2022届高考数学二轮专题测练等差数列基概念性质
选择题（20题100分）
1 等差数列 an 中 a3−5a5−9 a7
A −12 B −13 C 12 D 13
2 数列通项公式 ankn+b（kb 常数）列说法中正确
A 数列 an 定等差数列
B 数列 an 公差 k 等差数列
C 数列 an 公差 b 等差数列
D 数列 an 定等差数列
3 数列通项公式 ankn+bkb常数列说法中正确
A 数列 an 定等差数列
B 数列 an 公差 k 等差数列
C 数列 an 公差 b 等差数列
D 数列 an 定等差数列
4 已知数列 an 等差数列 a1+a7+a132π tana7
A −3 B 3 C ±3 D −33
5 设数列 an 满足 a11a22 2nann−1an−1+n+1an+1（n≥2 n∈N*） a18
A 259 B 269 C 3 D 289
6 等差数列 an 中am+nαam−nβ公差 d 值
A α+β2n B α−β2n C α+β2m D α−β2m
7 等差数列 an 中a1−9a3−1．记 Tna1a2⋯ann12⋯数列 Tn
A 项项 B 项项
C 项项 D 项项
8 已知数列 an 满足 2anan−1+an+1n≥2a2+a4+a612a1+a3+a59 a1+a6
A 6 B 7 C 8 D 9
9 已知数列 {an} 等差数列 a81 2∣a9∣+∣a10∣ 值 ( )
A 3 B 2 C 1 D 0
10 图点列 AnBn 分某锐角两边 AnAn+1An+1An+2An≠An+2n∈N*BnBn+1Bn+1Bn+2Bn≠Bn+2n∈N*（P≠Q 表示点 P Q 重合）． dnAnBnSn △AnBnBn+1 面积
A Sn 等差数列 B Sn2 等差数列
C dn 等差数列 D dn2 等差数列
11 设等差数列 an 前 n 项 Snn∈N*首项 a1 公差 d 变化时 a1+a8+a15 定值列项中定值
A S15 B S16 C S17 D S18
12 等差数列 an 中a533a45153 201 该数列中序号
A 60 B 61 C 62 D 63
13 设 an 等差数列．列结中正确
A a1+a2>0 a2+a3>0
B a1+a3<0 a1+a2<0
C 0a1a3
D a1<0 a2−a1a2−a3>0
14 已知数列 an 满足 a115 3an+13an−2 ak⋅ak+1<0正整数 k
A 21 B 22 C 23 D 24
15 已知等差数列 an 前 9 项 27a108 a100
A 100 B 99 C 98 D 97
16 数列 an 中a122an+1−2an1 a101 值
A 52 B 51 C 50 D 49
17 已知等数列 an 公 q前 n 项 Sn a1S3S4 成等差数列 q2−q
A −1 B 1 C −2 D 2
18 已知 −2a1a2−8 成等差数列−2b1b2b3−8 成等数列 a2−a1b2 等
A 14 B 12 C −12 D 12 −12
19 意实数 x符号 x 表示 x 整数部分 x 超 x 整数例 22212−22−3函数 x 做取整函数数学身生产实践中广泛应． log21+log22+log23+log24+⋯log264 值
A 21 B 76 C 264 D 642
20 公差 0 等差数列 an 部分项 ak1ak2ak3 构成等数列 akn k11k22k36 k4
A 20 B 22 C 24 D 28
二填空题（5题25分）
21 −8 2 等差中项值 ．
22 记 Sn 等差数列 an 前 n 项 a35a713 S10 ．
23 已知等差数列 an 公差 d∈0π数列 bn 满足 bnsinan集合 Sxxbnn∈N* a1π2集合 S 中恰两元素 d ．
24 设正数数列 an 前 n 项 Sn an Sn 等差数列公差相等 a1+d ．
25 等差数列 an 中a30．果 ak a6 ak+6 等中项 k ．
三解答题（5题65分）
26 已知穷等差数列 an 首项 a1公差 d．
（1）数列 an 中前 m 项掉余项原先次序组成新数列新数列等差数列果首项公差分少
