苏教版六年级上册数学全册单元单元知识小结


    一 长方体和正方体   一、长方体的认识 1.认识长方体的面、棱、顶点。 (1)从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只能同时观察到长方体的三个面。 (2)长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 2.长方体的特征。 长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形,它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。 3.长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高。 4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直方向的一条棱叫作它的高。 二、正方体的认识 1.正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形,12条棱的长度都相等,有8个顶点。 2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 3.长方体和正方体的特征的异同。 ①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。 ②不同点:长方体的6个面都是长方形(也可能有2个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。 三、正方体、长方体的展开图 1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3组相对的面,相对的面完全相同,相对的面完全隔开。 3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开。 四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 1.表面积的意义:长方体(或正方体)6个面的总面积,叫作它的表面积。 2.长方体和正方体表面积的计算方法。 (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)×2。 (2)正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。 五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题 1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有6个面,如长方体的鱼缸只有5个面,通风管只有4个面。因此,在计算时要根据实际情况解题。 六、体积和容积的意义 1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器。 3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。 七、体积单位 1.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。 2.棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。 3.棱长是1米的正方体,体积是1立方米。 4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3、dm3和m3。 八、容积单位 1.容积单位的使用方法。 计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表示分别为L和mL,其中1 L=1000 mL。 2.容积单位的换算。 1 dm3=1 L 1 cm3=1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算。 3.“容积”与“体积”的区别。 (1)意义不同。 体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容积。 (2)测量方法不同。 求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。 (3)单位名称不完全相同。 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。 九、长方体体积公式的推导 1.以取12个1立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图: 每个小正方体的体积是1立方厘米,每个长方体是由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12立方厘米。 2.填写表格。 长/cm 宽/cm 高/cm 小正方体的个数 体积/cm3 长方体① 12 1 1 12 12 长方体② 6 2 1 12 12 长方体③ 4 3 1 12 12 长方体④ 3 2 2 12 12 3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。 (2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。 4.长方体体积公式的字母表达式。 如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。 长方体的体积=长×宽×高,字母公式为V=abh。 5.拓展提高。 当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3(n×n×n=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1n时,它的体积就缩小到原来的1n31n×1n×1n=1n3。 十、正方体体积公式的推导 1.长方体的体积=长 × 宽 × 高 ↓ ↓ ↓ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 2.正方体体积的字母公式。 如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a·a·a=a3。 3.拓展提高。 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1n时,它的体积就缩小到原来的1n3。 十一、运用体积公式解决实际问题 如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积。 十二、长方体和正方体体积的通用公式 1.长方体和正方体底面积的意义。 长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积。 2.长方体和正方体底面积的计算方法。 (1)长方体的底面积=长×宽。 (2)正方体的底面积=棱长×棱长。 3.长方体和正方体体积公式的推导。 长方体的体积=长×宽×高 ↓   ↓底面积高正方体的体积=棱长×棱长×棱长  ↓↓ 底面积可看作高长方体(或正 方体)的体积=底面积×高 长方体(或正方体)的体积=底面积×高。如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体(或正方体)的体积公式可以写成V=Sh。 十三、容积的计算方法 1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积。 2.体积和容积的区别与联系。 (1)不同点。 ①意义不同。 Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。 Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 ②测量方法不同。 Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。 Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。 ③单位名称不完全相同。 Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。 Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽油等)的体积时,常用升或毫升作单位。 (2)相同点。 计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=底面积×高。 易错点:误认为一个长方体中最多有4条相等的棱。这是错误的,一定要注意长方体的6个面不一定都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形。当长方体有2个相对的面是正方形时,就有8条棱长度相等。 直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。 长方体12条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。 易错点:误认为有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的,一定要注意有6个面、12条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。 正方体的棱长总和:棱长×12。 正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体。 同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。 技巧: 正方体有6个相同的面,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 长方体有3组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。 当所求的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘2较简便。 举例:大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂5平方米,则涂这8根方柱需要多少千克油漆? 错解:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=16.8(千克) 答:涂这8根方柱需要16.8千克油漆。 正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千克) 答:涂这8根方柱需要16千克油漆。 一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。 并不是只有棱长是1 cm、1 dm、1 m的正方体的体积才是1 cm3、1 dm3和1 m3。 