1
高中高考数学易错易混易忘题分类汇总解析
会全直成制约学生数学成绩提高重素成学生挥痛
解决问题决定学生高考成败起着关重作文结合笔者年高三教学验精心挑选学
生考试中常见 66 易错易混易忘典型题目问题高考中热点重点做力避偏
怪难进行精彩剖析配年高考试题作相应练方面明确样问题高考中确实
存方面通作针性练帮识破命题者精心设计陷阱达授渔目助高考
中风破浪实现已理想报负
易错点1忽视空集非空集合子集导致思维全面
例1 设 求实数a 组成集 2| 8 15 0A x x x     | 1 0B x ax   ABB
合子集少？
易错点分析题条件 易知 空集非空集合子集解题中极ABB BA
易忽略种特殊情况造成求解满足条件a 值产生漏解现象
解析：集合A 化简 知 （Ⅰ） 时方程 35A  ABB BA B  1 0ax  
解时 a0 符合已知条件（Ⅱ） 时方程 解35代入 B  1 0ax   1
3a  1
5
综满足条件a 组成集合 子集 1 103 5
   
32 8
知识点类点拔（1）应条件A∪B＝ＢA∩B＝Ａ Ａ Ｂ时树立起分类讨数学思 
想集合Ａ空集Φ情况优先进行讨．
（2）解答集合问题时注意集合性质确定性序性互异性特互异性集合元素限
制时需进行检验求解结果满足集合中元素性质外解题程中注意集合语言（数
学语言）然语言间转化：   2 2 | 4A x y x y  
中 求r 取值范围集合表      2 2 2 | 3 4B x y x y r     0r  AB 
达数学语言然语言进行转化：集合A 表示原点圆心2 半径圆集合B 表示（3
4）圆心r 半径圆两圆公点两圆相离含时求半径r 取值范围思维马
利两圆位置关系解答外等式解集等注意集合语言应
练1已知集合  2| 4 0A x x x     2 2| 2 1 1 0B x x a x a      BA
实数a 取值范围 答案： 1a  1a  
易错点2求解函数值域单调区间易忽视定义域优先原
例2已知求 取值范围 
2
22 14
yx    2 2x y
易错点分析题学生容易利消元思路问题转化关x 函数值求解极易忽略
xy 满足 条件中两变量约束关系造成定义域范围扩 
2
22 14
yx   2
解析： (x+2)21≤1∴3≤x≤1 x 2+y23x216x12 
2
22 14
yx    4
2y
+ x1时x 2+y2 值 1 x 时x2+y2 值 x 2+y2 取值范围[1
3
28
3
8
3
28
]
3
28
知识点类点拔事实解析角度理解条件 xy 限制 
2
22 14
yx   
显然方程表示（20）中心椭圆易知3≤x≤1 外题通三角换元2 2y  
转化三角值求解
练2（05 高考重庆卷）动点（xy）曲线 变化 值
2 2
2 14
x y
b   0b  2 2x y
（）
（A）（B）（C）（D） 
 
2
4 0 44
2 4
b b
b b
   
 
 
 
2
4 0 24
2 2
b b
b b
   
 
2
44
b  2b
答案：A
易错点3求解函数反函数易漏掉确定原函数值域反函数定义域
例3 R 奇函数（1）求a 值（2）求反函数  2 1
1 2
x
x
af x     1f x
易错点分析求解已知函数反函数时易忽略求解反函数定义域原函数值域出错
解析：（1）利 （ ）求 a1    0f x f x    0 0f 
（2） 设 1a    2 1
2 1
x
xf x    y f x  2 1 1x y y   1y  12 1
x y
y
 

1
1
2log
y
yx

   2 1
2 1
x
xf x    21 112 1x       
1
1 1
2log 1 1
x
xf x x

    
知识点类点拔（1）求解函数反函数时定通确定原函数值域反函数定义域反函
数解析式表明（反函数定义域R 省略）
（2）应 省略求反函数步骤直接利原函数求解应注意变量1()()f b a f a b   
函数值互换
练3（2004 全国理）函数 反函数（）   1 1 1f x x x   
A B 2 2 2 1y x x x     2 2 2 1y x x x   3
C D  2 2 1y x x x    2 2 1y x x x  
答案：B
易错点4求反函数反函数值错位
例4已知函数 函数 图 图象关直线  1 2
1
xf x x
   y g x  1 1y f x  y x
称 解析式（） y g x
A B C D  3 2xg x x
   2
1
xg x x
    1
2
xg x x
    3
2g x x 
易错点分析解答题时易 互反函数认 y g x  1 1y f x   1 1y f x 
反函数 错选A 1y f x   y g x  1f x   
 
1 2 1 3 2
1 1
x x
x x
    
解析： 求  1 2
1
xf x x
   1 1
2
xf x x
      
 
1 1 1 21 2 1 1
x xy f x x
        
反函数 正确答案：B 1 1y f x    2
1
xg x x
 
知识点分类点拔函数 函数 互反函数表示 1 1y f x   1y f x 
中x x1 代反函数值求反函数程：设  1f x  1y f x 
 1 1f y x  
xy 互换 反函数  1 1x f y   1y f x   1 1y f x   1y f x 
反函数 求解题问题时定谨慎 1 1y f x 
练4（2004 高考福建卷）已知函数 ylog 2x 反函数 yf1(x)函数 y f1(1x)图象（）
答案：B
易错点5判断函数奇偶性忽视函数具奇偶性必条件：定义域关原点称4
例5 判断函数 奇偶性
 2lg 1
() 2 2
x
f x x

  
易错点分析题常犯错误考虑定义域步骤求解：
   
2lg 1
() 2 2
x
f x f xx

   
出函数 非奇非偶函数错误结 f x
解析：函数解析式知x 满足 函数定义域 定义域关原点
21 0
2 2
x
x
     
   10 01 
称定义域 易证 函数奇函数   2lg 1 x
f x x

     f x f x  
知识点类点拔（1）函数定义域关原点称函数具奇偶性必充分条件判断
函数奇偶性时定先研究函数定义域
（2）函数 具奇偶性 定义域x 恒等式 f x    f x f x     f x f x  
常常利点求解函数中字母参数值
练5判断列函数奇偶性：
① ② ③  2 24 4f x x x        11 1
xf x x x
     1 sin cos
1 sin cos
x xf x x x
   
答案：①奇函数偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
易错点6易忘原函数反函数单调性奇偶性关系导致解题程繁锁
例6 函数 反函数 证明 奇函数 
2 2
2 1
2
1 1log 2 2
x
xf x x x

       
 1f x  1f x
定义域增函数
思维分析求 表达式证明注意 具相单调性奇偶 1f x  1f x  f x
性需研究原函数 单调性奇偶性 f x
解析： 奇函数  
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 2log log log
x x x
x x xf x
   
         f x   f x  1f x
奇函数令 均增函数 增函2 1 212 1 2 1
xt x x
   
1 2
    
1 2
    2log ty 
数 分增函数 分  f x 1 2
    
1 2
   
 1f x  0  0
分增函数
知识点类点拔反函数知识重结：（1）定义域单调函数必反函数（2）奇函
数反函数奇函数原函数反函数具相单调性（3）定义域非单元素偶函数存反函5
数（4）周期函数存反函数（5）原函数定义域值域反函数定义域值域换
1()()f b a f a b   
练6（1）（99 全国高考题）已知 结正确（）() 2
x xe ef x

A 奇函数增函数 B 奇函数减函数 f x  f x
C 偶函数增函数 D 偶函数减函数 f x  f x
答案：A
（2）（2005 天津卷）设 函数 反函数 成立 1f x      1 12
x xf x a a a    1 1f x  x
取值范围（）A B C D
2 1()2
a
a
 
2 1()2
a
a

2 1()2
a aa
 ()a 
答案：A （ 时 单调增函数）1a   f x         
2
1 1 11 1 1 2
af x f f x f x f a
       
易错点7证明判断函数单调性定义出发注意步骤规范性树立定义域优先原
例7试判断函数 单调性出证明   0 0bf x ax a bx   
易错点分析解答题中证明判断函数单调性必须函数性质解答特注意定义
中 意性函数单调区间必1 2x D x D          1 2 1 2f x f x f x f x  1 2x x
函数定义域子集树立定义域优先意识
解析： 函数 奇函数需判断函数 单调   f x f x    f x  f x  0
性设 1 2 0x x        1 2
1 2 1 2
1 2
ax x bf x f x x x x x
   1 2 0x x 
时 时函数 增函数理1 2bx x a
      
   1 2 0f x f x   f x b
a
     
证函数 减函数函数奇函数函数 减函数 f x 0 b
a
 
   
0b
a
    
增函数综述：函数 分增函数 b
a
     
 f x b
a
     
b
a
     
分减函数0 b
a
 
   
0b
a
    
知识类点拔（1）函数单调性广泛应较解等式求参数范围值等问题中应
引起足够重视6
（2）单调性定义等价形式： 增函数  f x  a b    1 2
1 2
0f x f x
x x
   f x
减函数 表明增减性意义：增（减）函数图象意两 a b    1 2
1 2
0f x f x
x x
 
点 连线斜率（）零     1 1 2 2x f x x f x
（3） 种重函数模型引起重视注意应注意题中   0 0bf x ax a bx   
说 增函数 减函数 f x b
a
     
 b
a
     
0 b
a
 
   
 0b
a
    
叙述函数单调区间时单调区间间添加符号∪
练7（1） （潍坊市统考题） （1）单调性定义判断函数    1 0xf x ax aax
    f x
单调性（2）设 值 求 解析式 0  f x 0 1x   g a  y g a
答案：（1）函数 增函数 减函数（2）1 a
   
10 a
 
  
   
 
12 1
0 1
aay g a
a a
    
  
（2） （2001 天津）设 R 偶函数（1）求a 值（2）试判断函数0a   
x
x
e af x a e 
单调性出证明 0
答案：（1）（2）函数 增函数（证明略）1a   0
易错点8解题中误必条件作充分条件充分必条件误作充条件导致错误
结
例8（2004 全国高考卷）已知函数 减函数求a 取值范围  3 23 1f x ax x x   
易错点分析 单调递减充分必条件解题程    0 f x x a b    f x  a b
中易误作充条件 R 递减   3f x x    23 0f x x   
解析：求函数导数 （1） 时 减函数  23 6 1f x ax x      0f x   f x
解 （2） 时   23 6 1 0f x ax x x R      0
0
a 
 
3a   3a  7
易知时函数R 减函数（3） 
3
3 2 1 83 3 1 3 3 9f x x x x x           
3a  
时R 存区间 时函数 减函数综  0f x  3a    f x
求a 取值范围   3 
知识类点拔函数 导导数函数单调性关系现增函数例说明：① f x
增函数关系 推出 增函数反定函数0)(  xf )(xf 0)(  xf )(xf
单调递增 ∴ 增函数充分必3)( xxf  )(  0)(  xf 0)(  xf )(xf
条件② 时 增函数关系 根作分界点0)(  xf 0)(  xf )(xf 0)(  xf
规定 抠分界点时 增函数定 ∴0)(  xf )(xf 0)(  xf 0)(  xf
时 增函数充分必条件③ 增函数关系 增0)(  xf )(xf 0)(  xf )(xf )(xf
函数定推出 反定 0)(  xf 0)(  xf 0)(  xf 0)(  xf
函数某区间恒 常数函数具单调性∴ 0)(  xf )(xf 0)(  xf )(xf
增函数必充分条件函数单调性函数条重性质高中阶段研究重点定
握三关系导数判断函数单调性新教材解决单调区间端点问题律开区
间作单调区间避免讨问题简化问题实际应中会遇端点讨问题谨慎
处理
题第步 进行讨确保充性解题中误必条件作充分3a   3a  
条件充分必条件误作充条件导致错误需学学程中注意
思维严密性
练8（1）（2003 新课程）函数 单调函数充条件（）2y x bx c     0x 
A B C D0b  0b  0b  0b 
答案：A
（2）否存样K 值函数 递减  2 4 3 22 123 2f x k x x kx x      12
递增？ 2
答案： （提示题意结合函数连续性知 函数 递减1
2k   2 0f    2 0f    12
递增必条件定充分条件 求出K 值检验） 2  2 0f  
易错点9应重等式确定值时忽视应前提条件特易忘判断等式取等号时变量
值否定义域限制范围8
例9 已知：a>0 b>0 a+b1求(a+ ) 2+(b+ )2 值
a
1
b
1
错解 (a+ )2+(b+ )2a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4 +48∴(a+ )2+(b+ )2
a
1
b
1
2
1
a 2
1
b ab
2
abab 1 a
1
b
1
值8
易错点分析 面解答中两次基等式a 2+b2≥2ab第次等号成立条件 ab
2
1
第二次等号成立条件 ab 显然两条件时成立8 值
ab
1
解析：原式 a2+b2+ + +4( a2+b2)+( + )+4[(a+b)22ab]+ [( + )2 ]+4 (12
1
a 2
1
b 2
1
a 2
1
b a
1
b
1
ab
2
2ab)(1+ )+4 ab≤() 2 ：12ab≥1 ≥161+≥17∴原22
1
ba 2
ba 
4
1
2
1
2
1
22
1
ba 22
1
ba
式≥ ×17+4 (仅 ab 时等号成立)∴(a+ )2+(b+ )2 值
2
1
2
25
2
1
a
1
b
1
2
25
知识类点拔应重等式求解值时注意三前提条件缺正二定三
相等解题中容易忽略验证取提值时等号成立变量值否定义域限制范围
练9（97 全国卷文 22理 22）甲乙两相距 s km 汽车甲匀速行驶乙速度超 c
kmh 已知汽车时运输成（元单位）变部分固定部分组成：变部分速度v
（kmh）方成正例系数 b固定部分a 元
（1） 全程运输成y（元）表示速度v（kmh）函数指出函数定义域
（2） 全程运输成汽车应速度行驶？
答案（1）（2）全程运输成 ≤c 时行驶速度 v  2 0sy bv a v cv    b
a
＞c 时行驶速度 vc
b
a
b
a
易错点 10涉指型函数单调性关问题时没根性质进行分类讨意识易忽略数
函数真数限制条件
例 10否存实数a 函数 增函数？存求出a 值存  2
log ax x
af x   24
说明理
易错点分析题考查数函数单调性复合函数单调性判断方法解题程中易忽略数
函数真数零限制条件导致a 范围扩
解析：函数 复合成根复合函数单调性判断方 f x   2x ax x    log x
ay 
法（1） a>1 时 增函数 增函  2
log ax x
af x   24   2x ax x    24
数零 解 a>1（2） a<1 时
 