（2）取出数列 an 中奇序数项原先次序组成新数列新数列等差数列果首项公差分少
27 （1）等差数列 an 中 a3+a4+a5+a6+a7450求 a2+a8
（2）已知 an 等差数列a158a6020求 a75．
28 数列 an 满足 a11an+1n2+n−λann12⋯λ 常数．
（1） a2−1 时求 λ a3 值．
（2）数列 an 否等差数列求出通项公式说明理．
29 已知等差数列 an 中a4+a54a22a3−a61．
（1）求 an 通项公式
（2）设 bn1anan+1求数列 bn 前 n 项 Sn．
30 已知数列 an 满足 an+1−1an−13an−an+1a12令 bn1an−1
（1）证明：数列 bn 等差数列
（2）求数列 an 通项公式．
答案
第部分
1 B 解析通解：
设公差 d 2da5−a3−9+5−4 d−2
a7a3+4d−5+4×−2−13．
优解：
等差数列性质 a72a5−a32×−9−−5−13．
2 B
3 B
4 A 解析题 a1+a13+a72a7+a73a72π
a723π．
tana7tan23π−3．
5 B
解析令 bnnan 2bnbn−1+bn+1n≥2
bn 等差数列
b11b24
公差 d3 bn3n−2
b1852 18a1852
a18269．
6 B 解析
am+n−am−na1+m+n−1d−a1+m−n−1d2ndα−β
dα−β2n．
选：B．
7 B 解析题意知等差数列公差 da5−a15−1−1+95−12
通项公式：ana1+n−1d−9+n−1×22n−11
注意 a1 T5<0 知 Ti<0i≥6i∈N
TiTi−1ai>1i≥7i∈N 知数列 Tn 存项
a1−9a2−7a3−5a4−3a5−1a61
数列 Tn 中正项限项：T263T463×15945．
数列 Tn 中存项项 T4．
8 B 解析通解：题意知数列 an 等差数列设公差 d
a1+d+a1+3d+a1+5d12a1+a1+2d+a1+4d9 解 a11d1
a1+a6a1+a1+5d7．
优解：
题意知数列 an 等差数列
a2+a4+a612 a1+a3+a59 相加 3a1+a612+921
a1+a67．
9 C 解析a9a8+d1+da10a8+2d1+2d2∣a9∣+∣a10∣2∣1+d∣+∣1+2d∣2∣1+d∣+12+d d∈−1−12 时原式取值 1．
10 A
解析题意点 A1A2A3⋯AnAn+1⋯ 分作直线 B1Bn+1 垂线高分记 h1h2h3⋯hnhn+1⋯根行线性质 h1h2h3⋯hnhn+1⋯ 成等差数列 Sn12×BnBn+1×hnBnBn+1 定值 Sn 等差数列．
11 A 解析等差数列 an 前 n 项 Snn∈N*首项 a1 公差 d 变化时a1+a8+a15 定值
a1+a8+a153a8 定值
a8 定值
S15152a1+a1515a8 定值．
12 B 解析设等差数列 an 公差 d
a5a1+4d33a45a1+44d153
a121d3
an21+3n−13n+18n∈N+
令 3n+18201 n61．
13 C 解析 an 等差数列
2a2a1+a3
a2>a1>0 时公差 d>0a1≠a3
a2a1+a32>a1a3．
14 C 解析3an+13an−2⇒an+1an−23⇒an 等差数列
a115 an473−23n
ak+1⋅ak<0
473−23k453−23k<0
452 k23．
15 C
解析设等差数列 an 公差 d
an 等差数列 S99a527
a53． a108解 5da10−a55
d1
a100a5+95d98．
16 A 解析数列 an 满足 2an+1−2an1
an+1−an12
a12数列 an 首项 2公差 12 等差数列
a1012+100×1252选A．
17 B 解析题意：a1+S42S3
a1+S4−S3S3
a4a2+a3
a2q2a2+a2q
q2−q−10
q2−q1．
18 B
19 C 解析 log210log22 log23 两 1log24 log27 四 2log28 log215 八数 3log216 log231 十六数 4log232 log263 三十二 5log2646
