分式知识点总结
1 分式定义：果AB表示两整式B中含字母式子做分式
2 分式意义意义条件：
分式意义条件：分式分母等0
分式意义条件：分式分母等0
3 分式值零条件：
分式分子等0分母等0时分式值0
（分式值分式意义前提考虑分式0条件A＝0B≠0）
（分式值0条件：分子等0分母等0二者缺首先求出分子0字母值检
验字母值否分母值0分母值0时求字母值）
4 分式基性质：分式分子分母（）等0整式分式值变
式子表示 （）中ABC整式
注意：（1）C等0整式分式基性质制约条件 （2）应分式基性质时深刻理解含义避免犯分子（分母）错误
（3）分式分子分母项式运分式基性质时先括号分子分母括
整式C
（4）分式基性质分式进行约分通分符号变化
5分式通分：
分数类似利分式基性质分子分母适整式改变分式值异分母分式化成
相分母分式样分式变形做分式通分
通分关键确定式子简公分母分式通分时通常取分母式高次幂积作公分
母样分母做简公分母求简公分母时应注意点：
（1）分母式高次幂指出现字母（含字母式子）底数幂选取指数
（2）果分母系数整数时通常取系数公倍数作简公分母系数
（3）果分母项式般应先分解式
6分式约分：
分数样根分式基性质约分式分子分母中公式改变分式值样分式变形
做分式约分约分分式分子分母中含公式样分式简公式
约分关键找出分式中分子分母公式
（1）约分时注意分式分子分母积形式进行约分分子分母项式时通常分子分母
分解式然约分
（2）找公式方法：
① 分子分母单项式时先找分子分母系数公约数找相字母低次幂积
公式
②分子分母项式时先项式式分解
易错点：（1）分子分母式子时做整体易出现漏（漏）
（2）式子变形中注意分子分母符号变化般情况分子分母前— 放分数线前
（3）确定分式简公分母时防止遗漏分母中出现字母
7分式运算：
分式法法：分式分式分子积作积分子分母积作积分母
分式法法：分式分式式分子分母颠倒位置式相
式子表示：
提示：（1）分式分式相分子分母单项式先分子分母分相然约公式化简
分式分子分母项式先分子分母分解公式否约分然相
（2）分式整式相时整式分式分子相作积分子分母变
（3）分式法转化分式法运算
（4）分式混合运算统法运算
①分式法混合运算序分数混合运算相左右序括号先算括号
里面
②分式混合运算注意分式中分子分母符号处理先确定积符号
③分式混合运算结果通约分化简分式（分式分子分母没公式）整式形式
分式方法：分式方分子分母方
式子表示： （中n正整数）
注意：（1）方时定分式加括号
（2）分式方时确定方结果符号理数方相正分式次幂正负分式偶次幂
正奇次幂负
（3）分式方时应分子分母分做整体
（4）算式中时含分式方法法时应先算方算项式时应先分解
式约分
分式加减法：
法：分母分式相加减分母变分子相加减
式子表示：± ＝
法：异分母分式相加减先通分转化分母分式然加减
式子表示： ± ＝± ＝
注意：（1）分子相加减分子整体相加减分子应先加括号加减分子单项式时括
号省略
（2）异分母分式相加减先通分关键简公分母确定通分计算时注意分式中符号处理
特分子相减注意分子整体性
（3）运算时序合理步骤清晰
（4）运算结果必须化成简分式整式
分式混合运算
分式混合运算关键弄清运算序分数加减方混合运算样先算方算
算加减括号先算括号里面计算结果化整式简分式
8 等零数零次幂等1 n正整数时 （
注意：幂指数负整数时计算结果幂指数化正整数
9 整数指数幂：
mn正整数a≠0am ÷am＋n＝＝
am ÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－na －n＝
般n正整数时a －n＝（a≠0）a －n（a≠0）an倒数样指数取值范围推广全体
整数整数指数幂具列运算性质：(mn整数)
（1）底数幂法：
（2）幂方：
（3）积方：
（4）底数幂法：( a≠0)
（5）商方： (b≠0)
规定：a0＝1（a≠0）等0零次幂等1
10 分式方程：含分式分母中含未知数方程做分式方程
分母
分式方程解法：
转化
（1）解分式方程基思想方法：分式方程 －－－－－→ 整式方程
（2）解分式方程般方法步骤：
①分母：方程两边时简公分母分式方程化整式方程等式基性质
②解整式方程
③检验：整式方程解代入简公分母简公分母等0解原方程解简公分母等0
解原方程解说明原分式方程解
注意：① 分母时方程两边项简公分母漏含分母项
② 解分式方程必须验根千万忘
解分式方程步骤 ：
(1) 化简先化简(2)方程两边简公分母化整式方程(3)解整式方程(4)验根．
分式方程检验方法：整式方程解带入简公分母果简公分母值0整式方程解原分式方程解否解原分式方程解
11含字母分式方程解法：
数学式子字母仅表示未知数表示已知数含字母已知数分式方程解法分母
解整式方程检验三步骤需注意找准字母表示未知数字母表示未知数注意题目
限制条件计算结果已知数表示未知数混淆
12列分式方程解应题步骤：
(1)审：审清题意(2)找 找出相等关系(3)设：设未知数(4)列：列出分式方程(5)解：解分式方程(6)验：检验根否列分式方程解检验根否符合题意(7)答：写出答案
应题种类型基公式什？
基五种： (1)行程问题 基公式：路程速度×时间 行程问题中分相遇问题追问题．
(2)数字问题：数字问题中掌握十进制数表示法．
(3)工程问题 基公式：工作量工时×工效．
(4)水逆水问题 v水v静水+v水． v逆水v静水v水．
11科学记数法：数表示成形式（中n整数）记数方法做科学记数法．
科学记数法表示绝值1数时应表示a×10n形式中1≤︱a︱＜10n原整数部分位数减1
科学记数法表示绝值1数时表示a×10－n形式中n原数第10数字前面0数(包括数点前面0)1≤︱a︱＜10
三角形知识点
三角形关概念
1三角形：[&源^@中*教网]
直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形组成三角形线段做三角形边相邻两边公端点做三角形顶点相邻两边组成角做三角形角简称三角形角
2三角形表示：
三角形符号△表示顶点ABC三角形记作△ABC读作三角形ABC
3三角形三边关系：
（1）三角形意两边第三边
（2）三角形意两边差第三边