1 22
2 4 2 0
a
a
 
   
  2
log ax x
af x   249
增函数 减函数零 等式组解  2x ax x    24
 
1 42
4 16 4 0
a
a
 
   
综述存实数 a>1 函数 增函数  2
log ax x
af x   24
知识类点拔熟练掌握常初等函数单调性：次函数单调性取决次项系数符号二
次函数单调性决定二次项系数符号称轴位置指数函数数函数单调性决定底数
范围（1 1）特解决涉指复合函数单调性问题时树立分类讨数学思想
（数型函数注意定义域限制）
练 10（1）（黄岗三月分统考变式题）设 试求函数 单调0a  1a  2log 4 3ay x x  
区间
答案： 函数 单调递减 单调递增 函数 单0 1a  31 2
   
3 42
 
 
1a  31 2
   
调递增 单调递减3 42
 
 
（2）（2005 高考天津）函数 区间 单调递增     3log 0 1af x x ax a a    1(0)2 a
取值范围（）A B C D1[1)4
3[1)4
9()4  9(1)4
答案：B（记 时 增函数需  3g x x ax    2＇ 3g x x a  1a   f x
恒成立矛盾排CD 时 函数需 ＇ 0g x 
21 33 2 4a      
0 1a   f x
恒成立排A） ＇ 0g x 
21 33 2 4a      
易错点 11 换元法解题时易忽略换元前等价性．
例 11已知 求 值1sin sin 3x y  2sin cosy x
易错点分析题学生通条件 问题转化关 函数进利换1sin sin 3x y  sin x
元思想令 问题变关t 二次函数值求解极易忽略换元前变量等价性造成sint x
错解
解析：已知条件 （结合 ）1sin sin3y x   1sin sin 113y x     sin 11x  
令2 sin 13 x   2sin cosy x 1 sin3 x 2cos x 2 2sin sin 3x x  
原式 根二次函数配方： 2sin 13t x t      
2 2 2 13 3t t t       
2
3t  10
时原式取值 2sin 3x   4
9
知识点类点拔知识基础方法手段思想深化提高数学素质核心提高
学生数学思想方法认识运数学素质综合体现力解数学题时某式子成
整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元
设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标
准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理换元法称辅助元素法变量代换法通引进新
变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉
形式复杂计算推证简化
练 11（1）（高考变式题）设 a>0000求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 值2
值
答案：f(x)值－2a－2 a－ 值2 2 1
2
1
2 0 2
2
2 2 2 1
2
2
2
2
()
()
 
   






a
a a a
（2）等式 >ax＋ 解集(4b)a＝________b＝_______x 3
2
答案： （提示令换元 原等式变关t 元二次等式解集1 368a b  x t  2 b
）
易错点 12已知 求 时 易忽略n＝１情况．nS na
例 12（2005 高考北京卷）数列 前n 项 （1）求 值数 na ns 1 1
11 3n na a s  2 3 4a a a
列 通项公式 na
易错点分析题应 关系时误认 意n 值成立忽略 n1ns na 1n n na s s  
情况验证易出数列 等数列错误结 na
解析：易求 2 3 4
1 4 163 9 27a a a   1 1
11 3n na a s   1
1 23n na s n 
该数列 1 1
1 1 1 23 3 3n n n n na a s s a n       1
4 23n na a n   1 1a  2
1
3a 
第二项开始等数列
 
 
2
1 1
1 4 23 3
n
n
n
a
n


       
知识点类点拔数列 间关系： 利两者间关系na ns  
 
1
1
1
2n
n n
s n
a
s s n
   11
已知 求 注意 适合 时两者合否写分段函ns na 1a  1 2n n na s s n  
数形式
练 12（2004 全国理）已知数列 满足 na
数列 通项    1 1 2 3 11 2 3 1 2n na a a a a n a n         na
答案：（条件右端视数列 前 n1 项利公式法解答） nna
 
 
1 1
22
n
n
a n n
  
易错点 13利函数知识求解数列项前n 项值时易忽略定义域限制正整数集
子集（1 开始）
例 13等差数列 首项 前n 项 时 问n 值时  na 1 0a  ns l m m ls s ns
易错点分析等差数列前n 项关n 二次函数问题转化求解关n 二次函数
值易忘记二次函数定义域正整数集限制条件
解析：题意知 函数n 变量二次函ns     2
1 1
1
2 2 2
n n d df n na d n a n        
数 时 二次函数开口 1 0a  l m m ls s 0d     f l f m
时 取值 偶数 时
2
l mx   f x n N  l m 2
l mn  ns
奇数时 时 l m 1
2
l mn   ns
知识点类点拔数列通项公式前n 项公式视定义域正整数集子集（1 开始）
函数解题程中树立函数思想观点应函数知识解决问题特等差数列前n 项公
式关n 二次函数没常数项反满足形 应数列必然等差数列2
ns an bn 
前n 项时 知数列中点 直线重结外ns an bn   nsn n
 
  
形前n 项 应数列必等数列前n 项n
ns ca c 
练 13（2001 全国高考题）设 等差数列 前n 项  na ns 5 6s s 6 7 8s s s 
列结错误（）ABC D 均 值0d  7 0a  9 5s s 6s 7s ns
答案：C（提示利二次函数知识等差数列前n 项关n 二次函数称轴结合单调性解答）
易错点 14解答数列问题时没结合等差等数列性质解答解题思维受阻解答程繁琐
例 14已知关方程 四根组成首项 等差数列求2 3 0x x a   2 3 0x x b   3
4
值a b12
思维分析注意两方程两根相等隐含条件结合等差数列性质明确等差数列中项
排列
解析：妨设 方程 根两方程两根相等等差数列性质知方程3
4
2 3 0x x a  
根等差数列第四项方程 两根等差数列中间2 3 0x x a   2 3 0x x b  
两项根等差数列知识易知等差数列： 3 5 7 94 4 4 4
27 3516 16a b  a b 31
8
知识点类点拔等差数列等数列性质数列知识重方面解题中充分运数列性
质起事半功倍效果例等差数列  na qpmn  qpmn aaaa 
等数列 数列 等数列 前n na vumn  vumn aaaa   na nS
项 成等数列数列 等差数列 前*Nk  kS kk SS 2 kk SS 23   na nS
n 项 成等差数列等性质熟练灵活应*Nk  kS kk SS 2 kk SS 23 
练 14（2003 全国理天津理）已知方程 四根组成首项2 2 0x x m   2 2 0x x n  
等差数列（） A1 B C D1
4 m n 3
4
1
2
3
8
答案：C
易错点 15等数列求公式求时易忽略公ｑ＝１情况
例 15数列 中 数列 公 （ ）等数列}{ na 11 a 22 a }{ 1 nn aa q 0q
（I）求 成立 取值范围（II）求数列 前 项32211   nnnnnn aaaaaa q }{ na n2
．nS2
易错点分析等数列前n 项易忽略公 q1 特殊情况造成概念性错误者学生没
定义出发研究条件数列 公 （ ）等数列数列奇数项偶数项成等数}{ 1 nn aa q 0q
列找解题突破口思维受阻
解：（I）∵数列 公 等数列∴ }{ 1 nn aa q qaaaa nnnn 121  
2
132 qaaaa nnnn   32211   nnnnnn aaaaaa
（ ）解22
111 1 qqqaaqaaaa nnnnnn   012  qq 0q
．
2
510  q13
（II）数列 公 等数列 表明数列}{ 1 nn aa q qa
aqaa
aa
n
n
nn
nn  

 2
1
21 }{ na
奇数项成等数列偶数项成等数列公 ∴q 11 a 22 a 1q
时 nS2 nn aaaaaa 2124321  
)()( 2642321 nn aaaaaaaa  
时
q
q
q
qa
q
qa nnn



 1
)1(3
1
)1(
1
)1( 21 1q nS2
nn aaaaaa 2124321  
)()( 2642321 nn aaaaaaaa  
．n3)2222()1111(  
知识点类点拔题中拆成两数列等数列中 解题关键种出数列qa
a
n
n 2
形式值关注外奇数项偶数项成等数列公相等整数列成等数
列解题时慎重写出数列前项进行观察出正确结等数列求定注意公
1 种特殊情况高考里设计陷阱考生产生现全错误
练 15（2005 高考全国卷第问）设等数列 公q前n 项 （1）求q 取值 na 0ns 
范围
答案：    10 0 
易错点 16数列求中求等差数列等数列积构成数列前n 项会采错项相减
法解答结果位
例 16．（2003 北京理）已知数列 等差数列 na 1 1 2 32 12a a a a   
（1）求数列 通项公式（2）令 求数列 前项公式 na  n
n nb a x x R   nb
思维分析题根条件确定数列 通项公式数列 通项公式分析知数列  na  nb  nb
等差数列等数列构成差数列错项相减方法求
解析：（1）易求 2na n
（2）（1） 令 （Ⅰ）2 n
nb nx ns  2 32 4 6 2 nx x x nx   
（Ⅱ）（Ⅰ）减（Ⅱ）（注意错位相减） 2 3 12 4 2 1 2n n
nxs x x n x nx      14
  2 3 11 2 2 2 2 2n n
nx s x x x x nx        1x    112
1 1
n
n
n
x x
s nxx x

 
     
时1x   2 4 6 2 1ns n n n      
综：
时1x    112
1 1
n
n
n
x x
s nxx x

 
     
1x   2 4 6 2 1ns n n n      
知识点类点拔般情况数列 中数列 分等差数列 nc n n nc a b  na  nb
等数列前n 项通原数列项基础等数列公错项相减方法
求解实际课等数列求公式种情况特例
练 16（2005 全国卷理）已知 1 2 2 1n n n n n
nu a a b a b ab b       
时求数列 前n 项  0 0n N a b   a b  na ns
答案： 时 时1a     
 
2 1 2
2
1 2 2
1
n n
n
n a n a a as
a
     

1a   3
2n
n ns 
易错点 17根数列通项特点寻找相应求方法应裂项求方法时裂项抵消项
规律清导致项少项
例 17求…．nS  321
1
21
1
1
1
n 321
1
易错点分析题解答时方面通项入手分析项特点难找解题突破口次裂项抵
消中间项程中消项剩余项规律清导致解题失误
解：等差数列前 项公式 ∴n 2
)1(321  nnn
取 …分)1
11(2)1(
2
321
1
 nnnnn
n 1 2 3
321
121
11
1

…∴ nS)1
11(2)4
1
3
1(2)3
1
2
1(2)2
11(2  nn
．
1
2)1
11(2  n
n
n
知识类点拔裂项法两特点分式分子相二项分母两数（
三更）相两数第数前项第二数果具备特点进行转化
明确消项规律般情况剩余项前称常见变形题题外形式例：
求 方法抓通项
nn 2
1
63
1
42
1
21
1
2222 

问题会容易解决外类似裂项法题目)2
11(2
1
)2(
1
2
1
2  nnnnnn15
： 求前 项通分母理化方法解决数列求常方法：公式
1
1


nn
an n
法裂项相消法错位相减法倒序相加法等
练 17（2005 济南统考）求 ＋ ＋ ＋…＋ ．
12
12
2
2

nS 14
14
2
2


16
16
2
2


1)2(
1)2(
2
2


n
n
答案：… ＝． 7
1
5
115
1
3
113
1
1
11nS  12
1
12
11  nn 12
2
 n
nn
易错点 18易特殊性代般性误必条件做充分条件充条件缺乏严谨逻辑思
维
例 18（2004 年高考数学江苏卷20）设穷等差数列{an}前n 项S n
(Ⅰ)首项 公差 求满足 正整数k1a
3
2 1d 2)(2 kk SS 
(Ⅱ)求穷等差数列{an}切正整数k 成立2)(2 kk SS 
易错点分析题考查数列基知识运数学知识分析解决问题力学生解第
(Ⅱ)时极易根条件切正整数k 成立句话k 取两特殊值确定出等2)(2 kk SS 
差数列首项公差没认识求解出等差数列仅已知条件成立必条件条件
成立充分条件应进步特殊般
解：（I） 时12
3
1  da nnnnndnnnaSn  2
1 2
1
2
)1(
2
3
2
)1(
22242 )2
1(2
1)(2 kkkkSS kk  0)14
1(3 kk 40  kk
（II）设数列{an}公差d 中分取 k122)(2 nn SS 










2
11
2
11
2
24
2
11
)2
122(2
344


)(
)(
dada
aa
SS
SS
（1） 10 11  aa 60)2(01  dda 代入时
成立2
1 )(0000 kknn SSSada 
知 216324)(18)1(660 2
331  nn SSSnada )( 2
39 Ss 
数列符合题意 20)2(64)2(1 2
1  dddda 解代入时
)(101 2
1 2 成立 kknn SSnSada 
成立 22
1 )()12(311221 nnn SSnnSnada  
综3 满足条件穷等差数列：
①{an} an0000…②{a n} an1111…③{a n} a n2n－113
5…
知识点类点拔事实条件中切正整数k 成立等价关k2)(2 kk SS 
方程解切正整数转化关k 方程项系数时零题采程等价转化思
想解答样做避免忽视充分性检验犯逻辑错误述解法中定注意种特殊
般关系
练 18（1）（2000 全国）已知数列中数列 等数列求常数 nc 2 3n n
nc    1n nc pc 
p
答案：p2 p3（提示令 n123 根等中项性质建立关p 方程说明p 值意然数
n 成立）
（1）
（2）16
易错点 19判式判定方程解数（交点数）时易忽略讨二次项系数否０．尤
直线圆锥曲线相交时更易忽略
例 19已知双曲线 直线 讨直线双曲线公点数2 2 4x y   1y k x 
易错点分析讨直线曲线位置关系般直线曲线方程联立组成方程组方程组
解直线曲线交点消元转化关xy 方程易忽视方程种类进行讨
观误认方程二次方程利判式解答
解析：联立方程组 消y （1）
 
2 2
1
4
y k x
x y
    
 2 2 2 21 2 4 0k x k x k     21 0k 
时 方程关x 次方程时方程组解直线双曲线交点（2）1k  
时 方程组解直线双曲线交点（3）
 
