微专题17 命题章——数学文化高考命题
教育部考试中心函件关2017年普通高考考试纲修订容通知求增加中华优秀传统文化考核容积极培育践行社会义核心价值观充分发挥高考命题育功积极导作数学中增加数学文化容特策划专题数学文化数学知识相结合选取典型样题深度解读
考|题|统|计
卷
题型
题号
考查角度
2018年全国卷Ⅰ
选择题
10题
概型
2018年全国卷Ⅱ
选择题
8题
古典概型
2018年全国卷Ⅲ
选择题
3题
三视图
2018年北京高考
选择题
4题
等数列
预测1：古代数学书籍九章算术数书九章等书背景数学文化类题目
预测2：高等数学相衔接题目类特殊函数：取整函数狄利克雷函数符号函数
预测3：课阅读课题背景数学文化类题目：辗转相法更相减损术秦九韶算法进位制割圆术阿氏圆等
预测4：中外典数学问题背景题目：回文数匹克定理哥尼斯堡七桥问题四色猜想等典数学问题
考 数列中数学文化
例1 (2018·安徽模拟)中国古代数学名著九章算术中样问题：牛马羊食苗苗责粟五斗羊曰：羊食半马马曰：马食半牛欲衰偿问出？问题译文：牛马羊吃禾苗禾苗求赔偿5斗粟羊说：羊吃禾苗马半马说：马吃禾苗牛半算率偿应偿少？已知牛马羊应偿粟a升b升c升1斗10升列判断正确( )
A．abc成公2等数列a＝
B．abc成公2等数列c＝
C．abc成公等数列a＝
D．abc成公等数列c＝
解析 题意abc成公等数列b＝ac＝b三者50升4c＋2c＋c＝50解c＝选D
答案 D
题九章算术背景考查国优秀传统文化意考查考生阅读理解力解决实际问题力
美题尝试1 (2017·全国卷Ⅱ)国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红光点点倍加增灯三百八十请问尖头盏灯？意思：座7层塔挂381盏灯相邻两层中层灯数层灯数2倍塔顶层灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析 题意知层灯数组成等数列该数列前7项S7＝381公q＝2设塔顶层灯盏数a1S7＝＝381解a1＝3选B
答案 B
考二 三角函数中数学文化
例2 古希腊数学家海伦著作测术中记载著名海伦公式利三角形三边长求三角形面积三角形三边分abc面积S＝里p＝已知△ABC中BC＝6AB＝2AC△ABC面积时sinA＝________
解析 设AC＝xAB＝2x海伦公式
S＝
＝
＝
≤·＝12仅x2－4＝36－x2x＝2AC＝2AB＝4时等式取等号△ABC面积值12时余弦定理cosA＝＝sinA＝＝
答案
题具定综合性考查知识点较涉基等式余弦定理角三角函数基关系求解题关键设元基础根三角形面积计算公式写出△ABC面积表达式利基等式确定值
美题尝试2 (2017·浙江高考)国古代数学家刘徽创立割圆术估算圆周率π理π值计算意精度祖继承发展割圆术π值精确数点七位结果领先世界千年割圆术第步计算单位圆接正六边形面积S6S6＝________
解析 图连接正六边形角线正六边形分成六边长1正三角形S6＝6××12×sin60°＝
答案
考三 算法中数学文化
例3 (2018·贵阳监测)国明数学家程位著算法统宗里道闻名世界题目：百馒头百僧僧三更争僧三分尚丁？图示程序框图反映题求解算法输出n值( )
A．20 B．25
C．30 D．35
解析 解法：执行程序框图n＝20m＝80S＝60＋＝86≠100n＝21m＝79S＝63＋＝89≠100n＝22m＝78S＝66＋＝92≠100n＝23m＝77S＝69＋＝94≠100n＝24m＝76S＝72＋＝97≠100n＝25m＝75S＝75＋＝100退出循环输出n＝25
解法二：设尚x尚y解根程序框图知n值尚数n＝25
答案 B
算法统宗国古代部数学巨著题通僧分馒头体现方程思想折射出古代民智慧增强民族豪感
美题尝试3 秦九韶国南宋时期数学家普州安岳(现四川省安岳县)著数书九章中提出项式求值秦九韶算法较先进算法图示程序框图出利秦九韶算法求某项式值实例输入nx值分43输出v值( )
A．20 B．61 C．183 D．548
解析 初始值nx值分43程序运行程：v＝1i＝3≥0v＝1×3＋3＝6i＝2≥0v＝6×3＋2＝20i＝1≥0v＝20×3＋1＝61i＝0≥0v＝61×3＋0＝183i＝－1<0跳出循环输出v值183选C
