知 让同学们观察下列不等式: ①x-7≥2;②3x<2x+1;③x≤5;④-4x>8. 它们有什么共同点?你能借鉴一元一次方程给它下个定义吗? 结论:只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.我们再来解一些一元一次不等式. 【例1】 下列各式:(1)-x≥5;(2)y-3x<0;(3)+5<0;(4)x2+x≠3;(5)+3≤3x;(6)x+2<0是一元一次不等式的有哪些? 分析:利用一元一次不等式的定义判断即可. 解:(1)-x≥5,是;(2)y-3x<0,不是;(3)+5<0,是;(4)x2+x≠3,不是;(5)+3≤3x,不是;(6)x+2<0,是. 如何来解一元一次不等式呢? 【例2】 解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1)2(5x+3)≤x-3(1-2x); (2)1+>5-. 分析:(1)先去括号,然后通过移项、合并同类项,化未知数系数为1解不等式;(2)先去分母,然后通过移项、合并同类项,化未知数系数为1解不等式. 解:(1)去括号,得:10x+6≤x-3+6x, 移项、合并同类项,得:3x≤-9, 系数化为1,得:x≤-3; 表示在数轴上为: (2)去分母,得:6+2x>30-3x+6, 移项、合并同类项,得:5x>30, 系数化为1,得:x>6. 表示在数轴上为: 点评:需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变. 结论:解一元一次不等式的步骤: 1.去括号,去分母; 2.利用不等式的性质移项; 3.合并同类项; 4.系数化为1.                  三、巩固练习 1.下列各式中,一元一次不等式是(  ) A.x≥ B.2x>1-x2 C.x+2y<1 D.2x+1≤3x 2.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是(  ) 3.若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m=________. 4.不等式组m(x-5)>2m-10的解集是x>m,则m的值是________. 5.解不等式2(x+6)≥3x-18,并将其解集在数轴上表示出来. 6.解不等式-≥-1,并把它的解集在数轴上表示出来. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1教材第61页“习题8.2”中第1,4 题. 2.完成练习册中本课时练习. 在教学过程中,由于通过简单的类比解方程,学生很快掌握了解不等式的方法,而且对比起方程,不等式题目的形式较简单,计算量不大,所以能引起学生的兴趣.但是部分学生在作业中存在以下问题:由于没有结合不等式的性质,认真分析解方程与解不等式的区别:在两边同时乘以或者除以负数时,不等号忘记改变方向. 第2课时 列一元一次不等式解决实际问题 1.会从实际问题中抽象出数学模型,会用一元一次不等式解决实际问题. 2.通过观察、实践、讨论等活动,经历从实际中抽象出数学模型的过程,积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验,渗透分类讨论思想,感知方程与不等式的内在联系. 重点 寻找实际问题中的不等关系,建立数学模型. 难点 弄清列不等式解决实际问题的思想方法,用去括号法解一元一次不等式.                一、创设情境,问题引入 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛.育才中学有25名学生通过了预选赛,通过者至少答对了多少道题?有哪些可能的情形. 二、探索问题,引入新知 讨论:(1)试解决这个问题(不限定方法).你是用什么方法解决的?有没有其他方法?与你的同伴讨论和交流一下. (2)如果利用不等式的知识解决这个问题,在得到不等式的解集以后,如何给出原问题的答案?应该如何表述? 分析:如果用不等式,必须找出不等关系.根据题意可知,答对题的得分减去答错题的扣分大于或等于80分.所以这个问题的关键是表示出答对的题数和答错或不答的题数. 解:设通过者答对了x道题,答错或不答的题有(20-x)道,根据题意可得,10x-5(20-x)≥80,解得:x≥12,所以,通过者至少要答对12道题. 你能类比列一元一次方程解决实际问题的方法,总结出列不等式解决实际问题的步骤吗? 结论:用一元一次不等式解决实际问题的步骤: (1)审题,找出不等关系; (2)设未知数;(3)列出不等式;(4)求出不等式的解集; (5)找出符合题意的值; (6)作答. 【例1】 学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品,其中名著每套65元,词典每本40元,现已购买名著20套,问最多还能买词典多少本? 分析:先设未知数,设还能买词典x本,根据名著的总价+词典的总价≤2000,列不等式,解出即可,并根据实际意义写出答案. 解:设还能买词典x本,根据题意得:20×65+40x≤2000,40x≤700,x≤,x≤17.答:最多还能买词典17本. 【例2】 某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分超过15分才能获得参赛资格. (1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分,求甲队初赛阶段胜、负各多少场; (2)如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场? 分析:(1)设甲队胜了x场,则负了(10-x)场,根据每队胜一场得2分,负一场得1分,利用甲队在初赛阶段的积分为18分,进而得出等式求出答案; (2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据积分超过15分才能获得参赛资格,进而得出答案. 解:(1)设甲队胜了x场,则负了(10-x)场,根据题意可得:2x+10-x=18,解得:x=8,则10-x=2.答:甲队胜了8场,则负了2场; (2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据题意可得:2a+(10-a)>15,解得:a>5.答:乙队在初赛阶段至少要胜6场. 点评:正确表示出球队的得分是解题关键. 三、巩固练习 1.为有效开展“阳光体育”活动,某校计划购买篮球和足球共50个,购买资金不超过3000元.若每个篮球80元,每个足球50元,则篮球最多可购买(  ) A.16个 B.17个 C.33个 D.34个 2.甲、乙两人从相距24 km的A、B两地沿着同一条公路相向而行,如果甲的速度是乙的速度的两倍,如果要保证在2小时以内相遇,则甲的速度(  ) A.小于8 km/h B.大于8 km/h C.小于4 km/h D.大于4 km/h 3.商家花费760元购进某种水果80千克,销售中有5%的水果正常损耗,为了避免亏本,售价至少应定为________元/千克. 4.某工人计划在15天内加工408个零件,最初三天中每天加工24个.问以后每天至少加工多少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第61页“习题8.2”中第6 ,7 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课是在学习不等式的概念、性质及其解法和运用一元一次方程(或方程组)解决实际问题等知识的基础上,利用不等式解决实际问题.这既是对已学知识的运用和深化,又为今后在解决实际问题中提供另一种有效的解决途径.通过实际问题的探究,让学生学会列一元一次不等式,解决具有不等关系的实际问题.经历由实际问题转化为数学问题的过程,掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程.促进学生的数学思维意识,从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息,愿意谈论某些数学话题,能够在数学活动中发挥积极作用.同时向学生渗透由特殊到一般、类比、建模和分类考虑问题的思想方法. 8.3 一元一次不等式组 第1课时 解一元一次不等式组 1.了解一元一次不等式组及其解集的概念. 2.探索不等式组的解法及其步骤. 重点 1.一元一次不等式组的概念,会用数轴表示一元一次不等式组解集的情况. 2.一元一次不等式组的解法. 难点 一元一次不等式组的解法. 一、创设情境,问题引入 1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1)3x>1-x; (2)6x-7<2-4x. 2.问题:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨,那么需要多少时间能将污水抽完? 二、探索问题,引入新知 对问题2的分析:设需要x分钟能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨,由题意可知30x≥1200,并且30x≤1500. 在这个实际问题中,未知量x应同时满足这两个不等式,我们把这两个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组:分别求这两个不等式的解集,得 在同一数轴上表示出这两个不等式的解集,可知其公共部分是40和50之间的数(包括40和50),记作40≤x≤50.这就是所列不等式组的解集.所以,需要40到50分钟能将污水抽完. 结论:不等式组中几个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集. 解一元一次不等式组,通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,利用数轴可以帮我们得到一元一次不等式组的解集. 探究:设a,b是已知实数,且a>b,在数轴上表示下列不等式组的解集. (1)(2)(3)(4) 解:(1) 解集为:x>a (2) 解集为:x<b (3) 解集为:b<x<a (4) 无解 结论:皆大取大,皆小取小,大小小大取中间,大大小小是无解. 【例1】 下列不等式组:①②③④⑤其中是一元一次不等组的有哪些? 分析:根据一元一次不等式组的定义,只含一个未知数且有两个或两个以上的不等式,不等式中的未知数相同,并且未知数的最高次数是一次,对各选项判断后再计算个数即可. 解:根据一元一次不等式组的定义,①②④都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,所以都是一元一次不等式组;③含有一个未知数,但未知数的最高次数是2,⑤含有两个未知数,所以②⑤都不是一元一次不等式组.故有①②④三个一元一次不等式组. 【例2】 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. (1)  (2) 分析:先求出每个不等式的解集,根据不等式的解集找出不等式组的解集即可. 解:(1) 由①得:x≥-2,由②得:x<1,∴不等式组的解集为:-2≤x<1.如图,在数轴上表示为: (2)∵解不等式3(x-2)≥x-4得:x≥1,解不等式>x-1得:x<4,∴不等式组的解集是1≤x<4,在数轴上表示不等式组的解集是: . 【例3】 若关于x的一元一次不等式组无解,求a的取值范围. 分析:先求出各不等式的解集,再与已知解集相比较求出a的取值范围. 解:由x-a>0得,x>a;由1-x>x-1得,x<1,∵此不等式组的解集是空集,∴a≥1.故答案为:a≥1. 点评:熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 三、巩固练习                  1.将不等式组的解集表示在数轴上,下面表示正确的是(  ) 2.解集如图所示的不等式组为(  ) A. B. C. D. 3.若关于x的一元一次不等式组的解是x<5,则m的取值范围是(  ) A.m≥5 B.m>5 C.m≤5 D.m<5 4.若不等式组有解,则a的取值范围是________. 5.解不等式组,并把解集表示在数轴上. (1) (2) 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第65页“习题8.3”中第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 教学“不等式组的解集”时,用数形结合的方法,通过借助数轴找出公共部分解出解集,这是最容易理解的方法,也是最适用的方法.用“皆大取大,皆小取小,大小小大取中间,大大小小是无解”求解不等式,我认为减轻学生的学习负担,有易于培养学生的数形结合能力.在教学中我要求学生在解不等式(组)时,一定要通过画数轴,求出不等式的解集,建立数形结合的数学思想. 第2课时 列一元一次不等式组解决实际问题 1.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式组解决简单的问题. 2.通过例题的讲解,让学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、并能综合运用所学的知识解决问题,培养应用意识. 重点 用一元一次不等式组的知识去解决实际问题. 难点 审题,根据具体信息列出不等式组. 