高中数学必修 1 知识点
第章 集合函数概念
集合关概念：
1集合含义：某指定象集起成集合中象元素
2集合中元素三特性：
（1）元素确定性 （2）元素互异性 （3）元素序性
说明：(1)定集合集合中元素确定象者者定集合
元素
(2)定集合中两元素象相象入集合时仅算元素
(3)集合中元素等没先序判定两集合否样仅需较元素否样
需考查排列序否样
(4)集合元素三特性集合身具确定性整体性
3集合表示：{ … } {校篮球队员}{太洋西洋印度洋北冰洋}
（1）拉丁字母表示集合：A{校篮球队员}B{12345}
（2）集合表示方法：列举法描述法
（Ⅰ）列举法：集合中元素列举出然括号括
（Ⅱ）描述法：集合中元素公属性描述出写括号表示集合方法确定条件表示
某象否属集合方法
①语言描述法：例：{直角三角形三角形}
②数学式子描述法：例：等式 x3>2 解集{x∈R| x3>2}{x| x3>2}
（3）图示法（文氏图）：
4常数集记法：
非负整数集（然数集）记作：N
正整数集 N* N+ 整数集 Z 理数集 Q 实数集 R
5属概念
集合元素通常写拉丁字母表示：a 集合 A 元素说 a 属集合 A 记作 a∈A 相反
a 属集合 A 记作 aA
6集合分类：
1．限集 含限元素集合 2．限集 含限元素集合 3．空集 含元素集合
二集合间基关系
1包含关系———子集
两集合 A B果集合 A 元素集合 B 元素说两集合包含关系称
集合 A 集合 B 子集记作 A  B
注意： 两种（1）A B 部分（2）A B 集合
反 集合 A 包含集合 B集合 B 包含集合 A记作 A  B B A
集合 A 中 n 元素集合 A 子集数 2n
2．相等关系(5≥5 5≤5 55)
实例：设 A{x|x210} B{11} 元素相
结：两集合 A B果集合 A 元素集合 B 元素时集合 B 元
素集合 A 元素说集合 A 等集合 B：AB ABBA  
① 集合身子集A A
②真子集果 A  B A  B 说集合 A 集合 B 真子集记作 A B( B  A)
③果 A  B B  C A C
④ 果 A  B 时 B A AB 3 含元素集合做空集记Φ
规定 空集集合子集 空集非空集合真子集
三集合运算
1．交集定义：般属 A 属 B 元素组成集合做 AB 交集．
记作 A∩B(读作A 交 B) A∩B{x|x∈A x∈B}．
2集定义：般属集合 A 属集合 B 元素组成集合做 AB 集记作：
A∪B(读作A B) A∪B{x|x∈A x∈B}．
3交集集性质：A∩A AA∩φ φ A∩B B∩AA∪A AA∪φ A A∪B B∪A
4全集补集
（1）全集：果集合 S 含研究集合全部元素集合作全集通常
U 表示
（2）补集：设 S 集合A S 子集（ A S） S 中
属 A 元素组成集合做 S 中子集 A 补集（余集）
记作： CSA CSA {x | xS xA}
（3）性质：⑴CU(C UA)A ⑵(C UA)∩AΦ ⑶(C UA)∪AU
(4)(C UA)∩(C UB)C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)C U(A∩B)

二函数关概念
1．函数概念：设 AB 非空数集果某确定应关系 f集合 A 中意数
x集合 B 中唯确定数 f(x)应称 f：A→B 集合 A 集合 B 函数．记
作： yf(x)x∈A．中x 做变量x 取值范围 A 做函数定义域 x 值相应 y 值
做函数值函数值集合{f(x)| x∈A }做函数值域．
注意：1果出解析式 yf(x)没指明定义域函数定义域指式子意义
实数集合2函数定义域值域写成集合区间形式．
定义域补充：
函数式意义实数 x 集合称函数定义域求函数定义域时列等式组：(1)
分式分母等零 (2)偶次方根开方数零 (3)数式真数必须零(4)指数数
式底必须零等 1 (5)果函数基函数通四运算结合成定义
域部分意义 x 值组成集合（6）指数零底等零 (7)实际问题中函数定义
域保证实际问题意义
(注意：求出等式组解集函数定义域)
2构成函数三素：定义域应关系值域
注意：（1）构成函数三素定义域应关系值域．值域定义域应关系决定
果两函数定义域应关系完全致称两函数相等（函数）
（2）两函数相等仅定义域应关系完全致表示变量函数值字母关
相函数判断方法：①定义域致②表达式相 (两点必须时具备)
值域补充
(1)函数值域取决定义域应法采取什方法求函数值域应先考虑定义域
(2)应熟悉掌握次函数二次函数指数数函数三角函数值域求解复杂函数值域基
础
3 函数图象知识纳
(1)定义：面直角坐标系中函数 yf(x) (x∈A)中 x 横坐标函数值 y 坐标点 P(xy)
集合 C做函数 yf(x)(x ∈A)图象．
C 点坐标(xy)均满足函数关系 yf(x)反满足 yf(x)组序实数 xy
坐标点(xy)均 C 记 C{ P(xy) | y f(x) x∈A }
图象C 般条光滑连续曲线(直线)意行Y轴直线交点
S


