微专题20 命题纲——数学核心素养高考命题
教育部考试中心2018年高考考试纲中着重明确高考考什：必备知识关键力学科素养核心价值
教育部发布普通高中课程方案科课程标准次课程标准修订力度较首次提出凝练学科核心素养
预见学科核心素养考查高考重容高考数学科目核心素养什？高考试题中样呈现考查？复备考求？关注重点容
数学核心素养什
数学核心素养包括数学抽象逻辑推理直观想象数学建模数学运算数分析表现数学眼光观察世界数学思维分析世界数学语言表达现实世界
1．数学抽象
舍事物切物理属性数学研究象思维程
包括数量数量关系图形图形关系中抽象出数学概念概念间关系事物具体背景中抽象出般规律结构数学符号者数学术语予表征具体表现：①形成数学概念规②形成数学命题模型③形成数学方法思想④形成数学结构体系
2．逻辑推理
事实命题出发逻辑规推出命题思维程
包括两类类范围成立命题推断更范围成立命题推理推理形式纳推理类推理类范围成立命题推断范围成立命题推理推理形式演绎推理具体表现：①发现提出命题②掌握推理基形式规③探索表述证程④构建命题体系⑤表达交流
3．直观想象
助空间想象感知事物形态变化利图形理解解决数学问题
包括利图形描述数学问题建立形数联系构建数学问题直观模型探索解决问题思路具体表现：①利图形描述数学问题②利图形理解数学问题③利图形探索解决数学问题④构建数学问题直观模型
4．数学建模
现实问题进行抽象数学语言表达解决问题程
包括实际情境中数学视角提出问题分析问题表达问题构建模型求解结验证结果改进模型终符合实际结果具体表现：①发现提出问题②建立模型③求解模型④检验结果完善模型
5．数学运算
明晰运算象基础运算法解决数学问题
包括理解运算象掌握运算法探究运算方选择运算方法设计运算程序求运算结果具体表现：①理解运算象②掌握运算法③探索运算思想④设计运算程序
6．数分析
数中获信息形成知识
包括收集数提取信息利图表展示数构建模型分析数解释数获取知识具体表现：①数获取②数分析③知识构建
二数学核心素养考
1．数学抽象
通具体实例概括般性结否综合情境中学会抽象出数学问题数学结基础形成新命题考查数学抽象素养
例1 (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x)定义域(－∞＋∞)奇函数满足f (1－x)＝f (1＋x)f (1)＝2f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋f (50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
命题立意 题考查函数奇偶性周期性旨考查学生探究数学质力
解题思路 解法：f (x)定义域(－∞＋∞)奇函数f (1－x)＝f (1＋x)f (1＋x)＝－f (x－1)f (3＋x)＝－f (x＋1)＝f (x－1)T＝4f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)f (3)＝－f (1)f (4)＝－f (2)f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0f (2)＝f (－2)＝－f (2)f (2)＝0f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2选C
解法二：题意设f (x)＝2sin作出f (x)部分图象图示图知f (x)周期4f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2选C
答案 C
(1)函数f (x)图象两称中心分(a0)(b0)2|b－a|函数f (x)周期
(2)函数f (x)图象两条称轴分直线x＝a直线x＝b2|b－a|函数f (x)周期
(3)函数f (x)图象称中心(a0)条称轴直线x＝ba≠b4|b－a|函数f (x)周期
2逻辑推理
通提出问题证命题程否选择合适证方法途径予证明准确严谨数学语言表述证程考查逻辑推理素养
例2 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1O坐标原点F C右焦点F 直线C两条渐线交点分MN△OMN直角三角形|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
命题立意 题考查双曲线性质直线直线位置关系考查考生化转化力运算求解力考查核心素养逻辑推理数学运算
解题思路 双曲线－y2＝1渐线方程y＝±x∠MON＝60°妨设点F 直线直线y＝x交点M△OMN直角三角形妨设∠OMN＝90°∠MF O＝60°直线MN点F (20)直线MN方程y＝－(x－2)M|OM|＝＝|MN|＝|OM|＝3选B
答案 B
破解类题关键：会图根图形特征寻找转化桥梁题观察图形快速寻找直角三角形中直角位置二运算准确求解圆锥曲线试题运算准确
