专题七 等式
第十九讲 等式性质元二次等式
2019 年
1（2019 全国Ⅱ理 6） a>b
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)已知集合 2{ 2 0}   A x x x A Rð
A．{ 1 2}  xx B．{ 1 2} ≤ ≤xx
C．{ | 1} { | 2}  x x x x D．{ | 1} { | 2}≤ ≥x x x x
2．(2018 天津)已知 2log ea ln 2b  1
2
1log 3c  abc 关系
A． abc B．bac C．c b a D．c a b
3．(2018 全国卷Ⅲ)设 02log 03a  2log 03b 
A． 0a b ab   B． 0ab a b  
C． 0a b ab   D． 0ab a b
4．（ 2017 新课标Ⅰ）已知集合 { | 1}A x x{ | 3 1}xBx
A．{ | 0}A B x x B．ABR
C．{ | 1}A B x x D． AB
5．（ 2017 山东）设函数 24yx定义域 A函数 ln(1 )yx定义域 B AB
A．(12) B．(12] C．( 21) D．[ 21)
6．（ 2017 山东） 0ab 1ab  列等式成立
A．  2
1 log2a
ba a bb    B．  2
1log2a
b a b a b   
C．  2
1 log 2a
ba a bb    D．  2
1log 2a
ba b a b   
7．(2016 年北京)已知 x y R 0xy
A． 110xy B．sin sin 0xy C． 11( ) ( ) 022
xy D．ln ln 0xy
8．（ 2015 山东）已知集合 2{ | 4 3 0}A x x x    { | 2 4}B x x   AB
A．（ 13） B．（ 14） C．（ 23） D．（ 24）
9．（ 2015 福建）定义 R 函数  fx满足  01f  导函数  fx 满足
  1f x k  列结中定错误
A． 11()f kk B． 11() 1f kk 
C． 11()11f kk D． 1()11
kf kk
10．（2015 湖北）设 xR[]x 表示超 x 整数．存实数t [ ] 1t 
2[ ] 2t  …[]ntn 时成立．．．．正整数 n 值
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（ 2014 新课标Ⅰ）已知集合 A{ x | 2 2 3 0xx   }B{ |－2≤ ＜2} AB
A．[－2 －1] B．[－11]
C．[－12） D．[12）
12．（ 2014 山东） 0ab 0cd定
A． ab
cd B． ab
cd C． ab
dc D． ab
dc
13．（2014 四川）已知实数 yx 满足 )10(  aaa yx 列关系式恒成立
A．
1
1
1
1
22  yx B．)1ln()1ln( 22  yx
C． yx sinsin  D． 33 yx 
14．（ 2014 辽宁）已知定义[01] 函数 ()fx满足：
① (0) (1) 0ff
② [01]xy xy 1| ( ) ( ) | | |2f x f y x y   ．
| ( ) ( ) |f x f y k恒成立 k 值（ ）
A． 1
2 B． 1
4 C． 1
2 D． 1
8
15．（ 2013 陕西）图示锐角三角形空中 欲建面积 300m2 接矩形
花园(阴影部分) 边长 x(单位 m)取值范围
40m
x 40m

A．[1520] B．[1225] C．[1030] D．[2030]
16．（ 2013 重庆）关 x 等式 222 8 0x ax a   （ 0a  ）解集 12()xx
2115xx a 
A． 5
2 B． 7
2 C．15
4 D．15
2
17．（ 2013 天津）已知函数 ( ) (1 | |)f x x a x ．设关 x 等式 ()()f x a f x 解集
A 1122 A
实数 a 取值范围
A． 1502

B． 1302


C． 1502
130 2


 
D． 5
21
 
18．（ 2012 辽宁）  0+x列等式恒成立
A． 21+ +xe x x B． 21 1 11 +241+
xx
x

C． 21cos 1 2xx D．   21ln 1+ 8x x x
19．（2011 湖南）已知函数 2( ) 1 ( ) 4 3xf x e g x x x      ()()f a g b b
取值范围
A． 2 22 2 B． 2 22 2
C．  13 D．  13
二填空题
20．（ 2017 新课标Ⅲ）设函数 1 0() 2 0x
xxfx x
  
