微专题12 直线圆
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅲ·T6·直线圆位置关系应
2018·北京高考·T7·点直线距离值
2017·全国卷Ⅲ·T10·直线圆位置关系
2016·全国卷Ⅱ·T4·圆方程点直线距离
1圆方程两年高考全国课标卷命题热点需重点关注类试题难度中等偏选择题填空题形式呈现
2直线圆方程偶尔单独命题单独命题时定深度直线圆方程(特直线)考查体现圆锥曲线综合问题
考 直线方程
例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0行k值( )
A．13 B．15
C．35 D．12
(2)△ABC中A(11)B(m)(1A． B．
C． D．
解析 (1)k＝4时直线l1斜率存直线l2斜率存两直线行k≠4时两直线行必条件＝k－3解k＝3k＝5必须满足≠(截距等)充条件检验知满足条件选C
(2)两点间距离公式|AC|＝直线AC方程x－3y＋2＝0点B直线AC距离d＝△ABC面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝1答案 (1)C (2)B
直线方程应两关注点
(1)求解两条直线行问题时利A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数值注意代入检验排两条直线重合情况
(2)求直线方程时应根条件选择合适方程形式时考虑直线斜率存情况否符合题意
变|式|训|练
1．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1l2：x－y＝0l3：2x－my＝3l1关l2称直线l3垂直实数m值( )
A．－8 B．－
C．8 D．
解析 易知直线l1：4x＋y＝1关直线l2：x－y＝0称直线方程x＋4y＝1l3：2x－my＝3题意1×2＋4×(－m)＝0m＝选D
答案 D
2．(2018·河南名校联考)已知mnab∈R满足3m＋4n＝63a＋4b＝1值( )
A． B．
C．1 D．
解析 题理解点A(mn)点B(ab)分直线l1：3x＋4y＝6l2：3x＋4y＝1求AB两点距离值|AB|＝l1∥l2|AB|min＝＝1选C
答案 C
考二 圆方程
例2 (1)(2018·珠海联考)已知圆C直线x－y＝0x－y－4＝0相切圆心直线x＋y＝0圆C标准方程( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2018·贵阳摸底)点M(22)直线l坐标轴正方分相交AB两点O坐标原点△OAB面积8△OAB外接圆标准方程________
解析 (1)题意设圆心坐标(a－a)＝|a|＝|a－2|解a＝1圆心坐标(1－1)半径r＝＝圆C标准方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2选B
(2)解法：设直线l方程＋＝1(a>0b>0)直线l点M(22)＋＝1S△OAB＝ab＝8a＝4b＝4妨设A(40)B(04)△OAB外接圆方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0OAB坐标分代入解△OAB外接圆方程x2＋y2－4x－4y＝0标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝8
解法二：设直线l方程＋＝1(a>0b>0)直线l点M(22)＋＝1S△OAB＝ab＝8a＝4b＝4△OAB等腰直角三角形M斜边AB中点△OAB外接圆圆心点M(22)半径|OM|＝2△OAB外接圆标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝8
答案 (1)B (2)(x－2)2＋(y－2)2＝8
求圆方程两种方法
(1)法：通已知条件利相应知识求圆圆心半径
(2)代数法：定系数法先设出圆方程条件求系数
变|式|训|练
1．抛物线y2＝4x焦点垂直x轴直线相交AB两点准线x轴交点MMAB三点圆标准方程________
解析 题意知A(12)B(1－2)M(－10)△AMB点M直角顶点直角三角形线段AB求圆直径求圆标准方程(x－1)2＋y2＝4
答案 (x－1)2＋y2＝4
2．面直角坐标系xOy中点(10)圆心直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切圆中半径圆标准方程________
解析 解法：题意：半径等＝＝≤ ≤仅m＝1时取等号半径r＝求圆(x－1)2＋y2＝2
