微专题15 函数方程函数实际应
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T9·函数零点
2018·全国卷Ⅲ·T15·函数零点
2018·浙江高考·T11·方程组实际应
2017·全国卷Ⅲ·T11·函数零点
5年高考情况部分容直高考热点尤函数零点方程根数判定利零点存性定理判断零点否存零点存区间考查较频繁般会部分容知识函数图象性质结合起考查综合性较强般选择题填空题形式出现解题时充分利函数方程数形结合等思想
考 判断函数零点数区间
例1 (1)函数f (x)＝log2x－零点区间( )
A． B．
C．(12) D．(23)
(2)函数f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|零点数________
解析 (1)函数f (x)定义域(0＋∞)函数f (x)(0＋∞)增函数f ＝log2－＝－1－2＝－3<0f (1)＝log21－＝0－1<0f (2)＝log22－＝1－＝>0f (3)＝log23－>1－＝>0f (1)·f (2)<0函数f (x)＝log2x－零点区间(12)选C
(2)f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|令f (x)＝0sin2x＝|ln(x＋1)|坐标系中作出两函数y＝sin2x函数y＝|ln(x＋1)|致图象图示令ln(x＋1)＝1x＝e－1观察图象知两函数图象2交点函数f (x)2零点
答案 (1)C (2)2
(1)函数零点(方程根)确定问题常见类型：
①函数零点值致存区间确定
②零点数确定
③两函数图象交点横坐标交点确定
(2)判断函数零点数方法：
①解方程f (x)＝0直接求零点
②利零点存定理
③数形结合法：定函数直接求解画出图形常会通分解转化两画出函数图象交点问题
变|式|训|练
1．(2018·南宁摸底)设函数f (x)＝lnx－2x＋6f (x)零点数( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 令f (x)＝0lnx＝2x－6令g(x)＝lnxh(x)＝2x－6(x>0)面直角坐标系中画出两函数图象图示两函数图象交点数等函数f (x)零点数容易出函数f (x)零点数2选B
答案 B
2．已知函数f (x)满足：①定义域R②∀x∈Rf (x＋2)＝f (x)③x∈[－11]时f (x)＝－|x|＋1方程f (x)＝log2|x|区间[－35]解数( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 画出函数图象图示图知5解选A
答案 A
考二 根函数零点求参数范围
例2 已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)唯零点a＝( )
A．－ B． C． D．1
解析 解法：令f (x)＝0x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)设g(x)＝ex－1＋e－x＋1g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝g′(x)＝0时x＝1x<1时g′(x)<0函数g(x)(－∞1)单调递减x>1时g′(x)>0函数g(x)(1＋∞)单调递增x＝1时函数g(x)取值2设h(x)＝x2－2xx＝1时函数h(x)取值－1－a<0h(1)＝－ag(1)时时函数h(x)－ag(x)交点－a×2＝－1⇒a＝选C
解法二：f (2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f (x)f (x)图象关x＝1称f (x)唯零点f (x)零点x＝1f (1)＝－1＋2a＝0解a＝选C
答案 C
利函数零点情况求参数值取值范围方法
(1)利零点存判定定理构建等式求解
(2)分离参数转化求函数值域(值)问题求解
(3)转化两熟悉函数图象位置关系问题构建等式求解
变|式|训|练
已知区间(02]函数f (x)＝g(x)＝f (x)－mx区间(02]仅两零点实数m取值范围( )
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析
函数g(x)＝f (x)－mx(02]仅两零点y＝f (x)y＝mx(02]图象仅两交点y＝mxy＝－3x∈(01]相切时mx2＋3x－1＝0Δ＝9＋4m＝0m＝－结合图象－答案 A
考三 函数实际应
例3 (1)某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量(单位：万)数绘制面折线图
根该折线图列结错误( )
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
(2)某工厂某种产品年固定成250万元生产x千件该产品需投入成G(x)(单位：万元)年产量足80千件时G(x)＝x2＋10x年产量80千件时G(x)＝51x＋－1 450已知件产品售价005万元通市场分析该工厂生产产品全部售完该工厂产品生产中获年利润值________万元
解析 (1)通题图知A正确逐月增加年递增图观察C正确D正确1～6月较稳7～12月波动较选A
