专题九 解析
第二十六讲 椭圆
2019 年
1．（2019 全国 I 理 10）已知椭圆 C 焦点 1210 10FF()() F2 直线 C 交 A
B 两点． 22| | 2| |AF F B 1| | | |AB BF C 方程
A．
2
2 12
x y B．
22
132
xy C．
22
143
xy D．
22
154
xy
2（2019 全国 II 理 21（1））已知点 A(−20)B(20)动点 M(xy)满足直线 AM BM 斜
率积− 1
2
记 M 轨迹曲线 C
（1）求 C 方程说明 C 什曲线
3（2019 北京理 4）已知椭圆  
22
2210xy abab    离心率 1
2

（A） 2 22ab （B） 2 234ab
（C） 2ab （D）34ab
4（2019 全国 III 理 15）设 12FF 椭圆 C
22
+136 20
xy 两焦点M C 点第
象限 12MF F△ 等腰三角形 M 坐标___________

20102018 年

选择题
1．(2018 全国卷Ⅱ)已知 1F 2F 椭圆
22
221( 0)   ：xyC a bab
左右焦点A C
左顶点点 P A 斜率 3
6
直线 12△PF F 等腰三角形 12 120  FFP
C 离心率

A． 2
3 B． 1
2 C． 1
3 D． 1
4
2．(2018 海)设 P 椭圆
22
153
xy动点 P 该椭圆两焦点距离
（ ）
A． 22 B． 23 C． 25 D． 42
3．（ 2017 浙江）椭圆
22
194
xy离心率
A． 13
3 B． 5
3 C． 2
3 D． 5
9
4．（ 2017 新课标Ⅲ）已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab    左右顶点分 1A 2A
线段 12AA 直径圆直线 20bx ay ab   相切 离心率
A． 6
3 B． 3
3 C． 2
3 D． 1
3
5．(2016 年全国 III)已知 O 坐标原点F 椭圆 C：
22
221( 0)xy abab    左焦点A
B 分 C 左右顶点．P C 点 PF⊥x 轴．点 A 直线 l 线段 PF 交
点 M y 轴交点 E．直线 BM OE 中点 C 离心率
A． 1
3
B． 1
2
C． 2
3
D． 3
4
6．(2016 年浙江)已知椭圆 1C：
2
2
2 1x ym ( 1m  )双曲线 2C：
2
2
2 1x yn ( 0n  )焦
点重合 1e 2e 分 离心率
A． mn 12 1ee  B． 12 1ee 
C． mn D．
7．(2014 福建)设 QP 分   26 22  yx 椭圆 110
2
2
 yx 点 两点间
距离

A． 25 B． 246  C． 27  D． 26
8．（ 2013 新课标 1）已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)右焦点 F(30)点 F 直线交椭圆
AB 两点． AB 中点坐标(1－1) E 方程
A．x2
45＋y2
36＝1 B．x2
36＋y2
27＝1 C．x2
27＋y2
18＝1 D．x2
18＋y2
9＝1
9．(2012 新课标)设 1F 2F 椭圆 E：)0(12
2
2
2
 bab
y
a
x 左右焦点 P 直线
2
3ax  点 12PFF 底角 o30 等腰三角形 离心率
A
2
1 B
3
2 C
4
3 D
5
4
二填空题
10．(2018 浙江)已知点 (01)P椭圆
2
2
4
x ym( 1m  )两点 AB 满足 2AP PB
m ___时点 B 横坐标绝值．
11．(2018 北京)已知椭圆
22
221( 0)xyM a bab   ：双曲线
22
221xyN mn：．双曲线 N
两条渐线椭圆 M 四交点椭圆 M 两焦点恰正六边形顶点
椭圆 M 离心率__________双曲线 N 离心率__________．
12．(2016 江苏省)图面直角坐标系 xOy 中 F 椭圆  
22
2210xy abab    右焦
点直线
2
by  椭圆交 BC两点 90BFC  该椭圆离心率 ．
F
CB
O
y
x

13．（ 2015 新课标 1）圆椭圆
22
116 4
xy三顶点圆心 x 正半轴
该圆标准方程_________．

14．（ 2014 江西）点 (11)M 作斜率 1
2 直线椭圆C：
22
221( 0)xy abab    相交
AB两点 M 线段 AB 中点椭圆 离心率等 ．
15．（ 2014 辽宁）已知椭圆C：
22
194
xy点 M 焦点重合 关 焦
点称点分 AB线段 MN 中点 | | | |AN BN ．
16．（ 2014 江西）设椭圆  01 2
2
2
2
 bab
y
a
xC 左右焦点 21 FF作 2F 作 x 轴垂
线C 交 BA 两点 BF1 y 轴相交点 D BFAD 1 椭圆 离心率
等________．
17．（ 2014 安徽）设 21FF 分椭圆 )10(1 2
2
2  bb
yxE 左右焦点点 1F
直线交椭圆 E BA 两点 xAFBFAF  211 3 轴椭圆 方程_____．
18．（ 2013 福建）椭圆 )0(1 2
2
2
2
 bab
y
a
x 左右焦点分 21FF焦距 c2 ．
直线  3y x c椭圆 交点 M 满足 1221 2 FMFFMF  该椭圆离
心率等
19．（ 2012 江西）椭圆
22
221( 0)xy abab    左右顶点分 AB左右焦点分
12FF． 1 1 2 1| || || |AF F F F B 成等数列椭圆离心率_________．
20．（ 2011 浙江）设 12FF分椭圆
2
2 13
x y左右焦点点 AB椭圆
125FAFB 点 A 坐标 ．
三解答题
21．（ 2018 全国卷Ⅰ）设椭圆 C
2
2 12 x y 右焦点 F 直线l C 交 AB 两
点点 M 坐标(20) ．

(1)l x 轴垂直时求直线 AM 方程
(2)设O 坐标原点证明： OMA OMB   ．
22．（ 2018 全国卷Ⅲ）已知斜率 k 直线l 椭圆C：
22
143
xy交 AB 两点线
段 AB 中点 (1 )Mm( 0)m  ．
(1)证明： 1
2k 
(2)设 F 右焦点 P C 点 FP FA FB   0．证明：||FA ||FP
||FB 成等差数列求该数列公差．
23．(2018 天津)设椭圆
22
221xx
ab( 0ab)左焦点 F顶点 B．已知椭圆离
心率 5
3
点 A 坐标( 0)b 62FB AB ．
(1)求椭圆方程
(2)设直线l ：( 0)y kx k椭圆第象限交点 Pl 直线 AB 交点Q．
52sin4
AQ AOQPQ (O 原点) 求 k 值．
24．（ 2017 新课标Ⅰ）已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab    四点 1(11)P 2 (01)P
3
3( 1 )2P  4
3(1 )2P  中恰三点椭圆 ．
(1)求 方程
(2)设直线l 2P 点 相交 AB 两点．直线 2PA直线 2PB斜率
1 证明：l 定点．
25．（ 2017 新课标Ⅱ）设O 坐标原点动点 M 椭圆C：
2
2 12
x y 做 x 轴
垂线垂足 N点 P 满足 2NP NM ．
（1）求点 轨迹方程

