拓扑部分题参考答案
补充版
BY 20111228 1 26
目录
该写前面 P2
第章 P3 514151719
P5 2023243132343536
P10 383944464954(题题目
误)6062636768
P15 7384919394101105115
第二章 P18 1720
P20 2325264851526061(题题目误)
62646566
P25 6768255 定理 2 26
该写前面
说实话编东西满费时间非常感谢雷神史起完成
需说明力图吕老师布置题前份答案没
题目编写出题目暂放
份参考答案力写严格完善时间限力更限
疏漏错误处难免请学见谅指出会立刻修改
果份答案您许帮助觉满足祝家拓扑考试
考出年邱维元老师成绩(满分)祝家科考试利
zym 20111228 3 26
P75 5
(1) 离散空间:∀푥 邻域系*U ⊆ Χ|푥 ∈ U+
空间:*Χ+
(2)∀푥 ∈ Χ ∀N ∈ 풩(푥)∃开集 U 푥 ∈ U ⊆ N
U 开 ⇒ Χ\U 限集 ⇒ Χ\N 限集 ⇒ N 开集
14
(2) 证 : A 开集 \XA闭集 \\XAXA
\\\BdAAXAAAXAAXAA
: \\BdAA XAAA XAA \\XAXA
\\XAXA 闭集 开集
(1) 证(2) \\\Bd X A X A X A 开集
式左边 \Bd X A A BdA A 右边 A 闭集
BdA A A闭集
(3) 证 BdA BdA A BdA A (1)( 2)
BdA A 开闭集
(4) 证 : A IntA A 开集 IntA 闭包
:设 AU U 开集U IntA A
闭包 AA A U IntA A A A IntA
15
(1) X 轴 X 轴 ϕ
(2){x≥0 y∈ R} A {x0y∈R}∪{y0x>0}
(3)R2 ϕ {x∉ Qy∈ R}
(4) {x2 + y2 ≤ 1} {0
4 26
P76 17
풯 ⊂ 풯′ ∀ 푥 ∈ Χ 满足푥 ∈ B ∈ 픅
∵ 풯 ⊂ 풯′ 퐵 ∈ 풯
∴ ∃Aλ ∈ 풯′ 퐵 ∪ Aλ 取Aλ0 푥 ∈ Aλ0Aλ0求B′
反 ∀B ∈ 풯 ∀ 푥 ∈ 퐵 ∃ 퐵푥
′ ∈ 퐵′ 푥 ∈ 퐵푥
′ ∈ 픅
∴∪푥∈B 퐵푥
′ 퐵 B ∈ 풯′ 知풯 ⊂ 풯′
119
(1) 证应定理 120
1B: abR 1 1 2 2a b a b 开区间 1B
1B 基
2B: abR 1 1 2 2a b a b 左闭右开区间 2B
2B 基
3B:
1B
B
R
B
13BB
3B
B
R
B
1 1 2 2 1 3a b a b BB
1 1 2 2 1 1 2 2 3\\a b K a b a b a b KB
1 1 2 2 1 1 2 2 3\\\abK abK ab ab KB
3B 基
4B: a R 4 max{ }a b a b B
4B 基
5B:
5B
B
R
B
1 2 1 2\\\BBBBRRR 限 1 2 5BBB
5B 基
6B: 理端点左闭右开区间
6B 5 26
6B 基
(2) 解记풯1~풯6픅1~픅6生成拓扑
1T 列互相交开区间组成集合
2T 列互相交左闭右开区间 间
集组成集合 21TT
31TT
44{}RTB
55{}TB
6T 列互相交左端点 Q 左闭右开区间列
互相交左端点 \RQ开区间间集组成集
合
20
(1)풯푍 *푧 ∩ 푈|푈 ∈ 풯푌+ *푧 ∩ (푌 ∩ 푈)|푈 ∈ 풯푋+ *푧 ∩ 푈|푈 ∈ 풯푋+
(Z풯푍)(X풯푋)子空间
(2) (A 풯푑퐴)基ℬ퐴 *퐵(푥 1
푛)|푥 ∈ 퐴 푛 ∈ 핫++易知ℬ퐴(X 풯푑) A 子空
间拓扑组基
P77 23
(B̅)퐴表示包含 B A 中闭集交
显然 B̅ ∩ 퐴 A中闭集
∴ (B̅)퐴 ⊆ B̅ ∩ 퐴
