专题九 解析
第二十八讲 抛物线
2019 年
1（2019 全国 II 理 8）抛物线 y22px(p>0)焦点椭圆
22
3
1xy
pp
焦点 p
A．2 B．3 C．4 D．8
2（2019 北京理 18（1））已知抛物线 22C x py 点(21)求抛物线 C 方程准
线方程
3．（2019 全国 I 理 19）已知抛物线 C：y23x 焦点 F斜率 3
2
直线 l C 交点 A
B x 轴交点 P．
（1） 4AF BF求 l 方程
（2） 3AP PB
uuur uur
求 AB ．
4 （2019 全国 III 理 21）已知曲线 C：y
2
2
x D 直线 y 1
2 动点 D 作 C 两
条切线切点分 AB
（1）证明：直线 AB 定点：
（2） E(0 5
2 )圆心圆直线 AB 相切切点线段 AB 中点求四边形
ADBE 面积

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)设抛物线C： 2 4yx焦点 F点( 20) 斜率 2
3
直线
交 MN 两点 FM FN
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（ 2017 新课标Ⅰ）已知 F 抛物线C： 2 4yx 焦点 作两条互相垂直直线 1l
2l 直线 交 AB 两点直线 C 交 DE 两点| | | |AB DE
值
A．16 B．14 C．12 D．10
3．(2016 年四川)设O 坐标原点P F 焦点抛物线 2 2 ( 0)y px p意点
M 线段 PF 点 PM 2 MF 直线OM 斜率值
A． 3
3 B． 2
3
C． 2
2 D．1
4．(2016 年全国 I)抛物线C 顶点圆心圆交 AB 两点交 准线 DE
两点．已知||AB 42||DE 25 焦点准线距离
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（ 2015 浙江）图设抛物线 2 4yx 焦点 F焦点直线三
点 ABC中点 AB抛物线点C y 轴 BCF ACF 面积

A． 1
1
BF
AF

 B．
2
2
1
1
BF
AF


C． 1
1
BF
AF

 D．
2
2
1
1
BF
AF



6．（ 2015 四川）设直线l 抛物线 2 4yx 相交 AB两点圆   2 2250x y r r   
相切点 M 线段 AB 中点．样直线 恰 4 条 r 取值范围
A． 13 B． 14 C． 23 D． 24
7．（ 2014 新课标 1）已知抛物线C： 2 8yx 焦点 F准线l P 点Q
直线 PF 焦点 4FP FQ ||QF
A． 7
2 B． 5
2 C．3 D．2
8．（ 2014 新课标 2）设 F 抛物线 C： 2 3yx 焦点 倾斜角 30°直线交C
AB两点O 坐标原点△OAB 面积（ ）
A． 33
4 B． 93
8 C． 63
32 D． 9
4
9．（ 2014 辽宁）已知点 ( 23)A  抛物线 C： 2 2y px 准线点 A 直线 C 第
象限相切点 B记 C 焦点 F直线 BF 斜率（ ）
A． 1
2 B． 2
3 C． 3
4 D． 4
3
10．（2013 新课标 1）O 坐标原点F 抛物线 2 4 2C y x 焦点P C 点
| | 4 2PF  POF 面积（ ）
A． 2 B． 22 C． 23 D． 4
11．（ 2013 江西）已知点  20A抛物线 24C x y 焦点 F射线 FA 抛物线C 相
交点 M准线相交点 N| || |FM MN
A．2 5 B．12 C．1 D．13
12．（2012 新课标）等轴双曲线C 中心原点焦点 x 轴C 抛物线 xy 162 
准线交 AB 两点 34|| AB 实轴长
A 2 B 22 C4 D8
13．（ 2012 山 东）已知双曲 线 1C：
22
221( 0 0)xy abab    离心 率 2． 抛物线
2
2 2 ( 0)C x py p焦点双曲线 1C 渐线距离2抛物线 2C 方程
A． 2 83
3xy B． 2 16 3
3xy C． 2 8xy D． 2 16xy
14．（ 2011 新课标）已知直线l 抛物线 焦点 称轴垂直 交 A
B 两点| | 12AB  P 准线点 ABP 面积
A．18 B．24 C．36 D．48
二填空题
15．(2018 全国卷Ⅲ)已知点 ( 11)M  抛物线C： 2 4yx 焦点斜率 k 直
线 交 AB 两点． 90AMB k ______．
16．（ 2017 新课标Ⅱ）已知 F 抛物线C： 2 8yx 焦点M 点 FM 延长
线交 y 轴点 N． M FN 中点||FN  ．
17．（ 2015 陕西）抛物线 2 2 ( 0)y px p准线双曲线 221xy焦点
p
18．（ 2014 湖南）图 4正方形 ABCD DEFG正方形 边长分 ()a b a b 原点
O AD 中点抛物线 2 2 ( 0)y px p bCF a 两点 ．

