1/101 圆的概念与性质圆的概念与性质圆的概念与性质圆的概念与性质 一、 概念 二、 垂径定理 三、 弧、弦、圆心角的关系 四、 圆周角 1. 圆周角 2. 圆周角与圆心角 3. 圆周角与直径 一、 概念 1. 【易】如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 【答案】D 2. 【易】（2010 北京 55 中九年级上月考）下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆或等圆中，两条弦等则它们所对的弧等 D．垂直于弦的直径平分弦 【答案】D 3. 【易】下列判断中正确的是（ ） A．平分弦的直线垂直于弦 B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 4. 【易】（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交 【答案】B 5. 【易】（2011 年广州铁一中初三上期中）下列命题：①圆既是轴对称图形又是中心对 称图形；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等。其中真命题有 （ ）个 2/101 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 6. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）下列命题中，正确 的是（ ） ① 顶点在圆周上的角是圆周角；② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90 的圆周角所对的弦是直径；④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B 7. 【易】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）下列命题：⑴ 半圆是中心对称图 形；⑵ 相等的圆心角所对弧相等；⑶ 平分弦的直径垂直于弦；⑷ 圆内两条非直径的 相交弦不能互相平分，其中正确的有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】C 8. 【易】（青羊区 2012 年下学期期末测评）下列命题中正确的有（ ）个 ⑴ 平分弦的直径垂直于弦 ⑵ 经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 ⑶ 在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 ⑷ 平面内三点确定一个圆 ⑸ 三角形的外心到各个顶点的距离相等 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 9. 【易】（北京市第 56 中学 2011 年第一学期期中初三）下列命题中错误的命题有 （ ） ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心；⑵ 平分弦的直径垂直于弦；⑶ 梯形的对角线互相平分； ⑷ 圆的对称轴是直径． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 10. 【易】（2013 年安徽省初中毕业学业考试数学）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接 圆 O⊙ 上的点，在以下判 断中，不正确的是（ ） A．当弦 PB 最长时， APC△ 是等腰三角形 B．当 APC△ 是等腰三角形时， PO AC⊥ C．当 PO AC⊥ 时， 30ACP∠ = ° D．当 30ACP∠ = ° ， PBC△ 是直角三角形 3/101 【答案】C 11. 【易】（2013 年杭州市各类高中招生文化考试）在一个圆中，给出下列命题，其中正 确的是（ ） A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C. 若两条弦所在 直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 【答案】C 12. 【易】（北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷）如图，如果 AB 为 O⊙ 直径，弦CD AB⊥ ，垂足为 E ，那么下列结论中错误的是（ ） A．CE DE= B． BC BD= C． BAC BAD=∠ ∠ D． AC AD> 【答案】D 13. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )如图，在平面直角坐标系中，点 A B， 的坐标分别为 ()6 0− ， 、()0 8， ．以点 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交 x 正 半轴于点 C ，则点 C 的坐标为 _____． 【答案】()4 0， O E D C BA4/101 14. 【中】（2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试）如图， ABC△ 是 O⊙ 内接 正三角形，将 ABC△ 绕 O 点顺时针旋转 30 ° 得到 DEF△ ， DE 分别交 AB， AC 于点 M ， N ， DF 交 AC 于点 Q ，则有以下结论： ① 30DQN∠ = ° ； ② DNQ ANM△ ≌△ ； ③ DNQ△ 的周长等于 AC 的长； ④ NQ QC= ． 其中正确的结论是 _____________．（把所有正确的结论的序号都填上） 【答案】①②③ 15. 【易】（2011 年天津南开区初中毕业生学业水平质量调查（二）） O⊙ 的内接多边形 周长为 3， O⊙ 的外切多边形周长为 3.4 ，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 （ ） A． 6 B． 8 C． 10 D． 17 【答案】C 16. 【易】（2011 年天津南开区初中毕业生学业水平质量调查（二））如图，顺次连结圆 内接矩形各边的中点，得到菱形 ABCD，若 6BD = , 4DF = ，则菱形 ABCD 的边长为 （ ） A． 4 2 B．3 2 C．5 D．7 【答案】D 17. 【易】判断题： ⑴ 直径是弦 （ ） ⑵ 弦是直径 （ ） ⑶ 半圆是弧 （ ） ⑷ 弧是半圆 （ ） ⑸ 长度相等的两条弧是等弧 （ ） ⑹ 等弧的长度相等 （ ） A D M N E B F C Q O O FE D C B A5/101 ⑺ 两个劣弧之和等于半圆 （ ） ⑻ 半径相等的两个圆是等圆 （ ） ⑼ 两个半圆是等弧 （ ） ⑽ 圆的半径是 R ，则弦长的取值范围是大于 0 且不大于 2R （ ） 【答案】√；×；√；×；×；√；×；√；×；√． 18. 【易】（2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷） 如果从 O⊙ 内一点 P 到 O⊙ 上所有点的距离中，最大距离是 6，最小距离是 2，那么 O⊙ 的半径长是 _____________． 【答案】4 19. 【易】（2011 年徐州市中考）已知 O⊙ 的半径为 5，圆心 O 到直线 AB 的距离为 2，则 O⊙ 上有且只有 __________ 个点到直线 AB 的距离为 3． 【答案】3 20. 【易】（2009 年福建宁德中考）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AC 是弦，若 32ACO∠ = ° ， 则 COB∠ 的度数等于 __________． 【答案】64 ° 21. 【易】（2011 年广雅实验初三上期中）已知直线 : 2L y x= − ，点 ( )0 2A −， ，点 ( )2 0B ， ，设点 P 为 L 上一点，试判断过 P A B、 、 三点能否作一个圆． 【答案】不能； P A B、 、 三点共线 22. 【中】（2013 年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试）如图，在 ABC△ 中， 90C∠ = ° ， 60CAB∠ = ° ，按以下步骤作图： ①分别以 A ， B 为圆心，以大于 1 2 AB 的长为半径做弧，两弧相交于点 P 和 Q ． ②作直线 PQ 交 AB 于点 D ，交 BC 于点 E ，连接 AE． 若 4CE = ，则 AE = ________． 【答案】8 O C BA E BD Q P A C6/101 23. 【中】在同圆中， CD 的度数小于 180 ° ，且 2AB CD= ，那么弦 AB 和弦 CD 的大小关 系为 ( ) A． AB CD> B． AB CD= C． AB CD< D．无法确定 【答案】D 考虑 CD 为劣弧， AB 为优弧的情形 . 24. 【中】（2009 年昌平二模）如图，将半径为 1 的圆形纸板，沿长、宽分别为 8 和 5 的 矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长度是（ ） A．13 B．26 C．13 π+ D． 26 2 π+ 【答案】D 25. 【中】（2009 年台湾第一次中考数学科试题） 如图，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中 点为 F ，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于G 点，求 AGF∠ = （ ） A．110 ° B．120 ° C．135 ° D．150 ° 【答案】D 26. 【中】（2013 年北京市模拟试卷）如图，已知 EF 是 O⊙ 的直径，把 A∠ 为 60 的直 角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线 EF 上，斜边 AB 与 O⊙ 交于点 P ，点 B 与 点O 重合．将三角板 ABC 沿OE 方向平移，使得点 B 与点 E 重合为止．设 POF x∠ = ° ， 则 x 的取值范围是（ ） A．30 60x≤ ≤ B．30 90x≤ ≤ G F E D C BA A C F O （B） E P 7/101 C．30 120x≤ ≤ D．60 120x≤ ≤ 【答案】A 27. 【中】（2009 年上海初三数学期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正 方形的面积为 216 cm ，则该半圆的半径为（ ） A．( )4 5 cm+ B．9cm C． 4 5 cm D．6 2 cm 【答案】C 28. 【中】（2011 年南昌中考）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长 21 cm ， 上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为 3cm ，其余圆的直径 从左到右依次递减 0.2 cm . 最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5 cm ，最小圆的右侧距工 具板右侧边缘 1.5 cm ，相邻两圆的间距 d 均相等 . ⑴直接写出其余四个圆的直径长； ⑵求相邻两圆的间距 . 【答案】⑴ 其余四个圆的直径依次为： 2.8 cm , 2.6 cm , 2.4 cm , 2.2 cm ； ⑵ 依题意得， 4 1.5 1.5 3 2.8 2.6 2.4 2.2 21d ++++ + + + = ， ∴ 4 16 21d + = ，∴ 5 4d = . 答：相邻两圆的间距为 5 4 cm. 29. 【中】（2013 年北京市海淀区九年级第二学期数学期中练习）（ 2013 年北京市海淀区 九年级第二学期数学期中练习）如图 1 所示，圆上均匀分布着 11 个点 1 2 3 11, , , ,AAA A⋯ .从 A1起每隔 k 个点顺次连接，当再次与点 A1连接时，我们把所形成 的图形称为“ k +1阶正十一角星”，其中 1 8k≤ ≤ （ k 为正整数）.例如，图 2 是“2 阶正十一角星”，那么 1 2 11A A A∠ +∠ + +∠ =⋯ ______ °；当 1 2 11A A A∠ +∠ + +∠ =⋯ 900 °时， k =______. 21 1.5 1.5 d 3 8/101 图 1 图 2 【答案】1260 ° ； 2 或7 30. 【中】（北京市怀柔区 2013 学年度初三一模数学试卷）如图是某太阳能热水器的实物 图和横断面示意图 ,已知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的 圆心 ,支架 CD 与水平面 AE 垂直 , AB =150cm, ∠ BAC =30° ，另一根辅助支架 DE =76cm, ∠CED =60°. 则水箱半径 OD 的长度为 _____cm. （结果保留根号） 【答案】150 －76 3 二、 垂径定理 31. 【易】（2013 年湖南省株洲中考数学题）如图 AB 是 O⊙ 的直径， 42BAC∠ = ° ，点 D 是弦 AC 的中点，则 DOC∠ 的度数是 ________ 度． 【答案】 48 ° 32. 【易】（2011 福建厦门中考）如图， O⊙ 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E ．若 6AB cm= ，则 AE = _______ cm ． O E D C B A 42° O D C BA9/101 【答案】3 33. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4） 如图所示，圆O 的弦 AB 垂直平分半径 OC．则四边形 OACB 是（ ） A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对 【答案】C 34. 【易】（2012 年郑州九年级第一次质量检测）如图，已知弦 CD AB⊥ 于点 E ，连接 OC OD CB DB，，，，下列结论中一定正确的是（ ） A． 120CBD∠ = ° B． BC BD= C．四边形 OCBD 是平行四边形 D．四边形 OCBD 是菱形 【答案】B 35. 【易】（2009 年娄底市初中毕业卷）如图， AB 是 O⊙ 的弦，OD AB⊥ 于 D 交 O⊙ 于 E ，则下列说法错误．．的是（ ） O E D C BA A C O B O E DC B A10 /101 A． AD BD=  B． ACB AOE∠ = ∠  C． AE BE=  D．OD DE=  【答案】D 36. 【易】（2013 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试数学试题）如图， DC 是 O⊙ 直径， 弦 AB CD⊥ 于 F ，连接 BC， DB，则下列结论错误的是（ ） A． AD BD= B． AF BF= C．OF CF= D． 90DBC∠ = ° 【答案】C 37. 【易】如图，直线与两个同心圆分别相交于图示的各点，则正确的是（ ） A． MP RN与 的大小关系不确定 B． MP RN= C． MP RN< D． MP RN> 【答案】B 38. 【易】（2009 年甘肃定西中考）如图， O⊙ 的弦 6AB = ， M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则 O⊙ 的半径为（ ） O E D C BA D O FA B C NRPM O11 /101 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 39. 【易】（北京市 2013 年平谷数学模拟试题）如图，⊙O 的半径 OA =6，弦 AB =8， P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为________． 【答案】 2 5 40. 【易】（2009 年上海初三数学期中）如图， O⊙ 的半径为 5，弦 AB 的长为 8， M 是 弦 AB 上的一个动点，则线段 OM 长的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 41. 【易】（天津耀华中学 2010 届初三第一次月考）如图，已知 O⊙ 的半径为 5，弦 6AB = ， M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 的长可能是（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5 【答案】C 42. 