直线圆锥曲线
[基础达标]
1．椭圆＋＝1点P(31)求点分弦直线方程．
2
[2021·郑州测试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率椭圆四顶点顶点四边形面积8
(1)求椭圆C方程
(2)图斜率直线l椭圆C交AB两点点P(21)直线l左方．∠APB＝90°直线PAPB分y轴交点MN求线段MN长度．
3．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知F抛物线C：x2＝12y焦点直线l：y＝kx＋4C相交AB两点．
(1)O坐标原点求·
(2)MC点F△ABM重心(三边中线交点)求k
4．已知椭圆C两焦点F1(－10)F2(10)点E
(1)求椭圆C方程
(2)F1直线l椭圆C交AB两点(点A位x轴方)＝2求直线l斜率k值．
5[2020·天津卷]已知椭圆＋＝1(a>b>0)顶点A(0－3)右焦点F|OA|＝|OF|中O原点．
(1)求椭圆方程
(2)已知点C满足3＝点B椭圆(B异椭圆顶点)直线ABC圆心圆相切点PP线段AB中点求直线AB方程．
6．[2021·安徽五校联盟质检]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)焦点坐标分F1(－10)F2(10)P椭圆C点满足3|PF1|＝5|PF2|cos∠F1PF2＝
(1)求椭圆C标准方程
(2)设直线l：y＝kx＋m椭圆C交AB两点点Q|AQ|＝|BQ|求k取值范围．
[力挑战]
7．已知椭圆C：＋＝1点A(－2－1)a＝2b
(1)求椭圆C方程
(2)点B(－40)直线l交椭圆C点MN直线MANA分交直线x＝－4点PQ求值．
参考答案：
1．解析：设直线椭圆交A(x1y1)B(x2y2)两点
AB两点均椭圆
＋＝1＋＝1
两式相减
＋＝0
∵PAB中点∴x1＋x2＝6y1＋y2＝2
∴kAB＝＝－
∴直线AB方程y－1＝－(x－3)．
3x＋4y－13＝0
2．解析：(1)题意知解
椭圆C方程＋＝1
(2)设直线l：y＝x＋mA(x1y1)B(x2y2)
联立消y化简整理x2＋2mx＋2m2－4＝0
Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0－2根系数关系x1＋x2＝－2mx1x2＝2m2－4
kPA＝kPB＝
kPA＋kPB＝＋＝
式中分子＝(x2－2)＋(x1－2)
＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1)
＝2m2－4＋(m－2)(－2m)－4(m－1)＝0
kPA＋kPB＝0
∠APB＝90°kPA·kPB＝－1
kPA＝1kPB＝－1
△PMN等腰直角三角形
|MN|＝2xP＝4
3．解析：(1)设A(x1y1)B(x2y2)
l方程代入Cx2－12kx－48＝0
x1＋x2＝12kx1x2＝－48y1y2＝＝16
·＝x1x2＋y1y2＝－32
(2)题意F(03)设M(x3y3)
F△ABM重心x1＋x2＋x3＝0y1＋y2＋y3＝9
x3＝－(x1＋x2)＝－12k
y3＝9－(y1＋y2)＝9－＝9－＝1－12k2
M(x3y3)抛物线C
(－12k)2＝12(1－12k2)k2＝
k＝－
4．解析：(1)解椭圆C方程＋＝1
(2)题意直线l方程y＝k(x＋1)(k＞0)联立整理y2－y－9＝0
Δ＝＋144＞0设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝y1y2＝＝2y1＝－2y2y1y2＝－2(y1＋y2)23＋4k2＝8解k＝±k＞0k＝
5．解析：(1)已知b＝3记半焦距c|OF|＝|OA|c＝b＝3a2＝b2＋c2a2＝18椭圆方程＋＝1
(2)直线ABC圆心圆相切点PAB⊥CP题意直线AB直线CP斜率均存．设直线AB方程y＝kx－3方程组消y(2k2＋1)x2－12kx＝0解x＝0x＝题意点B坐标P线段AB中点点A坐标(0－3)点P坐标3＝点C坐标(10)直线CP斜率AB⊥CPk·＝－1整理2k2－3k＋1＝0解k＝k＝1
直线AB方程y＝x－3y＝x－3
6．解析：(1)题意设|PF1|＝r1|PF2|＝r23r1＝5r2r1＋r2＝2ar1＝ar2＝a
△PF1F2中余弦定理cos∠F1PF2＝
＝＝
解a＝2c＝1b2＝a2－c2＝3椭圆C标准方程＋＝1
(2)联立方程消y(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0设A(x1y1)B(x2y2)x1＋x2＝x1x2＝Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0①
设AB中点M(x0y0)连接QMx0＝＝y0＝kx0＋m＝|AQ|＝|BQ|AB⊥QMQMAB中点k≠0直线QM斜率存k·kQM＝k·＝－1解m＝－②
②代入①3＋4k2＞2整理16k4＋8k2－3＞0(4k2－1)(4k2＋3)＞0解k＞k＜－k取值范围∪
7．解析：(1)a＝2b椭圆方程＋＝1
椭圆点A(－2－1)＋＝1解b2＝2椭圆C方程＋＝1
(2)题意知直线MN斜率存．
直线MN斜率0时
妨设M(－20)N(20)
直线MA：y＝(x＋2)直线NA：y＝(x－2)
yP＝yQ＝－＝1
直线MN斜率0时设直线MN：x＝my－4(m≠0)椭圆方程＋＝1联立化简(m2＋4)y2－8my＋8＝0Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0解m2>4
设M(x1y1)N(x2y2)y1y2＝y1＋y2＝
直线MA方程y＋1＝(x＋2)P
P
直线NA方程y＋1＝(x＋2)Q
Q
＝＝＝＝＝1
综＝1
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[基础达标]