一、创设情境,问题引入 已知两个语句: ①式子2x-1的值在1(含1)与3(含3)之间; ②式子2x-1的值不小于1且不大于3. 请回答以下问题: (1)两个语句表达的意思是否一样(不用说明理由)? (2)把两个语句分别用数学式子表示出来. 二、探索问题,引入新知 分析:(1)注意分析“在1(含1)与3(含3)之间”及“不小于1且不大于3”的意思即可;(2)根据题意可得不等式组 解:(1)一样;(2)①式子2x-1的值在1(含1)与3(含3)之间可得1≤2x-1≤3;②式子2x-1的值不小于1且不大于3可得这样就由实际问题抽象出一元一次不等式组. 【例1】 丽丽今年16岁,爷爷今年虽不满70岁,他的年龄(x岁)比丽丽的年龄的4倍还多,试写出符合爷爷年龄的不等式组. 分析:根据爷爷今年虽不满70岁,他的年龄(x岁)比丽丽的年龄的4倍还多,分别得出不等式组成方程组即可. 解:根据题意可得: 【例2】 为节约用电,某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电,那么本学期的用电量将会超过2530度;如果实际每天比计划节约2度电,那么本学期用电量将会不超过2200度电.若本学期的在校时间按110天计算,那么学校每天用电量应控制在什么范围内? 分析:根据题意列出关系式,关系式为:①110×(计划+2)>2530;②110×(计划-2)≤2200,再根据不等式列不等式组,解不等式组即可求解. 解:设学校计划每天用电x度,依题意可得:解不等式①得x+2>23,即x>21,解不等式②得x-2≤20,即x≤22,∴不等式组的解集21<x≤22.答:学校的每天用电度数应控制在21~22度. 【例3】 某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”,为某镇建中、小型两种图书室共30个.计划养殖类图书不超过2160本,种植类图书不超过1600本.已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本,种植类图书50本;组建一个小型图书室需养殖类图书50本,种植类图书60本. (1)符合题意的组建方案有几种?请写出具体的组建方案; (2)若组建一个中型图书室的费用是2000元,组建一个小型图书室的费用是1500元,哪种方案费用最低,最低费用是多少元? 分析:(1)设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室(30-x)个,由于组建中、小型两类图书室共30个,已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本,种植类图书50本;组建一个小型图书室需养殖类图书50本,种植类图书60本,因此可以列出不等式组解不等式组然后去整数即可求解. (2)根据(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可. 解:(1)设组建中型两类图书室x个,小型两类图书室(30-x)个.由题意,得化简得解这个不等式组,得20≤x≤22.由于x只能取整数,∴x的取值是20,21,22.当x=20时,30-x=10;当x=21时,30-x=9;当x=22时,30-x=8.故有三种组建方案:方案一,中型图书室20个,小型图书室10个;方案二,中型图书室21个,小型图书室9个;方案三,中型图书室22个,小型图书室8个. (2)方案一的费用是:2000×20+1500×10=55000(元);方案二的费用是:2000×21+1500×9=55500(元);方案三的费用是:2000×22+1500×8=56000(元);故方案一费用最低,最低费用是55000元 点评:解题的关键是首先正确理解题意,然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题. 结论:列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤: (1)审:审题,分析题目中已知是什么,求什么,明确各数量之间的关系. (2)设:设适当的未知数. (3)代:用代数式表示题中的直接量和间接量. (4)列:依据不等关系列不等式(组). (5)解:求出不等式(组)的解集. (6)答:写出符合题意的答案. 三、巩固练习 1.一件商品的成本价是30元,若按原价的八八折销售,至少可获得10%的利润;若按原价的九折销售,可获得不足20%的利润,此商品原价在什么范围内? 2.为积极响应政府提出的“绿色发展,低碳出行”号召,某社区决定购置一批共享单车.经市场调查得知,购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同,购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元. (1)求男式单车和女式单车的单价; (2)该社区要求男式单车比女式单车多4辆,两种单车至少需要22辆,购置两种单车的费用不超过50000元,该社区有几种购置方案?怎样购置才能使所需总费用最低,最低费用是多少? 3.某市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐赠一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件. (1)求饮用水和蔬菜各有多少件? (2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,有哪几种方案可供选择? (3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元? 4.某中学为打造书香校园,计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书,调查发现,若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个,共需资金1020元;若购买甲种书柜4个,乙种书柜3个,共需资金1440元. (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元? (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个,其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量,学校至多能够提供资金4320元,请设计几种购买方案供这个学校选择. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 完成练习册中本课时练习. 本节课以生活实际中的问题为导引,让学生自主探究,亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程——这种过程和体验正是“新课标”所倡导的基本理念之一.通过本课时的学习,学生能够对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握,能够体会数学知识在现实生活中的运用. 第9章 多边形 9.1 三角形 9.1.1 认识三角形 第1课时 三角形的概念 1.了解三角形的基本元素与主要线段. 2.能区分不同形状的三角形,按角、按边分类的两种方法. 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念. 重点 三角形内角、外角,等腰三角形、等边三角形等概念. 难点 三角形的外角. 一、创设情境,问题引入 在我们生活中几乎随时可以看见由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面,在这些地面或墙面上,相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起,整个地面或墙面没有一点空隙. 这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢?换一些其他形状的行不行? 为了解决这些问题,我们有必要研究多边形的有关性质.三角形是最简单的多边形,三角形可以帮助我们更好地认识周围世界,可以帮助我们解决很多实际问题.让我们从三角形开始,探究其中的道理. 二、探索问题,引入新知 三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,这三条线段就是三角形的边. 如图三角形的顶点采用大写字母A、B、C……等表示,整个三角形表示为△ABC. 如图,在三角形中,每两条边所组成的角叫做三角形的内角,如∠ACB;三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角,如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角. 思考:(1)一个三角形(如△ABC)有多少个内角?多少个外角? 答:三个内角,表示为∠ABC,∠ACB,∠BAC六个外角(三对). (2)与内角相邻的外角有几个?它们是什么关系? 答:两个,是一对对顶角. 试一试:如图,三个三角形的内角各有什么特点? (1)中:三个内角均为锐角; (2)中:有一个内角是直角; (3)中:有一个内角是钝角. 那么三角形按角来分,应如何分类? 结论:三角形按角可以分为: 所有内角都是锐角——锐角三角形; 有一个内角是直角——直角三角形; 有一个内角是钝角——钝角三角形. 试一试:如图,三个三角形的边各有什么特点? (1)中:三角形的三边互不相等; (2)中:三角形有两条边相等; (3)中:三角形的三边都相等. 结论:我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(或正三角形). 【例1】 如图所示,图中共有多少个三角形?请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角. 分析:分别找出图中的三角形即可. 解:图中共有7个,△AEF,△ADE,△DEB,△ABF,△BCF,△ABC,△ABE,以E为顶点的角是∠AEF,∠AED,∠DEB,∠DEF,∠AEB,∠BEF. 【例2】 如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形. (1)以AB为边画三角形,能画几个?写出各三角形的名称; (2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形. 分析:(1)利用以AB为边画三角形,结合E,D,C的位置得出符合题意三角形;(2)利用网格中线段长得出等腰三角形和钝角三角形. 解: (1)如图所示:以AB为边的三角形能画3个有:△EAB,△DAB,△CAB;(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形. 三、巩固练习                  1.下列说法正确的有(  ) ①等腰三角形是等边三角形;②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③等腰三角形至少有两边相等;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④ 2.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对. 3.如图,以BC为边的三角形有几个?以A为顶点的三角形有几个?分别写出这些三角形. 4.如图,直线a上有5个点,A1,A2,…,A5,图中共有多少个三角形? 5.如图,BD是长方形ABCD的一条对角线,CE⊥BD于点E. (1)写出图中所有的直角三角形; (2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第82页“习题9.1”中第1题. 2.完成练习册中本课时练习. 教师在练习设计上主要采用了层层深入的原则,先是基础知识的练习;然后用三角形的知识解决实际问题;最后增加难度,让优等生在这个知识点上的学习更进一步.而每一道题都运用了本节课的知识,每一道题目的呈现方式又都不同.这样既能让后进生跟得上,又能让优等生吃得饱,从而让全班同学共同进步.从练习反馈中发现学生易错点,犯错的原因主要是学生未能认真审题.所以在以后审题教学中重视学抓关键词、培养审题习惯,提高解题效率. 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 1.掌握三角形的角平分线、中线和高的概念,并会用数学式子表示. 2.掌握三角形的角平分线、中线和高的画法. 重点 认识三角形的中线、角平分线、高. 难点 三角形的中线、角平分线、高的应用. 一、创设情境,问题引入 如图,有三个车站A、B、C成三角形,一辆公共汽车从B站前往到C站. (1)当汽车运动到点D点时,刚好BD=CD,连结线段AD,则AD这条线段是什么线段?这样的线段在△ABC中有几条呢?此时有面积相等的三角形吗? (2)汽车继续向前运动,当运动到点E时,发现∠BAE=∠CAE,那么AE这条线段是什么线段呢?在△ABC中,这样的线段又有几条呢? (3)汽车继续向前运动,当运动到点F时,发现∠AFB=∠AFC=90°,则AF这条线段是什么线段?这样的线段在△ABC中有几条? 二、探索问题,引入新知 分析上述问题并给出结论: (1)AD是△ABC中BC边上的中线,三角形中有三条中线.