微专题11 排列组合二项式定理概率
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T10·概型
2018·全国卷Ⅰ·T15·排列组合
2018·全国卷Ⅱ·T8·古典概型
2018·全国卷Ⅲ·T5·二项式定理
2018·天津高考·T10·二项式定理
1排列组合高中数学中占特殊位置高考必考容少单独命题考查利排列组合知识计算古典概型
2二项式定理求二项展开式特定项特定项系数二项式系数题目难度般
3概率机变量分布列高考命题热点命题形式道选择填空题道解答题
考 排列组合
例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)2位女生4位男生中选3参加科技赛少1位女生入选选法________种(数字填写答案)
(2)(2018·浙江高考)13579中取2数字0246中取2数字组成________没重复数字四位数(数字作答)
解析 (1)解法：根题意没女生入选C＝4(种)选法6名学生中意选3C＝20(种)选法少1位女生入选选法20－4＝16(种)
解法二：分两种情况：第种情况1位女生入选选法CC＝12(种)第二种情况2位女生入选选法CC＝4(种)根分类加法计数原理知少1位女生入选选法16种
(2)取4数字包括0组成四位数数CCA取4数字包括0组成四位数数CCCA综组成没重复数字四位数数CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260
答案 (1)16 (2)1 260
求解排列组合问题思路：排组分清加明确序排列序组合分类相加分步相具体说解排列组合应题通常途径：
(1)元素体先满足特殊元素求考虑元素
(2)位置体先满足特殊位置求考虑位置
(3)先考虑附加条件计算出排列组合数减符合求排列组合数
解答计数问题利分类整合思想分类应标准进行确保漏重
变|式|训|练
1．(2018·沈阳教学质量监测)4原站位置重新站成排恰1站原位置站法( )
A．4种 B．8种
C．12种 D．24种
解析 4重排恰1站原位置C种站法剩3站原位置2种站法C×2＝8(种)站法选B
答案 B
2．(2018·开封高三定位考试)某实行高考改革考生参加语文数学英语统考试外需物理化学生物政治历史理六科中选考三科学生甲想报考某高校法学专业必须物理政治历史三科中少选考科学生甲选考方法种数( )
A．6 B．12
C．18 D．19
解析 解法：物理政治历史中选科选法CC＝9(种)物理政治历史中选两科选法CC＝9(种)物理政治历史三科选选法1种学生甲选考方法9＋9＋1＝19(种)选D
解法二：六科中选考三科选法C种中包括没选物理政治历史中意科种选法1种学生甲选考方法C－1＝19(种)选D
答案 D
考二 二项式定理
例2 (1)(2018·全国卷Ⅲ)5展开式中x4系数( )
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)5展开式中整理常数项________
解析 (1)题Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r令10－3r＝4r＝2C·2r＝C×22＝40选C
(2)妨设x>05＝10通项公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r令5－r＝0解r＝5常数项＝C＝252
答案 (1)C (2)252
二项式定理关题型解法
题型
解法
求特定项系数
常采二项展开式通项分析求解
系数差
常赋值法
似值问题
利展开式截取部分项求解
整(余数)问题
利展开式求解
变|式|训|练
1．已知(x2＋2x＋3y)5展开式中x5y2系数( )
A．60 B．180
C．520 D．540
解析 (x2＋2x＋3y)5作5(x2＋2x＋3y)相中选2yC种选法剩余三括号里边选出2x2括号选出xC·C种选法x5y2系数32C·C·2·C＝540选D
答案 D
2．(ax＋)5展开式中x3项系数20实数a＝________
解析 展开式通项Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx令5－＝3r＝4a·C＝20解a＝4
答案 4
考三 古典概型概型
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果哥德巴赫猜想2偶数表示两素数30＝7＋23超30素数中机选取两数等30概率( )