19．（ 2013 北京）抛物线 2 2y px 焦点坐标(10) p  准线方程 ．
20．（ 2012 陕西）右图抛物线形拱桥水面l 时拱顶离水面 2 米水面宽 4 米水
位降 1 米水面宽 米．

21．（ 2010 浙江）设抛物线 2 2 ( 0)y px p焦点 F点 (02)A．线段 FA 中点 B
抛物线 B 该抛物线准线距离_____________．
三解答题
22．（2018 北京）已知抛物线C： 2 2y px 点 (12)P．点 (01)Q 直线l 抛物线
两交点 AB直线 PA 交 y 轴 M直线 PB 交 y 轴 N．
(1)求直线l 斜率取值范围
(2)设O 原点QM QO QN QO 求证： 11
 定值．
23．（ 2018 全国卷Ⅱ）设抛物线 2 4：C y x 焦点 F F 斜率 ( 0)kk 直线l
C 交 AB 两点| | 8AB ．
(1)求l 方程
(2)求点 AB C 准线相切圆方程．
24．（ 2018 浙江）图已知点 P y 轴左侧(含 y 轴)点抛物线C： 2 4yx 存
两点 AB 满足 PA PB 中点均C ．
PM
B
A
O
y
x

(1)设 AB 中点 M证明： PM 垂直 y 轴
(2) P 半椭圆
2
2 14
yx ( 0x  )动点求 PAB 面积取值范围．
25．（ 2017 新课标Ⅲ）已知抛物线C： 2 2yx 点(20) 直线l 交 AB 两点
圆 M 线段 AB 直径圆．
(1)证明：坐标原点O 圆 M
(2)设圆 点 (4 2)P  求直线l 圆 方程．
26．（ 2017 浙江）图已知抛物线 2xy ．点 11()24A  39()24B抛物线点
()P x y 13()22x   点 B 作直线 AP 垂线垂足Q．
y
x
QA
B
P
O

（Ⅰ）求直线 AP 斜率取值范围
（Ⅱ）求| | | |PA PQ 值．
27．（2017 北京）已知抛物线C： 2 2y px 点 (11)P．点 1(0 )2
作直线l 抛物线 交
两点 MN点 作 x 轴垂线分直线OP ON 交点 AB
中O 原点．
（Ⅰ）求抛物线 方程求焦点坐标准线方程
（Ⅱ）求证： 线段 BM 中点．
28．(2016 年全国 III)已知抛物线 C： 2 2yx 焦点 F行 x 轴两条直线 1l 2l 分
交 C AB 两点交 C 准线 PQ 两点
（Ⅰ） F 线段 AB R PQ 中点证明 AR∥FQ
（Ⅱ）△PQF 面积△ABF 面积两倍求 AB 中点轨迹方程．
29．（ 2015 新课标 1）直角坐标系 xoy 中曲线C：
2
4
xy  直线 y kx a( 0)a  交
MN 两点
（Ⅰ） 0k  时分求 点 处切线方程
（Ⅱ） y 轴否存点 P k 变动时总 OPM OPN   ？说明理．
30．（ 2014 山东）已知抛物线 ）＞0(2 2 ppxyC  焦点 FA C 异原点意
点点 A 直线l 交C 点 B交 x 轴正半轴点 D FA FD
点 横坐标 3 时 ADF 正三角形
（Ⅰ）求 方程
（Ⅱ）直线 ll 1 1l 公点 E
（ⅰ）证明直线 AE 定点求出定点坐标
（ⅱ） ABE 面积否存值？存请求出值存请说
明理
31．（ 2014 陕西）图曲线C 半椭圆
22
1 22 1( 0 0)yxC a b yab     部分抛物
线 2
2 1( 0)C y x y    连接成 12CC公点 AB中 1C 离心率
3
2
．
（Ⅰ）求 ab值
（Ⅱ）点 B 直线l 12CC分交 PQ（均异点 AB） AP AQ 求
直线l 方程．

