2022届高考数学二轮专题测练等数列前n项
选择题（20题100分）
1 等数列 an 中a11a4−8 an 前 6 项
A −21 B 11 C 31 D 63
2 某种细菌培养程中 20 分钟分裂次（1 分裂成 2 ） 3 时种细菌繁殖成
A 511 B 512 C 1023 D 1024
3 等数列 an 中已知前 4 项 1前 8 项 17等数列公 q
A 2 B −2 C 2 −2 D 2 −1
4 设公 −2 等数列 an 前 n 项 Sn S5112 a4
A 8 B 4 C −4 D −8
5 等数列 an 前 n 项 Sna⋅2n+1（n∈N*）中 a 常数 a
A −2 B −1 C 1 D 2
6 设等数列 an 中前 n 项 Sn已知 S38S67 a7+a8+a9 等
A 18 B −18 C 578 D 558
7 设等数列 an 中前 n 项 Sn已知 S38S67 a7+a8+a9 等
A 18 B −18 C 578 D 558
8 已知 an 穷等数列公 q>1记 Sn an 前 n 项面结正确
A a3>a2 B a1+a2>0
C an2 递增数列 D Sn 存值
9 已知正项等数列 an 前 n 项 Sn a418S3−a134 S5
A 3132 B 3116 C 318 D 314
10 设等数列 an 前 n 项 Sn S39S636 a7+a8+a9
A 144 B 81 C 45 D 63
11 设递增等数列 an 前 n 项 Sn已知 S44033a4−10a3+3a20 a4
A 9 B 27 C 81 D 83
12 等数列 an 首项 1前 n 项 Sn果 S4S23 a5 值
A 2 B 2 −2 C 4 D 4 −4
13 等数列 an 前 n 项 Sn列定成立
A a1>0 a2019<0 B a2>0 a2018<0
C a1>0 S2019>0 D a2>0 S2018>0
14 记 Sn 等数列 an 前 n 项． a5−a312a6−a424 Snan
A 2n−1 B 2−21−n C 2−2n−1 D 21−n−1
15 设 Sn 等数列 an 前 n 项满足 3S97S6mS6nS3 nm
A 3 B 13 C 3 83 D 3 13
16 数列 an 中a12am+naman． ak+1+ak+2+⋯+ak+10215−25 k
A 2 B 3 C 4 D 5
17 设 an 公 q 等数列前 n 项积 Tn满足条件：a1>1a99a100−1>0a99−1a100−1<0．出列结：
① 0 A ①②③ B ①④ C ②③④ D ①③④
18 国古代数学名著九章算术中两鼠穿墙问题：两老鼠时墙两面相着洞穿墙．老鼠第天进 1 尺天进度前天 2 倍．老鼠第天进 1 尺天进度前天半．果墙厚度 10 尺两鼠穿透墙少第
A 3 天 B 4 天 C 5 天 D 6 天
19 已知 an 等数列Sn 前 n 项a2>0数列 Sn 递增数列
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
20 数列 an存常数 M意 n∈N*an an+1 中少 M记作 an⊳M列命题正确
A an⊳M 数列 an 项均等 M
B an⊳M bn⊳M an+bn⊳2M
C an⊳M an2⊳M2
D an⊳M 2an+1⊳2M+1
二填空题（5题25分）
21 等数列 an 前 n 项 Sn已知 S3a2+10a1a59 a1 ．
22 等数列 an 中a22a516数列 an 前 6 项 S6 ．
23 等数列 an 项均实数前 n 项 Sn已知 S374S6634 a8 ．
24 等数列 an 前 n 项 Sn已知 S3a2+10a1a59 a1 ．
25 已知数列 an 中a11ann−a2na2n+1an+1 a1+a2+⋯+a99 值 ．
三解答题（5题65分）
26 设等数列 an 前 n 项 Sn S3+S62S9求数列公 q．
27 已知数列 ann∈N* 等差数列 a3−6a60．
（1）求数列 an 通项公式
（2）等数列 bn 满足 b1−8b2a1+a2+a3．求数列 bn 前 n 项 Sn．
28 等数列 an 中a11a54a3．
（1）求 an 通项公式
（2）记 Sn an 前 n 项 Sm63求 m．
29 已知等数列 an 前 n 项 Sna12a32a2+16 S2020<0．
（1）求 an 通项公式
（2）否存正整数 n Sn>2020 成立存求出 n 值存请说明理．
30 已知正项数列 an 前 n 项 Sn a11Sn+1+Snan+12数列 bn 满足 bn⋅bn+12an b12．
（1）求数列 anbn 通项公式