易错点:误认为容积就是体积,这是不对的,一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积,却没有容积。 较大容器盛装液体时用“升”作单位,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 巧记: 体积单位常用到,相邻进率是1000。 高级单位化低级,要把此数乘1000。 低级单位化高级,除以1000把数算。 转换过程要细心,掌握进率是关键。 明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的23倍,即8倍;反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的123,即18。 a·a·a也可以写成“a3”,即a·a·a=a3,读作“a的立方”,表示3个a相乘。因此,正方体的体积公式一般写成V=a3。写a3时,“3”要写在a的右上角,且要略小一些。 举例:如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的8倍;反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的18。 在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积×长”来计算体积。 运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是8平方厘米,高是3分米,求体积。 错解:8×3=24(立方厘米) 正解:3分米=30厘米,8×30=240(立方厘米) 计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高。有的物体既有体积,也有容积,如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。 巧记: 容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。 容积心中装物体,体积只想占空间。 容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。 记住二者不同处,计算才能少失误。 二 分 数 乘 法  一、分数与整数相乘的意义和计算方法 1.整数乘法的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2. (1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的简便运算。 (2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。能约分的要先约分,再计算。 二、求一个数的几分之几是多少 1.求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。 2.求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是相同的,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或小数表示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的几倍,而在用分数表示时,要说成一个数是另一个数的几分之几。如一个数的1.5倍,也可以表示为一个数的32。因此,求一个数的几倍是多少与求一个数的几分之几是多少都可以用乘法计算。 三、分数乘分数的意义和计算方法 1.分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 2.分数和分数相乘,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 3.整数可以看成分母是1的分数,所以分数与整数相乘,也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的计算方法适用于分数与整数相乘。 四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及分数连乘的计算方法 1.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法:先求出中间的间接量,再求出最后要求的量。 2.分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子,分母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 五、积与因数的大小关系 积与因数的大小关系: a×b=c(a不为0),当b>1时,c>a;当b<1时,c<a;当b=1时,c=a。 六、倒数的意义 1.意义。 乘积是1的两个数互为倒数。 2.理解“互为倒数”。 “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,不能单独说某个数是倒数。 七、求倒数的方法 1.观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点,发现互为倒数的两个数,它们分子、分母的位置是互换的。 2.求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、假分数的倒数,可以直接调换这个分数的分子、分母的位置。 3773 3223 (2)求一个整数(0除外)的倒数,先把整数看作分母是1的假分数,再调换这个分数分子、分母的位置。 (3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分子、分母的位置,也可以根据倒数的意义来找。 例如:0.84554,所以0.8的倒数是54,或0.8×1.25=1,所以0.8的倒数是1.25。 (4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换分子、分母的位置。 例如:513163316,所以513的倒数是316。 3.特殊数的倒数。 (1)1的倒数是1。 因为1×1=1,所以1的倒数是1。 (2)0没有倒数。 因为0与任何数相乘都得0,没有一个数与0相乘的积是1,所以0没有倒数。 巧记: 分数乘整数,计算很简单; 分子乘整数,分母不用变; 计算想简便,约分要在先; 结果要想准,分数化最简。 在解决求一个数的几分之几是多少的实际问题时,关键是要弄清哪个量是单位“1”。 当相乘的两个分数的分子和分母能够约分时,可以先约分,再计算。 找准每步计算的单位“1”是解答连续求一个数的几分之几是多少的实际问题的关键。 易错点:比较积与第一个因数的大小只考虑按第二个因数的大小进行判断,这是不对的,一定要注意前提条件是“第一个因数”不能为0。 单独一个数不能称为倒数。因为互为倒数的两个数是相互依存的。 注意:互为倒数的两个数不能用等号连接,即把一个数和它的倒数不能表示成相等关系。例如:求37的倒数。可写成37→73或37的倒数是73,而不能写成37=73。 巧记: 学习倒数需牢记, 相互关系不可弃。 两数相乘积为“1”, 子母颠倒即完毕。 三 分 数 除 法   一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方法 1.分数除以整数的计算方法。 (1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (3)分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。 2.整数除以分数的计算方法。 整数除以分数,等于整数乘这个分数的倒数。 3.分数除以分数的计算方法。 分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。 4.推导分数除法的计算方法。 (1)利用商不变的规律进行推导。 被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。 (2)利用等式的基本性质进行推导。 5.分数除法的计算方法。 甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 6.商与被除数的大小关系。 一个数(0除外)除以小于1的数→商大于被除数1→商等于被除数大于1的数→商小于被除数 二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法 1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”的量为x,根据乘法的意义列方程解答。 2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据数量之间的相等关系来列式。 3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同: 应用题类型 结构特征 计算方法 单位 “1” 比较 量 比较量对应 的几分之几 求一个数的几分之几是多少 已知 未知 已知 乘法:单位“1”的量×几分之几=比较量 求一个数是另一个数的几分之几 已知 已知 未知 除法:比较量÷单位“1”的量=几分之几 已知一个数的几分之几是多少,求这个数 未知 已知 已知 除法:比较量÷几分之几=单位“1”的量 方程:单位“1”的量×几分之几=比较量 三、分数连除和乘除混合运算 1.乘除混合运算的计算方法。 计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。 2.连除运算的计算方法。 计算分数连除时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。 四、比的意义 1.比的意义及各部分名称。 (1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。 (2)比的读、写方法。 “比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,两种形式的比都读“几比几”。如3 比2,写作3∶2或32,读作3比2。 (3)比的各部分名称。 (4)比是有序的。 求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,后一个量是比的后项。 2.比值的意义和求法。 (1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。 (2)求比值的方法:用比的前项除以后项。 3.比和比值的联系与区别。 (1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。 (2)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比值是一个数值;②比只能写成a∶b或ab的形式,而比值可以是分数、小数或整数。 4.比与分数、除法的关系。 