中考数学压轴题二次函数存性问题
第10节 等边三角形存性
方法点拨
两定动
A确定点位置
B求解程
二两动定
三方法总结
例题演练
题组1：两定动
1．图已知抛物线C1x轴交A（40）B（﹣10）两点y轴交点C（02）．抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2C2x轴交DE两点（点D点E左侧）抛物线C1第象限交点M．
（1）求抛物线C1解析式求出称轴
（2）①m＝1时直接写出抛物线C2解析式
②直接写出含m代数式表示点M坐标．
（3）连接DMAM．抛物线C1移程中否存△ADM等边三角形情况？存请求出时m值存请说明理．
解答解：（1）设抛物线C1解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
解
抛物线C1解析式称轴直线
（2）①∵抛物线C1解析式
y＝﹣+
∴m＝1时抛物线移规律抛物线C2解析式：
y＝﹣+＝
抛物线C2解析式y＝
②抛物线移规律：抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2解析式：
y＝﹣+称轴：x＝
∴交点M横坐标：+＝
代入抛物线C1解析式：y＝
∴点M坐标
（3）存m值△ADM等边三角形理：
点M作MN⊥AD点N
∵
∴
△ADM等边三角形∠DMN＝30°
∴
解m＝4﹣5m＝5（合题意舍）
∴时△ADM等边三角形．
2．图已知二次函数图象顶点原点点（21）二次函数图象点F（01）作x轴行线交二次函数图象MN两点．
（1）求二次函数表达式
（2）P面点△PMN等边三角形时求点P坐标
（3）二次函数图象否存点E点E圆心圆点F点N直线y＝﹣1相切．存求出点E坐标求⊙E半径存说明理．
解答解：（1）∵二次函数图象顶点原点
设二次函数表达式：y＝ax2（21）代入式解：a＝
二次函数表达式：y＝x2
（2）y＝1代入y＝x2解：x＝±2点MN坐标分（﹣21）（21）
MN＝4
∵△PMN等边三角形
∴点Py轴PM＝4
∴PF＝2
∵点F（01）
∴点P坐标（01+2）（01﹣2）
（3）假设二次函数图象存点E满足条件
设点QFN中点点Q（11）
点EFN中垂线．
∴点EFN中垂线y＝x2图象交点
∴y＝×12＝点E（1）
EN＝＝
理EF＝＝
点E直线y＝﹣1距离|﹣（﹣1）|＝
存点E点E圆心半径圆点FN直线y＝﹣1相切．
3．图抛物线C1：y＝x2+bx+c原点x轴交点（20）抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2C2交x轴AB两点（点A点B左边）交y轴点C．
（1）求抛物线C1解析式顶点坐标
（2）AC斜边作等腰直角三角形ACD点D落抛物线C2称轴时求抛物线C2解析式
（3）抛物线C2称轴存点P△PAC等边三角形求m值．
解答解：（1）∵抛物线C1原点X轴交点（20）
∴解
∴抛物线C1解析式y＝x2﹣2x
∴抛物线C1顶点坐标（1﹣1）
（2）图1
∵抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2
∴C2解析式y＝（x﹣m﹣1）2﹣1
∴A（m0）B（m+20）C（0m2+2m）
点C作CH⊥称轴DE垂足H
∵△ACD等腰直角三角形
∴AD＝CD∠ADC＝90°
∴∠CDH+∠ADE＝90°
∴∠HCD＝∠ADE
∵∠DEA＝90°
∴△CHD≌△DEA
∴AE＝HD＝1CH＝DE＝m+1
∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2
OC＝EHm2+2m＝m+2解m1＝1m2＝﹣2（舍）
∴抛物线C2解析式：y＝（x﹣2）2﹣1．