2
2
1 0
4 4 3 0
k
k
     
2 3
3k  
时方程组两交点时 （4）
 
2
2
1 0
4 4 3 0
k
k
     
2 3 2 3
3 3k   1k  
时 时方程组解时直线双曲线交点
 
2
2
1 0
4 4 3 0
k
k
     
2 3
3k  2 3
3k  
综知 时直线双曲线交点 时1k   2 3
3k   2 3 2 3
3 3k   1k  
直线双曲线两交点 时方程组解时直线双曲线交点2 3
3k  2 3
3k  
知识点类点拔判断直线双曲线位置关系两种方法：种代数方法判断方程组解数应
直线双曲线交点数种方法助渐进线性质利数形结合方法解答两种方法
应关系题中第种情况应直线双曲线渐进线行时做直线双曲线相交
公点通点说明直线双曲线公点直线双曲线相切必充分
条件第二种情况应直线双曲线相切通题加深体会种数形统
练 19（1）（2005 重庆卷）已知椭圆 方程 双曲线 左右焦点分 左1c
2
2 14
x y  2c 1c
右顶点 左右顶点分 左右焦点（1）求双曲线方程（2）直线 2c 1c 2l y kx 
椭圆 双曲线 恒两交点 两交点AB 满足 中O1c 2c 2c 6lOAOB 
 
原点求k 取值范围答案：（1）（2）
2
2 13
x y 
13 3 1 1 3 131115 3 2 2 3 15
                               
  17
（2）已知双曲线C： 点P（11）作直线l lC公点满足述条件直线l
____条答案：4条（知kl存时令l y1k(x1)代入 中整理(4k2)x2+2k(k1)x14
2
2  yx
(1k2)40∴ 4k20k±2时公点k≠±2时Δ0 切点：
2
5k
kl存时x1曲线C切点∴综4条满足条件直线）
易错点 20易遗忘关 齐次式处理方法sin cos
例 20已知 求（1） （2） 值2tan  

sincos
sincos

  22 cos2cossinsin 
思维分析式子转化正切利 （2）式分子分母 2 21 sin cos   sin
解：（1）223
21
21
tan1
tan1
cos
sin1
cos
sin1
sincos
sincos 















(2)

 22
22
22
cossin
cos2cossinsincos2cossinsin

3
24
12
222
1cos
sin
2cos
sin
cos
sin
2
2
2
2








知识点类点拔利齐次式结构特点（果具备通构造办法）进行弦切互化
会解题程简化 2 2 2 2(1 sin cos sec tan       tan cot 
统称1 代换) 常数 1种种代换着广泛应．
练 20．（2004 年湖北卷理科）
已知 值)32sin(]2[0cos2cossinsin6 22   求
答案： （原式化）6 5 3
13 26  02tantan6 2  
 2
2
3tan 1 tan2sin 2 3 1 tan
  
      
易错点 21解答数列应题审题严易关数列第n 项数列前n 项混淆导致错误解答
例 21果张厚度 005mm 报纸拆拆拆 50 次报纸厚度少相信时
报纸厚度球月球间建座桥(已知球月球距离约 米)84 10
易错点分析拆 50 次报纸厚度应理解等数列第n项易误理解等数列前n项

解析：拆次厚度增加原倍设次拆厚度构成数列 数列 na na 3
1a 005 10
米首项公2 等数列拆 50 次纸厚度等数列第 51 项利等数列通
项公式易a 51005×103×250563×1010球月球间距离 4×108<563×1010
建座桥18
知识点类点拔 数列数学模型应题高考考查热点容中问题涉
等差者等数列前n 项第n 项问题审题程中定两者区分开
练 21（2001 全国高考）社会效益济效益出发某投入资金进行生态环境建设发展旅
游产业根规划年度投入 800 万元年投入年减少 年度旅游业收入估计
5
1
400 万元该项建设旅游业促进作预计旅游业收入年会年增加
4
1
(1)设n 年(年度第年)总投入a n 万元旅游业总收入b n 万元写出a nbn 表达式
(2)少年旅游业总收入超总投入
（1）an800+800×(1－ )+…+800×(1－) n－1 800×(1－) k－14000×［1－()n］
5
1
5
1 

n
k 1 5
1
5
4
bn400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k－1 400×()k－11600×［()n－1］
4
1
4
1 

n
k 1 4
5
4
5
（2）少5 年旅游业总收入超总投入
易错点 22单位圆中三角函数线解题中方面学生易知识遗忘应意识强方面易
角三角函数值应三角函数线线段长度二者等起产生概念性错误
例 21列命题正确（）
A 第二象限角 B 第三象限角  sin sin  tan tan   
C 第四象限角 cos cos  sin sin    sin sin 
D 第象限角 tan tan    cos cos  sin sin 
易错点分析学生解答题时易出现错误：（1）象限角简单理解锐角钝角 270 360
度间角（2）思维转利三角函数单调性没应三角函数线较两角三角函数值
意识思维受阻
解析：A三角函数易知时角 正切线数量角 正切线数量B  tan tan 
理知C知满足条件角 正切线数量角 正切线数量sin sin   
正确D理知应 tan tan  sin sin 
知识点类点拔单位圆三角函数线抽象角三角函数值直观线段数量应起体
现数形结合数学思想注意点角三角函数值线段数量长度三角函数
线解三角等式较角名函数值三角关系式证明着广泛应方面19
着定优越性例利三角函数线易知 0sin tan2
        
等sin cos 1  
练 22（2000 全国高考）已知 列命题正确（）sin sin 
A 第象限角B 第二象限角  cos cos    tan tan 
B 第三象限角D 第四象限角  cos cos    tan tan 
答案：D
易错点 23利三角函数图象变换中周期变换相位变换解题时易 求错 
例 23．函数 图象需函数 图象（）sin 2 3y x     
1sin 2y x
A 先x 值扩原4 倍y 值变右移 单位
3

B 先x 值缩原 倍y 值变左移 单位1
4 3

C 先x 值扩原4 倍y 值变左移 单位
6

D 先x 值缩原 倍y 值变右移 单位1
4 6

易错点分析 变换成 x 值缩原 倍学误认1sin 2y x sin 2y x 1
4
扩原倍样误选AC 移 学移方错sin 2y x sin 2 3y x     

学移单位误认
3

解析： 变形 常见两种变换方式种先进行周期变换1sin 2y x sin 2 3y x     
图象点坐标变横坐标变原 倍函数 图象1sin 2y x 1
4 2sin 2y x
函数 图象坐标变横坐标右移 单位函数 2sin 2y x 6
 sin 2 3y x     20
者先进行相位变换 图象点坐标变横坐标右移 单位1sin 2y x 2
3

函数 图象横坐标变原4 倍函数1 2 1sin sin2 3 2 3y x x             
图象sin 2 3y x     
知识点类点拔利图角变换作图作出函数图象种重方法般 siny x
图象两种思路：先进行振幅变换 横坐标变坐标变 siny A wx   siny x
原A 倍 进行周期变换 坐标变横坐标变原siny A x siny A x
倍 进行相位变换 横坐标左（右）移 单1
 siny A wx siny A wx 

位 种先进行振幅变换进行相位变 sin siny A x A x  
      
换 左（右）移 单位函数 图象横坐siny A x   siny A x  
标变原 倍 种变换注意点种变换1
  siny A wx  
纯粹变量x 说
练 23（2005 全国卷天津卷）图象需函数图象点
A 横坐标缩短原 倍（坐标变）左移 单位长度B横坐标缩短原1
2  1
2
倍（坐标变）左移 单位长度C横坐标伸长原2 倍（坐标变）
左移 单位长度D横坐标伸长原2 倍（坐标变）右移 单位长度 
答案：C
易错点 24没挖掘题目中确隐含条件忽视角范围限制造成增解现象
例 24已知 求 值 0  7sin cos 13   tan
易错点分析题条件 利7sin cos 13   sin cos 1 2sin cos      
解 值通解方程组方法解 值解题程中易sin cos  sin cos
忽视 隐含条件确定角 范围观认 值正负造成sin cos 0    sin cos 
增解21
解析：已知 （1） 7sin cos 13   1202sin cos 0169      0 
sin 0cos 0   sin cos 0   17sin cos 1 2sin cos 13      
（2）联立（1）（2） 12 5sin cos13 13   12tan 5 
知识点类点拔三角函数化简求值程中角范围确定直重点难点解题程中
注意已条件基础挖掘隐含条件：结合角三角函数值符号三角形中角均  0
区间已知角三角函数值较结合三角函数单调性等题中实际单位圆中三角函
数线知 必必 0 2
    
sin cos 1   2
    
练 24（1994 全国高考）已知 值  1sin cos 05      cot
答案： 3
4
易错点 25根已知条件确定角没通确定角三角函数值求角意识确定角三角
函数名称适造成错解
例 25 均锐角求 值5 10sin sin5 10      
易错点分析题解答程中求 正弦时正弦函数 区间单调满   0
足条件角两两否满足需进步检验解答带困难求 余弦 
易出错余弦函数 单调满足条件角唯 0
解析： 均锐角知解析： 5 10sin sin5 10     5 10sin sin5 10  
均锐角知  2 5 3 10cos cos5 10  
均锐角   2 5 3 10 5 10 2cos 5 10 5 10 2          0     

知识点类点拔根已知条件确定角定转化确定该角某三角函数值根三
角函数值确定角求角必然步骤里注意两点结合角范围选择合适三角函数名称
时注意量已知角表示求角需定角变换技巧：    2       
等
二三角函数值求角时注意确定角范围技巧22
练 25（1）三角形 中已知 求三角形角C ABC 3 5sin cos5 13AB 
答案： （提示确定已知角余弦值结合已知条件确定角A 范围）16arccos 65
（2）（2002 天津理17）已知 cos（α＋ ）＝ ≤α＜ 求 cos（2α＋ ）值
4

25
3 
2
3
4

答案：－cos 2 + cos 24 4 4
                  50
231
易错点 26正弦型函数 余弦型函数 性质：图 siny A x    cosy A x  
象称轴称中心易遗忘没深刻理解意义
例 26果函数 图象关直线 称a 等（ ）sin 2 cos2y x a x  8x  
A B－ C1 D－12 2
易错点分析函数 称轴定图象波峰顶波谷底y 轴行 siny A x  
称中心图象x 轴交点学生函数称性理解误认 时y0导致解答出错
8x  
解析：（法）函数解析式化 值 题 2 1sin 2y a x    y 2 1a 
意直线 函数称轴通函数值值点
8x   sin cos4 4a            
解选D2 1a  1a  
（法二）题意函数直线 函数称轴 2 1sin 2 arctany a x a   8x  
： 2 arctan 8 2a k k z         
3arctan 4a k   arctan 2 2a      
选Darctan 4a   1a  
（法三）函数关直线 函数称必 代入
8x    0 4f f     
1a  
知识点类点拔正弦型函数 余弦型函数  siny A x    cosy A x  
穷条称轴数称中心意义分函数取值x 值函数值零x
值代数特征希学认真学题三种解法根具体问题灵活处理23
练 26（1）（2003 年高考江苏卷 18）已知函数 R 偶函)00)(sin()(   xxf
数图象关点 称区间 单调函数求 ω值)04
3( M]20[  
答案： 22 3
   2
（2）（2005 全国卷第 17 题第问）设函数     sin 2f x x        
图象条称轴直线 求 答案： y f x 8x    3
4

易错点 27利正弦定理解三角形时已知三角形两边边角解三角形时易忽视三角
形解数
例 27 中 求 面积ABC 30 2 3 2BABAC   ABC
易错点分析根三角形面积公式需利正弦定理确定三角形角C相应三角形角A
确定利 求正弦函数区间 严格格单调满足条件1 sin2s bc A   0
角唯时助已知条件加检验务必做漏解解
解析：根正弦定理知：
sin sin
ABAC
CB 2 3 2
sin sin30C  3sin 2C 
满足条件三角形两 相应sin30ABACAB   60C  120 30A  90
三角形面积 1 2 3 2 sin30 32s      1 2 3 2 2 32   
知识点类点拔正弦定理余弦定理解三角形两重工具沟通三角形中边角间
联系正弦定理够解决两类问题（1）已知两角边求边角时解
（2）已知两边中边角求边角正弦函数区间 严格格单 0
调时三角形解情况解解两解通法作出判断三角形解数：
中已知 abA 解情况：ABC
（1） A 锐角
（2）A 直角钝角
练 27（2001 全国）果满足 三角表恰k 取值60ABC   2AC  BC k
范围（）ABCD 8 3 0 12k  12k  0 12k  8 3k 24
答案：D
易错点 28三角形中三角函数问题三角变换三角形边角间知识结合综合应程度
够
例 28（1）（2005 湖南高考）已知△ABC 中sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0sinB＋cos2C＝0求角
ABC
易错点分析题解答程中忽视三角形中三角联系三角形角范围限制易思
维受阻解答出现增解现象
解法 0sin)cos(sinsin  CBBA0)sin(cossinsinsin  BABABA
0sincoscossincossinsinsin  BABABABA0)cos(sinsin  AAB
知 )0( B 0sin Bsincos AA  )0( A4
A
4
3 CB0)4
3(2cossin02cossin  BBCB 
0cossin2sin02sinsin  BBBBB 12
532
1cos   CBB4
A
12
53
  CB
解法二： )22
3sin(2cossin02cossin CCBCB   B0 c
2222
3   CBCB 222
32   BCCB
0sin)cos(sinsin  CBBA0)sin(cossinsinsin  BABABA
0sincoscossincossinsinsin  BABABABA0)cos(sinsin  AAB
知 B+2C0sin Bsincos AA  4)0(   AA 知 4
3 CB 2
3
合求 2
12  BC12
53
  CB4
A12
53
  CB
2（北京市东城区 2005 年高三年级四月份综合练）△ABC 中abc 分角ABC 边
（Ⅰ）求角B （Ⅱ） 求△ABC 面积2cos
cos
ca
b
C
B
 413  cab
思维分析根正弦定理余弦定理条件化三角形边关系角关系解答
（Ⅰ）解法：正弦定理 RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin  sin2sin2sin2 CRcBRbARa 
式代入已知 sinsin2
sin
cos
cos
2cos
cos
CA
B
C
B
ca
b
C
B

A+B+C0sincoscossincossin2  BCBCBA0)sin(cossin2  CBBA 
三角形0sincossin2sin)sin(  ABAACBBBA  2
1cos0sin 25
角 3
2 B
解法二：余弦定理 式代入bc
acbCac
bcaB 2cos2cos
222222 
整理2
2
22cos
cos
222
222
ca
b
cba
ab
ac
bca
ca
b
C
B

 222 acbca 
三角形角 Bac
ac
ac
bcaB  2
1
22cos
222
3
2 B
（Ⅱ） 代入余弦定理 3
2413  Bcab Baccab cos2222 
3)2
11(21613cos22)( 22  acacBacaccab 34
3sin2
1   BacSABC
知识点类点拔三角形中三角函数问题直高考热点容正余弦定理考查涉
三角形边角互化（判断三角形形状等利正余弦定理条件中含边角关系转化边
角关系解三角形常规思路）三角形三角函数求值三角恒等式证明三角形外接圆半径
等体现三角函数知识三角形知识交汇体现高考命题原
练 28（1）（2004 年北京春季高考） 中abc 分 边长已知ABC   ABC
abc 成等数列 求 值a c ac bc2 2   A b B
c
sin
答案： 60A   sin 3
2
b B
c 
（2）（2005 天津）△ABC 中∠A∠B∠C 边长分abc设abc 满足条
件 求∠A 值2 2 2b c bc a   1 32
c
b   tan B
答案： 60A   1tan 2B 
易错点 29含参分式等式解法易分类讨标准握准分类讨达重漏目