（2）令 cnan⋅b2n+−1n3n−2求数列 cn 前 n 项 Tn．
答案
第部分
1 A
2 B
3 C 解析 S41S8S4+q4⋅S41+q417 q±2．
4 C 解析 S5112 a11−−251−−2112解 a112
a4a1⋅−23−4．
5 B
解析 n1 时a1S12a+1．
n≥2 时anSn−Sn−1a⋅2n+1−a⋅2n−1+1
化简 ana⋅2n−1
式 n1 时成立
2a+1a解 a−1．
6 A 解析 a7+a8+a9S9−S6 S3S6−S3S9−S6 成等数列 8−1S9−S6 成等数列
8S9−S61 S9−S618
a7+a8+a918．
7 A 解析 a7+a8+a9S9−S6等数列中 S3S6−S3S9−S6 成等数列 8−1S9−S6 成等数列
8S9−S61 S9−S618．
8 C
9 B 解析正项等数列 an 前 n 项 Sn设公 q
a418S3−a134
a1q318a11−q31−q−a134 解 a11q12．
S5a11−q51−q1−1321−123116．
10 B
解析等数列性质 S3S6−S3S9−S6⋯ 成等数列设公 q
题意 S39S6−S336−927 q2793
a7+a8+a9S9−S627×381．
11 A 解析设等数列 an 公 q．
3a4−10a3+3a20 3q2−10q+30解 q3 q13
S4>0数列 an 递增
q3
S4a11−341−3403解 a113
a413×339．
12 C 解析根 S4S23展开 a1+a2+a3+a4a1+a23 a3+a42a1+a2根等数列通项性质 anamqn−m（n>m nm∈N+） a1q2+a2q22a1+a2 q22．知 a5a1q44．
13 C
14 B 解析设等数列公 q
a5−a312
a6−a4qa5−a3
q2
a1q4−a1q212
12a112
a11
Sn1−2n1−22n−1an2n−1
Snan2n−12n−12−21−n．
15 D
解析设等数列 an 公 qq≠1
q1 3S927a17S642a13S97S6 a10显然成立 q≠1．
3S97S6mS6nS3
3×a11−q91−q7×a11−q61−qma11−q61−qna11−q31−q
31+q3+q671+q3解 q32 −23．
nm1+q33 13．
16 C 解析 a12 am+naman
取 m1 an+1a1an2an
an+1an2
数列 an 2 首项 2 公等数列
ak+12⋅2k2k+1
ak+1+ak+2+⋯+ak+102k+11−2101−2211+k−2k+1215−25
k+15 k4．
17 D 解析 a99a100−1a992q−1>0 q>0 a1>1a99−1a100−1<0 a99>1a100<1 01命题②正确a99a101a1002<1命题③正确 a99>1a100<1 Tn<1 成立时 T199a1002199<1 Tn<1 成立时然数 n 等 199．
18 B 解析题意：老鼠老鼠天走路程等数列
：鼠：q2前 n 天走 Sn2n−1 尺
鼠：q12前 n 天走 Snʹ2−12n−1 尺
墙厚度 10 尺 ⇒Sn+Snʹ10 尺
2n−1+2−12n−110 2n−12n−19
n3 时 23−123−1<9未穿透
n4 时 24−124−1>16穿透
少第 4 天．
19 B 解析 a2>0取数列 an 012−3−4⋯数列 Sn 0130−4⋯显然数列 Sn 递增数列a2>0数列 Sn 递增数列充分条件数列 Sn 递增数列 Sn+1>Sn S2>S1 S2−S1>0 a2>0a2>0数列 Sn 递增数列必条件．a2>0数列 Sn 递增数列必充分条件．
20 D
解析根题意 an⊳M an 中少隔项会出现 M 数数列 an 项定等 M
M2an 1212⋯bn 2121⋯时 an⊳Mbn⊳M an+bn⊳2M 成立
M−3an −21−21⋯时 an⊳M an2⊳M2 成立
an⊳M an an+1 中少 M 2an+1 2an+1+1 中少 2M+1 2an+1⊳2M+1．
第二部分
21 19
解析条件 a1+a1q+a1q2a1q+10a1a1q49解 q±3a119．
22 63
23 32
解析设等数列 an 公 q≠1
S374S6634 a11−q31−q74a11−q61−q634
解 a114q2 a814×2732．
24 19
解析设等数列 an 公 q
S3a2+10a1a59
a1+a1q+a1q2a1q+10a1a1q49
解 q29a119
25 1275
第三部分
26 q−132．
27 （1） 设等差数列 ann∈N* 首项 a1公差 d