（3）图2连接BCBP
抛物线称性知AP＝BP
∵△PAC等边三角形
∴AP＝BP＝CP∠APC＝60°
∴CAB三点点P圆心PA半径圆
∴∠CBO＝∠CPA＝30°
∴BC＝2OC
∴勾股定理OB＝＝OC
∴（m2+2m）＝m+2
解m1＝m2＝﹣2（舍）
∴m＝．
4．图抛物线y＝ax2+x+c点A（﹣10）点C（03）x轴交点点B点M直线BC动点点M作MP∥y轴交抛物线点P．
（1）求该抛物线解析式
（2）抛物线否存点Q△QCO等边三角形？存求出点Q坐标存请说明理
（3）M圆心MP半径作⊙M⊙M坐标轴相切时求出⊙M半径．
解答解：（1）点A（﹣10）点C （03）代入y＝ax2+x+c：
解：
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+x+3
（2）存理：
①点Qy轴右边时图1示：
假设△QCO等边三角形
点Q作QH⊥OCH
∵点C （03）
∴OC＝3
OH＝OC＝tan60°＝
∴QH＝OH•tan60°＝×＝
∴Q（）
x＝代入y＝﹣x2+x+3
：y＝﹣≠
∴假设成立
∴点Qy轴右边时存△QCO等边三角形
②点Qy轴左边时图2示：
假设△QCO等边三角形
点Q作QT⊥OCT
∵点C （03）
∴OC＝3
OT＝OC＝tan60°＝
∴QT＝OT•tan60°＝×＝
∴Q（﹣）
x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3
：y＝﹣﹣≠
∴假设成立
∴点Qy轴左边时存△QCO等边三角形
综述抛物线存点Q△QCO等边三角形
（3）令﹣x2+x+3＝0
解：x1＝﹣1x2＝4
∴B（40）
设BC直线解析式：y＝kx+b
BC坐标代入
解：
∴BC直线解析式：y＝﹣x+3
M线段BC⊙Mx轴相切时图3示：
延长PM交AB点D
点D⊙Mx轴切点PM＝MD
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝﹣x2+x+3MD＝﹣x+3
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x+3
解：x1＝1x2＝4（合题意舍）
∴⊙M半径：MD＝﹣+3＝
M线段BC⊙My轴相切时图4示：
延长PM交AB点D点M作ME⊥y轴E
点E⊙My轴切点PM＝MEPD﹣MD＝EM＝x
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝﹣x2+x+3MD＝﹣x+3
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝x
解：x1＝x2＝0（合题意舍）
∴⊙M半径：EM＝
MBC延长线⊙Mx轴相切时图5示：
点PA重合
∴M横坐标﹣1
∴⊙M半径：M坐标值
：﹣×（﹣1）+3＝
MCB延长线⊙My轴相切时图6示：
延长PM交x轴D点M作ME⊥y轴E
点E⊙My轴切点PM＝MEPD﹣MD＝EM＝x
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝x2﹣x﹣3MD＝x﹣3
∴（x2﹣x﹣3）﹣（x﹣3）＝x
解：x1＝x2＝0（合题意舍）
∴⊙M半径：EM＝
综述⊙M半径．
题组2：两动定
5．图抛物线y＝x2﹣2x+c点A（﹣25）x轴相交BC两点点B点C左边．
（1）求抛物线函数表达式BC两点坐标
（2）点D抛物线称轴位x轴方△BCD直线BD翻折△BC′D点C′恰落抛物线称轴求点C′点D坐标
（3）设P抛物线位称轴右侧点点Q抛物线称轴△CPQ等边三角形时求直线BP函数表达式．
解答解：（1）题意：y＝x2﹣2x+c点A（﹣25）
∴c＝﹣3
