初中数学复习试卷 圆的概念与性质


    1/101 圆的概念与性质圆的概念与性质圆的概念与性质圆的概念与性质 一、 概念 二、 垂径定理 三、 弧、弦、圆心角的关系 四、 圆周角 1. 圆周角 2. 圆周角与圆心角 3. 圆周角与直径 一、 概念 1. 【易】如果两条弦相等,那么( ) A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等 C.这两条弦的弦心距相等 D.以上答案都不对 【答案】D 2. 【易】(2010 北京 55 中九年级上月考)下列说法正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦 C.在同圆或等圆中,两条弦等则它们所对的弧等 D.垂直于弦的直径平分弦 【答案】D 3. 【易】下列判断中正确的是( ) A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【答案】C 4. 【易】(2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学)下列说法正确的是( ) A.平分弦的直径垂直于弦 B.半圆(或直径)所对的圆周角是直角 C.相等的圆心角所对的弧相等 D.若两个圆有公共点,则这两个圆相交 【答案】B 5. 【易】(2011 年广州铁一中初三上期中)下列命题:①圆既是轴对称图形又是中心对 称图形;②平分弦的直径垂直于弦;③相等的圆心角所对的弧相等。其中真命题有 ( )个 2/101 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 6. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)下列命题中,正确 的是( ) ① 顶点在圆周上的角是圆周角;② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ③ 90 的圆周角所对的弦是直径;④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆; ⑤ 同弧所对的圆周角相等 A.①②③ B.③④⑤ C.①②⑤ D.②④⑤ 【答案】B 7. 【易】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)下列命题:⑴ 半圆是中心对称图 形;⑵ 相等的圆心角所对弧相等;⑶ 平分弦的直径垂直于弦;⑷ 圆内两条非直径的 相交弦不能互相平分,其中正确的有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 【答案】C 8. 【易】(青羊区 2012 年下学期期末测评)下列命题中正确的有( )个 ⑴ 平分弦的直径垂直于弦 ⑵ 经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 ⑶ 在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半 ⑷ 平面内三点确定一个圆 ⑸ 三角形的外心到各个顶点的距离相等 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】A 9. 【易】(北京市第 56 中学 2011 年第一学期期中初三)下列命题中错误的命题有 ( ) ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心;⑵ 平分弦的直径垂直于弦;⑶ 梯形的对角线互相平分; ⑷ 圆的对称轴是直径. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 10. 【易】(2013 年安徽省初中毕业学业考试数学)如图,点 P 是等边三角形 ABC 外接 圆 O⊙ 上的点,在以下判 断中,不正确的是( ) A.当弦 PB 最长时, APC△ 是等腰三角形 B.当 APC△ 是等腰三角形时, PO AC⊥ C.当 PO AC⊥ 时, 30ACP∠ = ° D.当 30ACP∠ = ° , PBC△ 是直角三角形 3/101 【答案】C 11. 【易】(2013 年杭州市各类高中招生文化考试)在一个圆中,给出下列命题,其中正 确的是( ) A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直 B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C. 若两条弦所在 直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点 D. 若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 【答案】C 12. 【易】(北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷)如图,如果 AB 为 O⊙ 直径,弦CD AB⊥ ,垂足为 E ,那么下列结论中错误的是( ) A.CE DE= B. BC BD= C. BAC BAD=∠ ∠ D. AC AD> 【答案】D 13. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )如图,在平面直角坐标系中,点 A B, 的坐标分别为 ()6 0− , 、()0 8, .以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧,交 x 正 半轴于点 C ,则点 C 的坐标为 _____. 【答案】()4 0, O E D C BA4/101 14. 【中】(2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试)如图, ABC△ 是 O⊙ 内接 正三角形,将 ABC△ 绕 O 点顺时针旋转 30 ° 得到 DEF△ , DE 分别交 AB, AC 于点 M , N , DF 交 AC 于点 Q ,则有以下结论: ① 30DQN∠ = ° ; ② DNQ ANM△ ≌△ ; ③ DNQ△ 的周长等于 AC 的长; ④ NQ QC= . 其中正确的结论是 _____________.(把所有正确的结论的序号都填上) 【答案】①②③ 15. 【易】(2011 年天津南开区初中毕业生学业水平质量调查(二)) O⊙ 的内接多边形 周长为 3, O⊙ 的外切多边形周长为 3.4 ,则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 17 【答案】C 16. 【易】(2011 年天津南开区初中毕业生学业水平质量调查(二))如图,顺次连结圆 内接矩形各边的中点,得到菱形 ABCD,若 6BD = , 4DF = ,则菱形 ABCD 的边长为 ( ) A. 4 2 B.3 2 C.5 D.7 【答案】D 17. 【易】判断题: ⑴ 直径是弦 ( ) ⑵ 弦是直径 ( ) ⑶ 半圆是弧 ( ) ⑷ 弧是半圆 ( ) ⑸ 长度相等的两条弧是等弧 ( ) ⑹ 等弧的长度相等 ( ) A D M N E B F C Q O O FE D C B A5/101 ⑺ 两个劣弧之和等于半圆 ( ) ⑻ 半径相等的两个圆是等圆 ( ) ⑼ 两个半圆是等弧 ( ) ⑽ 圆的半径是 R ,则弦长的取值范围是大于 0 且不大于 2R ( ) 【答案】√;×;√;×;×;√;×;√;×;√. 18. 【易】(2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷) 如果从 O⊙ 内一点 P 到 O⊙ 上所有点的距离中,最大距离是 6,最小距离是 2,那么 O⊙ 的半径长是 _____________. 【答案】4 19. 【易】(2011 年徐州市中考)已知 O⊙ 的半径为 5,圆心 O 到直线 AB 的距离为 2,则 O⊙ 上有且只有 __________ 个点到直线 AB 的距离为 3. 【答案】3 20. 【易】(2009 年福建宁德中考)如图, AB 是 O⊙ 的直径, AC 是弦,若 32ACO∠ = ° , 则 COB∠ 的度数等于 __________. 【答案】64 ° 21. 【易】(2011 年广雅实验初三上期中)已知直线 : 2L y x= − ,点 ( )0 2A −, ,点 ( )2 0B , ,设点 P 为 L 上一点,试判断过 P A B、 、 三点能否作一个圆. 【答案】不能; P A B、 、 三点共线 22. 【中】(2013 年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试)如图,在 ABC△ 中, 90C∠ = ° , 60CAB∠ = ° ,按以下步骤作图: ①分别以 A , B 为圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径做弧,两弧相交于点 P 和 Q . ②作直线 PQ 交 AB 于点 D ,交 BC 于点 E ,连接 AE. 若 4CE = ,则 AE = ________. 【答案】8 O C BA E BD Q P A C6/101 23. 【中】在同圆中, CD 的度数小于 180 ° ,且 2AB CD= ,那么弦 AB 和弦 CD 的大小关 系为 ( ) A. AB CD> B. AB CD= C. AB CD< D.无法确定 【答案】D 考虑 CD 为劣弧, AB 为优弧的情形 . 24. 【中】(2009 年昌平二模)如图,将半径为 1 的圆形纸板,沿长、宽分别为 8 和 5 的 矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,则圆心所经过的路线长度是( ) A.13 B.26 C.13 π+ D. 26 2 π+ 【答案】D 25. 【中】(2009 年台湾第一次中考数学科试题) 如图,长方形 ABCD 中,以 A 为圆心, AD 长为半径画弧,交 AB 于 E 点。取 BC 的中 点为 F ,过 F 作一直线与 AB 平行,且交 DE 于G 点,求 AGF∠ = ( ) A.110 ° B.120 ° C.135 ° D.150 ° 【答案】D 26. 【中】(2013 年北京市模拟试卷)如图,已知 EF 是 O⊙ 的直径,把 A∠ 为 60 的直 角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线 EF 上,斜边 AB 与 O⊙ 交于点 P ,点 B 与 点O 重合.将三角板 ABC 沿OE 方向平移,使得点 B 与点 E 重合为止.设 POF x∠ = ° , 则 x 的取值范围是( ) A.30 60x≤ ≤ B.30 90x≤ ≤ G F E D C BA A C F O (B) E P 7/101 C.30 120x≤ ≤ D.60 120x≤ ≤ 【答案】A 27. 【中】(2009 年上海初三数学期中)如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正 方形的面积为 216 cm ,则该半圆的半径为( ) A.( )4 5 cm+ B.9cm C. 4 5 cm D.6 2 cm 【答案】C 28. 【中】(2011 年南昌中考)有一种用来画圆的工具板(如图所示),工具板长 21 cm , 上面依次排列着大小不等的五个圆(孔),其中最大圆的直径为 3cm ,其余圆的直径 从左到右依次递减 0.2 cm . 最大圆的左侧距工具板左侧边缘 1.5 cm ,最小圆的右侧距工 具板右侧边缘 1.5 cm ,相邻两圆的间距 d 均相等 . ⑴直接写出其余四个圆的直径长; ⑵求相邻两圆的间距 . 【答案】⑴ 其余四个圆的直径依次为: 2.8 cm , 2.6 cm , 2.4 cm , 2.2 cm ; ⑵ 依题意得, 4 1.5 1.5 3 2.8 2.6 2.4 2.2 21d ++++ + + + = , ∴ 4 16 21d + = ,∴ 5 4d = . 答:相邻两圆的间距为 5 4 cm. 29. 【中】(2013 年北京市海淀区九年级第二学期数学期中练习)( 2013 年北京市海淀区 九年级第二学期数学期中练习)如图 1 所示,圆上均匀分布着 11 个点 1 2 3 11, , , ,AAA A⋯ .从 A1起每隔 k 个点顺次连接,当再次与点 A1连接时,我们把所形成 的图形称为“ k +1阶正十一角星”,其中 1 8k≤ ≤ ( k 为正整数).例如,图 2 是“2 阶正十一角星”,那么 1 2 11A A A∠ +∠ + +∠ =⋯ ______ °;当 1 2 11A A A∠ +∠ + +∠ =⋯ 900 °时, k =______. 21 1.5 1.5 d 3 8/101 图 1 图 2 【答案】1260 ° ; 2 或7 30. 【中】(北京市怀柔区 2013 学年度初三一模数学试卷)如图是某太阳能热水器的实物 图和横断面示意图 ,已知真空集热管 AB 与支架 CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的 圆心 ,支架 CD 与水平面 AE 垂直 , AB =150cm, ∠ BAC =30° ,另一根辅助支架 DE =76cm, ∠CED =60°. 则水箱半径 OD 的长度为 _____cm. (结果保留根号) 【答案】150 -76 3 二、 垂径定理 31. 【易】(2013 年湖南省株洲中考数学题)如图 AB 是 O⊙ 的直径, 42BAC∠ = ° ,点 D 是弦 AC 的中点,则 DOC∠ 的度数是 ________ 度. 【答案】 48 ° 32. 【易】(2011 福建厦门中考)如图, O⊙ 的直径 CD 垂直于弦 AB,垂足为 E .若 6AB cm= ,则 AE = _______ cm . O E D C B A 42° O D C BA9/101 【答案】3 33. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4) 如图所示,圆O 的弦 AB 垂直平分半径 OC.则四边形 OACB 是( ) A.正方形 B.长方形 C.菱形 D.以上答案都不对 【答案】C 34. 【易】(2012 年郑州九年级第一次质量检测)如图,已知弦 CD AB⊥ 于点 E ,连接 OC OD CB DB,,,,下列结论中一定正确的是( ) A. 120CBD∠ = ° B. BC BD= C.四边形 OCBD 是平行四边形 D.四边形 OCBD 是菱形 【答案】B 35. 【易】(2009 年娄底市初中毕业卷)如图, AB 是 O⊙ 的弦,OD AB⊥ 于 D 交 O⊙ 于 E ,则下列说法错误..的是( ) O E D C BA A C O B O E DC B A10 /101 A. AD BD=  B. ACB AOE∠ = ∠  C. AE BE=  D.OD DE=  【答案】D 36. 【易】(2013 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试数学试题)如图, DC 是 O⊙ 直径, 弦 AB CD⊥ 于 F ,连接 BC, DB,则下列结论错误的是( ) A. AD BD= B. AF BF= C.OF CF= D. 90DBC∠ = ° 【答案】C 37. 【易】如图,直线与两个同心圆分别相交于图示的各点,则正确的是( ) A. MP RN与 的大小关系不确定 B. MP RN= C. MP RN< D. MP RN> 【答案】B 38. 【易】(2009 年甘肃定西中考)如图, O⊙ 的弦 6AB = , M 是 AB 上任意一点,且 OM 最小值为 4,则 O⊙ 的半径为( ) O E D C BA D O FA B C NRPM O11 /101 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 39. 【易】(北京市 2013 年平谷数学模拟试题)如图,⊙O 的半径 OA =6,弦 AB =8, P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最短距离为________. 【答案】 2 5 40. 