例 29解关 x 等式 ＞1(a≠1)
2
)1(


x
xa
易错点分析等式化关x 元二次等式忽视二次项系数正负讨导致错解
解：原等式化： ＞0［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0
2
)2()1(


x
axa
a＞1 时原等式(x－)(x－2)＞0 解 ≥20≤a＜1 时原等式解
1
2


a
a
1
2


a
a
＜2a＜0a＞1a＞1 时原等式解(－∞)∪(2+∞)
1
2


a
a
1
2


a
a
a＜1 时a＜0解集(2)0＜a＜1解集(2)
1
2


a
a
1
2


a
a26
综述：a＞1 时解集(－∞)∪(2+∞)0＜a＜1 时解集(2)a0
1
2


a
a
1
2


a
a
时解集 a＜0 时解集(2) 1
2


a
a
知识点分类点拔解等式学生运算化简等价转化力较高求着高考命题原力立
意进步转化解等式考查会更热点解等式需注意面问题：
(1)熟练掌握元次等式(组)元二次等式(组)解法
(2)掌握序轴标根法解高次等式分式等式特注意式处理方法
(3)掌握理等式三种类型等价形式指数数等式种基类型解法
(4)掌握含绝值等式种基类型解法
(5)解等式程中充分运分析力原等式等价转化易解等式(6)含
字母等式正确分类标准进行分类讨
练 29（2005 年江西高考）已知函数 常数）方程 两
2
()(xf x a bax b  () 12 0f x x  
实根 1 23 4x x 
（1）求函数 解析式（2）设解关 等式：()f x 1k  x ( 1)() 2
k x kf x x
  
答案： ① 时解集 ② 时等式
2
()( 2)2
xf x xx  1 2k  (1)(2)k  2k 
解集 ③ 时解集2( 2)( 1) 0x x   (12)(2) 2k  (12)()k 
易错点 30求函数定义域求函数值域错位
例 30已知函数 （1）果函数 定义域     2 2lg 3 2 2 1 5f x m m x m x         f x
R 求实数m 取值范围（2）果函数 值域R 求实数m 取值范围 f x
易错点分析题学生易忽视 否零讨导致思维全面漏解方面2 3 2m m 
两问题中定义域R 值域R 含义理解透彻导致错解
解析：（1）题意知函数定义域R 意x值    2 23 2 2 1 5m m x m x     0
恒成立令 0 时      2 23 2 2 1 5g x m m x m x      2 3 2m m  1m  2
验证 时适合 时二次函数知识意x 值函数值零恒成立1m  2 3 2 0m m  
需 解 综知m 取值范围
2 3 2 0
0
m m   
 
1m  9
4m  1m  9
4m 
（2）果函数 值域R 数真数 取意正 f x    2 23 2 2 1 5m m x m x    
数令 0 时 验     2 23 2 2 1 5g x m m x m x      2 3 2m m  1m  227
证 时适合 时二次函数知识知函数值取正值需2m  2 3 2 0m m  
解 综知满足题意m 取值范围
2 3 2 0
0
m m   
 
92 4m  92 4m 
知识点类点拔二次型函数二次型等式二次项系数含字母注意字母否零进行
讨函数次函数二次函数等式次等式二次等式时通题解析学
认真体会种函数等式二者解题中结合通二者相互转化获解题突破破口者题
中函数定义域值域R 两概念前者意变量x 值函数值恒正者函数值
必须取遍正值二者质区
练 30已知函数 定义域值域分R 试分确定满足     2 21 2 1 2f x a x a x    
条件a 取值范围答案：（1） （2） 1a  3a   3 1a   1a  
易错点 31等式证明方法学生已知条件选择相应证明方法达种证明方法灵
活应程度
例 31已知a＞0b＞0a+b1求证：(a+ )(b+ )≥
a
1
b
1
4
25
易错点分析题直接应重等式证明显然a+ b+ 时取等号题
a
1
b
1
证明方法
证法：(分析综合法）欲证原式证 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0证 4(ab)2－33(ab)+8≥0证 ab
≤ ab≥8∵a＞0b＞0a+b1∴ab≥8 成立∵1a+b≥2 ∴ab≤ 证
4
1 ab 4
1
证法二：(均值代换法)设a +t 1b +t2∵a+b1a＞0b＞0∴t1+t20|t1|＜ |t2|＜
2
1
2
1
2
1
2
1
4
25
4
1
16
25
4
1
2
3
16
25
4
1
)4
5(
4
1
)14
1)(14
1(
)2
1)(2
1(
)14
1)(14
1(
2
1
1)2
1(
2
1
1)2
1(11)1)(1(
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
11
21
2
22
2
11
2
2
2
1
2
122



















t
tt
t
tt
t
tttt
tt
tttt
t
t
t
t
b
b
a
a
bbaa
显然仅t0ab 时等号成立
2
1
证法三：(较法）∵a+b1a＞0b＞0∴a+b≥2 ∴ab≤ab 4
1
4
25)1)(1(
04
)8)(41(
4
8334
4
2511
4
25)1)(1(
2222


bbaa
ab
abab
ab
abba
b
b
a
a
bbaa
证法四：(综合法)∵a+b1 a＞0b＞0∴a+b≥2 ∴ab≤ab 4
128
4
251)1(
41
16
251)1(
16
9)1(4
3
4
111
2
2
2 












 ab
ab
ab
ab
abab
4
25)1)(1(  bbaa
证法五：(三角代换法)∵ a＞0b＞0a+b1令asin 2αbcos2αα∈(0)2

4
25)1)(1(4
25
2sin4
)2sin4(
4
1
2sin
1
25162sin24
3142sin412sin
2sin4
16)sin4(
2sin4
2cossin2cossin)
cos
1)(cos
sin
1(sin)1)(1(
2
22
2
2
22
2
22
2
2244
2
2
2
2








bbaa
bbaa















知识点类点拔1等式证明常方法：较法综合法分析法证明等式基
方法(1)较法证等式作差(商)变形判断三步骤变形方式分解配方判断
程必须详细叙述果作差式子整理关某变量二次式考虑判式法证
(2)综合法导果分析法执果索两法相互转换互相渗透互前提充分运辩证
关系增加解题思路开扩视野
2等式证明常方法：换元法放缩法反证法函数单调性法判式法数形结合法等
换元法三角代换均值代换两种应换元法时注意代换等价性放缩性等式证明中
重变形方法放缩放矢目标证结中考查等式正面证果
易说清楚考虑反证法含少惟含否定词命题适宜反证法
证明等式时题设题目特点联系选择适证明方法熟悉种证法中推理思
维掌握相应步骤技巧语言特点
练 31（2002 北京文）数列 列条件确定： nx 
 




  Nnx
axxax
n
nn 2
10 11
（1） 证明： 总（2）证明： 总2n  nx a 2n  1n nx x 
易错点 32函数方程等式联系转化学生明确利三者关系解题中相互转化寻
找解题思路
例 32已知二次函数 满足 切实数 恒成立 ()f x ( 1) 0f  21()( 1)2x f x x x
求 求 解析式 求证：(1)(1)f (2)()f x (3)
1
1 2
() 2
n
i
n
f k n
  ()n N
易错点分析条件中等关系等式关系转化知手没二次等式二次函数相互
转化意识解题找思路29
解：（1）已知令 ： 1x  211 (1)(1 1) 12f (1) 1f
（2）令 ：2()( 0)f x ax bx c a 1)1(0)1(  ff 0
1
a b c
a b c

 
意实数 恒1 12 2b c a 2 1 1() 2 2f x ax x a 21()( 1)2x f x x x
成立 意实数恒成立：
2
2
1 1 02 2
(1 2 ) 2 0
ax x a
a x x a
 
 
2
1
2
2
01 2 0
1(2 ) 02
(4 1) 0
a a
a
a




1 14 4a c 21 1 1() 4 2 4f x x x
（3）（2）知 21()( 1)4f x x 2
1 4 4
()( 1)( 2)( 1)f k k kk 
1 14()1 2k k  1
1 1 1 1 1 14(() 2 3 3 4 1
n
i f k n
   1 )2n 
原等式成立．2
2
n
n 
知识点类点拔函数方程思想方法高中数学重数学思想方法函数思想指函数概念
性质分析问题转化问题解决问题方程思想问题数量关系入手运数学语言问题中
条件转化数学模型（方程等式方程等式混合组）然通解方程（组）等式
（组）问题获解时实现函数方程互相转化接轨达解决问题目等式恒
成立引入新参数化简等式构造二次函数利函数图单调性进行解决问题中联系
方程解体现方程思想函数思想般解题中抓住二次函数图二次等
式二次方程三者间紧密联系问题进行相互转化
练 32（2005 潍坊三月份统考）已知二次函数 满足2()f x ax bx c ()a b c R
意实数x 时 （1）求( 1) 0f  () 0f x x (02)x 
2( 1)()4
xf x 
值（2）证明 （3） 时函数(1)f 0 0a c [ 11]x  ()g x  ()()f x mx m R
单调求证： 0m  1m 
（1）（2）运重等式（3）略(1) 1f 
易错点 33利函数单调性构造等关系明确函数单调性单调区间定义域限制30
例 33记 等式 解集 试解关t 等式  2f x ax bx c     0f x   13
   28 2f t f t  
易错点分析题然求出 abc 具体值等式解集函数方程联系易知 13 方
程 两根易忽视二次函数开口方错误认函数 增函数2 0ax bx c    2
解析：题意知 二次函数区间       1 2 1 3f x a x x x a x x      0a 
增函数 二次函数单调性知等式 2 28 82 2t t   
等价 等式解：   28 2f t f t   28 2t t   2 6 0t t   3t 
3 3t  
知识点分类点拔函数单调性实质体现等关系函数等式结合历高考热点
容解答等式问题重工具解题程中加意应意识指数等式数等
式涉抽象函数类型等式等等函数单调性密切相关
练 33（1）（2005 辽宁4 月份统考题）解关 等式 x ]1)2([log)1(log 42  xax
)1( a
答案： 时解集 时解集21  a }212|{  xaxax 2a
时解集}22
3|{  xxx 2a }212|{ axxax 
（2）（2005 全国卷Ⅱ）设函数求 ≥ x 取值范围 f x |1||1|2  xx  f x 22
答案：x 取值范围 )4
3[ 
易错点 34数学纳法应学生易缺乏应数学纳法解决然数关问题意识忽视步
骤规范性理解数学纳法步意义
例 34然状态鱼类种生资源持续利资源需宏观考察生力捕捞
强度鱼群总量影响 表示某鱼群第n 年年初总量n∈N＊ ＞0考虑素nx 1x
设第n 年鱼群繁殖量捕捞量 成正死亡量 成正例系数次正常数nx 2
nx
abc（Ⅰ）求 关系式（Ⅱ）猜测：仅 abc 满足什条件时年年1nx  nx 1x
初鱼群总量保持变？（求证明）（Ⅲ）设a＝2b＝1保证意 ∈（02） ＞1x nx
0 捕捞强度b 允许值少？证明结*n N
易错点分析题数列模型应题考查数列等式数学纳法2005 年高考涉两种
类型应题种类型概率种数列信息：数学越越贴生活数学越越强调实
性 备考中注意种常见模型建模训练见高考数学越越注意函数等式导
数量等工具结合高考方
解析（I）第n 年初第 n+1 年初鱼群繁殖量 捕捞量 死亡量ax bx
2
ncx 2
1n n n n nx x ax bx cx       *
1 1n n nx x a b cx n N     31
（II）年年初鱼群总量保持变 恒等 式 恒nx 1x *n N  n nx a b cx 
等零 >0猜测：仅 *n N 1 0a b cx   1
a bx c
 1x a b a b
时年年初鱼群总量保持变
c
bax 1
（Ⅲ）b 值 >0 知 特nx *n N  1 3n n nx x b x    0 3nx b   *n N
∈(0 2) 猜测b 10 3x b   10 3b x   1x ]10(b
允许值 1 证 ∈(0 2) b1 时 ∈(0 2) ① n1 时结显然成1x nx *n N
立②假设 nk 时结成立 ∈(0 2) nk+1 时kx  1 2 0k k kx x x   
∈(0 2) nk+1 时结成立   2
1 2 1 1 1 2k k k kx x x x         1kx 
①②知意 ∈(02)综述保证意 ∈(0 2) *n N nx 1x nx
>0 捕捞强度b 允许值 1*n N
知识点类点拔纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全
纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具
性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象
纳出结数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中
着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n )时成立递0
推基础第二步假设n＝k 时命题成立证明n＝k＋1 时命题成立限递推理
判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限
两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结0
正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳运数学纳法证明问题
时关键n＝k＋1 时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分
析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题运数学纳法
证明列问题：然数n 关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题
等等
练 34（2005 年全国卷Ⅰ统考试理科数学）
（Ⅰ）设函数 求 值)10()1(log)1(log)( 22  xxxxxxf )(xf
（Ⅱ）设正数 满足 证明npppp 2321  12321  npppp 
npppppppp nn  222323222121 loglogloglog 32
答案：（Ⅰ） （Ⅱ）数学纳法证明1 12f      
（2）（2005高考辽宁）已知函数 设数列}满足)1(1
3)( 
 xx
xxf na{)(1 11 nn afaa  
数列}满足nb{)(|3| *
21 NnbbbSab nnnn  
（Ⅰ）数学纳法证明 （Ⅱ）证明12
)13(

 n
n
nb 3
32nS
易错点 35涉量关概念运算律理解应易产生概念性错误
例 35列命题：
① ② ③ | · || |·| |④ ∥ ∥ 422 ||)()( aaa  bcacba  )()( a b a b a bb c
∥ ⑤ ∥ 存唯实数λ ⑥ ≠ ⑦设a c a b ab  cbca  c o ba 
面两量面量 存唯组实数 xy21 ee a 21 eyexa 
成立⑧| + ||－| · 0⑨ · 0 真命题数（ ）a b a b a b a b a 0 b 0
A．1 B．2 C．3 D．3
易错点分析线量量数量数量积定义性质运算法等量章中正确应
量知识解决关问题前提里学生极易量运算实数运算等起认量数量
积运算实数样满足交换律产生错误结
解析：①正确根量模计算 判断②错误量数量积运算满足交换律
2
a a a 
  