∴抛物线函数表达式y＝x2﹣2x﹣3
∵BC抛物线y＝x2﹣2x﹣3x轴交点x2﹣2x﹣3＝0
∴B（﹣10）C（30）
（2）∵抛物线x轴交B（﹣10）C（30）
∴BC＝4抛物线称轴直线x＝1
图设抛物线称轴x轴交点HH点坐标（10）
BH＝2
翻折C′B＝CB＝4
Rt△BHC′中勾股定理C′H＝＝＝2
∴点C′坐标（12）tan∠C′BH＝＝＝
∴∠C′BH＝60°
翻折∠DBH＝∠C′BH＝30°
Rt△BHD中DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝
∴点D坐标（1）
（3）取（2）中点C′D连接CC′
∵BC′＝BC∠C′BC＝60°
△C′CB等边三角形分类讨：
①点Px轴方时点Qx轴方连接BQC′P
∵△PCQ△C′CB等边三角形
∴CQ＝CPBC＝C′C∠PCQ＝∠C′CB＝60°
∴∠BCQ＝∠C′CP
∴△BCQ≌C′CP（SAS）
∴BQ＝C′P
∵点Q抛物线称轴
∴BQ＝CQ
∴C′P＝CQ＝CP
∵BC′＝BC
∴BP垂直分CC′
∴点D直线BP
设直线BP函数表达式y＝kx+b
解
∴直线BP函数表达式y＝x+
②点Px轴方时点Qx轴方
∵△PCQ△C′CB等边三角形
∴CP＝CQBC＝CC′∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB﹣60°
∴∠BCP＝∠C′CQ
∴△BCP≌△C′CQ（SAS）
∴∠CBP＝∠CC′Q
∵BC′＝CC′C′H⊥BC
∴∠CC′Q＝∠CC′B＝30°
∴∠CBP＝30°
设BPx轴相交点E
Rt△BOE中OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×＝．
∴点E坐标（0）．
设直线BP函数表达式y＝mx+n
解
∴直线BP函数表达式y＝﹣x﹣
综述直线BP函数表达式y＝x+y＝﹣x﹣．
6．图抛物线解析式y＝﹣x+5抛物线x轴交AB两点（A点B点左侧）y轴交点C抛物线称轴直线BC交点D．
（1）E点线段BC方抛物线点点E作直线EF行y轴交BC点F线段CD长度保持变直线BC移动C＇D＇线段EF时求EC＇+C＇D＇+D＇B值
（2）Q抛物线动点请问抛物线称轴否存点P△APQ等边三角形存请直接写出三角形边长存请说明理．
解答解：（1）y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+）
∴A（﹣0）B（50）C（05）抛物线称轴x＝＝2
BC坐标求直线BC解析式y＝﹣x+5
令x＝2y＝﹣×2+5＝3
∴D（23）
∴CD＝C＇D＇＝4．
设E（m﹣m2+m+5）F（m﹣m+5）
∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+
∴m＝时EF取值时E（）．
图1作行四边形EC＇D＇E＇EC＇＝E＇D＇E＇（）．
作D＇G⊥OBGE＇H⊥OBH．
∵tan∠CBO＝＝＝∠CBO＝30°
∴D＇G＝D＇B
∴EC＇+C＇D＇+D＇B＝C＇D＇+E＇D＇+D＇G≥C＇D＇+E＇H
仅E＇D＇G三点线时
EC＇+C＇D＇+D＇B取值C＇D＇+E＇H＝4+＝．
（2）①图2△APQ等边三角形时QB重合
∴等边三角形边长AQ＝AB＝6．
②图3△APQ等边三角形时QB重合Px轴方．
∴等边三角形边长AQ＝AB＝6．
③图4△APQ等边三角形时QC重合Px轴方．
∴等边三角形边长AQ＝AC＝2．
④图5△APQ等边三角形时Q第三象限Px轴方．
∵PA＝PB＝PQAQB三点P圆心PA半径圆周
∴∠ABQ＝∠APQ＝30°
∴直线BQ解析式y＝x﹣5
联立方程组
解（舍）