（2）设点Q 直线 3x  1OP PQ．证明：点 P 垂直OQ 直线l
C 左焦点 F．
26．（ 2017 江苏）图面直角坐标系 xOy 中椭圆 E：
22
221( 0)xy abab    左
右焦点分 1F 2F离心率 1
2
两准线间距离 8．点 P 椭圆 位
第象限点 作直线 1PF 垂线 1l 点 作直线 2PF 垂线 2l ．
（1）求椭圆 标准方程
（2）直线 交点Q 椭圆 求点 P 坐标．

27．（2017 天津）设椭圆
22
221( 0)xy abab    左焦点 F右顶点 A离心率 1
2
．已
知 A 抛物线 2 2 ( 0)y px p焦点 抛物线准线l 距离 ．
（Ⅰ）求椭圆方程抛物线方程
（Ⅱ）设 两点 PQ 关 x 轴称直线 AP 椭圆相交点 B（B 异点 A）
直线 BQ x 轴相交点 D． APD△ 面积 6
2
求直线 AP 方程．
28．（2017 山东）面直角坐标系 xOy 中椭圆 E：
22
221xy
ab 0ab 离心率 2
2

焦距 2 ．
（Ⅰ）求椭圆 方程

（Ⅱ）图动直线l ： 1
3
2y k x交椭圆 E AB两点C 椭圆 E 点直线OC
斜率 2k 12
2
4kk  M 线段OC 延长线点 23MC AB 
M 半径 MC OS OT 两条切线切点分 ST．求 SOT
值求取值时直线l 斜率．
CT
S
O
M
B
A
l
x
y

29．(2016 年北京)已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab    离心率 3
2
( 0)Aa (0 )Bb
(00)OΔOAB 面积 1．
（Ⅰ）求椭圆 方程
（Ⅱ）设 P 椭圆 点直线 PA y 轴交点 M直线 PB x 轴交点 N．
求证：| | | |AN BM 定值．
30．(2015 新课标 2）已知椭圆 C： 2 2 29x y m( 0m  )直线l 原点 O 行
坐标轴l C 两交点 AB线段 AB 中点 M．
（Ⅰ）证明：直线 OM 斜率l 斜率积定值
（Ⅱ） l 点()3
m m 延长线段 OM C 交点 P四边形 OAPB 否行四边
行？求时 l 斜率说明理．
31．（ 2015 北京）已知椭圆 C：  
22
2210xy abab    离心率 2
2
点  01P 点

 A m n  0m≠ 椭圆C 直线 PA 交 x 轴点 M．
（Ⅰ）求椭圆C 方程求点 M 坐标（ m n 表示）
（Ⅱ）设 O 原点点 B 点 A 关 x 轴称直线 PB 交 x 轴点 N．问： y 轴
否存点Q OQM ONQ   ？存求点Q 坐标存说明
理．
32．（ 2015 安徽）设椭圆 E 方程  
22
2210xy abab    点O 坐标原点点 A 坐
标 0a点 B 坐标 0 b点 M 线段 AB 满足 2BM MA 直线OM
斜率 5
10
．
（Ⅰ）求 离心率e
（Ⅱ）设点C 坐标 0 bN 线段 AC 中点点 关直线 AB 称点
坐标 7
2
求 方程．
33．（ 2015 山东）面直角坐标系 xOy 中已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab    离心率
3
2
左右焦点分 1F 2F． 1F 圆心 3 半径圆 2F 圆心 1
半径圆相交交点椭圆 ．
（Ⅰ）求椭圆 方程
（Ⅱ）设椭圆 E：
22
22144
xy
abP 椭圆 意点点 直线 y kx m
交椭圆 AB两点射线 PO 交椭圆 点Q．
( i )求 ||
||
OQ
OP
值
（ii）求△ ABQ 面积值．
34． (2014 新课标 1) 已知点 A(0 2) 椭圆 E：
22
221( 0)xy abab    离心率 3
2


F 椭圆 E 右焦点直线 AF 斜率 23
3
O 坐标原点．
（Ⅰ)求 E 方程
（Ⅱ）设点 A 动直线l 相交 PQ两点 OPQ 面积时求 方
程．
35．(2014浙江)图设椭圆  01 2
2
2
2
 bab
y
a
xC 动直线l 椭圆C 公点
P点 第象限．
（Ⅰ）已知直线 斜率 k kba 表示点 P 坐标
（Ⅱ）原点O 直线 1l l 垂直证明：点 直线 距离值 ba  ．
x
y
P
l1
lO

36．（ 2014 新课标 2）设 1F 2F 分椭圆C：  22
2210yx abab    左右焦点M
点 2MF x 轴垂直直线 1MF 交点 N．
（Ⅰ）直线 MN 斜率 3
4 求 离心率
（Ⅱ）直线 y 轴截距 2 15MN F N 求 ab．
37．（ 2014 安徽）设 1F 2F 分椭圆 E：
22
221( 0)xy abab    左右焦点点
直线交椭圆 E AB两点 11| | 3| |AF BF
（Ⅰ） 2| | 4AB ABF 周长 16求 2||AF
（Ⅱ） 2
3cos 5AF B求椭圆 离心率．

38．（ 2014山东）面直角坐标系 xOy 中椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    离心率 3
2

直线 yx 椭圆C 截线段长 4 10
5
．
（Ｉ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）原点直线椭圆 C 交 AB 两点（AB 椭圆 C 顶点）．点 D 椭
圆 C AD AB 直线 BD x 轴 y 轴分交 MN 两点．
(ⅰ)设直线 BDAM 斜率分 12kk证明存常数 12kk 求
出  值
(ⅱ)求 OMN 面积值．
39．（ 2014 湖南）图 5O 坐标原点双曲线
22
1 1 122
11
1( 0 0)xyC a bab    椭圆
22
2 2 222
22
1( 0)xyC a bab    均点 23( 1)3P 1C 两顶点 2C 两
焦点顶点四边形面积 2 正方形．
（Ｉ）求 12CC方程
（Ⅱ）否存直线 l l 交 AB两点 公点
| | | |OA OB AB ？证明结．

40．（ 2014 四川）已知椭圆 C：
22
221xy
ab（ 0ab）焦距 4短轴两端点
长轴端点构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆 C 标准方程
（Ⅱ）设 F 椭圆 C 左焦点T 直线 3x  意点 F 作 TF 垂线交椭
圆 C 点 PQ．
（i）证明：OT 分线段 PQ（中 O 坐标原点）
（ii） ||
||
TF
PQ
时求点 T 坐标．
41．（ 2013安徽）已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    焦距4点 ( 2 3)P．
（Ⅰ）求椭圆 C 方程
（Ⅱ）设 0 0 0 0( )( 0)Q x y x y  椭圆C 点点Q 作 x 轴垂线垂足 E．取
点 (02 2)A连接 AE 点 A 作 垂线交 轴点 D．点G 点 关
y 轴称点作直线QG 问样作出直线 否椭圆 C 定唯
公点？说明理．
42．（ 2013 湖北）图已知椭圆 1C 2C 中心坐标原点O长轴均 MN x 轴
短轴长分 2m 2 ( )n m n 原点 x 轴重合直线 l 1C 2C 四交点
坐标次 ABCD．记 m
n  △ BDM △ ABN 面积分 1S
2S．

（Ⅰ）直线 y 轴重合时 12SS 求  值
（Ⅱ）  变化时否存坐标轴重合直线 l 12SS ？说明理．
43． (2013 天津)设椭圆
22
221( 0)xy abab    左焦点 F 离心率 3
3
点 F x
轴垂直直线椭圆截线段长 43
3
．
(Ⅰ) 求椭圆方程
O x
y
B
A
第 20 题图
C
D
M N

