第二章 §2.3　二次函数与幂函数

§23　二次函数幂函数
考试求　1理解掌握二次函数定义图性质2二次函数方程等式间关系解决简单问题．3解幂函数概念4结合函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝图解变化情况


1二次函数图性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图


定义域
R
R
值域


单调性
x∈减少
x∈增加
x∈增加
x∈减少
称性
函数图关直线x＝－称

2．幂函数
(1)幂函数定义
般形y＝xα函数作幂函数中x变量α常数．
(2)常见五种幂函数图性质较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图





性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
R增加
(－∞0]减少(0＋∞)增加
R增加
[0＋∞)增加
(－∞0)(0＋∞)减少
公点
(11)


微思考
1．二次函数解析式常形式？
提示　(1)般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．幂函数图会会出现第第四象限？什？
提示　幂函数y＝xα(α常数)x>0时y>0幂函数图定第象限定第四象限．

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x∈[mn]值定(　×　)
(2)二次函数y＝x2＋mx＋1[1＋∞)增加充条件m≥－2(　√　)
(3)函数y＝幂函数．(　×　)
(4)果幂函数图坐标轴相交交点定原点．(　√　)
题组二　教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα图点k＋α等(　　)
A B．1 C D．2
答案　C
解析　幂函数定义知
∴k＝1α＝∴k＋α＝
3图①y＝xa②y＝xb③y＝xc第象限图abc关系(　　)

A．cB．aC．bD．a答案　D
4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[03])值域________．
答案　[－13]
解析　g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1x∈[03]
g(x)[01]减函数[13]增函数
g(x)min＝g(1)＝－1
g(0)＝0g(3)＝3
g(x)x∈[03]值域[－13]．
题组三　易错纠
5．幂函数f(x)＝(a∈Z)偶函数f(x)区间(0＋∞)减函数a等(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　a2－10a＋23＝(a－5)2－2
f(x)＝(a∈Z)偶函数
区间(0＋∞)减函数
(a－5)2－2<0a＝456
(a－5)2－2偶数a＝5选C
6．果函数f(x)＝ax2＋2x－3区间(－∞4)增加实数a取值范围________．
答案　
解析　a＝0时f(x)＝2x－3(－∞4)增加．
a≠0时f(x)(－∞4)增加．
a需满足解－≤a<0
综知－≤a≤0


题型 求二次函数解析式

例1　(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3意x∈Rf(1＋x)＝f(1－x)成立f(x)解析式________________．
答案　f(x)＝x2－2x＋3
解析　f(0)＝3c＝3
f(1＋x)＝f(1－x)
∴函数f(x)图关直线x＝1称
∴＝1∴b＝2∴f(x)＝x2－2x＋3
(2)已知二次函数f(x)图点(43)图x轴截线段长2意x∈Rf(2－x)＝f(2＋x)f(x)解析式________．
答案　f(x)＝x2－4x＋3
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)意x∈R恒成立
∴f(x)图称轴直线x＝2
∵f(x)图x轴截线段长2
∴f(x)＝0两根13
设f(x)解析式f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)
∵f(x)图点(43)
∴3a＝3∴a＝1
∴求函数解析式f(x)＝(x－1)(x－3)
f(x)＝x2－4x＋3
思维升华　求二次函数解析式方法

踪训练1　(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(ab∈R)x∈R函数f(x)值f(－1)＝0f(x)＝________
答案　x2＋2x＋1
解析　设函数f(x)解析式f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a已知f(x)＝ax2＋bx＋1
a＝1b＝2a＝2f(x)＝x2＋2x＋1
(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1f(x)值8f(x)＝________
答案　－4x2＋4x＋7
解析　方法　(利般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
题意解
求二次函数解析式f(x)＝－4x2＋4x＋7
方法二　(利顶点式)
f(2)＝f(－1)
抛物线称轴直线x＝＝
根题意函数值8
f(x)＝a2＋8
f(2)＝－1a2＋8＝－1
解a＝－4
f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7