∴Q＝（﹣2﹣7）
∴AQ＝2等边△APQ边长2√．
综述满足求等边三角形边长：622．
7．综合探究
图抛物线y＝﹣x2﹣x+x轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C直线lBC两点点M点A出发秒1单位长度速度终点B运动连接CM线段MC绕点M时针旋转90°线段MD连接CDBD．设点M运动时间t（t＞0）请解答列问题：
（1）求点A坐标直线l表达式
（2）①请直接写出点D坐标（含t式子表示）求点D落直线l时t值
②求点M运动程中线段CD长度值．
解答解：（1）y＝0时
解x1＝1x2＝﹣3
∵点A点B左侧
∴A（﹣30）B（10）
x＝0时y＝C（0）
设直线l表达式y＝kx+b
BC两点坐标代入
解
直线l表达式y＝﹣x+
（2）①图1点MAO运动时点D作DN⊥x轴N
题意知AM＝tOM＝3﹣tMC⊥MD
∠DMN+∠CMO＝90°∠CMO+∠MCO＝90°
∴∠MCO＝∠DMN
△MCO△DMN中
∴△MCO≌△DMN（AAS）
∴MN＝OC＝DN＝OM＝3﹣t
∴D（t﹣3+t﹣3）
理图2点MOB运动时
点D坐标：D（﹣3+t+t﹣3）
D点坐标代入直线BC解析式y＝﹣x+t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+
t＝6﹣2点D落直线l时t＝6﹣2
②∵△COD等腰直角三角形
∴CM＝MD
∴线段CM时线段CD长度
∵MAB运动
∴CM⊥AB时CM短CD短CM＝CO＝
根勾股定理CD值．
题组3：三动点
8．图1抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）x轴交AB两点y轴交点C．已知点A坐标（﹣10）点O坐标原点OC＝3OA抛物线C1顶点G．
（1）求出抛物线C1解析式写出点G坐标
（2）图2抛物线C1移k（k＞0）单位抛物线C2设C2x轴交点A′B′顶点G′△A′B′G′等边三角形时求k值：
（3）（2）条件图3设点Mx轴正半轴动点点M作x轴垂线分交抛物线C1C2PQ两点试探究直线y＝﹣1否存点NPQN顶点三角形△AOQ全等存直接写出点MN坐标：存请说明理．
解答解：（1）∵点A坐标（﹣10）
∴OA＝1
∴OC＝3OA
∴点C坐标（03）
AC坐标代入y＝ax2﹣2ax+c：
解：
∴抛物线C1解析式y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
点G坐标（14）．
（2）设抛物线C2解析式y＝﹣x2+2x+3﹣ky＝﹣（x﹣1）2+4﹣k
点G′作G′D⊥x轴点D设BD′＝m
∵△A′B′G′等边三角形
∴G′D＝B′D＝m
点B′坐标（m+10）点G′坐标（1m）
点B′G′坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k：
解：（舍）
∴k＝1
（3）设M（x0）P（x﹣x2+2x+3）Q（x﹣x2+2x+2）
∴PQ＝OA＝1
∵∠AOQ∠PQN均钝角
∴△AOQ≌△PQN
图2延长PQ交直线y＝﹣1点H
∠QHN＝∠OMQ＝90°
∵△AOQ≌△PQN
∴OQ＝QN∠AOQ＝∠PQN
∴∠MOQ＝∠HQN
∴△OQM≌△QNH（AAS）
∴OM＝QHx＝﹣x2+2x+2
解：x＝（负值舍）
x＝时HN＝QM＝﹣x2+2x+2＝点M（0）
∴点N坐标（+﹣1）（﹣1）
（﹣﹣1）（1﹣1）
图3
理△OQM≌△PNH
∴OM＝PHx＝﹣（﹣x2+2x+3）﹣1
解：x＝﹣1（舍）x＝4
x＝4时点M坐标（40）HN＝QM＝﹣（﹣x2+2x+2）＝6
∴点N坐标（4+6﹣1）（10﹣1）（4﹣6﹣1）（﹣2﹣1）