此时△ABD与△ADC的面积相等. (2)AE是△ABC中∠BAC的角平分线,三角形中角平分线有三条. (3)AF是△ABC中BC边上的高线,高线有时在三角形外部,三角形中有三条高线. 下面给出了三个相同的锐角三角形,分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高. (1)把锐角三角形换成直角三角形后,再试一试. (2)把锐角三角形换成钝角三角形后,再试一试. 结论: 1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部,并且都相交于三角形内一点; 2.锐角三角形的三条高相交于三角形内一点,直角三角形的三条高相交于直角顶点,钝角三角形的两条高位于三角形的外部且三条高所在的直线相交于三角形外一点. 例1.画出△ABC中AB边上的高,下列画法中正确的是(  ) 分析:作哪一条边上的高,即从哪条边所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可. 解:过点C作AB边的垂线,正确的是C. 【例2】 如图,已知△ABC的周长为24 cm,AD是BC边上的中线,AD=AB,AD=5 cm,△ABD的周 长是18 cm,求AC的长. 分析:由AD=AB,AD=5 cm,可求出AB的长度,结合△ABD的周长是18 cm,可求出BD的长度,进而可求出BC的长度,再根据△ABC的周长为24 cm,即可求出AC的长. 解:∵AD=AB,AD=5 cm,∴AB=8 cm.又∵△ABD的周长是18 cm,∴BD=5 cm.又∵D是BC的中点,∴BC=2BD=10 cm.又∵△ABC的周长为24 cm,∴AC=24-8-10=6(cm). 三、巩固练习 1.一定在三角形内部的线段是(  ) A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线 C.任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高 D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线 2.如图,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C,CF⊥AB于点F,下列关于高的说法中错误的是(  ) A.△ABC中,AD是BC边上的高 B.△GBC中,CF是BG边上的高 C.△ABC中,GC是BC边上的高 D.△GBC中,GC是BC边上的高    ,第3题图) 3.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在CD上,则图中以AD为高的三角形有________个. 4.如图,已知△ABC的周长为27 cm,AC=9 cm,BC边上中线AD=6 cm,△ABD周长为19 cm,则AB=________. ,第4题图)   ,第5题图) 5.在△ABC中,AD为BC边的中线,若△ABD与△ADC的周长差为3,AB=8,则AC=________. 四、小结与作业 小结 学生自主小结,交流在本课学习中的体会、收获,交流在学习过程中的体验与感受,以及可能存在的困惑,师生合作共同完成课堂小结. 作业 1.教材第76页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 让学生通过画、折等实践操作,理解三角形的中线、角平分线、高的概念和交点情况,并培养学生动手操作能力,自主探索、合作交流,发现三角形的三条角平分线交于一点的规律,体现了知识的获得不是教师传授的,而是学生自己探索得到的. 9.1.2 三角形的内角和与外角和 1.掌握三角形的内角和与外角和. 2.理解三角形的外角的两条性质. 3.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算. 重点 掌握三角形内角和及其外角和. 难点 三角形角的有关计算. 一、创设情境,问题引入 在小学我们曾剪下三角形的两个内角,将它们与第三个角拼在一起,发现三个内角恰好拼成了一个平角,得出如下结论:三角形的内角和为180°.那么,你能用几何知识进行证明吗? 二、探索问题,引入新知 如图,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3来表示△ABC的三个内角,证明:∠1+∠2+∠3=180°. 解:延长BC至点E,以C为顶点,在BE的上侧作∠DCE=∠2,则CD∥BA.∵CD∥BA,∴∠1=∠ACD,∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°,∴∠1+∠2+∠3=180°. 由三角形的内角和等于180°,可以得出: 结论:直角三角形的两个锐角互余. 如图,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角,不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角. 三角形的外角与内角有什么关系呢? 显然有:∠CBD(外角)+∠ABC(相邻内角)=180° 那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢? ∵∠CBD+∠ABC=180°,∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°,∴∠CBD=∠ACB+∠BAC. 结论:三角形的外角有两条性质: 1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和. 问:你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗? ∵∠1+∠ACB=∠2+∠BAC=∠3+∠ABC=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°×3,又∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°,∴∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°. 结论:三角形的外角和等于360°. 【例1】 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的角平分线,∠B=42°,∠DAE=18°,求∠C的度数. 分析:由AD是BC边上的高,∠B=42°,可得∠BAD=48°,再由∠DAE=18°,可得∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°,然后根据AE是∠BAC的角平分线,可得∠BAC=2∠BAE=60°,最后根据三角形内角和定理即可推出∠C的度数. 解:∵AD是BC边上的高,∠B=42°,∴∠BAD=48°,∵∠DAE=18°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=30°,∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAC=2∠BAE=60°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=78°. 【例2】 如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数. 分析:在△ABD中,由三角形的外角的性质知∠3=2∠2,因此∠4=2∠2,从而可在△BAC中,根据三角形内角和定理求出∠4的度数,进而可在△DAC中,由三角形内角和定理求出∠DAC的度数. 解:设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.因为∠BAC=63°,所以∠2+∠4=117°,即x+2x=117°,所以x=39°;所以∠3=∠4=78°,∠DAC=180°-∠3-∠4=24°. 三、巩固练习                  1.如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为(  ) A.54° B.62° C.64° D.74° ,第1题图)   ,第2题图) 2.如图,在△ABC中,∠BAC=x°,∠B=2x°,∠C=3x°,则∠BAD=(  ) A.145° B.150° C.155° D.160° 3.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E等于________. ,第3题图)   ,第4题图) 4.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于________. 5.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 6.如图,AE,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,OD⊥BC,求证:∠1=∠2. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第79页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 实践出真知,因此,在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题,启发、诱导学生通过动手、动脑,与同学交流合作,大胆探索、猜想,并用自己所学的知识来解决问题,真正做到老师“导”学生“学”.教师一定要相信学生的能力,大胆放手,也许会有意想不到的收获.归纳、对比对于知识的掌握有着不可忽视的作用,教学中要及时引导学生总结,找出好的学习方法和解题捷径,并熟练应用.本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质,却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角,费时费力,不利于知识的掌握,因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质. 9.1.3 三角形的三边关系 1.掌握和理解三角形三边的关系. 2.认识三角形的稳定性,并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题. 重点 三角形任何两边之和大于第三边的应用. 难点 已知三角形的两边求第三边的范围.                一、创设情境、复习引入 1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质? 2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种? 二、探索问题,引入新知 做一做: 画一个三角形,使它的三条边分别为:4 cm,3 cm,2.5 cm. 画法步骤如下: (1)先画线段AB=4 cm; (2)以点A为圆心,3 cm的长为半径画圆弧; (3)再以B为圆心,2.5 cm的长为半径画圆弧,两弧相交于点C; (4)连结AC,BC. △ABC就是所要画的三角形. 这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等. 试一试: 现有长2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm的五条线段,你任意选三条线段画三角形,使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况?这是为什么? 在画三角形的过程中,你会发现有多种情况,并不是任意三条线段都可以组成一个三角形. 结论:三角形的任意两边的和大于第三边. 你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗? 做一做: 用3根木条钉一个三角形,拉三角形的顶点,这个三角形的形状会发生改变吗?三角形的大小会变吗?你知道这是为什么? 用四根木条钉一个四边形,拉四边形的顶点,这个四边形的形状会发生改变吗?四边形的大小会变吗?你知道这是为什么? 结论:如果三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.四边形具有不稳定性. 三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.    【例1】 已知三角形三条边分别为a+4,a+5,a+6,求a的取值范围. 分析:根据三角形两边之和大于第三边可得a+4+a+5>a+6再解即可. 解:由题意得:解得:a>-3. 【例2】 若a,b,c分别为三角形的三边,化简:|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b| 分析:根据三角形的三边关系得出a+b>c,a+c>b,b+c>a,再去绝对值符号,合并同类项即可. 解:∵a、b、c为三角形三边的长,∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,∴原式=|a-(b+c)|+|b-(c+a)|+|(c+b)-a|=b+c-a+a+c-b+c+b-a=-a+b+3c. 