题型二 二次函数图性质

命题点1　二次函数图

例2　二次函数y＝ax2＋bx＋c图图示．列结正确________．
①b2>4ac②c>0③ac>0④b<0⑤a－b＋c<0
答案　①②⑤
解析　题图知a<0－>0c>0∴b>0ac<0②正确③④错误．函数图x轴两交点∴Δ＝b2－4ac>0①正确题图知f(－1)<0a－b＋c<0⑤正确．
命题点2　二次函数单调性
例3　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1区间[－1＋∞)减少实数a取值范围(　　)
A．[－30) B．(－∞－3]
C．[－20] D．[－30]
答案　D
解析　a＝0时f(x)＝－3x＋1[－1＋∞)减少满足题意．
a≠0时f(x)称轴直线x＝
f(x)[－1＋∞)减少知
解－3≤a<0
综a取值范围[－30]．
函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1递减区间[－1＋∞)a＝________
答案　－3
解析　题意知f(x)必二次函数a<0
＝－1∴a＝－3
命题点3　二次函数值域值
例4　已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1区间[－12]值4求实数a值．
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a
(1)a＝0时函数f(x)区间[－12]值常数1符合题意舍
(2)a>0时函数f(x)区间[－12]增函数值f(2)＝8a＋1＝4解a＝
(3)a<0时函数f(x)区间[－12]减函数值f(－1)＝1－a＝4解a＝－3
综知a值－3
思维升华　解决二次函数图性质问题时注意：
(1)抛物线开口方称轴位置定义区间三者相互制约注意分类讨．
(2)注意数形结合思想应尤定区间二次函数值问题先定性(作草图)定量(图求解)．
(3)二次函数闭区间值三种类型：轴定区间定轴动区间定轴定区间动．种类型解题关键图称轴区间位置关系含参数时图称轴区间位置关系进行分类讨．
踪训练2　(1)次函数y＝ax＋b(a≠0)二次函数y＝ax2＋bx＋c坐标系中图致(　　)

答案　C
解析　a>0次函数y＝ax＋b增函数二次函数y＝ax2＋bx＋c图开口排Aa<0次函数y＝ax＋b减函数二次函数y＝ax2＋bx＋c图开口排D选项B直线知a>0b>0－<0二次函数称轴y轴右侧应排B选C
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)值f(1)f()f f()关系(　　)
A．f()B．f C．f()D．f()答案　D
解析　已知二次函数f(x)图开口称轴直线x＝1
∵>|－1|>|－1|
∴f()(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2x∈[tt＋1]t∈R求函数f(x)值．
解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1x∈[tt＋1]t∈R函数图称轴直线x＝1
t＋1≤1t≤0时函数图图(1)示函数f(x)区间[tt＋1]减函数
值f(t＋1)＝t2＋1
t<1
t≥1时函数图图(3)示函数f(x)区间[tt＋1]增函数
值f(t)＝t2－2t＋2
综知t≤0时f(x)min＝t2＋10
题型三 二次函数恒成立问题
例5　(1)已知a实数函数f(x)＝2ax2＋2x－3x∈[－11]恒零实数a取值范围________．
答案　
解析　题意知2ax2＋2x－3<0[－11]恒成立．
x＝0时－3<0符合题意a∈R
x≠0时a<2－
∈(－∞－1]∪[1＋∞)
x＝1时等号右边式子取值
a<
综实数a取值范围
(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)区间[－11]f(x)≤8恒成立实数a值________．
答案　2
解析　令ax＝ta>1x∈[－11]≤t≤a
原函数化g(t)＝t2＋3t－2t∈
显然g(t)增加
f(x)≤8恒成立g(t)max＝g(a)≤8成立
a2＋3a－2≤8解－5≤a≤2
a>11a值2
思维升华　等式恒成立求参数范围般两解题思路：分离参数二分离参数直接求值．两思路转化求函数值问题．
踪训练3　已知定义R奇函数f(x)满足：x≥0时f(x)＝x3等式f(－4t)>f(2m＋mt2)意实数t恒成立实数m取值范围________．
答案　(－∞－)
解析　题意知f(x)R增函数结合f(－4t)>f(2m＋mt2)意实数t恒成立知－4t>2m＋mt2意实数t恒成立∴mt2＋4t＋2m<0意实数t恒成立⇒⇒m∈
(－∞－)．

