13 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 已知两定点找第三点的等腰三角形的存在性（两圆一线） 两圆：分别以两定点为圆心，两定点的距离为半径作两圆（理论依据：圆的半 径相等） 一线：作两定点连线的垂直平分线（理论依据：垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等） l AB 第三课 二次函数与 三角形存在性（一） 知识导航 14 让学习更高效 例1. （2016 广东省梅州市第 14 题）如图，抛物线 2 23y x x    与 y 轴交于点 C， 点  0 ,1D，点 P 是抛物线上的动点．若 P C D△ 是以 CD 为底的等腰三角形，则 点 P 的坐标为_________． 例2. （2016·广西桂林·3 分）已知直线 33yx 与坐标轴分别交于点 A，B，点 P 在抛物线  21 343yx  上，能使 ABP△ 为等腰三角形的点 P 的个数有 （ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 典型例题 y xBA C O D 15 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 已知两定点找第三点的直角三角形的存在性问题（两线一圆） 两线：分别过两定点作两定点连线的垂线 一圆：以两定点连线为直径作圆（圆周角定理推论：直径所对圆周角是直角） 不在 AB 处 m n OAB 例3. （回顾）（2016·湖北鄂州）如图， 6AB  ，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O， 1 120  ，P 是 直线 l 上一点．当 APB△ 为 直角三 角 形 时， AP  _________________． 知识导航 典型例题 1 l AB 16 让学习更高效 例4. （2016·湖北黄冈）如图，抛物线 213222y x x    与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 关于 轴对称，点 P 是 轴上的一个动点． 设点 P 的坐标为 , 0m ，过点 P 作 轴的垂线 l 交抛物线于点Q． （1）求点 ，点 ，点 的坐标； （2）求直线 BD 的解析式； （3）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 交 BD 于点 M，试探究 m 为何值时， 四边形 C Q M D 是平行四边形；（选讲） （4）在点 的运动过程中，是否存在点 Q，使 B D Q△ 是以 BD 为直角边的直 角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． x y l Q M BA C D OP 17 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例5. （2016 山东枣庄第 25 题 10 分）如图，已知抛物线  2 0yaxbxca 的对 称轴为直线 1x  ，且经过  1,0A，  0,3C 两点，与 x 轴的另一个交点为 B． （1）若直线 y m x n经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的 距离之和最小，求点 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使 BPC△ 为直角三角 形的点 P 的坐标． x y C BOA 18 让学习更高效 例1. （2016·辽宁丹东·12 分）如图，抛物线 2yaxbx过  4 ,0A，  1 ,3B 两点，点 C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 B H x 轴，交 x 轴于点 H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点 C 的坐标，并求出 ABC△ 的面积； （3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 ABP△ 的面积为 6 时，求 出点 P 的坐标； （4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C、M、N 为顶 点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 C M N△ 的面积． 第四课 二次函数与 三角形存在性（二） 典型例题 x y C A B OH 19 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例2. （2016·四川广安·10 分）如图，抛物线 2y x b x c   与直线 1 32yx交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为 4, 5 ，点 P 为 y 轴左侧的抛物线 上一动点，过点 P 作 P C x 轴于点 C，交 AB 于点 D． （1）求抛物线的解析式； （2）以 O，A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐 标；若不存在，说明理由． （3）当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 P M A B ，垂足为 M， 连接 PA 使 PAM△ 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 的坐标． x y A B D CO P 20 让学习更高效 例3. （2016·云南省昆明市）如图，对称轴为直线 1 2x  的抛物线经过  2 ,0B、  0 ,4C 两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 C O B P 的面积为 S，求 S 的最大值； （3）若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使 M Q C△ 为等 腰三角形且 M Q B△ 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由． x y AB C O 21 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例4. （2016 湖北襄阳第 25 题 13 分）如图，已知点 A 的坐标为  2 ,0 ，直线 3 34yx   与 x 轴， y 轴分别交于点 B 和点 C，连接 AC ，顶点为 D 的抛物线 2y a x b x c   过 A，B，C 三点． （1）请直接写出 ， 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）设抛物线的对称轴 DE 交线段 BC 于点 E，P 为第一象限内抛物线上一点， 过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 BC 于点 F 若四边形 D E F P 为平行四边形，求点 P 的坐标； （3）设点 M 是线段 BC 上的一动点，过点 M 作 M N A B ，交 AC 于点 N 点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BA 向点 A 运动，运动时间为 t （秒）．当 t （秒）为何值时，存在 Q M N△ 为等腰直角三角形？ x y D BA C O