联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。 区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运算。 5.比与除法、分数之间的区别。 (1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除法是一种运算;分数则是一类数。 (2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。 (3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。 6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的比和原来的比互成反比。如3∶5是5∶3的反比,5∶3也是3∶5的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。 7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如甲、乙两人的速度比是3∶4,时间比是5∶6,那么他们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比比值的乘积。 8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如果甲与乙的比是a∶b,乙与丙的比是b∶c,那么甲、乙、丙三个量的比可以写作a∶b∶c,a∶b∶c就叫作甲、乙、丙三个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同的。 五、比的基本性质 1.比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这是比的基本性质。 2.化简比。 分数比比的前项和后项同时乘两分数分母的最小公倍数小数比比的前项和后项的小数点向右移动相同的位数整数比比的前项和后项同时除以它们的最大公因数最简单的 整数比 化简比的结果是一个比,不是一个数。 3.化简比与求比值的区别: 计算(化简)依据 方法 结果 化简比 比的基本性质 把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外) 是一个最简单的整数比 求比值 比的意义 用比的前项除以比的后项 是一个数,可以是分数、小数或整数 六、按比分配问题的意义及解题方法 1.在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。 2.按比分配问题的解题方法。 (1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出每份是多少;③求出各部分的数量。 (2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分的数量。 3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题方法都是相同的。 把除法转化为乘法,是由一种形式变换成另一种形式,而其本身的大小不变。 易错点:在进行计算时,把除号变为乘号后忘记变为除数的倒数。如45÷25=45×25=825,应为45÷25=45×52=2。 举例:79÷1415=79×1514÷1415×1514=56÷1=56 被除数(0除外)与商的大小关系取决于除数与1的大小关系。 技巧: (1)找出单位“1”的量。 (2)看谁和单位“1”的量相比,找出比较量和比较量对应的几分之几。 注意:有时一道题中的单位“1”不止一个,有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中有可能就不是单位“1”,解题时要认真比较,找准几分之几对应的单位“1”,才能正确解答。 巧记: 解决问题并不难,读懂题意最关键。 重点找准单位“1”,画出线段破难关。 根据等量列方程,解答完毕要检验。 注意:计算分数连除时,一定要连续地乘除数的倒数,不要只把第一个除数变成它的倒数,其他除数只变符号不变数。 (1)两个数的比可以表示两个数之间的倍数关系。如果汁有2杯,牛奶有3杯,果汁与牛奶杯数的比是2比3,可以理解为果汁有2份,牛奶有3份;也可以理解为果汁的杯数相当于牛奶的23,牛奶的杯数相当于果汁的32。 (2)两个数的比可以表示两个数相除。 举例:鱼缸里有3条红金鱼,5条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量比是(  )。 错解:3∶5 正解:5∶3 比值是一个数,它可以是分数、小数或整数。 注意:求两个不同单位的同类量的比,要先把单位统一。如小明看一本漫画书用了1小时,小东看同一本漫画书用了43分钟,小明和小东所用的时间比是(   )。 错解:1∶43 正解:60∶43 因为除数和分母都不能为0,所以比的后项也不能为0。 知识巧记: 比的意义很重要,记忆方法有诀窍。 两数相除即为比,除号变点挺奇妙。 前项后项和比值,位置顺序不能调。 分数除法比相联,相互关系要记牢。 化简比的方法:可以用求比值的方法化简比。 判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数1。 举例:化简比12∶16。 错解:12∶16=12×6∶16×6=3 正解:12∶16=12×6∶16×6=3∶1 易错点:误认为化简同类量的比时只要化为最简整数比就是正确的。一定要注意先统一单位,再化简,但化简后的比不能有单位。如化简0.8 L∶1.4 mL。 错解:4 L∶7 mL 正解:4000∶7 解答按比分配的问题时,一定要找准分配的总量和分配的份数。如一个长方形的周长是84厘米,长与宽的比是4∶3,这个长方形的长和宽各是多少厘米? 因为周长是两个长与两个宽的和,所以应该先用周长84除以2后,再按比分配。 四 解决问题的策略   用假设的策略解决实际问题 在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般的解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用“假设”的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设后数量关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中一种量,再求另一种量。 在保证满足总量的前提下,也可以假设两种量分别是多少进行推理。 五 分数四则混合运算   一、分数四则混合运算 1.分数四则混合运算的运算顺序。 (1)分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 (2)在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的顺序进行计算。 (3)在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法或除法),后算一级运算(加法或减法)。 (4)在一个算式里,如果有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。 2.分数四则混合运算的简便运算。 (1)整数的运算律或运算性质对于分数同样适用。 ①加法交换律:a+b=b+a ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) ③乘法交换律:a×b=b×a ④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) ⑤乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c (2)恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。 在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的符号,如果是加号,括号里面不变号;如果是减号,括号里面加变减、减变加。 二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题 1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部分量时,可以列形如a-a×cb或a×1-cb的算式解题(b≠0)。 2.已知一个量及另一个量比它多(或少)几分之几,求另一个量时,可以列形如a±a×cb或a×1±cb的算式解题(b≠0)。 当算式中含有多个二级运算时,二级运算可以同时运算。如  78×4+411×1116 =72+14 =154 举例:计算56-35+15。 错解: 56-35+15   =56-35+15   =130 正解: 56-35+15 =56-35-15 =1330 找准单位“1”是关键。 分析问题时,先抓住关键词语,如是、比、多、少、增加、减少、提高、降低、扩大、缩小等,再根据题意进行正确解答。 六 百 分 数   一、百分数的意义和读写方法 1.意义:一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。 2.百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上“%”来表示。 3.百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”;再读百分号前面的数(分子),是几就读几。 4.分数与百分数的区别: 分数 百分数 意义 分数是把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,它既可以表示两个数量间的倍比关系,又可以表示具体数值 表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。它只表示两个数量间的倍比关系 表现 形式 分数的表现形式有真分数、假分数和带分数,计算结果一般要化成最简分数 百分数的分母固定是100,并且用百分号表示;分子可以是整数或小数;分子可以大于分母,也可以小于或等于分母;百分数不能约分,也不能写成带分数的形式 单位 名称 如果表示具体的数量,就要带单位名称;如果表示两个数量间的倍比关系,就不带单位名称 百分数只表示两个数量间的倍比关系,后面不带单位名称 应用 范围 分数主要是在测量和计算得不到整数结果时使用 百分数主要用于日常生活中特定的百分率及调查、统计、分析和比较 二、百分数和小数的互化 1.小数改写成百分数,把小数点向右移动两位,如果位数不够,用“0”补位,同时在后面添上百分号。 2.百分数改写成小数,把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,如果位数不够,用“0”补位。 3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如一个数的75%是75不能写成一个数的0.75是75。