（3）作：[源zzst@epc#o*&m]
①判断三条已知线段否组成三角形
②已知两边时确定第三边范围
③证明线段等关系
4三角形角关系：
（1）三角形三角等180°
（2）直角三角形两锐角互余
5三角形稳定性：
三角形形状固定三角形性质做三角形稳定性
6三角形分类：
(1)三角形边分类：
等边三角形
三角形 底腰相等等腰三角形
等腰三角形
等边三角形[源中国^&@教育*出版网~]
(2)三角形角分类：
直角三角形（角直角三角形）
三角形 锐角三角形（三角锐角三角形）
斜三角形
钝角三角形（角钝角三角形）
种特殊三角形：等腰直角三角形两条直角边相等直角三角形
7三角形三种重线段：
（1）三角形角分线：
定义：三角形中角分线边相交角顶点交点间线段做三角形角分线
性质：三角形三条角分线交点交点三角形部
（2）三角形中线：
定义：三角形中连接顶点边中点线段做三角形中线
性质：三角形三条中线交点交点三角形部
（3）三角形高线：
定义：三角形顶点边直线作垂线顶点垂足间线段做三角形高线（简称三角形高）
性质：三角形三条高直线交点锐角三角形三条高线交点部直角三角形三条高线交点直角顶点钝角三角形三条高直线交点外部
8三角形面积：[源*^中国#教~育出版@网]
三角形面积×底×高
二全等图形：
定义：够完全重合两图形做全等图形[#源*中国&教育出版网~@]
性质：全等图形形状相
三全等三角形
1全等三角形关概念：[源@~z&zste#pcom]
够完全重合两三角形做全等三角形两三角形全等时互相重合顶点做应顶点互相重合边做应边互相重合角做应角
2全等三角形表示：
全等符号≌表示读作全等△ABC≌△DEF读作三角形ABC全等三角形DEF
注：记两全等三角形时通常表示应顶点字母写应位置
3全等三角形性质：全等三角形应边相等应角相等
4三角形全等判定：
（1）边边边：三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）
（2）角边角：两角夹边应相等两三角形全等（简写成角边角ASA）
（3）角角边：两角中角边应相等两三角形全等（简写成角角边AAS）
（4）边角边：两边夹角应相等两三角形全等（简写成边角边SAS）
直角三角形全等判定：
特殊直角三角形判定全等时HL定理（斜边直角边定理）：斜边条直角边应相等两直角三角形全等（简写成斜边直角边HL）
三角形练
选择题
1列组数分三根木棒长度摆成三角形( )
A 3cm 4cm 8cm B 8cm 7cm 15cm
C2a3a5a(a＞0) D （m≠0）
2三条线段中a＝3b＝5c奇数abc边组成三角形（）
A 1 B 3 C 数 D 法确定
3边形角外余角20100边形边数（ ）
A13 B14 C15 D16
4已知△ABC中∠A＝80°∠B∠C分线夹角（）
A 130° B 60° C 130°50° D 60°120°
5图示已知△ABC直角三角形∠B90°图中虚线剪∠B∠1+∠2 等（ ）
A90° B135° C270° D315°
第6题图
第9题图
第7题图
第5题图
6图示△ABC中CDBE分ABAC边高CDBE交点P∠A500 ∠BPC等（ ）
A90° B130° C270° D315°
7△ABC中DE分BC两点BDDEEC图中面积相等三角形（ ）
A4 B5 C6 D7
8列说法正确（）
A △ABC中∠A＝2∠B＝4∠C△ABC直角三角形
B 锐角三角形中意两角90°
C 三角形中少两角锐角
D 两三角形中角相等外两角相等
9图点P△ABC点PB＝PC
A点P∠ABC分线 B点P∠ACB分线
C点P边AB垂直分线 D点P边BC垂直分线
10便两全等直角三角形拼列图形：①行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形中定拼成图形
A ①②③B ②③ C ③④⑤D ③④⑥
11图行四边形ABCD中ACBD相交点O点O作直线分交ADBC点EF图中全等三角形
A2 B4 C6 D8
12图P∠BAC分线点PE⊥ABEPF⊥ACF列结中正确
A B
C △APE≌△APFD
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
A
P
C
B
E
F
A E D
O
B F C
第11题图
第18题图
第17题图
第16题图
第12题图
二选择题
13已知abc三角形三边长化简：|a+bc|+|bca|∣ca+b∣_____________
14等腰三角形两边长分2cm7cm三角形周长
15△ABC中三边分AB＝3BC＝4AC＝6△ABC三边次应高h1h2h3＝
16图∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4值
17图AD中线DE2AE____________
18图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________
19已知等腰三角形外角120°_____________三角形
三解答题
20等腰三角形腰中线三角形周长分成9厘米7厘米两部分求三角形边长
C
A
B
D
E
F
21图△ABC中∠A40°∠B72°CE分∠ACB
CD⊥ABDDF⊥CEF求∠CDF度数
22 图求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
23图△ABC中∠A90°∠C分线交ABD已知∠DCB2∠B求∠ADC度数
24BCD三点条直线△ABC△ECD等边三角形求证BEAD
25图正三角形ABC边长2DAC边点延长AB点EBECD连结DE交BC点P
(1)求证：DPPE
(2)DAC中点求BP长
26图△ABC中∠CAB90°FAC边中点FE∥AB交BC点EDBA延长线点DFBE
求证：ADAB
27 图已知∠ABC90°D直线AB点ADBC．
（1）图1点A作AF⊥AB截取AFBD连接DCDFCF判断△CDF形状证明
（2）图2E直线BC点CEBD直线AECD相交点P∠APD度数固定值？请求出度数请说明理．
