第二章 §2.1　第1课时　函数的概念及其表示


§21　函数概念表示
考试求　1解构成函数素会求简单函数定义域值域2实际情景中会根需选择恰方法(图法列表法解析法)表示函数3解简单分段函数简单应．


1．函数概念
般设AB非空数集果某应关系f集合A中数x集合B中存唯确定数f(x)应应关系f作定义集合A函数记作f：A→By＝f(x)x∈A
2．函数定义域值域
(1)函数y＝f(x)x∈A中x作变量x取值范围A作函数定义域x值相应y值作函数值函数值集合{f(x)|x∈A}作函数值域．
(2)果两函数定义域相应关系完全致称两函数相等．
3．函数表示法
表示函数常方法解析法图法列表法．
4．分段函数
(1)函数定义域子集应关系分式子表示种函数称分段函数．
(2)分段函数部分组成表示函数．分段函数定义域等段函数定义域集值域等段函数值域集．

微思考
1．直线x＝a(a常数)函数y＝f(x)图少交点？
提示　01．
2．函数定义中非空数集AB函数定义域值域什关系？
提示　函数定义域集合A值域集合B子集．

题组　思考辨析
1．判断列结否正确(请括号中√×)
(1)A＝RB＝{x|x>0}f：x→y＝|x|应AB函数．(　×　)
(2)两函数定义域值域相两函数相等．(　×　)
(3)y＝＋函数．(　×　)
(4)函数y＝f(x)图条封闭曲线．(　×　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝＋定义域________．
答案　[02)∪(2＋∞)
解析　题意
解x≥0x≠2
∴原函数定义域[02)∪(2＋∞)．
3．已知函数f(x)＝f(2)＝________
答案　2
解析　f(2)＝f(1)＝21＝2
4．已知函数f(x)＝f(x)值域________．
答案　(01)∪[2＋∞)
解析　x≤1时f(x)＝x2＋2
∴f(x)∈[2＋∞)
x>1时f(x)＝
∴f(x)∈(01)．
综f(x)值域(01)∪[2＋∞)．
题组三　易错纠
5．列图形中表示M＝{x|0≤x≤1}定义域N＝{y|0≤y≤1}值域函数图(　　)


答案　C
解析　A选项中值域满足B选项中定义域满足D选项函数图函数定义知选项C正确．
6．已知f()＝x＋－1f(x)＝________
答案　x2＋x－1x≥0
解析　令t＝t≥0x＝t2
∴f(t)＝t2＋t－1(t≥0)
∴f(x)＝x2＋x－1x≥0

第1课时　函数概念表示

题型 函数概念

1．列曲线表示yx间关系中yx函数(　　)


答案　C
2．列组函数相等(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1(x∈R)g(s)＝s2－2s－1(s∈Z)
B．f(x)＝x－1g(x)＝
C．f(x)＝g(x)＝
D．f(x)＝g(x)＝x
答案　C
3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}Q＝{y|0≤y≤2}列PQ应关系f函数________．(填序号)
①f：x→y＝x②f：x→y＝x③f：x→y＝x④f：x→y＝
答案　③
解析　③中f：x→y＝xx∈[04]时y＝x∈⊈Q满足函数定义．
思维升华　(1)函数定义求第非空数集A中元素第二非空数集B中元素应B中存A中元素应元素．
(2)构成函数三素中定义域应关系相值域定相．