【易】（2011 年四川省广安市中考数学试卷）如图所示，若 O⊙ 的半径为 13 cm ，点 P 是弦 AB 上一动点，且到圆心的最短距离为 5cm ，则弦 AB 的长为 ___________ M O BA BPA O M O BA M BA O12 /101 【答案】 24 cm 43. 【易】（2010 北京 55 中九年级上月考）如图，已知 O⊙ 的半径为 10 ，弦 16AB = ， M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 长度取值范围是 ___________ 【答案】6 10OM≤ ≤ 44. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )如图， AB 是 O⊙ 的弦， OC AB⊥ 于点 C ，连接 OA、OB．点 P 是半径 OB 上任意一点，连接 AP．若 5cmOA = ， 3cmOC = ，则 AP 的长度可能是 ______ cm （写出一个符合条件的数值即 可） 【答案】6 （答案不唯一） 45. 【易】（2012.5 丰台）如图， AB 是 O⊙ 的弦，OC 是 O⊙ 的半径，OC AB⊥ 于点 D ， 若 8AB = ， 3OD = ，则 O⊙ 的半径等于（ ） A． 4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 46. 【易】（怀柔区 2012 年度第一学期期末九年级教学质量检测）如图， O⊙ 的半径为 5， AB 为弦，OC AB⊥ ，垂足为 C ，若 3OC = ，则弦 AB 的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．10 P B O A BA O M D C BA O13 /101 【答案】A 47. 【易】（北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷）如图，已知 O⊙ 的 半径为 5，弦 8AB = ，OC AB⊥ 于 C ，则OC 的长为 _______． 【答案】3 48. 【易】（房山区一模）如图， AB 为 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ ，垂足为点 E ，联结 OC，若 5OC = ， 2AE = ，则CD 等于（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 49. 【易】（2012 初三上期中）如图，CD 为 O⊙ 的直径，弦 AB 垂足为 E ， 1CE = ， 10AB = ，则直径 CD 的长为（ ） A． 25 2 B．13 C．25 D．26 【答案】D O BA C O C BA O D E C BA B A OE DC14 /101 50. 【易】（广安市二 O 一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图 2，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C ，若 8cmAB = ， 3cmCD = ，则圆 O的半径为 （ ） A． 25 cm 6 B．5cm C．4cm D．19 cm 6 【答案】A 51. 【易】（邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷）如图所示，某窗户由矩形和弓 形组成，已知弓形的跨度 3mAB = ，弓形的高 1mEF = ，现计划安装玻璃，请帮工程 师求出 AB 所在圆 O 的半径 r ． 【答案】13 8 m 52. 【易】如图， AB 为 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ ，垂足为点 E ，连结 OC，若 5OC = ， 8CD = ，则 AE = __________. 【答案】2 53. 【易】（2010 北京 166 中学初三上期中）已知：如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦 EF AB⊥ 于点 D ，如果 8 2EF AD= =， ，则 O⊙ 半径的长是 __________. DC O BFA E OEA B D C15 /101 【答案】5 54. 【易】（2012 通州二模）如图， AB O⊙为 的弦， O⊙ 的半径为 5，OC AB⊥ 于点 D ， 交 O⊙ 于点 C ，且 1CD = ，则弦 AB 的长是 ________． 【答案】6 55. 【易】（2012.5 门头沟）如图，半径为 10 的 O⊙ 中，弦 AB 的长为 16 ，则这条弦的弦 心距为 __________. 【答案】6 56. 【易】（2010 北京 55 中九年级上月考）已知：如图， O⊙ 的直径 CD AB E⊥ 弦 于 ，若 16AB DE= = ,求: O⊙ 的半径 【答案】10 57. 【易】（北京市第八十中学 2011 年第一学期初三）已知，如图，在 O⊙ 中，弦 16MN = ，半径 OA MN⊥ ，垂足为点 B ， 4AB = ，求 O⊙ 半径的长． O FE D B A O D C BA O E D C BA16 /101 【答案】10 58. 【易】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（温州市卷））如图，在 O⊙ 中，OC ⊥ 弦 AB 于点 C ， 4AB = ， 1OC = ，则OB 的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 17 【答案】B 59. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )如图，在 O⊙ 中，弦 AB 垂直平分半 径OC，垂足为 D ，若 O⊙ 的半径为 2，则弦 AB 的长为 ______． 【答案】 2 3 60. 【易】（延庆县 2012 年第一学期期末试卷）已知：如图， AB 是 O⊙ 的直径，CD 是 O⊙ 的弦，且 AB CD⊥ ，垂足为 E ，连结OC， 5OC = ， 8CD = ，求 BE 的长； 【答案】解：∵ AB 为直径， AB CD⊥ ， M N A B O O C A B A B C D O O E D B A C17 /101 ∴ 90AEC∠ = ° ，CE DE= . ∵ 8CD = ， ∴ 1 1 8 42 2CE CD= =×= . ∵ 5OC = ， ∴ 2 2 225 4 3OE OC CE= − =−= ∴ 5 3 2BE OB OE= = =－－ 61. 【易】（2012 密云二模）如图， AB 是半 O⊙ 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC⊥ 于 D，若 : 4:3AC BC = ， 10AB = cm ，则OD 的长为（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 62. 【易】（北京景山学校 2012-2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷）过 O⊙ 内一 点 P 的最长弦为 10cm ，最短的弦为 6cm ，则OP 的长为 ______． 【答案】 4 cm 63. 【易】（2010 东直门中学初三上期中，2009 年甘肃兰州中考）如图，某公园的一座石 拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为（ ） A．5 米 B．8 米 C．7 米 D．5 3 米 【答案】B 64. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）兴隆蔬菜基地建圆 弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 16AB m= ，半径 10 OA m= ，高度 CD 为_ ____ m ． 【答案】4 O D C BA D C BA O D C BA18 /101 65. 【易】（九年级数学学科期中练习卷）如图 2，一条公路的转弯处是一段圆弧 (图中的 )，点O 是这段弧的圆心，C 是 上一点，OC AB⊥ ，垂足为点 D ， 300AB m= ， 50CD m= ，则这段弯路的半径是 ________m． 【答案】250 66. 【易】（2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试）如图是一圆柱形输水管的横截面， 阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm ，水的最大深度为 2cm ，则该输水管的 半径为（ ） A．3cm B． 4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 67. 【易】（2012 深圳外国语初三月考）如图是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横 截面，其水面宽为 1.6 米，则这条管道中此时水最深为 ___________ 米． 【答案】0.4 68. 【易】（2013 浙江丽水中考数学试题）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半 径 10OB = ，水面宽 16AB = ，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C AB AB 图2O D C B A19 /101 69. 【易】（2009 东城二模）如图，宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆 相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半 径为__________ cm . 【答案】13 4 70. 【易】如图，圆弧形桥拱的跨度 12=AB 米，拱高 4=CD 米，则圆弧形桥拱所在圆 的半径为 ________ 米． 【答案】 2 16 ； 71. 【易】（2011 年广州铁一中初三上期中）某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员 准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为 60cm ，水面至管道顶部距离为 10cm ，问修理人员应准备内径多大的管道？ 【答案】100cm 72. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )绍兴是著名的桥乡，如图，圆 拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为8m ，桥拱半径 OC 为5m ，则水面宽 AB 为（ ） A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 10 cm 60 cm BA O A B D C (第 11 题) 20 /101 【答案】D 73. 【易】（2009 年广东清远中考）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ 于点 E ，连结 OC，若 5OC = ， 8CD = ，则 tan COE∠ = （ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 【答案】D 74. 【易】（2012 北京西城初三二模）如图， AB 为 O⊙ 的弦，半径 OC AB⊥ 于点 D ，若 OB 长为 10 ， 3cos 5BOD∠ = ，则 AB 的长是（ ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 75. 【易】已知：如图， O⊙ 的半径为 9，弦 AB 垂直 OC 于 ， 2sin 3 BOC∠ = ，则 AB 的 长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B O E DC B A B D O C A H H O A C B 6 12 9 5321 /101 76. 【易】（2012 广东珠海中考）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ ，垂足为 E ，如 果 26AB = ， 24CD = ，那么 sin OCE∠ = _________ 【答案】 5 13 77. 【易】（北京市西城区 2012 年第一学期期末试卷）如图，在 O⊙ 中，直径 AB 垂直 弦 CD 于 E ，连接 BD，若 30CDB∠ = ° ， 2BD = ，则 AE 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 78. 【易】（2010 年房山区初三年级统一练习）如图， O⊙ 的半径为 2，弦 AB OC⊥ 于 C ， 2 3AB = ，则OC 等于（ ） A． 2 2 B． 3 C．1 D． 2 3− 【答案】C 79. 【易】（2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）在半径为 4 的圆中， 垂直平分半径的弦长为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C．4 D．6 O DC B A BA O E D C O C B A22 /101 【答案】B 80. 【易】（延庆县 2011 二模）如图， AB 是⊙O 的直径，弦 ABCD ⊥ 于点 E , 30=∠CDB，⊙O 的半径为 cm3 ，则弦 CD 的长为（ ） A． cm3 B． cm2 3 C． cm32 D． cm9 【答案】A 81. 【易】（2009 年朝阳一模）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ， 45 2C AB∠=° =， ，则 O⊙ 的 半径为（ ） A．1 B． 2 C．2 D． 22 【答案】B 82. 【易】(2013 年潍坊市初中学业水平考试 )如图， O⊙ 的直径 12AB = ，CD 是 O⊙ 的弦， CD AB⊥ ，垂足为 P ，且 1 5BP AP =∶ ∶ ，则CD 的长为（ ）． A． 4 2 B．8 2 C． 2 5 D． 4 5 【答案】D 83. 【易】（2011 长宁区二模）如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A B、 两点，已知 ( )4 2P ， 和 ( )2 0A ， ，则点 B 的坐标是 ____________ C B A O PO D C BA C A B O E D 23 /101 【答案】（ 6，0） 84. 【易】(2013 年广州市初中毕业生学业考试 )如图 7，在平面直角坐标系中，点O为坐 标原点，点 P 在第一象限， O⊙ 与 x 轴交于 O， A 两点，点 A 的坐标为 ()6 0， ， P⊙ 的半径为 13 ，则点 P 的坐标为 ____________ 【答案】()3 2， 85. 【易】（2010 年崇文二模）如图，在 O⊙ 中， 120AOB∠ = ° ， 3AB = ，则圆心 O 到边 AB 的距离 = ____________． 【答案】 3 2 86. 【易】（2009 年山东德城初中毕业考试）已知 AB 是 O⊙ 的弦，半径 2OA = ， 2sin 3 A = ，则弦 AB 的长为 ____________ 【答案】 87. 【易】（2011 龙岩中考）如图， AB 是半圆 O 的直径，OD AC⊥ ， 2OD = ，则弦 BC 的长为 _______． P y xBAO y O P A(6, 0) x BA O 4 5 324 /101 【答案】4 88. 【易】（2010 年上海闸北区九年级上期末）过 O⊙ 内一点 M 的最长的弦长为 6cm ， 最短的弦长为 4cm ，则OM 的长等于 __________cm ． 【答案】 5 89. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4） O⊙ 是 ABC△ 的外 接圆， O⊙ 的半径 2R = ， 3sin 4 B = ，则弦 AC 的长为 _______． 【答案】3 90. 【易】（成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷） 如图，点 A B， 是 上两点， ，点 是 上的动点（ 与 A B， 不重合）， 连结 ，过点分别作 于， 于，则 _______． 