专题训练 空间直线面垂直关系
A组
1(2021广东珠海模)已知αβ两面lmn三条直线列条件中l⊥α( )
Al⊥ml⊥nm⊂αn⊂α
Bl⊥mm∥α
Cα⊥βl∥β
Dl∥mm⊥α
2(2021河北沧州模拟)图已知ABCD分圆柱底面圆直径AB⊥CD该圆柱侧面积底面面积23倍AB面BCD成角( )
Aπ6 Bπ4 Cπ3 D5π12
3(2021安徽定远中学高三月考)正方体ABCDA1B1C1D1中出列四推断
①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③面A1C1B∥面ACD1④面A1C1B⊥面BB1D1D
中正确推断数( )
A1 B2 C3 D4
4(2021陕西宝鸡模拟)图示四棱锥PABCD中AB⊥面PADAB∥CDPDADEPB中点FDC点AB2DFPH△PAD中AD边高
(1)证明PH⊥面ABCD
(2)PH1AD2FC1求三棱锥EBCF体积
(3)证明面EFC⊥面PAB
5(2021陕西西安中学二模)图矩形ABCD面半圆弧CD面垂直M半圆弧异CD点
(1)证明直线DM⊥面BMC
(2)线段AM否存点PMC∥面PBD说明理
B组
6已知矩形ABCDAB1BC2△ABD矩形角线BD直线进行翻折翻折程中( )
A存某位置直线AC直线BD垂直
B存某位置直线AD直线BC垂直
C存某位置直线AB直线CD垂直
D意位置三直线ACBDABCDADBC均垂直
7(2021江苏宿迁期末)图四棱锥PABCD中PA⊥底面ABCDAD⊥ABAB∥DCADDCPA2AB1EPC中点
求证(1)BE⊥PD
(2)BE∥面PAD
(3)面PCD⊥面PAD
8(2021河北衡水中学周测)图矩形ABCD中AD2AB4EF分边ABAD中点现△ADEDE折起四棱锥ABCDE
(1)求证EF∥面ABC
(2)面ADE⊥面BCDE求四面体FDCE体积
C组
9(2021浙江宁波十校联考)图示已知△ABC△BCD面互相垂直∠BAC60°∠BCD90°ABACCD2BC点PQ分边BDCD直线PQ△PQD翻折DA重合
(1)证明AD⊥PQ
(2)求直线AP面ABC成角正弦值
答案：
1D 2C 3C
4(1)证明∵AB⊥面PADPH⊂面PAD∴PH⊥AB
PH⊥ADAD∩ABA∴PH⊥面ABCD
(2)解∵EPB中点∴点E面BCF距离h12PH12
∴三棱锥EBCF体积V13S△BCF×h13×12×FC×AD×h16×1×2×12212
(3)证明取PA中点G连接DGEG∵PDAD∴DG⊥PA
AB⊥面PAD
∴面PAD⊥面PAB
面PAD∩面PABPADG⊥PADG⊂面PAD
∴DG⊥面PAB
点EG棱PBPA中点EG12AB
DF12AB∴EGDF
∴DG∥EF∴EF⊥面PAB
∵EF⊂面EFC
∴面EFC⊥面PAB
5(1)证明题设知面CMD⊥面ABCD交线CD
BC⊥CDBC⊂面ABCD
BC⊥面CMDBC⊥DM
M半圆弧异CD点DC直径DM⊥CM
BC∩CMCDM⊥面BMC
(2)解PAM中点时MC∥面PBD
证明连接AC交BDO
四边形ABCD矩形OAC中点
连接OPPAM中点MC∥OP
MC⊄面PBDOP⊂面PBDMC∥面PBD
6C
7证明(方法)(1)图取PD中点F连接AFEFEPC中点FE∥DCFE12DC
DC2ABAB∥DC
FE∥ABFEAB
四边形ABEF行四边形BE∥AF
PAADFPD中点AF⊥PDBE⊥PD
(2)(1)知BE∥AFAF⊂面PADBE⊄面PADBE∥面PAD
(3)PA⊥底面ABCD
PA⊥AB
AD⊥ABPA∩ADAAB⊥面PAD
AB∥DCDC⊥面PAD
DC⊂面PCD面PCD⊥面PAD
(方法二)PA⊥底面ABCDAD⊥ABPAABAD两两互相垂直点A坐标原点ABADAP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示