CsA
A 干条曲线离散点组成
(2) 画法：
A描点法：根函数解析式定义域求出 xy 应值列表(xy)坐标坐标系描出相
应点 P(x y)滑曲线点连接起
B图象变换法：
常变换方法三种移变换称变换伸缩变换
Ⅰ称变换
（1） y f(x) x 轴方图象翻 y∣f(x)∣图象：书 P21 例 5
（2） y f(x) y f(x)图象关 y 轴称 1 x
xxy a y a a
    

（3） y f(x) y f(x)图象关 x 轴称 1log log logaa
a
y x y x x   
Ⅱ移变换 f(x) f(x  a) 左加右减 f(x) f(x)  a 加减
(3)作：A直观出函数性质B利数形结合方法分析解题思路C提高解题速度发
现解题中错误
4．区间概念
（1）区间分类：开区间闭区间半开半闭区间（2）穷区间（3）区间数轴表示．
5．映射
定义：般设 AB 两非空集合果某确定应法 f集合 A 中意
元素 x集合 B 中唯确定元素 y 应称应 f：AB 集合 A 集合 B
映射记作f：A B
定集合 A B 映射果 a∈Ab∈B元素 a 元素 b 应元素 b 做元素 a
象元素 a 做元素 b 原象
说明函数种特殊映射映射种特殊应①集合 AB 应法 f 确定②应法
方性强调集合 A 集合 B 应 B A 应关系般
③映射 f：A→B 说应满足：（Ⅰ）集合 A 中元素集合 B 中象象唯
（Ⅱ）集合 A 中元素集合 B 中应象（Ⅲ）求集合 B 中元
素集合 A 中原象
6函数表示法：
常函数表示法优点：
1 函数图象连续曲线直线折线离散点等等注意判断图形否函数图
象：作垂直 x 轴直线曲线交点
2 解析法：必须注明函数定义域
3 图象法：描点法作图注意：确定函数定义域化简函数解析式观察函数特征
4 列表法：选取变量代表性应反映定义域特征．
注意：解析法：便算出函数值列表法：便查出函数值图象法：便量出函数值
补充：分段函数
定义域部分解析表达式函数范围里求函数值时必须变量代入相
应表达式分段函数解析式写成方程应写成函数值种表达式左
括号括起分注明部分变量取值情况．注意：（1）分段函数函数误认
函数（2）分段函数定义域段定义域集值域段值域集．
补充二：复合函数
果 yf(u)(u∈M)ug(x)(x∈A) yf[g(x)]F(x)(x∈A) 称 f g 复合函数
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数 yf(x)定义域 I果定义域 I 某区间 D 意两变量 x1x2 x1单调增区间
果区间 D 意两变量值 x1x2 x1＞f(x2)说 f(x)区间减函数区间 D 称 yf(x)单调减区
间
注意：1函数单调性定义域某区间性质函数局部
性质
2必须区间 D 意两变量 x1x2 x1（2） 图象特点
果函数 yf(x)某区间增函数减函数说函数 yf(x)区间具(严格)单调性单
调区间增函数图象左右升减函数图象左右降
(3)函数单调区间单调性判定方法
(A) 定义法：
1 取 x1x2∈D x1f(x1)－f(x2)正负）5 结（指出函数 f(x)定区间 D 单调性）．
(B)图象法(图象升降)
(C)复合函数单调性：复合函数 f[g(x)]单调性构成函数 ug(x)yf(u)单调性密切相关规
律：
复合函数单调性：口诀：增异减
注意：1函数单调区间定义域子区间 单调性相区间起写成集
（4）判断函数单调性常结
①函数 ()y f x ()y f x 单调性相反
②函数 恒正恒负时
1
()y fx
函数 单调性相反
③函数 函数 ()y f x C（C 常数）单调性相
④ C > 0（C 常数）时 ()y C f x 单调性相
C < 0（C 常数）时 ()y C f x 单调性相反
⑤函数 ()fx()gx增（减）函数 ()()f x g x 增（减）函数
⑥ ( ) 0 ( ) 0f x g x 增（减）函数 ()()f x g x 增（减）函数
( ) 0 ( ) 0f x g x 增（减）函数 ()()f x g x 减（增）函数
⑦设 ( ) 0fx 定义域增函数 ()n fx( )( 0)k f x k  ( )( 1)nf x n  增函数