a6−a33d6⇒d2a3a1+2d−6⇒a1−10．
通项公式 ana1+n−1d2n−12．
（2） 已知 b2a1+a2+a3−10−8−6−24
等数列 bn 公 qb2b13Sna11−qn1−q−81−3n1−341−3n．
28 （1） 设 an 公 q题设 anqn−1．
已知 q44q2解 q0舍q−2 q2．
an−2n−1 an2n−1n∈N*．
（2） an−2n−1 Sn1−−2n3．
Sm63 −2m−188方程没正整数解．
an2n−1 Sn2n−1．
Sm63 2m64解 m6．
综m6．
29 （1） a122q24q+16
q4−2 S2020<0 q−2
an2⋅−2n−1．
（2） Sn21−−2n1−−2231−−2n>2020 −2n<−3029
n 偶数时 −2n>0 符合
n 奇数 −211−2048−213−4096
n≥13 n 奇数 nmin13．
30 （1） n1 时S2+S1a22
a22−a2−20
an>0
a22
Sn+1+Snan+12Sn+Sn−1an2n≥2 an+an+1an+12−an2
an+1+anan+1+anan+1−an
an>0
an+1−an1n≥2．
a2−a12−11
an 公差 1首项 1 等差数列．
an1+n−1×1nn∈N*
题意：b1b22a12
b12
b21
bnbn+12nn≥2bn−1bn2n−1
两式相：bn+1bn−12n≥2
n 奇数时bn 公 2首项 b12 等数列
bn2n+12
理n 偶数时bn 公 2首项 b21 等数列
bn2n−22．
综 bn2n+12 n奇数2n−22 n偶数．
（2） cnan⋅b2n+−1n3n−2
cnn⋅2n−1+−1n3n−2
令 n⋅2n−1 前 n 项 An
An1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−12An1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
两式相减：−An20+21+22⋯+2n−1−n⋅2n1−2n1−2−n⋅2n
Ann−12n+1
令 −1n3n−2 前 n 项 Bn
Bn3n2 n偶数−3n+12 n奇数
综 Tnn−12n+3−3n2 n奇数n−12n+1+3n2 n偶数．
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选择题（20题100分）
1 等数列 an 中a11a4−8 an 前 6 项
A −21 B 11 C 31 D 63
2 某种细菌培养程中 20 分钟分裂次（1 分裂成 2 ） 3 时种细菌繁殖成
A 511 B 512 C 1023 D 1024
3 等数列 an 中已知前 4 项 1前 8 项 17等数列公 q
A 2 B −2 C 2 −2 D 2 −1
4 设公 −2 等数列 an 前 n 项 Sn S5112 a4
A 8 B 4 C −4 D −8
5 等数列 an 前 n 项 Sna⋅2n+1（n∈N*）中 a 常数 a
A −2 B −1 C 1 D 2
6 设等数列 an 中前 n 项 Sn已知 S38S67 a7+a8+a9 等
A 18 B −18 C 578 D 558
7 设等数列 an 中前 n 项 Sn已知 S38S67 a7+a8+a9 等
A 18 B −18 C 578 D 558
8 已知 an 穷等数列公 q>1记 Sn an 前 n 项面结正确
A a3>a2 B a1+a2>0
C an2 递增数列 D Sn 存值
9 已知正项等数列 an 前 n 项 Sn a418S3−a134 S5
A 3132 B 3116 C 318 D 314
10 设等数列 an 前 n 项 Sn S39S636 a7+a8+a9
A 144 B 81 C 45 D 63
11 设递增等数列 an 前 n 项 Sn已知 S44033a4−10a3+3a20 a4
A 9 B 27 C 81 D 83
12 等数列 an 首项 1前 n 项 Sn果 S4S23 a5 值
A 2 B 2 −2 C 4 D 4 −4
13 等数列 an 前 n 项 Sn列定成立
A a1>0 a2019<0 B a2>0 a2018<0
C a1>0 S2019>0 D a2>0 S2018>0
14 记 Sn 等数列 an 前 n 项． a5−a312a6−a424 Snan
A 2n−1 B 2−21−n C 2−2n−1 D 21−n−1
15 设 Sn 等数列 an 前 n 项满足 3S97S6mS6nS3 nm
A 3 B 13 C 3 83 D 3 13