≤
满足 1( ) ( ) 12f x f x   x 取
值范围___．
21．（ 2017 江苏）记函数 2( ) 6f x x x   定义域 D．区间[ 45] 机取
数 x xD 概率 ．
22．（2017 北京）够说明设 a b c 意实数． abc a b c假命
题组整数 值次________________．
23．（ 2014 江苏）已知函数 1)( 2  mxxxf 意 ]1[  mmx 0)( xf 成立
实数 m 取值范围 ．
24．（2013 重庆）设 0 ≤ ≤ 等式 28 (8sin ) cos2 0xx≥ xR 恒成立
a 取值范围 ．
25．（ 2013 浙江）设 a b R 0x  时恒  24 3 201x x ax b x      ab __．
26．（2013 四川）已知函数 ( ) 4 ( 0 0)af x x x ax    3x  时取值 a __．
27．（ 2013 广东）等式 2 20xx   解集___________．
28．（ 2013 江苏）已知 )(xf 定义 R 奇函数． 0x 时 xxxf 4)( 2 
等式 xxf )( 解集区间表示 ．
29．（ 2013 四川）已知 )(xf 定义域 偶函数 0x 时 xxxf 4)( 2 
等式 5)2( xf 解集____________．
30．（ 2012 福建）已知关 x 等式 2 20x ax a   恒成立实数 a 取值范
围_________．
31．（2012 江苏）已知函数 2()()f x x ax b a b   R 值域[0 )关 x 等
式 ()f x c 解集( 6)mm实数c 值 ．
32．（ 2012 江西）等式
2 9 02
x
x
 
解集___________．
33．（ 2010 江苏）已知函数
2 1 0()
1 0
xxfx
x
   
满足等式 2(1 ) (2 )f x f x x 范围
__ ___．
34．（2010 江苏）设实数 xy满足 3≤ 2xy ≤84≤
y
x 2
≤9 4
3
y
x 值 ．
35．（2010 天津）设函数 1()f x x x意 x [1 ) ( ) ( ) 0f mx mf x   + 恒成立
实数 m 取值范围________．
36．（2010 天津）设函数 2( ) 1f x x意 2 3x  
24 ( )xf m f xm

≤
( 1) 4 ( )f x f m 恒成立实数 m 取值范围 ．
37．（2010 浙江）某商家月份五月份累计销售额达 3860 万元预测六月份销售额 500
万元七月份销售额六月份递增 x 八月份销售额七月份递增 九十月份
销售总额七八月份销售总额相等月十月份销售总额少少达 7000 万元
值 ．
三解答题
38．（ 2014 广东）设函数
2 2 2
1()
( 2 ) 2( 2 ) 3
fx
x x k x x k

     
中 2k 
（1）求函数 ()fx定义域 D（区间表示）
（2）讨函数 ()fx D 单调性
（3） 6k  求 D 满足条件 ( ) (1)f x f x 集合（区间表示）．
39．（ 2014 北京）已知函数 ( ) cos sin [0 ]2f x x x x x   
（Ⅰ）求证： ( ) 0fx≤
（Ⅱ） sin xabx(0 )2
 恒成立求 a 值b 值．

专题七 等式
第十九讲 等式性质元二次等式
答案部分
2019 年
1解析：取 0a  1b 
ln( ) ln1 0ab   排 A
0113 3 1 3 3 3
ab     排 B
0 1 1ab     排 D．
函数 3()f x x R 单调递增 ab 33ab 330abC 正确
选 C．
20102018 年
1解析：作出
3 4 0
3 4 0
0
xy
xy
xy
  
   
 
表示面区域图示

分联立中两方程A（22） B（－11） C（1－1） max 3 2 2 2 10z     
选C
2解析：画出等式组表示行域图示：

联立 10
1
xy
y
  
 
解 2
1
x
y

 
21A （）
令 3z x y化 3y x z  
求 z 值求截距值
图知直线 点 时z 值3 2 1 5   ．
选 C．
3解析 约束条件
20
20
1
1
xy
xy
x
y

  
 
