中考数学证明题：精选真题专项破刺提分60题
（含答案解析）
解 答 题（60题）
1．（2015•遵义）Rt△ABC中∠BAC90°DBC中点EAD中点点A作AF∥BC交BE延伸线点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB
（2）证明四边形ADCF菱形
（3）AC4AB5求菱形ADCF面积．
2．（2015•珠海）已知△ABCABAC△ABCBC方移△DEF．
（1）图1连接BDAFBD AF（填＞＜）
（2）图2MAB边点M作BC行线MN分交边ACDEDF点GHN连接BHGF求证：BHGF．
3．（2015•镇江）图菱形ABCD角线ACBD相交点O分延伸OAOC点EFAECF次连接BFDE点．
（1）求证：△BAE≌△BCF
（2）∠ABC50°∠EBA °时四边形BFDE正方形．
4．（2015•漳州）图矩形ABCD中点E边CD该矩形AE折叠点D落边BC点F处点F作分FG∥CD交AE点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG菱形
（2）CD8CF4求值．
5．（2015•玉林）图⊙O中AB直径点D⊙O点∠BOD60°点D作⊙O切线CD交AB延伸线点CE中点连接DEEB．
（1）求证：四边形BCDE行四边形
（2）已知图中暗影部分面积6π求⊙O半径r．
6．（2015•永州）图四边形ABCD中∠A∠BCD90°BCDC．延伸ADE点DEAB．
（1）求证：∠ABC∠EDC
（2）求证：△ABC≌△EDC．
7．（2015•营口）图点P⊙O外点PA切⊙O点AAB⊙O直径连接OP点B作BC∥OP交⊙O点C连接AC交OP点D．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）PDAC8求图中暗影部分面积
（3）（2）条件点E中点连接CE求CE长．
8．（2015•徐州）图点ABCD条直线点EF分直线AD两侧AEDF∠A∠DABDC．
（1）求证：四边形BFCE行四边形
（2）AD10DC3∠EBD60°BE 时四边形BFCE菱形．
9．（2015•宿迁）图四边形ABCD中∠A∠ABC90°AD1BC3E边CD中点连接BE延伸AD延伸线相交点F．
（1）求证：四边形BDFC行四边形
（2）△BCD等腰三角形求四边形BDFC面积．
10．（2015•湘西州）图▱ABCD中DE⊥ABBF⊥CD垂足分EF．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）求证：四边形BFDE矩形．
11．（2015•咸宁）已知关x元二次方程mx2﹣（m+2）x+20．
（1）证明：m值时方程总实数根
（2）m整数时方程两相等正整数根．
12．（2015•咸宁）图△ABC中∠C90°AB点O圆心OA长半径圆恰BC相切点D分交ACAB点EF．
（1）∠B30°求证：AODE顶点四边形菱形．
（2）AC6AB10连结AD求⊙O半径AD长．
13．（2015•梧州）图正方形ABCD中点PADAD重合BP垂直分线分交CDABEF两点垂足QE作EH⊥ABH．
（1）求证：HFAP
（2）正方形ABCD边长12AP4求线段EQ长．
14．（2015•威海）图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点D交BC点E．
（1）求证：BECE
（2）BD2BE3求AC长．
15．（2015•铜仁市）已知图点D等边三角形ABC边AB点F边AC连接DF延伸交BC延伸线点EEFFD．
求证：ADCE．
16．（2015•通辽）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等．
17．（2015•铁岭）图矩形ABCD中AB8AD6点EF分边CDAB．
（1）DEBF求证：四边形AFCE行四边形
（2）四边形AFCE菱形求菱形AFCE周长．
18．（2015•天水）图AB⊙O直径BC切⊙O点BOC行弦AD点D作DE⊥AB点E连结ACDE交点P．求证：
（1）AC•PDAP•BC
（2）PEPD．
19．（2015•泰安）图△ABC直角三角形∠ABC90°四边形BCDE行四边形EAC中点BD分∠ABC点FABBFBC．求证：
（1）DFAE
（2）DF⊥AC．
20．（2015•州）图射线PA切⊙O点A连接PO．
（1）PO方作射线PC∠OPC∠OPA（尺规原图中作保留痕迹写作法）证明：PC⊙O切线
（2）（1）条件PC切⊙O点BABAP4求长．
21．（2015•绥化）图1正方形ABCD中延伸BCMBMDN连接MN交BD延伸线点E．
（1）求证：BD+2DEBM．
（2）图2连接BN交AD点F连接MF交BD点G．AF：FD1：2CM2线段DG ．
22．（2015•苏州）图△ABC中ABAC分BC圆心BC长半径BC方画弧．设两弧交点DABAC延伸线分交点EF连接ADBDCD
（1）求证：AD分∠BAC
（2）BC6∠BAC50°求DEDF长度（结果保留π）．
23．（2015•海）已知图行四边形ABCD角线相交点O点E边BC延伸线OEOB连接DE．
（1）求证：DE⊥BE
（2）果OE⊥CD求证：BD•CECD•DE．
24．（2015•厦门）图面直角坐标系中点A（2n）B（mn）（m＞2）D（pq）（q＜n）点BD直线yx+1．四边形ABCD角线ACBD相交点EAB∥CDCD4BEDE△AEB面积2．
求证：四边形ABCD矩形．
25．（2015•庆阳）图正方形ABCD中点E边BC中点直线EF交正方形外角分线点F交DC点GAE⊥EF．
（1）AB2时求△GEC面积
（2）求证：AEEF．
26．（2015•青海）图梯形ABCD中AB∥DCAC分∠BADCE∥DA交AB点E．求证：四边形ADCE菱形．
27．（2015•钦州）图AB⊙O直径AD弦∠DBC∠A．
（1）求证：BC⊙O切线
（2）连接OC果OC恰弦BD中点EtanCAD3求直径AB长．
28．（2015•黔东南州）图已知PC分∠MPN点OPC意点PM⊙O相切点E交PCAB两点．
（1）求证：PN⊙O相切
（2）果∠MPC30°PE2求劣弧长．
29．（2015•潜江）图AC⊙O直径OB⊙O半径PA切⊙O点APBAC延伸线交点M∠COB∠APB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）OB3PA6时求MBMC长．
30．（2015•盘锦）图1AB⊙O直径点P直径AB意点点P作弦CD⊥AB垂足P点B直线线段AD延伸线交点F∠F∠ABC．
（1）CD2BP4求⊙O半径
（2）求证：直线BF⊙O切线
（3）点P点O重合时点A作⊙O切线交线段BC延伸线点E条件变情况判断四边形AEBF什四边形？请图2中补全图象证明结．
31．（2015•江）图▱ABCD边AB延伸点EABBE连接DEECDE交BC点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC
（2）连接BD∠BOD2∠A求证：四边形BECD矩形．
32．（2015•南通）图▱ABCD中点EF分ABDCED⊥DBFB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB
（2）∠A30°∠DEB45°求证：DADF．
33．（2015•南）图AB半圆O直径CAB延伸线点CD半圆O相切点D连接ADBD．
（1）求证：∠BAD∠BDC
（2）∠BDC28°BD2求⊙O半径．（001）
34．（2015•南京）图四边形ABCD⊙O接四边形BC延伸线AD延伸线交点EDCDE．
（1）求证：∠A∠AEB
（2）连接OE交CD点FOE⊥CD求证：△ABE等边三角形．
35．（2015•南充）图△ABC中ABACAD⊥BCCE⊥ABAECE．求证：
（1）△AEF≌△CEB
（2）AF2CD．
36．（2015•南昌）（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形
A．行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）图2（1）中四边形纸片AEE′D中EE′取点FEF4剪△AEF移△DE′F′位拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D菱形．
②求四边形AFF′D两条角线长．
37．（2015•梅州）图已知△ABC步骤作图：
①A圆心AB长半径画弧
②C圆心CB长半径画弧两弧相交点D
③连接BDAC交点E连接ADCD．
（1）求证：△ABC≌△ADC
（2）∠BAC30°∠BCA45°AC4求BE长．
38．（2015•龙岩）图EF分矩形ABCD边ADAB点EFECEF⊥EC．
（1）求证：AEDC
（2）已知DC求BE长．
39．（2015•柳州）图已知四边形ABCD行四边形AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A边CD⊙O相交点E连接AEBE．
（1）求证：ABAC
（2）点A作AH⊥BEH求证：BHCE+EH．
40．（2015•辽阳）图△ABC中ABACAB直径⊙O分交BCAC点DEDG⊥AC点G交AB延伸线点F．
（1）求证：直线FG⊙O切线
（2）AC10cosA求CG长．
41．（2015•连云港）图行四边形ABCD角线BD进行折叠折叠点C落点F处DF交AB点E．
（1）求证∠EDB∠EBD
（2）判断AFDB否行阐明理．
42．（2015•莱芜）图△ABC等腰直角三角形∠ACB90°分ABAC直角边外作等腰直角△ABD等腰直角△ACEGBD中点连接CGBECDBECD交点F．
（1）判断四边形ACGD外形阐明理．
（2）求证：BECDBE⊥CD．
43．（2015•酒泉）图行四边形ABCD中AB3cmBC5cm∠B60°GCD中点E边AD动点EG延伸线BC延伸线交点F连结CEDF．
（1）求证：四边形CEDF行四边形
（2）①AE cm时四边形CEDF矩形
②AE cm时四边形CEDF菱形．
（直接写出答案需求阐明理）
44．（2015•荆门）已知图AB⊙O直径点C⊙O点OF⊥BC点F交⊙O点EAEBC交点H点DOE延伸线点∠ODB∠AEC．
（1）求证：BD⊙O切线
（2）求证：CE2EH•EA
（3）⊙O半径5sinA求BH长．
45．（2015•吉林）图①半径R圆心角n°扇形面积S扇形弧长lS扇形••RlR．观察发现S扇形lR类似S三角形×底×高．
类扇形探求扇环（图②两心圆围成圆环扇形截部分交作扇环）面积公式运．
（1）设扇环面积S扇环长l1长l2线段AD长h（两心圆半径Rr差）．类S梯形×（底+底）×高含l1l2h代数式表示S扇环证明
（2）段长40m篱笆围成图②示扇环形花园线段AD长h少时花园面积面积少？
46．（2015•黄石）△AOB中CD分OAOB边点△OCD绕点O时针旋转△OC′D′．
（1）图1∠AOB90°OAOBCD分OAOB中点证明：①AC′BD′②AC′⊥BD′
（2）图2△AOB意三角形∠AOBθCD∥ABAC′BD′交点E猜想∠AEBθ否成立？请阐明理．
47．（2015•黄冈）已知：图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点M交BC点N连接AN点C切线交AB延伸线点P．
（1）求证：∠BCP∠BAN
（2）求证：．
48．（2015•湖北）图△ABC中ABAC1∠BAC45°△AEF△ABC绕点A时针方旋转连接BECF相交点D．
（1）求证：BECF
（2）四边形ACDE菱形时求BD长．
49．（2015•葫芦岛）图△ABC等边三角形AO⊥BC垂足点O⊙OAC相切点DBE⊥AB交AC延伸线点E⊙O相交GF两点．
（1）求证：AB⊙O相切
（2）等边三角形ABC边长4求线段BF长？
50．（2015•呼伦贝尔）图行四边形ABCD中EF分边ABCD中点BD角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）∠ADB直角四边形BEDF什四边形？证明结．
51．（2015•呼伦贝尔）图已知直线l⊙O相离．OA⊥l点A交⊙O点POA5AB⊙O相切点BBP延伸线交直线l点C．
（1）求证：ABAC
（2）PC2求⊙O半径．
52．（2015•贺州）图AB⊙O直径C⊙O点AC分∠BADAD⊥DC垂足DOE⊥AC垂足E．
（1）求证：DC⊙O切线
（2）OEcmAC2cm求DC长（结果保留根号）．
53．（2015•贺州）图矩形ABCD角线BD折点C落E处BEAD相交点F．DE4BD8．
（1）求证：AFEF
（2）求证：BF分∠ABD．
54．（2015•河南）图AB半圆O直径点P半圆点AB重合动点延伸BP点CPCPBDAC中点连接PDPO．
（1）求证：△CDP≌△POB
（2）填空：
①AB4四边形AOPD面积
②连接OD∠PBA度数 时四边形BPDO菱形．
55．（2015•桂林）图▱ABCD中EF分ABCD中点．
（1）求证：四边形EBFD行四边形
（2）角线AC分DEBF交点MN求证：△ABN≌△CDM．
56．（2015•贵港）图已知AB⊙O弦CD⊙O直径CD⊥AB垂足E点EOD中点⊙O切线BMAO延伸线相交点M连接ACCM．
（1）AB4求长（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC菱形．
57．（2015•甘南州）图1△ABC△EDC中ACCECBCD∠ACB∠DCE90°ABCE交FEDABBC分交MH．
（1）求证：CFCH
（2）图2△ABC动△EDC绕点C旋转∠BCE45°时试判断四边形ACDM什四边形？证明结．
58．（2015•东莞）图边长6正方形ABCD中E边CD中点△ADEAE折△AFE延伸EF交边BC点G连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求BG长．
59．（2015•庆）图四边形ABCD接⊙OAD∥BCPBD点∠APB∠BAD．
（1）证明：ABCD
（2）证明：DP•BDAD•BC
（2）证明：BD2AB2+AD•BC．
60．（2015•赤峰）图AB⊙O直径PD切⊙O点CBA延伸线交点DDE⊥PO交PO延伸线点E连接PB∠EDB∠EPB．
（1）求证：PB切线．
（2）PB6DB8求⊙O半径．
2015年全国中考数学证明题60例
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2015•遵义）Rt△ABC中∠BAC90°DBC中点EAD中点点A作AF∥BC交BE延伸线点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB
（2）证明四边形ADCF菱形
（3）AC4AB5求菱形ADCF面积．
考点：
菱形判定性质全等三角形判定性质直角三角形斜边中线三角形中位线定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根AAS证△AFE≌△DBE
（2）利①中全等三角形应边相等AFBD．已知条件利组边行相等四边形行四边形ADCF菱形直角三角形斜边中线等斜边半ADDC出结
（3）直角三角形ABC菱形相反高根等积变形求出高代入菱形面积公式求出结．
解答：
（1）证明：①∵AF∥BC
∴∠AFE∠DBE
∵EAD中点ADBC边中线
∴AEDEBDCD
△AFE△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）证明：（1）知△AFE≌△DBEAFDB．
∵DBDC
∴AFCD．
∵AF∥BC
∴四边形ADCF行四边形
∵∠BAC90°DBC中点EAD中点
∴ADDCBC
∴四边形ADCF菱形
（3）解：设菱形DC边高h
∴RT△ABC斜边BC边高h
∵BC
∴DCBC
∴h
菱形ADCF面积：DC•h×10．
点评：
题考查全等三角形性质判定行四边形判定菱形判定运菱形面积计算次考查先生推理力．
2．（2015•珠海）已知△ABCABAC△ABCBC方移△DEF．
（1）图1连接BDAFBD AF（填＞＜）
（2）图2MAB边点M作BC行线MN分交边ACDEDF点GHN连接BHGF求证：BHGF．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质移性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根等腰三角形性质∠ABC∠ACB关系根移性质ACDF关系根全等三角形判定性质答案
（2）根类似三角形判定性质GMHN关系BMFN关系根全等三角形判定性质答案．
解答：
（1）解：ABAC
∠ABCACB．
△ABCBC方移△DEF
DFAC∠DFE∠ACB．
△ABF△DFB中
△ABF≌△DFB（SAS）
BDAF
答案：BDAF
（2）证明：图：
MN∥BF
△AMG∽△ABC△DHN∽△DEF
∴MGHNMBNF．
△BMH△FNG中
△BMH≌△FNG（SAS）
∴BHFG．
点评：
题考查全等三角形判定性质利移性质类似三角形判定性质全等三角形判定性质．
3．（2015•镇江）图菱形ABCD角线ACBD相交点O分延伸OAOC点EFAECF次连接BFDE点．
（1）求证：△BAE≌△BCF
（2）∠ABC50°∠EBA 20 °时四边形BFDE正方形．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质正方形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）题意易证∠BAE∠BCFBABCAECF证△BAE≌△BCF
（2）已知四边形BFDE角线互相垂直分需∠EBF90°四边形BFDE正方形△BAE≌△BCF知∠EBA∠FBC∠ABC50°∠EBA+∠FBC40°∠EBA×40°20°．
解答：
（1）证明：∵菱形ABCD角线ACBD相交点O
∴ABBC∠BAC∠BCA
∴∠BAE∠BCF
△BAE△BCF中
∴△BAE≌△BCF（SAS）
（2）∵四边形BFDE角线互相垂直分
∴需∠EBF90°四边形BFDE正方形
∵△BAE≌△BCF
∴∠EBA∠FBC
∵∠ABC50°
∴∠EBA+∠FBC40°
∴∠EBA×40°20°．
答案：20．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质正方形判定．题关键根SAS证明△BAE≌△BCF．
4．（2015•漳州）图矩形ABCD中点E边CD该矩形AE折叠点D落边BC点F处点F作分FG∥CD交AE点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG菱形
（2）CD8CF4求值．
考点：
翻折变换（折叠成绩）勾股定理菱形判定性质矩形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根折叠性质易知DGFGEDEF∠1∠2FG∥CD∠1∠3易证FGFE四边相等证明四边形DEFG菱形
（2）Rt△EFC中勾股定理列方程CDCE求出值．
解答：
（1）证明：折叠性质知：DGFGEDEF∠1∠2
∵FG∥CD
∴∠2∠3
∴FGFE
∴DGGFEFDE
∴四边形DEFG菱形
（2）解：设DEx根折叠性质EFDExEC8﹣x
Rt△EFC中FC2+EC2EF2
42+（8﹣x）2x2
解：x5CE8﹣x3
∴．
点评：
题次考查折叠性质菱形判定勾股定理熟知折叠性质菱形判定方法解答题关键．
5．（2015•玉林）图⊙O中AB直径点D⊙O点∠BOD60°点D作⊙O切线CD交AB延伸线点CE中点连接DEEB．
（1）求证：四边形BCDE行四边形
（2）已知图中暗影部分面积6π求⊙O半径r．
考点：
切线性质行四边形判定扇形面积计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）∠BOD60°E中点DE∥BC根CD⊙O切线OD⊥CDBE∥CD证四边形BCDE行四边形
（2）连接OE（1）知∠BOE120°根扇形面积公式列方程结．
解答：
解：（1）∵∠BOD60°
∴∠AOD120°
∴
∵E中点
∴
∴DE∥ABOD⊥BE
DE∥BC
∵CD⊙O切线
∴OD⊥CD
∴BE∥CD
∴四边形BCDE行四边形
（2）连接OE（1）知
∴∠BOE120°
∵暗影部分面积6π
∴6π
∴r6．
点评：
题考查切线性质行四边形判定扇形面积公式垂径定理证明解题关键．
6．（2015•永州）图四边形ABCD中∠A∠BCD90°BCDC．延伸ADE点DEAB．
（1）求证：∠ABC∠EDC
（2）求证：△ABC≌△EDC．
考点：
全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根四边形角等360°求出∠B+∠ADC180°根邻补角等180°∠CDE+∠ADE180°求出∠B∠CDE
（2）根边角边证明．
解答：
（1）证明：四边形ABCD中∵∠BAD∠BCD90°
∴90°+∠B+90°+∠ADC360°
∴∠B+∠ADC180°
∵∠CDE+∠ADC180°
∴∠ABC∠CDE
（2）连接AC（1）证∠ABC∠CDE
△ABC△EDC中
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质根四边形角定理邻补角定义利角补角相等求出夹角相等证明三角形全等关键题难点．
7．（2015•营口）图点P⊙O外点PA切⊙O点AAB⊙O直径连接OP点B作BC∥OP交⊙O点C连接AC交OP点D．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）PDAC8求图中暗影部分面积
（3）（2）条件点E中点连接CE求CE长．
考点：
切线判定扇形面积计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OC证明△PAO≌△PCO∠PCO∠PAO90°证明结
（2）证明△ADP∽△PDA成例线段求出BC长根S阴S⊙O﹣S△ABC求出答案
（3）连接AEBE作BM⊥CEM分求出CMEM长求答案．
解答：
（1）证明：图1连接OC
∵PA切⊙O点A∴∠PAO90°
