2021全国中考真题分类汇编（三角形）
相似三角形
选择题
1 （2021•河北省）图1装液体高脚杯示意图（数图）部分液体图2示时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
分析高脚杯前两三角形相似．根相似三角形判定性质出结果．
解答解：图：O作OM⊥CD垂足MO作ON⊥AB垂足N
∵CD∥AB
∴△CDO∽ABO相似
∴＝
∵OM＝15﹣7＝8ON＝11﹣7＝4
∴＝
＝∴
AB＝3
选：C．
2 （2021•遂宁市）图△ABC中点DE分ABAC中点△ADE面积3cm2四边形BDEC面积（ ）
A 12cm2 B 9cm2 C 6cm2 D 3cm2
答案B
解析
分析三角形中位线定理DEBCDE∥BC证△ADE∽△ABC利相似三角形性质求解．
详解解：∵点DE分边ABAC中点
∴DEBCDE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ADE3
∴S△ABC12
∴四边形BDEC面积1239(cm2)
选：B．
3 （2021•浙江省绍兴市）图树AB路灯O射形成投影AC已知路灯高PO＝5m树AB路灯O水距离AP＝45m树高度AB长（ ）
A．2m B．3m C．m D．m
分析利相似三角形性质求解．
解答解：∵AB∥OP
∴△CAB∽△CPO
∴
∴
∴OP＝4（m）
选：A．
4 （2021•湖北省恩施州）图4×4正方形网格中正方形边长1EBD正方形网格线交点列结正确（ ）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
分析根勾股定理BCCDBD长根勾股定理逆定理△BCD形状利相似三角形判定性质EF长然CE长CEBD关系根图形容易判断△ABC≌△CBDAC＝CD成立根锐角三角函数∠ABC∠CBD关系．
解答解：图
BC＝＝2CD＝＝BD＝＝5
∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2
∴△BCD直角三角形
∵EF∥GD
∴△BFE∽△BGD
∴
解EF＝15
∴CE＝CF﹣EF＝4﹣15＝25
∴＝选项A错误
图知显然△ABC△CBD全等选项B错误
∵AC＝2CD＝
∴AC≠CD选项C错误
∵tan∠ABC＝＝tan∠＝＝
∴∠ABC＝∠CBD选项D正确
选：D．
5 （2021•浙江省温州市）图图形甲图形乙位似图形O位似中心点AB应点分点A′A′B′长（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
分析根位似图形概念列出例式代入计算．
解答解：∵图形甲图形乙位似图形位似2：3
∴＝＝
解A′B′＝9
选：B．
6 （2021•重庆市A）图△ABC△BEF位似点O位似中心中OE2OB△ABC△DEF周长（ ）
A 1：2 B 1：4 C 1：3 D 1：9
答案A
解析
分析利位似性质△ABC∽△DEFOB：OE 1：2然根相似三角形性质解决问题．
详解解：∵△ABC△DEF位似点O位似中心．
∴△ABC∽△DEFOB：OE 1：2
∴△ABC△DEF周长：1：2．
选：A．
7 （2021•重庆市B）图面直角坐标系中△OAB原点O位似中心放△OCDB（01）D（03）△OAB△OCD相似（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
分析根信息找OBOD值．
解答解：∵B（01）D（03）．
∴OB＝1OD＝3．
∵△OAB原点O位似中心放△OCD．
∴△OAB△OCD相似OB：OD＝1：3．
选：D．
8 （2021•江苏省连云港）图中相交点D面积（ ）
A B C D
答案A
解析
分析点C作延长线点等高三角形面积性质证明解分求AECE长根面积公式解题．
详解解：点C作延长线点
等高三角形
设
选：A．
9 （2021•黑龙江省龙东区）图行四边形角线相交点E点O中点连接延长交延长线点D交点G连接行四边形面积48面积（ ）
