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理科数学()


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2{ | ln( 1) 1} { | 2 3}Axx B y y x x    AB 
A ( 1e 1) 

B [0e 1)

C ( 13)

D 
2．已知复数 z 满足| 1 i | 1z    | |z 值
A 1

B 2

C 2 1

D 2 1
3．已知 oooo(cos71 sin 71 ) (2cos19 2sin19 )AB  ||AB 
A 2

B 2

C 5

D 5

4．已知()x y 满足条件
22
2 0
44 0
x y
x y
x y
 
   
   
3 2x y 值
A 1

B 2

C 3

D 6
5．已知等差数列{}na 前 n 项 nS 3101 30aS   8a 
A 7

B 6

C 5

D 9

6．二项式 3
1(2 )
2
nx  展开式中理项11项 n 值
A 26

B 30
C 32

D 35
7． ABC 水直观图 ABC   图示已知
oo1 30 90ABACBABC      边 AB 长
A 1

B 2
C 2 2

D 3

8．函数 ()f x 定义(1 ) 单调递减函数函数 (log 1)afx  1 1()3 2
单调递增实
数 a 取值范围
A 2[1)2
B 3 2[]3 2
C 2[)2 

D 3[ 1)3 — 高三理科数学()第 2 页( 4 页) —
9．已知某算法框图图示输出结果应
A 10

B 20
C 11

D 21

10．双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   右焦点 ( 0)F c 作中
条渐线垂线 (FP P 垂足）条渐线交点
Q ( F 线段 PQ )| |2| |FQ FP 双曲线离心率
A 3

B 2

C 13
3
D 2 3
3
11．已知O ABC 外心 2
AO BC BC    ABC
A 锐角

B 直角

C 钝角

D 确定

12．已知正四面体 A BCD 棱长 6 2 M N 分 AC AD 点 MN 作面
AB CD 均 行 AB CD  距离分 24 正四面体 A BCD 外接球
 截圆面积
A 11π

B 18π

C 26π

D 27π

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分

13．已知组鞋码身高数（ x 表示鞋码 ( )y cm 表示身高）中 360m n 
x 40 41 42 43 44
y 172 175 m n 183
数计算回直线  225y x a  估计鞋码38时身高约_________．
14．已知数列{ }na 前 n 项 nS 1 ( 1)n
n na a n   17 70S  2019a  _________．
15．ABC 中角 ABC 应边分 ( )abcb c BC 边高等 3
2
a b c
c b
时 abc  _________．
16．意 ( 1 )x  等式 (e )(ln( 1) ) 0x a x b  恒成立 a b 取值范围
_________． — 高三理科数学()第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知等数列{ }na 首项 1 1a  前 n 项 nS设 1n nb S  数
列{ }nb 等数列
（Ⅰ）求{ }na { }nb 通项公式
（Ⅱ）数列 2{ log }n na b 前 n 项 nT求证： n n nT S nb 





18 ．（ 题 满 分 12 分 ） 已 知 四 棱 柱 ABCD ABCD 中 底 面 ABCD 菱 形
o2 4 60AB AA BAD   E BC 中点C 面 ABCD 投影 H 直线 AE DC
交点
（Ⅰ）求证： BD AH
（Ⅱ）求二面角 D BB C   正弦值



















19．（题满分 12 分）2019 年 10 月 1 日庆祝新中国成立 70 周年阅兵北京举行陆军海
军空军火箭军战略支援部队部分新型武器装备受阅观阅兵某校军事兴趣组决定首
次亮相武器装备做更加深入解完善兴趣组文档资料军事兴趣组 6 分成两
组（第组研究 15 式战坦克轰6N 新型战略轰炸机直20 直升机第二组研究东
风17 常规导弹长剑100 巡航导弹东风41 核导弹）中第组 ABC 三位学分 15
式战坦克轰6N 新型战略轰炸机直20 直升机特感兴趣第二组 DEF 三位学分
东风17 常规导弹长剑100 巡航导弹东风41 核导弹特感兴趣现两组学机
分配（选项重复）设两组中调查装备恰特感兴趣学数分
X Y
（Ⅰ）求 X Y 概率
（Ⅱ）设 Z X Y  求机变量 Z 分布列数学期