三、巩固练习 1.长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,则x的值可以是(  ) A.4 B.5 C.6 D.9 2.下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是(  ) A.2,3,4 B.5,7,7 C.5,6,12 D.6,8,10 3.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为________. 4.小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为8 m和5 m的木棒.如果要求第三根木棒的长度是整数,小颖有几种选法?第三根木棒的长度可以是多少? 5.如图,点O是△ABC内的一点,证明:OA+OB+OC>(AB+BC+CA). 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获与感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师作补充. 作业 1.教材第82页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点,激发学生的学习兴趣,让学生在经过自己的思考后,教师启发诱导解决实际问题,让学生做学习的主人,并探讨多种不同问题,使探究过程活跃起来,以更好地激发学生的积极思维,得到更大的收获. 9.2 多边形的内角和与外角和 1.理解多边形的概念和正多边形的概念. 2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念. 3.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上,推理并掌握多边形的外角和定理. 重点 多边形内角和定理的探索和应用. 难点 多边形的内角和,外角和定理的推导. 一、创设情境、复习引入 什么叫三角形?你能说出什么叫四边形、五边形吗?三角形如何表示? 二、探索问题,引入新知 试一试:四边形和五边形是怎样表示呢? 如图(1),三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作:△ABC. 如图(2),四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作:四边形ABCD. 如图(3),五边形是由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作:五边形ABCDE. 一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,又称为多边形. 注意:(1)我们现在研究的是如图(2)(3)的多边形,也就是凸多边形,如图(4)也是多边形,但不是我们现在研究范围. (2)与三角形类似,如图(5)所示,∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角,∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角,两者互为对顶角,称为一对外角. 如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,那么就称它为正多边形.连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 如:正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等. 试一试:我们知道三角形的三个内角和是180度,那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少? 由下图可以看出,从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形,我们已知一个三角形的内角和等于180度,这样我们就可以求出多边形的内角和. 根据我们的分析,完成下表: 多边形 的边数 3 4 5 6 … n 分成的三 角形个数 1 2 3 4 … n-2 多边形的 内角和 180° 360° 540° 720° … (n-2)·180°   由此,我们可以得出: 结论:n边形的内角和为(n-2)·180°. 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角,从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为多边形的外角和. 如图,四边形ABCD,∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角,求:∠1+∠2+∠3+∠4的度数. 因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180°,又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°(四边形内角和等于360°),所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.所以四边形的外角和等于360°.根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角,就可以求得n边形的外角和,填表: 多边形 的边数 3 4 5 … n 多边形的 内角与外 角的总和 3×180° =540° 4×180° =720° 5×180° =900° … n×180° 多边形的 内角和 180° 360° 540° … (n-2)· 180° 多边形的 外角和 360° 360° 360° … 360°   结论:任意多边形的外角和都为360°. 【例1】 如图,多边形ABCDE的每个内角都相等,求每个内角的度数. 分析:根据多边形内角和定理求解. 解:∵五边形的内角和=(5-2)·180°=540°,又∵五边形的每个内角都相等,∴每个内角的度数=540°÷5=108°. 【例2】 一个多边形的内角和等于900°,则这个多边形是几边形? 分析:根据多边形内角和定理求解. 解:设多边形为n边形,由题意得(n-2)·180°=900°,解得n=7. 【例3】 一个多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形是几边形? 分析:根据任意多边形的外角和都为360°求解. 解:设多边形为n边形,由题意,得n·72°=360°解得n=5. 例4:如图,小亮从A点出发,沿直线前进10米后向左转30度,再沿直线前进10米,又向左转30度,……照这样走下去,他第一次回到出发点A点时,一共走了多少米? 分析:根据题意,小亮走过的路程是正多边形,先用360°除以30°求出边数,然后再乘以10米即可. 解:∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度,∴他走过的图形是正多边形,∴边数n=360°÷30°=12,∴他第一次回到出发点A时,一共走了12×10=120(米).故他一共走了120米.                  三、巩固练习 1.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形是(  ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 2.若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是(  ) A.6 B.12 C.16 D.18 3.如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.七边形的内角和为________. 5一个n边形的内角和是720°,则n=________. 6.若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是________. 7.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于________度. ,第7题图)   ,第8题图) 8.如图,∠1是五边形ABCDE的一个外角,若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D=________. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 作业 1.教材第88页“习题9.2”中第1,2,3题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课通过把多边形划分成若干个三角形,用三角形内角和去求多边形的内角和,从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°.这种化未知为已知的转化方法,必须在学习中逐步掌握.由于多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理.通过练习情况来看学生本节课掌握的较好. 9.3 用正多边形铺设地面 1.通过用相同的正多边形拼地板活动,巩固多边形的内角和与外角和公式. 2.探索用多种正多边形拼地板的过程和原理. 重点 通过用两种以上正多边形拼地板,提高学生观察、分析、概括、抽象等能力. 难点 通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键. 一、创设情境、复习引入 回到开始提出的问题:某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙?地砖或瓷砖的形状大多数是正多边形,是不是所有的正多边形都能铺满地面呢? 二、探索问题,引入新知 探究1:用相同的正多边形 使用给定的某种正多边形,它能否拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不相互重叠? 通过学生动手拼图,使他们发现能拼成既不留空隙,又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°. 下面再通过计算,看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形.完成下表: 正多边形 的边数 3 4 5 6 7 … n 正多边形 的内角和 180° 360° 540° 720° 900° … (n-2)180° 正多边形每 个内角度数 60° 90° 108° 120° … 当[360°÷]为正整数时,即为正整数时,用这样的正多形就可以铺满地面. 结论:当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,就可以拼成一个平面图形. 探究2:用多种正多边形 用正三角形和正六边形能铺满地面吗?为什么? 由正六边形和正三角形组成也能铺满地面. 因为正六边形的内角为120°,正三角形的内角为60°,这样用2块正六边形和2块正三角形,它们内角之和为一个周角360°,所以能铺满地面.(即:2×120°+2×60°=360°) 能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢? 如图①:是用正八边形和正方形拼成的.因为正八边形的内角为135°,正方形的内角为90°,那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°,所以可以铺满地板.(即:2×135°+90°=360°) 如图②:是用正六边形、正方形、正三角形拼成的.因为正六边形的内角为120°,正方形的内角为90°,正三角形的内角为60°,那么用1个正六边形,2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°,所以可以铺满地面.(即:120°+2×90°+60°=360°) 结论:若几个正多边形的一个内角的和等于360°,那么这几个正多边形可铺满地面. 【例1】 正八边形地板砖,能铺满地面,既不留下一丝空白,又不相互重叠吗?请说明理由. 分析:先算出正八边形每个内角的度数,再看每个内角度数能否整除360°. 解:不能.∵正八边形每个内角是=135°,不能整除360°,∴不能密铺. 点评:正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°. 【例2】 某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面,可以选择的方案有许多种,请你为其设计. (1)如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面,可以选择的有________.(填序号) ①正方形;②正五边形;③正六边形;④正八边形;⑤任意三角形;⑥任意四边形 (2)如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中,任意选取其中的两种,有几种可行的方案? (3)如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中,任意选取其中三种,有几种可行的方案? 