专题十三 推理证明
第三十八讲 推理证明
2019 年
2019 年
8（2019 全国 I 理 4）古希腊时期认美体头顶肚脐长度肚脐足底
长度 51
2
 （ 51
2
 ≈0618称黄金分割例)著名断臂维纳斯便
．外美体头顶咽喉长度咽喉肚脐长度 51
2
 ．某满
足述两黄金分割例腿长 105 cm头顶脖子端长度 26 cm身高


A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
8 解析 头顶脖子端长度 26cm说明头顶咽喉长度 26cm
头顶咽喉长度咽喉肚脐长度 51 06182 
咽喉肚脐长度 26 420618 
头顶肚脐长度肚脐足底长度 51
2
肚脐足底长度
42+26 1100618

该身高110 68 178cm
肚脐足底长度 105cm头顶肚脐长度 105×0618≈65cm
该身高 65+105170cm综身高 170cm178cm 间．选 B．
9 （2019 全国 II 理 4）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现类历史首次月球背面
软着陆国航天事业取重成实现月球背面软着陆需解决关键技术问
题面探测器通讯联系．解决问题发射嫦娥四号中继星鹊桥鹊桥
着围绕月拉格朗日 2L 点轨道运行． 点衡点位月连线延长线．设球
质量 M１月球质量 M２月距离 R 点月球距离 r根牛顿运动定律
万引力定律r 满足方程：
1 2 1
2 2 3()()
MMMRrR r r R  
设 r
R   值似计算中
3 4 5
3
2
33 3(1 )
   

r 似值
A． 2
1
MRM B． 2
12
MRM
C． 23
1
3MRM D． 23
13
MRM
9 解析 解法（直接代换运算）：
1 2 1
2 2 2 2(1 )(1 )
MMM
R r R   
3 2 3
2 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
[(1 ) 1] (3 3 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
MMMMM
r R R R R
      
         
2 1 1
2 2 3
33M M M rr
r R R R  
3
3 2
13
MRr M 23
13
MrRM
选 D
解法二（选项结构特征入手）： rR
r 满足方程： ．

3 4 5
32
2
1
33 3(1 )
M
M
   

23
13
Mr R RM 选 D

20102018 年

选择题
1．(2018 浙江)已知 1a 2a 3a 4a 成等数列 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a      ．
1 1a 
A． 13aa 24aa B． 13aa
C． 24aa D． 13aa 24aa
2．(2018 北京)设集合 {( ) | 1 4 2}A xyxy axy xay    ≥ ≤
A．意实数 a (21)A B．意实数 (21) A
C．仅 0a  时 D．仅 3
2a ≤ 时
3．（ 2017 新课标Ⅱ）甲乙丙丁四位学起问老师询问成语竞赛成绩．老师说：
四中 2 位优秀2 位良现甲乙丙成绩乙丙成绩
丁甲成绩．甲家说：知道成绩．根信息
A．乙知道四成绩 B．丁知道四成绩
C．乙丁知道方成绩 D．乙丁知道成绩
4．（2017 浙江）图已知正四面体 D ABC （棱长均相等三棱锥） PQ
R 分 AB BC CA 点AP PB 2BQ CR
QC RA分记二面角 D PR Q
D PQ R D QR P面角  
RQ
P
A
B
C
D

A． < <  B． < < C． < < D． < <
5．(2016 北京)某学校运动会立定跳远 30 秒跳绳两单项赛分成预赛决赛两阶
段．表 10 名学生预赛成绩中三数模糊
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 196 192 182 180 178 176 174 172 168 160
30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65
10 名学生中进入立定跳远决赛 8 时进入立定跳远决赛 30 秒跳绳决
赛 6
A．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛
6．(2015 广东)集合  {0 40 40 4Ε p q r s p s q s r s   ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
}p q r s   0 40 4F tuvw tu vw tuvw   ≤ ≤ ≤ ≤
 card Χ 表示集合 Χ 中元素数    card cardΕF
A． 200 B．150 C．100 D．50
7．（ 2014 北京）学生语文数学成绩均评定三等级次优秀合格
合格三种．学生甲语文数学成绩低学生乙中少门成绩高
乙称学生甲学生乙成绩果组学生中没位学生位学生成绩
存语文成绩相数学成绩相两学生组学生
A． 2 B．3 C． 4 D．5
8．（ 2014 山东）反证法证明命题设 ab实数方程 3 0x ax b   少实根
时做假设
A．方程 3 0x ax b   没实根 B．方程 实根
C．方程 两实根 D．方程 恰两实根
9．（ 2011 江西）观察列式 55 3125 65 15 625 75 78125  20115
末四位数字
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
10．（ 2010 山东）观察 2( ) 2xx  43( ) 4xx  (cos ) sinxx  纳推理：
定义 R 函数 ()fx满足 ()()f x f x 记 ()gx ()fx导函数 ()gx
A． B．()fx C．()gx D．()gx
二填空题
11．(2018 江苏)已知集合 *{ | 2 1 }A x x n n   N*{ | 2 }nB x x n  N． AB
元素次排列构成数列{}na ．记 nS 数列{}na 前 n 项
112nnSa 成立 n 值 ．
12．（ 2017 北京）三名工加工种零件天中工作情况图示中点 iA
横坐标分第i 名工午工作时间加工零件数点 iB 横坐标分
第 名工午工作时间加工零件数 123．
①记 iQ 第 名工天中加工零件总数 1Q 2Q 3Q 中_ ___．
②记 ip 第 名工天中均时加工零件数 1p 2p 3p 中
______．