A 中闭集均表示Χ 中闭集 F⋂A
(B̅)퐴 ∩ (퐹 ∩ 퐴) (∩ F) ∩ A
F ⊇ B⇒ ∩ F ⊇ B ⇒∩ F ⊇ B̅ ⇒ (B̅)퐴 ⊇ B̅ ∩ A
∴ (B̅)퐴 B̅ ∩ 퐴
Int퐴퐵属 B A 中开集 6 26
B ⊂ A Int퐵 A 中开集
∴ Int퐵 ⊆ Int퐴퐵
∴ Int퐵 ⊆ Int퐴퐵 ∩ IntA
A 中开集均表示Χ 中开集 O⋂A
Int퐴B ∪ (O⋂A) (∪ O) ∩ A
Int퐴B ∩ IntA (∪ O) ∩ IntA 开集属 B
∴ Int퐴B ∩ IntA ⊆ IntB
∴ Int퐵 Int퐴퐵 ∩ IntA
注:做题目时结须证明直接
24
解L 行 x 轴: L{}abB '{}L abB
LT'LT 均题(119)中 2T 致
L 行 y 轴: L{}cdB L'{}cdB
题(119)中 1T 致 致
L 行坐标轴斜率正时
LBL'B 左闭右开区间组成集合 题(119)中 致
L 行坐标轴斜率负时
左闭右开区间组成集合 单点组成集合 题(119)
中 致 R 离散拓扑 DT 致
P78 31
设 f휆 푋휆 ↦ 푌
f휆连续 ∀Y 中闭集 F f휆
−1(F)푋휆中闭集
푋휆闭集f휆
−1(F) X 中闭集
f −1(F) ∪휆∈Λ f휆
−1(F)
须证f −1(F)闭集
否∃*x푛+ ∈ f −1(F)收敛x0 ∉ f −1(F) 7 26
∵ 限f휆
−1(F)闭集
∴ *x푛+ ∈ 限f휆
−1(F)
x0领域仅限f휆
−1(F) 相交
矛盾
∴ f −1(F)闭集结成立
132
(1) 证构造胚 h: nnDD
点 ntD x 起点作射线 xt 交 1nS 点 p
作映射 h: txh t p y ypx
xp 连线点 p 映 yp 连线
相应位置显然h 连续映射 h x y h p p p
意性 11|1nnSSh
xy 称性 h 双射 1h 连续映射
h 胚
(2) 证易证 h 单射
푕−1(푟푒푖휃) *0 푟 0
푟푒푖(휃−2휋푟
1−푟 ) 푟 ≠ 0
22DD 映射h 满射
h 双射
001r时
0
0
0 0
0000
22
11
00lim limiiii
rr ii r ii r
re r e re r e
h re re r e h r e
0 0r 时
2
1
00
lim lim 0 0
rii r
rr
h re re h
h 2D 连续
푕−1(푟푒푖휃) *0 푟 0
푟푒푖(휃−2휋푟
1−푟 ) 푟 ≠ 0
证 1h 连续
h 胚
12SD 点 10x 8 26
作 1{ } 1 0nnxx n
2{ } 1 021mmxx m
趋 x
2lim lim 1in
nnn
h x e
21lim lim 1im
mmm
h x e
10
lim
x
hx
存
h 扩张成 2D 胚
(3) 证作푕̃ *
0 푥 0
||푥|| ∙ 푕 ( 푥
||푥||) 푥 ≠ 0 nxD 显然 h h 扩张
易证 双射
00
lim lim 0 0
xx
xh x x h hx
c
0 0 0
0
0 0 0
0
lim lim lim 0
x x x x x x
xxh x x h x h h x xxx
cc
nD 连续
푕̃ *
0 푥 0
||푥|| ∙ 푕 ( 푥
||푥||) 푥 ≠ 0证 1h 连续
h 扩张 nnDD 胚
P79 34
方法 9 26
方法二(源杜衡)
注:题折纸条模拟帮助理解
P79 35
(1) 开闭映射
(2) 闭映射开 (ℝ2成面坐标푓(푂(01))开)
(3) 开闭映射(胚)
136
(1) 解 01f R xf x e 10 26
1 11 1fe 非开集 01R 非闭集
(2) 解 0f R xf x e
非闭集