28 图1已知∠ACB∠DCE90°ACBC6CDCEAE3∠CAE45°求AD长．
（2）图2已知∠ACB∠DCE90°∠ABC∠CED∠CAE30°AC3AE8求AD长．
算术方根
方根
1定义：果正数x方等a正
数x做a算术方根记作读作根号aa做开
方数规定0算术方根0
2性质：双重非负性（）负数没算术方根
3（a意数）（a非负数）
方根
1定义：果数x方等ax
做a方根记作读作正负根号aa做开
方数规定0算术方根0
2性质：（1）正数两方根互相反数
（2）0方根0负数没方根
3未知数次数两次方程结果般两值
1定义：果数x立方等ax做a立方
根记作读作三次根号aa做开方数
立方根
2性质：（1）正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
a取意数
（2）
（3）
正整数
实数
正实数
负实数
0
整数
0
负整数
理数
限数
（成分母1分数）
分数（理数分数相概念）
1开方开方根
3具特定结构数（0010010001……）
2圆周率π含π数
限循环数
限循环数
理数
实数
元次等式知识点汇总
知识点等式关概念
1等式定义：符号连接成数学式子做等式5连接符号统称等号
2列等式：步骤
（1）根条件中关系确定等式两边代数式
（2）正确理解题目中关键词语：少快慢增加减少足超等确切含义
（3）选择题意符合等号表示等关系两式子连接起
3数轴表示等式
（1）表示全体实数数轴表示左边点包括
（2）表示等全体实数数轴表示右边点包括
（3）表示全体实数
知识点二等式基性质
1等式基性质
（1）基性质1：（等式传递性）
（2）基性质2：等式两边加（减）数等式成立
①②
（3）基性质3：①等式两边（）正数等式成立
②等式两边（）负数必须等号方改变等式成立
2较等式等式基性质
等式基性质
等式基性质
性质1
性质2
性质3
知识点三元次等式
1元次等式概念：等号两边整式含未知数未知数高次数次
2等式解集：等式成立未知数值全体做等式解集简称等式解
3元次等式解法：步骤
（1）分母：等式两边分母公倍数（根基性质3）
（2）括号：式展开（根单项式项式法）
（3）移项：含未知数项移等式左边含未知数项移等式右边（根基性质2）
（4）合类项：类项合（）形式
（5）系数化1：等式两边未知数系数未知数系数倒数（根基性质3）
4元次等式应：解关应题步骤
（1）审题：认真审题分清已知量未知量关系抓住题设中关键字眼等
（2）设：设出适未知数
（3）找：找出等关系
（4）列：根题中等关系列出等式
（5）解：解出列等式解集
（6）答：写出答案检验答案否符合题意
知识点四元次等式组
1元次等式组定义：般未知数元次等式组成组等式
2元次等式组解：
等式组（）
数轴表示
解集
口诀
取
取
取中间
解
取
3解元次等式组方法：步骤
（1）求分解分解等式组中等式求出解
（2）画公解等式解集画数轴找出公部分
（3）写组解（2）步中确定公部分等式表示出原等式组解集
4列元次等式组解应题：步骤
（1）审：审清题意找出已知量未知量
（2）设：设出适未知数（设未知数）
（3）找：找出反映题目数量关系等关系
（4）列：代数式表示等关系中量列等式组
（5）解：解等式组数轴表示解集
（6）写出答案（包括单位名称）
二次根式知识点汇总
知识点：二次根式概念
形（）式子做二次根式
注：二次根式中开放数数单项式项式分式等代数式必须注意：负数没方根二次根式前提条件等二次根式等二次根式
知识点二：取值范围
1二次根式意义条件：二次根式意义知a≧0时意义二次根式二次根式意义开方数等零
2 二次根式意义条件：负数没算术方根a﹤0时没意义
知识点三：二次根式（）非负性
（）表示a算术方根说（）非负数0（）
注：二次根式（）表示a算术方根正数算术方根正数0算术方根0非负数（）算术方根非负数0（）性质非负数算术方根性质绝值偶次方类似性质解答题目时应较a0b0a0b0a0b0
知识点四：二次根式（）性质
（）
文字语言叙述：非负数算术方根方等非负数
知识点五：二次根式性质
知识点六：异点
1点：表示意义表示正数a算术方根方表示实数a方算术方根中中a正实数0负实数非负数运算结果差
2相点：开方数非负数时时意义
知识点七：二次根式运算
（1）式外移移：果开方数中式够开方算术根代移根号外面果开方数代数形式先分解式变形积形式移式根号外面反根号外面正式方移根号里面．
（2）二次根式加减法：先二次根式化成简二次根式合类二次根式．
（3）二次根式法：二次根式相（）开方数相（）积（商）作积（商）开方数运算结果化简二次根式．
·（a≥0b≥0）（b≥0a>0）．
（4）理数加法交换律结合律法交换律结合律法加法分配律项式法公式适二次根式运算．
例题精选
二次根式意义条件：
例1：求列式意义x取值范围
解：（1）意义必须
时式子实数范围意义
（2）意义意实数均
x取意实数时均意义
（3）意义必须
范围
时式子实数范围意义
练：（1）x少时实数范围意义？
（2）x少时+实数范围意义？②
（3）x少时+x2实数范围意义？
（4）时意义
2式子意义未知数x（）．
A．0 B．1 C．2 D．数
3．已知y++5求值．
4．+意义_______．
5 意义取值范围
简二次根式
例2：列根式化简二次根式：
分析：简二次根式概念进行化简
（1）开方数数整数式整式
（2）开方数中含开方数式
解：
类根式：
例3：判断列组根式否类根式：
分析：二次根式化成简二次根式果开方数相二次根式做类二次根式判断二次根式否类二次根式首先化简二次根式
解：
分母理化：
例4：列式分母理化：
分析：分母中根号化做分母理化两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化子均理化式
解：
求值：例5：计算：
分析：迅速准确进行二次根式加减运算章重点容必须掌握特注意运算序意识运算律寻求合理运算步骤正确运算结果
解：（1）原式
化简：
例6：化简：
分析：应注意（1）式（2）作利法公式进行化简运算变简单
解：
例7：化简练：
解：
化简求值：
例8：已知：求：值
分析：果ab值直接代入计算计算较繁琐应辟蹊径考虑互理化子计算然求值式子化形式
解：
