微专题6 三角恒等变换解三角形
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形
2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换
2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换
2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形
1高考部分考查般二命题形式出现
2解答题般选择题填空题题考查三角恒等变换解三角形难度般般出现第4～9题第13～15题位置
3高考部分容考查方面进行：
(1)利种三角函数公式进行求值化简中降幂公式辅助角公式考查重点
(2)利正余弦定理进行边角面积计算三角形形状判定关范围计算常三角恒等变换综合考查
考 三角恒等变换
微考1：三角函数定义
例1 (2018·北京高考)面直角坐标系中圆x2＋y2＝1四段弧(图)点P中段角αOx始边OP终边tanα
A． B．
C． D．
解析 设点P坐标(xy)利三角函数定义0P圆弧选C
答案 C
题设条件中出现直线单位圆相交问题时根三角函数定义求函数解析式者判断函数图象时简化解题程
变|式|训|练
1．已知角α终边点P(－x－6)cosα＝－＋＝________
解析 角α终边点P(－x－6)cosα＝－cosα＝＝－x＝Psinα＝－tanα＝＝＋＝－＋＝－
答案 －
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α顶点坐标原点始边x轴非负半轴重合终边两点A(1a)B(2b)cos2α＝|a－b|＝( )
A． B．
C． D．1
解析 题意知cosα>0cos2α＝2cos2α－1＝cosα＝sinα＝± |tanα|＝题意知|tanα|＝|a－b|＝选B
答案 B
微考2：三角函数求角
例2 (1)已知α锐角cos＝cos＝________
(2)已知sinα＝sin(α－β)＝－αβ均锐角角β等( )
A． B．
C． D．
解析 (1)α锐角cos＝>0α＋锐角sin＝cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝cos＝
(2)αβ均锐角－<α－β答案 (1) (2)C
(1)三角变换关键两角差正弦余弦正切公式二倍角公式三角恒等变换公式熟记灵活应善观察角间联系发现题目条件恒等变换公式联系公式程注意正确性特注意公式中符号函数名变换防止出现张冠李戴情况
(2)求角问题注意角范围根已知条件求角范围量缩避免产生增解
变|式|训|练
1．(2018·全国卷Ⅲ)sina＝cos2a＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝选B
答案 B
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1cosα＋sinβ＝0sin(α＋β)＝________
解析 sinα＋cosβ＝1cosα＋sinβ＝0sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1 ①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0 ②①＋②sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1sin(α＋β)＝－
答案 －
考二 解三角形
微考1：利正余弦定理进行边角计算
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)△ABC中cos＝BC＝1AC＝5AB＝( )
A．4 B．
C． D．2
(2)(2018·陕西二模)△ABC中角ABC边分abc已知＝1－b＝5·＝5△ABC面积________
解析 (1)cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32c＝4选A
(2)＝1－正弦定理＝1－化简b2＋c2－a2＝bc余弦定理cosA＝A＝·＝5bccosA＝5bc＝10△ABC面积bcsinA＝
答案 (1)A (2)
利正余弦定理解三角形思路
(1)解三角形时果式子中含角余弦边二次式考虑余弦定理果式子中含角正弦边次式时考虑正弦定理特征明显时考虑两定理
(2)关解三角形问题般三角形角定理正弦余弦定理关三角形性质常见三角恒等变换方法原适时注意三统统角统函数统结构
变|式|训|练
1．已知△ABC角ABC边分abc＝B＝( )
A． B．
C． D．
解析 ＝⇒＝⇒a2＋c2－b2＝ac⇒cosB＝＝0答案 C
2．△ABC中角ABC边分abcbsinA＋acosB＝0ac＝4△ABC面积( )
A． B．3
C．2 D．4
解析 bsinA＋acosB＝0sinBsinA＋sinA·cosB＝0sinA≠0tanB＝－B＝120°△ABC面积acsinB＝×4×＝3选B
答案 B
微考2：图形中边角计算
例4图四边形ABCD中∠ABD＝45°∠ADB＝30°BC＝1DC＝2cos∠BCD＝BD＝________三角形ABD面积________
解析 △BCD中余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4BD＝2△ABD中∠BAD＝180°－30°－45°＝105°sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝正弦定理AD＝＝＝2(－1)S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1BD＝2△ABD面积－1
答案 2 －1
图形中边角计算般图形分解干三角形三角形中利正余弦定理解决
变|式|训|练
(2018·成诊断)图直角梯形ABDE中已知∠ABD＝∠EDB＝90°CBD点AB＝3－∠ACB＝15°∠ECD＝60°∠EAC＝45°线段DE长度________
解析 易知∠ACE＝105°∠AEC＝30°直角三角形ABC中AC＝三角形AEC中＝⇒CE＝直角三角形CED中DE＝CEsin60°DE＝CEsin60°＝×＝×＝6
答案 6
微考3：三角形中值范围问题