题型四 幂函数图性质

1．幂函数图点递增区间(　　)
A．(0＋∞) B．[0＋∞)
C．(－∞＋∞) D．(－∞0)
答案　D
解析　设f(x)＝xα2α＝α＝－2f(x)＝x－2偶函数递增区间(－∞0)．选D
2．已知幂函数f(x)＝(n∈Z)图关y轴称(0＋∞)减少n值(　　)
A．－3 B．1 C．2 D．12
答案　B
解析　f(x)幂函数n2＋2n－2＝1解n＝1n＝－3检验n＝1符合题意选B
3．幂函数y＝x－1y＝xmy＝xn第象限图图示mn取值情况(　　)

A．－1C．－1答案　D
解析　幂函数y＝xαα>0时y＝xα(0＋∞)增加0<α<1时图凸∴0α<0时y＝xα(0＋∞)减少．
妨令x＝2图2－1<2n－1综知－14．<实数a取值范围____________．
答案　(－∞－1)∪
解析　等式<等价a＋1>3－2a>03－2a思维升华　(1)幂函数图掌握抓住第象限三条线分第象限六区域x＝1y＝1y＝x分区域．根α<00<α<1α＝1α>1取值确定位置余象限部分奇偶性决定．
(2)较幂值时必须结合幂值特点选择适函数助单调性进行较．

课时精练

1．f(x)幂函数满足＝3f 等(　　)
A．3 B．－3 C D．－
答案　C
解析　设f(x)＝xα＝2α＝3
∴f ＝α＝
2．幂函数y＝f(x)图点(42)幂函数y＝f(x)致图(　　)

答案　C
解析　设幂函数解析式y＝xα
幂函数y＝f(x)图点(42)
2＝4α解α＝
y＝定义域[0＋∞)增函数图凸选项C正确．
3．幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·(0＋∞)增函数m值(　　)
A．13 B．1 C．3 D．2
答案　B
解析　题意m2－4m＋4＝1m2－6m＋8>0
解m＝1
4．已知abc∈R函数f(x)＝ax2＋bx＋cf(0)＝f(4)>f(1)(　　)
A．a>04a＋b＝0 B．a<04a＋b＝0
C．a>02a＋b＝0 D．a<02a＋b＝0
答案　A
解析　f(0)＝f(4)f(x)＝ax2＋bx＋c图称轴直线x＝－＝2∴4a＋b＝0
f(0)>f(1)f(4)>f(1)
∴f(x)先减增a>0选A
5．(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3值域[0＋∞)实数m取值范围(　　)
A．{0－3} B．[－30]
C．{03} D．(－∞－3]∪[0＋∞)
答案　A
解析　题意Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0m＝0m＝－3∴实数m取值范围{0－3}．
6．二次函数y＝kx2－4x＋2区间[12]增函数实数k取值范围(　　)
A．[2＋∞) B．(2＋∞)
C．(－∞0) D．(－∞2)
答案　A
解析　二次函数y＝kx2－4x＋2图称轴直线x＝k>0时函数y＝kx2－4x＋2区间[12]增函数需≤1解k≥2k<0时<0时抛物线称轴区间[12]左侧函数y＝kx2－4x＋2区间[12]减函数符合求．综实数k取值范围[2＋∞)．
7．已知函数f(x)＝4x2＋kx－8[－12]单调实数k取值范围________．
答案　(－168)
解析　函数f(x)＝4x2＋kx－8称轴直线x＝－－1<－<2解－168．已知α∈幂函数f(x)＝xα奇函数(0＋∞)减少α＝________
答案　－1
解析　∵α∈
幂函数f(x)＝xα奇函数(0＋∞)减少
∴α奇数α<0∴α＝－1
9．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b图坐标原点满足f(－x)＝f(－1＋x)函数f(x)
[－13]值域________．
答案　
解析　函数f(x)＝x2＋ax＋b图坐标原点
f(0)＝0b＝0
f(－x)＝f(－1＋x)
函数f(x)图称轴直线x＝－
a＝1f(x)＝x2＋x＝2－
f(x)图知x∈[－13]时f(x)min＝f ＝－f(x)max＝f(3)＝12
f(x)值域
10．已知函数f(x)＝x2＋mx－1意x∈[mm＋1]f(x)<0成立实数m取值范围_________________．
答案　
解析　函数图开口根题意需满足

