拓扑部分习题参考答案复旦大学


    复旦 09 数院
    拓扑部分题参考答案
    补充版
    BY 20111228 1 26
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    该写前面 P2
    第章 P3 514151719
    P5 2023243132343536
    P10 383944464954(题题目
    误)6062636768
    P15 7384919394101105115
    第二章 P18 1720
    P20 2325264851526061(题题目误)
    62646566
    P25 6768255 定理 2 26

    该写前面


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    zym 20111228 3 26

    P75 5
    (1) 离散空间:∀푥 邻域系*U ⊆ Χ|푥 ∈ U+
    空间:*Χ+
    (2)∀푥 ∈ Χ ∀N ∈ 풩(푥)∃开集 U 푥 ∈ U ⊆ N
    U 开 ⇒ Χ\U 限集 ⇒ Χ\N 限集 ⇒ N 开集

    14
    (2) 证 : A 开集 \XA闭集 \\XAXA
    \\\BdAAXAAAXAAXAA     
    : \\BdAA XAAA XAA    \\XAXA
    \\XAXA 闭集 开集
    (1) 证(2)    \\\Bd X A X A X A   开集
    式左边  \Bd X A A BdA A    右边 A 闭集
    BdA A A闭集
    (3) 证 BdA BdA A    BdA A (1)( 2)
    BdA A   开闭集
    (4) 证 : A IntA A 开集 IntA 闭包
    :设 AU U 开集U IntA A
    闭包 AA A U IntA A A    A IntA

    15
    (1) X 轴 X 轴 ϕ
    (2){x≥0 y∈ R} A {x0y∈R}∪{y0x>0}
    (3)R2 ϕ {x∉ Qy∈ R}
    (4) {x2 + y2 ≤ 1} {0(5) {x0−1 ≤ y ≤ 1}∪ D ϕ {x0−1 ≤ y ≤ 1}∪ D
    4 26

    P76 17
    풯 ⊂ 풯′ ∀ 푥 ∈ Χ 满足푥 ∈ B ∈ 픅
    ∵ 풯 ⊂ 풯′ 퐵 ∈ 풯
    ∴ ∃Aλ ∈ 풯′ 퐵 ∪ Aλ 取Aλ0 푥 ∈ Aλ0Aλ0求B′
    反 ∀B ∈ 풯 ∀ 푥 ∈ 퐵 ∃ 퐵푥
    ′ ∈ 퐵′ 푥 ∈ 퐵푥
    ′ ∈ 픅
    ∴∪푥∈B 퐵푥
    ′ 퐵 B ∈ 풯′ 知풯 ⊂ 풯′

    119
    (1) 证应定理 120
    1B:  abR   1 1 2 2a b a b 开区间 1B
    1B 基
    2B:  abR   1 1 2 2a b a b 左闭右开区间 2B
    2B 基
    3B:
    1B
    B

    R
    B
    13BB
    3B
    B

    R
    B

       1 1 2 2 1 3a b a b BB
             1 1 2 2 1 1 2 2 3\\a b K a b a b a b KB
              1 1 2 2 1 1 2 2 3\\\abK abK ab ab KB
    3B 基
    4B:  a R      4 max{ }a b a b     B
    4B 基
    5B:
    5B
    B

    R
    B
         1 2 1 2\\\BBBBRRR 限 1 2 5BBB
    5B 基
    6B: 理端点左闭右开区间
    6B 5 26

    6B 基
    (2) 解记풯1~풯6픅1~픅6生成拓扑
    1T 列互相交开区间组成集合
    2T 列互相交左闭右开区间 间
    集组成集合 21TT
    31TT
    44{}RTB
    55{}TB
    6T 列互相交左端点 Q 左闭右开区间列
    互相交左端点 \RQ开区间间集组成集


    20
    (1)풯푍 *푧 ∩ 푈|푈 ∈ 풯푌+ *푧 ∩ (푌 ∩ 푈)|푈 ∈ 풯푋+ *푧 ∩ 푈|푈 ∈ 풯푋+
    (Z풯푍)(X풯푋)子空间
    (2) (A 풯푑퐴)基ℬ퐴 *퐵(푥 1
    푛)|푥 ∈ 퐴 푛 ∈ 핫++易知ℬ퐴(X 풯푑) A 子空
    间拓扑组基

    P77 23
    (B̅)퐴表示包含 B A 中闭集交
    显然 B̅ ∩ 퐴 A中闭集
    ∴ (B̅)퐴 ⊆ B̅ ∩ 퐴
    A 中闭集均表示Χ 中闭集 F⋂A
    (B̅)퐴 ∩ (퐹 ∩ 퐴) (∩ F) ∩ A
    F ⊇ B⇒ ∩ F ⊇ B ⇒∩ F ⊇ B̅ ⇒ (B̅)퐴 ⊇ B̅ ∩ A
    ∴ (B̅)퐴 B̅ ∩ 퐴

    Int퐴퐵属 B A 中开集 6 26

    B ⊂ A Int퐵 A 中开集
    ∴ Int퐵 ⊆ Int퐴퐵
    ∴ Int퐵 ⊆ Int퐴퐵 ∩ IntA
    A 中开集均表示Χ 中开集 O⋂A
    Int퐴B ∪ (O⋂A) (∪ O) ∩ A
    Int퐴B ∩ IntA (∪ O) ∩ IntA 开集属 B
    ∴ Int퐴B ∩ IntA ⊆ IntB
    ∴ Int퐵 Int퐴퐵 ∩ IntA
    注:做题目时结须证明直接