分析:(1)由镶嵌的条件知,判断一种图形是否能够镶嵌,只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°,能整除的可以平面镶嵌,反之则不能. (2)分别求出各个正多边形的每个内角的度数,结合镶嵌的条件,分别计算即可求出答案. (3)分别求出各个正多边形的每个内角的度数,结合镶嵌的条件,分别计算即可求出答案. 解:(1)①正方形的每个内角是90°,4个能组成镶嵌;②正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°,不能整除360°,不能密铺;③正六边形的每个内角是120°,能整除360°,3个能组成镶嵌;④正八边形的每个内角为:180°-360°÷8=135°,不能整除360°,不能密铺.⑤任意三角形 ⑥任意四边形都可以镶嵌平面. (2)正三角形的每个内角是60°,正方形的每个内角是90°,∵3×60°+2×90°=360°,能密铺.正八边形的每个内角是135°,正方形的每个内角是90°,∵2×135°+90°=360°,能密铺.故共有两种可行的方案; (3)由题意可得出:正三角形、正四边形,正十二边形可以镶嵌地面; 正四边形,正六边形,正十二边形可以镶嵌地面;故有2种可行的方案. 点评:用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°,任意多边形能进行镶嵌,说明它的内角和应能整除360°,几何图形镶嵌成平面的关键是:围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角. 三、巩固练习 1下列几种形状的瓷砖中,只用一种不能够铺满地面的是(  ) A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.正三角形 2.下列三组正多边形的组合:①正八边形和正方形;②正五边形和正八边形;③正六边形和正方形,能够铺满地面的组合是________(填序号即可). 3.用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面. (1)则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形?(两种图形都要用上) (2)请画出你的镶嵌图. 4.小红家购买了一套新房,准备用一种地板砖镶嵌新居地面,要求地板砖都是正多边形,且每块地板砖的各边长都相等,各个角也都相等、某家装饰材料市场有如下五种型号的地砖,它们每个角的度数分别为60°,90°,108°,120°,135°,你认为这些地板砖哪些适用?请说明你的理由. 5.现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如图所示),设计能铺满地面的瓷砖图案. (1)能用相同的正多边形铺满地面的有________. (2)从中任取两种来组合,能铺满地面的正多边形组合是________. (3)从中任取三种来组合,能铺满地面的正多边形组合是________. (4)你能说出其中的数学道理吗? 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第91页“习题9.3”第1,2 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课学习用正多边形铺设地面是在学习多边形的内角和与外角和的前提下来学习的,且是多边形在生活中应用的拓展.所以这节课,教师以生活中常见的地板瓷砖来创造问题情境,学生对此也 比较感兴趣,进而引导学生探索哪些正多边形能铺满地面.这一节课,内容比较简单,幻灯片的图片也比较形象、直观,所以学生比较感兴趣、课堂气氛也相对活跃,课堂效果比较成功. 第10章 轴对称、平移与旋转 10.1 轴对称 10.1.1 生活中的轴对称 1.通过观察、分析现实生活实例和典型图形的过程,认识轴对称和轴对称图形. 2.会找出简单的轴对称图形的对称轴,了解轴对称和轴对称图形的联系和区别. 重点 正确理解轴对称图形以及轴对称的概念. 难点 能正确区分轴对称图形和轴对称. 一、创设情境,引入新课 不论是在自然界还是在建筑中,不论是在艺术中还是科学中,甚至在最普通的日常生活用品中,对称的形式都随处可见,如图.对称的形式被认为是和谐美丽的. 通过观察图片.使学生能够形象直观地感受图形的对称.使学生明白对称在美学和自然界中的作用. 二、探索问题,引入新知 观察下面各个图形.你能发现这些图形有什么共同特征么?用自己的语言描述.你能不能在上面的每个图形中画一条线,在把这个图形沿你所画的线对折,使左右两旁的部分完全重合. 结论: 如果图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴. 注意:(1)轴对称图形是一个图形;(2)对折;(3)重合.观察下面两组图形. 请注意观察,当把这两个图案沿着一条直线折叠后,会发现什么样的现象? 请同学再看图②,当沿着一条直线折叠后,这两个五边形会有什么现象? 这就是说两个图形也可以是对称的.我们把这样的两个图形称为成轴对称. 结论: 把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点. 注意:(1)“轴对称”是两个图形. (2)对折. (3)重合. 试一试:请同学标出第(2)个图中A,B,C三点的对称点A1,B1,C1. 在图(2)中,如果把它看作两个五边形,那么它就是成轴对称的,如果我们把它看作是一个图形的两个部分,那么它就成了轴对称图形. 从上图中我们可以发现,轴对称图形(或成轴对称的两个图形)沿对称轴对折后的两部分是完全重合的. 结论:轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等,对应角(对折后重合的角)相等. 【例1】 如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠B=125°,∠A+∠D=155°,AB=3 cm,EH=4 cm. (1)试写出EF,AD的长度; (2)求∠G的度数. 分析:(1)根据图形写出对应线段即可; (2)对称图形的对应角相等,据此求解; 解:(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠B=125°,∠A+∠D=155°,AB=3 cm,EH=4 cm.∴EF=AB=3 cm,AD=EH=4 cm; (2)∵∠B=125°,∠A+∠D=155°,∴∠C=80°,∴∠G=∠C=80°. 【例2】 如图,点P在∠AOB内,点M,N分别是P点关于OA,OB的对称点,且MN交OA,OB相交于点E,若△PEF的周长为20,求MN的长. 分析:根据轴对称的性质可知:EP=EM,PF=FN,所以线段MN的长=△PEF的周长,再根据△PEF的周长为20,即可得出MN的长. 解:∵点M是P点关于OA的对称点,∴EP=EM,∵N是P点关于OB的对称点,∴PF=FN,∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长,∵△PEF的周长为20,∴MN=20. 三、巩固练习 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是(  ) 2.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与对角线AB交与点Q,点P是直线MN上面一点,下列判断错误的是(  ) A.AQ=BQ B.AP=BP C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠NMB 3.如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∠A=30°,∠C′=60°,则∠B=________. ,第3题图)   ,第3题图) 4如图,某英语单词由四个字母组成,且四个字母都关于直线l对称,则这个英语单词的汉语意思为________. 5.数的计算中有一些有趣的对称形式,如:12×231=132×21;仿照上面的形式填空,并判断等式是否成立: (1) 12×462=______×______(________); (2) 18×891=______×______(________). 6.如图所示的四个图形中,从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同?请指出这个图形,并简述你的理由. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第100页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 本节通过大量生动的生活中的实例引领学生进入图形中的对称世界,深刻体会对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.同时通过本节的学习与探索,使同学们对对称的认识由感性到理性,由浅到深,为后面抽象的对称图形的学习作好铺垫工作. 10.1.2 轴对称的再认识 1.掌握用“连结对称点的线段被对称轴垂直平分”验证一个图形是不是轴对称图形. 2.并请熟练画出轴对称图形的对称轴. 3.通过动手操作探索轴对称的性质,运用轴对称性质解决实际问题. 重点 画轴对称图形的对称轴. 难点 画轴对称图形的对称轴. 一、创设情境,问题引入 在纸上画出线段AB和它的中点O,再过O点画与AB垂直的直线CD,沿直线CD将纸对折,观察线段OA和线段OB是否重合? 二、探索问题,引入新知 从上面的操作我们可以看出,线段OA和线段OB互相重合,因此,线段AB是轴对称图形.直线CD是线段AB的对称轴,它垂直于线段AB,又平分线段AB,我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线. 如上图中直线CD是线段AB的垂直平分线.线段的垂直平分线是直线. 试一试:每位同学准备一张半透明的白纸,在纸上画一个角(∠AOB),然后对折这个角,使角的两条边完全重合,然后用直尺画出折痕OM. 思考:从上面的实验中你能发现什么? 角是轴对称图形,对称轴是它的角平分线所在的直线.如图所示的直线OM就是∠AOB的对称轴. 有时我们感觉一个图形是轴对称的,那么如何来验证呢?这就需要我们去找到它的对称轴,看看沿着对称轴翻折以后两部分是否重合. 试一试:如图,方格子内的两图形都是成轴对称的,请画出它们的对称轴. 由于图形在方格子内,我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴,你能想想是什么原因吗? 因为在方格子中我们比较容易看清楚图形的位置,也就比较容易确定图形的中间位置. 如果没有方格子,而又不能折叠,你还能比较容易地画出图形的对称轴吗?请同学试试看. 做一做:试着画出如下图形的对称轴. 用折叠的方法可以检验自己画的对称轴是否正确.如果不能折叠又该如何判断对称轴的位置呢? 做一做:如图点A和点A1关于某直线成轴对称,你能画出这条直线吗? 如图,我们只要连结点A和点A1,画出线段AA1的垂直平分线MN,则直线MN就是所是点A和点A1的对称轴. 总结一下对称轴的画法. 结论:1.找出轴对称图形的任意一组对称点,连结对称点. 2.画出对称点所在连线段的垂直平分线.则这条垂直平分线就是它的对称轴.通过以上的操作,我们可以有这样的结论:如果一个图形关于某一条直线对称,那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. 【例】 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 …   根据上表,猜想正n边形有________条对称轴. 分析:轴对称就是一个图形的一部分,沿着一条直线对折,能够和另一部分重合,这样的图形就是轴对称图形,这条直线就是对称轴,依据定义即可求解. 解:如图, 故填3,4,5,6,7,n. 三、巩固练习 1.下列说法错误的是(  ) A.等边三角形是轴对称图形 B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等 C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 2.设A,B两点关于直线MN轴对称,则________垂直平分________. 3.下列图形中,哪些是图形的对称轴,哪些不是图形的对称轴? 4.找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第110页“习题10.1”中第3,4,5 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课应采用小组学习模式,在小组讨论之前,应该留给学生充分独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成. 10.1.3 画轴对称图形 1.使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形. 2.通过画轴对称图形,增强学生学习几何的趣味感,培养审美情操. 重点 让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴. 