1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
(1)求证:BECE
(2)∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证:BGDG+CD.
BG取BHABCD连EH
显然△ABE△CDE全等∠ABE∠DCE∠AEB∠DEC
∠BEC90°∠BFC顶角∠BGE∠CGF
∠FBE∠DCE
∠ABE∠FBE
BF取BHAB连接EH
BHAB∠ABE∠FBEBEBE△ABE△HBE全等
∠AEB∠HEBAEEH
∠AEB+∠DEC+∠BEC180°∠AEB∠DEC∠BEC90°
∠AEB∠DEC45°∠HEB
∠AEH∠AEB+∠HEB90°∠HED
理∠DEG45°∠HEG
EHAEEDEGEG
△HEG△FEG全等HGDG
BGBH+HGAB+DGDG+CD
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H.E作CD垂线垂足CD点FBC交点G.已知GCH中点.
(1)HEHG求证:△EBH≌△GFC
(2)CD4BH1求AD长.
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF.
(1)CE1时求△BCE面积
(2)求证:BDEF+CE.
4图.行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点.点E EF∥CA交CD点F连接OF.
(1)求证:OF∥BC
(2)果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明.
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6.
(1)求线段CD长
(2)H边BF∠HDF∠E连接CH求证:∠BCH45°﹣∠EBC.
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°.
(1)AB6cm求梯形ABCD面积
(2)EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证:HDBE+BF.
7已知:图ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E.
(1)求证:AEED
(2)ABBC求∠CAF度数.
8已知:图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF.
(1)求证:∠DAE∠DCE
(2)CGCE时试判断CFEG间样数量关系?证明结.
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点.
(1)求证:DP分∠ADC
(2)∠AEB75°AB2求△DFP面积.
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
(1)证明:EFEA
(2)D作DG⊥BCG连接EG试证明:EG⊥AF.
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度.AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF.
(1)求证:EBEF
(2)延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长.
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高.
(1)求证:AEGF
(2)设AE1求四边形DEGF面积.
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG.
(1)求证:FCBE
(2)ADDC2求AG长.
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF.
(1)求证:ADBE
(2)试判断△ABF形状说明理.
15图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC.
(1)求证:ADAE
(2)AD8DC4求AB长.
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC.
(1)求证:AE⊥BD (2)AD4BC14求EF长.
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC.
(1)求证:CDBE
(2)AD3DC4求AE.
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长.
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB.
(1)求证:BFEF﹣ED
(2)连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数.
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF.
(1)EF⊥AFAF4AB6求 AE长.
(2)点FCD中点求证:CEBE﹣AD.
21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC.
(1)求证:DH(AD+BC)
(2)AC6求梯形ABCD面积.
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD.
(1)求证:△AGE≌△DAB
(2)点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数.
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF.
(1)试说明梯形ABCD等腰梯形
(2)AD1BC3DC试判断△DCF形状
(3)条件(2)射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理.
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF.AF交BEP.
(1)证明:△ABE≌△DAF
(2)求∠BPF度数.
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD.
(1)求∠ABC度数
(2)果BC8求△DBF面积?
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点.
(1)求证:△AGD正三角形
(2)求EF长度.
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF.
(1)∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长.
(2)求证:EDBE+FC.
28已知:图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F.
(1)求证:△BCE≌△AFE
(2)AB⊥BCBC4AB6求EF长.
29已知:图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E.
求证:
(1)△BFC≌△DFC
(2)ADDE
(3)△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积.
30图梯形ABCD中AD∥BC.∠C90°ABAD.连接BDA点作BD垂线交BCE.
(1)求证:四边形ABED菱形
(2)果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积.
参考答案
1图等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点连接BECE
(1)求证:BECE
(2)∠BEC90°点B作BF⊥CD垂足点F交CE点G连接DG求证:BGDG+CD.
证明:(1)已知等腰梯形ABCD中AD∥BCABDCEAD中点
∴ABDC∠BAE∠CDEAEDE
∴△BAE≌△CDE
∴BECE
(2)延长CDBE延长线交H
∵BF⊥CD∠HEC90°
∴∠EBF+∠H∠ECH+∠H90°
∴∠EBF∠ECH
∠BEC∠CEH90°
BECE(已证)
∴△BEG≌△CEH
∴EGEHBGCHDH+CD
∵△BAE≌△CDE(已证)
∴∠AEB∠GED
∠HED∠AEB
∴∠GED∠HED
EGEH(已证)EDED
∴△GED≌△HED
∴DGDH
∴BGDG+CD.