(Ⅱ) 设 A B 分椭圆左右顶点 点 F 斜率 k 直线椭圆交 CD
两点． ·· 8AC DB ADCB 求 k 值．
44．（2013 山东）椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    左右焦点分 12FF离心率 3
2

1F 垂直 x 轴直线椭圆C 截线段长 l．
（Ⅰ）求椭圆 方程
（Ⅱ）点 P 椭圆 长轴端点外点连接 12PF PF ．设 12F PF 角分
线 PM 交 长轴点  0Mm 求 m 取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件点 P 作斜率 k 直线l 椭圆
公点．设直线 斜率分 12kk 0k  试证明
12
11
kk kk 定
值求出定值．
45．（ 2012 北京）已知椭圆 C
22
221( 0)xy abab    顶点 (20)A离心率
2
2
．直线 (1y k x）椭圆 交两点 MN．
（Ⅰ）求椭圆 方程
（Ⅱ）△AMN 面积 10
3
时求 k 值．
46．（ 2013 安徽）图 21FF 分椭圆C： 2
2
a
x + 2
2
b
y 1（ 0 ba ）左右焦点 A
椭圆C 顶点 B 直线 2AF 椭圆C 交点 1F A 2F 60°．
x
y
O
A
F1
F2
B


（Ⅰ）求椭圆C 离心率
（Ⅱ）已知△ ABF1 面积 40 3 求 a b 值．
47．（ 2012 广东）面直角坐标系 xOy 中已知椭圆C：
22
221( 0)xy abab    离心
率 2
3e  椭圆C 点 (02)Q 距离值 3．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）椭圆C 否存点 ()M m n 直线l ： 1mx ny圆 O： 221xy
相交两点 AB OAB 面积？存求出点 M 坐标
相应 OAB 面积存请说明理．
48．（ 2011 陕西）设椭圆 C  
22
2210xy abab    点（04）离心率 3
5
（Ⅰ）求 C 方程
（Ⅱ）求点（30）斜率 4
5
直线 C 截线段中点坐标．
49．（ 2011 山东）面直角坐标系 xOy 中已知椭圆
2
213
xCy．图示斜率
( 0)kk＞ 原点直线l 交椭圆C AB 两点线段 AB 中点 E射线OE
交椭圆 点G交直线 3x  点 ( 3 )Dm ．
（Ⅰ）求 22mk 值
（Ⅱ） 2OG OD ∙ OE
（i）求证：直线l 定点
（ii）试问点 BG 否关 x 轴称？求出时 ABG 外接圆方程
请说明理．

G
x
y
E
3
l
B
A
O
D

50．（ 2010 新课标）设 1F 2F 分椭圆 E： 2x +
2
2
y
b 1（01b）左右焦点
直线l E 相交 AB 两点 2AF AB 2BF 成等差数列．
（Ⅰ）求 AB
（Ⅱ）直线 斜率 1求b 值．
51．（ 2010 辽宁）设椭圆 C：
22
221( 0)xy abab    左焦点 F点 F 直线椭圆 C
相交 AB 两点直线 l 倾斜角 60o 2AF FB ．
（Ⅰ）求椭圆 C 离心率
（Ⅱ）果|AB| 15
4
求椭圆 C 方程．
专题九 解析
第二十六讲 椭圆
答案部分
1 解析 图示设 2BF x 2 2AF x
2 3BF AB x
椭圆定义 122BF BF a 42xa
1224AF AF a x   2 2AF x 1 2AF x
点 A 椭圆顶点设坐标 0b
222AF BF 点 B 坐标 3 22
b

点 B 椭圆  
22
2210xy abab    2
91144a 
解 2 3a  1c  2 2b  椭圆方程
22
132
xy选 B
2．解析（1）题设 1
2 2 2
yy
xx  
化简
22
1(| | 2)42
xy x   C 中心
坐标原点焦点 x 轴椭圆含左右顶点．
3 解析 题意 1
2
ce a
2
2
1
4
c
a 
22
2
1
4
ab
a
 
2 2 244a b a 2234ab ．选 B．
4 解析 设 ()M m n 0mn 椭圆 C：
22
136 20
xyC  6a  25b  2c 
y
xF2F1
O
B
A
2
3
ce a M C 点第象限 12| | | |MF MF
12MF F△ 等腰三角形 1| | 2MF c 2| | 2MF c
2683 m 3m  15n 
2683 m 30m    舍． (3 15)M

20102018 年

1．D解析题意椭圆焦点 x 轴图示
O
y
x
P
F2F1A

设 12| | 2F F c 12PF F 等腰三角形 12 120FFP
∴ 2 1 2| | | | 2PF F F c∵ 2||OF c ∴点 P 坐标( 2 cos60 2 sin60 )c c c 点
(2 3 )P c c ．∵点 P 点 A斜率 3
6
直线
∴ 33
26
c
ca
解 1
4
c
a  ．∴ 1
4e  选 D．
2．C解析题意 2 5a 5a ．椭圆定义知P 该椭圆两焦点距离
2 2 5a 选 C．
3．B解析题意知 2 9a  2 4b  ∴ 2 2 2 5c a b   ∴离心率 5
3
ce a
选 B
4．A解析线段 12AA 直径圆 2 2 2x y a直线 20bx ay ab   圆相切
圆心直线距离
22
2abda
ab


整理 223ab
 2 2 2 2 23 2 3a a c a c   
2
2
2
3
c
a  6
3
ce a 选 A．
5．A解析设 (0 )Em直线 AE 方程 1xy
ab   题意知 ()mcM c m a
(0 )2
m ( 0)Ba 三点线 2 2
mc m mm a
ca


化简 3ac C 离心率
1
3
ce a．选 A．
6．A解析题意知 2211mn   222mn
2 2 2 2
2
12 2 2 2 2
1 1 1 1() 2
m n n nee m n n n
      
42
4 2 4 2
2 1 11122
nn
n n n n
   

12 1ee  ．选 A．
7．D解析题意设 ( 10 cos sin )Q 圆圆心坐标 (06)C圆心Q 距离
2 2 22| | ( 10 cos ) (sin 6) 50 9(sin ) 50 5 23CQ         ≤ 仅
2sin 3  时取等号 max max| | | | 5 2 2 6 2PQ CQ r   ≤ QP
两点间距离62．
8．D解析设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 12xx 2 12yy －2
22
11
221xy
ab ①
22
22
221xy
ab ②
①－② 1 2 1 2 1 2 1 2
22
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
ab
   
∴ ABk 12
12
yy
xx


2
12
2
12
()
()
b x x
a y y
 
2
2
b
a
01
31

 1
2
∴ 9 2c 22ab
解 2b 9 2a 18∴椭圆方程
22
118 9
xy选 D
9．C解析  21F PF 底角30 等腰三角形
2 2 1
332( ) 224
cPF F F a c c e a       
10．5解析设 11()A x y 22()B x y 2AP PB 12
12
2
1 2( 1)
xx
yy

   

122xx 1232yy ．点 AB 椭圆
2
22
2
2
22
2
4 (3 )4
4
x xm
x ym
   
 

