初中数学复习 初三预习暑假提前讲义


    1

    元二次方程定义:含未知数未知数高次数 2 整式方程
    做元二次方程.
    (1)般关 x 元二次方程整理化成形式
    2 0ax bx c    0a  种形式元二次方程般形式.
    中 2ax 做二次项a 做二次项系数bx 做次项b 做次项系数
    c 做常数项.次项系数 b 常数项 c 取意实数二次项系数 a 等 0
    实数 0a  时方程中没二次项方程元二次方程.
    (2)确定二次项系数次项系数常数项必须先元二次方程化成
    般式.
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    1 元二次方程定义
    第课 元二次方程解法2
    例1 (1)列式  1 105 x
    24 03
    x
     

    22
    02
    xy  1 0xx  2 30xx
    中元二次方程数( )
    A.2 B.3
    C.4 D.5
    (2) 210ba   列方程定元二次方程( )
    A. 2 50ax x b   B.   221 3 5 0b x a x    
    C.   21 1 7 0a x b x     D.  21 1 0b x ax   
    例2 (1)方程    2 5 2x x x   化成般式 abc 值分( )
    A.1 3 10 B.17 10
    C.1 5 12 D.132
    (2)列元二次方程中常数项 0 ( )
    A. 2 1xx B. 22 12 0xx  
    C.  22( 1) 3 1xx   D. 22( 1) 2xx  
    例3 已知方程 22 4 0abx x x    关 x 元二次方程求 值.
    典型例题 3
    元二次方程左右两边相等未知数值做元二次方程解元
    二次方程根.
    例4 (1)关 x 方程 2 60x kx   根 3x  实数 k 值( )
    A.1 B. 1
    C.2 D. 2
    (2)关 x 元二次方程  221 1 0a x x a     根 0 a 值
    ( )
    A.1 B.
    C.1 D. 1
    2
    例5 已知关 x 元二次方程 2 0x ax b   非零根 b ab 值
    ( )
    A.1 B.
    C.0 D.
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    典型例题
    2 元二次方程根 4
    直接开方法
    利方根定义直接开方求元二次方程解方法.
    形  2 0x p p   2 00mx n p m p    直接开方解:
    1xp 2xp 1
    pnx m
     2
    pnx m
     .
    例6 直接开方法解元二次方程: 229x 
    例7 (1)元 二次方程 225 144 0t 根 2 491 25x 根( )
    A.相 B.
    C.相 D.均
    (2)关 x 元二次方程  2 7a x b根 11722 中 ab 常
    数 ab 值( )
    A. 5
    2 B. 9
    2
    C.3 D.5
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    3 元二次方程解法
    典型例题 5
    例8 出种运算:函数 nyx 规定 1ny n x   .函数 4yx
    34yx  已知函数 3yx 方程 12y  解( )
    A. 1 4x  2 4x  B. 1 2x  2 2x 
    C. 120xx D. 1 23x  2 23x 
    配方法
    般步骤:
    第步:方程左边二次项次项右边常数项
    第二步:方程两边时二次项系数
    第三步:方程两边加次项系数半方原方程化 2x m n
    形式
    第四步:直接开方解变形方程.
    例9 (1)配方法解元二次方程: 2 4 1 0xx  
    (2)元二次方程 2 6 5 0xx   化成 2x a b形式 ab  ______.
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    典型例题 6
    例10 丽学解方程 简步骤
    : 解:
    两边 8 第步: 2 11084xx  
    移项 第二步: 2 11
    84xx
    配方 第三步:
    21 1 1
    12 4 12x  

    开方 第四步: 11
    12 3x   
    移项 第五步: 1
    11
    12 3x  2
    11
    12 3x  .
    述程发生第次错误( )
    A.第步 B.第二步
    C.第三步 D.第四步
    例11 已知元二次方程 2 30x mx   配方  2 22xn元二次方程
    2 30x mx   配方( )
    A. 25 28x  B. 25 19x  25 19x 
    C. D.  25 28x 
    例12 果    2 2 3 2 3 2 0 0mx m x m m      左边关 x 完全方式
    m 等( )
    A.1 B. 1
    C.1 9 D. 9 7
    公式法
    般步骤:
    第步:化方程般形式 2 0ax bx c    0a 
    第二步:确定 abc 值计算 2 4b ac 值
    第三步: 2 40b ac时 abc 值代入求根公式出方
    程根
    2 4
    2
    b b acx a
       2 40b ac时方程实数根.
    例13 公式法解元二次方程: 22 2 0xx  
    例14 (1)已知元二次方程 2 30xx   较根 面 估计正确
    ( )
    A. 121x    B. 132x   
    C. 123x D. 110x  
    (2)方程  2 2 1 0mm x x    元二次方程方程根( )
    A. 1
    15
    2x  2
    15
    2x  B. 1
    51
    4x  2
    51
    4x 
    C. 1
    15
    2x  2
    15
    2x  D.答案
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    典型例题 8
    (3) 221x  24 2 5xx互相反数 x 值( )
    A. 1 2
    3
    B.1 3
    2
    C.1 2
    3 D. 3
    2
    例15 实数范围定义种运算*   2*1a b a ab   方程 2 *5 0x 
    解( )
    A. 2 B. 3
    C. 13
    2
     13
    2
     D. 15
    2
     15
    2
    
    式分解法
    般步骤:
    第步:已知方程化般形式方程右端 0
    第二步:左端二次三项式分解两次式积
    第三步:方程左边两式分 0两次方程解原方
    程解.
    例16 式分解法解元二次方程: 2 5 6 0xx  
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    典型例题 9
    例17 方程    2 3 7 3x x x   根( )
    A. 3x  B. 7
    2x 
    C. 1 3x  2
    7
    2x  D. 2
    7
    2x 
    例18 关 元二次方程  221 5 3 2 0m x x m m      根 0 m
    值( )
    A.1 B.2
    C.1 2 D.0
    例19 阅读材料:解方程   2221 5 1 4 0xx     2 1x  视整
    体然设 2 1xy  2221xy原方程化 2 5 4 0yy   ①解
    1 1y  2 4y  .
    1y  时 2 11x ∴ 2 2x  ∴ 2x 
    4y  时 2 14x  ∴ 2 5x  ∴ 5x 
    ∴原方程解 1 2x  2 2x  3 5x  4 5x  .
    解答问题:
    (1)填空:原方程方程①程中利换元法达________

    (2)利材料中方法解方程:  2214 24 0x x x x     .
    例20 已知  2 2 2 2 34x y x y    22xy____________________.
    例21 2
    2
    82 5 5 02 5 1xxxx   
    22 xx5 1值 10
    作业1 配方法关 x 方程 2 50x x n   变形 2 9xp配方
    法关 方程 2 51x x n    变形列形式( )
    A. 21 10xp   B. 2 8xp
    C. 218xp   D. 2 10xp
    作业2 4 数 abcd 排成 2 行2 列两边加条竖直直线记成 ab
    cd

    定义 ab ad bccd述记号做 2 阶行列式 11611
    xx
    xx
    

    _____________.
    作业 11
    般式子 2 4b ac 做方程 2 0ax bx c   ( )根判式通常
    希腊字母  表示 2 4b ac   .
    ① 2 40b ac    时方程两相等实数根
    ② 2 40b ac    时方程两相等实数根
    ③ 2 40b ac    时方程实数根.
    注意:
    ① abc 理数 完全方式时方程解理数
    ② 完全方式时 2 4b b ac   2a 整数倍方程根整数
    ③判式判定元二次方程根时先求出判式值
    ④判式常常逆:元二次方程两相等实数根时 0
    元二次方程两相等实数根时 0 元二次方程没实数根时
    0 .
    元二次方程根判式方面着广泛应:
    (1)运判式判定方程实数根数
    (2)利判式建立等式等式求方程中参数值取值范围
    (3)通判式证明方程相关代数问题存性问题.
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    1 元二次方程根判式
    第二课 元二次方程应
    a≠012
    例1 (1)列关 x 元二次方程中两相等实数根( )
    A. 2 10x  B. 2 10xx  
    C. 2 2 3 0xx   D. 24 4 1 0xx  
    (2)关 元二次方程方程   21 4 1 0k x x    两相等实数
    根 取值范围( )
    A. 5k  B. 1k 
    C. 5k  D. 5k 
    (3)关 元二次方程  21 2 2 0k x x    相等实数根 取
    值范围( )
    A. 1
    2k  B. 1
    2k 
    C. D.
    (4)列选项中关 元二次方程 2 40ax x c   定实数根
    ( )
    A. B. 0a 
    C. 0c  D. 0c 
    例2 满足等式组
    2 1 1
    1 22
    a
    a
      