∵BC∥OP
∴∠AOP∠OBC∠COP∠OCB
∵OCOB∴∠OBC∠OCB
∴∠AOP∠COP
△PAO△PCO中
∴△PAO≌△PCO
∴∠PCO∠PAO90°
∴PC⊙O切线
（2）解：（1）PAPC圆切线
∴PAPCOP分∠APC∠ADO∠PAO90°
∴∠PAD+∠DAO∠DAO+∠AOD
∴∠PAD∠AOD
∴△ADP∽△ODA
∴
∴AD2PD•DO
∵AC8PD
∴ADAC4OD3AO5
题意知OD△中位线
∴BC6OD6AB10．
∴S阴S⊙O﹣S△ABC﹣24
（3）解：图2连接AEBE作BM⊥CEM
∴∠CMB∠EMB∠AEB90°
∵点E中点
∴∠ECB∠CBM∠ABE45°
CMMB3
BEAB•cos45°5
∴EM4
CECM+EM7．
点评：
题考查切线判定性质扇形面积计算类似三角形判定性质灵活运切线性质：圆切线垂直切点半径切线判定解题关键．
8．（2015•徐州）图点ABCD条直线点EF分直线AD两侧AEDF∠A∠DABDC．
（1）求证：四边形BFCE行四边形
（2）AD10DC3∠EBD60°BE 4 时四边形BFCE菱形．
考点：
行四边形判定菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AEDF∠A∠DABDC易证△AEC≌△DFBBFEC∠ACE∠DBFEC∥BF判定四边形BFCE行四边形
（2）四边形BFCE菱形时BECE根菱形性质结果．
解答：
（1）证明：∵ABDC
∴ACDF
△AEC△DFB中
∴△AEC≌△DFB（SAS）
∴BFEC∠ACE∠DBF
∴EC∥BF
∴四边形BFCE行四边形
（2）四边形BFCE菱形时BECE
∵AD10DC3ABCD3
∴BC10﹣3﹣34
∵∠EBD60°
∴BEBC4
∴BE4 时四边形BFCE菱形
答案：4．
点评：
题考查类似三角形判定性质全等三角形判定性质行四边形判定性质菱形判定性质勾股定理等知识．题综合性较强难度适中留意数形思想运留意掌握辅助线作法．
9．（2015•宿迁）图四边形ABCD中∠A∠ABC90°AD1BC3E边CD中点连接BE延伸AD延伸线相交点F．
（1）求证：四边形BDFC行四边形
（2）△BCD等腰三角形求四边形BDFC面积．
考点：
行四边形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根旁角互补两直线行求出BC∥AD根两直线行错角相等∠CBE∠DFE然利角角边证明△BEC△FCD全等根全等三角形应边相等BEEF然利角线互相分四边形行四边形证明
（2）分①BCBD时利勾股定理列式求出AB然利行四边形面积公式列式计算解②BCCD时点C作CG⊥AFG判断出四边形AGCB矩形根矩形边相等AGBC3然求出DG2利勾股定理列式求出CG然利行四边形面积列式计算解③BDCD时BC边中线应该BC垂直BC2AD2矛盾．
解答：
（1）证明：∵∠A∠ABC90°
∴BC∥AD
∴∠CBE∠DFE
△BEC△FED中
∴△BEC≌△FED
∴BEFE
∵E边CD中点
∴CEDE
∴四边形BDFC行四边形
（2）①BCBD3时勾股定理AB2
四边形BDFC面积3×26
②BCCD3时点C作CG⊥AFG四边形AGCB矩形
AGBC3
DGAG﹣AD3﹣12
勾股定理CG
四边形BDFC面积3×3
③BDCD时BC边中线应该BC垂直BC2AD2矛盾时成立
综述四边形BDFC面积63．
点评：
题考查行四边形判定性质等腰三角形性质全等三角形判定性质（1）确定出全等三角形解题关键（2）难点分情况讨．
10．（2015•湘西州）图▱ABCD中DE⊥ABBF⊥CD垂足分EF．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）求证：四边形BFDE矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）DEAB垂直BFCD垂直直角相等ABCD行四边形ADBC角相等利AAS值
（2）行四边形边行DCAB行∠CDE直角利三角直角四边形矩形值．
解答：
证明：（1）∵DE⊥ABBF⊥CD
∴∠AED∠CFB90°
∵四边形ABCD行四边形
∴ADBC∠A∠C
△ADE△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
（2）∵四边形ABCD行四边形
∴CD∥AB
∴∠CDE+∠DEB180°
∵∠DEB90°
∴∠CDE90°
∴∠CDE∠DEB∠BFD90°
四边形BFDE矩形．
点评：
题考查矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质纯熟掌握矩形判定方法解题关键．
11．（2015•咸宁）已知关x元二次方程mx2﹣（m+2）x+20．
（1）证明：m值时方程总实数根
（2）m整数时方程两相等正整数根．
考点：
根判式解元二次方程公式法．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）求出方程根判式利配方法进行变形根方非负性证明
（2）利元二次方程求根公式求出方程两根根题意求出m值．
解答：
（1）证明：△（m+2）2﹣8m
m2﹣4m+4
（m﹣2）2
∵m值时（m﹣2）2≥0
∴△≥0
∴方程总实数根
（2）解：解方程x
x1x21
∵方程两相等正整数根
∴m12m2合题意
∴m1．
点评：
题考查元二次方程根判式求根公式运掌握元二次方程根情况判式△关系：△＞0⇔方程两相等实数根△0⇔方程两相等实数根△＜0⇔方程没实数根解题关键．
12．（2015•咸宁）图△ABC中∠C90°AB点O圆心OA长半径圆恰BC相切点D分交ACAB点EF．
（1）∠B30°求证：AODE顶点四边形菱形．
（2）AC6AB10连结AD求⊙O半径AD长．
考点：
切线性质菱形判定性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接ODOEED．先证明△AOE等边三角形AEAO0D四边形AODE行四边形然OAOD证明四边形AODE菱形
（2）连接ODDF．先△OBD∽△ABC求出⊙O半径然证明△ADC∽△AFD出AD2AC•AF进求出AD．
解答：
（1）证明：图1连接ODOEED．
∵BC⊙O相切点D
∴OD⊥BC
∴∠ODB90°∠C
∴OD∥AC
∵∠B30°
∴∠A60°
∵OAOE
∴△AOE等边三角形
∴AEAO0D
∴四边形AODE行四边形
∵OAOD
∴四边形AODE菱形．
（2）解：设⊙O半径r．
∵OD∥AC
∴△OBD∽△ABC．
∴10r6（10﹣r）．
解r
∴⊙O半径．
图2连接ODDF．
∵OD∥AC
∴∠DAC∠ADO
∵OAOD
∴∠ADO∠DAO
∴∠DAC∠DAO
∵AF⊙O直径
∴∠ADF90°∠C
∴△ADC∽△AFD
∴
∴AD2AC•AF
∵AC6AF
∴AD2×645
∴AD3．
点评：
题考查切线性质圆周角定理等边三角形判定性质菱形判定性质类似三角形判定性质综合题难度中等．纯熟掌握相关图形性质判定解题关键．
13．（2015•梧州）图正方形ABCD中点PADAD重合BP垂直分线分交CDABEF两点垂足QE作EH⊥ABH．
（1）求证：HFAP
（2）正方形ABCD边长12AP4求线段EQ长．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根EQ⊥BOEH⊥AB出∠EQN∠BHM90°．根∠EMQ∠BMH出△EMQ∽△BMH∠QEM∠HBM．ASA定理出△APB≌△HFE出结
（2）勾股定理求出BP长根EFBP垂直分线知BQBP根锐角三角函数定义出QFBQ长（1）知△APB≌△HFEEFBP4根EQEF﹣QF出结．
解答：
（1）证明：∵EQ⊥BOEH⊥AB
∴∠EQN∠BHM90°．
∵∠EMQ∠BMH
∴△EMQ∽△BMH
∴∠QEM∠HBM．
Rt△APBRt△HFE中
∴△APB≌△HFE
∴HFAP
（2）解：勾股定理BP4．
∵EFBP垂直分线
∴BQBP2
∴QFBQ•tan∠FBQBQ•tan∠ABP2×．
（1）知△APB≌△HFE
∴EFBP4
∴EQEF﹣QF4﹣．
点评：
题考查正方形性质熟知正方形性质全等三角形判定性质解答题关键．
14．（2015•威海）图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点D交BC点E．
（1）求证：BECE
（2）BD2BE3求AC长．
考点：
类似三角形判定性质等腰三角形性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连结AE图根圆周角定理AC⊙O直径∠AEC90°然利等腰三角形性质BECE
（2）连结DE图证明△BED∽△BAC然利类似计算出AB长AC长．
解答：
（1）证明：连结AE图
∵AC⊙O直径
∴∠AEC90°
∴AE⊥BC
ABAC
∴BECE
（2）连结DE图
∵BECE3
∴BC6
∵∠BED∠BAC
∠DBE∠CBA
∴△BED∽△BAC
∴
∴BA9
∴ACBA9．
点评：
题考查类似三角形判定性质：判定两三角形类似时应留意利图形中已公角公边等隐含条件充分发挥基图形作寻觅类似三角形普通方法作行线构造类似三角形．考查角分线性质圆周角定理．
15．（2015•铜仁市）已知图点D等边三角形ABC边AB点F边AC连接DF延伸交BC延伸线点EEFFD．
求证：ADCE．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
作DG∥BC交ACG先证明△DFG≌△EFC出GDCE证明△ADG等边三角形出ADGD出结．
解答：
证明：作DG∥BC交ACG图示：
∠DGF∠ECF
△DFG△EFC中
∴△DFG≌△EFC（AAS）
∴GDCE
∵△ABC等边三角形
∴∠A∠B∠ACB60°
∵DG∥BC
∴∠ADG∠B∠AGD∠ACB
∴∠A∠ADG∠AGD
∴△ADG等边三角形
∴ADGD
∴ADCE．
点评：
题考查全等三角形判定性质等边三角形判定性质纯熟掌握等边三角形判定性质进行推理证处理成绩关键．
16．（2015•通辽）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根角余角相等∠3∠5条件∠1∠D加BCCE证结．
解答：
解：∵∠BCE∠ACD90°
∴∠3+∠4∠4+∠5
∴∠3∠5
△ACD中∠ACD90°
∴∠2+∠D90°
∵∠BAE∠1+∠290°
∴∠1∠D
△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定掌握全等三角形判定方法解题关键SSSSASASAAASHL．
17．（2015•铁岭）图矩形ABCD中AB8AD6点EF分边CDAB．
（1）DEBF求证：四边形AFCE行四边形
（2）四边形AFCE菱形求菱形AFCE周长．
考点：
矩形性质行四边形判定菱形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根矩形性质AB行等CD然根DEBFAF行等CE证明四边形AFCE行四边形
（2）根四边形AFCE菱形AECE然设DEx表示出AECE长度根相等求出x值继求菱形边长周长．
解答：
解（1）∵四边形ABCD矩形
∴ABCDAB∥CD
∵DEBF
∴AFCEAF∥CE
∴四边形AFCE行四边形
（2）∵四边形AFCE菱形
∴AECE
设DEx
AECE8﹣x
8﹣x
解：x
菱形边长：8﹣
周长：4×25
菱形AFCE周长25．
点评：
题考查矩形性质菱形性质解答题关键矩形边行相等性质菱形四条边相等性质．
18．（2015•天水）图AB⊙O直径BC切⊙O点BOC行弦AD点D作DE⊥AB点E连结ACDE交点P．求证：
（1）AC•PDAP•BC
（2）PEPD．
考点：
切线性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根AB⊙O直径BC切线AB⊥BC根DE⊥AB判断出DE∥BC△AEP∽△ABC然判断出判断出ED2EP判断出PEPD．
（2）首先根△AEP∽△ABC判断出然根PEPD判断出AC•PDAP•BC．
解答：
解：（1）∵AB⊙O直径BC切线
∴AB⊥BC
∵DE⊥AB
∴DE∥BC
∴△AEP∽△ABC
∴…①
∵AD∥OC
∴∠DAE∠COB
∴△AED∽△OBC
∴…②
①②ED2EP
∴PEPD．
（2）∵AB⊙O直径BC切线
∴AB⊥BC
∵DE⊥AB
∴DE∥BC
∴△AEP∽△ABC
∴
∵PEPD
∴
∴AC•PDAP•BC．
点评：
（1）题次考查切线性质运纯熟掌握解答题关键明确：①圆切线垂直切点半径．②圆心垂直切线直线必切点．③切点垂直切线直线必圆心．
（2）题考查类似三角形判定性质运纯熟掌握．
19．（2015•泰安）图△ABC直角三角形∠ABC90°四边形BCDE行四边形EAC中点BD分∠ABC点FABBFBC．求证：
（1）DFAE
（2）DF⊥AC．
考点：
全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）延伸DE交AB点G连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS）该全等三角形应边相等证结
（2）设ACFD交点O．利（1）中全等三角形应角相等等角补角相等三角形角定理∠EOD90°DF⊥AC．
解答：
证明：（1）延伸DE交AB点G连接AD．
∵四边形BCDE行四边形
∴ED∥BCEDBC．
∵点EAC中点∠ABC90°
∴AGBGDG⊥AB．
∴ADBD
∴∠BAD∠ABD．
∵BD分∠ABC
∴∠ABD∠BAD45°∠BDE∠ADE45°．
BFBC
∴BFDE．
∴△AED△DFB中
∴△AED≌△DFB（SAS）
∴AEDFDFAE
（2）设ACFD交点O．
∵（1）知△AED≌△DFB
∴∠AED∠DFB
∴∠DEO∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG90°
∴∠DOE+∠EDO90°
∴∠EOD90°DF⊥AC．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质．全等三角形判定全等三角形性质证明线段角相等重工具．判定三角形全等时关键选择恰判定条件．
20．（2015•州）图射线PA切⊙O点A连接PO．
（1）PO方作射线PC∠OPC∠OPA（尺规原图中作保留痕迹写作法）证明：PC⊙O切线
（2）（1）条件PC切⊙O点BABAP4求长．
考点：
切线判定性质弧长计算作图—基作图．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）作角等已知角作图方法作图连接OA作OB⊥PC根角分线性质证明OAOB证明PC⊙O切线
（2）首先证明△PAB等边三角形∠APB60°进∠POA60°Rt△AOP中求出OA弧长公式计算．
解答：
解：（1）作图右图
连接OAO作OB⊥PC
∵PA切⊙O点A
∴OA⊥PA
∵∠OPC∠OPAOB⊥PC
∴OAOBdr
∴PC⊙O切线
（2）∵PAPC⊙O切线
∴PAPB
∵ABAP4
∴△PAB等边三角形
∴∠APB60°
∴∠AOB120°∠POA60°
Rt△AOP中tan60°
∴OA
∴．
点评：
题考查尺规作图切线判定性质等边三角形判定性质锐角三角函数弧长计算求出圆心角半径长处理成绩关键．
21．（2015•绥化）图1正方形ABCD中延伸BCMBMDN连接MN交BD延伸线点E．
（1）求证：BD+2DEBM．
（2）图2连接BN交AD点F连接MF交BD点G．AF：FD1：2CM2线段DG ．
考点：
类似三角形判定性质勾股定理正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）点M作MP⊥BC交BD延伸线点P首先证明△DEN≌△PEMDEPE△BMP等腰直角三角形知BPBM结
（2）AF：FD1：2知DF：BC2：3△BCN∽△FDN求出BC2△DFG∽△BMG求出DG长．
解答：
（1）证明：点M作MP⊥BC交BD延伸线点P
∵四边形ABCD正方形
∴∠BCD90°∠DBC∠BDC45°
∴PM∥CN
∴∠N∠EMP∠BDC∠MPB45°
∴BMPM
∵BMDN
∴DNMP
△DEN△PEM中
∴△DEN≌△PEM
∴DEEP
∵△BMP等腰直角三角形
∴BPBM
∴BD+2DEBM．
（2）解：∵AF：FD1：2
∴DF：BC2：3
∵△BCN∽△FDN
∴
设正方形边长a知CM2
∴BMDNa+2CN2a+2
∴
解：a2
∴DFBM4BD2
∵△DFG∽△BMG
∴
∴
∴DG．
答案：．
点评：
题次考查正方形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形性质类似三角形判定性质勾股定理综合运运三角形类似求出正方形边长处理第2题关键．
22．（2015•苏州）图△ABC中ABAC分BC圆心BC长半径BC方画弧．设两弧交点DABAC延伸线分交点EF连接ADBDCD
（1）求证：AD分∠BAC
（2）BC6∠BAC50°求DEDF长度（结果保留π）．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形判定性质弧长计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根题意出BDCDBCSSS证明△ABD≌△ACD出∠BAD∠CAD
（2）等腰三角形性质出∠ABC∠ACB65°等边三角形性质出∠DBC∠DCB60°角定义求出∠DBE∠DCF55°然根弧长公式求出 长度出结果．
解答：
（1）证明：根题意：BDCDBC
△ABD△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD∠CAD
AD分∠BAC
（2）解：∵ABAC∠BAC50°
∴∠ABC∠ACB65°
∵BDCDBC
∴△BDC等边三角形
∴∠DBC∠DCB60°
∴∠DBE∠DCF55°
∵BC6∴BDCD6
∴ 长度长度
∴ 长度+．
点评：
题考查全等三角形判定性质等边三角形判定性质弧长计算纯熟掌握全等三角形等边三角形判定性质进行推理计算处理成绩关键．
23．（2015•海）已知图行四边形ABCD角线相交点O点E边BC延伸线OEOB连接DE．
（1）求证：DE⊥BE
（2）果OE⊥CD求证：BD•CECD•DE．
考点：
类似三角形判定性质等腰三角形性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）行四边形性质BOBD等量代换推出OEBD根行四边形判定结
（2）根等角余角相等∠CEO∠CDE推出△BDE∽△CDE结．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴BOBD
∵OEOB
∴OEBD
∴∠BED90°
∴DE⊥BE
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE∠CDE+∠DCE90°
∴∠CEO∠CDE
∵OBOE
∴∠DBE∠CDE
∵∠BED∠BED
∴△BDE∽△DCE
∴
∴BD•CECD•DE．
点评：
题考查类似三角形判定性质直角三角形判定性质行四边形性质熟记定理解题关键．
24．（2015•厦门）图面直角坐标系中点A（2n）B（mn）（m＞2）D（pq）（q＜n）点BD直线yx+1．四边形ABCD角线ACBD相交点EAB∥CDCD4BEDE△AEB面积2．
求证：四边形ABCD矩形．
考点：
矩形判定函数图象点坐标特征．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先利角线互相分四边形行四边形判定该四边形行四边形然根△ABE面积整四边形面积AD长根行四边形面积计算方法DA⊥AB判定矩形．
解答：
证明：作EF⊥AB点F
∵AB∥CD
∴∠1∠2∠3∠4
△ABE△CDE中
∴△ABE≌△CDE
∴AECE
∴四边形ABCD行四边形
∵A（2n）B（mn）易知AB两点坐标相反
∴AB∥CD∥x轴
∴m﹣24m6
B（6n）代入直线yx+1n4
∴B（64）
∵CD4△AEB面积2
∴EF1
∵D（pq）
∴E（）F（4）
∴+14
∴q2p2
∴DA⊥AB
∴四边形ABCD矩形．
点评：
题考查矩形判定解题关键解角直角行四边形矩形难度．
25．（2015•庆阳）图正方形ABCD中点E边BC中点直线EF交正方形外角分线点F交DC点GAE⊥EF．
（1）AB2时求△GEC面积
（2）求证：AEEF．
考点：
全等三角形判定性质正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根△ABE∽△ECGAB：ECBE：GC求GC求S△GEC
（2）取AB中点H连接EH根已知正方形性质利ASA判定△AHE≌△ECFAEEF
解答：
解：（1）∵ABBC2点EBC中点
∴BEEC1
∵AE⊥EF
∴△ABE∽△ECG
∴AB：ECBE：GC
：2：11：GC
解：GC
∴S△GEC•EC•CG×1×
（2）证明：取AB中点H连接EH
∵ABCD正方形
AE⊥EF
∴∠1+∠AEB90°
∠2+∠AEB90°
∴∠1∠2
∵BHBE∠BHE45°
∠FCG45°
∴∠AHE∠ECF135°AHCE
∴△AHE≌△ECF
∴AEEF
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质解（2）题关键取AB中点H出AHEC根全等三角形判定出△AHE≌△ECF．
26．（2015•青海）图梯形ABCD中AB∥DCAC分∠BADCE∥DA交AB点E．求证：四边形ADCE菱形．
考点：
菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根行四边形判定方法判断出四边形ADCE行四边形然判断出AECE判断出四边形ADCE菱形解答．
解答：
证明：∵AB∥DCCE∥DA
∴四边形ADCE行四边形
∵AC分∠BAD
∴∠CAD∠CAE
∵CE∥DA
∴∠ACE∠CAD
∴∠ACE∠CAE
∴AECE
∵四边形ADCE行四边形
