第1章 机事件概率
（1）排列组合公式
m中挑出n进行排列数
m中挑出n进行组合数
（2）加法法原理
加法原理（两种方法均完成事）：m+n
某件事两种方法完成第种方法m种方法完成第二种方法n种方法完成件事m+n 种方法完成
法原理（两步骤分完成件事）：m×n
某件事两步骤完成第步骤m种方法完成第二步骤n 种方法完成件事m×n 种方法完成
（3）常见排列
重复排列非重复排列（序）
立事件（少）
序问题
（4）机试验机事件
果试验相条件重复进行次试验结果止进行次试验前断言出现结果称种试验机试验
试验结果称机事件
（5）基事件样空间事件
试验事件少总中找出样组事件具性质：
①进行次试验必须发生发生组中事件
②事件组中部分事件组成
样组事件中事件称基事件表示
基事件全体称试验样空间表示
事件中部分点（基事件）组成集合通常写字母ABC…表示事件子集
必然事件Ø事件
事件（Ø）概率零概率零事件定事件理必然事件（Ω）概率1概率1事件定必然事件
（6）事件关系运算
①关系：
果事件A组成部分事件B组成部分（A发生必事件B发生）：
果时称事件A事件B等价称A等B：AB
AB中少发生事件：AB者A+B
属A属B部分构成事件称AB差记AB表示AAB者表示A发生B发生事件
AB时发生：AB者ABABØ表示AB时发生称事件A事件B互相容者互斥基事件互相容
A称事件A逆事件称A立事件记表示A发生事件互斥未必立
②运算：
结合率：A(BC)(AB)C A∪(B∪C)(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C(AC)∪(BC)
德摩根率：
（7）概率公理化定义
设样空间事件事件实数P(A)满足列三条件：
1° 0≤P(A)≤1
2° P(Ω) 1
3° 两两互相容事件…
常称列（完全）加性
称P(A)事件概率
（8）古典概型
1°
2°
设事件组成
P(A)
（9）概型
机试验结果限数结果出现性均匀时样空间中基事件界区域描述称机试验概型事件A
中L度量（长度面积体积）
（10）加法公式
P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)
P(AB)＝0时P(A+B)P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(AB)P(A)P(AB)
BA时P(AB)P(A)P(B)
AΩ时P()1 P(B)
（12）条件概率
定义 设AB两事件P(A)>0称事件A发生条件事件B发生条件概率记
条件概率概率种概率性质适合条件概率
例P(ΩB)1P(A)1P(BA)
（13）法公式
法公式：
更般事件A1A2…AnP(A1A2…An1)>0
…………
（14）独立性
①两事件独立性
设事件满足称事件相互独立
事件相互独立
事件相互独立相互独立
必然事件事件Ø事件相互独立
Ø事件互斥
②事件独立性
设ABC三事件果满足两两独立条件
P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(CA)P(C)P(A)
时满足P(ABC)P(A)P(B)P(C)
ABC相互独立
n事件类似
（15）全概公式
设事件满足
1°两两互相容
2°
（16）贝叶斯公式
设事件…满足
1° …两两互相容>012…
2°
i12…n
公式贝叶斯公式
（…）通常先验概率（…）通常称验概率贝叶斯公式反映果概率规律作出果朔推断
（17）伯努利概型
作次试验满足
u 次试验两种结果发生发生
u 次试验重复进行发生概率次均样
u 次试验独立次试验发生否次试验发生否互影响
种试验称伯努利概型称重伯努利试验
表示次试验发生概率发生概率表示重伯努利试验中出现次概率
第二章 机变量分布
（1）离散型机变量分布律
设离散型机变量取值Xk(k12…)取值概率事件(XXk)概率
P(Xxk)pkk12…
称式离散型机变量概率分布分布律时分布列形式出：
显然分布律应满足列条件：
（1） （2）
（2）连续型机变量分布密度
