第二章 §2.2　第3课时　函数性质的综合问题

第3课时　函数性质综合问题

题型 函数单调性奇偶性

例1 (1)设f(x)定义R偶函数x>0时f(x)＝ln x＋exa＝f(－π)b＝f(log23)c＝f(2－02)abc关系(　　)
A．b>a>c B．c>b>a
C．a>b>c D．a>c>b
答案　C
解析　x>0时f(x)＝ln x＋ex增函数
∴f(x)图象关y轴称(－∞0)单调递减(0＋∞)单调递增a＝f(－π)＝f(π)
π>3>log23>1>2－02>0
∴f(π)>f(log23)>f(2－02)
∴a>b>c
(2)(2020·新高考全国Ⅰ)定义R奇函数f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0满足xf(x－1)≥0x取值范围(　　)
A．[－11]∪[3＋∞) B．[－3－1]∪[01]
C．[－10]∪[1＋∞) D．[－10]∪[13]
答案　D
解析　函数f(x)定义R奇函数
f(0)＝0
f(x)(－∞0)单调递减f(2)＝0
画出函数f(x)致图象图(1)示
函数f(x－1)致图象图(2)示．

x≤0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≤0
－1≤x≤0
x>0时满足xf(x－1)≥0f(x－1)≥0
1≤x≤3
满足xf(x－1)≥0x取值范围[－10]∪[13]．
[高考改编题]　函数f(x)定义域R奇函数f(2)＝0(0＋∞)单调递增满足f(x－1)≥0x取值范围______满足<0x取值范围______．
答案　[－11]∪[3＋∞)　(－20)∪(02)
解析　函数f(x)性质作出函数f(x)致图象图示

∵f(x－1)≥0－2≤x－1≤0x－1≥2
解－1≤x≤1x≥3
<0时xf(x)<0f(x)图象二四象限
－2思维升华　解决等式问题定充分利已知条件已知等式化成f(x1)>f(x2)f(x1)踪训练1　(1)已知函数f(x)满足两条件：①意x1x2∈(0＋∞)x1≠x2(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0②定义域意xf(x)＋f(－x)＝0符合条件函数(　　)
A．f(x)＝2x B．f(x)＝1－|x|
C．f(x)＝－x3 D．f(x)＝ln(x2＋3)
答案　C
解析　①知f(x)(0＋∞)单调递减②知f(x)奇函数．
(2)已知偶函数f(x)区间[0＋∞)单调递增满足 f(2x－1)答案　
解析　题意f(x)[0＋∞)单调递增(－∞0]单调递减∴|2x－1|<
－<2x－1<解
题型二 函数奇偶性周期性

例2　(1)(2020·德州联考)已知定义R奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)0≤x≤1时f(x)＝x2f(2 023)等(　　)
A．2 0192 B．1 C．0 D．－1
答案　D
解析　根题意函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)函数周期4周期函数f(2 023)＝f(－1＋2 024)＝f(－1)函数y＝f(x)奇函数x∈[01]时f(x)＝x2f(－1)＝－f(1)＝－1f(2 023)＝－1
(2)(2021·济南模拟)已知定义R奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)区间[02]单调递增(　　)
A．f(2 019)＝f(2 017) B．f(2 019)＝f(2 020)
C．f(2 020)>f(2 019) D．f(2 020)>f(2 018)
答案　A
解析　f(x)满足f(x－4)＝－f(x)
f(x－8)＝f(x)
f(x)8周期函数f(2 017)＝f(1)f(2 018)＝f(2)
f(x－4)＝－f(x)f(2 019)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)f(2 020)＝f(4)＝－f(0)＝0
f(x)[02]单调递增
f(2)>f(1)>f(0)＝0f(2 019)＝f(2 017)f(2 020)思维升华　已知函数周期性奇偶性求函数值常利奇偶性周期性进行变换函数值变量转化已知解析式函数定义域未知区间函数性质转化已知区间函数性质求解．
踪训练2　(1)已知f(x)R奇函数f(x＋2)＝f(x)f(2 020)＋f(2 021)＝________
答案　0
解析　题意f(x)奇函数周期2
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)
∵f(x)奇函数f(0)＝0f(－1)＝－f(1)①
周期2∴f(－1)＝f(1)②
①②解f(1)＝f(－1)＝0
∴f(2 020)＋f(2 021)＝0
(2)已知f(x)定义R3周期偶函数f(1)<1f(5)＝2a－3实数a取值范围________．
答案　(－∞2)
解析　∵f(x)偶函数周期3
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)
∵f(1)<1∴f(5)＝2a－3<1
a<2

