概率论总复习资料ppt

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1. 概率论总复习
2. 基本要求三个基本 1、基本概念熟练掌握 2、基本公式熟练灵活应用 3、基本性质、重要定理熟练掌握并会灵活应用
3. 第一章概率论的基本概念关键词：样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性
4. 二、重点与难点（1）事件之间的关系与运算，互不相容事件、对立事件；（2）概率的公理定义及概率的性质和应用；（加法公式、减法公式）（3）古典概型的计算（3）条件概率和三大公式；（4）独立性和贝努利试验和二项概率。
5. 事件间的关系若与同时成立，则称事件A与B相等，记为A=B。1. 包含关系：若，则称 B 包含 A 或 A 含在 B 中。2. 相等关系
6. 1. 称“事件A与B中至少有一个发生”这样一个新事件为事件 A与 B的和事件(或并) ，记为。事件的运算2. 称“事件A与B同时发生”这样一个新事件为事件A与B的积事件，记为或 AB。3. 称“事件A发生而B不发生”这一事件称为A与B的差事件,记为 A-B 。 4、互不相容性：若 AB=φ 则称A、B互不相容，或称互斥。1.AB=φ 2.AUB=S5. 对立事件： “A不发生”称为A的对立事件，记为。
7. 例设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件1.事件 “A发生而B与C都不发生”2.事件“A与B发生而C不发生”3.事件“A、B、C都发生”4.事件“A、B、C至少发生一个”5.事件“A、B、C恰好发生一个”6、事件“A、B、C恰好发生二个”7、事件“A、B、C中有不多于一个事件发生 ”8、事件“A、B、C中不多于两个发生”9、事件“A、B、C至少有两个发生”
8. 概率的性质2）有限可加性:若两两互不相容，即则3）对任何事件A有4）若，则P(A - B)=P(A) - P(B) 且5）对任意两事件A 与 B ,有对任意两事件A与B, P(A-B)= P(A-AB)= P(A)-P(AB)
9. 古典概型的计算公式：概率的古典的计算
10. 定义：设A、B为两个事 , 称为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。
11. 乘法定理：设A、B为两个事件，则有乘法公式
12. 则对任一随机事件A，有全概率公式与贝叶斯公式定理：设为一组两两互不相事件，即并且
13. B1试验 1试验 2…B2BnA观察者
14. 有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求(1) 第一次取到的零件是一等品的概率。 (2) 第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率A1＝{从第一箱中取出}，A2＝{从第二箱中取出} B1＝{第一次取到的是一等品} B2＝{第二次取到的是一等品}(1)由全概率公式可求 p(B1) p(B1B2) (2)p(B2|B1)
15. 第二章一维随机变量及其分布主要知识点一、离散型随机变量及其分布律、分布函数；二、几种重要的离散型随机变量：三、随机变量的分布函数：及其性质：四、连续型随机变量的密度函数及其性质：
16. 五、几种重要的连续型随机变量的密度函数：记为记为
17. 六、关于标准正态分布的结论：
18. 七、一维随机变量函数的分布（1）分布函数法：特别地，的分布密度为：（2）公式法：设g(x)处处可导且或，则的密度函数为
19. 本知识单元主要内容二维随机变量定义二维随机变量的分布函数二维离散随机变量的分布律二维连续型随机变量的密度函数边缘分布基本要求：了解二维随机变量的概念了解联合分布函数，联合分布律和联合概率密度的概念与性质会求联合分布律及进行概率的计算掌握边缘分布的求法第三章多维随机变量及其分布
20. 二维离散型随机变量的联合分布则由概率的定义有：二维连续型随机变量
21. 8(1)(2)(3) 若f(x,y) 在点(x,y)处连续(4) 设G是 xoy 平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为
22. 边缘分布23
23. 定义设及分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对所有 x,y 有1即则称随机变量X和Y相互独立。相互独立的随机变量
24. 等式几乎处处成立。(2) 当(X,Y) 是离散型随机变量时，X 和Y 相互独立的条件式等价于：对于(X,Y) 的所有可能取的值有即2随机变量的相互独立的充要条件(1) 设 (X,Y) 是连续型随机变量，f(x,y)、分别为(X,Y) 的概率密度和边缘密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于