    关 方程   2 12 2 1 02a x a x a     
    根情况( )
    A.两相等实数根 B.两相等实数根
    C.没实数根 D.三种情况
    典型例题
    x
    x
    x
    a
    k
    k
    a>013
    例3 k 值时关x 方程kx2 6x 9 0:
    (1)等两实数根(2)相等两实数根(3)没实数根.
    例4 已知 0a  b a c判断关 x 方程 2 0ax bx c   根情况.
    例5 已知关 x 方程  2 22kx k x k    相等两实数根求整数 k 值.
    例6 求证: m 取实数关 x 方程  2 30x m x m    两相等
    实数根. 14
    例7 (1)已知a b c 分Rt△ABC ( C90)三边长关x
    元二次方程   2 20c a x bx c a     根情况( )
    A.方程实数根 B.方程两相等实数根
    C.方程两相等实数根 D.法判断
    (2)果关 二次方程    221 2 1a x bx c x    两相等实数根
    正数 a bc 边长三角形( )
    A.锐角三角形 B.钝角三角形
    C.直角三角形 D.意三角形
    例8 等腰三角形 ABC 中 8BC  ABAC 长关 x 方程 2 10 0x x m  
    两根求 m 值.
    元二次方程应题包括:增长率问题单循环赛问题问题利润问
    题等.
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    2 元二次方程应题
    x15
    例9 互联网  时代中国线教育迅猛发展.根中国产业信息网数统
    计分析2014 年中国线教育市场产值约 1000 亿元2016 年中国线
    教育市场产值约 1440 亿元.求国线教育市场产值年增长率.
    例10 着阿里巴巴淘宝网京东米等互联网巨头崛起催生快递行业
    高速发展.调查杭州市某家型快递公司年月份三月份完成投递
    快递总件数分 10 万件 121 万件.现假定该公司月投递快递总件
    数增长率相.
    (1)求该快递公司投递快递总件数月均增长率
    (2)果均月投递快递 06 万件该公司现 21 名快
    递投递业务员否完成年 4 月份快递投递务?果请问少需
    增加名业务员?
    典型例题 16
    例11 (1)初中毕业时学间互送片留作纪念.某班 m 学生互送片
    2756 张列方程( )
    A.  1 2756mm B.  1 2756mm
    C.  1 27562
    mm  D.  1 27562
    mm 
    (2)组织次排球邀请赛参赛队间赛场根场
    时间等条件赛程计划安排 7 天天安排 4 场赛.设赛组织者应邀请
    队参赛 满足关系式( )
    A.  1 1 282 xx B.  1 1 282 xx
    C.  1 28xx D.  1 28xx
    (3)某次聚会两握次手握手 10 次设 参
    加次聚会列出方程正确( )
    A.  1 10xx B.  1 102
    xx 
    C.  1 10xx D.  1 102
    xx 
    (4)面重合两点确定条直线三点确定 3 条直线.
    面 点确定 21 条直线 值( )
    A.5 B.6
    C.7 D.8
    (5)四边形角线条数 2 条( 3n  整数)边形角线条数( )
    A.  3
    2
    nn B.  1
    2
    nn
    C.  3nn D.  1nn
    x
    x
    n n17
    例12 (1)图示长 100m宽 80m 矩形场修建两条宽度相等
    互相垂直道路剩余部分进行绿化.绿化面积 7644m2 道路宽应
    少?设道路宽 m 列方程( )
    A.100 80 100 80 7644xx   
    B.   2100 80 7644x x x   
    C.  100 80 7644xx  
    D.100 80 356xx
    (2)图示块长方形绿长 100m宽 50m.绿中开辟两条宽度
    样道路绿面积缩原 80.设道路宽 m列列方
    程正确( )
    A.  100 50 100 50 80xx    
    B.   2100 50 100 50 80x x x     
    C.   2100 50 100 50 80x x x     
    D.  50 100 100 50 1 80xx    
    (3)图某区规划长 40mAD  宽 26AB  m 矩形场 ABCD
    修建三条样宽通道(图中阴影部分)中两条 AB 行条
    AD 行余部分种植花草块种植花草场面积 144m2.
    设通道宽度 m根题意列方程( )
    A.  40 26 2 144 6xx   
    B.  40 2 26 144 6xx   
    C.  40 2 26 144 6xx   
    D.  40 26 2 144 6xx   
    x
    x
    x18
    例13 明暑假帮某服装店卖 T 恤衫时发现段时间T 恤衫件 80 元
    销售时天销售量 20 件单价降低 4 元天售出 8 件.已
    知该 T 恤衫进价件 40 元请问:件 T 恤衫降价少元时服装店
    卖该 T 恤衫天赢利 1200 元?果设件 T 恤衫降价 元列方程
    正确( )
    A.  80 20 1200xx   B.  80 20 2 1200xx  
    C.  40 20 1200xx   D.  40 20 2 1200xx  
    例14 山西特产专卖店销售核桃进价千克 40 元千克 60 元出售均
    天售出 100 千克市场调查发现单价降低 2 元均天
    销售增加 20 千克该专卖店销售种核桃想均天获利 2240 元
    请回答:
    (1)千克核桃应降价少元?
    (2)均天获利变情况利顾客赢市场该店
    应原售价折出售?
    x19
    作业1 已知 a b c分Rt△ABC C90 三边长关 元二
    次方程   2 20a b x cx a b     根情况( )
    A.方程实数根 B.方程两相等实数根
    C.方程两相等实数根 D.法判断
    作业2 某服装店销售批衬衫件进价 150 元开始件 200 元价格销售
    星期卖出 20 件库存积压决定降价销售两次降价
    件售价降 162 元星期卖出 96 件.
    (1)已知两次降价百分率相求次降价百分率.
    (2)聪明店降价程中发现适降价增加销量增加收
    入件衬衫售价降低 1 元销量会增加 2 件店想星期获利
    1750 元应售价定少元?
    作业 20
    二次函数定义:般形 ( ab c 常数a 0 )
    函数二次函数.中a 二次项系数b 次项系数 c
    常数项. (a b c 常数a 0 )做二次函数
    般式.二次函数变量x 取值范围全体实数.
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    1 二次函数定义
    典型例题
    第三课 二次函数图象性质21
    例2 (1)列函数中属二次函数( )
    A.  22yx B.   2 1 1y x x   
    C. 21y x x   D. 2
    1
    1y x 
    (2)列函数中二次函数( )
    ① 54yx ② 22 63y x x③ 322 8 3y x x   ④ 23 18yx⑤
    2
    312y xx  
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    例3 (1)已知  22my m x   关 二次函数 m 值( )
    A. 2 B.2
    C. 2 D.0
    (2)   2 113my m x mx    二次函数 值( )
    A. 1 B.2
    C. 1 D.1
    x22
    二次函数般式解析式: 2y ax ( 0a  )
    般式图象(五点作图法)坐标系画出列函数
    ①列表:
    x
    2yx
    2yx
    22yx
    ②描点
    ③连线
    性质
    开口
    称轴
    顶点
    变化趋势

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    x
    y
    O
    2 二次函数图象性质23
    例4 已知二次函数 2
    1 3yx 2
    2
    1
    3yx 2
    3
    3
    2yx 图象开口
    序( )
    A. 1 2 3y y y B. 3 2 1y y y
    C. 1 3 2y y y D. 2 3 1y y y
    例5 (1)二次函数 2y ax 图象点  24P  该图象必点( )
    A. 24 B. 2 4
    C. 42 D. 4 2
    (2)图面直角坐标系中二次函数表达式应( )
    A. 23
    2yx B. 22
    3yx
    C. 24
    3yx D. 23
    4yx
    例6 (1)已知点  1Am  1Bm  2 1Cm 函数图象函数
    图象( )
    A. B.
    C. D.
    典型例题 24
    (2)已知 直角坐标系中函数 y ax 2y ax 图象
    ( )
    A. B.
    C. D.
    例7 (1)已知点 12 y  21 y  33 y 函数 2yx 图象 1y 2y
    3y 关系( )
    A. 1 2 3y y y B. 3 1 2y y y
    C. 3 2 1y y y D. 213y y y
    (2)点  11Ay  22By 抛物线 2yx 列结正确
    ( )
    A. 120yy B. 12yy
    C. 120 yy D.
    例8 列说法错误( )
    A.二次函数 23yx 中 0x  时 增增
    B.二次函数 26yx 中 0x  时 值 0
    C.抛物线  2 0y ax a中 越图象开口越 越图象开口越
    D. 正数负数抛物线 顶点定坐标原点
    a≠0
    y x
    y
    a a25
    移:右移 h 单位移 单位  2y a x h k   ( )(顶
    点式)
    开口
    称轴
    顶点
    变化趋势