∴四边形ADCE菱形．
点评：
题次考查菱形判定性质运纯熟掌握解答题关键明确：①菱形具行四边形切性质②菱形四条边相等 ③菱形两条角线互相垂直条角线分组角④菱形轴称图形2条称轴分两条角线直线．
27．（2015•钦州）图AB⊙O直径AD弦∠DBC∠A．
（1）求证：BC⊙O切线
（2）连接OC果OC恰弦BD中点EtanCAD3求直径AB长．
考点：
切线判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AB⊙O直径∠D90°继∠ABD+∠A90°∠DBC∠A∠DBC+∠ABD90°证BC⊙O切线
（2）根点OAB中点点E时BD中点知OE△ABD中位线AD∥OE∠A∠BOC（1）∠D∠OBC90°∠C∠ABDtanC知tan∠ABD出结．
解答：
（1）证明：∵AB⊙O直径
∴∠D90°
∴∠ABD+∠A90°
∵∠DBC∠A
∴∠DBC+∠ABD90°AB⊥BC
∴BC⊙O切线
（2）∵点OAB中点点E时BD中点
∴OE△ABD中位线
∴AD∥OE
∴∠A∠BOC．
∵（1）∠D∠OBC90°
∴∠C∠ABD
∵tanC
∴tan∠ABD解BD6
∴AB3．
点评：
题考查切线判定熟知半径外端垂直条半径直线圆切线解答题关键．
28．（2015•黔东南州）图已知PC分∠MPN点OPC意点PM⊙O相切点E交PCAB两点．
（1）求证：PN⊙O相切
（2）果∠MPC30°PE2求劣弧长．
考点：
切线判定性质弧长计算．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）连接OEO作OF⊥PN图示利AAS三角形PEO三角形PFO全等利全等三角形应边相等OE确定出PN圆O相切
（2）直角三角形POE中利30度直角边等斜边半求出OE长∠EOB度数利弧长公式求出劣弧长．
解答：
（1）证明：连接OEO作OF⊥PN图示
∵PM圆O相切
∴OE⊥PM
∴∠OEP∠OFP90°
∵PC分∠MPN
∴∠EPO∠FPO
△PEO△PFO中
∴△PEO≌△PFO（AAS）
∴OFOE
PN圆O相切
（2）Rt△EPO中∠MPC30°PE2
∴∠EOP60°OE2
∴∠EOB120°
长l．
点评：
题考查切线判定性质弧长公式纯熟掌握切线判定性质解题关键．
29．（2015•潜江）图AC⊙O直径OB⊙O半径PA切⊙O点APBAC延伸线交点M∠COB∠APB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）OB3PA6时求MBMC长．
考点：
切线判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根切线性质∠MAP90°根直角三角形性质∠P+M90°根余角性质∠M+∠MOB90°根直角三角形判定∠MOB90°根切线判定答案
（2）根类似三角形判定性质根解方程组答案．
解答：
（1）证明：∵PA切⊙O点A
∴∠MAP90°
∴∠P+M90°．
∵∠COB∠APB
∴∠M+∠MOB90°
∴∠MOB90°OB⊥PB
∵PB直径外端点
∴PB⊙O切线
（2）∵∠COB∠APB∠OBM∠PAM
∴△OBM∽△APM
∴
①
②
联立①②
解
OB3PA6时MB4MC2．
点评：
题考查切线判定性质（1）利切线判定性质直角三角形判定性质余角性质（2）利类似三角形判定性质解方程组．
30．（2015•盘锦）图1AB⊙O直径点P直径AB意点点P作弦CD⊥AB垂足P点B直线线段AD延伸线交点F∠F∠ABC．
（1）CD2BP4求⊙O半径
（2）求证：直线BF⊙O切线
（3）点P点O重合时点A作⊙O切线交线段BC延伸线点E条件变情况判断四边形AEBF什四边形？请图2中补全图象证明结．
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根垂径定理求PC连接OC根勾股定理求
（2）求△PBC∽△BFA根类似三角形应角相等求∠ABF∠CPB90°证结
（3）证AEBFAE∥BF证四边形AEBF行四边形．
解答：
（1）解：CD⊥AB
∴PCPDCD
连接OC设⊙O半径rPOPB﹣r4﹣r
RT△POC中OC2OP2+PC2
r2（4﹣r）2+（）2解r．
（2）证明：∵∠A∠C∠F∠ABC
∴∠ABF∠CPB
∵CD⊥AB
∴∠ABF∠CPB90°
∴直线BF⊙O切线
（3）四边形AEBF行四边形
理：解：图2示：∵CD⊥AB垂足P
∴点P点O重合时CDAB
∴OCOD
∵AE⊙O切线
∴BA⊥AE
∵CD⊥AB
∴DC∥AE
∵AOOB
∴OC△ABE中位线
∴AE2OC
∵∠D∠ABC∠F∠ABC．
∴∠D∠F
∴CD∥BF
∵AE∥BF
∵OAOB
∴OD△ABF中位线
∴BF2OD
∴AEBF
∴四边形AEBF行四边形．
点评：
题考查切线判定勾股定理运三角形类似判定性质三角形中位线性质行四边形判定等纯熟掌握性质定理解题关键．
31．（2015•江）图▱ABCD边AB延伸点EABBE连接DEECDE交BC点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC
（2）连接BD∠BOD2∠A求证：四边形BECD矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形判定性质四边形BECD行四边形然SSS推出两三角形全等
（2）欲证明四边形BECD矩形需推知BCED．
解答：
证明：（1）行四边形ABCD中ADBCABCDAB∥CDBE∥CD．
∵ABBE
∴BEDC
∴四边形BECD行四边形
∴BDEC．
∴△ABD△BEC中
∴△ABD≌△BEC（SSS）
（2）（1）知四边形BECD行四边形ODOEOCOB．
∵四边形ABCD行四边形
∴∠A∠BCD∠A∠OCD．
∵∠BOD2∠A∠BOD∠OCD+∠ODC
∴∠OCD∠ODC
∴OCOD
∴OC+OBOD+OEBCED
∴行四边形BECD矩形．
点评：
题考查行四边形性质判定矩形判定行线性质全等三角形性质判定三角形外角性质等知识点综合运难度较．
32．（2015•南通）图▱ABCD中点EF分ABDCED⊥DBFB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB
（2）∠A30°∠DEB45°求证：DADF．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）四边形ABCD行四边形利行四边形性质边行相等角相等垂直定义直角相等利等式性质角相等利ASA证
（2）D作DH垂直AB直角三角形ADH中利30度直角边等斜边半AD2DH直角三角形DEB中利斜边中线等斜边半EB2DH易四边形EBFD行四边形利行四边形边相等EBDF等量代换证．
解答：
证明：（1）∵行四边形ABCD
∴ADCB∠A∠CAD∥CB
∴∠ADB∠CBD
∵ED⊥DBFB⊥BD
∴∠EDB∠FBD90°
∴∠ADE∠CBF
△AED△CFB中
∴△AED≌△CFB（ASA）
（2）作DH⊥AB垂足H
Rt△ADH中∠A30°
∴AD2DH
Rt△DEB中∠DEB45°
∴EB2DH
∴四边形EBFD行四边形
∴FDEB
∴DADF．
点评：
题考查行四边形判定性质全等三角形判定性质含30度直角三角形性质纯熟掌握行四边形判定性质解题关键．
33．（2015•南）图AB半圆O直径CAB延伸线点CD半圆O相切点D连接ADBD．
（1）求证：∠BAD∠BDC
（2）∠BDC28°BD2求⊙O半径．（001）
考点：
切线性质解直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OD利切线性质直径性质转化角关系进行证明
（2）根三角函数进行计算．
解答：
证明：（1）连接OD图
∵CD半圆O相切点D
∴OD⊥CD
∴∠CDO90°∠CDB+∠BDO90°
∵AB半圆O直径
∴∠ADB90°∠ADO+∠BDO90°
∴∠CDB∠ODA
∵ODOA
∴∠ODA∠BAD
∴∠BAD∠BDC
（2）∵∠BAD∠BDC28°Rt△ABD中sin∠BAD
∴AB
∴⊙O半径．
点评：
题考查切线性质关键根切线性质直径性质转化角关系进行分析．
34．（2015•南京）图四边形ABCD⊙O接四边形BC延伸线AD延伸线交点EDCDE．
（1）求证：∠A∠AEB
（2）连接OE交CD点FOE⊥CD求证：△ABE等边三角形．
考点：
圆接四边形性质等边三角形判定性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根圆接四边形性质∠A+∠BCD180°根邻补角互补∠DCE+∠BCD180°进∠A∠DCE然利等边等角∠DCE∠AEB进∠A∠AEB
（2）首先证明△DCE等边三角形进∠AEB60°根∠A∠AEB△ABE等腰三角形进△ABE等边三角形．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD⊙O接四边形
∴∠A+∠BCD180°
∵∠DCE+∠BCD180°
∴∠A∠DCE
∵DCDE
∴∠DCE∠AEB
∴∠A∠AEB
（2）∵∠A∠AEB
∴△ABE等腰三角形
∵EO⊥CD
∴CFDF
∴EOCD垂直分线
∴EDEC
∵DCDE
∴DCDEEC
∴△DCE等边三角形
∴∠AEB60°
∴△ABE等边三角形．
点评：
题次考查等边三角形判定性质圆接四边形性质关键掌握圆接四边形角互补．
35．（2015•南充）图△ABC中ABACAD⊥BCCE⊥ABAECE．求证：
（1）△AEF≌△CEB
（2）AF2CD．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AD⊥BCCE⊥AB易∠AFE∠B利全等三角形判定△AEF≌△CEB
（2）全等三角形性质AFBC等腰三角形性质三线合BC2CD等量代换出结．
解答：
证明：（1）∵AD⊥BCCE⊥AB
∴∠BCE+∠CFD90°∠BCE+∠B90°
∴∠CFD∠B
∵∠CFD∠AFE
∴∠AFE∠B
△AEF△CEB中
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）∵ABACAD⊥BC
∴BC2CD
∵△AEF≌△CEB
∴AFBC
∴AF2CD．
点评：
题次考查全等三角形性质判定等腰三角形性质运等腰三角形性质解答题关键．
36．（2015•南昌）（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形 C
A．行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）图2（1）中四边形纸片AEE′D中EE′取点FEF4剪△AEF移△DE′F′位拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D菱形．
②求四边形AFF′D两条角线长．
考点：
图形剪拼行四边形性质菱形判定性质矩形判定移性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根矩形判定答案
（2）①根菱形判定答案
②根勾股定理答案．
解答：
解：（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形矩形
选：C
（2）①证明：∵纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足E
∴AE3．
图2：
∵△AEF移△DE′F′
∴AF∥DF′AFDF′
∴四边形AFF′D行四边形．
Rt△AEF中勾股定理
AF5
∴AFAD5
∴四边形AFF′D菱形
②连接AF′DF图3：
Rt△DE′F中E′FFF′﹣E′F′5﹣41DE′3
∴DF
Rt△AEF′中EF′EF+FF′4+59AE3
∴AF′3．
点评：
题考查图形剪拼利矩形判定菱形判定勾股定理．
37．（2015•梅州）图已知△ABC步骤作图：
①A圆心AB长半径画弧
②C圆心CB长半径画弧两弧相交点D
③连接BDAC交点E连接ADCD．
（1）求证：△ABC≌△ADC
（2）∠BAC30°∠BCA45°AC4求BE长．
考点：
全等三角形判定性质作图—复杂作图．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利SSS定理证结
（2）设BEx利角三角函数易AE长∠BCA45°易CEBEx解xCE长．
解答：
（1）证明：△ABC△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
（2）解：设BEx
∵∠BAC30°
∴∠ABE60°
∴AEtan60°•xx
∵△ABC≌△ADC
∴CBCD∠BCA∠DCA
∵∠BCA45°
∴∠BCA∠DCA45°
∴∠CBD∠CDB45°
∴CEBEx
∴x+x4
∴x2﹣2
∴BE2﹣2．
点评：
题次考查全等三角形判定性质角三角函数利方程思想综合运全等三角形性质判定定理解答题关键．
38．（2015•龙岩）图EF分矩形ABCD边ADAB点EFECEF⊥EC．
（1）求证：AEDC
（2）已知DC求BE长．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根矩形性质已知条件证明△AEF≌△DCE证AEDC
（2）（1）知AEDCRt△ABE中勾股定理求BE长．
解答：
（1）证明：矩形ABCD中∠A∠D90°
∴∠1+∠290°
∵EF⊥EC
∴∠FEC90°
∴∠2+∠390°
∴∠1∠3
△AEF△DCE中
∴△AEF≌△DCE（AAS）
∴AEDC
（2）解：（1）AEDC
∴AEDC
矩形ABCD中ABCD
R△ABE中AB2+AE2BE2（）2+（）2BE2
∴BE2．
点评：
题次考查矩形性质全等三角形判定性质（1）中证三角形全等解题关键（2）中留意勾股定理运．
39．（2015•柳州）图已知四边形ABCD行四边形AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A边CD⊙O相交点E连接AEBE．
（1）求证：ABAC
（2）点A作AH⊥BEH求证：BHCE+EH．
考点：
切线性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根弦切角定理圆周角定理证明∠ABC∠ACB答案
（2）作AF⊥CDF证明△AEH≌△AEFEHEF根△ABH≌△ACF答案．
解答：
证明：（1）∵AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A
∴∠ABE∠DAE∠EAC∠EBC
∴∠DAC∠ABC
∵AD∥BC
∴∠DAC∠ACB
∴∠ABC∠ACB
∴ABAC
（2）作AF⊥CDF
∵四边形ABCE圆接四边形
∴∠ABC∠AEF∠ABC∠ACB
∴∠AEF∠ACB∠AEB∠ACB
∴∠AEH∠AEF
△AEH△AEF中
∴△AEH≌△AEF
∴EHEF
∴CE+EHCF
△ABH△ACF中
∴△ABH≌△ACF
∴BHCFCE+EH．
点评：
题考查切线性质行四边形性质全等三角形判定性质运性质证明相关三角形全等解题关键留意圆周角定理圆接四边形性质运．
40．（2015•辽阳）图△ABC中ABACAB直径⊙O分交BCAC点DEDG⊥AC点G交AB延伸线点F．
（1）求证：直线FG⊙O切线
（2）AC10cosA求CG长．
考点：
切线判定类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先判断出OD∥AC推∠ODG∠DGC然根DG⊥AC∠DGC90°∠ODG90°推OD⊥FG判断出直线FG⊙O切线．
（2）首先根类似三角形判定方法判断出△ODF∽△AGF根cosAcos∠DOF然求出OFAF值求出AGCG值少．
解答：
（1）证明：图1连接OD
∵ABAC
∴∠C∠ABC
∵ODOB
∴∠ABC∠ODB
∴∠ODB∠C
∴OD∥AC
∴∠ODG∠DGC
∵DG⊥AC
∴∠DGC90°
∴∠ODG90°
∴OD⊥FG
∵OD⊙O半径
∴直线FG⊙O切线．
（2）解：图2
∵ABAC10AB⊙O直径
∴OAOD10÷25
（1）
OD⊥FGOD∥AC
∴∠ODF90°∠DOF∠A
△ODF△AGF中
∴△ODF∽△AGF
∴
∵cosA
∴cos∠DOF
∴
∴AFAO+OF5
∴
解AG7
∴CGAC﹣AG10﹣73
CG长3．
点评：
（1）题次考查切线判定性质运纯熟掌握解答题关键明确切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线．
（2）题考查三角形类似判定性质运纯熟掌握解答题关键明确：①三边法：三组应边相等两三角形类似②两边夹角法：两组应边相等夹角应相等两三角形类似③两角法：两组角应相等两三角形类似．
41．（2015•连云港）图行四边形ABCD角线BD进行折叠折叠点C落点F处DF交AB点E．
（1）求证∠EDB∠EBD
（2）判断AFDB否行阐明理．
考点：
翻折变换（折叠成绩）行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）折叠行线性质易证∠EDB∠EBD
（2）AF∥DB首先证明AEEF出∠AFE∠EAF然根三角形角等式性质证明∠BDE∠AFEAF∥BD．
解答：
解：（1）折叠知：∠CDB∠EDB
∵四边形ABCD行四边形
∴DC∥AB
∴∠CDB∠EBD
∴∠EDB∠EBD
（2）AF∥DB
∵∠EDB∠EBD
∴DEBE
折叠知：DCDF
∵四边形ABCD行四边形
∴DCAB
∴DFAB
∴AEEF
∴∠EAF∠EFA
△BED中∠EDB+∠EBD+∠DEB180°
∴2∠EDB+∠DEB180°
理△AEF中2∠EFA+∠AEF180°
∵∠DEB∠AEF
∴∠EDB∠EFA
∴AF∥DB．
点评：
题次考查折叠变换行四边形性质等腰三角形性质综合运运三角形角定理等式性质出错角相等处理成绩关键．
42．（2015•莱芜）图△ABC等腰直角三角形∠ACB90°分ABAC直角边外作等腰直角△ABD等腰直角△ACEGBD中点连接CGBECDBECD交点F．
（1）判断四边形ACGD外形阐明理．
（2）求证：BECDBE⊥CD．
考点：
全等三角形判定性质等腰直角三角形行四边形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利等腰直角三角形性质易BD2BCGBD中点BGBC∠CGB45°∠ADB45AD∥CG∠CBD+∠ACB180°AC∥BD出四边形ACGD行四边形
（2）利全等三角形判定证△DAC≌△BAE全等三角形性质BECD首先证四边形ABCE行四边形利全等三角形判定定理△BCE≌△CAD易∠CBE∠ACD∠ACB90°易∠CFB90°出结．
解答：
（1）解：∵△ABC等腰直角三角形∠ACB90°
∴ABBC
∵△ABD△ACE均等腰直角三角形
∴BDBC2BC
∵GBD中点
∴BGBDBC
∴△CBG等腰直角三角形
∴∠CGB45°
∵∠ADB45°
AD∥CG
∵∠ABD45°∠ABC45°
∴∠CBD90°
∵∠ACB90°
∴∠CBD+∠ACB180°
∴AC∥BD
∴四边形ACGD行四边形
（2）证明：∵∠EAB∠EAC+∠CAB90°+45°135°
∠CAD∠DAB+∠BAC90°+45°135°
∴∠EAB∠CAD
△DAC△BAE中
∴△DAC≌△BAE
∴BECD
∵∠EAC∠BCA90°EAACBC
∴四边形ABCE行四边形
∴CEABAD
△BCE△CAD中
∴△BCE≌△CAD
∴∠CBE∠ACD
∵∠ACD+∠BCD90°
∴∠CBE+∠BCD90°
∴∠CFB90°
BE⊥CD．
点评：
题次考查等腰直角三角形性质行四边形全等三角形判定性质定理综合运种定理解答题关键．
43．（2015•酒泉）图行四边形ABCD中AB3cmBC5cm∠B60°GCD中点E边AD动点EG延伸线BC延伸线交点F连结CEDF．
（1）求证：四边形CEDF行四边形
（2）①AE 35 cm时四边形CEDF矩形
②AE 2 cm时四边形CEDF菱形．
（直接写出答案需求阐明理）
考点：
行四边形判定性质菱形判定矩形判定．版权切
专题：
证明题动点型．
分析：
（1）证△CFG≌△EDG推出FGEG根行四边形判定推出
（2）①求出△MBA≌△EDC推出∠CED∠AMB90°根矩形判定推出
②求出△CDE等边三角形推出CEDE根菱形判定推出．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴CF∥ED
∴∠FCG∠EDG
∵GCD中点
∴CGDG
△FCG△EDG中
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FGEG
∵CGDG
∴四边形CEDF行四边形
（2）①解：AE35时行四边形CEDF矩形
理：A作AM⊥BCM
∵∠B60°AB3
∴BM15
∵四边形ABCD行四边形
∴∠CDA∠B60°DCAB3BCAD5
∵AE35
∴DE15BM
△MBA△EDC中
∴△MBA≌△EDC（SAS）
∴∠CED∠AMB90°
∵四边形CEDF行四边形
∴四边形CEDF矩形
答案：35
②AE2时四边形CEDF菱形
理：∵AD5AE2
∴DE3
∵CD3∠CDE60°
∴△CDE等边三角形
∴CEDE
∵四边形CEDF行四边形
∴四边形CEDF菱形
答案：2．
点评：
题考查行四边形性质判定菱形判定矩形判定等边三角形性质判定全等三角形性质判定运留意：组邻边相等行四边形菱形角直角行四边形矩形．
44．（2015•荆门）已知图AB⊙O直径点C⊙O点OF⊥BC点F交⊙O点EAEBC交点H点DOE延伸线点∠ODB∠AEC．
（1）求证：BD⊙O切线
（2）求证：CE2EH•EA
（3）⊙O半径5sinA求BH长．
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）圆周角定理已知条件证出∠ODB∠ABC证出∠ABC+∠DBF90°∠OBD90°出BD⊙O切线
（2）连接AC垂径定理出出∠CAE∠ECB公角∠CEA∠HEC证明△CEH∽△AEC出应边成例出结