2
13
44ym 2 2 2 2
22
1 5 9 1(3 2 ) ( 5) 4 44 2 4 4x m y m m m     ≤
5m  时点 B 横坐标绝值值 2．
11． 3 1 2 解析设椭圆右焦点 ( 0)Fc 双曲线 N 渐线椭圆 M 第象
限交点 A题意知 3()22
ccA点 A 椭圆 M
22
22
3 144
cc
ab
∴ 2 2 2 2 2 234b c a c a b 2 2 2b a c∴ 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 4 ( )a c c a c a a c   
∴ 4 2 2 44 8 0a a c c   ∴ 428 +4 0ee椭 椭 ∴ 2 4 2 3e 椭
∴ 31e 椭 （舍） 31e 椭 ∴椭圆 M 离心率 31
∵双曲线渐线点 渐线方程 3yx
双曲线离心率
22
2 2mne m
双 ．
y
x
A
FO

12． 6
3
解析题意  0Fc 直线
2
by  椭圆方程联立 3 22
abB

3 22
abC

90BFC   0BF CF 3 22
abBF c  

3 22
abCF c  
2 2 231044c a b   2 2 2b a c 2231
42ca
26
33
ce a   ．
13． 223 25()24  xy 解析 题意圆(40)(02)(0 2) 三点设圆心( 0)a
中 0a > 244  aa 解 3
2a 圆方程 223 25()24  xy．
14． 2
2
解析设 11()A x y 22()B x y 分代入椭圆方程相减
1 2 1 2 1 2 1 2
22
( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y
ab
   根题意 1 2 1 22 2x x y y   
12
12
1
2
yy
xx
 
22
2 2 1( ) 02ab    222ab 整理 222ac
2
2e  ．
15．12解析设 MN 交椭圆点 P连接 1FP 2FP利中位线定理 AN BN
122 2 2 2 4 12F P F P a a     ．
16． 3
3
解析题意
2
()bAc a

2
()bBc a 题意知点 D 1FB中点
点 D 坐标
2
(0 )2
b
a BFAD 1
1
1AD F Bkk   整理 232b ac
解 3
3e  ．
17． 223 12xy解析题意通径 2
2AF b ∴点 B 坐标 251()33
cBb
点 B 坐标带入椭圆方程
22
2
2
1()5 3( ) 13
bc
b

  
221bc 解
2
2
2
3
1
3
b
c
 
 
∴椭圆方程 223 12xy．
18． 13  解析题意知 21FMF 中
 903060 211221 MFFFMFFMF









12
21
22
21
2
2
2
1
3
2
)2(
MFMF
aMFMF
cFFMFMF
整理 13  a
ce 答案 ．
19． 5
5
解析椭圆性质知： 1AF a c 12 2F F c 1F B a c已知 1AF
12FF 1FB 成等数列 2( )( ) (2 )a c a c c   2 2 24a c c 225ac
5
5
ce a 椭圆离心率 5
5
．
20．(0 1) 解析设点 A 坐标()mnB 点坐标()cd ． 12( 20) ( 20)FF
1 ( 2 )F A m n 2 ( 2 )F B c d ∵ 125FAFB
∴ 6255
mncd点 AB椭圆
∴
2
2 13
m n
2
2
62()5 ( ) 135
m
n

解 0 1mn  
∴点 A 坐标 ．
21．解析(1)已知 (10)Fl 方程 1x ．
已知点 A 坐标 2(1 )2
2(1 )2 ．
AM 方程 2 22yx   2 22yx．
(2)l x 轴重合时 0OMA OMB    ．
轴垂直时OM AB 垂直分线 OMA OMB   ．
l x 轴重合垂直时设 方程 ( 1)( 0)y k x k   1 2 21( ) ( )Ay x yx B
1 2x 2 2x 直线 MA MB 斜率
2
12
1 22MA MB xx
yykk  
．
11 ykx k 22 ykx k
1 2 1 2
12(
2 3 ( ) 4
2)( 2)MA MB
x x x xkk
xx
kkk    
．
( 1)y k x代入
2
2 12
x y
2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k     ．

2
1 22
4
21 
k
kxx
2
1 22
22
21
 x k
kx ．

3
1
3
1
3
22 2
4 4 12 8 42 3 ( ) 4 021
k k k k kk k k kx x x x        
．
0MA MBkk MA MB 倾斜角互补 OMA OMB   ．
综 ．
22．解析(1)设 11()A x y 22()B x y
22
11143
xy
22
22143
xy．
两式相减 12
12
yy kxx
 
1 2 1 2 043
x x y y k   ．
题设知 1212
xx  12
2
yy m 
3
4k m ．①
题设 30 2m 1
2k  ．
(2)题意 (10)F设 33()P x y
3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (00)x y x y x y      ．
(1)题设 3 1 23 ( ) 1x x x    3 1 2( ) 2 0y y y m      ．
点 P C 3
4m  3(1 )2P  3||2FP  ．

2
2 2 2 11
1 1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 242
xxFA x y x         ．
理 2| | 2 2
xFB  ．
12
1| | | | 4 ( ) 32FA FB x x     ．
2| | | | | |FP FA FB ||FA ||FP ||FB 成等差数列．
设该数列公差 d
2
1 2 1 2 1 2
112|||| || || | | ( )422dFBFA xx xx xx       ．②
3
4m  代入① 1k  ．
l 方程 7
4yx   代入C 方程整理 2 17 14 04xx   ．
122xx 12
1
28xx  代入②解 3 21|| 28d  ．
该数列公差 3 21
28
3 21
28 ．
23．解析设椭圆焦距 2c 已知知
2
2
5
9
c
a  2 2 2a b c 23ab ．
已知FB a 2AB b 62FB AB 6ab  3a  2b  ．
椭圆方程
22
194
xy．
(2)设点 P 坐标 11()xy点Q 坐标 22()xy．
已知 120yy 12sinPQ AOQ y y   ．
2
sin
yAQ OAB 

4OAB  22AQ y ．
52sin4
AQ AOQPQ  1259yy ．
方程组 22
194
y kx
xy
 

消 x 1 2
6
94
ky
k


．
易知直线 AB 方程 20xy   方程组 20
y kx
xy

   


消 x 2
2
1
ky k  ． 1259yy 25( 1) 3 9 4kk  
两边方整理 256 50 11 0kk   解 1
2k  11
28k  ．
k 值 1 11
2 28
．
24．解析（1） 3P 4P 两点关 y 轴称题设知 C 两点．
2 2 2 2
1 1 1 3
4a b a b   知C 点 1P点 2P C ．

2
22
1 1
1314
b
ab
 
 
解
2
2
4
1
a
b
  
．
C 方程
2
2 14
x y．
（2）设直线 2PA直线 2PB斜率分 1k 2k
果l x 轴垂直设 ： xt 题设知 0t  | | 2t  AB 坐标分
（t
24
2
t ）（ t
24
2
t ）．

22
12
4 2 4 2 122
ttkk tt
        2t  符合题设．
设 ： y kx m（ 1m  ）． 代入
2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m    
题设知 2216(4 1) 0km    ．
设 11()A x y 22()B x y 12 2
8
41
kmxx k   

2
12 2
44
41
mxx k
 
．
12
12
12
11yykk xx
   12
12
11kx m kx m
xx
   
1 2 1 2
12
2 ( 1)( )kx x m x x
xx
   ．
题设 12 1kk   1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x     ．

