Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
机事件概率
1概率定义性质
(1)概率公理化定义
设 Ω 样空间 A 事件事件 A
实数 P(A)满足列三条件:
1° 0≤P(A)≤1
2° P(Ω) 1
3° 两两互相容事件 1A 2A…
∑
∞
∞
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
11
)(
i
i
i
i APAPΥ
常称列(完全)加性
称 P(A)事件 A 概率
(2)古典概型(等概型)
1° {}nωωω Λ21Ω
2°
nPPP n
1)()()( 21 ωωω Λ
设事件 A mωωω Λ21 组成
P(A){})()()( 21 mωωω ΥΛΥΥ
)()()( 21 mPPP ωωω +++Λ
n
m 基事件总数
包含基事件数A
2五公式(加法减法法全概
贝叶斯)
(1)加法公式
P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)
P(AB)=0 时P(A+B)P(A)+P(B)
(2)减法公式
P(AB)P(A)P(AB)
B⊂ A 时P(AB)P(A)P(B)
AΩ时P( B)1 P(B)
(3)条件概率法公式
定义 设 AB 两事件 P(A)>0称
)(
)(
AP
ABP 事件
A 发生条件事件 B 发生条件概率记
)(ABP)(
)(
AP
ABP
条件概率概率种概率性质适合条件概
率
(4)全概公式
设事件 nBBB 21 Λ 满足
1° nBBB 21 Λ 两两互相容
)21(0)( niBP i Λ>
2°
Υ
n
i
iBA
1
⊂
)|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP +++ Λ
公式全概率公式
(5)贝叶斯公式
设事件 1B 2B… nB A 满足
1° 1B 2B… nB 两两互相容 )(BiP >0 i 1
2… n
2°
Υ
n
i
iBA
1
⊂
0)( >AP
∑
n
j
jj
ii
i
BAPBP
BAPBPABP
1
)()(
)()()(i12…n
公式贝叶斯公式
)( iBP( 1i 2 …n )通常先验概率 )(ABP i
( 1i 2 … n )通常称验概率果
A 作观察结果 1B 2B… nB 理解原
贝叶斯公式反映果概率规律作出
果朔推断
3事件独立性伯努利试验
(1)两事件独立性
设事件 AB 满足 )()()(BPAPABP 称事件
AB 相互独立(性质想然成立)
事件 AB 相互独立 0)( >AP
)()(
)()(
)(
)()|(BPAP
BPAP
AP
ABPABP
理解独立性致
事件 AB 相互独立 A BA B
A B 相互独立(证明)
定义知必然事件 Ω 事件 Ø
事件相互独立(证明)
时Ø 事件互斥
(2)事件独立性
设 ABC 三事件果满足两两独立条件 考研数学知识点概率统计
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P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(CA)P(C)P(A)
时满足 P(ABC)P(A)P(B)P(C)
ABC 相互独立
n 事件类似
两两互斥→互相互斥
两两独立→互相独立?
(3)伯努利试验
定义 作 n 次试验满足
次试验两种结果 A 发生 A 发生
n 次试验重复进行 A 发生概率次均
样
次试验独立次试验 A 发生否
次试验 A 发生否互影响
种试验称伯努利概型称 n 重伯努利试验
p 表示次试验 A 发生概率 A 发生概率
qp −1 )(kPn 表示 n 重伯努利试验中 A 出现
)0( nkk ≤≤ 次概率
二 机变量分布
1机变量分布函数
(1)离散型机变量分布率
设离散型机变量 X 取值 Xk(k12…)取
值概率事件(XXk)概率
P(Xxk)pkk12…
称式离散型机变量 X 概率分布分布律
时分布列形式出:
ΛΛ
ΛΛ
|)( 21
21
k
k
k ppp
xxx
xXP
X
显然分布律应满足列条件:
(1) 0≥kp Λ21k
(2)
∑
∞
1
1
k
kp
(2)分布函数
非离散型机变量通常 0)( xXP
分布率表达例日光灯寿命 X 0)( 0 xXP
考虑 X 落某区间 ]( ba 概率表示
定义 设 X 机变量 x 意实数函数
)()( xXPxF ≤
称机变量 X 分布函数
)()()( aFbFbXaP −≤< X 落入区
间 ]( ba 概率说分布函数完整描述机
变量 X 机取值统计规律性
分布函数 )(xF 普通函数表示机变量
落入区间(– ∞x]概率
)(xF 图形阶梯图形 Λ 21 xx 第类间断
点机变量 X kx 处概率 )(xF kx 处跃
度
分布函数具性质:
1° 1)(0 ≤≤ xF +∞<<∞− x
2° )(xF 单调减函数 21 xx < 时
≤)( 1xF)( 2xF
3° 0)(lim)( −∞
−∞→
xFF
x
1)(lim)( +∞
+∞→
xFF
x
4° )()0( xFxF + )(xF 右连续
5° )0()()( −− xFxFxXP
(3)连续型机变量密度函数
定义 设 )(xF 机变量 X 分布函数存非负函
数 )(xf 意实数 x
∫ ∞−
x
dxxfxF)()(
称 X 连续型机变量 )(xf 称 X 概率密度函
数密度函数简称概率密度 )(xf 图形条曲线
称密度(分布)曲线
式知连续型机变量分布函数 )(xF 连续函
数
)()()()()()( 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP −<<<≤≤<≤≤
密度函数具面 4 性质:
1° 0)( ≥xf
2° ∫+∞
∞−
1)( dxxf 考研数学知识点概率统计
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1)()( +∞ ∫+∞
∞−
dxxfF 意义横轴面密度
曲线面全部面积等 1
果函数 )(xf 满足 1°2°定某机变量
密度函数
3° )( 21 xXxP ≤< = )()( 12 xFxF − = ∫
2
1
)(
x
x
dxxf
4° )(xf x 处连续 )()( xfxF ′
dxxfdxxXxP)()( ≈+≤<
连续型机变量理中起作 kk pxXP )(
离散型机变量理中起作相类似
)()( 独立性古典概型五公式APAE →→Ω→ ω
)()()()( xXPxFxXX ≤→≤→ ωω
连续型机变量 X然 0)( xXP事件
)( xX 非事件 Ø
∫
+
+≤<≤
hx
x
dxxfhxXxPxXP)()()(
令 0→h 右端零概率 0)( ≥ xXP
0)( xXP
事件(Ø)概率零概率零事件定
事件理必然事件(Ω)概率 1概率
1 事件定必然事件
2常见分布
①0-1 分布
P(X1)p P(X0)q
②二项分布
n 重贝努里试验中设事件 A 发生概率 p 事件 A 发
生次数机变量设 X X 取值
n210 Λ
knkk
nn qpkPkXPC − )()( 中
nkppq 210101 Λ<<−
称机变量 X 服参数 n p 二项分布记
)(~ pnBX
nknkk
n
n
n
nn pqpqpnpqqkXP
X
CC
|)( 2221 ΛΛ −−−
容易验证满足离散型分布率条件
1n 时 kk qpkXP − 1)( 10k (01)
分布(01)分布二项分布特例
③泊松分布
设机变量 X 分布律
λλ − ekkXP
k
)( 0>λ Λ210k
称机变量 X 服参数 λ 泊松分布记
)(~ λπX 者 P( λ )
泊松分布二项分布极限分布(npλn→∞)
④超分布
)min(
210)( nMl
lk
C
CCkXP n
N
kn
MN
k
M
•
−
− Λ
机变量 X 服参数 nNM 超分布
⑤分布
Λ321)( 1 − kpqkXP k 中 p≥0q1p
机变量 X 服参数 p 分布
⑥均匀分布
设机变量 X 值落[ab]密度函数 )(xf
[ab]常数 k
⎩
⎨
⎧ 0
)( kxf
中 k
ab −
1
称机变量 X [ab]服均匀分布记 X~U(a
b)
分布函数
0 xab
ax
−
−
a≤x≤b
a≤x≤b 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
∫ ∞−
x
dxxfxF)()(
a≤x1
1
2
1
1)()21
x
x
x
x abdxxfxXx ab
xxdx −
− 12
⑦指数分布
设机变量 X 密度函数
中 0>λ 称机变量 X 服参数 λ 指数分布
X 分布函数
记住积分:
1
0
∫
+∞
− dxxe x 2
0
2 ∫
+∞
− dxex x
)1(
0
1 −∫
+∞
−− ndxex xn
∫
+∞
−−Γ
0
1 )( dxex xαα )()1( ααα Γ+Γ
⑧正态分布
设机变量 X 密度函数
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
σπ
−−
x
exf +∞<<∞− x
中 µ 0>σ 常数称机变量 X 服参数
µ σ 正态分布高斯(Gauss)分布记
)(~ 2σµNX
)(xf 具性质:
1° )(xf 图形关 µx 称
2° µx 时
σπ
µ
2
1)( f 值
3° )(xf ox 轴渐线
特σ 固定改变 µ 时 )(xf 图形形状变集
体 ox 轴行移动 µ 称位置参数 µ 固定
改变σ 时 )(xf 图形形状发生变化σ 变 )(xf
图形形状变坦称σ 形状参数
)(~ 2σµNX X 分布函数
dtexF x
t
∫ ∞−
−−
2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
πσ
参数 0µ 1σ 时正态分布称标准正态分布记
)10(~ NX密度函数记
2
2
2
1)(
x
ex −
π
ϕ
+∞<<∞− x
分布函数
dtex x t
∫ ∞−
−
Φ 2
2
2
1)(
π )(xΦ 求积函数函数值
已编制成表供查
φ(x) Φ(x)性质:
1° φ(x)偶函数φ(x)=φ(x)
2° x0 时φ(x)=
π2
1 值
3° Φ(x)=1Φ(x) Φ(0)=
2
1
果 X ~ )( 2σµN
σ
µ−X ~ )10(N
通变换 )(xF 计算转化 )(xΦ 计
算 )(xΦ 值通查表
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −Φ−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −Φ≤< σ
µ
σ
µ 12
21 )( xxxXxP
分位数定义
3机变量函数分布
机变量Y 机变量 X 函数 )(XgY X 分
布函数 )(xFX 密度函数 )(xf X 知道求出
)(XgY 分布函数 )(yFY 密度函数 )(yfY
(1) X 离散型机变量
已知 X 分布列
ΛΛ
ΛΛ
)( 21
21
n
n
i ppp
xxx
xXP
X
显然 )(XgY 取值
ΛΛ)()()( 21 nxgxgxg )( ixg 互相等Y
分布列:
ΛΛ
ΛΛ
)()()(
)( 21
21
n
n
i ppp
xgxgxg
yYP
Y
1 x>b
)(xf
xe λλ −
0≥x
0 0
1 xe λ−− 0≥x
0 x<0 考研数学知识点概率统计
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某 )( ixg 相等应应 iP 相加作 )( ixg 概
率
(2) X 连续型机变量
先利 X 概率密度 fX(x)写出 Y 分布函数 FY(y)利
变限积分求导公式求出 fY(y)
三二维机变量分布
1二维机变量基概念
(1)二维连续型机量联合分布密度边缘分布
二维机量 )(YXξ 果存非负函数
))(( +∞<<−∞+∞<<−∞ yxyxf 意邻
边分行坐标轴矩形区域 D
D{(XY)|a
D
dxdyyxfDYXP)(}){(
称ξ 连续型机量称 f(xy)ξ (XY)分
布密度称 X Y 联合分布密度
分布密度 f(xy)具面两性质:
(1) f(xy)≥0
(2) ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
1)( dxdyyxf
般说(XY)连续型机量联合分布
密度 f(xy) X Y 边缘分布密度
)()()()( ∫∫ +∞
∞−
+∞
∞−
dxyxfyfdyyxfxf YX
注意:联合概率分布→边缘分布
(2)条件分布
(XY)离散型联合分布律
)21()}(){( Λ jipyxYXP ijji
已知 Xxi 条件Y 取值条件分布
)|(
•
i
ij
ij p
p
xXyYP
中 pi• p•j 分 XY 边缘分布
(XY)连续型机量联合分布密度 f(xy)
已知 Yy 条件X 条件分布密度
)(
)()|( yf
yxfyxf
Y
已知 Xx 条件Y 条件分布密度
)(
)()|( xf
yxfxyf
X
中 0)(0)( >> yfxf YX 分 XY边缘分布密度
(3)常见二维分布
①均匀分布
设机量(XY)分布密度函数
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧ ∈
0
)(1
)(
DyxS
yxf
D
中 SD 区域 D 面积称(XY)服 D 均匀
分布记(XY)~U(D)
②正态分布
设机量(XY)分布密度函数
12
1)(
2
2
2
21
21
2
1
1
2
21
))((2
)1(2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
σ
µ
σσ
µµρ
σ
µ
ρ
ρσπσ
yyxx
eyxf
中 1||00 2121 <>> ρσσµµ 5 参数称
(XY)服二维正态分布
记(XY)~N( ) 2
2
2
121 ρσσµµ
边缘密度计算公式推出二维正态分布两
边缘分布正态分布反推错
X~N( )(~) 2
22
2
11 σµσµ NY
(5)二维机量联合分布函数性质
设(XY)二维机变量意实数 xy二元函
数
}{)( yYxXPyxF ≤≤
称二维机量(XY)分布函数称机变
量 X Y 联合分布函数
分布函数全面定义域事件
})()(|){( 2121 yYxX ≤<−∞≤<−∞ ωωωω 概率
函数值实值函数分布函数 F(xy)具基
性质:
(1) 1)(0 ≤≤ yxF 考研数学知识点概率统计
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(2)F(xy)分 x y 非减
x2>x1 时F(x2y)≥F(x1y) y2>y1 时 F(xy2) ≥
F(xy1)
(3)F(xy)分 x y 右连续
)0()()0()( ++ yxFyxFyxFyxF
(4)
1)(0)()()( +∞+∞−∞−∞−∞−∞ FxFyFF
2机变量独立性
(1)连续型机变量
f(xy)fX(x)fY(y)
联合分布→边缘分布→f(xy)fX(x)fY(y)
直接判断充条件:
①分离变量
②正概率密度区间矩形
(2)二维正态分布
12
1)(
2
2
2
21
21
2
1
1
2
21
))((2
)1(2
1
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+−−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
σ
µ
σσ
µµρ
σ
µ
ρ
ρσπσ
yyxx
eyxf
ρ0
(3)机变量函数独立性
X Y 独立hg 连续函数:h(X) g(Y)独立
四 机变量数字特征
(1)维机变量函数期
①设 X 离散型机变量分布律 P( kxX )=pk
k12…n
∑
n
k
kk pxXE
1
)(
期均值
②设 X 连续型机变量概率密度 f(x)
∫
+∞
∞−
dxxxfXE)()(
③数学期性质
(1) E(C)C
(2) E(CX)CE(X)
(3) E(X+Y)E(X)+E(Y) ∑∑
n
i
n
i
iiii XECXCE
11
)()(
(4) E(XY)E(X) E(Y)充分条件:X Y 独立
充条件:X Y 相关
(5) Yg(X)
离散: ∑
n
i
kk pxgYE
1
)()(
连续: ∫
+∞
∞−
dxxxfXE)()(
∫
+∞
∞−
dxxfxgYE)()()(
(2)方差
D(X)E[XE(X)]2方差
)()(XDX σ 标准差
①离散型机变量
∑ −
k
kk pXExXD 2)]([)(
②连续型机变量
∫
+∞
∞−
− dxxfXExXD)()]([)( 2
③方差性质
(1) D(C)0E(C)C
(2) D(aX)a2D(X) E(aX)aE(X)
(3) D(aX+b) a2D(X) E(aX+b)aE(X)+b
(4) D(X)E(X2)E2(X)
(5) D(X+Y)D(X)+D(Y)充分条件:X Y 独立
充条件:X Y 相
关
D(X ± Y)D(X)+D(Y) ±
2E[(XE(X))(YE(Y))]条件成立
E(X+Y)E(X)+E(Y)条件成立
(3)常见分布数学期方差
分布
名称 符号 均值 方差
01
分布 )1( pB p )1( pp −
二项
分布 )( pnB np )1( pnp −
泊松
分布 )(λP λ λ
分布 )( pG p
1 2
1
p
p− 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
超
分
布
)(NMnH
N
nM ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−
−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ − 11 N
nN
N
M
N
nM
均匀
分布
)( baU
2
ba +
12
)( 2ab −
指数
分布
)(λe
λ
1 2
1
λ
正态
分布 )( 2σµN µ 2σ
①0-1 分布
X 0 1
q p
E(X)pD(X)pq
②二项分布 X~B(np) knkk
nn qpCkP −)((k012…n)
E(X)npD(X)npq
③泊松分布 P(λ) P(Xk)
k
e xk −λ k012…
E(X) λ D(X) λ
④超分布 n
N
kn
MN
k
M
C
CCkXP
−
− )(
E(X)
N
nM
⑤分布 1)( − kpqkXPk012…
E(X)
p
1 D(X) 2p
q
⑥均匀分布 X~U[ab]f(x)
ab −
1 [a b ]
E(X)
2
ba + D(X)
12
)( 2ab −
⑦指数分布 f(x) xe λλ − (x>0)
E(X)
λ
1 D(X) 2
1
λ
⑧正态分布 X~N(μσ2) 2
2
2
)(
2
1)( σ
µ
σπ
−−
x
exf
E(X) μ D(X) σ2
2二维机变量数字特征
(1)协方差相关系数
机变量 X Y称二阶混合中心矩 11µ X
Y 协方差相关矩记 )cov( YXXY σ
))]())(([(11 YEYXEXEXY −− µσ
记号 XYσ 相应X Y 方差 D(X) D(Y)
分记 XXσ YYσ
协方差面性质:
(i) cov (X Y)cov (Y X)
(ii) cov(aXbY)ab cov(XY)
(iii) cov(X1+X2 Y)cov(X1Y)+cov(X2Y)
(iv) cov(XY)E(XY)(E(X))(E(Y))
机变量 X Y果 D(X)>0 D(Y)>0称
)()(YDXD
XYσ
X Y 相关系数记作 XYρ (时简记 ρ )