25. 两个随机变量的函数的分布Z=X+Y的分布当X和Y相互独立时，有(1)
26. 第四章随机变量的数字特征数学期望
27. 数学期望的性质1) ，其中 c 是常数 2) ， c 为常数，X为随机变量 3) 设X，Y是任意两个随机变量，则推论：设是n个任意的随机变量，都存在，则 4) 设X，Y为两相互独立的随机变量，都存在，则
28. 方差
29. 方差的性质①c为常数② c为常数③ 设X和Y是两个随机变量，存在，则有④ 的充要条件是：X依概率1 取常数 c，即若X和Y相互独立，则有
30. 切比雪夫不等式定理设随机变量X具有数学期望，方差则对可得或
31. 几种重要分布的期望和方差：
32. 协方差相关系数1)使的充要条件是存在常数a,b2)X与Y 不相关
33. 随机变量序列的两种收敛性1、依概率收敛定义 1Ch 5 大数定律及中心极限定理
34. 定义2
35. 证明大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给 >0,
36. 一、切比雪夫Chebyshev 大数定律设 r.v. 序列则有或两两不相关，定理1
37. 定义1或
38. 2、马尔可夫大数定律定理2
39. 3、伯努利（Bernoulli）大数定律设是 n 次独立重复伯努利试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则或定理3
40. 4、辛钦大数定律定理4
41. 2、独立同分布的中心极限定理设随机变量序列且有期望和方差：则对于任意实数 x ,定理1独立同分布,
42. 330
43. （1）试判断X，Y 的独立性解: 求当 0<x<1 时其它xy016故其它（2）求EX，DY ，X，Y的相关系数
44. 当时时当其它所以其它xy017时当故X 和Y 不独立。
45. 一、填空题1、设A, B, C是三个事件，且P(A)=0.7, P(B)=0.3, P(A-B)=0.5, 则 2、设事件A,B互不相容，且P(A)=p, P(B)=q, 则.3、已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3 ，则.4、设X服从泊松分布，且已知P(X=1)=P(X=2), 则P(X=4)=_______________________.5、设，且，则 .
46. 6、若随机变量X服从[-1,b]上的均匀分布, 且有切比雪夫不等式，则 b=_______,___________. 7. 设随机变量X和Y独立同分布，都服从标准正态分布N(0,1)，U=X+Y,V=X-Y,则U和V的相关系数 8、X与Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为，则Z=max(X,Y)的分布函数的分布函数.9.设，，且X和Y独立，则 .
47. 1. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3，设 X 是途中遇到的红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数一、计算题
48. 2.设随机变量X的密度函数为试求以下Y的密度函数：（1）；（2）3．设随机变量X的密度函数为（1）求系数 A；（2）求X的分布函数F(x)；（3）求概率。
49. (本页无文本内容)
50. (本页无文本内容)
51. 6．设二维随机变量的联合密度函数为 (1)求、，并判断X与Y是否独立(2)求，并判断X与Y是否相关。
52. 7.设随机变量的概率密度为对独立地重复观察4次，用表示观察值大于的次数，求的数学期望。
53. 练习册P38 第4题
54. (本页无文本内容)
55. (本页无文本内容)
56. 12．设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为 (1)求条件密度函数 (2)求条件概率
57. 13 。(1)设随机变量X与Y独立, 且服从均值为1、标准差为的正态分布,而Y服从标准正态方布, 试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数.(2) 已知X,Y相互独立同服从分布,求44分析: 由于独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布, 而正态分布由其均值和方差唯一确定, 故只需确定Z的均值 E(X) 和方差 D(X) 即可.解: (1) 由题意知, 且X与Y相互独立故X与Y的线性组合Z=2X-Y+3仍服从正态分布,且
58. 而46故于是Z的概率密度函数为 :(2) 因为X与Y相互独立,且同服从分布 ,故 X-Y 也服从正态分布。
59. 故又因此48

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