数字信号处理(第三版)-课后习题答案全-(原题答案图) - ppt资料 - 香当网

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1. 　　　　1.4　习题与上机题解答 　　1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。题1图
2. 解：　　x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)　　　　+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)　　2．给定信号：　　　　　2n+5　　　－4≤n≤－1　　　　　　6　　　　　0≤n≤4　　　　　　0 其它　　(1) 画出x(n)序列的波形，标上各序列值； 　　(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=
3. 　　（3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形；  　　（4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形；  　　（5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。  　　解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
4. 　　（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。  　　(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。  　　(5) 画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
5. 题2解图（一）
6. 题2解图（二）
7. 题2解图（三）
8. 题2解图（四）
9. 　　3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，确定其周期。 (1)(2)　　解：（1）因为ω=　　π, 所以　　　　　, 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 　　（2）因为ω=　　, 所以　　　=16π, 这是无理数，因此是非周期序列。
10. 　　4．对题1图给出的x(n)要求： 　　(1) 画出x(－n)的波形； 　　(2) 计算xe(n)=　　［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形；　　(3) 计算xo(n)= 　［x(n)－x(－n)］，并画出xo(n)波形; 　(4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？
11. 　　解：（1） x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 　　(2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。  　　(3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。
12. 题4解图（一）
13. 题4解图（二）
14. 题4解图（三）
15. 　　(4) 很容易证明：  　　　　　x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 　　上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。  　　5．设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。　（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) 　　（2）y(n)=2x(n)+3 　　（3）y(n)=x(n－n0)　　n0为整常数 　　（4）y(n)=x(－n)
16. 　　（5）y(n)=x2(n) 　（6）y(n)=x(n2) 　（7）y(n)=　　 　（8）y(n)=x(n)sin(ωn) 　　解：（1）令输入为　　　　　　　　x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n)
17. 故该系统是非时变系统。因为 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］ +3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］　　 T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) 　　 T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是线性系统。
18. 　　（2）令输入为　　　　　　　　　x(n－n0) 输出为　　　　　　y′(n)=2x(n－n0)+3 　　　　　　y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n) 故该系统是非时变的。由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 　　　T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 　　　T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是非线性系统。
19. 　　(3) 这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为　　　　　　　　x(n－n1) 输出为　　　　y′(n)=x(n－n1－n0) 　　　　y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。由于　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) 　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延时器是线性系统。
20. 　　(4) y(n)=x(－n) 　　令输入为　　　　　　　　　x(n－n0) 输出为　　　　y′(n)=x(－n+n0) 　　　　y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n) 因此系统是线性系统。由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) 　　　　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系统是非时变系统。
21. 　　（5） y(n)=x2(n) 　　令输入为 x(n－n0) 　　输出为　　　　y′(n)=x2(n－n0) 　　　　y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ =ax21(n)+bx22(n) 因此系统是非线性系统。
22. 　　（6） y(n)=x(n2) 　　令输入为　　　　　　　x(n－n0) 输出为　　　　y′(n)=x((n－n0)2) 　　　　y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。由于　　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) 　　　　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。
23. （7） y(n)=　　x(m) 　　令输入为　　　　　　　x(n－n0) 　　输出为　　　　y′(n)=　　=0[DD)]x(m-n0) 　　　　y(n－n0)=　　x(m)≠y′(n) 故系统是时变系统。由于　　　T［ax1(n)+bx2(n)］=　　　［ax1(m)+bx2(m)］ 　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。
24. 　　（8） y(n)=x(n) sin(ωn) 　　令输入为　　　　　　　x(n－n0) 　　输出为　　　　y′(n)=x(n－n0) sin(ωn) 　　　　y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。由于　　T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn) 　　　　　=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。