    知识导航
    x
    y
    O
    k a≠026
    例9 (1)二次函数  21 2 3yx    知( )
    A.图象开口 B.图象称轴直线 3x 
    C.值 1 D. 3x  时 增增
    (2)抛物线  21 132yx    列结:
    ①抛物线开口②称轴直线 1x 
    ③顶点坐标13 ④x 1时y x增减.
    中正确结数( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    例10 (1)设  12Ay  21By  32Cy抛物线  21y x a    三点
    1y 2y 3y 关系( )
    A. 1 2 3y y y B. 1 3 2y y y
    C. 3 2 1y y y D. 3 1 2y y y
    (2)二次函数  2 1y x m   1x  时 增减 m
    取值范围( )
    A. 1m  B. 1m 
    C. 1m  D. 1m 
    典型例题
    y x
    y x27
    (2) 21x   时二次函数  2 2 1y x m m     值 4实数 m
    值( )
    A. 3 3 B. 2
    C. 7
    4 3 D. 2
     2y a x h k   ( )括号 ( )
    知识导航
    x
    y
    O
    a≠0 a≠028
    开口
    称轴
    顶点
    变化趋势

    例12 (1)抛物线 234yx   开口方顶点坐标分( )
    A. 04 B. 0 4
    C. D.
    (2)二次函数 2 1y ax x   图象必点( )
    A. 0a B. 1 a
    C. 1 a D. 0 a
    例13 (1)二次函数 y x部分应值表:
    列判断中正确( )
    A.抛物线开口 B. 值 4
    C. 02x时 2y  D.>1 时 y x增减
    x … 0 1 3 4 …
    y … 2 4 4 2 …
    典型例题 29
    (2)二次函数 y ax2 bx c 变量x 函数y 应值
    表:
    列说法正确( )
    A.抛物线开口 B. 3x  时 增增
    C.二次函数值 2 D.抛物线称轴 5
    2x 
    例14 (1)抛物线 ( )图象图示( )
    A. 0b  0c 
    B. 0b 
    C. 0c 
    D.
    (2)函数 2 2y x mx   ( 0m  )图象( )
    (3)坐标系函数 2y kx 2y kx( 0k  )图象致图( )
    x … 5 4 3 2 1 0 …
    y … 4 0 0 4 …
    y x
    a≠030
    例15 图直角坐标系中Rt AOB△ 顶点坐标分  02A  00O  40B
    AOB△ 绕O 点逆时针方旋转 90° COD△ .
    (1)求 C D 两点坐标
    (2)求 B 三点抛物线解析式
    (3)设(2)中抛物线顶点 P AB 中点  21M 试判断 PMB△
    钝角三角形直角三角形锐角三角形说明理. 31
    般式顶点式互化
    顶点式化成般式:直接括号化简整理
    般式化成顶点式:两种方法
    ① 配方法:
    ② 公式法:
    例16 (1)二次函数 2 24y x x   化  2y a x h k   形式列正确
    ( )
    A.  212yx   B.  213yx  
    C.  222yx   D.  224yx  
    (2)二次函数 2 21y x x   配方成顶点式( )
    A.  21yx B.  212yx  
    C.  211yx   D.  212yx  
    知识导航
    典型例题 32
    例17 通配方列函数化成  2y a x m k   形式求出函数值
    值.
    (1) 2 2y x x   (2) 22 4 1y x x   
    (3) 21 32y x x (4) 23 2 1y x x   . 33
    作业1 二次函数 2 2y x x   .列四结:①称轴直线 1x 
    ②设 2
    1 1 12y x x   2
    2 2 22y x x   21xx 时 21yy ③图象
    轴两交点 00  20 ④ 02x时 0y  .中正确结
    数( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    作业2 已知  3Pm  1Qm抛物线 221y x bx   两点.
    (1)求 值
    (2)抛物线 图象移 ( 正整数)单位
    移图象 轴交点求 值.
    作业
    x
    x k
    k
    b34

    二次函数三种表示形式解析式确定
    (1)二次函数三种表示形式
    ①般式: 2y ax bx c   ( a b c 常数 0a  )
    ②顶点式: 2()y a x h k   ( h k 常数 )
    ③两根式: 12( )( )y a x x x x   ( 1x 2x 抛物线 x 轴两交点横坐
    标).
    注意:二次函数解析式化成般式顶点式非二次
    函数写成交点式抛物线 轴交点 2 40b ac时抛物线解
    析式交点式表示.二次函数解析式三种形式互化.
    (2)二次函数解析式确定
    根已知条件确定二次函数解析式通常利定系数法.定系数法求二
    次函数解析式必须根题目特点选择适形式解题简便.
    ①已知抛物线三点坐标般选般式
    ②已知抛物线顶点称轴()值般选顶点式
    ③已知抛物线 轴两交点横坐标般选两根式
    ④已知抛物线坐标相两点常选顶点式.
    知识导航
    1 二次函数解析式求法
    第四课 二次函数方程等式综合35
    例1 已知二次函数 2y ax bx c   图象(图)试求该二次函数表达式.
    例2 (1)果二次函数 图象顶点坐标 24 原点
    求二次函数表达式.
    (2)变式:果二次函数 图象原点 2x  时函
    数值 4求二次函数表达式.
    (3)变式二:果二次函数 图象原点称轴直线
    高点坐标 4求二次函数表达式.
    典型例题 36
    例3 已知二次函数 y  x2 bx c 图象点 求二次函
    数表达式
    例4 已知二次函数  2 0y ax bx c a    图象图示求解析式.(三种方
    法求解)
     14C
     10A  x
    B
    y 37
    二次函数 y 轴交点求法
    二 次 函 数  2 0y ax bx c a    0x 时 yc 二 次 函 数
    轴交点坐标 0c .
    二次函数 轴交点数交点坐标求法
    二次函数 0y  时  2 00ax bx c a    元
    二次方程方程解抛物线 x 轴交点横坐标 x 轴交点数规律:
    中 0 时二次函数 图象
    轴两交点
    中 0 时二次函数 图象
    轴交点
    中 0 时二次函数 图象
    轴没交点.
    总结:
    图象 轴交点 2 0ax bx c   根情况 根判式 2 4b ac
    两交点 两等实根
    交点 两相等实根
    交点 实根
    知识导航
    2 二次函数方程等式
    x
    x38
    例5 (1)二次函数 2 63y kx x   图象 轴 2 交点 取值范围
    ( ).
    A. 3k  B. 0k 
    C. 3k  D.
    (2)已知二次函数 2 77y kx x   图象 轴交点 取值范围
    _____________.
    (3)函数  2 34y mx m x    图象 轴交点 值
    ( )
    A.0 B.1 9
    C. 1 9 D.0
    (4)抛物线 22 2 2 1y x x   坐标轴交点数( )
    A.0 B.1
    C.2 D.3
    (5)二次函数 2 3y x cx c    图象坐标轴两交点 值
    _____________.
    典型例题
    x
    x
    x
    c
    k
    k
    m39
    例6 (1)已知二次函数 2 3y x x m   ( 常数)图象 轴交点
     10 关 元二次方程 2 30x x m   两实数根( )
    A. 1 1x  2 1x  B. 2 2x 
    C. 2 0x  D. 2 3x 
    (2)已知二次函数 22 4 1y x x   图象 轴交 A B 两点 y 轴交
    点 C 求 ABC△ 面积.
    (3)图已知二次函数 2y x bx c   图象点 该图
    象 轴交点 AC 长_____________.
    m
    x
    x
    x40
    二次函数次函数交点
    求二次函数  2 0y ax bx c a    次函数  0y kx b k   交点步骤:
    2
    2y ax bx c ax bx c mx n
    y mx n
             