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20．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yE a ba b   左右焦点分 1( 0)F c
2 ( 0)F c
（Ⅰ）原点作斜率 3 直线l 交椭圆 P Q o
2 90PF Q  求椭圆离心率
（Ⅱ）设 1b  点 (10)N 作两条相互垂直直线 1 2l l 已知 1l 交 E A B 两点 2l 圆
2 2 1x y  交点 M ABM 面积时直线 AB x 轴垂直求 a 取值范围




21．（题满分 12 分）已知函数 π()e(sin cos) ( π)2
xf x x x ax x    两极值点
1 2x x
（Ⅰ）求实数 a 取值范围
（Ⅱ）设 () ()gx fx 求证： 1 20 ( ) 2
x xg a 



（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．

22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中圆C 参数方程
2cos (2 2sin
x
y
 

  
参数)O 极点 x 轴非负半
轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求圆C 极坐标方程
（Ⅱ）已知直线极坐标方程 1
π cos( ) 33l     直线 2
π 3l   圆C 交点 O P
直线 1l 交点Q求线段 PQ 长度



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) | 2 | | 4 | fxx x  
（Ⅰ）设等式 ( ) 4f x  解集 M求 M
（Ⅱ）求证： a M 时等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  恒成立


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理科数学()
．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C C A C D A B D C C

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．169 14．3 15．1 3 1 16． [1 )
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．解析（Ⅰ）设{}na 公 q 2
1232 2 2bb q b q q     
222( 2) ( 2)qq q    解 2q  12 2 1 2 nnn
nnnaSb  
（Ⅱ） 1
2log 2n
nnab n   0122112 2232 ( 1)2 2nn
nTnn 
1231212 22 32 ( 1)2 2nn
nTnn  两式相减：
21(1 2 2 2 ) 22nnn
nnnnTnnS nb S        nnnT S nb 
18．解析（Ⅰ）证明：CH  面 ABCD C H BD 
BD A C  BD  面 ACHBDAH  
（Ⅱ）取 AB 中点 M CD DM
D 原点分 DM DC x y 轴
D 行CH 直线 z 轴建立
空间直角坐标系 ＇CC H 中
＇C H CH 4 2CC AA CH
2 3CH 
(000) ( 3 10) ( 310) (020) (042 3)DABCC
(020) (0 2 2 3)ABDC D   (310) ( 332 3)CBCB B     
( 310) (022 3) ( 310)DBBB BC     — 高三理科数学()第 6 页( 4 页) —
设 1 1 1 1( )n xyz 面 BB D  法量
1 11 1 1
1 11 1 1
0 3 0
30 2 2 3 0
x znDB xy
y znBB y z
           
 
  令 1 1z  1 (1 31)n  
设 2 2 2 2( )n xyz 面 BB D  法量
2 21 2 2
2 21 2 2
0 3 0
30 2 2 3 0
x znBC xy
y znBB y z
         
 
  令 2 1z  2 ( 1 31)n  
1 2
1 2 1 2
1 2
3 4cos sin 5 5| || |
n nn n n n
n n
   

    
  二面角 ＇ ＇D BB C  正弦值 45
19．解析
（Ⅰ）
1 1
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 1 1 1 1( 0) ( 1) ( 3)9 4 36
C CPXY PXY PXYAA AA AA
       
1 1 1 7()9 4 36 18PX Y  
（Ⅱ） 013X Y  3 3
3 3
2 1 3 1( 0) ( 0) ( 1) ( 1)3 2PX PY PX PYA A   
3
3
1 1( 3) ( 3) 6PX PY A  
1 1 1 1( 0) ( 0) ( 1) ( 0 1) ( 1 0) 23 3 6 3PZ PXY PZ PXY PXY     
1 1 1 1( 2) ( 1) ( 3) ( 0 3) ( 3 0) 22 2 3 6PZ PXY PZ PXY PXY      
1 1( 4) ( 1 3) ( 3 1) 2 2 6PZ PX Y PX Y     1 1( 6) ( 3) 6 6PZ PXY 
1 1 1 1 1 10 1 2 3 4 6 29 3 4 9 6 36EZ  
20．解析（Ⅰ）连接 1PF称性 o
1 2 90FPF  o
2 60POF 
1 2 1 23 2 ( 3 1) e 3 1cPF cPFc aPFPF c a  
（Ⅱ）设直线 1AB x my  直线 1 1MNx ym  设 1 1 2 2( )( )Axy Bx y
直 线 AB 椭 圆 方 程 联 立 消 x 2 2 2 2( ) 2 1 0m a y my a   — 高三理科数学()第 7 页( 4 页) —
2
1 2 1 22 2 2 2
2 1m ayy yym a m a
  