难点 画轴对称图形. 一、创设情境,问题引入 1.如图,作出它们的对称轴. 2.如图,给出一个图形和一条直线,那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢? 二、探索问题,引入新知 如图,实线所构成的图形为已知图形,虚线为对称轴,请画出已知图形的轴对称图形. 思考下面两个问题: (1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确. (2)和其他同学比较一下,你的方法是最简单吗? 在格点图中,很容易画出已知图形的轴对称图形,如果没有格点图,我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗? 你能画出点A关于直线L的对称点吗? 画法:(1)过点A向直线L画垂线段AO,垂足点O; (2)延长AO至OA1,使OA1=OA.则点A1就是点A关于直线L的对称点. 做一做:你能画出线段AB关于直线L的对称线段吗? 画法:(1)画点A,点B关于直线L的对称点A1,B1; (2)连结A1 ,B1. 则线段A1 B1就是线段AB关于直线L的对称线段. 做一做:你能画出三角形ABC关于直线L的对称图形吗? 画法:(1)画出点A,点B和点C关于直线L的对称点A1,B1和C1; (2)连结A1 B1,B1 C1,A1 C1,则△A1 B1 C1就是△ABC关于直线L的对称三角形. 从上面的例子可以知道,如果图形是由直线、线段或射线组成时,那么只要画出图形中的特殊点的对称点,然后连结对称点,就可以画出关于这条直线的对称图形. 结论:先画点的对称点,再画线段的对称图形,最后画三角形的对称图形.由易到难,这样学生就很容易的知道了知识的形成过程. 【例1】 如图,方格图中每个小正方形的边长为1,点A,B,C都是格点.画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1. 分析:画出图形中的特殊点的对称点,然后连结对称点,就可以画出关于这条直线的对称图形. 解:如图所示,△A1B1C1即为所求 【例2】 如图,请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整,使得它们关于直线l对称.(保留作图痕迹) 分析:过点C,点B′作关于直线l的对称点,连结AB,BC,B′C及A′C′即可. 解:如图所示: 三、巩固练习 1.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是(  ) 2.下列各图都是一个汉字的一半,你能想像出它的另一半并能确定它是什么字吗?(有几个字的笔划在对称轴上). 3.如图,先画△ABC关于直线l1的对称△A1B1C1,(直线l1过点C),再画出△A1B1C1,关于直线l2的对称△A2B2C2. 4.如图,在网格中有两个大小、形状一样的图形(阴影部分),用这两个图形拼成轴对称图形,试分别在图中画出两种不同的拼法. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第110页“习题10.1”中第6 题. 2.完成练习册中本课时练习. 学生是学习的主体,要让学生成为真正的主人,就必须在数学活动中学习数学,也就是在创造中学习数学.本课从最基本的图形中,让学生自己动手画,体验探索成功的快乐;通过动手操作,小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习,提高学生解决问题的能力,巩固所学知识. 10.1.4 设计轴对称图案 会设计简单的轴对称图案. 重点 能灵活运用轴对称进行简单的图案设计. 难点 能灵活运用轴对称进行简单的图案设计. 一、创设情境,问题引入 随着人们生活水平的不断提高,各种小汽车已经走进我们的家庭.道路交通也越来越堵塞,我们必须遵守交通规则,安全出行.下面是一些交通标志牌,仔细观察这些图案,发现其中有很多轴对称图形. 生活中还有很多复杂的轴对称图形,那么我们如何设计轴对称图案呢? 二、探索问题,引入新知 如图,是一个轴对称图形. (1)有多少条对称轴呢? (2)可以利用轴对称性来画出它吗? 准备一张正方形纸片,按以下五个步骤一起来画: (1)在正方形纸片上用虚线画出四条对称轴. (2)如图,在其中一个三角形中,画出图形形状的基本线条(可以自己设计线条). (3)按照其中一条斜的对称轴画出(2)中图形的对称图形. (4)按照其中一条斜的对称轴画出(3)中图形的对称图形. (5)按照水平(或垂直)对称轴画出(4)中图形的对称图形. 画好后可以涂上自己喜欢的颜色,擦掉其它多余的线条,一幅对称的图案就完成了(如下图). 【例】 把如图(实线部分)补成以虚线m为对称轴的轴对称图形,你会得到一只美丽蝴蝶的图案.(不用写作法,保留作图痕迹). 分析:作A,B,C,D关于直线m的对称点A′,B′,C′,D′即可解决问题. 解:作A,B,C,D关于直线m的对称点A′,B′,C′,D′,图案如图所示. 三、巩固练习 1.长城是我国古代劳动人民创造的伟大奇迹,是中国悠久历史的见证,是中华民族的象征,被列为世界文化遗产.下列以长城为背景的标志设计中,不是轴对称图形的是(  ) 2.如图,由4个小正方形组成的田字格,△ABC的顶点都是小正方形的顶点,在田字格上能画出与△ABC成轴对称,且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有________个. 3.如图是由16个小正方形组成的正方形网格图,现已将其中的两个涂黑.请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形,使它成为轴对称图形. 4.观察设计. (1)观察如图的①~④中阴影部分构成的图案,请写出这四个图案都具有的两个共同特征; (2)借助如图⑤的网格,请设计一个新的图案,使该图案同时具有你在解答(1)中所写出的两个共同特征.(注意:新图案与如图的①~④的图案不能重合) 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想,然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第109页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 课前让学生充分收集生活中的利用轴对称设计的图案,使学生感受到轴对称在生活中的广泛存在和丰富的文化价值.课堂上各个环节为学生展示自己聪明才智提供机会,并在此过程中让学生去发现问题、分析问题、解决问题形成独到见解.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度. 10.2 平移 10.2.1 图形的平移 1.通过具体实例认识图形的平移变换,探索它的基本性质. 2.能按要求画出简单的平面图形平移后的图形. 3.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力. 重点 认识图形的平移变换. 难点 掌握两次连续平移的方法,正确判断平移的距离. 一、创设情境,引入新课 日常生活中经常可以看到的一些如图所示的现象:如滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔,火车在笔直的铁轨上飞驰而过等等. 我们还可以看到如图所示的一幅幅美丽的图案,它们可以看成是由某一基本图形沿着一定的方向移动而产生的结果. 二、探索问题,引入新知 平面图形在它所在的平面上的平行移动,简称为平移.它由移动的方向和距离所决定. 如图,当我们用直尺和三角板画平行线时,△ABC沿直尺PQ平移到△A′B′C′时,就可以画出AB的平行线A′B′了. 我们把点A与A′叫作对应点,线段AB与A′B′叫作对应线段,∠A与∠A′叫作对应角.此时: (1)点B的对应点是________; (2)点C的对应点是________; (3)线段AC的对应边是________; (4)线段BC的对应边是________; (5)∠B的对应角是________. 【例】 如图,四边形ABCD(图1)与四边形EFGH(图2)的形状、大小完全相同. (1)若图1经过一次平移后得到图2,请指出平移的方向和距离; (2)若图1经过一次轴对称后得到图2,请分别指出点A,B,C,D的对应点. 分析:通过测量可知平移的距离;轴对称是沿着对称轴翻折后能够重合的位置关系,对应找到对应点即可. 解:(1)图1向右平移5 cm即可得到图2; (2)A,B,C,D的对应点分别是G,F,E,H.                  三、巩固练习 1.下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是(  ) 2在以下现象中,①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上,瓶装饮料的移动,属于平移的是(  ) A.①,② B.①, ③ C.②,③ D.②,④ 3.如图所示的△ABC和△DEF中,一个三角形经过平移后成为另一个三角形,指出点A,B,C的对应点,并指出线段AB,BC,CA的对应线段,∠A,∠B,∠C的对应角. 4.如图,△A′B′C′是由△ABC平移得到的,写出图中的对应角、对应线段、对应点. 四、小结与作业 小结 组织学生总结这节课所学的内容,并作适当的补充. 作业 1.教材第113页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课首先,通过创设大量的生活情境让学生形成直观上的初步认识.然后,让学生通过演示,使平移运动生动、形象地展现在学生面前,给学生更多的空间和机会.将静态的教学内容,设计成动态的过程,将传统的教学方法演变得更加生动有趣.引导学生在丰富、有趣的数学活动中,积极思考、充分探究、获取知识、发展能力.加深了学生对概念的理解,起到突破难点的作用. 10.2.2 平移的特征 1.能根据所给条件作简单的平面图形平移后图形. 2理解平移时对应点所连线段平行(有时在同一条直线上)且相等,对应线段平行(有时在同一条直线上)且相等以及对应角相等的理论. 重点 平移的特征和平移的基本性质. 难点 准确理解平移的特征和平移的基本性质. 一、创设情境,问题引入 上一节课我们学习了图形的平移,那么平移后的图形与原来的图形的形状、大小有没有发生变化? 每对对应线段有怎样的位置关系和数量关系? 每对对应角之间又有怎样的关系? 二、探索问题,引入新知 如图△A′B′C′是由△ABC平移得到的. 我们知道A′B′∥AB,A′B′=AB,∠B′=∠B,同时也有A′C′∥ ________,A′C′=________, ∠C′=________. 结论: 平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等(也可能在同一条直线上),对应角相等,图形的形状和大小不变. 探索:△ABC沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置,除了对应线段平行并且相等以外,你还发现有哪些线段平行且相等? 我们可以看到,△ABC上的每一点都作了相同的平移:A→A′,B→B′,C→C′.不难发现,AA′∥________∥________;AA′=________=________. 结论: 平移后对应点所连的线段平行并且相等. 注意:若把△ABC沿着BC的方向平移到△A′B′C′的位置,在平移过程中,同学们发现了不同于所概括规律的特征吗? 结论:在平移过程中,对应点所连的线段也可能在一条直线上. 试一试:将图中的△A′B′C′沿着RS的方向平移到△A″B″C″的位置,其平移的距离为线段RS的长度. 【例1】 现要把方格纸上的小船沿图中箭头方向平移8个单位,请你在方格纸上画出小船的平移后图形. 分析:分别作出△MNE和梯形ABCD向右平移8个单位的对应位置即可. 解:如图所示: 【例2】 如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸格点上. (1)将△ABC经过平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′,补全△A′B′C′; (2)若连结AA′,BB′,则这两条线段之间的关系是________; (3)在图中画出△ABC的高CD. 分析:(1)根据平移前后对应点连线互相平行且相等,即可找到A′,C′的位置,从而补全△A′B′C′;(2)根据平移的性质即可作出判断;(3)利用格点图形作出即可. 解:(1)如图所示: (2)平行且相等; (3)如图所示: 三、巩固练习 1.如图所示的网格中各有不同的图案,不能通过平移得到的是(  )                  2.下面的四个图形中,能够通过基本图形平移得到的图形有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,在5×5的方格纸中,将如图①的三角形甲平移到如图②所示的位置,与三角形乙拼成一个长方形.正确的平移方法,可以先将甲向下平移3格,再向________平移________格得到. 4.如图,网格中的小正方形都是边长为1个单位长度的小正方形. (1)请画出将△ABC向右平移7个单位长度后的对应△DEF; (2)写出平行的线段; (3)写出相等的角. 5.按要求画图:将下图中的阴影部分向右平移6个单位,再向下平移4个单位. 6.