    24
    解L 行 x 轴:  L{}abB  '{}L abB
    LT'LT 均题(119)中 2T 致
    L 行 y 轴:  L{}cdB  L'{}cdB
    题(119)中 1T 致 致
    L 行坐标轴斜率正时
    LBL'B 左闭右开区间组成集合 题(119)中 致
    L 行坐标轴斜率负时
    左闭右开区间组成集合 单点组成集合 题(119)
    中 致 R 离散拓扑 DT 致


    P78 31
    设 f휆 푋휆 ↦ 푌
    f휆连续 ∀Y 中闭集 F f휆
    −1(F)푋휆中闭集
    푋휆闭集f휆
    −1(F) X 中闭集
    f −1(F) ∪휆∈Λ f휆
    −1(F)
    须证f −1(F)闭集
    否∃*x푛+ ∈ f −1(F)收敛x0 ∉ f −1(F) 7 26

    ∵ 限f휆
    −1(F)闭集
    ∴ *x푛+ ∈ 限f휆
    −1(F)
    x0领域仅限f휆
    −1(F) 相交
    矛盾
    ∴ f −1(F)闭集结成立


    132
    (1) 证构造胚 h: nnDD
    点 ntD x 起点作射线 xt 交 1nS  点 p
    作映射 h:    txh t p y ypx
      
    xp 连线点 p 映 yp 连线
    相应位置显然h 连续映射  h x y  h p p p
    意性 11|1nnSSh 
    xy 称性 h 双射 1h 连续映射
    h 胚
    (2) 证易证 h 单射
    푕−1(푟푒푖휃) *0 푟 0
    푟푒푖(휃−2휋푟
    1−푟 ) 푟 ≠ 0
    22DD 映射h 满射
    h 双射
    001r时    
    0
    0
    0 0
    0000
    22
    11
    00lim limiiii
    rr ii r ii r
    re r e re r e
    h re re r e h r e
      
         
    
      
    0 0r  时    
    2
    1
    00
    lim lim 0 0
    rii r
    rr
    h re re h
    
    
    
      
    h 2D 连续
    푕−1(푟푒푖휃) *0 푟 0
    푟푒푖(휃−2휋푟
    1−푟 ) 푟 ≠ 0
    证 1h 连续
    h 胚
    12SD 点  10x  8 26

    作 1{ } 1 0nnxx n
    
    2{ } 1 021mmxx m
    
    趋 x
      2lim lim 1in
    nnn
    h x e 
     
        21lim lim 1im
    mmm
    h x e 
     
      

       10
    lim
    x
    hx


    h 扩张成 2D 胚
    (3) 证作푕̃ *
    0 푥 0
    ||푥|| ∙ 푕 ( 푥
    ||푥||) 푥 ≠ 0 nxD 显然 h h 扩张
    易证 双射
       00
    lim lim 0 0
    xx
    xh x x h hx
       
    c
        
    0 0 0
    0
    0 0 0
    0
    lim lim lim 0
    x x x x x x
    xxh x x h x h h x xxx  
                     
    cc
    nD 连续
    푕̃ *
    0 푥 0
    ||푥|| ∙ 푕 ( 푥
    ||푥||) 푥 ≠ 0证 1h 连续
    h 扩张 nnDD 胚

    P79 34
    方法 9 26


    方法二(源杜衡)

    注:题折纸条模拟帮助理解

    P79 35
    (1) 开闭映射
    (2) 闭映射开 (ℝ2成面坐标푓(푂(01))开)
    (3) 开闭映射(胚)

    136
    (1) 解   01f R   xf x e 10 26

       1 11 1fe   非开集  01R 非闭集
    (2) 解   0f  R   xf x e
    非闭集
    (3) 解   0f  R  f x x
        11 01f  非开集
    (4) 解   1 01fS   2 ixf x e 
    1f  连续 f 胚

    38
    (1)∵ πα∈ΛAα ⊂ πα∈ΛAα̅̅̅̅ πα∈ΛAα̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊂ πα∈ΛAα̅̅̅̅∀p ∈ πα∈ΛAα̅̅̅̅投影性质易证
    πα∈ΛAα̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊃ πα∈ΛAα̅̅̅̅
    (3)(2)知 Int(A1 × A2) ⊂ Int(A1) × Int(A1) ∀α ∈ Int(A1) × Int(A1) ∃开 βi ⊂
    IntAi i 12stα ∈ β1 × β2 ⊂ Int(A1 × A2)Int(A1 × A2) Int(A1) ×
    Int(A1)
    (5) πα∈ΛAα显然πα∈ΛXα子空间∀p ∈ πα∈ΛXα子空间令AαP|Xα
    pπα∈ΛAα{Aα}积空间

    P79 39
    (X × Y 限积积拓扑盒拓扑想通)设 V ∪ (A × B)
    中AB 分 XY 中开集
    ∴ V푥 ∪ A V푦 ∪ B 均开集
    反定成立反例构造
    X Y ℝ1 令 V *(푥 푦)|푥 푦 ∈ (−11)+\*(푥 푦)|푥 푦 1
    푛 n ∈ ℕ+
    V푥 V푦 (−11)开集
    V 开集
    (实际 X × Y\V 闭集 (1
    푛 1
    푛) → (00)(00) ∉ X × Y\V)