    方程  2 0ax b m x c n    
    解方程 代入解析式求应 1y 2y
    交点坐标 11xy  22xy.
    注:求二次函数函数步骤述步骤类似.
    二次函数次函数交点数确定
    确定二次函数 次函数 交点数
    步骤:
    方程
    根 根情况确定交点数
    总结:
    交点  2 0ax b k x c b     根情况 根判式
    交点 实根 0
    交点 两相等实根 0
    两交点 两等实根 0
    知识导航 41
    例7 (1)直线 1yx抛物线 2 32y x x   交点数( )
    A.0 B.1
    C.2 D.法确定
    (2)直线 41yx抛物线 2 2y x x k   交点 轴求 值
    交点坐标.
    (3)已知函数 2 32y mx x   ( 常数)次函数 图象该
    函数图象恰交点求 值交点坐标.
    典型例题
    m
    m
    x k42
    2 2
    2 2
    例9 (1)二次函数  2 0y ax bx c a    正例函数 2
    3yx 图象图示
    方程  2 2 003ax b x c a    
    两根( )
    A. 0 B.等 0
    C. 0 D.确定
    (2)函数 2 1y x kx   2y x x k   图象相交交点 轴
    值_______________.
    x
    k43
    判断二次函数值正负条件:
    求解等式 2 0ax bx c   二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    图象 轴方
    点横坐标组成集合.
    求解等式 2 0ax bx c   二次函数 图象 轴方
    点横坐标组成集合.
    判断二次函数值恒正恒负条件:
     2 00ax bx c a    中 0 时二次函数  2 0y ax bx c a   
    函数值恒正
    中 时二次函数
    函数值恒负.
    总结:结合图象较

    式情

    抛物线 2y ax bx c  
    轴交点
    等式
    解集
    等式
    解集
    0 两交点 1xx 2xx 12x x x
    0 交点 1xx 2xx 解
    交点 全体实数 解

    式情

    抛物线
    轴交点
    等式
    解集
    等式
    解集
    两交点
    交点 解
    交点 解 全体实数
    知识导航
    a>0
    a<044
    例10 (1)图二次函数 2y ax bx c   部分图象图象知等式
    2 0ax bx c   解集( )
    A. 15x   B. 5x 
    C. 1x  D.
    (2)二次函数 22 3 5y x x    满足什条件时函数值 y 0?
    0?
    例11 (1)二次函数    24 4 0y a x a    图象 23x段位 轴
    方 67x段位 轴方 值( )
    A.1 B. 1
    C.2 D. 2
    (2)二次函数 2 43y x x t    (t 实数) 70 2x范围解
    取值范围_____________.
    典型例题
    x
    a
    x
    x45
    二次函数值次函数值较
    二次函数  2 0y ax bx c a    次函数  0y kx b k   函数值较
    步骤:
    联立函数解析式求函数交点横坐标利图象较.
    例13 (1)较二次函数 2
    1 23y x x   次函数 2 1yx函数值.
    (2) 满足___________时二次函数 2 56y x x    函数值次函
    数 1yx函数值.
    (3) 满足____________时二次函数 2 34y x x    函数值次
    函数 22yx函数值.
    知识导航
    典型例题
    x
    x46
    例15 已知二次函数  2 0y ax bx c a    图象(图)根图象解答列问题:
    (1)写出方程 2 0ax bx c   两根
    (2)写出等式 2 0ax bx c   解集
    (3)写出 y 增减变量 取值范围
    (4)方程 2ax bx c k   两相等实数根根图象写出 取值范
    围.
    例16 已知二次函数 2y ax bx c   ( )图象点  20A  2 4B  称
    轴直线 1x  .
    (1)求二次函数解析式
    (2) 33x   直接写出 取值范围
    (3)元二次方程 2 0ax bx c m    ( 实数)
    范围实数根直接写出 取值范围.
    x x
    m
    m
    a≠0
    a≠0
    k47
    作业1 已知二次函数 2 1y ax bx   次函数  
    2
    1 4
    ky k x   图象
    意非零实数k 公点 ab 值分( )
    A. 1a  2b  B. 2b 
    C. 1a  D.
    作业2 已知:二次函数 2 3 14y x mx m    ( 常数).
    (1)二次函数图象 轴公点 A 点 轴正
    半轴.
    ①求 值
    ②四边形 AOBC 正方形点 B y 轴负半轴现二次函
    数图象移移函数图象恰 C 两点求移图象
    应函数解析式
    (2) 02x时求函数 值(含 代数式
    表示).
    作业
    m
    x x
    m
    m48
    般果两变量 x y 间关系表示成 ky x ( 常数 0k  )
    形式称 反例函数.反例函数变量 零.
    注:
    (1) 写成 1y k x xy k 形式
    (2) 反例函数 均零
    例1 (1)列函数:①
    3
    xy  ② 1
    1y x 
    ③ 1xy  ④
    2 2my x
     ⑤ y x
    
    ⑥ 23yx ⑦   1314yx  ⑧ 3 1y x.反例函数( )
    A.2 B.3
    C.4 D.5
    (2)   21 my m x  反例函数 m 值______________.
    知识导航
    1 反例函数定义
    典型例题
    第五课 反例函数
    k49
    例2 (1) y x 间满足表达式 1a yxx( 等 1 常数 变
    量) ( )
    A.次函数 B.正例函数
    C.反例函数 D.
    (2) 成反例 z 成反例 ( )
    A.正例函数 B.反例函数
    C.二次函数 D.确定
    (3) 1x  成反例 ( )
    A.正例函数 B.反例函数
    C.反例 D.确定
    (4)已知: 12y y y 1y 2x 成正例 2y 成反例 1x  时 3y 
    1x  时 1y  .求 1
    2x  时 值. 50
    反例函数图象画法——描点法:
    (1)列表——变量取值应 0( 0x  中心两边取三(三
    )互相反数数求出应 y 值
    (2)描点——先描出侧侧根中心称点性质找
    (3)连线——左右序连接点延伸注意双曲线两分支
    断开延伸部分逐渐坐标轴趋势永远坐标轴相交.
    2y x 例画函数图象
    列表:
    x … …
    … …
    描点:
    连线:
    y
    xO
    知识导航
    2 反例函数图象性质51
    性质:
    ky x 0k  0k 
    属象限 三象限 二四象限
    坐标轴交点 反例函数图象限接坐标轴坐标轴永交点.
    k 越反例函数图象离坐标轴越远.
    增减性
    反例函数图象象限
    y x 增减.
    反例函数图象象限
    y x 增增.
    称性 关原点直线 yx 直线 yx 称.
    例3 (1)反例函数 1
    2y x 图象位面直角坐标系( )
    A.第三象限 B.第二四象限
    C.第二象限 D.第三四象限
    (2)反例函数 6y x 图象称性叙述错误( )
    A.关原点称 B.关直线 称
    C.关直线 称 D.关 x 轴称
    (3)函数 2my x
     图象象限 y 值 x 值增增 m
    取值范围( )
    A. 2m  B. 2m 
    C. 2m  D. 2m 
    典型例题 52
    (4)点 ab 反例函数  0kykx列点反例函数图
    象( )
    A. ba B. ab
    C. ab D. ba
    例4 (1)反例函数 2y x 3x  时y 取值范围( )
    A. 2
    3y  B. 2
    3y 
    C. 0y  D. 20 3y
    (2)已知点  11Ay  22By反例函数  0kykx图象点
    1y _____ 2y .
    (3)果点  11A x y 点  22B x y 直线 y kx b两点 12xx 时
    12yy 函数 ky x 图象位( )象限
    A.四 B.二四
    C.三四 D.三
    (4)图三反例函数 1ky x 2ky x 3ky x 4ky x x 轴方
    图象 1k 2k 3k 4k 次___________________.
    O x
    y 53
    (5)反例函数 13my x
     图象两点  11A x y  22B x y 120xx
    12yy m 取值范围( )
    A. 1
    3m  B. 1 3m 
    C. 1
    3m  D. 1
    3m 
    (6)点 11xy  22xy 33xy反例函数
    2 1ay x
     图象点
    1 2 30x x x   列式中正确( )
    A. 1 3 2y y y B. 2 3 1y y y
    C. 3 2 1y y y D. 1 2 3y y y
    例5 函数  0kykx图象图示函数 y kx k图象致( )
    A. B.
    C. D. 54
    反例函数解析式求法:反例函数解析式  0ky k kx常数 中
    常数 k定系数法求解析式时需条件 xy k .
    k 意义:
    ABCD 反例函数意四
    点 AB 两点分构造矩形 AFOE
    BQOP CD 两点分构造 Rt△COM
    Rt△DON定:
    AFOE BQOPS S k矩形 矩形
    2COM DON
    kSS.
    反例函数次函数交点问题:
    般解决函数交点问题时利方程思想联立函数解析式变成方程
    (组)问题解方程(组).
    注:正例函数  110y k x k反例函数  2
    2 0kykx相交 AB 两点
    AB 两点关原点称.
    反例函数次函数等关系:较函数图象中关系时首先求
    出交点坐标利图象性质判断关系.相等 x图象位方
    相应 y 值.
    知识导航
    3 反例函数次函数
    x
    y
    N
    M
    Q
    P
    F
    EO
    A
    B
    C
    D55
    例7 (1)已知反例函数 ky x 图象点 11 2
    