【易】(2009 年上海初三数学期中)如图, O⊙ 的半径为 5,弦 AB 的长为 8, M 是 弦 AB 上的一个动点,则线段 OM 长的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 41. 【易】(天津耀华中学 2010 届初三第一次月考)如图,已知 O⊙ 的半径为 5,弦 6AB = , M 是 AB 上任意一点,则线段 OM 的长可能是( ) A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5 【答案】C 42. 【易】(2011 年四川省广安市中考数学试卷)如图所示,若 O⊙ 的半径为 13 cm ,点 P 是弦 AB 上一动点,且到圆心的最短距离为 5cm ,则弦 AB 的长为 ___________ M O BA BPA O M O BA M BA O12 /101 【答案】 24 cm 43. 【易】(2010 北京 55 中九年级上月考)如图,已知 O⊙ 的半径为 10 ,弦 16AB = , M 是 AB 上任意一点,则线段 OM 长度取值范围是 ___________ 【答案】6 10OM≤ ≤ 44. 【易】(吉林省 2013 年初中毕业生学业考试数学试题 )如图, AB 是 O⊙ 的弦, OC AB⊥ 于点 C ,连接 OA、OB.点 P 是半径 OB 上任意一点,连接 AP.若 5cmOA = , 3cmOC = ,则 AP 的长度可能是 ______ cm (写出一个符合条件的数值即 可) 【答案】6 (答案不唯一) 45. 【易】(2012.5 丰台)如图, AB 是 O⊙ 的弦,OC 是 O⊙ 的半径,OC AB⊥ 于点 D , 若 8AB = , 3OD = ,则 O⊙ 的半径等于( ) A. 4 B.5 C.8 D.10 【答案】B 46. 【易】(怀柔区 2012 年度第一学期期末九年级教学质量检测)如图, O⊙ 的半径为 5, AB 为弦,OC AB⊥ ,垂足为 C ,若 3OC = ,则弦 AB 的长为( ) A.8 B.6 C.4 D.10 P B O A BA O M D C BA O13 /101 【答案】A 47. 【易】(北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷)如图,已知 O⊙ 的 半径为 5,弦 8AB = ,OC AB⊥ 于 C ,则OC 的长为 _______. 【答案】3 48. 【易】(房山区一模)如图, AB 为 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ ,垂足为点 E ,联结 OC,若 5OC = , 2AE = ,则CD 等于( ) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 49. 【易】(2012 初三上期中)如图,CD 为 O⊙ 的直径,弦 AB 垂足为 E , 1CE = , 10AB = ,则直径 CD 的长为( ) A. 25 2 B.13 C.25 D.26 【答案】D O BA C O C BA O D E C BA B A OE DC14 /101 50. 【易】(广安市二 O 一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷)如图 2,已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直,垂足为点 C ,若 8cmAB = , 3cmCD = ,则圆 O的半径为 ( ) A. 25 cm 6 B.5cm C.4cm D.19 cm 6 【答案】A 51. 【易】(邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷)如图所示,某窗户由矩形和弓 形组成,已知弓形的跨度 3mAB = ,弓形的高 1mEF = ,现计划安装玻璃,请帮工程 师求出 AB 所在圆 O 的半径 r . 【答案】13 8 m 52. 【易】如图, AB 为 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ ,垂足为点 E ,连结 OC,若 5OC = , 8CD = ,则 AE = __________. 【答案】2 53. 【易】(2010 北京 166 中学初三上期中)已知:如图, AB 是 O⊙ 的直径,弦 EF AB⊥ 于点 D ,如果 8 2EF AD= =, ,则 O⊙ 半径的长是 __________. DC O BFA E OEA B D C15 /101 【答案】5 54. 【易】(2012 通州二模)如图, AB O⊙为 的弦, O⊙ 的半径为 5,OC AB⊥ 于点 D , 交 O⊙ 于点 C ,且 1CD = ,则弦 AB 的长是 ________. 【答案】6 55. 【易】(2012.5 门头沟)如图,半径为 10 的 O⊙ 中,弦 AB 的长为 16 ,则这条弦的弦 心距为 __________. 【答案】6 56. 【易】(2010 北京 55 中九年级上月考)已知:如图, O⊙ 的直径 CD AB E⊥ 弦 于 ,若 16AB DE= = ,求: O⊙ 的半径 【答案】10 57. 【易】(北京市第八十中学 2011 年第一学期初三)已知,如图,在 O⊙ 中,弦 16MN = ,半径 OA MN⊥ ,垂足为点 B , 4AB = ,求 O⊙ 半径的长. O FE D B A O D C BA O E D C BA16 /101 【答案】10 58. 【易】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷))如图,在 O⊙ 中,OC ⊥ 弦 AB 于点 C , 4AB = , 1OC = ,则OB 的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17 【答案】B 59. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )如图,在 O⊙ 中,弦 AB 垂直平分半 径OC,垂足为 D ,若 O⊙ 的半径为 2,则弦 AB 的长为 ______. 【答案】 2 3 60. 【易】(延庆县 2012 年第一学期期末试卷)已知:如图, AB 是 O⊙ 的直径,CD 是 O⊙ 的弦,且 AB CD⊥ ,垂足为 E ,连结OC, 5OC = , 8CD = ,求 BE 的长; 【答案】解:∵ AB 为直径, AB CD⊥ , M N A B O O C A B A B C D O O E D B A C17 /101 ∴ 90AEC∠ = ° ,CE DE= . ∵ 8CD = , ∴ 1 1 8 42 2CE CD= =×= . ∵ 5OC = , ∴ 2 2 225 4 3OE OC CE= − =−= ∴ 5 3 2BE OB OE= = =-- 61. 【易】(2012 密云二模)如图, AB 是半 O⊙ 的直径,C 是⊙O 上一点,OD BC⊥ 于 D,若 : 4:3AC BC = , 10AB = cm ,则OD 的长为( ) A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 【答案】B 62. 【易】(北京景山学校 2012-2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷)过 O⊙ 内一 点 P 的最长弦为 10cm ,最短的弦为 6cm ,则OP 的长为 ______. 【答案】 4 cm 63. 【易】(2010 东直门中学初三上期中,2009 年甘肃兰州中考)如图,某公园的一座石 拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为 24 米,拱的半径为 13 米,则拱高为( ) A.5 米 B.8 米 C.7 米 D.5 3 米 【答案】B 64. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)兴隆蔬菜基地建圆 弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 16AB m= ,半径 10 OA m= ,高度 CD 为_ ____ m . 【答案】4 O D C BA D C BA O D C BA18 /101 65. 【易】(九年级数学学科期中练习卷)如图 2,一条公路的转弯处是一段圆弧 (图中的 ),点O 是这段弧的圆心,C 是 上一点,OC AB⊥ ,垂足为点 D , 300AB m= , 50CD m= ,则这段弯路的半径是 ________m. 【答案】250 66. 【易】(2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试)如图是一圆柱形输水管的横截面, 阴影部分为有水部分,如果水面 AB 宽为 8cm ,水的最大深度为 2cm ,则该输水管的 半径为( ) A.3cm B. 4cm C.5cm D.6cm 【答案】C 67. 【易】(2012 深圳外国语初三月考)如图是一条水平铺设的直径为 2 米的通水管道横 截面,其水面宽为 1.6 米,则这条管道中此时水最深为 ___________ 米. 【答案】0.4 68. 【易】(2013 浙江丽水中考数学试题)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半 径 10OB = ,水面宽 16AB = ,则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C AB AB 图2O D C B A19 /101 69. 【易】(2009 东城二模)如图,宽为 2cm 的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆 相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm ),则该圆的半 径为__________ cm . 【答案】13 4 70. 【易】如图,圆弧形桥拱的跨度 12=AB 米,拱高 4=CD 米,则圆弧形桥拱所在圆 的半径为 ________ 米. 【答案】 2 16 ; 71. 【易】(2011 年广州铁一中初三上期中)某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员 准备更换一段新管道,如图所示,污水水面宽度为 60cm ,水面至管道顶部距离为 10cm ,问修理人员应准备内径多大的管道? 【答案】100cm 72. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )绍兴是著名的桥乡,如图,圆 拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为8m ,桥拱半径 OC 为5m ,则水面宽 AB 为( ) A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 10 cm 60 cm BA O A B D C (第 11 题) 20 /101 【答案】D 73. 【易】(2009 年广东清远中考)如图, AB 是 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ 于点 E ,连结 OC,若 5OC = , 8CD = ,则 tan COE∠ = ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 【答案】D 74. 【易】(2012 北京西城初三二模)如图, AB 为 O⊙ 的弦,半径 OC AB⊥ 于点 D ,若 OB 长为 10 , 3cos 5BOD∠ = ,则 AB 的长是( ) A.20 B.16 C.12 D.8 【答案】B 75. 【易】已知:如图, O⊙ 的半径为 9,弦 AB 垂直 OC 于 , 2sin 3 BOC∠ = ,则 AB 的 长度为( ) A. B. C. D. 【答案】B O E DC B A B D O C A H H O A C B 6 12 9 5321 /101 76. 【易】(2012 广东珠海中考)如图, AB 是 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ ,垂足为 E ,如 果 26AB = , 24CD = ,那么 sin OCE∠ = _________ 【答案】 5 13 77. 【易】(北京市西城区 2012 年第一学期期末试卷)如图,在 O⊙ 中,直径 AB 垂直 弦 CD 于 E ,连接 BD,若 30CDB∠ = ° , 2BD = ,则 AE 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 78. 【易】(2010 年房山区初三年级统一练习)如图, O⊙ 的半径为 2,弦 AB OC⊥ 于 C , 2 3AB = ,则OC 等于( ) A. 2 2 B. 3 C.1 D. 2 3− 【答案】C 79. 【易】(2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷)在半径为 4 的圆中, 垂直平分半径的弦长为( ) A. 2 3 B. 4 3 C.4 D.6 O DC B A BA O E D C O C B A22 /101 【答案】B 80. 【易】(延庆县 2011 二模)如图, AB 是⊙O 的直径,弦 ABCD ⊥ 于点 E , 30=∠CDB,⊙O 的半径为 cm3 ,则弦 CD 的长为( ) A. cm3 B. cm2 3 C. cm32 D. cm9 【答案】A 81. 【易】(2009 年朝阳一模)如图, ABC△ 内接于 O⊙ , 45 2C AB∠=° =, ,则 O⊙ 的 半径为( ) A.1 B. 2 C.2 D. 22 【答案】B 82. 【易】(2013 年潍坊市初中学业水平考试 )如图, O⊙ 的直径 12AB = ,CD 是 O⊙ 的弦, CD AB⊥ ,垂足为 P ,且 1 5BP AP =∶ ∶ ,则CD 的长为( ). A. 4 2 B.8 2 C. 2 5 D. 4 5 【答案】D 83. 【易】(2011 长宁区二模)如图,在直角坐标系中,以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A B、 两点,已知 ( )4 2P , 和 ( )2 0A , ,则点 B 的坐标是 ____________ C B A O PO D C BA C A B O E D 23 /101 【答案】( 6,0) 84. 【易】(2013 年广州市初中毕业生学业考试 )如图 7,在平面直角坐标系中,点O为坐 标原点,点 P 在第一象限, O⊙ 与 x 轴交于 O, A 两点,点 A 的坐标为 ()6 0, , P⊙ 的半径为 13 ,则点 P 的坐标为 ____________ 【答案】()3 2, 85. 【易】(2010 年崇文二模)如图,在 O⊙ 中, 120AOB∠ = ° , 3AB = ,则圆心 O 到边 AB 的距离 = ____________. 【答案】 3 2 86. 【易】(2009 年山东德城初中毕业考试)已知 AB 是 O⊙ 的弦,半径 2OA = , 2sin 3 A = ,则弦 AB 的长为 ____________ 【答案】 87. 【易】(2011 龙岩中考)如图, AB 是半圆 O 的直径,OD AC⊥ , 2OD = ,则弦 BC 的长为 _______. P y xBAO y O P A(6, 0) x BA O 4 5 324 /101 【答案】4 88. 【易】(2010 年上海闸北区九年级上期末)过 O⊙ 内一点 M 的最长的弦长为 6cm , 最短的弦长为 4cm ,则OM 的长等于 __________cm . 【答案】 5 89. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4) O⊙ 是 ABC△ 的外 接圆, O⊙ 的半径 2R = , 3sin 4 B = ,则弦 AC 的长为 _______. 【答案】3 90. 