（3）连接BE圆周角定理出∠AEB90°三角函数求出BE根勾股定理求出EA出BECE6（2）结求出EH然根勾股定理求出BH．
解答：
（1）证明：∵∠ODB∠AEC∠AEC∠ABC
∴∠ODB∠ABC
∵OF⊥BC
∴∠BFD90°
∴∠ODB+∠DBF90°
∴∠ABC+∠DBF90°
∠OBD90°
∴BD⊥OB
∴BD⊙O切线
（2）证明：连接AC图1示：
∵OF⊥BC
∴
∴∠CAE∠ECB
∵∠CEA∠HEC
∴△CEH∽△AEC
∴
∴CE2EH•EA
（3）解：连接BE图2示：
∵AB⊙O直径
∴∠AEB90°
∵⊙O半径5sin∠BAE
∴AB10BEAB•sin∠BAE10×6
∴EA8
∵
∴BECE6
∵CE2EH•EA
∴EH
Rt△BEH中BH．
点评：
题圆综合标题考查切线判定圆周角定理圆心角弧弦间关系定理勾股定理三角函数类似三角形判定性质等知识题难度较综合性强特（2）（3）中需求作辅助线证明三角形类似运三角函数勾股定理出结果．
45．（2015•吉林）图①半径R圆心角n°扇形面积S扇形弧长lS扇形••RlR．观察发现S扇形lR类似S三角形×底×高．
类扇形探求扇环（图②两心圆围成圆环扇形截部分交作扇环）面积公式运．
（1）设扇环面积S扇环长l1长l2线段AD长h（两心圆半径Rr差）．类S梯形×（底+底）×高含l1l2h代数式表示S扇环证明
（2）段长40m篱笆围成图②示扇环形花园线段AD长h少时花园面积面积少？
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根扇形公式间关系已知条件推出结果
（2）求出l1+l240﹣2h代入（1）结果化成顶点式出答案．
解答：
（1）S扇环（l1﹣l2）h
证明：设扇形半径R扇形半径r圆心角度数nlRr
图中扇环面积S×l1×R﹣×l2×r
l1•﹣l2•
（l12﹣l22）
（l1+l2）（l1﹣l2）
••（R﹣r）（l1﹣l2）
（l1﹣l2）（R﹣r）
（l1+l2）h
猜想正确．
（2）解：根题意：l1+l240﹣2h
S扇环（l1+l2）h
（40﹣2h）h
﹣h2+20h
﹣（h﹣10）2+100
∵﹣1＜0
∴开口值
h10时值100
线段AD长h10m时花园面积面积100m2．
点评：
题次考查扇形面积公式弧长公式二次函数顶点式运猜想出正确结解题关键定难度．
46．（2015•黄石）△AOB中CD分OAOB边点△OCD绕点O时针旋转△OC′D′．
（1）图1∠AOB90°OAOBCD分OAOB中点证明：①AC′BD′②AC′⊥BD′
（2）图2△AOB意三角形∠AOBθCD∥ABAC′BD′交点E猜想∠AEBθ否成立？请阐明理．
考点：
类似三角形判定性质全等三角形判定性质旋转性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）①旋转性质出OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′证出OC′OD′SAS证明△AOC′≌△BOD′出应边相等
②全等三角形性质出∠OAC′∠OBD′顶角相等三角形角定理出∠BEA90°出结
（2）旋转性质出OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′行线出例式出证明△AOC′∽△BOD′出∠OAC′∠OBD′顶角相等三角形角定理出∠AEBθ．
解答：
（1）证明：①∵△OCD旋转△OC′D′
∴OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′
∵OAOBCDOAOB中点
∴OCOD
∴OC′OD′
△AOC′△BOD′中
∴△AOC′≌△BOD′（SAS）
∴AC′BD′
②延伸AC′交BD′E交BOF图1示：
∵△AOC′≌△BOD′
∴∠OAC′∠OBD′
∠AFO∠BFE∠OAC′+∠AFO90°
∴∠OBD′+∠BFE90°
∴∠BEA90°
∴AC′⊥BD′
（2）解：∠AEBθ成立理：图2示：
∵△OCD旋转△OC′D′
∴OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′
∵CD∥AB
∴
∴
∴
∠AOC′∠BOD′
∴△AOC′∽△BOD′
∴∠OAC′∠OBD′
∠AFO∠BFE
∴∠AEB∠AOBθ．
点评：
题考查旋转性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质纯熟掌握旋转性质进行推理证处理成绩关键．
47．（2015•黄冈）已知：图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点M交BC点N连接AN点C切线交AB延伸线点P．
（1）求证：∠BCP∠BAN
（2）求证：．
考点：
切线性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AC⊙O直径∠NAC+∠ACN90°ABAC∠BAN∠CAN根PC⊙O切线∠ACN+∠PCB90°结．
（2）等腰三角形性质∠ABC∠ACB根圆接四边形性质∠PBC∠AMN证出△BPC∽△MNA结．
解答：
（1）证明：∵AC⊙O直径
∴∠ANC90°
∴∠NAC+∠ACN90°
∵ABAC
∴∠BAN∠CAN
∵PC⊙O切线
∴∠ACP90°
∴∠ACN+∠PCB90°
∴∠BCP∠CAN
∴∠BCP∠BAN
（2）∵ABAC
∴∠ABC∠ACB
∵∠PBC+∠ABC∠AMN+∠ACN180°
∴∠PBC∠AMN
（1）知∠BCP∠BAN
∴△BPC∽△MNA
∴．
点评：
题考查切线性质等腰三角形性质圆周角定理类似三角形判定性质圆接四边形性质解题关键纯熟掌握定理．
48．（2015•湖北）图△ABC中ABAC1∠BAC45°△AEF△ABC绕点A时针方旋转连接BECF相交点D．
（1）求证：BECF
（2）四边形ACDE菱形时求BD长．
考点：
旋转性质勾股定理菱形性质．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）先旋转性质AEABAFAC∠EAF∠BAC∠EAF+∠BAF∠BAC+∠BAF∠EAB∠FAC利ABACAEAF根旋转定义△AEB△AFC绕点A时针方旋转然根旋转性质BECD
（2）菱形性质DEAEACAB1AC∥DE根等腰三角形性质∠AEB∠ABE根行线性质∠ABE∠BAC45°∠AEB∠ABE45°判断△ABE等腰直角三角形BEAC利BDBE﹣DE求解．
解答：
（1）证明：∵△AEF△ABC绕点A时针方旋转
∴AEABAFAC∠EAF∠BAC
∴∠EAF+∠BAF∠BAC+∠BAF∠EAB∠FAC
∵ABAC
∴AEAF
∴△AEB△AFC绕点A时针方旋转
∴BECF
（2）解：∵四边形ACDE菱形ABAC1
∴DEAEACAB1AC∥DE
∴∠AEB∠ABE∠ABE∠BAC45°
∴∠AEB∠ABE45°
∴△ABE等腰直角三角形
∴BEAC
∴BDBE﹣DE﹣1．
点评：
题考查旋转性质：应点旋转距离相等应点旋转连线段夹角等旋转角旋转前图形全等．考查菱形性质．
49．（2015•葫芦岛）图△ABC等边三角形AO⊥BC垂足点O⊙OAC相切点DBE⊥AB交AC延伸线点E⊙O相交GF两点．
（1）求证：AB⊙O相切
（2）等边三角形ABC边长4求线段BF长？
考点：
切线判定性质勾股定理解直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）点O作OM⊥AB垂足M证明OM等圆半径OD
（2）点O作ON⊥BE垂足N连接OF四边形OMBN矩形直角△OBM利三角函数求OMBM长BNON求直角△ONF中利勾股定理求NFBF求解．
解答：
解：（1）点O作OM⊥AB垂足M．
∵⊙OAC相切点D．
∴OD⊥AC
∴∠ADO∠AMO90°．
∵△ABC等边三角形
∴∠DAO∠NAO
∴OMOD．
∴AB⊙O相切
（2）点O作ON⊥BE垂足N连接OF．
∵OBC中点
∴OB2．
直角△OBM中∠MBO60du6
∴OMOB•sin60°BMOB•cos60°1．
∵BE⊥AB
∴四边形OMBN矩形．
∴ONBM1BNOM．
∵OFOM
勾股定理NF．
∴BFBN+NF+．
点评：
题考查切线性质判定等边三角形性质正确作出辅助线构造矩形处理题关键．
50．（2015•呼伦贝尔）图行四边形ABCD中EF分边ABCD中点BD角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）∠ADB直角四边形BEDF什四边形？证明结．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）四边形ABCD行四边形ADBCABCD∠A∠CEF分边ABCD中点证AECF然SAS判定△ADE≌△CBF
（2）先证明BEDF行相等然根组边行相等四边形行四边形连接EF证明四边形AEFD行四边形AD∥EFAD⊥BDBD⊥EF根菱形判定四边形菱形．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴ADBCABCD∠A∠C
∵EF分边ABCD中点
∴AEABCFCD
∴AECF
△ADE△CBF中
∵
∴△ADE≌△CBF（SAS）
（2）∠ADB直角四边形BEDF菱形理：
解：（1）BEDF
∵AB∥CD
∴BE∥DFBEDF
∴四边形BEDF行四边形
连接EF▱ABCD中EF分边ABCD中点
∴DF∥AEDFAE
∴四边形AEFD行四边形
∴EF∥AD
∵∠ADB直角
∴AD⊥BD
∴EF⊥BD
∵四边形BFDE行四边形
∴四边形BFDE菱形．
点评：
题次考查行四边形性质全等三角形判定菱形判定利EF中点解题关键．
51．（2015•呼伦贝尔）图已知直线l⊙O相离．OA⊥l点A交⊙O点POA5AB⊙O相切点BBP延伸线交直线l点C．
（1）求证：ABAC
（2）PC2求⊙O半径．
考点：
切线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OB根切线性质垂直出∠OBA∠OAC90°推出∠OBP+∠ABP90°∠ACP+∠CPA90°求出∠ACP∠ABC根等腰三角形判定推出
（2）延伸AP交⊙OD连接BD设圆半径rOPOBrPA5﹣r根ABAC推出52﹣r2（2）2﹣（5﹣r）2求出r证△DPB∽△CPA出代入求出．
解答：
证明：（1）图1连接OB．
∵AB切⊙OBOA⊥AC
∴∠OBA∠OAC90°
∴∠OBP+∠ABP90°∠ACP+∠APC90°
∵OPOB
∴∠OBP∠OPB
∵∠OPB∠APC
∴∠ACP∠ABC
∴ABAC
（2）图2延伸AP交⊙OD连接BD
设圆半径rOPOBrPA5﹣r
AB2OA2﹣OB252﹣r2
AC2PC2﹣PA2（2）2﹣（5﹣r）2
∴52﹣r2（2）2﹣（5﹣r）2
解：r3
∴ABAC4
∵PD直径
∴∠PBD90°∠PAC
∵∠DPB∠CPA
∴△DPB∽△CPA
∴
∴
解：PB．
∴⊙O半径3线段PB长．
点评：
题考查等腰三角形性质判定类似三角形性质判定切线性质勾股定理直线圆位关系等知识点运次培养先生运性质进行推理计算力．题综合性较强定难度．
52．（2015•贺州）图AB⊙O直径C⊙O点AC分∠BADAD⊥DC垂足DOE⊥AC垂足E．
（1）求证：DC⊙O切线
（2）OEcmAC2cm求DC长（结果保留根号）．
考点：
切线判定类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OC推出∠DAC∠OCA∠推出OC∥AD推出OC⊥DC根切线判定推出
（2）首先求线段AO长然证△AOE∽△ACD出例式代入求出．
解答：
（1）证明：连接OC
∵OAOC
∴∠OAC∠OCA
∵AC分∠BAD
∴∠DAC∠OAC
∴∠DAC∠OCA
∴AD∥OC
∴∠ADC∠OCF
∵AD⊥DC
∴∠ADC90°
∴∠OCF90°
∴OC⊥CD
∵OC半径
∴CD⊙O切线．
（2）∵OE⊥AC
∴AEACcm
Rt△AOE中AO4cm
（1）∠OAC∠CAD∠ADC∠AEO90°
∴△AOE∽△ACD
∴
∴DCcm．
点评：
题考查类似三角形性质判定勾股定理圆周角定理行线性质判定等腰三角形性质切线判定运次考查先生推理力．
53．（2015•贺州）图矩形ABCD角线BD折点C落E处BEAD相交点F．DE4BD8．
（1）求证：AFEF
（2）求证：BF分∠ABD．
考点：
翻折变换（折叠成绩）全等三角形判定性质矩形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根翻折变换性质出EDCD∠E∠CEDAB∠E∠A．AAS定理出△ABF≌△EDF出结
（2）Rt△BCD中根sin∠CBD出∠CBD30°∠EBD∠CBD30°直角三角形性质知∠ABF90°﹣30°×230°∠ABF∠DBFBF分∠ABD．
解答：
（1）证明：矩形ABCD中ABCD∠A∠C90°
∵△BED△BCD翻折成
∴EDCD∠E∠C
∴EDAB∠E∠A．
△ABF△EDF中
∵
∴△ABF≌△EDF（AAS）
∴AFEF
（2）Rt△BCD中
∵DCDE4DB8
∴sin∠CBD
∴∠CBD30°
∴∠EBD∠CBD30°
∴∠ABF90°﹣30°×230°
∴∠ABF∠DBF
∴BF分∠ABD．
点评：
题考查翻折变换熟知图形翻折变性性质解答题关键．
54．（2015•河南）图AB半圆O直径点P半圆点AB重合动点延伸BP点CPCPBDAC中点连接PDPO．
（1）求证：△CDP≌△POB
（2）填空：
①AB4四边形AOPD面积 4
②连接OD∠PBA度数 60° 时四边形BPDO菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根中位线性质DP∥ABDPABSAS证△CDP≌△POB
（2）①四边形AOPDAO边高等半径时面积求解
②根组应边行相等四边形行四边形四边形BPDO行四边形根邻边相等行四边形菱形等边三角形判定性质求解．
解答：
（1）证明：∵PCPBDAC中点
∴DP∥AB
∴DPAB∠CPD∠PBO
∵BOAB
∴DPBO
△CDP△POB中
∴△CDP≌△POB（SAS）
（2）解：①四边形AOPDAO边高等半径时面积
（4÷2）×（4÷2）
2×2
4
②图：
∵DP∥ABDPBO
∴四边形BPDO行四边形
∵四边形BPDO菱形
∴PBBO
∵POBO
∴PBBOPO
∴△PBO等边三角形
∴∠PBA度数60°．
答案：460°．
点评：
考查菱形判定全等三角形判定性质中位线性质解题关键SAS证明△CDP≌△POB．
55．（2015•桂林）图▱ABCD中EF分ABCD中点．
（1）求证：四边形EBFD行四边形
（2）角线AC分DEBF交点MN求证：△ABN≌△CDM．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形性质：行四边边相等AB∥CDABCD根组边行相等四边形行四边形答案
（2）根行四边性质：行四边形边相等AB∥CDABCD∠CDM∠CFN根全等三角形判定答案．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∵EF分ABCD中点
∴BEDF
∵BE∥DF
∴四边形EBFD行四边形
（2）证明：∵四边形EBFD行四边形
∴DE∥BF
∴∠CDM∠CFN．
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∴∠BAC∠DCA∠ABN∠CFN
∴∠ABN∠CDM
△ABN△CDM中
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
点评：
题考查行四边形判定性质利行四边形判定性质全等三角形判定根条件选择适判定方法解题关键．
56．（2015•贵港）图已知AB⊙O弦CD⊙O直径CD⊥AB垂足E点EOD中点⊙O切线BMAO延伸线相交点M连接ACCM．
（1）AB4求长（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC菱形．
考点：
切线性质菱形判定弧长计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OBEOD中点OE等OA半直角三角形AOE中出∠OAB30°进求出∠AOE∠AOB度数设OAx利勾股定理求出x值确定出圆半径利弧长公式求出长
（2）问∠BAM∠BMA利等角等边ABMB利SAS三角形OCM三角形OBM全等利全等三角形应边相等CMBM等量代换CMAB利全等三角形应角相等等量代换错角相等进确定出CMAB行利组边行相等四边形行四边形ABMC行四边形邻边相等行四边形菱形证．
解答：
（1）解：∵OAOBEAB中点
∴∠AOE∠BOEOE⊥AB
∵OE⊥ABEOD中点
∴OEODOA
∴Rt△AOE中∠OAB30°∠AOE60°∠AOB120°
设OAxOExAEx
∵AB4
∴AB2AEx4
解：x4
长l
（2）证明：（1）∠OAB∠OBA30°∠BOM∠COM60°∠AMB30°
∴∠BAM∠BMA30°
∴ABBM
∵BM圆O切线
∴OB⊥BM
△COM△BOM中
∴△COM≌△BOM（SAS）
∴CMBM∠CMO∠BMO30°
∴CMAB∠CMO∠MAB
∴CM∥AB
∴四边形ABMC菱形．
点评：
题考查切线性质菱形判断全等三角形判定性质弧长公式纯熟掌握切线性质解题关键．
57．（2015•甘南州）图1△ABC△EDC中ACCECBCD∠ACB∠DCE90°ABCE交FEDABBC分交MH．
（1）求证：CFCH
（2）图2△ABC动△EDC绕点C旋转∠BCE45°时试判断四边形ACDM什四边形？证明结．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）证明CFCH先证明△BCF≌△ECH∠ABC∠DCE90°ACCECBCD∠B∠E45°出CFCH
（2）根△EDC绕点C旋转∠BCE45°推出四边形ACDM行四边形ACCD判断出四边形ACDM菱形．
解答：
（1）证明：∵ACCECBCD∠ACB∠ECD90°
∴∠A∠B∠D∠E45°．
△BCF△ECH中
∴△BCF≌△ECH（ASA）
∴CFCH（全等三角形应边相等）
（2）解：四边形ACDM菱形．
证明：∵∠ACB∠DCE90°∠BCE45°
∴∠1∠245°．
∵∠E45°
∴∠1∠E
∴AC∥DE
∴∠AMH180°﹣∠A135°∠ACD
∵∠A∠D45°
∴四边形ACDM行四边形（两组角相等四边形行四边形）
∵ACCD
∴四边形ACDM菱形．
点评：
菱形判方法阐明四边形菱形理根常三种方法：
①定义
②四边相等
③角线互相垂直分．具体选择种方法需求根已知条件确定．
58．（2015•东莞）图边长6正方形ABCD中E边CD中点△ADEAE折△AFE延伸EF交边BC点G连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求BG长．
考点：
翻折变换（折叠成绩）全等三角形判定性质正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利翻折变换应边关系出ABAF∠B∠AFG90°利HL定理出△ABG≌△AFG
（2）利勾股定理出GE2CG2+CE2进求出BG
解答：
解：（1）正方形ABCD中ADABBCCD∠D∠B∠BCD90°
∵△ADEAE折△AFE
∴ADAFDEEF∠D∠AFE90°
∴ABAF∠B∠AFG90°
∵AGAG
Rt△ABGRt△AFG中
∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）∵△ABG≌△AFG
∴BGFG
设BGFGxGC6﹣x
∵ECD中点
∴CEEFDE3
∴EG3+x
∴Rt△CEG中32+（6﹣x）2（3+x）2解x2
∴BG2．
点评：
题次考查勾股定理综合运翻折变换性质根翻折变换性质出应线段相等解题关键．
59．（2015•庆）图四边形ABCD接⊙OAD∥BCPBD点∠APB∠BAD．
（1）证明：ABCD
（2）证明：DP•BDAD•BC
（2）证明：BD2AB2+AD•BC．
考点：
类似三角形判定性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利行线性质圆周角定理出进出答案
（2）首先出△ADP∽△DBC进利类似三角形性质出答案
（3）利类似三角形判定方法出△ABP∽△DBA进求出AB2DB•PB利（2）中求出答案．
解答：
证明：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∴
∴ABBC
（2）∵∠APB∠BAD∠BAD+∠BCD180°∠APB+∠APD180°
∴∠BCD∠APD
∵∠ADB∠CBD
∴△ADP∽△DBC
∴
∴DP•BDAD•BC
（3）∵∠APB∠BAD∠BAD∠BPA
∴△ABP∽△DBA
∴
∴AB2DB•PB
∴AB2+AD•BCDB•PB+AD•BC
∵（2）：DP•BDAD•BC
∴AB2+AD•BCDB•PB+DP•BDDB（PB+DP）DB2
BD2AB2+AD•BC．
点评：
题次考查类似三角形判定性质圆周角定理纯熟运类似三角形判定性质解题关键．
60．（2015•赤峰）图AB⊙O直径PD切⊙O点CBA延伸线交点DDE⊥PO交PO延伸线点E连接PB∠EDB∠EPB．
（1）求证：PB切线．
（2）PB6DB8求⊙O半径．
考点：
切线判定性质．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）已知角相等顶角相等三角形DOE三角形POB类似利类似三角形应角相等∠OBP直角证
（2）直角三角形PBD中PBDB长利勾股定理求出PD长切线长定理PCPBPD﹣PC求出CD长直角三角形OCD中设OCrOD8﹣r利勾股定理列出关r方程求出方程解r值圆半径．
解答：
（1）证明：∵△DEO△PBO中∠EDB∠EPB∠DOE∠POB
∴∠OBP∠E90°
∵OB圆半径
∴PB圆O切线
（2）解：Rt△PBD中PB6DB8
根勾股定理：PD10
∵PDPB圆切线
∴PCPB6
∴DCPD﹣PC10﹣64
Rt△CDO中设OCrDO8﹣r