(3) 解 0f R f x x
11 01f 非开集
(4) 解 1 01fS 2 ixf x e
1f 连续 f 胚
38
(1)∵ πα∈ΛAα ⊂ πα∈ΛAα̅̅̅̅ πα∈ΛAα̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊂ πα∈ΛAα̅̅̅̅∀p ∈ πα∈ΛAα̅̅̅̅投影性质易证
πα∈ΛAα̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊃ πα∈ΛAα̅̅̅̅
(3)(2)知 Int(A1 × A2) ⊂ Int(A1) × Int(A1) ∀α ∈ Int(A1) × Int(A1) ∃开 βi ⊂
IntAi i 12stα ∈ β1 × β2 ⊂ Int(A1 × A2)Int(A1 × A2) Int(A1) ×
Int(A1)
(5) πα∈ΛAα显然πα∈ΛXα子空间∀p ∈ πα∈ΛXα子空间令AαP|Xα
pπα∈ΛAα{Aα}积空间
P79 39
(X × Y 限积积拓扑盒拓扑想通)设 V ∪ (A × B)
中AB 分 XY 中开集
∴ V푥 ∪ A V푦 ∪ B 均开集
反定成立反例构造
X Y ℝ1 令 V *(푥 푦)|푥 푦 ∈ (−11)+\*(푥 푦)|푥 푦 1
푛 n ∈ ℕ+
V푥 V푦 (−11)开集
V 开集
(实际 X × Y\V 闭集 (1
푛 1
푛) → (00)(00) ∉ X × Y\V)
11 26
144
解记 x X f x Y属等价类分푥 ∈ 푋~푋푓(푥) ∈ 푌~푌
作푓 푋~푋 → 푌~푌 f x f x
푥1~푋푥2 ⇒ 푓(푥1)~푌푓(푥2) f 良定义
记π 푋 → 푋~푋 π′ 푌 → 푌~푌然射影 ' 连续满射
'ff 图表交换
푌~푌中意开集VV 写作 'V f U U X 中开集
1 1 1'f V f f U f f U U 푋~푋中开集 f 连续映
射
46
(1)∀X中闭集 VVV1 × V2Vi R 中闭集g(V) V1 × *0+R2中闭集 g 闭
映射∵ g(*0+ × (−11)) *0+开映射
(2)(x0y1)~f(x0y2) 商映射f(*0 ≤ x ≤ 13 < y < 4+) 01)非开映射
f({(1
n n)+1
∞ {1
n+1
∞ 非闭映射
P81 49
(1) 定풯 *∅X+풯′离散拓扑 ∀网*푥휆+(X 풯)
中收敛收敛意푥 ∈ 푋(X 풯′)中收敛
(2) 关系풯′ ⊆ 풯
反证풯′ ⊆ 풯成立设푂′ ∈ 풯′ ∉ 풯∃푥 ∈ 푂′∀푂푥 ∈ 풯
푂푥 ∉ 풯′(否푂′ ∪푥∈푂′ 푂푥 ∈ 풯)
取푂푥\푂′中点组成网*푥휆+(X 풯)中*푥휆+ → 푥
(X 풯′)中*푥휆+ ↛ 푥
面证明*푥휆+(X 풯′)收敛反收敛푥′ ∉ 푂′푥′푥
*푥휆+意性푥′푥(X 풯′)中分离矛盾 12 26
P82 54
(1) 题目误反例
f(ℝ 풯1) → (ℝ 풯2) 中 풯1*∅ℝ+ 풯2 *푥|푥 ∈ ℝ+
映射开满(ℝ 풯1)满足C2(ℝ 풯2)没数基
f(ℝ 풯1) → (ℝ 풯퐹) 中 풯퐹 {ℝ\퐹|퐹 ℝ 中数集}
映射开满(ℝ 풯1)满足C1(ℝ 풯퐹)没数局部基
(2) 设空间*핏푛+핏푛满足C1公理
∀푥푛 ∈ 핏푛 ∃局部基픅(푥푛)数设픅(푥푛) *B푘
푛+
∀푥 ∈ Π핏푛 设푥 (푥1 푥2 푥3 ……)
考虑集合A *∪푚1
∞ ∪푘1
∞ Π푛1
푚 B푘
푛+数集
∵ Π핏푛积拓扑限性知
∀O Π핏푛中开集∃B ∈ AB ⊆ O
A 푥局部数基 ∴ Π핏푛满足C2公理
핏푛满足C2公理
设基픅푛数设픅푛 *B푘
푛+
集合A *∪푚1
∞ ∪푘1
∞ Π푛1
푚 B푘
푛+Π핏푛数基