根数量积数定义 表示量 线量理 表示量 线()a c b 
  
b

()a b c 
  
c

量显然量 量 定线量 定成立③错误应b

c

()()a b c a c b    
     
④错误注意零量意量行非零量行性具传递性 ⑤错误应加a b a b 
   
条件非零量 ⑥错误量满足消律根数量意义需量 量 量a

b

b

c

方投影相等作图易知满足条件量数⑦错误注意面量基定理前提
量 线量组基底⑧正确条件表示两量邻边行四边形角线相21 ee
等四边形矩形 · 0⑨错误需两量垂直a b
答案：B
知识点类点拔利量关概念运算律判断解题时定明确概念定理成立前提条
件量运算律解答明确量运算实数运算相处般已知ａｂс
实数λ量数量积满足列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ
（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)说明：（1）33
般(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·сс≠0 ａ＝ｂ（3）常性质：ａ２
＝｜ａ｜２（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ
２
练 35（1）（2002 海春13）abc 意量m∈R列等式定成立（ ）
A（a+b）+ca+（b+c）B（a+b）·ca·c+b·c Cm（a+b）ma+mb D（a·b）ca
（b·c）
（2）(2000 江西山西天津理4)设abc 意非零面量相互线
①（a·b）c－（c·a）b0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b c 垂直④
（3a+2b）（3a－2b）9|a|2－4|b|2 中真命题（ ）
A①② B②③ C③④ D②④
答案：（1）D（2）D
易错点 36利量加法减法数量积等运算意义解题时数形结合意识够忽视隐
含条件
例 36四边形 ABCD 中 ＝ａ ＝ｂ ＝с ＝ｄａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄABBCCDDA
＝ｄ·ａ试问四边形 ABCD 什图形
易错点分析四边形形状边角关系确定关键题设条件演变推算该四边形边角量易忽视
两点：（1）四边形中 次首尾相接量量零量ABBCCDDA
ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0应注意隐含条件应(2)已知条件产生数量积关键构造数量积
数量积定义式中含边角两种关系
解：四边形 ABCD 矩形方面：ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ）
(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2 ｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜
２ａ·ｂ＝с·ｄ∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①理｜ａ｜２＋｜
ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②①②｜ａ｜＝｜с｜｜ｂ｜＝｜ｄ｜四边形 ABCD
两组边分相等 奎屯
王新敞
新疆 ∴四边形 ABCD 行四边形方面ａ·ｂ＝ｂ·сｂ（ａ－с）＝
０行四边形 ABCD ａ＝－с代入式ｂ·(2ａ)＝０ａ·ｂ＝０∴ａ⊥ｂ
AB⊥BC综述四边形 ABCD 矩形
知识点类点拔量高考亮点量知识量观点数学物理等学科分支
着广泛应具代数形式形式双重身份融数形体中学数学教学容
许干知识综合形成知识交汇点高考中应引起足够重视基点解决量关问题时
树立起数形结合形助数解题思路例重结种思想直观：（1）量形式
行四边形定理：2（｜ ｜+｜ ｜ ）｜ － ｜+｜+｜（2）量形式三角形a 2 b 2 a b 2 a b 2
等式：｜｜ ｜｜ ｜｜≤｜± ｜≤｜ ｜+｜ ｜(试问：取等号条件什)（3）a b a b a b
△ABC 中点P 满足 直线AP 必△ABC 心等等结AP 
|AC|
AC
|AB|
AB
练 36（1）（2003 高考江苏）O 面 定点ABC 面线三点动点P 满足
P 轨迹定通△ABC （ ）)0[
||||
(  
AC
AC
AB
ABOAOP
A．外心B．心C．重心D．垂心34
（2）（2005 全国卷文科）点O 三角形 ABC 面点满足 OAOCOCOBOBOA 
点O （ ）ABC
（A）三角角分线交点 （B）三条边垂直分线交点
（C）三条中线交点 （D）三条高交点
（3）（2005 全国卷Ⅰ） 外接圆圆心O两条边高交点HABC
实数 m )(OCOBOAmOH 
答案：（1）B （2）D （3）m1
易错点 37忽视量积定义中两量夹角定义
例 37已知 中求ABC 5 8 7a b c   BCCA
 
易错点分析题易错误码认两量 夹角三角形 ABC 角C 导致错误答案BC

CA

解析条件 根余弦定理知三角形角 两量 夹角5 8 7a b c   60C  BC

CA

补角数量积定义知60C  120BCCA 
 
5 8 cos120 20BCCA      
 
知识点类点拔高中阶段涉角概念少学程中明确概念取值范围直线倾
斜角取值范围 两直线夹角范围 两量夹角范围0 180  0 90    0 180   
异面直线成角范围 直线面成角范围 二面角取值范围0 90   0 90   
 0 180 
练 37（2004 海春招） ΔABC 中命题中正确（）
（1）（2）（3） ABACBC 
  
0ABBCCA  
        0ABACABAC   
   
ΔABC 等腰三角形（4） ΔABC 锐角三角形0ACAB 
 
A（1）（2） B（1）（4） C（2）（3） D（2）（3）（4）
答案：C
易错点 38量数积积性质应
例 38已知ab 非零量 a + 3b 7a  5b 垂直a  4b 7a  2b 垂直求ab 夹
角
思维分析题应两量夹角公式树立整体求解思想
解析： (a + 3b)(7a  5b) 0  7a2 + 16ab 15b2 0 ① (a  4b)(7a  2b) 0 
7a2  30ab + 8b2 0 ②两式相减：2ab b2 代入①②：a2 b2 设ab 夹角 cos
∴ 60
2
1
2 2
2

|||||| b
b
ba
ba
知识点类点拔利量数量积重性质结合量坐标运算解决涉长度角度垂直等解
析立体代数等问题熟记灵活应性质：设ａｂ非零量①ａｂ数
量积意义量ａ量ｂ方单位量正射影数量②ａ⊥ｂ ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜35
ａ｜２｜ａ｜＝④ｃｏｓθ＝⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜2aaa  ba
ba


练 38（1）（2005 高考江西卷）已知量 (12)( 2 4)| | 5a b c   
   5()2a b c  
  
a

夹角（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：Cc

（2）（2005 浙江卷）已知量 ≠ | |＝1意t∈R恒|－t|≥|－|a

e

e

a

e

a

e

(A) ⊥ (B) ⊥(－ ) (C) ⊥(－ ) (D) (＋)⊥(－)答案：Ca

e

a

a

e

e

a

e

a

e

a

e

易错点 39量三角函数求值运算交汇
例 39 )2()0()01()sincos1()sincos1(   cba  a
夹角θ1 夹角θ2 值c b

c
2sin321
  求
易错点分析题解答程中学生量夹角运算三角变换结合起注意已知角表示
两组量夹角程中易忽视角范围导致错误结
解析： )2sin2(cos2cos2)2cos2sin22cos2( 2  a
2(2sin 2sin cos )2 2 2b    

2sin (sin cos )2 2 2
   (0)(2 )     
(0)()2 2 2 2
       | | 2cos 2a 

| | 2sin 2b 
 2
1
2cos 2cos
| | | | 2cos 2
a c
a c

 
  

 
 
1cos 2 2
   
2
2
2sin 2cos sin 2| | | | 2sin 2
b c
b c

 
   

 
  0 2 2 2
    
2 2 2
   
6222221
  2
1
6sin2sin  
知识点类点拔高考数学命题注重知识整体性综合性重视知识交汇性量新课程新
增容具体代数形式双重身份新旧知识重交汇点成联系知识桥
梁量三角交汇高考命题必然趋势高考三角考查常常量知识载体结
合量夹角量垂直量模量运算进行考查学生综合运知识解决问题力
练 39（1）（2005 高考江西）已知量
令 否存实数(2cos tan())( 2 sin()tan())2 2 4 2 4 2 4
x x x xa b   
     ()f x a b
 
 
（中 导函数）？存求出 值存[0]x  ()＇() 0f x f x  ＇()f x ()f x x
证明 答案：存实数 等式成立
2x 
（2）（2005 山东卷）已知量 (cos sin )m  
    2 sin cos 2n       
36
求 值答案： 8 2 5m n 
 
cos 2 8
    
4
5
易错点 40量解三角形交汇
例 40ΔABC 接O 圆心1 半径圆3＋4＋5 ①求数量积··→
OA →
OB →
OC →
0 →
OA →
OB →
OB →
OC
· ②求ΔABC 面积→
OC →
OA
思维分析第1 题意知345 三量模根数量积定义运算律量移项→
OA →
OB →
OC
方第2 问题意已知三角形分割成三三角形利正弦理解答
解析：①∵| || || |13＋4＋5 ：3＋4 －5 两边方：9 2＋24→
OA →
OB →
OC →
OA →
OB →
OC →
0 →
OA →
OB →
OC →
OA
·＋16 225 2∴ · 0 理：4＋5 －3 求·－3＋5 －4→
OA →
OB →
OB →
OC →
OA →
OB →
OB →
OC →
OA →
OB →
OC
4
5
→
OA →
OC
求·－→
OB →
OA →
OC
3
5
② · 0 | || |·－ cos∠BOC－ ∴sin∠BOC－∴→
OA →
OB 0ABs
1
2
→
OA →
OB 1
2
→
OB →
OC
4
5
4
5
3
5
| || |sin∠BOC·－ cos∠COA－ ∴sin∠COA∴ |0BCs
1
2
→
OB →
OC
3
10
→
OC →
OA
3
5
3
5
4
5 0ACs
1
2
→
OC
|| |sin∠COA＋＋＋ ＋→
OA
2
5 ABCs 0ABs 0ACs 0BCs
1
2
3
10
2
5
6
5
知识点类点拔题考查量模量数量积运算表达三角形角面积
练 40（1）（2005 全国卷Ⅲ）△ABC 中角ABC 边分abc已知abc 成等数
列 cosB＝ （1）求 cotA+cotC 值（2）设 求 值3
4
3
2BABC 
 
a c
答案：（1）（3）4 77 3a c 
（2）已知量（22）量 量 夹角 ·－2①求量 a
 
b

a
4
3 
a

b

b
② 中AC △ABC 角三角形三角A)2cos2(cos)01( 2 CActbt 


BC 次成等差数列试求| + |取值范围答案：① ②

b

c ( 10)b  

(0 1)b  

2 5| | 2 2b c  
 
易错点 41量相结合三角等式学生综合运知识解决问题力够
例 41已知二次函数 f(x)意x∈R f(1－x)f(1＋x)成立设量 (sinx2)→
a →
b
(2sinx ) (cos2x1) (12)x∈[0π]时求等式 f( · )＞f( · )
1
2
→
c →
d →
a →
b →
c →
d
解集
易错点分析易忽视二次函数开口方讨三角量函数三者综合程度够
解析：设 f(x)二次项系数m图象两点 A(1－xy 1)B(1＋xy2)
1f(1－x)f(1＋x)y 1y2 x 意性 f(x)图象关直线 x1
(1－x)＋(1＋x)
2
称m＞0x≥1 时f(x)增函数m＜0x≥1 时f(x)减函数∵·→
a →
b37
（sinx2）·（2sinx）2sin 2x＋1≥1·（cos2x1）·(12)cos2x＋2≥1∴
1
2
→
c →
d
m＞0 时f( · )＞f( · ) f(2sin 2x＋1)＞f(cos2x＋2) 2sin2x＋1＞cos2x＋→
a →
b →
c →
d  
2 1－cos2x＋1＞cos2x＋2 cos2x＜0 2kπ＋ ＜2x＜2kπ＋ k∈z kπ＋   2

2
3 
＜x＜kπ＋ k∈z∵0≤x≤π ∴ ＜x＜ m＜0 时理0≤x＜ ＜
4

4
3
4

4
3
4

4
3
x≤π 综述等式 f( · )＞f( · )解集：m＞0 时{x|＜x＜ →
a →
b →
c →
d
4

4
3
m＞0 时{x|0≤x＜＜x＜π
4

4
3
知识点分类点拔运函数单调性构造等式时定明确函数区间定义域单调性
（忽视定义域限制）通题体会量等式函数三者综合提高已应
知识解决综合问题力
练 41 定义域（－11）导 点 A(1 ( ))B( (－ )1)意()f x ＇() 0f x  f a f a a
∈(－11)恒 成立试 求满足等式 (sin cos )+ (cos2 )>0 取OAOB
     f x x f x x
值范围答案： ())42()4
32(   x k Z
易错点 42量解析交汇
例 42（03 年新课程高考）已知常数 a>0量 c（0a）i（10）原点O c+λi 方
量直线定点A（0a）i－2λc 方量直线相交点P中λ∈R试问：
否存两定点EF|PE|+|PF|定值存求出EF 坐标存说明理
易错点分析题综合程度较高方面学生题意理解方量概念理解误面
量问题情景结合圆锥曲线定义解答思维陷入僵局
解析：根题设条件首先求出点P 坐标满足方程判断否存两定点点P 两定点距
离定值∵i（10）c（0a） ∴c+λi（λa）i－2λc（1－2λa）
直线OPAP 方程分 消参数λ点 坐标满足方axy  axay 2 )( yxP
程整理 ……① ：（i） 时222)( xaayy  1
)2(
)2(
8
1 2
2
2


 a
ayx 0a 2
2a
方程①圆方程存合题意定点EF（ii） 时方程①表示椭圆焦点
2
20  a
合题意两定点（iii） 时方程①表示椭)22
1
2
1( 2 aaE  )22
1
2
1( 2 aaF 
2
2a
圆焦点 合题意两定点))2
1(2
10( 2  aaE))2
1(2
10( 2  aaF
知识点类点拔题考查面量概念计算求轨迹方法椭圆方程性质利方
程判定曲线性质曲线方程关系等解析基思想综合解题力高考中量圆锥曲线
结合成高考命题旋律解题程中方面注意出量问题情景中转化出方面
注意应量坐标运算解决解析问题：线段值长度夹角特垂直点线等问
题提高已应量知识解决解析问题意识
练 42（1）（2005 全国卷1）已知椭圆中心坐标原点O焦点 轴斜率1 椭圆右焦点x38
F 直线交椭圆AB 两点 线（Ⅰ）求椭圆离心率（Ⅱ）设MOBOA  )13( a
椭圆意点 证明 定值)(ROBOAOM   22  
答案：（1）（2） 1
6
3e  22  
（2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点M（10）N（10）点P··MP