解法二：直线mx－y－2m－1＝0y＝m(x－2)－1恒点M(2－1)图设C(10)M切点时半径rmax＝|CM|＝＝半径圆标准方程(x－1)2＋y2＝2
答案 (x－1)2＋y2＝2
考三 直线圆位置关系
微考1：直线圆相交弦
例3 (1)已知点A(01)斜率k直线l圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交MN两点|MN|＝直线l方程________
(2)设直线x－y－a＝0圆x2＋y2＝4相交AB两点O坐标原点△AOB等边三角形实数a值( )
A．± B．± C．±3 D．±9
解析 (1)直线l方程y＝kx＋1圆心C(23)直线l距离d＝＝R2＝d2＋21＝＋解k＝2求直线l方程y＝2x＋1y＝x＋1
(2)题意知：圆心坐标(00)半径2△AOB边长2△AOB高圆心直线x－y－a＝0距离＝解a＝±选B
答案 (1)y＝2x＋1y＝x＋1 (2)B
(1)直线(圆)圆位置关系问题求解思路
研究直线圆位置关系通圆心直线距离半径较实现两圆位置关系判断两圆心距离两半径差较
(2)弦长求解方法
①根半径弦心距半弦长构成直角三角形构成三者间关系r2＝d2＋(中l弦长r圆半径d圆心直线距离)弦长l＝2
②根公式：l＝|x1－x2|求解(中l弦长x1x2直线圆相交交点横坐标k直线斜率)根l＝|y1－y2|求解
③求出交点坐标两点间距离公式求解
变|式|训|练
(2018·合肥模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0圆心C直线l(03)圆C交AB两点|AB|＝2直线l方程( )
A．3x＋4y－12＝04x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0x＝0
C．4x－3y＋9＝0x＝0
D．3x－4y＋12＝04x＋3y＋9＝0
解析 直线l斜率存时直线l方程x＝0圆心直线l距离d＝1|AB|＝2＝2符合题意直线l斜率存时设直线l方程y＝kx＋3圆x2＋y2－2x－2y－2＝0(x－1)2＋(y－1)2＝4圆心C(11)圆半径r＝2易知圆心C(11)直线y＝kx＋3距离d＝＝d2＋2＝r2＋3＝4解k＝－直线l方程y＝－x＋33x＋4y－12＝0综直线l方程3x＋4y－12＝0x＝0选B
答案 B
微考2：直线圆位置关系应
例4 (1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分x轴y轴交AB两点点P圆(x－2)2＋y2＝2△ABP面积取值范围( )
A．[26] B．[48]
C．[3] D．[23]
(2)(2018·北京高考)面直角坐标系中记d点P(cosθsinθ)直线x－my－2＝0距离θm变化时d值( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 (1)直线x＋y＋2＝0分x轴y轴交AB两点A(－20)B(0－2)|AB|＝2点P圆(x－2)2＋y2＝2圆心(20)圆心直线距离d1＝＝2点P直线x＋y＋2＝0距离d2取值范围[3]S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[26]选A
(2)解法：cos2θ＋sin2θ＝1P点轨迹原点圆心单位圆x－my－2＝0表示点(20)斜率0直线图点(－10)直线x＝2距离d值选C
解法二：题意
d＝＝
＝
＝
－1≤sin(θ－φ)≤1≤d≤＝1＋m＝0时d取值3选C
答案 (1)A (2)C
利圆图形特征求解关距离值问题常规方法简单便捷
变|式|训|练
1．(2018·太原五中模拟)已知k∈R点P(ab)直线x＋y＝2k圆x2＋y2＝k2－2k＋3公点ab值( )
A．15 B．9
C．1 D．－
解析 题意圆心直线x＋y＝2k距离d＝≤k2－2k＋3>0解－3≤k≤12ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3k＝－3时ab取值9选B
答案 B
2．(2018·山西晋中二模)直线y＝x＋1点P圆(x－3)2＋y2＝1引切线切线长值______
解析 设圆心M直线y＝x＋1距离dd＝＝2|PM|值2切线长l＝≥＝切线长值
答案
1．(考)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0l2：x＋ay＋2＝0中a∈Ra＝－3l1⊥l2( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