log21+log22+log23+log24+⋯log2640+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6264
20 B
解析设等差数列 an 公差 d
a1a2a6 成等数列
a22a6⋅a1 a1+d2a1+5d⋅a1⇒d3a1
a24a1
等数列 ak1ak2ak3⋯ 公 q4
ak4a1q3a1⋅4364a1
ak4a1+k4−1da1+k4−1⋅3a1
ak4a1+k4−1da1+k4−1⋅3a1
a1+k4−13a164a1⇒3k4−264
解 k422选B．
第二部分
21 −3
解析设等差中项 x 2x−8+2−6解 x−3．
22 100
23 π 2π3
解析根题意：b1sina1sinπ21b2sina1+dsinπ2+dcosdd∈0π
b2cosd≠1b3sinπ2+2dcos2d
b3cos2d1 时d∈0π dπ
b3cos2dcosd 时 2cos2d−cosd−10解 cosd1（舍） cosd−12d∈0π d2π3．
bnsinansinπ2+n−1dcosn−1d
dπ 时bncosn−1π时 Sxxbnn∈N*01满足条件
d2π3 时bncos23n−1π时 Sxxbnn∈N*1−12满足条件．
综述：dπ d2π3．
24 34
解析设数列 an 首项 a1公差 d
数列 an 前 n 项 Sn
S1a1S22a1+dS33a1+3d
Sn 公差 d 等差数列
S22a1+da1+d两边方 2a1+da1+2da1+d2 ⋯⋯①
S33a1+3da1+2d两边方 3a1+3da1+4da1+4d2 ⋯⋯②
②−① ：a1−2d+2da1+3d2 ⋯⋯③
③ 代入 ① d2d−10
d0 d12
d0 时a10合题意
d12 时代入 ③ 解 a114
a1+d14+1234答案 34．
25 9
解析设等差数列 an 公差 d
题意 a3a1+2d0
a1−2d
ak a6 ak+6 等中项
ak2a6ak+6
a1+k−1d2a1+5d⋅a1+k+5d
化简 k−3d23d⋅k+3d
解 k9 k0（舍）．
第三部分
26 （1）新数列等差数列首项 a1+md公差 d．
（2）新数列等差数列首项 a1公差 2d．
27 （1） a3+a7a4+a62a5
a3+a7+a4+a6+a55a5
5a5450．
a590．
a2+a82a5
a2+a8180．
（2） 解法 1： an 等差数列
a15a30a45a60a75 成等差数列设公差 da15 首项 a60 第 4 项
a60a15+3d d4．
a75a60+d24．
解法 2：设 an 公差 d
a15a1+14da60a1+59d
a1+14d8a1+59d20
解 a16415d415
a75a1+74d6415+74×41524．
28 （1） an+1n2+n−λann12⋯
a11 a2−1 时 −12−λ
λ3．
a322+2−3×−1−3．
（2） 数列 an 等差数列证明：
a11an+1n2+n−λan
a22−λa36−λ2−λ
a412−λ6−λ2−λ．
存 λ an 等差数列
a3−a2a2−a1
5−λ2−λ1−λ
解 λ3．
a2−a11−λ−2
a4−a311−λ6−λ2−λ−24．
an 等差数列矛盾
意 λan 等差数列．
29 （1） a4+a54a22a3−a61 2a1−3d0a1−d1 解 a13d2
数列 an 通项公式 an2n+1．
（2） bn1anan+112n+12n+31212n+1−12n+3．
bn 前 n 项
Sn1213−15+15−17+⋯+12n+1−12n+31213−12n+3n6n+9
Snn6n+9．
30 （1） 1an+1−1−1an−1an−an+1an+1−1an−113
bn+1−bn13
bn 首项 1公差 13 等差数列．
（2） （1） b11a1−112−11
知 bn13n+23
an−13n+2 ann+5n+2．
