高考二轮复习数学理配套讲义7 数列

第7讲　数列
命 题 者 说

考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T4·等差数列通项公式前n项公式
2018·全国卷Ⅰ·T14·数列通项前n项关系
2018·浙江高考·T10·数列综合应
2018·北京高考·T4·数学文化等数列通项公式
2017·全国卷Ⅰ·T4·等差数列通项公式前n项公式
1等差等数列基量性质考查高考热点常题形式出现
2数列求数列函数等式综合问题高考考查重点考查分析问题解决问题综合力


考 等差数列等数列基量运算
例1　(1)(2018·北京高考)设{an}等差数列a1＝3a2＋a5＝36{an}通项公式________
(2)(2017·江苏高考)等数列{an}项均实数前n项Sn已知S3＝S6＝a8＝________
解析　(1)设等差数列公差da2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36d＝6an＝3＋(n－1)·6＝6n－3
(2)设等数列{an}公qS6≠2S3q≠1解a8＝a1q7＝×27＝32
答案　(1)an＝6n－3　(2)32



进行等差()数列项运算时条件结间联系明显均化成关a1d(q)方程组求解注意消元法整体计算减少计算量
变|式|训|练
1．(2018·沈阳质量监测)等差数列{an}中Sn前n项2a7＝a8＋5S11值(　　)
A．55 B．11
C．50 D．60
解析　解法：设等差数列{an}公差d题意2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5a1＋5d＝5S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55选A
解法二：设等差数列{an}公差d2a7＝a8＋52(a6＋d)＝a6＋2d＋5a6＝5S11＝11a6＝55选A
答案　A
2．(2018·湖南湘东五校联考)已知等数列{an}中a3＝7前三项S3＝21公q值(　　)
A．1 B．－
C．1－ D．－1
解析　q＝1时an＝7S3＝21符合题意q≠1时q＝－综q值1－选C
答案　C
考二 等差数列等数列性质应
例2　(1)(2018·湖北荆州模)等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝3a8＝8a12值(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
(2)等差数列{an}中已知|a6|＝|a11|公差d>0前n项取值时n值(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
(3)(2018·洛阳联考)等数列{an}中a3a15方程x2＋6x＋2＝0两根值(　　)
A．－ B．－
C． D．－
解析　(1)a3＋a4＋a5＝33a4＝3a4＝12a8＝a4＋a12a12＝2a8－a4＝2×8－1＝15选A
(2)d>0等差数列{an}递增数列|a6|＝|a11|－a6＝a11a6＋a11＝a8＋a9＝0d>0a8<0a9>0前8项前n项值选C
(3)设等数列{an}公qa3a15方程x2＋6x＋2＝0根a3·a15＝a＝2a3＋a15＝－6a3<0a15<0a9＝－＝＝a9＝－选B
答案　(1)A　(2)C　(3)B



等差等数列性质应策略
(1)项数关键：解题时特关注条件中项标项数关系寻找项项间项间关系选择恰性质解题
(2)整体代入：计算时注意整体思想求Sna1＋an相等式子整体代入定非求出具体项
(3)构造等式函数：构造等式函数利函数性质求范围值
变|式|训|练
1．(2018·太原模)已知等差数列{an}前n项Sna2＋a3＋a10＝9S9＝(　　)
A．3 B．9
C．18 D．27
解析　设等差数列{an}公差da2＋a3＋a10＝93a1＋12d＝9a1＋4d＝3a5＝3S9＝＝9a5＝27选D
答案　D
2．(2018·西安八校联考)设等差数列{an}前n项SnS6>S7>S5满足SnSn＋1<0正整数n值(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
解析　S6>S7>S5S7＝S6＋a7S5a7<0a6＋a7>0S13＝＝13a7<0S12＝＝6(a6＋a7)>0S12S13<0满足SnSn＋1<0正整数n值12选C
答案　C
3．已知－2a1a2－8成等差数列－2b1b2b3－8成等数列等(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　－2a1a2－8成等差数列a2－a1＝d＝＝－2－2b1b2b3－8成等数列b2＝－＝－4＝＝选B
答案　B
考三 数列递推关系
例3　(1)已知数列{an}前n项Sn满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)数列{an}通项公式an＝(　　)
A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(2n＋1)2－1
(2)数列{an}中a1＝1a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)数列{an}通项公式an＝________
解析　(1)n＝1时4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1解a1＝8n≥2时4(Sn＋1)＝4(Sn－1＋1)＝两式相减4an＝－整理＝an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3检验知a1＝8符合an＝(n＋1)3选A
(2)根a1＋＋＋…＋＝an　①
a1＋＋＋…＋＝an－1(n≥2)　②
①－②＝an－an－1
n2an－1＝(n2－1)an(n≥2)
＝＝(n≥2)
n≥2时an＝a1×××…×＝1×××…×＝＝＝检验a1＝1符合an＝
答案　(1)A　(2)