根勾股定理：（8﹣r）2r2+42
解：r3
圆半径3．
点评：
题考查切线判定性质勾股定理纯熟掌握切线判定性质解题关键．
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解 答 题（60题）
1．（2015•遵义）Rt△ABC中∠BAC90°DBC中点EAD中点点A作AF∥BC交BE延伸线点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB
（2）证明四边形ADCF菱形
（3）AC4AB5求菱形ADCF面积．
2．（2015•珠海）已知△ABCABAC△ABCBC方移△DEF．
（1）图1连接BDAFBD AF（填＞＜）
（2）图2MAB边点M作BC行线MN分交边ACDEDF点GHN连接BHGF求证：BHGF．
3．（2015•镇江）图菱形ABCD角线ACBD相交点O分延伸OAOC点EFAECF次连接BFDE点．
（1）求证：△BAE≌△BCF
（2）∠ABC50°∠EBA °时四边形BFDE正方形．
4．（2015•漳州）图矩形ABCD中点E边CD该矩形AE折叠点D落边BC点F处点F作分FG∥CD交AE点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG菱形
（2）CD8CF4求值．
5．（2015•玉林）图⊙O中AB直径点D⊙O点∠BOD60°点D作⊙O切线CD交AB延伸线点CE中点连接DEEB．
（1）求证：四边形BCDE行四边形
（2）已知图中暗影部分面积6π求⊙O半径r．
6．（2015•永州）图四边形ABCD中∠A∠BCD90°BCDC．延伸ADE点DEAB．
（1）求证：∠ABC∠EDC
（2）求证：△ABC≌△EDC．
7．（2015•营口）图点P⊙O外点PA切⊙O点AAB⊙O直径连接OP点B作BC∥OP交⊙O点C连接AC交OP点D．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）PDAC8求图中暗影部分面积
（3）（2）条件点E中点连接CE求CE长．
8．（2015•徐州）图点ABCD条直线点EF分直线AD两侧AEDF∠A∠DABDC．
（1）求证：四边形BFCE行四边形
（2）AD10DC3∠EBD60°BE 时四边形BFCE菱形．
9．（2015•宿迁）图四边形ABCD中∠A∠ABC90°AD1BC3E边CD中点连接BE延伸AD延伸线相交点F．
（1）求证：四边形BDFC行四边形
（2）△BCD等腰三角形求四边形BDFC面积．
10．（2015•湘西州）图▱ABCD中DE⊥ABBF⊥CD垂足分EF．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）求证：四边形BFDE矩形．
11．（2015•咸宁）已知关x元二次方程mx2﹣（m+2）x+20．
（1）证明：m值时方程总实数根
（2）m整数时方程两相等正整数根．
12．（2015•咸宁）图△ABC中∠C90°AB点O圆心OA长半径圆恰BC相切点D分交ACAB点EF．
（1）∠B30°求证：AODE顶点四边形菱形．
（2）AC6AB10连结AD求⊙O半径AD长．
13．（2015•梧州）图正方形ABCD中点PADAD重合BP垂直分线分交CDABEF两点垂足QE作EH⊥ABH．
（1）求证：HFAP
（2）正方形ABCD边长12AP4求线段EQ长．
14．（2015•威海）图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点D交BC点E．
（1）求证：BECE
（2）BD2BE3求AC长．
15．（2015•铜仁市）已知图点D等边三角形ABC边AB点F边AC连接DF延伸交BC延伸线点EEFFD．
求证：ADCE．
16．（2015•通辽）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等．
17．（2015•铁岭）图矩形ABCD中AB8AD6点EF分边CDAB．
（1）DEBF求证：四边形AFCE行四边形
（2）四边形AFCE菱形求菱形AFCE周长．
18．（2015•天水）图AB⊙O直径BC切⊙O点BOC行弦AD点D作DE⊥AB点E连结ACDE交点P．求证：
（1）AC•PDAP•BC
（2）PEPD．
19．（2015•泰安）图△ABC直角三角形∠ABC90°四边形BCDE行四边形EAC中点BD分∠ABC点FABBFBC．求证：
（1）DFAE
（2）DF⊥AC．
20．（2015•州）图射线PA切⊙O点A连接PO．
（1）PO方作射线PC∠OPC∠OPA（尺规原图中作保留痕迹写作法）证明：PC⊙O切线
（2）（1）条件PC切⊙O点BABAP4求长．
21．（2015•绥化）图1正方形ABCD中延伸BCMBMDN连接MN交BD延伸线点E．
（1）求证：BD+2DEBM．
（2）图2连接BN交AD点F连接MF交BD点G．AF：FD1：2CM2线段DG ．
22．（2015•苏州）图△ABC中ABAC分BC圆心BC长半径BC方画弧．设两弧交点DABAC延伸线分交点EF连接ADBDCD
（1）求证：AD分∠BAC
（2）BC6∠BAC50°求DEDF长度（结果保留π）．
23．（2015•海）已知图行四边形ABCD角线相交点O点E边BC延伸线OEOB连接DE．
（1）求证：DE⊥BE
（2）果OE⊥CD求证：BD•CECD•DE．
24．（2015•厦门）图面直角坐标系中点A（2n）B（mn）（m＞2）D（pq）（q＜n）点BD直线yx+1．四边形ABCD角线ACBD相交点EAB∥CDCD4BEDE△AEB面积2．
求证：四边形ABCD矩形．
25．（2015•庆阳）图正方形ABCD中点E边BC中点直线EF交正方形外角分线点F交DC点GAE⊥EF．
（1）AB2时求△GEC面积
（2）求证：AEEF．
26．（2015•青海）图梯形ABCD中AB∥DCAC分∠BADCE∥DA交AB点E．求证：四边形ADCE菱形．
27．（2015•钦州）图AB⊙O直径AD弦∠DBC∠A．
（1）求证：BC⊙O切线
（2）连接OC果OC恰弦BD中点EtanCAD3求直径AB长．
28．（2015•黔东南州）图已知PC分∠MPN点OPC意点PM⊙O相切点E交PCAB两点．
（1）求证：PN⊙O相切
（2）果∠MPC30°PE2求劣弧长．
29．（2015•潜江）图AC⊙O直径OB⊙O半径PA切⊙O点APBAC延伸线交点M∠COB∠APB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）OB3PA6时求MBMC长．
30．（2015•盘锦）图1AB⊙O直径点P直径AB意点点P作弦CD⊥AB垂足P点B直线线段AD延伸线交点F∠F∠ABC．
（1）CD2BP4求⊙O半径
（2）求证：直线BF⊙O切线
（3）点P点O重合时点A作⊙O切线交线段BC延伸线点E条件变情况判断四边形AEBF什四边形？请图2中补全图象证明结．
31．（2015•江）图▱ABCD边AB延伸点EABBE连接DEECDE交BC点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC
（2）连接BD∠BOD2∠A求证：四边形BECD矩形．
32．（2015•南通）图▱ABCD中点EF分ABDCED⊥DBFB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB
（2）∠A30°∠DEB45°求证：DADF．
33．（2015•南）图AB半圆O直径CAB延伸线点CD半圆O相切点D连接ADBD．
（1）求证：∠BAD∠BDC
（2）∠BDC28°BD2求⊙O半径．（001）
34．（2015•南京）图四边形ABCD⊙O接四边形BC延伸线AD延伸线交点EDCDE．
（1）求证：∠A∠AEB
（2）连接OE交CD点FOE⊥CD求证：△ABE等边三角形．
35．（2015•南充）图△ABC中ABACAD⊥BCCE⊥ABAECE．求证：
（1）△AEF≌△CEB
（2）AF2CD．
36．（2015•南昌）（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形
A．行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）图2（1）中四边形纸片AEE′D中EE′取点FEF4剪△AEF移△DE′F′位拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D菱形．
②求四边形AFF′D两条角线长．
37．（2015•梅州）图已知△ABC步骤作图：
①A圆心AB长半径画弧
②C圆心CB长半径画弧两弧相交点D
③连接BDAC交点E连接ADCD．
（1）求证：△ABC≌△ADC
（2）∠BAC30°∠BCA45°AC4求BE长．
38．（2015•龙岩）图EF分矩形ABCD边ADAB点EFECEF⊥EC．
（1）求证：AEDC
（2）已知DC求BE长．
39．（2015•柳州）图已知四边形ABCD行四边形AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A边CD⊙O相交点E连接AEBE．
（1）求证：ABAC
（2）点A作AH⊥BEH求证：BHCE+EH．
40．（2015•辽阳）图△ABC中ABACAB直径⊙O分交BCAC点DEDG⊥AC点G交AB延伸线点F．
（1）求证：直线FG⊙O切线
（2）AC10cosA求CG长．
41．（2015•连云港）图行四边形ABCD角线BD进行折叠折叠点C落点F处DF交AB点E．
（1）求证∠EDB∠EBD
（2）判断AFDB否行阐明理．
42．（2015•莱芜）图△ABC等腰直角三角形∠ACB90°分ABAC直角边外作等腰直角△ABD等腰直角△ACEGBD中点连接CGBECDBECD交点F．
（1）判断四边形ACGD外形阐明理．
（2）求证：BECDBE⊥CD．
43．（2015•酒泉）图行四边形ABCD中AB3cmBC5cm∠B60°GCD中点E边AD动点EG延伸线BC延伸线交点F连结CEDF．
（1）求证：四边形CEDF行四边形
（2）①AE cm时四边形CEDF矩形
②AE cm时四边形CEDF菱形．
（直接写出答案需求阐明理）
44．（2015•荆门）已知图AB⊙O直径点C⊙O点OF⊥BC点F交⊙O点EAEBC交点H点DOE延伸线点∠ODB∠AEC．
（1）求证：BD⊙O切线
（2）求证：CE2EH•EA
（3）⊙O半径5sinA求BH长．
45．（2015•吉林）图①半径R圆心角n°扇形面积S扇形弧长lS扇形••RlR．观察发现S扇形lR类似S三角形×底×高．
类扇形探求扇环（图②两心圆围成圆环扇形截部分交作扇环）面积公式运．
（1）设扇环面积S扇环长l1长l2线段AD长h（两心圆半径Rr差）．类S梯形×（底+底）×高含l1l2h代数式表示S扇环证明
（2）段长40m篱笆围成图②示扇环形花园线段AD长h少时花园面积面积少？
46．（2015•黄石）△AOB中CD分OAOB边点△OCD绕点O时针旋转△OC′D′．
（1）图1∠AOB90°OAOBCD分OAOB中点证明：①AC′BD′②AC′⊥BD′
（2）图2△AOB意三角形∠AOBθCD∥ABAC′BD′交点E猜想∠AEBθ否成立？请阐明理．
47．（2015•黄冈）已知：图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点M交BC点N连接AN点C切线交AB延伸线点P．
（1）求证：∠BCP∠BAN
（2）求证：．
48．（2015•湖北）图△ABC中ABAC1∠BAC45°△AEF△ABC绕点A时针方旋转连接BECF相交点D．
（1）求证：BECF
（2）四边形ACDE菱形时求BD长．
49．（2015•葫芦岛）图△ABC等边三角形AO⊥BC垂足点O⊙OAC相切点DBE⊥AB交AC延伸线点E⊙O相交GF两点．
（1）求证：AB⊙O相切
（2）等边三角形ABC边长4求线段BF长？
50．（2015•呼伦贝尔）图行四边形ABCD中EF分边ABCD中点BD角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）∠ADB直角四边形BEDF什四边形？证明结．
51．（2015•呼伦贝尔）图已知直线l⊙O相离．OA⊥l点A交⊙O点POA5AB⊙O相切点BBP延伸线交直线l点C．
（1）求证：ABAC
（2）PC2求⊙O半径．
52．（2015•贺州）图AB⊙O直径C⊙O点AC分∠BADAD⊥DC垂足DOE⊥AC垂足E．
（1）求证：DC⊙O切线
（2）OEcmAC2cm求DC长（结果保留根号）．
53．（2015•贺州）图矩形ABCD角线BD折点C落E处BEAD相交点F．DE4BD8．
（1）求证：AFEF
（2）求证：BF分∠ABD．
54．（2015•河南）图AB半圆O直径点P半圆点AB重合动点延伸BP点CPCPBDAC中点连接PDPO．
（1）求证：△CDP≌△POB
（2）填空：
①AB4四边形AOPD面积
②连接OD∠PBA度数 时四边形BPDO菱形．
55．（2015•桂林）图▱ABCD中EF分ABCD中点．
（1）求证：四边形EBFD行四边形
（2）角线AC分DEBF交点MN求证：△ABN≌△CDM．
56．（2015•贵港）图已知AB⊙O弦CD⊙O直径CD⊥AB垂足E点EOD中点⊙O切线BMAO延伸线相交点M连接ACCM．
（1）AB4求长（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC菱形．
57．（2015•甘南州）图1△ABC△EDC中ACCECBCD∠ACB∠DCE90°ABCE交FEDABBC分交MH．
（1）求证：CFCH
（2）图2△ABC动△EDC绕点C旋转∠BCE45°时试判断四边形ACDM什四边形？证明结．
58．（2015•东莞）图边长6正方形ABCD中E边CD中点△ADEAE折△AFE延伸EF交边BC点G连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求BG长．
59．（2015•庆）图四边形ABCD接⊙OAD∥BCPBD点∠APB∠BAD．
（1）证明：ABCD
（2）证明：DP•BDAD•BC
（2）证明：BD2AB2+AD•BC．
60．（2015•赤峰）图AB⊙O直径PD切⊙O点CBA延伸线交点DDE⊥PO交PO延伸线点E连接PB∠EDB∠EPB．
（1）求证：PB切线．
（2）PB6DB8求⊙O半径．
2015年全国中考数学证明题60例
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2015•遵义）Rt△ABC中∠BAC90°DBC中点EAD中点点A作AF∥BC交BE延伸线点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB
（2）证明四边形ADCF菱形
（3）AC4AB5求菱形ADCF面积．
考点：
菱形判定性质全等三角形判定性质直角三角形斜边中线三角形中位线定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根AAS证△AFE≌△DBE
（2）利①中全等三角形应边相等AFBD．已知条件利组边行相等四边形行四边形ADCF菱形直角三角形斜边中线等斜边半ADDC出结
（3）直角三角形ABC菱形相反高根等积变形求出高代入菱形面积公式求出结．
解答：
（1）证明：①∵AF∥BC
∴∠AFE∠DBE
∵EAD中点ADBC边中线
∴AEDEBDCD
△AFE△DBE中
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）证明：（1）知△AFE≌△DBEAFDB．
∵DBDC
∴AFCD．
∵AF∥BC
∴四边形ADCF行四边形
∵∠BAC90°DBC中点EAD中点
∴ADDCBC
∴四边形ADCF菱形
（3）解：设菱形DC边高h
∴RT△ABC斜边BC边高h
∵BC
∴DCBC
∴h
菱形ADCF面积：DC•h×10．
点评：
题考查全等三角形性质判定行四边形判定菱形判定运菱形面积计算次考查先生推理力．
2．（2015•珠海）已知△ABCABAC△ABCBC方移△DEF．
（1）图1连接BDAFBD AF（填＞＜）
（2）图2MAB边点M作BC行线MN分交边ACDEDF点GHN连接BHGF求证：BHGF．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质移性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根等腰三角形性质∠ABC∠ACB关系根移性质ACDF关系根全等三角形判定性质答案
（2）根类似三角形判定性质GMHN关系BMFN关系根全等三角形判定性质答案．
解答：
（1）解：ABAC
∠ABCACB．
△ABCBC方移△DEF
DFAC∠DFE∠ACB．
△ABF△DFB中
△ABF≌△DFB（SAS）
BDAF
答案：BDAF
（2）证明：图：
MN∥BF
△AMG∽△ABC△DHN∽△DEF
∴MGHNMBNF．
△BMH△FNG中
△BMH≌△FNG（SAS）
∴BHFG．
点评：
题考查全等三角形判定性质利移性质类似三角形判定性质全等三角形判定性质．
3．（2015•镇江）图菱形ABCD角线ACBD相交点O分延伸OAOC点EFAECF次连接BFDE点．
（1）求证：△BAE≌△BCF
（2）∠ABC50°∠EBA 20 °时四边形BFDE正方形．
考点：
菱形性质全等三角形判定性质正方形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）题意易证∠BAE∠BCFBABCAECF证△BAE≌△BCF
（2）已知四边形BFDE角线互相垂直分需∠EBF90°四边形BFDE正方形△BAE≌△BCF知∠EBA∠FBC∠ABC50°∠EBA+∠FBC40°∠EBA×40°20°．
解答：
（1）证明：∵菱形ABCD角线ACBD相交点O
∴ABBC∠BAC∠BCA
∴∠BAE∠BCF
△BAE△BCF中
∴△BAE≌△BCF（SAS）
（2）∵四边形BFDE角线互相垂直分
∴需∠EBF90°四边形BFDE正方形
∵△BAE≌△BCF
∴∠EBA∠FBC
∵∠ABC50°
∴∠EBA+∠FBC40°
∴∠EBA×40°20°．
答案：20．
点评：
题考查菱形性质全等三角形判定性质正方形判定．题关键根SAS证明△BAE≌△BCF．
4．（2015•漳州）图矩形ABCD中点E边CD该矩形AE折叠点D落边BC点F处点F作分FG∥CD交AE点G连接DG．
（1）求证：四边形DEFG菱形
（2）CD8CF4求值．
考点：
翻折变换（折叠成绩）勾股定理菱形判定性质矩形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根折叠性质易知DGFGEDEF∠1∠2FG∥CD∠1∠3易证FGFE四边相等证明四边形DEFG菱形
（2）Rt△EFC中勾股定理列方程CDCE求出值．
解答：
（1）证明：折叠性质知：DGFGEDEF∠1∠2
∵FG∥CD
∴∠2∠3
∴FGFE
∴DGGFEFDE
∴四边形DEFG菱形
（2）解：设DEx根折叠性质EFDExEC8﹣x
Rt△EFC中FC2+EC2EF2
42+（8﹣x）2x2
解：x5CE8﹣x3
∴．
点评：
题次考查折叠性质菱形判定勾股定理熟知折叠性质菱形判定方法解答题关键．
5．（2015•玉林）图⊙O中AB直径点D⊙O点∠BOD60°点D作⊙O切线CD交AB延伸线点CE中点连接DEEB．
（1）求证：四边形BCDE行四边形
（2）已知图中暗影部分面积6π求⊙O半径r．
考点：
切线性质行四边形判定扇形面积计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）∠BOD60°E中点DE∥BC根CD⊙O切线OD⊥CDBE∥CD证四边形BCDE行四边形
（2）连接OE（1）知∠BOE120°根扇形面积公式列方程结．
解答：
解：（1）∵∠BOD60°
∴∠AOD120°
∴
∵E中点
∴
∴DE∥ABOD⊥BE
DE∥BC
∵CD⊙O切线
∴OD⊥CD
∴BE∥CD
∴四边形BCDE行四边形
（2）连接OE（1）知
∴∠BOE120°
∵暗影部分面积6π
∴6π
∴r6．
点评：
题考查切线性质行四边形判定扇形面积公式垂径定理证明解题关键．
6．（2015•永州）图四边形ABCD中∠A∠BCD90°BCDC．延伸ADE点DEAB．
（1）求证：∠ABC∠EDC
（2）求证：△ABC≌△EDC．
考点：
全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根四边形角等360°求出∠B+∠ADC180°根邻补角等180°∠CDE+∠ADE180°求出∠B∠CDE
（2）根边角边证明．
解答：
（1）证明：四边形ABCD中∵∠BAD∠BCD90°
∴90°+∠B+90°+∠ADC360°
∴∠B+∠ADC180°
∵∠CDE+∠ADC180°
∴∠ABC∠CDE
（2）连接AC（1）证∠ABC∠CDE
△ABC△EDC中
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质根四边形角定理邻补角定义利角补角相等求出夹角相等证明三角形全等关键题难点．
7．（2015•营口）图点P⊙O外点PA切⊙O点AAB⊙O直径连接OP点B作BC∥OP交⊙O点C连接AC交OP点D．
（1）求证：PC⊙O切线
（2）PDAC8求图中暗影部分面积
（3）（2）条件点E中点连接CE求CE长．
考点：
切线判定扇形面积计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OC证明△PAO≌△PCO∠PCO∠PAO90°证明结
（2）证明△ADP∽△PDA成例线段求出BC长根S阴S⊙O﹣S△ABC求出答案
（3）连接AEBE作BM⊥CEM分求出CMEM长求答案．
解答：
（1）证明：图1连接OC
∵PA切⊙O点A∴∠PAO90°
∵BC∥OP
∴∠AOP∠OBC∠COP∠OCB
∵OCOB∴∠OBC∠OCB
∴∠AOP∠COP