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选择题（20题100分）
1 等差数列 an 中 a3−5a5−9 a7
A −12 B −13 C 12 D 13
2 数列通项公式 ankn+b（kb 常数）列说法中正确
A 数列 an 定等差数列
B 数列 an 公差 k 等差数列
C 数列 an 公差 b 等差数列
D 数列 an 定等差数列
3 数列通项公式 ankn+bkb常数列说法中正确
A 数列 an 定等差数列
B 数列 an 公差 k 等差数列
C 数列 an 公差 b 等差数列
D 数列 an 定等差数列
4 已知数列 an 等差数列 a1+a7+a132π tana7
A −3 B 3 C ±3 D −33
5 设数列 an 满足 a11a22 2nann−1an−1+n+1an+1（n≥2 n∈N*） a18
A 259 B 269 C 3 D 289
6 等差数列 an 中am+nαam−nβ公差 d 值
A α+β2n B α−β2n C α+β2m D α−β2m
7 等差数列 an 中a1−9a3−1．记 Tna1a2⋯ann12⋯数列 Tn
A 项项 B 项项
C 项项 D 项项
8 已知数列 an 满足 2anan−1+an+1n≥2a2+a4+a612a1+a3+a59 a1+a6
A 6 B 7 C 8 D 9
9 已知数列 {an} 等差数列 a81 2∣a9∣+∣a10∣ 值 ( )
A 3 B 2 C 1 D 0
10 图点列 AnBn 分某锐角两边 AnAn+1An+1An+2An≠An+2n∈N*BnBn+1Bn+1Bn+2Bn≠Bn+2n∈N*（P≠Q 表示点 P Q 重合）． dnAnBnSn △AnBnBn+1 面积
A Sn 等差数列 B Sn2 等差数列
C dn 等差数列 D dn2 等差数列
11 设等差数列 an 前 n 项 Snn∈N*首项 a1 公差 d 变化时 a1+a8+a15 定值列项中定值
A S15 B S16 C S17 D S18
12 等差数列 an 中a533a45153 201 该数列中序号
A 60 B 61 C 62 D 63
13 设 an 等差数列．列结中正确
A a1+a2>0 a2+a3>0
B a1+a3<0 a1+a2<0
C 0
D a1<0 a2−a1a2−a3>0
14 已知数列 an 满足 a115 3an+13an−2 ak⋅ak+1<0正整数 k
A 21 B 22 C 23 D 24
15 已知等差数列 an 前 9 项 27a108 a100
A 100 B 99 C 98 D 97
16 数列 an 中a122an+1−2an1 a101 值
A 52 B 51 C 50 D 49
17 已知等数列 an 公 q前 n 项 Sn a1S3S4 成等差数列 q2−q
A −1 B 1 C −2 D 2
18 已知 −2a1a2−8 成等差数列−2b1b2b3−8 成等数列 a2−a1b2 等
A 14 B 12 C −12 D 12 −12
19 意实数 x符号 x 表示 x 整数部分 x 超 x 整数例 22212−22−3函数 x 做取整函数数学身生产实践中广泛应． log21+log22+log23+log24+⋯log264 值
A 21 B 76 C 264 D 642
20 公差 0 等差数列 an 部分项 ak1ak2ak3 构成等数列 akn k11k22k36 k4
A 20 B 22 C 24 D 28
二填空题（5题25分）
21 −8 2 等差中项值 ．
22 记 Sn 等差数列 an 前 n 项 a35a713 S10 ．
23 已知等差数列 an 公差 d∈0π数列 bn 满足 bnsinan集合 Sxxbnn∈N* a1π2集合 S 中恰两元素 d ．
24 设正数数列 an 前 n 项 Sn an Sn 等差数列公差相等 a1+d ．
25 等差数列 an 中a30．果 ak a6 ak+6 等中项 k ．
三解答题（5题65分）
26 已知穷等差数列 an 首项 a1公差 d．
（1）数列 an 中前 m 项掉余项原先次序组成新数列新数列等差数列果首项公差分少