|ρ |≤1| ρ |1 时称 X Y 安全相关:
完全相关
⎩
⎨
⎧
−
时负相关
时正相关
1
1
ρ
ρ
0ρ 时称 X Y 相关
相关系数关重结
(i) 机变量 X Y 相互独立 0XYρ
反真
(ii) (XY)~N( ρσσµµ 2
2
2
121 ) X
Y 相互独立充条件 0ρ XY
相关
(iii) 五命题等价:
① 0XYρ
②cov(XY)0 考研数学知识点概率统计
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③E(XY)E(X)E(Y)
④D(X+Y)D(X)+D(Y)
⑤D(XY)D(X)+D(Y)
(2)二维机变量函数期
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∫∫
∑∑
∞+
∞
∞+
∞--
连续型
离散型
)()()(
)()(
)]([
YXdxdyyxfyxG
YXpyxG
YXGE
ij
ijji
(3)原点矩中心矩
①正整数 k称机变量 X k 次幂数学期 X
k 阶原点矩记 vk
ukE(Xk) k12 …
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∫
∑
∞+
∞−
)( 续型时连
离散型时
Xdxxpx
Xpx
u
k
i
i
k
i
k
②正整数 k称机变量 X E(X)差 k 次幂数学
期 X k 阶中心矩记 kµ
21))((Λ− kXEXE k
kµ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
−
∫
∑
∞+
∞−
)())((
))((
续型时连
离散型时
XdxxpXEx
XpXEx
u
k
i
i
k
i
k
③机变量 X Y果 )( lkYXE 存称 X
Yk+l 阶混合原点矩记 klu
))](())([( YEYXEXEu k
kl −−
五 数定律中心极限定理
1切雪夫等式
设机变量 X 具数学期 E(X)μ方差 D(X)σ2
意正数ε列切雪夫等式
2
2
)(
ε
σεµ ≤≥−XP
切雪夫等式出未知 X 分布情况概
率
)( εµ ≥−XP
种估计理重意义
2数定律
(1)切雪夫数定律
(求方差界)
设机变量 X1X2…相互独立均具限方差
常数 C 界:D(Xi)
1)(11lim
11
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <− ∑∑
∞→
ε
n
i
i
n
i
in
XEnXnP
特殊情形: X1X2…具相数学期 E(XI)
μ式成
11lim
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−∑
∞→
εµ
n
i
in
XnP
者简写成:
()1lim <−
∞→
εµXP
n
切雪夫数定律指出n 相互独立具限
相数学期方差机变量 n 时
算术均概率接数学期
(2)伯努利数定律
设μ n 次独立试验中事件 A 发生次数p 事件
A 次试验中发生概率意正数ε
1lim ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−
∞→
εµ pnP
n
伯努利数定律说明试验次数 n 时事件 A
发生频率概率较判性
0lim ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≥−
∞→
εµ pnP
n
严格数学形式描述频率稳定性
(3)辛钦数定律
(求存方差)
设X1X2…Xn…相互独立分布机变量
序列 E(Xn)μ意正数ε
11lim
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ <−∑
∞→
εµ
n
i
in
XnP
考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
3中心极限定理
(1)列维-林德伯格定理
设机变量 X1X2…相互独立服分布具
相数学期方差:
)21(0)()( 2 Λ≠ kXDXE kk σµ 机变量
σ
µ
n
nX
Y
n
k
k
n
∑
−
1
分布函数 Fn(x)意实数 x
∫
∑
∞−
−
∞→∞→
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
−
x t
n
k
k
nnn
dtex
n
nX
PxF
2
1lim)(lim 21
2
πσ
µ
者简写成: )10(
N
n
X
n ⎯⎯→⎯−
∞→σ
µ
定理称独立分布中心极限定理
(2)棣莫弗-拉普拉斯定理
设机变量 X1…Xn 均具参数 n p(0
分布意实数 x
∫ ∞−
−
∞→
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
−
− x t
n
n
dtex
pnp
npXP
2
1
)1(
lim 2
2
π
4二项定理泊松定理
(1)二项定理
)( 变时 knpN
MN →∞→
knkk
nN
N
kn
MN
K
M pPC
C
CC −
−
− −→ )1( )( ∞→N
见超分布极限分布二项分布
(2)泊松定理
0 >→∞→ λnpn 时
λλ −− →− ekpPC
k
knkk
n )1( )( ∞→n
中 k012…n…
六 数理统计基概念
1总体体样
(1)总体样
总体 数理统计中常考察象某
()指标全体称总体(母体)总
体中单元称样品(体)讨中
总总体成具分布机变量(机
量)
(2)样函数统计量
设 nxxx 21 Λ 总体样称
ϕϕ ( nxxx 21 Λ)
样函数中ϕ 连续函数果ϕ 中包含
未知参数称ϕ ( nxxx 21 Λ)统计量
2统计量
(1)常统计量
样均值 1
1
∑
n
i
ixnx
样方差
∑
−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1
(概率中方差定义)
样标准差 )(1
1
1
2∑
−−
n
i
i xxnS
样 k 阶原点矩 ∑
n
i
k
ik kxnM
1
211 Λ
样 k 阶中心矩
∑
−′
n
i
k
ik kxxnM
1
32)(1 Λ
(二阶中心矩
∑
−
n
i
i XXnS
1
22 )(1* 概率中方差定义相)
(2)统计量期方差
µ)(XE
nXD
2
)( σ 考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
22 )( σSE 22 1)*( σn
nSE −
中 ∑
−
n
i
i XXnS
1
22 )(1*二阶中心矩
3三抽样分布(χ2tF 分布)
(1)χ2 分布
设 n 机变量 nXXX 21 Λ 相互独立服标准正态
分布证明:方
∑
n
i
iXW
1
2
分布密度
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
−−
00
0
22
1
)(
2
1
2
2
u
ueu
nuf
un
n
称机变量 W 服度 n 2κ 分布记 W~
2κ (n)中
2 0
1
2 dxexn x
n
−∞+ −
∫⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
谓度指独立正态机变量数机变量分
布中重参数
2κ 分布满足加性:设
)(2
ii nY κ−
)(~ 21
1
2
k
k
i
i nnnYZ +++ ∑
Λκ
注意两结果:E(χ2)nD(χ2)2n
(2)t 分布
设 XY 两相互独立机变量
)(~)10(~ 2 nYNX κ
证明:函数
nY
XT
概率密度
2
1
2
1
2
2
1
)(
+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +Γ
n
n
t
nn
n
tf
π
)( +∞<<−∞ t
称机变量 T 服度 n t 分布记 T~
t(n)
注意两结果:E(T)0D(T)
2−n
n (n>2)
(3)F 分布
设 )(~)(~ 2
2
1
2 nYnX κκ X Y 独立证明:
2
1
nY
nXF 概率密度函数
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛Γ
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +Γ
+−
−
0
1
22
2
)(
2
2
11
2
2
2
1
21
21 21
1
1
y
yyn
nyn
n
nn
nn
yf
nn
n
n
称机变量 F 服第度 n1第二
度 n2 F 分布记 F~f(n1 n2)
正态分布 αα µµ −−1
)()(1 ntnt αα −−
)(
1)(
12
211 nnFnnF
α
α −
4正态总体统计量分布性质
注意定理: X 2S 独立
(1)正态分布 设 nxxx 21 Λ 正态
总体 )( 2σµN 样样函数
)10(~
N
n
xu
def
σ
µ−
(2)t分布 设 nxxx 21 Λ 正态总体考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
)( 2σµN 样样函数
)1(~
−− nt
nS
xt
def µ
中 t(n1)表示度 n1 t 分布
(3) 2κ 分 布 设 nxxx 21 Λ 正态总
体 )( 2σµN 样样函数
)1(~)1( 2
2
2
−− nSnw
def
κ
σ
中 )1(2 −nκ 表示度 n1 2κ 分布
(4)F 分布 设 nxxx 21 Λ 正态总体
)( 2σµN 样 nyyy 21 Λ 正态总体
)( 2
2σµN 样样函数
)11(~
212
2
2
2
2
1
2
1 −− nnF
S
SF
def
σ
σ
中
)(1
1 2
11
2
1
1
∑
−−
n
i
i xxnS )(1
1 2
12
2
2
2
∑
−−
n
i
i yynS
)11( 21 −− nnF 表示第度 11 −n 第二度
12 −n F 分布
七 参数估计
1点估计两种方法
(1)矩法
谓矩法利样阶原点矩相应总体矩
建立估计量应满足方程求未知参数估计量方
法
设总体 X 分布中包含未知数 mθθθ 21 Λ分
布函数表成 )( 21 mxF θθθ Λ 显示 k 阶原点矩
)21)(( mkXEv k
k Λ 中包含未知参数
mθθθ 21 Λ )( 21 mkk vv θθθ Λ 设
nxxx 21 Λ 总体 X n 样值样 k 阶原
点矩
∑
∧
n
i
k
ik xnv
1
1 )21( mk Λ
样参数等估计量时总体矩等
相应样矩原建立方程
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∑
∑
∑
∧∧∧
∧∧∧
∧∧∧
n
i
m
imm
n
i
im
n
i
im
xnv
xnv
xnv
1
21
1
2
212
1
211
1)(
1)(
1)(
θθθ
θθθ
θθθ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
Λ
面 m 方程中解出 m 未知参数
)( 21
∧∧∧
mθθθ Λ 参数( mθθθ 21 Λ)矩估计量
(2)似然法
谓似然法样函数值估计总
体参数时应参数取值时观测样
出现概率
总体 X 连续型机变量时设分布密度
)( 21 mxf θθθ Λ中 mθθθ 21 Λ 未知参数
设 nxxx 21 Λ 总体样称
)()(
1
11 22 ∏
n
i
mimn xfL θθθθθθ ΛΛ
样似然函数简记 Ln
总体 X 离型机变量时设分布律
)(}{ 21 mxpxXP θθθ Λ 称
)()(
1
111 222 ∏
n
i
mimn xpxxxL θθθθθθ ΛΛΛ
样似然函数
似然函数 )( 22 11 mnxxxL θθθ ΛΛ
m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 处取值称 m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 分考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
mθθθ 21 Λ 似然估计值相应统计量称似
然估计量 Ln 达 m
∧∧∧
θθθ 21 Λ 分作
mθθθ 21 Λ 估计量方法称似然估计法
lnx 递增函数 Ln lnLn 时达
值称
miL
iii
n 210ln Λ∂
∂
∧
θθθ
似然方程元微分学知似然方程求出
)21)(( 21 mixxx nii ΛΛ
∧∧
θθ iθ 似然估计
量
容易出 Ln 达 i
∧
θ 组样值
出现性
2估计量评选标准
(1)偏性
设 )( 21 nxxx Λ
∧∧
θθ 求知参数θ 估计量 E
(
∧
θ )θ 称
∧
θ θ 偏估计量
总体 X 均值 E(X)方差 D(X)存样
均值 x 样方差 S2 分 E(X) D(X)偏估计
E( x )E(X) E(S2)D(X)
(2)效性
设 )( 2111 nxxx Λ
∧∧
θθ )( 2122 nxxx Λ
∧∧
θθ
未知参数θ 两偏估计量 21 )(
∧∧
< θθ DD称
21
∧∧
θθ 效
(3)致性(相合性)
设n
∧
θ θ 串估计量果意正数ε
0)|(|lim >−
∧
∞→
εθθ n
n
P
称 n
∧
θ θ 致估计量(相合估计量)
3区间估计
(1)置信区间置信度
设总体 X 含估未知参数θ 果样
nxxx 21 Λ 出发找出两统计量
)( 2111 nxxx Λθθ
)( 2122 nxxx Λθθ )( 21 θθ < 区间 ][ 21 θθ
)10(1 <<− αα 概率包含估参数θ
1}{ 21 αθθθ −≤≤P
称区间 ][ 21 θθ θ 置信区间 α−1 该区间
置信度(置信水)
(2)单正态总体期方差区间估计
设 nxxx 21 Λ 总体 )(~ 2σµNX 样
置信度 α−1 确定 2σµ 置信区
间 ][ 21 θθ 具体步骤:
(i)选择样函数
(ii)置信度 α−1 查表找分位数
(iii)导出置信区间 ][ 21 θθ
面分三种情况讨
① 已知方差估计均值
(i)选择样函数
设方差 2
0
2 σσ 中 2
0σ 已知数知道
µ∑
n
i
ixnx
1
1 点估计知道包含未知参数
µ 样函数
)10(~
0
N
n
xu
σ
µ−
(ii) 查表找分位数
定置信度 α−1 查正态分布分位数表找出分
位数 λ
≤ )|(| λuP α−1
考研数学知识点概率统计
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13
1
2
αλ
σ
µλ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤−≤−
n
xP
(iii)导出置信区间
等式
λσ
µλ ≤−≤−
2
)( nx
推
00
n
x
n
x σλµσλ +≤≤−
说机区间
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−
n
x
n
x 00 σλσλ
α−1 概率包含 µ
② 未知方差估计均值
(i)选择样函数
设 nxxx 21 Λ 总体 )( 2σµN 样
2σ 未知选取样函数 u时样方差
∑
−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1
代 2σ 选取样函数
)1(~
−− nt
nS
xt µ
(ii)查表找分位数
定置信度 α−1 查 t 分位数表找出分位数 λ
≤ )|(| λuP α−1
1
αλµλ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≤−≤−
nS
xP
(iii)导出置信区间
等式
λσ
µλ ≤−≤−
2
)( nx
推
n
Sx
n
Sx λµλ +≤≤−
说机区间
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +−
n
Sx
n
Sx λλ
α−1 概率包含 µ
③ 方差区间估计
(i)选择样函数
设 nxxx 21 Λ 总体 )( 2σµN 样
知道 ∑
−−
n
i
i xxnS
1
22 )(1
1
2σ 点估计知道包含未知参数 2σ 样
函数
)1(~)1( 2
2
2
−− nSn κ
σ
ω
(ii)查表找分位数
定置信度 α−1 查 2κ 分布分位数表找
出两分位数 21 λλ 2κ 分布具称性
通常采取概率称区间
1)( 21 αλωλ −≤≤P
1)1(
22
2
1 αλ
σ
λ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ≤−≤ SnP
(iii)导出置信区间
22
2
1
)1( λ
σ
λ ≤−≤ Sn
等式
1
2
2
2
2 )1()1(
λσλ
SnSn −≤≤−
α−1 概率包含 2σ 机区间
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −− SnSn
12
11
λλ
α−1 概率包含σ
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
函数概念
1.变限积分表示函数
(1)()dttfy x
∫ 0
中 ()tf 连续 ()xfdx
dy
(2)()()
()
dttfy x
x∫ 2
1
ϕ
ϕ
中 ()x1ϕ ()x2ϕ 导 ()tf
连续
()[]() ()[]()xxfxxfdx
dy
1122 ϕϕϕϕ ′−′
2.两穷较
设 () 0lim xf () 0lim xg ()
() lxg
xf lim
(1) 0l 称 ()xf ()xg 高阶穷记
() ()[]xgxf 0 称 ()xg ()xf 低阶穷
(2) 0≠l 称 ()xf ()xg 阶穷
(3) 1l 称 ()xf ()xg 等价穷记
() ()xgxf ~
3.常见等价穷
0→x 时
xx ~sin xx ~tan xx ~arcsin xx ~arctan
2
2
1~cos1 xx− xe x ~1− ()xx ~1ln +
() xx αα ~11 −+
二.求极限方法
1.利极限四运算幂指数运算法
2.两准
准 1.单调界数列极限定存
(1) nn xx ≤+1 ( n 正整数) mxn ≥ ( n 正
整数) Axnn
∞→
lim 存 mA ≥
(2) nn xx ≥+1 ( n 正整数) Mxn ≤ ( n 正
整数) Axnn
∞→
lim 存 MA ≤
准 2.(夹逼定理)设 () () ()xhxfxg ≤≤
() Axg lim () Axh lim () Axf lim
3.两重公式
公式 1. 1sinlim
0
→ x
x
x
公式 2 . en
n
n
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
∞→
11lim eu
u
u
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
∞→
11lim
()ev v
v
+
→
1
0
1lim
4.穷重性质等价穷代换
5.泰勒公式(等价穷更深刻) (数学
数学二)
0→x 时 ()n
n
x xn
xxxe 021
2
+++++Λ
()()()12
1253
012153sin +
+
++−+++− n
n
n xn
xxxxx Λ
()() ()n
n
n xn
xxxx 2
242
021421cos +−+−+−Λ
() () ()n
n
n xn
xxxxx 01321ln 1
32
+−+−+−+ +Λ
() ()12
12
1