(2)件产品售价005万元x千件产品销售额005×1 000x＝50x(万元)①0答案 (1)A (2)1 000
解决函数实际应题2关键点
(1)认真读题缜密审题准确理解题意明确问题实际背景然进行科学抽象概括实际问题纳相应数学问题
(2)合理选取参变量设定变量寻找间联系选恰代数式表示问题中关系建立相应函数模型终求解数学模型实际问题获解
变|式|训|练
1．(2018·昆明调研)图1951～2016年国年均气温变化图
根图列结正确( )
A．1951年国年均气温逐年增高
B．1951年国年均气温2016年创新高
C．2000年国年均气温高1981～2010年均值
D．2000年国年均气温均值高1981～2010年均值
解析 1951～2016年国年均气温变化图出年均气温升高降低A错误2016年年均气温高B错误2012年年均气温低1981～2010年均值C错误2000年2012年年均气温低1981～2010年均值2000年国年均气温均值高1981～2010年均值D正确选D
答案 D
2．(2018·马鞍山模)某高校提升科研力计划逐年加科研费投入该高校2017年全年投入科研费1 300万元基础年投入科研费年增长12该高校全年投入科研费开始超2 000万元年份________(参考数：lg112≈005lg13≈011lg2≈030)( )
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析 2018年第年第n年科研费1 300×112n1 300×112n>2 000lg13＋nlg112>lg2n×005>019n>38n≥44年2021年科研费超2 000万元选B
答案 B
1．(考)(2018·昆明调研)已知函数f (x)＝函数f (x)零点数________
解析 解法：x>1时log2(x－1)＝0x＝2x＝2函数f (x)区间(1＋∞)零点x≤1时f (x)＝x3－3x＋1f ′(x)＝3x2－3f ′(x)＝0x＝－1x＝1x<－1时f ′(x)>0－1≤x≤1时f ′(x)≤0x＝－1函数f (x)＝x3－3x＋1(－∞1]极值点f (－1)＝3>0f (1)＝－1<0x→－∞时f (x)→－∞函数f (x)＝x3－3x＋1(－∞1]两零点综函数f (x)零点数3
解法二：x>1时作出函数y＝log2(x－1)图象图①示x≤1时f (x)＝x3－3x＋1＝0x3＝3x－1面直角坐标系中分作出函数y＝x3y＝3x－1图象图②示图①②知函数f (x)零点数3
答案 3
2．(考)(2018·洛阳统考)已知函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)＝f (x－1)(x∈R)0≤x≤1时f (x)＝2x－1方程|cosπx|－f (x)＝0[－13]根( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析 方程|cosπx|－f (x)＝0[－13]根y＝|cosπx|y＝f (x)[－13]图象交点横坐标f (1－x)＝f (1＋x)f (x)图象关直线x＝1称f (1－x)＝f (x－1)f (x)图象关y轴称f (1＋x)＝f (x－1)f (x)周期20≤x≤1时f (x)＝2x－1坐标系中作出y＝f (x)y＝|cosπx|[－13]致图象图示易知两图象[－13]11交点y＝f (x)y＝|cosπx|图象关直线x＝1称11交点关直线x＝1称根11选D
答案 D
3．(考二)已知函数f (x)＝－kx2(x∈R)四零点实数k取值范围( )
A．(－∞0) B．(－∞1)
C．(01) D．(1＋∞)
解析 x＝0函数f (x)零点函数f (x)＝－kx2(k∈R)四零点等价方程k＝三根方程＝|x|(x＋2)三根记函数g(x)＝|x|(x＋2)＝题意y＝y＝g(x)三交点作图知(图略)0<<1k>1选D
答案 D
4．(考二)(2018·四川统考)函数f (x)＝关x方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0五零点a取值范围( )
A．(12) B．
C． D．∪
解析
作出f (x)＝|x|＋1x≠0图象图示设t＝f (x)原方程化2t2－(2a＋3)t＋3a＝0图象知关x方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0五实数解直线y＝a函数y＝f (x)图象两公点时满足条件10解a≠综1答案 D
5．(考三)(2018·西城模拟)标准温度气压体血液中氢离子物质量浓度(单位：molL记作[H＋])氢氧根离子物质量浓度(单位：molL记作[OH－])积等常数10－14已知pH值定义pH＝－lg[H＋]健康体血液pH值保持735～745间健康体血液中________(参考数：lg2≈030lg3≈048)( )
A． B． C． D．
解析 [H＋]·[OH－]＝10－14＝[H＋]2×1014735<－lg[H＋]<74510－745<[H＋]<10－73510－09<＝1014·[H＋]2<10－0710－09＝>lg1007＝07>lg3>lg21007>3>210－07<<<<选C
答案 C
