概率论与数理统计习题三及答案

概率数理统计题答案
题三
1硬币抛掷三次X表示三次中出现正面次数Y表示三次中出现正面次数出现反面次数差绝值试写出XY联合分布律
解XY联合分布律表：
X
Y

0
1
2
3
1
0


0
3

0
0


2盒子里装3黑球2红球2白球中取4球X表示取黑球数Y表示取红球数求XY联合分布律
解XY联合分布律表：
X
Y

0
1
2
3
0
0
0


1
0



2
P(0黑2红2白)



0


3设二维机变量（XY）联合分布函数
F（xy）
求二维机变量（XY）长方形域概率
解图




题3图
说明：先求出密度函数求概率
4设机变量（XY）分布密度
f（xy）
求：（1） 常数A
（2） 机变量（XY）分布函数
（3） P{0≤X<10≤Y<2}
解（1）
A12
（2） 定义


(3)

5设机变量（XY）概率密度
f（xy）
（1） 确定常数k
（2） 求P{X＜1Y＜3}
（3） 求P{X<15}
（4） 求P{X+Y≤4}
解（1） 性质


（2）

(3)

(4)


题5图
6设XY两相互独立机变量X（002）服均匀分布Y密度函数
fY（y）
求：（1） XY联合分布密度（2） P{Y≤X}

题6图
解（1） X（002）服均匀分布X密度函数






(2)

7设二维机变量（XY）联合分布函数
F（xy）
求（XY）联合分布密度
解
8设二维机变量（XY）概率密度
f（xy）
求边缘概率密度
解




题8图 题9图
9设二维机变量（XY）概率密度
f（xy）
求边缘概率密度
解




题10图
10设二维机变量（XY）概率密度
f（xy）
（1） 试确定常数c
（2） 求边缘概率密度
解（1）


(2)



11设机变量（XY）概率密度
f（xy）
求条件概率密度fY｜X（y｜x）fX｜Y（x｜y）

题11图
解





12袋中五号码12345中取三记三号码中号码X号码Y
（1） 求XY联合概率分布
（2） XY否相互独立？
解（1） XY联合分布律表

Y
X

3
4
5

1




2
0



3
0
0








(2)
XY独立
13设二维机变量（XY）联合分布律
X
Y

2 5 8

04
08
015 030 035
005 012 003
（1）求关X关Y边缘分布
（2） XY否相互独立？
解（1）XY边缘分布表
X
Y

2
5
8
P{Yyi}
04
015
030
035
08
08
005
012
003
02

02
042
038

(2)
XY独立
14设XY两相互独立机变量X（01）服均匀分布Y概率密度
fY（y）
（1）求XY联合概率密度
（2） 设含a二次方程a2+2Xa+Y0试求a实根概率
解（1）


题14图
(2) 方程实根条件

X2≥Y
方程实根概率：


15设XY分表示两电子器件寿命（时计）设XY相互独立服分布概率密度
f（x）
求ZXY概率密度
解图Z分布函数
(1) z≤0时
（2） 0


题15图
(3) z≥1时（时y103时x103z）（图b）




16设某种型号电子寿命（时计）似服N（160202）分布机选取4 求中没寿命180概率
解设四寿命Xi(i1234)Xi~N（160202）





17设XY相互独立机变量分布律分
P{Xk}p（k）k012…
P{Yr}q（r）r012…
证明机变量ZX+Y分布律
P{Zi}i012…
证明XY值非负整数






18设XY相互独立机变量服参数np二项分布证明ZX+Y服参数2np二项分布
证明方法：X+Y取值012…2n


方法二：设μ1μ2…μnμ1′μ2′…μn′均服两点分布（参数p）
Xμ1+μ2+…+μnYμ1′+μ2′+…+μn′
X+Yμ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′
X+Y服参数（2np)二项分布
19设机变量（XY）分布律
X
Y

0 1 2 3 4 5

0
1
2
3
0 001 003 005 007 009
001 002 004 005 006 008
001 003 005 005 005 006
001 002 004 006 006 005
(1) 求P{X2｜Y2}P{Y3｜X0}
（2） 求Vmax（XY）分布律
（3） 求Umin（XY）分布律
（4） 求WX+Y分布律
解（1）



（2）

V分布律
Vmax(XY)
0
1
2
3
4
5
P
0
004
016
028
024
028

(3)


Umin(XY)
0
1
2
3
P
028
030
025
017
(4)类似述程
WX+Y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P
0
002
006
013
019
024
019
012
005
20雷达圆形屏幕半径R设目标出现点（XY）屏幕服均匀分布
（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}
（2） 设Mmax{XY}求P{M＞0}

题20图
解（XY）联合概率密度

（1）



(2)

21设面区域D曲线y1x直线y0x1xe2围成二维机变量（XY）区域D服均匀分布求（XY）关X边缘概率密度x2处值少？

题21图
解区域D面积 （XY）联合密度函数

（XY）关X边缘密度函数


22设机变量XY相互独立表列出二维机变量（XY）联合分布律关XY边缘分布律中部分数值试余数值填入表中空白处
X
Y

y1 y2 y3
P{Xxi}pi

x1
x2
18
18

P{Yyj}pj
16
1

解


XY独立

：



理

理







Y
X



















1

23设某班车起点站客数X服参数λ(λ>0)泊松分布位客中途车概率p（0解(1)
(2)

24设机变量XY独立中X概率分布X~Y概率密度f(y)求机变量UX+Y概率密度g(u)
解设F（y）Y分布函数全概率公式知UX+Y分布函数


XY独立见


U概率密度


25 25 设机变量XY相互独立均服区间[03]均匀分布求P{max{XY}≤1}
解：变量服[03]均匀分布

XY相互独立

推
26 设二维机变量（XY）概率分布

X
Y

1 0 1

1
0
1
a 0 02
01 b 02
0 01 c
中abc常数X数学期E(X) 02P{Y≤0|X≤0}05记ZX+Y求：
（1） abc值
（2） Z概率分布
（3） P{XZ}
解 (1) 概率分布性质知
a+b+c+061 a+b+c 04




解关abc三方程

(2) Z取值21012





Z概率分布
Z
2 1 0 1 2
P
02 01 03 03 01
(3)

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