2
22
4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1
m kmkmkk
     
．
解 1
2
mk  ．
仅 1m  时 0 欲l ： 1
2
my x m   11 ( 2)2
myx   
定点（2 1 ）
25．解析（1）设 ()P x y 00()M x y 0( 0)Nx 0()NP x x y 0(0 )NM y ．
2NP NM 0xx 0
2
2yy ．
C
22
122
xy．
点 P 轨迹方程 222xy．
（2）题意知 ( 10)F  ．设 ( 3 )Qt ()P m n
( 3 )OQ t ( 1 )PF m n    33OQ PF m tn   
()OP m n ( 3 )PQ m t n   
1OP PQ 2231m m tn n     （1）知 222mn
3 3 0m tn   ．
0OQ PF OQ PF ．点 P 存唯直线垂直OQ 点 P
垂直 直线l C 左焦点 F．
26．解析（1）设椭圆半焦距c
椭圆 E 离心率 1
2
两准线间距离 8 1
2
c
a 
22 8a
c 
解 2 1ac 22 3b a c  
椭圆 标准方程
22
143
xy
（2）（1）知 1( 10)F  2 (10)F
设 00()P x y 点 P 第象限点 000 0xy
0 1x  时 2l 1l 相交 1F题设符
0 1x  时直线 1PF 斜率 0
0 1
y
x  直线 2PF 斜率 0
0 1
y
x 
11l PF⊥ 22l PF⊥ 直线 1l 斜率 0
0
1x
y
直线 2l 斜率 0
0
1x
y

直线 方程： 0
0
1( 1)xyxy
   ①
直线 2l 方程： 0
0
1( 1)xyxy
   ②
①②解
2
0
0
0
1 xx x y y
  
2
0
0
0
1()xQx y

点Q 椭圆称性
2
0
0
0
1 x yy
  22
001xy 22
001xy
P 椭圆 E
22
00143
xy

22
00
22
00
1
143
xy
xy
  
解 00
4 7 3 777xy
22
00
22
00
1
143
xy
xy
  
解
点 P 坐标 4 7 3 7()77
27．解析（Ⅰ）设 F 坐标( 0)c 题意 1
2
c
a 
2
p a 1
2ac 解 1a 
1
2c  2p  2 2 2 3
4b a c  
椭圆方程
2
2 4 13
yx 抛物线方程 2 4yx
（Ⅱ）设直线 AP 方程 1( 0)x my m   直线l 方程 1x  联立点
2( 1 )P m 2( 1 )Q m 1x my 联立消 x
整理 22(3 4) 6 0m y my   解 0y  2
6
34
my m
 
点 B 异点 A点
2
22
3 4 6()3 4 3 4
mmB mm
  

2( 1 )Q m 直线 BQ 方程
2
22
6 2 3 4 2( )( 1) ( 1)( ) 03 4 3 4
mmxym m m m
       
令 0y  解
2
2
23
32
mx m
 


2
2
23( 0)32
mD m


22
22
2 3 6| | 1 3 2 3 2
mmAD mm
  
APD△ 面积 6
2

2
2
1 6 2 6
2 3 2 | | 2
m
mm  

整理 23 2 6 | | 2 0mm   解 6||3m  6
3m 
直线 AP 方程3 6 3 0xy   3 6 3 0xy  
28．解析（I）题意知 2
2
ce a 22c 
2 1ab
椭圆 E 方程
2
2 12
x y．
（Ⅱ）设    1 1 2 2A x y B x y
联立方程
2
2
1
12
3 2
x y
y k x
 
 

 22
114 2 4 3 1 0k x k x   
题意知 0
 
1
1 2 1 22 2
1 1
23 121 2 2 1
kx x x xk k
    


22
112
1 1 2 2
1
1 1 8121+2
    kkAB k x x k
．
题意知圆 M 半径 r
22
11
2
1
1 + 1 + 82 2 2
332 + 1
kkr AB
k

题设知 12
2
4kk 
2
1
2
4k k
直线OC 方程
1
2
4yxk ．
联立方程
2
2
1
12
2 4
x y
yxk
 
 


2
221
22
11
8 11 4 1 4
kxykk


2
22 1
2
1
18
14
kOC x y k
   
．
题意知 1sin 2 1
SOT r
OCr OC
r
  


2
1
2
1
22
11
2
1
18
14
1 1 822
3 2 1
k
OC k
r kk
k




2
1
22
11
1232
4 1 4 1
k
kk



令 2
112tk
 11 01t t

22
2
3 3 1 3 1 12 2 21121 1 1 92
24
OC t
r tt
tt t
   
    

仅11
2t  2t  时等号成立时 1
2
2k 
1sin 22
SOT 

26
SOT  
SOT 值
3
 ．
综述： SOT 值 取值时直线l 斜率 1
2
2k  ．
29．解析（Ⅰ）题意












12
1
2
3
222 cba
ab
a
c
解 12  ba
椭圆C 方程 14
2
2
 yx
（Ⅱ）（Ⅰ）知 )10()02(BA设 )( 00 yxP 44 2
0
2
0  yx
00 x 时直线 PA 方程 )2(20
0  xx
yy
令 0x
2
2
0
0
 x
yyM
2
211
0
0
 x
yyBM M
直线 PB 方程 11
0
0  xx
yy
令 0y
10
0
 y
xxN
122
0
0
 y
xxAN N

2
2112
0
0
0
0
 x
y
y
xBMAN
22
8844
22
48444
0000
0000
0000
0000
2
0
2
0


 yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx 4
00 x 时 10 y 22  ANBM
4 BMAN
综 BMAN  定值
30．解析(Ⅰ)设直线 l y kx b( 0 0)kb 11()A x y 22()B x y ()MMM x y ．
y kx b代入 2 2 29x y m 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m    
12
229M
xx kbx k
   
2
9
9MM
by kx b k   
．
直线OM 斜率 9M
OM
M
yk xk   9OMkk   ．
直线OM 斜率l 斜率积定值．
（Ⅱ）四边形OAPB 行四边形．
直线l 点()3
m m
l 原点C 两交点充条件 0k  3k  ．
(Ⅰ)OM 方程 9yxk ．设点 P 横坐标 Px ．

2 2 2
9
9
yxk
x y m
 
 

22
2
29 81P
kmx k 

239P
kmx
k


．
点 坐标代入直线 方程 (3 )
3
mkb  2
( 3)
3( 9)M
mk kx k
 
．
四边形 行四边形仅线段 AB 线段OP 互相分 2PMxx ．

239
km
k
 
 2
( 3)2 3( 9)
mk k
k
 
．解 1 47k  2 47k  ．
0 3iikk 1i  2 斜率 47 47 时四边形
行四边形．
31．解析（Ⅰ）题意
2 2 2
1
2 2

b
c
a
a b c

 

 
解 2a 2．
椭圆C 方程
2
2 12
x y．
设 M(Nx 0)． 0m  11n   ．
直线 PA 方程 11 nyxm

Mx
1
m
n
( 0)1
mM n
．
（Ⅱ）点 B 点 A 关 x 轴称 ()B m n
设 ( 0)NNx Nx
1
m
n
．
存点 (0 )QQy OQM ONQ 等价存点 OM
OQ
OQ
ON

Qy 满足 2
QMNy x x ．

1M
mx n 

1N
mx n 

2
2 12
m n

2
2
2 21QMN
my x x n  
．
2 2Qy  ．
y 轴存点Q OQM ONQ ．
点 坐标(0 2) (0 2) ．
32．解析（1）题设条件知点 M 坐标 21()33ab 5
10OMk  5
2 10
b
a 
进 225 2a b c a b b    25
5
ce a ．
（2）题设条件（I）计算结果直线 AB 方程 1
5
xy
bb
点 N 坐
标 51()22bb 设点 关直线 称点 S 坐标 1
7()2x 线段 NS
中点T 坐标 15 1 7()4 2 4 4
xbb   ．点T 直线 AB 1NS ABkk  