2图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°EAB延长线点连接EDBC交点H.E作CD垂线垂足CD点FBC交点G.已知GCH中点.
(1)HEHG求证:△EBH≌△GFC
(2)CD4BH1求AD长.
(1)证明:∵HEHG
∴∠HEG∠HGE
∵∠HGE∠FGC∠BEH∠HEG
∴∠BEH∠FGC
∵GHC中点
∴HGGC
∴HEGC
∵∠HBE∠CFG90°.
∴△EBH≌△GFC
(2)解:∵ED分∠AEF∠A∠DFE90°
∴ADDF
∵DFDC﹣FC
∵△EBH≌△GFC
∴FCBH1
∴AD4﹣13.
3图梯形ABCD中AB∥CDADDCBC∠DAB60°E角线AC延长线点FAD延长线点EB⊥ABEF⊥AF.
(1)CE1时求△BCE面积
(2)求证:BDEF+CE.
(2)E点作EM⊥DB点M四边形FDME矩形FEDM∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°△BME≌△ECBBMCE继证明BDDM+BMEF+CE.
(1)解:∵ADCD
∴∠DAC∠DCA
∵DC∥AB
∴∠DCA∠CAB
∴
∵DC∥ABADBC
∴∠DAB∠CBA60°
∴∠ACB180°﹣(∠CAB+∠CBA)90°
∴∠BCE180°﹣∠ACB90°
∵BE⊥AB
∴∠ABE90°
∴∠CBE∠ABE﹣∠ABC30°
Rt△BCE中BE2CE2
∴…(5分)
(2)证明:E点作EM⊥DB点M
∴四边形FDME矩形
∴FEDM
∵∠BME∠BCE90°∠BEC∠MBE60°
∴△BME≌△ECB
∴BMCE
∴BDDM+BMEF+CE…(10分)
4图.行四边形ABCD中O角线交点点E线段BC延长线点.点E作EF∥CA交CD点F连接OF.
(1)求证:OF∥BC
(2)果梯形OBEF等腰梯形判断四边形ABCD形状出证明.
解答:(1)证明:延长EF交ADG(图)
行四边形ABCD中AD∥BCADBC
∵EF∥CAEG∥CA
∴四边形ACEG行四边形
∴AGCE
∵ADBC
∴
∵AD∥BC
∴∠ADC∠ECF
△CEF△DGF中
∵∠CFE∠DFG∠ADC∠ECFCEDG
∴△CEF≌△DGF(AAS)
∴CFDF
∵四边形ABCD行四边形
∴OBOD
∴OF∥BE.
(2)解:果梯形OBEF等腰梯形四边形ABCD矩形.
证明:∵OF∥CEEF∥CO
∴四边形OCEF行四边形
∴EFOC
∵梯形OBEF等腰梯形
∴BOEF
∴OBOC
∵四边形ABCD行四边形∴AC2OCBD2BO.
∴ACBD
∴行四边形ABCD矩形.
5图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BF⊥CDF延长BF交AD延长线E延长CD交BA延长线GDGDEABCF6.
(1)求线段CD长
(2)H边BF∠HDF∠E连接CH求证:∠BCH45°﹣∠EBC.
(1)解:连接BD
∠ABC90°AD∥BC∠GAD90°
∵BF⊥CD
∴∠DFE90°
∵DGDE∠GDA∠EDF
∴△GAD≌△EFD
∴DADF
∵BDBD
∴Rt△BAD≌Rt△BFD(HL)
∴BFBA∠ADB∠BDF
∵CF6
∴BC
∵AD∥BC
∴∠ADB∠CBD
∴∠BDF∠CBD
∴CDCB8.
(2)证明:∵AD∥BC
∴∠E∠CBF
∵∠HDF∠E
∴∠HDF∠CBF
(1)∠ADB∠CBD
∴∠HDB∠HBD
∴HDHB
(1)CDCB
∴△CDH≌△CBH
∴∠DCH∠BCH
∴∠BCH∠BCD.
6图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°∠D45°.