题型二 求函数解析式

例1　求列函数解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x求f(x)解析式
(2)已知f ＝x2＋求f(x)解析式
(3)已知f(x)次函数3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17求f(x)解析式
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x求f(x)解析式．
解　(1)(换元法)设1－sin x＝tt∈[02]
sin x＝1－t∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2t∈[02]．
f(x)＝2x－x2x∈[02]．
(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2
∴f(x)＝x2－2x∈(－∞－2]∪[2＋∞)．
(3)(定系数法)∵f(x)次函数
设f(x)＝ax＋b(a≠0)
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17
ax＋(5a＋b)＝2x＋17
∴解
∴f(x)解析式f(x)＝2x＋7
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x①
∴x－x换2f(－x)＋f(x)＝－3x②
①②解f(x)＝3x
思维升华　函数解析式求法
(1)配凑法：已知条件f(g(x))＝F(x)F(x)改写成关g(x)表达式然x代g(x)便f(x)表达式．
(2)定系数法：已知函数类型(次函数二次函数)定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))解析式换元法时注意新元取值范围．
(4)解方程组法：已知关f(x)f f (－x)等表达式根已知条件构造出外等式组成方程组通解方程组求出f(x)．
踪训练1　(1)(2020·济南模拟)f ＝f(x)＝________
答案　(x≠0x≠1)
解析　f(x)＝＝(x≠0x≠1)．
(2)已知y＝f(x)二次函数方程f(x)＝0两相等实根f′(x)＝2x＋2f(x)＝________
答案　x2＋2x＋1
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f′(x)＝2ax＋b
∴2ax＋b＝2x＋2a＝1b＝2
∴f(x)＝x2＋2x＋c
f(x)＝0x2＋2x＋c＝0两相等实根
∴Δ＝4－4c＝0c＝1f(x)＝x2＋2x＋1
(3)已知f(x)满足f(x)－2f ＝2xf(x)＝________
答案　－－
解析　∵f(x)－2f ＝2x①
代①中xf －2f(x)＝②
①＋②×2－3f(x)＝2x＋
∴f(x)＝－－

题型三 分段函数

命题点1　求分段函数函数值
例2　已知f(x)＝f ＋f 值(　　)
A B．－ C．－1 D．1
答案　D
解析　f ＝f ＋1＝f ＋1＝cos＋1＝
f ＝cos＝cos ＝－
∴f ＋f ＝－＝1
命题点2　分段函数方程等式问题
例3　(1)(2020·长春模拟)已知函数f(x)＝f(a)＋f(1)＝0实数a值等(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案　A
解析　∵f(1)＝21＝2∴f(a)＋2＝0∴f(a)＝－2
a≤0时f(a)＝a＋1＝－2∴a＝－3
a>0时f(a)＝2a＝－2方程解
综a＝－3
(2)已知函数f(x)＝等式f(x)≤1解集(　　)
A．(－∞2] B．(－∞0]∪(12]
C．[02] D．(－∞0)∪[12]
答案　D
解析　∵x≥1时log2x≤1∴1≤x≤2
x<1x≠0时≤1解x<0
∴f(x)≤1解集(－∞0)∪[12]．
思维升华　(1)分段函数求值问题解题思路
①求函数值：出现f(f(a))形式时应外次求值．
②求变量值：先假设求值分段函数定义区间段然求出相应变量值切记代入检验．
(2)分段函数方程等式问题求解思路
范围段分类讨求解讨结果起．
踪训练2　(1)(2021·河北冀州中模拟)设f(x)＝f(f(－1))＝_______f(x)值________．
答案　0　2－3
解析　∵f(－1)＝2
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0
x≥1时f(x)＝x＋－3≥2－3
仅x＝时取等号f(x)min＝2－3
x<1时f(x)＝x2＋1≥1x＝0时取等号
∴f(x)min＝1
综f(x)值2－3
(2)设函数f(x)＝满足f(x)＋f >1x取值范围________．
答案　
解析　x>时>1恒成立∴x>
012x＋x>恒成立∴0x≤0时x＋1＋x－＋1>1解－综x取值范围
课时精练

1．列图函数图数(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　图①关x轴称x>0时x应2y图②中x0应2y①②均函数图图③④函数图．
2．列集合A集合B应关系f函数(　　)
A．A＝{－101}B＝{－101}f：A中数方
B．A＝{01}B＝{－101}f：A中数求方根
C．A＝ZB＝Qf：A中数取倒数
D．A＝RB＝{正实数}f：A中数取绝值
答案　A
解析　选项B中A中元素出现情况选项CD中均出现元素0应元素情况．
3．已知函数f(x)＝f(f(8))等(　　)
A．－1 B．－ C D．2
答案　C
解析　∵f(8)＝1－log28＝1－3＝－2
∴f(f(8))＝f(－2)＝2－2＋1＝
4．设函数f ＝xf(x)表达式(　　)
A(x≠－1) B(x≠－1)
C(x≠－1) D(x≠－1)
答案　C
解析　令t＝x＝
∴f(t)＝
f(x)＝(x≠－1)．
5．已知函数f(x)＝f(x0)＝3实数x0值(　　)
A．－1 B．1 C．－11 D．－1－
答案　C
解析　条件知x0≥0时f(x0)＝2x0＋1＝3x0＝1x0<0时f(x0)＝3x＝3x0＝－1实数x0值－11
6图△AOD直角边长1等腰直角三角形面图形OBD四分圆扇形点P线段ABPQ⊥ABPQ交AD交弧DB点Q设AP＝x(0