2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
2 1| | ( ) 4 a m ayy yy yy m a
    


2 2 2
2
1 2 2 2
2 1 1| | | | 1 ama mAByy m m a
    
直线 MN 2 2 1x y  联立消 x
2
2
2
1 2 0m y ym m
   解 2
2
1M
my m 

2 2
1 2| | | | 1
1M NMN y y m m
 


2 2
2 2
1 2 1| || |2ABM
a m aS AB MN m a
    

令 2 2 1t m a  2
2
2 2 ( 1)11ABM
at aS t at t t
    

20 1 1a  1 2a  时 ABMS 值 2
12
a a
t t


（ 仅 1t 
22m a  时取）
2 1 1a   2a  时 ABMS 关 t 单 调 递 增 时 ABMS 值
2
2
2
2 2 1
11
1
a a
aa
a

 

（仅 2 1t a  0m  时取）（合题意）
综 ABM 面积时直线 AB x 轴垂直 a 取值范围(1 2)
21．解析（Ⅰ）已知 ( ) ( ) 2e sinxg x f x x a   1 2x x ( )g x π( π)2
两
零点 π( ) 2e (sin cos ) 2 2e sin( )4
x xgx xx x    π 3π( )2 4x  时 ( ) 0g x 
3π( π)4x 时 ( ) 0g x  π 3π( )2 4x  时 ( )g x 单调递增 3π( π)4x 时 ( )g x 单调递减
( )g x π( π)2x 两 实 根 时 π 3π( ) 0 (π) 0 ( ) 02 4g g g   解
π 3π
2 42e 2e a  — 高三理科数学()第 8 页( 4 页) —
（Ⅱ）妨假设 1 2x x 1 2
π 3π π2 4x x  π() 2 2esin( )4
xgx x   π( π)2
单调
递减 1 2 1 23π π 3π( )0 ()2 4 2 2 4
xx xxg g    
1 2 2 1 2 1 1 1
3π 3π 3π 3π 3ππ ()( ) ()( )2 4 2 2 2xx x x gxgxgxgx    
设 3π π 3π()()( )( )2 2 4Fxgxg x x   
3π 3π
2 23π π 7π π() () ( ) 22[esin( )e sin( )] 22sin( )(e e )2 4 4 4
x xx xFxgxgx x x x      
π 3π
2 4x  时
3π 3π 3π3π
2 4 2 4πsin( )0ee e e 04
xxx  
    ( ) 0F x 
( )F x π 3π( )2 4
单调递减 3π( ) ( ) 04Fx F  1 1
3π()( )2gx g x  成立
1 2
3π
2x x  1 2 1 2π 3π 3π π() ( ) ()2 2 4 4 2 2
xx xxg g g      

π
1 2 20 ( ) 2e 2
x xg a  综述 1 20 ( ) 2
x xg a 
22．解析（Ⅰ）消参圆C 化： 2 2 4xy y  圆C 极坐标方程： 4sin 
（Ⅱ）
ππ π π3(23) (6)3 π3 34sin cos( ) 33
P Q

   
     
    

| | 6 2 3PQ  
23．解析（Ⅰ）
6 2 2
( ) 22 4
2 6 4
x x
fx x
x x
 
 
  
2x  时6 2 4 1 2x x  2 4x  时
2 4 恒成立 4x  时 2 6 4 4 5x x 综 ( ) 4f x  解集[15]
（ Ⅱ ） （ Ⅰ ） 知 1 5a  等 式 化 2 2 2(5 ) 8a a a  
2 22 [2(5 ) 8] 3 4 ( 4)( 1) 0a a a a a a a  
等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  成立