解析 直线l1⊥l2充条件a＋(a＋2)a＝0a(a＋3)＝0a＝0a＝－3选A
答案 A
2．(考二)(2018·安徽江南十校联考)已知圆C圆心直线x＋y＝0圆C直线x－y＝0相切直线x－y－3＝0截弦长圆C方程________
解析 求圆圆心直线x＋y＝0设求圆圆心(a－a)求圆直线x－y＝0相切半径r＝＝|a|求圆直线x－y－3＝0截弦长圆心(a－a)直线x－y－3＝0距离d＝d2＋2＝r2＋＝2a2解a＝1圆C方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
3．(考三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4圆C2：x2＋(y－b)2＝1条公切线ab∈Rab≠0＋值( )
A．2 B．4
C．8 D．9
解析 题意知圆C1圆心(－2a0)半径2圆C2圆心(0b)半径1两圆条公切线两圆切＝2－14a2＋b2＝1＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9仅＝4a2＋b2＝1a2＝b2＝时等号成立＋值9选D
答案 D
4．(考三)(2018·南宁柳州联考)点(0)作直线l曲线y＝相交AB两点O坐标原点△AOB面积取值时直线l斜率等______
解析
令P(0)图易知|OA|＝|OB|＝1S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤∠AOB＝90°时△AOB面积取值时点O作OH⊥AB点H|OH|＝sin∠OPH＝＝＝易知∠OPH锐角∠OPH＝30°直线AB倾斜角150°直线AB斜率tan150°＝－
答案 －
5．(考三)某学校2 500名学生中高1 000高二900高三600解学生身体健康状况采分层抽样方法校学生中抽取100高高三抽取样数分ab直线ax＋by＋8＝0A(1－1)圆心圆交BC两点∠BAC＝120°圆C方程________
解析 题意＝＝a＝40b＝24直线ax＋by＋8＝05x＋3y＋1＝0A(1－1)直线距离＝直线ax＋by＋8＝0A(1－1)圆心圆交BC两点∠BAC＝120°r＝圆C方程(x－1)2＋(y＋1)2＝
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅲ·T6·直线圆位置关系应
2018·北京高考·T7·点直线距离值
2017·全国卷Ⅲ·T10·直线圆位置关系
2016·全国卷Ⅱ·T4·圆方程点直线距离
1圆方程两年高考全国课标卷命题热点需重点关注类试题难度中等偏选择题填空题形式呈现
2直线圆方程偶尔单独命题单独命题时定深度直线圆方程(特直线)考查体现圆锥曲线综合问题
考 直线方程
例1 (1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0行k值( )
A．13 B．15
C．35 D．12
(2)△ABC中A(11)B(m)(1
C． D．
解析 (1)k＝4时直线l1斜率存直线l2斜率存两直线行k≠4时两直线行必条件＝k－3解k＝3k＝5必须满足≠(截距等)充条件检验知满足条件选C
(2)两点间距离公式|AC|＝直线AC方程x－3y＋2＝0点B直线AC距离d＝△ABC面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝1
直线方程应两关注点
(1)求解两条直线行问题时利A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数值注意代入检验排两条直线重合情况
(2)求直线方程时应根条件选择合适方程形式时考虑直线斜率存情况否符合题意
变|式|训|练
1．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1l2：x－y＝0l3：2x－my＝3l1关l2称直线l3垂直实数m值( )
A．－8 B．－
C．8 D．
解析 易知直线l1：4x＋y＝1关直线l2：x－y＝0称直线方程x＋4y＝1l3：2x－my＝3题意1×2＋4×(－m)＝0m＝选D
答案 D
2．(2018·河南名校联考)已知mnab∈R满足3m＋4n＝63a＋4b＝1值( )
A． B．
C．1 D．
解析 题理解点A(mn)点B(ab)分直线l1：3x＋4y＝6l2：3x＋4y＝1求AB两点距离值|AB|＝l1∥l2|AB|min＝＝1选C
答案 C
考二 圆方程