1
1
5 1 7
4 2 4 4 1
5
71
22 5
5
2
xbb
bb
b
bx
   

 

 
解 3b  35b 
椭圆 E 方程
22
145 9
xy．
33．解析（Ⅰ）题意知 42 a 2a 3
2
c
a  2 2 2a c b
1b 椭圆C 方程 14
2
2
 yx ．
（Ⅱ）（I）知椭圆 E 方程 1416
22
 yx ．
（i）设 ||
||)( 00 OP
OQyxP题意知 )( 00 yxQ  
14
2
0
2
0  yx 14
)(
16
)( 2
0
2
0  yx  1)4(4
2
0
2
0  yx
2 2||
|| OP
OQ ．
（ii）设 )()( 2211 yxByxA mkxy  代入椭圆 E 方程
01648)41( 222  mkmxxk
0 22 164 km 
2
2
21221 41
16441
8
k
mxxk
kmxx 

2
22
21 41
4164|| k
mkxx 
 ．
直线 y 轴交点坐标 )0( m
OAB 面积 ||||2
1
21 xxmS  2
22
41
||4162
k
mmk


2
222
41
)416(2
k
mmk

 2
2
2
2
41)414(2 k
m
k
m

令 tk
m  2
2
41
代入椭圆C 方程
0448)41( 222  mkmxxk
0≥ 22 41 km 
①②知 10  t ttttS 42)4(2 2 
23S ≤
仅 1t 时 22 41 km  时取值 32
（i）知 ABQ 面积 S3
面积值 36 ．
34．解析 2 2 3(c0) 33Fcc
（I）设 条件知
2 2 23 2 12
c a b a ca    
2
2 14
xEy 方程
（Ⅱ） 1 1 2 2 2( )( )lx lykxPxyQxy 轴时合题意设
2
2214
xy kx y    代入 22(1 4 ) 16 12 0k x kx   
2
22
12 2
3 8 2 4 316(4 3) 0 4 4 1
kkk k x k
     
时
22
2
12 2
4 1 4 3141
kkPQ k x x k
      

2
2
1
O PQ d OPQ
k


点 直线 距离 面积
2
2
1 4 4 32 4 1OPQ
kS d PQ k
 
2
2
444 3 0 44OPQ
tk t t S t t t
     
设
474 2 02t t kt       仅 时等号成立满足
OPQ  面积时 方程
772222y x y x     ．
35．解析（Ⅰ）设直线l 方程  0y kx m k   22
221
y kx m
xy
ab
 

消 y  2 2 2 2 2 2 2 2 220b ak x akmxam ab    
直线 椭圆C 公点 P 0 2 2 2 2 0b m a k  
解点 P 坐标
22
2 2 2 2 2 2a km b m
b a k b a k

点 第象限
点 坐标
22
2 2 2 2 2 2
a k b
b a k b a k


（Ⅱ）直线 1l 原点Ol 垂直直线 方程 0x ky
点 直线 距离
22
2 2 2 2 2 2
21
a k b
b a k b a kd
k




整理
22
2
2 2 2 2
2
abd
bb a a k k

  

2
22
2 2ba k abk

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
a b a b ab
b b a abb a a k k
  
  
仅 2 bk a 时等号成立
点 直线 距离值 ba 
36．解析（Ⅰ）根 22c a b题设知
2
2( )2 3bM c b aca 
2 2 2b a c代入 223b ac 解 1 22
cc
aa   （舍）
C 离心率 1
2
．
（Ⅱ）题意原点O 12FF 中点 2MF ∥ y 轴直线 1MF 轴交点 (02)D
线段 中点
2
4b
a  2 4ba ①
15MN F N 112DF F N
设 11()N x y 题意知 1 0y  1
1
2( )
22
c x c
y
  

1
1
3 2
1
xc
y
 
 

代入 C 方程
2
22
9114
c
ab②
① 22c a b代入②
2
2
9( 4 ) 1 144
aa
aa
 
解 27 4 28a b a  
7 2 7ab
37．解析：（Ⅰ） 11| | 3| | | | 4AF F B AB 11| | 3 | | 1AF F B．
2ABF 周长 16椭圆定义 124 16 | | | | 2 8a AF AF a   
21| | 2 | | 8 3 5AF a AF     ．
（Ⅱ）设 1||F B k 0k  1| | 3 | | 4AF k AB k椭圆定义
22| | 2 3 | | 2AF a k BF a k   
中余弦定理
2 2 2
2 2 2 2 2| || || |2| || |cosAB AF BF AF BF AF B     
2 2 2 6(4) (2 3) (2 ) (2 3)(2 )5k a k a k a k a k       
化简( ) ( 3 ) 0a k a k    0ak 3ak
2 1 2| | 3 | | | | 5AF k AF BF k  
2 2 2
22| | | | | |BF AF AB 12AF AF
12AF F 等腰直角三角形． 2
2ca 椭圆离心率 2
2
ce a ．
38．解析（Ｉ）题意知
22 3
2
ab
a
  224ab
椭圆 C 方程化简 2 2 24x y a
yx 代入 5
5
ax 
2 5 4 102 55
a 2a 
1b 
椭圆 C 方程
2
2 14
x y
（Ⅱ）（ⅰ）设 1 1 1 1 2 2( )( 0) ( )A x y x y D x y 11()B x y
直线 AB 斜率 1
1
AB
yk x
AB AD 直线 AD 斜率 1
1
xk y
设直线 AD 方程 y kx m
题意知 0 0km
2
2 14
y kx m
x y
 
2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x mkx m    
12 2
8
14
mkxx k   

1 2 1 2 2
2( ) 2 14
my y k x x m k     

题意知 12xx 1 2 1
1
1 2 1
1
44
y y yk x x k x
   

直线 BD 方程 1
11
1
()4
yy y x xx  
令 0y  13xx 1(3 0)Mx ． 1
2
12
yk x ．
12
1
2kk 1
2  ．
存常数 1
2  结成立
（ⅱ）直线 BD 方程 1
11
1
()4
yy y x xx  
令 0x  1
3
4yy 1
3(0 )4Ny
（ⅰ）知 1(3 0)Mx
OMN 面积 1 1 1 1
1 3 93| | | | | || |2 4 8S x y x y   

2
21
1 1 1| || | 14
xx y y   仅 1
1
|| 2||22
x y 时等号成立
时 S 取值 9
8
面积值
39．解析（Ｉ）设 2C 焦距 22c 题 212 22 2ca 121 1ac
点 2313P

双曲线
2
2
2
1
1yx b
2
2
12
1
2 3 2 133 bb
   

椭圆定义
   
22
22
2
2 3 2 32 1 1 1 1 2 333a                   
2 3a
2 2 2
2 2 2 2b a c   12CC方程
2 2 2
2 1 13 3 2
y y xx    
（Ⅱ）存符合题设条件直线
(1)直线l 垂直 x 轴 l 2C 公点
直线方程 2x  2x 
2x  时易知    2 3 2 3 AB 2 2 2 3OA OB AB  
时 OA OB AB 2x  时理
（2）直线l 垂直 x 轴设l 方程 y kx m 2
2 13
y kx m
yx
 