结：显然面解法非常简捷运算程中必须注意寻求合理运算途径提高运算力类似解法许问题中广泛应家应意识总结积累
例9：实数范围式分解： [源学*科*网Z*X*X*K]
2x2－4提示先提取2方差公式．答案 2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．
提示先x2成整体利x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）中a＋b＝pab＝q分解．方差公式分解x2－3．答案（x2＋1）（x＋）（x－）．
例10综合应：
图示Rt△ABC中∠B90°点P点B开始BA边1厘米秒速度点A移动时点Q点B开始BC边2厘米秒速度点C移动．问：秒△PBQ面积35方厘米？PQ距离少厘米？（结果简二次根式表示）
专项训练：
选择题：出四选择中正确
1成立条件：
A． B． C． D．
2化成简二次根式结果：
A． B． C． D．
3列根式中简二次根式：
A． B． C． D．
4已知t<1化简：
A． B． C．2 D．0
5列式中正确：
A． B．
C． D．
6列命题中假命题：
A．设 B．设
C．设 D．设
7类根式：
A． B． C． D．
8列式中正确：
A． B．
C． D．
三
1化简
2已知：求：
拓展训练
分式方根绝值
1 成立条件_______________
2． a________时a________时
3． ____________________
4． 根号外式移入根号结果________
5． 3根号外式移根号结果________
6． x＜y化简________
10类二次根式a____b_____
11求实数实数值____
二根式绝值0
1 0__________
2 果求算术方根
6ΔABC中abc三角形三边_______
7已知
8果_______
三分式理化
1已知x y 求x2－y2值
5已知求列式值
①
②
③ yx2+xy2
四整数部分数部分
1整数部分_________数部分________
4已知整数部分数部分求值
五 根式分式倒数
1已知x＋4求x－值
3 x2192x+10求x4+1x4值
六转换完全方公式
1已知求值
3已知xy实数3x+4+y2—6y+90axy3xy求a值
5已知0＜x＜1化简：－
6化简：
12
七技巧性运算
1
2计算结果_________
4已知值__________
5已知值__________
6已知求值
附：中考类型
1实数范围意义x取值范围（）
A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ＞0 D．x ＜0
2二次根式意义x取值范围（ ）
A．B．C． D．
3然数算术方根然数相邻然数（）
A． B． C． D．
4电路中已知电阻阻值R消耗电功率P电功率计算公式两端电压U（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
5代数式意义x取值范围（）
ABCD
6函数变量取值范围（）
A．B．
C． D．
函数＋中变量取值范围（）
A．B．C． D．
二二次根式运算问题
7（09武汉市）二次根式值（）
A． B． C． D．
8 (衡阳市2009年)面计算正确（）
A． B． C． D．
9(09年安市)列计算正确（）
A． B． C． D．
10(09太原市)计算结果等．
11(黔东南州2009年)___________
12(09山西省)计算：．
13(09年襄樊市)计算：．
备题（09绥化市）计算：
三二次根式绝值0指数幂等混合运算
14(09黔东南州)方程时m取值范围（）
ABCD
15（09嘉兴市）时代数式值________________．
16（09嘉兴市）计算：．
17(09台州市)计算：．
四二次根式整式化简求值问题：
18（09广州市）先化简求值：中
19（09孝感市）已知：求列式值．
（1）（2）
20（09威海市）
先化简求值：中．
1已知求：值
2已知：计算：（1）（2）
五二次根式分式化简求值问题：
21（09黔东南州）先化简求值：中
22(09恩施)求代数式值：中．
23（09泰安市）先化简求值：
24（09黔东南州）先化简求值：中
六二次根式探究规律问题：
25等式：1×4+152×5+111 3×6+119仔细观察面道题结果发现什规律？解释规律？发现规律猜想面结果：
①___________
②（）×( ) ( )
③___________
2011安徽44分）设a－1a两相邻整数间两整数（ ）
A．12B．23C．34D．45
（2011山东烟台54分）果（ ）
A．a＜ B a≤ C a＞ D a≥
2011安徽芜湖145分）已知两连续整数．
2011四川江加试16分）值．
（2011山东德州124分）时____________
2011四川江加试36分）已知．
2011四川凉山州255分）已知理数分表示整数部分数部分
2011湖北黄冈33分）式子意义a取值范围_____________________．
列运算正确（）(黑龙江齐齐哈尔09)
A． B．C． D．
(x＋y)2x－y值( ) (09湖北荆门)
(A) －1． (B)1． (C)2． (D)3．
化简：
已知求：值
等式：1×4+152×5+111 3×6+119仔细观察面道题结果发现什规律？解释规律？发现规律猜想面结果：
①___________
②（）×( ) ( )
③___________
y++2009x+y
化简：结果（ ）
A4—2a B0 C2a—4 D4
已知a<0│－2a│化简（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
(2009年梅州市)果_______
根号外a移根号 ( )
A B － C － D
例10 观察列式验证程：
验证：
验证：
（1）述两等式验证程基思路猜想变形结果进行验证
（2）针述式反映规律写出n(n≥2n整数)表示等式出验证程
（1）验证略
（2）(n≥2整数)
验证：