13．(2016 新课标Ⅱ)三张卡片分写 1 21 32 3．甲乙丙三取走
张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字 2乙丙卡
片说：丙卡片相数字 1丙说：卡片数字 5
甲卡片数字 ．
14．（ 2016 山东）观察列等式：
22π 2π 4(sin ) (sin ) 1 23 3 3
   
2 2 2 2π 2π 3π 4π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 2 35 5 5 5 3
        
2 2 2 2π 2π 3π 6π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 3 47 7 7 7 3
        
2 2 2 2π 2π 3π 8π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 4 59 9 9 9 3
        
„„
规律
2 2 2 2π 2π 3π 2 π(sin ) (sin ) (sin ) (sin )2 1 2 1 2 1 2 1
n
n n n n
          _______．
15．（ 2015 陕西）观察列等式：
1－ 11
22
1－ 1 1 1 1 1
2 3 4 3 4   
1－ 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 4 5 6      
……
规律第 n 等式______________________．
16．（2015 山东）观察列式：
00
1 4C 
0 1 1
334CC
0 1 2 2
5 5 5 4CCC  
0 1 2 3 3
7 7 7 7 4CCCC   
„„
规律 *Nn 时
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
n
n n n nCCCC 
       ．
17．（ 2014 安徽）图等腰直角三角形 ABC 中斜边 22BC  点 A 作 BC 垂
线垂足 1A点 作 AC 垂线垂足 2A点 作 1AC垂线垂足
3A„类推设 1BA a 12AA a 1 2 3A A a „ 5 6 7A A a 7a  __．
A
BCA1
A2
A3
A4