设机变量分布函数存非负函数意实数
称连续型机变量称概率密度函数密度函数简称概率密度
密度函数具面4性质：
1°
2°
（3）离散连续型机变量关系
积分元连续型机变量理中起作离散型机变量理中起作相类似
（4）分布函数
设机变量意实数函数
称机变量X分布函数质累积函数
X落入区间概率分布函数表示机变量落入区间（– ∞x]概率
分布函数具性质：
1°
2° 单调减函数时
3°
4° 右连续
5°
离散型机变量
连续型机变量
（5）八分布
01分布
P(X1)p P(X0)q
二项分布
重贝努里试验中设事件发生概率事件发生次数机变量设取值
中
称机变量服参数二项分布记
时（01）分布（01）分布二项分布特例
泊松分布
设机变量分布律
称机变量服参数泊松分布记者P()
泊松分布二项分布极限分布（npλn→∞）
超分布
机变量X服参数nNM超分布记H(nNM)
分布
中p≥0q1p
机变量X服参数p分布记G(p)
均匀分布
设机变量值落[ab]密度函数[ab]常数
a≤x≤b
称机变量[ab]服均匀分布记X~U(ab)
分布函数
a≤x≤b
0 x
1 x>b
a≤x1
指数分布
0
中称机变量X服参数指数分布
X分布函数
x<0
记住积分公式：
正态分布
设机变量密度函数
中常数称机变量服参数正态分布高斯（Gauss）分布记
具性质：
1° 图形关称
2° 时值
分布函数
参数时正态分布称标准正态分布记密度函数记
分布函数
求积函数函数值已编制成表供查
Φ(x)＝1Φ(x)Φ(0)＝
果~~
（6）分位数
分位表：
分位表：
（7）函数分布
离散型
已知分布列
分布列（互相等）：
某相等应应相加作概率
连续型
先利X概率密度fX(x)写出Y分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)利变限积分求导公式求出fY(y)
第三章 二维机变量分布
（1）联合分布
离散型
果二维机量（XY）取值列序（xy）称离散型机量
设（XY）取值事件{}概率pij称
（XY）分布律称XY联合分布律联合分布时面概率分布表表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
里pij具面两性质：
（1）pij≥0（ij12…）
（2）
连续型
二维机量果存非负函数意邻边分行坐标轴矩形区域DD{(XY)|a
称连续型机量称f(xy)（XY）分布密度称XY联合分布密度
分布密度f(xy)具面两性质：
（1） f(xy)≥0
（2）
（2）二维机变量质
（3）联合分布函数
设（XY）二维机变量意实数xy二元函数
称二维机量（XY）分布函数称机变量XY联合分布函数
分布函数全面定义域事件概率函数值实值函数分布函数F(xy)具基性质：
（1）
（2）F（xy）分xy非减
x2>x1时F（x2y）≥F(x1y)y2>y1时F(xy2) ≥F(xy1)
（3）F（xy）分xy右连续
（4）
（5）
（4）离散型连续型关系
（5）边缘分布
离散型
X边缘分布
Y边缘分布
连续型
X边缘分布密度
Y边缘分布密度
（6）条件分布
离散型
已知Xxi条件Y取值条件分布
已知Yyj条件X取值条件分布
连续型
已知Yy条件X条件分布密度
已知Xx条件Y条件分布密度
（7）独立性
般型
F(XY)FX(x)FY(y)
离散型
零独立
连续型
f(xy)fX(x)fY(y)
直接判断充条件：
①分离变量
②正概率密度区间矩形
二维正态分布
＝0
机变量函数
X1X2…XmXm+1…Xn相互独立 hg连续函数：
h（X1X2…Xm）g（Xm+1…Xn）相互独立
特例：XY独立：h（X）g（Y）独立
例：XY独立：3X+15Y2独立
（8）二维均匀分布
设机量（XY）分布密度函数
中SD区域D面积称（XY）服D均匀分布记（XY）～U（D）
例图31图32图33
y
1
D1
O 1 x
图31
y
D2
1
1
O 2 x
图32
y
D3
d
c
O a b x
图33
（9）二维正态分布
设机量（XY）分布密度函数
中5参数称（XY）服二维正态分布