A 55 B 5 C 4 D 3
答案C
解析
分析题意易进然根相似面积关系求解．
详解解：∵四边形行四边形
∴AEEF
∵行四边形面积48
∴
∵点中点
∴
∴
∴
∴
∴
∵高底
∴
选C．
二．填空题
1 （2021•湖南省邵阳市）图矩形ABCD中DE⊥AC垂足点E．sin∠ADE＝AD＝4AB长 3 ．
分析易证∠ACD＝∠ADE矩形性质出∠BAC＝∠ACD＝AC＝＝＝5勾股定理出结果．
解答解：∵DE⊥AC
∴∠ADE+∠CAD＝90°
∵∠ACD+∠CAD＝90°
∴∠ACD＝∠ADE
∵矩形ABCD边AB∥CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵sin∠ADE＝
∴＝
∴AC＝＝＝5
勾股定理AB＝＝＝3
答案：3．
2 （2021•江苏省南京市）图绕点A逆时针旋转位置点落交点E长________．
答案
解析
分析点C作CM交点M证明求根AAS证明求出CM1CM证明△相似三角形性质查结．
详解解：点C作CM交点M
∵行四边形ABCD绕点A逆时针旋转行四边形
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵
∴
∴∠
∴∠
中
∴
∴
∵
∴△
∴
∴
∴
答案：．
3 （2021•宿迁市）图△ABC中AB4BC5点DE分BCACCD2BDCF2AFBE交AD点F△AFE面积值_________．
答案
解析
分析连接DF先根相似三角形判定性质证明进根CD2BDCF2AF根△ABC中AB4BC5AB⊥BC时△ABC面积求出△AFE面积值．
详解解：图连接DF
∵CD2BDCF2AF
∴
∵∠C∠C
∴△CDF∽△CBA
∴∠CFD∠CAB
∴DF∥BA
∴△DFE∽△ABE
∴
∴
∵CF2AF
∴
∴
∵CD2BD
∴
∴
∵△ABC中AB4BC5
∴AB⊥BC时△ABC面积
时△AFE面积．
答案：
4 （2021•江苏省扬州） 图中矩形顶点DE点FG分长________．
答案
解析
分析根矩形性质GF∥AB证明△CGF∽△CAB证明△ADG≌△BEFADBE△BEF中利勾股定理求出x值．
详解解：∵DE2EF设EFxDE2x
∵四边形DEFG矩形
∴GF∥AB
∴△CGF∽△CAB
∴
∴
∴AD+BEABDE
∵ACBC
∴∠A∠BDGEF∠ADG∠BEF90°
∴△ADG≌△BEF（AAS）
∴ADBE
△BEF中
解：x（舍）
∴EF
答案：．
5 （2021•浙江省嘉兴市）图直角坐标系中△ABC△ODE位似图形位似中心坐标 （42） ．
分析根图示应点连线点该点位似中心．
解答解：图
点G（42）求位似中心．
答案：（42）．
6 （2021•黑龙江省庆市）已知 ＝
7 （2021•云南省）图△ABC中点DE分BCAC中点ADBE相交点F．BF＝6BE长 ．9
8 （2021•吉林省）图测量山坡护坡石坝高根长45m竹竿AC斜石坝旁量出竿AD长1m时离面高度DE06m坝高CF m．
9 (2021•蒙古包头市)图中点B作垂足B连接CDAB相交点M点M作垂足N．MN长__________．
答案
10（2021•江苏省连云港）图BE△ABC中线点FBE延长AF交BC点D．BF3EF______．
答案
解析
分析连接ED中线设面积等量关系解根等高三角形性质解解题．
详解解：连接ED
中线
设
等高三角形
答案：．
11（2021•海市）图已知_________．
答案
解析
分析先根等高两三角形面积等边长出根△AOD∽△COB出根等高两三角形面积等边长计算
详解解：作AE⊥BCCF⊥BD
∵
∴△ABD△BCD等高高均AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC△DOC等高高均CF
∴
∴
答案：
12（2021•山东省菏泽市）图△ABC中AD⊥BC垂足DAD＝5BC＝10四边形EFGH四边形HGNM均正方形点EFGNM△ABC边△AEM四边形BCME面积 1：3 ．
分析通证明△AEM∽△ABC求EF长相似三角形性质＝（）2＝求解．
