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高三第二轮复测试试卷
理科数学(三)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1已知集合 2
2{| 2 0} { | log 0}Axxx Bx x  ()UCAB 
A(01) B 01 C(12) D 12
2已知 a R i 虚数单位 3iza 
_
4z z  a 
A1 1 B 15 C 15

D 3 3
3抛物线 22y x 通径长
A 4

B 2

C1

D 1
2
4考察某种药物预防禽流感效果四实验室取相体进行动物试验根
四实验室列联表画出图四等高条形图体现该药物预防禽流感效果图形


5国古代洛书中记载着世界古老幻方：图 12…9 填入3 3
方格三行三列两条角线三数字等 15般连续正整数
2123 n 填入 n n 方格中行列两条角线数字相等正方
形做 n 阶幻方记 ( 3)n n  阶幻方角线数字 nN 图三阶幻方 3 15N 
8N 值
A 260

B369

C 400

D 420
6根样数
x 3 4 5 6 7 8
y 40 25 05 05 20 30
回方程 y bx a

  — 高三理科数学(三)第 2 页( 4 页) —
A 0a  0b  B 0a  0b  C 0a  0b  D 0a  0b 
7设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分 2 3n n nSSS列等
式中恒成立
A 3 22n n nSSS  B    2 2 3 3n n n n n nSSSSSS 
C 2
2 3n n nSSS D    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8设 2020
1
20202019 20192019log2020log  cba cba 关系
A cba  B bca 

C bac 

D abc 
9已知函数 ()sin( )( 0 0)fx x    正周期 π 函数 ( )f x 图象左
移 π
3
单位长度函数图象点 (01)P列结中正确
A( )f x 值 2 B( )f x 区间 π π( )6 3 单调递增
C( )f x 图关直线 π
12x  称 D( )f x 图关点 π( 0)3
称
10正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 顶点 A 作面 正方体棱面 成角相等
满足条件面 数
A1

B3

C 4

D6
11椭圆双曲线焦点 1 2F F 第象限交点 P设 1 2 2FPF   椭圆双曲线
离心率分 1 2e e
A．
2 2
2 2
1 2
cos sin 1e e
   B．
2 2
2 2
1 2
sin cos 1e e
   C．
2 2
1 2
2 2 1cos sin
e e
   D．
2 2
1 2
2 2 1sin cos
e e
  
12已知 正方形 ABCD 边 长 1 M ABC 点满足 010 MDB MBC  
MAD 
A o45 B o50 C o60 D o70

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 62 3 2x x  展开式中 x 系数 ．
14设实数 x y 满足等式
2
1
1
y
x y
x y

  
  
3z xy  取值时直线 3z xy  (11)
圆心圆相切圆面积 ．
15已知等差数列{ }na 公差 (0π)d  1
π 2a  集合   sin nM xx anN  恰
两元素 d 值 ．
16已知正方形 ABCD 边长 2 ( 123456)i i  取遍 时 1 2 3| AB BC CD     
4 5 6 |DA AC BD       值 ． — 高三理科数学(三)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知 A B 分射线CM CN（含端点C）运动 2 π3MCN 
ABC 中角 ABC 边分 a b c ．
（Ⅰ） a b c 次成等差数列公差 2．求c 值
（Ⅱ） 3c  ABC  试 表示 ABC 周长求周长值．





18．（题满分 12 分）图已知斜三棱柱 1 1 1ABC ABC 面 1 1A ACC  面
ABC 90ABC  1 130 2 3 BAC AAAC AC EF   
分 1 1AC AB 中点．
（Ⅰ）证明： EF BC
（Ⅱ）求面 1 1 1ABC 面 1ABC 成锐二面角余弦值．






19（题满分 12 分）已知    10 10 A B APABAC    | | | | 4AP AC   ．
（Ⅰ）求 P 轨迹 E
（Ⅱ）轨迹 E 意点 P 作圆 2 2 3Ox y  切线 1 2l l 设直线 1 2OPl l 斜率分
0 1 2k kk 试问三斜率存 0 条件
0 1 2
1 1 1
k k k
  