32．（2013 广东）已知抛物线 C 顶点原点焦点   0 0F c c  直线 2 0l x y  
距离 32
2
．设 P 直线l 点点 P 作抛物线 两条切线 PA PB 中
AB切点．
（Ⅰ）求抛物线 方程
（Ⅱ）点  00P x y 直线 定点时求直线 AB 方程
（Ⅲ）点 P 直线 移动时求 AF BF 值．
33．（ 2012 新课标）设抛物线C：)0(22  ppyx 焦点 F准线l A C 点
已知 F 圆心 FA 半径圆 F 交l BD 点．
（Ⅰ） oBFD 90 ABD 面积 24 求 p 值圆 方程
（Ⅱ） 三点直线 m 直线 n m 行 n 公
点求坐标原点 n 距离值．
34．（2011 新课标）面直角坐标系 xoy 中 已知点 (0 1)A  B 点直线 3y 
M 点满足 MB OA MA AB MB BA 点轨迹曲线 C．
（Ⅰ）求 C 方程
（Ⅱ） P C 动点l C 点 处切线求O 点l 距离值．
专题九 解析
第二十八讲 抛物线
答案部分
2019 年
1．D 解析 题意：
2
3 2
ppp
解 8p  ．选 D．
2解析（I）抛物线 22C x py 点 2 1 2p 
抛物线 C 方程 2 4xy 准线方程 1y 
3解析 设直线    1 1 2 2
32l y x t A x y B x y ．
（1）题设 3 04F 

12
3| | | | 2AF BF x x    题设 12
5
2xx．

2
3
2
3
y x t
yx
 
 
229 12( 1) 4 0x t x t    12
12( 1)
9
txx    ．
12( 1) 5
92
t  7
8t  ．l 方程 37
28yx．
（2） 3AP PB
uuur uur
123yy ．

2
3
2
3
y x t
yx
 
 
2 2 2 0y y t   ．
122yy． 2232yy   211 3yy   ．
代入C 方程 12
13 3xx． 4 13||3AB  ．
4．解析（1）设  11
12D t A x y
2
112xy
y＇ x 切线DA斜率 1x 1
1
1
1
2y
xxt


整理 112 2 +10 tx y
设  22B x y 理 222 2 +10tx y
直线AB方程 2 2 1 0tx y  
直线AB定点 1(0 )2
（2）（1）直线AB方程 1
2y tx
2
1
2
2
y tx
xy
 
 
2 2 1 0x tx  
  2
1 2 1 2 1 2 1 22 1 1 2 1xxtxx yytxx t         
   22 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 2 1AB txx t xx xx t         
设 12dd分点DE直线AB距离 2
122
21
1
d t d
t
  


四边形ADBE面积    22
12
1 | | 3 12S AB d d t t    
设M线段AB中点 2 1 2M t t

EM AB  22EM t t AB 量(1 )t 行  2 20t t t   解
t0 1t 
t 0时S3 1t  时 42S 
四边形ADBE面积3 42

20102018 年

1．D解析通解 点 ( 20) 斜率 2
3
直线方程 2 ( 2)3yx

2
2 ( 2)3
4
 
 
yx
yx
2 5 4 0  xx 解 1x 4x 1
2

 
x
y
4
4

 
x
y

妨设 (12)M(44)N易知 (10)F (02)FM (34)FN
8FM FN ．选 D．
优解 点 斜率 直线方程
设 11()M x y 22()N x y 1 0y 2 0y 根根系数关
系 125xx 12 4xx ．易知 11( 1 )FM x y 22( 1 )FN x y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1 4         FMFNx x yyxx xx xx
4 5 1 8 8     ．选 D．
2．A解析已知 1l 垂直 x 轴符合题意 1l 斜率存设 1k 2l 斜率 2k
题意 12 1kk   设 11()A x y 22()B x y 33()D x y 44()E x y
时直线 1l 方程 1( 1)y k x
取方程
2
1
4
( 1)
yx
y k x
 