又如“求比68多25%的数”和“求比68多0.25的数”的意义完全不同。这是因为百分数是表示两个数的倍比关系,而小数表示的是数值。如比68多25%的数表示为68×(1+25%),而比68多0.25的数表示为68+0.25。 三、百分数和分数的互化 1.分数改写成百分数,一般先把分数改写成小数(除不尽时,一般保留三位小数),再把小数改写成百分数。 2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成分母是100的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,把分子化成整数,再进行约分。 3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2和5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判断。 四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题 1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。 (1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除法计算。 (2)解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题,用除法计算,用一个数÷另一个数。 (3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位“1”。 2.求简单的百分率。 (1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数是另一个数的百分之几。 (2)常见的百分率。 出勤率=实际出勤人数应出勤人数×100% 成活率=成活棵数种植总棵数×100% 发芽率=发芽种子数试验种子总数×100% 合格率=合格产品数产品总数×100% 五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际问题 1.求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方法:(甲数-乙数)÷乙数或甲数÷乙数-1。 2.求甲数比乙数少百分之几的实际问题的解题方法:(乙数-甲数)÷乙数或1-甲数÷乙数。 3.解题关键:确定单位“1”。 六、纳税和利息问题 1.应纳税额的计算方法。 (1)求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,即应纳税额=收入额×税率。 (2)当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税的部分,那么应纳税额÷税率=应纳税所得额,收入额=应纳税所得额+不纳税金额。 2.“本金”“利息”及“利率”的含义。 (1)本金:存入银行的钱叫作本金。 (2)利息:取款时银行除还给本金外,另外付的钱叫作利息,也叫应得利息。 (3)利率:利息占本金的百分率叫作利率,按年计算的叫作年利率,按月计算的叫作月利率。 3.利息的计算方法。 利息=本金×利率×时间 4.本息的计算方法。 本息=本金+利息 七、折扣问题 1.折扣问题的解题方法。 商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称为打折出售。几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。 2. “已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法:可以列方程解答,先找出单位“1”的量,并设为x,再根据等量关系列方程。 3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成”就是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成五”就是十分之二点五,改写成百分数就是25%。 八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题 1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。 在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1”为x,先找出题中的等量关系,再列方程解决问题。 2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时,还要看清所要求的问题与单位“1”的关系。 写“%”时,两个圈要写得小些,以免与数字“0”混淆。 百分数读作“百分之几”,不读作“一百分之几”。 注意:百分数只表示两个数量间的倍比关系,不能用来表示具体的数量,后面不带单位名称。如把20100千克写成20%千克是错误的,因为具体的数量不能用百分数表示。 当小数点向右移动两位时,得到的数就扩大到原来的100倍,再添上百分号,又缩小到得到的数的1100,所以当添上百分号时,百分号前的数要扩大到原来的100倍。 不是所有的分数都能改写成分母是100的分数,只有能改写成有限小数的分数,才可以改写成分母是100的分数。 一个百分数去掉百分号后,所得到的数就扩大到原来的100倍。百分数化成分数要约分成最简分数。百分数、小数、分数之间相互转化,只是数的表示方式发生变化,数的大小不变。 举例: 判断:10克糖溶解在100克水中,糖占糖水的10%。(  ) 错解:√ 此题错在单位“1”(标准量)找错了。此题中的单位“1”应该是糖水的总质量,而不是水的质量。 正解:✕ 出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘100%,公式只是分数形式,乘100%既保持数值不变,又是百分数的形式。计算时,“100”参与计算,“%”保留。 出勤率、成活率、发芽率等生活中特定的百分率不能超过100%。 巧记: 各种率,挺简单,计算形式记心间。 除法结果是小数,最后化成百分数。 百分数实际问题的解题思路与分数实际问题的解题思路相同。求一个数比另一个数多(或少)百分之几,就是求两个数的差量占另一个数(单位“1”)的百分之几。 应缴纳营业税税额=营业额×营业税税率 注意:任何一种存款,在计算利息时,都要乘存入时间。如王叔叔把2000元存入银行,存期三年,年利率为3.75%。到期后可得利息多少元?应是2000×3.75%×3=225(元),而不是2000×3.75%=75(元)。 易错点:误认为打几折就是减少(降低)百分之几。如一件上衣原价180元,现在打七折出售,比原价降低了多少元?列式为180×70%=126(元),这样是不对的,只求出了现价,没有求出现价比原价降低了多少元,应为180-180×70%=54(元)。 商品打折后,比原价降低的金额=原价-现价。 找准等量关系是列方程解决实际问题的关键。 一 长方体和正方体   一、长方体的认识 1.认识长方体的面、棱、顶点。 (1)从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只能同时观察到长方体的三个面。 (2)长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 2.长方体的特征。 长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形,它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。 3.长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高。 4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直方向的一条棱叫作它的高。 二、正方体的认识 1.正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形,12条棱的长度都相等,有8个顶点。 2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。 3.长方体和正方体的特征的异同。 ①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。 ②不同点:长方体的6个面都是长方形(也可能有2个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。 三、正方体、长方体的展开图 1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3组相对的面,相对的面完全相同,相对的面完全隔开。 3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开。 四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法 1.表面积的意义:长方体(或正方体)6个面的总面积,叫作它的表面积。 2.长方体和正方体表面积的计算方法。 (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)×2。 (2)正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。 五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题 1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。 2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有6个面,如长方体的鱼缸只有5个面,通风管只有4个面。因此,在计算时要根据实际情况解题。 六、体积和容积的意义 1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器。 3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。 七、体积单位 1.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。 2.棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。 3.棱长是1米的正方体,体积是1立方米。 4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3、dm3和m3。 八、容积单位 1.容积单位的使用方法。 计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表示分别为L和mL,其中1 L=1000 mL。 2.容积单位的换算。 1 dm3=1 L 1 cm3=1 mL 高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算。 