    求反例函数解析式.
    (2)已知反例函数 1ky x 次函数 2y k x b相交  12A  4Bm 两
    点.求反例函数次函数解析式.
    例8 (1)图点 A 反例函数 4y x 图象点 AB y 轴点 B 点 C
    x 轴动点 ABC△ 面积( )
    A.2 B.4
    C.8 D.确定
    (2)图定点 分 y 轴正半轴 轴正半轴延长 OB
    点 BC OB AB BC 邻边构造四边形 ABCD点 P 点 D 出发
    边 DC 终点 运动(点 点 重合)反例函数 图象
    点 值变化情况( )
    A.先增减 B.直变
    C.直增 D.直减
    典型例题
    k56
    例9 (1)图点 AB 双曲线 3y x 点分
    AB 两点 x 轴y 轴作垂线段
    1S 阴影 12SS________.
    (2)图面直角坐标系中点  14P
     Q m n 函数 ky x ( 0x  )图象
    1m  时点 P 分作 x 轴 y 轴垂线垂
    足点 A B 点Q 分作 轴 轴垂
    线垂足点 CD.QD 交 PA 点 E着 m
    增四边形 ACQE 面积( )
    A.减 B.增
    C.先减增 D.先增减
    例10 (1)双曲线 1y x 2y x 第象限图象
    图示作条行 y 轴直线分交双曲线
    AB 两点连结 OAOB△AOB 面积
    _______.
    (2)图反例函数 1ky x  2
    12
    ky k kx第象限图象直线
    AB x∥ 轴分交两条曲线 两点 2AOBS △ 21kk 值
    ( )
    A.1 B.2
    C.4 D.8
    x
    y
    A
    B
    O
    1S
    2S
    y
    x
    B
    O
    A
    y
    x
    A
    O
    B57
    例11 图矩形 ABCD 中点 A 坐标 2 2 角线 BD 原点反例
    函数 ky x 图象点 C反例函数解析式_________________.
    例12 (1)位第象限点 E 反例函数 图象点 轴正半轴
    O 坐标原点. EO EF EOF△ 面积等 2 k  ( )
    A.4 B.2
    C.1 D.-2
    (2)图点  P a a 反例函数 16y x 第象限图象点
    点 P 顶点作等边△PAB AB 落 x 轴△POA 面积( )
    A.3 B.4
    C.12 4 3
    3
     D. 24 8 3
    3

    例13 (1)已知反例函数 1ky x 正例函数 2y k x 相交  A m n 交
    点( )
    A. nm B. mn
    C. nm D. nm
    (2)反例函数  1 0myxx图象次函数 2y x b   图象交 AB
    两点中  12A 21yy 时x 取值范围( )
    A. 1x  B.12x
    C. 2x  D.
    y
    x
    C B
    A
    O
    D
    y
    xBAO
    P58
    学更高效
    例14 函数 1yx ( 0x  ) 2
    4y x ( 0x  )图象图示列结:
    ①两函数图象交点坐标  22A
    ② 2x  时 21yy
    ③直线 1x  分两函数图象交 BC 两点线段 BC 长 3
    ④ x 逐渐增时 1y 值 x 增增 2y 值 x 增减.
    中正确( )
    A.①②
    B.①③
    C.②④
    D.①③④
    例15 图原点直线反例函数 6y x 交 AB 两点点 A 作 AM⊥x 轴
    垂足 M连结 BM
    求(1)△OAM 面积(2)△ABM 面积.
    y
    x M
    O
    B
    A
    O x
    A
    B
    C
    1x 
    y 59
    例16 图已知次函数 y kx b图象反例函数 8y x 图象交 AB
    两点点 A 横坐标点 B 坐标 2 求:
    (1)次函数解析式
    (2)△AOB 面积
    (3)直接写出次函数函数值反例函数函数值时 x 取值范围.
    x
    y
    O
    A
    B 60
    作业1 列图形中阴影部分面积( )
    A. B.
    C. D.
    作业2 矩形 AOBC 中 6OB  4OA  分OB OA直线 x 轴 y 轴
    建立图示面直角坐标系F 边 BC 点( B C 两点重合)
    点 反例函数 ky x ( 0k  0x  )图象 AC 边交点 E .
    (1)请含 代数式表示点 坐标
    (2) OEF△ 面积 9求反例函数解析式.
    作业
    k61