18．(2014 福建)集合 }4321{}{ dcba 列四关系：① 1a ② 1b ③ 2c
④ 4d 正确符合条件序数组 )( dcba 数____．
19．(2014 北京)顾客请位工艺师 AB 两件玉石原料制成件工艺品工艺师带
位徒弟完成项务件原料先徒弟完成粗加工工艺师进行精加工完成制作
两件工艺品完成交付顾客两件原料道工序需时间（单位：工作日）：
工序
时间
原料
粗加工 精加工
原料 A 9 15
原料 B 6 21
短交货期 工作日．
20．(2014 陕西)已知 01)(  xx
xxf   Nnxffxfxfxf nn ))(()()()( 11
)(2014 xf 表达式________．
21．(2014 陕西)观察分析表中数：
面体 面数（ F） 顶点数（V) 棱数（ E)
三棱锥 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想般凸面体中 EVF 满足等式_________．
22．(2013 陕西)观察列等式
21 1
221 2 3  
2 2 21 2 63
2 2 2 21 2 43 10  
…
规律 第 n 等式 ．
23．(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究种边形数．三角形数 136
10„第 n 三角形数   21 11
2 2 2
nn nn ．记第n k 边形数
 N n k  3k  列出部分 k 边形数中第n 数表达式：
三角形数   2113 22N n n n
正方形数   24N n n
五边形数   2315 22N n n n
六边形数   26 2N n n n
„„
推测  N n k 表达式计算  1024N  ．
24．(2012 陕西)观察列等式
2
131 22
23
1 1 51 2 3 3  
4
7
4
1
3
1
2
11 222 
„„
规律第五．．．等式 ．
25．(2012 湖南)设 2nN  *( 2)n N n … N 数 12Nx x x 次放入编号 12„
位置排列 0 1 2 NP x x x  ．该排列中分位奇数偶数位置数
取出原序次放入应前
2
N
2
N 位 置 排 列
1 1 3 1 2 4NNP x x x x x x   操作称 C 变换 1P 分成两段段
2
N 数
段作 C 变换 2P 22in剟 时 iP 分成 2i 段段
2i
N 数
段 C 变换 1iP 例 8 时 2 1 5 3 7 2 6 4 8P x x x x x x x x 时 7x 位 2P 中
第 4 位置
（1） 16 时 位 中第 位置
（2） （ 8n…）时 173x 位 4P 中第 位置
26．(2011 陕西)观察列等式
11
2+3+49
3+4+5+6+725
4+5+6+7+8+9+1049
„„
规律第 n 等式 ．
27．(2010 浙江)设 112 (2 ) (3 )23
nnn n N x x     2
0 1 2
n
na a x a x a x   
(0 )ka k n 值记 nT 2 3 4 53 3 5 5
1 1 1 10 0 2 3 2 3TTTT      
nT 中 nT __________________．
28．(2010 福建)观察列等式：
① cos2 2 2cos  1
② cos4 8 4cos  8 2cos  + 1
③ cos6 32 6cos  48 4cos  + 18 2cos  1
④ cos8 128 8cos  256 6cos  + 160 4cos  32 2cos  + 1
⑤ cos10 m 10cos  1280 8cos  + 1120 6cos  + n 4cos  + p 2cos  1．
推测 m n p ．
三解答题
29．（2018北京）设 n 正整数集合 12{ | ( ) {01} 12 }nkA t t t t k n   ．
集合 A 中意元素 12()nx x x  12()ny y y  记 ()M  
1 1 1 1 2 2 2 2
1[( | |) ( | |) ( | |)]2 n n n nxyxy xyxy xyxy   ．
(1) 3n  时 (110)  (011)  求 ()M  ()M 值
(2) 4n  时设 B A 子集满足： 中意元素  相时
奇数 时 偶数．求集合 中元素数
值
(3)定 2 设 A 子集满足： 中意两元素
( ) 0M   ．写出集合 元素数说明理．
30．(2018 江苏)设 *nN 12···n 排列 12 ni i i 果 st 时 stii
称()stii排列 12 ni i i 逆序排列 12 ni i i 逆序总数称逆序
数．例： 123 排列 231两逆序(21)(31)排列 231
逆序数 2．记 ()nfk 12···n 排列中逆序数 k 全部排列数．
(1)求 34(2) (2)ff值
(2)求 (2)( 5)nfn≥ 表达式( n 表示)．
31．（ 2017 江苏）定正整数 k 数列{}na 满足
1 1 1 1 2nknk nn nk nk na a a a a a ka            
意正整数 n ()nk 总成立称数列{}na ()Pk 数列．
（1）证明：等差数列 (3)P 数列
（2）数列 (2)P 数列 数列证明： 等差数列．
32．（2017 北京）设{}na {}nb 两等差数列记
1 1 2 2max{ }n n nc b a n b a n b a n     ( 123 )n  
中 12max{ }sx x x 表示 12 sx x x s 数中数．
（Ⅰ） nan 21nbn求 1 2 3c c c 值证明{}nc 等差数列
（Ⅱ）证明：者意正数 M存正整数 m nm≥ 时 nc Mn  者存
正整数 12m m mc c c等差数列．
33．(2016 江苏)记  12 100U  ．数列 na （*nN）U 子集TT 定义
0TS   12 kT t t t 定义
12 kT t t tS a a a    ．例：  1366T  时
1 3 66TS a a a   ．现 设 （）公3等数列  24T  时 30TS  ．
(1)求数列 na 通项公式
(2)意正整数 k （1 100k≤ ≤ ）  12 Tk 求证： 1TkSa
(3)设CU DU CDSS≥ 求证： 2CCDDSSS ≥ ．
34．(2016 浙江)设函数 ()fx 3 1
1x x 
[01]x ．证明：
(1) 2( ) 1f x x x≥
(2) 33()42fx ≤ ．
35．(2015 湖北)已知数列{}na 项均正数 1(1 ) ( )n
nnb n a nn   Ne 然数
底数．
(1)求函数 ( ) 1 exf x x   单调区间较 1(1 )n
n e
(2)计算 1
1
b
a
12
12
bb
aa
1 2 3
1 2 3
b b b
a a a
推测计算 12
12
n
n
b b b
a a a
公式出证明
(3)令
1
12()n
nnc a a a 数列{}na {}nc 前 n 项分记 nS nT 证明： ennTS ．
36．(2015 江苏)已知集合 *{123} {123 }( )nX Y n n N   设 {( ) |nS a b a 整
b }nb a a X b Y 令 ()fn表示集合 nS 含元素数．
(1)写出 (6)f 值
(2) 6n≥ 时写出 表达式数学纳法证明．
37．(2014 天津)已知 q n 均定 1 然数设集合 {012 1}M q
集合 1
12 12 {}n
nix q x M i nA x x x x q + + +
(1) 2q 3n 时列举法表示集合 A
(2)设 st AÎ 1
1
2
n
ns a a q aq + + + 1
1
2
n
nt b b q bq + + + 中 ia
ib M 12 in  ．证明： nnab st ．
38．(2013 江苏)设 na 首项 a 公差 d 等差数列  0d  nS 前 n 项 记
2
n
n
nSb nc 
Nn* 中c 实数
(1) 0c  1b 2b 4b 成等数列证明：  2 Nnk kS n S kn *
(2) nb 等差数列证明： 0c  ．