1
()fx减函数
8．函数奇偶性
（1）偶函数
般函数 f(x)定义域意 x f(－x)f(x) f(x)做偶函数．
（2）奇函数
般函数 f(x)定义域意 x f(－x)—f(x) f(x)做奇函数．
注意：1 函数奇函数偶函数称函数奇偶性函数奇偶性函数整体性质
函数没奇偶性奇函数偶函数
2 函数奇偶性定义知函数具奇偶性必条件定义域意 x
－x 定定义域变量（定义域关原点称）．
（3）具奇偶性函数图象特征
偶函数图象关 y 轴称奇函数图象关原点称．
ug(x) yf(u) yf[g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增 总结：利定义判断函数奇偶性格式步骤：1 首先确定函数定义域判断定义域否关原点
称2 确定 f(－x) f(x)关系3 作出相应结： f(－x) f(x) f(－x)－f(x) 0 f(x)偶函数
f(－x) －f(x) f(－x)＋f(x) 0 f(x)奇函数．
注意：函数定义域关原点称函数具奇偶性必条件．首先函数定义域否关原点称
称函数非奇非偶函数称(1)根定义判定 (2)时判定 f(x)±f(x)较困难考虑根
否 f(x)±f(x)0 f(x)f(x)±1 判定 (3)利定理助函数图象判定
函数奇偶性性质
① 奇函数关原点称区间单调性单调性完全相
偶函数关原点称区间单调性单调性恰恰相反
②奇函数图象关原点称偶函数图象关 y 轴称
③ ()fx偶函数 ( ) ( ) (| |)f x f x f x  
④奇函数 定义域中含 0必 (0) 0f 
⑤定义关原点称区间意函数表示成奇函数 ()Fx偶函数 ()Gx（
差）设 )(xf 定义域 R 函数 ()()() 2
f x f xFx  ()()() 2
f x f xGx 
⑥复合函数奇偶性特点：偶偶奇外
⑦奇偶函数穷（ ( ) 0fx 定义域关原点称意数集）
9函数解析表达式
（1）函数解析式函数种表示方法求两变量间函数关系时求出间
应法二求出函数定义域
（2）求函数解析式方法：定系数法换元法消参法等A果已知函数解析式构造时
定系数法B已知复合函数 f[g(x)]表达式时换元法时注意元取值范围已知
表达式较简单时凑配法C已知抽象函数表达式常解方程组消参方法求出 f(x)
10．函数（）值（定义见课 p30 页）
（1） 利二次函数性质（配方法）求函数（）值
（2） 利图象求函数（）值
（3） 利函数单调性判断函数（）值：果函数 yf(x)区间[ab]单调递增区间[b
c]单调递减函数 yf(x) xb 处值 f(b)果函数 yf(x)区间[ab]单调递减区间[b
c]单调递增函数 yf(x) xb 处值 f(b)
第二章 基初等函数
指数函数
（）指数指数幂运算
1．根式概念：
负数没偶次方根0 次方根 0记作 0n 0
注意：(1) ()nn aa
(2) n 奇数时 n naa n 偶数时 0|| 0
n n aaaa aa


2．分数指数幂
正数正分数指数幂意义规定： ( 0 1)
m
n mna a a m n N n   
正数正分数指数幂意义：
_ 1 ( 0 1)
m
n
m
n
a a m n N n
a
   