anSn关系求通项公式注意事项
(1)应重视分类整合思想应分n＝1n≥2两种情况讨特注意an＝Sn－Sn－1成立前提n≥2
(2)Sn－Sn－1＝an推ann＝1时a1适合需统表示(合写)
(3)Sn－Sn－1＝an推ann＝1时a1适合数列通项公式应分段表示(分写)an＝
变|式|训|练
1．(2018·广东五校联考)数列{an}满足a1＝1an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)＋＋…＋＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
解析　a1＝1an＋1＝a1＋an＋nan＋1－an＝n＋1利累加法an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＝an＝＝＝2＋＋…＋＝2＝2＝选A
答案　A
2．设数列{an}前n项SnS2＝4an＋1＝2Sn＋1n∈N*S5＝________
解析　an＋1＝2Sn＋1Sn＋1－Sn＝2Sn＋1Sn＋1＝3Sn＋1Sn＋1＋＝3数列公3等数列＝3S2＝4S1＝1S5＋＝×34＝×34＝S5＝121
答案　121
考四 数列函数等式综合问题
例4　(2018·浙江高考)已知a1a2a3a4成等数列a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)a1>1(　　)
A．a1a3a2C．a1a4 D．a1>a3a2>a4
解析　解法：函数y＝lnx点(10)处切线方程y＝x－1lnx≤x－1(x>0)a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1a4≤－1a1>1等数列公q<0q≤－1a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)>a1>1ln(a1＋a2＋a3)>0ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾－10a2－a4＝a1q(1－q2)<0a1>a3a2解法二：ex≥x＋1a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)ea1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3≥a1＋a2＋a3＋a4＋1a4≤－1a1>1等数列公q<0q≤－1a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0a1＋a2＋a3≥a1>1ln(a1＋a2＋a3)>0ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾－10a2－a4＝a1q(1－q2)<0a1>a3a2答案　B



题利lnx≤x－1ex≥x＋1放缩出－1变|式|训|练
(2018·洛阳联考)已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)中a1＝1a2＝2an解析　nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)＝λn(n＋2)－＝λ数列奇数项偶数项均λ公差等差数列a1＝1a2＝2n奇数时＝1＋λ＝λ＋1an＝λ＋nn偶数时＝1＋λ＝λ＋1an＝λ＋nn奇数时an－2n＝1λ∈Rn>1λ>－λ≥0n偶数时an－2λ>－λ≥0综实数λ取值范围[0＋∞)
答案　[0＋∞)


1．(考)(2018·山东淄博模)已知{an}等数列a1＝1a6＝8a3数列前n项TnT5＝(　　)
A．　　　　B．31
C．　　　　D．7
解析　设等数列{an}公qa1＝1a6＝8a3q3＝8解q＝2an＝2n－1＝n－1数列首项1公等数列T5＝＝选A
答案　A
2．(考二)(2018·湖南衡阳模)等差数列{an}中a1＋3a8＋a15＝120a2＋a14值(　　)
A．6　 　　　B．12 C．24　　　　D．48
解析　等差数列{an}中a1＋3a8＋a15＝120等差数列性质a1＋3a8＋a15＝5a8＝120a8＝24a2＋a14＝2a8＝48选D
答案　D
3．(考二)(2018·广东汕头模拟)已知等差数列{an}前n项Sna1＝9－＝－4Sn取值时n(　　)
A．4 B．5
C．6 D．45
解析　{an}等差数列－＝a5－a3＝2d＝－4d＝－2a1＝9an＝－2n＋11令an＝－2n＋11<0n>Sn取值时n5选B
答案　B
4．(考三)(2018·合肥质检)已知数列{an}前n项Sn3Sn＝2an－3na2 018＝(　　)
A．22 018－1 B．32 018－6
C．2 018－ D．2 018－
解析　a1＝S13a1＝3S1＝2a1－3⇒a1＝－3n≥2时3Sn＝2an－3n3Sn－1＝2an－1－3(n－1)an＝－2an－1－3an＋1＝－2(an－1＋1)数列{an＋1}－2首项－2公等数列an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)na2 018＝22 018－1选A
答案　A
5．(考四)(2018·江苏高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1n∈N*}B＝{x|x＝2nn∈N*}A∪B元素次排列构成数列{an}记Sn数列{an}前n项Sn>12an＋1成立n值________
解析　正奇数2n(n∈N*)序排列构成{an}数列{an}中25前面16正奇数a21＝25a38＝26n＝1时S1＝1<12a2＝24符合题意n＝2时S2＝3<12a3＝36符合题意n＝3时S3＝6<12a4＝48符合题意n＝4时S4＝10<12a5＝60符合题意…n＝26时S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516符合题意n＝27时S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540符合题意Sn>12an＋1成立n值27
答案　27


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