A． B．
C． D．
(2)正六边形ABCDEF边长1正六边形机取点M△MAB面积概率________
解析 (1)超30素数235711131719232910中机选取两数C＝45(种)取法7＋23＝11＋19＝13＋17＝30机选取两数等303种取法概率＝选C
(2)图示作出正六边形ABCDEF中心O点O作OG⊥AB垂足GOG长中心OAB边距离易知∠AOB＝＝60°OA＝OB△AOB等边三角形OA＝OB＝AB＝1OG＝OA·sin60°＝1×＝角线CF点AB距离设△MAB中AB边高hS△MAB＝×1×h>解h>△MAB面积需满足h>需M位CF方概型△MAB面积概率P＝＝
答案 (1)C (2)
(1)解答关古典概型概率问题关键正确求出基事件总数求事件包含基事件数常计数原理排列组合相关知识
(2)构成试验结果区域长度面积体积弧长夹角等时应考虑概型求解
变|式|训|练
1．(2018·四川绵阳二诊)颗骰子先抛掷2次观察点数第次点数记m第二次点数记n曲线C：＋＝1曲线C焦点x轴离心率e≤概率等( )
A． B．
C． D．
解析 离心率e≤ ≤解≥列举法m＝6时n＝543m＝5时n＝43m＝4时n＝32m＝3时n＝2m＝2时n＝19种情况概率＝选D
答案 D
2．(2018·衡水金卷模拟)国数学家邹元治利图证明勾股定理该图中勾(a)股(b)分表示直角三角形两条直角边弦(c)表示斜边现已知该图中勾3股4图中机取点点落中间正方形中概率( )
A． B．
C． D．
解析 a＝3b＝4题意c＝5正方形边长a＋b＝3＋4＝7正方形边长c＝5正方形面积49正方形面积25满足题意概率值1－＝选B
答案 B
考四 条件概率相互独立事件概率
例4 (1)图ABCDO圆心半径2圆接正方形EFGH正方形ABCD接正方形EFGH分ABBCCDDA中点枚针机掷圆OM表示事件针落正方形ABCDN表示事件针落正方形EFGHP(N|M)等( )
A． B．
C． D．
(2)图示某快递公司送货员公司A处准备开车送货某单位B处A→C→D→BA→E→F→B两条路线该路段发生堵车否相互独立路段发生堵车事件概率图示(例A→C→D算作两路段路段AC发生堵车事件概率路段CD发生堵车事件概率)途中发生堵车事件概率较AB应选择路线________
解析 (1)题意圆O半径2接正方形ABCD边长AB＝2正方形ABCD面积S1＝(2)2＝8EFGH分ABBCCDDA中点EF＝×2R＝2正方形EFGH面积S2＝22＝4P(N|M)＝＝选C
(2)路线A→C→D→B途中发生堵车事件概率P1＝1－××＝路线A→E→F→B途中发生堵车事件概率P2＝1－××＝<应选择路线A→E→F→B
答案 (1)C (2)A→E→F→B
求相互独立事件独立重复试验概率注意点
(1)求复杂事件概率正确分析复杂事件构成分析复杂事件转化彼互斥事件事件转化相互独立事件时发生积事件然概率公式求解
(2)注意辨独立重复试验基特征：①次试验中试验结果发生发生两种情况②次试验中事件发生概率相
变|式|训|练
1．(2018·汕头模拟)甲乙两参加社会义核心价值观知识竞赛甲乙两荣获等奖概率分甲乙两否获等奖相互独立两中恰获等奖概率( )
A． B．
C． D．
解析 根题意恰获等奖甲获乙没获甲没获乙获求概率×＋×＝选D
答案 D
2．(2018·厦门二模)袋中装2红球3黄球放回抽取3次次抽取1球3次中恰2次抽黄球概率( )
A． B．
C． D．
解析 袋中装2红球3黄球放回抽取3次次抽取1球次取黄球概率P1＝3次中恰2次抽黄球概率P＝C2＝选D
答案 D
3．(2018·南昌模拟)口袋中装形状相红球2白球3黄球1甲中放回逐取球已知第次取红球第二次取白球概率________
解析 口袋中装形状相红球2白球3黄球1甲中放回逐取球设事件A表示第次取红球事件B表示第二次取白球P(A)＝＝P(AB)＝×＝第次取红球第二次取白球概率P(B|A)＝＝＝
答案
1．(考)(2018·南昌调研)某校毕业典礼6节目考虑整体效果节目演出序求：节目甲必须排前三位节目丙丁必须排起该校毕业典礼节目演出序编排方案( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析 解法：记演出序1～6号丙丁排序进行分类丙丁占12号23号34号45号56号排法分AAAACAACAACAA总编排方案AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)选A