3．直观想象
通空间图形面图形观察图形数量关系分析通想象复杂数学问题进行直观表达否运图形空间想象思考问题感悟事物质形成解决问题思路考查直观想象素养
例3 (2018·全国卷Ⅰ)某圆柱高2底面周长16三视图图示圆柱表面点M正视图应点A圆柱表面点N左视图应点B圆柱侧面MN路径中短路径长度( )
A．2 B．2
C．3 D．2
命题立意 题考查三视图短路径问题考查考生运算求解力空间想象力考查数学核心素养直观想象
解题思路 三视图知该体图①示圆柱该圆柱高2底面周长16画出该圆柱侧面展开图图②示连接MNMS＝2SN＝4MN路径中短路径长度＝＝2选B
答案 B
4数学建模
通实际应问题处理否够运数学语言清晰准确表达数学建模程结果考查数学建模素养
例4 (2018·北京高考)十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等第单音频率f 第八单音频率( )
A．f Bf
Cf Df
命题立意 题音律体系中十二均律背景机国古代音律方面成数学中等数列结合起考查考生阅读理解力运算求解力分析问题解决问题力考查核心素养数学建模
解题思路 第二单音起单音频率前单音频率等第单音频率f 等数列概念知十三单音频率构成首项f 公等数列记{an}第八单音频率
a8＝f ·()8－1＝f 选D
答案 D
5．数学运算
通类数学问题特综合性问题处理否做明确运算象分析运算条件选择运算法握运算方设计运算程序获取运算结果考查数学运算素养
例5 (2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0203b＝log203( )
A．a＋bC．a＋b<0命题立意 题考查数运算等式性质考查考生化转化力运算求解力考查核心素养数学运算
解题思路 a＝log0203b＝log203＝log0302＝log032＋＝log03040<＋<10<<1a>0b<0ab<0ab答案 B
6．数分析
通概率统计问题中量数分析加工否获数提供信息呈现规律进分析机现象质特征发现机现象统计规律考查数分析素养
例6 (2018·全国卷Ⅱ)图某区2000年2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)折线图
预测该区2018年环境基础设施投资额建立y时间变量t两线性回模型根2000年2016年数(时间变量t值次12…17)建立模型①：＝－304＋135t根2010年2016年数(时间变量t值次12…7)建立模型②：＝99＋175t
(1)分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
(2)认模型预测值更？说明理
命题立意 题考查线性回模型折线统计图意考查数处理力运算求解力图形识力考查核心素养数分析
解题思路 (1)利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值＝－304＋135×19＝2261(亿元)
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值＝99＋175×9＝2565(亿元)
(2)利模型②预测值更
理：
a．折线图出2000年2016年数应点没机散布直线＝－304＋135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型＝99＋175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更
b．计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更
2种理答出中种合理理均
三复备考求
1．重视基概念复
概念定义出发表里伪存真掌握概念质属性提升数学素养必条件概念复中避免模式化避免机械套关结
2．重视基定理公式复
学生存重应轻推导现象重视定理公式应忽视公式推导定理证明事实重视公式推导定理证明仅利理解掌握定理公式理解公式间相互关系进步挖掘公式中蕴含数学思想成解决关问题敲门砖
3．重视基技复
基技数学基础知识重组成部分数学建模数学运算数分析等核心素养中影子历年高考考查重点基技复包括掌握入手点解隐藏点熟悉易错点
4．重视数学质
数学核心素养中数学抽象数学基思想形成理性思维重基础反映数学质特征贯穿数学知识产生发展应全程中
导数函数重概念时研究函数性质解决函数关问题重工具复中仅仅重视导数概念运算应突出导数工具性突出导数研究函数关性质解决函数关问题时工具作
5．重视中国古代数学文化
年高考试题增加中国传统文化进行考查容中国古代文明作试题背景材料体现中国传统文化类发展社会进步贡献
类题目然难度立意新颖富创新精神特巧妙利国优秀传统文化设计试题仅学生国传统文化解时考查学生种力阅读力思维力运算力数处理力等渗透数学核心素养