△PAO△PCO中
∴△PAO≌△PCO
∴∠PCO∠PAO90°
∴PC⊙O切线
（2）解：（1）PAPC圆切线
∴PAPCOP分∠APC∠ADO∠PAO90°
∴∠PAD+∠DAO∠DAO+∠AOD
∴∠PAD∠AOD
∴△ADP∽△ODA
∴
∴AD2PD•DO
∵AC8PD
∴ADAC4OD3AO5
题意知OD△中位线
∴BC6OD6AB10．
∴S阴S⊙O﹣S△ABC﹣24
（3）解：图2连接AEBE作BM⊥CEM
∴∠CMB∠EMB∠AEB90°
∵点E中点
∴∠ECB∠CBM∠ABE45°
CMMB3
BEAB•cos45°5
∴EM4
CECM+EM7．
点评：
题考查切线判定性质扇形面积计算类似三角形判定性质灵活运切线性质：圆切线垂直切点半径切线判定解题关键．
8．（2015•徐州）图点ABCD条直线点EF分直线AD两侧AEDF∠A∠DABDC．
（1）求证：四边形BFCE行四边形
（2）AD10DC3∠EBD60°BE 4 时四边形BFCE菱形．
考点：
行四边形判定菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AEDF∠A∠DABDC易证△AEC≌△DFBBFEC∠ACE∠DBFEC∥BF判定四边形BFCE行四边形
（2）四边形BFCE菱形时BECE根菱形性质结果．
解答：
（1）证明：∵ABDC
∴ACDF
△AEC△DFB中
∴△AEC≌△DFB（SAS）
∴BFEC∠ACE∠DBF
∴EC∥BF
∴四边形BFCE行四边形
（2）四边形BFCE菱形时BECE
∵AD10DC3ABCD3
∴BC10﹣3﹣34
∵∠EBD60°
∴BEBC4
∴BE4 时四边形BFCE菱形
答案：4．
点评：
题考查类似三角形判定性质全等三角形判定性质行四边形判定性质菱形判定性质勾股定理等知识．题综合性较强难度适中留意数形思想运留意掌握辅助线作法．
9．（2015•宿迁）图四边形ABCD中∠A∠ABC90°AD1BC3E边CD中点连接BE延伸AD延伸线相交点F．
（1）求证：四边形BDFC行四边形
（2）△BCD等腰三角形求四边形BDFC面积．
考点：
行四边形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根旁角互补两直线行求出BC∥AD根两直线行错角相等∠CBE∠DFE然利角角边证明△BEC△FCD全等根全等三角形应边相等BEEF然利角线互相分四边形行四边形证明
（2）分①BCBD时利勾股定理列式求出AB然利行四边形面积公式列式计算解②BCCD时点C作CG⊥AFG判断出四边形AGCB矩形根矩形边相等AGBC3然求出DG2利勾股定理列式求出CG然利行四边形面积列式计算解③BDCD时BC边中线应该BC垂直BC2AD2矛盾．
解答：
（1）证明：∵∠A∠ABC90°
∴BC∥AD
∴∠CBE∠DFE
△BEC△FED中
∴△BEC≌△FED
∴BEFE
∵E边CD中点
∴CEDE
∴四边形BDFC行四边形
（2）①BCBD3时勾股定理AB2
四边形BDFC面积3×26
②BCCD3时点C作CG⊥AFG四边形AGCB矩形
AGBC3
DGAG﹣AD3﹣12
勾股定理CG
四边形BDFC面积3×3
③BDCD时BC边中线应该BC垂直BC2AD2矛盾时成立
综述四边形BDFC面积63．
点评：
题考查行四边形判定性质等腰三角形性质全等三角形判定性质（1）确定出全等三角形解题关键（2）难点分情况讨．
10．（2015•湘西州）图▱ABCD中DE⊥ABBF⊥CD垂足分EF．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）求证：四边形BFDE矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）DEAB垂直BFCD垂直直角相等ABCD行四边形ADBC角相等利AAS值
（2）行四边形边行DCAB行∠CDE直角利三角直角四边形矩形值．
解答：
证明：（1）∵DE⊥ABBF⊥CD
∴∠AED∠CFB90°
∵四边形ABCD行四边形
∴ADBC∠A∠C
△ADE△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
（2）∵四边形ABCD行四边形
∴CD∥AB
∴∠CDE+∠DEB180°
∵∠DEB90°
∴∠CDE90°
∴∠CDE∠DEB∠BFD90°
四边形BFDE矩形．
点评：
题考查矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质纯熟掌握矩形判定方法解题关键．
11．（2015•咸宁）已知关x元二次方程mx2﹣（m+2）x+20．
（1）证明：m值时方程总实数根
（2）m整数时方程两相等正整数根．
考点：
根判式解元二次方程公式法．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）求出方程根判式利配方法进行变形根方非负性证明
（2）利元二次方程求根公式求出方程两根根题意求出m值．
解答：
（1）证明：△（m+2）2﹣8m
m2﹣4m+4
（m﹣2）2
∵m值时（m﹣2）2≥0
∴△≥0
∴方程总实数根
（2）解：解方程x
x1x21
∵方程两相等正整数根
∴m12m2合题意
∴m1．
点评：
题考查元二次方程根判式求根公式运掌握元二次方程根情况判式△关系：△＞0⇔方程两相等实数根△0⇔方程两相等实数根△＜0⇔方程没实数根解题关键．
12．（2015•咸宁）图△ABC中∠C90°AB点O圆心OA长半径圆恰BC相切点D分交ACAB点EF．
（1）∠B30°求证：AODE顶点四边形菱形．
（2）AC6AB10连结AD求⊙O半径AD长．
考点：
切线性质菱形判定性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接ODOEED．先证明△AOE等边三角形AEAO0D四边形AODE行四边形然OAOD证明四边形AODE菱形
（2）连接ODDF．先△OBD∽△ABC求出⊙O半径然证明△ADC∽△AFD出AD2AC•AF进求出AD．
解答：
（1）证明：图1连接ODOEED．
∵BC⊙O相切点D
∴OD⊥BC
∴∠ODB90°∠C
∴OD∥AC
∵∠B30°
∴∠A60°
∵OAOE
∴△AOE等边三角形
∴AEAO0D
∴四边形AODE行四边形
∵OAOD
∴四边形AODE菱形．
（2）解：设⊙O半径r．
∵OD∥AC
∴△OBD∽△ABC．
∴10r6（10﹣r）．
解r
∴⊙O半径．
图2连接ODDF．
∵OD∥AC
∴∠DAC∠ADO
∵OAOD
∴∠ADO∠DAO
∴∠DAC∠DAO
∵AF⊙O直径
∴∠ADF90°∠C
∴△ADC∽△AFD
∴
∴AD2AC•AF
∵AC6AF
∴AD2×645
∴AD3．
点评：
题考查切线性质圆周角定理等边三角形判定性质菱形判定性质类似三角形判定性质综合题难度中等．纯熟掌握相关图形性质判定解题关键．
13．（2015•梧州）图正方形ABCD中点PADAD重合BP垂直分线分交CDABEF两点垂足QE作EH⊥ABH．
（1）求证：HFAP
（2）正方形ABCD边长12AP4求线段EQ长．
考点：
正方形性质全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根EQ⊥BOEH⊥AB出∠EQN∠BHM90°．根∠EMQ∠BMH出△EMQ∽△BMH∠QEM∠HBM．ASA定理出△APB≌△HFE出结
（2）勾股定理求出BP长根EFBP垂直分线知BQBP根锐角三角函数定义出QFBQ长（1）知△APB≌△HFEEFBP4根EQEF﹣QF出结．
解答：
（1）证明：∵EQ⊥BOEH⊥AB
∴∠EQN∠BHM90°．
∵∠EMQ∠BMH
∴△EMQ∽△BMH
∴∠QEM∠HBM．
Rt△APBRt△HFE中
∴△APB≌△HFE
∴HFAP
（2）解：勾股定理BP4．
∵EFBP垂直分线
∴BQBP2
∴QFBQ•tan∠FBQBQ•tan∠ABP2×．
（1）知△APB≌△HFE
∴EFBP4
∴EQEF﹣QF4﹣．
点评：
题考查正方形性质熟知正方形性质全等三角形判定性质解答题关键．
14．（2015•威海）图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点D交BC点E．
（1）求证：BECE
（2）BD2BE3求AC长．
考点：
类似三角形判定性质等腰三角形性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连结AE图根圆周角定理AC⊙O直径∠AEC90°然利等腰三角形性质BECE
（2）连结DE图证明△BED∽△BAC然利类似计算出AB长AC长．
解答：
（1）证明：连结AE图
∵AC⊙O直径
∴∠AEC90°
∴AE⊥BC
ABAC
∴BECE
（2）连结DE图
∵BECE3
∴BC6
∵∠BED∠BAC
∠DBE∠CBA
∴△BED∽△BAC
∴
∴BA9
∴ACBA9．
点评：
题考查类似三角形判定性质：判定两三角形类似时应留意利图形中已公角公边等隐含条件充分发挥基图形作寻觅类似三角形普通方法作行线构造类似三角形．考查角分线性质圆周角定理．
15．（2015•铜仁市）已知图点D等边三角形ABC边AB点F边AC连接DF延伸交BC延伸线点EEFFD．
求证：ADCE．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
作DG∥BC交ACG先证明△DFG≌△EFC出GDCE证明△ADG等边三角形出ADGD出结．
解答：
证明：作DG∥BC交ACG图示：
∠DGF∠ECF
△DFG△EFC中
∴△DFG≌△EFC（AAS）
∴GDCE
∵△ABC等边三角形
∴∠A∠B∠ACB60°
∵DG∥BC
∴∠ADG∠B∠AGD∠ACB
∴∠A∠ADG∠AGD
∴△ADG等边三角形
∴ADGD
∴ADCE．
点评：
题考查全等三角形判定性质等边三角形判定性质纯熟掌握等边三角形判定性质进行推理证处理成绩关键．
16．（2015•通辽）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE求证：△ABC△DEC全等．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根角余角相等∠3∠5条件∠1∠D加BCCE证结．
解答：
解：∵∠BCE∠ACD90°
∴∠3+∠4∠4+∠5
∴∠3∠5
△ACD中∠ACD90°
∴∠2+∠D90°
∵∠BAE∠1+∠290°
∴∠1∠D
△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定掌握全等三角形判定方法解题关键SSSSASASAAASHL．
17．（2015•铁岭）图矩形ABCD中AB8AD6点EF分边CDAB．
（1）DEBF求证：四边形AFCE行四边形
（2）四边形AFCE菱形求菱形AFCE周长．
考点：
矩形性质行四边形判定菱形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根矩形性质AB行等CD然根DEBFAF行等CE证明四边形AFCE行四边形
（2）根四边形AFCE菱形AECE然设DEx表示出AECE长度根相等求出x值继求菱形边长周长．
解答：
解（1）∵四边形ABCD矩形
∴ABCDAB∥CD
∵DEBF
∴AFCEAF∥CE
∴四边形AFCE行四边形
（2）∵四边形AFCE菱形
∴AECE
设DEx
AECE8﹣x
8﹣x
解：x
菱形边长：8﹣
周长：4×25
菱形AFCE周长25．
点评：
题考查矩形性质菱形性质解答题关键矩形边行相等性质菱形四条边相等性质．
18．（2015•天水）图AB⊙O直径BC切⊙O点BOC行弦AD点D作DE⊥AB点E连结ACDE交点P．求证：
（1）AC•PDAP•BC
（2）PEPD．
考点：
切线性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根AB⊙O直径BC切线AB⊥BC根DE⊥AB判断出DE∥BC△AEP∽△ABC然判断出判断出ED2EP判断出PEPD．
（2）首先根△AEP∽△ABC判断出然根PEPD判断出AC•PDAP•BC．
解答：
解：（1）∵AB⊙O直径BC切线
∴AB⊥BC
∵DE⊥AB
∴DE∥BC
∴△AEP∽△ABC
∴…①
∵AD∥OC
∴∠DAE∠COB
∴△AED∽△OBC
∴…②
①②ED2EP
∴PEPD．
（2）∵AB⊙O直径BC切线
∴AB⊥BC
∵DE⊥AB
∴DE∥BC
∴△AEP∽△ABC
∴
∵PEPD
∴
∴AC•PDAP•BC．
点评：
（1）题次考查切线性质运纯熟掌握解答题关键明确：①圆切线垂直切点半径．②圆心垂直切线直线必切点．③切点垂直切线直线必圆心．
（2）题考查类似三角形判定性质运纯熟掌握．
19．（2015•泰安）图△ABC直角三角形∠ABC90°四边形BCDE行四边形EAC中点BD分∠ABC点FABBFBC．求证：
（1）DFAE
（2）DF⊥AC．
考点：
全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）延伸DE交AB点G连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS）该全等三角形应边相等证结
（2）设ACFD交点O．利（1）中全等三角形应角相等等角补角相等三角形角定理∠EOD90°DF⊥AC．
解答：
证明：（1）延伸DE交AB点G连接AD．
∵四边形BCDE行四边形
∴ED∥BCEDBC．
∵点EAC中点∠ABC90°
∴AGBGDG⊥AB．
∴ADBD
∴∠BAD∠ABD．
∵BD分∠ABC
∴∠ABD∠BAD45°∠BDE∠ADE45°．
BFBC
∴BFDE．
∴△AED△DFB中
∴△AED≌△DFB（SAS）
∴AEDFDFAE
（2）设ACFD交点O．
∵（1）知△AED≌△DFB
∴∠AED∠DFB
∴∠DEO∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG90°
∴∠DOE+∠EDO90°
∴∠EOD90°DF⊥AC．
点评：
题考查行四边形性质全等三角形判定性质．全等三角形判定全等三角形性质证明线段角相等重工具．判定三角形全等时关键选择恰判定条件．
20．（2015•州）图射线PA切⊙O点A连接PO．
（1）PO方作射线PC∠OPC∠OPA（尺规原图中作保留痕迹写作法）证明：PC⊙O切线
（2）（1）条件PC切⊙O点BABAP4求长．
考点：
切线判定性质弧长计算作图—基作图．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）作角等已知角作图方法作图连接OA作OB⊥PC根角分线性质证明OAOB证明PC⊙O切线
（2）首先证明△PAB等边三角形∠APB60°进∠POA60°Rt△AOP中求出OA弧长公式计算．
解答：
解：（1）作图右图
连接OAO作OB⊥PC
∵PA切⊙O点A
∴OA⊥PA
∵∠OPC∠OPAOB⊥PC
∴OAOBdr
∴PC⊙O切线
（2）∵PAPC⊙O切线
∴PAPB
∵ABAP4
∴△PAB等边三角形
∴∠APB60°
∴∠AOB120°∠POA60°
Rt△AOP中tan60°
∴OA
∴．
点评：
题考查尺规作图切线判定性质等边三角形判定性质锐角三角函数弧长计算求出圆心角半径长处理成绩关键．
21．（2015•绥化）图1正方形ABCD中延伸BCMBMDN连接MN交BD延伸线点E．
（1）求证：BD+2DEBM．
（2）图2连接BN交AD点F连接MF交BD点G．AF：FD1：2CM2线段DG ．
考点：
类似三角形判定性质勾股定理正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）点M作MP⊥BC交BD延伸线点P首先证明△DEN≌△PEMDEPE△BMP等腰直角三角形知BPBM结
（2）AF：FD1：2知DF：BC2：3△BCN∽△FDN求出BC2△DFG∽△BMG求出DG长．
解答：
（1）证明：点M作MP⊥BC交BD延伸线点P
∵四边形ABCD正方形
∴∠BCD90°∠DBC∠BDC45°
∴PM∥CN
∴∠N∠EMP∠BDC∠MPB45°
∴BMPM
∵BMDN
∴DNMP
△DEN△PEM中
∴△DEN≌△PEM
∴DEEP
∵△BMP等腰直角三角形
∴BPBM
∴BD+2DEBM．
（2）解：∵AF：FD1：2
∴DF：BC2：3
∵△BCN∽△FDN
∴
设正方形边长a知CM2
∴BMDNa+2CN2a+2
∴
解：a2
∴DFBM4BD2
∵△DFG∽△BMG
∴
∴
∴DG．
答案：．
点评：
题次考查正方形性质全等三角形判定性质等腰直角三角形性质类似三角形判定性质勾股定理综合运运三角形类似求出正方形边长处理第2题关键．
22．（2015•苏州）图△ABC中ABAC分BC圆心BC长半径BC方画弧．设两弧交点DABAC延伸线分交点EF连接ADBDCD
（1）求证：AD分∠BAC
（2）BC6∠BAC50°求DEDF长度（结果保留π）．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形判定性质弧长计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根题意出BDCDBCSSS证明△ABD≌△ACD出∠BAD∠CAD
（2）等腰三角形性质出∠ABC∠ACB65°等边三角形性质出∠DBC∠DCB60°角定义求出∠DBE∠DCF55°然根弧长公式求出 长度出结果．
解答：
（1）证明：根题意：BDCDBC
△ABD△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD∠CAD
AD分∠BAC
（2）解：∵ABAC∠BAC50°
∴∠ABC∠ACB65°
∵BDCDBC
∴△BDC等边三角形
∴∠DBC∠DCB60°
∴∠DBE∠DCF55°
∵BC6∴BDCD6
∴ 长度长度
∴ 长度+．
点评：
题考查全等三角形判定性质等边三角形判定性质弧长计算纯熟掌握全等三角形等边三角形判定性质进行推理计算处理成绩关键．
23．（2015•海）已知图行四边形ABCD角线相交点O点E边BC延伸线OEOB连接DE．
（1）求证：DE⊥BE
（2）果OE⊥CD求证：BD•CECD•DE．
考点：
类似三角形判定性质等腰三角形性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）行四边形性质BOBD等量代换推出OEBD根行四边形判定结
（2）根等角余角相等∠CEO∠CDE推出△BDE∽△CDE结．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD行四边形
∴BOBD
∵OEOB
∴OEBD
∴∠BED90°
∴DE⊥BE
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE∠CDE+∠DCE90°
∴∠CEO∠CDE
∵OBOE
∴∠DBE∠CDE
∵∠BED∠BED
∴△BDE∽△DCE
∴
∴BD•CECD•DE．
点评：
题考查类似三角形判定性质直角三角形判定性质行四边形性质熟记定理解题关键．
24．（2015•厦门）图面直角坐标系中点A（2n）B（mn）（m＞2）D（pq）（q＜n）点BD直线yx+1．四边形ABCD角线ACBD相交点EAB∥CDCD4BEDE△AEB面积2．
求证：四边形ABCD矩形．
考点：
矩形判定函数图象点坐标特征．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先利角线互相分四边形行四边形判定该四边形行四边形然根△ABE面积整四边形面积AD长根行四边形面积计算方法DA⊥AB判定矩形．
解答：
证明：作EF⊥AB点F
∵AB∥CD
∴∠1∠2∠3∠4
△ABE△CDE中
∴△ABE≌△CDE
∴AECE
∴四边形ABCD行四边形
∵A（2n）B（mn）易知AB两点坐标相反
∴AB∥CD∥x轴
∴m﹣24m6
B（6n）代入直线yx+1n4
∴B（64）
∵CD4△AEB面积2
∴EF1
∵D（pq）
∴E（）F（4）
∴+14
∴q2p2
∴DA⊥AB
∴四边形ABCD矩形．
点评：
题考查矩形判定解题关键解角直角行四边形矩形难度．
25．（2015•庆阳）图正方形ABCD中点E边BC中点直线EF交正方形外角分线点F交DC点GAE⊥EF．
（1）AB2时求△GEC面积
（2）求证：AEEF．
考点：
全等三角形判定性质正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先根△ABE∽△ECGAB：ECBE：GC求GC求S△GEC
（2）取AB中点H连接EH根已知正方形性质利ASA判定△AHE≌△ECFAEEF
解答：
解：（1）∵ABBC2点EBC中点
∴BEEC1
∵AE⊥EF
∴△ABE∽△ECG
∴AB：ECBE：GC
：2：11：GC
解：GC
∴S△GEC•EC•CG×1×
（2）证明：取AB中点H连接EH
∵ABCD正方形
AE⊥EF
∴∠1+∠AEB90°
∠2+∠AEB90°
∴∠1∠2
∵BHBE∠BHE45°
∠FCG45°
∴∠AHE∠ECF135°AHCE
∴△AHE≌△ECF
∴AEEF
点评：
题考查正方形性质全等三角形判定性质解（2）题关键取AB中点H出AHEC根全等三角形判定出△AHE≌△ECF．
26．（2015•青海）图梯形ABCD中AB∥DCAC分∠BADCE∥DA交AB点E．求证：四边形ADCE菱形．
考点：
菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根行四边形判定方法判断出四边形ADCE行四边形然判断出AECE判断出四边形ADCE菱形解答．
解答：
证明：∵AB∥DCCE∥DA
∴四边形ADCE行四边形
∵AC分∠BAD
∴∠CAD∠CAE
∵CE∥DA
∴∠ACE∠CAD
∴∠ACE∠CAE
∴AECE
∵四边形ADCE行四边形
∴四边形ADCE菱形．
点评：
题次考查菱形判定性质运纯熟掌握解答题关键明确：①菱形具行四边形切性质②菱形四条边相等 ③菱形两条角线互相垂直条角线分组角④菱形轴称图形2条称轴分两条角线直线．