综点M1（0）N1（﹣1）M2（0）N2（1﹣1）
M3（40）N3（10﹣1）M4（40）N4（﹣2﹣1）．
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第10节 等边三角形存性
方法点拨
两定动
A确定点位置
B求解程
二两动定
三方法总结
例题演练
题组1：两定动
1．图已知抛物线C1x轴交A（40）B（﹣10）两点y轴交点C（02）．抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2C2x轴交DE两点（点D点E左侧）抛物线C1第象限交点M．
（1）求抛物线C1解析式求出称轴
（2）①m＝1时直接写出抛物线C2解析式
②直接写出含m代数式表示点M坐标．
（3）连接DMAM．抛物线C1移程中否存△ADM等边三角形情况？存请求出时m值存请说明理．
解答解：（1）设抛物线C1解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
解
抛物线C1解析式称轴直线
（2）①∵抛物线C1解析式
y＝﹣+
∴m＝1时抛物线移规律抛物线C2解析式：
y＝﹣+＝
抛物线C2解析式y＝
②抛物线移规律：抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2解析式：
y＝﹣+称轴：x＝
∴交点M横坐标：+＝
代入抛物线C1解析式：y＝
∴点M坐标
（3）存m值△ADM等边三角形理：
点M作MN⊥AD点N
∵
∴
△ADM等边三角形∠DMN＝30°
∴
解m＝4﹣5m＝5（合题意舍）
∴时△ADM等边三角形．
2．图已知二次函数图象顶点原点点（21）二次函数图象点F（01）作x轴行线交二次函数图象MN两点．
（1）求二次函数表达式
（2）P面点△PMN等边三角形时求点P坐标
（3）二次函数图象否存点E点E圆心圆点F点N直线y＝﹣1相切．存求出点E坐标求⊙E半径存说明理．
解答解：（1）∵二次函数图象顶点原点
设二次函数表达式：y＝ax2（21）代入式解：a＝
二次函数表达式：y＝x2
（2）y＝1代入y＝x2解：x＝±2点MN坐标分（﹣21）（21）
MN＝4
∵△PMN等边三角形
∴点Py轴PM＝4
∴PF＝2
∵点F（01）
∴点P坐标（01+2）（01﹣2）
（3）假设二次函数图象存点E满足条件
设点QFN中点点Q（11）
点EFN中垂线．
∴点EFN中垂线y＝x2图象交点
∴y＝×12＝点E（1）
EN＝＝
理EF＝＝
点E直线y＝﹣1距离|﹣（﹣1）|＝
存点E点E圆心半径圆点FN直线y＝﹣1相切．
3．图抛物线C1：y＝x2+bx+c原点x轴交点（20）抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2C2交x轴AB两点（点A点B左边）交y轴点C．
（1）求抛物线C1解析式顶点坐标
（2）AC斜边作等腰直角三角形ACD点D落抛物线C2称轴时求抛物线C2解析式
（3）抛物线C2称轴存点P△PAC等边三角形求m值．
解答解：（1）∵抛物线C1原点X轴交点（20）
∴解
∴抛物线C1解析式y＝x2﹣2x
∴抛物线C1顶点坐标（1﹣1）
（2）图1
∵抛物线C1右移m（m＞0）单位抛物线C2
∴C2解析式y＝（x﹣m﹣1）2﹣1
∴A（m0）B（m+20）C（0m2+2m）
点C作CH⊥称轴DE垂足H
∵△ACD等腰直角三角形
∴AD＝CD∠ADC＝90°
∴∠CDH+∠ADE＝90°
∴∠HCD＝∠ADE
∵∠DEA＝90°
∴△CHD≌△DEA
∴AE＝HD＝1CH＝DE＝m+1
∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2