25. 　　6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。  （1） y(n)=　　　　x(n－k) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= 　　x(k) （4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
26. 　　解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。　如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤M，因此系统是稳定系统。　（2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统。　　（3）如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤　　|x(k)|≤|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n0>0，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。
27. 　　（4）假设n0>0，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤M，因此系统是稳定的。 　　（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，因此系统是稳定的。 　　7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。　　解：解法（一）采用列表法。　　y(n)=x(n)*h(n)=　　　x(m)h(n－m)
28. 题7图
29. y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
30. 　　解法（二）　采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为　　　x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) 　　　h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ 　δ(n－2) 由于　　　x(n)*δ(n)=x(n) 　　　x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故
31. 　　y(n)=x(n)*h(n)  　　　 =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+　　x(n－2) 将x(n)的表示式代入上式，得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
32. 　　8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。  　　（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) 　　（2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) 　　（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 　　解：（1） y(n)=x(n)*h(n)=　　　R4(m)R5(n－m) 先确定求和域。由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的　　非零区间如下: 　　　　　　　　　　0≤m≤3 　　　　　　　　　　－4≤m≤n
33. 根据非零区间，将n分成四种情况求解：  ① n<0时， y(n)=0 ② 0≤n≤3时， y(n)= 　　　1=n+1 ③ 4≤n≤7时， y(n)=　　　1=8－n ④ n>7时， y(n)=0
34. 最后结果为 0 n<0或n>7 n+1 0≤n≤3 8－n　4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 　　(2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)　　　　 =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=
35. 题8解图（一）
36. 题8解图（二）
37. (3) y(n)=x(n)*h(n) = 　　　R5(m)0.5n－mu(n－m) 　　　=0.5n　　　R5(m)0.5－mu(n－m) y（n）对于m 的非零区间为　　　　　　　　0≤m≤4,　 m≤n 　　① n<0时， y(n)=0 　　② 0≤n≤4时，
38. =－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③ n≥5时最后写成统一表达式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)
39. 　　9．证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：  　　（1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 　　（2） x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) 　　（3） x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 　　证明：（1）因为令m′=n－m, 则
40. (2) 利用上面已证明的结果，得到
41. 交换求和号的次序，得到
42. 　　10．设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)={x0, x1, x2, …, xk, …}，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。
43. 解：n=0时， n≥0n=1时，
44. n=2时，最后得到11．设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。
45. 解：令x(n)=δ(n), 则n=0时， n=1时，
46. n=2时， n=3时，归纳起来，结果为
47. 　　12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。  　　解：分析的方法是让系统输入分别为δ(n)、 δ(n－1)、 δ(n)+δ(n－1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。  　　（1）令x(n)=δ(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1 中已求出，系统的输出为 　　　　　　　　　　y1(n)=anu(n)
48. 　　(2) 令x(n)=δ(n－1)，这时系统的输出用y2(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时，任意 n 时，
49. 最后得到　　(3) 令x(n)=δ(n)+δ(n－1), 系统的输出用y3(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时，
50. n=3时，任意 n 时，最后得到
51. 由（1）和（2）得到　　y1(n)=T［δ(n)］, y2(n)=T［δ(n－1)］ 　　y1(n)=y2(n－1) 因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n), 0<a<1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。
52. 　　13．有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)，式中， f=20 Hz, j=π/2。 　　（1）求出xa(t)的周期； 　　（2）用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样，试写出采样信号　　　的表达式； 　　（3）画出对应　　的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。  　　解：（1） xa(t)的周期为
53. （2）　　（3） x(n)的数字频率ω=0.8π，故　　　　，因而周期N=5，所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 画出其波形如题13解图所示。
54. 题13解图