记（XY）～N（
边缘密度计算公式推出二维正态分布两边缘分布正态分布
X～N（
X～N（(XY)未必二维正态分布
（10）函数分布
ZX+Y
根定义计算：
连续型fZ(z)＝
两独立正态分布正态分布（）
n相互独立正态分布线性组合服正态分布
Zmaxmin(X1X2…Xn)
相互独立分布函数分Zmaxmin(X1X2…Xn)分布函数：
分布
设n机变量相互独立服标准正态分布证明方
分布密度
称机变量W服度n分布记W～中
谓度指独立正态机变量数机变量分布中重参数
分布满足加性：设
t分布
设XY两相互独立机变量
证明函数
概率密度
称机变量T服度nt分布记T～t(n)
F分布
设XY独立证明概率密度函数
称机变量F服第度n1第二度n2F分布记F～f(n1 n2)
第四章 机变量数字特征
（1）维机变量数字特征
离散型
连续型
期
期均值
设X离散型机变量分布律P()＝pkk12…n
（求绝收敛）
设X连续型机变量概率密度f(x)
（求绝收敛）
函数期
Yg(X)
Yg(X)
方差
D(X)E[XE(X)]2
标准差
矩
①正整数k称机变量Xk次幂数学期Xk阶原点矩记vk
νkE(Xk) k12 …
②正整数k称机变量XE（X）差k次幂数学期Xk阶中心矩记
k12 …
①正整数k称机变量Xk次幂数学期Xk阶原点矩记vk
νkE(Xk)
k12 …
②正整数k称机变量XE（X）差k次幂数学期Xk阶中心矩记
k12 …
切雪夫等式
设机变量X具数学期E（X）μ方差D（X）σ2意正数ε列切雪夫等式
切雪夫等式出未知X分布情况概率
种估计理重意义
（2）期性质
（1） E(C)C
（2） E(CX)CE(X)
（3） E(X+Y)E(X)+E(Y)
（4） E(XY)E(X) E(Y)充分条件：XY独立
充条件：XY相关
（3）方差性质
（1） D(C)0E(C)C
（2） D(aX)a2D(X) E(aX)aE(X)
（3） D(aX+b) a2D(X) E(aX+b)aE(X)+b
（4） D(X)E(X2)E2(X)
（5） D(X±Y)D(X)+D(Y)充分条件：XY独立
充条件：XY相关
D(X±Y)D(X)+D(Y) ±2E[(XE(X))(YE(Y))]条件成立
E(X+Y)E(X)+E(Y)条件成立
（4）常见分布期方差
期
方差
01分布
p
二项分布
np
泊松分布
分布
超分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n
2n
t分布
0
(n>2)
（5）二维机变量数字特征
期
函数期
＝
＝
方差
协方差
机变量XY称二阶混合中心矩XY协方差相关矩记
记号相应XY方差D（X）D（Y）分记
相关系数
机变量XY果D（X）>0 D(Y)>0称
XY相关系数记作（时简记）
||≤1||1时称XY完全相关：
完全相关
时称XY相关
五命题等价：
①
②cov(XY)0
③E(XY)E(X)E(Y)
④D(X+Y)D(X)+D(Y)
⑤D(XY)D(X)+D(Y)
协方差矩阵
混合矩
机变量XY果存称XYk+l阶混合原点矩记k+l阶混合中心矩记：
（6）协方差性质
(i) cov (X Y)cov (Y X)
(ii) cov(aXbY)ab cov(XY)
(iii) cov(X1+X2 Y)cov(X1Y)+cov(X2Y)
(iv) cov(XY)E(XY)E(X)E(Y)
（7）独立相关
（i） 机变量XY相互独立反真
（ii） （XY）～N（）
XY相互独立充条件XY相关
第五章 数定律中心极限定理
（1）数定律
切雪夫数定律
设机变量X1X2…相互独立均具限方差常数C界：D（Xi）
特殊情形：X1X2…具相数学期E（XI）μ式成
伯努利数定律
设μn次独立试验中事件A发生次数p事件A次试验中发生概率意正数ε
伯努利数定律说明试验次数n时事件A发生频率概率较判性
严格数学形式描述频率稳定性
辛钦数定律
设X1X2…Xn…相互独立分布机变量序列E（Xn）μ意正数ε
（2）中心极限定理
列维－林德伯格定理