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T9·函数零点
2018·全国卷Ⅲ·T15·函数零点
2018·浙江高考·T11·方程组实际应
2017·全国卷Ⅲ·T11·函数零点
5年高考情况部分容直高考热点尤函数零点方程根数判定利零点存性定理判断零点否存零点存区间考查较频繁般会部分容知识函数图象性质结合起考查综合性较强般选择题填空题形式出现解题时充分利函数方程数形结合等思想
考 判断函数零点数区间
例1 (1)函数f (x)＝log2x－零点区间( )
A． B．
C．(12) D．(23)
(2)函数f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|零点数________
解析 (1)函数f (x)定义域(0＋∞)函数f (x)(0＋∞)增函数f ＝log2－＝－1－2＝－3<0f (1)＝log21－＝0－1<0f (2)＝log22－＝1－＝>0f (3)＝log23－>1－＝>0f (1)·f (2)<0函数f (x)＝log2x－零点区间(12)选C
(2)f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|令f (x)＝0sin2x＝|ln(x＋1)|坐标系中作出两函数y＝sin2x函数y＝|ln(x＋1)|致图象图示令ln(x＋1)＝1x＝e－1观察图象知两函数图象2交点函数f (x)2零点
答案 (1)C (2)2
(1)函数零点(方程根)确定问题常见类型：
①函数零点值致存区间确定
②零点数确定
③两函数图象交点横坐标交点确定
(2)判断函数零点数方法：
①解方程f (x)＝0直接求零点
②利零点存定理
③数形结合法：定函数直接求解画出图形常会通分解转化两画出函数图象交点问题
变|式|训|练
1．(2018·南宁摸底)设函数f (x)＝lnx－2x＋6f (x)零点数( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 令f (x)＝0lnx＝2x－6令g(x)＝lnxh(x)＝2x－6(x>0)面直角坐标系中画出两函数图象图示两函数图象交点数等函数f (x)零点数容易出函数f (x)零点数2选B
答案 B
2．已知函数f (x)满足：①定义域R②∀x∈Rf (x＋2)＝f (x)③x∈[－11]时f (x)＝－|x|＋1方程f (x)＝log2|x|区间[－35]解数( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 画出函数图象图示图知5解选A
答案 A
考二 根函数零点求参数范围
例2 已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)唯零点a＝( )
A．－ B． C． D．1
解析 解法：令f (x)＝0x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)设g(x)＝ex－1＋e－x＋1g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝g′(x)＝0时x＝1x<1时g′(x)<0函数g(x)(－∞1)单调递减x>1时g′(x)>0函数g(x)(1＋∞)单调递增x＝1时函数g(x)取值2设h(x)＝x2－2xx＝1时函数h(x)取值－1－a<0h(1)＝－ag(1)时时函数h(x)－ag(x)交点－a×2＝－1⇒a＝选C
解法二：f (2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f (x)f (x)图象关x＝1称f (x)唯零点f (x)零点x＝1f (1)＝－1＋2a＝0解a＝选C
答案 C
利函数零点情况求参数值取值范围方法
(1)利零点存判定定理构建等式求解
(2)分离参数转化求函数值域(值)问题求解
(3)转化两熟悉函数图象位置关系问题构建等式求解
变|式|训|练
已知区间(02]函数f (x)＝g(x)＝f (x)－mx区间(02]仅两零点实数m取值范围( )
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析
函数g(x)＝f (x)－mx(02]仅两零点y＝f (x)y＝mx(02]图象仅两交点y＝mxy＝－3x∈(01]相切时mx2＋3x－1＝0Δ＝9＋4m＝0m＝－结合图象－
考三 函数实际应
例3 (1)某城市解游客数变化规律提高旅游服务质量收集整理2014年1月2016年12月期间月接游客量(单位：万)数绘制面折线图
根该折线图列结错误( )
A．月接游客量逐月增加
B．年接游客量逐年增加
C．年月接游客量高峰期致78月
D．年1月6月月接游客量相7月12月波动性更变化较稳
(2)某工厂某种产品年固定成250万元生产x千件该产品需投入成G(x)(单位：万元)年产量足80千件时G(x)＝x2＋10x年产量80千件时G(x)＝51x＋－1 450已知件产品售价005万元通市场分析该工厂生产产品全部售完该工厂产品生产中获年利润值________万元
解析 (1)通题图知A正确逐月增加年递增图观察C正确D正确1～6月较稳7～12月波动较选A