∴ Π핏푛满足C1公理
(3) 设空间*핏푛+핏푛分设A푛 ⊆ 핏푛핏푛中稠密
设p푛 Π핏푛 → 핏푛 投影映射
设A *푥 ∈ Π핏푛|p푛(푥) ∈ A푛 n 12 … m m ∈ ℤ++
A数集合
∀Π핏푛中开集O积拓扑限性
∃m n > m p푛(푂) 핏푛 ∴ ∃ 푥 ∈ A 푥 ∈ 푂
∴ Π핏푛分
13 26
60
(1)满足푇2满足퐶1퐶2
∀x y ∈ X x ≠ p y ≠ p 取 퐵1 *푥+ 퐵2 *푦+ 否 妨 设
xp퐵1 푋\*푥 푦+ 퐵2 *푦+
p∃풰 *X\*x+|x ∈ X x ≠ p+풰中元素皆 p 开邻域互包含
数满足퐶1进满足퐶2
(2)满足퐶1퐶2푇2
ℬ0 *−1 b|b > 0 b ∈ ℚ+ ∪ *a 1|a < 0 a ∈ ℚ+数基
满足푇2: xy 0 分界讨
P83 62
∀F Χ中闭集 x ∈ Χx ∉ F
考虑开集(−∞ x) ∪ (x +∞)知*x+闭集 满足T1 公理
考虑样开集x ∈ (a b)a < x < b
意(a b)(a b) ∩ F ≠ ∅
⇒ x ∈ F 矛盾
∴ ∃(x ∈)(a b) ∩ F ∅
a ∉ F b ∉ F x ∈ (a b)F ⊂ (−∞ a) ∪ (b +∞)
b ∉ F∀c < x 均 c ∈ F知(a x) ∅
∴ (−∞ a) ∪ *a+(x +∞) ∪ *x+均开闭集合
x ∈ (a b)F ⊂ (−∞ a) ∪ (b +∞) ∪ *a+(开集)
情况类似讨知
满足T3公理
163
证设 ABY 中意相交闭集 f 连续 11f A f B X 中闭
集易知 相交
正规空间存相交开集 UV满足: 1f A U 1f B V
中闭集 11\\f A f B X U X V 成立 1 \f A X U 14 26
1 \f B X V \\XUXVX
f 闭映射 \\f X U f X V Y 中闭集设 \\'f X U Y U
\\'f X V Y V ' 'UV 中开集
满射 \\\'\'YfX fXU fXV YU YV
''UV
1fA X 中 满 足 A 中 点 全 体
1 \f A X U \\'A f X U A Y U 'AU 理
'BV
综 正规空间
67
设 f ∶ A → 푆푛 连 续 映 射 记 i:푆푛 → 퐸푛+1 包含映射r 퐸푛+1\*푂+ →
푆푛r(x) 푥
||푥||i ∘ fA → 퐸푛+1扩张成gX → 퐸푛+1记 U푔−1(퐸푛+1\*푂+) U A
开邻域r ∘ (g|U)U → 푆푛 f 扩张
P82 68
(1) 证紧集须证明意开覆盖中存限子覆盖
∀A ⊆ ℝ 设U휆开集A ∪ U휆
取U1 ∈ *U휆+ U1 ℝ\*푥1 푥2 … 푥푛+
妨设*푥1 푥2 … 푥푚+ ⊂ 퐴m ≤ n
∵ A ∪ U휆 ∴ ∃U푘 ∈ *U휆+ 푥푘 ∈ U푘
∴∪푖1
푚 U푖 ⊃ A A紧集结成立
(2) 数补拓扑半开半闭拓扑紧
U푛 ℝ\*1
푛 1
푛+1 1
푛+2 … + 01 ∪푛1
∞ U푛
01限U푛覆盖
01 (∪푛0
∞ 02푛−1
2푛 2푛+1−1
2푛+1 ) ∪ 12) 15 26
01述限集合限覆盖
173
(1) 证记映射 fg X G fG 定义易 g 双射
意开集UX fg U U Y G UY XY 中开集
gU 中开集 1g 连续
连续存 AX 开集 fg A G 中开集
存开集UX 开集VY f U V 满足 fU V G g A
11f V U g X V U A U
f 连续 1f V U X 中开集 AU开集矛盾 g
连续
fg X G胚
(2) 证 \fx y X Y G y f x
Y 2T 空间存开集 y f y f y fU U y U f U U U