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高三理科数学（）选择填空详细解析

1B解析 {|1 e1} {| 0}Ax x Byy    [0e 1)A B  
2C解析z 复面应点轨迹 ( 11)C  圆心1 半径圆| |z 表示 z
应点原点距离值 2 1
3C解析 o o o(2cos( 19 )2sin( 19 ))| | 1| | 2 90B OAOB AOB  
2 2| | 1 2 5AB   
4C解析行域 (0 2) (2 4) (10)A B C 顶点三角形部边界区域3 2x y 点
C 处取值 3
5A解析 1 10 3 8 8
10 8
110 10 10 30 72 2 2
a a a a aS a     
6C解析
4
3
1 ( 1) 2n rrr nr
r nT C x 
   03630r  时理项 n 值32
7D解析 A作 y轴行线交 x 轴点 D 2 1AD DB   xOy 坐标
系中 o2 2 1 90AD DB ADB   勾股定理 3AB 
8A解析已知0 1a  ( )f x 定义域(1 ) 1 1( )3 2x 时等式log 1 1a x  
恒成立 1 1( )3 2x 时等式 20 x a  恒成立 2 12 a 
9 B解析算法原理求数列 ( 1) (2 1)(2 1)
n
n
na n n   
前 n 项 nS
(1)11 1111 1 1( ) ( 1 ( 1) ( 1) )42121 4 335 21 21
n
n n
n na Sn n n n
    

1 1( 1 ( 1) )4 2 1
n
nS n  
令 10
41nS  解 20n 
10D解析设 POF QOF    90 2OQF   
已知 FPO 中| | sinPF c  | | 2 sinQF c  QFO 中
| | | | 2 sin 1 πcos 2sin sin(90 2) sin sin(90 2) 2 6
QF OF c c        

23 2 3tan e 1 ( ) 3 3
b b
a a   
11C 解 析 设 M 边 BC 中 点 设 角 ABC 应 边 分 abc
2 21( ) ( )( )2 2
b cAOBC AM MO BC AMBC AB AC AC AB             

2 2
2 2 2 222
b c a b c a   
2 2 2 2
cos 02 2
a c b aB ac ac
   ABC 钝角
12 C解析正四面体 A BCD 补形成棱长 6 正方体 APBQ ECFD A BCD 外— 高三理科数学()第 10 页( 4 页) —
接球球心O正方体中心球O半径 6 3 3 32R    面 APBQ ECFD 行
面 APBQ ECFD 距离分 2 4 时 O  距离1 球 O 截圆半径
2 21 26r R  截面圆面积 26π
13 169 解析 42 178x y  ( )x y 代入回直线 835a  鞋码38 时身高
约 225 38 835 169( )cm 
14 3解析 n 奇数时 1 2 1 1n n n na a n a a n    2 1n na a   （奇数项
周期 2） n 偶数时 1 2 1 1n n n na a n a a n    2 2 1n na a n   
3 5 7 9 11 13 15 17( ) ( ) ( ) ( ) 4a a a a a a a a 
2 4 6 8 10 12 14 16( ) ( ) ( ) ( ) 5 13 21 29 68a a a a a a a a    
17 1 1 14 68 72 2S S S a a a    奇 偶 2019 3 11 3a a a  
15 1 3 1 解 析 1 3 1 sin2 2 2ABC ABCS a aS bcA   23 sin2 a bc A
2 2 2
cos 2
b c aA bc
  2 4π 4sin 2cos sin( )33 3 3
b c A A Ac b    取值时
π
6
4 3 sin 3 sin
3
A
b c b B Ccb c
 
   
πsin 3sin( )6B B  解 2π
3B 
π
6C  1 3 1a b c 
16 [1 ) 解析首先 0a  次方程 (e )(ln( 1) ) 0x a x b  两根应重根设根
( 1)t t  e ln( 1)ta b t   e ln( 1)tab t  设 函 数
1() e ln( 1) () e 1
t tft t ft t
   
中 ( )f t 单调递增 (0) 0f   0t  ( )f t
极（）值点 ( ) (0) 1ft f  [1 )a b  

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