解法二：记演出序1～6号甲编排进行分类①甲1号位置时丙丁相邻情况4种CAA＝48(种)②甲2号位置时丙丁相邻情况3种CAA＝36(种)③甲3号位置时丙丁相邻情况3种CAA＝36(种)编排方案48＋36＋36＝120(种)选A
答案 A
2．(考二)(2018·湖南湘东联考)(x＋a)(1＋2x)5展开式中x3系数20a＝________
解析 (x＋a)(1＋2x)5展开式中x3系数C·22＋a·C·23＝2040＋80a＝20解a＝－
答案 －
3．(考三)(2018·漳州二模)甲乙丙丁戊5名学参加语知识赛决出第1名第5名名次甲乙两名参赛者询问成绩回答者甲说然成绩乙俩没第名乙说然会差述回答分析丙第名概率( )
A． B．
C． D．
解析 甲乙第名第名丙丁戊考虑限制条件丙丁戊没影响三获第名等概率事件丙第名概率选B
答案 B
4．(考三)已知定义区间[－33]单调函数f(x)满足：意x∈[－33]f(f(x)－2x)＝6[－33]机取实数xf(x)值4概率( )
A． B．
C． D．
解析 题意设意x∈[－33]f(x)－2x＝a中a常数a∈[－33]f(a)＝6f(a)－2a＝a6－2a＝aa＝2f(x)＝2x＋2f(x)≥4x≥1求概率＝选C
答案 C
5．(考四)(2018·珠海模)夏秋两季生活长江口外浅海域中华鱼洄游长江历三千公里溯流搏击回金沙江带产卵繁殖产幼鱼长15厘米左右携带旅居外海环保组织金沙江中放生批中华鱼鱼苗该批鱼苗中雌性体长成熟概率015雌性体长成熟成功溯流产卵繁殖概率005该批鱼苗中雌性体长江口外浅海域已长成熟成功溯流产卵繁殖概率( )
A．005 B．0007 5
C． D．
解析 设事件A鱼苗中雌性体长江口外浅海域长成熟事件B该雌性体成功溯流产卵繁殖题意知P(A)＝015P(AB)＝005P(B|A)＝＝＝选C
答案 C
6．(考四)(2018·全国卷Ⅲ)某群体中位成员移动支付概率p成员支付方式相互独立设X该群体10位成员中移动支付数D(X)＝24P(X＝4)A．07 B．06
C．04 D．03
解析 题意X～B(10p)DX＝np(1－p)p＝04p＝06P(X＝4)＝Cp4(1－p)605p＝06选B
答案 B
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T10·概型
2018·全国卷Ⅰ·T15·排列组合
2018·全国卷Ⅱ·T8·古典概型
2018·全国卷Ⅲ·T5·二项式定理
2018·天津高考·T10·二项式定理
1排列组合高中数学中占特殊位置高考必考容少单独命题考查利排列组合知识计算古典概型
2二项式定理求二项展开式特定项特定项系数二项式系数题目难度般
3概率机变量分布列高考命题热点命题形式道选择填空题道解答题
考 排列组合
例1 (1)(2018·全国卷Ⅰ)2位女生4位男生中选3参加科技赛少1位女生入选选法________种(数字填写答案)
(2)(2018·浙江高考)13579中取2数字0246中取2数字组成________没重复数字四位数(数字作答)
解析 (1)解法：根题意没女生入选C＝4(种)选法6名学生中意选3C＝20(种)选法少1位女生入选选法20－4＝16(种)
解法二：分两种情况：第种情况1位女生入选选法CC＝12(种)第二种情况2位女生入选选法CC＝4(种)根分类加法计数原理知少1位女生入选选法16种
(2)取4数字包括0组成四位数数CCA取4数字包括0组成四位数数CCCA综组成没重复数字四位数数CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260
答案 (1)16 (2)1 260
求解排列组合问题思路：排组分清加明确序排列序组合分类相加分步相具体说解排列组合应题通常途径：
(1)元素体先满足特殊元素求考虑元素
(2)位置体先满足特殊位置求考虑位置
(3)先考虑附加条件计算出排列组合数减符合求排列组合数
解答计数问题利分类整合思想分类应标准进行确保漏重
变|式|训|练
1．(2018·沈阳教学质量监测)4原站位置重新站成排恰1站原位置站法( )
A．4种 B．8种
C．12种 D．24种
解析 4重排恰1站原位置C种站法剩3站原位置2种站法C×2＝8(种)站法选B
答案 B
2．(2018·开封高三定位考试)某实行高考改革考生参加语文数学英语统考试外需物理化学生物政治历史理六科中选考三科学生甲想报考某高校法学专业必须物理政治历史三科中少选考科学生甲选考方法种数( )