【易】(成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷) 如图,点 A B, 是 上两点, ,点 是 上的动点( 与 A B, 不重合), 连结 ,过点分别作 于, 于,则 _______. 【答案】5 91. 【易】(2009 年宣武一模)如图,在梯形 ABCD 中, AB DC∥ , AB BC⊥ , 2AB cm= , 4CD cm= .以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A D、 两点,且 90AOD∠ = ° , 则圆心 O 到弦 AD 的距离是 ________cm . 【答案】 10 C BO D A O⊙ 10AB = P O⊙ P AP PB, O OE AP⊥ E OF PB⊥ F EF = O P F E B A O D CB A25 /101 92. 【易】(2011 年松江区初中毕业生学业模拟考试)如图,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上 的圆 O 交于点 G B F E、、、 , 10GB = , 8EF = ,那么 AD = _________. 【答案】3 93. 【易】(2009 年甘肃定西中考)如图 7,在 ABC△ 中, , 3cos 5 B = .如果⊙O 的半径为 cm ,且经过点 B C、 ,那么线段 AO = ________cm . 【答案】5 94. 【易】(顺义区一模)如图, O⊙ 是 ABC△ 的外接圆,OD AB⊥ 于点 D ,交 O⊙ 于 点 E , 60C∠ = ° ,如果 O⊙ 的半径为 2,那么 OD = ___________. 【答案】1 95. 【易】(黄石市 2013 年初中毕业生学业考试数学试题卷)如图,在 Rt ABC△ 中, 90ACB∠ = ° , 3AC = , 4BC = ,以点 C 为圆心,CA 为半径的圆与 AB 交于点 D ,则 AD 的长为( ) A. 9 5 B. 24 5 C.18 5 D. 5 2 5cmAB AC= = 10 O CB A B E D O C A G A B C D F O E 26 /101 【答案】C 96. 【易】(成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷)已知等腰 ABC△ 的三个顶 点都在半径为 5 的 O⊙ 上,如果底边 BC 的长为 8,那么 BC 边上的高为 __________。 【答案】8 或 2 97. 【易】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )CD 是 O⊙ 的一条弦,作直径 AB, 使 AB CD⊥ ,垂足为 E ,若 10AB = , 8CD = ,则 BE 的长是( ) A.8 B.2 C.2 或 8 D.3 或 7 【答案】C 98. 【易】(2013 年四川泸州市中考数学真题)已知 O⊙ 的直径 10cmCD = , AB 是 O⊙ 的 弦, AB CD⊥ ,垂足为 M ,且 8cmAB = ,则 AC 的长为( ) A. 2 5cm B. 4 5cm C. 2 5cm 或 4 5cm D.2 3cm 或 4 3cm 【答案】C 99. 【易】(北京景山学校 2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷)在直径为 50cm 的 O⊙ 中,弦 40cmAB = ,弦 48cmCD = ,且 AB CD∥ ,则 AB 与CD 之间的距离为 ________. 【答案】 22 cm 或 8cm 100. 【易】(邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷)如图所示,某窗户由矩形和弓 形组成,已知弓形的跨度 3mAB = ,弓形的高 1mEF = ,现计划安装玻璃,请帮工程 师求出 AB 所在圆 O 的半径 r . 【答案】13 8 m DC O BFA E27 /101 101. 【易】(2012 年房山)如图,在 O⊙ 中,半径 OC AB D⊥ 弦 于点 , 4 3AB = , 4AO = ,则 O∠ = _____. 【答案】60 ° 102. 【易】(2010 年门头沟区初三年级第一次统一练习)如图,在半径为 4 的 O⊙ 中,弦 4 3cmAB = ,则 BAO∠ = _________ 【答案】30 ° 103. 【易】(北京汇文中学 2011 年初三数学)如图,在平面直角坐标系中, M⊙ 与 y 轴 相切于原点 O ,平行于 x 轴的直线交 M⊙ 于 P 、 Q 两点,点 P 在点 Q 的右边,若 P 点 的坐标为 ( )1 2− , ,则Q 点的坐标是 ___________. 【答案】( )4 2− , 104. 【易】(郑州市 2010 年数学模拟一)如图,在直角坐标系中 C⊙ 与 y 轴切于负半轴上 的点 A ,与 x 轴相交于点 ( )1 0, ,( )9 0, ,则点 C 的坐标为 _________. O D C B A BA O Q P M O x y28 /101 【答案】( )5 3,- 105. 【易】(大兴区 2012 年第一学期期末检测试卷)作图题(要求用直尺和圆规作图,不 写出作法,只保留作图痕迹,不要求写出证明过程). 已知:圆. 求作:一条线段,使它把已知圆分成面积相等的两部分. 【答案】作弦,弦的垂直平分线即为所求. AB 为所求直线 . 106. 【易】(大兴区 2012 年度第一学期期末检测试卷)已知:如图, AB 是 O⊙ 的弦,半 径OC OD、 分别交 AB 于点 E F、 ,且 AE BF= .求证:OE OF= 【答案】证明:过点 O 作OM AB⊥ 于 M C O y x A B F B DC E O A29 /101 ∴ AM BM= ∵ AE BF= , ∴ EM FM= ∴OE OF= 107. 【易】(2010 年东城区初三上联考)已知: AB 交圆 O 于C D、 ,且 AC BD= .你认为 OA OB= 吗?为什么? 【答案】OA OB= 证明:作OE AB⊥ 于 E 则CE ED= ∵ AC DB= ∴ AE EB= ∵OE AB⊥ ∴OA OB= 108. 【易】(天津耀华中学 2010 届初三第一次月考)已知:如图, M 是弧 AB 的中点,过 点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C,设 O⊙ 的半径为 4cm , 4 3 cmMN = ,求圆心 O 到弦 MN 的距离。 F M B DC E O A O A C D B O BDCA E O N M C B A30 /101 【答案】2 109. 【易】(2010 北京 55 中九年级上月考)已知:如图, A D、 是 O⊙ 上的两个点, BC 是直径, AD BC⊥ ,若 25B∠ = ° , ①求证: D CAD∠ = ∠ ②求: OAE∠ 的度数 【答案】证明略; 40OAE∠ = ° . 110. 【易】(2010 东城区初三上联考)如图,等边 ABC△ 内接于 O⊙ , 10AB cm= ,求 O⊙ 的面积. (结果保留 π ) 【答案】解: O⊙ 半径 33 10=R 100 3OS π=⊙ 111. 【易】(2011 年上海虹口区初三二模)如图, O⊙ 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在这个 三角形的高 AD 上, 10 12AB BC= =, .求 O⊙ 的半径. 【答案】 25 4 112. 【易】(2011 年广州二中初三上期中)如图,已知 AB 为 O⊙ 的直径,CD 是弦,且 AB CD⊥ 于点 E ,连接 AC、OC、 BC ⑴ 求证: ACO BCD∠ = ∠ ; ⑵ 若 8cmAE CD= = ,求 O⊙ 的半径. O E D CB A B O C A O D CB A31 /101 【答案】⑴ 90ACO CAO CBO BCD∠ =∠ = °−∠ =∠ ; ⑵5cm 113. 【易】(2010 年上海闵行区九年级下质量调研)已知:如图, BC 是 O⊙ 的弦,点 A 在 O⊙ 上, 10AB AC= = , 4sin 5ABC∠ = . 求:⑴弦 BC 的长; ⑵ OBC∠ 的正切的值. 【答案】⑴12 ;⑵ 7 24 . 114. 【易】(乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学)如图,圆心在 y 轴的负 半轴上,半径为 5 的 B⊙ 与 y 轴的正半轴交于点 ( )0 1A , ,过点 ( )0 7P −, 的直线 l 与 B⊙ 相交于 C D、 两点,则弦 CD 长的所有可能的整数位有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 115. 【中】(2011 年四川省内江市中考数学试卷)如图, O⊙ 是 ABC△ 的外接圆, 60BAC∠ = ° ,若 O⊙ 的半径 OC 为 2,则弦 BC 的长为( ) O E DC B A O CB A32 /101 A.1 B. 3 C.2 D. 2 3 【答案】D 116. 【中】如图,在平面直角坐标系中,以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 x 轴于点 M , 交 y 轴于点 N ,再分别以点 M 、 N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在第二 象限交于点 P .若点 P 的坐标为 ( )2 1a b +, ,则 a 与b 的数量关系为( ) A. a b= B. 2 1a b+ = − C. 2 1a b− = D. 2 1a b+ = 【答案】B 117. 【中】(南充市 2011 高中阶段学校招生统一考试数学试卷)在圆柱形油槽内装有一些 油。截面如图,油面宽 AB 为 6 分米,如果再注入一些油后,油面 AB 上升 1 分米,油 面宽变为 8 分米,圆柱形油槽直径 MN 为( ) A.6 分米 B.8 分米 C.10 分米 D.12 分米 【答案】C 118. 【中】(2011 年广州二中初三上期中、2011 年广雅实验初三上期中)如右图,等腰梯 形 ABCD 内接于半圆 O ,且 1AB = , 2BC = ,则OA = ( ) O C B A y xOM N P NM BA33 /101 A. 3 2 3 + B. 2 C.1 3 2 + D. 3 1 2 − 【答案】C 119. 【中】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)已知圆的两弦 AB、CD 的长是方 程 2 42 432 0x x− + = 的两根,且 AB CD∥ ,又知两弦之间的距离为 3,则圆的半径是 ( ) A.12 B.15 C.12 或 15 D.21 【答案】B 120. 【中】(首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试)已知:如图, AB, BC 为 O⊙ 的弦,点 D 在 AB 上,若 4OD = , 10BC = , 60ODB B∠ =∠= ° ,则 DB 的 长为 ______. 【答案】6 121. 【中】如图所示,在圆 O⊙ 内有折线 OABC,其中 8OA = , 12AB = , 60A B∠ =∠ = ° , 则 BC 的长为( ) A.19 B.16 C.18 D.20 【答案】D 122. 【中】(荆门市 2013 年初中毕业生学业水平及升学考试数学试题卷)如图,在半径为 1 的 O⊙ 中, 45AOB∠ = ° ,则sin C 的值为( ) A. 2 2 B. 2 2 2 − C. 2 2 2 + D. 2 4 O D CB A O D C BA O C B A34 /101 【答案】B 123. 【中】(2013 年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷)如图, AD、 AC 分别是 O⊙ 的直径和弦, 30CAD∠ = ° , B 是 AC 上一点, BO AD⊥ ,垂足为 O , 5cmBO = , 则CD 等于 ___________ cm . 【答案】5 3 124. 【中】(内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷) 如图,半圆 O 的直径 10cmAB = ,弦 6cmAC = ,AD 平分 BAC∠ ,则 AD 的长为 ( ) A. 4 5cm B.3 5cm C. 5 5cm D.4cm 【答案】A 解:连接 OD,OC,作 DE ⊥ AB 于 E ,OF ⊥ AC 于 F , ∵∠ CAD =∠ BAD(角平分线的性质), ∴ CD = BD, ∴∠ DOB =∠OAC =2 ∠ BAD, ∴△ AOF ≌△ OED, ∴OE = AF = 1 2 AC =3cm , 在 Rt DOE△ 中, DE = 2 2OD OE− = 4cm O D C BA F EO D C BA35 /101 在 Rt ADE△ 中, AD = 2 2DE AE+ = 4 5 cm 125. 【中】(2013 年四川省宜宾市中考数学试卷)如图, AB 是 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ 于点 G ,点 F 是CD 上一点,且满足 1 3 CF FD = ,连接 AF 并延长交 O⊙ 于点 E ,连接 AD DE、 ,若 =2 =3CF AF, .给出下列结论:① ADF AED△ ∽△ ;② 2FG = ;③ 5tan 2E =∠ ;④ DEFS 4 5=△ .其中正确的是 ________. 【答案】①②④ 126. 【中】(2010 年北京 171 初三上期中)在半径为 1 的 O⊙ 中,弦 AB AC、 分别是 2 、 3 ,则 BAC∠ 的度数为 _____________ 【答案】15 ° 或 75 ° 127. 【中】(顺义区一模)已知:如图, AB, BC 为⊙O 的弦,点 D 在 AB 上,若 4=OD, 10=BC, °=∠=∠ 60BODB,则 DB 的长为 ___________. 【答案】6 128. 【中】(2009 年福建龙岩中考)如图, AB CD、 是半径为 5 的 O⊙ 的两条弦, 8AB = , 6CD = , MN 是直径, AB MN⊥ 于点 E ,CD MN⊥ 于点 F , P 为 EF 上的任意一点, 则 PA PC+ 的最小值为 ___________ O D C BA NM B D PO C A E F36 /101 【答案】7 2 129. 【中】(成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷)若小唐同学掷出的铅球在 场地上砸出一个直径约为 10 cm 、深约为 2cm 的小坑,则该铅球的直径约为( ) A.10cm B.14.5cm C.19.5cm D.20cm 【答案】B 130. 【中】(初二第二学期期末试卷)在半径为 5cm 的圆中,位于圆心同侧的两条平行弦 的长度分别为 6cm 和8cm ,则这两条弦之间的距离为 __________. 【答案】1cm 131. 【中】(北京市朝阳外国语学校 2012 年第二学期期中校考初二数学 A 层 B2 层试卷 ) 半径为 5cm 的 O⊙ 中,弦 AB ∥弦CD,又 6cm 8cmAB CD= =, ,则 AB 和CD 两弦的 距离为 ________. 【答案】1cm 或 7cm 132. 【中】(扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题)如图,已知 O⊙ 的直径 6AB = , E 、 F 为 AB 的三等分点, M 、 N 为 AB 上两点,且 60MEB NFB∠ =∠ =° , 则 EM FN+ = _________. 【答案】 33 133. 【中】(2009 浦东新区中考预测)一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 米,管内 有少量的污水(如图),此时的水面宽 AB 为 0.6 米. ⑴求此时的水深(即阴影部分的弓形高); ⑵当水位上升到水面宽为 0.8 米时,求水面上升的高度. 