解答解：∵四边形EFGH四边形HGNM均正方形
∴EF＝EH＝HMEM∥BC
∴△AEM∽△ABC
∴
∴
∴EF＝
∴EM＝5
∵△AEM∽△ABC
∴＝（）2＝
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM
∴△AEM四边形BCME面积1：3
答案：1：3．
13 （2021•四川省南充市）图△ABC中DBC点BC＝AB＝3BDAD：AC值 ．
分析根两边成例夹角相等两三角形相似证明出△ABC∽△DBA根相似三角形应边成例变形出答案．
解答解：∵BC＝AB＝3BD
∴
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△DBA
∴
∴ADAC＝
答案：．
14 2021•浙江省湖州市）沈康身教授著数学家吴文俊作序数学魅力书中记载样事：图三姐妹分块边长1祖传正方形毯先毯分割成七块拼成三正方形（阴影部分）．图中AB长应 ．
答案﹣1
解析图CD＝1DG＝求CG＝根△CDG∽△DEG求DE＝∴AE＝1﹣∴AB＝AE＝﹣1．
三解答题
1 （2021•湖北省黄冈市）图△ABC△DEC中∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC
（2）S△ABC：S△DEC＝4：9BC＝6求EC长．
分析（1）两角相等两三角形相似判断△ABC∽△DEC
（2）相似三角形性质＝()2＝求解．
解答证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE
∴∠DCE＝∠ACB
∵∠A＝∠D
∴△ABC∽△DEC
（2）∵△ABC∽△DEC
∴＝()2＝
∵BC＝6
∴CE＝9．
2 （2021•湖南省常德市）图中N边点D中点点A作行线交延长线T连接．
（1）求证：
（2）图中取点O作N关边称点M连接图．
①求证：
②设相交点P求证：．
答案(1)见解析(2)①见解析②见解析．
解析
分析（1）先证明出四边形ATBN行四边形△TAD≌△CND应边相等等量代换出结．
（2）①连接AMMN利矩形性质等腰三角形性质证明出△OCM直角三角形证明出Rt△OAT≌Rt△OCM应角相等答案
②连接OP①中∠OTM∠OAP点OTAP圆直径圆周角直角证明出∠OPT90︒根等腰三角形三线合性出结．
详解证明：（1）∵
∴
∴四边形ATBN行四边形
∴
∴∠DTA∠DCN
∵∠ADT∠NDC
∵点DAN中点
∴ADND
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TACN
∵
∴BNCN
（2）①图示连接AMMN
∵点N关边称点M
∴△ANC≌△AMC
∴∠ACN∠ACM
∵ABAC点NAC中点
∴行四边形ATBN矩形
∴∠TAB∠ABN∠ACN∠ACM∠BAN∠MAC∠CANATBNNCMC
∵OAOC
∴∠CAN∠ACO
∴∠TAB+∠BAN∠ACM+∠ACO90︒
∴∠OAT∠OCM90︒
Rt△OATRt△OCM中
∵ATCM∠OAT∠OCM OAOC
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS）
∴∠AOT∠COMOTOM
∴∠AOT+∠AOM∠COM+∠AOM
∴∠TOM∠AOC
∵OAOCOTOM
∵
∴
②图示连接OP
∵
∴∠OTM∠OAP
∴点OTAP圆
∵∠OAT90︒
∴OT圆直径
∴∠OPT90︒
∵OTOM
∴点PTM中点
∵（1）△TAD≌△CND
∴TDCD
∴点DTC中点
∴DP△TCM中位线
∴．
3 （2021•湖北省荆州市）矩形ABCD中AB＝2AD＝4F角线AC点AC重合点F作FE⊥ADE△AEFEF翻折△GEF点G射线AD连接CG．
（1）图1点A称点G落AD∠FGC＝90°延长GF交ABH连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH
②求tan∠GHC．