题意B(100)C(220)D(020)P(002)E(111)
(1)BE(011)PD(022)BE·PD0BE⊥PD
(2)AD(020)AP(002)DC(200)
AD·DC0AP·DC0
AD∩APADC(200)面PAD法量
BE(011)BE·DC0
BE⊄面PADBE∥面PAD
(3)(2)知DC面PAD法量DC⊥面PADDC⊂面PCD面PCD⊥面PAD
8(1)证明图取线段AC中点M连接MFMB
FMADAC中点
MF∥CDMF12CD
折叠前四边形ABCD矩形EAB中点
BE∥CDBE12CD
MF∥BEMFBE
四边形BEFM行四边形EF∥BM
EF⊄面ABCBM⊂面ABCEF∥面ABC
(2)解折叠前四边形ABCD矩形AD2AB4EAB中点
△ADE△CBE等腰直角三角形ADAEEBBC2
∠DEA∠CEB45°DEEC22
∠DEA+∠DEC+∠CEB180°
∠DEC90°DE⊥CE
面ADE⊥面BCDE面ADE∩面BCDEDECE⊂面BCDE
CE⊥面ADECE三棱锥CEFD高
FAD中点S△EFD12×12×AD×AE14×2×21
四面体FDCE体积V13×S△EFD×CE13×1×22223
9(1)证明题意APDPAQDQ
取线段AD中点R连接PRQR显然AD⊥PRAD⊥QRPR∩QRRPR⊂面PQRQR⊂面PQRAD⊥面PQRAD⊥PQ
(2)解设BC2ABAC2CD4BDAD25
余弦定理
cos∠ADBAD2+BD2AB22AD·BD20+2042·25·25910
APDP12ADcos∠ADB1095
DP59BDBP49BD
P作PH⊥BC点H面ABC⊥面BCDPH⊥面ABC
连接AH∠PAH直线AP面ABC成角
△PAH中PH49CD169
sin∠PAHPHAP16910958525
直线AP面ABC成角正弦值8525
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A组
1(2021广东珠海模)已知αβ两面lmn三条直线列条件中l⊥α( )
Al⊥ml⊥nm⊂αn⊂α
Bl⊥mm∥α
Cα⊥βl∥β
Dl∥mm⊥α
2(2021河北沧州模拟)图已知ABCD分圆柱底面圆直径AB⊥CD该圆柱侧面积底面面积23倍AB面BCD成角( )
Aπ6 Bπ4 Cπ3 D5π12
3(2021安徽定远中学高三月考)正方体ABCDA1B1C1D1中出列四推断
①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③面A1C1B∥面ACD1④面A1C1B⊥面BB1D1D
中正确推断数( )
A1 B2 C3 D4
4(2021陕西宝鸡模拟)图示四棱锥PABCD中AB⊥面PADAB∥CDPDADEPB中点FDC点AB2DFPH△PAD中AD边高
(1)证明PH⊥面ABCD
(2)PH1AD2FC1求三棱锥EBCF体积
(3)证明面EFC⊥面PAB
5(2021陕西西安中学二模)图矩形ABCD面半圆弧CD面垂直M半圆弧异CD点
(1)证明直线DM⊥面BMC
(2)线段AM否存点PMC∥面PBD说明理
B组
6已知矩形ABCDAB1BC2△ABD矩形角线BD直线进行翻折翻折程中( )
A存某位置直线AC直线BD垂直
B存某位置直线AD直线BC垂直
C存某位置直线AB直线CD垂直
D意位置三直线ACBDABCDADBC均垂直
7(2021江苏宿迁期末)图四棱锥PABCD中PA⊥底面ABCDAD⊥ABAB∥DCADDCPA2AB1EPC中点
求证(1)BE⊥PD
(2)BE∥面PAD
(3)面PCD⊥面PAD
8(2021河北衡水中学周测)图矩形ABCD中AD2AB4EF分边ABAD中点现△ADEDE折起四棱锥ABCDE
(1)求证EF∥面ABC
(2)面ADE⊥面BCDE求四面体FDCE体积
C组