(1)AB6cm求梯形ABCD面积
(2)EFGH分梯形ABCD边ABBCCDDA点满足EFGH∠EFH∠FHG求证:HDBE+BF.
解:(1)连ACC作CM⊥ADM图
Rt△ABC中AB6sin∠ACB
∴AC10
∴BC8
Rt△CDM中∠D45°
∴DMCMAB6
∴AD6+814
∴梯形ABCD面积•(8+14)•666(cm2)
(2)证明:G作GN⊥AD图
∵∠D45°
∴△DNG等腰直角三角形
∴DNGN
∵AD∥BC
∴∠BFH∠FHN
∠EFH∠FHG
∴∠BFE∠GHN
∵EFGH
∴Rt△BEF≌Rt△NGH
∴BEGNBFHN
∴DAAN+DNAN+DGBF+BE.
7已知:图▱ABCD中角线ACBD相交点O延长CDFDFCD连接BF交AD点E.
(1)求证:AEED
(2)ABBC求∠CAF度数.
(1)证明:图.
∵四边形ABCD行四边形
∴AB∥CDABCD.
∵DFCD
∴AB∥DF.
∵DFCD
∴ABDF.
∴四边形ABDF行四边形
∴AEDE.
(2)解:∵四边形ABCD行四边形ABBC
∴四边形ABCD菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠COD90°.
∵四边形ABDF行四边形
∴AF∥BD.
∴∠CAF∠COD90°.
8已知:图正方形ABCD中点GBC延长线点连接AG分交BDCD点EF.
(1)求证:∠DAE∠DCE
(2)CGCE时试判断CFEG间样数量关系?证明结.
(1)证明:△DAE△DCE中
∠ADE∠CDE(正方形角线分角)
EDDE(公边)
AECE(正方形四条边长相等)
∴△DAE≌△DCE (SAS)
∴∠DAE∠DCE(全等三角形应角相等)
(2)解:图(1)知△DAE≌△DCE
∴AEEC
∴∠EAC∠ECA(等边等角)
∵CGCE(已知)
∴∠G∠CEG(等边等角)
∠CEG2∠EAC(外角定理)
∠ECB2∠CEG(外角定理)
∴4∠EAC﹣∠ECA∠ACB45°
∴∠G∠CEG30°
点C作CH⊥AG点H
∴∠FCH30°
∴直角△ECH中EHCHEG2CH
直角△FCH中CHCF
∴EG2×CF3CF.
9图已知正方形ABCD点EBC点点FCD延长线点连接EFBEDF点PEF中点.
(1)求证:DP分∠ADC
(2)∠AEB75°AB2求△DFP面积.
(1)证明:连接PC.
∵ABCD正方形
∴∠ABE∠ADF90°ABAD.
∵BEDF
∴△ABE≌△ADF.(SAS)
∴∠BAE∠DAFAEAF.
∴∠EAF∠BAD90°.
∵PEF中点
∴PAEFPCEF
∴PAPC.
ADCDPD公
∴△PAD≌△PCD(SSS)
∴∠ADP∠CDPDP分∠ADC
(2)作PH⊥CFH点.
∵PEF中点
∴PHEC.
设ECx.
(1)知△EAF等腰直角三角形
∴∠AEF45°
∴∠FEC180°﹣45°﹣75°60°
∴EF2xFCxBE2﹣x.
Rt△ABE中22+(2﹣x)2(x)2解 x1﹣2﹣2(舍)x2﹣2+2.
∴PH﹣1+FD(﹣2+2)﹣2﹣2+4.
∴S△DPF(﹣2+4)×3﹣5.
10图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°BDBCECD中点交BC延长线F
(1)证明:EFEA
(2)D作DG⊥BCG连接EG试证明:EG⊥AF.
(1)证明:
∵AD∥BC
∴∠DAE∠F∠ADE∠FCE.
∵ECD中点
∴EDEC.
∴△ADE≌△FCE.
∴EFEA.(5分)
(2)解:连接GA
∵AD∥BC∠ABC90°
∴∠DAB90°.
∵DG⊥BC
∴四边形ABGD矩形.
∴BGADGABD.
∵BDBC
∴GABC.
(1)△ADE≌△FCE
∴ADFC.
∴GFGC+FCGC+ADGC+BGBCGA.