    11 26

    144
    解记  x X f x Y属等价类分푥 ∈ 푋~푋푓(푥) ∈ 푌~푌
    作푓 푋~푋 → 푌~푌     f x f x 
    푥1~푋푥2 ⇒ 푓(푥1)~푌푓(푥2) f 良定义
    记π 푋 → 푋~푋 π′ 푌 → 푌~푌然射影 ' 连续满射
    'ff 图表交换
    푌~푌中意开集VV 写作  'V f U U X 中开集
            1 1 1'f V f f U f f U U       푋~푋中开集 f 连续映


    46
    (1)∀X中闭集 VVV1 × V2Vi R 中闭集g(V) V1 × *0+R2中闭集 g 闭
    映射∵ g(*0+ × (−11)) *0+开映射
    (2)(x0y1)~f(x0y2) 商映射f(*0 ≤ x ≤ 13 < y < 4+) 01)非开映射
    f({(1
    n n)+1
    ∞ {1
    n+1
    ∞ 非闭映射

    P81 49
    (1) 定풯 *∅X+풯′离散拓扑 ∀网*푥휆+(X 풯)
    中收敛收敛意푥 ∈ 푋(X 풯′)中收敛
    (2) 关系풯′ ⊆ 풯
    反证풯′ ⊆ 풯成立设푂′ ∈ 풯′ ∉ 풯∃푥 ∈ 푂′∀푂푥 ∈ 풯
    푂푥 ∉ 풯′(否푂′ ∪푥∈푂′ 푂푥 ∈ 풯)
    取푂푥\푂′中点组成网*푥휆+(X 풯)中*푥휆+ → 푥
    (X 풯′)中*푥휆+ ↛ 푥
    面证明*푥휆+(X 풯′)收敛反收敛푥′ ∉ 푂′푥′푥
    *푥휆+意性푥′푥(X 풯′)中分离矛盾 12 26

    P82 54
    (1) 题目误反例
    f(ℝ 풯1) → (ℝ 풯2) 中 풯1*∅ℝ+ 풯2 *푥|푥 ∈ ℝ+
    映射开满(ℝ 풯1)满足C2(ℝ 풯2)没数基
    f(ℝ 풯1) → (ℝ 풯퐹) 中 풯퐹 {ℝ\퐹|퐹 ℝ 中数集}
    映射开满(ℝ 풯1)满足C1(ℝ 풯퐹)没数局部基
    (2) 设空间*핏푛+핏푛满足C1公理
    ∀푥푛 ∈ 핏푛 ∃局部基픅(푥푛)数设픅(푥푛) *B푘
    푛+
    ∀푥 ∈ Π핏푛 设푥 (푥1 푥2 푥3 ……)
    考虑集合A *∪푚1
    ∞ ∪푘1
    ∞ Π푛1
    푚 B푘
    푛+数集
    ∵ Π핏푛积拓扑限性知
    ∀O Π핏푛中开集∃B ∈ AB ⊆ O
    A 푥局部数基 ∴ Π핏푛满足C2公理

    핏푛满足C2公理
    设基픅푛数设픅푛 *B푘
    푛+
    集合A *∪푚1
    ∞ ∪푘1
    ∞ Π푛1
    푚 B푘
    푛+Π핏푛数基
    ∴ Π핏푛满足C1公理

    (3) 设空间*핏푛+핏푛分设A푛 ⊆ 핏푛핏푛中稠密
    设p푛 Π핏푛 → 핏푛 投影映射
    设A *푥 ∈ Π핏푛|p푛(푥) ∈ A푛 n 12 … m m ∈ ℤ++
    A数集合
    ∀Π핏푛中开集O积拓扑限性
    ∃m n > m p푛(푂) 핏푛 ∴ ∃ 푥 ∈ A 푥 ∈ 푂
    ∴ Π핏푛分

    13 26

    60
    (1)满足푇2满足퐶1퐶2
    ∀x y ∈ X x ≠ p y ≠ p 取 퐵1 *푥+ 퐵2 *푦+ 否 妨 设
    xp퐵1 푋\*푥 푦+ 퐵2 *푦+
    p∃풰 *X\*x+|x ∈ X x ≠ p+풰中元素皆 p 开邻域互包含
    数满足퐶1进满足퐶2
    (2)满足퐶1퐶2푇2
    ℬ0 *−1 b|b > 0 b ∈ ℚ+ ∪ *a 1|a < 0 a ∈ ℚ+数基
    满足푇2: xy 0 分界讨

    P83 62
    ∀F Χ中闭集 x ∈ Χx ∉ F
    考虑开集(−∞ x) ∪ (x +∞)知*x+闭集 满足T1 公理
    考虑样开集x ∈ (a b)a < x < b
    意(a b)(a b) ∩ F ≠ ∅
    ⇒ x ∈ F 矛盾
    ∴ ∃(x ∈)(a b) ∩ F ∅
    a ∉ F b ∉ F x ∈ (a b)F ⊂ (−∞ a) ∪ (b +∞)
    b ∉ F∀c < x 均 c ∈ F知(a x) ∅
    ∴ (−∞ a) ∪ *a+(x +∞) ∪ *x+均开闭集合
    x ∈ (a b)F ⊂ (−∞ a) ∪ (b +∞) ∪ *a+(开集)
    情况类似讨知
    满足T3公理