OC＝EHm2+2m＝m+2解m1＝1m2＝﹣2（舍）
∴抛物线C2解析式：y＝（x﹣2）2﹣1．
（3）图2连接BCBP
抛物线称性知AP＝BP
∵△PAC等边三角形
∴AP＝BP＝CP∠APC＝60°
∴CAB三点点P圆心PA半径圆
∴∠CBO＝∠CPA＝30°
∴BC＝2OC
∴勾股定理OB＝＝OC
∴（m2+2m）＝m+2
解m1＝m2＝﹣2（舍）
∴m＝．
4．图抛物线y＝ax2+x+c点A（﹣10）点C（03）x轴交点点B点M直线BC动点点M作MP∥y轴交抛物线点P．
（1）求该抛物线解析式
（2）抛物线否存点Q△QCO等边三角形？存求出点Q坐标存请说明理
（3）M圆心MP半径作⊙M⊙M坐标轴相切时求出⊙M半径．
解答解：（1）点A（﹣10）点C （03）代入y＝ax2+x+c：
解：
∴抛物线解析式：y＝﹣x2+x+3
（2）存理：
①点Qy轴右边时图1示：
假设△QCO等边三角形
点Q作QH⊥OCH
∵点C （03）
∴OC＝3
OH＝OC＝tan60°＝
∴QH＝OH•tan60°＝×＝
∴Q（）
x＝代入y＝﹣x2+x+3
：y＝﹣≠
∴假设成立
∴点Qy轴右边时存△QCO等边三角形
②点Qy轴左边时图2示：
假设△QCO等边三角形
点Q作QT⊥OCT
∵点C （03）
∴OC＝3
OT＝OC＝tan60°＝
∴QT＝OT•tan60°＝×＝
∴Q（﹣）
x＝﹣代入y＝﹣x2+x+3
：y＝﹣﹣≠
∴假设成立
∴点Qy轴左边时存△QCO等边三角形
综述抛物线存点Q△QCO等边三角形
（3）令﹣x2+x+3＝0
解：x1＝﹣1x2＝4
∴B（40）
设BC直线解析式：y＝kx+b
BC坐标代入
解：
∴BC直线解析式：y＝﹣x+3
M线段BC⊙Mx轴相切时图3示：
延长PM交AB点D
点D⊙Mx轴切点PM＝MD
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝﹣x2+x+3MD＝﹣x+3
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x+3
解：x1＝1x2＝4（合题意舍）
∴⊙M半径：MD＝﹣+3＝
M线段BC⊙My轴相切时图4示：
延长PM交AB点D点M作ME⊥y轴E
点E⊙My轴切点PM＝MEPD﹣MD＝EM＝x
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝﹣x2+x+3MD＝﹣x+3
∴（﹣x2+x+3）﹣（﹣x+3）＝x
解：x1＝x2＝0（合题意舍）
∴⊙M半径：EM＝
MBC延长线⊙Mx轴相切时图5示：
点PA重合
∴M横坐标﹣1
∴⊙M半径：M坐标值
：﹣×（﹣1）+3＝
MCB延长线⊙My轴相切时图6示：
延长PM交x轴D点M作ME⊥y轴E
点E⊙My轴切点PM＝MEPD﹣MD＝EM＝x
设P（x﹣x2+x+3）M（x﹣x+3）
PD＝x2﹣x﹣3MD＝x﹣3
∴（x2﹣x﹣3）﹣（x﹣3）＝x
解：x1＝x2＝0（合题意舍）
∴⊙M半径：EM＝
综述⊙M半径．
题组2：两动定
5．图抛物线y＝x2﹣2x+c点A（﹣25）x轴相交BC两点点B点C左边．
（1）求抛物线函数表达式BC两点坐标
（2）点D抛物线称轴位x轴方△BCD直线BD翻折△BC′D点C′恰落抛物线称轴求点C′点D坐标
（3）设P抛物线位称轴右侧点点Q抛物线称轴△CPQ等边三角形时求直线BP函数表达式．
解答解：（1）题意：y＝x2﹣2x+c点A（﹣25）
∴c＝﹣3
∴抛物线函数表达式y＝x2﹣2x﹣3
∵BC抛物线y＝x2﹣2x﹣3x轴交点x2﹣2x﹣3＝0
∴B（﹣10）C（30）
（2）∵抛物线x轴交B（﹣10）C（30）