 2 2 23 2 3 0k x kmx m     l 1C 相交 AB两点时
设    1 1 2 2A x y B x y 12xx满足述方程两实根
2
1 2 1 222
2333
km mx x x xkk
  
 
22
22
1 2 1 2 1 2 2
33
3
kmy y k x x km x x m k
     
22
132
y kx m
yx
 
 2 2 22 3 4 2 6 0k x kmx m     直线l 2C 公
点述方程判式   2 2 2 20 16 8 2 3 3 0k m k m      
化简 2223km
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
3 3 3 3 03 3 3
m k m kOA OB x x y y k k k
           

2 2 2 2
22OA OB OA OB OA OB OA OB      

22
OA OB OA OB   OA OB AB
综合（i）（ ii）知存符合题目条件直线．
40．解析：（1）条件
2
2
2 2 2
2
63
24
c
aab
ba b c

     

椭圆 C 标准方程
22
162
xy
（Ⅱ）设 ( 3 )Tm 11()P x y 22()Q x y 设 PQ 中点 00()N x y
（i） ( 20)F  直线 PQ 方程： 2x my
2222
2
( 3) 4 2 0
162
x my
m y myxy
      


2 2 2
12 2
12 2
16 8( 3) 24( 1) 0
4
3
2
3
m m m
myy m
yy m

      
  
  

12
0 2
2
23
yy my m


2
00 22
262233
mx my mm
    
22
62()33
mN mm


．
3OT ON
mkk  
ONT 三点线
OT 分线段 PQ（中 O 坐标原点）
（ii） 2| | 1TF m
2
22
12 2
24( 1)| | | | 1 13
mPQ y y m mm
    

22
22
2
2
| | 1 3
||24( 1) 24( 1)13
TF m m
PQ mmmm


令 2 1mx（ 1x  ）

2| | 2 1 2 3()| | 32 6 2 6
TF x xPQ xx
    （仅 2 2x  时取 ）
||
||
TF
PQ
时 2 2x  1m  1
时点 T 坐标( 31) ( 3 1)
41．解析（Ⅰ）焦距 4 224ab椭圆 C 点 ( 2 3)P
22
231ab 2 8a  2 4b  椭圆 C 方程
22
184
xy
（Ⅱ）题意E 点坐标
0
( 0)x 设 ( 0)D
Dx  0
2 2AE x
 0
2 2AD x AD AE 知 0AE AD
0
80D
xx．

00
0xy 
0
8
D
x x ．点 G 点 D 关 y 轴称点
点
0
8( 0)G x
．
直线QG 斜率 0 0 0
2
0
0
0
8 8QG
y x yk xx x

．
 00Q x y 椭圆 C 22
0028xy． ①
0
2QG
n
xk y
直线QG 方程 0
00
8
2
xyxyx
  

②
②代入椭圆 C 方程：
 2 2 2 2
0 0 02 16 64 16 0nx y x x x y     ③
①代入③化简： 22
020nx x x x  
解 00x x y y直线 椭圆 C 定唯公点．
42．解析题意设椭圆 1C 2C 方程分
1C：
22
221xy
am 2C：
22
221xy
an 中 0a m n   1m
n 
（Ⅰ）解法 1：图 1直线l y 轴重合直线l 方程 0x 
1
11| | | | | |22S BD OM a BD   2
11| | | | | |22S AB ON a AB   1
2
||
||
S BD
S AB
C1 C2 方程中分令 0x  Aym Byn Dym
||| | 1
| | | | 1
BD
AB
yyBD m n
AB y y m n


     
．
1
2
S
S  1
1
 
 
化简 2 2 1 0   1  解 21 ．
直线 l y 轴重合时 12SS ．
解法 2：图 1直线 轴重合
| | | | | |BD OB OD m n    | | | | | |AB OA OB m n   
1
11| | | | | |22S BD OM a BD   2
11| | | | | |22S AB ON a AB   ．
1
2
| | 1
| | 1
S BD m n
S AB m n


  
．
化简 2 2 1 0   解 ．
直线 轴重合时 ．

（Ⅱ）解法 1：图 2存坐标轴重合直线 l 12SS 根称性
妨设直线l ：( 0)y kx k
点 ( 0)Ma ( 0)Na 直线l 距离分 1d 2d
1 22
| 0 |
11
ak akd
kk


2 22
| 0 |
11
ak akd
kk


12dd
11
1 ||2S BD d 22
1 ||2S AB d 1
2
||
||
S BD
S AB | | | |BD AB
称性知| | | |AB CD | || || |( 1)| |BC BD AB AB   
| || || |( 1)| |AD BD AB AB   
| | 1
| | 1
AD
BC


  ①
l 方程分 C1C2 方程联立求
2 2 2A
amx
a k m



2 2 2B
anx
a k n



根称性知 CBxx DAxx
2 2 2 2
2 2 22
1 | | 2||
| | 21 | |
ADA
BBC
k x x xAD m a k n
BC x n a k mk x x
    
②
①②式
2 2 2
2 2 2
1
( 1)
a k n
a k m


 ③
令 1
( 1)t 

 
mn 1t  ③解
2 2 2
2
22
( 1)
(1 )
ntk at
  
0k  2 0k  ③式关 k 解仅
2 2 2
22
( 1) 0(1 )
nt
at
  

等价 22
2
1( 1)( ) 0tt   1  解 1 1t 
111( 1)

  

1  解 12 
O x
y
B
A
第 28 题解答图 1
C
D
M N



第 28 题解答图 2



1 1 2   时存坐标轴重合直线 l 12SS
12  时存坐标轴重合直线 l
解法 2：图 2存坐标轴重合直线 l 根称性
妨设直线l ：( 0)y kx k
点 ( 0)Ma ( 0)Na 直线l 距离分 1d 2d
1 22
| 0 |
11
ak akd
kk


2 22
| 0 |
11
ak akd
kk


12dd
11
1 ||2S BD d 22
1 ||2S AB d 1
2
||
||
S BD
S AB 

2
2
1 | |||
||1 | |
BDAB
ABAB
k x x x xBD
AB x xk x x
    
1
1
A
B
x
x


 
点 ()AAA x kx ()BBB x kx 分 C1C2
2 2 2
221AAx k x
am
2 2 2
221BBx k x
an两式相减
2 2 2 2 2 2
22
()0ABABx x k x x
am

题意 0ABxx 22
ABxx 式解
2 2 2
2
2 2 2 2
()
()
AB
BA
m x xk a x x
 
2 0k 
2 2 2
2 2 2 2
()0()
AB
BA
m x x
a x x
 
解1 A
B
x
x 
11 1
 

解
时存坐标轴重合直线 l
时存坐标轴重合直线 l
43． 解析(Ⅰ)设 F(－c0) 3
3
c
a  知 3ac 点 F x 轴垂直直线 x＝－
c代入椭圆方程
22
22
() 1cy
ab
 
解 6
3
by  2 6 4 3
33
b  解 2b 
a2－c2＝b2 a＝ 3 c＝1
椭圆方程
22
132
xy
(Ⅱ)设点 C(x1y1)D(x2y2) F(－10)直线 CD 方程 y＝k(x＋1)
方程组 22
1
132
y k x
xy
    
消 y整理(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0
求解 x1＋x2＝
2
2
6
23
k
k 
x1x2＝
2
2
36
23
k
k