答案 C
考四 立体中数学文化
例4 (2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分榫头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体榫头图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图( )
A B
C D
解析 题意知咬合时带卯眼木构件中俯视方榫头见虚线结合榫头位置知选A
答案 A
题通三视图考查古代建筑木件结构果考生木件结构没定认识缺乏常见生活常识想象出木件结构构成难答题体现高考考生社会实践力断提高求趋势
美题尝试4 祖暅原理：幂势积容异幂截面积势体高意思两等高体等高处截面面积恒相等体积相等已知某规体三视图应体满足幂势该规体体积( )
A．4－ B．8－
C．8－π D．8－2π
解析 祖暅原理知该规体体积已知三视图体体积相等根题设三视图知题图中体正方体中挖半圆柱正方体体积23＝8半圆柱体积×(π×12)×2＝π该规体体积8－π选C
答案 C
考五 概率中数学文化
例5 (2018·全国卷Ⅰ)图古希腊数学家希波克拉底研究图形图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC△ABC三边围成区域记Ⅰ黑色部分记Ⅱ余部分记Ⅲ整图形中机取点点取ⅠⅡⅢ概率分记p1p2p3( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析 解法：设直角三角形ABC角ABC边分abca2＝b2＋c2区域Ⅰ面积S1＝bc区域Ⅱ面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bcS1＝S2概型知识知p1＝p2选A
解法二：妨设△ABC等腰直角三角形AB＝AC＝2BC＝2区域Ⅰ面积S1＝×2×2＝2区域Ⅱ面积S2＝π×12－＝2区域Ⅲ面积S3＝－2＝π－2根概型概率计算公式p1＝p2＝p3＝p1≠p3p2≠p3p1≠p2＋p3选A
答案 A
中国古代文学作品中选取素材考查数学问题丰富数学文化题取材途径试题插图创新题亮点增强数学问题生活化数学应更贴考生生活实际二利考生分析问题解决问题稳定考生考试中情绪心态起较效果三探索数学试题插图新形式出抽象数学问题直观化范例
美题尝试5 种电子计时器显示时间方式图示数字固定全等矩形显示池中显示数字干全等深色区域组成已知显示数字8显示池中机取点A点A落深色区域概率显示数字0显示池中机取点B点B落深色区域概率( )
A． B．
C． D．
解析 数字87深色区域组成P(A)＝整矩形显示池面积14深色区域面积数字06深色区域组成P(B)＝＝选C
答案 C
考六 现代科技中数学文化
例6 (2017·全国卷Ⅰ)位学生响应国家创业号召开发款应软件激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项
202122类推求满足条件整数N：N>100该数列前N项2整数幂该款软件激活码( )
A．440 B．330
C．220 D．110
解析 分段考虑数列112124…12…2k－1…该数列前1＋2＋…＋k＝项S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2>100k∈Nk≥14时k＋2<2k＋1k＋2等数列12…2k＋1部分k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1k＝2s－3≥14满足题意s＝5时k＝25－3＝29应满足条件N＋5＝440
答案 A
题学生创业背景设计道具时代意义试题纳推理演绎推理机结合起考查学生分析问题解决问题力
美题尝试6 根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接( )
(参考数：lg3≈048)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析 ＝>0lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈9328≈1093选D