【答案】⑴作半径 OC AB⊥ ,垂足为点 D,联结 OA,则 CD 即为弓形高. ∵OC AB⊥ , O N M FE BA BA37 /101 ∴ 1 2AD AB= . ∵ 0.5AO = , 0.6AB = , ∴ 0.4OD = . ∴ 0.1CD = ,即此时的水深为 0.1 米. ⑵当水位上升到水面宽 MN 为 0.8 米时,直线 OC 与 MN 相交于点 P . 同理可得 0.3OP = . (i)当 MN 与 AB 在圆心同侧时,水面上升的高度为 0.1 米; (ii )当 MN 与 AB 在圆心异侧时,水面上升的高度为 0.7 米. 134. 【中】(2010 东城区初三上联考)居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为 更换管道,需确定管道圆形截面的半径。下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面。 ⑴作图题:请你用圆规、直尺补全这个输水管道的圆形截面; (不写作法,但要保留作图痕迹) ⑵若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm ,水面最深地方的高度为 4cm, 求这个 圆形截面的半径. 【答案】⑴将图补全 ⑵ 10=R 135. 【中】(2011 年上海金山区初三二模)如图是地下排水管的截面图(圆形),小敏为 了计算地下排水管的直径,在圆形弧上取了 A , B 两点并连接 AB,在劣弧 AB 上取中 点C 连接 CB,经测量 4 5=BC 米, 87.36=∠ABC °,根据这些数据请你计算出地 下排水管的直径(精确到 1.0 米)( 87.36sin ° 60.0≈ , 87.36cos ° 80.0≈ , 87.36tan ° 75.0≈ ) O D C BA BA BA38 /101 【答案】2.1 米 136. 【中】(2011 年中考模拟试卷)如图,“五一 ”节,小明和同学一起到游乐场游玩,游 乐场的大型摩天轮的半径为 20m ,旋转 1 周需要 24min (匀速)。小明乘坐最底部的 车厢按逆时针方向旋转(离地面约 1m)开始 1 周的观光。 ⑴2min 后小明离地面的高度是多少? ⑵摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度到达 11m? ⑶在旋转一周的过程中,小明将有多长时间连续保持在离地面 31m 以上的空中 ? 【答案】⑴( )21 10 3 m− ; ⑵4min 或 20 min ; ⑶8min . 137. 【中】如图,是一个匀速旋转(指每分钟旋转的弧长或圆心角相同)的摩天轮的示意 图,O 为圆心, AB 为水平地面。假设摩天轮的直径为 80 米,最低点 C 离地面为 6 米, 旋转一周所用的时间为 6 分钟。小明从 C 点乘坐摩天轮(身高忽略不计),请问: ⑴经过 2 分钟后,小明离开地面的高度大约是多少米? ⑵若小明到了最高点,在事先没有阻挡的情况下能看到周围 3 公里远的地面景物,则 他看到的地面景物有多大面积?(精确到 1 平方公里) 【答案】⑴ 从点 C 乘坐摩天轮,经过 2 分钟后到达点 E 则 120COE∠ = ° C B A B D O C A BD O C A39 /101 延长 CO 与圆交于点 F ,作 EG OF⊥ 于点 G 则 60GOE∠ = ° ,在 Rt EOG△ 中, 40cos60 20OG = ° = 米 ∴小明 2 分钟后离开地面高度 66DG DC CO OG= + + = 米 ⑵ F 记为最高点,他能看到的地面景物面积为 ( )2 2 23 0.086 π 28s = − = 平方公里 138. 【中】(北京市第 156 中学 2011 初三期中)如图, BC 是 O⊙ 的弦,OD BC⊥ 于 E 交 于 D 点。 ⑴ 若 8BC = , 2ED = ,求 O⊙ 的半径。 ⑵ 画出直径 AB,联结 AC,观察所得图形,请你写出两个新的正确结论: _____________;_____________。 【答案】⑴5;⑵图略,OE AC∥ , 2AC OE= 等正确即可. 139. 【中】(内江市二○一三年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆过点 ( )13 0A , ,直线 3 4y kx k= − + 与 O⊙ 交于 B C、 两点,则弦 BC 的长的最小值为 ______. G A C O D B E F E D C B O40 /101 【答案】 24 ∵直线 3 4y kx k= − + 必过点 ( )3 4D , , ∴最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦, ∵点 D 的坐标是(3,4), ∴OD =5 , ∵以原点 O 为圆心的圆过点 A (13 ,0), ∴圆的半径为 13 , ∴OB =13 , ∴ BD =12 , ∴ BC 的长的最小值为 24 ; 故答案为:24 . 140. 【中】(株洲市 2009 年初中毕业学业考试) 如图,点 A 、 B 、C 是 O⊙ 上的三点, / /AB OC . ⑴求证: AC 平分 OAB∠ . ⑵过点 O 作OE AB⊥ 于点 E ,交 AC 于点 P ,若 2AB = , 30AOE∠ = ° ,求 PE 的长. 【答案】⑴∵ / /AB OC , ∴ C BAC∠ = ∠ ; ∵OA OC= , ∴ C OAC∠ = ∠ ∴ BAC OAC∠ = ∠ ,即 AC 平分 OAB∠ . ⑵∵OE AB⊥ ∴ 1 12AE BE AB= = = 又 30AOE∠ = °∵ , 90PEA∠ = ° ∴ 60OAE∠ = ° y x D C B O A13 P O E C B A41 /101 ∴ 1 302EAP OAE∠ =∠ =° , ∴ 1 2PE PA= ,设 PE x= ,则 2PA x= , 根据勾股定理得 2 2 21 (2)x x+ = ,解得 3 3x = (或者用 tan PEEAPAE ∠ = ) 即 PE 的长是 3 3 . 141. 【中】(2012 房山二模)如图, O⊙ 中有直径 AB EF、 和弦 BC,且 BC 和 EF 交于点 D ,点 D 是弦 BC 的中点, 4CD = , 8DF = . ⑴求 O⊙ 的半径及线段 AD 的长; ⑵求sin DAO∠ 的值. 【答案】⑴∵ D 是 BC 的中点, EF 是直径 ∴CB EF⊥ 且 4BD CD= = ∵ 8DF = ∴ 8OD R= − ∵ 2 2 2OB OD DB+ = ∴ ()22 28 4R R− − = ∴ 5R = 连结 AC,过 D 作 DH AB⊥ 交 AB 于 H . ∵ AB 是直径 ∴ 90ACB∠ = ° ∵ 2 8 10CB CD AB= = =, ∴ 6AC = ∴ 90 6 4ACD AC CD∠ =° = =,, ∴ 2 13AD = O F E D C B A O F E D C B A42 /101 ⑵∵ Rt sinDHB DH DB DBH= ⋅∠ =△ 中, ∴ 6 13sin = = 65 DHDAO AD ∠ 142. 【中】(2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷) 如图,已知 ABC△ 是 O⊙ 的内接三角形, AB AC= ,点 P 是 AB 的中点,连接 PA, PB, PC. ⑴如图①,若 60BPC∠ = ° .求证: 3AC AP= ; ⑵如图②,若 24sin 25 BPC∠ = ,求 tan PAB∠ 的值. 【答案】⑴证明:∵ BC BC= , ∴ 60BAC BPC∠ =∠ =° . 又∵ AB AC= , ∴ ABC△ 为等边三角形. ∴ 60ACB∠ = ° , ∵点 P 是 AB 的中点, ∴ 30ACP∠ = ° . 又 60APC ABC∠ =∠ =° , ∴ 90PAC∠ = ° . 在 Rt PAC△ 中, 30ACP∠ = ° , ∴ 3AC AP= . ⑵ 解:连接 AO 并延长交 PC 于 E ,交 BC 于 F ,过点 E 作 EG AC⊥ 于点 G , 连接 OC. ∵ AB AC= , ∴ AF BC⊥ , BF CF= . ∵点 P 是 AB 的中点, ∴ ACP PCB∠ = ∠ . ∴ EG EF= . ∵ BPC FOC∠ = ∠ . ∴ 24sin sin 25 FOC BPC∠ =∠ = . 5 12 5 34 =× 图① 图② P A B C CB P A O O CB P A O F GE43 /101 设 24FC a= ,则 25OC OA a= = , ∴ 7OF a= , 32AF a= . 在 Rt AFC△ 中, 2 2 2AC AF FC= + , ∴ 40AC a= . 在 Rt AGE△ 和 Rt AFC△ 中, sin EG FCFAC AE AC ∠ = = , ∴ 24 32 40 EG a a EG a = − . ∴ 12EG a= . ∴ 12 1tan tan 24 2 EF aPAB PCB CF a ∠ =∠ = = = . 143. 【中】(2009 年大兴二模)如图,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,CD AB⊥ 于 P ,设 AP a PB b= =, . ⑴求弦 CD 的长; ⑵如果 10a b+ = ,求 ab 的最大值,并求出此时 a b, 的值. 【答案】解: ⑴连结 2 2 ab baOC OC OP + −= =,,, 所以 2 2 2 2 2 2 2 ab abPCOCOP ab + −  =−= − =     , 所以 PC ab= . 所以 2 2CD PC ab= = . (也可以根据 APC CPB△ ∽△ 求解) ⑵由于 CD AB≤ , 所以 2 10ab a b+ =≤ , OP D C BA A B O C P D44 /101 得 25ab ≤ , 所以 ab 的最大值为 25 , 则,此时 5a b= = . 144. 【中】(2011 年泰州)如图,以点 O 为圆心的两个同心圆中,矩形 ABCD 的边 BC 为 大圆的弦,边 AD 与小圆相切于点 M ,OM 的延长线与 BC 相交于点 N . ⑴点 N 是线段 BC 的中点吗?为什么? ⑵若圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm , 5AB cm= , 10BC cm= ,求小圆的半径. 【答案】解:⑴∵ AD 是小圆的切线, M 为切点, ∴ OM AD⊥ , ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD BC AB CD=∥ , , ∴ ON BC⊥ , ∴ N 是 BC 的中点; ⑵延长 ON 交大圆于点 E , ∵圆环的宽度(两圆半径之差)为 6cm , 5AB cm= , ∴ 6ME cm= , 在 Rt OBN△ 中,设OM r= 2 2 2OB BN OM MN= + +( ),即 2 2 26 5 5r r+ = + +( )(),解得 7r cm= , 故小圆半径为 7cm . 145. 【难】(2012 年西城)如图, AC 为 O⊙ 的直径, 4AC = , B D、 分别在 AC 两侧的 圆上, 60BAD∠ = ° , BD 与 AC 的交点为 E . ⑴ 求点 O 到 BD 的距离及 OBD∠ 的度数; ⑵ 若 2DE BE= ,求 cos OED∠ 的值和 CD 的长. O N M D CB A E O N M D CB A45 /101 【答案】解:⑴作OF BD⊥ 于点 F ,连接 OD ∵ 60BAD∠ = ° , ∴ 2 120BOD BAD∠ =∠ = ° , 又∵OB OD= , ∴ 30OBD∠ = ° , ∵ AC 为 O⊙ 的直径, 4AC = , ∴ 2OB OD= = . 在 Rt BOF△ 中, ∵ 90OFB∠ = ° , 2OB = , 30OBF∠ = ° , ∴ sin 2sin30 1OF OB OBF=⋅∠ = °= , 即点 O 到 BD 的距离等于 1. ⑵∵OB OD= , OF BD⊥ 于点 F , ∴ BF DF= . 由 2DE BE= ,设 2BE x= ,则 4 6 3DE xBD xEF xBF x= = = =,,,. cos30 3BF OB= ⋅ °=∵ ∴ 3 3 3 3 x EF= =, 在 Rt OEF△ 中, 90OFE∠ = ° , tan = 3OFOEDEF ∠ =∵ ∴ 160 cos 2 OED OED∠ =° ∠ =, , ∴ 30BOE OED OBD∠ =∠ −∠ =° , ∴ 90DOC DOB BOE∠ =∠ −∠ =° , ∴ 45C∠ = ° . ∴ 2 2 2CD OC= = A B D CE O O F E D C B A46 /101 三、 弧、弦、圆心角的关系 146. 【易】(2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷) 如图,已知 O⊙ 中, AB AC= , 65C∠ = ° ,则 A∠ = __________ 度. 【答案】50 147. 【易】(2013 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试)如图所示,在 O⊙ 中, AB AC= , 30A∠ = ° ,则 B∠ = ( ) A.150 ° B. 75 ° C. 60 ° D.15 ° 【答案】B 148. 【易】(2009 年郴州市初中毕业考试试卷) 如图,在 中, AB AC= , 40A∠ = ° ,则 B∠ = ________ 度. 【答案】70 149. 【易】(通州区初三年级模拟考试) 如图, AB 是 O⊙ 的弦,OD AB⊥ 于点 D , C 是 AB 优弧上任意一点,则图中所有相 等的线段有 _____________;所有相等的角有 _____________. O CB A O⊙ 图 5 A B C O 40° 47 /101 【答案】OA OB= ,AD DB= ; OAD OBD ADO BDO AOD BOD C∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠ =∠,, 150. 【易】(2009 年崇文一模) 如图, BC AD与 的度数相等, AB CD E弦 与弦 交于点 , °=∠ 80CEB,则 CAB∠ 等于 ____________ A. °30 B. °40 C. °45 D. °60 【答案】B 151. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4) 如图: AC CB= , D E, 分别是半径 OA 和 OB 的中点,CD 与CE 的大小有什么关系? 为什么? 【答案】相等;连结 CD,可证 COD COE△ ≌△ ,故CD CE= . 152. 【易】(2010 北京 55 中九年级上月考)已知:如图, AB O⊙为 直径, BC 是弦,连 结 AC,OD AC∥ 交 BC 于 E ,连结 CD BD、 ,求证:CD BD= O D C B A A B D C E O C BA ED48 /101 【答案】证明略 153. 【中】(扬州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试题)如图,在扇形 OAB 中, 110AOB∠ = ° ,半径 18OA = ,将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,点O恰好落在 AB 上 的点 D 处,折痕交 OA 于点 C ,则 AD 为________. 【答案】5π 154. 【中】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(嘉兴卷))如图,某厂生产横截面直径 为 7 cm 的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果, 字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 30 ° ,则“蘑菇罐头”字样的长度为( ) A π cm4 B 7π cm4 C 7π cm2 D πcm7 【答案】B 155. 