【答案】5 91. 【易】（2009 年宣武一模）如图，在梯形 ABCD 中， AB DC∥ ， AB BC⊥ ， 2AB cm= ， 4CD cm= ．以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A D、 两点，且 90AOD∠ = ° ， 则圆心 O 到弦 AD 的距离是 ________cm ． 【答案】 10 C BO D A O⊙ 10AB = P O⊙ P AP PB， O OE AP⊥ E OF PB⊥ F EF = O P F E B A O D CB A25 /101 92. 【易】（2011 年松江区初中毕业生学业模拟考试）如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上 的圆 O 交于点 G B F E、、、 ， 10GB = ， 8EF = ，那么 AD = _________． 【答案】3 93. 【易】（2009 年甘肃定西中考）如图 7，在 ABC△ 中， ， 3cos 5 B = ．如果⊙O 的半径为 cm ，且经过点 B C、 ，那么线段 AO = ________cm ． 【答案】5 94. 【易】（顺义区一模）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，OD AB⊥ 于点 D ，交 O⊙ 于 点 E ， 60C∠ = ° ，如果 O⊙ 的半径为 2，那么 OD = ___________． 【答案】1 95. 【易】（黄石市 2013 年初中毕业生学业考试数学试题卷）如图，在 Rt ABC△ 中， 90ACB∠ = ° ， 3AC = ， 4BC = ，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D ，则 AD 的长为（ ） A． 9 5 B． 24 5 C．18 5 D． 5 2 5cmAB AC= = 10 O CB A B E D O C A G A B C D F O E 26 /101 【答案】C 96. 【易】（成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷）已知等腰 ABC△ 的三个顶 点都在半径为 5 的 O⊙ 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为 __________。 【答案】8 或 2 97. 【易】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )CD 是 O⊙ 的一条弦，作直径 AB， 使 AB CD⊥ ，垂足为 E ，若 10AB = ， 8CD = ，则 BE 的长是（ ） A．8 B．2 C．2 或 8 D．3 或 7 【答案】C 98. 【易】（2013 年四川泸州市中考数学真题）已知 O⊙ 的直径 10cmCD = ， AB 是 O⊙ 的 弦， AB CD⊥ ，垂足为 M ，且 8cmAB = ，则 AC 的长为（ ） A． 2 5cm B． 4 5cm C． 2 5cm 或 4 5cm D．2 3cm 或 4 3cm 【答案】C 99. 【易】（北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷）在直径为 50cm 的 O⊙ 中，弦 40cmAB = ，弦 48cmCD = ，且 AB CD∥ ，则 AB 与CD 之间的距离为 ________． 【答案】 22 cm 或 8cm 100. 【易】（邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷）如图所示，某窗户由矩形和弓 形组成，已知弓形的跨度 3mAB = ，弓形的高 1mEF = ，现计划安装玻璃，请帮工程 师求出 AB 所在圆 O 的半径 r ． 【答案】13 8 m DC O BFA E27 /101 101. 【易】（2012 年房山）如图，在 O⊙ 中，半径 OC AB D⊥ 弦 于点 ， 4 3AB = ， 4AO = ，则 O∠ = _____． 【答案】60 ° 102. 【易】(2010 年门头沟区初三年级第一次统一练习)如图，在半径为 4 的 O⊙ 中，弦 4 3cmAB = ，则 BAO∠ = _________ 【答案】30 ° 103. 【易】（北京汇文中学 2011 年初三数学）如图，在平面直角坐标系中， M⊙ 与 y 轴 相切于原点 O ，平行于 x 轴的直线交 M⊙ 于 P 、 Q 两点，点 P 在点 Q 的右边，若 P 点 的坐标为 ( )1 2− ， ，则Q 点的坐标是 ___________． 【答案】( )4 2− ， 104. 【易】（郑州市 2010 年数学模拟一）如图，在直角坐标系中 C⊙ 与 y 轴切于负半轴上 的点 A ，与 x 轴相交于点 ( )1 0， ，( )9 0， ，则点 C 的坐标为 _________. O D C B A BA O Q P M O x y28 /101 【答案】( )5 3，－ 105. 【易】（大兴区 2012 年第一学期期末检测试卷）作图题（要求用直尺和圆规作图，不 写出作法，只保留作图痕迹，不要求写出证明过程）. 已知：圆. 求作：一条线段，使它把已知圆分成面积相等的两部分． 【答案】作弦，弦的垂直平分线即为所求． AB 为所求直线 . 106. 【易】（大兴区 2012 年度第一学期期末检测试卷）已知：如图， AB 是 O⊙ 的弦，半 径OC OD、 分别交 AB 于点 E F、 ，且 AE BF= .求证：OE OF= 【答案】证明：过点 O 作OM AB⊥ 于 M C O y x A B F B DC E O A29 /101 ∴ AM BM= ∵ AE BF= ， ∴ EM FM= ∴OE OF= 107. 【易】（2010 年东城区初三上联考）已知： AB 交圆 O 于C D、 ，且 AC BD= .你认为 OA OB= 吗？为什么？ 【答案】OA OB= 证明：作OE AB⊥ 于 E 则CE ED= ∵ AC DB= ∴ AE EB= ∵OE AB⊥ ∴OA OB= 108. 【易】（天津耀华中学 2010 届初三第一次月考）已知：如图， M 是弧 AB 的中点，过 点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设 O⊙ 的半径为 4cm ， 4 3 cmMN = ，求圆心 O 到弦 MN 的距离。 F M B DC E O A O A C D B O BDCA E O N M C B A30 /101 【答案】2 109. 【易】（2010 北京 55 中九年级上月考）已知：如图， A D、 是 O⊙ 上的两个点， BC 是直径， AD BC⊥ ，若 25B∠ = ° ， ①求证： D CAD∠ = ∠ ②求： OAE∠ 的度数 【答案】证明略； 40OAE∠ = ° ． 110. 【易】（2010 东城区初三上联考）如图，等边 ABC△ 内接于 O⊙ ， 10AB cm= ,求 O⊙ 的面积. (结果保留 π ) 【答案】解： O⊙ 半径 33 10=R 100 3OS π=⊙ 111. 【易】（2011 年上海虹口区初三二模）如图， O⊙ 是△ABC 的外接圆，圆心 O 在这个 三角形的高 AD 上， 10 12AB BC= =， ．求 O⊙ 的半径． 【答案】 25 4 112. 【易】（2011 年广州二中初三上期中）如图，已知 AB 为 O⊙ 的直径，CD 是弦，且 AB CD⊥ 于点 E ，连接 AC、OC、 BC ⑴ 求证： ACO BCD∠ = ∠ ； ⑵ 若 8cmAE CD= = ，求 O⊙ 的半径． O E D CB A B O C A O D CB A31 /101 【答案】⑴ 90ACO CAO CBO BCD∠ =∠ = °−∠ =∠ ； ⑵5cm 113. 【易】（2010 年上海闵行区九年级下质量调研）已知：如图， BC 是 O⊙ 的弦，点 A 在 O⊙ 上， 10AB AC= = ， 4sin 5ABC∠ = ． 求：⑴弦 BC 的长； ⑵ OBC∠ 的正切的值． 【答案】⑴12 ；⑵ 7 24 ． 114. 【易】（乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图，圆心在 y 轴的负 半轴上，半径为 5 的 B⊙ 与 y 轴的正半轴交于点 ( )0 1A ， ，过点 ( )0 7P −， 的直线 l 与 B⊙ 相交于 C D、 两点，则弦 CD 长的所有可能的整数位有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 115. 【中】（2011 年四川省内江市中考数学试卷）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆， 60BAC∠ = ° ，若 O⊙ 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为（ ） O E DC B A O CB A32 /101 A．1 B． 3 C．2 D． 2 3 【答案】D 116. 【中】如图，在平面直角坐标系中，以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M ， 交 y 轴于点 N ，再分别以点 M 、 N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在第二 象限交于点 P ．若点 P 的坐标为 ( )2 1a b +， ，则 a 与b 的数量关系为（ ） A． a b= B． 2 1a b+ = − C． 2 1a b− = D． 2 1a b+ = 【答案】B 117. 【中】（南充市 2011 高中阶段学校招生统一考试数学试卷）在圆柱形油槽内装有一些 油。截面如图，油面宽 AB 为 6 分米，如果再注入一些油后，油面 AB 上升 1 分米，油 面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 MN 为（ ） A．6 分米 B．8 分米 C．10 分米 D．12 分米 【答案】C 118. 【中】（2011 年广州二中初三上期中、2011 年广雅实验初三上期中）如右图，等腰梯 形 ABCD 内接于半圆 O ，且 1AB = ， 2BC = ，则OA = （ ） O C B A y xOM N P NM BA33 /101 A． 3 2 3 + B． 2 C．1 3 2 + D． 3 1 2 − 【答案】C 119. 【中】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）已知圆的两弦 AB、CD 的长是方 程 2 42 432 0x x− + = 的两根，且 AB CD∥ ，又知两弦之间的距离为 3，则圆的半径是 （ ） A．12 B．15 C．12 或 15 D．21 【答案】B 120. 【中】（首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试）已知：如图， AB， BC 为 O⊙ 的弦，点 D 在 AB 上，若 4OD = ， 10BC = ， 60ODB B∠ =∠= ° ，则 DB 的 长为 ______． 【答案】6 121. 【中】如图所示，在圆 O⊙ 内有折线 OABC，其中 8OA = ， 12AB = ， 60A B∠ =∠ = ° ， 则 BC 的长为（ ） A．19 B．16 C．18 D．20 【答案】D 122. 【中】（荆门市 2013 年初中毕业生学业水平及升学考试数学试题卷）如图，在半径为 1 的 O⊙ 中， 45AOB∠ = ° ，则sin C 的值为（ ） A． 2 2 B． 2 2 2 − C． 2 2 2 + D． 2 4 O D CB A O D C BA O C B A34 /101 【答案】B 123. 【中】（2013 年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷）如图， AD、 AC 分别是 O⊙ 的直径和弦， 30CAD∠ = ° ， B 是 AC 上一点， BO AD⊥ ，垂足为 O ， 5cmBO = ， 则CD 等于 ___________ cm ． 【答案】5 3 124. 【中】（内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷） 如图，半圆 O 的直径 10cmAB = ，弦 6cmAC = ，AD 平分 BAC∠ ，则 AD 的长为 （ ） A． 4 5cm B．3 5cm C． 5 5cm D．4cm 【答案】A 解：连接 OD，OC，作 DE ⊥ AB 于 E ，OF ⊥ AC 于 F ， ∵∠ CAD =∠ BAD（角平分线的性质）， ∴ CD = BD， ∴∠ DOB =∠OAC =2 ∠ BAD， ∴△ AOF ≌△ OED， ∴OE = AF = 1 2 AC =3cm ， 在 Rt DOE△ 中， DE = 2 2OD OE− = 4cm O D C BA F EO D C BA35 /101 在 Rt ADE△ 中， AD = 2 2DE AE+ = 4 5 cm 125. 【中】（2013 年四川省宜宾市中考数学试卷）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ 于点 G ，点 F 是CD 上一点，且满足 1 3 CF FD = ，连接 AF 并延长交 O⊙ 于点 E ，连接 AD DE、 ，若 =2 =3CF AF， ．给出下列结论：① ADF AED△ ∽△ ；② 2FG = ；③ 5tan 2E =∠ ；④ DEFS 4 5=△ ．其中正确的是 ________． 【答案】①②④ 126. 【中】（2010 年北京 171 初三上期中）在半径为 1 的 O⊙ 中，弦 AB AC、 分别是 2 、 3 ，则 BAC∠ 的度数为 _____________ 【答案】15 ° 或 75 ° 127. 【中】（顺义区一模）已知：如图， AB， BC 为⊙O 的弦，点 D 在 AB 上，若 4=OD， 10=BC， °=∠=∠ 60BODB，则 DB 的长为 ___________． 【答案】6 128. 【中】（2009 年福建龙岩中考）如图， AB CD、 是半径为 5 的 O⊙ 的两条弦， 8AB = ， 6CD = ， MN 是直径， AB MN⊥ 于点 E ，CD MN⊥ 于点 F ， P 为 EF 上的任意一点， 则 PA PC+ 的最小值为 ___________ O D C BA NM B D PO C A E F36 /101 【答案】7 2 129. 【中】（成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷）若小唐同学掷出的铅球在 场地上砸出一个直径约为 10 cm 、深约为 2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ） A．10cm B．14.5cm C．19.5cm D．20cm 【答案】B 130. 【中】（初二第二学期期末试卷）在半径为 5cm 的圆中，位于圆心同侧的两条平行弦 的长度分别为 6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离为 __________． 【答案】1cm 131. 【中】（北京市朝阳外国语学校 2012 年第二学期期中校考初二数学 A 层 B2 层试卷 ) 半径为 5cm 的 O⊙ 中，弦 AB ∥弦CD，又 6cm 8cmAB CD= =， ，则 AB 和CD 两弦的 距离为 ________． 【答案】1cm 或 7cm 132. 【中】（扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题）如图，已知 O⊙ 的直径 6AB = ， E 、 F 为 AB 的三等分点， M 、 N 为 AB 上两点，且 60MEB NFB∠ =∠ =° ， 则 EM FN+ = _________． 【答案】 33 133. 【中】（2009 浦东新区中考预测）一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 米，管内 有少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6 米． ⑴求此时的水深（即阴影部分的弓形高）； ⑵当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度． 