2019版八数学第章三角形证明测试题（含解析）
三角形证明
1等腰三角形性质判定应
(1)应等腰三角形性质证明线段角相等
例1图∠ABC90°①DE分BCACAD⊥DEADDE②点FAE中点③FDAB相交点M
(1)求证：∠FMC∠FCM
(2)ADMC垂直④说明理⑤
信息解读破译解题秘钥
信息①直译：△ABC直角三角形进∠DCF∠MAC互余
信息②翻译：△ADE等腰直角三角形
信息③直译：AFEF
破译：整合条件②③DF⊥AEDFAFEF
破译：整合条件①②③∠AMF∠MAC互余结合①∠DCF∠AMF根AAS定理判定△DFC≌△AFM进∠FMC∠FCM
信息④翻译：猜想结AD⊥MC
信息⑤翻译：根已知条件构建图形：延长AD交MC点G进推理说明AD⊥MC
破译：整合条件①②③④∠FDE∠FMC45°进DE
∥CM说明AG⊥MCAD⊥MC
标准解答(1)∵△ADE等腰直角三角形FAE中点
∴DF⊥AEDFAFEF
∵∠ABC90°∠DCF∠AMF∠MAC互余∴∠DCF∠AMF
∵∠DFC∠AFM90°∴△DFC≌△AFM(AAS)∴CFMF
∴∠FMC∠FCM
(2)AD⊥MC
理：图延长AD交MC点G
(1)知∠MFC90°FDFEFMFC
∴∠FDE∠FMC45°∴DE∥CM∴∠AGC∠ADE90°∴AG⊥MCAD⊥MC
(2)判定三角形否等腰三角形时常首先考虑等腰三角形定义次考虑等腰三角形判定定理
例2已知：图△ABC中点DBC点AD分∠EDC∠E∠BDEDC求证：ABAC
标准解答∵AD分∠EDC
∴∠ADE∠ADC∵DEDCADAD∴△AED≌△ACD∴∠C∠E
∵∠E∠B∴∠C∠B∴ABAC
(3)等边三角形性质判定
等边三角形特殊等腰三角形具备三线合性质外提供更边角关系特60°角
例3图点EF分等边三角形ABC边ABAC点①BEAF②CEBF交点P
(1)求证：CEBF
(2)求∠BPC度数
信息解读破译解题秘钥
条件①翻译：ABBC③AC∠BAC∠ABC∠ACB60°④
条件②直译：BEAF⑤
破译：整合条件①④∠FAB∠EBC⑥
破译：整合条件②③⑥应SAS定理判定△BCE≌△ABF⑦
信息⑦翻译：CEBF∠PCB∠ABF⑧
破译：读图析图∠PBC+∠ABF60°⑨
∠CPB+∠PCB+∠PBC180°⑩
破译：整合信息⑧⑨∠PCB+∠PBC∠ABF+∠PBC60
破译：整合信息⑩：
∠BPC180°(∠PBC+∠PCB)
180°60°120°
标准解答(1)∵△ABC等边三角形
∴BCAB∠A∠EBC60°
△BCE△ABF中
∴△BCE≌△ABF(SAS)∴CEBF
(2)(1)知△BCE≌△ABF
∴∠BCE∠ABF∴∠PBC+∠PCB∠PBC+∠ABF∠ABC60°
∴∠BPC180°60°120°
1等边△ABC中点DAC点连接BD△BCD绕点B逆时针旋转
60°△BAE连接EDBC5BD4列结错误( )
AAE∥BC
B∠ADE∠BDC
C△BDE等边三角形
D△ADE周长9
2图已知：△ABC中ABAC点MBC中点点DE分ABAC边点BDCE求证：MDME
2分类讨思想等腰三角形中应
等腰三角形种特殊十分重三角形种特殊性求解关等腰三角形问题时常注意分类讨
(1)已知等腰三角形角求两角：等腰三角形条件中没确定顶角底角时应注意分情况讨先确定已知角顶角底角运三角形角定理求解
例1已知等腰三角形角70°外两角度数( )
A55°55° B70°40°
C55°55°70°40° D
标准解答选C70°角顶角底角70°角底角时顶角度数180°70°×240°
70°角顶角时底角度数(180°70°)÷255°等腰三角形外两角度数55°55°70°40°
(2)已知等腰三角形两边求周长：底腰等等腰三角形条件中没明确底腰时应符合三角形三边关系前提分类讨
例2果等腰三角形两边长6cm3cm周长( )
A9 cm B12 cm
C15 cm12 cm D15 cm
标准解答选D6腰3底时63<6<6+3构成等腰三角形周长6+6+3153腰6底时3+36构成三角形
(3)已知等腰三角形中线分周长成两部分求边长
例3等腰△ABC中ABAC中线BD三角形周长分1512两部分等腰三角形底边长( )
A7 B11
C711 D710
标准解答选C已知条件没指明部分15部分12应两种情形设等腰三角形腰长x底边长y 解 ∴底边长711
(4)已知等腰三角形腰高腰夹角求顶角
例4等腰三角形腰高腰成夹角40°求等腰三角形顶角度数
标准解答题意画出图1图2两种情形图1中顶角50°图2中顶角130°
(5)已知等腰三角形腰中垂线腰直线成夹角求底角
例5△ABC中ABACAB中垂线AC直线相交锐角
50°底角∠B________
标准解答题意画出图1图2两种情况示意图
图1交点腰AC时△ABC锐角三角形时求∠A40°
∠B∠C (180°40°)70°
图2交点腰CA延长线时△ABC钝角三角形时求
∠BAC140°∠B∠C (180°140°)20°
等腰三角形底角70°20°
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三角形证明