例5 (1)锐角三角形ABC中角ABC边分abc满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinCa＝b2＋c2取值范围( )
A．(56] B．(35)
C．(36] D．[56]
(2)已知点O△ABC心∠BAC＝60°BC＝1△BOC面积值________
解析 (1)(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC正弦定理(a－b)(a＋b)＝(c－b)c化b2＋c2－a2＝bc余弦定理cosA＝＝＝A∈A＝a＝正弦定理＝＝＝2b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sinB∈2B－∈sin∈b2＋c2∈(56]选A
(2)O△ABC心∠BAC＝60°∠BOC＝180°－＝120°余弦定理BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°OC2＋OB2＝1－OC·OBOC2＋OB2≥2OC·OB(仅OC＝OB时等号成立)OC·OB≤S△BOC＝OC·OB·sin120°≤△BOC面积值
答案 (1)A (2)
解三角形中值范围问题两种解决方法：利基等式求值值二求式转化含三角形某角三角函数形式结合角范围确定求式范围
变|式|训|练
△ABC中MBC中点BM＝2AM＝AB－AC△ABC面积值( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析 设△ABC角ABC边分abc△ABM中余弦定理cosB＝△ABC中余弦定理cosB＝＝b2＋c2＝4bc－8cosA＝sinA＝ S△ABC＝bcsinA＝bc＝8时S△ABC取值2选B
答案 B
1．(考)图角α始边x轴非负半轴重合终边单位圆交点A(x1y1)角β＝α＋终边单位圆交点B(x2y2)记f(α)＝y1－y2角α锐角f(α)取值范围________
解析 题意知y1＝sinαy2＝sinβ＝sinf(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sinα锐角0<α<－<α－<－答案
2．(考)已知tan(α＋β)＝tan＝值( )
A． B．
C． D．
解析 tan(α＋β)＝tan＝＝＝tan＝tan＝＝＝选D
答案 D
3．(考二)图示△ABC中C＝BC＝4点D边ACAD＝DBDE⊥ABE垂足DE＝2cosA＝( )
A． B．
C． D．
解析 AD＝DBA＝∠ABD∠BDC＝2A设AD＝BD＝x△BCD中＝＝①△AED中＝＝②联立①②＝解cosA＝选A
答案 A
4．(考二)△ABC中角ABC边分abca2＋b2＝2c2角C取值范围________
解析 a2＋b2＝2c2≥2ab(仅a＝b时等号成立)c2≥ab余弦定理cosC＝＝≥＝C∈(0π)C∈
答案
5．(考二)△ABC中角ABC边分abc＝sinCc＝2a＋b值________
解析 ＝sinC＝sinC＝2cosCtanC＝C∈(0π)C＝＝＝＝4a＝4sinAb＝4sinBa＋b＝4sinA＋4sin＝4sinA∈A＋∈sin∈a＋b≤4A＝时取等号
答案 4
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形
2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换
2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换
2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形
1高考部分考查般二命题形式出现
2解答题般选择题填空题题考查三角恒等变换解三角形难度般般出现第4～9题第13～15题位置
3高考部分容考查方面进行：
(1)利种三角函数公式进行求值化简中降幂公式辅助角公式考查重点
(2)利正余弦定理进行边角面积计算三角形形状判定关范围计算常三角恒等变换综合考查
考 三角恒等变换
微考1：三角函数定义
例1 (2018·北京高考)面直角坐标系中圆x2＋y2＝1四段弧(图)点P中段角αOx始边OP终边tanα
A． B．
C． D．
解析 设点P坐标(xy)利三角函数定义
答案 C
题设条件中出现直线单位圆相交问题时根三角函数定义求函数解析式者判断函数图象时简化解题程
变|式|训|练
1．已知角α终边点P(－x－6)cosα＝－＋＝________
解析 角α终边点P(－x－6)cosα＝－cosα＝＝－x＝Psinα＝－tanα＝＝＋＝－＋＝－
答案 －
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α顶点坐标原点始边x轴非负半轴重合终边两点A(1a)B(2b)cos2α＝|a－b|＝( )
A． B．
C． D．1
解析 题意知cosα>0cos2α＝2cos2α－1＝cosα＝sinα＝± |tanα|＝题意知|tanα|＝|a－b|＝选B
答案 B
微考2：三角函数求角
例2 (1)已知α锐角cos＝cos＝________
(2)已知sinα＝sin(α－β)＝－αβ均锐角角β等( )
A． B．
C． D．
解析 (1)α锐角cos＝>0α＋锐角sin＝cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝cos＝
(2)αβ均锐角－<α－β
(1)三角变换关键两角差正弦余弦正切公式二倍角公式三角恒等变换公式熟记灵活应善观察角间联系发现题目条件恒等变换公式联系公式程注意正确性特注意公式中符号函数名变换防止出现张冠李戴情况
(2)求角问题注意角范围根已知条件求角范围量缩避免产生增解
变|式|训|练
1．(2018·全国卷Ⅲ)sina＝cos2a＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析 cos2α＝1－2sin2α＝1－＝选B
答案 B
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1cosα＋sinβ＝0sin(α＋β)＝________