A．6 B．12
C．18 D．19
解析 解法：物理政治历史中选科选法CC＝9(种)物理政治历史中选两科选法CC＝9(种)物理政治历史三科选选法1种学生甲选考方法9＋9＋1＝19(种)选D
解法二：六科中选考三科选法C种中包括没选物理政治历史中意科种选法1种学生甲选考方法C－1＝19(种)选D
答案 D
考二 二项式定理
例2 (1)(2018·全国卷Ⅲ)5展开式中x4系数( )
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)5展开式中整理常数项________
解析 (1)题Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r令10－3r＝4r＝2C·2r＝C×22＝40选C
(2)妨设x>05＝10通项公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r令5－r＝0解r＝5常数项＝C＝252
答案 (1)C (2)252
二项式定理关题型解法
题型
解法
求特定项系数
常采二项展开式通项分析求解
系数差
常赋值法
似值问题
利展开式截取部分项求解
整(余数)问题
利展开式求解
变|式|训|练
1．已知(x2＋2x＋3y)5展开式中x5y2系数( )
A．60 B．180
C．520 D．540
解析 (x2＋2x＋3y)5作5(x2＋2x＋3y)相中选2yC种选法剩余三括号里边选出2x2括号选出xC·C种选法x5y2系数32C·C·2·C＝540选D
答案 D
2．(ax＋)5展开式中x3项系数20实数a＝________
解析 展开式通项Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx令5－＝3r＝4a·C＝20解a＝4
答案 4
考三 古典概型概型
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)国数学家陈景润哥德巴赫猜想研究中取世界领先成果哥德巴赫猜想2偶数表示两素数30＝7＋23超30素数中机选取两数等30概率( )
A． B．
C． D．
(2)正六边形ABCDEF边长1正六边形机取点M△MAB面积概率________
解析 (1)超30素数235711131719232910中机选取两数C＝45(种)取法7＋23＝11＋19＝13＋17＝30机选取两数等303种取法概率＝选C
(2)图示作出正六边形ABCDEF中心O点O作OG⊥AB垂足GOG长中心OAB边距离易知∠AOB＝＝60°OA＝OB△AOB等边三角形OA＝OB＝AB＝1OG＝OA·sin60°＝1×＝角线CF点AB距离设△MAB中AB边高hS△MAB＝×1×h>解h>△MAB面积需满足h>需M位CF方概型△MAB面积概率P＝＝
答案 (1)C (2)
(1)解答关古典概型概率问题关键正确求出基事件总数求事件包含基事件数常计数原理排列组合相关知识
(2)构成试验结果区域长度面积体积弧长夹角等时应考虑概型求解
变|式|训|练
1．(2018·四川绵阳二诊)颗骰子先抛掷2次观察点数第次点数记m第二次点数记n曲线C：＋＝1曲线C焦点x轴离心率e≤概率等( )
A． B．
C． D．
解析 离心率e≤ ≤解≥列举法m＝6时n＝543m＝5时n＝43m＝4时n＝32m＝3时n＝2m＝2时n＝19种情况概率＝选D
答案 D
2．(2018·衡水金卷模拟)国数学家邹元治利图证明勾股定理该图中勾(a)股(b)分表示直角三角形两条直角边弦(c)表示斜边现已知该图中勾3股4图中机取点点落中间正方形中概率( )
A． B．
C． D．
解析 a＝3b＝4题意c＝5正方形边长a＋b＝3＋4＝7正方形边长c＝5正方形面积49正方形面积25满足题意概率值1－＝选B
答案 B
考四 条件概率相互独立事件概率
例4 (1)图ABCDO圆心半径2圆接正方形EFGH正方形ABCD接正方形EFGH分ABBCCDDA中点枚针机掷圆OM表示事件针落正方形ABCDN表示事件针落正方形EFGHP(N|M)等( )
A． B．
C． D．
(2)图示某快递公司送货员公司A处准备开车送货某单位B处A→C→D→BA→E→F→B两条路线该路段发生堵车否相互独立路段发生堵车事件概率图示(例A→C→D算作两路段路段AC发生堵车事件概率路段CD发生堵车事件概率)途中发生堵车事件概率较AB应选择路线________