MN

PM

PN

· 成公差零等差数列（1）点P 轨迹什曲线？（2）点P 坐标（ ）记NM

NP

o ox y
夹角求 答案：①点P 轨迹原点圆心 半径右半圆②tan PM

PN

tan 3
|y |  0
（3）（2001 高考江西山西天津）设坐标原点O抛物线y 22x 焦点直线交AB 两点
等（ ）A B－ C3 D－3 答案：BOBOA 4
3
4
3
易错点 43解析量数量积性质涉模夹角等结合
例 43已知椭圆C： 动点 定点中 距离 值
2 2
14 2
x y  P  0M m 0 2m  PM
1（1）请确定M 点坐标（2）试问否存M 点直线 椭圆C 两交点AB 满足l l
条件 （O 原点）存求出 方程存请说理OAOBAB 
  
l
思维分析题解题关键条件 知 条件转化点坐标运OAOBAB 
  
0OAOB 
 
算结合韦达定理解答
解析：设  p x y
2 2
14 2
x y 
2
2 2 1 4
xy     
 
2
2 2 2 1 4
xPM x m       
时 
2
2 212 1 2 24 2
x x m m        
0 2m  2 2x   0 2 2m 
值 时 时 取值2PM 22 1m  1m  2 2 4m  2x 
解 合题意舍综知 满足题意时M 坐标22 4 2 1m m    13m  1m 
（10）
（2）题意知条件 等价 斜率存时 C 交点OAOBAB 
  
0OAOB 
 
l l39
时 设 方程 代入椭圆方程整理61 2
    
0OAOB 
 
l  1y k x 
点M 椭圆部 恒成立 知 2 2 2 21 2 4 2 4 0k x k x k     0  0OAOB 
 
韦达定理 1 2 1 2 0x x y y     2 2 2
1 2 21 1 0k x x k x k    
2
1 2 2
4
1 2
kx x k  
代入式 合
2
1 2 2
2 4
1 2
kx x k
      2 2 2 2 2 21 2 4 4 1 2 0k k k k k k       2 4k  
题意综知样直线存
知识点类点拔解题程中注意量出条件转化量坐标运算两交点坐标
联系起然应韦达定理建立起关系式题解答具强示范性请学认真体会融会贯
通
练 43已知椭圆焦点x 轴中心坐标原点右焦点 圆心焦点 圆右准2F 1F
线截两段弧长 21 面定点（1）求椭圆方程（2） 21P 1 2 1PFPF 
 
直线 椭圆交图两点AB令 求函数 1 0y kx k      1 2 0f k ABFF k  
 
值域答案：（1）（2） f k
2 2
14 2
x y   08
[易错点 44]牢记常求导公式求复合函数导数分清函数复合关系
例 44函数 导数 1 cos xy x e  
[易错点分析]复合函数变量导数等已知函数中间变量导数中间变量变量导数
x u xy y u   
解析：    1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos1 cosx x x x xy e x e e xe x e            
1 cos sinxxe x   1 cos1 sin xx x e  
知识点类点拨掌握复合函数求导方法关键分清函数复合关系适选定中间变量分步计
算中步明确变量求导中特注意中间变量系数
[练 44]（2003 年江苏21）已知 n 正整数设 证明 0a   ny x a    1ny n x a   
（1） 设 意 证明   nn
nf x x x a   n a      1 1 1n nf n n f n   
解析：证明：（1）    
0

nn n kk k
n
k
x a C a x

  40
      11 1 1
1
1 1
n nn k n k nk k k k
n n
k k
y kC a x nC a x n x a    

 
       
（2）函数 求导数：    nn
nf x x x a     11 nn
nf nx n x a    
时     11 nn
nf n n n n a        0x a    0nf x 
关x 增函数 时   nnn a x x x a    n时f n a
     1 1n n nnn n a n n a     
                1
1 1 1 1 1 1 1n n n nn n
nf n n n n a n n n a n n n n a 
                          
意    1 nn f n  n a      1 1 1n nf n n f n   
易错点 45求曲线切线方程
例 45（2005 高考福建卷）已知函数 图象点P（02）点M（－daxbxxxf  23)(
1f（－1））处切线方程 （Ⅰ）求函数 解析式076  yx )(xfy 
思维分析利导数意义解答
解析：（Ⅰ） 图象P（02）知 d2)(xf 2)( 23  cxbxxxf
处切线方程 知23)( 2 cbxxxf  ))1(1(  fM 076  yx
6)1(1)1(07)1(6  fff
求解析式30
32
121
623 









 cbcb
cb
cb
cb 解 233)( 23  xxxxf
知识点类点拔导数意义函数 yf(x)点 处导数曲线 y(x)点0x
处切线斜率．利导数求曲线切线方程．具体求法分两步： (1)求出函))(( 00 xfxP
数 yf(x)点 处导数曲线 yf(x)点 处切线斜率(2)已知切点坐标0x ))(( 00 xfxP
切线斜率条件求切线方程 特果曲线 yf(x)点))((＇ 000 xxxfyy 
处切线行y 轴时导数存根切线定义切线方程 利导))(( 00 xfxP 0xx 
数意义作解题工具出现解析综合试题中复时注意点
练 45（1）（2005 福建卷）已知函数 图象点M（－1f(x)）处切线方程
bx
axxf

 2
6)(41
x+2y+50
（Ⅰ）求函数 yf(x)解析式答案：
3
62)( 2 

x
xxf
（2）（2005 高考湖南卷）设 点P（0）函数 图象0t t cbxxgaxxxf  23 )()(
公点两函数图象点P 处相切线（Ⅰ） 表示 abc答案：t 3tabc 
2ta  tb  3tc 
易错点 46利导数求解函数单调区间值域
例 46( 2005 全国卷 III)已知函数 （Ⅰ）求 单调区间值域 
24 7
2
xf x x
   01x  f x
（Ⅱ）设 函数 意 总存1a     2 23 2 01g x x a x a x     1 01x 
成立求 取值范围 0 01x     0 1g x f x a
易错点分析利导数求函数单调区间然树立起定义域优先意识时培养已求导解
等式运算力第（Ⅱ）问注意问题进行等价转化转化函数 区间  y g x  01
值域函数 值域子集转化求解函数 区间 值域 f x  y g x  01
解析(Ⅰ) 令 解
   
2
2 22 2
4 16 7 (2 1)(2 7)()
2 2
x x x xf x
x x
       
 
() 0f x  1
2x  7
2x 
单调递减函数 单调1(0)2x () 0f x  ()f x 1(1)2x () 0f x  ()f x
递增函数 值域[43] 单调递7 1(0)(1) 3() 42 2f f f      ()f x ()f x
减区间 单调递增区间 值域[43]( 单调区间闭区间1(0)2 ()f x 1(1)2 ()f x
)
（Ⅱ）∵ 时 2 2() 3()g x x a   1a  (01)x 2() 3(1 ) 0g x a   
时 减函数 时(01)x ()g x [01]x ()[(1)(0)]g x g g
时 2(1) 1 2 3 (0) 2g a a g a     [01]x 2()[1 2 3 2 ]g x a a a   
存 1 [01]x  1()[ 4 3]f x    0 [01]x  0 1()()g x f x42
取值范围 2
511 2 3 4 3
32 3
2
a aa a
a a
             
1a  a 21 3a 
知识点分类点拔高考导数考查定位作解决初等数学问题工具出现侧重考查导数函
数解析中应方面：①运导数关知识研究函数值问题直高考
长考衰热点容．方面数学角度反映实际问题建立数学模型转化函数值
值问题利函数导数利解决函数值值问题进步解决实际问题．导
数研究函数性质初等方法研究方便导数函数中应作 2006 年高考命题重点
应引起高度注意．单调区间求解程已知 （1）分析 定义域 （2）求导)(xfy  )(xfy 
数 （3）解等式 解集定义域部分增区间（4）解等式)(xfy  0)(  xf 0)(  xf
解集定义域部分减区间函数单调区间合函数单调区间合函数
单调递增 单调递增知函数 处连续 单)(xf )( ba )( cb bxf )()(xf )( ca
调递增理减区间合相邻区间单调性相公点处函数连续二区间
合区间
练 46（1）（2005 高考北京卷）已知函数 f(x)－x3＋3x2＋9x＋a （I）求 f(x)单调递减区间
（II） f(x)区间[－22]值 20求该区间值．答案：（1）（－∞－
1）（3＋∞）（2）－7
（2）(2005 全国卷 III)长 90cm宽 48cm 长方形铁皮做盖容器先四角分截
正方形然四边翻转 90°角焊接成(图)问该容器高少时容器容积容积
少
答案： x10时V 值 V(10)1960
易错点 47二项式 展开式通项中ab 序颠倒容易出错 na b
例 47 展开式中第三项系数第二项系数 162x 次项
3 2
2 n
x
x
  
 
易错点分析题中 序颠倒项发生变化导致出错x 3 2
2
x
解析：椐题意：    2 2 12 2 162 2 1 2 162 9n nCC n n n n         
   
9 29
2 3
1 9 93 2
2 2
r r rr rr r
rTC x C x
x
 

       
 
9 2 1 32 3
r r r    43
 3 3 3
4 91 2 672TC x x      
知识点类点拨二项式 展开式相通项公式应项相   n na b b a 
遇类似问题时注意区分
练 47（潍坊高三质量检测） 展开式中第5 项第 12 项系数绝值相等展开式4
11
1 n
x x
   
常数项
解析：题意    4 114 111 1n nCC   4 11
n nCC 4 4 11n
n n nCCC  
4 11 15n n    
令 ： 展开式中常数项   154 60 15
1 15 1511
1 1
r
r rr r r
rTC x C xx
 

       
60 15 0r  4r 
：  4 4
151 1365C 
易错点 48二项式展开式中项系数二项式系数概念掌握清容易混淆导致出错
例 48 展开式中 系数 二项式系数
5
3
2
2x x
   
5x
易错点分析通项公式 中 二项式系数 项系数15 5
1 5 2r r r
rTC x 
    5
rC 5 2r rC 
解析：令 项 二项式系数 项系数 15 5 5r  2r  5x 2
5 10C  2 2
5 2 40C  
知识点类点拨二项展开式中利通项公式求展开式中具某特性项类典型问题通
常做法确定通项公式中r 取值取值范围须注意二项式系数项系数区联系
练 48（2005 高考山东卷）果 展开式中项系数 128展开式中 系数
3 2
13
n
x
x
  
 
3
1
x
（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）7 21
答案： 时 根二项式通项公式1x 
3 2
1(3 1 ) 2 128 7
1
n n n      7
3 2
1(3 )x
x

时应
2 577 73 3
1 7 7(3 )( 1)() 3 ( 1) rr r r r r r r
rTC x x C x  
     57 3 63 r r     3
1
x
项系数6 7 6 6
6 1 7 3 3 3
1 1 213 ( 1) 7 3 TC x x x

       3
1
x 21
易错点 49二项式系数项展开式系数项两概念求法差
次概念清导致出错44
例 49已知 展开式中第五项系数第三项系数 10：1 2
2 n
x n Nx 
    
求展开式中系数项二项式系数项
易错点分析二项展开式二项式系数二项式系数性质求n 偶数时中间项
二项式系数n 偶数时中间两项二项式系数相等时取值求系数值项位
置定中间需利通项公式根系数值增减性具体讨定
解析：题意知第五项系数 第三项系数  44 2nC   2 2( 2)nC    
 
44
22
2 10
12
n
n
C
C
  
 
设展开式中第r 项第 r+1 项第 r+2 项系数绝值分8n 
第 r+1 项系数绝值 解：1 1 1 1
8 8 82 2 2r r r r r rCCC     
1 1
8 8
1 1
8 8
2 2
2 2
r r r r
r r r r
CC
CC
 
 
      
系数值 知第五项二项式系数时5 6r   7 11
11792T x 8n 
5 6
11120T x
知识点类点拨 展开式中系数项中间项ab 系数1 时 na b
系数值位置定中间通解等式组 确定1
1 2
r r
r r
TT
TT

 

 
练 49（2000 年海）二项式 展开式中系数项系数  111x 
（结果数值表示）
解析：展开式中第 r+1 项 项系数r 奇数  11
11 1 rr rC x    11
rC
项系数 5r   55
11 1 462C    
易错点 50排列组合问题分清否序关导致方法出错
例 50六书列方式分配问少种分配方式？
（1） 分成1 2 3 三组
（2） 分甲乙丙三中11 1 两13
（3） 均分成三组组2
（4） 分甲乙丙三2
易错点分析分成三组序关组合问题分三序关排列问题
解析：(1)分三步：先选 种选法余5 中选两 种选法余三全1
6C 2
5C
选 种选法分步计数原理知分配方式：3
3C 1 2 3
6 5 3 60CCC  
（2）甲乙丙三（1）题基础考虑分配问题分配方式
种1 2 3 3
6 5 3 3 360CCCA   45
（3）先分三步：应 种方法里容易出现重复妨记六书2 2 2
6 4 2CCC 
第步取AB第二步取CD第三步取EF记该种分法（ABCDEF）ABCDEF
中（ABEFCD）（CDEFAB）（CDABEF）（EFCDAB）（EFABCD）2 2 2
6 4 2CCC 
种情况情况仅ABCDEF 序次作种分法分配方式3
3A
种
2 2 2
6 4 2
3
3
15CCC
A
  
（5） 问题（3）基础分配分配方式 种
2 2 2
36 4 2
33
3
CCCAA
  
知识点类点拨题关分组分配问题类极易出错题型词类问题关键搞清
楚否序关分清先选排分类分步完成等均分组问题更注意序避免计算重
复遗漏
练 50（2004 年全国9）5 位男教师4 位女教师中选出3 位教师派三班担班（班
位班）求三位班中男女教师选派方法（ ）
A 210种 B420种 C630种 D840种
解析：首先选择3 位教师方案：①男两女计 ②两男女：计 401 2
5 4 30CC  2 1
5 4CC
次派出3 位教师方案 6选派方案3
3A
种   3 1 2 2 1
3 5 4 5 4 6 30 40 420ACCCC       
易错点 51正确分析种常见排列问题恰选择排列方法导致出错
例 51四男学三女学站成排
（1） 三女学必须排起少种排法？
（2） 两女学彼相邻少种排法？
（3） 中甲乙两学间必须恰3 少种排法？
（4） 甲乙两相邻丙相邻少种排法？
（5） 女学左右高矮序排少种排法？（三女生身高互相等）
易错点分析排列问题常见题型相邻问题相邻问题序定问题等果题意理解够充
分选择错误方法
解析：（1）3 女学特殊元素先排列 种排法 3 学必须排3
3A
起视排女学整体男学排队时五元素全排列应 种排法5
5A
法原理 种排法3 5
3 5 720AA 
（2）先男生排 种排法4 男生中间两头 5 空中插入3 女生 种4
4A 3
5A46
方案符合条件排法 种4 3
4 5 1440AA 
（3）甲乙2 先排 种排法余5 中选三排甲乙2 中间 种排2
2A 3
5A
法时已排5 作整体剩2 排 种排法样总3
3A
种排法4 2 3
4 2 3 720AAA  
（4）先排甲乙丙3 外四 种排法甲乙相邻甲乙排4
4A 2
2A
种排法甲乙排整体丙分插入原先排4 空中 种排法样总2
5A
种排法4 2 2
4 2 5 960AAA  
（5）七位置中选出4 位置男生排 种排法然余空位置中排女生4
7A
女生高矮排列仅种排法样总 种排法4
7A
知识点类点拨解决限制条件排列问题方法：①直接法：
②间接法：排符合求情形③般先特殊元素特殊




