高考二轮复习数学理配套讲义13 椭圆、双曲线、抛物线

微专题13　椭圆双曲线抛物线
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T8·直线抛物线位置关系
2018·全国卷Ⅰ·T11·双曲线性质
2018·全国卷Ⅱ·T5·双曲线渐线
2018·全国卷Ⅱ·T12·椭圆离心率
2018·全国卷Ⅲ·T11·双曲线离心率
圆锥曲线定义方程性质年高考必考容选择填空题形式考查常出现第4～1115～16题位置着重考查圆锥曲线性质标准方程难度中等


考 圆锥曲线定义标准方程
例1　(1)(2018·衡水中学五调)设F1F2分椭圆＋＝1左右焦点P椭圆意点点M坐标(64)|PM|－|PF1|值________
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0b>0)离心率2右焦点垂直x轴直线双曲线交AB两点设AB双曲线条渐线距离分d1d2d1＋d2＝6双曲线方程(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　(1)椭圆方程知F2(30)椭圆定义|PF1|＝2a－|PF2||PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a仅MPF2三点线时取等号|MF2|＝＝52a＝10|PM|－|PF1|≥5－10＝－5|PM|－|PF1|值－5
(2)d1＋d2＝6双曲线右焦点渐线距离3b＝3双曲线－＝1(a>0b>0)离心率2＝2＝4＝4解a2＝3双曲线方程－＝1选C
答案　(1)－5　(2)C

(1)准确握圆锥曲线定义标准方程简单性质注意焦点坐标轴时椭圆双曲线抛物线方程表示形式
(2)求解圆锥曲线标准方程方法先定型计算谓定型指确定类型谓计算指利定系数法求出方程中a2b2p值代入写出椭圆双曲线抛物线标准方程
变|式|训|练
1．已知双曲线－y2＝1左右焦点分F1F2点P双曲线满足|PF1|＋|PF2|＝2△PF1F2面积(　　)
A．1 B．
C． D．
解析　双曲线－y2＝1中a＝b＝1c＝2妨设P点双曲线右支|PF1|－|PF2|＝2a＝2|PF1|＋|PF2|＝2|PF1|＝＋|PF2|＝－|F1F2|＝2c＝4|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2PF1⊥PF2S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1选A
答案　A
2．(2018·昆明调研)抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F倾斜角锐角直线lC交AB两点线段AB中点N垂直l直线C准线交点M|MN|＝|AB|l倾斜角(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析　分ABN作抛物线准线垂线垂足分A′B′C抛物线定义知|AF|＝|AA′||BF|＝|BB′||NC|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB||MN|＝|AB||NC|＝|MN|∠MNC＝60°直线MN倾斜角120°直线MN直线l垂直直线l倾斜角锐角直线l倾斜角30°选B
答案　B
考二 圆锥曲线性质
微考1：圆锥曲线简单性质
例2　(1)已知双曲线C1：－y2＝1双曲线C2：－y2＝－1出列说法中错误(　　)
A．焦距相等
B．焦点圆
C．渐线方程相
D．离心率相等
(2)(2018·福州联考)双曲线－＝1(a>0b>0)左右焦点分作双曲线两条渐线行线4条直线围成四边形周长8b该双曲线渐线方程(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析　(1)题意知C2：y2－＝1两双曲线焦距相等2c＝2焦点圆x2＋y2＝3实圆坐标轴交点渐线方程y＝±x实轴长度离心率e＝选D
(2)双曲线称性该四边形菱形该四边形周长8b菱形边长2b勾股定理4条直线y轴交点x轴距离＝4条直线分两条渐线行＝解a＝b该双曲线渐线斜率±1该双曲线渐线方程y＝±x选A
答案　(1)D　(2)A

(1)椭圆双曲线中abc间关系
椭圆中：a2＝b2＋c2离心率e＝＝ 双曲线中：c2＝a2＋b2离心率e＝＝
(2)双曲线－＝1(a>0b>0)渐线方程y＝±x注意离心率e渐线斜率关系
变|式|训|练
1．已知双曲线－x2＝1两条渐线分抛物线y2＝2px(p>0)准线交AB两点O坐标原点△OAB面积1p值(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析　双曲线两条渐线方程y＝±2x抛物线准线方程x＝－AB两点坐标|AB|＝2pS△OAB＝·2p·＝＝1p>0解p＝选B
答案　B
2．(2018·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m>0n>0)离心率椭圆＋＝1离心率互倒数双曲线C渐线方程(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝03x±4y＝0
D．4x±5y＝05x±4y＝0
解析　题意知椭圆中a＝5b＝4椭圆离心率e＝＝双曲线离心率＝＝双曲线渐线方程y＝±x＝±x4x±3y＝0选A
答案　A
微考2：离心率问题
例3　(2018·全国卷Ⅱ)已知F1F2椭圆C：＋＝1(a>b>0)左右焦点AC左顶点点PA斜率直线△PF1F2等腰三角形∠F1F2P＝120°C离心率(　　)
A． B．
C． D．
解析　

题意椭圆焦点x轴图示设|F1F2|＝2c△PF1F2等腰三角形∠F1F2P＝120°|PF2|＝|F1F2|＝2c|OF2|＝c点P坐标(c＋2ccos60°2csin60°)点P(2cc)点PA斜率直线＝解＝e＝选D
答案　D

椭圆双曲线离心率(离心率范围)求法
求椭圆双曲线离心率离心率范围关键根已知条件确定abc等量关系等关系然bac代换求值
变|式|训|练
1．(2018·广州调研)直角坐标系xOy中设F双曲线C：－＝1(a>0b>0)右焦点P双曲线C右支点△OPF正三角形双曲线C离心率(　　)
A． B．
C．1＋ D．2＋
解析　解法：设F′双曲线左焦点|F′F|＝2c题意|PO|＝|PF|＝c连接PF′双曲线定义|PF′|－|PF|＝2a|PF′|＝2a＋c△PF′O中∠POF′＝120°余弦定理cos120°＝化简c2－2ac－2a2＝02－2×－2＝0解＝1＋＝1－(合题意舍)双曲线离心率e＝1＋选C