\yfUYU \ fYU闭集 \yfUYU yf x U
作 1\xyU X f U xU 开集 xxU ( 1
yx f U )
yxUU作法知 \x y fUUXYG xyUU xy邻域
\ fXYG 开集 fG 闭集
(3) 证 f 连续存闭集 BY 1f B X 闭集
0xX 1
0x f B UxN 1U f B ()
0f x B yB 0\fx y X Y G \ fXYG 开集
存开集 0\x y x y fU XU YxyUU XYG
B 紧空间Y 闭集 B 紧集{}y y BU 开覆盖存 16 26
数子覆盖 1{}i
n
yiU
令 0
1
i
n
x
i
UU
00
11
i i i
nn
y x y
ii
UBUUUU
iix y fUUG 0 fUBG 0f U B
1
0U f B
00UxN() 矛盾 f 连续
P85 84
(1)否例:Χ *푎1 푎2 푏1 푏2 … +拓扑基ℬ푋 **휆1 휆2+|휆 푎 푏 푐 … +
Y *푎 푏 푐 … +离散拓扑意限子集没聚点
푓 Χ → 푌 푓(휆푖) 휆连续满射
Χ 聚点紧意限子集 E设푎1 ∈ E푎2聚点
Χ Hausdorff 空间 Χ 数紧푓连续 Y 数紧空间
∴ Y 聚点紧
(2)∀A 中限子集*푥λ+ Χ 中聚点푥0
∃*푥λ+中网收敛푥0푥0 ∈ A̅ 퐴 ∴ A 聚点紧子集
(3)X Z 开集X 仅开集 Xϕ
(4)
P85 91
(1)01成ℝ1子集诱导拓扑
(2)ℤ+ ∪ *∞+子基 φ *A ∪ (ℤ+ ∪ *∞+\C)|A ⊆ ℤ+C ℤ+中限集+ 注:参见 p58
182 定理
(3)(01) ∪ … ∪ (910) ∪ *∞∗+ ∞∗ *0123910+ 注:点成点
(4)Q ∪ *∞∗+ ∞∗ *理数 ∞+ 拓扑ℝ1拓扑理数穷远
点成点
Q 单点紧化空间 Hausdorff 空间 17 26
证明:
*0+*∞∗+分开(实意理数∞∗均分开)
Q 中紧闭集限理数集意包含*∞∗+开集 O (ℝ1
\C) C 限理数集
意包含*0+开集含穷理数
∴ 必O 相交
∴Q 单点紧化空间 Hausdorff 空间
193
证 1XT 连通存非空开集 UVXUV UV
1 TT 必 XT 中开集 连通矛盾
必连通空间
94
(1) BdA≠ ϕ T14(3)知A 开闭集 X 连通空间矛盾
(2) A ∩ C ϕ(X\A) ∩ C ϕ A ∩ C C 真 子 集 (BdA)푐 ≠ ϕ
(BdA)푐 ⊆ ( BdA ∩ C) BdA ∩ C ≠ ϕ
P86 101
(1) 意开集푂设퐶0某连通分支
∀푥 ∈ 퐶0 ∃开集푈 푥휖푈 ⊂ 푂 (푈连通)푈 ⊂ 퐶0 ∴ 퐶0开集
푂相交开连通分支
ℝ푛中列相交开集定列(唯应ℝ푛 中
理量理量列)
结证
(2) 记푂非空连通开集∀푥 ∈ 푂
设푥道路连通点集开集푂′须证明푂′ 푂
反证记퐶 푂\푂′ 푂连通퐶开集∃y ∈ 퐶̅ ∩ 푂′̅̅̅y ∈ 푂′y ∉ 푂
푂开集∃开集푈y ∈ 푈y ∈ 퐶̅ ⇒ 푈 ∩ 푂非空 18 26
y 푂中点道路连通 ⇒ y ∈ 푂矛盾
P86 105(感谢王学彬帮助)
P26 例知线段身部连续映射动点考虑[01]线段值域
[01]→ 01结成立
[01]→ 핏\01 [01]→ (1
n × I)(1
n I) → (1
n I)结成立
[01]→ 01 ∪ (1
n × I) 点 f1
n × 0 ∈ 1
n × I 设 1
n × 0 → 1
n × m
考虑f 1
n × I ∉ 1
n × I 时知∃l < 1 f 1
n × 0 l 1
n × 0 m动点点
f 1
n × 0 ∈ (I × 0)时设 f 1
n × 0 (m × 0)m > 1
n
时
讨 f(0) m 右侧者左侧知动点f(0) > 1