【答案】⑴作半径 OC AB⊥ ，垂足为点 D，联结 OA，则 CD 即为弓形高． ∵OC AB⊥ ， O N M FE BA BA37 /101 ∴ 1 2AD AB= ． ∵ 0.5AO = ， 0.6AB = ， ∴ 0.4OD = ． ∴ 0.1CD = ，即此时的水深为 0.1 米． ⑵当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时，直线 OC 与 MN 相交于点 P ． 同理可得 0.3OP = ． （i）当 MN 与 AB 在圆心同侧时，水面上升的高度为 0.1 米； （ii ）当 MN 与 AB 在圆心异侧时，水面上升的高度为 0.7 米． 134. 【中】（2010 东城区初三上联考）居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为 更换管道，需确定管道圆形截面的半径。下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。 ⑴作图题：请你用圆规、直尺补全这个输水管道的圆形截面； （不写作法，但要保留作图痕迹） ⑵若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ，水面最深地方的高度为 4cm, 求这个 圆形截面的半径． 【答案】⑴将图补全 ⑵ 10=R 135. 【中】（2011 年上海金山区初三二模）如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为 了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了 A , B 两点并连接 AB，在劣弧 AB 上取中 点C 连接 CB，经测量 4 5=BC 米， 87.36=∠ABC °，根据这些数据请你计算出地 下排水管的直径（精确到 1.0 米）（ 87.36sin ° 60.0≈ ， 87.36cos ° 80.0≈ ， 87.36tan ° 75.0≈ ） O D C BA BA BA38 /101 【答案】2.1 米 136. 【中】（2011 年中考模拟试卷）如图，“五一 ”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游 乐场的大型摩天轮的半径为 20m ，旋转 1 周需要 24min （匀速）。小明乘坐最底部的 车厢按逆时针方向旋转（离地面约 1m）开始 1 周的观光。 ⑴2min 后小明离地面的高度是多少？ ⑵摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度到达 11m？ ⑶在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面 31m 以上的空中 ? 【答案】⑴( )21 10 3 m− ； ⑵4min 或 20 min ； ⑶8min ． 137. 【中】如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意 图，O 为圆心， AB 为水平地面。假设摩天轮的直径为 80 米，最低点 C 离地面为 6 米， 旋转一周所用的时间为 6 分钟。小明从 C 点乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问： ⑴经过 2 分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？ ⑵若小明到了最高点，在事先没有阻挡的情况下能看到周围 3 公里远的地面景物，则 他看到的地面景物有多大面积？（精确到 1 平方公里） 【答案】⑴ 从点 C 乘坐摩天轮，经过 2 分钟后到达点 E 则 120COE∠ = ° C B A B D O C A BD O C A39 /101 延长 CO 与圆交于点 F ，作 EG OF⊥ 于点 G 则 60GOE∠ = ° ，在 Rt EOG△ 中， 40cos60 20OG = ° = 米 ∴小明 2 分钟后离开地面高度 66DG DC CO OG= + + = 米 ⑵ F 记为最高点，他能看到的地面景物面积为 ( )2 2 23 0.086 π 28s = − = 平方公里 138. 【中】（北京市第 156 中学 2011 初三期中）如图， BC 是 O⊙ 的弦，OD BC⊥ 于 E 交 于 D 点。 ⑴ 若 8BC = ， 2ED = ，求 O⊙ 的半径。 ⑵ 画出直径 AB，联结 AC，观察所得图形，请你写出两个新的正确结论： _____________；_____________。 【答案】⑴5；⑵图略，OE AC∥ ， 2AC OE= 等正确即可． 139. 【中】（内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷） 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 ( )13 0A ， ，直线 3 4y kx k= − + 与 O⊙ 交于 B C、 两点，则弦 BC 的长的最小值为 ______. G A C O D B E F E D C B O40 /101 【答案】 24 ∵直线 3 4y kx k= − + 必过点 ( )3 4D ， ， ∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦， ∵点 D 的坐标是（3，4）， ∴OD =5 ， ∵以原点 O 为圆心的圆过点 A （13 ，0）， ∴圆的半径为 13 ， ∴OB =13 ， ∴ BD =12 ， ∴ BC 的长的最小值为 24 ； 故答案为：24 ． 140. 【中】（株洲市 2009 年初中毕业学业考试） 如图，点 A 、 B 、C 是 O⊙ 上的三点， / /AB OC . ⑴求证： AC 平分 OAB∠ . ⑵过点 O 作OE AB⊥ 于点 E ，交 AC 于点 P ,若 2AB = ， 30AOE∠ = ° ，求 PE 的长． 【答案】⑴∵ / /AB OC ， ∴ C BAC∠ = ∠ ； ∵OA OC= ， ∴ C OAC∠ = ∠ ∴ BAC OAC∠ = ∠ ，即 AC 平分 OAB∠ . ⑵∵OE AB⊥ ∴ 1 12AE BE AB= = = 又 30AOE∠ = °∵ ， 90PEA∠ = ° ∴ 60OAE∠ = ° y x D C B O A13 P O E C B A41 /101 ∴ 1 302EAP OAE∠ =∠ =° ， ∴ 1 2PE PA= ，设 PE x= ，则 2PA x= ， 根据勾股定理得 2 2 21 (2)x x+ = ，解得 3 3x = （或者用 tan PEEAPAE ∠ = ） 即 PE 的长是 3 3 . 141. 【中】（2012 房山二模）如图， O⊙ 中有直径 AB EF、 和弦 BC，且 BC 和 EF 交于点 D ，点 D 是弦 BC 的中点， 4CD = ， 8DF = . ⑴求 O⊙ 的半径及线段 AD 的长； ⑵求sin DAO∠ 的值. 【答案】⑴∵ D 是 BC 的中点， EF 是直径 ∴CB EF⊥ 且 4BD CD= = ∵ 8DF = ∴ 8OD R= − ∵ 2 2 2OB OD DB+ = ∴ ()22 28 4R R− − = ∴ 5R = 连结 AC，过 D 作 DH AB⊥ 交 AB 于 H ． ∵ AB 是直径 ∴ 90ACB∠ = ° ∵ 2 8 10CB CD AB= = =， ∴ 6AC = ∴ 90 6 4ACD AC CD∠ =° = =，， ∴ 2 13AD = O F E D C B A O F E D C B A42 /101 ⑵∵ Rt sinDHB DH DB DBH= ⋅∠ =△ 中， ∴ 6 13sin = = 65 DHDAO AD ∠ 142. 【中】（2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷） 如图，已知 ABC△ 是 O⊙ 的内接三角形， AB AC= ，点 P 是 AB 的中点，连接 PA， PB， PC． ⑴如图①，若 60BPC∠ = ° ．求证： 3AC AP= ； ⑵如图②，若 24sin 25 BPC∠ = ，求 tan PAB∠ 的值． 【答案】⑴证明：∵ BC BC= ， ∴ 60BAC BPC∠ =∠ =° ． 又∵ AB AC= ， ∴ ABC△ 为等边三角形． ∴ 60ACB∠ = ° ， ∵点 P 是 AB 的中点， ∴ 30ACP∠ = ° ． 又 60APC ABC∠ =∠ =° ， ∴ 90PAC∠ = ° ． 在 Rt PAC△ 中， 30ACP∠ = ° ， ∴ 3AC AP= ． ⑵ 解：连接 AO 并延长交 PC 于 E ，交 BC 于 F ，过点 E 作 EG AC⊥ 于点 G ， 连接 OC． ∵ AB AC= ， ∴ AF BC⊥ ， BF CF= ． ∵点 P 是 AB 的中点， ∴ ACP PCB∠ = ∠ ． ∴ EG EF= ． ∵ BPC FOC∠ = ∠ ． ∴ 24sin sin 25 FOC BPC∠ =∠ = ． 5 12 5 34 =× 图① 图② P A B C CB P A O O CB P A O F GE43 /101 设 24FC a= ，则 25OC OA a= = ， ∴ 7OF a= ， 32AF a= ． 在 Rt AFC△ 中， 2 2 2AC AF FC= + ， ∴ 40AC a= ． 在 Rt AGE△ 和 Rt AFC△ 中， sin EG FCFAC AE AC ∠ = = ， ∴ 24 32 40 EG a a EG a = − ． ∴ 12EG a= ． ∴ 12 1tan tan 24 2 EF aPAB PCB CF a ∠ =∠ = = = ． 143. 【中】（2009 年大兴二模）如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，CD AB⊥ 于 P ，设 AP a PB b= =， ． ⑴求弦 CD 的长； ⑵如果 10a b+ = ，求 ab 的最大值，并求出此时 a b， 的值． 【答案】解： ⑴连结 2 2 ab baOC OC OP + −= =，，， 所以 2 2 2 2 2 2 2 ab abPCOCOP ab + −  =−= − =     ， 所以 PC ab= . 所以 2 2CD PC ab= = ． （也可以根据 APC CPB△ ∽△ 求解） ⑵由于 CD AB≤ ， 所以 2 10ab a b+ =≤ ， OP D C BA A B O C P D44 /101 得 25ab ≤ ， 所以 ab 的最大值为 25 ， 则，此时 5a b= = ． 144. 【中】（2011 年泰州）如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD 的边 BC 为 大圆的弦，边 AD 与小圆相切于点 M ，OM 的延长线与 BC 相交于点 N ． ⑴点 N 是线段 BC 的中点吗？为什么？ ⑵若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm ， 5AB cm= ， 10BC cm= ，求小圆的半径． 【答案】解：⑴∵ AD 是小圆的切线， M 为切点， ∴ OM AD⊥ ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD BC AB CD=∥ ， ， ∴ ON BC⊥ ， ∴ N 是 BC 的中点； ⑵延长 ON 交大圆于点 E ， ∵圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm ， 5AB cm= ， ∴ 6ME cm= ， 在 Rt OBN△ 中，设OM r= 2 2 2OB BN OM MN= + +（ ），即 2 2 26 5 5r r+ = + +（ ）（），解得 7r cm= ， 故小圆半径为 7cm ． 145. 【难】（2012 年西城）如图， AC 为 O⊙ 的直径， 4AC = ， B D、 分别在 AC 两侧的 圆上， 60BAD∠ = ° ， BD 与 AC 的交点为 E ． ⑴ 求点 O 到 BD 的距离及 OBD∠ 的度数； ⑵ 若 2DE BE= ，求 cos OED∠ 的值和 CD 的长． O N M D CB A E O N M D CB A45 /101 【答案】解：⑴作OF BD⊥ 于点 F ，连接 OD ∵ 60BAD∠ = ° ， ∴ 2 120BOD BAD∠ =∠ = ° ， 又∵OB OD= ， ∴ 30OBD∠ = ° ， ∵ AC 为 O⊙ 的直径， 4AC = ， ∴ 2OB OD= = ． 在 Rt BOF△ 中， ∵ 90OFB∠ = ° ， 2OB = ， 30OBF∠ = ° ， ∴ sin 2sin30 1OF OB OBF=⋅∠ = °= ， 即点 O 到 BD 的距离等于 1． ⑵∵OB OD= ， OF BD⊥ 于点 F ， ∴ BF DF= ． 由 2DE BE= ，设 2BE x= ，则 4 6 3DE xBD xEF xBF x= = = =，，，． cos30 3BF OB= ⋅ °=∵ ∴ 3 3 3 3 x EF= =， 在 Rt OEF△ 中， 90OFE∠ = ° ， tan = 3OFOEDEF ∠ =∵ ∴ 160 cos 2 OED OED∠ =° ∠ =， ， ∴ 30BOE OED OBD∠ =∠ −∠ =° ， ∴ 90DOC DOB BOE∠ =∠ −∠ =° ， ∴ 45C∠ = ° ． ∴ 2 2 2CD OC= = A B D CE O O F E D C B A46 /101 三、 弧、弦、圆心角的关系 146. 【易】（2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷） 如图，已知 O⊙ 中， AB AC= ， 65C∠ = ° ，则 A∠ = __________ 度． 【答案】50 147. 【易】（2013 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在 O⊙ 中， AB AC= ， 30A∠ = ° ，则 B∠ = （ ） A．150 ° B． 75 ° C． 60 ° D．15 ° 【答案】B 148. 【易】（2009 年郴州市初中毕业考试试卷） 如图，在 中， AB AC= ， 40A∠ = ° ，则 B∠ = ________ 度． 【答案】70 149. 【易】（通州区初三年级模拟考试） 如图， AB 是 O⊙ 的弦，OD AB⊥ 于点 D ， C 是 AB 优弧上任意一点，则图中所有相 等的线段有 _____________；所有相等的角有 _____________． O CB A O⊙ 图 5 A B C O 40° 47 /101 【答案】OA OB= ，AD DB= ； OAD OBD ADO BDO AOD BOD C∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠ =∠，， 150. 【易】（2009 年崇文一模） 如图， BC AD与 的度数相等， AB CD E弦 与弦 交于点 ， °=∠ 80CEB,则 CAB∠ 等于 ____________ A． °30 B． °40 C． °45 D． °60 【答案】B 151. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4） 如图： AC CB= ， D E， 分别是半径 OA 和 OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？ 为什么？ 【答案】相等；连结 CD，可证 COD COE△ ≌△ ，故CD CE= . 152. 【易】（2010 北京 55 中九年级上月考）已知：如图， AB O⊙为 直径， BC 是弦，连 结 AC，OD AC∥ 交 BC 于 E ，连结 CD BD、 ，求证：CD BD= O D C B A A B D C E O C BA ED48 /101 【答案】证明略 153. 【中】（扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题）如图，在扇形 OAB 中， 110AOB∠ = ° ，半径 18OA = ，将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点O恰好落在 AB 上 的点 D 处，折痕交 OA 于点 C ，则 AD 为________． 【答案】5π 154. 