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1 分式定义：果AB表示两整式B中含字母式子做分式
2 分式意义意义条件：
分式意义条件：分式分母等0
分式意义条件：分式分母等0
3 分式值零条件：
分式分子等0分母等0时分式值0
（分式值分式意义前提考虑分式0条件A＝0B≠0）
（分式值0条件：分子等0分母等0二者缺首先求出分子0字母值检
验字母值否分母值0分母值0时求字母值）
4 分式基性质：分式分子分母（）等0整式分式值变
式子表示 （）中ABC整式
注意：（1）C等0整式分式基性质制约条件 （2）应分式基性质时深刻理解含义避免犯分子（分母）错误
（3）分式分子分母项式运分式基性质时先括号分子分母括
整式C
（4）分式基性质分式进行约分通分符号变化
5分式通分：
分数类似利分式基性质分子分母适整式改变分式值异分母分式化成
相分母分式样分式变形做分式通分
通分关键确定式子简公分母分式通分时通常取分母式高次幂积作公分
母样分母做简公分母求简公分母时应注意点：
（1）分母式高次幂指出现字母（含字母式子）底数幂选取指数
（2）果分母系数整数时通常取系数公倍数作简公分母系数
（3）果分母项式般应先分解式
6分式约分：
分数样根分式基性质约分式分子分母中公式改变分式值样分式变形
做分式约分约分分式分子分母中含公式样分式简公式
约分关键找出分式中分子分母公式
（1）约分时注意分式分子分母积形式进行约分分子分母项式时通常分子分母
分解式然约分
（2）找公式方法：
① 分子分母单项式时先找分子分母系数公约数找相字母低次幂积
公式
②分子分母项式时先项式式分解
易错点：（1）分子分母式子时做整体易出现漏（漏）
（2）式子变形中注意分子分母符号变化般情况分子分母前— 放分数线前
（3）确定分式简公分母时防止遗漏分母中出现字母
7分式运算：
分式法法：分式分式分子积作积分子分母积作积分母
分式法法：分式分式式分子分母颠倒位置式相
式子表示：
提示：（1）分式分式相分子分母单项式先分子分母分相然约公式化简
分式分子分母项式先分子分母分解公式否约分然相
（2）分式整式相时整式分式分子相作积分子分母变
（3）分式法转化分式法运算
（4）分式混合运算统法运算
①分式法混合运算序分数混合运算相左右序括号先算括号
里面
②分式混合运算注意分式中分子分母符号处理先确定积符号
③分式混合运算结果通约分化简分式（分式分子分母没公式）整式形式
分式方法：分式方分子分母方
式子表示： （中n正整数）
注意：（1）方时定分式加括号
（2）分式方时确定方结果符号理数方相正分式次幂正负分式偶次幂
正奇次幂负
（3）分式方时应分子分母分做整体
（4）算式中时含分式方法法时应先算方算项式时应先分解
式约分
分式加减法：
法：分母分式相加减分母变分子相加减
式子表示：± ＝
法：异分母分式相加减先通分转化分母分式然加减
式子表示： ± ＝± ＝
注意：（1）分子相加减分子整体相加减分子应先加括号加减分子单项式时括
号省略
（2）异分母分式相加减先通分关键简公分母确定通分计算时注意分式中符号处理
特分子相减注意分子整体性
（3）运算时序合理步骤清晰
（4）运算结果必须化成简分式整式
分式混合运算
分式混合运算关键弄清运算序分数加减方混合运算样先算方算
算加减括号先算括号里面计算结果化整式简分式
8 等零数零次幂等1 n正整数时 （
注意：幂指数负整数时计算结果幂指数化正整数
9 整数指数幂：
mn正整数a≠0am ÷am＋n＝＝
am ÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－na －n＝
般n正整数时a －n＝（a≠0）a －n（a≠0）an倒数样指数取值范围推广全体
整数整数指数幂具列运算性质：(mn整数)
（1）底数幂法：
（2）幂方：
（3）积方：
（4）底数幂法：( a≠0)
（5）商方： (b≠0)
规定：a0＝1（a≠0）等0零次幂等1
10 分式方程：含分式分母中含未知数方程做分式方程
分母
分式方程解法：
转化
（1）解分式方程基思想方法：分式方程 －－－－－→ 整式方程
（2）解分式方程般方法步骤：
①分母：方程两边时简公分母分式方程化整式方程等式基性质
②解整式方程
③检验：整式方程解代入简公分母简公分母等0解原方程解简公分母等0
解原方程解说明原分式方程解
注意：① 分母时方程两边项简公分母漏含分母项
② 解分式方程必须验根千万忘
解分式方程步骤 ：
(1) 化简先化简(2)方程两边简公分母化整式方程(3)解整式方程(4)验根．
分式方程检验方法：整式方程解带入简公分母果简公分母值0整式方程解原分式方程解否解原分式方程解
11含字母分式方程解法：
数学式子字母仅表示未知数表示已知数含字母已知数分式方程解法分母
解整式方程检验三步骤需注意找准字母表示未知数字母表示未知数注意题目
限制条件计算结果已知数表示未知数混淆
12列分式方程解应题步骤：
(1)审：审清题意(2)找 找出相等关系(3)设：设未知数(4)列：列出分式方程(5)解：解分式方程(6)验：检验根否列分式方程解检验根否符合题意(7)答：写出答案
应题种类型基公式什？
基五种： (1)行程问题 基公式：路程速度×时间 行程问题中分相遇问题追问题．
(2)数字问题：数字问题中掌握十进制数表示法．
(3)工程问题 基公式：工作量工时×工效．
(4)水逆水问题 v水v静水+v水． v逆水v静水v水．
11科学记数法：数表示成形式（中n整数）记数方法做科学记数法．
科学记数法表示绝值1数时应表示a×10n形式中1≤︱a︱＜10n原整数部分位数减1
科学记数法表示绝值1数时表示a×10－n形式中n原数第10数字前面0数(包括数点前面0)1≤︱a︱＜10
三角形知识点
三角形关概念
1三角形：[&源^@中*教网]
直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形组成三角形线段做三角形边相邻两边公端点做三角形顶点相邻两边组成角做三角形角简称三角形角
2三角形表示：
三角形符号△表示顶点ABC三角形记作△ABC读作三角形ABC
3三角形三边关系：
（1）三角形意两边第三边