（2）取出数列 an 中奇序数项原先次序组成新数列新数列等差数列果首项公差分少
27 （1）等差数列 an 中 a3+a4+a5+a6+a7450求 a2+a8
（2）已知 an 等差数列a158a6020求 a75．
28 数列 an 满足 a11an+1n2+n−λann12⋯λ 常数．
（1） a2−1 时求 λ a3 值．
（2）数列 an 否等差数列求出通项公式说明理．
29 已知等差数列 an 中a4+a54a22a3−a61．
（1）求 an 通项公式
（2）设 bn1anan+1求数列 bn 前 n 项 Sn．
30 已知数列 an 满足 an+1−1an−13an−an+1a12令 bn1an−1
（1）证明：数列 bn 等差数列
（2）求数列 an 通项公式．
答案
第部分
1 B 解析通解：
设公差 d 2da5−a3−9+5−4 d−2
a7a3+4d−5+4×−2−13．
优解：
等差数列性质 a72a5−a32×−9−−5−13．
2 B
3 B
4 A 解析题 a1+a13+a72a7+a73a72π
a723π．
tana7tan23π−3．
5 B
解析令 bnnan 2bnbn−1+bn+1n≥2
bn 等差数列
b11b24
公差 d3 bn3n−2
b1852 18a1852
a18269．
6 B 解析
am+n−am−na1+m+n−1d−a1+m−n−1d2ndα−β
dα−β2n．
选：B．
7 B 解析题意知等差数列公差 da5−a15−1−1+95−12
通项公式：ana1+n−1d−9+n−1×22n−11
注意 a1
TiTi−1ai>1i≥7i∈N 知数列 Tn 存项
a1−9a2−7a3−5a4−3a5−1a61
数列 Tn 中正项限项：T263T463×15945．
数列 Tn 中存项项 T4．
8 B 解析通解：题意知数列 an 等差数列设公差 d
a1+d+a1+3d+a1+5d12a1+a1+2d+a1+4d9 解 a11d1
a1+a6a1+a1+5d7．
优解：
题意知数列 an 等差数列
a2+a4+a612 a1+a3+a59 相加 3a1+a612+921
a1+a67．
9 C 解析a9a8+d1+da10a8+2d1+2d2∣a9∣+∣a10∣2∣1+d∣+∣1+2d∣2∣1+d∣+12+d d∈−1−12 时原式取值 1．
10 A
解析题意点 A1A2A3⋯AnAn+1⋯ 分作直线 B1Bn+1 垂线高分记 h1h2h3⋯hnhn+1⋯根行线性质 h1h2h3⋯hnhn+1⋯ 成等差数列 Sn12×BnBn+1×hnBnBn+1 定值 Sn 等差数列．
11 A 解析等差数列 an 前 n 项 Snn∈N*首项 a1 公差 d 变化时a1+a8+a15 定值
a1+a8+a153a8 定值
a8 定值
S15152a1+a1515a8 定值．
12 B 解析设等差数列 an 公差 d
a5a1+4d33a45a1+44d153
a121d3
an21+3n−13n+18n∈N+
令 3n+18201 n61．
13 C 解析 an 等差数列
2a2a1+a3
a2>a1>0 时公差 d>0a1≠a3
a2a1+a32>a1a3．
14 C 解析3an+13an−2⇒an+1an−23⇒an 等差数列
a115 an473−23n
ak+1⋅ak<0
473−23k453−23k<0
452
15 C
解析设等差数列 an 公差 d
an 等差数列 S99a527
a53． a108解 5da10−a55
d1
a100a5+95d98．
16 A 解析数列 an 满足 2an+1−2an1
an+1−an12
a12数列 an 首项 2公差 12 等差数列
a1012+100×1252选A．
17 B 解析题意：a1+S42S3
a1+S4−S3S3
a4a2+a3
a2q2a2+a2q
q2−q−10
q2−q1．
18 B
19 C 解析 log210log22 log23 两 1log24 log27 四 2log28 log215 八数 3log216 log231 十六数 4log232 log263 三十二 5log2646