∵(1)EFEA
∴EG⊥AF.(5分)
11图直角梯形ABCD中∠DAB90°AB∥CDABAD∠ABC60度.AD边直角梯形ABCD外作等边三角形ADF点E直角梯形ABCD点∠EAD∠EDA15°连接EBEF.
(1)求证:EBEF
(2)延长FE交BC点G点G恰BC中点AB6求BC长.
(1)证明:∵△ADF等边三角形
∴AFAD∠FAD60°(1分)
∵∠DAB90°∠EAD15°ADAB(2分)
∴∠FAE∠BAE75°ABAF(3分)
∵AE公边
∴△FAE≌△BAE(4分)
∴EFEB(5分)
(2)解:图连接EC.(6分)
∵等边三角形△ADF中
∴FDFA
∵∠EAD∠EDA15°
∴EDEA
∴EFAD垂直分线∠EFA∠EFD30°.(7分)
(1)△FAE≌△BAE知∠EBA∠EFA30°.
∵∠FAE∠BAE75°
∴∠BEA∠BAE∠FEA75°
∴BEBA6.
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB180°
∴∠GEB30°
∵∠ABC60°
∴∠GBE30°
∴GEGB.(8分)
∵点GBC中点
∴EGCG
∵∠CGE∠GEB+∠GBE60°
∴△CEG等边三角形
∴∠CEG60°
∴∠CEB∠CEG+∠GEB90°(9分)
∴Rt△CEB中BC2CEBC2CE2+BE2
∴CE
∴BC(10分)
解法二:C作CQ⊥ABQ
∵CQABAD6
∵∠ABC60°
∴BC6÷4.
12图梯形ABCD中AD∥BCABDCAD∠C60°AE⊥BD点EFCD中点DG梯形ABCD高.
(1)求证:AEGF
(2)设AE1求四边形DEGF面积.
(1)证明:∵ABDC
∴梯形ABCD等腰梯形.
∵∠C60°
∴∠BAD∠ADC120°
∵ABAD
∴∠ABD∠ADB30°.
∴∠DBC∠ADB30°.
∴∠BDC90°.(1分)
已知AE⊥BD
∴AE∥DC.(2分)
∵AE等腰三角形ABD高
∴EBD中点
∵FDC中点
∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四边形AEFD行四边形.(3分)
∴AEDF(4分)
∵FDC中点DG梯形ABCD高
∴GFDF(5分)
∴AEGF.(6分)
(2)解:Rt△AED中∠ADB30°
∵AE1
∴AD2.
Rt△DGC中∠C60°
DCAD2
∴DG.(8分)
(1)知:行四边形AEFD中EFAD2
∵DG⊥BC
∴DG⊥EF
∴四边形DEGF面积EF•DG.(10分)
13已知图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°DE⊥AC点F交BC点G交AB延长线点EAEAC连AG.
(1)求证:FCBE
(2)ADDC2求AG长.
解答:(1)证明:∵∠ABC90°DE⊥AC点F
∴∠ABC∠AFE.
∵ACAE∠EAF∠CAB
∴△ABC≌△AFE
∴ABAF.
∴AE﹣ABAC﹣AF
FCBE
(2)解:∵ADDC2DF⊥AC
∴AFACAE.
∴AGCG
∴∠E30°.
∵∠EAD90°
∴∠ADE60°
∴∠FAD∠E30°
∴FC
∵AD∥BC
∴∠ACG∠FAD30°
∴CG2
∴AG2.
14图直角梯形ABCD中AD∥BC∠ABC90°点EAB边点AEBCDE⊥EC取DC中点F连接AFBF.
(1)求证:ADBE
(2)试判断△ABF形状说明理.
(1)证明:∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC180°
∵∠ABC90°
∴∠BAD∠ABC90°
∵DE⊥EC
∴∠AED+∠BEC90°
∵∠AED+∠ADE90°
∴∠BEC∠ADE
∵∠DAE∠EBCAEBC
∴△EAD≌△EBC
∴ADBE.
(2)答:△ABF等腰直角三角形.
理:延长AF交BC延长线M
∵AD∥BM
∴∠DAF∠M
∵∠AFD∠CFMDFFC
∴△ADF≌△MFC
∴ADCM
∵ADBE
∴BECM
∵AEBC
∴ABBM
∴△ABM等腰直角三角形
∵△ADF≌△MFC
∴AFFM
∴∠ABC90°
∴BF⊥AMBFAMAF
∴△AFB等腰直角三角形.
