高考二轮复习数学理配套讲义16 导数的简单应用

微专题16　导数简单应
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T5·函数奇偶性导数意义
2018·全国卷Ⅱ·T13·导数意义
2018·全国卷Ⅲ·T14·导数意义
2017·全国卷Ⅱ·T11·利导数求函数极值
2016·全国卷Ⅲ·T15·导数意义
　　1部分容高考命题热点容选择题填空题中考查导数意义难度较
2应导数研究函数单调性极值值选择题填空题题位置考查难度中等偏属综合性问题时常解答题第问中考查难度般

考 导数计算意义
例1　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋axf (x)奇函数曲线y＝f (x)点(00)处切线方程(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
(2)(2018·天津高考)已知函数f (x)＝exlnxf ′(x)f (x)导函数f ′(1)值________
解析　(1)解法：函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax奇函数f (－x)＝－f (x)(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]2(a－1)x2＝0x∈Ra＝1f (x)＝x3＋xf ′(x)＝3x2＋1f ′(0)＝1曲线y＝f (x)点(00)处切线方程y＝x选D
解法二：函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax奇函数f (－1)＋f (1)＝0(－1＋a－1－a)＋(1＋a－1＋a)＝0解a＝1f (x)＝x3＋xf ′(x)＝3x2＋1f ′(0)＝1曲线y＝f (x)点(00)处切线方程y＝x选D
解法三：易知f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]f (x)奇函数函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a偶函数a－1＝0解a＝1f (x)＝x3＋xf ′(x)＝3x2＋1f ′(0)＝1曲线y＝f (x)点(00)处切线方程y＝x选D
(2)题意f ′(x)＝exlnx＋ex·f ′(1)＝e
答案　(1)D　(2)e

(1)求曲线切线注意点P切线点P处切线差异点P切线中点P定切点点P定已知曲线点P处切线必点P切点
(2)利导数意义解题利导数切点坐标切线斜率间关系进行转化行垂直直线斜率间关系载体求参数值求掌握行垂直斜率间关系进导数联系起求解
变|式|训|练
1．(2018·合肥质检)已知直线2x－y＋1＝0曲线y＝aex＋x相切(中e然数底数)实数a值(　　)
A．　　　　B．1 C．2　　　　D．e
解析　题意知y′＝aex＋1＝2a>0x＝－lna代入曲线方程y＝1－lna切线方程y－(1－lna)＝2(x＋lna)y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1选B
答案　B
2．(2018·广州调研)已知直线y＝kx－2曲线y＝xlnx相切实数k值________
解析　y＝xlnxy′＝lnx＋1设直线y＝kx－2曲线y＝xlnx相切点P(x0y0)切线方程y－y0＝(lnx0＋1)(x－x0)直线y＝kx－2恒点(0－2)点(0－2)切线(0－2)y0＝x0lnx0代入切线方程x0＝2P(22ln2)(22ln2)代入直线方程y＝kx－2k＝1＋ln2
答案　1＋ln2
考二 导数函数单调性
微考1：利导数求函数单调区间
例2　已知函数f (x)＝－lnx＋x2＋5单调递增区间(　　)
A．(01] B．[01]
C．(0＋∞) D．(1＋∞)
解析　题意知函数f (x)定义域(0＋∞)f (x)＝－lnx＋x2＋5f ′(x)＝－＋x＝(x2－1)⇒⇒⇒x>1选D
答案　D

导数求y＝f (x)单调区间应转化求f ′(x)>0f ′(x)<0解集应注意函数定义域果函数具相单调性区间止单调区间∪连接应隔开
变|式|训|练
已知函数f (x)＝x2＋3x－2lnx函数f (x)单调递减区间________
解析　函数f (x)＝x2＋3x－2lnx定义域(0＋∞)f ′(x)＝2x＋3－令2x＋3－<02x2＋3x－2<0解x∈x∈(0＋∞)x∈函数f (x)单调递减区间
答案　
微考2：利导数求参数取值范围
例3　(1)设函数f (x)＝区间(aa＋2)单调递增实数a取值范围________
(2)已知函数g(x)＝kx3－x－2区间(12)单调实数k取值范围________
解析　(1)函数f (x)定义域(0＋∞)f ′(x)＝f ′(x)＝>0解0(2)题意g′(x)＝3kx2－1①k≤0时g′(x)＝3kx2－1≤0g(x)(12)单调递减满足题意②k>0时g(x)单调递减单调递增函数g(x)区间(12)单调1< <2解答案　(1)[0e－2]　(2)