    163
    证设 ABY 中意相交闭集 f 连续    11f A f B X 中闭
    集易知 相交
    正规空间存相交开集 UV满足:  1f A U   1f B V 
    中闭集    11\\f A f B X U X V 成立    1 \f A X U  14 26

       1 \f B X V    \\XUXVX
    f 闭映射    \\f X U f X V Y 中闭集设  \\'f X U Y U
     \\'f X V Y V ' 'UV 中开集
    满射          \\\'\'YfX fXU fXV YU YV  
    ''UV
     1fA X 中 满 足 A 中 点 全 体
       1 \f A X U     \\'A f X U A Y U   'AU 理
    'BV
    综 正规空间

    67
    设 f ∶ A → 푆푛 连 续 映 射 记 i:푆푛 → 퐸푛+1 包含映射r 퐸푛+1\*푂+ →
    푆푛r(x) 푥
    ||푥||i ∘ fA → 퐸푛+1扩张成gX → 퐸푛+1记 U푔−1(퐸푛+1\*푂+) U A
    开邻域r ∘ (g|U)U → 푆푛 f 扩张


    P82 68
    (1) 证紧集须证明意开覆盖中存限子覆盖
    ∀A ⊆ ℝ 设U휆开集A ∪ U휆
    取U1 ∈ *U휆+ U1 ℝ\*푥1 푥2 … 푥푛+
    妨设*푥1 푥2 … 푥푚+ ⊂ 퐴m ≤ n
    ∵ A ∪ U휆 ∴ ∃U푘 ∈ *U휆+ 푥푘 ∈ U푘
    ∴∪푖1
    푚 U푖 ⊃ A A紧集结成立
    (2) 数补拓扑半开半闭拓扑紧
    U푛 ℝ\*1
    푛 1
    푛+1 1
    푛+2 … + 01 ∪푛1
    ∞ U푛
    01限U푛覆盖
    01 (∪푛0
    ∞ 02푛−1
    2푛 2푛+1−1
    2푛+1 ) ∪ 12) 15 26

    01述限集合限覆盖

    173
    (1) 证记映射 fg X G fG 定义易 g 双射
    意开集UX     fg U U Y G UY XY 中开集
     gU 中开集 1g  连续
    连续存 AX 开集   fg A G 中开集
    存开集UX 开集VY  f U V 满足   fU V G g A
       11f V U g X V U A U   
    f 连续  1f V U X 中开集 AU开集矛盾 g
    连续
    fg X G胚
    (2) 证  \fx y X Y G    y f x
    Y 2T 空间存开集 y f y f y fU U y U f U U U   
    \yfUYU \ fYU闭集 \yfUYU   yf x U
    作  1\xyU X f U xU 开集 xxU (  1
    yx f U )
    yxUU作法知 \x y fUUXYG   xyUU  xy邻域
    \ fXYG 开集 fG 闭集
    (3) 证 f 连续存闭集 BY  1f B X  闭集
    0xX  1
    0x f B  UxN  1U f B ()
     0f x B yB  0\fx y X Y G \ fXYG 开集
    存开集  0\x y x y fU XU YxyUU XYG     
    B 紧空间Y 闭集 B 紧集{}y y BU  开覆盖存 16 26

    数子覆盖 1{}i
    n
    yiU 
    令 0
    1
    i
    n
    x
    i
    UU

        00
    11
    i i i
    nn
    y x y
    ii
    UBUUUU
    
        
     iix y fUUG    0 fUBG    0f U B 
     1
    0U f B 
     00UxN() 矛盾 f 连续

    P85 84
    (1)否例:Χ *푎1 푎2 푏1 푏2 … +拓扑基ℬ푋 **휆1 휆2+|휆 푎 푏 푐 … +
    Y *푎 푏 푐 … +离散拓扑意限子集没聚点
    푓 Χ → 푌 푓(휆푖) 휆连续满射
    Χ 聚点紧意限子集 E设푎1 ∈ E푎2聚点
    Χ Hausdorff 空间 Χ 数紧푓连续 Y 数紧空间
    ∴ Y 聚点紧
    (2)∀A 中限子集*푥λ+ Χ 中聚点푥0
    ∃*푥λ+中网收敛푥0푥0 ∈ A̅ 퐴 ∴ A 聚点紧子集
    (3)X Z 开集X 仅开集 Xϕ
    (4)

    P85 91
    (1)01成ℝ1子集诱导拓扑
    (2)ℤ+ ∪ *∞+子基 φ *A ∪ (ℤ+ ∪ *∞+\C)|A ⊆ ℤ+C ℤ+中限集+ 注:参见 p58
    182 定理
    (3)(01) ∪ … ∪ (910) ∪ *∞∗+ ∞∗ *0123910+ 注:点成点
    (4)Q ∪ *∞∗+ ∞∗ *理数 ∞+ 拓扑ℝ1拓扑理数穷远
    点成点
    Q 单点紧化空间 Hausdorff 空间 17 26