【中】(乐山市 2011 年高中阶段教育学校招生统一考试)如图,CD 是 O⊙ 的弦,直 径 AB 过CD 的中点 M ,若 40BOC∠ = ° ,则 ABD∠ = ( ) O E D C B A O D C B A M O DC B A49 /101 A.40 ° B.60 ° C.70 ° D.80 ° 【答案】C 156. 【中】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)如图, O⊙ 的半径为 1,点 A 是半 圆上的一个三等分点,点 B 是弧 AN 的中点, P 是直径 MN 上的一个动点,则 PA PB+ 的最小值为( ) A.1 B. 2 2 C. 2 D. 3 1− 【答案】C 157. 【中】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)在半径为 1的 O⊙ 中,直径 AB 把 O⊙ 分成上、下两个半圆,点 C 是上半圆上一个动点( C 与 A 、 B 不重合),过点 C 作弦 CD AB⊥ 于 E , OCD∠ 的平分线交 O⊙ 于点 P ,设 CE x= , AP y= ,下列图象 中,最能该画 y 与 x 的函数关系的是( ) 【答案】A 158. 【中】(2011 年第一学期期中考试)如图, AB 是圆 O的直径,弦 AD、 BC 相交于点 P , 60DPB∠ = ° , D 是弧 BC 的中点,求 AC AB 的值. PO M N B A O P E D C BA y xO 1 2 2 D. y xO 1 2 2 C. y xO 1 2 2 B.A. 2 21O x y50 /101 【答案】 1 2 159. 【中】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)如图, AB 是 O⊙ 的直径, AB AC= . BC 交 O⊙ 于点 D , 45BAC∠ = ° ,给出以下几下结论:① 22.5EBC∠ = ° ; ② BD DC= ;③ 2AE EC= ;④劣弧 AE 是劣弧 DE 的 2 倍;⑤ AE BC= .其中正确的 结论的序号是 ____________. 【答案】①②④ 160. 【中】(2008 学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷)如图,已知 C 是弧 AB 的中点,半径 OC 与弦 AB 相交于点 D ,如果∠OAB =60° , AB =8,那么∠ AOD =________ 度,CD = _______. 【答案】30 ,8 4 3− 161. 【中】(2009 大兴一模)如图,在扇形 AEF 中, 90A∠ = ° ,点 C 为 EF 上任意一点 (不与点 E F、 重合),四边形 ABCD 为矩形,则当点 C 在 EF 上运动时(不与 E F、 点重合), BD 长度的变化情况是 _____________ C D A B P O O D C B A E O C BA D51 /101 【答案】不变,始终等于扇形的半径 162. 【中】(延庆县 2012 年第一学期期末试卷)如图,边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋 转,当 B C、 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时,弧 BC 的长度等于 __________ 【答案】 π 3 163. 【中】(2011 年漳州)如图, AB 是 O⊙ 的直径, AC CD= , 60COD∠ = ° . ⑴ AOC△ 是等边三角形吗?请说明理由; ⑵ 求证:OC BD∥ . 【答案】⑴ AOC△ 是等边三角形 证明:∵ AC CD= , FE D C B A FE D CB A DC BA O 1 DC BA O52 /101 ∴ 1 60COD∠=∠ = ° ∵ OA OC= , ∴ AOC△ 是等边三角形 ⑵ 证明:∵ AC CD= , ∴ OC AD⊥ 又∵ AB 是 O⊙ 的直径, ∴ 90ADB∠ = ° ,即 BD AD⊥ ∴ OC BD∥ 164. 【中】(2011 年青浦区初中学业模拟考试)如图, AB 是⊙ O 的弦,点 D 是 AB 的中 点,过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 C . 求证: AD DC= . 【答案】连接 BD,由等弧有 AD BD= , ∴ 90 90A ABD DBC C∠=∠ = °−∠ = °−∠ ∴ DBC C∠ = ∠ ∴ BD DC AD= = 165. 【中】(2010 年上海卢湾区初中毕业模拟考试) 如图,已知 OC 是 O⊙ 的半径,弦 6AB = , AB OC⊥ ,垂足为 M ,且 2CM = . ⑴联结 AC,求 CAM∠ 的正弦值; ⑵求OC 的长. 【答案】⑴∵OC 是 O⊙ 的半径, AB OC⊥ , ∴ 1 3 2 AM AB= = . 在 Rt AMC△ 中, 2 3CM AM= =, , ∴ 2 22 3 13AC = + = . ∴ 2 13sin 13 CMCAM AM ∠ = = . D CB A O O M C B A53 /101 ⑵联结 OA,设 OA = r ,则 2OM r= − , 由勾股定理得 ()2 2 22 3r r− + = . 解得 13 4r = . 、 166. 【中】(燕山 2011 二模)已知:如图, AB 是半圆的直径, 10AB = ,梯形 ABCD 内 接于半圆,CE AD∥ 交 AB 于 E , 2BE = ,求 A∠ 的余弦值 . 【答案】由题意可知 AB CD∥ ,且 AD BC= , 又∵CE AD∥ , ∴ 8CD AE AB BE= = − = . 把 AB 的中点记作 O ,作 OG CD⊥ 于 G ,连结 OC 则 4DG CG= = . ∴ 2 2 3OG OC CG= − = . 作 DF OA⊥ 于 F ,则 3DF OG= = , 1AF OA OF OA DG=− = − = . ∴ 2 2 10AD AF DF= + = . ∴ A∠ 的余弦 1 10cos 1010 A = = 167. 【难】(2009 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试)已知:如图, O⊙ 的直径 2AD = , , 90BAE∠ = ° . ⑴ 求 CAD△ 的面积; ⑵ 如果在这个圆形区域中,随机确定一个点 P ,那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的 概率是多少? 【答案】⑴ ∵ AD 为 O⊙ 的直径,∴ 90ACD BAE∠ =∠ =° . ∵ ,∴ BAC CAD DAE∠ =∠ =∠ . EO D C BA G F EO D C BA BC CD DE= = E D C B A O BC CD DE= =54 /101 ∴ 30BAC CAD DAE∠ =∠ =∠ =° . ∵在 Rt ACD△ 中, 2AD = , 2sin30 1CD = ° = , 2cos30 3AC = ° = . ∴ 1 3 2 2ACDS ACCD=× × =△ . ⑵ 连 BD,∵ 90ABD∠ = ° , 60BAD∠ = ° , ∴ 30BDA BCA∠ =∠ =° ,∴ BA BC= . 作 BF AC⊥ ,垂足为 F , ∴ 1 3 2 2AF AC= = ,∴ 1tan 30 2BF AF= ° = , ∴ 1 3 2 4ABCS ACBF=× × =△ , ∴ 3 3 4ABCDS = . ∵ πOS =⊙ ,∴ P 点落在四边形 ABCD 区域的概率 = = . 168. 【难】(浙江省 2009 年初中毕业生学业考试 (衢州卷 ))如图, AD 是⊙O 的直径. ⑴如图①,垂直于 AD 的两条弦 11 22BC BC, 把圆周 4 等分,则 1B∠ 的度数是 ______________, 2B∠ 的度数是 ______________; ⑵如图②,垂直于 AD 的三条弦 11 22 33BC BC BC,, 把圆周 6 等分,分别求 1B∠ , 2B∠ , 3B∠ 的度数; (3) 如图③,垂直于 AD 的 n 条弦 11 22 33 n nBC BC BC BC…,,,, 把圆周 2n 等分,请你用含 n 的代数式表示 nB∠ 的度数 (只需直接写出答案 ). MO F E D C B A 3 3 4 π 3 3 4π55 /101 【答案】⑴ 22.5° ,67.5° ⑵ ∵ 圆周被 6 等分, ∴ = = 360 6 60= °÷= ° . ∵ 直径 1 1AD BC⊥ , ∴ = 30= ° ,∴ 1B∠ = 15= ° . 2B∠ = = (30 60 ) 45× ° °= °+ , 3B∠ = = (30 60 60 ) 75×° ° °=°+ + . ⑶ . (或 ) 四、 圆周角 1. 圆周角 169. 【易】(2013 年山东日照初中学业考试 )如图,在 ABC△ 中,以 BC 为直径的圆分别交 边 AC、 AB 于 D 、 E 两点,连接 BD、 DE.若 BD 平分 ABC∠ ,则下列结论不一定 成立的是 ( ) A. BD AC⊥ B. 2 2AC AB AE= ⋅ C. ADE△ 是等腰三角形 D. 2BC AD= 【答案】D 1 1B C 1 2C C 2 3C C 1AC 1 2 1 1B C 1 2 1AC 1 2 2AC 1 2 1 2 3AC 1 2 11 360 360[ ( 1) ]222 2nB nn n ° °∠= × +−× (90 45)n n − °= 360 4590 908nB n n ° °∠ = °− = °− A O D B1 B2 C1 C2 图 O D A B1 C1 B2 C2 C3 B3 图 D Bn A O B1 Bn-2 C1 B2 C2 B3 C3 Cn-2 Bn-1 Cn-1 Cn … 图56 /101 170. 【易】(2010 年顺义二模、山东德城初中毕业考试)如图,有一圆形展厅,在其圆形 边缘上的点 处安装了一台监视器,它的监控角度是 65 ° .为了监控整个展厅,最少 需在圆形边缘上共安装这样的监视器 ( )台. A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 171. 【易】(2010 年九年级第三次质量预测试题)如图,正三角形 ABC 内接于 O⊙ ,动点 P 在圆周的劣弧 AB 上,且不与 A B、 重合,则 BPC∠ 等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 172. 【易】(2012 通州二模)如图,已知 O⊙ 的两条弦 AC BD, 相交于点 E , 60A∠ = ° , 则 sin BDC∠ 的值为( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 【答案】D 173. 【易】 (2009 年台湾第一次中考数学科试题如图)(七),圆上有 A B C D、、、 四点, 其中 80BAD∠ = ° 。若 、 的长度分别为 7π、11 π,则 的长度为( ) A 30 60 90 45 P O C BA O E D C B A ABC ADC BAD 57 /101 A.4π B.8π C.10 π D.15 π 【答案】C 174. 【易】(泰安市 2009 年高中段学校招生考试)如图, O⊙ 的半径为 1, AB 是 O⊙ 的 一条弦,且 3AB = ,则弦 AB 所对圆周角的度数为( ) A.30 ° B.60 ° C.30 °或 150 ° D.60 °或 120 ° 【答案】D 175. 【易】(2009 年延庆二模) O⊙ 中弦 AB CD、 相交于点 E .已知 60ECB∠ °= , 65AED∠ °= ,那么 ADE∠ 的度数是( ) A.40 ° B.15 ° C.55 ° D.65 ° 【答案】C 176. 【易】(2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷)如图, O⊙ 中,弦 AB、CD 相交 于点 P ,若 30A∠ = ° , 70APD∠ = ° ,则 B∠ 等于( ) 80° D C B A BA O D E C BA O O D C B A P58 /101 A. 30 ° B. 35 ° C. 40 ° D.50 ° 【答案】C 177. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )如图,点 A , B , C , D 为 O⊙ 上 的四个点, AC 平分 BAD∠ , AC 交 BD 于点 E , 4CE = , 6CD = ,则 AE 的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 178. 【易】(邵阳市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷)如左图所示,弦 AB、CD 相 交于点 O ,连结 AD、 BC,在不添加辅助线的情况下,请在图中找出一对相等的角, 它们是 _______. 【答案】 A C∠ = ∠ 或 D B∠ = ∠ 179. 【易】(怀柔区 2012 年第一学期期末九年级教学质量检测)如图,点 A 、 B 、 C 是 半径为 6 的 O⊙ 上的点, 30B∠ = °,则 AC 的长为________________ 【答案】 2π 180. 【易】(2011 罗湖区初三第二次联考)如图,点 A 、 D 在 O⊙ 上, BC 是 O⊙ 的直径, 35D∠ = ° ,则 OAB∠ = _____________. A B E C D O O C B A59 /101 【答案】35 ° 181. 【易】(平谷区 2010 年第二学期初三第一次统一练习)如图,CD AB⊥ 于 E ,若 60B∠ = ,则 A∠ = _________ 度. 【答案】30 182. 【易】如图, AB 是⊙ O 的直径, C , D , E 都是⊙ O 上的点,则∠ C +∠ D =_______. 【答案】90 ° 183. 【易】(2013 年苏州市初中毕业暨升学数学考试试卷)如图, AB 是半圆的直径,点 D 是 AC 的中点, 50ABC∠ °= ,则 DAB∠ 等于 ( ) A. 55 ° B. 60 ° C. 65 ° D. 70 ° 【答案】C D B O C A O E D C B A O E DC BA60 /101 184. 【易】(盐城市 2013 年初中毕业与升学统一考试数学试题 )如图,将 O⊙ 沿弦 AB 折叠, 使 AB 经过圆心 O,则 OAB∠ = ________. 【答案】 30 ° 185. 【中】(黑龙江省龙东地区 2013 年初中毕业学业统一考试数学试题)如图, ABC△ 内接于 O⊙ , AB BC= , 120ABC∠ = ° , AD 为 O⊙ 的直径, 6AD = ,那么 AB 的值为 ( ) A.3 B. 2 3 C. 3 3 D.2 【答案】A 186. 【中】(广西贵港市 2013 年初中毕业升学考试数学试卷)如图, AB 是 O⊙ 的弦, OH AB⊥ 于点 H ,点 P 是优弧上一点,若 2 3AB = , 1OH = ,则 APB∠ 的度数是 _______. 【答案】 60 ° 187. 【中】(怀柔区 2012 年第一学期期末九年级教学质量检测)如图所示,边长为 1 的小 正方形构成的网格中,半径为 1 的 O⊙ 的圆心 O 在格点上,则 AED∠ 的正弦值等于 ______________. O BA C D O B A P O H A B61 /101 【答案】 5 5 188. 【中】(四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷) 如图,边长为 1 的小正方形网格中, O⊙ 的圆心在格点上,则 AED∠ 的余弦值是 __________. 【答案】 2 55 189. 