【中】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷））如图，某厂生产横截面直径 为 7 cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果， 字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 30 ° ，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ） A π cm4 B 7π cm4 C 7π cm2 D πcm7 【答案】B 155. 【中】（乐山市 2011 年高中阶段教育学校招生统一考试）如图，CD 是 O⊙ 的弦，直 径 AB 过CD 的中点 M ，若 40BOC∠ = ° ，则 ABD∠ = （ ） O E D C B A O D C B A M O DC B A49 /101 A．40 ° B．60 ° C．70 ° D．80 ° 【答案】C 156. 【中】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）如图， O⊙ 的半径为 1，点 A 是半 圆上的一个三等分点，点 B 是弧 AN 的中点， P 是直径 MN 上的一个动点，则 PA PB+ 的最小值为（ ） A．1 B． 2 2 C． 2 D． 3 1− 【答案】C 157. 【中】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）在半径为 1的 O⊙ 中，直径 AB 把 O⊙ 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一个动点（ C 与 A 、 B 不重合），过点 C 作弦 CD AB⊥ 于 E ， OCD∠ 的平分线交 O⊙ 于点 P ，设 CE x= ， AP y= ，下列图象 中，最能该画 y 与 x 的函数关系的是（ ） 【答案】A 158. 【中】（2011 年第一学期期中考试）如图， AB 是圆 O的直径，弦 AD、 BC 相交于点 P ， 60DPB∠ = ° ， D 是弧 BC 的中点，求 AC AB 的值． PO M N B A O P E D C BA y xO 1 2 2 D． y xO 1 2 2 C． y xO 1 2 2 B．A． 2 21O x y50 /101 【答案】 1 2 159. 【中】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AB AC= ． BC 交 O⊙ 于点 D ， 45BAC∠ = ° ，给出以下几下结论：① 22.5EBC∠ = ° ； ② BD DC= ；③ 2AE EC= ；④劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍；⑤ AE BC= ．其中正确的 结论的序号是 ____________． 【答案】①②④ 160. 【中】（2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）如图，已知 C 是弧 AB 的中点，半径 OC 与弦 AB 相交于点 D ，如果∠OAB ＝60° ， AB ＝8，那么∠ AOD ＝________ 度，CD = _______． 【答案】30 ，8 4 3− 161. 【中】（2009 大兴一模）如图，在扇形 AEF 中， 90A∠ = ° ，点 C 为 EF 上任意一点 （不与点 E F、 重合），四边形 ABCD 为矩形，则当点 C 在 EF 上运动时（不与 E F、 点重合）， BD 长度的变化情况是 _____________ C D A B P O O D C B A E O C BA D51 /101 【答案】不变，始终等于扇形的半径 162. 【中】（延庆县 2012 年第一学期期末试卷）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋 转，当 B C、 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC 的长度等于 __________ 【答案】 π 3 163. 【中】（2011 年漳州）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AC CD= ， 60COD∠ = ° ． ⑴ AOC△ 是等边三角形吗？请说明理由； ⑵ 求证：OC BD∥ ． 【答案】⑴ AOC△ 是等边三角形 证明：∵ AC CD= ， FE D C B A FE D CB A DC BA O 1 DC BA O52 /101 ∴ 1 60COD∠=∠ = ° ∵ OA OC= ， ∴ AOC△ 是等边三角形 ⑵ 证明：∵ AC CD= ， ∴ OC AD⊥ 又∵ AB 是 O⊙ 的直径， ∴ 90ADB∠ = ° ，即 BD AD⊥ ∴ OC BD∥ 164. 【中】（2011 年青浦区初中学业模拟考试）如图， AB 是⊙ O 的弦，点 D 是 AB 的中 点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 C ． 求证： AD DC= ． 【答案】连接 BD，由等弧有 AD BD= ， ∴ 90 90A ABD DBC C∠=∠ = °−∠ = °−∠ ∴ DBC C∠ = ∠ ∴ BD DC AD= = 165. 【中】（2010 年上海卢湾区初中毕业模拟考试） 如图，已知 OC 是 O⊙ 的半径，弦 6AB = ， AB OC⊥ ，垂足为 M ，且 2CM = ． ⑴联结 AC，求 CAM∠ 的正弦值； ⑵求OC 的长． 【答案】⑴∵OC 是 O⊙ 的半径， AB OC⊥ ， ∴ 1 3 2 AM AB= = ． 在 Rt AMC△ 中， 2 3CM AM= =， ， ∴ 2 22 3 13AC = + = ． ∴ 2 13sin 13 CMCAM AM ∠ = = ． D CB A O O M C B A53 /101 ⑵联结 OA，设 OA = r ，则 2OM r= − ， 由勾股定理得 ()2 2 22 3r r− + = ． 解得 13 4r = ． 、 166. 【中】（燕山 2011 二模）已知：如图， AB 是半圆的直径， 10AB = ，梯形 ABCD 内 接于半圆，CE AD∥ 交 AB 于 E ， 2BE = ，求 A∠ 的余弦值 . 【答案】由题意可知 AB CD∥ ，且 AD BC= ， 又∵CE AD∥ ， ∴ 8CD AE AB BE= = − = . 把 AB 的中点记作 O ，作 OG CD⊥ 于 G ，连结 OC 则 4DG CG= = . ∴ 2 2 3OG OC CG= − = . 作 DF OA⊥ 于 F ，则 3DF OG= = ， 1AF OA OF OA DG=− = − = . ∴ 2 2 10AD AF DF= + = . ∴ A∠ 的余弦 1 10cos 1010 A = = 167. 【难】（2009 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试）已知：如图， O⊙ 的直径 2AD = ， ， 90BAE∠ = ° ． ⑴ 求 CAD△ 的面积； ⑵ 如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P ，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的 概率是多少？ 【答案】⑴ ∵ AD 为 O⊙ 的直径，∴ 90ACD BAE∠ =∠ =° ． ∵ ，∴ BAC CAD DAE∠ =∠ =∠ ． EO D C BA G F EO D C BA BC CD DE= = E D C B A O BC CD DE= =54 /101 ∴ 30BAC CAD DAE∠ =∠ =∠ =° ． ∵在 Rt ACD△ 中， 2AD = ， 2sin30 1CD = ° = ， 2cos30 3AC = ° = ． ∴ 1 3 2 2ACDS ACCD=× × =△ ． ⑵ 连 BD，∵ 90ABD∠ = ° ， 60BAD∠ = ° ， ∴ 30BDA BCA∠ =∠ =° ，∴ BA BC= . 作 BF AC⊥ ，垂足为 F ， ∴ 1 3 2 2AF AC= = ，∴ 1tan 30 2BF AF= ° = ， ∴ 1 3 2 4ABCS ACBF=× × =△ ， ∴ 3 3 4ABCDS = ． ∵ πOS =⊙ ，∴ P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 = = ． 168. 【难】（浙江省 2009 年初中毕业生学业考试 (衢州卷 )）如图， AD 是⊙O 的直径． ⑴如图①，垂直于 AD 的两条弦 11 22BC BC， 把圆周 4 等分，则 1B∠ 的度数是 ______________， 2B∠ 的度数是 ______________； ⑵如图②，垂直于 AD 的三条弦 11 22 33BC BC BC，， 把圆周 6 等分，分别求 1B∠ ， 2B∠ ， 3B∠ 的度数； (3) 如图③，垂直于 AD 的 n 条弦 11 22 33 n nBC BC BC BC…，，，， 把圆周 2n 等分，请你用含 n 的代数式表示 nB∠ 的度数 (只需直接写出答案 )． MO F E D C B A 3 3 4 π 3 3 4π55 /101 【答案】⑴ 22.5° ，67.5° ⑵ ∵ 圆周被 6 等分， ∴ = = 360 6 60= °÷= ° ． ∵ 直径 1 1AD BC⊥ ， ∴ = 30= ° ，∴ 1B∠ = 15= ° ． 2B∠ = = (30 60 ) 45× ° °= °＋ ， 3B∠ = = (30 60 60 ) 75×° ° °=°＋ ＋ ． ⑶ ． (或 ) 四、 圆周角 1. 圆周角 169. 【易】(2013 年山东日照初中学业考试 )如图，在 ABC△ 中，以 BC 为直径的圆分别交 边 AC、 AB 于 D 、 E 两点，连接 BD、 DE．若 BD 平分 ABC∠ ，则下列结论不一定 成立的是 ( ) A． BD AC⊥ B． 2 2AC AB AE= ⋅ C． ADE△ 是等腰三角形 D． 2BC AD= 【答案】D 1 1B C 1 2C C 2 3C C 1AC 1 2 1 1B C 1 2 1AC 1 2 2AC 1 2 1 2 3AC 1 2 11 360 360[ ( 1) ]222 2nB nn n ° °∠= × +−× (90 45)n n − °= 360 4590 908nB n n ° °∠ = °− = °− A O D B1 B2 C1 C2 图 O D A B1 C1 B2 C2 C3 B3 图 D Bn A O B1 Bn-2 C1 B2 C2 B3 C3 Cn-2 Bn-1 Cn-1 Cn … 图56 /101 170. 【易】（2010 年顺义二模、山东德城初中毕业考试）如图，有一圆形展厅，在其圆形 边缘上的点 处安装了一台监视器，它的监控角度是 65 ° ．为了监控整个展厅，最少 需在圆形边缘上共安装这样的监视器 ( )台． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 171. 【易】（2010 年九年级第三次质量预测试题）如图，正三角形 ABC 内接于 O⊙ ，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A B、 重合，则 BPC∠ 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 172. 【易】（2012 通州二模）如图，已知 O⊙ 的两条弦 AC BD， 相交于点 E ， 60A∠ = ° ， 则 sin BDC∠ 的值为（ ） A． 1 2 B． 3 3 C． 2 2 D． 3 2 【答案】D 173. 【易】 (2009 年台湾第一次中考数学科试题如图)（七），圆上有 A B C D、、、 四点， 其中 80BAD∠ = ° 。若 、 的长度分别为 7π、11 π，则 的长度为（ ） A 30 60 90 45 P O C BA O E D C B A ABC ADC BAD 57 /101 A．4π B．8π C．10 π D．15 π 【答案】C 174. 【易】（泰安市 2009 年高中段学校招生考试）如图， O⊙ 的半径为 1， AB 是 O⊙ 的 一条弦，且 3AB = ，则弦 AB 所对圆周角的度数为（ ） A．30 ° B．60 ° C．30 °或 150 ° D．60 °或 120 ° 【答案】D 175. 【易】（2009 年延庆二模） O⊙ 中弦 AB CD、 相交于点 E .已知 60ECB∠ °＝ ， 65AED∠ °＝ ，那么 ADE∠ 的度数是（ ） A．40 ° B．15 ° C．55 ° D．65 ° 【答案】C 176. 【易】（2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷）如图， O⊙ 中，弦 AB、CD 相交 于点 P ，若 30A∠ = ° ， 70APD∠ = ° ，则 B∠ 等于（ ） 80° D C B A BA O D E C BA O O D C B A P58 /101 A． 30 ° B． 35 ° C． 40 ° D．50 ° 【答案】C 177. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )如图，点 A ， B ， C ， D 为 O⊙ 上 的四个点， AC 平分 BAD∠ ， AC 交 BD 于点 E ， 4CE = ， 6CD = ，则 AE 的长为 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 178. 【易】（邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷）如左图所示，弦 AB、CD 相 交于点 O ，连结 AD、 BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角， 它们是 _______． 【答案】 A C∠ = ∠ 或 D B∠ = ∠ 179. 【易】（怀柔区 2012 年第一学期期末九年级教学质量检测）如图，点 A 、 B 、 C 是 半径为 6 的 O⊙ 上的点， 30B∠ = °，则 AC 的长为________________ 【答案】 2π 180. 【易】（2011 罗湖区初三第二次联考）如图，点 A 、 D 在 O⊙ 上， BC 是 O⊙ 的直径， 35D∠ = ° ，则 OAB∠ = _____________． A B E C D O O C B A59 /101 【答案】35 ° 181. 【易】（平谷区 2010 年第二学期初三第一次统一练习）如图，CD AB⊥ 于 E ，若 60B∠ = ，则 A∠ = _________ 度． 【答案】30 182. 【易】如图， AB 是⊙ O 的直径， C ， D ， E 都是⊙ O 上的点，则∠ C ＋∠ D =_______. 【答案】90 ° 183. 【易】（2013 年苏州市初中毕业暨升学数学考试试卷）如图， AB 是半圆的直径，点 D 是 AC 的中点， 50ABC∠ °＝ ，则 DAB∠ 等于 ( ) A． 55 ° B． 60 ° C． 65 ° D． 70 ° 【答案】C D B O C A O E D C B A O E DC BA60 /101 184. 【易】(盐城市 2013 年初中毕业与升学统一考试数学试题 )如图，将 O⊙ 沿弦 AB 折叠， 使 AB 经过圆心 O，则 OAB∠ = ________. 【答案】 30 ° 185. 【中】（黑龙江省龙东地区 2013 年初中毕业学业统一考试数学试题）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ， AB BC= ， 120ABC∠ = ° ， AD 为 O⊙ 的直径， 6AD = ，那么 AB 的值为 （ ） A．3 B． 2 3 C． 3 3 D．2 【答案】A 186. 【中】（广西贵港市 2013 年初中毕业升学考试数学试卷）如图， AB 是 O⊙ 的弦， OH AB⊥ 于点 H ，点 P 是优弧上一点，若 2 3AB = ， 1OH = ，则 APB∠ 的度数是 _______． 【答案】 60 ° 187. 【中】（怀柔区 2012 年第一学期期末九年级教学质量检测）如图所示，边长为 1 的小 正方形构成的网格中，半径为 1 的 O⊙ 的圆心 O 在格点上，则 AED∠ 的正弦值等于 ______________． O BA C D O B A P O H A B61 /101 【答案】 5 5 188. 