如图,在方格中平移三角形ABC,使点A移动到点M,点B,C应移动到什么位置?再将A由点M移动到点N?分别画出两次平移后的三角形.如果直接把三角形ABC平移,使A点移到点N,它和前面先移到M后移到N的位置相同吗? 四、小结与作业 小结 通过本节课,你学习了哪些知识?你掌握了哪些学习方法? 作业 1.教材第117页“习题10.2”中第1,2,3 题. 2.完成练习册中本课时练习. 该节课要注意关注学困生的学习状态,利用大量的动画展示平移的特征,其目的之一是加强直观性,目的之二是吸引学生的注意力,增强学习的效果.从上课的情况来看,收到了不错的效果,当然,对于学困生来说,在观察引导后,还需多加辅导,特别是画平移的图形. 10.3 旋转 10.3.1 图形的旋转 1.通过具体实例认识旋转. 2.了解旋转的定义,能说出旋转中心、旋转角. 重点 旋转的有关概念. 难点 会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角. 一、创设情境,问题引入 在日常生活中,除了物体的平行移动外,我们还可以看到许多物体的旋转现象,如图中的时钟,风车等等. 思考:(1)图中,哪些零部件作转动? (2)在这些转动中有哪些共同特征? (3)钟上的秒针在不停地转动中,其形状、大小、位置是否发生改变?大风车在转动中其形状、大小、位置是否发生改变? 这就是今天我们所研究的课题“图形的旋转”. 二、探索问题,引入新知 观察教材第118页图10.3.2,我们可以把它们看成:由一个或几个平面图形,在它所在的平面上转动而产生奇妙画面. 这些图形有什么共同点呢? 如图是单摆上小球的转动情形. (1)单摆上小球的转动由位置P转到P′,它是绕着哪一点?沿着什么方向?转动了多少角度? (2)单摆上小球转到P与P′中间时,它绕着的点、沿着的方向有没有变化?转动的角度有没有变化? 结论: 像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 试一试:任意画一个△ABC,把透明纸覆盖在△ABC上,并在透明纸上画出一个与△ABC重合的三角形.用一枚图钉将点A处固定.将透明纸绕着图钉(即点A)转动45°,透明纸上的三角形就旋转了新的位置,标上A′,B′,C′. 我们可以认为△ABC绕着A点旋转45°后到△AB′C′. 在这样的旋转中,你发现了什么? (1)B点旋转到哪一点?(点B′) (2)C点旋转到哪一点?(点C′) (3)∠BAC旋转到哪里?(∠B′AC′) (4)线段AB旋转到哪里?(线段AB′) (5)线段AC旋转到哪里?(线段AC′) (6)线段BC旋转到哪里?(线段B′C′) (7)∠B旋转到哪里?(∠B′) (8)∠C旋转到哪里?(∠C′) (9)它的旋转中心是什么?(点A) (10)它的旋转的角度是多少?(45°) 在旋转的过程中,(1)点B与点B′,点C和点C′是对应点;(2)线段AB与线段AB′,线段AC与线段AC′,线段BC与线段B′C′是对应线段;(3)∠BAC和∠B′AC′,∠B与B′,∠C与∠C′是对应角. 想一想:△ABC的边AB的中点D的对应点在哪里? 根据旋转的原理:图形上每一个点都绕着旋转中心,按同一方向,旋转同一角度而得到的,所以AB的中点D的对应点也应在它的对应线段AB′的中点位置. 做一做:如果△ABC的外面一点O作为旋转中心,把△ABC绕着点O按逆时针方向旋转60°,将△ABC旋转到△A′B′C′位置,你会做吗?在学生动手操作下,不会的同学也可以互相交流. 观察下图,回答问题. △ABC和△A′B′C′的顶点、边、角是如何对应的呢? (1)点A与点A′,点B与点B′,点C与点C′是对应点. (2)线段AB与线段A′B′,线段BC与线段B′C′,线段AC与线段A′C′是对应线段(即对应边). (3)∠A与∠A′,∠B与∠B′,∠C与∠C′是对应角. 【例1】 如图,△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C,问: (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转角是什么? (3)如果点M是BC的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置? 分析:根据旋转的性质和题意容易得出结果. 解:(1)旋转中心是点C; (2)旋转角是∠ACA′或∠BCB′; (3)B′C的中点. 【例2】 如图,△ABC的∠BAC=90°,AB=AC,D、E在BC上,∠DAE=45°,△AEC按顺时针方向转动一个角后得到△AFB. (1)图中哪一点是旋转中心? (2)旋转了多少度? (3)指出图中的对应点、对应线段和对应角. 分析:利用旋转的定义找旋转中心,旋转角及对应点、对应线段和对应角. 解:(1)点A (2)90° (3)A的对应点是A,E的对应点为F,C的对应点是B,AC的对应线段AB,AE的对应线段是AF,EC的对应线段是FB,∠1的对应角为∠2,∠3的对应角为∠F,∠C的对应角为∠4.                  三、巩固练习 1.下列现象:①时针的转动;②摩天轮的转动;③地下水位逐年下降;④传送带上的机器人.其中,属于旋转的是(  ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 2.如图,在正方形网格中有△ABC,△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是(  ) 3.如图,如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF,在这个旋转过程中: (1)旋转中心是什么?旋转角是什么? (2)经过旋转,点A、B分别移动到什么位置? 4.如图所示,△DBE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的,按图回答: (1)A,B,C的对应点是什么? (2)线段AB,AC,BC的对应线段是什么? (3) ∠A,∠C和∠ABC的对应角是什么? 四、小结与作业 小结 本节课你学会了什么?还有哪些问题和不足之处? 作业 1.教材第121页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 课堂教学是一个动态过程,学生的思维又常常受到课堂气氛或突发事件的影响,为了达到最佳的教学效果,教师一方面采取多媒体辅助教学,旨在呈现更直观的印象,提高学生的积极性和主动性,并提高课堂效率.另一方面采取“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的学习模式展开,引导学生自己提出问题、解决问题、拓展问题,指导学生用观察、抽象、自主探究为主,合作交流为辅的方法进行学习. 10.3.2 旋转的特征 1.通过具体实例认识旋转. 2.理解旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 3.能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形. 重点 图形的旋转的基本性质及其应用. 难点 图形的旋转的基本性质及其应用. 一、创设情境,问题引入 复习上节课的内容,什么叫旋转?什么叫旋转中心?什么叫旋转角?什么叫旋转的对应点? 二、探索问题,引入新知 如图,若旋转中心在△ABO的外面点O处,逆时针转动45°,将整个△ABO旋转到△A′B′O′的位置. 观察上图,旋转中心是点O,点A,B都是绕着点O旋转45°角到对应点A′,B′,则OA=______,OB=________,AB=________,∠AOB=________,∠A=________,∠B=________.∠AOA′=________=45°. △ABO和△A′B′O′的形状、大小有何变化?你发现了什么? 如图,若旋转中心在△ABC的外面点O处,逆时针转动60°,将整个△ABC旋转到△A′B′C′的位置. 观察上图,旋转中心是点O,点A,B,C都是绕着点O旋转60°角到对应点A′,B′,C′,则OA=________,OB=________,OC=________,AB=________,BC=______,CA=______,∠CAB=______,∠ABC=________,∠BCA=________.∠AOA′=________=________=60°. △ABC和△A′B′C′的形状、大小有何变化?你发现了什么? 结论:图中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样的角度;对应点到旋转中心的距离相等;对应线段长度相等,对应角相等;对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等;图形的形状与大小不变. 【例1】 如图,△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4 cm,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点. (1)指出旋转中心,并求出旋转的度数; (2)求出∠BAE的度数和AE的长. 分析:(1)先利用三角形内角和计算出∠BAC=140°,然后根据旋转的定义求解; (2)根据旋转的性质得∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4,则可利用周角定义可计算出∠BAE=80°,然后计算出AC,从而得到AE的长. 解:(1)∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-15°-25°=140°,即∠BAD=140°,所以旋转中心为点A,旋转的度数为360°-140°=220°; (2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,∴∠EAD=∠BAC=140°,AE=AC,AD=AB=4,∴∠BAE=360°-140°-140°=80°,∵点C恰好成为AD的中点,∴AC=AD=2,∴AE=2. 点评:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形的形状与大小不变. 【例2】 如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE(点A对应点为D),线段AC交线段DE于点F,求∠EFC的度数. 分析:由旋转性质可得∠A=∠D,根据∠1=∠2可得∠EFC=∠DFA=∠ABD=60°. 解:如图,∵△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE,∴∠A=∠D,又∵∠1=∠2,∴∠DFA=∠ABD=60°,∴∠EFC=∠DFA=60°. 点评:①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形的形状与大小不变是解题的关键.                  三、巩固练习 1.在图形旋转中,下列说法错误的是(  ) A.图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B.图形上的每一点转动的角度相同 C.图形上可能存在不动点 D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 2.△ABC绕点A按顺时针方向旋转了60°得△AEF,则下列结论错误的是(  ) A.∠BAE=60° B.AC=AF C.EF=BC D.∠BAF=60° 3.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是________. 4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C′,且点A在A′B′上,则旋转角为________. 5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得△DEC,若BC∥DE,求∠B的度数. 四、小结与作业 小结 引导学生从以下几个方面进行小结: (1)这节课你学到了什么? (2)对自己的学习情况进行评价. 作业 1.教材第122页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 在教学的全过程中,教师始终以提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律;所有的特征都是通过让学生回顾自己的操作过程和观察自己的画图作品,体会、归纳得出.这样可以有效地培养学生的合作交流、独立思考问题、解决问题的能力. 在练习的设计上,遵循由浅入深的原则,循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征,解决生活上的实际问题,从而体现数学的价值;同时,不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要,让不同的人在数学上得到不同的发展. 10.3.3 旋转对称图形 1.理解旋转对称图形和旋转对称的特征. 2.通过探究图形之间的变换关系的过程,发展图形的分析能力,提高“化归”意识和综合运用变换解决实际问题的能力. 重点 认识旋转对称图形. 难点 合理运用变换解决有关问题. 一、创设情境,问题引入 在日常生活中,一些图形绕着某一定点转动一定的角度后能与自身重合. 