53
012153arctan +
+
+ ++−+−+− n
n
n xn
xxxxx Λ
() ()() ()[]()nn xxn
nxxx 0
11
2
111 2 +−−−++−+++ ααααααα ΛΛ
6.洛必达法
法 1.(
0
0 型)设(1)() 0lim xf () 0lim xg
(2) x 变化程中 ()xf ′()xg′ 皆存
(3)()
() Axg
xf ′
′lim ( ∞ )
()
() Axg
xf lim ( ∞ )
(注:果 ()
()xg
xf
′
′lim 存穷量情形
出 ()
()xg
xflim 存穷量情形)
法 2.(
∞
∞ 型 )设( 1)() ∞xflim () ∞xglim
(2) x 变化程中 ()xf ′()xg′ 皆存 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2
(3)()
() Axg
xf ′
′lim ( ∞ )
()
() Axg
xf lim ( ∞ )
7.利导数定义求极限
基公式: ()()()0
00
0
lim xfx
xfxxf
x
′∆
−∆+
→∆
[果
存]
8.利定积分定义求极限
基公式 ()∫∑ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∞→
1
01
1lim dxxfn
kfn
n
kn
[果存 ]
三.函数间断点分类
函数间断点分两类:
(1)第类间断点
设 0x 函数 ()xfy 间断点果 ()xf 间断点
0x 处左右极限存称 0x ()xf 第类间断
点
第类间断点包括间断点跳跃间断点
(2)第二类间断点
第类间断点外间断点统称第二类间断
点
常见第二类间断点穷间断点振荡间断点
四.闭区间连续函数性质
闭区间 []ba 连续函数 ()xf 基
性质性质
定理 1.(界定理)果函数 ()xf 闭区间[]ba
连续 ()xf 必[]ba 界
定理 2.(值值定理)果函数 ()xf 闭
区间[]ba 连续区间定存值 M
值 m
中值 M 值 m 定义:
定义 设 ()Mxf 0 区间[]ba 某点 0x 处函数
值果区间[]ba 点 x 总 ()Mxf ≤
称 M 函数 ()xf []ba 值样定义
值 m
定理 3.(介值定理)果函数 ()xf 闭区间[]ba
连续值值分 M m 介 m
M 间实数 c []ba 少存ξ
() cf ξ
推:果函数 ()xf 闭区间[]ba 连续 ()af
()bf 异号 ()ba 少存点ξ
() 0ξf
推称零点定理
五.导数微分计算
1.导数微分表
() 0′c () 0cd
() 1 −′ αα α xx (α 实常数) () dxxxd 1 − αα α (α 实常数)
() xx cossin ′ xdxxd cossin
() xx sincos −′ xdxxd sincos −
() xx 2sectan ′ xdxxd 2sectan
() xx 2csccot −′ xdxxd 2csccot −
() xxx tansecsec ′ xdxxxd tansecsec
() xxx cotcsccsc −′ xdxxxd cotcsccsc −
() axxa ln
1log ′()10 ≠> aa
ax
dxxd a lnlog ()10 ≠> aa
()xx 1ln ′ dxxxd 1ln
() aaa xx ln′()10 ≠> aa
adxada xx ln ()10 ≠> aa 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3
() xx ee ′ dxede xx
() 21
1arcsin
x
x
−
′ dx
x
xd 21
1arcsin
−
() 21
1arccos
x
x
−
−′ dx
x
xd 21
1arccos
−
−
() 21
1arctan xx
+′ dxxxd 21
1arctan
+
() 21
1cot xxarc
+−′ dxxxdarc 21
1cot
+−
()[]22
22 1ln
ax
axx
+
′
++
() dx
ax
axxd 22
22 1ln
+
++
()[]22
22 1ln
ax
axx
−
′
−+
() dx
ax
axxd 22
22 1ln
−
−+
2.四运算法
() ()[]() ()xgxfxgxf ′±′′±
() ()[]()() () ()xgxfxgxfxgxf ′+′′⋅
()
()
()() () ()
()xg
xgxfxgxf
xg
xf
2
′−′
′
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ()()0≠xg
3.复合函数运算法
设 ()ufy ()xu ϕ 果 ()xϕ x 处导 ()uf
应点u 处导复合函数 ()[]xfy ϕ x 处导
()[]()xxfdx
du
du
dy
dx
dy ϕϕ ′′
应 () ()[]()dxxxfduufdy ϕϕ ′′′
公式 ()duufdy ′ u 变量中间变量
成立称阶微分形式变性
4.参数方程确定函数运算法
设 ()tx ϕ ()ty ψ 确定函数 ()xyy 中 ()tϕ′
()tψ ′ 存 () 0≠′ tϕ
()
()t
t
dx
dy
ϕ
ψ
′
′ ()()0≠′ tϕ
二阶导数
() () () ()
()[]32
2 1
t
tttt
dt
dxdt
dx
dyd
dx
dx
dyd
dx
yd
ϕ
ϕψϕψ
′
′′′−′′′⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5.反函数求导法
设 ()xfy 反函数 ()ygx 两者皆导
() 0≠′ xf
() () ()[]ygfxfyg ′′′ 11 ()()0≠′ xf
二阶导数 () ()[] ()
dx
dydx
xfd
dy
ygdyg 1
1
⋅
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
′′′′
()
()[]
()[]
()[]{}33 ygf
ygf
xf
xf
′
′′−
′
′′− ()()0≠′ xf
6.隐函数运算法
设 ()xyy 方程 ()0 yxF 确定求 y′ 方
法:
() 0 yxF 两边项 x 求导 y 作中间变
量复合函数求导公式计算 然解出 y′ 表达式(允
许出现 y 变量)
7.数求导法
先函数式两边取数然隐函数求导
方法出导数 y′
数求导法:
①幂指函数求导数
②函数连开方求导数
关幂指函数 ()[]()xgxfy 常种方法考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
() ()xfxgey ln 样直接复合函数运算法进行
8.微导关系
()xf 0x 处微 ()xf⇔ 0x 处导
9.求 n 阶导数( 2≥n 正整数)
先求出 Λyy ′′′ 总结出规律性然写出 ()ny
纳法证明
常初等函数 n 阶导数公式
(1) xey () xn ey
(2)()10 ≠> aaay x () ()nxn aay ln
(3) xy sin () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 2sin πnxy n
(4) xy cos () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 2cos πnxy n
(5) xy ln ()()( ) nnn xny −− −− 11 1
两函数积 n 阶导数莱布尼兹公式
()()[]() ()()()()∑
−
n
k
knkk
n
n xvxuCxvxu
0
中 ()
knk
nC k
n − ()() ()xuxu 0
()() ()xvxv 0
假设 ()xu ()xv n 阶导
微分中值定理
.罗尔定理
设函数 ()xf 满足
(1)闭区间 []ba 连续
(2)开区间 ()ba 导
(3)() ()bfaf
存 ()ba∈ξ () 0′ ξf
二.拉格朗日中值定理
设函数 ()xf 满足
(1)闭区间 []ba 连续
(2)开区间 ()ba 导
存 ()ba∈ξ
()()()ξfab
afbf ′−
−
写成 ()()()()abfafbf −′− ξ ()ba << ξ
时写成 ()() () xxxfxfxxf ∆⋅∆+′−∆+ θ000
()10 << θ
里 0x 相 a b x∆ 正负
推 1. ()xf ()ba 导 () 0≡′ xf ()xf
()ba 常数
推 2 . ()xf ()xg ()ba 皆导
()()xgxf ′≡′ ()ba () () cxgxf + 中 c
常数
三.柯西中值定理(数学四)
设函数 ()xf ()xg 满足:
(1)闭区间 ][ ba 皆连续
(2)开区间 ()ba 皆导 () 0≠′ xg
存 ()ba∈ξ
()()
() ()
()
()ξ
ξ
g
f
agbg
afbf
′
′−
− ()ba << ξ
(注:柯西中值定理拉格朗日中值定理推广特
殊情形 () xxg 时柯西中值定理拉格朗日中值定
理)
四.泰勒定理(泰勒公式) (数学数学二)
定理 1.(皮亚诺余项 n 阶泰勒公式)
设 ()xf 0x 处 n 阶导数公式
() ( ) ()()()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
0
0
0 21 Λ 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5
()0xx →
中 () ( )[]n
n xxxR 00 − ()0xx → 称皮亚诺
余项
()
()⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−→
0lim
00
n
n
xx xx
xR
前面求极限方法中泰勒公式种情形根
情形取适 n 常初等函数
()xxxe x +1lncossin ()αx+1 (α 实常数)等 n
阶泰勒公式熟记
定理 2(拉格朗日余项 n 阶泰勒公式)
设 ()xf 包含 0x 区间 ()ba 1+n 阶导数
[]ba n 阶连续导数 []bax ∈ 公式
() ( ) ()()()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
0
0
0 21 Λ
中 ()
()()
()()1
0
1
1
+
+
−+ n
n
n xxn
fxR ξ ( ξ 0x x
间)
称拉格朗日余项
面展开式称 0x 中心 n 阶泰勒公式
00 x 时称 n 阶麦克劳林公式
果 () 0lim
∞→
xRnn
泰勒公式转化泰勒级
数面穷级数中讨
导数应:
.基知识
1.定义
设函数 ()xf ()ba 定义 0x ()ba 某
点
果点 0x 存邻域邻域点
()0xxx ≠ 总 () ( )0xfxf < 称 ()0xf 函数 ()xf
极值称 0x 函数 ()xf 极值点
果点 0x 存邻域邻域点
()0xxx ≠ 总 () ( )0xfxf > 称 ()0xf 函数 ()xf
极值称 0x 函数 ()xf 极值点
函数极值极值统称极值极值点极值
点统称极值点
2.必条件(导情形)
设函数 ()xf 0x 处导 0x ()xf 极值
点 () 00 ′ xf
称 x 满足 () 00 ′ xf 0x ()xf 驻点导函
数极值点定驻点反然
极值点驻点导点两种点
中进步判断
3.第充分条件
设 ()xf 0x 处连续 δ<−< 00 xx 导
()0xf ′ 存 () 00 ′ xf
°1 果()00 xx δ− 点 x 处
() 0>′ xf ()δ+00 xx 点 x 处
() 0<′ xf ()0xf 极值 0x 极值点
°2 果()00 xx δ− 点 x 处
() 0<′ xf ()δ+00 xx 点 x 处
() 0>′ xf ()0xf 极值 0x 极值点
°3 果()00 xx δ− ()δ+00 xx 点
x 处 ()xf ′ 符号相 ()0xf 极值 0x
极值点
4.第二充分条件
设函数 ()xf 0x 处二阶导数 () 00 ′ xf
() 00 ≠′′ xf
() 00 <′′ xf 时 ()0xf 极值 0x 极值点
() 00 >′′ xf 时 ()0xf 极值 0x 极值点 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6
二.函数值值
1.求函数 ()xf []ba 值值方法
首先求出 ()xf ()ba 驻点导点
kxx 1 Λ次计算 () ()()()bfafxfxf k 1 Λ
较 () ( )()()bfafxfxf k 1 Λ
中者 ()xf []ba 值 M中
者 ()xf []ba 值 m
2.()值应问题
首先列出应问题中目标函数考虑区间
然求出目标函数区间()值
三.凹凸性拐点
1.凹凸定义
设 ()xf 区间 I 连续意两点 21 xx
恒
() ()[] () ()[]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +<⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++>⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
21
21
21
21
2
1
22
1
2 xfxfxxfxfxfxxf
称 ()xf I 凸(凹)
曲线 ()xfy 意两点割线曲线
()面 ()xfy 凸(凹)
果曲线 ()xfy 切线话点切线曲
线() ()xfy 凸(凹)
2.拐点定义
曲线凹凸分界点称曲线拐点
3.凹凸性判拐点求法
设函数 ()xf ()ba 具二阶导数 ()xf ′′
果()ba 点 x 恒 () 0>′′ xf 曲线
()xfy ()ba 凹
果 ()ba 点 x 恒 () 0<′′ xf 曲线
()xfy ()ba 凸
求曲线 ()xfy 拐点方法步骤:
第步:求出二阶导数 ()xf ′′
第二步:求出二阶导数等零二阶导数存
点 1x 2x … kx
第三步:连续点检验点两边二阶导数
符号果符号该点拐点横坐标
第四步:求出拐点坐标
四.渐线求法
1.垂直渐线
() ∞+→
xf
ax
lim () ∞−→
xf
ax
lim
ax 曲线 ()xfy 条垂直渐线
2.水渐线
() bxf
x
+∞→
lim () bxf
x
−∞→
lim
by 曲线 ()xfy 条水渐线
3.斜渐线
() 0lim ≠
+∞→
ax
xf
x
()[]baxxf
x
−
+∞→
lim
() 0lim ≠
−∞→
ax
xf
x
()[]baxxf
x
−
−∞→
lim
baxy + 曲线 ()xfy 条斜渐线
五.曲率(数学数学二)
设曲线 ()xfy 点 ()yxM 处曲率
()[]2321 y
yk
′+
′′ 0≠k 称
kR 1 点 ()yxM 处
曲率半径 M 点法线凹边取点 D
RMD 称 D 曲率中心 D 圆心 R 半
径圆周称曲率圆
定积分
.基积分公式
1.Cxdxx ++∫
+
1
1
α
α
α ()实常数1−≠α 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
2. ∫ + Cxdxx ln1
3. ∫ + Caadxa xx
ln
1 ()10 ≠> aa
Cedxe xx +∫
4. ∫ + Cxxdx sincos
5. ∫ +− Cxxdx cossin
6.Cxdxxxdx + ∫∫ tancos
1sec 2
2
7.Cxdxxxdx +−∫∫ cotsin
1csc 2
2
8.Cxxdxx +∫ secsectan
9.Cxxdxx +−∫ csccsccot
10.Cxxdx +−∫ coslntan
11.Cxxdx +∫ sinlncot
12.Cxxxdx ++∫ tanseclnsec
13.Cxxxdx +−∫ cotcsclncsc
14. ∫ +
−
Ca
x
xa
dx arcsin22
()0>a
15.Ca
x
axa
dx ++∫ arctan1
22 ()0>a
16.Cxa
xa
axa
dx +−
+
−∫ ln2
1
22 ()0>a
17.Caxx
ax
dx +±+
±∫ 22
22
ln ()0>a
二.换元积分法分部积分法
1.第换元积分法(凑微分法)
设 () () CuFduuf +∫ ()xϕ 导
()[]() ()[]() () ()duuf
xu
xdxfdxxxf ∫∫∫
′
ϕ
ϕϕϕϕ
令
() ()[]CxFCuF ++ ϕ
里求读者常微分公式倒背流
非常熟练凑出微分
常种凑微分形式:
(1)() ()()∫∫ +++ baxdbaxfadxbaxf 1
()0≠a
(2)()()()∫∫ +++ − baxdbaxfnadxxbaxf nnnn 11
()00 ≠≠ na
(3)() ()()xdxfx
dxxf lnlnln ∫∫
(4) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ∫∫ xdxfx
dx
xf 111
2
(5)()()()∫∫ xdxf
x
dxxf 2
(6)()()()∫∫ xxxx adafadxaaf ln
1
()10 ≠> aa
()()()∫∫ xxxx edefdxeef
(7)()()()∫∫ xdxfxdxxf sinsincossin
(8)()()()∫∫ − xdxfxdxxf coscossincos
(9)()()()∫∫ xdxfxdxxf tantansectan 2
(10)()()()∫∫ − xdxfxdxxf cotcotcsccot 2
(11)()()()∫∫ xdxfxdxxxf secsectansecsec
(12)()()()∫∫ − xdxfxdxxxf csccsccotcsccsc
(13)()()()∫∫
−
xdxfdx
x
xf arcsinarcsin
1
arcsin
2
(14)()()()∫∫ −
−
xdxfdx
x
xf arccosarccos
1
arccos
2
(15)()()()∫∫ +
xdxfdxx
xf arctanarctan
1
arctan
2
(16)()()()∫∫ −+
xarcdxarcfdxx
xarcf cotcot1
cot
2 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8
(17) ∫∫ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−+
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
xdxfdxx
xf 1arctan1arctan1
1arctan
2
( 18 )
()[]()[]()()∫∫ ++++
+
++ 2222
22
22
lnlnln axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
( 19 )
()[]()[]()()∫∫ −+−+
−
−+ 2222
22
22
lnlnln axxdaxxfdx
ax
axxf
()0>a
(20)()
() () Cxfdxxf
xf +′∫ ln ()()0≠xf
2.第二换元积分法
设 ()tx ϕ 导 () 0≠′ tϕ
()[]() () CtGdtttf +′∫ ϕϕ
() () ()[]() () ( )[]CxGCtGdtttftxdxxf ++′∫∫ −1ϕϕϕϕ令
中 ()xt 1− ϕ ()tx ϕ 反函数