    证明:
    *0+*∞∗+分开(实意理数∞∗均分开)
    Q 中紧闭集限理数集意包含*∞∗+开集 O (ℝ1
    \C) C 限理数集
    意包含*0+开集含穷理数
    ∴ 必O 相交
    ∴Q 单点紧化空间 Hausdorff 空间

    193
    证 1XT 连通存非空开集 UVXUV UV
    1 TT 必 XT 中开集 连通矛盾
     必连通空间
    94
    (1) BdA≠ ϕ T14(3)知A 开闭集 X 连通空间矛盾
    (2) A ∩ C ϕ(X\A) ∩ C ϕ A ∩ C C 真 子 集 (BdA)푐 ≠ ϕ
    (BdA)푐 ⊆ ( BdA ∩ C) BdA ∩ C ≠ ϕ

    P86 101
    (1) 意开集푂设퐶0某连通分支
    ∀푥 ∈ 퐶0 ∃开集푈 푥휖푈 ⊂ 푂 (푈连通)푈 ⊂ 퐶0 ∴ 퐶0开集
    푂相交开连通分支
    ℝ푛中列相交开集定列(唯应ℝ푛 中
    理量理量列)
    结证
    (2) 记푂非空连通开集∀푥 ∈ 푂
    设푥道路连通点集开集푂′须证明푂′ 푂
    反证记퐶 푂\푂′ 푂连通퐶开集∃y ∈ 퐶̅ ∩ 푂′̅̅̅y ∈ 푂′y ∉ 푂
    푂开集∃开集푈y ∈ 푈y ∈ 퐶̅ ⇒ 푈 ∩ 푂非空 18 26

    y 푂中点道路连通 ⇒ y ∈ 푂矛盾

    P86 105(感谢王学彬帮助)
    P26 例知线段身部连续映射动点考虑[01]线段值域
    [01]→ 01结成立
    [01]→ 핏\01 [01]→ (1
    n × I)(1
    n I) → (1
    n I)结成立
    [01]→ 01 ∪ (1
    n × I) 点 f1
    n × 0 ∈ 1
    n × I 设 1
    n × 0 → 1
    n × m
    考虑f 1
    n × I ∉ 1
    n × I 时知∃l < 1 f 1
    n × 0 l 1
    n × 0 m动点点
    f 1
    n × 0 ∈ (I × 0)时设 f 1
    n × 0 (m × 0)m > 1
    n

    讨 f(0) m 右侧者左侧知动点f(0) > 1
    n
    时f −1(1
    n m)动
    点f(0)左侧时f −1(m 1)动点m < 1
    n
    时理
    综述结成立

    115
    (1)G 拓扑群 T112(1)θ(a b) 푎−1푏连续U ⊆ G∃e × e 邻域 X ×
    Y s t ∀(a b) ∈ X × Y θ(a b) ∈ U令V X ∩ YV ∙ 푉−1 ⊆ 푈
    (2)e ∈ G\A e 邻域∃V ∈ 풩(e)V ⋅ 푉−1 ⊆ G\A ∴ V ∩ (AV) ϕ
    (3)∃U 开 AU 开s t e ∈ U ⊆ V ∴ U ∩ (AU) ϕ e 闭集分
    ∀xM 闭 eM푥−1应述结

    P148 17
    作r 푀푓 → 푌 (푥 푗) → 푓(푥)
    푦 ∈ 푌 → 푦 (r(푥 1) 푓(푥) 푦 푓(푦)良定义)
    r|푌 1푌须证푖 ∘ r ≃ 1| 푀푓
    先证r连续:
    ∀开集 O ⊂ Y r−1(O) *(푓−1(x)I)|푥 ∈ 푂+ ∪ O
    푓连续知*(푓−1(x)I)|푥 ∈ 푂+开集∴ r−1(O)开集r连续
    面构造 19 26

    퐻 푀푓 × I → 푌 퐻(푡 푠) *(푥 푗(1 − 푠) + 푠) 푡 (푥 푗) ∈ 푋 × 퐼
    1|푌 푡 푦 ∈ 푌
    容易验证퐻良定义连续퐻(푡 0) 1| 푀푓퐻(푡 1) r(t)
    ∴ 푖 ∘ r ≃ 1| 푀푓 푌푀푓形变收缩核

    220
    证     
     
     
     
     
    14 0 4
    114 1 42
    134 2 24
    34 3 14
    ss
    ss
    s
    ss
    ss


       


      
               
      

       
     
     
     
     
    12 0 2
    158 4 28
    538 5 84
    34 3 14
    ss
    ss
    s
    ss
    ss


       


      
               
      

    作    0H I I I I X x     
    2 02 4
    4
    2
    254 1 48
    8
    5
    538 1 84
    8
    3
    34 11 4
    4
    stst
    ts ttst
    H s t
    ts tst
    s
    s




     
         
    
                 
         
    20 26

         0H s s             1H s s           00 1H t H t x
    H 连接                  定端伦
    ∴ α ∗ ((β ∗ γ) ∗ δ)~(α ∗ β) ∗ (γ ∗ δ)

    23
    易证σi ∗ σi+1~σ((1 − s)ti−1 + sti+1)
    ∴ σ1 ∘ …… ∘ σn [σ((1 − s)t0 + stn)] σ