【中】（四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷） 如图，边长为 1 的小正方形网格中， O⊙ 的圆心在格点上，则 AED∠ 的余弦值是 __________． 【答案】 2 55 189. 【中】（四川省资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学） 在 O⊙ 中， AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D ，连结 CD. （1）如图 5 1− ，若点 D 与圆心 O 重合， 2AC = ，求 O⊙ 的半径 r ； （2）如图 5 2− ，若点 D 与圆心 O 不重合， 25BAC =∠ °，请直接写出 DCA∠ 的度数 . 【答案】： （1）如图，过点 O 作 OE ⊥ AC 于 E ， 则 AE = 1 1 2 12 2AC = × = E D C BA A O C BD D B O CA62 /101 ∵翻折后点 D 与圆心 O 重合， ∴ OE = 1 2 r 在 Rt ADE△ 中， 2 2 2AO AE OE= + ， 即 2 2 2 11 2r r = +    解得： 2 3 3 r = （2）连接 BC， ∵ AB 是直径， ∴∠ ACB =90° ， ∵∠ BAC =25° ， ∴∠ B =90°-∠ BAC =90°-25°=65° ， 根据翻折的性质， AC 所对的圆周角等于 AD Ｃ所对的圆周角， ∴∠ DCA =∠ B -∠ A =65°-25°=40° ． 190. 【中】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（温州市卷））如图， AB 为 O⊙ 的直径， 点 C 在 O⊙ 上，延长 BC 至点 D ，使 DC CB= ，延长 DA 与 O⊙ 的另一个交点为 E ， 连结 AC， CE． （1）求证： B D∠ = ∠ ； （2）若 4AB = ， 2BC AC− = ，求CE 的长． 【答案】证明：⑴ ∵ AB 是 O⊙ 直径， ∴ 90ACB = °∠ ， ∴ AC BC⊥ ． ∵ CD CB= ， ∴ AD AB= ， ∴ B D=∠ ∠ ． ⑵ 设 BC x= ，则 2AC x= − ． 在 Rt ABC△ 中， 2 2 2AC BC AB+ = ， O C A B D E O C A B D E63 /101 ∴ ()2 2 22 4x x− + = ， 解得 1 1 7x = + ， 2 1 7x = − （舍去）． ∵ B E=∠ ∠ ， B D=∠ ∠ ， ∴ D E=∠ ∠ ， ∴ CD CE= ． ∵ CD CB= ， ∴ 1 7CE CB= = + ． 191. 【中】（江西省 2013 年中等学校招生考试数学试题卷）如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直尺 按要求画图． ⑴ 在图 1 中，画出 ABC△ 的三条高的交点； ⑵ 在图 2 中，画出 ABC△ 中 AB 边上的高． 【答案】在图 1 中，点 P 即为所求；在图 2 中，CD 即为所求． 192. 【中】(哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷 )如图，在 ABC△ 中，以 BC 为直径作 半圆 O ，交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ， AD AE= ． ⑴ 求证： AB AC= ； ⑵ 若 4BD = ， 2 5BO = ，求 AD 的长． 图2 C A BBA C 图1 D P 图1 C A B BA C 图2 A D B C E O O E CB D A64 /101 【答案】 ⑴证明：连接 CD、 BE， ∵ BC 为半圆 O 的直径， ∴ 90BDC CEB∠ =∠ =° ． ∴ 90ADC AEB∠ =∠ =° 又∵ AD AE= ， A A∠ = ∠ ， ∴ ADC AEB△ ≌△ ． ∴ AB AC= ． ⑵解：连接 OD， ∵ OD OB= ， ∴ OBD ODB∠ = ∠ ． ∵ AB AC= ， ∴ OBD ACB∠ = ∠ ， ∴ ODB ACB∠ = ∠ ． 又∵ OBD ABC∠ = ∠ ， ∴ OBD ABC△ ∽△ ． ∴ BD BO BC AB = ． ∵ 2 5BO = ，∴ 4 5BC = ． 又∵ 4BD = ， ∴ 4 2 5 4 5 AB = ． ∴ 10AB = ． ∴ 6AD AB BD= − = ． 2. 圆周角与圆心角 193. 【易】（密云县一模）如图， ABC△ 是 O⊙ 的内接三角形，若 70ABC∠ °＝ ，则 AOC∠ 的度数等于（ ） A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】A 194. 【易】（2011 年娄底）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，已知 55A∠ = ° ，则 BOC∠ = ________． O C B A65 /101 【答案】110° 195. 【易】（2011• 南京）如图，海边立有两座灯塔 A B、 ，暗礁分布在经过 A B、 两点的弓 形（弓形的弧是 O⊙ 的一部分）区域内， 80AOB∠ = ° ．为了避免触礁，轮船 P 与 A B、 的张角 APB∠ 的最大值为 ________． 【答案】40° 196. 【易】（2011 年广雅实验初三上期中）如图，已知 AB 为 O⊙ 的直径，点 C 在 O⊙ 上， 15C∠ = ° ，则 BOC∠ 的度数为（ ） A．15 ° B．30 ° C．45 ° D．60 ° 【答案】B 197. 【易】（2010 年丰台二模）如图，点 A B C， ， 都在 O⊙ 上，若 34C = °∠ ，则 AOB∠ 的度数为（ ） CB A O P O BA C B A O O C BA66 /101 A． 34 ° B． 56 ° C． 60 ° D． 68 ° 【答案】D 198. 【易】（2013 年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试）如图， A 、 B 、 C 是 O⊙ 上的三点， 100AOC∠ = ° ，则 ABC∠ 的度数为（ ） A． 30 ° B． 45 ° C． 50 ° D． 60 ° 【答案】C 199. 【易】（2013 山东滨州，4，3 分）如图，在 O⊙ 中圆心角 78BOC = °∠ ，则圆周角 BAC∠ 的大小为（ ） A．156 ° B． 78 ° C． 39 ° D．39 ° 【答案】 C. 200. 【易】（2013 年漳州市中考数学试卷）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，连接 OB、 OC，若OB BC= ，则 BAC∠ 等于（ ） A． 60 ° B． 45 ° C． 30 ° D． 20 ° 【答案】C 201. 【易】（2013 年常德市初中毕业学业考试数学试题卷）如图，已知 O⊙ 是 ABC△ 的外 接圆，若 100BOC∠ = ° ，则 BAC∠ = _______． C O A B O CB A A O B C67 /101 【答案】50 ° 202. 【易】（2013 年安顺市初中毕业生学业、升学招生考试数学科试题）如图， A 、 B 、 C 三点在 O⊙ 上，且 80AOB∠ = ° ，则 ACB∠ 等于（ ） A．100 ° B． 80 ° C． 50 ° D． 40 ° 【答案】D 203. 【易】（大兴区 2012 年度第一学期期末检测试卷）如图所示， A B C、 、 为 O⊙ 上的 三个点，若 °40=∠C ，则 ∠AOB 的度数为 __________ 【答案】80° 204. 【易】(娄度市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷 )如上右图，将直角三角板 60 ° 角 的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与 O⊙ 相交于 A B， 两点 , P 是优弧 AB 上 任意一点（与 A B， 不重合），则 APB∠ = ______． 【答案】30 ° CB A O O C BA68 /101 205. 【易】（2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试）如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处 出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转， CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，第 24 秒 时，点 E 在量角器上对应的读数是 ______ 度． 【答案】144 206. 【易】（北京市第一六六中学 2011 年度第一学期期中考试试卷）如图，在直径为 AB 的半圆中，O 为圆心，C D、 为半圆上的两点， 50COD∠ = ° ，则 CAD∠ = （ ） A． 50 ° B． 25 ° C．100 ° D． 75 ° 【答案】B 207. 【易】(鞍山市 2013 年毕业考试数学试卷 )已知：如图， OA，OB 是 O⊙ 的两条半径， 且 OA OB⊥ ，点C 在 O⊙ 上，则 ACB∠ 的度数为（ ） A． 45 ° B． 35 ° C． 25 ° D． 20 ° 【答案】A 208. 【易】（2009 广东肇庆中考）如图， O⊙ 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在 O⊙ 上， 则 APB∠ 等于（ ） C D A BO O B A C69 /101 A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 209. 【易】（2013 北京市房山初三数学综合练习一）如图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正 方形，点 P 是劣弧 CD 上不同于点 C 的任意一点，则∠ BPC 的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】A 210. 【易】（2011 年海淀区九年级第一学期期中练习）如图，点 O 为优弧 ABC 所在的圆 的圆心， 108AOC∠ = ° ，点 D 在 AB 的延长线上， BD BC= ，则 D∠ 的度数为（ ） A． 20 ° B． 27 ° C． 30 ° D．54 ° 【答案】B 211. 【易】(泰安市 2013 年初中学生学业考试 )如图，点 A 、 B 、 C 在 O⊙ 上， 32ABO = °∠ ， 38ACO = °∠ ，则 BOC∠ 等于 A． 60 ° B． 70 ° C．120 ° D．140 ° P O D C BA O C BA D OC B A70 /101 【答案】D 212. 【易】(2013 年无锡中考数学试题 )如图， A、 B 、 C 是 O⊙ 上的三点，且 70ABC∠ = ° ， 则 AOC∠ 的度数是（ ） A． 35 ° B．140 ° C． 70 ° D． 70 °或140 ° 【答案】B 213. 【易】（江苏省连云港市 2013 年中考数学试题）如图，△ABC 内接于 O⊙ ， 35ACB∠ = ° ，则 OAB∠ = ________． 【答案】55 ° 214. 【易】（2010 年延庆二模）如图， A B C， ， 是 O⊙ 上的三点， 2AB = ， 30ACB∠ = °， 那么 O⊙ 的半径等于（ ） A．1 B． 2 C． 4 D． 3 【答案】B 215. 【易】（2012 初三上期中）如图，弦 AB 的长等于 O⊙ 的半径，点C 在弧 AMB 上，则 C∠ 的度数是 ____________． O C B A O C B A71 /101 【答案】30° 216. 【易】（2011 湖北黄石中考）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 30B∠ = ° ， 3AC = ， 则 O⊙ 的直径为 ________. 【答案】 2 3 217. 【易】（海淀区 2011 期末）如图，在扇形 OAB 中， 90AOB∠ = ° ， C 为 OA 的中点， 点 D 在 AB 上，且 CD AB∥ ，则 ABD∠ = ____________. 【答案】30 ° 218. 【易】（枣庄市 2009 年全市高中段招生统一考试，天津耀华中学 2010 届初三第一次 月考）如图， AB 是圆 O 直径， 130AOC∠ = ，则 D∠ = （ ） A． 65 B． 25 C．15 D． 35 【答案】B C BA C B A O C B A D A O B C D72 /101 219. 【易】（北京师大附中 2011 年度第一学期期中考试）如图，已知 是 的直径， 为弦， ．过圆心作 交弧 于，连结 ，则 ________． 【答案】30 ° 220. 【易】（江苏省 2009 年中考数学试卷）如图， 是 的直径，弦 ．若 ，则 _________． 【答案】 25 ° 221. 【易】（2009 年天津市初中毕业生学业考试试卷）如图， ABC△ 内接于 ，若 28OAB∠ = ° ，则 C∠ 的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 222. 【易】（北京市西城区 2012 年第一学期期末试卷）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆， 若 40OCB∠ = ° ，则 A∠ = _________ ° ． AB O⊙ BC 30ABC = °△ O OD BC⊥ BC D DC DCB∠ = AB O⊙ CD AB∥ 65ABD∠ = ° ADC∠ = O DC BA O⊙ O C BA 28 ° 56 ° 60 ° 62 ° B O C A 5题 CD AB O73 /101 【答案】50 223. 【易】（2011 年哈尔滨中考）如图， BC 是 O⊙ 的弦，圆周角 50BAC∠ = ° ，则 OCB∠ 的度数是 _________ 度 【答案】40 224. 【易】（2012 届九年级第一模拟试题）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，已知 30ABO∠ = ° ，则 ACB∠ 的大小为（ ） A．60º B．30º C．45º D．50º 【答案】A 225. 【易】（首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试）如图，过 O⊙ 上一点 C 作 O⊙ 的切线，交 O⊙ 直径 AB 的延长线于点 D ，若 40D∠ = ° ，则 A∠ 的度数为 （ ） A． 20 ° B． 25 ° C． 30 ° D． 40 ° 【答案】B 226. 【易】（北京市东城区 2013 学年第二学期初三数学综合练习一）如图， AB 与⊙ O 相 切于点 B ， AO 的延长线交⊙ O 于点 C ，连结 BC，若 ，则∠ C 等于 （ ） A.15 ° B.30 ° C. 45 ° D. 60 ° B O C A 1 2OC OA= A O BC74 /101 【答案】B 227. 【易】（北京市第十三中学 2011 九年级数学期中）如图，C 为 AB 上一点，且 118AOB = °∠ ，则 C =∠ （ ） A．118 ° B．121 ° C．123 ° D．125 ° 【答案】B 228. 【易】（北京市朝阳外国语学校 2012 年第二学期期中校考初二数学 A 层 B2 层试卷 ) 如图，四边形 ABCD 内接于 O⊙ ，若 160BOD∠ = ° ，则 BCD∠ 的度数等于（ ） A．160 ° B．100 ° C． 80 ° D． 20 ° 【答案】B 229. 【易】(2013 年山东莱莱芜市中考试题 )如图，在 O⊙ 中，已知 22.5OAB = °∠ ，则 C∠ 的度数为（ ） A．135 ° B．122.5 ° C．115.5 ° D．112.5 ° 【答案】D O C B A CB A D O O C BA75 /101 230. 【易】（2011 年四川雅安中考）已知 ABC△ 的外接圆 O 的半径为 3， 4AC = ，则 sin B = （ ） A． 3 1 B． 4 3 C． 5 4 D． 3 2 【答案】D 231. 【易】（湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷）如图， O⊙ 的直径 AB ⊥弦 CD，且 40BAC∠ = ° ，则 BOD∠ = ______. 