第二换元积分法绝数根式积函数通
换元根式掉常见变量换分两类:
第类:积函数 x n bax + x n
dcx
bax
+
+
xe 构成代数式根式例 bae x + 等
令根式 () txgn 解出 ()tx ϕ 已根
式作种变量换 ()tx ϕ
第二类:积函数含 ()0 2 ≠++ ACBxAx
果令 tCBxAx ++2 解出 ()tx ϕ 根号
样变量换行作特殊处理 0>A 时先化
()[]22
0 lxxA ±− 0() ( )[]2
0
2 xxlA −−− 然作列三种三角换:
根式形式 作换
三角形示意图(求反函数
)
22 xa − tax sin
22 xa + tax tan
22 ax − tax sec
3.分部积分法
设 ()xu ()xv 均连续导数
()()()( ) ( ) ()∫∫ − xduxvxvxuxdvxu
()()()()()()∫ ∫ ′−′ dxxvxuxvxudxxvxu
分部积分法时积函数中谁作 ()xu 谁作
()xv′ 定规律
(1)() ax
n exP() axxPn sin () axxPn cos 情形
()xPn n 次项式 a 常数进行 n 次分部积分法
次均取 axe axsin axcos ()xv′项式部分
()xu
(2)() xxPn ln () xxPn arcsin () xxPn arctan 情
形 ()xPn n 次项式取 ()xPn ()xv′ xln
xarcsin xarctan ()xu 分部积分法次积函
数形式发生变化考虑方法
(3) bxeax sin bxeax cos 情形进行二次分部积分
法移项合
(4)较复杂积函数分部积分法凑微考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
分法量子 dx 凑成
.定积分概念性质
1.定积分性质
(1)() ()∫∫ − b
a
a
b
dxxfdxxf
(2)() 0∫a
a
dxxf
( 3 )
() ()[]() ()∫∫∫ ++ b
a
b
a
b
a
dxxfkdxxfkdxxfkxfk 22112211
(4)() () ()∫∫∫ + b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf ( c []ba
外)
(5)设 ba ≤ () ()xgxf ≤ ()bxa ≤≤
() ()∫∫ ≤ b
a
b
a
dxxgdxxf
(6)设 ba < () Mxfm ≤≤ ()bxa ≤≤
() ()()abMdxxfabm b
a
−≤≤− ∫
(7)设 ba < () ()∫∫ ≤ b
a
b
a
dxxfdxxf
(8)定积分中值定理 设 ()xf []ba 连续存
[]ba∈ξ
() ()( )abfdxxfb
a
−∫ ξ
定义:称 ()∫−
b
a
dxxfab
1 ()xf []ba 积
分均值
(9)奇偶函数积分性质
() 0∫−
a
a
dxxf ( f 奇函数)
() ()∫∫ −
aa
a
dxxfdxxf 0
2 ( f 偶函数)
(10)周期函数积分性质
设 ()xf T 周期 a 常数
() ()∫∫ + TTa
a
dxxfdxxf 0
二.基定理
1.变限积分函数
定义:设 ()xf []ba 积 () ()∫ x
a
dttfxF
[]bax ∈ 称变限积分函数
定理:(1) ()xf []ba 积 () ()∫ x
a
dttfxF
[]ba 连续
(2) ()xf []ba 连续 () ()∫ x
a
dttfxF
[]ba 导 ()()xfxF ′
推广形式: 设 () ()()
()
∫ x
x
dttfxF 2
1
ϕ
ϕ
()()xx 21 ϕϕ 导
()xf 连续
()()[]() ()[]()xxfxxfxF 1122 ϕϕϕϕ ′−′′
2.牛顿莱布尼兹公式
设 ()xf []ba 积 ()xF ()xf []ba 意
原函数
() () () ()aFbFa
bxFdxxfb
a
−∫
(注: ()xf []ba 连续容易面
变限积分方法证明 ()xf []ba 积牛顿
莱布尼兹公式成立证明方法复杂)
三.定积分换元积分法分部积分法
1.定积分换元积分法
设 ()xf []ba 连续变量换 ()tx ϕ 满足
(1)()tϕ′ []βα([]αβ)连续
(2)() aαϕ () bβϕ βα ≤≤ t 时
() bta ≤≤ ϕ () ()[]()∫∫′b
a
dtttfdxxf β
α
ϕϕ
2.定积分分部积分法
设 ()()xvxu ′′ []ba 连续
()() ()() ()()dxxvxuxvxudxxvxu b
a
b
a
b
a ∫∫ ′−′
() () ()() () ()∫∫−b
a
b
a
b
a xduxvxvxuxdvxu 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
定积分应
.面图形面积
1.直角坐标系
模型 I () ()[]dxxyxyS b
a∫ − 121
中 () ()xyxy 12 ≥ []bax ∈
模型 II () ()[]dyyxyxS d
c∫ − 122
中 () ()yxyx 12 ≥ []dcy ∈
2.构坐标系
模型 I ()θθβ
α
drS ∫ 2
1 2
1
模型 II () ()[]θθθβ
α
drrS ∫ − 2
1
2
22 2
1
3.参数形式表出曲线围成面积
设曲线C 参数方程 ()
()⎩
⎨
⎧
ty
tx
ψ
ϕ
()βα ≤≤ t () aαϕ () bβψ ()tϕ []βα(
[]αβ)连续导数 ()tϕ′ 变号 () 0≥tψ 连续
曲边梯形面积(曲线C 直线 bxax x 轴围
成)
() ()∫∫ ′ β
α
ϕψ dtttydxS b
a
二.面曲线弧长(数学数学二)
1.直角坐标系
设光滑曲线 ()xyy ()bxa ≤≤ [ ()xy
连续导数]
弧长 ()[]dxxyS b
a∫ ′+ 21
()[]dxxydS 21 ′+ 称弧微分
2.构坐标系
设光滑曲线 ()θrr ()βθα ≤≤ [()θr []βα
连续导数]
弧长 ()[] ()[]θθθβ
α
drrS ∫ ′+′ 22
3.参数方程表曲线弧长
设光滑曲线 ()
()⎩
⎨
⎧
tyy
txxC()βα ≤≤ t [()tx ()ty
[]βα 连续导数]
曲线C 弧长 ()[] ()[]dttytxS ∫ ′+′ β
α
22
三.特殊空间图形体积(般体积二重积分)
1.已知行截面面积立体体积
设空间立体曲面垂直 z 轴两面
cz dz 围成z 轴点 ()dzcz ≤≤ 垂直
z 轴立体截面面积 ()zS 已知连续函数立体体
积
()∫ d
c
dzzSV
2.绕坐标轴旋转旋转体体积
(1)面图形曲线 ()xyy ()0≥ 直线 ax
bx x 轴围成
绕 x 轴旋转周体积 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
()dxxyV b
ax ∫ 2π
绕 y 轴旋转周体积
()∫ b
ay dxxxyV π2
(2)面图形曲线 ()yxx ()0≥ 直线 cy
dy y 轴围成
绕 y 轴旋转周体积
()dyyxV d
cy ∫ 2π
绕 x 轴旋转周体积
()∫ d
cx dyyyxV π2
四.绕坐标轴旋转旋转曲面面积(数学数学
二)
设面曲线 ABC ∩ 位 x 轴方绕 x 轴周
旋转曲面面积 S
1.设 AB
∩ 方程 ()xyy ()bxa ≤≤
() ()[]dxxyxyS b
a∫ ′+ 212π
2.设 AB
∩ 极坐标方程 ()θrr ()βθα ≤≤
() ()[] ()[]θθθθθπ β
α
drrrS 22sin2 ′+′ ∫
3.设 AB
∩ 参数方程 ()txx ()tyy
()βα ≤≤ t
() ()[] ()[]dttytxtyS 222 ′+′ ∫β
α
π
常微分方程
二.变量分离方程推广
1.变量分离方程
(1)方程形式: ()() ()()0≠ yQyQxPdx
dy
通解 () ()∫∫+ CdxxPyQ
dy
(注:微分方程求解中惯定积分求出
原函数意常数外加)
( 2 )方程形式:
()()()() 02211 + dyyNxMdxyNxM
通解 ()
()
()
() CdyyN
yNdxxM
xM + ∫∫
1
2
2
1
()()()00 12 ≠≠ yNxM
2.变量分离方程推广形式
(1)齐次方程 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ x
yfdx
dy
令 ux
y
()ufdx
duxudx
dy +
() cxcx
dx
uuf
du ++− ∫∫ ||ln 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
(2)()()00 ≠≠++ bacbyaxfdx
dy
令 ucbyax ++
()ubfadx
du +
() cxdxubfa
du ++ ∫∫
(3) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
222
111
cybxa
cybxafdx
dy
① 0
22
11 ≠∆ ba
ba 情形先求出
⎩
⎨
⎧
++
++
0
0
222
111
cybxa
cybxa 解 ()βα
令 α− xu β− yv
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
u
vba
u
vba
fvbua
vbuafdu
dv
22
11
22
11 属齐次
方程情形
② 0
22
11 ∆ ba
ba 情形
令 λ
1
2
1
2
b
b
a
a
()⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
211
111
cybxa
cybxafdx
dy
λ
令 ybxau 11 +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++
2
1
1111 cu
cufbadx
dybadx
du
λ
属变量分离方程情形
三.阶线性方程推广
1.阶线性齐次方程
() 0+ yxPdx
dy
变量分离方程通解公式 ()∫− dxxPCey
( c 意常数)
2.阶线性非齐次方程
() ()xQyxPdx
dy +
常数变易法求出通解公式
令 ()()∫− dxxPexCy
代入方程求出 ()xC
()() ()[]∫ + ∫∫− CdxexQey dxxPdxxP
3.贝努利方程
() () ( )10≠+ ααyxQyxPdx
dy
令 α− 1yz
原方程化 ( )() ( ) ()xQzxPdx
dz αα −−+ 11
阶线性非齐次方程求解
4.方程: () ()xyPyQdx
dy
− 1
化 () ()yQxyPdy
dx +
y 变量 x 未知函数
阶线性非齐次方程求解
四.全微分方程推广(数学)
1.全微分方程
()() 0 + dyyxQdxyxP满足
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂
通解: ()Cyxu
中 ()yxu 满足 () () ()dyyxQdxyxPyxdu +
求 ()yxu 常方法
第种:凑全微分法
()()()yxdudyyxQdxyxP + Λ
常见二元函数全微分公式倒背流
帮助
(1) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++ 2
22 yxdydyxdx
(2) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −− 2
22 yxdydyxdx 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13
(3)()xydxdyydx +
(4)()xydxy
xdyydx ln+
(5)()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++
+ 22
22 ln2
1 yxdyx
ydyxdx
(6)()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−
− 22
22 ln2
1 yxdyx
ydyxdx
(7) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
x
yd
x
ydxxdy
2
(8) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
y
xdy
xdyydx
2
(9) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
−
y
xdyx
xdyydx arctan22
(10) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+
−
x
yd
yx
ydxxdy arctan22
(11) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−
−
yx
yxdyx
xdyydx ln2
1
22
(12) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++
−
yx
yxdyx
ydxxdy ln2
1
22
(13)() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
22222
1
2
1
yx
d
yx
ydyxdx
(14)() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
−
22222
1
2
1
yxd
yx
ydyxdx
(15)() ()⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +
++
+ 22
222
arctan2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
(16)() ()⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
−+
− 22
222
arctan2
1
1
yxd
yx
ydyxdx
第二种:特殊路径积分法(积分路径关)
()( ) () ()()
()
∫ ++ yx
yx
dyyxQdxyxPyxuyxu
00
00
() () ()∫∫ ++ y
y
x
x
dyyxQdxyxPyxu
00
000
第三种:定积分法
()yxPx
u ∂
∂
()()()∫ + yCdxyxPyxu
y 求导
() ()[]()yCdxyxPyy
uyxQ′+∂
∂∂
∂ ∫
求出 ()yC′ 积分求出 ()yC
2.全微分方程推广(约子法)
设 ()() 0 + dyyxQdxyxP 全微分方程
满足
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂
存 ()yxR
()()()() 0 + dyyxQyxRdxyxPyxR 全
微分方程
满足 [][]
y
RP
x
RQ
∂
∂∂
∂
()yxR 称约子
全微分方程解法求出
()()()( ) ()yxdudyyxQyxRdxyxPyxR +
通解 ()Cyxu
种情形求约子关键
特殊高阶微分方程 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 14
.降阶高阶微分方程
方程类型 解法解表达式
() ()xfy n
通解
()( ) nn
n
xCxCdxxfy ++ −∫∫ 2
1
1321 Λ
次
()yxfy ′′′
令 py ′ py ′′′原方程⇒
()pxfp ′——阶方程设解
()1Cxgp
()1Cxgy ′原方程通解
()∫ + 21CdxCxgy
()yyfy ′′′
令 py ′ p 作 y 函数
dy
dppdx
dy
dy
dp
dx
dpy ⋅′′
y′ y ′′ 表达式代入原方程
()pyfpdy
dp 1 ——阶方程
设解 () 1Cygp
()1Cygdx
dy 原方程通解
()∫ + 2
1CxCyg
dy
二.线性微分方程解性质结构
讨二阶线性微分方程解性质结构结
容易推广更高阶线性微分方程
二阶齐次线性方程
() () 0+′+′′ yxqyxpy (1)
二阶非齐次线性方程
() () ()xfyxqyxpy +′+′′ (2)
1. ()xy1 ()xy2 二阶齐次线性方程两特
解线性组合 () ()xyCxyC 2211 + ( 1C 2C
意常数)方程解特 ()()xyxy 21 λ≠
( λ 常数) ()xy1 ()xy2 线性关时方程
通解 ()()xyCxyCy 2211 +
2. ()xy1 ()xy2 二阶非齐次线性方程两特
解 ()()xyxy 21 − 应二阶齐次线性方程
特解
3. ()xy 二阶非齐次线性方程特解
()xy 应二阶齐次线性方程意特解
()()xyxy + 二阶非齐次线性方程特解
4. y 二阶非齐次线性方程特解
()()xyCxyC 2211 + 应二阶齐次线性方程通解
( 1C 2C 独立意常数)
()()()xyCxyCxyy 2211 ++ 二阶非齐次线性方程
通解
5.设 ()xy1 ()xy2 分
()()()xfyxqyxpy 1+′+′′
()()()xfyxqyxpy 2+′+′′ 特解
()()xyxy 21 +
()()()()xfxfyxqyxpy 21 ++′+′′ 特解
三.二阶某高阶常系数齐次线性方程
1.二阶常系数齐次线性方程
0+′+′′ qyypy
中 p q 常数
特征方程 02 ++ qpλλ
特征方程根三种情形应方程通解三种形
式
(1) 042 >−∆ qp 特征方程两
实根 1λ 2λ 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 15
方程通解 xx eCeCy 21
21
λλ +
(2) 042 −∆ qp 特征方程二重根
21 λλ
方程通解 ()xexCCy 1
21
λ+
(3) 042 <−∆ qp 特征方程轭复根
βα i±
方程通解 ()xCxCey x sin cos 21 ββα +
2. n 阶常系数齐次线性方程
() ( ) ( ) 01
2
2
1
1 +′++++ −
−− ypypypypy nn
nnn Λ
中 ()nipi 21 Λ 常数
相应特征方程
0 1
2
2
1
1 +++++ −
−−
nn
nnn pppp λλλλ Λ
特征根方程通解关系二阶情形类似
(1)特征方程 n 实根 nλλλ 21 Λ
方程通解 x
n
xx neCeCeCy λλλ +++Λ21
21
(2) 0λ 特征方程 k 重实根 ()nk ≤
方程通解中含 () xk
k exCxCC 01
21
λ−+++Λ
( 3 ) βα i± 特征方程 k 重轭复根
()nk ≤2
方程通解中含
()()[]xxDxDDxxCxCCe k
k
k
k
x sin cos 1
21
1
21 ββα −− +++++++ΛΛ
见常系数齐次线性方程通解完全特
征方程根决定三次三次代数方程根
定容易求讨某容易求特征方程
根应高阶常系数齐次线性方程通解
四.二阶常系数非齐次线性方程
方程: ()xfqyypy +′+′′ 中 qp 常数
通解: () ()xyCxyCyy 2211 ++
中 ()()xyCxyC 2211 + 应二阶常系数齐次线性
方程通解面已讨关键讨二阶常系数非
齐次线性方程特解 y 求?