 
2 2 2 2
1 1 12 4 0k x k x x k   
∴
2
1
12 2
1
24kxx k
  
2
1
2
1
24k
k

理
2
2
34 2
2
24kxx k

抛物线定义知 1 2 3 4| | | | 2AB DE x x x x p     
22
12
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 2 4 4 4 164 8 2 8 16kk
k k k k k k
       ≥
仅 121kk   （ 1 ）时取等号．
3．C解析设    22 2 P pt pt M x y （妨设 0t  ） 22 22
pFP pt pt

∵ 1
3FM FP ∴
22 2 3 6
2 3
p p pxt
pty
   
 
∴
22 33
2 3
ppxt
pty
 
 

∴ 2
2 1 1 2
12 1 2122 2
OM
tk t t t
    

∴ max
2() 2OMk  选 C．
4．B解析题意妨设抛物线方程 2 2 ( 0)y px p| | 4 2AB 
| | 2 5DE  取 4( 2 2)A p
( 5)2
pD  设O 坐标原点
| | | |OA OD
2
2
16 854
p
p    4p  选 B．
5．A解析图
1
1




AF
BF
x
x
AC
BC
S
S
A
B
ACF
BCF选 A．
6．D 解析直线l 斜率存时样直线l 恰 2 条 5xr
05r直线 斜率存时样直线 2 条．
设 11()A x y 22()B x y 00()M x y 1 2 0
1 2 0
2
2
x x x
y y y

 
．
2
11
2
22
4
4
yx
yx
 
 

两式相减 1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )y y y y x x    12
1 2 1 2 0
42
AB
yyk x x y y y
  
．
设圆心 (50)C 0
0 5CM
yk x 
直线l 圆相切 0
00
2 15
y
yx  

解 0 3x 22
0 4yr 2r > 2
004yx 2 4 12r 
04r05r 2r  24r选 D．
7．C解析点Q 作QQ l  交l 点Q 4PF FQ | || | 3 4PQ PF 
焦点 F 准线 距离 4| | | | 3QF QQ．选 C．
8．D解析易知抛物线中 3
2p  焦点 3( 0)4F直线 AB 斜率 3
3k  直线
方程 33()34yx代抛物线方程 2 3yx 整理 2 21 9 02 16xx   ．
设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 12
21
2xx 物线定义弦长
12| | 12AB x x p    结合图象O 直线 距离 3sin3028
pd 
OAB 面积 19||24S AB d   ．
9．D解析∵ ( 23)A  抛物线 2 2y px 准线∴ 22
p   ．∴ 4p 
∴ 2 8yx 设直线 AB 方程 ( 3) 2x k y   ①① 联立
2 8 24 16 0y ky k    ②△ 2( 8 ) 4(24 16) 0kk   
22 3 2 0kk   解 2k  1
2k  （舍）
代入①②解 8 8xy (88)B
(20)F∴ 4
3BFk  选 D．
10．C解析∵ 2OF  抛物线定义 P 点坐标 3 2 2 6
∴ POF 面积 112 2 6 2 322POF y     ．
11．C解析题意 AF 直线方程 12
x y代入 2 4xy 35
2y 
| || |(1 )(1 )15FM MN y y    ．
12．C解析设 2 2 2 ( 0)C x y a a   交 xy 162  准线 4lx
( 42 3)A  ( 4 2 3)B 
： 2 2 2(4)(23) 4 2 2 4a a a       
13．D解析双曲线 1C：
22
221( 0 0)xy abab    离心率 2
2 3 c baa    渐线方程 0bx ay双曲线 1C 渐线
方程 3 0xy抛物 2
2 2 ( 0)C x py p焦点坐标 (0 )2
p


22
||2 28
( 3) 1
p
p  

选 D．
14．C解析设抛物线方程 2 2y px 易知| | 2 12AB p 6p 
∵点 P 准线∴ P AB 距离 ABP 面积 36选 C．
15．2解析解法 题意知抛物线焦点(10) C 焦点斜率 k 直线方
程 ( 1)y k x( 0)k  2
( 1)
4
y k x
yx