设机变量X1X2…相互独立服分布具相数学期方差：机变量
分布函数Fn(x)意实数x
定理称独立分布中心极限定理
棣莫弗－拉普拉斯定理
设机变量具参数n p(0
（3）二项定理
超分布极限分布二项分布
（4）泊松定理
中k012…n…
二项分布极限分布泊松分布
第六章 样抽样分布
（1）数理统计基概念
总体
数理统计中常考察象某（）指标全体称总体（母体）总总体成具分布机变量（机量）
体
总体中单元称样品（体）
样
总体中抽取部分样品称样样中含样品数称样容量般n表示般情况总样成n相互独立总体相分布机变量样样称简单机样泛指次抽取结果时表示n机变量（样）具体次抽取表示n具体数值（样值）称样两重性
样函数统计量
设总体样称
（）
样函数中连续函数果中包含未知参数称（）统计量
常见统计量性质
样均值
样方差
样标准差
样k阶原点矩
样k阶中心矩
中二阶中心矩
（2）正态总体四分布
正态分布
设正态总体样样函数
t分布
设正态总体样样函数
中t(n1)表示度n1t分布
设正态总体样样函数
中表示度n1分布
F分布
设正态总体样正态总体样样函数
中
表示第度第二度F分布
（3）正态总体分布性质
独立
第七章 参数估计
（1）点估计
矩估计
设总体X分布中包含未知数分布函数表成k阶原点矩中包含未知参数设总体Xn样值样k阶原点矩
样参数等估计量时总体矩等相应样矩原建立方程
面m方程中解出m未知参数参数（）矩估计量
矩估计连续函数矩估计
极似然估计
总体X连续型机变量时设分布密度中未知参数设总体样称
样似然函数简记Ln
总体X离型机变量时设分布律称
样似然函数
似然函数处取值称分似然估计值相应统计量称似然估计量
极似然估计单调函数极似然估计
（2）估计量评选标准
偏性
设未知参数估计量E （）称 偏估计量
E（）E（X） E（S2）D（X）
效性
设未知参数两偏估计量称效
致性
设串估计量果意正数
称致估计量（相合估计量）
偏估计致估计
总体E(X)D(X)存切样矩样矩连续函数相应总体致估计量
（3）区间估计
置信区间置信度
设总体X含估未知参数果样出发找出两统计量区间概率包含估参数
称区间置信区间该区间置信度（置信水）
单正态总体期方差区间估计
设总体样置信度确定置信区间具体步骤：
（i）选择样函数
（ii）置信度查表找分位数
（iii）导出置信区间
已知方差估计均值
（i）选择样函数
(ii) 查表找分位数
（iii）导出置信区间
未知方差估计均值
（i）选择样函数
(ii)查表找分位数
（iii）导出置信区间
方差区间估计
（i）选择样函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出置信区间
第八章 假设检验
基思想
假设检验统计思想概率事件次试验中认基会发生概率原理
检验假设H0否成立先假定H0成立果根假定导致合理事件发生表明原假定H0正确拒绝接受H0果没导出合理现象拒绝接受H0称H0相容H0相假设称备择假设H1表示
里说概率事件事件概率检验水α通常取α005时取001010
基步骤
假设检验基步骤：
(i) 提出零假设H0
(ii) 选择统计量K
(iii) 检验水α查表找分位数λ
(iv) 样值计算统计量值K
进行较作出判断：时否定H0否认H0相容
两类错误
第类错误
H0真时样值落入否定域规定检验法应否定H0时客观H0成立判H0成立（否定真实假设）称种错误真假错误第类错误记犯类错误概率
P{否定H0|H0真}
处α恰检验水
第二类错误
H1真时样值落入相容域规定检验法应接受H0时客观H0成立判H0成立（接受真实假设）称种错误假真错误第二类错误记犯类错误概率
P{接受H0|H1真}
两类错误关系
然希犯两类错误概率时容量n定时变变相反变变取定想变必须增加样容量
实际时通常控制犯第类错误概率定显著性水αα选取应根实际情况定宁假真愿真假时应α取001甚0001反应α取
单正态总体均值方差假设检验
条件
零假设
统计量
应样
函数分布
否定域
已知
N（01）
未知
未知