根 ()xf 形式先确定特解 y 形式中
包含定系数然代入方程确定系数
特解 y 常见 ()xf 形式相应 y 形式:
1.()()xPxf n 中 ()xPn n 次项式
( 1 ) 0 特征根令
() nn
nn
n axaxaxaxRy ++++ −
−
1
1
10 Λ
中 ()niai 210 Λ 定系数
(2)0 特征方程单根令 ()xxRy n
(3)0 特征方程重根令 ()xRxy n
2
2.()() x
n exPxf α 中 ()xPn n 次项式α
实常数
(1)α 特征根令 () x
n exRy α
(2)α 特征方程单根令 () x
n exxRy α
(3) α 特征方程重根令 () x
n exRxy α2
3 .()() xexPxf x
n sin βα
()() xexPxf x
n cos βα
中 ()xPn n 次项式 βα 皆实常数
( 1 ) βα i± 特征根令
()()[]xxTxxRey nn
x sin cos ββα +
中 () nn
nn
n axaxaxaxR ++++ −
−
1
1
10 Λ
()niai 10 Λ 定系数
() nn
nn
n bxbxbxbxT ++++ −
−
1
1
10 Λ
()nibi 10 Λ 定系数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 16
(2) βα i± 特征根令
() ()[]xxTxxRxey nn
x sin cos ββα +
五.欧拉方程(数学)
() ( ) 01
11
1 +′+++ −
−− ypyxpyxpyx nn
nnnn Λ
中 ()nipi 21 Λ 常数称 n 阶欧拉方程令
tex 代入方程变 t 变量 y 未知函数微
分方程定常系数齐次线性微分方程
注意面变换公式:
dt
dy
xdt
dyedx
dt
dt
dy
dx
dy t 1⋅ −
dt
dy
dx
dyx
dt
dyedt
ydedt
dyedt
dedx
dy
dt
d
dx
dt
dx
yd tttt 2
2
2
2
2
2
−−−− −⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − dt
dy
dt
yd
x 2
2
2
1
dt
dy
dt
yd
dx
ydx − 2
2
2
2
2
量代数空间解析
三.量运算
{}321321 aaakajaiaa ++
{}321321 bbbkbjbibb ++
{}321321 ccckcjcicc ++
1.加法 {}332211 babababa ++++
减法 {}332211 babababa −−−−
2.数 {}321 aaa λλλλα ( λ 常数)
量加减数运算统称线性运算
3.数量积 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩⋅⋅ bababa cos
332211 bababa ++
中 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩
ba 量 ba 间夹角
ba ⋅ 数量称点
0ba ⋅ 表示量 a 量b 投影
ajba bPr0 ⋅
4.量积 ba × 称叉
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∩× bababa sin
ba × 方右手法垂直 ba 面
321
321
bbb
aaa
kji
ba ×
ba × 量 abba ×−× ba × 等 ba
邻边行四边形面积
5.混合积:定义 ()()cbacba ⋅×坐标公式
()
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba
意义 ()cba 表示 cba 棱行面体
体积
四.两量间关系
设 {}{ }321321 bbbbaaaa
关系 量表示 量坐标表示
ba 间夹
角 ()ϕ ba
ba ⋅ϕcos 2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211cos
bbbaaa
bababa
++⋅++
++ϕ
a b 垂
直 0⋅ba 0332211 ++ bbbaba考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 17
a b
行 0×ba
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
二.面方程
1.法(线)量法(线)方数
面π 垂直非零量称面π 法量
通常记成 n 法量{}pnm 坐标称法(线)方
数定面 π 法量穷
指方两
2.点法式方程 已知面π ()000 zyxM 点
法量 {}CBAn 面π 方程
()()() 0000 −+−+− zzCyyBxxA
()00 −⋅ rrn
中 {}{}zyxrzyxr 0000
3.般式方程
0+++ DCzByAx
中 CBA 全零 zyx 前系数表示 π
法线方数 {}CBAn π 法量
特情形:
0++ CzByAx 表示通原点面
0++ DByAx 行 z 轴面
0+ DAx 行 yOz 面面
0x 表示 yOz 面
4.三点式方程
设 ()111 zyxA()222 zyxB()333 zyxC 三
点条直线通 CBA 面方程
0
131313
121212
111
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
5.面束
设直线 L 般式方程
⎩
⎨
⎧
+++
+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA通 L 面方程
()( )02222211111 +++++++ DzCyBxAkDzCyBxAk
中 ()()00 21 ≠kk
6.关面问题
两面
0 11111 +++ DzCyBxAπ
0 22222 +++ DzCyBxAπ
1π 2π 间
夹角 ()ϕ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
CBACBA
CCBBAA
++⋅++
++ϕ
垂直条件 0212121 ++ CCBBAA
行条件 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛≠
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
重合条件
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
设面 π 方程 0+++ DCzByAx 点
()111 zyxM 面π 外点 M 面π 距离
d :
222
111
CBA
DCzByAxd
++
+++
三.直线方程
1.方量方数
直线行非零量 S称直线 L 方量
方量坐标称方数
2.直线标准方程(称式方程)
n
zz
m
yy
l
xx 000 −−−
中 ()000 zyx 直线点 nml 直线方
数
3.参数式方程 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 18
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
+
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
{}tnmls 参变量
4.两点式
设 ()111 zyxA()222 zyxB 两点
通 A B 直线方程
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−−
−−
−
5.般式方程(作两面交线) :
⎩
⎨
⎧
+++
+++
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA方量
{}{}222111 CBACBAS ×
6.关直线问题
两直线
1
1
1
1
1
1
1 n
zz
m
yy
l
xxL −−−
2
2
2
2
2
2
2 n
zz
m
yy
l
xxL −−−
1L 2L 间夹
角 ()θ
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
nmlnml
nnmmll
++⋅++
++θ
垂直条件 0212121 ++ nnmmll
行条件
2
1
2
1
2
1
n
n
m
m
l
l
四.面直线相互关系
面π 方程:
0+++ DCzByAx
直线 L 方程:
n
zz
m
yy
l
xx 000 −−−
L π 间夹角
(α ) 222222
sin
nmlCBA
CnBmAl
++⋅++
++α
L π 垂直条件 C
n
B
m
A
l
L π 行条件 0++ CnBmAl
L π 重合条件 0++ CnBmAl
L 点π
元函数微分学
元函数偏导数全微分
四.方导数梯度(数学)
1.面情形
()yxz 面点 ()000 yxP 方
()βα coscosl 方导数
()
()()
t
yxftytxf
yxl
f
t
0000
000
coscoslim
−++∂
∂
→
βα
()yxfz 点 ()000 yxP 处梯度
() ()()
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ y
yxf
x
yxfyxgradf 0000
00
方导数梯度关系
() ()[]lyxgradfyxl
f ⋅∂
∂
00
00
()()()lyxgradflyxgradf cos 0000
元函数微分法
.复合函数微分法——锁链公式
模型 1.()vufz ()yxuu ()yxvv 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 19
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂∂
∂
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂∂
∂
模型 2.()zyxfu ()yxzz
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂⋅′+′∂
∂
∂
∂⋅′+′∂
∂
y
zffy
u
x
zffx
u
zy
zx
模型 3.()zyxfu ()xyy ()xzz
() ()xzfxyffdx
du
zyx ′⋅′+′⋅′+′
模型 4.()vufw ()zyxuu ()zyxvv
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂′+∂
∂′∂
∂
∂
∂′+∂
∂′∂
∂
∂
∂⋅′+∂
∂⋅′∂
∂
z
vfz
ufz
w
y
vfy
ufy
w
x
vfx
ufx
w
vu
vu
vu
模型类似处理
二.隐函数微分法
设 ()0 zyxF
(1)确定 ()yxzz
z
x
F
F
x
z
′
′−∂
∂
z
y
F
F
y
z
′
′
−∂
∂
(2)确定 ()zyxx
x
y
F
F
y
x
′
′
−∂
∂
x
z
F
F
z
x
′
′−∂
∂
(3)确定
()xzyy
y
z
F
F
z
y
′
′−∂
∂
y
x
F
F
x
y
′
′−∂
∂
元函数极值值
.求 ()yxfz 极值
第步
()
()⎩
⎨
⎧
′
′
0
0
yxf
yxf
y
x 求出驻点
()kk yx ()lk 21 Λ
第二步 令
()()()[]2 kkxykkyykkxxk yxfyxfyxf ′′−′′′′∆
0<∆ k ()kk yxf 极值
0∆ k 确定(需极值定义出发
讨)
0>∆ k ()kk yxf 极值
进步 () 0 >′′ kkxx yxf ()kk yxf 极值
() 0 <′′ kkxx yxf ()kk yxf 极值
二.求元 ()2≥n 函数条件极值拉格朗日子法
求 ()nxxfu 1 Λ 极值
约束条件
()
()⎪⎩
⎪⎨
⎧
0
0
1
11
nm
n
xx
xx
Λ
Μ
Λ
ϕ
ϕ
()nm <
作
()()()n
m
i
iinmn xxxxfxxFF 1
1
111 ΛΛΛΛ ∑
+ ϕλλλ
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 20
()
()⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
′
′
′
′
0
0
0
0
1
111
1
nm
n
x
x
xxF
xxF
F
F
m
n
Λ
Μ
Λ
Μ
ϕ
ϕ
λ
λ
求出 () ()()()lkxx k
n
k 211 ΛΛ 条件
极值点般实际问题含义确定充分性种
方法关键解方程组关技巧
元函数积分学
二.直角坐标系中化二重积分累次积分交换积
分序问题
模型 I:设界闭区域
( ) () (){}xyxbxayxD 21 ϕϕ ≤≤≤≤
中 ()x1ϕ ()x2ϕ []ba 连续 ()yxf D
连续
() ()∫∫∫∫
DD
dxdyyxfdyxf σ
()()
()
∫∫ b
a
x
x
dyyxfdx 2
1
ϕ
ϕ
模型 II :设界闭区域
() () (){}yxydycyxD 21 ψψ ≤≤≤≤
中 ()y1ψ ()y2ψ []dc 连续 ()yxf D
连续
() ()∫∫ ∫∫
DD
dxdyyxfdyxf σ
()()
()
∫∫ d
c
y
y
dxyxfdy 2
1
ψ
ψ
关二重积分计算根模型 I 模型 II 二
重积分化累次积分进行计算较复杂区域
D果符合模型 I 中关 D 求符合模
型 II 中关 D 求需 D 分解成区
域区域够符合模型 I 模型 II 中关
区域求利二重积分性质区域二重积分等
区域二重积分区域二重积
分化累次积分进行计算
直角坐标系中 两种序累次积分互相转
化种重手段具体做法先定累次积分
反化二重积分求出积分区域 D然根 D
二重积分化外种序累次积分
三.极坐标系中化二重积分累次积分
极坐标系中般考虑种序累次积分
先固定θ γ 进行积分然 θ 进行积分区域
D 类型种常模型
模型:设界闭区域
()() (){}θϕγθϕβθαθγ 21 ≤≤≤≤D
中 ()θϕ1 ()θϕ 2 []βα 连续
()()θγθγ sincos fyxf D 连续
()( )∫∫ ∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos
()()
()
∫∫ β
α
θϕ
θϕ
γγθγθγθ 2
1
sincos dfd
模型 I:设界闭区域
()() (){}θϕγθϕπθθγ 2120 ≤≤≤≤D
中 ()()θϕθϕ 21 []π20 连续考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 21
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( )∫∫∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos
()()
()
∫∫ πθϕ
θϕ
γγθγθγθ2
0
sincos2
1
dfd
模型 II :设界闭区域
() (){}θϕγβθαθγ ≤≤≤≤ 0D
中 ()θϕ []βα 连续
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( )∫∫∫∫
DD
ddfdyxf θγγθγθγσ sincos
()()
∫∫ β
α
θϕ
γγθγθγθ 0
sincos dfd
模型 III:设界闭区域
() (){}θϕγπθθγ ≤≤≤≤ 020D
中 ()θϕ []π20 连续
() ( )θγθγ sincos fyxf D 连续
() ( ) θγγθγθγσ ddfdyxf
DD
sincos∫∫ ∫∫
()()
∫∫ πθϕ
γγθγθγθ2
00
sincos dfd
四.二重积分应
1.空间物体体积
()()[] σdyxfyxfV
D
∫∫ − 12
中 D 闭曲面 S xy 面投影区域
()yxfz 2 半曲面 ()yxfz 1 半曲面
2.空间曲面面积
∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+
D
dy
z
x
zA σ
22
1
中 D 曲面 S xy 面投影曲面 S 方程
()yxzz
三重积分
二.三重积分计算方法
1.直角坐标系中三重积分化累次积分
(1)设Ω 空间界闭区域
()()()(){}Dyxyxzzyxzzyx ∈≤≤Ω 21
中 D xy 面界闭区域
()()yxzyxz 21 D 连续函数 ()zyxf Ω 连
续
() ()()
()
∫∫∫∫∫∫
Ω
yxz
yxz
D
dzzyxfdxdydvzyxf
2
1
(2)设 ()() (){}zDyxzzyx ∈≤≤Ω βα
中 ()zD 竖坐标 z 面界闭区域
() ()
()
∫∫∫∫∫∫
Ω zD
dxdyzyxfdzdvzyxf β
α
2.柱坐标系中三重积分计算
()( )∫∫∫∫∫∫
ΩΩ
dzddzfdxdydzzyxf sincos θγγθγθγ
相 ()yx 化极坐标 ()θγ z 保持变
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 22
3.球坐标系中三重积分计算
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θρ
ϕθρ
ϕθρ
cos
sinsin
cossin
z
y
x
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≤≤
≤≤
≥
πϕ
πθ
ρ
20
0
0
()∫∫∫
Ω
dxdydzzyxf
()∫∫∫
Ω
ϕθρθρθρϕθρϕθρ dddf sincossinsincossin 2
然根 Ω 三重积分化关 ϕθρ 累次
积分
曲线积分
.第类曲线积分(弧长曲线积分)
空间情形:空间条逐段光滑曲线 L 定义函数
()zyxf 曲线 L 意分割 n 段
nSSS ∆∆∆ 21 Λ ()nkSk ≤≤∆ 1 取 点
()kkk sηξ 果意分割意取点列极限皆
存相等
()∑
→
∆
n
k
kkkk Ssf
10
lim ηξ
λ
(里 kS∆ 表示第 k 段曲线弧长
knk
S∆
≤≤1
maxλ )
称极限值 ()zyxf 曲线 L 第类曲
线积分称弧长曲线积分记
()∫L
dSzyxf
果曲线 L 封闭曲线记 ()∫L
dSzyxf
2.参数计算公式
讨空间情形(面情形类似)
设空间曲线 L 参数方程 ()txx ()tyy
()tzz ()βα ≤≤ t
( ) () () ()[]()[] ()[] ()[]∫∫ ∂
′+′+′ β
dttztytxtztytxfdSzyxfL
222
(假设 ()zyxf ()tx′()ty′()tz′ 皆连续)
样曲线积分化定积分进行计算
二.第二类曲线积分(坐标曲线积分)
空间情形:设空间条逐段光滑定曲线 ABL ∩
函数 ()zyxP()zyxQ()zyxR L 皆定义
L 意分成 n 段 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
()nkSk ≤≤∆ 1 起点坐标 ()111 −−− kkk zyx 终点坐标
()kkk zyx ( L 定决定起点终点)令
1−−∆ kkk xxx 1−−∆ kkk yyy 1−−∆ kkk zzz
()nk ≤≤1 kS∆ 意点 ()kkk sηξ 考虑极限
()()()[]∑
→
∆+∆+∆
n
k
kkkkkkkkkkkk zsRysQxsP
10
lim ηξηξηξ
λ
中λ n 段弧长中值果意分割
意取点述极限皆存相等称极限值
()zyxP()zyxQ ()zyxR 空间曲线 L 第二
类曲线积分称坐标曲线积分记
()()()∫ ++L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
量形式 ∫ ⋅L
dSF
中 ()()(){}zyxRzyxQzyxPF
{}dzdydxdS
果 L 空间封闭曲线说明 L 定空间
简单说逆时针方时针方针必须方式考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 23
加说明
2.参数计算公式
讨空间情形(面情形类似)
设空间曲线 L 参数方程 ()txx ()tyy
()tzz 起点 A 应参数α 终点 B 应参数 β
(注意:现 α β 定 βα < )果
()zyxP()zyxQ()zyxR 皆连续 ()tx′
()ty′()tz′ 连续
() () ()∫ ∩
++
ABL
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
() () ()[]() () () ()[]() () () ()[](){}∫ ′+′+′ β
α
dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP
样曲线积分化定积分计算值注意:
果曲线积分定相反第二类曲线积分值差
负号第类曲线积分值定关曲线考
虑定
三.两类曲线积分间关系
1.面情形
设 ABL ∩ 面逐段光滑定曲线
()yxP()yxQ L 连续
() () () ()[]∫∫ ∩∩
++
ABAB
dsyxQyxPdyyxQdxyxP βα coscos
中 αcos βcos 曲线弧点 ()yx 处定
A B 方切线方余弦
2.空间情形
设 ABL ∩ 空间条逐段光滑定曲线
()zyxP()zyxQ()zyxR L 连续
() () ()∫∩ ++
AB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
()()()[]dszyxRzyxQzyxP
AB∫∩ ++ γβα coscoscos
中 αcos βcos γcos 曲线弧 AB∩ 点
()zyx 处定 A B 方切线方余弦
四.格林公式
关面区域二重积分边界曲线曲
线积分间关系十分重定理结
格林公式
定理 1.(单连通区域情形)
设 xy 面界闭区域 D 条逐段光滑闭曲线
L 围成单连通区域 L 正定移动时区域 D
L 左边函数 ()yxP()yxQ D 连续阶
偏导数
∫∫∫ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
L
D
QdyPdxdxdyy
P
x
Q
定理 2.(连通区域情形)
设 xy 面界闭区域 D ()1+n 连通区域(
n 洞)边界 nCCCLΥΛΥΥ 10 中 0C
定逆时针方 nCC1 Λ 定皆时针方
符合 L 正定移动时区域 D 左边原
函数 ()yxP()yxQ D 连续阶偏导数
考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 24
∫∫∫ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
LD
QdyPdxdxdyy
P
x
Q
∫ ∑∫
+++
0 1C
n
k Ck
QdyPdxQdyPdx
五.面第二类曲线积分路径关等价
条件
设 ()(){}yxQyxPF 分量 ()yxP()yxQ
单连通区域 D 阶连续偏导数面条彼等
价
1. D 意条逐段光滑闭曲线 L
0+∫L
QdyPdx
2.意 ABL ∩ D ∫∩ +
AB
QdyPdx 赖
起点 A 终点 B曲线 ABL ∩ 取法关称
曲线积分路径关
3.() () ()yxdudyyxQdxyxP + 成立
4.D 处处
y
P
x
Q
∂
∂∂
∂ 成立
5.量场 ()(){}yxQyxPF 势场存二
元函数 ()yxV具 gradVF − ()yxV 称势函
数具
x
VP ∂
∂−
y
VQ ∂
∂−
曲面积分
.第类曲面积分(面积曲面积分)
1.定义
设 S 分块光滑曲面 ()zyxf S 定义
曲面 S 意分成 n 块曲面 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
)1( nkSk ≤≤∆ 取点 ()kkk sηξ 曲面 kS∆
面积记 kS∆ λ 表示块曲面直径
值果意分割意取点列极限皆存相等
()k
n
k
kkk Ssf ∆∑
→ 10
lim ηξ
λ
称极限值 ()zyxf 曲面 S 第类曲
面积分称面积曲面积分记
()∫∫
′S
dSzyxf
2.基计算公式
设曲面 S 方程 ()()Dyxyxzz ∈ ()yxz
D 连续偏导数
()zyxf S 连续
() ()[]∫∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+
DS
dxdyy
z
x
zyxzyxfdSzyxf
22
1
样第类曲面积分化二重积分进行计算
二.第二类曲面积分(坐标曲面积分)
1.定义
设 S 分块光滑曲面(已指定侧定 )
()zyxP()zyxQ()zyxR 皆 S 定义
曲面 S 意分成 n 曲面 nSSS ∆∆∆ 21 Λ
()nkSk ≤≤∆ 1 yz 面投影面积记 ()yzkS∆
zx 面投影面积记 ()zxkS∆ xy 面投影
面积记 ()xykS∆ ()nkSk ≤≤∆ 1 取点