 
消 y 22( 1) 4k x x
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    设 11()A x y 22()B x y

2
12 2
24kxx k
 12 1xx  ． 消 x 2 14( 1)yyk
2 4 40yyk   12
4yy k 12 4yy 
90AMB 1 1 2 2( 1 1) ( 1 1)MA MB x y x y      
1 2 1 2 1 2 1 24 1 ( ) 1 0x x x x y y y y        
代入 2k  ．
解法二 设抛物线焦点 F
2
11
2
22
4
4
yx
yx
 
 

22
1 2 1 24( )y y x x   12
1 2 1 2
4yyk x x y y


取 AB 中点 00()M x y 分点 AB 做准线 1x  垂线垂足分 AB
90MB点 M 准线 1x 
1 1 1| | | | (| || |) (| || |)2 2 2MM AB AF BF AA BB       ．
M AB 中点 MM 行 x 轴 0 1y  122yy
2k  ．
16．6解析图示妨设点 M 位第象限设抛物线准线 x 轴交点 F＇
作 MB l 点 B NA l 点 A抛物线解析式准线方程 2x 
2 4AN FF＇直角梯形 ANFF＇ 中中位线 ＇ 32
AN FFBM 抛物线
定义： 3MF MB结合题意 3MN MF
3 3 6FN FM NM     ．
OF＇
B
A
F
N
M
y
x

17． 22解析 2 2y px 准线方程
2
px  0p >
2
px  必双曲
线 221xy左焦点( 20) 22
p   22p  ．
18．12 解析正方形定义知 BC CD 结合抛物线定义点 D 抛物线
焦点||AD p a( 0)2
pD()2
pF b b 点 F 坐标代入抛物线方程
222 ( ) 22
pb p b a ab    变形 2 2( ) 1 0bb
aa  
解 12b
a  12b
a  （舍） ．
19．2 1x  解析 1 22
p p准线 12
px     ．
20． 62 解析建立直角坐标系拱桥顶点 O 坐标 (00) 设抛物线方程
2 2x py l 抛物线交点 AB
根题意知 ( 2 2)A  (2 2)B 
 222  a ∴
2
1a
∴抛物线解析式 2
2
1 xy 
水位降 1 米 3y  时 6x 6x
∴时水面宽 62 米．
21．32
4
解析利抛物线定义结合题设条件出 p 值 2 B 点坐标（ 14
2 ）
点 B 抛物线准线距离 3 24
．
22．解析(1)抛物线 2 2y px 点 (12)P
42p 解 2p  抛物线方程 2 4yx ．
题意知直线l 斜率存 0
设直线 方程 1y kx（ 0k  ）．

2 4
1
yx
y kx
 
 
22 (2 4) 1 0k x k x    ．
题意 22(2 4) 4 1 0kk       解 0k  01k．
PA PB y 轴相交直线 点(1 2) ． 3k  ．
直线 斜率取值范围 ( 3) ( 30) (01)   ．
(2)设 11()A x y 22()B x y ．
(1)知 12 2
24kxx k
   12 2
1xx k ．
直线 PA 方程 1
1
22 ( 1)1
yyxx
  
．
令 0x  点 M 坐标 11
11
212211M
y kxy xx
      
．
理点 N 坐标 2
2
1 21N
kxy x

．
QM QO
uuur uuur
QN QO
uuur uuur
1 My  1 Ny  ．
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 ( )1 1 1 1 1
1 1 ( 1) ( 1) 1MN
x x x x x x
y y k x k x k x x
             
22
2
2 2 4
1 211
k
kk
k
k


．
11
 定值．
23．解析(1)题意 (10)Fl 方程 ( 1)( 0)y k x k   ．
设 1 2 21( ) ( )Ay x yx B
2
( 1)
4
y k x
yx

 
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ．
216 16 0k    12
2
2
24
kx kx  ．
12
2
2
44| || || |( 1)( 1)x kAB AF BF kx        ．
题设知
2
2
448k
k
  解 1k  （舍） 1k  ．
l 方程 1yx．
(2)(1) AB 中点坐标(32) 垂直分线方程 2 ( 3)yx   
5yx   ．
设求圆圆心坐标 00()xy
00
2
2 00
0
5
( 1)( 1) 162
yx
yxx
     