    P148 25
    作 fΧ → Χ 恒等映射
    作 gΧ0 → Χ 恒等嵌入映射
    ∀σ ∈ π1(Χ 푥0) 显然∀t σ(t)푥0道路连通
    ∴ σ(t) ∈ Χ0
    ∴ f∗ π1(Χ 푥0) → π1(Χ0 푥0)
    ∴ f∗ ∘ 푔∗ 1Χ g∗ ∘ 푓∗ 1Χ0
    ∴ π1(Χ 푥0)π1(Χ0 푥0)构

    226
    证设道路连通空间 X取 0xX 217 定理    1 1 0x x x
    充分性:  0Xx  
    0xC 公起点 0x 公终点 σ~C푥0
        1 1 01x x x 单连通空间
    必 性 : 设 12 中两条公起点公终点道路
       1 2 000x
    单连通空间    012 xC  
        022 xC 
                 001 1 1 2 2 2 2xxCC                σ1~σ2
    21 26

    P151 48
    ∀푥0 ∈ 푅+ 取 a max(푥0 − 1
    3 1
    3 푥0) b푥0 + 1
    3
    (b 푎 < 1)
    퓅+|(푎푏) → 푆1单射
    作퓆{e2휋푖푡|푎 < 푡 < 푏} → (푎 푏) 퓆(푦) 퐼푛푦
    2휋푖
    取值(푎 푏)中取值唯
    퓅+ 퓆连续 퓅+ ∘ 퓆 1 퓆 ∘ 퓅+ 1
    局部胚
    (证퓅+覆盖映射)取 1∈ S1 ∀U ∋ 1 妨设Uϵ {e2휋푖푡|−ϵ < 푡 < +ϵ}
    (∀U ∃ϵUϵ ⊆ U퓅+
    −1(Uϵ)胚퓅+
    −1(U)然胚)
    퓅+
    −1(Uϵ) (0 ϵ) ∪ (∪푛1
    ∞ (n − ϵ n + ϵ))
    取V (0 ϵ)
    퓅+(푉) ≠ Uϵ 胚
    ∴ 퓅+覆盖映射

    51
    (1)∀V 开 ⊆ 퐵1 × 퐵2푉 푉1 × 푉2푉1 ⊆ 퐵1 푉2 ⊆ 퐵2 푝−1
    푖(푉푖)连通分支 → 푉푖局部
    胚∴ 覆盖射影
    (2)∀ 푥0 ∈ 퐵1 ∃푥0开邻域 U 푝1
    −1(푈) ∪ 푉1 ∈ 퐸1
    时푝2
    −1(푈) ∪ 푉2 ∈ 퐸2
    须证:
    푝 *(푥1 푥2)|푝1(푥1) 푝2(푥2) 푥1 ∈ 푉1 푥2 ∈ 푉2+道路连通分支(记V′) → U 胚
    ∵ (퐸1 푝1)(퐸2 푝2)覆盖映射푝1푝2胚∀开集 O ∈ V′O|퐸1O|퐸2开集
    ∴ 푝(O)开集푝开映射
    ∀퐵1中开集 O ∈ V′푝1
    −1(푂)푝2
    −1(푂)开集 ∴ 푝−1开映射
    ∴ 푝 V′ → U胚
    (3)E *(x x)|x ∈ ℝ+p(x x) → 푝1(푥)

    P152 52
    ∀y ∈ B 22 26

    先证p−1(y)限集否ET2紧空间p−1(y)聚点푥0
    局部胚ET2紧空间易知푥0 ∈ p−1(y)
    (否∃O∗开集p(푥0) ∈ O∗ y ∉ O∗
    ⇒ p−1(y)属 p−1(O∗)푥0p−1(y)聚点矛盾)
    ∀푥0邻域V~V~ p(V~)单射胚矛盾
    ∴ p−1(y)限集
    局部胚∀푥푖 ∈ p−1(y) ∃开集V푖 ∋ 푥푖 푈푖 p(V푖)开集 p|V푖V푖 →
    푈푖胚
    取 U⊆∩ U푖开集(푖限)
    面需证明∃U p−1(푈) ∪ (V푖子集)

    显 然 否 ∀U ⊆∩ U푖 y ∈ U ∃V∗ ⊆ p−1(푈)p−1(y) ∉ V∗
    V∗ ∩ V푖 ∅
    取簇点*푥휆+푥휆 ∈ V휆
    ∗푥휆极限点记푥~
    p(푥~) ≠ y知∃包含푥~开集V~y ∉ p(V~)푥~构造矛盾
    ∴ 푥~ ∈ p−1(y)V∗ ∩ V푖 ∅푥~簇V∗点极限点矛盾
    样V∗存
    ∴ ∃U p−1(푈) ∪ (V푖子集)
    p|V푖V푖 → 푈푖胚
    知结成立

    60 23 26


    στ分b0基点环绕 BA 圈σ ∗ ττ ∗ σe0起点提升分
    终止e1e2σ ∗ τ̃τ ∗ σ̃等价σ ∗ ττ ∗ σ等价στ ≠ τσ
    交换