1．椭圆＋＝1点P(31)求点分弦直线方程．
2
[2021·郑州测试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)离心率椭圆四顶点顶点四边形面积8
(1)求椭圆C方程
(2)图斜率直线l椭圆C交AB两点点P(21)直线l左方．∠APB＝90°直线PAPB分y轴交点MN求线段MN长度．
3．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知F抛物线C：x2＝12y焦点直线l：y＝kx＋4C相交AB两点．
(1)O坐标原点求·
(2)MC点F△ABM重心(三边中线交点)求k
4．已知椭圆C两焦点F1(－10)F2(10)点E
(1)求椭圆C方程
(2)F1直线l椭圆C交AB两点(点A位x轴方)＝2求直线l斜率k值．
5[2020·天津卷]已知椭圆＋＝1(a>b>0)顶点A(0－3)右焦点F|OA|＝|OF|中O原点．
(1)求椭圆方程
(2)已知点C满足3＝点B椭圆(B异椭圆顶点)直线ABC圆心圆相切点PP线段AB中点求直线AB方程．
6．[2021·安徽五校联盟质检]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)焦点坐标分F1(－10)F2(10)P椭圆C点满足3|PF1|＝5|PF2|cos∠F1PF2＝
(1)求椭圆C标准方程
(2)设直线l：y＝kx＋m椭圆C交AB两点点Q|AQ|＝|BQ|求k取值范围．
[力挑战]
7．已知椭圆C：＋＝1点A(－2－1)a＝2b
(1)求椭圆C方程
(2)点B(－40)直线l交椭圆C点MN直线MANA分交直线x＝－4点PQ求值．
参考答案：
1．解析：设直线椭圆交A(x1y1)B(x2y2)两点
AB两点均椭圆
＋＝1＋＝1
两式相减
＋＝0
∵PAB中点∴x1＋x2＝6y1＋y2＝2
∴kAB＝＝－
∴直线AB方程y－1＝－(x－3)．
3x＋4y－13＝0
2．解析：(1)题意知解
椭圆C方程＋＝1
(2)设直线l：y＝x＋mA(x1y1)B(x2y2)
联立消y化简整理x2＋2mx＋2m2－4＝0
Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0－2
kPA＝kPB＝
kPA＋kPB＝＋＝
式中分子＝(x2－2)＋(x1－2)
＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1)
＝2m2－4＋(m－2)(－2m)－4(m－1)＝0
kPA＋kPB＝0
∠APB＝90°kPA·kPB＝－1
kPA＝1kPB＝－1
△PMN等腰直角三角形
|MN|＝2xP＝4
3．解析：(1)设A(x1y1)B(x2y2)
l方程代入Cx2－12kx－48＝0
x1＋x2＝12kx1x2＝－48y1y2＝＝16
·＝x1x2＋y1y2＝－32
(2)题意F(03)设M(x3y3)
F△ABM重心x1＋x2＋x3＝0y1＋y2＋y3＝9
x3＝－(x1＋x2)＝－12k
y3＝9－(y1＋y2)＝9－＝9－＝1－12k2
M(x3y3)抛物线C
(－12k)2＝12(1－12k2)k2＝
k＝－
4．解析：(1)解椭圆C方程＋＝1
(2)题意直线l方程y＝k(x＋1)(k＞0)联立整理y2－y－9＝0
Δ＝＋144＞0设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝y1y2＝＝2y1＝－2y2y1y2＝－2(y1＋y2)23＋4k2＝8解k＝±k＞0k＝
5．解析：(1)已知b＝3记半焦距c|OF|＝|OA|c＝b＝3a2＝b2＋c2a2＝18椭圆方程＋＝1
(2)直线ABC圆心圆相切点PAB⊥CP题意直线AB直线CP斜率均存．设直线AB方程y＝kx－3方程组消y(2k2＋1)x2－12kx＝0解x＝0x＝题意点B坐标P线段AB中点点A坐标(0－3)点P坐标3＝点C坐标(10)直线CP斜率AB⊥CPk·＝－1整理2k2－3k＋1＝0解k＝k＝1
直线AB方程y＝x－3y＝x－3
6．解析：(1)题意设|PF1|＝r1|PF2|＝r23r1＝5r2r1＋r2＝2ar1＝ar2＝a
△PF1F2中余弦定理cos∠F1PF2＝
＝＝
解a＝2c＝1b2＝a2－c2＝3椭圆C标准方程＋＝1
(2)联立方程消y(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0设A(x1y1)B(x2y2)x1＋x2＝x1x2＝Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0①
设AB中点M(x0y0)连接QMx0＝＝y0＝kx0＋m＝|AQ|＝|BQ|AB⊥QMQMAB中点k≠0直线QM斜率存k·kQM＝k·＝－1解m＝－②
②代入①3＋4k2＞2整理16k4＋8k2－3＞0(4k2－1)(4k2＋3)＞0解k＞k＜－k取值范围∪
7．解析：(1)a＝2b椭圆方程＋＝1
椭圆点A(－2－1)＋＝1解b2＝2椭圆C方程＋＝1
(2)题意知直线MN斜率存．
直线MN斜率0时
妨设M(－20)N(20)
直线MA：y＝(x＋2)直线NA：y＝(x－2)
yP＝yQ＝－＝1
直线MN斜率0时设直线MN：x＝my－4(m≠0)椭圆方程＋＝1联立化简(m2＋4)y2－8my＋8＝0Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)>0解m2>4
设M(x1y1)N(x2y2)y1y2＝y1＋y2＝
直线MA方程y＋1＝(x＋2)P
P
直线NA方程y＋1＝(x＋2)Q
Q
＝＝＝＝＝1
综＝1
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