【中】(四川省资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学) 在 O⊙ 中, AB 为直径,点 C 为圆上一点,将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D ,连结 CD. (1)如图 5 1− ,若点 D 与圆心 O 重合, 2AC = ,求 O⊙ 的半径 r ; (2)如图 5 2− ,若点 D 与圆心 O 不重合, 25BAC =∠ °,请直接写出 DCA∠ 的度数 . 【答案】: (1)如图,过点 O 作 OE ⊥ AC 于 E , 则 AE = 1 1 2 12 2AC = × = E D C BA A O C BD D B O CA62 /101 ∵翻折后点 D 与圆心 O 重合, ∴ OE = 1 2 r 在 Rt ADE△ 中, 2 2 2AO AE OE= + , 即 2 2 2 11 2r r = +    解得: 2 3 3 r = (2)连接 BC, ∵ AB 是直径, ∴∠ ACB =90° , ∵∠ BAC =25° , ∴∠ B =90°-∠ BAC =90°-25°=65° , 根据翻折的性质, AC 所对的圆周角等于 AD C所对的圆周角, ∴∠ DCA =∠ B -∠ A =65°-25°=40° . 190. 【中】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷))如图, AB 为 O⊙ 的直径, 点 C 在 O⊙ 上,延长 BC 至点 D ,使 DC CB= ,延长 DA 与 O⊙ 的另一个交点为 E , 连结 AC, CE. (1)求证: B D∠ = ∠ ; (2)若 4AB = , 2BC AC− = ,求CE 的长. 【答案】证明:⑴ ∵ AB 是 O⊙ 直径, ∴ 90ACB = °∠ , ∴ AC BC⊥ . ∵ CD CB= , ∴ AD AB= , ∴ B D=∠ ∠ . ⑵ 设 BC x= ,则 2AC x= − . 在 Rt ABC△ 中, 2 2 2AC BC AB+ = , O C A B D E O C A B D E63 /101 ∴ ()2 2 22 4x x− + = , 解得 1 1 7x = + , 2 1 7x = − (舍去). ∵ B E=∠ ∠ , B D=∠ ∠ , ∴ D E=∠ ∠ , ∴ CD CE= . ∵ CD CB= , ∴ 1 7CE CB= = + . 191. 【中】(江西省 2013 年中等学校招生考试数学试题卷)如图 AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无刻度的直尺 按要求画图. ⑴ 在图 1 中,画出 ABC△ 的三条高的交点; ⑵ 在图 2 中,画出 ABC△ 中 AB 边上的高. 【答案】在图 1 中,点 P 即为所求;在图 2 中,CD 即为所求. 192. 【中】(哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷 )如图,在 ABC△ 中,以 BC 为直径作 半圆 O ,交 AB 于点 D ,交 AC 于点 E , AD AE= . ⑴ 求证: AB AC= ; ⑵ 若 4BD = , 2 5BO = ,求 AD 的长. 图2 C A BBA C 图1 D P 图1 C A B BA C 图2 A D B C E O O E CB D A64 /101 【答案】 ⑴证明:连接 CD、 BE, ∵ BC 为半圆 O 的直径, ∴ 90BDC CEB∠ =∠ =° . ∴ 90ADC AEB∠ =∠ =° 又∵ AD AE= , A A∠ = ∠ , ∴ ADC AEB△ ≌△ . ∴ AB AC= . ⑵解:连接 OD, ∵ OD OB= , ∴ OBD ODB∠ = ∠ . ∵ AB AC= , ∴ OBD ACB∠ = ∠ , ∴ ODB ACB∠ = ∠ . 又∵ OBD ABC∠ = ∠ , ∴ OBD ABC△ ∽△ . ∴ BD BO BC AB = . ∵ 2 5BO = ,∴ 4 5BC = . 又∵ 4BD = , ∴ 4 2 5 4 5 AB = . ∴ 10AB = . ∴ 6AD AB BD= − = . 2. 圆周角与圆心角 193. 【易】(密云县一模)如图, ABC△ 是 O⊙ 的内接三角形,若 70ABC∠ °= ,则 AOC∠ 的度数等于( ) A.140° B.130° C.120° D.110° 【答案】A 194. 【易】(2011 年娄底)如图, ABC△ 内接于 O⊙ ,已知 55A∠ = ° ,则 BOC∠ = ________. O C B A65 /101 【答案】110° 195. 【易】(2011• 南京)如图,海边立有两座灯塔 A B、 ,暗礁分布在经过 A B、 两点的弓 形(弓形的弧是 O⊙ 的一部分)区域内, 80AOB∠ = ° .为了避免触礁,轮船 P 与 A B、 的张角 APB∠ 的最大值为 ________. 【答案】40° 196. 【易】(2011 年广雅实验初三上期中)如图,已知 AB 为 O⊙ 的直径,点 C 在 O⊙ 上, 15C∠ = ° ,则 BOC∠ 的度数为( ) A.15 ° B.30 ° C.45 ° D.60 ° 【答案】B 197. 【易】(2010 年丰台二模)如图,点 A B C, , 都在 O⊙ 上,若 34C = °∠ ,则 AOB∠ 的度数为( ) CB A O P O BA C B A O O C BA66 /101 A. 34 ° B. 56 ° C. 60 ° D. 68 ° 【答案】D 198. 【易】(2013 年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试)如图, A 、 B 、 C 是 O⊙ 上的三点, 100AOC∠ = ° ,则 ABC∠ 的度数为( ) A. 30 ° B. 45 ° C. 50 ° D. 60 ° 【答案】C 199. 【易】(2013 山东滨州,4,3 分)如图,在 O⊙ 中圆心角 78BOC = °∠ ,则圆周角 BAC∠ 的大小为( ) A.156 ° B. 78 ° C. 39 ° D.39 ° 【答案】 C. 200. 【易】(2013 年漳州市中考数学试卷)如图, O⊙ 是 ABC△ 的外接圆,连接 OB、 OC,若OB BC= ,则 BAC∠ 等于( ) A. 60 ° B. 45 ° C. 30 ° D. 20 ° 【答案】C 201. 【易】(2013 年常德市初中毕业学业考试数学试题卷)如图,已知 O⊙ 是 ABC△ 的外 接圆,若 100BOC∠ = ° ,则 BAC∠ = _______. C O A B O CB A A O B C67 /101 【答案】50 ° 202. 【易】(2013 年安顺市初中毕业生学业、升学招生考试数学科试题)如图, A 、 B 、 C 三点在 O⊙ 上,且 80AOB∠ = ° ,则 ACB∠ 等于( ) A.100 ° B. 80 ° C. 50 ° D. 40 ° 【答案】D 203. 【易】(大兴区 2012 年度第一学期期末检测试卷)如图所示, A B C、 、 为 O⊙ 上的 三个点,若 °40=∠C ,则 ∠AOB 的度数为 __________ 【答案】80° 204. 【易】(娄度市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷 )如上右图,将直角三角板 60 ° 角 的顶点放在圆心 O 上,斜边和一直角边分别与 O⊙ 相交于 A B, 两点 , P 是优弧 AB 上 任意一点(与 A B, 不重合),则 APB∠ = ______. 【答案】30 ° CB A O O C BA68 /101 205. 【易】(2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试)如图,量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合,其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合,射线 CP 从 CA 处 出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转, CP 与量角器的半圆弧交于点 E ,第 24 秒 时,点 E 在量角器上对应的读数是 ______ 度. 【答案】144 206. 【易】(北京市第一六六中学 2011 年度第一学期期中考试试卷)如图,在直径为 AB 的半圆中,O 为圆心,C D、 为半圆上的两点, 50COD∠ = ° ,则 CAD∠ = ( ) A. 50 ° B. 25 ° C.100 ° D. 75 ° 【答案】B 207. 【易】(鞍山市 2013 年毕业考试数学试卷 )已知:如图, OA,OB 是 O⊙ 的两条半径, 且 OA OB⊥ ,点C 在 O⊙ 上,则 ACB∠ 的度数为( ) A. 45 ° B. 35 ° C. 25 ° D. 20 ° 【答案】A 208. 【易】(2009 广东肇庆中考)如图, O⊙ 是正方形 ABCD 的外接圆,点 P 在 O⊙ 上, 则 APB∠ 等于( ) C D A BO O B A C69 /101 A.30° B.45° C.55° D.60° 【答案】B 209. 【易】(2013 北京市房山初三数学综合练习一)如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正 方形,点 P 是劣弧 CD 上不同于点 C 的任意一点,则∠ BPC 的度数是( ) A.45° B.60° C.75° D.90° 【答案】A 210. 【易】(2011 年海淀区九年级第一学期期中练习)如图,点 O 为优弧 ABC 所在的圆 的圆心, 108AOC∠ = ° ,点 D 在 AB 的延长线上, BD BC= ,则 D∠ 的度数为( ) A. 20 ° B. 27 ° C. 30 ° D.54 ° 【答案】B 211. 【易】(泰安市 2013 年初中学生学业考试 )如图,点 A 、 B 、 C 在 O⊙ 上, 32ABO = °∠ , 38ACO = °∠ ,则 BOC∠ 等于 A. 60 ° B. 70 ° C.120 ° D.140 ° P O D C BA O C BA D OC B A70 /101 【答案】D 212. 【易】(2013 年无锡中考数学试题 )如图, A、 B 、 C 是 O⊙ 上的三点,且 70ABC∠ = ° , 则 AOC∠ 的度数是( ) A. 35 ° B.140 ° C. 70 ° D. 70 °或140 ° 【答案】B 213. 【易】(江苏省连云港市 2013 年中考数学试题)如图,△ABC 内接于 O⊙ , 35ACB∠ = ° ,则 OAB∠ = ________. 【答案】55 ° 214. 【易】(2010 年延庆二模)如图, A B C, , 是 O⊙ 上的三点, 2AB = , 30ACB∠ = °, 那么 O⊙ 的半径等于( ) A.1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 215. 【易】(2012 初三上期中)如图,弦 AB 的长等于 O⊙ 的半径,点C 在弧 AMB 上,则 C∠ 的度数是 ____________. O C B A O C B A71 /101 【答案】30° 216. 【易】(2011 湖北黄石中考)如图, ABC△ 内接于 O⊙ ,若 30B∠ = ° , 3AC = , 则 O⊙ 的直径为 ________. 【答案】 2 3 217. 【易】(海淀区 2011 期末)如图,在扇形 OAB 中, 90AOB∠ = ° , C 为 OA 的中点, 点 D 在 AB 上,且 CD AB∥ ,则 ABD∠ = ____________. 【答案】30 ° 218. 【易】(枣庄市 2009 年全市高中段招生统一考试,天津耀华中学 2010 届初三第一次 月考)如图, AB 是圆 O 直径, 130AOC∠ = ,则 D∠ = ( ) A. 65 B. 25 C.15 D. 35 【答案】B C BA C B A O C B A D A O B C D72 /101 219. 【易】(北京师大附中 2011 年度第一学期期中考试)如图,已知 是 的直径, 为弦, .过圆心作 交弧 于,连结 ,则 ________. 【答案】30 ° 220. 【易】(江苏省 2009 年中考数学试卷)如图, 是 的直径,弦 .若 ,则 _________. 【答案】 25 ° 221. 【易】(2009 年天津市初中毕业生学业考试试卷)如图, ABC△ 内接于 ,若 28OAB∠ = ° ,则 C∠ 的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】D 222. 【易】(北京市西城区 2012 年第一学期期末试卷)如图, O⊙ 是 ABC△ 的外接圆, 若 40OCB∠ = ° ,则 A∠ = _________ ° . AB O⊙ BC 30ABC = °△ O OD BC⊥ BC D DC DCB∠ = AB O⊙ CD AB∥ 65ABD∠ = ° ADC∠ = O DC BA O⊙ O C BA 28 ° 56 ° 60 ° 62 ° B O C A 5题 CD AB O73 /101 【答案】50 223. 【易】(2011 年哈尔滨中考)如图, BC 是 O⊙ 的弦,圆周角 50BAC∠ = ° ,则 OCB∠ 的度数是 _________ 度 【答案】40 224. 【易】(2012 届九年级第一模拟试题)如图, O⊙ 是 ABC△ 的外接圆,已知 30ABO∠ = ° ,则 ACB∠ 的大小为( ) A.60º B.30º C.45º D.50º 【答案】A 225. 【易】(首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试)如图,过 O⊙ 上一点 C 作 O⊙ 的切线,交 O⊙ 直径 AB 的延长线于点 D ,若 40D∠ = ° ,则 A∠ 的度数为 ( ) A. 20 ° B. 25 ° C. 30 ° D. 40 ° 【答案】B 226. 【易】(北京市东城区 2013 学年第二学期初三数学综合练习一)如图, AB 与⊙ O 相 切于点 B , AO 的延长线交⊙ O 于点 C ,连结 BC,若 ,则∠ C 等于 ( ) A.15 ° B.30 ° C. 45 ° D. 60 ° B O C A 1 2OC OA= A O BC74 /101 【答案】B 227. 【易】(北京市第十三中学 2011 九年级数学期中)如图,C 为 AB 上一点,且 118AOB = °∠ ,则 C =∠ ( ) A.118 ° B.121 ° C.123 ° D.125 ° 【答案】B 228. 【易】(北京市朝阳外国语学校 2012 年第二学期期中校考初二数学 A 层 B2 层试卷 ) 如图,四边形 ABCD 内接于 O⊙ ,若 160BOD∠ = ° ,则 BCD∠ 的度数等于( ) A.160 ° B.100 ° C. 80 ° D. 20 ° 【答案】B 229. 【易】(2013 年山东莱莱芜市中考试题 )如图,在 O⊙ 中,已知 22.5OAB = °∠ ,则 C∠ 的度数为( ) A.135 ° B.122.5 ° C.115.5 ° D.112.5 ° 【答案】D O C B A CB A D O O C BA75 /101 230. 【易】(2011 年四川雅安中考)已知 ABC△ 的外接圆 O 的半径为 3, 4AC = ,则 sin B = ( ) A. 3 1 B. 4 3 C. 5 4 D. 3 2 【答案】D 231. 【易】(湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷)如图, O⊙ 的直径 AB ⊥弦 CD,且 40BAC∠ = ° ,则 BOD∠ = ______. 【答案】80 ° 232. 【易】(天津耀华中学 2009 年第一学期九年级第二次月考)如图, A B C D、、、 是 O⊙ 上的四点,OA BC⊥ , 50AOB∠ = ° ,则 ADC∠ 的度数是( ) A.50 B.30 C. 25 D.20 【答案】C 233. 