„
…
…
…
作出行域图：

化目标函数 4z x y   4y x z图知直线 4y x z A 时 z 值
联立 1
20
x
xy

 
解  11A  值   4 1 1 5     ．
选 C．

20102018 年

1．B解析 2{ 2 0}   A x x x 2{ | 2 0}  R ≤A x x xð
{ | 1 2}≤ ≤xx选 B．
2．D解析 2log e >1a  ln 2 (01)b  1 2 2
2
1log log 3 log 13ce    ．
c a b选 D．
3．B解析 02log 03a  03
1 log 02a  2log 03b  03
1 log 2b 
03 03 03
11log 02 log 2 log 04ab    1101ab   01ab
ab
．
0a  0b  0ab  0ab a b   ．选 B．
4．A解析∵ { | 0}B x x∴ { | 0}A B x x选 A．
5．D解析 240x ≥ 22x ≤ ≤ 10x 1x 
AB{|2 2}{| 1}{|2 1}x x x x x x    ≤ ≤ ≤ 选 D
6．B解析解法 取 2a  1
2b  1 2 2 4a b    2
1
12
2 2 8a
b 
22log ( ) log 4 2ab    2
1log2a
b a b a b    选 B．
解法二 题意 1a  01b 12a
b  1 22a a a ab    
1ab 2()()a b a b  
2
2 2 22 log ( ) log ( ) log 2 1a b a b ab     
选 B．
7．C解析 0xy选项 A取 11 2xy 111 2 1 0xy     
排 A选项 B取 2xysin sin sin sin 1 02xy      
排 B选项 D 12 2xyln ln ln( ) ln1 0x y xy    排 D
选 C．
8．C解析 2{| 4 30}{|1 3} (23)A x x x x x A B        ．
9．C 解析取满足题意函数 ( ) 2 1f x x取 3
2k
1 2 1()()33ffk 21
3 k排 A．取 11
10k

11
11 10( ) ( ) (10) 19 1111 11111110 10
kf f fkk     

排 D取满足题意函数 ( ) 10 1f x x取 2k
1 1 1 1( ) ( ) 4 12 2 1 1ffkk    
排 B结定错误 C．
10．B 解析[ ] 1t 12t <≤ 2[ ] 2t 223t <≤ ． 4[ ] 4t
445t <≤ 225t <≤ 3[ ] 3t 334t <≤ 56 4 5t <≤
5[ ] 5t 556t <≤ 56 4 5t <≤ 矛盾正整数 n 值 4．
11．A解析  | 1 3A x x x≤ ≥ AB[ 2 1]．
12．D解析 1100cd dc      
0ab等式性质知： 0ab
dc    ab
dc
13．D解析已知 xy 时 22xy定排 AB正弦函数性质
知 C 成立选 D．
14．B解析妨设01yx≤ ≤ ≤ 10 2xy≤ 时
11()() 24f x f y x y   ≤
1 12 xy≤ 时 () () () (1) () (0)f x f y f x f f y f    
( ) (1)f x f≤ ( ) (0)f y f 111022xy   
1 1 1 1 1(1 ) ( )2 2 2 2 4x y y x       ∴ 1
4k ≥ ．
15．C解析图△ADE∽△ABC设矩形边长 y 240()40
ADE
ABC
S y
S



40yx 300xy≥ (40 ) 300xx ≥
2 40 300 0xx解10 30x≤ ≤ ．
16．A解析∵ 222 8 0x ax a   ( 0a  ) ( 4 )( 2 ) 0x a x a  
24a x a   ∴ 122 4x a x a  
∵ 214 ( 2 ) 6 15x x a a a      ∴ 15 5
62a ．选 A．
17．A解析法 ()()f x a f x  | | 1 | | | |a x x a a x a ax x     ①
0a≥ ①   | | 1 | | | |x x a a x a x x     解
A 符合排 C．取 1
2a  ① 1 1 1| | 1 | | | |2 2 2x x x x x    
符合 1122 A
排 BD．
解法二 数形结合∵    1 | |f x x a x 奇函数．
ⅰ）取 1a     1 | |f x x x 图    1f x f x 解．排 C．
y
x
y f(x+1)
y f(x)
图1
f(m+1)
f(m)
mO
y
x
y f(x)
图2
1
2

