狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用 作 者 指导教师 摘 要：狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数有着许多特殊的性质，它在数学分析、实变函数与泛函分析、复合函数等诸多领域均有十分广泛的应用，在数学发展过程中起过重要的作用。本文将在性质与应用两个方面对狄利克雷函数进行讨论。 关键词：狄利克雷函数；性质；应用；反例 函数概念最早出现在世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》(年)中。他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的。世纪德国著名数学家莱布尼茨年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念。后来, 莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念。在数学史上, 这是一大进步, 它使得人们可以从数量上描述运动了。当时的函数指的是可以用解析式表示的函数,但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。 历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷（）。这也促成了微积分的严格性的开始。事实上,如果严格性没有进入定义,那就无法在推理中体现严格性。 当时, 数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象。 狄利克雷在年给出了下面的著名函数（后人称为狄利克雷函数）: 这个函数具有三个特点: (1)没有解析式:使函数概念从解析式中解放了出来。 (2)没有图形:使函数概念从几何直观中解放了出来。 (3)没有实际背景:使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。 狄利克雷函数的出现,表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来。这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。 1 狄利克雷函数及其性质 狄利克雷( [德])函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。 1.1 狄利克雷函数的相应定义 （1）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷函数． （2）对任意令，则称为定义在实数上的狄利克雷拓展函数． （3）一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： 其中为实数,． 1.2 狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的性质 1．周期性 定理1.1 任意的非零有理数都是及的周期；但是任何的无理数都不是的周期． 证 由 对任意有理数，有 故任意的有理数都是及的周期． 对任意的无理数，有 故任何的无理数都不是和． 2.有界性 定理1.2 都是有界函数． 证 由 故知且，所以都是有界函数． 3.奇偶性 定理1.3 都是偶函数． 证 由 且知负号不改变数的有理性及无理性，所以可得 所以且，故及都是偶函数． 4.单调性 定理1.4 及在实数集的任何区间上都不具有单调性． 证 对,在区间上由实数的稠密性知，在区间上存在无数个有理数及无数个无理数． 不妨设，、为无理数，为有理数，.则 ，；，； 故可知在实数集的任何区间上都不具有单调性． 5.连续性 定理1.5 对于及都不存在． 证 对任意小的由实数的稠密性知在内 存在一组递增的有理数组 存在一组递增的无理数组 且 ． 又易得 可知及不存在，故和不存在. 定理1.6 及在上处处不连续． 证：由定理1.5知对于及都不存在． 故知，又由在上处处不连续． 6.可积性 定理1.7 及在任何区间上非可积． 证 由 对于的一个分割,任取点,,并作和式： 由实数的稠密性知，当取为有理数时，，则；而取为无理数时，；故在任何区间上非可积． 由 对于的一个分割,任取点,,并作和式： 当分别取有理数和无理数时，的值互为相反数且都不为零．故在任何区间上非可积． 综上可知, 及在任何区间上非可积． 2 狄利克雷函数的应用 数学中的反例，是用以否定错误命题而举的例子。反例的作用大致可分为三类：（1）说明定理的条件及结论的不可更改性；（2）否定似是而非命题；（3）纠正直观上可能产生的错觉的命题。 利用狄利克雷函数的独特性质可以构造许多数学反例，它们在数学分析教学中发挥着重要的作用。 2.1 利用狄利克雷函数构造反例说明数学命题成立 命题2.1.1 存在函数,在某一点连续而在其他点都不连续． 证 设．因为在连续（）, 而在时不连续． 命题2.1.2 存在函数,在任意点不连续, 但在任意点都连续． 证 设 由定理1.5知不存在极限，故知在任一点都不连续,而在任意点都连续． 命题2.1.3 存在函数，仅在一点可导且连续． 证 设 则 . 