【易】如图, AB 为 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ , E 为 AD 上一点,若 70BOC = °∠ ,则 BED∠ 的度数为 ________。 C B A O O DC B A O C B A D76 /101 【答案】35 ° 234. 【易】(朝阳区 2012 年九年级第一学期期末统一考试)如图, O⊙ 的半径 OC 垂直于 弦 AB, D 是优弧 AB 上的一点(不与点 A B、 重合),若 50AOC∠ = ° ,则 CDB∠ 等 于( ) A.25° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 235. 【易】(2013 年北京市门头沟区初三年级数学试卷第一次统一练习)如图, OA 是⊙ O 的半径,弦 BC ⊥ OA, D 是⊙ O 上一点,若∠ ADC =26 º,则∠ AOB 的度数为 ( ) A.13 º B.26 º C.52 º D.78 º 【答案】C 236. 【易】(2011 年度第一学期期中考试)如图, AB 为 O⊙ 的直径,弦CD AB⊥ , E 为 BC 上一点,若 28CEA∠ = ° ,则 ABD∠ = ___________ ° . O E DC B A BA C O D O D CB A77 /101 【答案】28 237. 【易】(延庆县 2010 年毕业考试试卷)在 O⊙ 中, OD AB⊥ 弦 ,垂足为 C , 32DEB∠ = °,则 AOD∠ = __________ 度, A∠ = __________ 度. 【答案】64 ,26 238. 【易】(2009 年山西省中考)如图所示, 、 、 、 是圆上的点, 则 D∠ = ___________ 度. 【答案】30 239. 【易】(房山区一模)如图, O⊙ 是等边三角形 ABC 的外接圆 ,点 P 在劣弧 AB 上, 22ABP∠ = ° ,则 BCP∠ 的度数为 _____________. 【答案】38 ° O E D C BA O E D C BA A B C D 170 40A∠= ∠=°, °, P O C BA A B C D 1 78 /101 240. 【易】(2009 年铁岭市初中毕业生学业考试)如图所示, AB 为 O⊙ 的直径, P 点为 其半圆上一点, 40POA C∠ = ° , 为另一半圆上任意一点(不含 A B、 ),则 PCB∠ = _________ 度. 【答案】70 241. 【易】(2011 湖北咸宁市中考)如图,梯形 ABCD 内接于 O⊙ , AD BC∥ , °=∠ 49DAB,则 AOC∠ 的度数为 _________. 【答案】 °98 242. 【易】(北京景山学校 2012-2013 学年度第二学期八年级期末数学试卷)如图, ABC△ 内接于 O⊙ , 120BAC = °∠ , 4AB AC= = ,则 O⊙ 的直径 = _______. 【答案】8 243. 【易】(北京市 2013 年朝阳区九年级数学综合练习一)如图, AB 为⊙ O 的弦,半径 OC ⊥ AB 于点 D , AB = 32 ,∠ B =30° ,则△ AOC 的周长为 ______. B P C O A O D C B A C B A O79 /101 【答案】 6 244. 【易】(北京市第八十中学 2011 年第一学期初三)若 ABC△ 内接于 O⊙ , O⊙ 半径 为 6cm , 6 3cmBC = ,则 A∠ = _________. 【答案】60 °或120 ° 245. 【易】(2012 年丰台一模)如图 , O⊙ 的半径为 2,点 A 为 O⊙ 上一点,OD ⊥ 弦 BC 于点 D ,如果 1OD = ,那么 BAC∠ = ________ ° . 【答案】60 246. 【易】(海淀区九年级第二学期期中测评,延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷)如图, O⊙ 的半径为 2,点 A为 O⊙ 上一点,OD ⊥ 弦 BC 于点 D , 1OD = ,则 BAC∠ = ________ ° . 【答案】60 247. 【易】(2011 湖南永州)如图,在 O⊙ 中,直径 CD 垂直弦 AB 于点 E ,连接 ,OB CB , 已知 O⊙ 的半径为 2, 2 3AB = ,则 BCD∠ = ________ 度. 【答案】30 248. 【易】(2010 年石景山二模)已知:如图,在 O⊙ 中,弦. 6cmAB = ,圆周角 60ACB∠ = ° ,则 O⊙ 的直径为 _______ cm . O D CB A O D CB A O E C BA80 /101 【答案】 4 3 249. 【易】(2011 年大兴区二模)如图, O⊙ 的半径为 6,点 A B C、 、 在 O⊙ 上,且 45ACB∠ = ° , 则弦 AB 的长是 ________. 【答案】6 2 250. 【易】(眉山市 2009 年中考)如图, AB CD、 是 O⊙ 的两条互相垂直的弦,圆心角 130AOC∠ = ° , AD CB、 的延长线相交于 P , P∠ = ________ ° 【答案】40 ° 251. 【易】(新疆乌鲁木齐市 2009 年高中招生考试数学试卷)如图,点C D、 在以 为 直径的 O⊙ 上,且CD 平分 ACB∠ ,若 2 15AB CBA=∠ =°, ,则CD 的长为___________. 【答案】 C B A O C B A O C B A O P D AB O D C B A 381 /101 252. 【易】(2013 年临沂市初中学生学业考试试题)如图,在 O⊙ 中, 45CBO∠ = ° , 15CAO∠ = ° ,则 AOB∠ 的度数是( ) A. 75 ° B. 60 ° C. 45 ° D.30 ° 【答案】B 253. 【易】(2013 年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题 )图中圆心角 30AOB∠ = ° ,弦 CA OB∥ ,延长 CO 与圆交于点 D ,则 BOD∠ = ________. 【答案】30 ° 254. 【易】(巴中市二○一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷)如图 4,已知 O⊙ 是 ABD△ 的外接圆,AB 是 O⊙ 的直径,CD 是 O⊙ 的弦, 58ABD =∠ °,则 BCD∠ 等 于( ) A.116 ° B. 32 ° C. 58 ° D. 64 ° 【答案】B 255. 【易】(2013 年天津市初中毕业生学业数学考试试卷) 如图, PA PB、 分别切 O⊙ 于点 A B、 ,若 70P =∠ °,则 C∠ 的大小为 ______(度). O C B A O DC B A D C B A O82 /101 【答案】55 256. 【中】(北京二中分校 2011 学年度第一学期初三期中)如图 是 的直径, 是 上一点, ,垂足为 分别是 上一点(不与端点重 合),如果 ,下面结论: ① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中正确的是( ) A.①②③ B.①③⑤ C.④⑤ D.①②⑤ 【答案】B 257. 【中】(北京二中分校 2011 年第一学期初三期中)一条弦分圆为 1:5 两部分,则这条 弦所对圆周角的度数为 _______________. 【答案】30 ° 或150 ° 258. 【中】(成都石室中学初 2014 级九年级数学 10 月测试卷)已知 BC 是半径为 2cm 的 圆内的一条弦,点 A 为圆上除点 B C, 外任意一点,若 2 3cmBC = ,则 BAC∠ 的 度数为 __________. 【答案】 60 ° 或120 ° 259. 【中】(2011 年天津市初中毕业生学业考试试卷)如图, AD, AC 分别是 O⊙ 的直 径和弦.且 30CAD∠ = ° .OB AD⊥ ,交 AC 于点 B .若 5OB = ,则 BC 的长等于 _________. O P C B A AB O⊙ M O⊙ MN AB⊥ N P Q, 、 AM BM、 MNP MNQ∠ = ∠ 1 2∠ = ∠ 180P Q∠ +∠ =∠ ° Q PMN∠ = ∠ PM QM= 2MN PN QN= ⋅ 21 O Q P N M BA O D C B A83 /101 【答案】5 260. 【中】如图, AB 是 O⊙ 的一条弦,点 C 是 O⊙ 上一动点,且 30ACB∠ = ° ,点 E 、 F 分别是 AC、 BC 的中点,直线 EF 与 O⊙ 交于 G 、 H 两点.若 O⊙ 的半径为 7,则 GE FH+ 的最大值为 ________. 【答案】10.5 261. 【中】(2011 年连云港中考)如图,点 D 为 AC 上一点,点O 为边 AB 上一点, AD DO= .以O 为圆心,OD 长为半径作圆,交 AC 于另一点 E ,交 AB 于点 F G, , 连接 EF.若 22BAC∠ = ° ,则 EFG∠ = ________. ( ) () () 0 1 2 1 3 33 .2 2 EFG A FEA A DOF A A ADDO A ∠ =∠ +∠ ∠ + ∠ ∠+∠ = =∠= = = ∵ 【答案】 三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和 圆周角等于同弧所对圆心角的一半 262. 【中】(朝阳区 2012 年九年级第一学期期末统一考试)如图,CD 与 AB 是 O⊙ 内两 条相交的弦,且 AB 为 O⊙ 的直径,CE AB⊥ 于点 E , 5CE = ,连接 AC BD、 . ⑴若 13 5sin =D ,则 cos A = __________ ⑵在⑴的条件下,求 BE 的长. 【答案】⑴ 13 12 . ⑵解:如图,连接 BC. O HG F E C BA BG CE OF D A O E D C BA84 /101 ∵ AB 为 O⊙ 的直径,∴ 90 .ACB∠ = ° ∴由⑴知 13AC = , 12=AE, 13 12cos =A . 在 Rt ACB△ 中, AB ACA =cos , ∴ 12 169=AB. ∴ 12 25=−= AEABBE. 263. 【中】(2011 长沙中考)如图,在 O⊙ 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 P , 40CAB∠ = ° , 65APD∠ = ° 。 ⑴求 B∠ 的大小: ⑵已知圆心 O BD到 的距离为 3,求 AD 的长。 【答案】⑴ 25 ° ;⑵ 2 6AD OE= = 264. 【中】(2012 年第一学期终结性检测试卷)如图, ABC△ 内接于 O⊙ ,点 E 是 O⊙ 外 一点, .EO BC D⊥ 于点 求证: 1 E∠ = ∠ . 【答案】证明:延长 CO 交 O⊙ 于点 F ,联结 .AF O E D C BA P O D C B A 1O E DCB A85 /101 ∵ CF 是直径 ∴ 90FAC∠ = ° ,∴ 1 90F∠ +∠= ° ∵ EO BC⊥ ,∴ 90EDB∠ = ° ∴ 90B E∠ +∠ = ° ∵ F B∠ = ∠ ∴ 1 E∠ = ∠ 265. 【中】(2009 年广州中考)如图 10 ,在 O⊙ 中, 60ACB BDC∠ =∠ =° , 2 3AC cm= . ⑴求 BAC∠ 的度数; ⑵求 的周长. 【答案】⑴∵ , ∴ . ⑵∵ , ∴ . ∴ 是等边三角形. 求 的半径给出以下四种方法: 方法 1:连结 并延长交 于点 (如图 1). O 1 D CB A E F O⊙ BC BC= 60BAC BDC∠ =∠ = ° 60BAC ACB∠ =∠ = ° 60ABC∠ = ° ABC△ O AOBC E O A D C B E E A O D C B 86 /101 ∵ 是等边三角形, ∴圆心 既是 的外心又是重心,还是垂心. 在 中 , ∴ . ∴ 2 23AO AE cm= = ,即O 的半径为 2cm . 方法 2:连结 ,作 交 于点(如图 2) ∵ , , ∴ . ∴ . ∵ , ∴ 中, . 在 中, , ∴ 即 . ∴ ,即 的半径为 2cm . 方法 3:连结 ,作 交 于点(如图 2). ∵O 是等边三角形 的外心,也是 的角平分线的交点, ∴ . 在 中, 即 . ∴ . ∴ ,即 O 的半径为 2cm . 方法 4:连结 ,作 交 于点(如图 2). ∵O 是等边三角形的外心,也是 的角平分线的交点, ABC△ O ABC△ Rt AEC△ 2 3cm 3cmAC CE= =, 2 2 3cmAE AC CE= − = OC OA、 OE AC⊥ AC E OA OC= OE AC⊥ CE EA= 1 1 2 3 3cm2 2AE AC= =× = 2 120AOC ABC OE AC∠ =∠ = °, ⊥ Rt AOE△ 60AOE∠ = ° Rt AOE△ sin AEAOEOA ∠ = sin 60 AE OA =° , 3 3 2 OA = 2cmOA = O OC OA、 OE AC⊥ AC E ABCABC△ 1 130 2 3 3cm2 2OAE AE AC∠= = =×=°, Rt AEO△ cos AEOAEOA ∠ = , 3cos30 OA =° 3 3 2 OA = 2cmOA = OC OA、 OE AC⊥ AC E ABC△ O A D C B E E E 87 /101 ∴ . 在 中,设 ,则 , ∵ , ∴ . 解得 . ∴ ,即 O 的半径为 2cm . ∴ O 的周长为 ,即 . 266. 【中】(2011 年南昌中考)如图,已知 O⊙ 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A为弦 BC 所对优弧上任意一点( B C, 两点除外). ⑴求 BAC∠ 的度数; ⑵求 ABC△ 面积的最大值 . (参考数据: 3sin 60 2 ° = , 3cos30 2 ° = , 3tan 30 3 ° = ) 【答案】解:⑴ 解法一 连接 OB OC, ,过 O 作 OE BC⊥ 于点 E . ∵ OE BC⊥ , 2 3BC = , ∴ 3BE EC= = . 在 Rt OBE△ 中, 2OB = , ∵ 3sin 2 BEBOEOB ∠ = = , ∴ 60BOE∠ = , ∴ 120BOC∠ = , ∴ 1 602BAC BOC∠ =∠ = 解法二: 连接 BO 并延长,交 O⊙ 于点 D ,连接 CD. ∵ BD 是直径,∴ 4BD = , 90DCB∠ = . 1 130 2 3 3cm2 2OAE AE AC∠= = =×=°, Rt AEO△ cmOE x= 2 cmOA x= 2 2 2AE OE OA+ = 2 2 2(3) (2)x x+ = 1x = 2cmOA = 2πr 4πcm O E CB A A B C O D 88 /101 在 Rt DBC△ 中, 2 3 3sin 4 2 BCBDCBD ∠ = = = , ∴ 60BDC∠ = ,∴ 60BAC BDC∠ =∠ = . ⑵ 解法一 因为 ABC△ 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时, ABC△ 的面积 最大,此时点 A落在优弧 BC 的中点处 . 过 O 作OE BC⊥ 于 E ,延长 EO 交 O⊙ 于点 A,则 A为优弧 BC 的中点 .连接 AB AC, , 则 AB AC= , 1 302BAE BAC∠ =∠ = . 在 Rt ABE△ 中,∵ 3, 30BE BAE= ∠ = , ∴ 3 3tan 30 3 3 BEAE = = =° , ∴ 1 23 3 33 2ABCS =× ×=△ . 答: ABC△ 面积的最大值是 3 3 . 解法二: 因为 ABC△ 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时, ABC△ 的面积 最大,此时点 A落在优弧 BC 的中点处 . 过 O 作OE BC⊥ 于 E ,延长 EO 交 O⊙ 于点 A,则 A为优弧 BC 的中点 .连接 AB AC, ,则 AB AC= . ∵ 60BAC∠ = ° , ∴ ABC△ 是等边三角形 . 