解 0
0
3
2
x
y

 
0
0
11
6
x
y

 

求圆方程 22( 3) ( 2) 16xy    22( 11) ( 6) 144xy    ．
24．解析(1)设 00()P x y
2
1
1()4
yAy
2
2
2()4
yBy．
PA PB 中点抛物线 1y 2y 方程
2
0210
1
4( ) 422
yxyy   22
1 0 1 0 02 8 0y y y x y    两实数根．
1 2 02y y y ．
PM 垂直 y 轴．
(2)(1)知 1 2 0
2
1 2 0 0
2
8
y y y
y y x y

 

2 2 2
1 2 0 0 0
13| | ( ) 384PM y y x y x     2
1 2 0 0| | 2 2( 4 )y y y x   ．
PAB 面积
3
2 2
1 2 0 0
1 3 2| | | | ( 4 )24PABS PM y y y x      ．

2
2 0
0 14
yx 0( 0)x  22
0 0 0 04 4 4 4 [45]y x x x      ．
面积取值范围 15 10[6 2 ]4
．
25．解析（1）设  A x y11  B x y22l ： 2x ym
2
2
2
x my
yx

 
y my  2 2 4 0 yy 12 4
yx
2
1
1 2 yx
2
2
2 2  yyxx
2
12
12 4 4
OA 斜率OB 斜率积 yy
xx12
12
4 14 OA OB ．
坐标原点O 圆 M ．
（2）（1） y y m12+ 2  x x m y y m 2
1 2 1 2+ + +42 4
圆心 M 坐标 mm2 +2圆 半径  r m m  2222
圆 点 (4 2)P  0AP BP 
     1 2 1 24 4 + + 2 + 2 0x x y y
   x x x x y y y y     1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0
（1） yy124 xx124 ．
2mm  2 10解 m 1 m 1
2 ．
1m  时直线 l 方程 20xy   圆心 M 坐标 (31) 圆 半径
10 圆 方程   xy   223 1 10
1
2m  时直线 方程2 4 0xy   圆心 坐标 91()42 圆 半
径 85
4
圆 方程 229 1 85()()4 2 16xy    ．
26．解析（Ⅰ）设直线 AP 斜率 k
2 1
14
1 2
2
x
kx
x

  


13
22x   直线 AP 斜率取值范围( 11)
（Ⅱ）联立直线 AP BQ 方程
11024
93042
kx y k
x ky k
    
    

解点 Q 横坐标
2
2
43
2( 1)Q
kkx k
   

||PA 2 11 ( )2kx 21 ( 1)kk
||PQ 21 ( )Qk x x
2
2
( 1)( 1)
1
kk
k




| || |PA PQ 3( 1)( 1)kk  
令 ()fk

2( ) (4 2)( 1)f k k k    
()fk区间 1( 1 )2 单调递增 1( 1)2
单调递减
1
2k  时| || |PA PQ 取值 27
16
．
27．解析（Ⅰ）抛物线 C： 2 2y px 点 (11)P 1
2p  ．
抛物线C 方程 2yx ．
抛物线 焦点坐标 1( 0)4
准线方程 1
4x  ．
（Ⅱ）直线 MN 斜率存斜率 0 时显然抛物线交点满足题
意直线 MN 斜率存 0．
设 1(0 )2
点Q 直线 方程 1
2y kx（ 0k  ）设 11()M x y 22()N x y
显然 1x 2x 均 0．

2
1
2y kx
yx
 
 
224 (4 4) 1 0k x k x    ．
考虑 221( 1) 4 1 24k k k        题意 0 1
2k  ．
12 2
1 kxx k
 ①
12 2
1
4xx k ． ②
题意 AB 横坐标相等 1x
点 P 坐标(11) 直线 OP 方程 yx 点 A 坐标 11()xx．
直线 ON 方程 2
2
yyxx 点 B 坐标 21
1
2
()yxx x
．
证明 A BM 中点需证 2 ABMy y y证 12
11
2
2xy yxx 
证 1 2 2 1 1 22x y x y x x