例2 (1)(2018·珠海联考)已知圆C直线x－y＝0x－y－4＝0相切圆心直线x＋y＝0圆C标准方程( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2018·贵阳摸底)点M(22)直线l坐标轴正方分相交AB两点O坐标原点△OAB面积8△OAB外接圆标准方程________
解析 (1)题意设圆心坐标(a－a)＝|a|＝|a－2|解a＝1圆心坐标(1－1)半径r＝＝圆C标准方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2选B
(2)解法：设直线l方程＋＝1(a>0b>0)直线l点M(22)＋＝1S△OAB＝ab＝8a＝4b＝4妨设A(40)B(04)△OAB外接圆方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0OAB坐标分代入解△OAB外接圆方程x2＋y2－4x－4y＝0标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝8
解法二：设直线l方程＋＝1(a>0b>0)直线l点M(22)＋＝1S△OAB＝ab＝8a＝4b＝4△OAB等腰直角三角形M斜边AB中点△OAB外接圆圆心点M(22)半径|OM|＝2△OAB外接圆标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝8
答案 (1)B (2)(x－2)2＋(y－2)2＝8
求圆方程两种方法
(1)法：通已知条件利相应知识求圆圆心半径
(2)代数法：定系数法先设出圆方程条件求系数
变|式|训|练
1．抛物线y2＝4x焦点垂直x轴直线相交AB两点准线x轴交点MMAB三点圆标准方程________
解析 题意知A(12)B(1－2)M(－10)△AMB点M直角顶点直角三角形线段AB求圆直径求圆标准方程(x－1)2＋y2＝4
答案 (x－1)2＋y2＝4
2．面直角坐标系xOy中点(10)圆心直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切圆中半径圆标准方程________
解析 解法：题意：半径等＝＝≤ ≤仅m＝1时取等号半径r＝求圆(x－1)2＋y2＝2
解法二：直线mx－y－2m－1＝0y＝m(x－2)－1恒点M(2－1)图设C(10)M切点时半径rmax＝|CM|＝＝半径圆标准方程(x－1)2＋y2＝2
答案 (x－1)2＋y2＝2
考三 直线圆位置关系
微考1：直线圆相交弦
例3 (1)已知点A(01)斜率k直线l圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交MN两点|MN|＝直线l方程________
(2)设直线x－y－a＝0圆x2＋y2＝4相交AB两点O坐标原点△AOB等边三角形实数a值( )
A．± B．± C．±3 D．±9
解析 (1)直线l方程y＝kx＋1圆心C(23)直线l距离d＝＝R2＝d2＋21＝＋解k＝2求直线l方程y＝2x＋1y＝x＋1
(2)题意知：圆心坐标(00)半径2△AOB边长2△AOB高圆心直线x－y－a＝0距离＝解a＝±选B
答案 (1)y＝2x＋1y＝x＋1 (2)B
(1)直线(圆)圆位置关系问题求解思路
研究直线圆位置关系通圆心直线距离半径较实现两圆位置关系判断两圆心距离两半径差较
(2)弦长求解方法
①根半径弦心距半弦长构成直角三角形构成三者间关系r2＝d2＋(中l弦长r圆半径d圆心直线距离)弦长l＝2
②根公式：l＝|x1－x2|求解(中l弦长x1x2直线圆相交交点横坐标k直线斜率)根l＝|y1－y2|求解
③求出交点坐标两点间距离公式求解
变|式|训|练
(2018·合肥模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0圆心C直线l(03)圆C交AB两点|AB|＝2直线l方程( )
A．3x＋4y－12＝04x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0x＝0
C．4x－3y＋9＝0x＝0
D．3x－4y＋12＝04x＋3y＋9＝0
解析 直线l斜率存时直线l方程x＝0圆心直线l距离d＝1|AB|＝2＝2符合题意直线l斜率存时设直线l方程y＝kx＋3圆x2＋y2－2x－2y－2＝0(x－1)2＋(y－1)2＝4圆心C(11)圆半径r＝2易知圆心C(11)直线y＝kx＋3距离d＝＝d2＋2＝r2＋3＝4解k＝－直线l方程y＝－x＋33x＋4y－12＝0综直线l方程3x＋4y－12＝0x＝0选B
答案 B
微考2：直线圆位置关系应
例4 (1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分x轴y轴交AB两点点P圆(x－2)2＋y2＝2△ABP面积取值范围( )