log21+log22+log23+log24+⋯log2640+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6264
20 B
解析设等差数列 an 公差 d
a1a2a6 成等数列
a22a6⋅a1 a1+d2a1+5d⋅a1⇒d3a1
a24a1
等数列 ak1ak2ak3⋯ 公 q4
ak4a1q3a1⋅4364a1
ak4a1+k4−1da1+k4−1⋅3a1
ak4a1+k4−1da1+k4−1⋅3a1
a1+k4−13a164a1⇒3k4−264
解 k422选B．
第二部分
21 −3
解析设等差中项 x 2x−8+2−6解 x−3．
22 100
23 π 2π3
解析根题意：b1sina1sinπ21b2sina1+dsinπ2+dcosdd∈0π
b2cosd≠1b3sinπ2+2dcos2d
b3cos2d1 时d∈0π dπ
b3cos2dcosd 时 2cos2d−cosd−10解 cosd1（舍） cosd−12d∈0π d2π3．
bnsinansinπ2+n−1dcosn−1d
dπ 时bncosn−1π时 Sxxbnn∈N*01满足条件
d2π3 时bncos23n−1π时 Sxxbnn∈N*1−12满足条件．
综述：dπ d2π3．
24 34
解析设数列 an 首项 a1公差 d
数列 an 前 n 项 Sn
S1a1S22a1+dS33a1+3d
Sn 公差 d 等差数列
S22a1+da1+d两边方 2a1+da1+2da1+d2 ⋯⋯①
S33a1+3da1+2d两边方 3a1+3da1+4da1+4d2 ⋯⋯②
②−① ：a1−2d+2da1+3d2 ⋯⋯③
③ 代入 ① d2d−10
d0 d12
d0 时a10合题意
d12 时代入 ③ 解 a114
a1+d14+1234答案 34．
25 9
解析设等差数列 an 公差 d
题意 a3a1+2d0
a1−2d
ak a6 ak+6 等中项
ak2a6ak+6
a1+k−1d2a1+5d⋅a1+k+5d
化简 k−3d23d⋅k+3d
解 k9 k0（舍）．
第三部分
26 （1）新数列等差数列首项 a1+md公差 d．
（2）新数列等差数列首项 a1公差 2d．
27 （1） a3+a7a4+a62a5
a3+a7+a4+a6+a55a5
5a5450．
a590．
a2+a82a5
a2+a8180．
（2） 解法 1： an 等差数列
a15a30a45a60a75 成等差数列设公差 da15 首项 a60 第 4 项
a60a15+3d d4．
a75a60+d24．
解法 2：设 an 公差 d
a15a1+14da60a1+59d
a1+14d8a1+59d20
解 a16415d415
a75a1+74d6415+74×41524．
28 （1） an+1n2+n−λann12⋯
a11 a2−1 时 −12−λ
λ3．
a322+2−3×−1−3．
（2） 数列 an 等差数列证明：
a11an+1n2+n−λan
a22−λa36−λ2−λ
a412−λ6−λ2−λ．
存 λ an 等差数列
a3−a2a2−a1
5−λ2−λ1−λ
解 λ3．
a2−a11−λ−2
a4−a311−λ6−λ2−λ−24．
an 等差数列矛盾
意 λan 等差数列．
29 （1） a4+a54a22a3−a61 2a1−3d0a1−d1 解 a13d2
数列 an 通项公式 an2n+1．
（2） bn1anan+112n+12n+31212n+1−12n+3．
bn 前 n 项
Sn1213−15+15−17+⋯+12n+1−12n+31213−12n+3n6n+9
Snn6n+9．
30 （1） 1an+1−1−1an−1an−an+1an+1−1an−113
bn+1−bn13
bn 首项 1公差 13 等差数列．
（2） （1） b11a1−112−11
知 bn13n+23
an−13n+2 ann+5n+2．
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