16 数列 an 中a12am+naman． ak+1+ak+2+⋯+ak+10215−25 k
A 2 B 3 C 4 D 5
17 设 an 公 q 等数列前 n 项积 Tn满足条件：a1>1a99a100−1>0a99−1a100−1<0．出列结：
① 0
18 国古代数学名著九章算术中两鼠穿墙问题：两老鼠时墙两面相着洞穿墙．老鼠第天进 1 尺天进度前天 2 倍．老鼠第天进 1 尺天进度前天半．果墙厚度 10 尺两鼠穿透墙少第
A 3 天 B 4 天 C 5 天 D 6 天
19 已知 an 等数列Sn 前 n 项a2>0数列 Sn 递增数列
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充分必条件 D 充分必条件
20 数列 an存常数 M意 n∈N*an an+1 中少 M记作 an⊳M列命题正确
A an⊳M 数列 an 项均等 M
B an⊳M bn⊳M an+bn⊳2M
C an⊳M an2⊳M2
D an⊳M 2an+1⊳2M+1
二填空题（5题25分）
21 等数列 an 前 n 项 Sn已知 S3a2+10a1a59 a1 ．
22 等数列 an 中a22a516数列 an 前 6 项 S6 ．
23 等数列 an 项均实数前 n 项 Sn已知 S374S6634 a8 ．
24 等数列 an 前 n 项 Sn已知 S3a2+10a1a59 a1 ．
25 已知数列 an 中a11ann−a2na2n+1an+1 a1+a2+⋯+a99 值 ．
三解答题（5题65分）
26 设等数列 an 前 n 项 Sn S3+S62S9求数列公 q．
27 已知数列 ann∈N* 等差数列 a3−6a60．
（1）求数列 an 通项公式
（2）等数列 bn 满足 b1−8b2a1+a2+a3．求数列 bn 前 n 项 Sn．
28 等数列 an 中a11a54a3．
（1）求 an 通项公式
（2）记 Sn an 前 n 项 Sm63求 m．
29 已知等数列 an 前 n 项 Sna12a32a2+16 S2020<0．
（1）求 an 通项公式
（2）否存正整数 n Sn>2020 成立存求出 n 值存请说明理．
30 已知正项数列 an 前 n 项 Sn a11Sn+1+Snan+12数列 bn 满足 bn⋅bn+12an b12．
（1）求数列 anbn 通项公式
（2）令 cnan⋅b2n+−1n3n−2求数列 cn 前 n 项 Tn．
答案
第部分
1 A
2 B
3 C 解析 S41S8S4+q4⋅S41+q417 q±2．
4 C 解析 S5112 a11−−251−−2112解 a112
a4a1⋅−23−4．
5 B
解析 n1 时a1S12a+1．
n≥2 时anSn−Sn−1a⋅2n+1−a⋅2n−1+1
化简 ana⋅2n−1
式 n1 时成立
2a+1a解 a−1．
6 A 解析 a7+a8+a9S9−S6 S3S6−S3S9−S6 成等数列 8−1S9−S6 成等数列
8S9−S61 S9−S618
a7+a8+a918．
7 A 解析 a7+a8+a9S9−S6等数列中 S3S6−S3S9−S6 成等数列 8−1S9−S6 成等数列
8S9−S61 S9−S618．
8 C
9 B 解析正项等数列 an 前 n 项 Sn设公 q
a418S3−a134
a1q318a11−q31−q−a134 解 a11q12．
S5a11−q51−q1−1321−123116．
10 B
解析等数列性质 S3S6−S3S9−S6⋯ 成等数列设公 q
题意 S39S6−S336−927 q2793
a7+a8+a9S9−S627×381．
11 A 解析设等数列 an 公 q．
3a4−10a3+3a20 3q2−10q+30解 q3 q13
S4>0数列 an 递增
q3
S4a11−341−3403解 a113
a413×339．
12 C 解析根 S4S23展开 a1+a2+a3+a4a1+a23 a3+a42a1+a2根等数列通项性质 anamqn−m（n>m nm∈N+） a1q2+a2q22a1+a2 q22．知 a5a1q44．
13 C
14 B 解析设等数列公 q
a5−a312
a6−a4qa5−a3
q2
a1q4−a1q212
12a112
a11
Sn1−2n1−22n−1an2n−1
Snan2n−12n−12−21−n．
15 D
解析设等数列 an 公 qq≠1
q1 3S927a17S642a13S97S6 a10显然成立 q≠1．
3S97S6mS6nS3
3×a11−q91−q7×a11−q61−qma11−q61−qna11−q31−q