15(2011•潼南县)图直角梯形ABCD中AB∥CDAD⊥DCABBCAE⊥BC.
(1)求证:ADAE
(2)AD8DC4求AB长.
解答:(1)证明:连接AC
∵AB∥CD
∴∠ACD∠BAC
∵ABBC
∴∠ACB∠BAC
∴∠ACD∠ACB
∵AD⊥DCAE⊥BC
∴∠D∠AEC90°
∵ACAC
∴
∴△ADC≌△AEC(AAS)
∴ADAE
(2)解:(1)知:ADAEDCEC
设ABxBEx﹣4AE8
Rt△ABE中∠AEB90°
勾股定理:82+(x﹣4)2x2
解:x10
∴AB10.
说明:评分标准方法:点C作CF⊥AB证明计算均分.
16图已知梯形ABCD中AD∥CBEF分BDAC中点BD分∠ABC.
(1)求证:AE⊥BD (2)AD4BC14求EF长.
(1)证明:∵AD∥CB
∴∠ADB∠CBD
BD分∠ABC
∴∠ABD∠CBD
∴∠ADB∠ABD
∴ABAD∴△ABD等腰三角形
已知EBD中点
∴AE⊥BD.
(2)解:延长AE交BCG
∵BD分∠ABC
∴∠ABE∠GBE
∵AE⊥BD(已证)
∴∠AEB∠GEB
BEBE
∴△ABE≌△GBE
∴AEGEBGABAD
FAC中点(已知)
三角形中位线定理:
EFCG(BC﹣BG)(BC﹣AD)
×(14﹣4)5.
答:EF长5.
17图梯形ABCD中AD∥BC∠D90°BE⊥ACE垂足ACBC.
(1)求证:CDBE
(2)AD3DC4求AE.
(1)证明:∵AD∥BC
∴∠DAC∠BCEBE⊥AC
∴∠D∠BEC90°ACBC
∴△BCE≌△CAD.
∴CDBE.
(2)解:Rt△ADC中根勾股定理AC5
∵△BCE≌△CAD
∴CEAD3.
∴AEAC﹣CE2.
18图梯形ABCD中AD∥BCAB⊥AC∠B45°AD1BC4求DC长.
解:图点D作DF∥AB分交ACBC点EF.(1分)
∵AB⊥AC
∴∠AED∠BAC90度.
∵AD∥BC
∴∠DAE180°﹣∠B﹣∠BAC45度.
Rt△ABC中∠BAC90°∠B45°BC4∴ACBC•sin45°4×2(2分)
Rt△ADE中∠AED90°∠DAE45°AD1∴DEAE.∴CEAC﹣AE.(4分)
Rt△DEC中∠CED90°∴DC.(5分)
19已知梯形ABCD中AD∥BCABBCDC点EF分ADAB.
(1)求证:BFEF﹣ED
(2)连接AC∠B80°∠DEC70°求∠ACF度数.
证明:∵FCF′CECEC∠ECF'∠BCF+∠DCE∠ECF
∴△FCE≌△F′CE
∴EF′EFDF′+ED
∴BFEF﹣ED
(2)解:∵ABBC∠B80°
∴∠ACB50°
(1)∠FEC∠DEC70°
∴∠ECB70°
∠B∠BCD80°
∴∠DCE10°
∴∠BCF30°
∴∠ACF∠BCA﹣∠BCF20°.
20图梯形ABCD中AD∥BC点EBCAEBEAF⊥AB连接EF.
(1)EF⊥AFAF4AB6求 AE长.
(2)点FCD中点求证:CEBE﹣AD.
解:(1)作EM⊥AB交AB点M.∵AEBEEM⊥AB
∴AMBM×63
∵∠AME∠MAF∠AFE90°
∴四边形AMEF矩形
∴EFAM3
Rt△AFE中AE5
(2)延长AFBC交点N.
∵AD∥EN
∴∠DAF∠N
∵∠AFD∠NFCDFFC
∴△ADF≌△NCF(AAS)
∴ADCN
∵∠B+∠N90°∠BAE+∠EAN90°
AEBE∠B∠BAE
∴∠N∠EANAEEN
∴BEENEC+CNEC+AD
∴CEBE﹣AD.