1
2yf(x
1
2)
O

ⅱ）取 1
2a    11 | |2f x x x
  1
2y f x a f x   

满足 排 BD
解法三 题意0 A    00f a f  1 | | 0a a a
0a  时解 0a  时 210a∴ 10a   ．排 CD．
1 5 1 1 3
2 2 2
   ∴取 ①
符合 排 B．
18．C解析验证 A 3 3 23 >27 1968>1+3+3 13xe时排 A验证 B
1 2x 时 16 311+ 2
1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 61 + < 2 2 4 4 16 48 48 48 48
排 B验证 C
令      21cos 1+ ＇ sin + ＇＇ 1cos2gx x xgx xxgx x 显然  ＇＇ >0gx 恒成立
 0+x    ＇ ＇ 0 0g x g   21cos 1+ 2g x x x
增函数    0 0g x g 恒成立选 C验证 D
令        
 
2 311ln1+ + ＇ 1+ 8 +1 4 4 +1
xxxh x x x x h x xx
令  ＇ <0hx
解0< <3x 时    < 0 0h x h 显然恒成立选 C
19．B解析题知 ( ) 1 1xf x e    22( ) 4 3 ( 2) 1 1g x x x x        
( ) ( )f a g b ( ) ( 11]gb 2 4 3 1bb    
解 2 2 2 2b    ．
20． 1()4  解析 1
2x  时等式
1
22 2 1xx 
恒成立
10 2x ≤ 等式 12 1 12
x x    恒成立
0x≤ 时等式 11 1 12xx     解 1
4x  1 04 x≤
综 x 取值范围 1()4  ．
21． 5
9
解析 260xx ≥ 解 23x ≤ ≤ 根概型计算公式概率
3 ( 2) 5
5 ( 4) 9
 
．
22． 1 2 3（答案唯）解析设 a b c 意实数． abc
a b c假命题否定设 意实数．
a b c ≤ 真命题
2a b c 0c 
a b c 次取整数 1 2 3满足 a b c ≤ ．
 1 2 3 1 2 3 3   相矛盾验证假命题．
23． 2( 0)2 解析题意 ( ) 0fx [ 1]x m m恒成立

2
2
( ) 2 1 0
( 1) 2 3 0
f m m
f m m m
   
    
解 2 02 m   ．
24． 5[0 ] [ ]66
 解析等式 28 (8sin ) cos2 0xx   xR 恒成立
22(8sin ) 4 8cos2 64sin 32cos2 0         ≤
2 2 22sin cos2 2sin (1 2sin )       24sin 1 0≤
∴ 2 1sin 4 ≤ ∴ 11sin 22  
0 结合图知 ∈ π 5π0 π66
   
      


25．－1解析等式  24 3 201x x ax b x     
4 3 3 221x x ax b x x       记    3 2 4 32 1f x x x g x x x     
显然      24 2 22 1 1f x g x x x x     
0x  时    f x g x 仅 1x  时取等号
       2 3 23 4 4 3 1 1 1f x x x g x x x f g          
y ax b  fx  gx 1x  处公切线时
恒成立时  1 1 1a f b   
1ab  ．
26．36解析 0 0xa( ) 4 2 4 4aaf x x x axx   
仅 4 ax x 34
ax 解 36a  ．
27． 21 解析易等式 2 20xx   解集
28．(﹣50) ∪(5﹢∞)解析做出 xxxf 4)( 2  ( 0x )图图示．
)(xf 定义 R 奇函数利奇函数图关原点称做出 x＜0 图．
等式 xxf )(表示函数 y＝ 图 y＝x 方观察图易：解集(﹣5
0) ∪(5﹢∞)．

29．(－73)解析 x ≥0 时令 2 45xx解05x ≤ ． )(xf 定义域
R 偶函数等式 ( 2) 5fx等价 5 2 5x    －7＜ x ＜3解集
(－73)．
30．(08)解析等式 x2﹣ax+2a＞0 R 恒成立．∴△ 2( ) 8 0aa  
解 0＜ a ＜8．
31．9解析 ()fx值域[0+∞） 0 2 4ab

2
2 04
ax ax c    两根元二次方程根系数关系
4)6(62
2
cammam  解c 9
32．( 32) (3 )   解析等式化 ( 3)( 2)( 3) 0x x x    采穿针引线法解
等式．
33．( 1 2 1)解析
2
2
12 ( 1 2 1)
10
xxx
x
      