    1圆定义 1:面线段 OA 绕固定端点 O 旋转周
    端点 A 旋转形成图形做圆中固定端点 O 做圆心线段 OA 做半
    径.
    2圆表示方法:点 O 圆心圆记作⊙O读作圆 O.
    3圆定义 2:圆心 O半径 r 圆成定点 O 距离等定长
    r 点组成图形.
    理解圆定义注意点:
    ①圆面图形圆定义时体现面否成球
    定义
    ②圆指圆周指圆面
    ③画圆程知确定圆需圆心半径圆心半径确定圆
    两条件圆心确定圆位置半径确定圆
    画圆程出:圆点定点(圆心 O)距离等定长(半径长)
    圆中半径相等定点距离等定长点圆
    知识导航
    1 圆定义表示方法
    O A
    第六课 圆基概念62
    学更高效
    证明点圆证明点某点距离相等.
    4圆等圆心圆:圆心相半径相等圆圆够重合两圆
    做等圆.圆心相半径相等两圆做心圆.
    知道圆点圆心距离等半径.右图
    设⊙O 半径 r点 A 圆点 B 圆点 C 圆外.容易出:
    OA r OB r OC r   .反已知点圆心距离
    圆半径
    判断点圆位置关系.
    设⊙O 半径 r点 P 圆心距离OP d :
    点 P 圆外  dr
    点 P 圆 dr
    点 P 圆 dr
    注:符号 读作等价表示符号 左端右端右端
    左端.
    说说:
    (1)已知⊙O 直径长 4cm说出满足列条件点 P 位置:
    ① 2OP cm ② 2OP cm ③ 2OP cm ④ 0OP cm .
    (2)圆半径 6点圆心距离 2点圆周点距离
    值_____值______.点圆心距离 8点圆周
    点距离值值什?
    知识导航
    2 点圆位置关系
    O
    A
    B
    C 63
    1弦:连接圆意两点线段做弦.圆圆心条弦距离做条弦
    弦心距.
    2直径:圆心弦做直径.注意:圆中数条弦中直径圆中长
    弦.
    3圆心角:顶点圆心角做圆心角.
    4圆弧:圆意两点间部分做圆弧简称弧. AB 端点弧记作 AB
    读作圆弧 AB弧 AB.圆意条直径两端点圆分成两条弧
    条弧做半圆.半圆弧做优弧(三点表示图中 ABC )
    半圆弧做劣弧(图中 BC ).反圆等圆半径相等.圆等
    圆中够互相重合弧做等弧.
    5弓形:弦弧组成图形做弓形.
    3 圆相关概念
    知识导航
    A
    C
    B
    O 64
    例1 判断题:
    (1)直径弦 ( )
    (2)弦直径 ( )
    (3)半圆弧 ( )
    (4)弧半圆 ( )
    (5)长度相等两条弧等弧 ( )
    (6)等弧两条弧长度相等 ( )
    (7)半径相等两圆等圆 ( )
    (8)两半圆等弧 ( )
    例2 图图中________条直径_______条弦点 A 端点优弧
    ______劣弧________.
    例3 图AB ⊙O 直径CD ⊙O 弦ABCD 延长线交点 E已知
    2AB DE 20AEC  求 AOC 度数.
    典型例题
    C
    O
    B
    D
    A
    E
    A
    C
    D
    E O B 65
    例4 图点 ADGM 半圆 O 四边形 ABOCDEOFHMNO 均矩
    形设 BC a EF b NH c 列式中正确( )
    A. abc B. abc C. c a b D. b c a
    1圆称性:圆轴称图形条直径直线称轴圆
    中心称图形称中心圆心圆旋转称图形绕圆心旋转少度角
    总身重合.
    注意:说圆称轴直径说圆称轴时直径直线.
    2垂径定理:垂直弦直径分条弦分弦两条弧.
    证明定理?
    注意:①垂径定理两条件:直径垂直.
    ②里垂径直径半径圆心直线线段.
    3垂径定理推:
    ①分弦(直径)直径垂直弦分弦两条弧
    ②弦垂直分线圆心分弦两条弧
    ③分弦条弧直径垂直分弦分弦条弧.
    力拓展:垂径定理容:条直线果具:①圆心②垂直弦③
    分弦④分弦优弧⑤分弦劣弧五条中意两条必然具
    备余三条简称知二推三应注意圆心分弦作
    D
    A
    F C
    G
    M
    H O
    B
    E
    N
    3 垂径定理
    知识导航 66
    题设时必须非直径弦圆中两条直径互相分.
    注意:应垂径定理推进行计算时构造图示直角三角形根
    垂径定理勾股定理: 2 2 2()2
    ard 根公式 r d 三量中知道
    两量求出第三量.弦常作弦心距条常辅助线
    半径弦心距弦半构造直角三角形中运直角三角形中
    边角间关系解题.
    例5 (1) ⊙O 点 M 长弦长 4cm短弦长 2cm OM 长
    ________.
    (2)圆半径 2圆条弦长 23弦中点优弧
    中点距离_______.
    (3)图已知⊙O 半径 5弦 8AB  P 弦 AB 意点 OP
    取值范围______________.
    例6 已知:⊙O 半径 5弦 AB∥CD 6AB  8CD  .求 AB CD 间
    距离.
    典型例题
    A B
    O
    P 67
    例7 图两正方形彼相邻接半圆正方形面积 216cm 该
    半圆半径______.
    例8 图矩形 ABCD 圆心 AB ⊙O 交点 GBFE 8cmGB 
    1cmAG  2cmDE  EF _________.
    例9 某座圆弧形拱桥桥水面宽度 72 米拱形高出水面 24 米.现
    艘宽 3 米船舱顶部方形高出水面 2 米货船里货船
    利通座拱桥?
    A G
    D
    O
    C
    B
    E F 68
    例10 已知:ABCD 半径 6 ⊙O 中互相垂直弦 AB CD 分成 3
    7 两部分.求弦 AB 长弦心距.
    例11 图ABC ⊙O 三点DE 分 AB AC 中点连结 DE分
    交 ABAC FG.求证: AF AG .
    O
    A
    B
    C D
    A
    E D
    B
    O
    C
    G F 69
    作业1 图⊙O 半径 5弦 8AB  M 弦 AB 动点 OM
    ( )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    作业2 (1)图示心圆中圆弦 AB 交圆 C D 两点试证明:
    AC BD .
    (2)根水放置圆柱形输水道横截面图示中水部分水面
    宽 08 米深处水深 02 米求输水道直径.
    作业
    O
    B A M
    B A C D
    O
    O
    A B 70
    顶点圆心圆周分成 360 等份时份圆心角1 角圆中
    相等圆心角弧相等整圆分成 360 等份份样
    弧做 弧.
    圆心角度数等弧度数.
    1圆周角:右图中 ACB ADB AEB  
    样顶点圆两边圆相交角做圆周角.
    注意:角圆周角必须具备两条件:①顶
    点圆②两边圆相交.二者缺.
    知识导航
    1 圆心角度数弧度数
    A
    D
    C
    E
    B
    图 1
    2 圆周角
    知识导航
    第七课 圆中角71
    图中角圆周角?学量量图1中 ACB ADB AEB   三角
    度数发现什?
    2圆周角定理:圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧
    圆心角半.
    A
    C B
    O
    B
    A
    C
    O
    D B C
    A
    D
    O 72
    定理证明分三种情况图示:
    (1)圆心圆周角条边(2)圆心圆周角部(3)圆心圆周角
    外部.
    (1)证明非常简单显然BOC  OAC  OCA 2OAC (2)(3)请
    学证明.
    进步面推:
    推:半圆(直径)圆周角直角90°圆周角弦直径.
    推二:圆等圆中果两圆周角相等弧定相等.
    注意:圆周角相等弧相等前提定圆等圆中.
    圆接边形:果边形顶点圆边形做圆
    接边形圆做边形外接圆.利圆周角定理显然:
    推三:圆接四边形角互补.
    推四:果三角形边中线等边半三角形直角三角
    形. 三角形外接圆
    定理:直线三点确定圆.
    注意:①直线条件忽视换句话说直线三点
    作圆
    ②确定词含义唯存.
    (1)三角形三顶点圆做三角形外接圆外接圆圆心三角形三条边
    垂直分线交点做三角形外心三角形做圆接三角形.
    (2)三角形外接圆相关性质:
    ①三角形外心指外接圆圆心三角形三边垂直分线交点三角
    形顶点距离相等
    ②三角形外接圆定三角形外心唯
    圆接三角形数三角形外心重合.
    (3)三角形外接圆圆心部直角三角形外接圆圆心斜边中点处(直
    角三角形外接圆半径等斜边半)钝角三角形外接圆圆心外部. 73
    想想:(1)学尺规作图作出图出三角形外接圆?
    (2)三边分 6810 三角形外接圆半径_________.
    例1 图示四边形 ABCD 顶点圆 O 角线 ACBD 相交 P请
    找出图中圆周角说明中相等.
    例2 列说法:
    ①顶点圆周角圆周角②圆周角度数等圆心角度数半
    ③90 圆周角弦直径④圆周角相等弧相等.中
    正确_______.
    典型例题
    C
    A
    C B
    P
    C
    D
    B
    A
    O 74
    例3 △ABC ⊙O 接等边三角形劣弧 BC 度数___________.正五边
    形 ABCDE ⊙O 接五边形优弧 ABD 度数__________.
    例4 (1)图点 ABC ⊙O AB∥CO 22B   A__________.
    (2)已知 ABC ⊙O 三点 120AOC   ABC___________.
    例5 图示AB ⊙O 直径弦 DC AB 相交点 E 50ACD  
    _______DAB .
    A
    B
    O
    C
    B
    A
    C
    O
    E
    A
    D
    O
    C
    B
    A
    C
    D
    B E O 75
    3弧弦长弦心距圆心角圆周角间关系
    第讲中已提圆等圆中弧弦长弦心距间应关系
    实际种应推广圆周角说五关系中成立
    四成立.
    弧相等  弦相等 弦心距相等 圆心角相等 圆周角相等
    注:里弧相等弧等弧.弧重桥梁角弧
    弦弧.求角弧求弧角.
    例6 (2011 年漳州中考数学)图AB ⊙O 直径AC CD 60COD  .
    (1)△A OC 等边三角形?请说明理
    (2)求证:OC∥BD.
    典型例题
    D C
    A B O 76
    例7 图已知 BC 半圆 O 直径AD⊥BC垂足 D B 点作弦 BF 交 AD
    E 点交半圆 O F 点 AE BE 求证: AB AF .
    4运圆周角定理推时常见辅助线作法:
    圆角圆外角圆中两条弧定关系学说出
    关系?
    B
    A F
    C O D
    E
    知识导航
    D
    O
    B
    C
    P
    A
    D
    C
    B
    C
    B A
    P
    O
    zzzz
    zzzz
    zzzz
    zo
    A
    O 77
    例8 图⊙O △ABC 外接圆已知B 60 ACO_________.
    例9 图△ABC 中 AB AC AB 直径半圆交 BCAC DE已知
    DE 40 A______.
    例10 图已知⊙O 接△ABCAD 分 BAC 交⊙O DAH⊥BC H.
    求证:AD 分∠OAH.
    例11 图两圆相交 AB 两点圆圆圆心 O点 CD 分两圆
    100ADB   ACB____________.
    A
    B
    C
    O
    A
    B D
    E
    C
    A
    B C H
    D
    O
    C
    A
    O
    B
    D 78
    例12 图已知 AB ⊙O 直径C 圆外点ACB 60 CACB 分
    交⊙O DE.求证:△ODE 等边三角形.
    例13 图示AB ⊙O 直径C BD 中点CE⊥AB EBD 交 CE
    点 F.
    (1)求证:CF BF
    (2) 6CD  8AC  ⊙O 半径________CE 长_______.
    A O B
    E
    D
    C
    A E
    D C
    F
    B O 79
    作业1 图⊙O △ABC 外接圆 25BAO   C ________.
    作业2 图四边形 ABCD 接⊙O 90ADC  B 弧 AC 中点 20AD 
    15CD  求 BD 长.
    作业
    A
    C
    O
    B
    O
    D
    C A
    B 80
    注意运动观点量变质变观点理解直线圆相交相切相离概念.
    发现直线圆三种位置关系:
    图(1)直线圆两公点时说条直线圆相交条直线做
    圆割线.
    图(2)直线圆公点时说条直线圆相切条直线
    做圆切线点做切点.图(3)直线圆没公点时说条
    直线圆相离.
    知识导航
    1 直线圆位置关系
    Od
    l r r
    d
    l
    O
    r
    O d
    l
    (1) (2) (3)
    第八课 圆关位置关系81
    思考:设⊙O 半径 r直线 l 圆心 O 距离 d直线圆位置关系
    中d r 具样关系?反根 d r 具样关系
    确定直线圆位置关系呢?
    直线 l ⊙O 相交 dr
    直线 l ⊙O 相切 dr
    直线 l ⊙O 相离 dr
    说说:圆直径 13cm果直线圆心距离分
    (1)45cm (2)65cm (3)8cm
    直线圆分什位置关系?公点?
    例1 图 Rt△ABC 中 90C   3AC cm 4BC cm C 圆心r 半
    径圆 AB 直线种位置关系?什?
    (1) 2r cm
    (2) 24r cm
    (3) 3r cm .
    典型例题
    C
    A
    B
    D 82
    (1)切线判定定理:半径外端垂直条半径直线圆切线.
    注意:定理中半径外端垂直条半径两条件缺.
    (2)切线判定方法:
    ①直线圆唯公点
    ②圆心直线距离等该圆半径
    ③切线判定定理半径外端垂直条半径直线圆切线.
    切线证明两种方法:1连半径证垂直2作垂直证半径.
    (3)切线性质定理:圆切线垂直切点半径.
    切线性质:
    ①切线圆唯公点
    ②圆心切线距离等圆半径
    ③切线垂直切点半径.
    例2 图已知 AB ⊙O 直径点 C ⊙O 点 C 直线 AB 延长线
    交 P AC PC 2COB PCB   .求证:PC ⊙O 切线.
    知识导航
    2 切线判定性质
    C
    B A O P
    典型例题 83
    例3 图AB 半圆直径O 圆心ADBD 半圆弦PDA  
    PBD .判 断直线 PD 否⊙O 切线说明理
    例4 图:正方形 ABCD 边 BC ⊙O 相切点 E点 O AC 试证明 CD
    ⊙O 切线.
    O
    D
    E
    P B A
    A
    O
    D
    B E C 84
    圆外点作圆切线点切点间线段长做点圆切线长.
    图易切线长定理:
    圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条
    切线夹角.
    注意:(1)切线切线长两概念切线直线度量切线长
    切线条线段长度量.(2)已知两切线行圆两切点连线
    直径.
    思考:图中果连结 ABAB OP 什关系?
    说说:圆外点半径 5 圆心距离 13该点切线长少?
    例5 图AB ⊙O 相切点 B线段 OA 弦 BC 垂直点 D 60AOB  
    4BC  cm切线长 AB  __________cm.
    知识导航
    3 切线长定理
    A
    B
    P
    O
    O
    B
    C
    A D
    知识导航 85
    思考:图张三角形铁皮面截块圆形料圆
    面积呢?
    果边形边直线圆相切边形做圆外切
    边形圆做边形切圆切圆圆心做外切边形心.
    已知⊙I圆 DEF 三点作三条切线交成△ABC(图)⊙I 便
    三角形切圆.切线垂直切点半径心 I 三边距离相等I
    △ABC 三角分线.I 三角形心.
    思考:学尺规作图找出三角形切圆
    想想:果△ABC 切圆半径 r△ABC 周长 l求△ABC 面积.
    知识导航
    4 切圆
    B C
    A
    A
    B C
    I
    D
    E F 86
    例6 图△ABC 切圆⊙O BCCAAB 分相切点 DEF
    9 14 AB cm BC cm 13CA cm 求 AFBDCE 长.
    例7 图PAPB ⊙O 切线AB 切点AC ⊙O 直径 30BAC  
    求 P 度数.
    典型例题
    4 圆中计算
    B
    F
    C
    A
    O
    E
    D
    O
    B
    A
    P
    C 87
    例8 图已知 PAPB ⊙O 两条切线AB 切点直线 OP 交⊙O 点 D
    E交 AB C.
    (1)写出图中垂直关系
    (2)写出图中全等三角形
    (3)果 4 2 PA cm PD cm求半径 OA 长.
    例9 图 O 圆心两心圆中圆弦 AB CD 相等 AB
    圆相切 E.求证:CD 圆相切.
    A
    O E
    B
    C P D
    A
    B
    O
    C
    D
    E 88
    例10 ⊙O 点 M 作EF ⊙O 相切交PAPB 点EFPA 12cm.
    (1)求△PEF 周长
    (2) 30P  求 EOF 度数.
    例11 图点 AB ⊙O 直线 AC ⊙O 切线OC⊥OB连结 AB 交 OC
    点 D.
    (1)求证: AC CD
    (2) 25AC AO 求 OD 长度.
    A
    O
    E
    M
    P
    F B
    B
    O
    A C
    D 89
    例12 图 Rt△ABC 中 90C  BD 角分线点 O AB 点 O
    圆心OB 半径圆点 D交 BC 点 E.
    (1)求证:AC ⊙O 切线
    (2) 10OB  8CD  求 BE 长. O
    B
    A D
    E
    C 90
    作业1 图⊙O 边长 2 等边△ABC 切圆⊙O 半径___________.
    作业2 已知:△ABC 边长 4 等边三角形点 O 边 AB ⊙O 点 B 分
    边 ABBC 相交点 DEEF⊥AC垂足 F.
    (1)求证:直线 EF ⊙O 切线
    (2)直线 DF ⊙O 相切时求⊙O 半径.
    作业
    A
    O
    D
    F
    E B C 91
    例直学数学容易弄混问题实间问题完全
    句话概括:等算式中等号左边式子式子种(: ab)
    例少两称式子等号连接成两值相(:
    a b c d ).
    1例性质
    (1) ac ad bcbd   (2) a c b d
    b d a c  
    (3) a c a b d c
    b d c d b a
       