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（1）排列组合公式
m中挑出n进行排列数
m中挑出n进行组合数
（2）加法法原理
加法原理（两种方法均完成事）：m+n
某件事两种方法完成第种方法m种方法完成第二种方法n种方法完成件事m+n 种方法完成
法原理（两步骤分完成件事）：m×n
某件事两步骤完成第步骤m种方法完成第二步骤n 种方法完成件事m×n 种方法完成
（3）常见排列
重复排列非重复排列（序）
立事件（少）
序问题
（4）机试验机事件
果试验相条件重复进行次试验结果止进行次试验前断言出现结果称种试验机试验
试验结果称机事件
（5）基事件样空间事件
试验事件少总中找出样组事件具性质：
①进行次试验必须发生发生组中事件
②事件组中部分事件组成
样组事件中事件称基事件表示
基事件全体称试验样空间表示
事件中部分点（基事件）组成集合通常写字母ABC…表示事件子集
必然事件Ø事件
事件（Ø）概率零概率零事件定事件理必然事件（Ω）概率1概率1事件定必然事件
（6）事件关系运算
①关系：
果事件A组成部分事件B组成部分（A发生必事件B发生）：
果时称事件A事件B等价称A等B：AB
AB中少发生事件：AB者A+B
属A属B部分构成事件称AB差记AB表示AAB者表示A发生B发生事件
AB时发生：AB者ABABØ表示AB时发生称事件A事件B互相容者互斥基事件互相容
A称事件A逆事件称A立事件记表示A发生事件互斥未必立
②运算：
结合率：A(BC)(AB)C A∪(B∪C)(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C(AC)∪(BC)
德摩根率：
（7）概率公理化定义
设样空间事件事件实数P(A)满足列三条件：
1° 0≤P(A)≤1
2° P(Ω) 1
3° 两两互相容事件…
常称列（完全）加性
称P(A)事件概率
（8）古典概型
1°
2°
设事件组成
P(A)
（9）概型
机试验结果限数结果出现性均匀时样空间中基事件界区域描述称机试验概型事件A
中L度量（长度面积体积）
（10）加法公式
P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)
P(AB)＝0时P(A+B)P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(AB)P(A)P(AB)
BA时P(AB)P(A)P(B)
AΩ时P()1 P(B)
（12）条件概率
定义 设AB两事件P(A)>0称事件A发生条件事件B发生条件概率记
条件概率概率种概率性质适合条件概率
例P(ΩB)1P(A)1P(BA)
（13）法公式
法公式：
更般事件A1A2…AnP(A1A2…An1)>0
…………
（14）独立性
①两事件独立性
设事件满足称事件相互独立
事件相互独立
事件相互独立相互独立
必然事件事件Ø事件相互独立
Ø事件互斥
②事件独立性
设ABC三事件果满足两两独立条件
P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(CA)P(C)P(A)
时满足P(ABC)P(A)P(B)P(C)
ABC相互独立
n事件类似
（15）全概公式
设事件满足
1°两两互相容
2°
（16）贝叶斯公式
设事件…满足
1° …两两互相容>012…
2°
i12…n
公式贝叶斯公式
（…）通常先验概率（…）通常称验概率贝叶斯公式反映果概率规律作出果朔推断
（17）伯努利概型
作次试验满足
u 次试验两种结果发生发生
u 次试验重复进行发生概率次均样
u 次试验独立次试验发生否次试验发生否互影响
种试验称伯努利概型称重伯努利试验
表示次试验发生概率发生概率表示重伯努利试验中出现次概率
第二章 机变量分布
（1）离散型机变量分布律
设离散型机变量取值Xk(k12…)取值概率事件(XXk)概率
P(Xxk)pkk12…
称式离散型机变量概率分布分布律时分布列形式出：
显然分布律应满足列条件：
（1） （2）
（2）连续型机变量分布密度