（2）三角形意两边差第三边
（3）作：[源zzst@epc#o*&m]
①判断三条已知线段否组成三角形
②已知两边时确定第三边范围
③证明线段等关系
4三角形角关系：
（1）三角形三角等180°
（2）直角三角形两锐角互余
5三角形稳定性：
三角形形状固定三角形性质做三角形稳定性
6三角形分类：
(1)三角形边分类：
等边三角形
三角形 底腰相等等腰三角形
等腰三角形
等边三角形[源中国^&@教育*出版网~]
(2)三角形角分类：
直角三角形（角直角三角形）
三角形 锐角三角形（三角锐角三角形）
斜三角形
钝角三角形（角钝角三角形）
种特殊三角形：等腰直角三角形两条直角边相等直角三角形
7三角形三种重线段：
（1）三角形角分线：
定义：三角形中角分线边相交角顶点交点间线段做三角形角分线
性质：三角形三条角分线交点交点三角形部
（2）三角形中线：
定义：三角形中连接顶点边中点线段做三角形中线
性质：三角形三条中线交点交点三角形部
（3）三角形高线：
定义：三角形顶点边直线作垂线顶点垂足间线段做三角形高线（简称三角形高）
性质：三角形三条高直线交点锐角三角形三条高线交点部直角三角形三条高线交点直角顶点钝角三角形三条高直线交点外部
8三角形面积：[源*^中国#教~育出版@网]
三角形面积×底×高
二全等图形：
定义：够完全重合两图形做全等图形[#源*中国&教育出版网~@]
性质：全等图形形状相
三全等三角形
1全等三角形关概念：[源@~z&zste#pcom]
够完全重合两三角形做全等三角形两三角形全等时互相重合顶点做应顶点互相重合边做应边互相重合角做应角
2全等三角形表示：
全等符号≌表示读作全等△ABC≌△DEF读作三角形ABC全等三角形DEF
注：记两全等三角形时通常表示应顶点字母写应位置
3全等三角形性质：全等三角形应边相等应角相等
4三角形全等判定：
（1）边边边：三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）
（2）角边角：两角夹边应相等两三角形全等（简写成角边角ASA）
（3）角角边：两角中角边应相等两三角形全等（简写成角角边AAS）
（4）边角边：两边夹角应相等两三角形全等（简写成边角边SAS）
直角三角形全等判定：
特殊直角三角形判定全等时HL定理（斜边直角边定理）：斜边条直角边应相等两直角三角形全等（简写成斜边直角边HL）
三角形练
选择题
1列组数分三根木棒长度摆成三角形( )
A 3cm 4cm 8cm B 8cm 7cm 15cm
C2a3a5a(a＞0) D （m≠0）
2三条线段中a＝3b＝5c奇数abc边组成三角形（）
A 1 B 3 C 数 D 法确定
3边形角外余角20100边形边数（ ）
A13 B14 C15 D16
4已知△ABC中∠A＝80°∠B∠C分线夹角（）
A 130° B 60° C 130°50° D 60°120°
5图示已知△ABC直角三角形∠B90°图中虚线剪∠B∠1+∠2 等（ ）
A90° B135° C270° D315°
第6题图
第9题图
第7题图
第5题图
6图示△ABC中CDBE分ABAC边高CDBE交点P∠A500 ∠BPC等（ ）
A90° B130° C270° D315°
7△ABC中DE分BC两点BDDEEC图中面积相等三角形（ ）
A4 B5 C6 D7
8列说法正确（）
A △ABC中∠A＝2∠B＝4∠C△ABC直角三角形
B 锐角三角形中意两角90°
C 三角形中少两角锐角
D 两三角形中角相等外两角相等
9图点P△ABC点PB＝PC
A点P∠ABC分线 B点P∠ACB分线
C点P边AB垂直分线 D点P边BC垂直分线
10便两全等直角三角形拼列图形：①行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形中定拼成图形
A ①②③B ②③ C ③④⑤D ③④⑥
11图行四边形ABCD中ACBD相交点O点O作直线分交ADBC点EF图中全等三角形
A2 B4 C6 D8
12图P∠BAC分线点PE⊥ABEPF⊥ACF列结中正确
A B
C △APE≌△APFD
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
A
P
C
B
E
F
A E D
O
B F C
第11题图
第18题图
第17题图
第16题图
第12题图
二选择题
13已知abc三角形三边长化简：|a+bc|+|bca|∣ca+b∣_____________
14等腰三角形两边长分2cm7cm三角形周长
15△ABC中三边分AB＝3BC＝4AC＝6△ABC三边次应高h1h2h3＝
16图∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4值
17图AD中线DE2AE____________
18图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_________
19已知等腰三角形外角120°_____________三角形
三解答题
20等腰三角形腰中线三角形周长分成9厘米7厘米两部分求三角形边长
C
A
B
D
E
F
21图△ABC中∠A40°∠B72°CE分∠ACB
CD⊥ABDDF⊥CEF求∠CDF度数
22 图求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
23图△ABC中∠A90°∠C分线交ABD已知∠DCB2∠B求∠ADC度数
24BCD三点条直线△ABC△ECD等边三角形求证BEAD
25图正三角形ABC边长2DAC边点延长AB点EBECD连结DE交BC点P
(1)求证：DPPE
(2)DAC中点求BP长
26图△ABC中∠CAB90°FAC边中点FE∥AB交BC点EDBA延长线点DFBE
求证：ADAB
27 图已知∠ABC90°D直线AB点ADBC．
（1）图1点A作AF⊥AB截取AFBD连接DCDFCF判断△CDF形状证明
（2）图2E直线BC点CEBD直线AECD相交点P∠APD度数固定值？请求出度数请说明理．