解析 (1)题意圆O半径2接正方形ABCD边长AB＝2正方形ABCD面积S1＝(2)2＝8EFGH分ABBCCDDA中点EF＝×2R＝2正方形EFGH面积S2＝22＝4P(N|M)＝＝选C
(2)路线A→C→D→B途中发生堵车事件概率P1＝1－××＝路线A→E→F→B途中发生堵车事件概率P2＝1－××＝<应选择路线A→E→F→B
答案 (1)C (2)A→E→F→B
求相互独立事件独立重复试验概率注意点
(1)求复杂事件概率正确分析复杂事件构成分析复杂事件转化彼互斥事件事件转化相互独立事件时发生积事件然概率公式求解
(2)注意辨独立重复试验基特征：①次试验中试验结果发生发生两种情况②次试验中事件发生概率相
变|式|训|练
1．(2018·汕头模拟)甲乙两参加社会义核心价值观知识竞赛甲乙两荣获等奖概率分甲乙两否获等奖相互独立两中恰获等奖概率( )
A． B．
C． D．
解析 根题意恰获等奖甲获乙没获甲没获乙获求概率×＋×＝选D
答案 D
2．(2018·厦门二模)袋中装2红球3黄球放回抽取3次次抽取1球3次中恰2次抽黄球概率( )
A． B．
C． D．
解析 袋中装2红球3黄球放回抽取3次次抽取1球次取黄球概率P1＝3次中恰2次抽黄球概率P＝C2＝选D
答案 D
3．(2018·南昌模拟)口袋中装形状相红球2白球3黄球1甲中放回逐取球已知第次取红球第二次取白球概率________
解析 口袋中装形状相红球2白球3黄球1甲中放回逐取球设事件A表示第次取红球事件B表示第二次取白球P(A)＝＝P(AB)＝×＝第次取红球第二次取白球概率P(B|A)＝＝＝
答案
1．(考)(2018·南昌调研)某校毕业典礼6节目考虑整体效果节目演出序求：节目甲必须排前三位节目丙丁必须排起该校毕业典礼节目演出序编排方案( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析 解法：记演出序1～6号丙丁排序进行分类丙丁占12号23号34号45号56号排法分AAAACAACAACAA总编排方案AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)选A
解法二：记演出序1～6号甲编排进行分类①甲1号位置时丙丁相邻情况4种CAA＝48(种)②甲2号位置时丙丁相邻情况3种CAA＝36(种)③甲3号位置时丙丁相邻情况3种CAA＝36(种)编排方案48＋36＋36＝120(种)选A
答案 A
2．(考二)(2018·湖南湘东联考)(x＋a)(1＋2x)5展开式中x3系数20a＝________
解析 (x＋a)(1＋2x)5展开式中x3系数C·22＋a·C·23＝2040＋80a＝20解a＝－
答案 －
3．(考三)(2018·漳州二模)甲乙丙丁戊5名学参加语知识赛决出第1名第5名名次甲乙两名参赛者询问成绩回答者甲说然成绩乙俩没第名乙说然会差述回答分析丙第名概率( )
A． B．
C． D．
解析 甲乙第名第名丙丁戊考虑限制条件丙丁戊没影响三获第名等概率事件丙第名概率选B
答案 B
4．(考三)已知定义区间[－33]单调函数f(x)满足：意x∈[－33]f(f(x)－2x)＝6[－33]机取实数xf(x)值4概率( )
A． B．
C． D．
解析 题意设意x∈[－33]f(x)－2x＝a中a常数a∈[－33]f(a)＝6f(a)－2a＝a6－2a＝aa＝2f(x)＝2x＋2f(x)≥4x≥1求概率＝选C
答案 C
5．(考四)(2018·珠海模)夏秋两季生活长江口外浅海域中华鱼洄游长江历三千公里溯流搏击回金沙江带产卵繁殖产幼鱼长15厘米左右携带旅居外海环保组织金沙江中放生批中华鱼鱼苗该批鱼苗中雌性体长成熟概率015雌性体长成熟成功溯流产卵繁殖概率005该批鱼苗中雌性体长江口外浅海域已长成熟成功溯流产卵繁殖概率( )
A．005 B．0007 5
C． D．
解析 设事件A鱼苗中雌性体长江口外浅海域长成熟事件B该雌性体成功溯流产卵繁殖题意知P(A)＝015P(AB)＝005P(B|A)＝＝＝选C
答案 C
6．(考四)(2018·全国卷Ⅲ)某群体中位成员移动支付概率p成员支付方式相互独立设X该群体10位成员中移动支付数D(X)＝24P(X＝4)
C．04 D．03
解析 题意X～B(10p)DX＝np(1－p)p＝04p＝06P(X＝4)＝Cp4(1－p)6
答案 B
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