在 Rt ABE△ 中,∵ 3, 30BE BAE= ∠ = , ∴ 3 3tan 30 3 3 BEAE = = =° , ∴ 1 23 3 33 2ABCS =× ×=△ . 答: ABC△ 面积的最大值是 3 3 . 267. 【中】(天津塘沽 2011 年初三年级总复习质量检测(二)数学学科试卷)有两张正方 形纸片,按下列要求完成作(画)图:(要求保留画图痕迹) ⑴ 请在图①的正方形 ABCD 内,画出使 90APB∠ = ° 的一个..点 P ; A B C O E 89 /101 ⑵ 请在图②的正方形 ABCD 内(含边),画出使 60APB∠ = ° 的所有..的点 P ,并简述 画图的过程及理由: 【答案】⑴对角线交点即可,其它满足题目要求的均可得分; ⑵分别以 A B、 为圆心, AD 为半径画弧,相交于正方形内一点 M ,则 ABM 可构成一正三角形;分别作 AB AM、 的垂直平分线,相交于 O 点,则O 为 ABM∆ 的外心,做出 ABM∆ 外接圆,则外接圆上所有点 N 都满足 60ANB AMB∠ =∠ =° . 268. 【中】(天津耀华嘉诚 2008 年第一学期九年级第二次月考)如图,已知 1O⊙ 经过 2O⊙ 的圆心 2O ,且与 2O⊙ 相交于 A B, 两点,点C 为弧 2AO B 上的一个动点(不与 A B, 重合),连接 AC 并延长交 2O⊙ 于点 P ,连接 BP BC、 ,则图中大小没有变化的 角有( )个 A.2 B. 3 C.4 D.5 【答案】C 269. 【中】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)已知:如图 ABC△ 内接于 O⊙ , BD ⊥半径 AD 于 D . 4.8BD = , 4sin 5C = ,则 O⊙ 的半径为 ______. 【答案】5 O1 O2 P CB A O D C B A90 /101 270. 【中】(成都市 2009 年中考)如图, A B C、 、 是 O⊙ 上的三点,以 BC 为一边,作 CBD ABC∠ = ∠ ,过 BC 上一点 P ,作 PE AB∥ 交 BD 于点 E .若 60AOC∠ = ° , 3BE = ,则点 P 到弦 AB 的距离为 _______. 【答案】 3 3 2 271. 【难】(2009 年四川省内江市会考试卷)如图,四边形 ABCD 内接于圆,对角线 AC 与 BD 相交于点 E F, 在 AC 上, . 求证:⑴ ;⑵ . 【答案】⑴∵ AB AD= ∴ AB AD ADB ABD= ∠ =∠弧 弧 , ∴ ACB ADB ABD ACD∠ =∠ =∠ =∠ ∴ 90 0.5 90ADB BAD DFC∠ = °− ∠ = °−∠ ∴ 90ADB DFC∠ +∠ =° ∴ CD DF⊥ ⑵过 F 做 FG 垂直 BC ACB ADB BFC BAD∠ =∠ ∠ =∠∵ ,又 ∴ FBC ABD ADB ACB∠ =∠ =∠ =∠ ,则 FB FC= ∴ G 为 BC 中点, 1 2GFC BAD DFC∠ =∠ =∠ FGC DFC SAS△ ≌△ ( ) ∴ 1 2CD GC BC= = , 2BC CD= 3. 圆周角与直径 B E D O C P A 2AB AD BFC BAD DFC= ∠ =∠ =∠, CD DF⊥ 2BC CD= A D C B E F 91 /101 272. 【易】(河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4)如图, AB 是 O⊙ 的直径,点C 在 O⊙ 上,则 ACB∠ 的度数为( ) A.30 B. 45 C. 60 D.90 【答案】D 273. 【易】(2009 年长春市初中毕业生学业考试数学试题)如图,点 C 在以 AB 为直径的 O⊙ 上, 10AB = , 30A∠ = ° ,则 BC 的长为 ____________. 【答案】5 274. 【易】(2013 江苏省南通市中考数学试题)如图, O⊙ 的直径 4AB = ,点 C 在 O⊙ 上, 30ABC∠ = ° ,则 AC 的长是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 【答案】D 275. 【易】(2013 年山东省青岛市初级中学学业水平考试)如图, AB 是 O⊙ 直径,弦 2AB = , 30ABC = °∠ ,则图中阴影部分的面积是 _______. C BA C BA O C BA O BA C92 /101 【答案】 3 2 276. 【易】(2012 顺义一模)如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,把标有刻度的 尺子 OA OB、 在 O 点钉在一起,并使它们保持互相垂直.在测直径时,把 O 点靠在圆 周上,读得刻度 4OE = 个单位, 3OF = 个单位,则圆的直径为( ) A.7 个单位 B.6 个单位 C.5 个单位 D.4 个单位 【答案】C 277. 【易】(2009 年台湾第一次中考数学科试题) AB 是一圆的直径, C , D 是圆周上的 两点。已知 7AC = , BC =24 , AD =15 , BD =( ) A.16 B.20 C. D. 【答案】B 278. 【易】(北京师大附中 2011 年第一学期期中考试)如图 O⊙ 的直径 CD 过弦 EF 的中 点 G , 40EOD∠ = ° ,则 DCF∠ 等于( ) A. 80 ° B. 50 ° C. 40 ° D. 20 ° 【答案】D 279. 【易】(郑州市 2011 年中考数学中招模拟考试).如图, AB 为 O⊙ 的直径, AB 经 过弦 CD 的中点 E , 150BOC∠ = ° ,则 ABD∠ = __________(度). F EO x y 8 35 5 56 D FE G O C93 /101 【答案】15 280. 【易】(2009 年朝阳二模)如图,在 O⊙ 中,直径 AB CD H⊥ 弦 于点 , E O⊙是 上的 点,若 25BEC∠ = ° ,则 BAD∠ 的度数为( ) A.65° B.50° C.25° D.12.5° 【答案】C 281. 【易】(2011 福建三明市中考)如图, AB 是 O⊙ 的直径,C D, 两点在 O⊙ 上,若 40C∠ = ° ,则 ABD∠ 的度数为( ) A.40° B.50° C.80° D.90° 【答案】B 282. 【易】(怀柔区 2012 学年度第一学期期末九年级教学质量检测)如图, A D、 是 O⊙ 上的两个点, BC 是直径,若 35D∠ = ° ,则 OAC∠ 的度数是( ) A.35° B.55° C.65° D.70° D E C B A O H O E DC B A D C BA O94 /101 【答案】B 283. 【易】(2010 年平谷二模)已知,如图, AB 是 O⊙ 的直径,点 D ,C 在 O⊙ 上,联 结 AD、 BD、 DC、 AC,如果 25BAD∠ = °,那么 C∠ 的度数是( ) A. 75 ° B. 65 ° C. 60 ° D.50 ° 【答案】B 284. 【易】(2011 年昌平二模)如图, AB 是 O⊙ 的直径,C D、 是 O⊙ 上的两点,若 70ABC∠ = ° ,则 BDC∠ 的度数为( ) A.50° B.40° C.30° D.20° 【答案】D 285. 【易】(2011 年河南省重点中学六校调研中考数学一模试卷)如图, BD 是 O⊙ 的直 径, 30A∠ = ° ,则 CBD∠ = ________ 度. 【答案】60 O D CB A O D C B A O D C BA OD C B A95 /101 286. 【易】(2012.5 密云)如图, ABC△ 内接于 O⊙ , AB 是 O⊙ 的直径,点 D 是 CAB 上 一点,若 20ABC∠ = ° ,则 D∠ 的度数是 ______. 【答案】70 287. 【易】(昌平区一模)如图,已知, AB 是⊙O 的直径,点C D, 在 O⊙ 上, 50ABC∠ = ° ,则 D∠ 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 【答案】C 288. 【易】(顺义区一模)如图, ABC△ 内接于圆 O , 50A = ∠ , =60ABC∠ ° , BD 是 圆O的直径, BD 交 AC 于点 E ,连结 DC,则 BEC∠ 等于( ) A.50 ° B. 60 ° C. 70 ° D.110 ° 【答案】C 289. 【易】(2013 年珠海市初中毕业生学业考试数学)如图,平行四边形 ABCD 的顶点 A、 B 、 D 在 O⊙ 上,顶点 C 在 O⊙ 的直径 BE 上, 54ADC∠ = ° ,连接 AE,则 AEB∠ 的 度数为( ) A.36 ° B. 46 ° C. 27 ° D.63 ° O D C B A O D C BA E A B C D O 96 /101 【答案】A 290. 【易】(平谷区 2012 年第一学期末考试试卷) 如图, AB 是 O⊙ 的直径,CD 是 O⊙ 的弦,如果 52DAB∠ = ° ,那么 ACD∠ = ________°. 【答案】38 ° 291. 【易】(成都市 2009 年中考)如图, ABC△ 内接于 O⊙ , AB BC= , 120ABC∠ = ° , AD 为 O⊙ 的直径, 6AD = ,那么 BD = _________. 【答案】3 3 292. 【易】(2013 年辽宁省沈阳市中考数学试卷)如图,点 A、 B 、C 、 D 都在 O⊙ 上, 90ABC∠ = ° 3AD = , 2CD = ,则 O⊙ 的直径的长是 _______. 【答案】 13 O D C BA O D C B A97 /101 293. 【易】(常州市 2013 年初中毕业、升学统一文化考试数学试题)如图, ABC△ 内接 于 O⊙ , 120BAC∠ = ° , AB AC= ,BD 为 O⊙ 的直径, 6AD = ,则 DC =________. 【答案】 2 3 294. 【中】(2013 年浙江省初中毕业生学业考试(嘉兴卷))如图, O⊙ 的半径 OD ⊥ 弦 AB 于点 C ,连结 AO 并延长交 O⊙ 于点 E ,连结 EC.若 8AB = , 2CD = ,则 EC 的长 为( ) A 2 15 B8 C 2 10 D 2 13 【答案】D 295. 【中】(2010 年成都中考) 如图,在 ABC△ 中, AB 为 O⊙ 的直径, 60 70B C∠= °∠ = °, ,则 BOD∠ 的度数是 _____________ 度. 【答案】100 296. 【中】(北京汇文中学 2011 年度初三数学)如图,已知 O⊙ 的半径为 5,锐角 ABC△ 内接于 O⊙ , BD AC⊥ 于点 D , 8AB = ,则 tan CBD∠ 的值等于( ) O D CB A O E D C BA O D C B A98 /101 A. 4 3 B. 4 5 C. 3 5 D. 3 4 【答案】D 297. 【中】(2009 大兴一模)已知:如图, ABC△ 内接于 O⊙ ,点 D 是 AB 边的中点,且 90BAC DCB∠ +∠ =° . ⑴试判断 ABC△ 的形状并证明; ⑵当 AB 经过圆心 O 时,试判断 ABC△ 的形状并证明. 【答案】⑴当 AB 不过圆心 O 时, ABC△ 为等腰三角形 证明:延长 CD 交 O⊙ 于点 E , ∵ 90BAC DCB∠ +∠ =° , ∴弧CB 与弧 BE 的度数之和等于 180 °. ∴CE O⊙为 的直径 . ∵点 D AB是 的中点, ∴ CE AB⊥ 于点 D . ∴ AC BC= . ∴ ABC△ 为等腰三角形 ⑵当 AB 经过圆心 O 时, ABC△ 为等腰直角三角形 . 证明:同⑴可证 ABC△ 为等腰直角三角形, 又∵ AB 经过圆心,即 AB 为 O⊙ 的直径, ∴ 90ACB∠ = ° . O BA D C O D CB A OD CB A E99 /101 ∴ ABC△ 为等腰直角三角形 298. 【中】(房山区一模)已知:如图,在 ABC△ 中, AB AC= ,以 AB 为直径的⊙O 分 别交 BC AC、 于点 D E、 ,联结 EB 交 OD 于点 F . ⑴求证:OD BE⊥ ; ⑵若 5DE = , 5AB = ,求 AE 的长. 【答案】⑴联结 AD ∵ AB O⊙是 的直径,∴ 90ADB AEB∠ =∠ =° ∵ AB AC= ,∴CD BD= ∵ OA OB= ,∴OD AC∥ ∴ OD BE⊥ ⑵方法一:∵ 90CEB AEB∠ =∠ =° , CD BD= , 5AB = , 5DE = ∴ 5AC AB= = , 2 2 5BC DE= = , 在 ABE BCE△ 、△ 中, 90CEB AEB∠ =∠ =° ,则有 2 2 2 2AB AE BC EC− = − 设 AE x= , 则 ( ) ()2 22 25 25 5x x−= −− 解得: 3x = ∴ 3AE = 方法二:∵OD BE⊥ ,∴ BD DE BF EF= =, 设 AE x= ,∴ 1 2OF x= ,在 OBF BDF△ 、△ 中, 90OFB BFD∠ =∠ =° ∴ 2 2 2 2BD DF OB OF− = − F E O D C BA F E O D C BA100 /101 ∵ 5DE = , 5AB = , ∴ () 2 2 22 51 5 15 22 2 2x x −− = −   解得: 3x = , ∴ 3AE = 方法三:∵ BE AC AD BC⊥ ⊥, , ∴ 1 1· ·2 2ABCS BC AD AC BE= =△ , ∴ · ·BC AD ACBE= ∵ 2 2 5BC DE= = , 5AC AB= = ∴ 4BE = , ∴ 3AE = 299. 【难】(成都市二 ○一三年高中阶段教育学校统一招生考试)如图, A B C, , ,为 O⊙ 上相邻的三个 n 等分点, AB BC= ,点 E 在弧 BC 上, EF 为 O⊙ 的直径,将 O⊙ 沿 EF 折叠,使点 A 与 A′重合,连接 EB′, EC, EA′.设 EB b=′ , EC c= , EA p=′ . 先探究 b c p, , 三者的数量关系:发现当 3n = 时, p b c= + .请继续探究 b c p, , 三 者的数量关系: 当 4n = 时,. p = ._______;当 12n = 时, p = _______. (参考数据: 6 2sin15 cos75 4 −= =° ° , 6 2cos15 sin75 4 += =° ° ) 【答案】 2b c± , 2 3 1 2 2 b c −+ 或 或 6 2 2 b c − − 如解答图所示,连接 AB、 AC、 BC. 由题意,点 A、 B 、C 为圆上的 n 等分点, 101 /101 ∴ AB = BC,∠ ACB = 1 360 180 2 n n × = (度), 在等腰 ABC△ 中,过顶点 B 作 BN ⊥ AC 于点 N , 则 AC =2 CN =2 BC•cos ∠ ACB = 1802cos BCn ⋅ , ∴ 1802cosAC BC n = , 连接 AE、 BE,在 AE 上取一点 D ,使 ED EC= ,连接 CD. ∵∠ ABC =∠CED, ∴△ ABC 与 CED△ 为顶角相等的两个等腰三角形, ∴△ ABC ∽△ CED. ∴∠ ACB = DCE∠ . ∵∠ ACB =∠ ACD +∠ BCD,∠ DCE =∠ BCE +∠ BCD, ∴∠ ACD =∠ BCE. 在 ACD△ 与 BCE△ 中, ∵ AC CD BC EC = , ACD BCE∠ = ∠ , ∴ ACD BCE△ ∽△ ∴ DA AC EB BC = , ∴ 1802cosACDA EB EBBC n =⋅= ⋅ . ∴ 1802cosEA ED DA EC EBn =+=+ ⋅ . 由折叠性质可知, p EA EA′= = , b EB EB′= = ,c EC= ∴ 1802cosp c bn = + ⋅ . 当 4n = 时, 2cos45 2pc bc b=+ °⋅=+ ; 当 12n = 时, 6 22cos15 2pc bc b +=+ °⋅=+ . 故答案为: 2C b+ , 6 2 2c b ++ .

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