    (4) a c a b c d
    b d b d
      
    (5) a c a b c d
    b d b d
      
    (6) ( 0)a c m a c m ab d nb d n b d n b
                
    2例线段
    四条线段 abcd中两条线段长度两条线段长度
    相等  ac a b c dbd 四条线段做成例线段简称例线
    段.
    知识导航
    1 例
    第九课 行例92
    3黄金分割
    黄金分割称黄金率指事物部分间定数学例关系整体
    分二较部分较部分等整体部分较部分值
    0618.种分割称黄金分割.0618 公认具审美意义例数字.
    4例中项:
    a b b c b 做 ac 例中项.
    例1 已知:
    2 3 4
    x y z求 2
    3
    x y z
    xy
    


    例2 设 1
    3
    a c e
    b d f   _______a c e
    b d f
     
    例3 (1)已知线段 abc中 c a b 例中项 4 9ab ____c  .
    (2)已知 adbc 次成例线段中 3 4 6a cm b cm c cm  
    ____d  .
    典型例题 93

    1行线分线段成例定理
    图果 l1∥l2∥l3 AB DE
    BC EF BC EF
    AC DF AB DE
    AC DF AB AC
    DE DF .
    2行线分线段成例定理推:
    图三角形中果 DE∥BC AD AE DE
    AB AC BC
    利行线分线段成例定理推证明结:
    三角形边中点作边行线行线第三边交点第三边中点.
    知识导航
    2 行线分线段成例定理推
    E
    C
    B
    D A
    F
    A
    D E
    B C
    A
    B C
    D E 94
    例4 图DE∥BC DB AE 8 10AB AC 求 AE 长.
    例5 图△ABC 中BC a D1E1 分 ABAC 中点 11
    1
    2D E a
    D2E2 分 11DBEC 中点 22
    13
    2 2 4
    aD E a a  