9(2021浙江宁波十校联考)图示已知△ABC△BCD面互相垂直∠BAC60°∠BCD90°ABACCD2BC点PQ分边BDCD直线PQ△PQD翻折DA重合
(1)证明AD⊥PQ
(2)求直线AP面ABC成角正弦值
答案：
1D 2C 3C
4(1)证明∵AB⊥面PADPH⊂面PAD∴PH⊥AB
PH⊥ADAD∩ABA∴PH⊥面ABCD
(2)解∵EPB中点∴点E面BCF距离h12PH12
∴三棱锥EBCF体积V13S△BCF×h13×12×FC×AD×h16×1×2×12212
(3)证明取PA中点G连接DGEG∵PDAD∴DG⊥PA
AB⊥面PAD
∴面PAD⊥面PAB
面PAD∩面PABPADG⊥PADG⊂面PAD
∴DG⊥面PAB
点EG棱PBPA中点EG12AB
DF12AB∴EGDF
∴DG∥EF∴EF⊥面PAB
∵EF⊂面EFC
∴面EFC⊥面PAB
5(1)证明题设知面CMD⊥面ABCD交线CD
BC⊥CDBC⊂面ABCD
BC⊥面CMDBC⊥DM
M半圆弧异CD点DC直径DM⊥CM
BC∩CMCDM⊥面BMC
(2)解PAM中点时MC∥面PBD
证明连接AC交BDO
四边形ABCD矩形OAC中点
连接OPPAM中点MC∥OP
MC⊄面PBDOP⊂面PBDMC∥面PBD
6C
7证明(方法)(1)图取PD中点F连接AFEFEPC中点FE∥DCFE12DC
DC2ABAB∥DC
FE∥ABFEAB
四边形ABEF行四边形BE∥AF
PAADFPD中点AF⊥PDBE⊥PD
(2)(1)知BE∥AFAF⊂面PADBE⊄面PADBE∥面PAD
(3)PA⊥底面ABCD
PA⊥AB
AD⊥ABPA∩ADAAB⊥面PAD
AB∥DCDC⊥面PAD
DC⊂面PCD面PCD⊥面PAD
(方法二)PA⊥底面ABCDAD⊥ABPAABAD两两互相垂直点A坐标原点ABADAP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图示
题意B(100)C(220)D(020)P(002)E(111)
(1)BE(011)PD(022)BE·PD0BE⊥PD
(2)AD(020)AP(002)DC(200)
AD·DC0AP·DC0
AD∩APADC(200)面PAD法量
BE(011)BE·DC0
BE⊄面PADBE∥面PAD
(3)(2)知DC面PAD法量DC⊥面PADDC⊂面PCD面PCD⊥面PAD
8(1)证明图取线段AC中点M连接MFMB
FMADAC中点
MF∥CDMF12CD
折叠前四边形ABCD矩形EAB中点
BE∥CDBE12CD
MF∥BEMFBE
四边形BEFM行四边形EF∥BM
EF⊄面ABCBM⊂面ABCEF∥面ABC
(2)解折叠前四边形ABCD矩形AD2AB4EAB中点
△ADE△CBE等腰直角三角形ADAEEBBC2
∠DEA∠CEB45°DEEC22
∠DEA+∠DEC+∠CEB180°
∠DEC90°DE⊥CE
面ADE⊥面BCDE面ADE∩面BCDEDECE⊂面BCDE
CE⊥面ADECE三棱锥CEFD高
FAD中点S△EFD12×12×AD×AE14×2×21
四面体FDCE体积V13×S△EFD×CE13×1×22223
9(1)证明题意APDPAQDQ
取线段AD中点R连接PRQR显然AD⊥PRAD⊥QRPR∩QRRPR⊂面PQRQR⊂面PQRAD⊥面PQRAD⊥PQ
(2)解设BC2ABAC2CD4BDAD25
余弦定理
cos∠ADBAD2+BD2AB22AD·BD20+2042·25·25910
APDP12ADcos∠ADB1095
DP59BDBP49BD
P作PH⊥BC点H面ABC⊥面BCDPH⊥面ABC
连接AH∠PAH直线AP面ABC成角
△PAH中PH49CD169
sin∠PAHPHAP16910958525
直线AP面ABC成角正弦值8525
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