55. 14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为　　（1）求出该滤波器的单位脉冲响应； 　　（2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。　　解：（1）将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即
56. （2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(－k)， h(n－k)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(n－k)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。
57. (本页无文本内容)
58. 　　15*. 已知系统的差分方程和输入信号分别为用递推法计算系统的零状态响应。  　　解：求解程序ex115.m如下：  　　%程序ex115.m 　　% 调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2) 　　xn=［1， 2， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)］；　　　　%x(n)=单位脉冲序列，长度N=31 　　B=［1， 0， 2］； A=［1， 0.5］； %差分方程系数
59. 　　yn=filter(B， A， xn) %调用filter解差分方程，求系统输　　　　　　　　　　　　　出信号y(n) 　　n=0： length(yn)－1；  　　subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， ′.′) ；　　axis(［1， 15，－2， 8］) 　　title(′系统的零状态响应 ′)； xlabel(′n′)；　　　　ylabel(′y(n)′) 程序运行结果：
60. yn =[1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656　 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000]程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。
61. 题15*解图
62. 　　16*. 已知两个系统的差分方程分别为　（1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n) 　（2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2)　　分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。　　解：（1）系统差分方程的系数向量为　　　　　B1=1， A1=［1，－0.6， 0.08］　　（2）系统差分方程的系数向量为　　　　　B2=［2， 0，－1］, A2=［1，－0.7， 0.1］
63. 　　　　　2.5　习题与上机题解答 　　1．设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：  　　(1) x(n－n0) (2) x*(n) 　　(3) x(－n) (4) x(n)*y(n) 　　(5) x(n)y(n) (6) nx(n) 　　(7) x(2n) (8) x2(n)(9)
64. 解：（1）令n′=n－n0, 即n=n′+n0，则（2）
65. （3）令n′=－n，则（4） FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω) 下面证明上式成立：
66. 令k=n－m, 则
67. （5）
68. 或者（6）因为对该式两边ω求导，得到
69. 因此（7）令n′=2n，则
70. (本页无文本内容)
71. 或者（8）利用（5）题结果，令x(n)=y(n), 则
72. （9）令n′=n/2，则2．已知≤求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。
73. 解：　　3. 线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
74. 　　解：假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：
75. (本页无文本内容)
76. 　　上式中|H(ejω)|是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数， |H(ejω)|=|H(e-jω)|， θ(ω)=－θ(－ω), 故4．设
77. 　　将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列　　　，画出x(n)和　　　的波形，求出　　　的离散傅里叶级数和傅里叶变换。　　解：画出x(n)和　　　的波形如题4解图所示。
78. 题4解图
79. 或者
80. (本页无文本内容)
81. 　　5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列运算或工作：题5图
82. (1)(2)(3)　(4) 确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)；(5)(6)
83. 解　(1)(2)(3)（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即
84. 按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图
85. (5)(6) 因为因此
86. 　　6．试求如下序列的傅里叶变换：　　(1) x1(n)=δ(n－3)(2)　(3) x3(n)=anu(n)　　　　0<a<1 　(4) x4(n)=u(n+3)－u(n－4) 　解(1)
87. (2)(3)
88. (4)
89. 或者:
90. 　　7．设：  　　（1） x(n)是实偶函数，  　　（2） x(n)是实奇函数，  分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。　　解：令　　(1) 因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到
91. 因此 X(ejω)=X*（e－jω）上式说明x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数， x(n) sinω是奇函数，那么因此
92. 该式说明X(ejω)是实函数，且是ω的偶函数。  　　总结以上, x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejω)是实函数，是ω的偶函数。  　　（2） x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列， X(ejω)具有共轭对称性质，即　　　　　　　 X(ejω)=X*(e－jω)
93. 由于x(n)是奇函数，上式中x(n) cosω是奇函数，那么因此这说明X(ejω)是纯虚数，且是ω的奇函数。  　　8．设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。 
94. 　解：xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。题8解图
95. 　　9．已知x(n)=anu(n), 0<a<1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。　　解：因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的实部， xo(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的虚部乘以j，因此
96. (本页无文本内容)
97. 　　10．若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：　　　　　　　　　HR(ejω)=1+cosω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。  　　解：
98. (本页无文本内容)
99. 　　11．若序列h(n)是实因果序列， h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为　　　　　　　　HI(ejω)=－sinω 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。  　　解：
100. (本页无文本内容)

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