专题十三 推理证明
第三十八讲 推理证明
答案部分
1．B解析解法 ln 1xx≤ ( 0x  ) 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a     
1 2 3 1a a a  ≤ 4 1a ≤ 1 1a  等数列公 0q  ．
1q ≤ 2
1 2 3 4 1(1 )(1 0a a a a a q q      ）≤
1 2 3 1 1a a a a  ≥ 1 2 3ln( ) 0a a a  
1 2 3 1 2 3 4ln( ) 0a a a a a a a      ≤ 矛盾
10q   2
1 3 1(1 ) 0a a a q    2
2 4 1 (1 ) 0a a a q q   
13aa 24aa 选 B．
解法二 1xex≥
1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 4 1a a a ae a a a a a a a         ≥ 4 1a ≤
等数列公 ．

1 2 3ln( ) 0a a a  
矛盾

13aa 选 B．
2．D解析解法 点(21) 直线 1xy 4ax y表示定点(04) 斜率 a
直线 0a  时 2x ay表示定点(20) 斜率 1
a
直线等式 2x ay ≤
表示区域包含原点等式 4ax y表示区域包含原点．直线 直
线 互相垂直显然直线 斜率 0a时等式 表
示区域包含点 (21) 排 A点 点 (04)连线斜率 3
2
3
2a   3
2a  时 4ax y表示区域包含点 时 2x ay表示
区域包含点 排 B直线 4ax y斜率 3
2a   3
2a  时
表示区域包含点 排 C选 D．
解法二 (21)A 2 1 4
22
a
a

  ≤ 解 3
2a  仅 3
2a ≤ 时
(21) A ．选 D．
3．D解析甲说法知乙丙优秀良甲丁优秀良乙
丙结果知道结果丁甲结果知道结果选 D．
4．B解析设 O 三角形 ABC 中心底面图 2O 作 OE RP OF PQ
OG RQ 题意知 tan DO
OE  tan OD
OF  tan OD
OG 
G
F
EO
D
C
B
A
P
Q
R
x
y
A
P
B
Q
C
G
ROF
E

图 1 图 2
图 2 示 P 原点建立直角坐标系妨设 2AB  ( 10)A  (10)B
(0 3)C 3(0 )3O∵ AP PB 2BQ CR
QC RA∴ 1 2 3()33Q 23()33R 
直线 RP 方程 3
2yx 直线 PQ 方程 23yx 直线 RQ 方程
3 5 3
39yx根点直线距离公式知 2 21
21OE  39
39OF  1
3OG 
∴OF OG OE tan tan tan  
   锐角  ．选 B
5．B解析数知进入立定跳远决赛 8 1~8 号进入 30 秒跳绳决赛
6 1~8 号里产生．数排序知 3 号6 号7 号必定进入 30 秒跳绳决赛
分 63 a 6063 l 5 中 3 进入 30 秒跳绳决赛． 1 号5 号学
生未进入 30 秒跳绳决赛 4 号学生会进入决赛事实矛盾 l 号5 号学
生必进入 30 秒跳绳决赛选 B．
6．A 解析 4s  时 p q r 取0 12 3 中 4 4 4 64   种
3s  时 取 中3 3 3 27   种 2s  时
取 中 2 2 2 8   种 1s  时 取 1
种  card 64 27 8 1 100      0t  时u 取 4 中
4 种 1t  时 取 中3 种 2t  时 取 中
2 种 3t  时 取 1种t u 取值1 2 3 4 10    种
理v w 取值10种  card F 10 10 100  
   card card F 100 100 200     选 D．
7．B解析学生甲学生乙成绩学生甲两门成绩中门高学生乙门低
学生乙组学生中没位学生位学生成绩没相成绩存
情况 3 中语文数学差语文差数学
第三成绩均中等．选 B．
8．A解析少实根反面没实根选 A．
9．D解析∵ 55 3125 65 15 625 75 78125 85 390 625 95 1953125
105 9 765 625 ∴5n ( nZ 5n≥ )末四位数字呈周期性变化正
周期 4记5n ( )末四位数字 ()fn (2011) (501 4 7)ff  
(7)f ∴ 20115 75 末位数字相均 8 125选 D．
10．D解析出例子纳推理出：函数 ()fx偶函数导函数
奇函数定义 R 函数 ()fx满足 ()()f x f x 函数 ()fx偶函数
导函数奇函数 ()gx ()gx 选 D．
11．27解析正奇数 2n (*nN)序排列构成{}na 数列
中 52 前面 16 正奇数 5
21 2a  6
38 2a  ． 1n  时 121 12 24Sa  
符 合 题 意 2n  时 233 12 36Sa   符 合 题 意 3n  时
346 12 48Sa   符合题意 4n  时 4510 12 60Sa   符合题意„„
26n  时
5
26
21 (1 41) 2 (1 2 )
2 1 2S     441 +62 503< 2712 516a  符合题
意 27n  时
5
27
22 (1 43) 2 (1 2 )
2 1 2S     484 +62546> 2812a 540符合题
意． 112nnSa 成立 n 值 27．
12． 1Q 2p 解析设线段 iiAB 中点 ()i i iC x y 2iiQy 中 123i 
①题意需较线段 iiAB 中点坐标作图 11AB 中点坐标
2 2 3 3ABAB 中点坐标第位选 1Q．
②题意 i
i
i
yp x 需较三条线段 1OC 2OC 3OC 斜率分作 1 2 3BBB
关原点称点 1 2 3BBB  较直线 1 1 2 2 3 3ABABAB   斜率 22AB
选 2p
13．1 3解析方便说明妨分写 1 21 32 3 卡片记 AB
C 丙出发丙卡片数字 5丙卡片 A B
张均含数字 1乙丙卡片相数字 1 知乙卡片必然
C甲乙卡片相数字 2知甲卡片 B时丙
卡片 A．
14．解析根已知纳结果 4
3 n(n+1)．
15． 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n      
．
解析观察等式知：第 n 等式左边 2n 数相加减奇数项正偶数项负
分子 1分母 1 2n 连续正整数等式右边 1 1 1
1 2 2n n n 
．
16． 14n解析 具体证明程：
0 1 2 1 0 1 2 1
212121 21 21 21 21 21
1 (2 2 2 2 )2
nn
n n n n n n n nCCCCCCCC
               