根函数y＝f (x)区间(ab)单调性求参数范围方法
(1)函数y＝f (x)区间(ab)单调递增转化f ′(x)≥0区间(ab)恒成立求解
(2)函数y＝f (x)区间(ab)单调递减转化f ′(x)≤0区间(ab)恒成立求解
(3)函数y＝f (x)区间(ab)单调转化f ′(x)区间(ab)变号f ′(x)区间(ab)恒正恒负
(4)函数y＝f (x)区间(ab)单调转化f ′(x)＝0区间(ab)解
变|式|训|练
1．f (x)＝－x2＋bln(x＋2)(－1＋∞)减函数b取值范围________
解析　f (x)＝－x2＋bln(x＋2)(－1＋∞)减函数意x∈(－1＋∞)f ′(x)＝－x＋≤0需b≤x(x＋2)(－1＋∞)恒成立令y＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1(－1＋∞)y>－1b取值范围b≤－1
答案　(－∞－1]
2．函数f (x)＝x2－ex－axR存单调递增区间实数a取值范围________
解析　函数f (x)＝x2－ex－axf ′(x)＝2x－ex－a函数f (x)＝x2－ex－axR存单调递增区间f ′(x)＝2x－ex－a>0解a<2x－ex解令g(x)＝2x－exg′(x)＝2－exg′(x)＝2－ex＝0x＝ln2g′(x)＝2－ex>0xln2x＝ln2时g(x)max＝2ln2－2a<2ln2－2实数a取值范围(－∞2ln2－2)
答案　(－∞2ln2－2)
微考3：导数等式
例4　(2018·德州模拟)设偶函数f (x)定义∪导函数f ′(x)02f cosx解集(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析　令g(x)＝f (x)定义∪偶函数g(x)定义∪偶函数02f cosx化>g(x)>g|x|答案　C

题考查利导数研究等式问题利导数研究等式恒成立问题等式解集问题根已知求合理构造函数求导进行求解题中关键利f ′(x)cosx＋f (x)sinx<0f (x)>2f cosx联系构造函数g(x)＝
变|式|训|练
(2018·益阳湘潭调研)π圆周率e然数底数3ee3eππ33ππe六数中数数分(　　)
A．3e3π B．3eeπ
C．e3π3 D．πe3π
解析　构造函数f (x)＝f (x)定义域(0＋∞)求导f ′(x)＝f ′(x)>00e时函数f (x)单调递减函数f (x)单调递增区间(0e)单调递减区间(e＋∞)e<3<πeln3π33ee3eππ33ππe六数中数3π理数3e选A
答案　A
考三 导数函数极值值
例5　(1)(2018·河南漯河四模)设函数f (x)R导导函数f ′(x)函数y＝(1－x)f ′(x)图象图示列结定成立(　　)

A．x＝1f (x)极值点
B．x＝1f (x)极值点
C．x＝－1f (x)极值点
D．x＝－1f (x)极值点
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝2sinx＋sin2xf (x)值________
解析　(1)绘制表格考查函数性质：
区间
(－∞－1)
(－11)
(1＋∞)
1－x符号
＋
＋
－
y＝(1－x)f ′(x)符号
－
＋
－
f ′(x)符号
－
＋
＋
f (x)单调性
单调递减
单调递增
单调递增
函数f (x)x＝－1处取极值x＝1处极值选D
(2)解法：f (x)＝2sinx＋sin2xf ′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4·(cosx＋1)f ′(x)≥0≤cosx≤12kπ－≤x≤2kπ＋k∈Zf ′(x)≤0－1≤cosx≤2kπ＋π≥x≥2kπ＋2kπ－π≤x≤2kπ－k∈Zx＝2kπ－(k∈Z)时f (x)取值f (x)min＝f ＝2sin＋sin2＝－
解法二：f (x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)[f (x)]2＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3设cosx＝ty＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)－10解法三：f (x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)[f (x)]2＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3≤·4＝仅3(1－cosx)＝1＋cosxcosx＝时取等号0≤[f (x)]2≤－≤f (x)≤f (x)值－
解法四：f (x)值解cosx＝1cosx＝－1cosx＝点处取应sinx值次：sinx＝0sinx＝0sinx＝±显然f (x)min＝2××＝－
答案　(1)D　(2)－