(2)件产品售价005万元x千件产品销售额005×1 000x＝50x(万元)①0
解决函数实际应题2关键点
(1)认真读题缜密审题准确理解题意明确问题实际背景然进行科学抽象概括实际问题纳相应数学问题
(2)合理选取参变量设定变量寻找间联系选恰代数式表示问题中关系建立相应函数模型终求解数学模型实际问题获解
变|式|训|练
1．(2018·昆明调研)图1951～2016年国年均气温变化图
根图列结正确( )
A．1951年国年均气温逐年增高
B．1951年国年均气温2016年创新高
C．2000年国年均气温高1981～2010年均值
D．2000年国年均气温均值高1981～2010年均值
解析 1951～2016年国年均气温变化图出年均气温升高降低A错误2016年年均气温高B错误2012年年均气温低1981～2010年均值C错误2000年2012年年均气温低1981～2010年均值2000年国年均气温均值高1981～2010年均值D正确选D
答案 D
2．(2018·马鞍山模)某高校提升科研力计划逐年加科研费投入该高校2017年全年投入科研费1 300万元基础年投入科研费年增长12该高校全年投入科研费开始超2 000万元年份________(参考数：lg112≈005lg13≈011lg2≈030)( )
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析 2018年第年第n年科研费1 300×112n1 300×112n>2 000lg13＋nlg112>lg2n×005>019n>38n≥44年2021年科研费超2 000万元选B
答案 B
1．(考)(2018·昆明调研)已知函数f (x)＝函数f (x)零点数________
解析 解法：x>1时log2(x－1)＝0x＝2x＝2函数f (x)区间(1＋∞)零点x≤1时f (x)＝x3－3x＋1f ′(x)＝3x2－3f ′(x)＝0x＝－1x＝1x<－1时f ′(x)>0－1≤x≤1时f ′(x)≤0x＝－1函数f (x)＝x3－3x＋1(－∞1]极值点f (－1)＝3>0f (1)＝－1<0x→－∞时f (x)→－∞函数f (x)＝x3－3x＋1(－∞1]两零点综函数f (x)零点数3
解法二：x>1时作出函数y＝log2(x－1)图象图①示x≤1时f (x)＝x3－3x＋1＝0x3＝3x－1面直角坐标系中分作出函数y＝x3y＝3x－1图象图②示图①②知函数f (x)零点数3
答案 3
2．(考)(2018·洛阳统考)已知函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)＝f (x－1)(x∈R)0≤x≤1时f (x)＝2x－1方程|cosπx|－f (x)＝0[－13]根( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析 方程|cosπx|－f (x)＝0[－13]根y＝|cosπx|y＝f (x)[－13]图象交点横坐标f (1－x)＝f (1＋x)f (x)图象关直线x＝1称f (1－x)＝f (x－1)f (x)图象关y轴称f (1＋x)＝f (x－1)f (x)周期20≤x≤1时f (x)＝2x－1坐标系中作出y＝f (x)y＝|cosπx|[－13]致图象图示易知两图象[－13]11交点y＝f (x)y＝|cosπx|图象关直线x＝1称11交点关直线x＝1称根11选D
答案 D
3．(考二)已知函数f (x)＝－kx2(x∈R)四零点实数k取值范围( )
A．(－∞0) B．(－∞1)
C．(01) D．(1＋∞)
解析 x＝0函数f (x)零点函数f (x)＝－kx2(k∈R)四零点等价方程k＝三根方程＝|x|(x＋2)三根记函数g(x)＝|x|(x＋2)＝题意y＝y＝g(x)三交点作图知(图略)0<<1k>1选D
答案 D
4．(考二)(2018·四川统考)函数f (x)＝关x方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0五零点a取值范围( )
A．(12) B．
C． D．∪
解析
作出f (x)＝|x|＋1x≠0图象图示设t＝f (x)原方程化2t2－(2a＋3)t＋3a＝0图象知关x方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0五实数解直线y＝a函数y＝f (x)图象两公点时满足条件1
5．(考三)(2018·西城模拟)标准温度气压体血液中氢离子物质量浓度(单位：molL记作[H＋])氢氧根离子物质量浓度(单位：molL记作[OH－])积等常数10－14已知pH值定义pH＝－lg[H＋]健康体血液pH值保持735～745间健康体血液中________(参考数：lg2≈030lg3≈048)( )
A． B． C． D．
解析 [H＋]·[OH－]＝10－14＝[H＋]2×1014735<－lg[H＋]<74510－745<[H＋]<10－73510－09<＝1014·[H＋]2<10－0710－09＝>lg1007＝07>lg3>lg21007>3>210－07<<<<选C
答案 C
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