3.“容积”与“体积”的区别。 (1)意义不同。 体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容积。 (2)测量方法不同。 求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。 (3)单位名称不完全相同。 体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。 九、长方体体积公式的推导 1.以取12个1立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图: 每个小正方体的体积是1立方厘米,每个长方体是由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12立方厘米。 2.填写表格。 长/cm 宽/cm 高/cm 小正方体的个数 体积/cm3 长方体① 12 1 1 12 12 长方体② 6 2 1 12 12 长方体③ 4 3 1 12 12 长方体④ 3 2 2 12 12 3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。 (2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。 4.长方体体积公式的字母表达式。 如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。 长方体的体积=长×宽×高,字母公式为V=abh。 5.拓展提高。 当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3(n×n×n=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的1n时,它的体积就缩小到原来的1n31n×1n×1n=1n3。 十、正方体体积公式的推导 1.长方体的体积=长 × 宽 × 高 ↓ ↓ ↓ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 2.正方体体积的字母公式。 如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a·a·a=a3。 3.拓展提高。 当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的1n时,它的体积就缩小到原来的1n3。 十一、运用体积公式解决实际问题 如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积。 十二、长方体和正方体体积的通用公式 1.长方体和正方体底面积的意义。 长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积。 2.长方体和正方体底面积的计算方法。 (1)长方体的底面积=长×宽。 (2)正方体的底面积=棱长×棱长。 3.长方体和正方体体积公式的推导。 长方体的体积=长×宽×高 ↓   ↓底面积高正方体的体积=棱长×棱长×棱长  ↓↓ 底面积可看作高长方体(或正 方体)的体积=底面积×高 长方体(或正方体)的体积=底面积×高。如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体(或正方体)的体积公式可以写成V=Sh。 十三、容积的计算方法 1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积。 2.体积和容积的区别与联系。 (1)不同点。 ①意义不同。 Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。 Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 ②测量方法不同。 Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。 Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。 ③单位名称不完全相同。 Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。 Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽油等)的体积时,常用升或毫升作单位。 (2)相同点。 计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=底面积×高。 易错点:误认为一个长方体中最多有4条相等的棱。这是错误的,一定要注意长方体的6个面不一定都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形。当长方体有2个相对的面是正方形时,就有8条棱长度相等。 直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。 长方体12条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。 易错点:误认为有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的,一定要注意有6个面、12条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。 正方体的棱长总和:棱长×12。 正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体。 同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。 技巧: 正方体有6个相同的面,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 长方体有3组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。 当所求的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘2较简便。 举例:大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂5平方米,则涂这8根方柱需要多少千克油漆? 错解:(0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=16.8(千克) 答:涂这8根方柱需要16.8千克油漆。 正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千克) 答:涂这8根方柱需要16千克油漆。 一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。 并不是只有棱长是1 cm、1 dm、1 m的正方体的体积才是1 cm3、1 dm3和1 m3。 易错点:误认为容积就是体积,这是不对的,一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积,却没有容积。 较大容器盛装液体时用“升”作单位,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 巧记: 体积单位常用到,相邻进率是1000。 高级单位化低级,要把此数乘1000。 低级单位化高级,除以1000把数算。 转换过程要细心,掌握进率是关键。 明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的23倍,即8倍;反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的123,即18。 a·a·a也可以写成“a3”,即a·a·a=a3,读作“a的立方”,表示3个a相乘。因此,正方体的体积公式一般写成V=a3。写a3时,“3”要写在a的右上角,且要略小一些。 举例:如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的8倍;反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的12,那么它的体积就缩小到原来的18。 在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积×长”来计算体积。 运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是8平方厘米,高是3分米,求体积。 错解:8×3=24(立方厘米) 正解:3分米=30厘米,8×30=240(立方厘米) 计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高。有的物体既有体积,也有容积,如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。 巧记: 容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。 容积心中装物体,体积只想占空间。 容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。 记住二者不同处,计算才能少失误。 二 分 数 乘 法  一、分数与整数相乘的意义和计算方法 1.整数乘法的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2. (1)分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相同加数的和的简便运算。 (2)分数与整数相乘的计算方法:用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。能约分的要先约分,再计算。 二、求一个数的几分之几是多少 1.求一个数的几分之几是多少,用乘法计算。 2.求一个数的几倍与求一个数的几分之几实质上是相同的,它们都表示两个数的倍比关系。只是在用整数或小数表示这种倍比关系时,要说成一个数是另一个数的几倍,而在用分数表示时,要说成一个数是另一个数的几分之几。如一个数的1.5倍,也可以表示为一个数的32。因此,求一个数的几倍是多少与求一个数的几分之几是多少都可以用乘法计算。 三、分数乘分数的意义和计算方法 1.分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 2.分数和分数相乘,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 3.整数可以看成分母是1的分数,所以分数与整数相乘,也可以看成是分数与分数相乘,即分数与分数相乘的计算方法适用于分数与整数相乘。 四、连续求一个数的几分之几是多少的解题方法及分数连乘的计算方法 1.连续求一个数的几分之几是多少的解题方法:先求出中间的间接量,再求出最后要求的量。 