A( 3 0)B( 3 0)
AC ·DB ＋ AD ·CB
＝(x1＋ 3 y1)·( 3 －x2－y2)＋(x2＋ 3 y2)·( 3 －x1－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝
2
2
2 126 23
k
k
 
．
已知
2
2
2 126 23
k
k
 
＝8解 k＝ 2 ．
44．解析：（Ⅰ） 2 2 2c a b xc 代入椭圆方程
22
221xy
ab
2by a
题意知
22 1b
a  22ab ce a3
2

2a  1b  椭圆方程
2
2 14
x y
（Ⅱ）题意知： 1
1| || |
PF PM
PF PM
 2
2| || |
PF PM
PF PM
 1
1||
PF PM
PF
 2
2||
PF PM
PF
 设 00()P x y 中
2
0 4x  量坐标代入化简： 23
0 0 0(4 16) 3 12m x x x  
0
3
4mx 0 ( 22)x  33()22m
（Ⅲ）题意知l 椭圆 p 点处切线导数法求切线方程：
0
0 14
xx yy 0
04
xk y 00
12
33
yykk
xx


代入
12
11
kk kk 中
00
1 2 0 0
3311 4( ) 8xx
kk kk x x
      定值．
45．解析（Ⅰ）题意
2 2 2
2
2
2
a
c
a
a b c

 


解 2b  椭圆 C 方程
22
142
xy
（Ⅱ） 22
( 1)
142
y k x
xy
 
2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k    
设点 MN 坐标分 11()xy 22()xy 11( 1)y k x 22( 1)y k x
2
12 2
4
12
kxx k

2
12 2
24
12
kxx k
 
．
|MN| 22
2 1 2 1()()x x y y   22
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x  

22
2
2 (1 )(4 6 )
12
kk
k


点 A(20)直线 (1y k x）距离
2
||
12
kd
k



△AMN 面积
2
2
1 | | 4 6||2 1 2
kkS MN d k
   
2
2
| | 4 6 10
1 2 3
kk
k
 

解 1k 
46．解析（Ⅰ） 12
160 2 2
cF AF a c e a
      
（Ⅱ）设 2BF m 1 2BF a m
12BF F 中 2 2 2
1 2 1 2 2 1 22 cos120BF BF F F BF F F     
2 2 2 3(2 ) 5a m m a am m a       1AF B 面积：
21
1 1 3 3sin 60 ( ) 40 32 2 5 2
10 5 5 3
S F F AB a a a
a c b
         
   

47．解析（Ⅰ） 2222
33
ce c aa    2 2 2 21
3b a c a  
设 ()P x y 椭圆C 意点
22
221xy
ab
2
2 2 2 2
2(1 ) 3yx a a yb   
2 2 2 2 2 2 2|| (2) 3(2) 2(1) 6PQ x y a y y y a  
1y  时||PQ 值 2 63a  3a  1 2bc
椭圆C 方程：
2
2 13
x y
（Ⅱ）存点 M 满足求 OAB 面积．
假设直线 1l mx ny圆 221O x y相交两点 AB
圆心O l 距离
22
1 1d
mn


∴ 221mn ①
()M m n 椭圆C
2
2 13
m n

②①②： 203m „
∵
22
2
22
1| | 2 1 2 mnAB d mn
   
2 2 2 2
1 1 1| | (1 )2OABS AB d m n m n   
②
2
2 1 3
mn  代入式

2 2
22
133
2 221 213 3
OAB
mm
S
m m
 
 
„仅 22231 (03]32mm   
∴ 223122mn时满足求点 62()22M 四．
时应 OAB 面积 1
2
．
48．解析（Ⅰ）（04）代入 C 方程 2
16 1b  ∴b 4
3
5
ce a
22
2
9
25
ab
a
 
2
16 91 25a∴a5
∴C 方程
22
125 16
xy．
（ Ⅱ）点 30 斜率 4
5
直线方程  4 35yx
设直线Ｃ交点 11()A x y 22()B x y
直线方程 代入C 方程  22 3 125 25
xx 
2 3 8 0xx   解 1
3 41
2x  2
3 41
2x 
 AB 中点坐标 123
22
xxx 
 12
12
2662 5 5
yyy x x      中点 3625

．
49．解析（Ⅰ）设直线 ( 0)l y kx t k  方程
题意 0t  方程组 2
2

13
y kx t
x y
 

2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x ktx t     题意 0 223 1 kt
设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 韦达定理 12 2
6 31
ktxx k   
12 2
2 31
tyy k 
E 线段 AB 中点 22
3 3 1 3 1EE
kt txykk
时 1 3
E
OE
E
yk xk  
OE 直线方程 1 3yxk 题设知 D（－3m）
令 x －3 1m k mk 1 222 2m k mk  
仅 m k 1 时式等号成立时 0 0 2t
1 0 2m k t    时 22mk 取值 2．
（Ⅱ）（i）（I）知 OD 直线方程 1 3yxk
代入椭圆 C 方程 0k 
解
22
31()
3 1 3 1
kG
kk



22
31( ) ( 3 )3 1 3 1
ktEDk k k

距离公式 0t 
2
2 2 2
222
2
22
2
22
2 2 2
3 1 9 1| | ( ) ( ) 313 1 3 1
1 9 1| | ( 3) ( )
3 9 1| | ( ) ( ) 3 1 3 1 3 1
kkOG kkk
kOD kk
kt t t kOE k k k
    
   
     

2| | | | | | OG OD OE t k  
直线l 方程 ( 1)y k x
直线 ( 10)l 恒定点
（ii）（i）
22
31()
3 1 3 1
kG
kk



BG 关 x 轴称

22
31( )
3 1 3 1
kB
kk



代入 22( 1) 3 1 3 1y k x k k k    整理
426 7 1 0kk  
解 2 1
6k  （舍） 2 1k 
k1
时 3 1 3 1( ) ( )2 2 2 2BG   关 x 轴称
（I） 110 1xy A（01）．
ABG 外接圆圆心 x 轴设 ABG 外接圆圆心（d0）
223 1 11 ( ) 2 4 2d d d     解
ABG 外接圆半径 2 51 2rd  
ABG 外接圆方程 2215()24xy  
50．解析（Ⅰ）椭圆定义知 22F + F   
2AB AF ΒF AB
         

（Ⅱ）L 方程式 y x c中 21cb
设 1 1 1 1( )B( )A x xy y AB 两点坐标满足方程组
2
2
2 1
y x c
yx b
 
化简 2 2 2(1 ) 2 1 2 0b x cx b    

2
1 2 1 222
2 1 211
cbx x x xbb
  
直线 AB 斜率 1 21xx     
21
4 23 xx   

2 2 4
2
1 2 1 2 2 2 2 2
8 4(1 ) 4(1 2 ) 8( ) 49 (1 ) 1 1
b b bx x x x b b b
       
解 2
2b  ．
51．解析设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 题意知 1y ＜0 2y ＞0
（Ⅰ）直线 l 方程 3( )y x c中 22c a b
联立 22
22
3( )
1
y x c
xy
ab
  
2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b   
解
22
122 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )33
b c a b c ayya b a b
   
2AF FB 122yy

22
2 2 2 2
3 ( 2 ) 3 ( 2 )233
b c a b c a
a b a b
  
离心率 2
3
ce a
（Ⅱ） 21
11 3AB y y  
2
22
2 4 3 15
343
ab
ab
2
3
c
a  5
3ba 5 15
44a  a3 5b 
椭圆 C 方程
22
195
xy．

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