位置分析法
元素分析法加法原理（分类）
法原理（分步） 插入法（相邻问题）
捆绑法（相邻问题）
位置入手
练 52（2004 年辽宁）两排座位前排 11 座位排 12 座位现安排2 坐规定前排中间
三座位坐2 左右相邻排法种数（ ）
A234 B346 C350 D363
解析：前两排连起掉前排中间3 座位 种加4 种算相邻1 2
19 2AA
种2 1 2
20 19 2 4 346AAA   
易错点 53二项式展开式通项公式 事件A 发生k 次概率：1
r n r r
r nTC a b
 
二项分布列概率公式：   1 n kk k
n nP k CPP  
三者形式相似应容易混 0123 0 1 1k k n k
k np C p q k n p p q     
淆导致出错
例 53（2004 年全国理）某学参加科普知识竞赛需回答三问题竞赛规规定：题回答正确
100 分回答正确—100 分假设名学题回答正确概率均 08题回答正确否相互
间没影响
（1） 求名学回答三问题总分 概率分布数学期47
（2） 求名学总分负分（ ）概率0 
易错点分析满足二项分布分布列概率计算公式中机变量 二项分布条件理解
出错
解析：（1） 取值—300—100100300
 
 
 
 
3
2
2
3
300 02 0008
100 3 02 08 0096
100 3 02 08 0384
300 08 0512
P
P
P
P




   
     
    
  
概率分布
 —300 —100 100 300
P 0008 0096 0384 0512
根 概率分布 期 
   300 0008 100 0096 100 0384 300 0512 180E           
（2）名学总分负分概率
 0 0384 0512 0896P     
知识点类点拨二项分布种常见重离散型机变量分布列概率
独立重复实验n 次中发生k 次概率 解决实  012P k k     1 n kk k
nCPP 
际问题时定清否满足二项分布
练 53（2004 年重庆理 18）设汽车前进途中4 路口汽车路口遇绿灯（允许通
行）概率 遇红灯（禁止通行）概率 假定汽车遇红灯达目停止前3
4
1
4
进 表示停车时已通路口数求：
（1） 概率分布列期 （2）停车时已通3 路口概率 E
解析：（1） 值01234 表示汽车通第k 路口时停 kA
独立    1 2 3 4
3 1234 4kPA k AAAA     1
10 4PPA   
        2
1 2 1 2 3
3 1 3 3 1 91 2 ()4 4 16 4 4 64PPAAPPAAA             48
   
   
3
1 2 3 4
4
1 2 3 4
3 1 273 4 4 256
3 814 4 256
PPAAAA
PPAAAA


          
         
分布列
 0 1 2 3 4
P 1
4
3
16
9
64
27
256
81
256
1 3 9 27 81 5250 1 2 3 44 16 64 256 256 256E           
（2）    81 1753 1 4 1 256 256PP       
易错点 54正态总体 概率密度函数  2N    
 2
221
2
x
f x e x R




 
时 作标准正态总体 概率密度函数两者0 1    
2
21
2
x
f x e x R


   01N
范围
例 54灯泡厂生产白炽灯泡寿命 （单位：时）已知 灯泡均  2100030N
寿命 1000 时概率 问灯泡低寿命应控制 910 时0 0997
易错点分析 服正态分布应利正态分布性质解题
解析：灯泡寿命 概率 2100030N   1000 3 301000 3 30   
取值概率 灯泡低寿命应控制 910 时0 0997   9101090 0 0997

知识点类点拨正态分布 中 总体均数 总体标准差外正态 2N    
分布 概率 取值概率 2N         0 0683  3 3    
解题时应注意正态分布 区间取值概率混淆否出现计0 0997  2N  
算失误
练 54总体符合 该总体（12）概率  01N    1 2a b  
解析：题意  1 2 (2)(1)P b a       49
易错点 55数列两基极限① ② 两极限成立条件lim 0n
n
q

 1lim 1nn
aS q
 
前者 者 1q  0 1q 
例 55等数列 中 n 项 满足 取值范围（ ） na 1 1a  nS
1
1lim nn
S a
 1a
A B C D 1  1 2  12  14
易错点分析利穷递缩等数列项公式 求 范围时容易忽视 1
1
as q  1a 0q 
条件
解析：设公q 知
1
1lim nn
S a


1
2
1 1 2 2
1 1
122
11
1
1 1 1 1 0 21 1 1
11 00 0
a
q a a q a aq q a
aaq q
                          

11 2a 
知识点类点拨 公绝值1 穷等数
 
 
 
1 1
lim 0 1
1 1
n
n
q q
q q
q q

  
 
   
存
存
列前n 项n 限增时极限做穷数列项
练 55 求a 取值范围
 1
3 1lim 33 1
n
nnn a

 
解析：
 1
3 1 1 1lim lim lim 03 313 1 3 3
1 1 4 23
nn
n nnn n n
a
aa
a a
  
            
    

易错点 56立体图形截面问题
例 56（2005 哈师附中东北师附中高三第二次联考）正方体EF 分ABCD 1 1 1 1ABCD
中点p 动点（包括端点）EDP 作正方体截面截面四边形1AA 1CC 1CC
P 轨迹（）50
A 线段B线段C线段 点D线段 点C1CFCFCF 1C 1CF
易错点分析学生空间想象力足面基定理线面行定理作两面交线
解析：图点P 线段 移动时易线面行性质定理知：直线DE 行面 CF 1 1BBCC
DE 截面 DEP 面 交线必行两面交线点PDE 行直线1 1BBCC
点P 线段CF 时PDE 行直线直线 交点线段 时截面四边1BB 1BB
形（实质行四边形）特P 点恰点F 时时截面 行四边形点P1DEFB
线段 时图分延长DEDP 交 点HG 面基定理知点HG 1CF 1 1AD 1 1DC
截面 DEP 面 GH 两面交线连结GH 分交 点KN1 1 1 1ABCD 1 1AB 1 1BC
（注交两直线延长线）分连结EKKNPN 截面 DEKNP 时五边形
选C
知识点类点拔高考面截立体图形面图形考查实质学生空间想象力
面基定理线面行面面行性质定理考查考生类型题感吃力实质高中
阶段作截面方法非两种：种利面基定理：条直线两点面
条直线点面两面相交仅条通该公点直线（交线）（注意
该定理应证明诸线点方法：先证明中两线相交证明交点第三条直线转化点
两面公点第三条直线两交线定理知交点第三条直线诸点线：证明诸点
某两面公点点转化两交线）两种定理做两面交线两面通
空间想象分取两组直线分相交交点必两面公点两交点连线两交
线种方法线面行面面行性质定理寻找线面行面面行关系然根性
质作出交线般情况两种方法结合应
练 56（1）（2005 高考全国卷二）正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中PQR分ABADB 1 C1 中
点正方体PQR 截面图形（）
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D
（2）正三棱柱 中PQR 分 中点作出三点PQABC 1 1 1ABCBC 1CC 1 1AC
R 截正三棱柱截面说出该截面形状答案：五边形
易错点 57判断空间点两异面直线成相等角直线条数
例 57（93 全国考试）果异面直线ab 角P 空间定点点Pab 成角50
P
F
ED1
C1
B1
A1
C
B
D
A
KN
H
G
P
F
ED1
C1
B1
A1
C
B
D
A51
直线条？30
A条 B 二条 C 三条 D 四条
易错点分析点P 两异面直线成相角直线位置关系空间想象足明确两直线
角两异面直线成角约束关系
解析：图点P 分作ab 行线 成角a b a b
点P 成相等角直线必异面直线ab 成相50 a b
等角点P 直线L 成相等角样直线La b a
确定面射影角分线时必b
cos cos cosAPBAPOOPB     cos30cos cos25APO

 
时 时样直线存两条 时 cos30cos 01cos25APO

   130BPC  
样直线存选B
cos30cos 1cos65APO

  
知识点分类点拔解决异面直线成角问题关键定义基思想移时题说解决
两异面直线成等角直线条数两异面直线移空间点时方面考虑面两相交直线
成等角直线角分线否满足题意方面思考空间中面两相交直线成等角直线
条数时关键搞清面外直线面直线成角 面直线面外直线面
射影成角 关系公式 （中 直线面成角）易知 cos cos cos   
（角定理）般异面直线abcos cos     cos cos     
成角 Lab 成角均 式结： 时样直线存  0 2
 
时样直线条 时样直线两条
2
  2 2
     2
  
时样直线3 条 时样直线四条
2 2
    
练 57果异面直线ab 角P 空间定点点Pab 成角 直100 50
线条？
A条 B 二条 C 三条 D 四条 答案：C
易错点 58关线面行证明问题中定理理解够准确忽视a a b b  
三条件中某
例 58图 矩形 ABCD 面MN 分ABPC 中点求证： 面PA  MNPAD
[易错点分析]：描述条件中容易忽视 AEPADMNPAD 面面
解析：取PD 中点E连结AEEN ENCDABAM
0
l
C
B
b＇
a＇
A
p
A
P
N
M
E
DC
BAB
P
CD
M
NE52
行四边形1 1
2 2ENCDABAM    AMENMNAE
 AEPADMNPAD 面面 MNPAD 面
[知识点类点拨]判定直线面行判定定理通线线行判定线面行
指直线指面外条直线行面条直线应该定理证线面行时三条件
缺
练 58（2005 浙江）图三棱锥 P—ABC 中 ABBCABBC kPA  
点OD 分ACPC 中点 面 求证：OD面 PABOP  ABC
证明： 分ACPC 中点OD ODPA
面PA  PAB
PAPABODPABODPAB  面面面
易错点 59两面行判定定理易条件误记面两条相交直线面
两条相交直线分行容易导致证明程跨步太
例 59图正方体 中MNP 分 中点1 1 1 1ABCDABCD 1 1 1 1 1CCBCCD
求证：面 MNP面 1ABD
易错点分析题容易证 MN MPBD直接出1AD 面
1MNPABD面
解析：连结 分 中点1 1 1BDBCPN 1 1 1 1DCBC
1 1PNBD 1 1 BDBDPNBD
理：1 1PNABDPNABD 面面 1MNABDPNMNN面
1DMNABD面面
知识点类点拨面行问题判定证明转化面直线面行问
题线面行面面行必须注意里线面指面两条相交直线
面定理中条件缺
练 59正方体 中（1）MN 分棱 1 1 1 1ABCDABCD 1 1 1 1ABAD
中点EF 分棱 中点求证：①EFBD 面1 1 1 1BCCD
②面 AMN面 EFDB③面面1 1ABD 1CBD
证明：（1）① EFBD 面1 1 1 1EFBDBDBDEFBD
②易证：MNEF设 1 1 1 1ACMNPACEFQACBDO    
C
B
A
P
D
O53
PQAOPQAOPAOQ  AMNEFDB面面
③连结AC 正方体 理1 1 1 1ABCDABCD ACDB  1 1AAABCDACBD   面
证 1 1ACBC 1 1 1 1ACCBDACABD 面理证面 1 1 1ABDCBD面面
易错点 60求异面直线成角成角 容易忽视证明垂直方法求夹角重090
方法
例 60（2001 全国9）三棱柱 中 成角1 1 1ABCABC 12ABBB 1 1ABCB
（ ）A B C D060 090 0105 075
易错点分析忽视垂直特殊求法导致方法浪费时间
解析：图 分 中点 1DD 1 1BCBC
连结 设1ADDC 1 1 2BBAB 
AD 面 射影1AB 1BC
1
1
3 2 2cos 3 2 3
BCBEBDCBCBC    
2 2 2
12 cosDEBEBDBEBDCBC       1 1 3 2 2 123 2 3 2 63
      
垂直2 2 2 01 1 1 903 6 2BEDEBDBED        1 1ABCB
知识点类点拨求异面直线成角直线面成角二面角时特殊角 时090
采证明垂直方法求
练 60（2005 年浙江 12）
设MN 直角梯形 ABCD 两腰中点 EDEAD
（图）现 DE 折起二面角ADE
时点A 面 BCDE ADEB  045
射影恰点BMN 连线AE 成角
等
解析：易知 取AE 中点Q连MQBQ0 045 90 AEBABEABBE     
NBC 中点1 12 2MQDEMQDEDEBCDEBC 
MN 连线AE成MQBNMQBNBQMN   BQAEMNAE   09054
角
易错点 61求异面直线成角直线面成角二面角时容易忽视成角范围
出现错误
例 61图棱长1 正方体 中MNP 分 中点1 1 1 1ABCDABCD 1 1 1 1ABBBCC
求异面直线 成角1 DPAMCNAM
[易错点分析]异面直线成角范围 利余弦定理求异面直线成角时出现角 0 00 90  
余弦值负值错误出异面直线成角钝角时应转化正值求出相应锐角异面直线
成角
解析：图连结 中点1ANNP 1 1BBCC
1 1 1 1PNADPNAD 1 1ANDP
AM 成角 成角1DP 1AMDP
易证 ≌ 1Rt AAM 1 1Rt ABN 1ANAM
成角 1DPAM 090
设AB 中点Q CNAM 成角1 1BQAMBQAM 1 1CNBPCNBP
（补角）1PBQ
易求 中余弦定理 1 1
5 62 2BQBPPQ   1PBQ 1
2cos 5PBQ 
成角 CNAM 2arccos 5
知识点类点拨历届高考中求夹角缺少重题型牢记类角范围两条异面
直线成角范围： 直线面成角范围： 二面角面角0 00 90  0 00 90 
取值范围： 时量求解两异面直线成角时注意两异面直线成角0 00 180 
两量夹角联系区
练 61（济南统考题）已知行六面体 中底面 边长1 正方ABCD 1 1 1 1ABCDABCD
形侧棱 长2侧棱 夹角等 （1）求角线 长（2）1AA 1AAABAD 120
1AC
求直线 夹角值答案：（1）（2） （提示采量方法 1BDAC 2 3arccos 3 1AA