0 2 1 1 2 2 2 2 3 1
2121 2121 2121 2121
1[( ) ( ) ( ) ( )]2
n n n n n
n n n n n n n nCCCCCCCC   
               
0 1 2 1 2 1 2 1 1
212121 2121 21
11( ) 2 422
n n n n n
n n n n n nCCCCCC   
        ．
17． 1
4
解析解法 直接递推纳等腰直角三角形 ABC 中斜边 22BC 
1 1 22 2AB AC a AA a     1 2 3 1A A a 6
5 6 7 1
21()24A A a a    ．
解法二 求通项：等腰直角三角形 中斜边

11
22sin 2 ( )4 2 2
n
n n n n nA A a a a
      6
7
22 ( )2a 
18．6解析①正确②正确①正确②正确①③
④正确符合条件序数组(2314) (3214) ③正确①②④
正确符合条件序数组(3124) ④正确①②③正确
符合条件序数组(2143) (3142) (4132) ．综符合条件序数组
数 6．
19．42解析先徒弟粗加工原料 B6 天师傅开始精加工原料 徒弟时开始
粗加工原料 A 9 天（15 天）徒弟粗加工原料 完成时师傅精加工原
料 27 天师傅精加工原料 完成然接着精加工原料 15 天师傅
精加工原料 完成整工作完成需 6 +21+15 42 工作日．
20．
1 2014
x
x
解析 1() 1
xfx x 
2 ()()1 1 2
xxf x f xx

32( ) ( ( )) 13
xf x f f x x
纳 2014 () 1 2014
xfx x 
．
21． 2FVE   解析三棱柱中 5 +69 2五棱锥中 6+6 10 2立方体中 6+8 12 2
纳 2FVE   ．
22．12－22+32－42+„ +（－1）n+1n2（－1）n+1·( 1)
2
nn （n∈ N）
解析观察式等号左边规律发现左边项数次加 1第 n 等式左边
项项含底数绝值增加 1次 123„ 指数 2符号成
正负交出现 1( 1)n 表示等式右边数绝值左边项底数等
式右边表示 ( 1)n ·第 式子 12 －22+32 －42+„
+ 12( 1)n n （－1）n+1·（ ∈ ）．
23．1000解析观察 2n n 前面系数知成递增等差数列成递减等
差数列   224 11 10N n n n  1024 1000N
24．
6
11
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11 22222  解析观察等式左边发现第 n 等式左
边 2 2 2
1 1 11 2 3 ( 1)n   
右边  
1
112


n
n 第 五 等 式
．
25．（ 1）6（ 2） 43 2 11n
解析（1） N 16 时
0 1 2 3 4 5 6 16P x x x x x x x 设(123456 16)
1 1357 15246 16P x x x x x x x x x (13579 2468 16)
2 1591337111526 16P xxxxxxxxxx x (1591337111526 16) 7x 位 2P 中
第 6 位置
（2） 1P 中 173x 位两段中第段第 87 位置位奇数位置时 2P 中 173x 位
四段中第段第 44 位置作变换 3P 时 173x 位八段中第二段第 22
位置作变换时 位十六段中第四段第 11 位置．位 4P 中
第 位置．
26． 2( 1) (3 2) (2 1)n n n n       解析已知等式行数应起
等式左边式子第数行数 n 加数数 21n 等式右边完全方
数
行数 等号左边项数
11 1 1
2+3+49 2 3
3+4+5+6+725 3 5
4+5+6+7+8+9+1049 4 7
„„ „„ „„
2( 1) [ (2 1)1](2 1)n n n n n        
2( 1) (3 2) (2 1)n n n n      
27．
0
11
23nn
n
n
 