28 图1已知∠ACB∠DCE90°ACBC6CDCEAE3∠CAE45°求AD长．
（2）图2已知∠ACB∠DCE90°∠ABC∠CED∠CAE30°AC3AE8求AD长．
算术方根
方根
1定义：果正数x方等a正
数x做a算术方根记作读作根号aa做开
方数规定0算术方根0
2性质：双重非负性（）负数没算术方根
3（a意数）（a非负数）
方根
1定义：果数x方等ax
做a方根记作读作正负根号aa做开
方数规定0算术方根0
2性质：（1）正数两方根互相反数
（2）0方根0负数没方根
3未知数次数两次方程结果般两值
1定义：果数x立方等ax做a立方
根记作读作三次根号aa做开方数
立方根
2性质：（1）正数立方根正数负数立方根负数0立方根0
a取意数
（2）
（3）
正整数
实数
正实数
负实数
0
整数
0
负整数
理数
限数
（成分母1分数）
分数（理数分数相概念）
1开方开方根
3具特定结构数（0010010001……）
2圆周率π含π数
限循环数
限循环数
理数
实数
元次等式知识点汇总
知识点等式关概念
1等式定义：符号连接成数学式子做等式5连接符号统称等号
2列等式：步骤
（1）根条件中关系确定等式两边代数式
（2）正确理解题目中关键词语：少快慢增加减少足超等确切含义
（3）选择题意符合等号表示等关系两式子连接起
3数轴表示等式
（1）表示全体实数数轴表示左边点包括
（2）表示等全体实数数轴表示右边点包括
（3）表示全体实数
知识点二等式基性质
1等式基性质
（1）基性质1：（等式传递性）
（2）基性质2：等式两边加（减）数等式成立
①②
（3）基性质3：①等式两边（）正数等式成立
②等式两边（）负数必须等号方改变等式成立
2较等式等式基性质
等式基性质
等式基性质
性质1
性质2
性质3
知识点三元次等式
1元次等式概念：等号两边整式含未知数未知数高次数次
2等式解集：等式成立未知数值全体做等式解集简称等式解
3元次等式解法：步骤
（1）分母：等式两边分母公倍数（根基性质3）
（2）括号：式展开（根单项式项式法）
（3）移项：含未知数项移等式左边含未知数项移等式右边（根基性质2）
（4）合类项：类项合（）形式
（5）系数化1：等式两边未知数系数未知数系数倒数（根基性质3）
4元次等式应：解关应题步骤
（1）审题：认真审题分清已知量未知量关系抓住题设中关键字眼等
（2）设：设出适未知数
（3）找：找出等关系
（4）列：根题中等关系列出等式
（5）解：解出列等式解集
（6）答：写出答案检验答案否符合题意
知识点四元次等式组
1元次等式组定义：般未知数元次等式组成组等式
2元次等式组解：
等式组（）
数轴表示
解集
口诀
取
取
取中间
解
取
3解元次等式组方法：步骤
（1）求分解分解等式组中等式求出解
（2）画公解等式解集画数轴找出公部分
（3）写组解（2）步中确定公部分等式表示出原等式组解集
4列元次等式组解应题：步骤
（1）审：审清题意找出已知量未知量
（2）设：设出适未知数（设未知数）
（3）找：找出反映题目数量关系等关系
（4）列：代数式表示等关系中量列等式组
（5）解：解等式组数轴表示解集
（6）写出答案（包括单位名称）
二次根式知识点汇总
知识点：二次根式概念
形（）式子做二次根式
注：二次根式中开放数数单项式项式分式等代数式必须注意：负数没方根二次根式前提条件等二次根式等二次根式
知识点二：取值范围
1二次根式意义条件：二次根式意义知a≧0时意义二次根式二次根式意义开方数等零
2 二次根式意义条件：负数没算术方根a﹤0时没意义
知识点三：二次根式（）非负性
（）表示a算术方根说（）非负数0（）
注：二次根式（）表示a算术方根正数算术方根正数0算术方根0非负数（）算术方根非负数0（）性质非负数算术方根性质绝值偶次方类似性质解答题目时应较a0b0a0b0a0b0
知识点四：二次根式（）性质
（）
文字语言叙述：非负数算术方根方等非负数
知识点五：二次根式性质
知识点六：异点
1点：表示意义表示正数a算术方根方表示实数a方算术方根中中a正实数0负实数非负数运算结果差
2相点：开方数非负数时时意义
知识点七：二次根式运算
（1）式外移移：果开方数中式够开方算术根代移根号外面果开方数代数形式先分解式变形积形式移式根号外面反根号外面正式方移根号里面．
（2）二次根式加减法：先二次根式化成简二次根式合类二次根式．
（3）二次根式法：二次根式相（）开方数相（）积（商）作积（商）开方数运算结果化简二次根式．
·（a≥0b≥0）（b≥0a>0）．
（4）理数加法交换律结合律法交换律结合律法加法分配律项式法公式适二次根式运算．
例题精选
二次根式意义条件：
例1：求列式意义x取值范围
解：（1）意义必须
时式子实数范围意义
（2）意义意实数均
x取意实数时均意义
（3）意义必须
范围
时式子实数范围意义
练：（1）x少时实数范围意义？
（2）x少时+实数范围意义？②
（3）x少时+x2实数范围意义？
（4）时意义
2式子意义未知数x（）．
A．0 B．1 C．2 D．数
3．已知y++5求值．
4．+意义_______．
5 意义取值范围
简二次根式
例2：列根式化简二次根式：
分析：简二次根式概念进行化简
（1）开方数数整数式整式
（2）开方数中含开方数式
解：
类根式：
例3：判断列组根式否类根式：
分析：二次根式化成简二次根式果开方数相二次根式做类二次根式判断二次根式否类二次根式首先化简二次根式
解：
分母理化：
例4：列式分母理化：
分析：分母中根号化做分母理化两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化子均理化式
解：
求值：例5：计算：
分析：迅速准确进行二次根式加减运算章重点容必须掌握特注意运算序意识运算律寻求合理运算步骤正确运算结果
解：（1）原式
化简：
例6：化简：
分析：应注意（1）式（2）作利法公式进行化简运算变简单
解：
例7：化简练：
解：
化简求值：
例8：已知：求：值
分析：果ab值直接代入计算计算较繁琐应辟蹊径考虑互理化子计算然求值式子化形式
解：
结：显然面解法非常简捷运算程中必须注意寻求合理运算途径提高运算力类似解法许问题中广泛应家应意识总结积累