n
时f −1(1
n m)动
点f(0)左侧时f −1(m 1)动点m < 1
n
时理
综述结成立
115
(1)G 拓扑群 T112(1)θ(a b) 푎−1푏连续U ⊆ G∃e × e 邻域 X ×
Y s t ∀(a b) ∈ X × Y θ(a b) ∈ U令V X ∩ YV ∙ 푉−1 ⊆ 푈
(2)e ∈ G\A e 邻域∃V ∈ 풩(e)V ⋅ 푉−1 ⊆ G\A ∴ V ∩ (AV) ϕ
(3)∃U 开 AU 开s t e ∈ U ⊆ V ∴ U ∩ (AU) ϕ e 闭集分
∀xM 闭 eM푥−1应述结
P148 17
作r 푀푓 → 푌 (푥 푗) → 푓(푥)
푦 ∈ 푌 → 푦 (r(푥 1) 푓(푥) 푦 푓(푦)良定义)
r|푌 1푌须证푖 ∘ r ≃ 1| 푀푓
先证r连续:
∀开集 O ⊂ Y r−1(O) *(푓−1(x)I)|푥 ∈ 푂+ ∪ O
푓连续知*(푓−1(x)I)|푥 ∈ 푂+开集∴ r−1(O)开集r连续
面构造 19 26
퐻 푀푓 × I → 푌 퐻(푡 푠) *(푥 푗(1 − 푠) + 푠) 푡 (푥 푗) ∈ 푋 × 퐼
1|푌 푡 푦 ∈ 푌
容易验证퐻良定义连续퐻(푡 0) 1| 푀푓퐻(푡 1) r(t)
∴ 푖 ∘ r ≃ 1| 푀푓 푌푀푓形变收缩核
220
证
14 0 4
114 1 42
134 2 24
34 3 14
ss
ss
s
ss
ss
12 0 2
158 4 28
538 5 84
34 3 14
ss
ss
s
ss
ss
作 0H I I I I X x
2 02 4
4
2
254 1 48
8
5
538 1 84
8
3
34 11 4
4
stst
ts ttst
H s t
ts tst
s
s
20 26
0H s s 1H s s 00 1H t H t x
H 连接 定端伦
∴ α ∗ ((β ∗ γ) ∗ δ)~(α ∗ β) ∗ (γ ∗ δ)
23
易证σi ∗ σi+1~σ((1 − s)ti−1 + sti+1)
∴ σ1 ∘ …… ∘ σn [σ((1 − s)t0 + stn)] σ
P148 25
作 fΧ → Χ 恒等映射
作 gΧ0 → Χ 恒等嵌入映射
∀σ ∈ π1(Χ 푥0) 显然∀t σ(t)푥0道路连通
∴ σ(t) ∈ Χ0
∴ f∗ π1(Χ 푥0) → π1(Χ0 푥0)
∴ f∗ ∘ 푔∗ 1Χ g∗ ∘ 푓∗ 1Χ0
∴ π1(Χ 푥0)π1(Χ0 푥0)构
226
证设道路连通空间 X取 0xX 217 定理 1 1 0x x x
充分性: 0Xx
0xC 公起点 0x 公终点 σ~C푥0
1 1 01x x x 单连通空间
必 性 : 设 12 中两条公起点公终点道路
1 2 000x
单连通空间 012 xC
022 xC
001 1 1 2 2 2 2xxCC σ1~σ2
21 26
P151 48
∀푥0 ∈ 푅+ 取 a max(푥0 − 1
3 1
3 푥0) b푥0 + 1
3
(b 푎 < 1)
퓅+|(푎푏) → 푆1单射
作퓆{e2휋푖푡|푎 < 푡 < 푏} → (푎 푏) 퓆(푦) 퐼푛푦
2휋푖
取值(푎 푏)中取值唯
퓅+ 퓆连续 퓅+ ∘ 퓆 1 퓆 ∘ 퓅+ 1
局部胚
(证퓅+覆盖映射)取 1∈ S1 ∀U ∋ 1 妨设Uϵ {e2휋푖푡|−ϵ < 푡 < +ϵ}
(∀U ∃ϵUϵ ⊆ U퓅+
−1(Uϵ)胚퓅+
−1(U)然胚)
퓅+
−1(Uϵ) (0 ϵ) ∪ (∪푛1
∞ (n − ϵ n + ϵ))
取V (0 ϵ)
퓅+(푉) ≠ Uϵ 胚
∴ 퓅+覆盖映射
51
(1)∀V 开 ⊆ 퐵1 × 퐵2푉 푉1 × 푉2푉1 ⊆ 퐵1 푉2 ⊆ 퐵2 푝−1
