专题十 计数原理
第三十讲 二项式定理
2019 年
1（2019 全国 III 理 4）（1+2x2 ）（1+x）4 展开式中 x3 系数
A．12 B．16 C．20 D．24
2．（2019 浙江 13）二项式 9( 2 )x 展开式中常数项________系数理数
项数_______
3（2019天津理10）
8
3
12 8x x

展开式中常数项

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅲ) 252()x x 展开式中 4x 系数
A．10 B．20 C．40 D．80
2．（ 2017 新课标Ⅰ） 6
2
1(1 )(1 )xx展开式中 2x 系数
A．15 B．20 C．30 D．35
3．（ 2017 新课标Ⅲ） 5( )(2 )x y x y展开式中 33xy系数
A． 80 B． 40 C．40 D．80
4．(2016 年四川) 设i 虚数单位 6()xi 展开式中含 4x 项
A．－15 B．15 C．－20 4ix D．20 4ix
5．（2015 湖北）已知(1 )nx 展开式中第 4 项第 8 项二项式系数相等奇数项二
项式系数
A． 122 B． 112 C． 102 D． 92
6．（ 2015 陕西）二项式( 1) ( )nx n N展开式中 2x 系数 15 n 
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（ 2015 湖南）已知 5()ax
x
 展开式中含
3
2x 项系数 30 a 
A． 3 B． 3 C．6 D．－6
8．（ 2014 浙江） 46 )1()1( yx  展开式中记 nm yx 项系数 )( nmf
(30)f  (21)f (12)f (03)f
A．45 B．60 C．120 D． 210
9．（ 2014 湖南） 51( 2 )2 xy 展开式中 23xy系数
A．－20 B．－5 C．5 D．20
10．（2013 辽宁）  13
n
x n N
xx 

展开式中含常数项 n
A． 4 B．5 C．6 D．7
11．（ 2013 江西）
5
2
3
2x x

展开式中常数项
A．80 B．－80 C．40 D．－40
12．（ 2012 安徽） 25
2
1( 2)( 1)x x展开式常数项（ ）
A． 3 B． 2 C．  D．
13．（2012 天津） 251(2 )x x 二项展开式中 x 系数
A．10 B．－10 C．40 D．－40
14．（ 2011 福建） 5(1 2 )x 展开式中 2x 系数等
A．80 B．40 C．20 D．10
15．（ 2011 陕西） 6(4 2 )xx （ xR）展开式中常数项
A． 20 B． 15 C．15 D．20
二填空题
16．(2018 天津) 51()
2
x
x
 展开式中 2x 系数 ．
17．(2018 浙江)二项式 83 1()2x x 展开式常数项___________．
18．（ 2017 浙江）已知项式 32( 1) ( 2)xx 5 4 3 2
1 2 3 4 5x a x a x a x a x a     4a ___
5a ___．
19．（ 2017 山东）已知 (1 3 )nx 展开式中含 2x 项系数54 n  ．
20．(2016 年山东) 251()ax
x
 展开式中 5x 系数80实数 a_______．
21．(2016 年全国 I) 5(2 )xx 展开式中x3 系数 ．（数字填写答案）
22．（2015 北京） 52 x 展开式中 3x 系数 ．（数字作答）
23．（ 2015 新课标 2） 4( )(1 )a x x 展开式中 x 奇数次幂项系数 32
a ______．
24．（ 2014 新课标 1） 8( )( )x y x y展开式中 27xy系数 ．(数字填写答案)
25．（ 2014 新课标 2） 10xa 展开式中 7x 系数 15 a ___．(数字填写答案)
26．（ 2014 山东）
6
2 bax x

展开式中 3x 项系数 20 22ab 值 ．
27．（ 2013 安徽）
8
3
ax
x

展开式中 4x 系数 7实数 a ______．
28．（ 2012 广东） 261()x x 展开式中 3x 系数______．（数字作答）
29．(2012 浙江)函数 5()f x x 表示 2
0 1 2( ) (1 ) (1 )f x a a x a x    
5
5 (1 )ax   中 0a 1a 2a … 5a 实数 3a  ．
30．（ 2011 浙江）设二项式 )0()( 6  a
x
ax 展开式中 3x 系数 A常数项 B
B4A a 值 ．
31．（ 2010 安徽） 6()xy
yx
 展开式中 3x 系数等 ．
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专题十 计数原理
第三十讲 二项式定理
答案部分
2019 年
1 解析
24(1 2 )(1 )xx展开式中 3x 系数
3 1 3
441 C 1 2 C 1 12      ．选 A．

2．解析：二项式 9
2 x 展开式通项
9
9 2
1 9 9C ( 2) 2 C
r
r r r r r
rT x x


 ．
0r  常数项 1 16 2T  r13579时系数理数系数理
数项数5．
3解析 题意知二项式展开式通项  8
r+1 8 3
1C2 8
r
rrTxx
   

 8 8 8 4 8 4
883
11C 2 C 1 28
rr
rr r r r r rxxx
              
．
8 4 0r 2r  时
r1T 
常数项时  22 8 4 2
3 2 1 8C 1 2 28TT 
     ．

20102019 年
1．C解析 2 5 10 3
1 5 5
2C ( ) ( ) C 2r r r r r r
rT x xx

 10 3 4r 2r  4x 系
数 22
5C 2 40．选 C．
2．C解析 6
2
1(1 )(1 )xx展开式中含 2x 项 2 2 4 4 2
662
11 30C x C x xx    2x 前系
数 30选 C．
3．C解析 5(2 )xy 展开式通项公式： 5
15C (2 ) ( )r r r
rT x y
 