()kkk sηξ 令 λ 块曲面直径值考虑极
限
( )()( )()( )()[]∑
→
∆+∆+∆
n
k
xykkkkzxkkkkyzkkkk SsRSsQSsP
10
lim ηξηξηξ
λ
果意分割 意取点极限值存相等
极限限称 ()zyxP()zyxQ()zyxR
曲面 S 第二类曲面积分称面积曲面考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 25
积分记
() () ()∫∫ ++
S
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
果令 {}RQPF {}dxdydzdxdydzdS
量形式
∫∫ ⋅
S
dSF
2.基计算公式
果曲面 S 方程 ()yxzz () xyDyx ∈
()yxz xyD 连续 ()zyxR S 连续
() ()[]∫∫∫∫ ±
xyDS
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
曲面 S 指定侧法量 z 轴正成锐角取
正号成钝角取负号样部分曲面积分化 xy
面二重积分
类似曲面 S 方程表示 ()zyxx
() yzDzy ∈
() ()[]∫∫∫∫ ±
YZDS
dydzzyzyxPdydzzyxP
曲面 S 指定侧法量 x 轴正成锐角取正
号成钝角取负号果曲面 S 方程表示
()xzyy () zxDxz ∈
() ()[]∫∫∫∫ ±
ZXDS
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
曲面 S 指定侧法量 y 轴成锐角取正号成
钝角取负号见第二类曲面积分基公式进
行计算麻烦绝数情形面定理进行
计算 RQP 0 剩项二项时
基公式进行计算
三.两类曲面积分间关系
[]∫∫∫∫ ++++
SS
dSRQPRdxdyQdzdxPdydz γβα coscoscos
中 γβα coscoscos 曲面 S 点()zyx 处根
定指定侧法量三方余弦
令 {}RQPF {}γβα coscoscos0 n
∫∫∫∫ ⋅++
SS
dSnFRdxdyQdzdxPdydz 0
四.高斯公式
定理 1.(单连通区域)
设 Ω 分块光滑曲面 S 围成单连通界闭区
域 ()()( )zyxRzyxQzyxP Ω 连续阶
偏导数
∫∫∫∫∫ ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂
ΩS
RdxdyQdzdxPdydzdvz
R
y
Q
x
P
(外侧)
[]∫∫ ++
S
dSRQP γβα coscoscos
中 γβα coscoscos S 点 ()zyx 处法
量方余弦
定理 2.(连通区域)
设Ω ()1+n 连通区域外面边界曲面 0S 外侧
洞边界曲面 ()nkSk ≤≤′ 1 侧彼
重叠 0S 部曲面分块光滑 Ω
界闭区域 ()( )( )zyxRzyxQzyxP Ω 连
续阶偏导数
∫∫∫∫∫ ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂
Ω 0S
RdxdyQdzdxPdydzdvz
R
y
Q
x
P
(外侧)
∑∫∫
+++
n
k SK
RdxdyQdzdxPdydz
1
(侧)
五.斯托克斯公式
定理:设 L 逐段光滑闭曲线 S L 边
界分块光滑曲面 L 正 S 侧(法量
指)符合右手法函数
()()()zyxRzyxQzyxP 包含 S 空间区域考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 26
连续阶偏导数
∫∫∫ ∂
∂
∂
∂
∂
∂++
S
L
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdx
∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
S
dxdyy
P
x
Qdzdxx
R
z
Pdydzz
Q
y
R
第类曲面积分
∫∫∫ ∂
∂
∂
∂
∂
∂++
S
L
dS
RQP
zyxRdzQdyPdx
γβα coscoscos
六.散度旋度
讨中三概念重 梯度散度旋度
前面已讨梯度:
设 ()zyxuu 算 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∇ zyx
uz
u
y
u
x
ugradu ∇⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂ 称u 梯度
1.散度
设 ()()()()zyxRzyxQzyxPF
散度 Fz
R
y
Q
x
PdivF ⋅∇∂
∂+∂
∂+∂
∂ 称 F 散
度
高斯公式写成 ∫∫∫∫∫ ⋅
ΩS
dSnFdivFdv 0
(外侧)
()γβα coscoscos0 n
2.旋度
设 ()()()()zyxRzyxQzyxPF
旋度
RQP
zyx
kji
FrotF ∂
∂
∂
∂
∂
∂×∇
ky
P
x
Qjx
R
z
Piz
Q
y
R
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
称 F 旋度
斯托克斯公式写成 ()∫∫∫ ⋅⋅
S
L
dSnrotFdrF 0
中 ()dzdydxdr ()γβα coscoscos0 n
穷级数
常数项级数
1.基性质
(1)果 ∑
∞
1n
nu ∑
∞
1n
nv 皆收敛 ba 常数
()∑
∞
+
1n
nn bvau 收敛等 ∑∑
∞
∞
+
11 n
n
n
n vbua
(2)级数中增加减少变更限项级数收
敛性变
(3)收敛级数具结合律级数项意加
括号新级数收敛变
发散级数具结合律引言中级数见发散
加括号级数情形
(4)级数 ∑
∞
1n
nu 收敛必条件 0lim
∞→ nn
u
(注:引言中提级数 ()∑
∞
+−
1
11
n
n 具
1)1(lim +
∞→
− n
n
存收敛级数必条件满足
()∑
∞
+−
1
11
n
n 发散调级数 ∑
∞
1
1
n n
满足 01lim
∞→ nn
∑
∞
1
1
n n
分散满足收敛级数必条件 0lim
∞→ nn
u
∑
∞
1n
nu 收敛性尚确定)
2.两类重级数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 27
(1)等级数(级数)
∑
∞
0n
nar ()0≠a
1
aar
n
n
−∑
∞
10
收敛
1≥r 时 ∑
∞
0n
nar 发散
(2) p —级数
∑
∞
1
1
n
pn
1>p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
收敛
1≤p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
发散
(注: 1>p 时 ∑
∞
1
1
n
pn
般作求
面特殊方法知
6
1 2
1
2
π∑
∞
n n
)
二.正项级数敛散性判法
)321(0 Λ≥ nun ∑
∞
1n
nu 称正项级数
时
()Λ3211 ≥+ nSS nn
{}nS 单调增加数列否收敛取决
nS 否界
∑
∞
1n
nu 收敛 nS⇔ 界正项级数较
判法基础正项级数判法基础
1.较判法
设 0>c Nn ≥ 时 0>≥ nn ucv 皆成立
果 ∑
∞
1n
nv 收敛 ∑
∞
1n
nu 收敛
果 ∑
∞
1n
nu 发散 ∑
∞
1n
nv 发散
2.较判法极限形式
设 0≥nu 0≥nv ()Λ321n
Av
u
n
n
n
∞→
lim
(1) +∞<< A0 时∑
∞
1n
nu ∑
∞
1n
nv 时收敛
时发散
(2) 0A 时 ∑
∞
1n
nv 收敛 ∑
∞
1n
nu 收敛
(3) +∞A 时 ∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nv 收敛
3.值判法(达朗倍尔)
设 0>nu ρ+
∞→ n
n
n u
u 1lim
(1) 1<ρ 时 ∑
∞
1n
nu 收敛
(2) 1>ρ (包括 +∞ρ )时 ∑
∞
1n
nu 发散
(3) 1ρ 时判法效
(注:果
n
n
n u
u 1lim +
∞→
存时判法法)
4.根值判法(柯西)
设 0≥nu ρ
∞→
n
nn
ulim
(1) 1<ρ 时 ∑
∞
1n
nu 收敛 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 28
(2) 1>ρ (包括 +∞ρ )时 ∑
∞
1n
nu 发散
(3) 1ρ 时判法效
事实值判法根值判法等级数
较出相应结应时根级数形状
选择 1ρ 情形力数学
更精细判法较复杂考研说作
求
三.交错级数莱布尼兹判法
1.交错级数概念
0>nu ()∑
∞
+−
1
11
n
n
n u 称交错级数
2.莱布尼兹判法
设交错级数 ()∑
∞
+−
1
11
n
n
n u 满足:
(1)()Λ3211 ≤+ nuu nn
(2) 0lim
∞→ nn
u
()∑
∞
+−
1
11
n
n
n u 收敛 () 1
1
110 uu
n
n
n <−< ∑
∞
+
四.绝收敛条件收敛
1.定理
∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nu 定收敛反然
2.定义
∑
∞
1n
nu 收敛称 ∑
∞
1n
nu 绝收敛
∑
∞
1n
nu 收敛 ∑
∞
1n
nu 发散称 ∑
∞
1n
nu 条件
收敛
3.关性质
(1)绝收敛级数具交换律级数中穷
项意交换序级数绝收敛
变
(2)条件收敛级数正项负项构成级数
()∑
∞
+
1 2
1
n
nn uu ()∑
∞
−
1 2
1
n
nn uu 定发散
4.类重级数
设 ()∑
∞
+−
1
11
n
p
n
n
(1) 1>p 时 ()∑
∞
+−
1
11
n
p
n
n
绝收敛
(2) 10 ≤< p 时 ()∑
∞
+−
1
11
n
p
n
n
条件收敛
(3) 0≤p 时 ()∑
∞
+−
1
11
n
p
n
n
发散
幂级数
.函数项级数收敛域函数(数学)
1.函数项级数概念
设 ()xun ()Λ321n 皆定义区间 I
()xu
n
n∑
∞
1
称区间 I 函数项级数
2.收敛域
设 I 0 ∈x 果常数项级数 ()0
1
xu
n
n∑
∞
收敛称 0x
函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 收敛点
果 ()∑
∞
1
0
n
n xu 发散称 0x ()∑
∞
1n
n xu 发散点
函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 收敛点构成集合称
收敛域
发散点构成集合称发散域
3.函数
()∑
∞
1n
n xu 收敛域点 x 关考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 29
() ()∑
∞
1n
n xuxS ∈ x 收敛域
称 )(xS 函数项级数 ()∑
∞
1n
n xu 函数定
义域函数项级数收敛域
二.幂级数收敛域
1.幂级数概念
()∑
∞
−
1
0
n
n
n xxa 称 )( 0xx − 幂级数
)210(Λnan 称幂级数系数常数
00 x 时 ∑
∞
0n
n
n xa 称 x 幂级数
般讨 ∑
∞
0n
n
n xa 关问题作移换
出关 ()∑
∞
−
0
0
n
n
n xxa 关结
2.幂级数收敛域
幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 收敛域分三种情形
(1)收敛域 )( +∞−∞ ∑
∞
0n
n
n xa x
皆收敛称收敛半径 +∞R
(2)收敛域仅原点原点外幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 皆
发散称收敛半径 0R
(3)收敛域 )(RR− ]RR(− [)RR−
[]RR− 中种称收敛半径
R)0( +∞<< R
求幂级数收敛半径 R 非常重(1)(2)
两种情形收敛域确定 )3( 情形需讨
R± 两点敛散性
果 la
a
n
n
n
+
∞→
1lim (包括 ∞+ ) lan
nn
∞→
lim (包
括 ∞+ )
收敛半径
lR 1 ( +∞l 0R 0l
+∞R)
果述两极限成立 方法求收敛
半径面讨
三.幂级数性质
1.四运算
设 )(
0
xfxa
n
n
n ∑
∞
1Rx < ()∑
∞
0n
n
n xgxb
2Rx <
()()()∑
∞
±±
0n
n
nn xgxfxba ()21min RRx <
()()∑∑∑
∞
−
∞
∞
⋅++++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
0
00
00
)(
n
n
nknkn
n
n
n
n
n
n xgxfxbababaxbxa ΛΛ
()21min RRx <
2.分析性质
设幂级数 ∑
∞
0n
n
n xa 收敛半径 0>R
() ∑
∞
0n
n
n xaxS 函数列重性质
(1)()xS ()RR− 导逐项求导公式
() ()∑∑∑
∞
∞
−
∞
′
′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛′
01
1
0 nn
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxS
求导幂级数收敛半径变出 ()xS 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 30
()RR− 意阶导数公式
()() ( ) ( ) kn
kn
k xknnnxS −
∞
+−− ∑ 11 Λ
Rx < ()Λ321k
(2)()xS ()RR− 逐项积分公式
() ∑∑∫∫
∞
+
∞
+
0
1
0 00 1n
nn
n
x n
n
x
xn
adttadttS
幂级数收敛半径变
(3) ()∑
∞
0n
n
n xSxa ()RRx − 成立
列性质:
(i)() ∑
∞
→
−
0
lim
n
n
nRx
RaxS 成立
()
() ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ − ∑
∞
−→ +
成立
0
lim
n
n
nRx
RaxS
(ii)() ∑∫
∞
+
+
0
1
0 1n
nnR
Rn
adxxS 成立
() () ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+
−∫ ∑−
∞
+ 成立0
0
1
1R n
nn Rn
adxxS
(iii) ∑
∞
−
1
1
n
n
n xna ()RRx − 定收敛
()RSRna
n
n
n −
∞
− ′∑
1
1 定成立 ()()RS −′+
果 ∑
∞
0n
n
n xa ()RRx − 发散逐项求导
级数 ∑
∞
−
1
1
n
n
n xna ()RRx − 定发散逐项积分
级数 ∑
∞
+
+0
1
1n
nn xn
a ()RRx − 收敛
四.幂级数求函数基方法
1.已知函数幂级数展开式(§ 83 讨)反
列基公式应熟背
(1)
xx
n
n
−∑
∞
1
1
0
1
n
n
en
x ∑
∞
0
+∞
x n
n
n sin 121
12
0
+−
+∞
∑ +∞
x n
n
n cos 21
2
0
−∑
∞
+∞
x n
n
n ++−
+∞
∑ 1ln11
1
0
()11 ≤<− x
( 6 )()( ) ()αααα xxn
n n
n
++−−+ ∑
∞
1
111
1
Λ
()11 <<− x (α 实常数)
2.逐项求导逐项积分方法等级数求
公式
3.逐项求导逐项积分方法化函数微分方
程求微分方程解
五.利幂级数求函数出关常数项级数
(强化班讨)
函数展开成幂级数
.泰勒级数麦克劳林级数概念
1.基概念
设函数 ()xf 点 0x 某领域 δ<− 0xx 具
意阶导数级数
()()()∑
∞
−
0
0
0
n
n
n
xxn
xf 称函数
()xf 0x 处泰勒级数
(注:里泰勒级数否收敛?否收敛 ()xf
知道)特 00 x 级数
()() n
n
n
xn
f∑
∞
0
0 称 ()xf 麦克劳林级数 考研数学知识点高等数学
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 31
2.函数展成幂级数条件
设 ()xf Rxx <− 0 意阶导数泰勒
公式
() () ()( ) ()()
()()()()xRxxn
xfxxxfxxxfxfxf n
n
n
+−++−′′+−′+ 0
02
0
0
000 2 Λ
中 ()xRn n 阶余项拉格朗日型
()
() ()[]
() () ( ) 10 1
1
0
00
1
<<−+
−+ +
+
θθ n
n
n xxn
xxxfxR
()
()()()∑
∞
−
0
0
0
n
n
n
xxn
xfxf Rxx <− 0
充条件 () 0lim
∞→
xRnn
Rxx <− 0
()xf 0x 处幂级数展开式唯
特 00 x 时函数展成麦克劳林级数充
分必条件
二.函数展成幂级数方法
1.套公式
() ( )∑
∞
−
0
0
n
n
n xxaxf Rxx <− 0
()()
0
n
xfa
n
n ()Λ210n
例 ∑
∞
0
1
n
nx xne +∞
∞
+
+−
0
12
121sin
n
n
n
n
xx +∞
∞
+−−++
1
1111
n
nxn
nx αααα Λ
1
2.逐项求导
例: () ()()∑
∞
−′
0
2
21sincos
n
n
n
n
xxx +∞
∞
−
∞
′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
′
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
−
− 1
1
0
2 1
1
1
1
n
n
n
n nxxxx
1
3.变量换法
例: ∑∑
∞
∞
00
2
1
12
nn
nntx xntnee +∞
∞
∞
−−−−+ 00
22
22 11
1
1
1
nn
nnn xxxx
1
4.逐项积分法
例: () ()∫ ∑∫
∞
−++ x
n
nx
dttdttx 0 00 1
11ln
()∑
∞
+
+
−
0
1
1
1
n
nn
n
x ()11 ≤<− x
()∑
∞
+
−
0 1
12ln
n
n
n
() ()∫ ∑∑∫
∞
∞
+
+
−−+ x
nn
nn
nx
n
xdttdttx 0 00
12
2
0 2 12
1
1
1arctan
()11 ≤≤− x
()
41arctan12
1
0
π+
−∑
∞
n
n
n
考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1
第讲 基知识
二.矩阵量
1.线性运算转置
① ABBA ++
②() ()CBACBA ++++
③ () cBcABAc ++ () dAcAAdc ++
④ ()()AcddAc
⑤ 00 ⇔ ccA 0A
量组线性组合
sααα 21 Λ
ssccc ααα +++Λ2211
转置
A 转置 TA( A′)
() AATT
() TTTBABA ±±
() ()TTAccA
3. n 阶矩阵
n 行 n 列矩阵
角线元素行标列标相等 Λ 2211 aa
角矩阵
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
*00
0*0
00*
数量矩阵 E3
300
030
003
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
单位矩阵 IE
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
100
010
001
()三角矩阵
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
*00
**0
***
称矩阵 AAT
反称矩阵 AAT −
三.矩阵初等变换阶梯形矩阵
初等变换分
⎩
⎨
⎧
初等列变换
初等行变换
三类初等行变换
①交换两行位置
BA →
②非零常数 c 某行
③行倍数加行(倍加变换)
阶梯形矩阵
34
12
01
00000
32000
15210
02014
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
①果零行面
②非零行第非 0 元素列号严格
单调升
行左边连续出现 0 数严格单调
升直全 0
台角:非零行第非 0 元素位置
简单阶梯形矩阵:
3.台角位置元素 1
4.台角正方元素 0
矩阵初等行变换化阶梯形矩阵简单
阶梯形矩阵
果 A n 阶矩阵
A 阶梯形矩阵⇒ A 三角矩阵反定
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
100
010
100
三角非阶梯形
四.线性方程组矩阵消元法
解变换化简方程求解
三种解变换:
①交换两方程位置
②非 0 数 c 某方程
③某方程倍数加方程反映
增广矩阵三种初等行变换 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2
矩阵消元法:
①写出增广矩阵 ()βA初等行变换化 ()βA 阶梯
形矩阵 ()γB
②()γB 判解情况
i)果()γB 面非零行 ()d00 Λ解
否解
ii)果解记γ ()γB 非零行数
n γ 时唯解
n<γ 时穷解
iii)唯解求解方法(初等变换法)
掉()γB 零行 ()00 γB ()cnn +× 矩阵
0B n 阶梯形矩阵三角矩阵
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
nn
nn
b
b
b
b
B
11
22
11
0
0000
*000
**00
***0
****
Ο
0 ≠nnb iinn bb Λ⇒≠⇒ −− 01 1 0
()00 γB 化出简单阶梯形矩阵应
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nc
c
c
ΜΟ
2
1
1000
000
0010
0001
方程
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
22
11
nn cx
cx
cx
Μ ()nccc 21 Λ 解
第二讲 行列式
.形式意义
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
A n 阶矩阵 A 表示相应行列式
二.定义(完全展开式)
bcaddc
ba −
n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
值:
① n 项代数
②项 n 元素积 n 项
nnjjj aaa Λ21 21
中 njjj Λ21 n21 Λ 全排列
③
nnjj aa Λ11 前面应
()()njjj Λ211 τ−
()njjj Λ21τ 逆序数
n21 Λ
()()∑ −
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
Λ
ΛΛ
21
21
21
211 τ
考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3
()()()
n
nn
n
bbb
b
b
b
ΛΝ
Λ
21
2112
1
1
***
**0
*00
000
−− τ
()()()
2
1211 2 −− nnCnn nΛτ
三.计算(化零降阶法)
余子式代数余子式
称 ijM ija 余子式
() ij
ji
ij MA +− 1
定理:行列式值 D 等某行(列)元
素代数余子式积
nn AaAaAaD 2222222121 +++Λ
四.行列式性质
1.转置值变 AAT
2.数 c 某行(列)元素值 c
AccA n
3.行列式求某行(列)分解
γβαγβαγββα 2121 ++
()321 αααA3 阶矩阵
()321 βββB
BABA +≠+
()332211 βαβαβα ++++ BA
332211 βαβαβα ++++ BA
3322133221 βαβαββαβαα +++++
4.第类初等变换值变号
5.果行列式某行(列)元素全 0 者
两行(列)元素成例关系行列式值 0
6.行(列)元素行(列)相应元素
代数余子式 0
7.BAB
A
B
A ∗∗ 0
0
8.范德蒙行列
∏
<
−
ji
ij
n aaaaa )(
111
11 Λ
Λ
2
nC
五.元素规律行列式计算
六.克莱姆法
克莱姆法:设线性方程组系数矩阵 A n 阶矩阵
(方程数 m 未知数数 n )
0≠A 时方程组唯解解
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
A
D
A
D
A
D n 21 Λ
iD A 第i 列
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nb
b
b
Μ
2
1
代 n 阶行列式:
0A 时解?
唯解 ⇒ 0≠A?