A．[26] B．[48]
C．[3] D．[23]
(2)(2018·北京高考)面直角坐标系中记d点P(cosθsinθ)直线x－my－2＝0距离θm变化时d值( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 (1)直线x＋y＋2＝0分x轴y轴交AB两点A(－20)B(0－2)|AB|＝2点P圆(x－2)2＋y2＝2圆心(20)圆心直线距离d1＝＝2点P直线x＋y＋2＝0距离d2取值范围[3]S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[26]选A
(2)解法：cos2θ＋sin2θ＝1P点轨迹原点圆心单位圆x－my－2＝0表示点(20)斜率0直线图点(－10)直线x＝2距离d值选C
解法二：题意
d＝＝
＝
＝
－1≤sin(θ－φ)≤1≤d≤＝1＋m＝0时d取值3选C
答案 (1)A (2)C
利圆图形特征求解关距离值问题常规方法简单便捷
变|式|训|练
1．(2018·太原五中模拟)已知k∈R点P(ab)直线x＋y＝2k圆x2＋y2＝k2－2k＋3公点ab值( )
A．15 B．9
C．1 D．－
解析 题意圆心直线x＋y＝2k距离d＝≤k2－2k＋3>0解－3≤k≤12ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3k＝－3时ab取值9选B
答案 B
2．(2018·山西晋中二模)直线y＝x＋1点P圆(x－3)2＋y2＝1引切线切线长值______
解析 设圆心M直线y＝x＋1距离dd＝＝2|PM|值2切线长l＝≥＝切线长值
答案
1．(考)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0l2：x＋ay＋2＝0中a∈Ra＝－3l1⊥l2( )
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
解析 直线l1⊥l2充条件a＋(a＋2)a＝0a(a＋3)＝0a＝0a＝－3选A
答案 A
2．(考二)(2018·安徽江南十校联考)已知圆C圆心直线x＋y＝0圆C直线x－y＝0相切直线x－y－3＝0截弦长圆C方程________
解析 求圆圆心直线x＋y＝0设求圆圆心(a－a)求圆直线x－y＝0相切半径r＝＝|a|求圆直线x－y－3＝0截弦长圆心(a－a)直线x－y－3＝0距离d＝d2＋2＝r2＋＝2a2解a＝1圆C方程(x－1)2＋(y＋1)2＝2
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
3．(考三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4圆C2：x2＋(y－b)2＝1条公切线ab∈Rab≠0＋值( )
A．2 B．4
C．8 D．9
解析 题意知圆C1圆心(－2a0)半径2圆C2圆心(0b)半径1两圆条公切线两圆切＝2－14a2＋b2＝1＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9仅＝4a2＋b2＝1a2＝b2＝时等号成立＋值9选D
答案 D
4．(考三)(2018·南宁柳州联考)点(0)作直线l曲线y＝相交AB两点O坐标原点△AOB面积取值时直线l斜率等______
解析
令P(0)图易知|OA|＝|OB|＝1S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤∠AOB＝90°时△AOB面积取值时点O作OH⊥AB点H|OH|＝sin∠OPH＝＝＝易知∠OPH锐角∠OPH＝30°直线AB倾斜角150°直线AB斜率tan150°＝－
答案 －
5．(考三)某学校2 500名学生中高1 000高二900高三600解学生身体健康状况采分层抽样方法校学生中抽取100高高三抽取样数分ab直线ax＋by＋8＝0A(1－1)圆心圆交BC两点∠BAC＝120°圆C方程________
解析 题意＝＝a＝40b＝24直线ax＋by＋8＝05x＋3y＋1＝0A(1－1)直线距离＝直线ax＋by＋8＝0A(1－1)圆心圆交BC两点∠BAC＝120°r＝圆C方程(x－1)2＋(y＋1)2＝
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝
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