 
否定值请说明理
加证明．




20．（题满分 12 分）已知函数
2 4 2( ) ex
x xf x   ．
（Ⅰ）求函数 )(xf 单调区间
（Ⅱ）意 ( 20]x  等式 2 ( 1) ( )mx fx  恒成立求实数 m 取值范围．





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21 （题满分 12 分）2019 年 3 月 5 日国务院总理李克强做政府工作报告时说精准
脱贫攻坚战江西省贫困县脱贫摘帽取突破性进展2019—2020 年稳定实现扶贫象两愁
三保障贫困县全部退出围绕目标江西正着力加快增收步伐提高救助水改善生活条
件产业扶贫保障扶贫安居扶贫三场攻坚战响应国家政策老张力更生开间
型杂货店长期统计分析老张杂货店中某货物天需求量 ( )mm N  17 26 间日
需求量 m （件）频率 ( )P m 分布表示：
需求量 m 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频率 ( )P m 012 018 023 013 010 008 005 004 004 003
已知成件 5 元售价件 10 元供求件需降价处理处理价件 2 元
（Ⅰ）设天进货量 ( 16 12 10)n nX X n n    视日需求量 ( 16 12 10)i iYY ii   
频率概率 ( 12 10)iP i   求天进货量 nX 条件日销售量 nZ 期值 ( )nE Z （
iP 表示）
（Ⅱ）（Ⅰ）条件写出 ( )nE Z 1( )nE Z  关系式判断 nX 值时日利润均值






（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中直线l 参数方程 3 (1
 
  
x t ty t
参数) 坐标原点极点x 轴正半
轴极轴极坐标系中 曲线 π 2 2 cos 4C      
．

（Ⅰ）求直线l 普通方程曲线C 直角坐标方程
（Ⅱ）求曲线C 点直线l 距离值．




23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数   1 2  f x x a x a ．
（Ⅰ）  1 3f 求实数 a 取值范围
（Ⅱ） 1 a xR  求证：   2f x ．





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M
N
θ
A
CB

理科数学(三)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D D A A D C B C B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 576 14 5 π2 15 2 π3 16 4 5
三解答题(题 6 题 70 分)
17解析（Ⅰ） a b c 成等差公差 2 4a c  2b c  
2 π3MCN
1cos 2C    
 
22 242 1
2422
ccc
cc
      
恒等变形 2 9 14 0cc   解 7c 
2c   4c   7c 
（Ⅱ） ABC 中
sin sin sin
ACBCAB
ABCBAC ACB

 3 22ππsin sinsin 33
AC BC
 


2sinAC  π2sin 3BC 

 ABC 周长  f  AC BC AB   π2sin 2sin 33 

132sin cos 322

π2sin 33 

π0 3 
 ππ 2π
33 3  
 π π
3 2   π
6  时  f  取值 2 3 ．

18解析(Ⅰ)图示连结 11AEBE等边 1AAC 中AE EC 3sin 0 sin 2BA   
面 ABC  面 11A ACC 面 ABC  面 11A ACC AC 面面垂直性质定理：
1AE  面 ABC 1A E BC⊥ 三棱柱性质知 1 1A B AB∥ — 高三理科数学(三)第 6 页( 4 页) —
AB BC 1 1AB BC 1 1 1 1AB AE A
线面垂直判定定理： BC  面 1 1ABE
结合 EF ⊆面 1 1ABE EF BC
（Ⅱ）底面 ABC 作 EH⊥AC点 E 坐标原点
1EH EC EA 方分 xyz 轴正方建立空间直
角坐标系 E xyz 1 1 2 3AA CA  3 3BC AB 
：      1
3 30 30 0 003 0 302 2A B AC     
设面 1ABC 法量
 m xyz ：
 
 
1
3 3 3 3 3 3 02 2 2 2
3 3 3 3 0 02 2 2 2
mABxyz x yz
mBCxyz x y


                    