27．（2015•钦州）图AB⊙O直径AD弦∠DBC∠A．
（1）求证：BC⊙O切线
（2）连接OC果OC恰弦BD中点EtanCAD3求直径AB长．
考点：
切线判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AB⊙O直径∠D90°继∠ABD+∠A90°∠DBC∠A∠DBC+∠ABD90°证BC⊙O切线
（2）根点OAB中点点E时BD中点知OE△ABD中位线AD∥OE∠A∠BOC（1）∠D∠OBC90°∠C∠ABDtanC知tan∠ABD出结．
解答：
（1）证明：∵AB⊙O直径
∴∠D90°
∴∠ABD+∠A90°
∵∠DBC∠A
∴∠DBC+∠ABD90°AB⊥BC
∴BC⊙O切线
（2）∵点OAB中点点E时BD中点
∴OE△ABD中位线
∴AD∥OE
∴∠A∠BOC．
∵（1）∠D∠OBC90°
∴∠C∠ABD
∵tanC
∴tan∠ABD解BD6
∴AB3．
点评：
题考查切线判定熟知半径外端垂直条半径直线圆切线解答题关键．
28．（2015•黔东南州）图已知PC分∠MPN点OPC意点PM⊙O相切点E交PCAB两点．
（1）求证：PN⊙O相切
（2）果∠MPC30°PE2求劣弧长．
考点：
切线判定性质弧长计算．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）连接OEO作OF⊥PN图示利AAS三角形PEO三角形PFO全等利全等三角形应边相等OE确定出PN圆O相切
（2）直角三角形POE中利30度直角边等斜边半求出OE长∠EOB度数利弧长公式求出劣弧长．
解答：
（1）证明：连接OEO作OF⊥PN图示
∵PM圆O相切
∴OE⊥PM
∴∠OEP∠OFP90°
∵PC分∠MPN
∴∠EPO∠FPO
△PEO△PFO中
∴△PEO≌△PFO（AAS）
∴OFOE
PN圆O相切
（2）Rt△EPO中∠MPC30°PE2
∴∠EOP60°OE2
∴∠EOB120°
长l．
点评：
题考查切线判定性质弧长公式纯熟掌握切线判定性质解题关键．
29．（2015•潜江）图AC⊙O直径OB⊙O半径PA切⊙O点APBAC延伸线交点M∠COB∠APB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）OB3PA6时求MBMC长．
考点：
切线判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根切线性质∠MAP90°根直角三角形性质∠P+M90°根余角性质∠M+∠MOB90°根直角三角形判定∠MOB90°根切线判定答案
（2）根类似三角形判定性质根解方程组答案．
解答：
（1）证明：∵PA切⊙O点A
∴∠MAP90°
∴∠P+M90°．
∵∠COB∠APB
∴∠M+∠MOB90°
∴∠MOB90°OB⊥PB
∵PB直径外端点
∴PB⊙O切线
（2）∵∠COB∠APB∠OBM∠PAM
∴△OBM∽△APM
∴
①
②
联立①②
解
OB3PA6时MB4MC2．
点评：
题考查切线判定性质（1）利切线判定性质直角三角形判定性质余角性质（2）利类似三角形判定性质解方程组．
30．（2015•盘锦）图1AB⊙O直径点P直径AB意点点P作弦CD⊥AB垂足P点B直线线段AD延伸线交点F∠F∠ABC．
（1）CD2BP4求⊙O半径
（2）求证：直线BF⊙O切线
（3）点P点O重合时点A作⊙O切线交线段BC延伸线点E条件变情况判断四边形AEBF什四边形？请图2中补全图象证明结．
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根垂径定理求PC连接OC根勾股定理求
（2）求△PBC∽△BFA根类似三角形应角相等求∠ABF∠CPB90°证结
（3）证AEBFAE∥BF证四边形AEBF行四边形．
解答：
（1）解：CD⊥AB
∴PCPDCD
连接OC设⊙O半径rPOPB﹣r4﹣r
RT△POC中OC2OP2+PC2
r2（4﹣r）2+（）2解r．
（2）证明：∵∠A∠C∠F∠ABC
∴∠ABF∠CPB
∵CD⊥AB
∴∠ABF∠CPB90°
∴直线BF⊙O切线
（3）四边形AEBF行四边形
理：解：图2示：∵CD⊥AB垂足P
∴点P点O重合时CDAB
∴OCOD
∵AE⊙O切线
∴BA⊥AE
∵CD⊥AB
∴DC∥AE
∵AOOB
∴OC△ABE中位线
∴AE2OC
∵∠D∠ABC∠F∠ABC．
∴∠D∠F
∴CD∥BF
∵AE∥BF
∵OAOB
∴OD△ABF中位线
∴BF2OD
∴AEBF
∴四边形AEBF行四边形．
点评：
题考查切线判定勾股定理运三角形类似判定性质三角形中位线性质行四边形判定等纯熟掌握性质定理解题关键．
31．（2015•江）图▱ABCD边AB延伸点EABBE连接DEECDE交BC点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC
（2）连接BD∠BOD2∠A求证：四边形BECD矩形．
考点：
矩形判定全等三角形判定性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形判定性质四边形BECD行四边形然SSS推出两三角形全等
（2）欲证明四边形BECD矩形需推知BCED．
解答：
证明：（1）行四边形ABCD中ADBCABCDAB∥CDBE∥CD．
∵ABBE
∴BEDC
∴四边形BECD行四边形
∴BDEC．
∴△ABD△BEC中
∴△ABD≌△BEC（SSS）
（2）（1）知四边形BECD行四边形ODOEOCOB．
∵四边形ABCD行四边形
∴∠A∠BCD∠A∠OCD．
∵∠BOD2∠A∠BOD∠OCD+∠ODC
∴∠OCD∠ODC
∴OCOD
∴OC+OBOD+OEBCED
∴行四边形BECD矩形．
点评：
题考查行四边形性质判定矩形判定行线性质全等三角形性质判定三角形外角性质等知识点综合运难度较．
32．（2015•南通）图▱ABCD中点EF分ABDCED⊥DBFB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB
（2）∠A30°∠DEB45°求证：DADF．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）四边形ABCD行四边形利行四边形性质边行相等角相等垂直定义直角相等利等式性质角相等利ASA证
（2）D作DH垂直AB直角三角形ADH中利30度直角边等斜边半AD2DH直角三角形DEB中利斜边中线等斜边半EB2DH易四边形EBFD行四边形利行四边形边相等EBDF等量代换证．
解答：
证明：（1）∵行四边形ABCD
∴ADCB∠A∠CAD∥CB
∴∠ADB∠CBD
∵ED⊥DBFB⊥BD
∴∠EDB∠FBD90°
∴∠ADE∠CBF
△AED△CFB中
∴△AED≌△CFB（ASA）
（2）作DH⊥AB垂足H
Rt△ADH中∠A30°
∴AD2DH
Rt△DEB中∠DEB45°
∴EB2DH
∴四边形EBFD行四边形
∴FDEB
∴DADF．
点评：
题考查行四边形判定性质全等三角形判定性质含30度直角三角形性质纯熟掌握行四边形判定性质解题关键．
33．（2015•南）图AB半圆O直径CAB延伸线点CD半圆O相切点D连接ADBD．
（1）求证：∠BAD∠BDC
（2）∠BDC28°BD2求⊙O半径．（001）
考点：
切线性质解直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OD利切线性质直径性质转化角关系进行证明
（2）根三角函数进行计算．
解答：
证明：（1）连接OD图
∵CD半圆O相切点D
∴OD⊥CD
∴∠CDO90°∠CDB+∠BDO90°
∵AB半圆O直径
∴∠ADB90°∠ADO+∠BDO90°
∴∠CDB∠ODA
∵ODOA
∴∠ODA∠BAD
∴∠BAD∠BDC
（2）∵∠BAD∠BDC28°Rt△ABD中sin∠BAD
∴AB
∴⊙O半径．
点评：
题考查切线性质关键根切线性质直径性质转化角关系进行分析．
34．（2015•南京）图四边形ABCD⊙O接四边形BC延伸线AD延伸线交点EDCDE．
（1）求证：∠A∠AEB
（2）连接OE交CD点FOE⊥CD求证：△ABE等边三角形．
考点：
圆接四边形性质等边三角形判定性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根圆接四边形性质∠A+∠BCD180°根邻补角互补∠DCE+∠BCD180°进∠A∠DCE然利等边等角∠DCE∠AEB进∠A∠AEB
（2）首先证明△DCE等边三角形进∠AEB60°根∠A∠AEB△ABE等腰三角形进△ABE等边三角形．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD⊙O接四边形
∴∠A+∠BCD180°
∵∠DCE+∠BCD180°
∴∠A∠DCE
∵DCDE
∴∠DCE∠AEB
∴∠A∠AEB
（2）∵∠A∠AEB
∴△ABE等腰三角形
∵EO⊥CD
∴CFDF
∴EOCD垂直分线
∴EDEC
∵DCDE
∴DCDEEC
∴△DCE等边三角形
∴∠AEB60°
∴△ABE等边三角形．
点评：
题次考查等边三角形判定性质圆接四边形性质关键掌握圆接四边形角互补．
35．（2015•南充）图△ABC中ABACAD⊥BCCE⊥ABAECE．求证：
（1）△AEF≌△CEB
（2）AF2CD．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AD⊥BCCE⊥AB易∠AFE∠B利全等三角形判定△AEF≌△CEB
（2）全等三角形性质AFBC等腰三角形性质三线合BC2CD等量代换出结．
解答：
证明：（1）∵AD⊥BCCE⊥AB
∴∠BCE+∠CFD90°∠BCE+∠B90°
∴∠CFD∠B
∵∠CFD∠AFE
∴∠AFE∠B
△AEF△CEB中
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）∵ABACAD⊥BC
∴BC2CD
∵△AEF≌△CEB
∴AFBC
∴AF2CD．
点评：
题次考查全等三角形性质判定等腰三角形性质运等腰三角形性质解答题关键．
36．（2015•南昌）（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形 C
A．行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2）图2（1）中四边形纸片AEE′D中EE′取点FEF4剪△AEF移△DE′F′位拼成四边形AFF′D．
①求证：四边形AFF′D菱形．
②求四边形AFF′D两条角线长．
考点：
图形剪拼行四边形性质菱形判定性质矩形判定移性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根矩形判定答案
（2）①根菱形判定答案
②根勾股定理答案．
解答：
解：（1）图1纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足EAE剪△ABE移△DCE′位拼成四边形AEE′D四边形AEE′D外形矩形
选：C
（2）①证明：∵纸片▱ABCD中AD5S▱ABCD15点A作AE⊥BC垂足E
∴AE3．
图2：
∵△AEF移△DE′F′
∴AF∥DF′AFDF′
∴四边形AFF′D行四边形．
Rt△AEF中勾股定理
AF5
∴AFAD5
∴四边形AFF′D菱形
②连接AF′DF图3：
Rt△DE′F中E′FFF′﹣E′F′5﹣41DE′3
∴DF
Rt△AEF′中EF′EF+FF′4+59AE3
∴AF′3．
点评：
题考查图形剪拼利矩形判定菱形判定勾股定理．
37．（2015•梅州）图已知△ABC步骤作图：
①A圆心AB长半径画弧
②C圆心CB长半径画弧两弧相交点D
③连接BDAC交点E连接ADCD．
（1）求证：△ABC≌△ADC
（2）∠BAC30°∠BCA45°AC4求BE长．
考点：
全等三角形判定性质作图—复杂作图．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利SSS定理证结
（2）设BEx利角三角函数易AE长∠BCA45°易CEBEx解xCE长．
解答：
（1）证明：△ABC△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
（2）解：设BEx
∵∠BAC30°
∴∠ABE60°
∴AEtan60°•xx
∵△ABC≌△ADC
∴CBCD∠BCA∠DCA
∵∠BCA45°
∴∠BCA∠DCA45°
∴∠CBD∠CDB45°
∴CEBEx
∴x+x4
∴x2﹣2
∴BE2﹣2．
点评：
题次考查全等三角形判定性质角三角函数利方程思想综合运全等三角形性质判定定理解答题关键．
38．（2015•龙岩）图EF分矩形ABCD边ADAB点EFECEF⊥EC．
（1）求证：AEDC
（2）已知DC求BE长．
考点：
矩形性质全等三角形判定性质勾股定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根矩形性质已知条件证明△AEF≌△DCE证AEDC
（2）（1）知AEDCRt△ABE中勾股定理求BE长．
解答：
（1）证明：矩形ABCD中∠A∠D90°
∴∠1+∠290°
∵EF⊥EC
∴∠FEC90°
∴∠2+∠390°
∴∠1∠3
△AEF△DCE中
∴△AEF≌△DCE（AAS）
∴AEDC
（2）解：（1）AEDC
∴AEDC
矩形ABCD中ABCD
R△ABE中AB2+AE2BE2（）2+（）2BE2
∴BE2．
点评：
题次考查矩形性质全等三角形判定性质（1）中证三角形全等解题关键（2）中留意勾股定理运．
39．（2015•柳州）图已知四边形ABCD行四边形AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A边CD⊙O相交点E连接AEBE．
（1）求证：ABAC
（2）点A作AH⊥BEH求证：BHCE+EH．
考点：
切线性质行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根弦切角定理圆周角定理证明∠ABC∠ACB答案
（2）作AF⊥CDF证明△AEH≌△AEFEHEF根△ABH≌△ACF答案．
解答：
证明：（1）∵AD△ABC外接圆⊙O恰相切点A
∴∠ABE∠DAE∠EAC∠EBC
∴∠DAC∠ABC
∵AD∥BC
∴∠DAC∠ACB
∴∠ABC∠ACB
∴ABAC
（2）作AF⊥CDF
∵四边形ABCE圆接四边形
∴∠ABC∠AEF∠ABC∠ACB
∴∠AEF∠ACB∠AEB∠ACB
∴∠AEH∠AEF
△AEH△AEF中
∴△AEH≌△AEF
∴EHEF
∴CE+EHCF
△ABH△ACF中
∴△ABH≌△ACF
∴BHCFCE+EH．
点评：
题考查切线性质行四边形性质全等三角形判定性质运性质证明相关三角形全等解题关键留意圆周角定理圆接四边形性质运．
40．（2015•辽阳）图△ABC中ABACAB直径⊙O分交BCAC点DEDG⊥AC点G交AB延伸线点F．
（1）求证：直线FG⊙O切线
（2）AC10cosA求CG长．
考点：
切线判定类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）首先判断出OD∥AC推∠ODG∠DGC然根DG⊥AC∠DGC90°∠ODG90°推OD⊥FG判断出直线FG⊙O切线．
（2）首先根类似三角形判定方法判断出△ODF∽△AGF根cosAcos∠DOF然求出OFAF值求出AGCG值少．
解答：
（1）证明：图1连接OD
∵ABAC
∴∠C∠ABC
∵ODOB
∴∠ABC∠ODB
∴∠ODB∠C
∴OD∥AC
∴∠ODG∠DGC
∵DG⊥AC
∴∠DGC90°
∴∠ODG90°
∴OD⊥FG
∵OD⊙O半径
∴直线FG⊙O切线．
（2）解：图2
∵ABAC10AB⊙O直径
∴OAOD10÷25
（1）
OD⊥FGOD∥AC
∴∠ODF90°∠DOF∠A
△ODF△AGF中
∴△ODF∽△AGF
∴
∵cosA
∴cos∠DOF
∴
∴AFAO+OF5
∴
解AG7
∴CGAC﹣AG10﹣73
CG长3．
点评：
（1）题次考查切线判定性质运纯熟掌握解答题关键明确切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线．
（2）题考查三角形类似判定性质运纯熟掌握解答题关键明确：①三边法：三组应边相等两三角形类似②两边夹角法：两组应边相等夹角应相等两三角形类似③两角法：两组角应相等两三角形类似．
41．（2015•连云港）图行四边形ABCD角线BD进行折叠折叠点C落点F处DF交AB点E．
（1）求证∠EDB∠EBD
（2）判断AFDB否行阐明理．
考点：
翻折变换（折叠成绩）行四边形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）折叠行线性质易证∠EDB∠EBD
（2）AF∥DB首先证明AEEF出∠AFE∠EAF然根三角形角等式性质证明∠BDE∠AFEAF∥BD．
解答：
解：（1）折叠知：∠CDB∠EDB
∵四边形ABCD行四边形
∴DC∥AB
∴∠CDB∠EBD
∴∠EDB∠EBD
（2）AF∥DB
∵∠EDB∠EBD
∴DEBE
折叠知：DCDF
∵四边形ABCD行四边形
∴DCAB
∴DFAB
∴AEEF
∴∠EAF∠EFA
△BED中∠EDB+∠EBD+∠DEB180°
∴2∠EDB+∠DEB180°
理△AEF中2∠EFA+∠AEF180°
∵∠DEB∠AEF
∴∠EDB∠EFA
∴AF∥DB．
点评：
题次考查折叠变换行四边形性质等腰三角形性质综合运运三角形角定理等式性质出错角相等处理成绩关键．
42．（2015•莱芜）图△ABC等腰直角三角形∠ACB90°分ABAC直角边外作等腰直角△ABD等腰直角△ACEGBD中点连接CGBECDBECD交点F．
（1）判断四边形ACGD外形阐明理．
（2）求证：BECDBE⊥CD．
考点：
全等三角形判定性质等腰直角三角形行四边形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利等腰直角三角形性质易BD2BCGBD中点BGBC∠CGB45°∠ADB45AD∥CG∠CBD+∠ACB180°AC∥BD出四边形ACGD行四边形
（2）利全等三角形判定证△DAC≌△BAE全等三角形性质BECD首先证四边形ABCE行四边形利全等三角形判定定理△BCE≌△CAD易∠CBE∠ACD∠ACB90°易∠CFB90°出结．
解答：
（1）解：∵△ABC等腰直角三角形∠ACB90°
∴ABBC
∵△ABD△ACE均等腰直角三角形
∴BDBC2BC
∵GBD中点
∴BGBDBC
∴△CBG等腰直角三角形
∴∠CGB45°
∵∠ADB45°
AD∥CG
∵∠ABD45°∠ABC45°
∴∠CBD90°
∵∠ACB90°
∴∠CBD+∠ACB180°
∴AC∥BD
∴四边形ACGD行四边形
（2）证明：∵∠EAB∠EAC+∠CAB90°+45°135°
∠CAD∠DAB+∠BAC90°+45°135°
∴∠EAB∠CAD
△DAC△BAE中
∴△DAC≌△BAE
∴BECD
∵∠EAC∠BCA90°EAACBC
∴四边形ABCE行四边形
∴CEABAD
△BCE△CAD中
∴△BCE≌△CAD
∴∠CBE∠ACD
∵∠ACD+∠BCD90°
∴∠CBE+∠BCD90°
∴∠CFB90°
BE⊥CD．
点评：
题次考查等腰直角三角形性质行四边形全等三角形判定性质定理综合运种定理解答题关键．
43．（2015•酒泉）图行四边形ABCD中AB3cmBC5cm∠B60°GCD中点E边AD动点EG延伸线BC延伸线交点F连结CEDF．
（1）求证：四边形CEDF行四边形
（2）①AE 35 cm时四边形CEDF矩形
②AE 2 cm时四边形CEDF菱形．
（直接写出答案需求阐明理）
考点：
行四边形判定性质菱形判定矩形判定．版权切
专题：
证明题动点型．
分析：
（1）证△CFG≌△EDG推出FGEG根行四边形判定推出
（2）①求出△MBA≌△EDC推出∠CED∠AMB90°根矩形判定推出
②求出△CDE等边三角形推出CEDE根菱形判定推出．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴CF∥ED
∴∠FCG∠EDG
∵GCD中点
∴CGDG
△FCG△EDG中
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FGEG
∵CGDG
∴四边形CEDF行四边形
（2）①解：AE35时行四边形CEDF矩形
理：A作AM⊥BCM
∵∠B60°AB3
∴BM15
∵四边形ABCD行四边形
∴∠CDA∠B60°DCAB3BCAD5
∵AE35
∴DE15BM
△MBA△EDC中
∴△MBA≌△EDC（SAS）
∴∠CED∠AMB90°
∵四边形CEDF行四边形
∴四边形CEDF矩形
答案：35
②AE2时四边形CEDF菱形
理：∵AD5AE2
∴DE3
∵CD3∠CDE60°
∴△CDE等边三角形
∴CEDE
∵四边形CEDF行四边形
∴四边形CEDF菱形
答案：2．
点评：
题考查行四边形性质判定菱形判定矩形判定等边三角形性质判定全等三角形性质判定运留意：组邻边相等行四边形菱形角直角行四边形矩形．
44．（2015•荆门）已知图AB⊙O直径点C⊙O点OF⊥BC点F交⊙O点EAEBC交点H点DOE延伸线点∠ODB∠AEC．
（1）求证：BD⊙O切线
（2）求证：CE2EH•EA
（3）⊙O半径5sinA求BH长．
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）圆周角定理已知条件证出∠ODB∠ABC证出∠ABC+∠DBF90°∠OBD90°出BD⊙O切线
（2）连接AC垂径定理出出∠CAE∠ECB公角∠CEA∠HEC证明△CEH∽△AEC出应边成例出结
（3）连接BE圆周角定理出∠AEB90°三角函数求出BE根勾股定理求出EA出BECE6（2）结求出EH然根勾股定理求出BH．
解答：
（1）证明：∵∠ODB∠AEC∠AEC∠ABC