【答案】80 ° 232. 【易】（天津耀华中学 2009 年第一学期九年级第二次月考）如图， A B C D、、、 是 O⊙ 上的四点，OA BC⊥ ， 50AOB∠ = ° ，则 ADC∠ 的度数是（ ） A．50 B．30 C． 25 D．20 【答案】C 233. 【易】如图， AB 为 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ ， E 为 AD 上一点，若 70BOC = °∠ ，则 BED∠ 的度数为 ________。 C B A O O DC B A O C B A D76 /101 【答案】35 ° 234. 【易】（朝阳区 2012 年九年级第一学期期末统一考试）如图， O⊙ 的半径 OC 垂直于 弦 AB， D 是优弧 AB 上的一点（不与点 A B、 重合），若 50AOC∠ = ° ，则 CDB∠ 等 于（ ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 235. 【易】（2013 年北京市门头沟区初三年级数学试卷第一次统一练习）如图， OA 是⊙ O 的半径，弦 BC ⊥ OA， D 是⊙ O 上一点，若∠ ADC =26 º，则∠ AOB 的度数为 （ ） A．13 º B．26 º C．52 º D．78 º 【答案】C 236. 【易】（2011 年度第一学期期中考试）如图， AB 为 O⊙ 的直径，弦CD AB⊥ ， E 为 BC 上一点，若 28CEA∠ = ° ，则 ABD∠ = ___________ ° ． O E DC B A BA C O D O D CB A77 /101 【答案】28 237. 【易】（延庆县 2010 年毕业考试试卷）在 O⊙ 中， OD AB⊥ 弦 ，垂足为 C ， 32DEB∠ = °，则 AOD∠ = __________ 度， A∠ = __________ 度． 【答案】64 ，26 238. 【易】（2009 年山西省中考）如图所示， 、 、 、 是圆上的点， 则 D∠ = ___________ 度． 【答案】30 239. 【易】（房山区一模）如图， O⊙ 是等边三角形 ABC 的外接圆 ,点 P 在劣弧 AB 上, 22ABP∠ = ° ，则 BCP∠ 的度数为 _____________. 【答案】38 ° O E D C BA O E D C BA A B C D 170 40A∠= ∠=°， °， P O C BA A B C D 1 78 /101 240. 【易】（2009 年铁岭市初中毕业生学业考试）如图所示， AB 为 O⊙ 的直径， P 点为 其半圆上一点， 40POA C∠ = ° ， 为另一半圆上任意一点（不含 A B、 ），则 PCB∠ = _________ 度． 【答案】70 241. 【易】（2011 湖北咸宁市中考）如图，梯形 ABCD 内接于 O⊙ ， AD BC∥ ， °=∠ 49DAB，则 AOC∠ 的度数为 _________． 【答案】 °98 242. 【易】（北京景山学校 2012-2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ， 120BAC = °∠ ， 4AB AC= = ，则 O⊙ 的直径 = _______． 【答案】8 243. 【易】（北京市 2013 年朝阳区九年级数学综合练习一）如图， AB 为⊙ O 的弦，半径 OC ⊥ AB 于点 D ， AB = 32 ，∠ B =30° ，则△ AOC 的周长为 ______. B P C O A O D C B A C B A O79 /101 【答案】 6 244. 【易】（北京市第八十中学 2011 年第一学期初三）若 ABC△ 内接于 O⊙ ， O⊙ 半径 为 6cm ， 6 3cmBC = ，则 A∠ = _________． 【答案】60 °或120 ° 245. 【易】（2012 年丰台一模）如图 , O⊙ 的半径为 2，点 A 为 O⊙ 上一点，OD ⊥ 弦 BC 于点 D ，如果 1OD = ，那么 BAC∠ = ________ ° ． 【答案】60 246. 【易】（海淀区九年级第二学期期中测评，延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷）如图， O⊙ 的半径为 2，点 A为 O⊙ 上一点，OD ⊥ 弦 BC 于点 D ， 1OD = ，则 BAC∠ = ________ ° ． 【答案】60 247. 【易】（2011 湖南永州）如图，在 O⊙ 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E ，连接 ,OB CB ， 已知 O⊙ 的半径为 2， 2 3AB = ,则 BCD∠ = ________ 度． 【答案】30 248. 【易】（2010 年石景山二模）已知：如图，在 O⊙ 中，弦． 6cmAB = ，圆周角 60ACB∠ = ° ，则 O⊙ 的直径为 _______ cm ． O D CB A O D CB A O E C BA80 /101 【答案】 4 3 249. 【易】（2011 年大兴区二模）如图， O⊙ 的半径为 6，点 A B C、 、 在 O⊙ 上，且 45ACB∠ = ° ， 则弦 AB 的长是 ________. 【答案】6 2 250. 【易】（眉山市 2009 年中考）如图， AB CD、 是 O⊙ 的两条互相垂直的弦，圆心角 130AOC∠ = ° ， AD CB、 的延长线相交于 P ， P∠ = ________ ° 【答案】40 ° 251. 【易】（新疆乌鲁木齐市 2009 年高中招生考试数学试卷）如图，点C D、 在以 为 直径的 O⊙ 上，且CD 平分 ACB∠ ，若 2 15AB CBA=∠ =°， ，则CD 的长为___________． 【答案】 C B A O C B A O C B A O P D AB O D C B A 381 /101 252. 【易】（2013 年临沂市初中学生学业考试试题）如图，在 O⊙ 中， 45CBO∠ = ° ， 15CAO∠ = ° ，则 AOB∠ 的度数是（ ） A． 75 ° B． 60 ° C． 45 ° D．30 ° 【答案】B 253. 【易】(2013 年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题 )图中圆心角 30AOB∠ = ° ，弦 CA OB∥ ，延长 CO 与圆交于点 D ，则 BOD∠ = ________． 【答案】30 ° 254. 【易】（巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图 4，已知 O⊙ 是 ABD△ 的外接圆，AB 是 O⊙ 的直径，CD 是 O⊙ 的弦， 58ABD =∠ °，则 BCD∠ 等 于（ ） A．116 ° B． 32 ° C． 58 ° D． 64 ° 【答案】B 255. 【易】（2013 年天津市初中毕业生学业数学考试试卷） 如图， PA PB、 分别切 O⊙ 于点 A B、 ，若 70P =∠ °，则 C∠ 的大小为 ______（度）. O C B A O DC B A D C B A O82 /101 【答案】55 256. 【中】（北京二中分校 2011 学年度第一学期初三期中）如图 是 的直径， 是 上一点， ，垂足为 分别是 上一点（不与端点重 合），如果 ，下面结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③⑤ C．④⑤ D．①②⑤ 【答案】B 257. 【中】（北京二中分校 2011 年第一学期初三期中）一条弦分圆为 1:5 两部分，则这条 弦所对圆周角的度数为 _______________． 【答案】30 ° 或150 ° 258. 【中】（成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷）已知 BC 是半径为 2cm 的 圆内的一条弦，点 A 为圆上除点 B C， 外任意一点，若 2 3cmBC = ，则 BAC∠ 的 度数为 __________． 【答案】 60 ° 或120 ° 259. 【中】（2011 年天津市初中毕业生学业考试试卷）如图， AD， AC 分别是 O⊙ 的直 径和弦．且 30CAD∠ = ° ．OB AD⊥ ，交 AC 于点 B ．若 5OB = ，则 BC 的长等于 _________． O P C B A AB O⊙ M O⊙ MN AB⊥ N P Q， 、 AM BM、 MNP MNQ∠ = ∠ 1 2∠ = ∠ 180P Q∠ +∠ =∠ ° Q PMN∠ = ∠ PM QM= 2MN PN QN= ⋅ 21 O Q P N M BA O D C B A83 /101 【答案】5 260. 【中】如图， AB 是 O⊙ 的一条弦，点 C 是 O⊙ 上一动点，且 30ACB∠ = ° ，点 E 、 F 分别是 AC、 BC 的中点，直线 EF 与 O⊙ 交于 G 、 H 两点．若 O⊙ 的半径为 7，则 GE FH+ 的最大值为 ________． 【答案】10.5 261. 【中】（2011 年连云港中考）如图，点 D 为 AC 上一点，点O 为边 AB 上一点， AD DO= ．以O 为圆心，OD 长为半径作圆，交 AC 于另一点 E ，交 AB 于点 F G， ， 连接 EF．若 22BAC∠ = ° ，则 EFG∠ = ________． ( ) () () 0 1 2 1 3 33 .2 2 EFG A FEA A DOF A A ADDO A ∠ =∠ +∠ ∠ + ∠ ∠+∠ = =∠= = = ∵ 【答案】 三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和 圆周角等于同弧所对圆心角的一半 262. 【中】（朝阳区 2012 年九年级第一学期期末统一考试）如图，CD 与 AB 是 O⊙ 内两 条相交的弦，且 AB 为 O⊙ 的直径，CE AB⊥ 于点 E ， 5CE = ，连接 AC BD、 . ⑴若 13 5sin =D ，则 cos A = __________ ⑵在⑴的条件下，求 BE 的长． 【答案】⑴ 13 12 . ⑵解：如图，连接 BC. O HG F E C BA BG CE OF D A O E D C BA84 /101 ∵ AB 为 O⊙ 的直径，∴ 90 .ACB∠ = ° ∴由⑴知 13AC = ， 12=AE， 13 12cos =A . 在 Rt ACB△ 中， AB ACA =cos ， ∴ 12 169=AB. ∴ 12 25=−= AEABBE. 263. 【中】（2011 长沙中考）如图，在 O⊙ 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P ， 40CAB∠ = ° ， 65APD∠ = ° 。 ⑴求 B∠ 的大小： ⑵已知圆心 O BD到 的距离为 3，求 AD 的长。 【答案】⑴ 25 ° ；⑵ 2 6AD OE= = 264. 【中】（2012 年第一学期终结性检测试卷）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，点 E 是 O⊙ 外 一点， .EO BC D⊥ 于点 求证： 1 E∠ = ∠ . 【答案】证明：延长 CO 交 O⊙ 于点 F ，联结 .AF O E D C BA P O D C B A 1O E DCB A85 /101 ∵ CF 是直径 ∴ 90FAC∠ = ° ，∴ 1 90F∠ +∠= ° ∵ EO BC⊥ ，∴ 90EDB∠ = ° ∴ 90B E∠ +∠ = ° ∵ F B∠ = ∠ ∴ 1 E∠ = ∠ 265. 【中】（2009 年广州中考）如图 10 ，在 O⊙ 中， 60ACB BDC∠ =∠ =° ， 2 3AC cm= ． ⑴求 BAC∠ 的度数； ⑵求 的周长． 【答案】⑴∵ ， ∴ ． ⑵∵ ， ∴ ． ∴ 是等边三角形． 求 的半径给出以下四种方法： 方法 1：连结 并延长交 于点 （如图 1）． O 1 D CB A E F O⊙ BC BC= 60BAC BDC∠ =∠ = ° 60BAC ACB∠ =∠ = ° 60ABC∠ = ° ABC△ O AOBC E O A D C B E E A O D C B 86 /101 ∵ 是等边三角形， ∴圆心 既是 的外心又是重心，还是垂心． 在 中 ， ∴ ． ∴ 2 23AO AE cm= = ，即O 的半径为 2cm ． 方法 2：连结 ，作 交 于点（如图 2） ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ 中， ． 在 中， ， ∴ 即 ． ∴ ，即 的半径为 2cm ． 方法 3：连结 ，作 交 于点（如图 2）． ∵O 是等边三角形 的外心，也是 的角平分线的交点， ∴ ． 在 中， 即 ． ∴ ． ∴ ，即 O 的半径为 2cm ． 方法 4：连结 ，作 交 于点（如图 2）． ∵O 是等边三角形的外心，也是 的角平分线的交点， ABC△ O ABC△ Rt AEC△ 2 3cm 3cmAC CE= =， 2 2 3cmAE AC CE= − = OC OA、 OE AC⊥ AC E OA OC= OE AC⊥ CE EA= 1 1 2 3 3cm2 2AE AC= =× = 2 120AOC ABC OE AC∠ =∠ = °， ⊥ Rt AOE△ 60AOE∠ = ° Rt AOE△ sin AEAOEOA ∠ = sin 60 AE OA =° ， 3 3 2 OA = 2cmOA = O OC OA、 OE AC⊥ AC E ABCABC△ 1 130 2 3 3cm2 2OAE AE AC∠= = =×=°， Rt AEO△ cos AEOAEOA ∠ = ， 3cos30 OA =° 3 3 2 OA = 2cmOA = OC OA、 OE AC⊥ AC E ABC△ O A D C B E E E 87 /101 ∴ ． 在 中，设 ，则 ， ∵ ， ∴ ． 解得 ． ∴ ，即 O 的半径为 2cm ． ∴ O 的周长为 ，即 ． 266. 【中】（2011 年南昌中考）如图，已知 O⊙ 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A为弦 BC 所对优弧上任意一点（ B C， 两点除外）. ⑴求 BAC∠ 的度数； ⑵求 ABC△ 面积的最大值 . （参考数据： 3sin 60 2 ° = ， 3cos30 2 ° = ， 3tan 30 3 ° = ） 【答案】解：⑴ 解法一 连接 OB OC， ，过 O 作 OE BC⊥ 于点 E . ∵ OE BC⊥ ， 2 3BC = ， ∴ 3BE EC= = . 在 Rt OBE△ 中， 2OB = ， ∵ 3sin 2 BEBOEOB ∠ = = ， ∴ 60BOE∠ = , ∴ 120BOC∠ = ， ∴ 1 602BAC BOC∠ =∠ = 解法二： 连接 BO 并延长，交 O⊙ 于点 D ，连接 CD. ∵ BD 是直径，∴ 4BD = ， 90DCB∠ = . 1 130 2 3 3cm2 2OAE AE AC∠= = =×=°， Rt AEO△ cmOE x= 2 cmOA x= 2 2 2AE OE OA+ = 2 2 2(3) (2)x x+ = 1x = 2cmOA = 2πr 4πcm O E CB A A B C O D 88 /101 在 Rt DBC△ 中， 2 3 3sin 4 2 BCBDCBD ∠ = = = , ∴ 60BDC∠ = ，∴ 60BAC BDC∠ =∠ = . ⑵ 解法一 因为 ABC△ 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时， ABC△ 的面积 最大，此时点 A落在优弧 BC 的中点处 . 过 O 作OE BC⊥ 于 E ，延长 EO 交 O⊙ 于点 A，则 A为优弧 BC 的中点 .连接 AB AC， ， 则 AB AC= ， 1 302BAE BAC∠ =∠ = . 在 Rt ABE△ 中，∵ 3, 30BE BAE= ∠ = ， ∴ 3 3tan 30 3 3 BEAE = = =° ， ∴ 1 23 3 33 2ABCS =× ×=△ . 答： ABC△ 面积的最大值是 3 3 . 解法二： 因为 ABC△ 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时， ABC△ 的面积 最大，此时点 A落在优弧 BC 的中点处 . 过 O 作OE BC⊥ 于 E ，延长 EO 交 O⊙ 于点 A，则 A为优弧 BC 的中点 .