电扇的叶片转动120°能与自身重合;螺旋桨转动180°后,能与自身重合.你能再举出一些这样的实例吗? 二、探索问题,引入新知 试一试:用一张半透明的薄纸,覆盖在如图所示的图形上,在薄纸上画这个图形,使它与如图所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过,将薄纸绕着图钉旋转,观察旋转多少度(小于周角)后,薄纸上的图形能与原图形再一次重合. 由上述操作可知,该图形绕圆心旋转60°后,能与自身重合,而且绕圆心旋转120°或180°后,都能与自身重合. 结论:像这样图形围绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形. 注意:这个旋转的角度并不是唯一的. 用类似上述的操作方法对如图所示的图形进行旋转,它们是不是旋转对称图形?想一想:旋转中心在何处?该图形需要旋转多少度后,能与自身重合?该图形是轴对称图形吗? 你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗? 【例】 如图,下列各图形是否是旋转对称图形?若是, 则各绕哪一点最少要旋转多少度后,能与它自身重合? 解:(1)是旋转对称图形,圆心,180°; (2)不是旋转对称图形; (3)是旋转对称图形,圆心,60°; (4)是旋转对称图形,正方形对角线的交点,90°.                  三、巩固练习 1.下列图形中,旋转对称图形有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,该图形围绕其的旋转中心,按下列角度旋转后,能与自身重合的是(  ) A.150° B.120° C.90° D.60° ,第2题图)   ),\s\do5(第3题图)) 3.如图,香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为(  ) A.45 B.60 C.72 D.144 4.如图,说出这个图形的旋转中心,它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合? 四、小结与作业 小结 通过本节课的学习,你学会了什么? 作业 1.教材第124页“练习”. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课通过观察图形,分析图形,使学生掌握什么样的图形是旋转对称图形,会分析一个图形绕某个点旋转多少度后能够与原图形重合.从练习上可以看出学生掌握得较好. 10.4 中心对称 1.了解中心对称、对称中心和对称点的概念. 2.理解中心对称的性质. 3.掌握运用中心对称的性质作图的方法. 重点 1.中心对称的概念. 2.中心对称的性质,利用中心对称的性质进行作图. 难点 中心对称与轴对称的区别与联系. 一、创设情境,问题引入 观察下列图形,哪些是轴对称图形?哪些是旋转对称图形? 二、探索问题,引入新知 上面的第一个图形,我们把这个图形绕着中心旋转180°后,仔细观察旋转后的图形与原图形有什么关系? 我们发现旋转180°后能与原图形重合. 结论:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. 如图,△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称,图中有哪些线段相等? 由图形及旋转的性质可以得到:AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O. 结论:在成中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心所平分;反过来,如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点,并且被该点平分,那么这两个图形关于这一点成中心对称. 中心对称与轴对称的联系与区别: 中心对称 轴对称 1 有一个对称中心——点 有一条对称轴——直线 2 图形绕中心旋转180° 图形沿轴对折,即翻折180° 3 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 4 平面内旋转变化 空间内旋转变化 …   【例1】 如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称. 分析:中心对称就是旋转180°,关于点O成中心对称就是绕点O旋转180°,因此,我们连AO,BO,CO并延长,取与它们相等的线段即可得到. 解:(1)连结AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,如图所示. (2)同样画出点B和点C的对称点E和F. (3)顺次连结DE,EF,FD,则△DEF即为所求的三角形. 【例2】 如图,由4个全等的正方形组成的L形图案,请按下列要求画图: (1)在图案①中添加1个正方形,使它成轴对称图形(不能是中心对称图形); (2)在图案②中添画1个正方形,使它成中心对称图形(不能是轴对称图形); (3)在图案中改变1个正方形的位置,画成图案③,使它既成中心对称图形,又成轴对称图形. 分析:(1)根据轴对称图形的性质,先找出对称轴,再思考如何画图; (2)先找一个中心,再根据中心对称的性质,思考如何画图; (3)根据中心对称和轴对称的性质画一个图形. 注意此题有多种画法,答案不唯一. 解:如图所示.(1)如图①,图②,图③所示; (2)如图④所示; (3)如图⑤,图⑥所示. 三、巩固练习                  1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  ) 2.下列说法中错误的是(  ) A.成中心对称的两个图形全等 B.成中心对称的两个图形中,对称点的连线被对称轴平分 C.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心 D.中心对称图形绕对称中心旋转180°后,都能与自身重合 3.已知△ABC和△DEF关于点O对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是(  ) A.AO=BO B.BO=EO C.点A关于点O的对称点是点D D.点D 在BO的延长线上 4.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称,则这个点是(  ) A.O1 B.O2 C.O3 D.O4 5.如图,△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称,∠ABC=45°,∠B′C′A′=80°,∠BAC=________°. 6.如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在空白小正方形中,按下列要求涂上阴影. (1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形; (2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第132页“习题10.4”中第3,4 题. 2.完成练习册中本课时练习. 本节课还有许多可探讨之处,而且不少学生并没有真正理解.课堂上有一段时间,学生好像成了配合教师上课的配角,没有给足学生应有的思考空间,失去了学生的主体作用.教学过程中学生只是被动的回答问题,很少主动的提出问题;特别是教师一对多的问答,其实一问一答的机械形式,是一种无实质性交往的“假”对话,是一种变相的灌输式教学,后果是:看着热闹,实则沉闷.人的好奇心是天生的,初中学生的认知特点决定了他们拥有探求新异事物的本能需要. 10.5 图形的全等 1.借助具体情境和图案,经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程. 2.了解图形全等的意义. 3.了解图形全等的特征. 重点 全等图形的意义及特征. 难点 识别全等图形. 一、创设情境,问题引入 观察下面的图片,它们有什么特点? 二、探索问题,引入新知 我们已经认识了图形的轴对称、平移、旋转,这是图形的三种基本变换.它们的位置发生了变化,但它们的大小、形状没变. 要想知道两个图形的大小、形状是否发生了变化,我们可以经过这三种变换,把它们重合在一起,观察它们是否完全重合.如果能够完全重合,那么它们的大小、形状没变. 结论: 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 试一试:观察图中的平面图形,你能发现哪两个图形是全等图形吗? 结论:图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本的运动. 图形经过这样的运动,位置虽然发生了变化,但形状、大小却没有改变,前后两个图形是全等的.反过来,两个全等的图形经过这样的运动一定能够重合. 思考:观察下图中的两对多边形,其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合? 上面的两对多边形都是全等图形,也称为全等多边形.两个全等的多边形,经过运动而重合,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 如下图中的两个五边形是全等的,记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′.(这里,符号“≌”表示全等,读作“全等于”.).点A与A′,B与B′,C与C′,D与D′,E与E′分别是对应顶点. 结论:全等多边形的对应边、对应角分别相等. 这就是全等多边形的特征.实际上这也是我们识别全等多边形的方法,即边、角分别对应相等的两个多边形全等. 三角形是特殊的多边形,因此,全等三角形的对应边、对应角分别相等. 同样,如果两个三角形的边、角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 如下图所示,△ABC≌△DEF. 【例1】 图中所示的是两个全等的五边形,∠β=115°,d=5,指出它们的对应顶点、对应边与对应角,并说出图中标的a,b,c,e,α各字母所表示的值. 分析:根据能够完全重合的两个图形叫做全等形,重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角可得对应顶点,对应边与对应角,进而可得a,b,c,e,α各字母所表示的值. 解:对应顶点:A和G,E和F,D和J,C和I,B和H;对应边:AB和GH,AE和GF,ED和FJ,CD和JI,BC和HI;对应角:∠A和∠G,∠B和∠H,∠C和∠I,∠D和∠J,∠E和∠F;∵两个五边形全等,∴a=12,c=8,b=10,e=11,α=90°. 【例2】 将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF. (1)若∠B=74°,∠F=26°,求∠A的度数; (2)若BC=4.5 cm,EC=3.5 cm,求△ABC平移的距离. 分析:(1)根据平移的性质求出∠2=∠F,再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解;(2)先求出BE,再根据平移的性质可得BE即为平移距离. 解:(1)由图形平移的特征可知△ABC和△DEF的形状与大小相同,即△ABC≌△DEF,∴∠2=∠F=26°,∵∠B=74°,∴∠A=180°-(∠2+∠B)=180°-(26°+74°)=80°;(2)∵BC=4.5 cm,EC=3.5 cm,∴BE=BC-EC=4.5-3.5=1 cm,∴△ABC平移的距离为1 cm.                  三、巩固练习 1.下列各组的两个图形属于全等图形的是 (  ) 2.对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF,则下列结论中,错误的是(  ) A.BE=EC B.BC=EF C.AC=DF D.△ABC≌△DEF 4.如图,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等,则∠A′=________°,∠A=________°,B′C′=________,AD=________. 5.如图,△ABC≌△ADE,其中点B与点D,点C与点E对应. (1)写出对应边和对应角. (2)∠BAD与∠CAE相等吗?说明理由. 四、小结与作业 小结 先小组内交流收获和感想然后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充. 作业 1.教材第136页“习题10.5”中第1,2,3题. 2.完成练习册中本课时练习. 通过这节课的教学实践,使教师认识到.教学必须紧密联系学生的生活和实际,使学生对所学的内容兴趣盎然,乐于探究.教师最精彩的表现应该是高明的引导者、组织者、合作者,而不是舞台的主人——演员.全面的培养学生的创新意识与实践能力. 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    文档贡献者

    思***1

    贡献于2021-04-10

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