11
22
1
2
1
2
y kx
y kx
 
 
代入式
证 2 1 1 2 1 2
11( ) ( ) 222kx x kx x x x   
证 1 2 1 2
1(2 2) ( ) 02k x x x x    ③
①②代入③ 22
11(2 2) 042
kk kk
   化简 22
11 022
kk
kk
恒成立
2 ABMy y y恒成立．
A 线段 BM 中点．
28．解析题设 )02
1(F设 bylayl  21 0ab
22 1 1 1( )( )( )( )( )2 2 2 2 2 2
a b a bA a B b P a Q b R   
记 BA 两点直线l 方程 0)(2  abybax
（Ⅰ） F 线段 AB 01  ab
记 AR 斜率 1k FQ 斜率 2k
2221
1
1 kba
ab
aaba
ba
a
bak 


FQAR ∥
（Ⅱ）设 x 轴交点 )0( 1xD

22
1
2
1
2
1
1
baSxabFDabSPQFABF
 
题设
22
1
2
1
1
baxab  01 x （舍） 11 x
设满足条件 AB 中点 )( yxE
AB 轴垂直时 DEAB kk  )1(1
2  xx
y
ba
yba 
2
)1(12  xxy
AB x 轴垂直时 E D 重合求轨迹方程 12  xy
29．解析（Ⅰ）题设 (2 )M a a ( 2 2 )Na ( 2 2 )Ma
(2 )N a a ∵ 1
2yx 
2
4
xy  x 22a 处导数值 a
C (2 2 )aa 处切线方程 ( 2 )y a a x a   0ax y a  
22xa 处导数值 a ( 2 2 )aa 处切线方程
( 2 )y a a x a    0ax y a  
求切线方程
（Ⅱ）存符合题意点证明：
设 (0 )Pb符合题意点 11()M x y 22()N x y
直线 PM PN 斜率分 12kk
y kx a代入C 方程整理 2 4 4 0x kx a  
∴ 1 2 1 24 4x x k x x a   
∴ 12
12
12
y b y bkk xx
   1 2 1 2
12
2 ( )( )kx x a b x x
xx
   ()k a b
a

ba 时 12kk 0直线 PM 倾斜角直线 PN 倾斜角互补
∠OPM ∠OPN (0 )Pa 符合题意．
30．解析（Ⅰ）题意知 ( 0)2
pF设 ( 0)( 0)D t t  FD 中点 2( 0)4
pt
FA FD 抛物线定义知3 22
ppt  
解 3tp 3t  （舍）
2 34
pt  解 2p  ．抛物线C 方程 2 4yx ．
（Ⅱ）（ⅰ）（Ⅰ）知 (10)F设 0 0 0 0( )( 0)A x y x y  ．( 0)( 0)DDD x x 
FA FD 011Dxx  
0Dx  0 2Dxx 0( 20)Dx 直线 AB 斜率 0
2AB
yk 
直线 1l 直线 AB 行
设直线 方程 0
2
yy x b   代入抛物线方程 2
00
880byyyy  
题意 2
00
64 32 0b
yy   
0
2b y
设 ()EEE x y 2
00
44EEyxyy  
2
0 4y  时 00
2
00
4
4
E
AE
E
y y yk x x y


直线 AE 方程 0
002
0
4 ()4
yy y x xy  
2
004yx
整理 0
2
0
4 ( 1)4
yyxy
直线 AE 恒点 (10)F
2
0 4y  时直线 AE 方程 1x  点
直线 定点 ．
（ⅱ）（ⅰ）知直线 定点
00
00
11( 1) ( 1) 2AE AF FE x xxx        
设直线 AE 方程 1x my点 00()A x y 直线
0
0
1xm y
 ．设 11()B x y 直线 AB 方程 0
00()2
yy y x x   
0 0y  0
0
2 2x y xy   
代入抛物线方程 2
0
0
8 8 4 0y y xy   
01
0
8yy y   求 10
0
8yyy   10
0
4 4xxx  
点 B 直线 AE 距离
00
00
2
484 ( ) 1
1
x m yxyd
m
    