0 正分数指数幂等 00 负分数指数幂没意义
3．实数指数幂运算性质
（1）( 0 )r s r sa a a a r s R   （2）( ) ( 0 )r s rsa a a r s R  
（3）( b) ( 0 0 )r r ra a b a b r R   
注意：化简程中偶数轻易约分
1
2 2[(1 2) ] 1 2 2 1   应
（二）指数函数性质
1指数函数概念：般函数 xya 做指数函数中 x 变量函数定义域 R．
注意：指数函数底数取值范围底数负数零 1． a>0 a≠1
2指数函数图象性质
01




图






性质
定义域 R 值域（0+∞）
（1）定点（01） x0 时y1
(2) R 减函数 (2) R 增函数
（3） x>0 时0 x<0 时y>1
（3） x>0 时y>1
x<0 时0
图象特征 函数性质


性
x 轴正负方限延伸 函数定义域 R
函数图象 x 轴方 函数值域 R+
图象关原点 y 轴称 非奇非偶函数
函数图象定点（01） 定点（01）


0左右图象逐渐降 减函数
第象限图象坐标 1 x>0 时0第二象限图象坐标 1 x<0 时y>1
图象升趋势越越缓 函数值开始减极快
某值减速度较慢


a>1
左右图象逐渐升 增函数
第象限图象坐标 1 x>0 时y>1
第二象限图象坐标 1 x<0 时0图象升趋势越越陡 函数值开始增长较慢
某值增长速度极快
注意： 指数增长模型：yN(1+p)x 指数型函数： ykax
3 考点：（1）abN b>0 时aN 1 侧 b<0 时aN 1 异侧
（2）指数函数单调性底数决定底数明确时候进行讨掌握利单调性较幂
底找应指数函数底数指数插进 1(a0)进行传递者利（1）知识
（3）求指数型函数定义域底数掉指数式子值域求法单调性
（4）分辨底指数函数图象利 a1a x1 截图象应底数 (5)指数型函数：yN(1+p)x 简写：ykax
二数函数
（）数
1．数概念：般果 xaN 数 x 做 a 底 N 数记作： logaxN
（ a— 底数 N— 真数 loga N— 数式）
说明：1 注意底数限制a>0 a≠12 真数 N>0 3 注意数书写格式．
2两重数：
（1）常数： 10 底数 10log lgNN记
（2）然数：理数 e 底数数 log lne NN记 ．
3数式指数式互化
log x
ax N a N  
数式 指数式
数底数← a → 幂底数
数← x → 指数
真数← N → 幂
结：（1）负数零没数
（2）logaa1 loga10 特 lg101 lg10 lne1 ln10
(3) 数恒等式： log NaaN
（二）数运算性质
果 a > 0a  1M > 0 N > 0 ：
1 log M N log loga a aMN  （） 两正数积数等两正数数
2 NMN
M
aaa logloglog  两正数商数等两正数数差
3 log log nn
aaM n M（R） 正数 n 次方数等正数数 n 倍
说明
1) 简易语言表达积数数……
2) 时逆运公式
3) 真数取值必须(0＋∞)
4) 特注意：NMMN aaa logloglog 
  NMNM aaa logloglog 
注意：换底公式  log lglog 0 1 0 1 0log lg
c
a
c
b bb a a c c baa      
利换底公式推导面结
①
ab
b
a log
1log  ② log log log loga b c ab c d d   ③log logm
n
aa
nbbm
（二）数函数
1数函数概念：函数 logayx (a>0 a≠1) 做数函数中 x 变量函数定义域
（0+∞）．
注意：（1） 数函数定义指数函数类似形式定义注意辨
： log 1ayx log 2ayx 数函数称数型函数．
（2） 数函数底数限制：a>0 a≠1





2数函数图性质：数函数 (a>0 a≠1) 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1



图





性
质
定义域：（0＋∞） 值域：R
点(1 0) x ＝1 时y＝0
(0+∞)减函数 (0+∞)增函数
x>1 时y<0
x1 时y0
00
x>1 时y>0
x1 时y0
0
重结： logab 中 a b (01) (1+∞)时 logab>0
ab (01) (1+∞) 时 logab<0
口诀：底真 0（底真 0）
（中底指底数真指真数 0 指 logab 值）
3图底数 a 函数 xy alog 影响
规律 底枝头低 头低尾巴翘
4 考点：
Ⅰlogab ab 1 侧时 logab >0 ab 1 异侧时 logab <0
Ⅱ数函数单调性底数决定底数明确时候进行讨掌握利单调性较数
底找应数函数底数真数利（1）知识解决插进 1(logaa)进行
传递
Ⅲ求指数型函数定义域求真数>0值域求法单调性
Ⅳ分辨底数函数图象利 1logaa y1 截图象应底数
Ⅴyax(a>0 a ≠1) ylogax(a>0 a ≠1) 互反函数图象关 yx 称