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教育部考试中心2018年高考考试纲中着重明确高考考什：必备知识关键力学科素养核心价值
教育部发布普通高中课程方案科课程标准次课程标准修订力度较首次提出凝练学科核心素养
预见学科核心素养考查高考重容高考数学科目核心素养什？高考试题中样呈现考查？复备考求？关注重点容
数学核心素养什
数学核心素养包括数学抽象逻辑推理直观想象数学建模数学运算数分析表现数学眼光观察世界数学思维分析世界数学语言表达现实世界
1．数学抽象
舍事物切物理属性数学研究象思维程
包括数量数量关系图形图形关系中抽象出数学概念概念间关系事物具体背景中抽象出般规律结构数学符号者数学术语予表征具体表现：①形成数学概念规②形成数学命题模型③形成数学方法思想④形成数学结构体系
2．逻辑推理
事实命题出发逻辑规推出命题思维程
包括两类类范围成立命题推断更范围成立命题推理推理形式纳推理类推理类范围成立命题推断范围成立命题推理推理形式演绎推理具体表现：①发现提出命题②掌握推理基形式规③探索表述证程④构建命题体系⑤表达交流
3．直观想象
助空间想象感知事物形态变化利图形理解解决数学问题
包括利图形描述数学问题建立形数联系构建数学问题直观模型探索解决问题思路具体表现：①利图形描述数学问题②利图形理解数学问题③利图形探索解决数学问题④构建数学问题直观模型
4．数学建模
现实问题进行抽象数学语言表达解决问题程
包括实际情境中数学视角提出问题分析问题表达问题构建模型求解结验证结果改进模型终符合实际结果具体表现：①发现提出问题②建立模型③求解模型④检验结果完善模型
5．数学运算
明晰运算象基础运算法解决数学问题
包括理解运算象掌握运算法探究运算方选择运算方法设计运算程序求运算结果具体表现：①理解运算象②掌握运算法③探索运算思想④设计运算程序
6．数分析
数中获信息形成知识
包括收集数提取信息利图表展示数构建模型分析数解释数获取知识具体表现：①数获取②数分析③知识构建
二数学核心素养考
1．数学抽象
通具体实例概括般性结否综合情境中学会抽象出数学问题数学结基础形成新命题考查数学抽象素养
例1 (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x)定义域(－∞＋∞)奇函数满足f (1－x)＝f (1＋x)f (1)＝2f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋f (50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
命题立意 题考查函数奇偶性周期性旨考查学生探究数学质力
解题思路 解法：f (x)定义域(－∞＋∞)奇函数f (1－x)＝f (1＋x)f (1＋x)＝－f (x－1)f (3＋x)＝－f (x＋1)＝f (x－1)T＝4f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)f (3)＝－f (1)f (4)＝－f (2)f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0f (2)＝f (－2)＝－f (2)f (2)＝0f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2选C
解法二：题意设f (x)＝2sin作出f (x)部分图象图示图知f (x)周期4f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2选C
答案 C
(1)函数f (x)图象两称中心分(a0)(b0)2|b－a|函数f (x)周期
(2)函数f (x)图象两条称轴分直线x＝a直线x＝b2|b－a|函数f (x)周期
(3)函数f (x)图象称中心(a0)条称轴直线x＝ba≠b4|b－a|函数f (x)周期
2逻辑推理
通提出问题证命题程否选择合适证方法途径予证明准确严谨数学语言表述证程考查逻辑推理素养
例2 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1O坐标原点F C右焦点F 直线C两条渐线交点分MN△OMN直角三角形|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
命题立意 题考查双曲线性质直线直线位置关系考查考生化转化力运算求解力考查核心素养逻辑推理数学运算
解题思路 双曲线－y2＝1渐线方程y＝±x∠MON＝60°妨设点F 直线直线y＝x交点M△OMN直角三角形妨设∠OMN＝90°∠MF O＝60°直线MN点F (20)直线MN方程y＝－(x－2)M|OM|＝＝|MN|＝|OM|＝3选B
答案 B