设机变量分布函数存非负函数意实数
称连续型机变量称概率密度函数密度函数简称概率密度
密度函数具面4性质：
1°
2°
（3）离散连续型机变量关系
积分元连续型机变量理中起作离散型机变量理中起作相类似
（4）分布函数
设机变量意实数函数
称机变量X分布函数质累积函数
X落入区间概率分布函数表示机变量落入区间（– ∞x]概率
分布函数具性质：
1°
2° 单调减函数时
3°
4° 右连续
5°
离散型机变量
连续型机变量
（5）八分布
01分布
P(X1)p P(X0)q
二项分布
重贝努里试验中设事件发生概率事件发生次数机变量设取值
中
称机变量服参数二项分布记
时（01）分布（01）分布二项分布特例
泊松分布
设机变量分布律
称机变量服参数泊松分布记者P()
泊松分布二项分布极限分布（npλn→∞）
超分布
机变量X服参数nNM超分布记H(nNM)
分布
中p≥0q1p
机变量X服参数p分布记G(p)
均匀分布
设机变量值落[ab]密度函数[ab]常数
a≤x≤b
称机变量[ab]服均匀分布记X~U(ab)
分布函数
a≤x≤b
0 x
1 x>b
a≤x1
指数分布
0
中称机变量X服参数指数分布
X分布函数
x<0
记住积分公式：
正态分布
设机变量密度函数
中常数称机变量服参数正态分布高斯（Gauss）分布记
具性质：
1° 图形关称
2° 时值
分布函数
参数时正态分布称标准正态分布记密度函数记
分布函数
求积函数函数值已编制成表供查
Φ(x)＝1Φ(x)Φ(0)＝
果~~
（6）分位数
分位表：
分位表：
（7）函数分布
离散型
已知分布列
分布列（互相等）：
某相等应应相加作概率
连续型
先利X概率密度fX(x)写出Y分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)利变限积分求导公式求出fY(y)
第三章 二维机变量分布
（1）联合分布
离散型
果二维机量（XY）取值列序（xy）称离散型机量
设（XY）取值事件{}概率pij称
（XY）分布律称XY联合分布律联合分布时面概率分布表表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
里pij具面两性质：
（1）pij≥0（ij12…）
（2）
连续型
二维机量果存非负函数意邻边分行坐标轴矩形区域DD{(XY)|a
称连续型机量称f(xy)（XY）分布密度称XY联合分布密度
分布密度f(xy)具面两性质：
（1） f(xy)≥0
（2）
（2）二维机变量质
（3）联合分布函数
设（XY）二维机变量意实数xy二元函数
称二维机量（XY）分布函数称机变量XY联合分布函数
分布函数全面定义域事件概率函数值实值函数分布函数F(xy)具基性质：
（1）
（2）F（xy）分xy非减
x2>x1时F（x2y）≥F(x1y)y2>y1时F(xy2) ≥F(xy1)
（3）F（xy）分xy右连续
（4）
（5）
（4）离散型连续型关系
（5）边缘分布
离散型
X边缘分布
Y边缘分布
连续型
X边缘分布密度
Y边缘分布密度
（6）条件分布
离散型
已知Xxi条件Y取值条件分布
已知Yyj条件X取值条件分布
连续型
已知Yy条件X条件分布密度
已知Xx条件Y条件分布密度
（7）独立性
般型
F(XY)FX(x)FY(y)
离散型
零独立
连续型
f(xy)fX(x)fY(y)
直接判断充条件：
①分离变量
②正概率密度区间矩形
二维正态分布
＝0
机变量函数
X1X2…XmXm+1…Xn相互独立 hg连续函数：
h（X1X2…Xm）g（Xm+1…Xn）相互独立
特例：XY独立：h（X）g（Y）独立
例：XY独立：3X+15Y2独立
（8）二维均匀分布
设机量（XY）分布密度函数
中SD区域D面积称（XY）服D均匀分布记（XY）～U（D）
例图31图32图33
y
1
D1
O 1 x
图31
y
D2
1
1
O 2 x
图32
y
D3
d
c
O a b x
图33
（9）二维正态分布
设机量（XY）分布密度函数