3r  时 5(2 )x x y 展开式中 33xy系数 3 2 3
5C 2 ( 1) 40    
2r  时 5(2 )y x y 展开式中 系数 2 3 2
5C 2 ( 1) 80   
33xy系数80 40 40．选 C．
4．A解析通项 6
16 ( 012 6)r r r
rT C x i r
    令 2r  含 4x 项 2 4 2 4
6 15C x i x
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选 A．
5．D解析(1 )nx 展开式中第 4 项第 8 项二项式系数相等 37CCnn
解 10n 二项式 10(1 )x 展开式中奇数项二项式系数 10 91 222 ．
6．C解析 1 2 2( 1) (1 ) 1n n n n
n n nx x C x C x C x     知 2 15nC 
∴ ( 1) 152
nn  解 6n  5n  (舍)选 C．
7．D解析
5
2
15( 1) rr r r
rT C a x 
  令 1r 5 30a 6a   选 D．
8．C解析题意知 30
64(30) C Cf  21
64(21) C Cf  12
64(12) C Cf  03
64(03) C Cf 
(30) (21) (12) (03) 120f f f f    ．
9．A解析二项展开式通项第四项 3 2 3 2 3
45
1( ) ( 2 ) 202T C x y x y    23xy
系数－20选 A．
10．B解析通项
5
21(3 ) ( ) 3 nrr n r r r n r
nnC x C x
xx
 常数项满足条件 5
2nr 2r 
时 5n  ．
11．C解析 2 5 10 5
1 5 53
2( ) ( ) ( 2)r r r r r r
rT C x C xx

     令10 5 0r解 2r 
常数项 22
5( 2) 40C．
12．D解析第式取 2x 第二式取 2
1
x
： 14
51 ( 1) 5C   第式取 2
第二式取 5( 1) ： 52 ( 1) 2    展开式常数项5 ( 2) 3   ．
13．D解析∵ 2 5 1
+1 5 (2 ) ( )r r r
rT C x x 5 103
52 ( 1)r r r rCx ∴10 3 1r 3r
∴ x 系数 40 ．
14．B解析 5(1 2 )x 展开式中含 2x 系数等 2 2 2
5 (2 ) 40C x x 系数 40答案选 B．
15．C解析 6 2 (6 ) 12 3
1 6 6 6(4 ) (2 ) 2 2 2rxr xr r xr xr r xxr
rTCCC    
      
令12 3 0x xr 4r  4
5615TC选 C．
16． 5
2
解析
355 2
1 5 5
11C()C()22
r
r r r r r
rT x x
x

     令 3522 r 2r 
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2x 系数 22
5
15C()22．
17．7解析
8 8 4
33
1 8 8
11C()C()22
rr
r r r r
rT x xx

 令 84 03
r  解 2r  求
常数项 22
8
1C ( ) 72．
18．164解析 32( 1) ( 2)xx变换 32(1 ) (2 )xx通项 32
32C 1 C 2r r r m m mxx
取 0 1rm 1 0rm
0 1 1 0 2
4 3 2 3 2CC 2+CC 2 412 16a       令 0x  5 4a  ．
19．4解析  1 C 3 C 3rr r r r
r n nΤ xx     令 2r  ： 22C 3 54n  解 4n  ．
20． 2 解析
5102 5 5 2
1 5 5
1()() rr r r r r
rT C ax C a x
x

  510 5 22 rr   
2 5 2
5 80 2C a a     
21．10解析 5(2 )xx 5552
1 5 5C (2 ) ( ) 2 C
r
r r r r r
rT x x x 
 令 532
r 4r 
时系数 10．
22．40解析通项公式 5
152r r r
rT C x
 令 3r 出 3x 系数 32
5C 2 40 ．
23．3解析 4(1 )x+ 展开式通项 14Crr
rTx  题意知
1 3 0 2 4
4 4 4 4 4( ) 32a C C C C C     解 3a  ．
24．－20解析 8()xy 中 8
18Cr r r
rT x y
  令 7r  令 6r 
27xy系数 76
8820CC   ．
25． 1
2
解析二项展开式通项公式 10
1 10
r r r
rT C x a
  10 7r时 3r 
3 3 7
4 10T C a x 33
10 15Ca 1
2a  ．
26．2解析 2 6 6 12 3
1 6 6()()r r r r r r r
r
bT C ax C a b xx
  
 令12 3 0r 3r 
3 3 3
6 20C a b  ∴ 221 2 2ab a b ab  ≥ 仅 1ab 1ab   时等
号成立．
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27．
2
1 解析通项
2
17343
48)( 33
8
3
8
83
8
8   aaCrrxaC
x
axC
rrrrrrr
．
28．20解析 261()x x 展开式中第 1k  项
2(6 ) 12 3
1 6 6 ( 012 6)k k k k k
kT C x x C x k  
   
令12 3 3 3kk    ： 3x 系数 3
6 20C  ．
29．10解析法：等式两边应项系数相等．
：
5
4
5 5 4 3
31
5 5 4 4 3
1
0 10
0
a
C a a a
C a C a a

    
   
．
法二：等式：        255
0 1 2 51 1 1f x x a a x a x a x         两边连续 x 求导三
次： 22
3 4 560 6 24 (1 ) 60 (1 )x a a x a x     运赋值法令 1x  ： 360 6a
3 10a  ．
法三： 55( ) ( 1 1 )f x x x     32
35( 1) 10aC  
30．2解析题意   kkk
k
kk
k xCa
x
axCT 2
36
6
6
61

 





∴   2
6
2 CaA    4
6
4 CaB  ∵ AB 4
∴   4
6
4 Ca   2
6
24 Ca 解 42 a ∵ 0a ∴ 2a ．
31．15解析 4 4 2 3
6 ( ) ( ) 15xyCx
yx
 ．

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