∴∠ODB∠ABC
∵OF⊥BC
∴∠BFD90°
∴∠ODB+∠DBF90°
∴∠ABC+∠DBF90°
∠OBD90°
∴BD⊥OB
∴BD⊙O切线
（2）证明：连接AC图1示：
∵OF⊥BC
∴
∴∠CAE∠ECB
∵∠CEA∠HEC
∴△CEH∽△AEC
∴
∴CE2EH•EA
（3）解：连接BE图2示：
∵AB⊙O直径
∴∠AEB90°
∵⊙O半径5sin∠BAE
∴AB10BEAB•sin∠BAE10×6
∴EA8
∵
∴BECE6
∵CE2EH•EA
∴EH
Rt△BEH中BH．
点评：
题圆综合标题考查切线判定圆周角定理圆心角弧弦间关系定理勾股定理三角函数类似三角形判定性质等知识题难度较综合性强特（2）（3）中需求作辅助线证明三角形类似运三角函数勾股定理出结果．
45．（2015•吉林）图①半径R圆心角n°扇形面积S扇形弧长lS扇形••RlR．观察发现S扇形lR类似S三角形×底×高．
类扇形探求扇环（图②两心圆围成圆环扇形截部分交作扇环）面积公式运．
（1）设扇环面积S扇环长l1长l2线段AD长h（两心圆半径Rr差）．类S梯形×（底+底）×高含l1l2h代数式表示S扇环证明
（2）段长40m篱笆围成图②示扇环形花园线段AD长h少时花园面积面积少？
考点：
圆综合题．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根扇形公式间关系已知条件推出结果
（2）求出l1+l240﹣2h代入（1）结果化成顶点式出答案．
解答：
（1）S扇环（l1﹣l2）h
证明：设扇形半径R扇形半径r圆心角度数nlRr
图中扇环面积S×l1×R﹣×l2×r
l1•﹣l2•
（l12﹣l22）
（l1+l2）（l1﹣l2）
••（R﹣r）（l1﹣l2）
（l1﹣l2）（R﹣r）
（l1+l2）h
猜想正确．
（2）解：根题意：l1+l240﹣2h
S扇环（l1+l2）h
（40﹣2h）h
﹣h2+20h
﹣（h﹣10）2+100
∵﹣1＜0
∴开口值
h10时值100
线段AD长h10m时花园面积面积100m2．
点评：
题次考查扇形面积公式弧长公式二次函数顶点式运猜想出正确结解题关键定难度．
46．（2015•黄石）△AOB中CD分OAOB边点△OCD绕点O时针旋转△OC′D′．
（1）图1∠AOB90°OAOBCD分OAOB中点证明：①AC′BD′②AC′⊥BD′
（2）图2△AOB意三角形∠AOBθCD∥ABAC′BD′交点E猜想∠AEBθ否成立？请阐明理．
考点：
类似三角形判定性质全等三角形判定性质旋转性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）①旋转性质出OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′证出OC′OD′SAS证明△AOC′≌△BOD′出应边相等
②全等三角形性质出∠OAC′∠OBD′顶角相等三角形角定理出∠BEA90°出结
（2）旋转性质出OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′行线出例式出证明△AOC′∽△BOD′出∠OAC′∠OBD′顶角相等三角形角定理出∠AEBθ．
解答：
（1）证明：①∵△OCD旋转△OC′D′
∴OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′
∵OAOBCDOAOB中点
∴OCOD
∴OC′OD′
△AOC′△BOD′中
∴△AOC′≌△BOD′（SAS）
∴AC′BD′
②延伸AC′交BD′E交BOF图1示：
∵△AOC′≌△BOD′
∴∠OAC′∠OBD′
∠AFO∠BFE∠OAC′+∠AFO90°
∴∠OBD′+∠BFE90°
∴∠BEA90°
∴AC′⊥BD′
（2）解：∠AEBθ成立理：图2示：
∵△OCD旋转△OC′D′
∴OCOC′ODOD′∠AOC′∠BOD′
∵CD∥AB
∴
∴
∴
∠AOC′∠BOD′
∴△AOC′∽△BOD′
∴∠OAC′∠OBD′
∠AFO∠BFE
∴∠AEB∠AOBθ．
点评：
题考查旋转性质全等三角形判定性质类似三角形判定性质纯熟掌握旋转性质进行推理证处理成绩关键．
47．（2015•黄冈）已知：图△ABC中ABACAC直径⊙O交AB点M交BC点N连接AN点C切线交AB延伸线点P．
（1）求证：∠BCP∠BAN
（2）求证：．
考点：
切线性质类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）AC⊙O直径∠NAC+∠ACN90°ABAC∠BAN∠CAN根PC⊙O切线∠ACN+∠PCB90°结．
（2）等腰三角形性质∠ABC∠ACB根圆接四边形性质∠PBC∠AMN证出△BPC∽△MNA结．
解答：
（1）证明：∵AC⊙O直径
∴∠ANC90°
∴∠NAC+∠ACN90°
∵ABAC
∴∠BAN∠CAN
∵PC⊙O切线
∴∠ACP90°
∴∠ACN+∠PCB90°
∴∠BCP∠CAN
∴∠BCP∠BAN
（2）∵ABAC
∴∠ABC∠ACB
∵∠PBC+∠ABC∠AMN+∠ACN180°
∴∠PBC∠AMN
（1）知∠BCP∠BAN
∴△BPC∽△MNA
∴．
点评：
题考查切线性质等腰三角形性质圆周角定理类似三角形判定性质圆接四边形性质解题关键纯熟掌握定理．
48．（2015•湖北）图△ABC中ABAC1∠BAC45°△AEF△ABC绕点A时针方旋转连接BECF相交点D．
（1）求证：BECF
（2）四边形ACDE菱形时求BD长．
考点：
旋转性质勾股定理菱形性质．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）先旋转性质AEABAFAC∠EAF∠BAC∠EAF+∠BAF∠BAC+∠BAF∠EAB∠FAC利ABACAEAF根旋转定义△AEB△AFC绕点A时针方旋转然根旋转性质BECD
（2）菱形性质DEAEACAB1AC∥DE根等腰三角形性质∠AEB∠ABE根行线性质∠ABE∠BAC45°∠AEB∠ABE45°判断△ABE等腰直角三角形BEAC利BDBE﹣DE求解．
解答：
（1）证明：∵△AEF△ABC绕点A时针方旋转
∴AEABAFAC∠EAF∠BAC
∴∠EAF+∠BAF∠BAC+∠BAF∠EAB∠FAC
∵ABAC
∴AEAF
∴△AEB△AFC绕点A时针方旋转
∴BECF
（2）解：∵四边形ACDE菱形ABAC1
∴DEAEACAB1AC∥DE
∴∠AEB∠ABE∠ABE∠BAC45°
∴∠AEB∠ABE45°
∴△ABE等腰直角三角形
∴BEAC
∴BDBE﹣DE﹣1．
点评：
题考查旋转性质：应点旋转距离相等应点旋转连线段夹角等旋转角旋转前图形全等．考查菱形性质．
49．（2015•葫芦岛）图△ABC等边三角形AO⊥BC垂足点O⊙OAC相切点DBE⊥AB交AC延伸线点E⊙O相交GF两点．
（1）求证：AB⊙O相切
（2）等边三角形ABC边长4求线段BF长？
考点：
切线判定性质勾股定理解直角三角形．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）点O作OM⊥AB垂足M证明OM等圆半径OD
（2）点O作ON⊥BE垂足N连接OF四边形OMBN矩形直角△OBM利三角函数求OMBM长BNON求直角△ONF中利勾股定理求NFBF求解．
解答：
解：（1）点O作OM⊥AB垂足M．
∵⊙OAC相切点D．
∴OD⊥AC
∴∠ADO∠AMO90°．
∵△ABC等边三角形
∴∠DAO∠NAO
∴OMOD．
∴AB⊙O相切
（2）点O作ON⊥BE垂足N连接OF．
∵OBC中点
∴OB2．
直角△OBM中∠MBO60du6
∴OMOB•sin60°BMOB•cos60°1．
∵BE⊥AB
∴四边形OMBN矩形．
∴ONBM1BNOM．
∵OFOM
勾股定理NF．
∴BFBN+NF+．
点评：
题考查切线性质判定等边三角形性质正确作出辅助线构造矩形处理题关键．
50．（2015•呼伦贝尔）图行四边形ABCD中EF分边ABCD中点BD角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）∠ADB直角四边形BEDF什四边形？证明结．
考点：
行四边形性质全等三角形判定性质菱形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）四边形ABCD行四边形ADBCABCD∠A∠CEF分边ABCD中点证AECF然SAS判定△ADE≌△CBF
（2）先证明BEDF行相等然根组边行相等四边形行四边形连接EF证明四边形AEFD行四边形AD∥EFAD⊥BDBD⊥EF根菱形判定四边形菱形．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴ADBCABCD∠A∠C
∵EF分边ABCD中点
∴AEABCFCD
∴AECF
△ADE△CBF中
∵
∴△ADE≌△CBF（SAS）
（2）∠ADB直角四边形BEDF菱形理：
解：（1）BEDF
∵AB∥CD
∴BE∥DFBEDF
∴四边形BEDF行四边形
连接EF▱ABCD中EF分边ABCD中点
∴DF∥AEDFAE
∴四边形AEFD行四边形
∴EF∥AD
∵∠ADB直角
∴AD⊥BD
∴EF⊥BD
∵四边形BFDE行四边形
∴四边形BFDE菱形．
点评：
题次考查行四边形性质全等三角形判定菱形判定利EF中点解题关键．
51．（2015•呼伦贝尔）图已知直线l⊙O相离．OA⊥l点A交⊙O点POA5AB⊙O相切点BBP延伸线交直线l点C．
（1）求证：ABAC
（2）PC2求⊙O半径．
考点：
切线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OB根切线性质垂直出∠OBA∠OAC90°推出∠OBP+∠ABP90°∠ACP+∠CPA90°求出∠ACP∠ABC根等腰三角形判定推出
（2）延伸AP交⊙OD连接BD设圆半径rOPOBrPA5﹣r根ABAC推出52﹣r2（2）2﹣（5﹣r）2求出r证△DPB∽△CPA出代入求出．
解答：
证明：（1）图1连接OB．
∵AB切⊙OBOA⊥AC
∴∠OBA∠OAC90°
∴∠OBP+∠ABP90°∠ACP+∠APC90°
∵OPOB
∴∠OBP∠OPB
∵∠OPB∠APC
∴∠ACP∠ABC
∴ABAC
（2）图2延伸AP交⊙OD连接BD
设圆半径rOPOBrPA5﹣r
AB2OA2﹣OB252﹣r2
AC2PC2﹣PA2（2）2﹣（5﹣r）2
∴52﹣r2（2）2﹣（5﹣r）2
解：r3
∴ABAC4
∵PD直径
∴∠PBD90°∠PAC
∵∠DPB∠CPA
∴△DPB∽△CPA
∴
∴
解：PB．
∴⊙O半径3线段PB长．
点评：
题考查等腰三角形性质判定类似三角形性质判定切线性质勾股定理直线圆位关系等知识点运次培养先生运性质进行推理计算力．题综合性较强定难度．
52．（2015•贺州）图AB⊙O直径C⊙O点AC分∠BADAD⊥DC垂足DOE⊥AC垂足E．
（1）求证：DC⊙O切线
（2）OEcmAC2cm求DC长（结果保留根号）．
考点：
切线判定类似三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OC推出∠DAC∠OCA∠推出OC∥AD推出OC⊥DC根切线判定推出
（2）首先求线段AO长然证△AOE∽△ACD出例式代入求出．
解答：
（1）证明：连接OC
∵OAOC
∴∠OAC∠OCA
∵AC分∠BAD
∴∠DAC∠OAC
∴∠DAC∠OCA
∴AD∥OC
∴∠ADC∠OCF
∵AD⊥DC
∴∠ADC90°
∴∠OCF90°
∴OC⊥CD
∵OC半径
∴CD⊙O切线．
（2）∵OE⊥AC
∴AEACcm
Rt△AOE中AO4cm
（1）∠OAC∠CAD∠ADC∠AEO90°
∴△AOE∽△ACD
∴
∴DCcm．
点评：
题考查类似三角形性质判定勾股定理圆周角定理行线性质判定等腰三角形性质切线判定运次考查先生推理力．
53．（2015•贺州）图矩形ABCD角线BD折点C落E处BEAD相交点F．DE4BD8．
（1）求证：AFEF
（2）求证：BF分∠ABD．
考点：
翻折变换（折叠成绩）全等三角形判定性质矩形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）先根翻折变换性质出EDCD∠E∠CEDAB∠E∠A．AAS定理出△ABF≌△EDF出结
（2）Rt△BCD中根sin∠CBD出∠CBD30°∠EBD∠CBD30°直角三角形性质知∠ABF90°﹣30°×230°∠ABF∠DBFBF分∠ABD．
解答：
（1）证明：矩形ABCD中ABCD∠A∠C90°
∵△BED△BCD翻折成
∴EDCD∠E∠C
∴EDAB∠E∠A．
△ABF△EDF中
∵
∴△ABF≌△EDF（AAS）
∴AFEF
（2）Rt△BCD中
∵DCDE4DB8
∴sin∠CBD
∴∠CBD30°
∴∠EBD∠CBD30°
∴∠ABF90°﹣30°×230°
∴∠ABF∠DBF
∴BF分∠ABD．
点评：
题考查翻折变换熟知图形翻折变性性质解答题关键．
54．（2015•河南）图AB半圆O直径点P半圆点AB重合动点延伸BP点CPCPBDAC中点连接PDPO．
（1）求证：△CDP≌△POB
（2）填空：
①AB4四边形AOPD面积 4
②连接OD∠PBA度数 60° 时四边形BPDO菱形．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根中位线性质DP∥ABDPABSAS证△CDP≌△POB
（2）①四边形AOPDAO边高等半径时面积求解
②根组应边行相等四边形行四边形四边形BPDO行四边形根邻边相等行四边形菱形等边三角形判定性质求解．
解答：
（1）证明：∵PCPBDAC中点
∴DP∥AB
∴DPAB∠CPD∠PBO
∵BOAB
∴DPBO
△CDP△POB中
∴△CDP≌△POB（SAS）
（2）解：①四边形AOPDAO边高等半径时面积
（4÷2）×（4÷2）
2×2
4
②图：
∵DP∥ABDPBO
∴四边形BPDO行四边形
∵四边形BPDO菱形
∴PBBO
∵POBO
∴PBBOPO
∴△PBO等边三角形
∴∠PBA度数60°．
答案：460°．
点评：
考查菱形判定全等三角形判定性质中位线性质解题关键SAS证明△CDP≌△POB．
55．（2015•桂林）图▱ABCD中EF分ABCD中点．
（1）求证：四边形EBFD行四边形
（2）角线AC分DEBF交点MN求证：△ABN≌△CDM．
考点：
行四边形判定性质全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根行四边形性质：行四边边相等AB∥CDABCD根组边行相等四边形行四边形答案
（2）根行四边性质：行四边形边相等AB∥CDABCD∠CDM∠CFN根全等三角形判定答案．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∵EF分ABCD中点
∴BEDF
∵BE∥DF
∴四边形EBFD行四边形
（2）证明：∵四边形EBFD行四边形
∴DE∥BF
∴∠CDM∠CFN．
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD．
∴∠BAC∠DCA∠ABN∠CFN
∴∠ABN∠CDM
△ABN△CDM中
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
点评：
题考查行四边形判定性质利行四边形判定性质全等三角形判定根条件选择适判定方法解题关键．
56．（2015•贵港）图已知AB⊙O弦CD⊙O直径CD⊥AB垂足E点EOD中点⊙O切线BMAO延伸线相交点M连接ACCM．
（1）AB4求长（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC菱形．
考点：
切线性质菱形判定弧长计算．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）连接OBEOD中点OE等OA半直角三角形AOE中出∠OAB30°进求出∠AOE∠AOB度数设OAx利勾股定理求出x值确定出圆半径利弧长公式求出长
（2）问∠BAM∠BMA利等角等边ABMB利SAS三角形OCM三角形OBM全等利全等三角形应边相等CMBM等量代换CMAB利全等三角形应角相等等量代换错角相等进确定出CMAB行利组边行相等四边形行四边形ABMC行四边形邻边相等行四边形菱形证．
解答：
（1）解：∵OAOBEAB中点
∴∠AOE∠BOEOE⊥AB
∵OE⊥ABEOD中点
∴OEODOA
∴Rt△AOE中∠OAB30°∠AOE60°∠AOB120°
设OAxOExAEx
∵AB4
∴AB2AEx4
解：x4
长l
（2）证明：（1）∠OAB∠OBA30°∠BOM∠COM60°∠AMB30°
∴∠BAM∠BMA30°
∴ABBM
∵BM圆O切线
∴OB⊥BM
△COM△BOM中
∴△COM≌△BOM（SAS）
∴CMBM∠CMO∠BMO30°
∴CMAB∠CMO∠MAB
∴CM∥AB
∴四边形ABMC菱形．
点评：
题考查切线性质菱形判断全等三角形判定性质弧长公式纯熟掌握切线性质解题关键．
57．（2015•甘南州）图1△ABC△EDC中ACCECBCD∠ACB∠DCE90°ABCE交FEDABBC分交MH．
（1）求证：CFCH
（2）图2△ABC动△EDC绕点C旋转∠BCE45°时试判断四边形ACDM什四边形？证明结．
考点：
菱形判定全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）证明CFCH先证明△BCF≌△ECH∠ABC∠DCE90°ACCECBCD∠B∠E45°出CFCH
（2）根△EDC绕点C旋转∠BCE45°推出四边形ACDM行四边形ACCD判断出四边形ACDM菱形．
解答：
（1）证明：∵ACCECBCD∠ACB∠ECD90°
∴∠A∠B∠D∠E45°．
△BCF△ECH中
∴△BCF≌△ECH（ASA）
∴CFCH（全等三角形应边相等）
（2）解：四边形ACDM菱形．
证明：∵∠ACB∠DCE90°∠BCE45°
∴∠1∠245°．
∵∠E45°
∴∠1∠E
∴AC∥DE
∴∠AMH180°﹣∠A135°∠ACD
∵∠A∠D45°
∴四边形ACDM行四边形（两组角相等四边形行四边形）
∵ACCD
∴四边形ACDM菱形．
点评：
菱形判方法阐明四边形菱形理根常三种方法：
①定义
②四边相等
③角线互相垂直分．具体选择种方法需求根已知条件确定．
58．（2015•东莞）图边长6正方形ABCD中E边CD中点△ADEAE折△AFE延伸EF交边BC点G连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求BG长．
考点：
翻折变换（折叠成绩）全等三角形判定性质正方形性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利翻折变换应边关系出ABAF∠B∠AFG90°利HL定理出△ABG≌△AFG
（2）利勾股定理出GE2CG2+CE2进求出BG
解答：
解：（1）正方形ABCD中ADABBCCD∠D∠B∠BCD90°
∵△ADEAE折△AFE
∴ADAFDEEF∠D∠AFE90°
∴ABAF∠B∠AFG90°
∵AGAG
Rt△ABGRt△AFG中
∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）∵△ABG≌△AFG
∴BGFG
设BGFGxGC6﹣x
∵ECD中点
∴CEEFDE3
∴EG3+x
∴Rt△CEG中32+（6﹣x）2（3+x）2解x2
∴BG2．
点评：
题次考查勾股定理综合运翻折变换性质根翻折变换性质出应线段相等解题关键．
59．（2015•庆）图四边形ABCD接⊙OAD∥BCPBD点∠APB∠BAD．
（1）证明：ABCD
（2）证明：DP•BDAD•BC
（2）证明：BD2AB2+AD•BC．
考点：
类似三角形判定性质圆周角定理．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）利行线性质圆周角定理出进出答案
（2）首先出△ADP∽△DBC进利类似三角形性质出答案
（3）利类似三角形判定方法出△ABP∽△DBA进求出AB2DB•PB利（2）中求出答案．
解答：
证明：（1）∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∴
∴ABBC
（2）∵∠APB∠BAD∠BAD+∠BCD180°∠APB+∠APD180°
∴∠BCD∠APD
∵∠ADB∠CBD
∴△ADP∽△DBC
∴
∴DP•BDAD•BC
（3）∵∠APB∠BAD∠BAD∠BPA
∴△ABP∽△DBA
∴
∴AB2DB•PB
∴AB2+AD•BCDB•PB+AD•BC
∵（2）：DP•BDAD•BC
∴AB2+AD•BCDB•PB+DP•BDDB（PB+DP）DB2
BD2AB2+AD•BC．
点评：
题次考查类似三角形判定性质圆周角定理纯熟运类似三角形判定性质解题关键．
60．（2015•赤峰）图AB⊙O直径PD切⊙O点CBA延伸线交点DDE⊥PO交PO延伸线点E连接PB∠EDB∠EPB．
（1）求证：PB切线．
（2）PB6DB8求⊙O半径．
考点：
切线判定性质．版权切
专题：
计算题证明题．
分析：
（1）已知角相等顶角相等三角形DOE三角形POB类似利类似三角形应角相等∠OBP直角证
（2）直角三角形PBD中PBDB长利勾股定理求出PD长切线长定理PCPBPD﹣PC求出CD长直角三角形OCD中设OCrOD8﹣r利勾股定理列出关r方程求出方程解r值圆半径．
解答：
（1）证明：∵△DEO△PBO中∠EDB∠EPB∠DOE∠POB
∴∠OBP∠E90°
∵OB圆半径
∴PB圆O切线
（2）解：Rt△PBD中PB6DB8
根勾股定理：PD10
∵PDPB圆切线
∴PCPB6
∴DCPD﹣PC10﹣64
Rt△CDO中设OCrDO8﹣r
根勾股定理：（8﹣r）2r2+42
解：r3
圆半径3．
点评：
题考查切线判定性质勾股定理纯熟掌握切线判定性质解题关键．
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