偶数时
奇数时
解析根合情推理利纳类进行简单推理
nT ．
28．962解析观察等式知cos 高次系数 2832128 构成公 4 等数
列 128 4 512m    ．取 0  cos 1  cos10 1  代入等式⑤
1 512 1280 1120 1np      350np   ①
取
3
  1cos 2  1cos10 2  代入等式⑤
10 8 6 4 21 1 1 1 1 1512 ( ) 1280 ( ) 1120 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 2 2 2np  
4 200np   ②
联立①② 400 50np   m n p 512 ( 400) 50 962    ．
29．解析(1) (110)  (011) 
1( ) [(1 1 |1 1|) (1 1 |1 1|) (0 0) |0 0|)] 22M    
1( ) [(1 0 |1 0|) (1 1|1 1|) (0 1|0 1|)] 12M      ．
(2)设 1 2 3 4()x x x x B  1 2 3 4()M x x x x     ．
题意知 1x 2x 3x 4x ∈{01} ()M  奇数
中 1 数 1 3．
B {(1000)(0100)(0010)(0001)(0111)
(1011)(1101)(1110)}．
述集合中元素分成四组：
(1000)(1110)(0100)(1101)(0010)(10
11)(0001)(0111)．
验证组中两元素  均 ( ) 1M   ．
组中两元素时集合 B 元素．
集合 中元素数超 4．
集合{(1000)(0100)(0010)(0001)}满足条件
集合 中元素数值 4．
(3)设 1 2 1 2 1 2 1{()|() 1 0}k n n k kS xxxxxxAx xx x       
( 12 )kn 
1 1 2 1 2{( ) | 0}n n nS x x x x x x     
1 2 1nASSS   ．
kS（ 12 1kn   ）中元素  验证 ( ) 1M ≥ ．
（）中两元素时集合 元素．
中元素数超 1n  ．
取 12()k n ke x x x S   1 0knxx     （）．
令 1 2 1 1()n n nB e e e S S  集合 元素数 1n  满足条件．
满足条件元素数集合．
30．解析(1)记 ()abc 排列 abc 逆序数 123 排列
(123)0 (132)1 (213)1 (231)2 (312)2 (321)3     
3 3 3(0) 1 (1) (2) 2f f f  ．
1234 排列利已 123 排列数字 4 添加进4 新排列
中位置三位置．
4 3 3 3(2) (2) (1) (0) 5f f f f    ．
(2)般 n ( 4)n≥ 情形逆序数 0 排列：12 n (0) 1nf  ．
逆序数 1 排列排列 中意相邻两数字调换位置排列
(1) 1nfn．
计算 1(2)nf  12„n 排列逆序数确定 1n  添加进原排列 1n 
新排列中位置三位置．
1(2) (2) (1) (0) (2)n n n n nf f f f f n      ．
5n≥ 时
1 1 2 5 4 4(2) [ (2) (2)] [ (2) (2)] [ (2) (2)] (2)n n n n nf f f f f f f f         …
2
4
2( 1) ( 2) 4 (2) 2
nnn n f       
时 (2)nf 
2 2
2
nn．
31．解析证明（1） na 等差数列设公差 d 1 ( 1)na a n d  
n 4≥ 时 n k n ka a a  1 1( 1) ( 1)n k d a n k d     
12 2( 1) 2 na n d a    123k 
n n n n n n na a a a a a a       3 2 1 1 2 3+ + + 6
等差数列 na (3)P 数列
（2）数列 (2)P 数列 (3)P 数列
3n  时 n n n n na a a a a      2 1 1 2 4 ①
4n  时 n n n n n n na a a a a a a          3 2 1 1 2 3 6 ②
①知 n n na a a    3 2 14 1()nnaa ③
n n na a a    2 3 14 1()nnaa  ④
③④代入② n n na a a112 中 4n 
345a a a 等差数列设公差 d＇
①中取 4n  2 3 5 6 44a a a a a    23a a d＇
①中取 3n  1 2 4 5 34a a a a a    122a a d＇
数列{}na 等差数列
32．解析（Ⅰ）易知 1 1a  2 2a  3 3a  1 1b  2 3b  3 5b 
1 1 1 1 1 0c b a    
2 1 1 2 2max{ 2 2 } max{1 2 13 2 2} 1c b a b a         
3 1 1 2 2 3 3max{ 3 3 3 } max{1 3 13 3 25 3 3} 2c b a b a b a     ．
面证明：意 n *N 2n≥ 11nc b a n   ．
k  *N 2 kn≤ ≤ 时
11()()kkb a n b a n    
[(2 1) ] 1k nk n    
(2 2) ( 1)k n k   
( 1)(2 )kn  
∵ 10k  20n ≤
∴ 11( ) ( ) 0kkb a n b a n     ≤  11()()kkb a n b a n   ≥ ．
意 11 1nc b a n n     1 1nncc    ．
∵ 21 1cc  
均成立{}nc 等差数列
（Ⅱ）设数列{}na {}nb 公差分 abdd面考虑 nc 取值．
11b a n 22b a n nnb a n
考虑中意项 iib a n(i *N 1)in≤ ≤
iib a n 11[ ( 1) ] [ ( 1) ]bab i d a i d n      
11( ) ( 1)( )bab a n i d d n      
面分 0ad  0ad  0ad  三种情况进行讨．
（1） 11( ) ( 1) bb a n i d    
① 0bd ≤ 11( ) ( ) ( 1) 0i i bb a n b a n i d       ≤
定正整数 n 言 11nc b a n  
时 11nnc c a    {}nc 等差数列
② 0bd  ( ) ( ) ( ) 0i i n n bb a n b a n i n d       ≤
定正整数 言 1n n n nc b a n b a n     
时 11n n bc c d a    等差数列
时取 1m  1 2 3c c c 等差数列命题成立．
（2） 0ad  时 abd n d   关 n 次项系数负数次函数．
必存 m *N nm≥ 时 0abd n d   
时
11( ) ( ) ( 1)( 0i i a bb a n b a n i d n d          )≤ ( 1 )i i n *N ≤ ≤
时 11nc b a n   ．
时 11nnc c a    {}nc 第 m 项开始等差数列命题成立．
（3） 0ad  时 abd n d   关 次项系数正数次函数．
必存 s *N ns≥ 时 0abd n d   
时
( ) ( ) ( )( 0i i n n a bban ban indnd          )≤
时 n n nc b a n   ．
时 n n n n
n
c b a n ban n n
    1
1()b
a a b
bdd n d a d n
      