解－
11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(ab实数a≠0x∈R)．
(1)函数f(x)图点(－21)方程f(x)＝0根求f(x)表达式
(2)(1)条件x∈[35]时g(x)＝f(x)－kx单调函数求实数k取值范围．
解　(1)f(－2)＝14a－2b＋1＝1b＝2a
方程f(x)＝0根
Δ＝b2－4a＝0
4a2－4a＝0a＝1b＝2
f(x)＝x2＋2x＋1
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－2
g(x)图知满足题意
≥5≤3k≥12k≤8
求实数k取值范围(－∞8]∪[12＋∞)．
12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3
(1)a＝2x∈[－23]时求函数f(x)值域
(2)函数f(x)[－13]值1求实数a值．
解　(1)a＝2时f(x)＝x2＋3x－3x∈[－23]
函数图称轴直线x＝－∈[－23]
∴f(x)min＝f ＝－－3＝－
f(x)max＝f(3)＝15
∴f(x)值域
(2)函数图称轴直线x＝－
①－≤1a≥－时f(x)max＝f(3)＝6a＋3
∴6a＋3＝1a＝－满足题意
②－>1a<－时
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1
∴－2a－1＝1a＝－1满足题意．
综知a＝－－1

13幂函数y＝xαα取正数时区间[01]图组美丽曲线(图)设点A(10)B(01)连接AB线段AB恰中两幂函数y＝xay＝xb图三等分BM＝MN＝NAa－等(　　)

A．0 B．1 C D．2
答案　A
解析　BM＝MN＝NA点A(10)B(01)
∴MN
两点坐标分代入y＝xay＝xb
a＝b＝
∴a－＝－＝0
14．函数y＝x2－3x－4定义域[0m]值域m取值范围________．
答案　
解析　二次函数图称轴x＝f ＝－f(3)＝f(0)＝－4结合函数图(图示)m∈



15．(2020·海复兴高级中学期中)问题：x>0时均[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0求实数a值．位学提供想法．
甲：解含参等式解集包含正实数集
乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)
丙：分研究两函数y1＝(a－1)x－1y2＝x2－ax－1
丁：尝试否参变量分离研究值问题．
选择中某位学想法想法出正确答案________．
答案　
解析　选丙．画出y2＝x2－ax－1草图y2＝x2－ax－1定点C(0－1)．

∴y2＝x2－ax－1x轴两交点两交点原点两侧
y1＝(a－1)x－1定点C(0－1)
直线y1＝(a－1)x－1点AC满足题意
∴a－1>0a>1令y1＝0x＝
点代入y2＝x2－ax－1＝0
解a＝0(舍)a＝
16．否存实数a∈[－21]函数f(x)＝x2－2ax＋a定义域[－11]时值域[－22]？存求a值存请说明理．
解　f(x)＝(x－a)2＋a－a2
－2≤a<－1时f(x)[－11]增函数
∴a＝－1(舍)
－1≤a≤0时a＝－1
0综存实数a满足条件a＝－1
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