31+q3+q671+q3解 q32 −23．
nm1+q33 13．
16 C 解析 a12 am+naman
取 m1 an+1a1an2an
an+1an2
数列 an 2 首项 2 公等数列
ak+12⋅2k2k+1
ak+1+ak+2+⋯+ak+102k+11−2101−2211+k−2k+1215−25
k+15 k4．
17 D 解析 a99a100−1a992q−1>0 q>0 a1>1a99−1a100−1<0 a99>1a100<1 0
18 B 解析题意：老鼠老鼠天走路程等数列
：鼠：q2前 n 天走 Sn2n−1 尺
鼠：q12前 n 天走 Snʹ2−12n−1 尺
墙厚度 10 尺 ⇒Sn+Snʹ10 尺
2n−1+2−12n−110 2n−12n−19
n3 时 23−123−1<9未穿透
n4 时 24−124−1>16穿透
少第 4 天．
19 B 解析 a2>0取数列 an 012−3−4⋯数列 Sn 0130−4⋯显然数列 Sn 递增数列a2>0数列 Sn 递增数列充分条件数列 Sn 递增数列 Sn+1>Sn S2>S1 S2−S1>0 a2>0a2>0数列 Sn 递增数列必条件．a2>0数列 Sn 递增数列必充分条件．
20 D
解析根题意 an⊳M an 中少隔项会出现 M 数数列 an 项定等 M
M2an 1212⋯bn 2121⋯时 an⊳Mbn⊳M an+bn⊳2M 成立
M−3an −21−21⋯时 an⊳M an2⊳M2 成立
an⊳M an an+1 中少 M 2an+1 2an+1+1 中少 2M+1 2an+1⊳2M+1．
第二部分
21 19
解析条件 a1+a1q+a1q2a1q+10a1a1q49解 q±3a119．
22 63
23 32
解析设等数列 an 公 q≠1
S374S6634 a11−q31−q74a11−q61−q634
解 a114q2 a814×2732．
24 19
解析设等数列 an 公 q
S3a2+10a1a59
a1+a1q+a1q2a1q+10a1a1q49
解 q29a119
25 1275
第三部分
26 q−132．
27 （1） 设等差数列 ann∈N* 首项 a1公差 d
a6−a33d6⇒d2a3a1+2d−6⇒a1−10．
通项公式 ana1+n−1d2n−12．
（2） 已知 b2a1+a2+a3−10−8−6−24
等数列 bn 公 qb2b13Sna11−qn1−q−81−3n1−341−3n．
28 （1） 设 an 公 q题设 anqn−1．
已知 q44q2解 q0舍q−2 q2．
an−2n−1 an2n−1n∈N*．
（2） an−2n−1 Sn1−−2n3．
Sm63 −2m−188方程没正整数解．
an2n−1 Sn2n−1．
Sm63 2m64解 m6．
综m6．
29 （1） a122q24q+16
q4−2 S2020<0 q−2
an2⋅−2n−1．
（2） Sn21−−2n1−−2231−−2n>2020 −2n<−3029
n 偶数时 −2n>0 符合
n 奇数 −211−2048−213−4096
n≥13 n 奇数 nmin13．
30 （1） n1 时S2+S1a22
a22−a2−20
an>0
a22
Sn+1+Snan+12Sn+Sn−1an2n≥2 an+an+1an+12−an2
an+1+anan+1+anan+1−an
an>0
an+1−an1n≥2．
a2−a12−11
an 公差 1首项 1 等差数列．
an1+n−1×1nn∈N*
题意：b1b22a12
b12
b21
bnbn+12nn≥2bn−1bn2n−1
两式相：bn+1bn−12n≥2
n 奇数时bn 公 2首项 b12 等数列
bn2n+12
理n 偶数时bn 公 2首项 b21 等数列
bn2n−22．
综 bn2n+12 n奇数2n−22 n偶数．
（2） cnan⋅b2n+−1n3n−2
cnn⋅2n−1+−1n3n−2
令 n⋅2n−1 前 n 项 An
An1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−12An1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
两式相减：−An20+21+22⋯+2n−1−n⋅2n1−2n1−2−n⋅2n
Ann−12n+1
令 −1n3n−2 前 n 项 Bn
Bn3n2 n偶数−3n+12 n奇数
综 Tnn−12n+3−3n2 n奇数n−12n+1+3n2 n偶数．
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