破解类题关键：会图根图形特征寻找转化桥梁题观察图形快速寻找直角三角形中直角位置二运算准确求解圆锥曲线试题运算准确
3．直观想象
通空间图形面图形观察图形数量关系分析通想象复杂数学问题进行直观表达否运图形空间想象思考问题感悟事物质形成解决问题思路考查直观想象素养
例3 (2018·全国卷Ⅰ)某圆柱高2底面周长16三视图图示圆柱表面点M正视图应点A圆柱表面点N左视图应点B圆柱侧面MN路径中短路径长度( )
A．2 B．2
C．3 D．2
命题立意 题考查三视图短路径问题考查考生运算求解力空间想象力考查数学核心素养直观想象
解题思路 三视图知该体图①示圆柱该圆柱高2底面周长16画出该圆柱侧面展开图图②示连接MNMS＝2SN＝4MN路径中短路径长度＝＝2选B
答案 B
4数学建模
通实际应问题处理否够运数学语言清晰准确表达数学建模程结果考查数学建模素养
例4 (2018·北京高考)十二均律通音律体系明代朱载堉早数学方法计算出半音例理发展做出重贡献十二均律纯八度音程分成十二份次十三单音第二单音起单音频率前单音频率等第单音频率f 第八单音频率( )
A．f Bf
Cf Df
命题立意 题音律体系中十二均律背景机国古代音律方面成数学中等数列结合起考查考生阅读理解力运算求解力分析问题解决问题力考查核心素养数学建模
解题思路 第二单音起单音频率前单音频率等第单音频率f 等数列概念知十三单音频率构成首项f 公等数列记{an}第八单音频率
a8＝f ·()8－1＝f 选D
答案 D
5．数学运算
通类数学问题特综合性问题处理否做明确运算象分析运算条件选择运算法握运算方设计运算程序获取运算结果考查数学运算素养
例5 (2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0203b＝log203( )
A．a＋b
解题思路 a＝log0203b＝log203＝log0302＝log032＋＝log03040<＋<10<<1a>0b<0ab<0ab
6．数分析
通概率统计问题中量数分析加工否获数提供信息呈现规律进分析机现象质特征发现机现象统计规律考查数分析素养
例6 (2018·全国卷Ⅱ)图某区2000年2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)折线图
预测该区2018年环境基础设施投资额建立y时间变量t两线性回模型根2000年2016年数(时间变量t值次12…17)建立模型①：＝－304＋135t根2010年2016年数(时间变量t值次12…7)建立模型②：＝99＋175t
(1)分利两模型求该区2018年环境基础设施投资额预测值
(2)认模型预测值更？说明理
命题立意 题考查线性回模型折线统计图意考查数处理力运算求解力图形识力考查核心素养数分析
解题思路 (1)利模型①该区2018年环境基础设施投资额预测值＝－304＋135×19＝2261(亿元)
利模型②该区2018年环境基础设施投资额预测值＝99＋175×9＝2565(亿元)
(2)利模型②预测值更
理：
a．折线图出2000年2016年数应点没机散布直线＝－304＋135t说明利2000年2016年数建立线性模型①描述环境基础设施投资额变化趋势2010年相2009年环境基础设施投资额明显增加2010年2016年数应点位条直线附说明2010年开始环境基础设施投资额变化规律呈线性增长趋势利2010年2016年数建立线性模型＝99＋175t较描述2010年环境基础设施投资额变化趋势利模型②预测值更
b．计算结果相2016年环境基础设施投资额220亿元模型①预测值2261亿元增幅明显偏低利模型②预测值增幅较合理说明利模型②预测值更
2种理答出中种合理理均
三复备考求
1．重视基概念复
概念定义出发表里伪存真掌握概念质属性提升数学素养必条件概念复中避免模式化避免机械套关结
2．重视基定理公式复
学生存重应轻推导现象重视定理公式应忽视公式推导定理证明事实重视公式推导定理证明仅利理解掌握定理公式理解公式间相互关系进步挖掘公式中蕴含数学思想成解决关问题敲门砖
3．重视基技复
基技数学基础知识重组成部分数学建模数学运算数分析等核心素养中影子历年高考考查重点基技复包括掌握入手点解隐藏点熟悉易错点
4．重视数学质
数学核心素养中数学抽象数学基思想形成理性思维重基础反映数学质特征贯穿数学知识产生发展应全程中
导数函数重概念时研究函数性质解决函数关问题重工具复中仅仅重视导数概念运算应突出导数工具性突出导数研究函数关性质解决函数关问题时工具作
5．重视中国古代数学文化
年高考试题增加中国传统文化进行考查容中国古代文明作试题背景材料体现中国传统文化类发展社会进步贡献
类题目然难度立意新颖富创新精神特巧妙利国优秀传统文化设计试题仅学生国传统文化解时考查学生种力阅读力思维力运算力数处理力等渗透数学核心素养
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