    P152 61
    题目误应加入条件s 连续
    s连续 考虑 p s1̇ → s1 p(e푖휃) → e2푖휃
    (点示区分s1̇ s1覆盖空间)
    p∗휋1(s1̇ 1) ≠ 휋1(s1 1)
    (σ(푡) e휋푖푡 푡 ∈ 01σ ∉ p∗휋1(s1̇ 1)(p∗휋1(s1̇ 1)中闭道绕偶数圈))
    作s s1 → s1̇ p(e푖휃) → e
    1
    2푖휃 0 ≤ θ < 2π
    ps 1s1
    s连续
    ps 1B s连续∴ p∗푠∗ 1휋1(B)
    ∴ p∗满射单射连续
    ∴ p∗휋1(E 푒0) 휋1(B 푝(푒0))

    262 24 26

    证记 p 指数映射  pR 1S 覆盖空间证    1
    00f X x S s 存覆
    盖映射 g    00X x r R
    1f X S 零伦推 219 *f 态
       * 1 0 * 1 0 1 f X x p r R
    映射提升定理 g f 提升
         ig xf x pg x e满足条件

    P153 64
    S푛单连通 ⇒ 푓푔(S푛)单连通
    S1单连通区域段圆弧≃ 单点
    ∴ 푓 ≃ id푥 푓零伦
    样P2单连通 ⇒ 푔(P2)P1中单连通
    P1 ≅ S1∼≅ I∂I≅ S1
    P1中单连通集缩∴ 푔 ≃ id푥푔 零伦

    265
    证称性:   1 1 2 2E p E p  胚 h 21p h p
    胚 1h    1
    1 2 2 2 1 1p h p E p E p   
    反性: 胚
    1
    1E    11 1 1 1 1 11 Ep p E p E p   
    传递性:       1 1 2 2 2 2 3 3E p E p E p E p
    胚 'hh 2 1 3 2'p h p p h p
    胚 'hh    3 1 1 1 3 3'p h h p E p E p  

    P153 66
    应覆盖空间(푆1 × ℝ p) p(t 푥) (t 푒푖휋푥)
    ∵ (푆1 p|푆1)푆1覆盖空间(ℝ p|ℝ) ℝ 覆盖空间 25 26

    知(푆1 × ℝ p)覆盖空间p 覆盖映射
    证p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ≅ ((10)) ℤ⨁ℤ 表示π1(푆1 × 푆1)
    (说明:(10)生成子群轭类绕第푆1푛圈绕第二푆10 圈)
    ∀σ ∈ 휋1(푆1 × ℝ(10)) σ1 (t 0)p∗휎1 (t 1)
    p|푆1恒等映射t 变回闭道起点
    p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ⊆ ((10))
    ∀n ∈ ℕ(n 0) ∈ ((10))
    取σ ∈ 휋1(푆1 × ℝ(10))σt (푒2푖휋푛푡 0) p∗휎1 (n 1)
    ∴ p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ≅ ((10))
    (11)应覆盖空间(ℝ × ℝ~ p)
    定义~:(a b)~(c d) ⇔ a − c b − d ∈ ℕ 容易验证等价关系
    p((푥 푦)) (푒2푖휋푥 푒2푖휋푦) (푒2푖휋(푥+푛) 푒2푖휋(푦−푛))良定义
    ∀σ σ′ ∈ 휋1(ℝ × ℝ~(00))
    σ1 (00)σ1 (푘 푘)
    p∗σ~p∗σ′ ⇔ σ1 σ′1 (k k)
    p∗휋1(ℝ × ℝ~(00)) ≅ ((11))

    *(20)(02)+ 应 覆 盖 空 间 (푆1 × 푆1 p) p(푒푖휋푥 푒푖휋푦) (푒2푖휋푥 푒2푖휋푦)
    p∗휋1(푆1 × 푆1 p)两푆1均饶偶数圈

    P153 67
    题妨设(11)π1(퐸)基点 E 性质知
    p−1(1) *(e
    푖2푘휋
    푛 e
    푖2푘휋
    푚 )|k ∈ N+
    ∀σ ∈ π1(퐸(11)) σ(1) (11) 26 26

    ∴ σ(t)(e
    푖2푘휋
    푛 푡 e
    푖2푘휋
    푚 푡) n|k m|k ∴ k n m (n m 公倍数)
    ∴ p∗π1(퐸(11)) ≅ n mℤ n mℤ (E p)示性类
    (∀σ∗ ∈ p∗π1(퐸(11)) σ∗绕S1n m圈)
    P153 68
    Möius 带 伦S1
    ∴ 覆盖空间构类*ℤ+*푛ℤ+푛 012 …

    255 定理
    定义TA(E p) → π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)态
    ∀f ∈ A(E p) 设 r 连接e0f(e0)
    令T(f) pr ∈ π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)
    先证T(f) r 选择关考虑r1 r2
    pr1 − pr2 pr1 ∘ pr2̅̅̅̅ p(r1 ∘ r2̅) ∈ p∗π1(퐸 e0)
    ∴ T 良定义
    考虑f1f2 ∈ A(E p) 令r1r2分连接 e0f1(e0)(e0f2(e0))
    验证态T(f1f2) p(r1 ∘ f1r2) pr1pr2 T(f1)T(f2)
    证T 单射∀T(f1) T(f2)pr1 pr2
    pr1 ∘ pr2̅̅̅̅ ∈ p∗π1(퐸 e0) pr2 ∘ pr1̅̅̅̅ ∈ p∗π1(퐸 e0)
    ∴ p(r2 ∘ r1̅) ∈ p∗π1(퐸 e0) r2 ∘ r1̅ E 中闭曲线
    ∴ f1(e0) f2(e0) T 单射
    证明T 满射
    ∀σ ∈ π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)
    知(E(p−1σ)(1))π1(퐵 b0)覆盖空间
    p∗π1(퐸 e0) p∗π1(퐸(p−1σ)(1))
    映射提升定理知∃h h (퐸 e0) → (퐸(p−1σ)) T(h) σ
    综诉结成立
    注:正覆盖空间条件必否π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)商群谈起