0
0
4( 1)x
x
 0
0
14( )x
x

ABE 面积 00
00
1 1 14( )( 2) 162S x x xx
     
仅 0
0
1 xx  0 1x  时等号成立
面积值16．
31．解析（Ⅰ） 1C 2C 方程中令 0y  b1 ( 10) (10)AB 半椭圆
左右顶点
设 1C 半焦距c 3
2
c
a  2 2 2 1a c b   解 2a 
1b 
（Ⅱ）（Ⅰ）知半椭圆 1C 方程
2
2 1( 0)4
y xy  
易知直线l x 轴重合垂直设方程 ( 1)( 0)y k x k  
代入 方程中整理： 2 2 2 2( 4) 2 4 0k x k x k     （*）
设点 P 坐标()PPxy韦达定理
2
2
2
4PB
kxxk
(10)B
2
2
4
4P
kx k
 
求 2
8
4P
ky k
 
点 P 坐标
2
22
48()44
kk
kk


．
理 2
( 1)( 0)
1( 0)
y k x k
y x y
  
    
点Q 坐标 2( 1 2 )k k k   
2
2 ( 4)4
kAP kk
(1 2)AQ k k  
AP AQ 0AP AQ  
2
2
2 [ 4( 2)] 04
k kkk
   
0k  4( 2) 0kk    解 8
3k 
检验 符合题意直线l 方程 8 ( 1)3yx  
32．解析（Ⅰ）题意 0232
22
cd 解 1c  （负根舍）
抛物线C 方程 2 4xy ．
（Ⅱ）设点 11()A x y 22()B x y )( 00 yxP
2 4xy 21
4yx y  1
2 x ．
∴抛物线C 点 A 处切线 PA 方程 )(2 1
1
1 xxxyy 
2
11
1
2
1
2 xyxxy  ．
∵ 2
11 4
1 xy  ∴ 1
1
2 yxxy  ．
∵点 切线 1l ∴ 10
1
0 2 yxxy  ①
理 20
2
0 2 yxxy  ②
综合①②点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 坐标满足方程 yxxy  00 2
∵ 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 两点直线唯
∴直线 AB 方程 yxxy  00 2
002 2 0x x y y   ．
（Ⅲ）抛物线定义知 121 1AF y BF y   
  1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y y y       
联立
2
00
4
2 2 0
xy
x x y y
 
   
消 x  2 2 2
0 0 020y y x y y   
22
1 2 0 0 1 2 02y y x y y y y    
0020xy  
 22 2 2
0 0 0 0 0 02 1 2 2 1AF BF y y x y y y         
2
2
0 0 0
192 2 +52 +22y y y

 0
1
2y  时 AF BF 取值 9
2
．
33．解析（Ⅰ）称性知： BFD 等腰直角  斜边 2BD p
点 A 准线l 距离 2d FA FB p  
14 2 4 2 22ABDS BD d p       
圆 F 方程 22( 1) 8xy  
（Ⅱ）称性设
2
0
00( )( 0)2
xA x xp  (0 )2
pF
点 AB关点 F 称：
22
2200
00( ) 32 2 2
xxpB x p p x ppp       
： 3( 3 )2
pAp 直线
3
322 3 0223
pp
ppm y x x y
p

     
2
2 332 2 3 3
xxx py y y x ppp
         切点 3()36
ppP
直线 3 3 3 ( ) 3 06 3 3 6
ppn y x x y p      
坐标原点 mn距离值 33326
pp ．
34．解析（Ⅰ）设 ()M x y 已知 ( 3)Bx (0 1)A  ．
MA
uuur
( 1 )xy   MB
uuur
(0 3 y ) AB
uuur
( x 2)
题意知（ MA
uuur
+ MB
uuur
）• AB
uuur
0 （ x 42y ）• ( x －2)0．
曲线 C 方程式 21 24yx．
（Ⅱ）设 00()P x y 曲线 C： 点 1
2yx 
l 斜率 0
1
2 x
直线 方程 0 0 0
1 ()2y y x x x   2
0 0 02 2 0x x y y x    ．
O 点l 距离
2
00
2
0
| 2 |
4
yxd
x


． 2
00
1 24yx

2
0 2
022
00
1 4 142 ( 4 ) 2244
x
dx
xx

    


2
0x 0 时取等号 点l 距离值 2．

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