.21图四边形ABCD等腰梯形AD∥BCABCD角线ACBD交点OAC⊥BDDH⊥BC.
(1)求证:DH(AD+BC)
(2)AC6求梯形ABCD面积.
解:(1)证明:D作DE∥AC交BC延长线E(1分)
∵AD∥BC
∴四边形ACED行四边形.(2分)
∴CEADDEAC.
∵四边形ABCD等腰梯形
∴BDACDE.
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD.
∴△DBE等腰直角三角形.(4分)
∵DH⊥BC
∴DHBE(CE+BC)(AD+BC).(5分)
(2)∵ADCE
∴.(7分)
∵△DBE等腰直角三角形BDDE6
∴.
∴梯形ABCD面积18.(8分)
注:题解题方法唯.
22已知图△ABC等边三角形AC边点D作DG∥BC交AB点GGD延长线取点EDEDC连接AEBD.
(1)求证:△AGE≌△DAB
(2)点E作EF∥DB交BC点F连AF求∠AFE度数.
(1)证明:∵△ABC等边三角形DG∥BC
∴∠AGD∠ABC60°∠ADG∠ACB60°∠BAC60°
∴△AGD等边三角形
AGGDAD∠AGD60°.
∵DEDC∴GEGD+DEAD+DCACAB
∵∠AGD∠BADAGAD
∴△AGE≌△DAB
(2)解:(1)知AEBD∠ABD∠AEG.
∵EF∥DBDG∥BC
∴四边形BFED行四边形.
∴EFBD
∴EFAE.
∵∠DBC∠DEF
∴∠ABD+∠DBC∠AEG+∠DEF∠AEF∠ABC60°.
∴△AFE等边三角形∠AFE60°.
23图梯形ABCD中AD∥BCDEECEF∥AB交BC点FEFEC连接DF.
(1)试说明梯形ABCD等腰梯形
(2)AD1BC3DC试判断△DCF形状
(3)条件(2)射线BC否存点P△PCD等腰三角形存请直接写出PB长存请说明理.
解:(1)证明:∵EFEC
∴∠EFC∠ECF
∵EF∥AB
∴∠B∠EFC
∴∠B∠ECF∴梯形ABCD等腰梯形
(2)△DCF等腰直角三角形
证明:∵DEECEFEC∴EFCD
∴△CDF直角三角形(果三角形边中线等条边半三角形直角三角形)
∵梯形ABCD等腰梯形
∴CF(BC﹣AD)1
∵DC
∴勾股定理:DF1
∴△DCF等腰直角三角形
(3)四种情况:
∵DF⊥BC
∴PFCF时△PCD等腰三角形
PF1
∴PB1
PF重合时△PCD等腰三角形
∴PB2
PCCD(P点C左侧)时△PCD等腰三角形
∴PB3﹣
PCCD(P点C右侧)时△PCD等腰三角形
∴PB3+.
四种情况:PB1PB2PB3﹣PB3+.(1分)
24图梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°ADDCEF分ADDC延长线DECF.AF交BEP.
(1)证明:△ABE≌△DAF
(2)求∠BPF度数.
解答:(1)证明:∵梯形ABCD中AD∥BC∠ABC∠BCD60°
∴ABCD
∵ADDC
∴BAAD∠BAE∠ADF120°
∵DECF
∴AEDF
△BAE△ADF中
∴△ABE≌△DAF(SAS).
(2)解:∵(1)△BAE≌△ADF
∴∠ABE∠DAF.
∴∠BPF∠ABE+∠BAP∠BAE.
AD∥BC∠C∠ABC60°
∴∠BPF120°.
25图梯形ABCD中AD∥BCABADDCBD⊥DCBC延长点FCFCD.
(1)求∠ABC度数
(2)果BC8求△DBF面积?
解答:解:(1)∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∵ABAD
∴∠ADB∠ABD
∴∠DBC∠ABD
∵梯形ABCD中ABDC
∴∠ABC∠DCB2∠DBC
∵BD⊥DC
∴∠DBC+2∠DBC90°
∴∠DBC30°
∴∠ABC60°
(2)点D作DH⊥BC垂足H
∵∠DBC30°BC8
∴DC4
∵CFCD∴CF4
∴BF12
∵∠F+∠FDC∠DCB60°∠F∠FDC
∴∠F30°
∵∠DBC30°
∴∠F∠DBC
∴DBDF
∴
直角三角形DBH中
∴
∴
∴
△DBF面积.