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    1.回想你看到过或接触过的西方经济学著作。它们各自属于本章所说的三种类别中的哪一种?答:第一类,企事业的经营管理方法和经验。如行情研究、存货管理、产品质量控制、车间生产流程布局等内容。著作有《现...

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    复习题及参考答案

    复习题及参考答案   材料题   一、阅读下列材料,并回答问题。  材料一   曾国藩说:“今日和议既成,中外贸易有无交通,购买外洋器物,尤属名正言顺。购成之后,访募覃思之士,智巧之...

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    常用网络拓扑图图标

    常用网络拓扑图图标1.交换机类图标二层堆叠交换机三层堆叠交换机固化汇聚交换机模块化汇聚交换机核心交换机接入交换机2.路由器类图标IPv6多业务路由器SOHO多业务路由器VOICE多业务路由器中...

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    离散数学练习题含部分答案

    2016注意事项:1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。2、第二遍复习按照考试大纲的总结把重点内容再做复习。另外,把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一...

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    2022安规习题集营销专业部分

    一、单选题(205题)1.全国安全生产电视电话会议于2020年4月10日在北京召开,会议传达学习了习近平重要指示和李克强批示。中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平就安全生产作出重要指示强...

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    人资(助师)复习题(知识部分)031109

    知识部分 助理人力资源管理师 031109 第一部分 职业道德 一、 职业道德知识部分 答题指导:该部分均为选择题,每题均有四个被选项,其中每 题有一个或...

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    变电安规部分考试复习题

     《安规》复习提纲 (变电部分) (适考人员:变电、发电全体人员,供电所开关站、变电站值班人员调度中心、生技、发电、修试所全体人员) 一、填空题: 1. 无论高压设备是否带电,工作人员...

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    机械原理课后习题答案(部分)

    第二章 2-1 何谓构件?何谓运动副及运动副元素?运动副是如何进行分类的? 答:参考教材5~7页。 2-2 机构运动简图有何用处?它能表示出原机构哪些方面的特征? 答:机构运动简图...

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    冶金原理课后习题及部分解答

    《冶金原理》课后习题及部分解答第一章1 冶金原理研究的主要内容包括________、________和________。冶金动力学、冶金热力学、冶金溶液。2 金属熔体指________、___...

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    助师复习题技能部分031109

    技能部分 助理人力资源管理师 031109 一、 问答题 1、 简述企业组织信息调研的基本步骤和具体要求 (一) 组织信息调查研究的阶段与步骤 第一个阶段:调查的的准备阶段...

    14年前   
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    网络设备练习题含部分答案

    网络设备练习题选择题1、下面那种网络互连设备和网络层关系最密切( )  A 、中继器  B 、交换机  C 、路由器  D 、网关2、下面那种说法是错误的( )  A 、中继器可以连接一个以太...

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    运输与配送复习题及参考答案

    中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案运 输 与 配 送一、选择题:1.运输原理主要包括_________。 ...

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    PLC复习题及参考答案

    PLC复习题及参考答案一、填空题1. 工作在交流电压 1200 V、或直流电压1500V及以下的电路中起通断、保护、控制或调节作用的电器产品叫低压电器。2. 交流接触器的触点系统分为 主触点...

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    市场调查习题及参考答案

    市场调查习题及参考答案一、单选题1. 企业营销决策的基础是( )A.市场调查 B.公共关系活动  C.市场促销 D.市场定位2. 市场体系及其各种影响因素是市场信息的( )A.载体 ...

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    软件工程练习题及参考答案

    《软件工程练习题及参考答案》一、单向选择题(四选一、每小题3分,共18分)1、面向对象(Object Oriented)方法是将现实世界的事物以对象的方式( B )到计算机世界的方法。对应映射...

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    案例题《安规习题集》营销部分

    案例题《安规习题集》营销部分案例1 10kV业扩装表2006年6月22日,某供电公司工作负责人王XX(死者)带领张X和刘XX前往中山路商业街配电房高压计量柜内安装计量表计。8时40分,王XX...

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    地理信息系统概论课后习题部分答案

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    判断题《安规习题集》营销部分(100题)

    判断题《安规习题集》营销部分(100题)1. 无论高压设备是否带电,工作人员不得单独移开或越过遮栏进行工作。( ) 答案:√2. 作业人员对安规应每年考试一次。( ) 答案:√3. 装...

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    “机械制造装备设计”部分习题解答

    第一章:1-3 柔性化指的是什么?试分析组合机床、普通机床、数控机床、加工中心和柔性制造系统的柔性化程度。其柔性表现在哪里? 答:机械制造装备的柔性化是机床可以调整以满足不同工件加工的性能。柔性...

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