答案 D
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教育部考试中心函件关2017年普通高考考试纲修订容通知求增加中华优秀传统文化考核容积极培育践行社会义核心价值观充分发挥高考命题育功积极导作数学中增加数学文化容特策划专题数学文化数学知识相结合选取典型样题深度解读
考|题|统|计
卷
题型
题号
考查角度
2018年全国卷Ⅰ
选择题
10题
概型
2018年全国卷Ⅱ
选择题
8题
古典概型
2018年全国卷Ⅲ
选择题
3题
三视图
2018年北京高考
选择题
4题
等数列
预测1：古代数学书籍九章算术数书九章等书背景数学文化类题目
预测2：高等数学相衔接题目类特殊函数：取整函数狄利克雷函数符号函数
预测3：课阅读课题背景数学文化类题目：辗转相法更相减损术秦九韶算法进位制割圆术阿氏圆等
预测4：中外典数学问题背景题目：回文数匹克定理哥尼斯堡七桥问题四色猜想等典数学问题
考 数列中数学文化
例1 (2018·安徽模拟)中国古代数学名著九章算术中样问题：牛马羊食苗苗责粟五斗羊曰：羊食半马马曰：马食半牛欲衰偿问出？问题译文：牛马羊吃禾苗禾苗求赔偿5斗粟羊说：羊吃禾苗马半马说：马吃禾苗牛半算率偿应偿少？已知牛马羊应偿粟a升b升c升1斗10升列判断正确( )
A．abc成公2等数列a＝
B．abc成公2等数列c＝
C．abc成公等数列a＝
D．abc成公等数列c＝
解析 题意abc成公等数列b＝ac＝b三者50升4c＋2c＋c＝50解c＝选D
答案 D
题九章算术背景考查国优秀传统文化意考查考生阅读理解力解决实际问题力
美题尝试1 (2017·全国卷Ⅱ)国古代数学名著算法统宗中问题：远巍巍塔七层红光点点倍加增灯三百八十请问尖头盏灯？意思：座7层塔挂381盏灯相邻两层中层灯数层灯数2倍塔顶层灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析 题意知层灯数组成等数列该数列前7项S7＝381公q＝2设塔顶层灯盏数a1S7＝＝381解a1＝3选B
答案 B
考二 三角函数中数学文化
例2 古希腊数学家海伦著作测术中记载著名海伦公式利三角形三边长求三角形面积三角形三边分abc面积S＝里p＝已知△ABC中BC＝6AB＝2AC△ABC面积时sinA＝________
解析 设AC＝xAB＝2x海伦公式
S＝
＝
＝
≤·＝12仅x2－4＝36－x2x＝2AC＝2AB＝4时等式取等号△ABC面积值12时余弦定理cosA＝＝sinA＝＝
答案
题具定综合性考查知识点较涉基等式余弦定理角三角函数基关系求解题关键设元基础根三角形面积计算公式写出△ABC面积表达式利基等式确定值
美题尝试2 (2017·浙江高考)国古代数学家刘徽创立割圆术估算圆周率π理π值计算意精度祖继承发展割圆术π值精确数点七位结果领先世界千年割圆术第步计算单位圆接正六边形面积S6S6＝________
解析 图连接正六边形角线正六边形分成六边长1正三角形S6＝6××12×sin60°＝
答案
考三 算法中数学文化
例3 (2018·贵阳监测)国明数学家程位著算法统宗里道闻名世界题目：百馒头百僧僧三更争僧三分尚丁？图示程序框图反映题求解算法输出n值( )
A．20 B．25
C．30 D．35
解析 解法：执行程序框图n＝20m＝80S＝60＋＝86≠100n＝21m＝79S＝63＋＝89≠100n＝22m＝78S＝66＋＝92≠100n＝23m＝77S＝69＋＝94≠100n＝24m＝76S＝72＋＝97≠100n＝25m＝75S＝75＋＝100退出循环输出n＝25
解法二：设尚x尚y解根程序框图知n值尚数n＝25
答案 B
算法统宗国古代部数学巨著题通僧分馒头体现方程思想折射出古代民智慧增强民族豪感
美题尝试3 秦九韶国南宋时期数学家普州安岳(现四川省安岳县)著数书九章中提出项式求值秦九韶算法较先进算法图示程序框图出利秦九韶算法求某项式值实例输入nx值分43输出v值( )
A．20 B．61 C．183 D．548
解析 初始值nx值分43程序运行程：v＝1i＝3≥0v＝1×3＋3＝6i＝2≥0v＝6×3＋2＝20i＝1≥0v＝20×3＋1＝61i＝0≥0v＝61×3＋0＝183i＝－1<0跳出循环输出v值183选C