∴BC＝4抛物线称轴直线x＝1
图设抛物线称轴x轴交点HH点坐标（10）
BH＝2
翻折C′B＝CB＝4
Rt△BHC′中勾股定理C′H＝＝＝2
∴点C′坐标（12）tan∠C′BH＝＝＝
∴∠C′BH＝60°
翻折∠DBH＝∠C′BH＝30°
Rt△BHD中DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝
∴点D坐标（1）
（3）取（2）中点C′D连接CC′
∵BC′＝BC∠C′BC＝60°
△C′CB等边三角形分类讨：
①点Px轴方时点Qx轴方连接BQC′P
∵△PCQ△C′CB等边三角形
∴CQ＝CPBC＝C′C∠PCQ＝∠C′CB＝60°
∴∠BCQ＝∠C′CP
∴△BCQ≌C′CP（SAS）
∴BQ＝C′P
∵点Q抛物线称轴
∴BQ＝CQ
∴C′P＝CQ＝CP
∵BC′＝BC
∴BP垂直分CC′
∴点D直线BP
设直线BP函数表达式y＝kx+b
解
∴直线BP函数表达式y＝x+
②点Px轴方时点Qx轴方
∵△PCQ△C′CB等边三角形
∴CP＝CQBC＝CC′∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB﹣60°
∴∠BCP＝∠C′CQ
∴△BCP≌△C′CQ（SAS）
∴∠CBP＝∠CC′Q
∵BC′＝CC′C′H⊥BC
∴∠CC′Q＝∠CC′B＝30°
∴∠CBP＝30°
设BPx轴相交点E
Rt△BOE中OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1×＝．
∴点E坐标（0）．
设直线BP函数表达式y＝mx+n
解
∴直线BP函数表达式y＝﹣x﹣
综述直线BP函数表达式y＝x+y＝﹣x﹣．
6．图抛物线解析式y＝﹣x+5抛物线x轴交AB两点（A点B点左侧）y轴交点C抛物线称轴直线BC交点D．
（1）E点线段BC方抛物线点点E作直线EF行y轴交BC点F线段CD长度保持变直线BC移动C＇D＇线段EF时求EC＇+C＇D＇+D＇B值
（2）Q抛物线动点请问抛物线称轴否存点P△APQ等边三角形存请直接写出三角形边长存请说明理．
解答解：（1）y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+）
∴A（﹣0）B（50）C（05）抛物线称轴x＝＝2
BC坐标求直线BC解析式y＝﹣x+5
令x＝2y＝﹣×2+5＝3
∴D（23）
∴CD＝C＇D＇＝4．
设E（m﹣m2+m+5）F（m﹣m+5）
∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+
∴m＝时EF取值时E（）．
图1作行四边形EC＇D＇E＇EC＇＝E＇D＇E＇（）．
作D＇G⊥OBGE＇H⊥OBH．
∵tan∠CBO＝＝＝∠CBO＝30°
∴D＇G＝D＇B
∴EC＇+C＇D＇+D＇B＝C＇D＇+E＇D＇+D＇G≥C＇D＇+E＇H
仅E＇D＇G三点线时
EC＇+C＇D＇+D＇B取值C＇D＇+E＇H＝4+＝．
（2）①图2△APQ等边三角形时QB重合
∴等边三角形边长AQ＝AB＝6．
②图3△APQ等边三角形时QB重合Px轴方．
∴等边三角形边长AQ＝AB＝6．
③图4△APQ等边三角形时QC重合Px轴方．
∴等边三角形边长AQ＝AC＝2．
④图5△APQ等边三角形时Q第三象限Px轴方．
∵PA＝PB＝PQAQB三点P圆心PA半径圆周
∴∠ABQ＝∠APQ＝30°
∴直线BQ解析式y＝x﹣5
联立方程组
解（舍）
∴Q＝（﹣2﹣7）
∴AQ＝2等边△APQ边长2√．
综述满足求等边三角形边长：622．
7．综合探究