（2）图2点A称点G落AD延长线∠GCF＝90°判断△GCF△AEF否全等说明理．
分析（1）①矩形性质角余角相等证明△CDG△GAH两组应角相等证明△CDG∽△GAH
②翻折∠AGB＝∠DAC＝∠DCGtan∠DAC＝求出DG长进求出GA长tan∠GHC∠GHC边邻边恰等相似三角形△CDG△GAH组应边求出tan∠GHC值
（2）△GCF△AEF直角三角形tan∠DAC＝分求出CGAGAEEFAFCF长直角边相等判断△GCF△AEF全等．
解答（1）图1
①证明：∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝∠GAH＝90°
∴∠DCG+∠DGC＝90°
∵∠FGC＝90°
∴∠AGH+∠DGC＝90°
∴∠DCG＝∠AGH
∴△CDG∽△GAH．
②翻折∠EGF＝∠EAF
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG
∵CD＝AB＝2AD＝4
∴＝tan∠DAC＝＝
∴DG＝CD＝×2＝1
∴GA＝4﹣1＝3
∵△CDG∽△GAH
∴
∴tan∠GHC＝＝．
（2）全等理：
∵AD＝4CD＝2
∴AC＝＝
∵∠GCF＝90°
∴＝tan∠DAC＝
∴CG＝AC＝×2＝
∴AG＝＝5
∴EA＝AG＝
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝
∴AF＝＝
∴CF＝2＝
∵∠GCF＝∠AEF＝90°CG≠EACF≠EF
∴△GCF△AEF全等．
4 （2021•广西玉林市）图中．
（1）求证：∽
（2）求值．
答案（1）见详解（2）
5 （2021•山西省中考）阅读思考请阅读列科普材料完成相应务．
图算法
图算法诺模图根原理某已知函数关系式中变量分编成刻度直线（曲线）定规律排列起种图形解函数式中未知量．想知道10摄氏度相少华氏度根摄氏温度华氏温度间关系：出时．果温度计华氏温标刻度温度计直接读出答案种利特制线条进行计算方法图算法．
例子：设两电阻分5千欧75千欧问联电阻值少？
利公式求值设计种图算法直接出结果：先画出角画条角分线角两边角分线样单位长度进行刻度样制张算图．角两边刻着755两点连成条直线条直线角分线交点刻度值联电阻值．
图算法出数似值数情况够需类公式进行计算测量制图员更体会优越性．
务：
（1）请根材料简说明图算法优越性
（2）请两种方法验证第二例子中图算法正确性：
①公式计算：时值少
②图中角分线学知识求线段长．
（1）图算法方便直观公式计算出结果等（2）①②
分析
（1）根题意直接进行求解问题
（2）①利公式直接代入求解②点作交延长线点题意易然等边三角形利相似三角形性质求解．
详解
（1）解：答案唯：图算法方便直观公式计算出结果等．
（2）①解：时
∴．
②解：点作交延长线点图示：
∵分
∴
∵
∴
∴
∴
∴等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
6 ．（2021•广东省）题图边长正方形中点中点．连接 折叠交点求长．
答案
解：延长交连．
折叠．
中点
正方形
中
勾股定理：．
．
7 （2021•江苏省南京市）图交点OE延长线点点E作交延长线点F．
（1）求证
（2）求长．
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）直接利AAS判定两三角形全等
（2）先分求出BEDC长利相似三角形判定性质进行计算．
详解解：（1）∵
∵
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴长．
8 （2021•绥化市）图示网格中正方形边长均1单位长度正方形顶点做格点面直角坐标系原点矩形4顶点均格点连接角线．
（1）面直角坐标系原点位似中心缩作出位似图形作位似图形相似等
（2）旋转中心逆时针旋转作出求出线段旋转程中形成扇形周长．
答案（1）见详解（2）见详解 弧长
解析
分析（1）根位似图形定义作图（定义：果两图形仅相似应点连线交点两图形做位似图形交点做位似中心）