改进: ⇔≠ 0A 唯解
证明:()()rBA ⎯→⎯行β
00 ≠⇔≠ BA 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4
()
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
r
b
b
b
rB
nn000
*00
**0
***
22
11
Ο
0≠B 0≠iib i∀ 唯解
唯解 ()rB | n 非零行面非零
行 ()d|00 Λ 0≠nnb 0≠iib
∏
≠
n
i
iibB
1
0
求解方法:
() () ()ηβ ErBA ⎯→⎯⎯→⎯ 行行
η 解
齐次方程组 ⇔≠ 0A 零解
第三讲 矩阵
.矩阵法
1.定义规律
定义:设 A B 两矩阵
果 A 列数等 B 行数 A B积
矩阵记作 AB
A nm× 矩阵B sn× 矩阵时AB sm× 矩
阵
AB ()ji 位元素 A 第i 行 B 第 j 列应元
素积
njinjijiij bababaC +++Λ2211
遵循规律
①线性性质
() BABABAA 2121 ++
() 2121 ABABBBA ++
() ( ) ()cBAABcBcA
②结合律 () ()BCACAB
③() TTTABAB
数法处
交换律消律
0AB 时 0⇒A 0B
0≠A 00 ⇒ BAB
0≠A 时 CBACAB ⇒ (左消律)
2. n 阶矩阵方幂项式
两 n 阶矩阵 A B AB n 阶矩
阵
行列式性质: BAAB
A n 阶矩阵
48476
Λ
k
k AAAA EA 0
lklk AAA +
() kllk AA
() kkk BAAB 定成立
设 () 01
1
1 axaxaxaxf k
k
k
k ++++ −
− Λ
A n 阶矩阵规定
()EaAaAaAaAf k
k
k
k 01
1
1 ++++ −
− Λ
问题:数法公式式分解等矩阵否成
立?
() 222 2 BABABA +++ ?
()()BABABA +−− 22 ?
‖
22 BBAABA +++
障碍交换性
BAAB 时 ()∑
−+
k
i
iiki
k
k BACBA
0
矩阵 A 项式式分解例
()( )EAEAEAA +−−− 3322
3.积矩阵列量行量
(1)设 nm× 矩阵 ()nA ααα 21 Λ n 维列量
()T
nbbb 21 Λβ
nnbbbA αααβ +++ Λ2211 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
333322311
233222211
133122111
3
2
1
333231
232221
131211
321
ababab
ababab
ababab
b
b
b
aaa
aaa
aaa
ααα
332211
33
23
13
3
32
22
12
2
31
21
11
1 ααα bbb
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b ++
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
应方程组
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
mnmnm
m
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ΛΛ
Λ
Λ
22
11
22222121
11212111
记 A 系数矩阵 ()nA ααα 21 Λ 设
()T
nxxx 1 Λ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Ax
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
2222121
1212111
方程组矩阵形式
βAx ()()T
mbbb 21 Λβ
方程组量形式
βααα +++ nnxxx Λ2211
(2)设 CAB
记 ()sB βββ 21 Λ ()srrrC 21 Λ
siAr ii 21Λ β
()sAAAAB βββ 21 Λ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ
ΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
1
21
11
22
22221
11211
21
22221
11211
mnsnn
s
s
mnmm
n
n
c
c
c
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
nniiiii bbbAr αααβ +++Λ2211
AB 第i 列量 ir A 列量组
nααα 21 Λ 线性组合组合系数 B 第i 列量
分量
类似: AB 第i 行量 B 行量组线性
组合组合系数 A 第i 行量分量
TTTCAB
角矩阵右侧矩阵 A角线元素
次 A 列量
角矩阵左侧矩阵 A角线元素
次 A 行量
AAE AEA
() kAkEA () kAAkE
两角矩阵相须角线应元素相
角矩阵 k 次方幂须角线元素作 k 次
方幂
4.初等矩阵法中作
单位矩阵作次初等变换矩阵称初等
矩阵
3 种初等矩阵
(1)()jiE:交 换 E 第 ji 两行交换 E 第 ji
两列
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
10000
00010
00100
01000
00001
42E
(2)())(ciE:数 ()0≠c E 第i 行第i 列
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
10000
01000
00100
0000
00001
)(2
c
cE
(3)())( cjiE: E 第 j 行 c 倍加第i 行
E 第i 列 c 倍加第 j 列 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 6
5n ()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
10000
01000
00100
00010
0001
)(41
c
cE
命题:初等矩阵左(右)侧矩阵 A 等 A
作次相初等行(列)变换
()())(41 54321 cEααααα
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
10000
01000
00100
00010
0001
54321
c
ααααα
()541321 αααααα + c
5.矩阵分解
6.法分块法
般法:计算两矩阵 A B 积时先
A B 横线分割成干矩阵进行求 A
分割 B 横分割致
两种常情况
(1)BA 分成 4 块
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2221
1211
AA
AAA ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2221
1211
BB
BBB
中 1iA 列数 jB1 行数相等 2iA 列数 jB2
行数相关
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
2222122121221121
2212121121121111
BABABAAA
BABABABAAB
(2)准角矩阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kkA
A
A
Λ
Ο
Λ
Λ
00
00
00
22
11
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kkkkkkkk BA
BA
BA
B
B
B
A
A
A
00
00
00
00
00
00
00
00
00
2222
1111
22
11
22
11
Ο
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΟΜ
Λ
Λ
n 阶矩阵 A规定 ()Atr A 角线元素
称 A 迹数
()()TkTkT αβαβαβ 1−
()[]TkTtr αβαβ 1−
二.矩阵方程逆矩阵
1.两类基矩阵方程
CAB 知道C AB 中求
法逆运算
两类基矩阵方程
()BAxI () BxAII
需求 A 方阵 0≠A
(I)解法:
()()xEBA ⎯→⎯行
(II)解法先化 TTTBxA
()()TTT xEBA →
2.逆矩阵逆矩阵
0≠a 时
aa 11 −
acab 两边 1−a cb
①定义意义
设 A n 阶矩阵果存 n 阶矩阵 H
EAH EHA 称 A 逆矩阵称 H A
逆矩阵证作 1−A 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7
设 A 逆 A 消律
左消律: CBACAB ⇒
右消律: CBCABA ⇒
②逆性判逆矩阵计算
定理: n 阶矩阵 A 逆 0≠⇔ A
证明:⇒ EAA −1
11 − EAA
A∴ 0(
AA 11 − )
⇐ 找 H EAx 解 ExA
解
0≠AEAx 唯解记作 BExA 唯
解记作C EAB ECA
() ()CABCBCAB
A 逆 1−A EAx 解
求 1−A 方程(初等变换法)
() ()1−⎯→⎯ AEEA 行
推 设 AB 两 n 阶矩阵
EBAEAB ⇔
③逆矩阵性质
i) A 逆时
TA 逆 () ( )TTAA 11 −−
kA 逆 () ( )kk AA 11 −−
数 0≠c cA 逆 () 11 1 −− AccA
0≠ AccA n
() EAAccAccA ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −− 11 11
ii)设 AB 两 n 阶逆矩阵 AB 逆
() 111 −−− ABAB
AB n 阶矩阵时
AB 逆 AB⇔ 逆
命题:初等矩阵逆
()()()jiEjiE 1 −
()()() ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛−
ciEciE 11
()()()()()cjiEcjiE −− 1
()() 1 cjiE
命题:准角矩阵
kkA
A
A
A
000
000
000
000
22
11
Ο 逆
⇔
iiA 逆记
1
1
22
1
11
1
000
000
000
000
−
−
−
−
kkA
A
A
A
Ο
3.伴矩阵
n 阶矩阵 A 伴矩阵证作 *A
()T
ij
nnnn
n
n
A
AAA
AAA
AAA
A
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22212
12111
*
伴矩阵基性质:
EAAAAA **
考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
A
A
A
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
nnnn
n
n
000
000
000
000
21
22212
12111
21
22221
11211
Ο
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
A 逆时
EA
AA *
A
AA*1 −
求逆矩阵伴矩阵法
2n 时: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ dc
baA
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− ac
bdA*
bcad
ac
bd
A −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−1
证 1* − AAA
EAA
A *
() ()∗ −− 11*AA
AA
() () ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−−−
A
AAAA 1111 *
伴矩阵性质
① 1* − nAA
② ()()**TTAA
③() ** 1 AccA n−
④() ***ABAB
⑤ () ()kk AA**
⑥() AAA n 2** −
2n 时 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ dc
baA
() Adc
ba
dc
baA ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− ***
关矩阵右肩记号: T k 1− *
i) 两次序交换
()()TTAA**
()()** 11 −− AA 等
ii) ()()111 −−− ABABABAB TTT
()***ABAB
(() kkk ABAB 定成立)
结:
1.法定义数法区
2.特殊情形快捷求积矩阵
3.矩阵分解概念
4.矩阵方程初等变换法
5.逆矩阵
BAx BAx 1−
第四讲 量组线性关系秩
.线性表示
1. β sααα 21 Λ 线性表示 β 表示
sααα 21 Λ 线性组合存 sccc 21 Λ
βααα +++ ssccc Λ2211
记号: sαααβ 21 Λ→
例 sααα 0 21 Λ→ si αααα 21 Λ→
βααααααβ +++⇔→ sss xxx ΛΛ 221121
解
()βααα ⇔ xs 21 Λ 解考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 9
()()T
sxxx 1 Λ
βAx 解 β A 列量组表示
2 . st αααβββ 2121 ΛΛ→
si αααβ 21 Λ→
果 ()srrrCAB 21 Λ ()nA ααα 21 Λ
nsrrr ααα 2121 ΛΛ→
果 st αααβββ 2121 ΛΛ→ 存矩阵C
()()Cst αααβββ 2121 ΛΛ
例 3211 αααβ ++ 322 2 ααβ +
323 32 ααβ +
()()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
311
221
001
321321 αααβββ
线性表示关系传递性
pst rrr 212121 ΛΛΛ→→ αααβββ
pt rrr 2121 ΛΛ→βββ
3.等价关系:果 sααα 21 Λ tβββ 21 Λ 互相
表示
ts βββααα 2121 ΛΛ ←→
称等价记作 ts βββααα 2121 ΛΛ≅
二.线性相关性
1.定义意义
考察 sααα 21 Λ 线性表示关系
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
1
1α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
0
2α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
0
3α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
1
4α
线性相关:存量 iα 量
sii αααα 111 ΛΛ +− 线性表示
线性关:量 iα 量线性表示
定义:果存全 0 sccc 21 Λ
02211 +++ ssccc ααα Λ
称 sααα 21 Λ 线性相关否称 sααα 21 Λ 线
性关
例 01 ≠c ssccc ααα −−−Λ2211
s
s
c
c
c
c ααα
1
2
1
2
1 −−−Λ
sααα 21 Λ 线性关 011 ++ sscc αα Λ
时必存 01 scc Λ
sααα 21 Λ 线性相()关
011 ++⇔ ssxx αα Λ ()非零解
() 0 21 ⇔ xsααα Λ ()非零解
1s 单量α 0αx
α 相关 0⇔ α
2s 21αα 相关 ⇔ 应分量成例
()naaa 211 Λα ()nbbb 212 Λα
21αα 相关 nn bababa 2211 ⇔ Λ
2.性质
①果量数 s 二维数 n n1 αα Λ 线性相()
关 ()01 ≠⇔ nαα Λ 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 10
()nA ααα 21 Λ 0Ax 非零解 0⇔ A
果 ns > sααα 21 Λ 定相关
0Ax 方程数
关
例 54321 ααααα 关 421 ααα 定关
③果 sααα 21 Λ 关 βααα 21 sΛ 相关
sαααβ 21 Λ→
设 ccc s 1 Λ 全 0
011 +++ βαα ccc ssΛ
中 0≠c 否 scc 1 Λ 全 0
011 ++ sscc αα Λ条件 sαα 1 Λ 关矛盾
s
s
c
c
c
c ααβ −−−Λ1
1
④ sααβ 1 Λ→ 时表示方式唯 sαα Λ1⇔
关
(表示方式唯
sαα Λ1⇔ 相关)
⑤ st ααββ 11 ΛΛ→ st > tββ 1 Λ
定线性相关
记 ()sA αα 1 Λ ()tB ββ 1 Λ 存 ts × 矩
阵C
ACB
0Cx s 方程t 未知数 ts < 非零解η
0ηC
0 ηη ACBη 0Bx 非零解
tββ 1 Λ 线性相关
性质逆否形式
①果 sααα 21 Λ 关 ns ≤
②果 sααα 21 Λ 相关部分组定
相关
③果 sαα Λ1 关 sααβ 1 Λ→
βαα s1 Λ 关
⑤果 st ααββ ΛΛ 11 → tββ Λ1 关 st ≤
推:两关量组 sαα Λ1 tββ Λ1 等价
ts
三.极关组秩
sααα 21 Λ 线性关部分组?
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
1
1α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
2α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
0
0
1
3α
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
1
1β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
2
2β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
0
1
0
3β
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
1
4β
1.定义
sααα 21 Λ 部分组 ()I 称极考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11
关组果满足:
i)()I 线性关
ii)()I 扩相关
()I sααα 21 Λ←→ () ()III s ≅≅ αα Λ1
规定 sααα 21 Λ 秩 ()()Is # 21 αααγ Λ
果 sααα 21 Λ 元素零量规定秩
0
(){}sns min 0 1 ≤≤ ααγ Λ
讨: 设 ()3 1 sααγ Λ
① 6421 αααα 相关关?
② 21αα 相关关?
结:线性关部分组()I ()I# 等秩
()I→6421 αααα ()I 定极关组
2.性质(应)
① sααα 21 Λ 关 ⇔ ()ss αααγ 21 Λ
②
()()sss ααγβαααγαααβ 12121 ΛΛΛ⇔→
取 sααα 21 Λ 极关组 ()I
()I βααα 21 sΛ 极关组 ⇔ () βI 相
关
() ()ββααβ 1 IIs ⇔→⇔→Λ 相关
()()
()⎩
⎨
⎧
→+
→
ss
ss
s ααβααγ
ααβααγβααγ 1
11
11
1 ΛΛ
ΛΛΛ
③ β sαα 1 Λ 唯表示
()()sss ⇔ ααγβααγ 11 ΛΛ
④
()()stsst ααγββααγααββ 11111 ΛΛΛΛΛ ⇔→
()( )st ααγββγ 11 ΛΛ ≤⇒
⑤ ⇔≅ ts ββαα 11 ΛΛ
()()()ttss ββγββααγααγ 1111 ΛΛΛΛ
量组 sααα 21 Λ 秩计算方法:
()→
行
sααα 21 Λ 阶梯形矩阵 B
()Bs ααγ 1 Λ 非零行数
3.相线性关系量组
两量相数量:
ss βββααα 2121 ΛΛ量方程
0 2211 +++ ssxxx ααα Λ
02211 +++ ssxxx βββ Λ 解称相线
性关系
①应部分组致相关性
421 ααα 应部分组 421 βββ
421 ααα 相关全 0 421 ccc
0442211 ++ ααα ccc
()000 421 Λccc
02211 +++ ssxxx ααα Λ 解
02211 +++ ssxxx βββ Λ 解
0442211 ++ βββ ccc
321 βββ 相关
②极关组相应秩相等
③致线表示关系
42134213 2323 ββββαααα −+⇔−+ 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12
设: ()sA ααα 21 Λ ()sB βββ 21 Λ
02211 +++ ssxxx ααα Λ 0Ax
02211 +++ ssxxx βββ Λ 0Bx
sααα 21 Λ sβββ 21 Λ 相线性关系
0Ax 0Bx 解
反 0Ax 0Bx 解时 A B 列量
组相线性关系
四.矩阵秩
1.定义
A nm× 矩阵
定理:矩阵 A 行量组秩列量组秩
规定 ()Ar 行(列)量组秩
CA
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎯→⎯
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
00000
01000
10110
20301
1001424
52712
12031
21301
行
A 行秩C 行秩
||
A 列秩C 列秩
()Ar 计算:初等变换化 A 阶梯形矩阵 B B
非零行数 ()Ar
命题: () AAr 非零子式阶数值
2.矩阵秩简单性质
() { }nmAr min0 ≤≤
() 00 ⇔ AAr
A 行满秩: () mAr
A 列满秩: () nAr
n 阶矩阵 A 满秩: () nAr
A 满秩 A⇔ 行(列)量组线性关
0≠⇔ A
A⇔ 逆
0⇔ Ax 零解 βAx 唯解
3.矩阵运算中秩变化
初等变换保持矩阵秩
① ()()ArAr T
② 0≠c 时 ()()ArcAr
③ ()()()BrArBAr +≤±
④ ()()(){}BrArABr min≤
⑤ A 逆时 ()()BrABr
B 逆时 ()()ArABr
()()BrABr ≤
()ABAB 1− () ( )ABrBr ≤
⑥ 0AB ()()nBrAr ≤+ (A 列数 B
行数)
⑦ A 列满秩时 ()()BrABr
B 行满秩时 ()()ArABr
⑧ ()()()BrArnABr +≥+ 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13
第五讲 线性方程组
.方程组表达形式
1.