令 0adA   1abd a d B   1 bb d C
面证明 nc CAn Bnn   意正数 M存正整数 m nm≥ 时
nc Mn  ．
① 0C≥ 取 ||[ ] 1MBm A
（[]x 表示等 x 整数）
nm≥ 时
||([ ] 1)nc MBMBAnBAmBA BA BMn A A
        ≥ ≥
时命题成立．
0C  取 ||[ ] 1MCBm A

时
||([ ] 1)nc MCBAnBCAmBCA BCnA
       ≥ ≥
MCBBCM    ≥
时命题成立．
意正数 M nm≥ 时 nc Mn  ．
综合三种情况命题证．
33．解析(1)已知 1*
1 3n
na a n N  
{24}T  时 2 4 1 1 13 27 30rS a a a a a    
30rS  130 30a  1 1a 
数列{}na 通项公式 1*3n
na n N
(2) {12 }Tk 1*3 0n
na n N  
1
12
11 3 3 (3 1) 32
k k k
rkS a a a   
1rkSa
(3)面分三种情况证明
① D C 子集 2CCDCDDDDSSSSSSS     
②C D 子集 22CCDCCCDSSSSSS    
③ 子集 子集
令 UECCD UFDCC E  F  EF
CECDSSS DFCDSSS 进 CDSS EFSS
设 k E 中数l F 中数 1 1k l k l  
（2）知 1EkSa 1
133lk
l F E ka S S a
     1lk lk
kl 1lk

1
1
12
1 13 1 3 11 3 3 2 2 2 2
lk
l k E
Fl
a SS a a a

     
21EFSS 2( ) 1CCDDCDSSSS    21CCDDSSS  
综合①②③ 2CCDDSSS
34．解析(1)  
 