푖(푉푖)连通分支 → 푉푖局部
胚∴ 覆盖射影
(2)∀ 푥0 ∈ 퐵1 ∃푥0开邻域 U 푝1
−1(푈) ∪ 푉1 ∈ 퐸1
时푝2
−1(푈) ∪ 푉2 ∈ 퐸2
须证:
푝 *(푥1 푥2)|푝1(푥1) 푝2(푥2) 푥1 ∈ 푉1 푥2 ∈ 푉2+道路连通分支(记V′) → U 胚
∵ (퐸1 푝1)(퐸2 푝2)覆盖映射푝1푝2胚∀开集 O ∈ V′O|퐸1O|퐸2开集
∴ 푝(O)开集푝开映射
∀퐵1中开集 O ∈ V′푝1
−1(푂)푝2
−1(푂)开集 ∴ 푝−1开映射
∴ 푝 V′ → U胚
(3)E *(x x)|x ∈ ℝ+p(x x) → 푝1(푥)
P152 52
∀y ∈ B 22 26
先证p−1(y)限集否ET2紧空间p−1(y)聚点푥0
局部胚ET2紧空间易知푥0 ∈ p−1(y)
(否∃O∗开集p(푥0) ∈ O∗ y ∉ O∗
⇒ p−1(y)属 p−1(O∗)푥0p−1(y)聚点矛盾)
∀푥0邻域V~V~ p(V~)单射胚矛盾
∴ p−1(y)限集
局部胚∀푥푖 ∈ p−1(y) ∃开集V푖 ∋ 푥푖 푈푖 p(V푖)开集 p|V푖V푖 →
푈푖胚
取 U⊆∩ U푖开集(푖限)
面需证明∃U p−1(푈) ∪ (V푖子集)
显 然 否 ∀U ⊆∩ U푖 y ∈ U ∃V∗ ⊆ p−1(푈)p−1(y) ∉ V∗
V∗ ∩ V푖 ∅
取簇点*푥휆+푥휆 ∈ V휆
∗푥휆极限点记푥~
p(푥~) ≠ y知∃包含푥~开集V~y ∉ p(V~)푥~构造矛盾
∴ 푥~ ∈ p−1(y)V∗ ∩ V푖 ∅푥~簇V∗点极限点矛盾
样V∗存
∴ ∃U p−1(푈) ∪ (V푖子集)
p|V푖V푖 → 푈푖胚
知结成立
60 23 26
στ分b0基点环绕 BA 圈σ ∗ ττ ∗ σe0起点提升分
终止e1e2σ ∗ τ̃τ ∗ σ̃等价σ ∗ ττ ∗ σ等价στ ≠ τσ
交换
P152 61
题目误应加入条件s 连续
s连续 考虑 p s1̇ → s1 p(e푖휃) → e2푖휃
(点示区分s1̇ s1覆盖空间)
p∗휋1(s1̇ 1) ≠ 휋1(s1 1)
(σ(푡) e휋푖푡 푡 ∈ 01σ ∉ p∗휋1(s1̇ 1)(p∗휋1(s1̇ 1)中闭道绕偶数圈))
作s s1 → s1̇ p(e푖휃) → e
1
2푖휃 0 ≤ θ < 2π
ps 1s1
s连续
ps 1B s连续∴ p∗푠∗ 1휋1(B)
∴ p∗满射单射连续
∴ p∗휋1(E 푒0) 휋1(B 푝(푒0))
262 24 26
证记 p 指数映射 pR 1S 覆盖空间证 1
00f X x S s 存覆
盖映射 g 00X x r R
1f X S 零伦推 219 *f 态
* 1 0 * 1 0 1 f X x p r R
映射提升定理 g f 提升
ig xf x pg x e满足条件
P153 64
S푛单连通 ⇒ 푓푔(S푛)单连通
S1单连通区域段圆弧≃ 单点
∴ 푓 ≃ id푥 푓零伦
样P2单连通 ⇒ 푔(P2)P1中单连通
P1 ≅ S1∼≅ I∂I≅ S1
P1中单连通集缩∴ 푔 ≃ id푥푔 零伦
265
证称性: 1 1 2 2E p E p 胚 h 21p h p
胚 1h 1
1 2 2 2 1 1p h p E p E p
反性: 胚
1
1E 11 1 1 1 1 11 Ep p E p E p
传递性: 1 1 2 2 2 2 3 3E p E p E p E p
胚 'hh 2 1 3 2'p h p p h p
胚 'hh 3 1 1 1 3 3'p h h p E p E p
P153 66
应覆盖空间(푆1 × ℝ p) p(t 푥) (t 푒푖휋푥)
∵ (푆1 p|푆1)푆1覆盖空间(ℝ p|ℝ) ℝ 覆盖空间 25 26