2.分数连乘的计算方法:分子和分子相乘的积作分子,分母和分母相乘的积作分母。能约分的要先约分,再计算。 五、积与因数的大小关系 积与因数的大小关系: a×b=c(a不为0),当b>1时,c>a;当b<1时,c<a;当b=1时,c=a。 六、倒数的意义 1.意义。 乘积是1的两个数互为倒数。 2.理解“互为倒数”。 “互为倒数”是对两个数来说的,它们是相互依存的,不能单独说某个数是倒数。 七、求倒数的方法 1.观察互为倒数的两个数的分子、分母的特点,发现互为倒数的两个数,它们分子、分母的位置是互换的。 2.求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、假分数的倒数,可以直接调换这个分数的分子、分母的位置。 3773 3223 (2)求一个整数(0除外)的倒数,先把整数看作分母是1的假分数,再调换这个分数分子、分母的位置。 (3)求小数的倒数,先把小数化成最简分数,再调换分子、分母的位置,也可以根据倒数的意义来找。 例如:0.84554,所以0.8的倒数是54,或0.8×1.25=1,所以0.8的倒数是1.25。 (4)求带分数的倒数,先把带分数化成假分数,再调换分子、分母的位置。 例如:513163316,所以513的倒数是316。 3.特殊数的倒数。 (1)1的倒数是1。 因为1×1=1,所以1的倒数是1。 (2)0没有倒数。 因为0与任何数相乘都得0,没有一个数与0相乘的积是1,所以0没有倒数。 巧记: 分数乘整数,计算很简单; 分子乘整数,分母不用变; 计算想简便,约分要在先; 结果要想准,分数化最简。 在解决求一个数的几分之几是多少的实际问题时,关键是要弄清哪个量是单位“1”。 当相乘的两个分数的分子和分母能够约分时,可以先约分,再计算。 找准每步计算的单位“1”是解答连续求一个数的几分之几是多少的实际问题的关键。 易错点:比较积与第一个因数的大小只考虑按第二个因数的大小进行判断,这是不对的,一定要注意前提条件是“第一个因数”不能为0。 单独一个数不能称为倒数。因为互为倒数的两个数是相互依存的。 注意:互为倒数的两个数不能用等号连接,即把一个数和它的倒数不能表示成相等关系。例如:求37的倒数。可写成37→73或37的倒数是73,而不能写成37=73。 巧记: 学习倒数需牢记, 相互关系不可弃。 两数相乘积为“1”, 子母颠倒即完毕。 三 分 数 除 法   一、分数除以整数和一个数除以分数的计算方法 1.分数除以整数的计算方法。 (1)整数除法的意义:已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (2)分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。 (3)分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。 2.整数除以分数的计算方法。 整数除以分数,等于整数乘这个分数的倒数。 3.分数除以分数的计算方法。 分数除以分数,可以用被除数乘除数的倒数来计算。 4.推导分数除法的计算方法。 (1)利用商不变的规律进行推导。 被除数和除数同时乘除数的倒数,让除数变为1。 (2)利用等式的基本性质进行推导。 5.分数除法的计算方法。 甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 6.商与被除数的大小关系。 一个数(0除外)除以小于1的数→商大于被除数1→商等于被除数大于1的数→商小于被除数 二、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法 1.已知一个数的几分之几是多少,求这个数,是把这个数看作单位“1”,单位“1”的量是未知的,可以设单位“1”的量为x,根据乘法的意义列方程解答。 2.可以用算术法解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题。算术解法和方程解法都要根据数量之间的相等关系来列式。 3.比较分数乘法应用题与分数除法应用题的异同: 应用题类型 结构特征 计算方法 单位 “1” 比较 量 比较量对应 的几分之几 求一个数的几分之几是多少 已知 未知 已知 乘法:单位“1”的量×几分之几=比较量 求一个数是另一个数的几分之几 已知 已知 未知 除法:比较量÷单位“1”的量=几分之几 已知一个数的几分之几是多少,求这个数 未知 已知 已知 除法:比较量÷几分之几=单位“1”的量 方程:单位“1”的量×几分之几=比较量 三、分数连除和乘除混合运算 1.乘除混合运算的计算方法。 计算分数乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。 2.连除运算的计算方法。 计算分数连除时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。 四、比的意义 1.比的意义及各部分名称。 (1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。 (2)比的读、写方法。 “比”可以用比号“∶”来代替,也可以写成分数的形式,两种形式的比都读“几比几”。如3 比2,写作3∶2或32,读作3比2。 (3)比的各部分名称。 (4)比是有序的。 求一个量和另一个量的比,则前一个量是比的前项,后一个量是比的后项。 2.比值的意义和求法。 (1)比值的意义:比的前项除以后项所得的商。 (2)求比值的方法:用比的前项除以后项。 3.比和比值的联系与区别。 (1)比和比值的联系:都可以用分数形式表示。 (2)比和比值的区别:①比表示两个数的倍比关系,比值是一个数值;②比只能写成a∶b或ab的形式,而比值可以是分数、小数或整数。 4.比与分数、除法的关系。 联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。 区别:比是一种关系;分数是一类数;除法是一种运算。 5.比与除法、分数之间的区别。 (1)意义不同:比是表示两个量(或数)的一种关系;除法是一种运算;分数则是一类数。 (2)表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。 (3)结果表达不同:除法一般要求出商;比只有要求计算时才求出比值;分数本身就是一个数值,无需计算。 6.反比:把一个比的前项作为后项,后项作为前项,所得的比和原来的比互成反比。如3∶5是5∶3的反比,5∶3也是3∶5的反比。互成反比的两个比的比值互为倒数。 7.复比:把两个(或两个以上)比的前项相乘的积作为前项,后项相乘的积作为后项,所成的比叫作这些比的复比。如甲、乙两人的速度比是3∶4,时间比是5∶6,那么他们所行的路程比就是(3×5)∶(4×6)=5∶8,路程比就是速度比和时间比的复比。复比的比值等于组成它的各个单比比值的乘积。 8.连比:三个(或三个以上)量组成的比叫作连比。如果甲与乙的比是a∶b,乙与丙的比是b∶c,那么甲、乙、丙三个量的比可以写作a∶b∶c,a∶b∶c就叫作甲、乙、丙三个量的连比。可以把几个比组成连比,也可以把连比分成几个比。比可以看作比的前项除以后项,但是连比不能看作组成连比的几个数连除。连比与连除的含义是不同的。 五、比的基本性质 1.比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这是比的基本性质。 2.化简比。 分数比比的前项和后项同时乘两分数分母的最小公倍数小数比比的前项和后项的小数点向右移动相同的位数整数比比的前项和后项同时除以它们的最大公因数最简单的 整数比 化简比的结果是一个比,不是一个数。 3.化简比与求比值的区别: 计算(化简)依据 方法 结果 化简比 比的基本性质 把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外) 是一个最简单的整数比 求比值 比的意义 用比的前项除以比的后项 是一个数,可以是分数、小数或整数 六、按比分配问题的意义及解题方法 1.在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。 2.按比分配问题的解题方法。 (1)用整数乘、除法解决问题:①求出总份数;②求出每份是多少;③求出各部分的数量。 (2)用分数乘法解决问题:①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③最后求出各部分的数量。 3.解决按比分配问题时,无论总数分成几部分,解题方法都是相同的。 把除法转化为乘法,是由一种形式变换成另一种形式,而其本身的大小不变。 易错点:在进行计算时,把除号变为乘号后忘记变为除数的倒数。如45÷25=45×25=825,应为45÷25=45×52=2。 举例:79÷1415=79×1514÷1415×1514=56÷1=56 被除数(0除外)与商的大小关系取决于除数与1的大小关系。 技巧: (1)找出单位“1”的量。 (2)看谁和单位“1”的量相比,找出比较量和比较量对应的几分之几。 注意:有时一道题中的单位“1”不止一个,有两个或多个。一个数量在某一个条件中是单位“1”,在另一个条件中有可能就不是单位“1”,解题时要认真比较,找准几分之几对应的单位“1”,才能正确解答。 巧记: 解决问题并不难,读懂题意最关键。 重点找准单位“1”,画出线段破难关。 根据等量列方程,解答完毕要检验。 注意:计算分数连除时,一定要连续地乘除数的倒数,不要只把第一个除数变成它的倒数,其他除数只变符号不变数。 (1)两个数的比可以表示两个数之间的倍数关系。如果汁有2杯,牛奶有3杯,果汁与牛奶杯数的比是2比3,可以理解为果汁有2份,牛奶有3份;也可以理解为果汁的杯数相当于牛奶的23,牛奶的杯数相当于果汁的32。 (2)两个数的比可以表示两个数相除。 举例:鱼缸里有3条红金鱼,5条黑金鱼,黑金鱼和红金鱼的数量比是(  )。 错解:3∶5 正解:5∶3 比值是一个数,它可以是分数、小数或整数。 注意:求两个不同单位的同类量的比,要先把单位统一。如小明看一本漫画书用了1小时,小东看同一本漫画书用了43分钟,小明和小东所用的时间比是(   )。 错解:1∶43 正解:60∶43 因为除数和分母都不能为0,所以比的后项也不能为0。 知识巧记: 比的意义很重要,记忆方法有诀窍。 两数相除即为比,除号变点挺奇妙。 前项后项和比值,位置顺序不能调。 分数除法比相联,相互关系要记牢。 化简比的方法:可以用求比值的方法化简比。 判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数1。 举例:化简比12∶16。 错解:12∶16=12×6∶16×6=3 正解:12∶16=12×6∶16×6=3∶1 易错点:误认为化简同类量的比时只要化为最简整数比就是正确的。一定要注意先统一单位,再化简,但化简后的比不能有单位。如化简0.8 L∶1.4 mL。 错解:4 L∶7 mL 正解:4000∶7 解答按比分配的问题时,一定要找准分配的总量和分配的份数。如一个长方形的周长是84厘米,长与宽的比是4∶3,这个长方形的长和宽各是多少厘米? 因为周长是两个长与两个宽的和,所以应该先用周长84除以2后,再按比分配。 