答案 C
考四 立体中数学文化
例4 (2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑助榫卯木构件连接起构件凸出部分榫头凹进部分卯眼图中木构件右边长方体榫头图摆放木构件某带卯眼木构件咬合成长方体咬合时带卯眼木构件俯视图( )
A B
C D
解析 题意知咬合时带卯眼木构件中俯视方榫头见虚线结合榫头位置知选A
答案 A
题通三视图考查古代建筑木件结构果考生木件结构没定认识缺乏常见生活常识想象出木件结构构成难答题体现高考考生社会实践力断提高求趋势
美题尝试4 祖暅原理：幂势积容异幂截面积势体高意思两等高体等高处截面面积恒相等体积相等已知某规体三视图应体满足幂势该规体体积( )
A．4－ B．8－
C．8－π D．8－2π
解析 祖暅原理知该规体体积已知三视图体体积相等根题设三视图知题图中体正方体中挖半圆柱正方体体积23＝8半圆柱体积×(π×12)×2＝π该规体体积8－π选C
答案 C
考五 概率中数学文化
例5 (2018·全国卷Ⅰ)图古希腊数学家希波克拉底研究图形图三半圆构成三半圆直径分直角三角形ABC斜边BC直角边ABAC△ABC三边围成区域记Ⅰ黑色部分记Ⅱ余部分记Ⅲ整图形中机取点点取ⅠⅡⅢ概率分记p1p2p3( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
解析 解法：设直角三角形ABC角ABC边分abca2＝b2＋c2区域Ⅰ面积S1＝bc区域Ⅱ面积S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bcS1＝S2概型知识知p1＝p2选A
解法二：妨设△ABC等腰直角三角形AB＝AC＝2BC＝2区域Ⅰ面积S1＝×2×2＝2区域Ⅱ面积S2＝π×12－＝2区域Ⅲ面积S3＝－2＝π－2根概型概率计算公式p1＝p2＝p3＝p1≠p3p2≠p3p1≠p2＋p3选A
答案 A
中国古代文学作品中选取素材考查数学问题丰富数学文化题取材途径试题插图创新题亮点增强数学问题生活化数学应更贴考生生活实际二利考生分析问题解决问题稳定考生考试中情绪心态起较效果三探索数学试题插图新形式出抽象数学问题直观化范例
美题尝试5 种电子计时器显示时间方式图示数字固定全等矩形显示池中显示数字干全等深色区域组成已知显示数字8显示池中机取点A点A落深色区域概率显示数字0显示池中机取点B点B落深色区域概率( )
A． B．
C． D．
解析 数字87深色区域组成P(A)＝整矩形显示池面积14深色区域面积数字06深色区域组成P(B)＝＝选C
答案 C
考六 现代科技中数学文化
例6 (2017·全国卷Ⅰ)位学生响应国家创业号召开发款应软件激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项
202122类推求满足条件整数N：N>100该数列前N项2整数幂该款软件激活码( )
A．440 B．330
C．220 D．110
解析 分段考虑数列112124…12…2k－1…该数列前1＋2＋…＋k＝项S＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k－1)＝(20－1)＋(21－1)＋…＋(2k－1)＝2k＋1－k－2>100k∈Nk≥14时k＋2<2k＋1k＋2等数列12…2k＋1部分k＋2＝1＋2＋…＋2s－1＝2s－1k＝2s－3≥14满足题意s＝5时k＝25－3＝29应满足条件N＋5＝440
答案 A
题学生创业背景设计道具时代意义试题纳推理演绎推理机结合起考查学生分析问题解决问题力
美题尝试6 根关资料围棋状态空间复杂度限M约3361观测宇宙中普通物质原子总数N约1080列数中接( )
(参考数：lg3≈048)
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
解析 ＝>0lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈9328≈1093选D
答案 D
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