题型三 函数奇偶性称性

例3　(1)已知函数f(x)定义域R奇函数满足f(4－x)＝－f(x)f(x)周期(　　)
A．－4 B．2 C．4 D．6
答案　C
解析　∵f(4－x)＝－f(x)
∴f(x)图象关点(20)称
∴f(－x)＝－f(x＋4)
∵f(－x)＝－f(x)
∴f(x＋4)＝f(x)．
∴T＝4
(2)函数y＝f(x)意x∈Rf(x＋2)＝f(－x)成立函数y＝f(x－1)图象关点(10)称f(－1)＝4f(2 021)值________．
答案　－4
解析　函数y＝f(x－1)图象关点(10)称
函数y＝f(x)图象关原点称函数f(x)R奇函数
f(x＋2)＝－f(x)
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)
f(x)周期4
f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－4
思维升华　函数奇偶性称性求函数性质种思路奇偶性称性定义推导出周期性二利奇偶性称性画草图利图象判断周期性．
踪训练3　函数f(x)满足f(x－1)奇函数f(x＋1)偶函数列说法正确________．(填序号)
①f(x)周期8
②f(x)关点(－10)称
③f(x)偶函数
④f(x＋7)奇函数．
答案　①②④
解析　∵f(x－1)奇函数∴f(x－1)图象关(00)称∴f(x)图象关点(－10)称
f(x＋1)偶函数
∴f(x＋1)图象关直线x＝0称
∴f(x)图象关直线x＝1称
∴f(x)图象关点(－10)直线x＝1称
∴f(x)周期8
∴①②正确③正确．
∵T＝8∴f(x＋7)＝f(x－1)
f(x－1)奇函数∴f(x＋7)奇函数
④正确．

题型四 函数周期性称性

例4　已知f(x)定义域R函数图象关直线x＝－3称f(x＋3)＝f(x－3)x∈[03]时f(x)＝2x＋1列结正确________．(填序号)
①f(x)偶函数
②f(x)[－6－3]单调递减
③f(x)关直线x＝3称
④f(100)＝5
答案　①③④
解析　f(x)图象关直线x＝－3称
f(－x)＝f(x－6)
f(x＋3)＝f(x－3)f(x)周期T＝6
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)
∴f(x)偶函数①正确
x∈[03]时f(x)＝2x＋1单调递增
∵T＝6f(x)[－6－3]单调递增②正确
f(x)关直线x＝－3称T＝6
∴f(x)关直线x＝3称③正确
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5④正确．
思维升华　函数奇偶性称性周期性单调性函数四性质高考中常常综合起命题解题时需助函数奇偶性称性周期性确定区间单调性实现区间转换利单调性解决相关问题．
踪训练4　函数f(x)定义域R奇函数满足f(x－4)＝－f(x)f(x－4)＝f(－x)x∈(02]时f(x)＝2x＋log2xf(－80)f(－25)f(11)关系________．
答案　f(－25)解析　题意f(x)周期8f(x)奇函数图象关x＝2称x∈(02]时f(x)单调递增
∴f(x)[－20)(02]单调递增
f(－80)＝f(0)f(－25)＝f(－1)f(11)＝f(3)＝f(1)
∴f(－1)f(－25)课时精练

1．函数f(x)＝x＋(x≠0)(　　)
A．奇函数(03)增函数
B．奇函数(03)减函数
C．偶函数(03)增函数
D．偶函数(03)减函数
答案　B
解析　f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)
函数f(x)＝x＋奇函数．
f′(x)＝1－(03)f′(x)<0恒成立
f(x)(03)减函数．
2．f(x)R奇函数f(x＋5)＝f(x)x∈时f(x)＝2x－1f(16)值(　　)
A B．－ C D．－
答案　A
解析　∵f(x＋5)＝f(x)∴T＝5
∴f(16)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝
3已知定义R偶函数f(x)[0＋∞)单调递增f(ln x)A．(0e2) B．(e－2＋∞)
C．(e2＋∞) D．(e－2e2)
答案　D
解析　根题意知f(x)偶函数[0＋∞)单调递增f(ln x)ln x<2解e－2
4．已知定义R函数f(x)满足意xf(x＋2)＝f(2)＝2f(2 020)值(　　)
A．－2 B．－ C D．2
答案　C
解析　f(x＋2)＝∴f(x)周期4f(2 020)＝f(4)＝＝
5．(2020·泉州质检)定义R奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)x∈[01]时f(x)单调递增列结正确(　　)
A．f(25)B．f(11)C．f(11)D．f(－8)答案　C
解析　∵f(x＋2)＝－f(x)
∴f(x＋4)＝f(x)f(x)周期4
∴f(－8)＝f(0)f(11)＝f(－1)f(25)＝f(1)
x∈[01]时f(x)单调递增f(x)奇函数
∴f(x)[－11]单调递增
∴f(－1)f(11)6．出列函数：
①f(x)＝sin x②f(x)＝tan x③f(x)＝④f(x)＝具性质(　　)
A．具周期性 B．偶函数
C．奇函数 D．值
答案　C
解析　f(x)＝sin x奇函数周期2π值
f(x)＝tan x奇函数周期π值
作出f(x)＝图象(图略)图象知函数奇函数周期性值
作出f(x)＝图象(图略)图象知函数奇函数周期性值．
函数具性质奇函数．
7．偶函数f(x)区间[13]单调递减f(x)∈[－24]x∈[－3－1]时f(－3)＝________f(x)max＝________
答案　－2　4
解析　偶函数图象关y轴称
∴f(－3)＝f(3)＝－2
∴f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝4
8．f(x)R奇函数(0＋∞)单调递减f(1)＝0等式xf(－x)<0解集________．
答案　(－10)∪(01)
解析　等式xf(－x)<0化
xf(x)>0
画出f(x)图象图示