4 4
231 11 11
x xx x x xx
       

 01x
411
11
x
xx


≤ 231 1
1x x x x   
≤
2( ) 1 f x x x≥
(2) 01x≤ ≤ 3xx≤
  
 
3 1 2 11 1 3 3 3 3() 1 1 2 2 2 1 2 2
xxf x x xx x x
        
≤ ≤
3() 2fx≤
(1) 221 3 3( ) 1 ( )2 4 4f x x x x    ≥ ≥
1 19 3()2 24 4f    3
4fx
综 33()42fx ≤ ．
35．解析(1) ()fx定义域 ()  ( ) 1 exfx  ．
( ) 0fx  0x  时 ()fx单调递增
( ) 0fx  0x  时 ()fx单调递减．
()fx单调递增区间( 0) 单调递减区间(0 ) ．
0x  时 ( ) (0) 0f x f1exx ．
令 1x n
111en
n 1(1 ) en
n．(*)
(2) 11
1
11 (1 ) 1 1 21
b
a       2 2 21 2 1 2
1 2 1 2
12 2(1 ) (2 1) 32
b b b b
a a a a       
2 3 3 31 2 3 312
1 2 3 1 2 3
13 3(1 ) (3 1) 43
b b b bbb
a a a a a a        ．
推测： 12
12
( 1)nn
n
b b b na a a ．(**)
面数学纳法证明②．
① 1n  时左边  右边 2 (**)成立．
②假设 nk 时(**)成立 12
12
( 1)kk
k
b b b ka a a ．
1nk时 1
11
1( 1)(1 )1
k
kkb k ak

   
纳假设
111 2 1 1 2 1
1 2 1 1 2 1
1( 1) ( 1)(1 ) ( 2)1
k k kk k k k
k k k k
b b b b b b b b k k ka a a a a a a a k


       
．
时(**)成立．
根①②知(**)切正整数 n 成立．
(3) nc 定义(**)算术均等式 nb 定义(*)
1 2 3nnT c c c c     
1111
312
1 1 2 1 2 3 1 2()()()()n
na a a a a a a a a   
1111
312
1 2 3 1 21 1 2 ()()()()
2 3 4 1
n
nb b b b b bb b b
n     
1 2 3 1 21 1 2
1 2 2 3 3 4 ( 1)
nb b b b b bb b b
nn
           
12
1 1 1 1 1 1 1[][]1223 (1) 2334 (1) (1)nb b bn n n n n n          
12
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )1 2 1 1nb b bn n n n        
12
12
nbbb
n    12
12
1 1 1(1 ) (1 ) (1 )12
n
na a an      
12e e e na a a     e nS ennTS ．
36．解析(1)  6 13f  ．
(2) 6n  时  
2 623
112 6 123
22 6 223
12 6 323
12 6 423
122 6 523
nnn n t
nnn n t
nnn n t
fn
nnn n t
nnn n t
nnn n t
     
      
                       
      
（t  ）．
面数学纳法证明：
① 6n  时   666 6 2 1323f      结成立
②假设 nk （ 6k  ）时结成立 1nk时 1kS  kS 基础新增加元
素 1 1k   2 1k   3 1k  中产生分情形讨：
1） 16kt  6 1 5kt   时
    121 3 2 323
kkf k f k k        
  1112 23
kkk      结成立
2） 1 6 1kt   6kt 时    1 1 2 123
kkf k f k k       
     1 1 1 112 23
kkk         结成立
3） 1 6 2kt   61kt时
    111 2 2 223
kkf k f k k        
   12112 23
kkk      结成立
4） 1 6 3kt   62kt时
    21 2 2 223
kkf k f k k        
   11 112 23
k kk       结成立
5） 1 6 4kt   63kt时
    11 2 2 223
kkf k f k k        
   11112 23
kkk      结成立
6） 1 6 5kt   64kt时
    11 1 2 123
kkf k f k k        
     1 1 1 212 23
kkk         结成立．
综述结满足 6n  然数 n 均成立．
37．解析(1) 2q 3n 时 {}01M
{}1 2 32 4 123iA x x x x x Mx i + + {}01234567A
(2) st AÎ 1
1
2
n
ns a a q aq + + + 1
1
2
n
nt b b q bq + + + iiab MÎ
12 i n nnab<
()()()()1 1 2 2
21
11
nn
n n n na b q a b qs t a b a b q
+ + + +
()()() 211 1 1 nnq q q q q q + + +
()()1
111
1
n
nqq
qq


10 <
st<
38．证明(1) 0c n
n
Sb n *Nn 题 ( 1)
2n
n n dS na 
1
2
n
n
S nb a dn
    1
1
2nnb b d  
{}nb 等差数列首项 a 公差
2
d )0( d 421 bbb 成等数列
2
2 1 4b b b 2 3()()22
dda a a   
2 3()42
ddad a   0d  2da
2
nS n a
2 2 2 2 2 2()nk kS nk a n k a n S n k a    2
nk kS n S （*Nnk  ）．
(2)题
cn
nSb n
n  2 *Nn
2
2
[2 ( 1) ]
2( )n
n a n db nc
 
}{ nb 等差数列设
nb x yn xy常数
2
2
[2 ( 1) ]
2( )
n a n d x ynnc
 
关 *Nn 恒成立．整理：
32( 2 ) (2 2 ) 2 2 0d yn ad xn cyn cx      
关 *Nn 恒成立． 2 02 2 02 02 0d y a d x cy cx       
2 02 2 0 0d y a x d cy cx      
0c ．


《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档