中5参数称（XY）服二维正态分布
记（XY）～N（
边缘密度计算公式推出二维正态分布两边缘分布正态分布
X～N（
X～N（(XY)未必二维正态分布
（10）函数分布
ZX+Y
根定义计算：
连续型fZ(z)＝
两独立正态分布正态分布（）
n相互独立正态分布线性组合服正态分布
Zmaxmin(X1X2…Xn)
相互独立分布函数分Zmaxmin(X1X2…Xn)分布函数：
分布
设n机变量相互独立服标准正态分布证明方
分布密度
称机变量W服度n分布记W～中
谓度指独立正态机变量数机变量分布中重参数
分布满足加性：设
t分布
设XY两相互独立机变量
证明函数
概率密度
称机变量T服度nt分布记T～t(n)
F分布
设XY独立证明概率密度函数
称机变量F服第度n1第二度n2F分布记F～f(n1 n2)
第四章 机变量数字特征
（1）维机变量数字特征
离散型
连续型
期
期均值
设X离散型机变量分布律P()＝pkk12…n
（求绝收敛）
设X连续型机变量概率密度f(x)
（求绝收敛）
函数期
Yg(X)
Yg(X)
方差
D(X)E[XE(X)]2
标准差
矩
①正整数k称机变量Xk次幂数学期Xk阶原点矩记vk
νkE(Xk) k12 …
②正整数k称机变量XE（X）差k次幂数学期Xk阶中心矩记
k12 …
①正整数k称机变量Xk次幂数学期Xk阶原点矩记vk
νkE(Xk)
k12 …
②正整数k称机变量XE（X）差k次幂数学期Xk阶中心矩记
k12 …
切雪夫等式
设机变量X具数学期E（X）μ方差D（X）σ2意正数ε列切雪夫等式
切雪夫等式出未知X分布情况概率
种估计理重意义
（2）期性质
（1） E(C)C
（2） E(CX)CE(X)
（3） E(X+Y)E(X)+E(Y)
（4） E(XY)E(X) E(Y)充分条件：XY独立
充条件：XY相关
（3）方差性质
（1） D(C)0E(C)C
（2） D(aX)a2D(X) E(aX)aE(X)
（3） D(aX+b) a2D(X) E(aX+b)aE(X)+b
（4） D(X)E(X2)E2(X)
（5） D(X±Y)D(X)+D(Y)充分条件：XY独立
充条件：XY相关
D(X±Y)D(X)+D(Y) ±2E[(XE(X))(YE(Y))]条件成立
E(X+Y)E(X)+E(Y)条件成立
（4）常见分布期方差
期
方差
01分布
p
二项分布
np
泊松分布
分布
超分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n
2n
t分布
0
(n>2)
（5）二维机变量数字特征
期
函数期
＝
＝
方差
协方差
机变量XY称二阶混合中心矩XY协方差相关矩记
记号相应XY方差D（X）D（Y）分记
相关系数
机变量XY果D（X）>0 D(Y)>0称
XY相关系数记作（时简记）
||≤1||1时称XY完全相关：
完全相关
时称XY相关
五命题等价：
①
②cov(XY)0
③E(XY)E(X)E(Y)
④D(X+Y)D(X)+D(Y)
⑤D(XY)D(X)+D(Y)
协方差矩阵
混合矩
机变量XY果存称XYk+l阶混合原点矩记k+l阶混合中心矩记：
（6）协方差性质
(i) cov (X Y)cov (Y X)
(ii) cov(aXbY)ab cov(XY)
(iii) cov(X1+X2 Y)cov(X1Y)+cov(X2Y)
(iv) cov(XY)E(XY)E(X)E(Y)
（7）独立相关
（i） 机变量XY相互独立反真
（ii） （XY）～N（）
XY相互独立充条件XY相关
第五章 数定律中心极限定理
（1）数定律
切雪夫数定律
设机变量X1X2…相互独立均具限方差常数C界：D（Xi）
特殊情形：X1X2…具相数学期E（XI）μ式成
伯努利数定律
设μn次独立试验中事件A发生次数p事件A次试验中发生概率意正数ε
伯努利数定律说明试验次数n时事件A发生频率概率较判性
严格数学形式描述频率稳定性
辛钦数定律
设X1X2…Xn…相互独立分布机变量序列E（Xn）μ意正数ε
（2）中心极限定理