即仅在一点处可导且连续. 命题2.1.4 存在函数，在定义域上有界且不可积． 证 令 显然在上有界． 对于的一个分割,任取点,,并作和式： 由实数的稠密性知对于分割，内既存在有理数又存在无理数． 当取为有理数时有 ，则； 当取为无理数时有 ，则； 从而不存在，故在上不可积． 即在上有界且不可积. 命题2.1.5 存在上不恒为零的函数,使且对任意的都成立． 证 令 则有；且知在上不恒为零． 又 从而，不论取何值，肯定总有 ． 命题2.1.6 某个不连续函数列可以一致收敛于某个连续函数． 证 令其中为狄利克雷函数（一般意义上的，不是广义定义的）．则在上每一点均不连续． 又由于 故当上一致收敛于零. 而是连续函数． 2.2 利用狄利克雷函数构造反例否定错误数学命题 （1） 说明定理的条件与结论的不可更改性 定理2.1（）设和都是可测集上的非负可测函数且都可积分，而且对几乎所有的单调增加收敛于，则 . 命题2.2.1 “定理”对积分不成立． 例1 设中全体有理数为再令其中 则知是上非负递增的可积函数列．因为 而在上是非可积的．故定理2.1对于积分不成立． 定理2.2(） 设是上的一列单调增加的函数, 并且函数项级数在上处处收敛于．则成立 命题2.2.2 定理2.2中函数列中诸函数的单调性条件不能少． 例2 设中全体有理数为对每个,在上定义 一方面，对每一,函数在点外恒等于零,所以不是单调函数．另一方面,易知 由于上处处不连续，则处处不可导，更谈不上逐项求导了． （2）否定似是而非的命题 命题2.2.3 函数、不连续，则、也不连续．（否） 例3 令．易知都是实数上处处不连续的函数，但均为常函数,自然都是连续函数． 命题2.2.4 对于函数，是可积的，则也是可积的．（否） 例4 在上定义 由于，即函数为常数函数，所以在上都是可积的． 但是 却是处处不连续的． 即为非可积． 命题2.2.5 非有界变差函数的绝对值函数和平方函数也是非有界变差函数.（否） 例5 在上设，则是非有界变差函数． 设上的分划为 其中当取偶数时，为有理数；当取奇数时，为无理数．这时 . 随着分划的细分,,即是一无界集, 所以不是有界变差函数.而为常数函数,对于上的一切分划，均有 所以和都为有界变差函数. （3）纠正直观上可能产生错觉的命题 命题2.2.6 函数项级数的收敛域必为一区间．（否） 例6 令，则知 当为有理点时 当为无理点时 故的收敛区域为集合. 命题2.2.7 不存在函数，使得仅在一点连续．（否） 例7 令,因为．所以处连续．但当时，不连续. 命题2.2.8 可积与可积等价．（否） 例8 在上定义 由为可测集上的有界函数,对的分划,满足为有理数集，为无理数集，则 , 故知在上是可积. 而在上是非可积的. 3 致谢 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。我要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师——马永传副教授。从论文题目的选定到论文写作的指导,经由他悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。 同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。 最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。 4 参考文献： [1] 程其襄,等.实变函数与泛函分析基础.高等教育出版社,1983. [2] 华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社,1981. [3] 匡继昌.实分析与泛函分析．高等教育出版社,2001． [4] 朱时.分析提纲与命题证明.宇航出版社，1986. [5] 邓东皋,尹小玲. 数学分析简明教程(上册).高等教育出版社,1999. [6] 邓东皋,尹小玲. 数学分析简明教程(下册).高等教育出版社,1999. [7] 林艺.数学小百科.机械工业出版社.1999. 课题 作者 指导老师 Abstract：Dirichlet function as one of analytics tectonic sexual function，It has many special properties.Dirichlet function in mathematical analysis, realvariable function and functional analysis, composite function and so on many domains are very widely, Dirichlet function in process of math development played an important role. This paper will be a properties and application two aspects to discuss dirichlet function. Key words：Dirichlet function ；properties ；application ；counterexamples 本文档由香当网(https://www.xiangdang.net)用户上传