四 解决问题的策略   用假设的策略解决实际问题 在解决两个或两个以上的未知数量的问题时,按照一般的解题思路不易找到正确的解答方法,此时可以采用“假设”的策略来解决问题。先假设全部为一种量,并从假设后数量关系的变化情况出发,结合示意图先推算出其中一种量,再求另一种量。 在保证满足总量的前提下,也可以假设两种量分别是多少进行推理。 五 分数四则混合运算   一、分数四则混合运算 1.分数四则混合运算的运算顺序。 (1)分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 (2)在一个算式里,如果只含有同级运算,要按照从左往右的顺序进行计算。 (3)在一个算式里,如果含有两级运算,要先算二级运算(乘法或除法),后算一级运算(加法或减法)。 (4)在一个算式里,如果有括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。 2.分数四则混合运算的简便运算。 (1)整数的运算律或运算性质对于分数同样适用。 ①加法交换律:a+b=b+a ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) ③乘法交换律:a×b=b×a ④乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) ⑤乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c (2)恰当地运用运算律或运算性质可以使计算简便。 在加减混合运算中,加括号或去括号时要注意括号前面的符号,如果是加号,括号里面不变号;如果是减号,括号里面加变减、减变加。 二、用乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题 1.已知总量及一个部分量占总量的几分之几,求另一个部分量时,可以列形如a-a×cb或a×1-cb的算式解题(b≠0)。 2.已知一个量及另一个量比它多(或少)几分之几,求另一个量时,可以列形如a±a×cb或a×1±cb的算式解题(b≠0)。 当算式中含有多个二级运算时,二级运算可以同时运算。如  78×4+411×1116 =72+14 =154 举例:计算56-35+15。 错解: 56-35+15   =56-35+15   =130 正解: 56-35+15 =56-35-15 =1330 找准单位“1”是关键。 分析问题时,先抓住关键词语,如是、比、多、少、增加、减少、提高、降低、扩大、缩小等,再根据题意进行正确解答。 六 百 分 数   一、百分数的意义和读写方法 1.意义:一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。 2.百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面加上“%”来表示。 3.百分数的读法:先读百分号(分母),读成“百分之”;再读百分号前面的数(分子),是几就读几。 4.分数与百分数的区别: 分数 百分数 意义 分数是把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,它既可以表示两个数量间的倍比关系,又可以表示具体数值 表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。它只表示两个数量间的倍比关系 表现 形式 分数的表现形式有真分数、假分数和带分数,计算结果一般要化成最简分数 百分数的分母固定是100,并且用百分号表示;分子可以是整数或小数;分子可以大于分母,也可以小于或等于分母;百分数不能约分,也不能写成带分数的形式 单位 名称 如果表示具体的数量,就要带单位名称;如果表示两个数量间的倍比关系,就不带单位名称 百分数只表示两个数量间的倍比关系,后面不带单位名称 应用 范围 分数主要是在测量和计算得不到整数结果时使用 百分数主要用于日常生活中特定的百分率及调查、统计、分析和比较 二、百分数和小数的互化 1.小数改写成百分数,把小数点向右移动两位,如果位数不够,用“0”补位,同时在后面添上百分号。 2.百分数改写成小数,把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,如果位数不够,用“0”补位。 3.百分数和小数可以互化,这只是从数值上看,在具体运用时,这两者的意义不完全一样,不能互相代替。如一个数的75%是75不能写成一个数的0.75是75。又如“求比68多25%的数”和“求比68多0.25的数”的意义完全不同。这是因为百分数是表示两个数的倍比关系,而小数表示的是数值。如比68多25%的数表示为68×(1+25%),而比68多0.25的数表示为68+0.25。 三、百分数和分数的互化 1.分数改写成百分数,一般先把分数改写成小数(除不尽时,一般保留三位小数),再把小数改写成百分数。 2.把百分数改写成分数时,可以先把百分数改写成分母是100的分数,再进行化简;分子是小数时,先利用分数的基本性质把分子、分母同时扩大到原来的若干倍,把分子化成整数,再进行约分。 3.能化成有限小数的分数,分母中只含有质因数2和5,否则就不能化成有限小数。判断一个分数能不能改写成有限小数,先要看这个分数是不是最简分数,不是最简分数的,要把它化成最简分数后再运用这一规律来判断。 四、求一个数是另一个数的百分之几的实际问题 1.求一个数是另一个数的百分之几的解题方法。 (1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几,也就是“一个数是另一个数的几分之几”的特殊的表示方法,因此,求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是另一个数的几分之几的解题方法相同,都用除法计算。 (2)解“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题,用除法计算,用一个数÷另一个数。 (3)求一个数是另一个数的百分之几,必须找准单位“1”。 2.求简单的百分率。 (1)求出勤率等百分率的问题,实际上就是求一个数是另一个数的百分之几。 (2)常见的百分率。 出勤率=实际出勤人数应出勤人数×100% 成活率=成活棵数种植总棵数×100% 发芽率=发芽种子数试验种子总数×100% 合格率=合格产品数产品总数×100% 五、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的实际问题 1.求甲数比乙数多百分之几的实际问题的解题方法:(甲数-乙数)÷乙数或甲数÷乙数-1。 2.求甲数比乙数少百分之几的实际问题的解题方法:(乙数-甲数)÷乙数或1-甲数÷乙数。 3.解题关键:确定单位“1”。 六、纳税和利息问题 1.应纳税额的计算方法。 (1)求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,用乘法计算,即应纳税额=收入额×税率。 (2)当纳税的方法不同且税率也不同时,要先判断应纳税额是按哪个税率缴纳的税款。如果收入中有不纳税的部分,那么应纳税额÷税率=应纳税所得额,收入额=应纳税所得额+不纳税金额。 2.“本金”“利息”及“利率”的含义。 (1)本金:存入银行的钱叫作本金。 (2)利息:取款时银行除还给本金外,另外付的钱叫作利息,也叫应得利息。 (3)利率:利息占本金的百分率叫作利率,按年计算的叫作年利率,按月计算的叫作月利率。 3.利息的计算方法。 利息=本金×利率×时间 4.本息的计算方法。 本息=本金+利息 七、折扣问题 1.折扣问题的解题方法。 商店有时要把商品按原价的百分之几出售,通常称为打折出售。几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几十几。 2. “已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法:可以列方程解答,先找出单位“1”的量,并设为x,再根据等量关系列方程。 3.表示一个数是另一个数十分之几的数,叫作成数。通常用在工农业生产中表示生产的增长状况。“一成”就是十分之一,改写成百分数就是10%;“二成五”就是十分之二点五,改写成百分数就是25%。 八、列方程解决稍复杂的百分数实际问题 1.稍复杂的百分数实际问题的解题方法。 在实际问题中,单位“1”未知时,通常设单位“1”为x,先找出题中的等量关系,再列方程解决问题。 2.解决有关百分数的实际问题,在找准单位“1”的同时,还要看清所要求的问题与单位“1”的关系。 写“%”时,两个圈要写得小些,以免与数字“0”混淆。 百分数读作“百分之几”,不读作“一百分之几”。 注意:百分数只表示两个数量间的倍比关系,不能用来表示具体的数量,后面不带单位名称。如把20100千克写成20%千克是错误的,因为具体的数量不能用百分数表示。 当小数点向右移动两位时,得到的数就扩大到原来的100倍,再添上百分号,又缩小到得到的数的1100,所以当添上百分号时,百分号前的数要扩大到原来的100倍。 不是所有的分数都能改写成分母是100的分数,只有能改写成有限小数的分数,才可以改写成分母是100的分数。 一个百分数去掉百分号后,所得到的数就扩大到原来的100倍。百分数化成分数要约分成最简分数。百分数、小数、分数之间相互转化,只是数的表示方式发生变化,数的大小不变。 举例: 判断:10克糖溶解在100克水中,糖占糖水的10%。(  ) 错解:√ 此题错在单位“1”(标准量)找错了。此题中的单位“1”应该是糖水的总质量,而不是水的质量。 正解:✕ 出勤率是百分率的一种,公式本身应该用百分数的形式表示。如果不乘100%,公式只是分数形式,乘100%既保持数值不变,又是百分数的形式。计算时,“100”参与计算,“%”保留。 出勤率、成活率、发芽率等生活中特定的百分率不能超过100%。 巧记: 各种率,挺简单,计算形式记心间。 除法结果是小数,最后化成百分数。 百分数实际问题的解题思路与分数实际问题的解题思路相同。求一个数比另一个数多(或少)百分之几,就是求两个数的差量占另一个数(单位“1”)的百分之几。 应缴纳营业税税额=营业额×营业税税率 注意:任何一种存款,在计算利息时,都要乘存入时间。如王叔叔把2000元存入银行,存期三年,年利率为3.75%。到期后可得利息多少元?应是2000×3.75%×3=225(元),而不是2000×3.75%=75(元)。 易错点:误认为打几折就是减少(降低)百分之几。如一件上衣原价180元,现在打七折出售,比原价降低了多少元?列式为180×70%=126(元),这样是不对的,只求出了现价,没有求出现价比原价降低了多少元,应为180-180×70%=54(元)。 商品打折后,比原价降低的金额=原价-现价。 找准等量关系是列方程解决实际问题的关键。 苏教版6年级数学上册-衔接题 1.0.3的倒数是( ),2与( )互为倒数。 2.36个是( ),的10倍是( )。 3.1:0.75的比值是(  ),把它化为最简的整数比是(   )。 4.一个正方体的6个面展开如右图,那么原来正方体中与A相对的面是( ),与B相对的面是( )。 5.运一批货物,每天运,( )天能运完,如果这批货物有36吨,( )天能运完这批货物的。 