例9：实数范围式分解： [源学*科*网Z*X*X*K]
2x2－4提示先提取2方差公式．答案 2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．
提示先x2成整体利x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）中a＋b＝pab＝q分解．方差公式分解x2－3．答案（x2＋1）（x＋）（x－）．
例10综合应：
图示Rt△ABC中∠B90°点P点B开始BA边1厘米秒速度点A移动时点Q点B开始BC边2厘米秒速度点C移动．问：秒△PBQ面积35方厘米？PQ距离少厘米？（结果简二次根式表示）
专项训练：
选择题：出四选择中正确
1成立条件：
A． B． C． D．
2化成简二次根式结果：
A． B． C． D．
3列根式中简二次根式：
A． B． C． D．
4已知t<1化简：
A． B． C．2 D．0
5列式中正确：
A． B．
C． D．
6列命题中假命题：
A．设 B．设
C．设 D．设
7类根式：
A． B． C． D．
8列式中正确：
A． B．
C． D．
三
1化简
2已知：求：
拓展训练
分式方根绝值
1 成立条件_______________
2． a________时a________时
3． ____________________
4． 根号外式移入根号结果________
5． 3根号外式移根号结果________
6． x＜y化简________
10类二次根式a____b_____
11求实数实数值____
二根式绝值0
1 0__________
2 果求算术方根
6ΔABC中abc三角形三边_______
7已知
8果_______
三分式理化
1已知x y 求x2－y2值
5已知求列式值
①
②
③ yx2+xy2
四整数部分数部分
1整数部分_________数部分________
4已知整数部分数部分求值
五 根式分式倒数
1已知x＋4求x－值
3 x2192x+10求x4+1x4值
六转换完全方公式
1已知求值
3已知xy实数3x+4+y2—6y+90axy3xy求a值
5已知0＜x＜1化简：－
6化简：
12
七技巧性运算
1
2计算结果_________
4已知值__________
5已知值__________
6已知求值
附：中考类型
1实数范围意义x取值范围（）
A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ＞0 D．x ＜0
2二次根式意义x取值范围（ ）
A．B．C． D．
3然数算术方根然数相邻然数（）
A． B． C． D．
4电路中已知电阻阻值R消耗电功率P电功率计算公式两端电压U（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
5代数式意义x取值范围（）
ABCD
6函数变量取值范围（）
A．B．
C． D．
函数＋中变量取值范围（）
A．B．C． D．
二二次根式运算问题
7（09武汉市）二次根式值（）
A． B． C． D．
8 (衡阳市2009年)面计算正确（）
A． B． C． D．
9(09年安市)列计算正确（）
A． B． C． D．
10(09太原市)计算结果等．
11(黔东南州2009年)___________
12(09山西省)计算：．
13(09年襄樊市)计算：．
备题（09绥化市）计算：
三二次根式绝值0指数幂等混合运算
14(09黔东南州)方程时m取值范围（）
ABCD
15（09嘉兴市）时代数式值________________．
16（09嘉兴市）计算：．
17(09台州市)计算：．
四二次根式整式化简求值问题：
18（09广州市）先化简求值：中
19（09孝感市）已知：求列式值．
（1）（2）
20（09威海市）
先化简求值：中．
1已知求：值
2已知：计算：（1）（2）
五二次根式分式化简求值问题：
21（09黔东南州）先化简求值：中
22(09恩施)求代数式值：中．
23（09泰安市）先化简求值：
24（09黔东南州）先化简求值：中
六二次根式探究规律问题：
25等式：1×4+152×5+111 3×6+119仔细观察面道题结果发现什规律？解释规律？发现规律猜想面结果：
①___________
②（）×( ) ( )
③___________
2011安徽44分）设a－1a两相邻整数间两整数（ ）
A．12B．23C．34D．45
（2011山东烟台54分）果（ ）
A．a＜ B a≤ C a＞ D a≥
2011安徽芜湖145分）已知两连续整数．
2011四川江加试16分）值．
（2011山东德州124分）时____________
2011四川江加试36分）已知．
2011四川凉山州255分）已知理数分表示整数部分数部分
2011湖北黄冈33分）式子意义a取值范围_____________________．
列运算正确（）(黑龙江齐齐哈尔09)
A． B．C． D．
(x＋y)2x－y值( ) (09湖北荆门)
(A) －1． (B)1． (C)2． (D)3．
化简：
已知求：值
等式：1×4+152×5+111 3×6+119仔细观察面道题结果发现什规律？解释规律？发现规律猜想面结果：
①___________
②（）×( ) ( )
③___________
y++2009x+y
化简：结果（ ）
A4—2a B0 C2a—4 D4
已知a<0│－2a│化简（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
(2009年梅州市)果_______
根号外a移根号 ( )
A B － C － D
例10 观察列式验证程：
验证：
验证：
（1）述两等式验证程基思路猜想变形结果进行验证
（2）针述式反映规律写出n(n≥2n整数)表示等式出验证程
（1）验证略
（2）(n≥2整数)
验证：
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