图抛物线y＝﹣x2﹣x+x轴交AB两点（点A点B左侧）y轴交点C直线lBC两点点M点A出发秒1单位长度速度终点B运动连接CM线段MC绕点M时针旋转90°线段MD连接CDBD．设点M运动时间t（t＞0）请解答列问题：
（1）求点A坐标直线l表达式
（2）①请直接写出点D坐标（含t式子表示）求点D落直线l时t值
②求点M运动程中线段CD长度值．
解答解：（1）y＝0时
解x1＝1x2＝﹣3
∵点A点B左侧
∴A（﹣30）B（10）
x＝0时y＝C（0）
设直线l表达式y＝kx+b
BC两点坐标代入
解
直线l表达式y＝﹣x+
（2）①图1点MAO运动时点D作DN⊥x轴N
题意知AM＝tOM＝3﹣tMC⊥MD
∠DMN+∠CMO＝90°∠CMO+∠MCO＝90°
∴∠MCO＝∠DMN
△MCO△DMN中
∴△MCO≌△DMN（AAS）
∴MN＝OC＝DN＝OM＝3﹣t
∴D（t﹣3+t﹣3）
理图2点MOB运动时
点D坐标：D（﹣3+t+t﹣3）
D点坐标代入直线BC解析式y＝﹣x+t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+
t＝6﹣2点D落直线l时t＝6﹣2
②∵△COD等腰直角三角形
∴CM＝MD
∴线段CM时线段CD长度
∵MAB运动
∴CM⊥AB时CM短CD短CM＝CO＝
根勾股定理CD值．
题组3：三动点
8．图1抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）x轴交AB两点y轴交点C．已知点A坐标（﹣10）点O坐标原点OC＝3OA抛物线C1顶点G．
（1）求出抛物线C1解析式写出点G坐标
（2）图2抛物线C1移k（k＞0）单位抛物线C2设C2x轴交点A′B′顶点G′△A′B′G′等边三角形时求k值：
（3）（2）条件图3设点Mx轴正半轴动点点M作x轴垂线分交抛物线C1C2PQ两点试探究直线y＝﹣1否存点NPQN顶点三角形△AOQ全等存直接写出点MN坐标：存请说明理．
解答解：（1）∵点A坐标（﹣10）
∴OA＝1
∴OC＝3OA
∴点C坐标（03）
AC坐标代入y＝ax2﹣2ax+c：
解：
∴抛物线C1解析式y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
点G坐标（14）．
（2）设抛物线C2解析式y＝﹣x2+2x+3﹣ky＝﹣（x﹣1）2+4﹣k
点G′作G′D⊥x轴点D设BD′＝m
∵△A′B′G′等边三角形
∴G′D＝B′D＝m
点B′坐标（m+10）点G′坐标（1m）
点B′G′坐标代入y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k：
解：（舍）
∴k＝1
（3）设M（x0）P（x﹣x2+2x+3）Q（x﹣x2+2x+2）
∴PQ＝OA＝1
∵∠AOQ∠PQN均钝角
∴△AOQ≌△PQN
图2延长PQ交直线y＝﹣1点H
∠QHN＝∠OMQ＝90°
∵△AOQ≌△PQN
∴OQ＝QN∠AOQ＝∠PQN
∴∠MOQ＝∠HQN
∴△OQM≌△QNH（AAS）
∴OM＝QHx＝﹣x2+2x+2
解：x＝（负值舍）
x＝时HN＝QM＝﹣x2+2x+2＝点M（0）
∴点N坐标（+﹣1）（﹣1）
（﹣﹣1）（1﹣1）
图3
理△OQM≌△PNH
∴OM＝PHx＝﹣（﹣x2+2x+3）﹣1
解：x＝﹣1（舍）x＝4
x＝4时点M坐标（40）HN＝QM＝﹣（﹣x2+2x+2）＝6
∴点N坐标（4+6﹣1）（10﹣1）（4﹣6﹣1）（﹣2﹣1）
综点M1（0）N1（﹣1）M2（0）N2（1﹣1）
M3（40）N3（10﹣1）M4（40）N4（﹣2﹣1）．
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