DC
BA
A1
D1
B1
C1
N
M
P55
组基底求 两异面直线成角余弦值 ）AB

AD

1
3cos 3BDAC  
  3
3
易错点 62度纬度两概念度二面角纬度线面角二者容易混淆
例 62图北纬 纬线圈B 两点分东 东045 070
度设球半径R求B 两点球面距离0160
易错点分析求AB 两点距离求B 两点球心角正确描述
纬线角度角关键
解析：设北纬 圈圆心 球中心O045 O 0 0 0
1 160 70 90 AOB   
连结 0
1 45 OBOOBR   1 1
2 2OBOARABR   AOAB
AB 两点间球面距离0 60AOBOABRAOB     1 126 3ABRR   
1
3 R
知识点类点拨数学某点度：点线轴确定面初子午线（ 00
线）轴确定半面成二面角度数某点纬度：点球半径赤道面成角度
数图：
图（1）：度——P 点度 度数ABAOB
图（2）：纬度——P 点纬度 度数POAPA
练 62（2005 高考山东卷）设球半径 甲位北纬 东 乙位南纬R 45 120 75
东 甲乙两球面距离（ ）120
（A） （B） （C） （D）3R 6 R 5
6 R
2
3 R
答案：D 图示东 北纬 线交A点120 45
东 南纬 线交C点设球心120 75
B 点 45ABC   75DBC  
B 点圆心ACD120ABD  
圆 求 ACDACD 120 22 360 3RR  


易错点 63量知识立体方面应
东 东 120o
东 东 75o
东 东 45o
B
A
C
D56
例 63图 直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中AB＝AD＝2DC＝2AA 1＝ AD⊥DCAC⊥3 3
BD 垂足未E（I）求证：BD⊥A 1C（II）求二面角A 1－BD－C 1 （III）求异面直线 AD
BC 1 成角．
易错点分析题考查学生运量法中坐标运算方法解决立体问题学生解题中
方面根条件建立恰空间坐标系方面建系学生正确找点坐标者没运
量知识解决问题意识
解析：解法：（I）直四棱柱 中1 1 1 1ABCDABCD
底面 面 射影1AA  ABCDAC 1ACABCD
BDAC 1 BDAC 
（II）连结 1 1 1 1AECEAC
（I）理证 1 1BDAEBDCE 
二面角 面角1 1AEC 1 1ABDC 
ADDC 1 1 1 90 oADCADC   
1 1 1 1 12 2 3 3ADADDCDCAA     ACBD
1 1 1 14 1 3 2 2 3ACAEECAECE      
中 二面角 1 1AEC 2 2 2
1 1 1 1 1 1 90 oACAECEAEC    1 1ABDC  90o
（III）B作 交连结 成角ADBF∥ ACF 1FC 1CBF AD 1BC
2 1 2 1 2ABADBDACAEBFEFFCBCDC        
中 1 17 15FCBC   1BFC 1 1
15 4 7 15 15cos arccos 5 522 15
CBFCBF    
异面直线 成角AD 1BC 15arccos 5
解法二：（I）解法
（II）图D 坐标原点 1DADCDD
直线分 轴轴轴建立空间 直角坐标系x y z
连结 （I）理证1 1 1 1AECEAC 1 1BDAEBDCE 
二面角 面角1 1AEC 1 1ABDC 
1 1
3 3(20 3)(02 3 3)(0)2 2ACE
1 1
1 3 3 3 3( 3)( 3)2 2 2 2EAEC
 
   
二面角 1 1 1 1 1 1
3 9 3 04 4EAECEAECEAEC
   
          1 1ABDC 
90o
（II）图
X
Y
Z
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
F57
1
1
1 1
1
1
1
(000)(200)(02 3 3)(3 30)
( 200)( 3 3 3)
6| | 2| | 15
6 15cos 52 15| || |
DACB
ADBC
ADBCADBC
ADBCADBC
ADBC
 
  
 
 
 
   
   
    

异面直线 成角 AD 1BC 15arccos 5解法三：（I）解法
（II）图建立空间直角坐标坐标原点E
连结 1 1 1 1AECEAC
（I）理证 1 1BDAEBDCE 
二面角 面角1 1AEC 1 1ABDC 
1 1(000)(0 1 3)(03 3)EAC
` 1(0 1 3)(03 3)EAEC
 
  
二面角 1 1 1 1 1 1 3 3 0EAEAECEAECEC
   
        1 1ABDC  90 o
（III）图 1(0 10)( 300)( 300)(03 3)ADBC 
1( 310)( 33 3)ADBC
 
   
1
1 1 1
1
6 15 3 3 6| | 2| | 15 cos 52 15| || |
ADBCADBCADBCADBC
ADBC
 
     
          
异面直线 成角 AD 1BC 15arccos 5
知识点分类点拔解决关量问题时善运量移伸缩合成分解等变换正确
进行量种运算加深量质认识二量坐标运算体现数形互相转化密切结合
思想量数量积常关量相等两量垂直射影夹角等问题中常量直角坐标运算
证明量垂直行问题利量夹角公式距离公式求解空间两条直线夹角两点间距离
问题空间量解决立体问题般程进行思考：①解决问题什量知识解
决？需量？②需量否已知？未知否已知条件转化成量直接表示？
③需量直接已知条件转化成量表示分易未知量表示？未
知量已知条件转化量关系？④样已表示出需量进行运算需
结？
练 63（2005 高考淅江东）图三棱锥 中 ABCP  BCAB 
点 分 中点kPABCAB  ODACPC
(I) 求证 (II) 时求直线 ABCOP 底面 PABOD 底面
2
1k PA
面 成角(III) 取值时 面 PBC 射影恰 重心PBC k OPBC
答案方法：
（Ｉ） ＯＤ分 中点 ACPC  ODPA
Y
Z
X
E
B1
C1
C
B
A
A1
D1
D
B
C
P
D
A o58
面 面PA  PAB  ODPAB
(II)  ABBC OAOC  OAOBOC 
面 OP  ABC  PAPBPC 
取 中点Ｅ连结 面BCPEBC  POE
作 F连结 面OFPE DFOF  PBC
面 成角 ODF ODPBC
面 成角等ODPAPA PBCODF
中Rt ODF 210sin 30
OFODFOD  
面 成角 PAPBC 210arcsin 30
（III）II 知 面 面 射影OF  PBCF OPBC
中点点 重心 三点线 DPCFPBCBFD
直线 面 射影直线 OBPBCBD
OBPC PCBD  PBBC  1K 
反 时三棱锥 正三棱锥1K  OPBC
面 射影 重心O PBCPBC
方法二
面 OP  ABCOAOCABBC 
OAOBOAOPOBOP   
原点射线 非负 轴建立空间直角坐标系(图)OOP z O xyz
设 设 AB a 2(00)2A a 2(00)2B a 2(00)2C a OP h (00)P h
(I) DPC 中点 ＝ ＝  OD
 2 1(0)4 2a h 2(0)2PA a h

   OD
 1
2 PA


面OD

PA

 ODPAB
(II)  1
2K  2 PA   7
2h a PA
 2 7(0)2 2a 
求面 法量PBC 1(1 1)7n

    210cos 30| |
PA nPA n
PA n
 
 
   

设 面 成角 面 成角PAPBC  210sin | cos | 30PA n
 
    PA PBC
210arcsin 30
(III) 重心PBC 2 2 1()6 6 3G a a h 2 2 1()6 6 3OG a a h

  
面 OG  PBCOGPB 
  2(0)2PB a h 
 2 21 1 06 3OGPB a h   
 

反 时三棱椎 正三棱锥2 2h a  2 2 PAOA h a    1k  1k  OPBC
面 射影 重心O PBCPBC
易错点 64常见体体积计算公式特棱锥球体积公式容易忽视公式系数导致出错
例 64（2003 年天津理 12）棱长a 正方体中连结相邻面中心线段棱八面体体积
B
C
P
D
A o
z
y
x59
（ ）A B C D
3
3
a 3
4
a 3
6
a 3
12
a
易错点分析正确分析图形采割补法
解析：图八面体分割两正四棱锥
选
2 2 2
2 2 2 2
a a aAB            
2 31 1 1
3 2 6V a a a    八面体
C
知识点类点拨计算简单体体积选择某面作底面选择前提条件面高易
求
练 64（2004 全国 20）图四棱锥 P—ABCD 中底面 ABCD
矩形AB8AD 侧面 PAD 等边三角形底面成二面4 3
角 求四棱锥 P—ABCD 体积060
解析：图AD 中点E连结PE 作 面 ABCD垂足O连结OEPEAD PO 
根三垂线定理逆定理 侧面 PAD 底面成二面角面角已知OEAD PEO
条件 四棱锥 P—ABCD 体积060 6PEOPE   3 3PO 
1 8 4 3 3 3 963PABCDV      
易错点 65求点面距离方法直接法等体积法换点法
例 65（2005 年春季海 19）图已知正三棱锥
P—ABC 体积 侧面底面成二面角72 3 060

（1） 证明 PABC
（2） 求底面中心O 侧面距离
解析：（1）证明：取BC 边中点D连结ADPD
ADBCPDBC  BCAPD 面 PABC 
（2）解：图（1）知面 PBC 面 APD 侧面底面成二面角面角 PDA
点O做 E 垂足OE 点O 侧面距离设OEh题意知点OAD OEPD
060 2 PDOOP h   2 4
3
hODBC h    2 23 4 4 34ABCS h h  
底面中心O 侧面距离32 21 8 372 3 4 3 2 33 3h h h h     
知识点类点拨求点面距离般该点面引垂线确定垂足转化解三角形求边长
者利空间量表示点面垂线段设法求出该量转化计算量模助体积公式利
等积求高
练 65 图直三棱柱 ABC—A1B1C1 中
底面等腰直角三角形∠ACB90°
侧棱AA 12DE 分CC 1 A 1B 中点60
点E 面 ABD 射影△ABD 垂心G
（Ⅰ）求A 1B 面 ABD 成角
（结果反三角函数值表示）
（Ⅱ）求点A 1 面 AED 距离
解析：连结BGBGBE 面 ABD 射影∠EBGA 1B 面 ABD 成角
设FAB 中点连结EFFC
1 1
2 2
1
1


1 1 33
1 2 6233
2 2 2 2 3 3
6 1 2sin 3 33
2arcsin 3
DECCABDCABCCDEF
DEGADBGDFEFD
EFFGFDFDEFFD
EDEG
FCCDABABEB
EGEBGEB
ABABD
 
  
     
  
     
     


 

分中点面矩形
连结重心直角三角形中

面成角
（Ⅱ）连结A 1D EAADAEDAVV 11  
FABEFEFEDABED  
设A 1 面 AED 距离hABAED 1面
A 1 面 AED 距离EDShSABAAED   1 3
62
1  KA 3
62
易错点 62二面角面角求法定义法三垂线法垂面法等
例 62 图示正三棱柱 ABC－A1B1C1 中已知AA 1＝A1C1＝aEBB 1
中点截面A 1EC⊥侧面AC 1．求截面A 1EC 底面A 1B1C1 成锐二面角度
数．
　解法 1 ∵截面A 1EC∩侧面AC 1＝A1C．连结AC 1正三棱 ABC－A1B1C1 中
　　
　　∵截面A 1EC⊥侧面AC 1
数求二面角度数．易∠A1AC1＝45°求二面角度数 45°．
　解法 2 图3 示延长CEC 1B1 交点F连结AF截面A 1EC∩面A 1B1C＝AF．61
∵EB1⊥面A 1B1C1∴B 1 作B 1G⊥A1F交A 1F 点G
连接EG三垂线定理知∠EGB 1 求二面角面角．
　　
　　求二面角度数 45°．
知识点类点拨二面角面角作法：（1）垂面法：指根面角定义作垂直棱面
通面二面角两面交线出面角（2）垂线法：指二面角棱取特殊点
点二面角两半面作两条射线垂直棱两条射线成角二面角面角（3）三
垂线法：指利三垂线定理逆定理作出面角
练 65图已知直三棱柱 ABC－A1B1C1侧棱长2底面△ABC 中
∠B90°AB1BCD 侧棱CC 1 点BD 底面成角 30°3
（1）求点DAB 直线距离 （2）求二面角A 1－BD－B1 度数
解析：①∵CC1⊥面 ABC ∠B90°∴DB⊥AB
∴DB 长点DAB 直线距离
∠DBCBD 底面成角∠DBC30°
∵BC ∴BD 2 3 30cos
3
cos DBC
BC
②B 1 作B 1E⊥BDE连A 1E∵BB1⊥ABAB⊥BCBB 1∩BCB∴AB⊥面 BCC1B1∵A1B1∥AB
∴A1B1⊥面 BCC1B1∵B1E⊥BD∴A1E⊥BD∠A1EB1 面A 1BD 面 BDC1B1 成二面角面角
连 B1D ∵BCBD2∴CD1 ∵CC 12∴DCC 1 中点 ∴S△BDB1 SBCC1B1 ∴B 1E·BD3 2
1
2
1
BC·CC1 B1E·2 ·2∴B1E Rt△A 1B1E 中
2
1
2
1
2
1 3 3
tan∠A1EB1
63
3arctan3
3
3
1
11
1
11  EBAEB
BA
易错点 66直线双曲线位置关系通分析直线方程渐进线方程位置关系联立直线
方程双曲线方程通判式两种方法会忽视特殊情形62
例 66点（03）作直线l果双曲线 公点直线l 条数
2 2
14 3
x y 
（ ）
A1 B2 C3 D4
易错点分析探讨直线双曲线位置关系时考虑直线方程双曲线方程解情况容易
忽视直线渐进线行特殊情况时构成方程次
解析：数形结合方法：点（03）双曲线公点直线分两类类行渐进线
两条类双曲线相切两条图示：


O
y
x
(
0

3
)
选（D）
知识点类点拨直线双曲线位置关系分：相交相离相切三种判定方法两种：
直线方程双曲线方程联立消未知数元二次方程 2 0ax bx c  
（1） 直线双曲线相交两交点 直线渐进线行交0 0a    0a 
点
（2） 直线双曲线相切公点0 0a   
（3） 直线双曲线相离没公点0 0a   
二利数形结合思想
练 66（2004 年浙江理 21）图已知双曲线中心原点
右顶点A（10）PQ 双曲线右支点M（m0）
直线AP 距离1
y
xO63
（1）直线AP 斜率1 求实数m 取值范围3 33k   
 
解析：（1）图条件直线AP 方程 ( 1)y k x  0kx y k  
点M 直线AP 距离1  2
1
1
mk k
k
 


2
2
1 11 1km k k
   
解m 取值3 2 3 3 1 23 3k m      
 
 2 3 2 31 3 1 13 3m m       
范围 2 3 2 311 1 33 3
        
   

o A
Q
P
M

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