26图梯形ABCD中AD∥BCABDC10cmAC交BDG∠AGD60°EF分CGAB中点.
(1)求证:△AGD正三角形
(2)求EF长度.
(1)证明:连接BE
∵梯形ABCD中ABDC
∴ACBD证△ABC≌△DCB
∴∠GCB∠GBC
∵∠BGC∠AGD60°
∴△AGD等边三角形
(2)解:∵BE△BCG中线
∴BE⊥AC
Rt△ABE中EF斜边AB中线
∴EFAB5cm.
27已知图AD∥BC∠ABC90°ABBC点EAB点∠ECD45°连接EDD作DF⊥BCF.
(1)∠BEC75°FC3求梯形ABCD周长.
(2)求证:EDBE+FC.
解:(1)∵∠BEC75°∠ABC90°
∴∠ECB15°
∵∠ECD45°
∴∠DCF60°
Rt△DFC中:∠DCF60°FC3
∴DF3DC6
题四边形ABFD矩形
∴ABDF3
∵ABBC
∴BC3
∴BFBC﹣FC3﹣3
∴ADDF3﹣3
∴C梯形ABCD3×2+6+3﹣39+3
答:梯形ABCD周长9+3.
实种方法啦
(2)点C作CM垂直AD延长线M延长DMNMNBE
∴CNCE
证∠NCD∠DCE∵CDCD
∴△DEC≌△DNC
∴EDEN
∴EDBE+FC.
28已知:图梯形ABCD中AD∥BCEAB中点直线CE交DA延长线点F.
(1)求证:△BCE≌△AFE
(2)AB⊥BCBC4AB6求EF长.
(1)证明:∵AD∥BCEAB中点
∴AEBE∠B∠EAF∠BCE∠F.
∴△BCE≌△AFE(AAS).
(2)解:∵AD∥BC
∴∠DAB∠ABC90°.
∵AEBE∠AEF∠BEC
∴△BCE≌△AFE.
∴AFBC4.
∵EF2AF2+AE29+1625
∴EF5.
29已知:图梯形ABCD中AD∥BCBCDCCF分∠BCDDF∥ABBF延长线交DC点E.
求证:
(1)△BFC≌△DFC
(2)ADDE
(3)△DEF周长6AD2BC5求梯形ABCD面积.
(1)∵DCBC∠1∠2CFCF
∴△DCF≌△BCF.
(2)延长DF交BCG
∵AD∥BGAB∥DG
∴四边形ABGD行四边形.
∴ADBG.
∵△DFC≌△BFC
∴∠EDF∠GBFDFBF.
∵∠3∠4
∴△DFE≌△BFG.
∴DEBGEFGF.
∴ADDE.
(3)∵EFGFDFBF
∴EF+BFGF+DF:BEDG.
∵DGAB
∴BEAB.
∵C△DFEDF+FE+DE6
∴BF+FE+DE6:EB+DE6.
∴AB+AD6.
∵AD2
∴AB4.
∴DGAB4.
∵BGAD2
∴GCBC﹣BG5﹣23.
∵DCBC5
△DGC中∵42+3252
∴DG2+GC2DC2
∴∠DGC90°.
∴S梯形ABCD(AD+BC)•DG
(2+5)×4
14.
30图梯形ABCD中AD∥BC.∠C90°ABAD.连接BDA点作BD垂线交BCE.
(1)求证:四边形ABED菱形
(2)果EC3cmCD4cm求梯形ABCD面积.
解答:解:(1)证明:∵AD∥BC DE2CD2+CE242+3225
∴∠OAD∠OEB ∴DE5
∵ABADAO⊥BD ∴ADBE5
∴OBOD ∴S梯形ABCD.
∵∠AOD∠EOB
∴△ADO≌△EBO(AAS)
∴ADEB
∵AD∥BE
∴四边形ABCD行四边形
∵ABAD
∴四边形ABCD菱形.
(2)∵四边形ABCD菱形
∴ADDEBE
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