(1)求函数f (x)极值需先求方程f ′(x)＝0根检查f ′(x)方程根左右函数值符号
(2)已知极值存情况转化已知方程f ′(x)＝0根存情况求解
(3)求函数f (x)闭区间[ab]值时极值基础结合区间端点函数值f (a)f (b)f (x)极值进行较函数值求f (x)(ab)值需讨函数单调性
变|式|训|练
1．设函数f (x)(mn)导函数g(x)x∈(mn)g(x)导函数零恒成立称函数f (x)(mn)凸函数已知a≤2时f (x)＝x3－ax2＋xx∈(－12)凸函数函数f (x)(－12)结正确(　　)
A．极值极值
B．极值没极值
C．没极值极值
D．没极值没极值
解析　g(x)＝f ′(x)＝x2－ax＋1已知g′(x)＝x－a<0x∈(－12)时恒成立a≥2已知a≤2a＝2时f ′(x)＝0x1＝2－x2＝2＋∉(－12)x∈(－12－)时f ′(x)>0x∈(2－2)时f ′(x)<0函数f (x)(－12)极值没极值选B
答案　B
2．(2018·贵州联考)已知函数f (x)＝lnx－函数f (x)[1e]值a值(　　)
A．－ B．－
C．－ D．e
解析　题意f ′(x)＝＋a≥0f ′(x)>0函数单调递增f (x)min＝f (1)＝－a＝矛盾－e答案　A

1．(考)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex点(01)处切线斜率－2a＝________
解析　y′＝aex＋(ax＋1)exf ′(0)＝a＋1＝－2a＝－3
答案　－3
2．(考二)(2018·安徽黄山八校联考)已知f (x)R导函数∀x∈R均f ′(x)<2f (x)(　　)
A．e4 034f (－2 017)e4 034f (0)
B．e4 034f (－2 017)C．e4 034f (－2 017)>f (0)f (2 017)>e4 034f (0)
D．e4 034f (－2 017)>f (0)f (2 017)解析　构造函数g(x)＝g′(x)＝f ′(x)<2f (x)g′(x)<0g(x)R单调递减g(－2 017)>g(0)>e4 034f (－2 017)>f (0)理g(2 017)答案　D
3．(考二)(2018·河南联考)函数f (x)＝mx2－lnx－(1＋∞)单调递增实数m取值范围________
解析　f ′(x)＝2mx－＋≥0(1＋∞)恒成立m≥值令y＝y′＝＝0解x＝x＝时ymax＝m≥
答案　
4．(考三)(2018·广东中山二测)设函数f (x)＝xsinxx＝x0处取极值(1＋x)(1＋cos2x0)值(　　)
A．1 B．－1
C．－2 D．2
解析　题意f ′(x)＝sinx＋xcosxf (x)x＝x0处取极值f ′(x0)＝sinx0＋x0cosx0＝0x0＝－＝－tanx0(1＋x)(1＋cos2x0)＝(1＋tan2x0)·(1＋cos2x0)＝×2cos2x0＝2选D
答案　D
5．(考三)(2018·汕头质检)已知函数f (x)＝－mx(e然数底数)f (x)>0(0＋∞)恒成立实数m取值范围(　　)
A．(－∞2) B．(－∞e)
C． D．
解析　f (x)＝－mx>0(0＋∞)恒成立m<(0＋∞)恒成立令g(x)＝x>0g′(x)＝＝02时g′(x)>0g(x)单调递增x＝2时g(x)取值值g(2)＝m<选C
答案　C


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