yy
xx 00 ((1100))
yy
xx 00 ((1100)) 5 较两幂形式数方法
(1) 底数相指数两幂较利指数函数单调性判断
(2) 底数指数相两幂较利商法判断
(3) 底数指数两幂较应通中间值判断常 1 0
6 较方法
(1) 利函数单调性(底数)(2) 利中间值（01）(3) 变形较(4) 作差较
（三）幂函数
1幂函数定义：般形 yx 函数称幂函数中 x 变量α常数．
2幂函数性质纳．
（1）幂函数（0+∞）定义图象点（11）
（2）α>0 时幂函数图象通原点[0+ ∞）增函数．特
α>1 时幂函数图象凸 0<α<1 时幂函数图象
凸
（3）α<0 时幂函数图象（0+∞）减函数．第象限
x 右边趋原点时图象 y 轴右方限逼 y 轴正半轴
x 趋+∞时图象 x 轴方限逼 x 轴正半轴．
第三章 函数应
方程根函数零点
1函数零点概念：函数 yf(x) f(x)0 实数 x 做函数零点（实质函数 yf(x) x 轴交
点横坐标）
2函数零点意义：方程 f(x)0 实数根⇔函数 yf(x)图象 x 轴交点⇔函数 yf(x)零点
3零点定理：函数 yf(x)区间[ab]图象连续断 f(a)f(b)<0函数 yf(x)区间（ab）
少零点 c f( c)0时 c 方程 f(x)0 根
4函数零点求法：求函数 yf(x)零点：
（1） （代数法）求方程 f(x)0 实数根
（2） （法）求根公式方程函数 yf(x)图象联系起利函数性
质找出零点．
5二次函数零点：二次函数 f(x)ax2+bx+c(a≠0)．
1）△＞0方程 f(x)0 两等实根二次函数图象 x 轴两交点二次函数两零点．
2）△＝0方程 f(x)0 两相等实根（二重根）二次函数图象 x 轴交点二次函数二
重零点二阶零点．
3）△＜0方程 f(x)0 实根二次函数图象 x 轴交点二次函数零点．
二二分法
1概念：区间[ab]连续断 f(a)f(b)<0 函数 yf(x)通断函数 f(x)零点区间
分二区间两端点逐步逼零点进零点似值方法做二分法
2二分法求方程似解步骤
⑴确定区间[ab]验证 f(a)f(b)<0定精确度ε
⑵求区间(ab)中点 c
⑶计算 f(c)
① f(c)0 c 函数零点
② f(a)f(c)<0令 bc（时零点 x0∈(ac)）
③ f(c)f(b)<0令 ac（时零点 x0∈(cb)）
(4)判断否达精确度ε：|ab|<ε零点似值 a( b)否重复⑵~⑷
三函数应： （1）评价模型： 定模型利学知识解模型验证否符合实际情况
（2）增长函数模型：次函数：yax+b(a>0)
指数函数：yax(a>1) 指数型函数： ykax(k>0a>1)
幂函数： yxn（ n∊N*) 数函数：ylogax(a>1)
二次函数：yax2+bx+c(a>0)
增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)
解等式 (1) log2x< 2x < x2 (2) log2x< x2 < 2x
（3）分段函数应：注意端点重复取求函数值先判断变量区间
（4）二次函数模型： yax2+bx+c(a≠0) 先求函数定义域求函数称轴定义域
话代进求出值话定义域离称轴点代进求值
（5）数学建模：
(6)元二次方程 ax2+bx+c0 （a>0） 根分布
两根（mn ) 两仅（mn) x1∈(mn) x2∈(pq)


f(m)f(n)<0


两根 K 两根 K 根 K根 K

f(k)<0


y
x n m
m n
m n p q
y
x k k
k
0
2
( ) 0
( ) 0
bmna
fm
fn


   
  
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
fm
fn
fp
fq

  
 
0
2
( ) 0
b ka
fk




0
2
( ) 0
b ka
fk





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