面 1ABC 法量  1 31m 
1AE  面 ABC
面 ABC 法量  1 00 3AE   时 1
3 5cos 55 3
AE m   

 
面 ABC 面 1ABC 成锐二面角余弦值 5
5
19解析(Ⅰ)方法：
图 AP AB AC    四边形 ACPB 行四边形
BP AC  4AP AC   4AP BP  
P 轨迹 A B 焦点椭圆易知 2 4a 
1c  方程
2 2
14 3
x y 
方法二：设  P xy AP AB AC     1AC AP AB BP x y      
4AP AC      2 22 21 1 4x yx y 
移项    2 22 21 4 1xy xy  方化简：
2 2
14 3
x y 
（    2 22 21 1 4x yx y  发现椭圆方程直接 2 4a  1c  ）
（Ⅱ）设  0 0Px y P 斜率 k 直线  0 0yy kxx  直线圆O 相切
0
2
3
1
y kx
k
 

： 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky   — 高三理科数学(三)第 7 页( 4 页) —
已知知 1 2k k 方程（关 k ） 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky   两根
韦达定理：
0 0
1 2 2
0
2
0
1 2 2
0
2
3
3
3
x yk k x
yk k x
       
两式相： 0 01 2
2
1 2 0
2
3
x yk k
kk y
  

2 2
0 0 14 3
x y  2 2
0 0
33 4y x 
代入式： 01 2
1 2 0
8
3
yk k
kk x
 
：
0 1 2
1 1 1 8
3k k k
   
 
定值
20解析（I）
2( 2 2)＇( ) ex
x xf x    记 2( ) 2 2gx x x  
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x   函数 ( )f x (1 31 3)  单调递增
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x x 
函数 ( )f x ( 1 3)(1 3 )   单调递减
（Ⅱ）记 2( ) 2 e ( 1) 4 2xhx mx x x  (0) 0 2 2 1h mm 
＇( ) 2 e ( 2) 2 4 2( 2)( e 1)x xhxmx x xm  
＇( ) 0h x  2x  lnx m ( 20]x  2( 2) 0x  
① 21 em  时 ln ( 20)m  ( 2 ln )x m  时 ＇( ) 0h x 
( ln 0)x m  时 ＇( ) 0h x  min() (ln)ln (2ln)0hx hm m m   
( 20]x  时 ( ) 0h x  恒成立
② 2em  时 2＇( ) 2( 2)(e 1)xhx x   ( 20]x  ＇( ) 0h x 
时 ( )h x 单调递增 2 2( 2) 2e e ( 1) 4 8 2 0h  
( 20]x  时 ( ) ( 2) 0h x h   成立
③ 2em  时 2( 2) 2 2 0e
mh    (0) 2 2 0h m 
存 0 ( 20)x   0( ) 0h x  ( ) 0h x  恒成立．
综 m 取值范围 2(1e ] ．
21解析(Ⅰ)日需求量 nm X 时日销售量 nZ m 日需求量 nm X 时日销售量 nZ
nX日销售量 nZ 期值 ( )nE Z ：
1 9n  时
10
1 1
() (16) (16 )
n
n i i
i i n
EZ iP nP
 
   
10n  时
10
10
1
( ) (16 ) i
i
EZ iP

 
（Ⅱ） — 高三理科数学(三)第 8 页( 4 页) —
1 10 10 10
1
1 2 1 1 1
( ) (16 ) (16 1) (16 ) (16 1) ( )
n n
n i i i ini
i i n i i n i n
EZ iP nP iP nPEZ P


    
       
设天进货量 nX日利润 n
           5 3[ 16 ] 8 3 16n n n nE E Z n E Z E Z n    
         1 1 1 2 108[ ] 3 8 3n n n n n nE E EZEZ PP P        
  1 1 2
50 8n n nE E PP P      
1 2 3 4 1 2 3
5 5066 053 8 8PPPP PPP   
 4E  应进货 20 件时日利润均值
22解析（Ⅰ） 3
1
x t
y t
 
  
消t 4 0  x y 直线l 普通方程 4 0  x y
π2 2cos 4     
π π2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4       