知(푆1 × ℝ p)覆盖空间p 覆盖映射
证p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ≅ ((10)) ℤ⨁ℤ 表示π1(푆1 × 푆1)
(说明:(10)生成子群轭类绕第푆1푛圈绕第二푆10 圈)
∀σ ∈ 휋1(푆1 × ℝ(10)) σ1 (t 0)p∗휎1 (t 1)
p|푆1恒等映射t 变回闭道起点
p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ⊆ ((10))
∀n ∈ ℕ(n 0) ∈ ((10))
取σ ∈ 휋1(푆1 × ℝ(10))σt (푒2푖휋푛푡 0) p∗휎1 (n 1)
∴ p∗휋1(푆1 × ℝ(01)) ≅ ((10))
(11)应覆盖空间(ℝ × ℝ~ p)
定义~:(a b)~(c d) ⇔ a − c b − d ∈ ℕ 容易验证等价关系
p((푥 푦)) (푒2푖휋푥 푒2푖휋푦) (푒2푖휋(푥+푛) 푒2푖휋(푦−푛))良定义
∀σ σ′ ∈ 휋1(ℝ × ℝ~(00))
σ1 (00)σ1 (푘 푘)
p∗σ~p∗σ′ ⇔ σ1 σ′1 (k k)
p∗휋1(ℝ × ℝ~(00)) ≅ ((11))
*(20)(02)+ 应 覆 盖 空 间 (푆1 × 푆1 p) p(푒푖휋푥 푒푖휋푦) (푒2푖휋푥 푒2푖휋푦)
p∗휋1(푆1 × 푆1 p)两푆1均饶偶数圈
P153 67
题妨设(11)π1(퐸)基点 E 性质知
p−1(1) *(e
푖2푘휋
푛 e
푖2푘휋
푚 )|k ∈ N+
∀σ ∈ π1(퐸(11)) σ(1) (11) 26 26
∴ σ(t)(e
푖2푘휋
푛 푡 e
푖2푘휋
푚 푡) n|k m|k ∴ k n m (n m 公倍数)
∴ p∗π1(퐸(11)) ≅ n mℤ n mℤ (E p)示性类
(∀σ∗ ∈ p∗π1(퐸(11)) σ∗绕S1n m圈)
P153 68
Möius 带 伦S1
∴ 覆盖空间构类*ℤ+*푛ℤ+푛 012 …
255 定理
定义TA(E p) → π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)态
∀f ∈ A(E p) 设 r 连接e0f(e0)
令T(f) pr ∈ π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)
先证T(f) r 选择关考虑r1 r2
pr1 − pr2 pr1 ∘ pr2̅̅̅̅ p(r1 ∘ r2̅) ∈ p∗π1(퐸 e0)
∴ T 良定义
考虑f1f2 ∈ A(E p) 令r1r2分连接 e0f1(e0)(e0f2(e0))
验证态T(f1f2) p(r1 ∘ f1r2) pr1pr2 T(f1)T(f2)
证T 单射∀T(f1) T(f2)pr1 pr2
pr1 ∘ pr2̅̅̅̅ ∈ p∗π1(퐸 e0) pr2 ∘ pr1̅̅̅̅ ∈ p∗π1(퐸 e0)
∴ p(r2 ∘ r1̅) ∈ p∗π1(퐸 e0) r2 ∘ r1̅ E 中闭曲线
∴ f1(e0) f2(e0) T 单射
证明T 满射
∀σ ∈ π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)
知(E(p−1σ)(1))π1(퐵 b0)覆盖空间
p∗π1(퐸 e0) p∗π1(퐸(p−1σ)(1))
映射提升定理知∃h h (퐸 e0) → (퐸(p−1σ)) T(h) σ
综诉结成立
注:正覆盖空间条件必否π1(퐵 b0)p∗π1(퐸 e0)商群谈起
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