解法二：题意|OP|＝|OF′|＝c＝|PF|△OPF正三角形∠F′OP＝120°|PF′|＝c|PF′|－|PF|＝2a＝c－ce＝＝＝＋1选C
答案　C
2．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－10)B(10)动点P(xy)直线l：y＝x＋3移动椭圆CAB焦点点P椭圆C离心率值(　　)
A． B．
C． D．
解析　解法：妨设椭圆方程＋＝1(a>1)直线l方程联立消y(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0解a≥e＝＝≤e值选A

解法二：求椭圆C离心率值c＝1e＝需求a值P椭圆定义|PA|＋|PB|＝2aA(－10)关直线l：y＝x＋3称点A′(－32)|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝22a≥2a≥emax＝＝选A
答案　A
考三 直线圆锥曲线位置关系
例4　(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－11)抛物线C：y2＝4xC焦点斜率k直线C交AB两点∠AMB＝90°k＝________
解析　解法：设A(x1y1)B(x2y2)y－y＝4(x1－x2)k＝＝取AB中点M′(x0y0)分点AB作准线x＝－1垂线垂足分A′B′∠AMB＝90°|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)M′AB中点MM′行x轴M(－11)y0＝1y1＋y2＝2k＝2
解法二：题意知抛物线焦点(10)C焦点斜率k直线方程y＝k(x－1)(k≠0)消yk2(x－1)2＝4xk2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0设A(x1y1)B(x2y2)x1＋x2＝x1x2＝1消xy2＝4y2－y－4＝0y1＋y2＝y1y2＝－4∠AMB＝90°·＝(x1＋1y1－1)·(x2＋1y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0x1＋x2＝x1x2＝1y1＋y2＝y1y2＝－4代入k＝2
答案　2

直线方程代入圆锥曲线方程元二次方程利根系数关系解决关相交问题弦长问题中点问题等时采设求方法点差法
变|式|训|练
1．(2018·潍坊统考)已知抛物线y2＝4x直线2x－y－3＝0相交AB两点O坐标原点设OAOB斜率分k1k2＋值(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析　设AB易知y1y2≠0k1＝k2＝＋＝x＝代入y2＝4xy2－2y－6＝0y1＋y2＝2＋＝选D
答案　D
2．(2018·常德模)已知抛物线C：y2＝4x焦点FF直线l交抛物线CAB两点弦AB中点M抛物线C准线距离5直线l斜率(　　)
A．± B．±1
C．± D．±
解析　题意知直线l斜率存零设直线l方程y＝k(x－1)点A(x1y1)B(x2y2)线段AB中点M(x0y0)k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0x1＋x2＝弦AB中点M抛物线C准线距离5＋＝＋1＝5x1＋x2＝＝8解k2＝k＝±选C
答案　C

1．(考)(2018·惠州调研)设F1F2椭圆＋＝1两焦点点P椭圆线段PF1中点y轴值(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
解析　

图设线段PF1中点MOF1F2中点OM∥PF2PF2⊥x轴求|PF2|＝|PF1|＝2a－|PF2|＝＝选D
答案　D
2．(考)已知双曲线C：－＝1(a>0b>0)条渐线方程y＝x椭圆＋＝1公焦点C方程(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　y＝x＝　①椭圆＋＝1焦点(30)(－30)a2＋b2＝9　②①②a2＝4b2＝5C方程－＝1选B
答案　B
3．(考二)(2018·贵阳摸底)椭圆C：＋＝1(a>b>0)左顶点A右焦点F点F垂直x轴直线交CPQ两点cos∠PAQ＝椭圆C离心率e(　　)
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
解析　解法：根题意取PQtan∠PAF＝＝＝＝＝1－ecos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝椭圆离心率e取值范围(01)1－e＝e＝选A
解法二：设∠PAF＝αcos∠PAQ＝cos2α＝cos2α＝＝cosα＝sinα＝tanα＝＝a(a＋c)＝2b2＝2(a2－c2)2c2＋ac－a2＝02e2＋e－1＝0解e＝选A

答案　A
4．(考二)(2018·洛阳统考)椭圆＋＝1点H作圆x2＋y2＝2两条切线AB切点AB直线lx轴y轴分交PQ两点△POQ(O坐标原点)面积值(　　)
A． B．
C．1 D．
解析　题意设H(3cosθ2sinθ)(sinθcosθ≠0)题意知HAOB四点圆OH直径圆方程x(x－3cosθ)＋y(y－2sinθ)＝0x2＋y2－3xcosθ－2ysinθ＝0两圆方程相减公弦AB直线方程3xcosθ＋2ysinθ－2＝0PQS△POQ＝××＝×≥×1＝选B
答案　B
5．(考三)(2018·郑州质检)设抛物线y2＝4x焦点F点M(0)直线抛物线相交AB两点抛物线准线相交C点|BF|＝3△BCF△ACF面积＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　设点A第象限点B第四象限A(x1y1)B(x2y2)直线AB方程x＝my＋y2＝4xp＝2|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1x2＝2y＝4x2＝4×2＝8y2＝－2y2－4my－4＝0根系数关系y1y2＝－4y1＝y＝4x1x1＝点A作AA′垂直准线x＝－1垂足A′点B作BB′垂直准线x＝－1垂足B′易知△CBB′∽△CAA′＝＝|BB′|＝|BF|＝3|AA′|＝x1＋＝＋1＝＝＝选D
答案　D


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