1等腰三角形性质判定应
(1)应等腰三角形性质证明线段角相等
例1图∠ABC90°①DE分BCACAD⊥DEADDE②点FAE中点③FDAB相交点M
(1)求证：∠FMC∠FCM
(2)ADMC垂直④说明理⑤
信息解读破译解题秘钥
信息①直译：△ABC直角三角形进∠DCF∠MAC互余
信息②翻译：△ADE等腰直角三角形
信息③直译：AFEF
破译：整合条件②③DF⊥AEDFAFEF
破译：整合条件①②③∠AMF∠MAC互余结合①∠DCF∠AMF根AAS定理判定△DFC≌△AFM进∠FMC∠FCM
信息④翻译：猜想结AD⊥MC
信息⑤翻译：根已知条件构建图形：延长AD交MC点G进推理说明AD⊥MC
破译：整合条件①②③④∠FDE∠FMC45°进DE
∥CM说明AG⊥MCAD⊥MC
标准解答(1)∵△ADE等腰直角三角形FAE中点
∴DF⊥AEDFAFEF
∵∠ABC90°∠DCF∠AMF∠MAC互余∴∠DCF∠AMF
∵∠DFC∠AFM90°∴△DFC≌△AFM(AAS)∴CFMF
∴∠FMC∠FCM
(2)AD⊥MC
理：图延长AD交MC点G
(1)知∠MFC90°FDFEFMFC
∴∠FDE∠FMC45°∴DE∥CM∴∠AGC∠ADE90°∴AG⊥MCAD⊥MC
(2)判定三角形否等腰三角形时常首先考虑等腰三角形定义次考虑等腰三角形判定定理
例2已知：图△ABC中点DBC点AD分∠EDC∠E∠BDEDC求证：ABAC
标准解答∵AD分∠EDC
∴∠ADE∠ADC∵DEDCADAD∴△AED≌△ACD∴∠C∠E
∵∠E∠B∴∠C∠B∴ABAC
(3)等边三角形性质判定
等边三角形特殊等腰三角形具备三线合性质外提供更边角关系特60°角
例3图点EF分等边三角形ABC边ABAC点①BEAF②CEBF交点P
(1)求证：CEBF
(2)求∠BPC度数
信息解读破译解题秘钥
条件①翻译：ABBC③AC∠BAC∠ABC∠ACB60°④
条件②直译：BEAF⑤
破译：整合条件①④∠FAB∠EBC⑥
破译：整合条件②③⑥应SAS定理判定△BCE≌△ABF⑦
信息⑦翻译：CEBF∠PCB∠ABF⑧
破译：读图析图∠PBC+∠ABF60°⑨
∠CPB+∠PCB+∠PBC180°⑩
破译：整合信息⑧⑨∠PCB+∠PBC∠ABF+∠PBC60
破译：整合信息⑩：
∠BPC180°(∠PBC+∠PCB)
180°60°120°
标准解答(1)∵△ABC等边三角形
∴BCAB∠A∠EBC60°
△BCE△ABF中
∴△BCE≌△ABF(SAS)∴CEBF
(2)(1)知△BCE≌△ABF
∴∠BCE∠ABF∴∠PBC+∠PCB∠PBC+∠ABF∠ABC60°
∴∠BPC180°60°120°
1等边△ABC中点DAC点连接BD△BCD绕点B逆时针旋转
60°△BAE连接EDBC5BD4列结错误( )
AAE∥BC
B∠ADE∠BDC
C△BDE等边三角形
D△ADE周长9
2图已知：△ABC中ABAC点MBC中点点DE分ABAC边点BDCE求证：MDME
2分类讨思想等腰三角形中应
等腰三角形种特殊十分重三角形种特殊性求解关等腰三角形问题时常注意分类讨
(1)已知等腰三角形角求两角：等腰三角形条件中没确定顶角底角时应注意分情况讨先确定已知角顶角底角运三角形角定理求解
例1已知等腰三角形角70°外两角度数( )
A55°55° B70°40°
C55°55°70°40° D
标准解答选C70°角顶角底角70°角底角时顶角度数180°70°×240°
70°角顶角时底角度数(180°70°)÷255°等腰三角形外两角度数55°55°70°40°
(2)已知等腰三角形两边求周长：底腰等等腰三角形条件中没明确底腰时应符合三角形三边关系前提分类讨
例2果等腰三角形两边长6cm3cm周长( )
A9 cm B12 cm
C15 cm12 cm D15 cm
标准解答选D6腰3底时63<6<6+3构成等腰三角形周长6+6+3153腰6底时3+36构成三角形
(3)已知等腰三角形中线分周长成两部分求边长
例3等腰△ABC中ABAC中线BD三角形周长分1512两部分等腰三角形底边长( )
A7 B11
C711 D710
标准解答选C已知条件没指明部分15部分12应两种情形设等腰三角形腰长x底边长y 解 ∴底边长711
(4)已知等腰三角形腰高腰夹角求顶角
例4等腰三角形腰高腰成夹角40°求等腰三角形顶角度数
标准解答题意画出图1图2两种情形图1中顶角50°图2中顶角130°
(5)已知等腰三角形腰中垂线腰直线成夹角求底角
例5△ABC中ABACAB中垂线AC直线相交锐角
50°底角∠B________
标准解答题意画出图1图2两种情况示意图
图1交点腰AC时△ABC锐角三角形时求∠A40°
∠B∠C (180°40°)70°
图2交点腰CA延长线时△ABC钝角三角形时求
∠BAC140°∠B∠C (180°140°)20°
等腰三角形底角70°20°
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