∴xf(x)>0解集(－10)∪(01)．
9．已知f(x)定义域R函数图象关直线x＝－1称f(x＋4)＝f(x－2)．x∈
[－4－1]时f(x)＝6－xf(919)＝________
答案　216
解析　f(x＋4)＝f(x－2)f(x＋6)＝f(x)．
f(x)周期6函数．
f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．
f(x)图象关直线x＝－1称
f(1)＝f(－3)．
x∈[－4－1]时f(x)＝6－x
f(－3)＝6－(－3)＝216
f(1)＝216f(919)＝216
10．已知f(x)定义域(－∞＋∞)奇函数满足f(1－x)＝f(1＋x)．f(1)＝2f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________
答案　2
解析　f(x)R奇函数f(1－x)＝f(1＋x)．
f(x＋1)＝－f(x－1)f(x＋2)＝－f(x)．
f(x＋4)＝f(x)函数f(x)周期4函数
f(1－x)＝f(1＋x)f(1)＝2
令x＝1f(0)＝f(2)＝0
令x＝2f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2
令x＝3f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0
f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2
11．已知函数f(x)(－∞＋∞)偶函数x≥0f(x＋2)＝－f(x)x∈[02)时f(x)＝log2(x＋1)求：
(1)f(0)f(2)f(3)值
(2)f(2 021)＋f(－2 022)值．
解　(1)f(0)＝log21＝0f(2)＝－f(0)＝0
f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1
(2)题意x≥0时f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)x≥0时f(x)4周期函数．
f(2 021)＋f(－2 022)＝f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(2)．
f(2)＝0f(1)＝log2(1＋1)＝1
f(2 021)＋f(－2 022)＝1
12．已知g(x)偶函数h(x)奇函数满足g(x)－h(x)＝2x存x∈[－11]等式m·g(x)＋h(x)≤0解求实数m值．
解　g(x)－h(x)＝2x①
g(－x)－h(－x)＝2－x
g(x)偶函数h(x)奇函数
g(x)＋h(x)＝2－x②
联立①②g(x)＝h(x)＝
m·g(x)＋h(x)≤0m≤＝＝1－
y＝1－增函数x∈[－11]时max＝1－＝m≤实数m值

13．(2020·全国Ⅲ改编)已知函数f(x)＝sin x＋(　　)
A．f(x)值2
B．f(x)图象关y轴称
C．f(x)图象关直线x＝π称
D．f(x)图象关直线x＝称
答案　D
解析　∵x∈时f(x)<0
∴f(x)min<0A错误
∵f(x)＝sin x＋定义域{x|x≠kπk∈Z}
f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－f(x)
∴f(x)奇函数关原点称B错误
∵f(π－x)＝sin x＋f(π＋x)＝－sin x－
∴f(π－x)≠f(π＋x)
∴f(x)图象关直线x＝π称C错误
∵f ＝cos x＋
f ＝cos x＋
∴f ＝f 
∴f(x)图象关直线x＝称D正确．
14．已知函数f(x)＝ f(2 021)＝________
答案　1 011
解析　x>0时f(x)＝f(x－2)＋1
f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…
＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011
f(－1)＝0f(2 021)＝1 011

15．已知定义R奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)区间[02]单调递增．方程f(x)＝m(m>0)区间[－88]四根x1x2x3x4x1＋x2＋x3＋x4＝________
答案　－8
解析　定义R奇函数满足f(x－4)＝－f(x)f(x－4)＝f(－x)．f(x)奇函数函数图象关直线x＝2称f(0)＝0f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)函数周期8f(x)区间[02]单调递增函数区间[－20]单调递增作出函数f(x)致图象图示方程f(x)＝m(m>0)区间[－88]四根x1x2x3x4妨设x1
16．定义域D函数y＝f(x)果存区间[mn]⊆D时满足：①f(x)[mn]单调函数②定义域[mn]时f(x)值域[mn]称[mn]该函数优美区间．
(1)求证：[02]函数f(x)＝x2优美区间
(2)求证：函数g(x)＝4＋存优美区间
(1)证明　f(x)＝x2区间[02]单调递增
f(0)＝0f(2)＝2
∴f(x)＝x2值域[02]
∴区间[02]f(x)＝x2优美区间．
(2)证明　设[mn]已知函数g(x)定义域子集．
x≠0[mn]⊆(－∞0)[mn]⊆(0＋∞)
∴函数g(x)＝4＋[mn]单调递减．
假设[mn]已知函数优美区间
两式相减－＝n－m
＝n－m
∵n>m∴mn＝6∴n＝
4＋＝显然等式成立
∴函数g(x)＝4＋存优美区间．
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