．
34．27解析
2
2( ) [1681]x
y  2
1 1 1[]83xy 
32
2
42
1( ) [227]xx
y y xy   4
3
y
x
值 27．
35． 1m  解析已知 ()fx增函数 m ≠0
>0复合函数单调性知 ()f mx ()mf x 均增函数时符合题意．
<0时 2
2
1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m   
22yx [1 )x  值 2 1+ 2
1 2m  2m >1
解 ．
36．D解析题意
2
2 2 2 2
2 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)x m x x mm         3[)2x 
恒定成立 2
22
1 3 241mm x x     恒成立．
3
2x  时函数 2
321y xx    取值 5
3 2
2
154 3mm   
22(3 1)(4 3) 0mm   解 3
2m  3
2m  ．
37．20解析七月份销售额500(1 )x 八月份销售额 2500(1 )x 月
份十月份销售总额 23860 500 2[500(1 ) 500(1 ) ]xx     根题意
23860 500 2[500(1 ) 500(1 ) ] 7000xx     ≥
225(1 ) 25(1 ) 66xx   ≥ 令 1tx ． 225 25 66 0tt≥
解 6
5t ≥ 11
5t ≤ （舍） 615x ≥ 解 20x≥ ．
38．解析（1）知 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 3 0x x k x x k      
22[( 2 ) 3] [( 2 ) 1] 0x x k x x k        
2 23x x k     2 21x x k  
2( 1) 2xk     ( 2 0)k   2( 1) 2xk   (2 0)k
| 1| 2xk     | 1| 2xk  
12k     12xk     12xk    12xk   
函数 ()fx定义域 D
( 1 2 )k    ( 1 2 k    1 2 )k    ( 1 2 )k    
（2）
2
32 2 2
2( 2 )(2 2) 2(2 2)＇( )
2 ( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x xfx
x x k x x k
    
     
2
32 2 2
( 2 1)(2 2)
( 2 ) 2( 2 ) 3
x x k x
x x k x x k
   
     

＇( ) 0fx 2( 2 1)(2 2) 0x x k x     ( 1 )( 1 )( 1) 0x k x k x     
1xk     11xk      结合定义域知 12xk   
1 1 2xk      
函数 单调递增区间 ( 1 1 2 )k    
理递减区间( 1 2 1)k    
（3） ( ) (1)f x f 2 2 2 2( 2 )2( 2 )3(3 )2(3 )3x x k x x k k k 
2 2 2 2[( 2 ) (3 ) ] 2[( 2 ) (3 )] 0x x k k x x k k  
22( 2 2 5) ( 2 3) 0x x k x x       
( 1 2 4)( 1 2 4)( 3)( 1)0x k x k x x  
1 2 4xk      1 2 4xk     3x  1x 
6k  1 ( 1 1 2 )k       3 ( 1 2 1)k      
1 2 4 1 2kk        1 2 4 1 2kk       
结合函数 单调性知 ( ) (1)f x f 解集
( 1 2 4 1 2 )kk       ( 1 2 3)k     (1 1 2 )k   
( 1 2 1 2 4)kk       ．
39．解析：（I） ( ) cos sinf x x x x
＇( ) cos sin cos sinf x x x x x x x     ．
区间(0 )2
 ＇( )fx sin 0xx   ()fx区间 0 2


单调递减．
(0) 0f．
（Ⅱ） 0x  时 sin x ax  等价sin 0x ax
sin x bx  等价sin 0x bx．
令 ()gx sin x cx ＇( )gx cos xc
0c  时 ( ) 0gx 意 (0 )2x  恒成立．
1c  时意 0
区间 单调递减．
(0) 0g意 恒成立．
01c时存唯 0 (0 )2x  0＇( )gx 0cos xc0 ．
区间 情况：
x
0(0 )x 0x 0()2x 
＋ 0 －
()gx ↗ ↘
区间 00 x 增函数 0( ) (0) 0g x g．进步 ( ) 0gx
意 恒成立仅 ( ) 1 022gc   20 c 
综述仅 2c  时 ( ) 0gx 意 恒成立
仅 时 ( ) 0gx 意 恒成立．
sin xabx意 恒成立 a 值 2

b 值 1．


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