列维－林德伯格定理
设机变量X1X2…相互独立服分布具相数学期方差：机变量
分布函数Fn(x)意实数x
定理称独立分布中心极限定理
棣莫弗－拉普拉斯定理
设机变量具参数n p(0
（3）二项定理
超分布极限分布二项分布
（4）泊松定理
中k012…n…
二项分布极限分布泊松分布
第六章 样抽样分布
（1）数理统计基概念
总体
数理统计中常考察象某（）指标全体称总体（母体）总总体成具分布机变量（机量）
体
总体中单元称样品（体）
样
总体中抽取部分样品称样样中含样品数称样容量般n表示般情况总样成n相互独立总体相分布机变量样样称简单机样泛指次抽取结果时表示n机变量（样）具体次抽取表示n具体数值（样值）称样两重性
样函数统计量
设总体样称
（）
样函数中连续函数果中包含未知参数称（）统计量
常见统计量性质
样均值
样方差
样标准差
样k阶原点矩
样k阶中心矩
中二阶中心矩
（2）正态总体四分布
正态分布
设正态总体样样函数
t分布
设正态总体样样函数
中t(n1)表示度n1t分布
设正态总体样样函数
中表示度n1分布
F分布
设正态总体样正态总体样样函数
中
表示第度第二度F分布
（3）正态总体分布性质
独立
第七章 参数估计
（1）点估计
矩估计
设总体X分布中包含未知数分布函数表成k阶原点矩中包含未知参数设总体Xn样值样k阶原点矩
样参数等估计量时总体矩等相应样矩原建立方程
面m方程中解出m未知参数参数（）矩估计量
矩估计连续函数矩估计
极似然估计
总体X连续型机变量时设分布密度中未知参数设总体样称
样似然函数简记Ln
总体X离型机变量时设分布律称
样似然函数
似然函数处取值称分似然估计值相应统计量称似然估计量
极似然估计单调函数极似然估计
（2）估计量评选标准
偏性
设未知参数估计量E （）称 偏估计量
E（）E（X） E（S2）D（X）
效性
设未知参数两偏估计量称效
致性
设串估计量果意正数
称致估计量（相合估计量）
偏估计致估计
总体E(X)D(X)存切样矩样矩连续函数相应总体致估计量
（3）区间估计
置信区间置信度
设总体X含估未知参数果样出发找出两统计量区间概率包含估参数
称区间置信区间该区间置信度（置信水）
单正态总体期方差区间估计
设总体样置信度确定置信区间具体步骤：
（i）选择样函数
（ii）置信度查表找分位数
（iii）导出置信区间
已知方差估计均值
（i）选择样函数
(ii) 查表找分位数
（iii）导出置信区间
未知方差估计均值
（i）选择样函数
(ii)查表找分位数
（iii）导出置信区间
方差区间估计
（i）选择样函数
（ii）查表找分位数
（iii）导出置信区间
第八章 假设检验
基思想
假设检验统计思想概率事件次试验中认基会发生概率原理
检验假设H0否成立先假定H0成立果根假定导致合理事件发生表明原假定H0正确拒绝接受H0果没导出合理现象拒绝接受H0称H0相容H0相假设称备择假设H1表示
里说概率事件事件概率检验水α通常取α005时取001010
基步骤
假设检验基步骤：
(i) 提出零假设H0
(ii) 选择统计量K
(iii) 检验水α查表找分位数λ
(iv) 样值计算统计量值K
进行较作出判断：时否定H0否认H0相容
两类错误
第类错误
H0真时样值落入否定域规定检验法应否定H0时客观H0成立判H0成立（否定真实假设）称种错误真假错误第类错误记犯类错误概率
P{否定H0|H0真}
处α恰检验水
第二类错误
H1真时样值落入相容域规定检验法应接受H0时客观H0成立判H0成立（接受真实假设）称种错误假真错误第二类错误记犯类错误概率
P{接受H0|H1真}
两类错误关系
然希犯两类错误概率时容量n定时变变相反变变取定想变必须增加样容量
实际时通常控制犯第类错误概率定显著性水αα选取应根实际情况定宁假真愿真假时应α取001甚0001反应α取
单正态总体均值方差假设检验
条件
零假设
统计量
应样
函数分布
否定域
已知
N（01）
未知
未知
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