6.一个正方体的棱长总和是72厘米,它的一个面是边长( )厘米的正方形,它的表面积是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。 7.学校田径队男生和女生人数的比是3:2。若男生有30人,女生有( )人;若田径队共有30人,女生有( )人。 8.一饼干盒长20厘米,宽15厘米,高30厘米,现在要在它的四周贴上商标纸,这张商标纸的面积是( )平方厘米。 9.至少要( )个小正方体才能拼成一个大正方体,如果一个小正方体的棱长是5厘米,那么大正方体的表面积是( )平方厘米,体积是( )立方厘米。 10.选择。 (1)把一根长2米的长方体木料锯成两段后,表面积增加了100平方厘米,它的体积是( )。 A.200立方厘米 B.10000立方厘米 C.2立方分米 (2)同样长的两根绳子,第一根用去它的,第二根用去米,剩下的相比较( ) A.一样长 B.第一根长 C.第二根长 D.无法判断 (3)一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体,这个长方体的表面积是( )。 A.108平方厘米 B.54平方厘米 C.90平方厘米 (4)a×=b÷ (a、b都大于0),则( )。 A.a>b B.a<b C.a=b (5)从一个长方体木块中挖掉一个小正方体(如图),则剩下部分的表面积( )。 A.比原来大 B.比原来小 C.与原来相等 (6)一种商品先把价格提高后,再按现价的卖出,最后的价格( )。 A.原价不变 B.比原价低 C.比原价高 (7)已知每盒磁带的长是10厘米,宽是6厘米,高是2厘米。包装四盒磁带,下列第( )种包装方法最省包装纸。 11.图形空间。 (1)计算下面长方体和正方体的体积。 (2)圆柱的上、下两个面叫作底面,围成圆柱的曲面叫作侧面,两个底面之间的距离叫作高。请在下图中填一填。 (3)圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。请在下图中填一填。 (4)如下图,圆柱的侧面展开图是一个( )形,长方形的长是圆柱的( ),长方形的宽是圆柱的( ),长方形的面积是( ),因此圆柱的侧面积可以表示为( )。 (5)如下图,把圆柱沿半径r切成若干块,然后拼成近似的长方体,长方体的长是圆柱的( ),长方体的宽是圆柱的( ),长方体的高是圆柱的( ),长方体的体积是( ),所以圆柱的体积可以表示为( ),用公式表示是V=( )。 12.计算天地。 (1)直接写出得数。 ÷= 0÷= 2-= ×= += 10÷= 12×= -×= ×= ÷ 6 = ÷ = × 0.15 = (2)能简算的要简算。 ×-× 34-34× (+)÷ 12×(++) (-)÷ ÷+× (3)求X得值。 X = X - X = 4÷X = 13.比和比例。 (1)化简比并求出比值。 10:5 1.5:3.5 1:1.8 9:0.4   3.6:1.8  3.75:1    2.4:4.5   2:3.6 表示两个比相等的式子叫作比例。 例如6:2=3,3:1=3,这两个比就可以组成比例6:2=3:1。上面哪些比可以组成比例,试着在下面写出来。 (2)解比例。 0.4:x=1.2:2 0.8:4=x:8 1.25:0.25=x:1.6 45:x=18:26 2.8:4.2=x:9.6 x:2=5:0.4 (3)一房间铺地面积和用砖块数如下表: 铺地面积/平方米 1 2 3 4 5 用砖块数 4 8 12 16 20 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的比值(或商)一定,那么它们的关系称为正比例关系。 表中( )和( )是相关联的量,( )随着( )的变化而变化。 表中每组中两种量相对应的两个数的比值是一定的。 (4)一个装订车间用一批纸装订练习本的情况如下表。 每本页数 15 20 25 30 40 装订的本数 400 300 240 200 150 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的积一定,那么它们的关系称为反比例关系。 表中相关联的量是( )和( ),( )随着( )的变化而变化,表中每组中两种量相对应的两个数的乘积是一定的。 (5)试着判断下面的量各成什么比例。 小华每天读书20页,读书总页数和天数成(  )比例关系。 长方形的面积一定,长和宽成(  )比例关系。  李玲的体重与她的年龄(  )比例关系。  14.统计天地。 扇形统计图就是用整个圆的面积表示总数(单位1),用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数。 (1)我们学过的统计图有( )统计图和( )统计图。如果只表示各种数量的多少,可以选用( )统计图表示;如果想要表示出数量增减变化的情况,可以选用( )统计图表示。除此之外,如果要清楚地了解各部分数量同总数之间的关系,可以用扇形统计图表示。 (2)下面是鸡蛋各部分质量统计图。从图中我们可以看出:一个鸡蛋中蛋壳的质量约占( ),蛋黄的质量约占( )。如果一个鸡蛋重80克,那么这个鸡蛋中的蛋白重( )克。 15.解决问题。 (1)一饼干盒的长是20厘米,宽是15厘米,高是28厘米,现在要在它的四周贴满商标纸,这张商标纸的面积是多少平方厘米? (2)某电子城现原有电脑50台,又购进25台,第一天卖出总数的,第二天卖出剩下的,第二天卖出电脑多少台? (3)小明帮助爸爸往鱼缸里面倒水,鱼缸长12分米,宽6分米,高5分米。爸爸要求鱼缸的水面高3.5分米。小明应该往鱼缸里倒多少立方分米的水? (4)甲、乙两个容器共有药水2000克。从甲容器里取出的药水,从乙容器里取出的药水,结果两个容器里共剩下1400克的药水。甲、乙两个容器里原来各有药水多少克? (5)溢到水槽中的水是多少立方厘米? (6)甲仓库存粮食180吨,乙仓库存粮食120吨,甲仓库运出一部分到乙仓库后,乙仓库与甲仓库的粮食比为7:3。甲仓库运了多少吨到乙仓库? (7)一个长方体木块,如果它的高减少3分米,就成为一个正方体,这时它的表面积减少60平方分米。原来这个长方体的表面积是多少平方分米? (8)56名同学去公园划船,把租来的3只大船和7只小船都坐满了,已知每只大船能比每只小船多坐2名同学,每只大船和每只小船各坐了多少人? 参考答案: 1. 2.30 3. 4:3 4.D E 5.6 3 6.6 216 216 7.20 12 8.2100 9.8 600 1000 10.(1)B (2)D (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A 11.(1)15×10×2=300(立方米) 7³=343(立方分米) (2) (3) (4)长方 底面周长 高 长×宽 底面周长×高 (5)底面周长的一半 半径 高 长×宽×高 底面周长的一半×半径×高 πr²h 12.(1) 0 1 100 9 0.05 (2)0 13 1 (3)X= X= X=15 13.(1) 10:5=2:1=2 1.5:3.5=3:7= 1:1.8=5:9= 9:0.4=45:2=22.5 3.6:1.8=2:1=2  3.75:1=15:4=3.75 2.4:4.5=8:15= 2:3.6=5:9= 10:5=3.6:1.8 1:1.8=2:3.6 (2)x= x=1.6 x=8 x=72.5 x=6.4 x=25 (3)铺地面积 用砖块数 用砖块数 铺地面积 (4)每本页数 装订的本数 装订的本数 每本页数 (5)正 反 不成 14.(1)条形 折线 条形 折线 (2)15% 32% 42.4 15.(1)(20+15)×28×2=1960(平方厘米) 答:这张商标纸的面积是1960平方厘米。 (2)(50+25)×(1-)=70(台) 70×=10(台) 答:第二天卖出电脑10台。 (3)12×6×3.5=252(立方分米) 答:小明应该往鱼缸里倒252立方分米的水。 (4)解:设甲容器里有x克药水,则乙容器就有药水(2000-x)克, (1-)x+(2000-x)×(1-)=1400 x=1200 2000-1200=800(克) 答:甲容器原有药水1200克,乙容器原有药水800克。 (5)600-20×10×2=200(立方厘米) (6)运输后甲仓库:(180+120)×(3/10)=90(吨) 甲仓库运出:180-90=90(吨) 答:甲仓库运了90吨到乙仓库。 (7)60÷4=15(平方分米) 15÷3=5(分米) 5+3=8(分米) (8×5+8×5+5×5)×2=210(平方分米) (8)解:设每只大船坐x人,则 3x+7×(x-2)=56 x=7 7-2=5(人) 答:每只大船可坐7人,每只小船可坐5人。 好的开头是成功的一半。在开学初班主任主要抓好以下六件工作。   1、做好学生报名注册工作,做到心中有数。注册登记,是班主任和学生的第一次会面,也是班主任了解学生的一个窗口,做好这项工作有利于今后班务工作的开展。   2、开好第一次班会,创造良好的第一印象。班主任开第一次班会(必要时可让学生家长参加),目的在于树立形象、指导未来、明确制度,在第一次班会上教师的态度要诚恳,期望要真诚,要求要具体。可以先进行自我介绍,然后,用真诚的态度对学生说:“我有幸任你们的班主任,我感到很高兴,我希望同学们支持我的工作,共同把我们班建设好”。寥寥数语道出一片真诚,会融洽师生感情。   3、以身作则,搞好第一次卫生大扫除。这是进一步融洽师生关系的机会。班主任在劳动中与学生接触,可以进一步了解学生。同时使学生认为班主任老师平易近人,言行一致,堪为师表,有利于树立班主任工作威信。   4、搞好班组建设,选好班组干部,发挥班组干部的积极能动作用。在班级建设中,班干部的作用非同一般。因此,班主任在选配班组干部的过程中,要注意充分发扬民主。这样既表明了班主任民主公正管理班级的态度,更为班集体形成良好的风气奠定了基础。   5、搞好第一次考勤工作,保证纪律的严明性。开学之际,工作头绪多,纷乱无章,且经过一个假期,有的学生难免表现散漫。因此,班主任要及时进行纪律检查。同时根据班上的实际情况,拟定《德育评估细则》,在教育过程中做到有规可依,使学生的教育经常化,系统化。   6、开好第一次家长会。开学之初,有经验的班主任不会忘记在忙中召开第一次家长会。这是把学校教育同家庭教育相结合的机会。因此,在第一次家长会上,班主任老师要简明扼要地向家长介绍本班各科教师的情况。然后开诚布公地向家长表明你教育学生的决心及本班奋斗的目标,积极争取家长的支持。 本作品来源于互联网,已重新整理、排版,可直接编辑、打印,亦可直接使用。如果喜欢请给予好评,同时欢迎您提出宝贵意见和建议,谢谢! 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传

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    1个月前   
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    文档贡献者

    思***1

    贡献于2022-10-26

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