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
22222121
11212111
2. βAx
η 解 βη ⇔ A
3. βααα +++ nnxxx Λ2211
解 nαααβ 21 Λ→⇔
二.解性质
1. 0Ax 解性质
果 eηηη 21 Λ 组解意线性组合
eeccc ηηη +++Λ2211 定解
()00 2211 +++⇒∀ eeii cccAA ηηηη Λ
2.()0≠ ββAx
①果 eξξξ 21 Λ βAx 组解
eeccc ξξξ +++Λ2211 βAx 解
121 +++⇔ eccc Λ
eeccc ξξξ +++Λ2211 0Ax 解
021 +++⇔ eccc Λ
iA i ∀⋅ βξ
() eeee AcAcAccccA ξξξξξξ ++++++ΛΛ 22112211
()βeccc +++Λ21
21ξξ βAx 两解时 21 ξξ − 0Ax
解
② 果 0ξ βAx 解 n 维量ξ
βAx 解 0ξξ −⇔ 0Ax 解
三.解情况判
βAx βααα +++ nnxxx Λ2211
解 nαααβ 21 Λ→⇔
()( )nn αααγβαααγ 2121 ΛΛ ⇔
()()AA γβγ ⇔ |
解 ()()AA γβγ >⇔ |
唯解 ()()nAA ⇔ γβγ |
穷解 ()()nAA <⇔ γβγ |
方程数 m :
()() mAmA ≤≤ γβγ |
① () mA γ 时 ()mA βγ | 解
② nm < 时 () nA <γ 会唯解
齐次线性方程组 0Ax
零解 () nA ⇔ γ ( A 列满秩)
(非零解 () nA <⇔ γ )
推 1 果 A 列满秩 A 左消律
① 00 ⇒ BAB
② CBACAB ⇒
证:①记 ()sB βββ 21 Λ
()sAAAB ββ 1 Λ 0AB i 0iAβ
iβ 0Ax 解 0Ax 零解 0iβ
② () 0− CBA 0− CB
推 2 果 A 列满秩 () ()BAB γγ 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 14
证:面证 0ABx 0Bx 解
η 0ABx 解 0⇔ ηAB
ηη ⇔⇔ 0B 0Bx 解
四.基础解系通解
1. 0Ax 非零解时基础解系
记 J 0Ax 全部解集合
称 J 极关组 0Ax 基础解系
eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系条件:
① iη 0Ax 解
② eηηη 21 Λ 线性关
③ 0Ax 解 eηηηη 21 Λ→
定理: () ()AnJ γγ −
() () nAJ + γγ
⎯→⎯行A 阶梯形矩阵 B
() BA γ 非零行数
0Bx ()Aγ 方程( 00 J)
()An γ− 未知量
eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系条件③换
③ ()Anl γ−
证明: 0AB 时 () () nBA ≤+ γγ
证:记 ()sB βββ 21 Λ
⇔ 0AB iβ 0Ax 解
() ( ) ()()AnJB s γγβββγγ −≤ 21 Λ
() () nBA ≤+ γγ
2.通解
①果 eηηη 21 Λ 0Ax 基础解系
0Ax 通解
eeccc ηηη +++ Λ2211 ic 意
②果 0ξ ()0≠ ββAx 解 eηηη 21 Λ
0Ax 基础解系 βAx 通解
eeccc ηηηξ ++++ Λ22110 ic 意
第六讲 特征量特征值相似角化
.特征量特征值
设 A n 阶矩阵η n 维非零列量 ηA η
否相关?
例: ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 20
11A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
1 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
1
0
1A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
1
1
0A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
2
1
1A
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
3
1
2A
1.定义:果 0≠η ηA η 线性相关称
η A 特征量时数λ ληη A
称 λ η 特征值
设 A 数量矩阵 Eλ n 维列量η
ληη A非零列量 Eλ 特征量
特征值 λ
①特征值限
特征量穷
ληη A()()ηλληηη cccAcA
考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 15
() ()221122112211
22
11 ηηληηηηληη
ληη ccAcAcccAA
A +++⇒
⎭
⎬
⎫
②特征量唯特征值许特征量
相特征值
③计算时先求特征值求特征量
2.计算
A n 阶矩阵求 A 特征量特征值
0 ≠ ηληηA
() 00 ≠−⇔ ηηλ AE
η⇔ ()0− xAEλ 非零解
命题:① λ A 特征值 0 −⇔ AEλ
②η 属 λ 特征量 η⇔ ()0 − xAEλ 非
零解
称项式 AxE − A 特征项式
λ A 特征值 λ⇔ A 特征项式 AxE −
根
λ 重数: λ 作 AxE − 根重数
n 阶矩阵 A 特征值 n : n 21 λλλ Λ
中实数重
计算步骤:
①求出特征项式 AxE −
②求 AxE − 根特征值
③特征值 i λ 求 ()0 − xAEiλ 非零解
属 i λ 特征量
复杂困难作般求
两种特殊情形:
(1)A ()三角矩阵角矩阵时特征值
角线元素
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∗
3
2
1
00
0
**
λ
λ
λ
A
()()()321
3
2
1
00
0
**
λλλ
λ
λ
λ
−−−
−
∗−−
−−−
− xxx
x
x
x
AxE
(2)() 1Ar 时: A 特征值 ()Atr000 Λ
3.特征值性质
命题: n 阶矩阵 A 特征值 λ 重数
()AErn −−≥ λ
命题:设 A 特征值 n 21 λλλ Λ
① An 21 λλλ Λ
② ()Atrn +++ 21 λλλ Λ
()()()()4321
44434241
34333231
24232221
14131211
λλλλ −−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
xxxx
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
较两边常数项部分①
较两边 3x 系数②:右边
()4321 λλλλ +++− 左边会 3x 项
()()()( )44332211 axaxaxax −−−− 系数
()()Atraaaa −+++− 44332211
4. A 相关矩阵特征量特征值
命题:设η A 特征量特征值 λ
ληη A
① A 项式 ()Af () ()ηη xfAf
例: ηληη 3 AAAA 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 16
() ()ηληηη 1222 +++ AEA
()()ηλλλη 1 2 4 24 235235 −+−−+− EAAA
② A 逆时 ηλη 11 −A ηλη ||*AA
ηληηληληη 111 ⇒⇒ −− AAA
ηληηλη ||**|| AAAA ⇒⇒
命题:设 A 特征值 n 2 1 λλλ Λ
① ()Af 特征值 ()()()nfff 2 1 λλλ Λ
② A 逆时 1−A 特征值
n
11
1
2 1 λλλ Λ
*A 特征值
n
AAA
2 1
||||
||
λλλ Λ
③ TA 特征值 n 21 λλλ Λ
() AxEAxEAxE TT −−− ||
5.特征值应
①求行列式 nA || 2 1 λλλ Λ
②判逆性
λ A 特征值 EAAE 0 λλ −⇔−⇔ 逆
EA λ− 逆 λ⇔ A 特征值
() 0Af 时果 () 0≠cf cEA − 逆
λ A 特征值 ()λf ()Af 特征值
() 0⇒ λf
() ccf ⇒≠ 0 A 特征值 AcE⇔ 逆
二.n 阶矩阵相似关系
设 AB 两 n 阶矩阵果存 n 阶逆矩阵U
BAUU −1 称 A B 相似记作 BA ~
UAAU 时 AB UAAU ≠ 时 AB ≠
相似关系 i)称性: ABBA ~~ ⇔
BAUU −1 1− UBUA
ii)传递性: BA ~ CB ~ CA ~
BAUU −1 CBVV −1
()()CBVVAUVUVUVAUV −−−− 1111
命题 BA ~ 时 A B 许相性质
① BA
AUAUAUUB −− 11
② ()()BA γγ
③ AB 特征项式相特征值完全致
() AxEUAxEUAUUxEBxE −−−− −− 11
A B 特征量关系:η A 属 λ 特征
量 η1−⇔ U B 属 λ 特征量
()( )
()ηληηλη
ηληληη
11111
11
−−−−−
−−
⇔
⇔
UAUUUUAU
UUBA
χχ
三.n 阶矩阵角化
A 否相似角矩阵?
矩阵相似角矩阵例
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 10
11A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
2
11
0
0
λ
λAUU 1 21 λλ
EA
基问题
①判 n 阶矩阵 A 否相似角矩阵(角化)
②实现问题构造逆矩阵U AUU 1− 角矩
阵
基定理 A 角化 ⇔ A n 线性关特征
量
设逆矩阵 ()nU ηηη 21 Λ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
AUU
λ
λ
λ
000
000
000
000
2
1
1
Ο
考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 17
() ( )nn
n
n UA ηληληλ
λ
λ
λ
ηηη
000
000
000
000
2211
2
1
21 ΛΟΛ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
iiiA ηλη ⇔ ni 21 Λ
判法
A 角化 ⇔ A 特征值λ λ 重数
()AEn −− λγ
iλ 重特征值时重数 ()AErn i −− 1 λ 定成
立须重数 1> 特征值检查
推:果 A n 特征值 A 定角
化角化实现(逆矩阵U 构造):
特征值 iλ 求出 ()0− xAEiλ 基础解
系合起 n 线性关特征量
nηη 1 Λ令 ()nU ηηη 21 Λ
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
n
AUU
λ
λ
λ
000
000
000
000
2
1
1
Ο
中 iλ iη 特征
值
第七讲 二次型(实二次型)
.基概念
1.二次型矩阵
二次型变量二次齐次项式函数
() 323121
2
3
2
2
2
1321 56423 xxxxxxxxxxxxf +−++−
三元二次型项二次变量
方称方项两变量积称交叉
项
n 元二次型般形式
() ji
ji
ij
n
i
iiin xxaxaxxxf ∑∑
<
+ 2
1
2
21 Λ
方项二次型称标准二次型
形: 22
1
22
2
2
1 qppp xxxxx ++ −−−+++ΛΛ n 元二
次型称规范二次型
n 阶实矩阵 A记 ()T
nxxxx 21 Λ
AxxT 二次型
例 3n 时
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
333231
232221
131211
321
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxxAxxT
()
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++
333232131
323222121
313212111
321
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
∑
3
1 ji
jiij xxa
中方项系数 A 角线元素交叉
项 ji xx 系数 jiij aa +
利矩阵形式写出二次型
() 323121
2
3
2
2
2
1321 56423 xxxxxxxxxxxxf +−++−
写成 AxxT 形式 A 角线元素确定
次 311 a 222 −a 133 a 角线外元素
唯确定满足
42112 + aa 63113 −+ aa 53223 + aa
求 A 称矩阵唯确定
称实称矩阵 A 该二次型矩阵
() Axxxxxf T
n 21 Λ
称 A 秩 ()Aγ 二次型秩 标准二次型矩
阵角矩阵
2.逆线性变量换
椭圆方程 12
2
2
2
+ b
y
a
x
设 n 元二次型 ()nxxxf 21 Λ引进新组考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 18
变量 nyyy 21 Λ nxxx 21 Λ 表示
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++
+++
+++
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
Λ
Λ
Λ
Λ
2211
22221212
12121111
(求矩阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
逆矩阵)
代入 ()nxxxf 21 Λ nyy 1 Λ 二次型
()nyyg 1 Λ 样操作称 ()nxxf Λ1 作次逆
线性变量换
设 ()T
nyyyY 21 Λ 面变换式写成
CYx
() ( )n
TTT
n yygACYCYAxxxxf 11 ΛΛ
()nyyg Λ1 矩阵 ACCT
() ACCCACACCTTTTTT
3.实称矩阵合
两 n 阶实称矩阵 A B果存 n 阶实逆矩
阵C值 BACCT 称 A B 合记作 BA−~
命题:二次型 ()Axxxxf T
n Λ1 逆线性变换
换化
() BABYYyyg T
n −⇔ ~1 Λ
二.二次型标准化规范化
1.二次型逆线性变量换化标准二
次型规范二次型
实称矩阵会角矩阵规范角
矩阵
设 A 实称矩阵存正交矩阵Q
AQQD 1− 角矩阵
DAQQAQQT −1
DA ~ DA−~
2.标准化规范化方法
①正交变换法
② 配方法
3.惯性定理惯性指数
定理 二次型逆线性变换换化出标准
形方项系数中 0 数 0 数
原二次型决定分称原二次型正负惯性
指数
二次型化出规范二次型形式唯
相应规范角矩阵唯
矩阵语言说:实称矩阵 A 会唯规
范角矩阵
二次型正负惯性指数逆线性变量换
变两二次型互相转化充条件正负惯
性指数相等
实称矩阵正(负)惯性指数等正(负)特征
值数
三.正定二次型正定矩阵
1.定义
二次型 ()nxxxf 21 Λ 称正定二次型果
nxx 1 Λ 全 0 时 ()0 21 >nxxxf Λ
例标准二次型
() 22
22
2
1121 nnn xdxdxdxxxf +++ΛΛ 正定
0>⇔ id ni 1 Λ
(必性⇒ 取 11 x 02 xxx Λ
时 () 0001 1 > df Λ 样证 0>id )
实称矩阵正定二次型 AxxT 正定:
0≠x 时 0>AxxT 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 19
例实角矩阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n 000
000
00 0
000
2
1
λ
λ
λ
Ο
正定
0 >⇔ iλ ni 1 Λ
2.性质判
逆线性变换换保持正定性
()nxxxf 21 Λ 变 ()nyyyg 21 Λ时正
定时正定
BA−~ AB 时正定时正定
例 ACCBT 果 A 正定 0≠x
() 0> ACxCxACxCxBxx TTTT
(C 逆 0≠x 0≠∴Cx )
出关正定性质
A 正定 EA−⇔ ~
⇔ 存实逆矩阵CCCAT
A⇔ 正惯性指数 n
A⇔ 特征值全 0
A⇔ 序子式全 0
设 A n 阶矩阵记 rA A 西北角 r 阶方
阵称 rA A 第 r 序子式( r 阶序子式)
判断 A 正定三种方法:
①序子式法
②特征值法
③定义法
附录 积正交矩阵实称矩阵角化
谈量矩阵实数范围中心
量分量实数矩阵元素实数
.量积
1.定义
两 n 维实量 βα 积数记作 ()βα
规定应分量积
设
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nn b
b
b
a
a
a
ΜΜ
2
1
2
1
βα
() nnbababa +++ Λ2211 βα
βα T
2.性质
①称性: ()( )αββα
②双线性性质: ()( )()βαβαβαα 2121 ++
()( )()2121 βαβαββα ++
()( )()βαβαβα ccc
③正交性: () 0 ≥αα () 00 ⇔ ααα
()∑
n
i
ia
1
2αα
3.长度正交
量α 长度 ()∑
n
i
ia
1
2ααα
00 ⇔ αα
αα cc
单位量:长度1量
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 2
2
0
2
2
0≠α
α
α 单位量称α 单位化
11 ααα
α
两量 βα 果积 0: ()0 βα 称考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 20
正交
果 n 维量组 sααα 21 Λ 两两正交
单位量称单位正交量组
二.正交矩阵
实 n 阶矩阵 A 果满足 EAAT 称正交矩
阵
1− AAT
定理 A 正交矩阵 A⇔ 行量组单位正交
量组
A⇔ 列量组单位正交量组
证:设 ()naA αα 21 Λ
() ()
()
() ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
2
212
121
2
1
nn
n
TAA
ααα
ααα
ααααα
Λ
ΜΟΜ
ΛΛ
Λ
n
TEAA ααα 21 Λ⇔ 单位正交量组
三.施密特正交化方法
线性关量组改造等价单位
正交量组方法
αββββ c−− 12
设 321 ααα 线性关
①正交化:令 11 αβ
()
()1
11
21
22
βββ
αβαβ −
(设 122 βαβ k− ()()()111212 βββαββ k−
()
()11
12
ββ
βαk 时 12 ββ 正交)
()
()
()
()2
22
32
1
11
31
33
βββ
αββββ
αβαβ −−
②单位化:令
1
1
1 β
βη
2
2
2 β
βη
3
3
3 β
βη
321 ηηη 321 ααα 等价单位正交量组
四.实称矩阵角化
设 A 实称矩阵
① A 特征值实数
②特征值 λ 重数 ()AErn −− λ A
角化
③属特征值特征量互相正交
:存正交矩阵Q AQQ 1− 角矩阵
特征值 λ 找 ()0− xAEλ 单位正交
基础解合起构造正交矩阵
附录二 量空间
1. n 维量空间子空间
记 nR 全部 n 维实量构成集合
规定加法数两种线性运算集合称
n 维量空间
设V nR 子集果满足
(1) 21αα 属V 时 21 αα + 属V
(2)V 元素α 实数 c αc V 中
称V nR 子空间
例 n 元齐次方程组 0AX 全部解构成 nR
子空间称 0AX 解空间
非齐次方程组 βAX 全部解构成 nR
子空间
nR 中组元素 sααα 21 Λ记全部
线性组合集合
(){}意isss ccccL αααααα +++ΛΛ 221121 考研数学知识点-线性代数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 21
nR 子空间
2.基维数坐标
设V nR 非 0 子空间(含非 0 元素)
称V 秩维数记作 Vdim
称V 排次序极关组V 基
例 0AX 解空间维数 ()Arn −
序基础解系构成基
()[]()ss rL αααααα dim 2121 ΛΛ
sααα 21 Λ 序极关组构成基
设 kηηη 21 Λ V 基V 元素α
kηηη 21 Λ 唯线性表示:
kkccc ηηηα +++Λ2211
称中系数 ()kccc 21 Λ α 关基 kηηη 21 Λ
坐标 k 维量
坐标线性性质:
(1)两量坐标等坐标:
果量α β 关基 kηηη 21 Λ 坐标分
()kccc 21 Λ ()kddd 21 Λ βα + 关基
kηηη 21 Λ 坐标
()()()kkkk dddcccdcdcdc 21212211 ΛΛΛ++++
(2)量数坐标等坐标数:
果量α 关基 kηηη 21 Λ 坐标
()kccc 21 Λ αc 关基 kηηη 21 Λ 坐标
()()kk cccccccccc 2121 ΛΛ
坐标意义:设V 中量组 tααα 21 Λ 关
基 kηηη 21 Λ 坐标次 tγγγ 21 Λ
tααα 21 Λ tγγγ 21 Λ 相线性关系
坐标判断量组相关性计算
秩极关组等等
3.渡矩阵坐标变换公式
设 kηηη 21 Λ kξξξ 21 Λ V 基
设 1ξ kηηη 21 Λ 中坐标 ()kiii ccc 21 Λ构造矩
阵
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
kkkk
k
k
ccc
ccc
ccc
C
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ
21
22221
11211
称C kηηη 21 Λ kξξξ 21 Λ 渡矩阵
()()Ckk ηηηξξξ 2121 ΛΛ
果V 中量α kηηη 21 Λ
kξξξ 21 Λ 中坐标分
()T
kxxxx 21 Λ ()T
kyyyy 21 Λ
()xkηηηα 21 Λ
()kξξξα 21 Λ ()Cyy kηηη 21 Λ
关系式:
Cyx
称坐标变换公式
4.规范正交基
果V 基 kηηη 21 Λ 单位正交量组称
规范正交基
两量积等规范正交基坐标
积
设 α 坐标()kccc 21 Λ β 坐标
()kddd 21 Λ
() kk dcdcdc +++ Λ2211 βα
两规范正交基间渡矩阵正交矩阵
考研数学知识点合集(概率高数线代)杨凯钧
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