连接 AB AC， ，则 AB AC= . ∵ 60BAC∠ = ° , ∴ ABC△ 是等边三角形 . 在 Rt ABE△ 中，∵ 3, 30BE BAE= ∠ = ， ∴ 3 3tan 30 3 3 BEAE = = =° ， ∴ 1 23 3 33 2ABCS =× ×=△ . 答： ABC△ 面积的最大值是 3 3 . 267. 【中】（天津塘沽 2011 年初三年级总复习质量检测（二）数学学科试卷）有两张正方 形纸片，按下列要求完成作（画）图：（要求保留画图痕迹） ⑴ 请在图①的正方形 ABCD 内，画出使 90APB∠ = ° 的一个．．点 P ； A B C O E 89 /101 ⑵ 请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使 60APB∠ = ° 的所有．．的点 P ，并简述 画图的过程及理由： 【答案】⑴对角线交点即可，其它满足题目要求的均可得分； ⑵分别以 A B、 为圆心， AD 为半径画弧，相交于正方形内一点 M ，则 ABM 可构成一正三角形；分别作 AB AM、 的垂直平分线，相交于 O 点，则O 为 ABM∆ 的外心，做出 ABM∆ 外接圆，则外接圆上所有点 N 都满足 60ANB AMB∠ =∠ =° ． 268. 【中】（天津耀华嘉诚 2008 年第一学期九年级第二次月考）如图，已知 1O⊙ 经过 2O⊙ 的圆心 2O ，且与 2O⊙ 相交于 A B， 两点，点C 为弧 2AO B 上的一个动点（不与 A B， 重合），连接 AC 并延长交 2O⊙ 于点 P ，连接 BP BC、 ，则图中大小没有变化的 角有（ ）个 A．2 B． 3 C．4 D．5 【答案】C 269. 【中】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）已知：如图 ABC△ 内接于 O⊙ ， BD ⊥半径 AD 于 D ． 4.8BD = ， 4sin 5C = ，则 O⊙ 的半径为 ______． 【答案】5 O1 O2 P CB A O D C B A90 /101 270. 【中】（成都市 2009 年中考）如图， A B C、 、 是 O⊙ 上的三点，以 BC 为一边，作 CBD ABC∠ = ∠ ，过 BC 上一点 P ，作 PE AB∥ 交 BD 于点 E ．若 60AOC∠ = ° ， 3BE = ，则点 P 到弦 AB 的距离为 _______． 【答案】 3 3 2 271. 【难】（2009 年四川省内江市会考试卷）如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E F， 在 AC 上， ． 求证：⑴ ；⑵ ． 【答案】⑴∵ AB AD= ∴ AB AD ADB ABD= ∠ =∠弧 弧 ， ∴ ACB ADB ABD ACD∠ =∠ =∠ =∠ ∴ 90 0.5 90ADB BAD DFC∠ = °− ∠ = °−∠ ∴ 90ADB DFC∠ +∠ =° ∴ CD DF⊥ ⑵过 F 做 FG 垂直 BC ACB ADB BFC BAD∠ =∠ ∠ =∠∵ ，又 ∴ FBC ABD ADB ACB∠ =∠ =∠ =∠ ，则 FB FC= ∴ G 为 BC 中点， 1 2GFC BAD DFC∠ =∠ =∠ FGC DFC SAS△ ≌△ （ ） ∴ 1 2CD GC BC= = ， 2BC CD= 3. 圆周角与直径 B E D O C P A 2AB AD BFC BAD DFC= ∠ =∠ =∠， CD DF⊥ 2BC CD= A D C B E F 91 /101 272. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图， AB 是 O⊙ 的直径，点C 在 O⊙ 上，则 ACB∠ 的度数为（ ） A．30 B． 45 C． 60 D．90 【答案】D 273. 【易】（2009 年长春市初中毕业生学业考试数学试题）如图，点 C 在以 AB 为直径的 O⊙ 上， 10AB = ， 30A∠ = ° ，则 BC 的长为 ____________. 【答案】5 274. 【易】（2013 江苏省南通市中考数学试题）如图， O⊙ 的直径 4AB = ，点 C 在 O⊙ 上， 30ABC∠ = ° ，则 AC 的长是（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】D 275. 【易】(2013 年山东省青岛市初级中学学业水平考试)如图， AB 是 O⊙ 直径，弦 2AB = ， 30ABC = °∠ ，则图中阴影部分的面积是 _______． C BA C BA O C BA O BA C92 /101 【答案】 3 2 276. 【易】（2012 顺义一模）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的 尺子 OA OB、 在 O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把 O 点靠在圆 周上，读得刻度 4OE = 个单位， 3OF = 个单位，则圆的直径为（ ） A．7 个单位 B．6 个单位 C．5 个单位 D．4 个单位 【答案】C 277. 【易】（2009 年台湾第一次中考数学科试题） AB 是一圆的直径， C ， D 是圆周上的 两点。已知 7AC = ， BC =24 ， AD =15 ， BD =（ ） A．16 B．20 C． D． 【答案】B 278. 【易】（北京师大附中 2011 年第一学期期中考试）如图 O⊙ 的直径 CD 过弦 EF 的中 点 G ， 40EOD∠ = ° ，则 DCF∠ 等于（ ） A． 80 ° B． 50 ° C． 40 ° D． 20 ° 【答案】D 279. 【易】（郑州市 2011 年中考数学中招模拟考试）．如图， AB 为 O⊙ 的直径， AB 经 过弦 CD 的中点 E , 150BOC∠ = ° ，则 ABD∠ = __________（度）． F EO x y 8 35 5 56 D FE G O C93 /101 【答案】15 280. 【易】（2009 年朝阳二模）如图，在 O⊙ 中，直径 AB CD H⊥ 弦 于点 ， E O⊙是 上的 点，若 25BEC∠ = ° ，则 BAD∠ 的度数为（ ） A．65° B．50° C．25° D．12.5° 【答案】C 281. 【易】（2011 福建三明市中考）如图， AB 是 O⊙ 的直径，C D， 两点在 O⊙ 上，若 40C∠ = ° ，则 ABD∠ 的度数为（ ） A．40° B．50° C．80° D．90° 【答案】B 282. 【易】（怀柔区 2012 学年度第一学期期末九年级教学质量检测）如图， A D、 是 O⊙ 上的两个点， BC 是直径，若 35D∠ = ° ，则 OAC∠ 的度数是（ ） A．35° B．55° C．65° D．70° D E C B A O H O E DC B A D C BA O94 /101 【答案】B 283. 【易】（2010 年平谷二模）已知，如图， AB 是 O⊙ 的直径，点 D ，C 在 O⊙ 上，联 结 AD、 BD、 DC、 AC，如果 25BAD∠ = °，那么 C∠ 的度数是（ ） A． 75 ° B． 65 ° C． 60 ° D．50 ° 【答案】B 284. 【易】（2011 年昌平二模）如图， AB 是 O⊙ 的直径，C D、 是 O⊙ 上的两点，若 70ABC∠ = ° ，则 BDC∠ 的度数为（ ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 285. 【易】（2011 年河南省重点中学六校调研中考数学一模试卷）如图， BD 是 O⊙ 的直 径， 30A∠ = ° ，则 CBD∠ = ________ 度． 【答案】60 O D CB A O D C B A O D C BA OD C B A95 /101 286. 【易】（2012.5 密云）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ， AB 是 O⊙ 的直径，点 D 是 CAB 上 一点，若 20ABC∠ = ° ，则 D∠ 的度数是 ______． 【答案】70 287. 【易】（昌平区一模）如图，已知， AB 是⊙O 的直径，点C D， 在 O⊙ 上， 50ABC∠ = ° ，则 D∠ 为（ ） A．50° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 288. 【易】（顺义区一模）如图， ABC△ 内接于圆 O ， 50A = ∠ ， =60ABC∠ ° ， BD 是 圆O的直径， BD 交 AC 于点 E ，连结 DC，则 BEC∠ 等于（ ） A．50 ° B． 60 ° C． 70 ° D．110 ° 【答案】C 289. 【易】（2013 年珠海市初中毕业生学业考试数学）如图，平行四边形 ABCD 的顶点 A、 B 、 D 在 O⊙ 上，顶点 C 在 O⊙ 的直径 BE 上， 54ADC∠ = ° ，连接 AE，则 AEB∠ 的 度数为（ ） A．36 ° B． 46 ° C． 27 ° D．63 ° O D C B A O D C BA E A B C D O 96 /101 【答案】A 290. 【易】（平谷区 2012 年第一学期末考试试卷） 如图， AB 是 O⊙ 的直径，CD 是 O⊙ 的弦，如果 52DAB∠ = ° ，那么 ACD∠ = ________°． 【答案】38 ° 291. 【易】（成都市 2009 年中考）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ， AB BC= ， 120ABC∠ = ° ， AD 为 O⊙ 的直径， 6AD = ，那么 BD = _________． 【答案】3 3 292. 【易】（2013 年辽宁省沈阳市中考数学试卷）如图，点 A、 B 、C 、 D 都在 O⊙ 上， 90ABC∠ = ° 3AD = ， 2CD = ，则 O⊙ 的直径的长是 _______． 【答案】 13 O D C BA O D C B A97 /101 293. 【易】（常州市 2013 年初中毕业、升学统一文化考试数学试题）如图， ABC△ 内接 于 O⊙ ， 120BAC∠ = ° ， AB AC= ，BD 为 O⊙ 的直径， 6AD = ，则 DC =________． 【答案】 2 3 294. 【中】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷））如图， O⊙ 的半径 OD ⊥ 弦 AB 于点 C ，连结 AO 并延长交 O⊙ 于点 E ，连结 EC．若 8AB = ， 2CD = ，则 EC 的长 为（ ） A 2 15 B8 C 2 10 D 2 13 【答案】D 295. 【中】（2010 年成都中考） 如图，在 ABC△ 中， AB 为 O⊙ 的直径， 60 70B C∠= °∠ = °， ，则 BOD∠ 的度数是 _____________ 度． 【答案】100 296. 【中】（北京汇文中学 2011 年度初三数学）如图，已知 O⊙ 的半径为 5，锐角 ABC△ 内接于 O⊙ ， BD AC⊥ 于点 D ， 8AB = ，则 tan CBD∠ 的值等于（ ） O D CB A O E D C BA O D C B A98 /101 A． 4 3 B． 4 5 C． 3 5 D． 3 4 【答案】D 297. 【中】（2009 大兴一模）已知：如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，点 D 是 AB 边的中点，且 90BAC DCB∠ +∠ =° . ⑴试判断 ABC△ 的形状并证明； ⑵当 AB 经过圆心 O 时，试判断 ABC△ 的形状并证明． 【答案】⑴当 AB 不过圆心 O 时， ABC△ 为等腰三角形 证明：延长 CD 交 O⊙ 于点 E ， ∵ 90BAC DCB∠ +∠ =° ， ∴弧CB 与弧 BE 的度数之和等于 180 °. ∴CE O⊙为 的直径 . ∵点 D AB是 的中点， ∴ CE AB⊥ 于点 D . ∴ AC BC= . ∴ ABC△ 为等腰三角形 ⑵当 AB 经过圆心 O 时， ABC△ 为等腰直角三角形 . 证明：同⑴可证 ABC△ 为等腰直角三角形， 又∵ AB 经过圆心，即 AB 为 O⊙ 的直径， ∴ 90ACB∠ = ° . O BA D C O D CB A OD CB A E99 /101 ∴ ABC△ 为等腰直角三角形 298. 【中】（房山区一模）已知：如图，在 ABC△ 中， AB AC= ，以 AB 为直径的⊙O 分 别交 BC AC、 于点 D E、 ，联结 EB 交 OD 于点 F ． ⑴求证：OD BE⊥ ； ⑵若 5DE = ， 5AB = ，求 AE 的长． 【答案】⑴联结 AD ∵ AB O⊙是 的直径，∴ 90ADB AEB∠ =∠ =° ∵ AB AC= ，∴CD BD= ∵ OA OB= ，∴OD AC∥ ∴ OD BE⊥ ⑵方法一：∵ 90CEB AEB∠ =∠ =° ， CD BD= ， 5AB = ， 5DE = ∴ 5AC AB= = ， 2 2 5BC DE= = , 在 ABE BCE△ 、△ 中， 90CEB AEB∠ =∠ =° ，则有 2 2 2 2AB AE BC EC− = − 设 AE x= , 则 ( ) ()2 22 25 25 5x x−= −− 解得： 3x = ∴ 3AE = 方法二：∵OD BE⊥ ，∴ BD DE BF EF= =， 设 AE x= ,∴ 1 2OF x= ，在 OBF BDF△ 、△ 中， 90OFB BFD∠ =∠ =° ∴ 2 2 2 2BD DF OB OF− = − F E O D C BA F E O D C BA100 /101 ∵ 5DE = ， 5AB = ， ∴ () 2 2 22 51 5 15 22 2 2x x −− = −   解得： 3x = ， ∴ 3AE = 方法三：∵ BE AC AD BC⊥ ⊥， , ∴ 1 1· ·2 2ABCS BC AD AC BE= =△ , ∴ · ·BC AD ACBE= ∵ 2 2 5BC DE= = ， 5AC AB= = ∴ 4BE = ， ∴ 3AE = 299. 【难】（成都市二 ○一三年高中阶段教育学校统一招生考试）如图， A B C， ， ，为 O⊙ 上相邻的三个 n 等分点， AB BC= ，点 E 在弧 BC 上， EF 为 O⊙ 的直径，将 O⊙ 沿 EF 折叠，使点 A 与 A′重合，连接 EB′， EC， EA′.设 EB b=′ ， EC c= ， EA p=′ . 先探究 b c p， ， 三者的数量关系：发现当 3n = 时， p b c= + .请继续探究 b c p， ， 三 者的数量关系： 当 4n = 时，. p = ._______；当 12n = 时， p = _______. （参考数据： 6 2sin15 cos75 4 −= =° ° ， 6 2cos15 sin75 4 += =° ° ） 【答案】 2b c± ， 2 3 1 2 2 b c −+ 或 或 6 2 2 b c − − 如解答图所示，连接 AB、 AC、 BC． 由题意，点 A、 B 、C 为圆上的 n 等分点， 101 /101 ∴ AB = BC，∠ ACB = 1 360 180 2 n n × = （度）， 在等腰 ABC△ 中，过顶点 B 作 BN ⊥ AC 于点 N ， 则 AC =2 CN =2 BC•cos ∠ ACB = 1802cos BCn ⋅ ， ∴ 1802cosAC BC n = ， 连接 AE、 BE，在 AE 上取一点 D ，使 ED EC= ，连接 CD． ∵∠ ABC =∠CED， ∴△ ABC 与 CED△ 为顶角相等的两个等腰三角形， ∴△ ABC ∽△ CED． ∴∠ ACB = DCE∠ ． ∵∠ ACB =∠ ACD +∠ BCD，∠ DCE =∠ BCE +∠ BCD， ∴∠ ACD =∠ BCE． 在 ACD△ 与 BCE△ 中， ∵ AC CD BC EC = , ACD BCE∠ = ∠ , ∴ ACD BCE△ ∽△ ∴ DA AC EB BC = , ∴ 1802cosACDA EB EBBC n =⋅= ⋅ . ∴ 1802cosEA ED DA EC EBn =+=+ ⋅ . 由折叠性质可知， p EA EA′= = ， b EB EB′= = ，c EC= ∴ 1802cosp c bn = + ⋅ . 当 4n = 时， 2cos45 2pc bc b=+ °⋅=+ ； 当 12n = 时， 6 22cos15 2pc bc b +=+ °⋅=+ . 故答案为： 2C b+ ， 6 2 2c b ++ .