答案　A
解析　观察知阴影部分面积y变化情况：(1)07．已知f(x5)＝lg xf(2)＝________
答案　lg 2
解析　令x5＝2x＝
∴f(2)＝＝lg 2
8．已知函数f(x)＝f(f(－1))＝3b＝______
答案　3
解析　∵f(－1)＝b－1
∴f(b－1)＝3
b－1≥1b≥2时
2b－1－1＝3解b＝3
b－1<1b<2时b－1＋b＝3解b＝2(舍)
综b＝3
9．已知函数f(x)＝满足f(a)>1实数a取值范围________．
答案　(－20)∪(0＋∞)
解析　f(a)>1
①解a>0
②解－2①②知－20
10．已知函数f(x)满足f ＋f(－x)＝2x(x≠0)f(－2)＝________f ＝________
答案　　
解析　令x＝2f ＋f(－2)＝4①
令x＝－f(－2)－2f ＝－1②
联立①②解f(－2)＝f ＝
11．已知函数f(x)解析式f(x)＝
(1)求f f f(－1)值
(2)画出函数图
(3)求f(x)值．
解　(1)∵>1
∴f ＝－2×＋8＝5
∵0<<1
∴f ＝＋5＝
∵－1<0∴f(－1)＝－3＋5＝2
(2)函数图图．

函数y＝3x＋5图截取x≤0部分
函数y＝x＋5图截取0函数y＝－2x＋8图截取x>1部分．
图中实线组成图形函数f(x)图．
(3)函数图知x＝1时f(x)取值6
12行驶中汽车刹车时惯性作继续前滑行段距离停段距离作刹车距离．某种路面某种型号汽车刹车距离y(m)汽车车速x(kmh)满足列关系：y＝＋mx＋n(mn常数)．图根次实验数绘制刹车距离y(m)汽车车速x(kmh)关系图．

(1)求出y关x函数解析式
(2)果求刹车距离超252 m求行驶速度．
解　(1)题意函数图

解m＝n＝0
∴y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤252
－72≤x≤70
∵x≥0∴0≤x≤70
行驶速度70 kmh

13．设函数f(x)＝满足f(x＋1)答案　(－∞0)
解析　画出f(x)图图示

图知
解x<0x取值范围(－∞0)．
14．已知函数f(x)＝a[f(a)－f(－a)]>0实数a取值范围________．
答案　(－∞－2)∪(2＋∞)
解析　a＝0时显然成立．
a>0时等式a[f(a)－f(－a)]>0等价a2－2a>0解a>2
a<0时等式a[f(a)－f(－a)]>0等价－a2－2a<0解a<－2
综述实数a取值范围(－∞－2)∪(2＋∞)．

15．具性质：f ＝－f(x)函数称满足倒负变换函数列函数满足倒负变换函数________．
①y＝x－②y＝ln ③y＝④f(x)＝
答案　①④
解析　①f(x)＝x－f ＝－x＝－f(x)满足题意
②f(x)＝ln f ＝ln ≠－f(x)满足
③f ＝＝ex－1－f(x)＝－≠f 满足
④f ＝
f ＝
f ＝－f(x)满足倒负变换．
16．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)f f(3)f 
(2)(1)中求结果发现f(x)f 什关系？证明发现
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 021)＋f 值．
解　(1)f(x)＝＝1－
f(2)＝1－＝f ＝1－＝
f(3)＝1－＝f ＝1－＝
(2)(1)中求结果发现f(x)＋f ＝1
证明：f(x)＋f ＝＋＝＋＝1
(3)(2)知f(x)＋f ＝1
∴f(2)＋f ＝1f(3)＋f ＝1
f(4)＋f ＝1…f(2 021)＋f ＝1
∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 021)＋f ＝2 020
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