解析 sinα＋cosβ＝1cosα＋sinβ＝0sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1 ①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0 ②①＋②sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1sin(α＋β)＝－
答案 －
考二 解三角形
微考1：利正余弦定理进行边角计算
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)△ABC中cos＝BC＝1AC＝5AB＝( )
A．4 B．
C． D．2
(2)(2018·陕西二模)△ABC中角ABC边分abc已知＝1－b＝5·＝5△ABC面积________
解析 (1)cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32c＝4选A
(2)＝1－正弦定理＝1－化简b2＋c2－a2＝bc余弦定理cosA＝A＝·＝5bccosA＝5bc＝10△ABC面积bcsinA＝
答案 (1)A (2)
利正余弦定理解三角形思路
(1)解三角形时果式子中含角余弦边二次式考虑余弦定理果式子中含角正弦边次式时考虑正弦定理特征明显时考虑两定理
(2)关解三角形问题般三角形角定理正弦余弦定理关三角形性质常见三角恒等变换方法原适时注意三统统角统函数统结构
变|式|训|练
1．已知△ABC角ABC边分abc＝B＝( )
A． B．
C． D．
解析 ＝⇒＝⇒a2＋c2－b2＝ac⇒cosB＝＝0
2．△ABC中角ABC边分abcbsinA＋acosB＝0ac＝4△ABC面积( )
A． B．3
C．2 D．4
解析 bsinA＋acosB＝0sinBsinA＋sinA·cosB＝0sinA≠0tanB＝－B＝120°△ABC面积acsinB＝×4×＝3选B
答案 B
微考2：图形中边角计算
例4图四边形ABCD中∠ABD＝45°∠ADB＝30°BC＝1DC＝2cos∠BCD＝BD＝________三角形ABD面积________
解析 △BCD中余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4BD＝2△ABD中∠BAD＝180°－30°－45°＝105°sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝正弦定理AD＝＝＝2(－1)S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1BD＝2△ABD面积－1
答案 2 －1
图形中边角计算般图形分解干三角形三角形中利正余弦定理解决
变|式|训|练
(2018·成诊断)图直角梯形ABDE中已知∠ABD＝∠EDB＝90°CBD点AB＝3－∠ACB＝15°∠ECD＝60°∠EAC＝45°线段DE长度________
解析 易知∠ACE＝105°∠AEC＝30°直角三角形ABC中AC＝三角形AEC中＝⇒CE＝直角三角形CED中DE＝CEsin60°DE＝CEsin60°＝×＝×＝6
答案 6
微考3：三角形中值范围问题
例5 (1)锐角三角形ABC中角ABC边分abc满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinCa＝b2＋c2取值范围( )
A．(56] B．(35)
C．(36] D．[56]
(2)已知点O△ABC心∠BAC＝60°BC＝1△BOC面积值________
解析 (1)(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC正弦定理(a－b)(a＋b)＝(c－b)c化b2＋c2－a2＝bc余弦定理cosA＝＝＝A∈A＝a＝正弦定理＝＝＝2b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sinB∈2B－∈sin∈b2＋c2∈(56]选A
(2)O△ABC心∠BAC＝60°∠BOC＝180°－＝120°余弦定理BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°OC2＋OB2＝1－OC·OBOC2＋OB2≥2OC·OB(仅OC＝OB时等号成立)OC·OB≤S△BOC＝OC·OB·sin120°≤△BOC面积值
答案 (1)A (2)
解三角形中值范围问题两种解决方法：利基等式求值值二求式转化含三角形某角三角函数形式结合角范围确定求式范围
变|式|训|练
△ABC中MBC中点BM＝2AM＝AB－AC△ABC面积值( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析 设△ABC角ABC边分abc△ABM中余弦定理cosB＝△ABC中余弦定理cosB＝＝b2＋c2＝4bc－8cosA＝sinA＝ S△ABC＝bcsinA＝bc＝8时S△ABC取值2选B
答案 B
1．(考)图角α始边x轴非负半轴重合终边单位圆交点A(x1y1)角β＝α＋终边单位圆交点B(x2y2)记f(α)＝y1－y2角α锐角f(α)取值范围________
解析 题意知y1＝sinαy2＝sinβ＝sinf(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sinα锐角0<α<－<α－<－
2．(考)已知tan(α＋β)＝tan＝值( )
A． B．
C． D．
解析 tan(α＋β)＝tan＝＝＝tan＝tan＝＝＝选D
答案 D
3．(考二)图示△ABC中C＝BC＝4点D边ACAD＝DBDE⊥ABE垂足DE＝2cosA＝( )
A． B．
C． D．
解析 AD＝DBA＝∠ABD∠BDC＝2A设AD＝BD＝x△BCD中＝＝①△AED中＝＝②联立①②＝解cosA＝选A
答案 A
4．(考二)△ABC中角ABC边分abca2＋b2＝2c2角C取值范围________
解析 a2＋b2＝2c2≥2ab(仅a＝b时等号成立)c2≥ab余弦定理cosC＝＝≥＝C∈(0π)C∈
答案
5．(考二)△ABC中角ABC边分abc＝sinCc＝2a＋b值________
解析 ＝sinC＝sinC＝2cosCtanC＝C∈(0π)C＝＝＝＝4a＝4sinAb＝4sinBa＋b＝4sinA＋4sin＝4sinA∈A＋∈sin∈a＋b≤4A＝时取等号
答案 4
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