2 2 cos 2 sin   2 2 2 cos sin   xy x y 代入式
曲线C 直角坐标方程 2 2 2 2  xy xy   2 21 1 2  x y
（Ⅱ）设曲线C 点  1 2 cos 1 2 sin  P
点 P 直线l 距离
1 2 cos 1 2 sin 4
2
  

 
d
 2 sin cos 2
2
 

 

π2sin 24
2
    

πsin 14    
时 max 2 2d
曲线C 点直线l 距离值2 2
23解析（Ⅰ）  1 3f 1 2 3 a a
① 0a 时  1 2 3 a a 解 2
3a 2 03  a
② 10 2 a 时  1 2 3 a a 解 2a 10 2 a
③ 1
2a  时  1 2 3 a a 解 4
3a 1 4
2 3a 
综述实数 a 取值范围 2 43 3
   

（Ⅱ） 1 a x R
     1 2 1 2  f x x a x a x a x a
3 1 a 3 1 a 2
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理科数学（三）选择填空详细解析
1A解析  2 0A xx x    0 1B x x  (01)UCA B  选 A
2A解析复数 3 iz a  3 iz a

  2 3 4z z a

  1a  选 A
3D解析标准化 2 1
2x y 通径 12 2p 
4D解析图知服药患病概率高服药患病概率低选 D
5A解析根题意知幻方角线数成等差数列
3
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N   
4
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N   
5
1(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N   

2 2 2
21 1 (1 ) ( 1)(12345 ) 2 2n
n n n nN nn n
      ．
6A解析画出散点图知 0 0b a  选 A．
7D解析等数列性质： 2 3 2n n n n nSSSSS  成等数列
  2
2 3 2n n n n nSSSSS   化简    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8C解析 2
2019 2019 2019 2019
1 1 1 1log 2019 log 2020 log 2020 log 2019 12 2 2 2a    
2020 2020 2020
1 1 10 log 2019 log 2019 log 2020 2 2 2b   
1
20202019 1c  
9B解析条件知   πsin 2 6fx x    
结合图 B
10C解析正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中四面体 1 1A BDC 四面 12 条棱成角相等
∴正方体 12 条棱直线成角均相等面 4 选 C
11B解析设椭圆长轴长 12a 双曲线实轴轴长 22a
交点 P 两焦点距离分   0m n m n  焦距 2c  22 2 2 2 2m n mncos c 
1 22 2m n a m n a  1 2 1 2m a a n a a 
   2 2 2
1 21cos2 1cos2 2a a c   
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
sin cos sin cos1 1a a
c c ee
    
12D解析设正方形 ABCD 边长 1 — 高三理科数学(三)第 10 页( 4 页) —
BMD 中正弦定理 o
o o 2sin 35 sin 35 sin135
DM DB DM 
AMD 中余弦定理 2 2 o o o1 4sin 35 4sin 35 cos55 1AM   
AMD 等腰三角形 o70 MAD 
13576解析 62 3 2x x  展开式中含 x 项  1 5 5
6 53 2 6 3 32 576CxC x x   x
系数 576
14 5 π2
解析直线点 12 时 3z xy  取值 1 3 1 1 10
210
r d   
圆面积 5 π2
15 2 π3
解析集合 S 恰两元素 2a 3a 终边关 y 轴称时 2 π3d 
16 4 5 解析
   1 2 3 4 5 6 1356 2456ABBCCDDAACBD AB AD              
2 2
1 2 3 4 5 6 1356 2456| ||( )( )|ABBCCDDAACBD AB AD                    
2 2 2 2
1356 2456 1356 24564( ) 4( ) 4( ) 4( )         
2 2 2 2
56 56 565656 564[(2 ) (2 ) ] 32 16( ) 4( ) 4( )         
2 2 2 2 2 2 2
5656 56 5656 56
2 2 2 2
5 6 5 6
32 16 ( ) 8( ) 48 16 ( ) ( ) 2
48 16 2( ) 2 80
   
 
    
 

等号成立仅 1 3 5 6    均非负者均非正 2 4 5 6   均非负者均非正
1 2 3 4 5 61 1 1 1 11     
1 2 3 4 5 6 max
4 5AB BC CD DA AC BD           

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