    D3E3 分 22DBEC 中点 33
    1 3 7
    2 4 8D E a a a  

    ……
    DnEn 分 11nnDBEC 中点 ______nnDE  .
    典型例题
    A
    B C
    D E
    A
    B C
    1D 1E
    nD
    2E
    3D 3E
    2D
    nE95
    例6 图已知 AB∥EF∥CD AB a CD b EF c 求证: 1 1 1
    c a b.
    例7 图梯形 ABCD 中AB∥CD 9 6AB CD角线交点 O 作 EF∥CD
    交 ADBC 分 EF求 EF 长.
    A
    B
    E
    F D
    C
    B A
    F E
    C D
    O 96
    例8 (1)图△ABC 中M AC 中点E AB 点 1
    4AE AB
    连结 EM 延长交 BC 延长线 D _______BC
    CD  .
    (2)图已知△ABC 中 13AE EB  21BD DC  AD CE 相交
    F _____EF AF
    FC FD .
    A A
    A
    E
    B D
    F
    C
    A
    E
    B C
    D
    M 97
    例9 图△ABC 中D BC 边中点E AC 边意点BE 交 AD
    点 O.
    (1) 1
    2
    AE
    AC  时求 AO
    AD

    (2) 11
    34
    AE
    AC  时求 值
    (3)试猜想 1 1
    AE
    AC n 
    时 值证明猜想.
    例10 △ABC 中底边 BC 两点 EF BC 三等分BM AC 中线
    AEAF 分交 BM GH 两点求证: 53 2BG GH HM  .
    A
    B C
    E
    D
    O
    A
    M
    C B E F
    G
    H 98
    作业1 图已知 DE∥BCEF∥AB列例式中错误( )
    A. AD AE
    AB AC B. CE EA
    CF FB
    C. DE AD
    BC BD D. EF CF
    AB CB
    作业2 图△ABC 中D BC 边中点延长 AD E延长 AB 交 CE 延长
    线 P. 2AD DE 求证: 3AP AB .
    作业
    A
    D E
    B F C
    P E
    D
    C
    B
    A99
    形状相图形作相似图形.两图形相似中图形作
    图形放缩.
    (1)相似边形性质:
    相似边形应角相等应边成例.
    (2)相似边形判定:
    两边形应角相等应边成例.
    相似边形应边称相似.
    注:相似涉序问题例四边形 ABCD 四边形 EFGH 相似说
    果四边形 ABCD 四边形 EFGH 相似 2四边形 EFGH 四边形 ABCD
    相似 1
    2
    组应边会等相似.全等样相似时应
    字母放应位置.果两边形全等种特殊相似
    成相似 1.
    知识导航
    1 相似图形
    第十课 相似100
    1定义:相似边形中简单相似三角形.△ABC ABC  △ 中
    果 AABBCC           AB BC AC kABBCAC      
    应角相等应
    边相等说△ABC∽ .相似三角形应边做相似.相
    似∽读作相似.
    角应相等边应成例两边形做相似边形相似边形
    应边做相似.
    讲讲行线分线段成例根三角形相似定义容易列
    两组图形两三角形分相似.
    知识导航
    2 相似三角形
    A
    D E
    B C
    A
    B C
    D E 101
    2三角形相似判定定理 1:行三角形边直线两边相交构成三
    角形原三角形相似.
    类似判定三角形全等 SSS 方法通三边判断两三角形相
    似呢?
    图△ABC ABC  △ 中 AB BC AC
    ABBCAC     
    试着证明△ABC∽ .
    3三角形相似判定定理 2:果两三角形三组应边相等两三
    角形相似.
    类似判定三角形全等 SAS 方法否通两边夹角判断两三角形相
    似呢?
    果 AB ACAA kABAC
           
    试着证明△ABC∽ .
    4三角形相似判定定理 3:果两三角形两组应边相等相应夹
    角相等两三角形相似.
    A
    B C
    A
    B C
    A
    B
    C

    102
    5三角形相似判定定理4:果三角形两角三角形两角
    应相等两三角形相似.(证明?)
    图弦AB 弦CD 相交⊙O 点P求证:PA PB PC PD
    根两角相等易证明△PAC∽△PDB PA PC
    PD PB .
    注:面例子出遇等积化等通三角形相似出应线段
    成例
    两直角三角形HL判定全等满足斜边
    等组直角边两直角三角形相似?
    请学行证明定理.
    6三角形相似判定定理 5:果两直角三角形斜边等组直角边
    两三角形相似.
    7双垂图
    A
    B
    C
    D
    O
    P
    A
    D
    B
    C
    O
    P
    A
    B CB
    A
    C
    A
    B D C 103
    图 Rt△BAC 中 90BAC  果 AD △ABC 斜边高易
    证明△ABD△CAD△CBA 相似基图形初中出现频率较
    牢记相似带结.
    (1) 2AD BD CD( 2) 2BA BD BC( 3) 2CA CD CB.
    8相似基图形
    相似全等更普遍求基图形定解样
    式联想相似相似带种求线段长度方法继勾股
    定理计算线段长度方法.
    注:图中出垂直时候非常容易出现相似定引起家
    注意. 104
    9相似三角形周长面积
    知道果△ABC∽ ABC  △ 相似 k AB BC CA kABBCCA       

    等性质易 AB BC CA kABBCCA
          
    相似三角形性质:相似三角形周长等相似.
    类似方法:相似边形周长等相似
    相似三角形应高应角分线应中线等什?学
    证明?
    相似三角形应高等___________
    相似三角形应角分线等_____________
    相似三角形应中线等_____________.
    相似三角形面积等_________________进出
    相似边形面积等___________________.
    例1 根列条件判断△ABC 否相似说明理:
    (1) 110 6 12A AB cm AC cm     110 4 8A A B cm A C cm        
    (2) 4 6 8AB cm BC cm AC cm   12 18 22AB cmBC cmAC cm       
    (3) 4 6 30AB cm BC cm A     4 6 30A B cm BC cm A       .
    例2 列语句正确( )
    A.△ABC 中 90 BB     30 60AC      △ABC
    相似
    B.△ABC 中 5 7AB BC 8 16AC A C 14BC
    10AB △ABC∽
    C.两全等三角形定相似
    D.菱形相似矩形相似
    典型例题 105
    例3 图示正方形边长均 1列选项中阴影部分三角形△ABC
    相似( ).
    例4 已知:图四边形 ABCD 角线相交点 O ABCD   分 OA
    OB OCOD 中点判断四边形 ABCD 四边形 ABCD    否相似
    说明理.
    例5 某时刻测根高 18m 竹竿影长 3m时测栋高楼
    影长 60m栋高楼高度少?
    A
    B
    C
    A B C D
    A
    B
    D
    C
    B
    C
    O
    A
    D 106
    例6 证明角分线分线段成例定理. AD △ABC 角分求证:AB BD
    AC CD
    例7 图△ABC △DEF 中 3 3 AB DE AC DF A D     △ABC 周
    长 24面积 45求△DEF 周长面积.
    A
    B C D
    A
    D
    C
    E F
    B 107
    例8 已知:图Rt△ABC 中 AC 4BC3 DE∥AB.
    (1)△CDE 面积四边形 DABE 面积相等时求 CD 长
    (2)△CDE 周长四边形 DABE 周长相等时求 CD 长.
    例9 图四边形 ABCD BEFG 均正方形求 _______________AG DF CE .
    C
    D
    E
    A
    B
    A D
    B
    G
    F
    C
    E 108
    例10 已知图△ABC 中AC 3BC 4C 90 四边形DEGF 正方
    形 中 DE 边 ACBC FG AB 求正方形边长.
    例11 已知:图CD Rt△ABC 斜边中线点 D 垂直 AB 直线交 BC
    点 F交 AC 延长线点 E.
    求证:(1)△ADE∽△FDB.( 2) 2CD DE DF.
    F
    E
    A B D
    C
    C
    E D
    A F G B 109
    例12 Rt△ABC 中 90BAC   2AB AC点 D BC 直线运
    动作 45ADE  (ADE 逆时针方)图点 D 线段 BC 运
    动DE 交 AC E.
    (1)求证:△ABD∽△DCE
    (2)△ADE 等腰三角形时求 AE 长.
    A
    B C D
    45
    E 110
    作业1 图△ABC 中AC AB 点 D AC 边增加条件
    △ABC∽△ABD条件 .
    作业2 图DE △ABC 边 ACAB 点 AD AC AE AB   求证:
    ADE B   .
    作业
    A
    B C
    E
    D
    A
    B
    D
    C

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    初三一模数学复习易错题汇总  如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,此图象与x轴的交点坐标分别为(?1,0)、(3,0).下列说法正确的个数是( ).  ①ac<0;  ②a+b+c>0;...

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