（2）根图形旋转方法：顶点旋转中心连线旋转旋转图形OB旋转扇形半径OB长度坐标网格中根直角三角形勾股定理OB长度然代入扇形弧长公式时加扇形两半径求出答案．
详解（1）位似图形图示
（2）作出旋转图形
周长．
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相似三角形
选择题
1 （2021•河北省）图1装液体高脚杯示意图（数图）部分液体图2示时液面AB＝（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
分析高脚杯前两三角形相似．根相似三角形判定性质出结果．
解答解：图：O作OM⊥CD垂足MO作ON⊥AB垂足N
∵CD∥AB
∴△CDO∽ABO相似
∴＝
∵OM＝15﹣7＝8ON＝11﹣7＝4
∴＝
＝∴
AB＝3
选：C．
2 （2021•遂宁市）图△ABC中点DE分ABAC中点△ADE面积3cm2四边形BDEC面积（ ）
A 12cm2 B 9cm2 C 6cm2 D 3cm2
答案B
解析
分析三角形中位线定理DEBCDE∥BC证△ADE∽△ABC利相似三角形性质求解．
详解解：∵点DE分边ABAC中点
∴DEBCDE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ADE3
∴S△ABC12
∴四边形BDEC面积1239(cm2)
选：B．
3 （2021•浙江省绍兴市）图树AB路灯O射形成投影AC已知路灯高PO＝5m树AB路灯O水距离AP＝45m树高度AB长（ ）
A．2m B．3m C．m D．m
分析利相似三角形性质求解．
解答解：∵AB∥OP
∴△CAB∽△CPO
∴
∴
∴OP＝4（m）
选：A．
4 （2021•湖北省恩施州）图4×4正方形网格中正方形边长1EBD正方形网格线交点列结正确（ ）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
分析根勾股定理BCCDBD长根勾股定理逆定理△BCD形状利相似三角形判定性质EF长然CE长CEBD关系根图形容易判断△ABC≌△CBDAC＝CD成立根锐角三角函数∠ABC∠CBD关系．
解答解：图
BC＝＝2CD＝＝BD＝＝5
∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2
∴△BCD直角三角形
∵EF∥GD
∴△BFE∽△BGD
∴
解EF＝15
∴CE＝CF﹣EF＝4﹣15＝25
∴＝选项A错误
图知显然△ABC△CBD全等选项B错误
∵AC＝2CD＝
∴AC≠CD选项C错误
∵tan∠ABC＝＝tan∠＝＝
∴∠ABC＝∠CBD选项D正确
选：D．
5 （2021•浙江省温州市）图图形甲图形乙位似图形O位似中心点AB应点分点A′A′B′长（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
分析根位似图形概念列出例式代入计算．
解答解：∵图形甲图形乙位似图形位似2：3
∴＝＝
解A′B′＝9
选：B．
6 （2021•重庆市A）图△ABC△BEF位似点O位似中心中OE2OB△ABC△DEF周长（ ）
A 1：2 B 1：4 C 1：3 D 1：9
答案A
解析
分析利位似性质△ABC∽△DEFOB：OE 1：2然根相似三角形性质解决问题．
详解解：∵△ABC△DEF位似点O位似中心．
∴△ABC∽△DEFOB：OE 1：2
∴△ABC△DEF周长：1：2．
选：A．
7 （2021•重庆市B）图面直角坐标系中△OAB原点O位似中心放△OCDB（01）D（03）△OAB△OCD相似（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
分析根信息找OBOD值．
解答解：∵B（01）D（03）．
∴OB＝1OD＝3．
∵△OAB原点O位似中心放△OCD．
∴△OAB△OCD相似OB：OD＝1：3．
选：D．
8 （2021•江苏省连云港）图中相交点D面积（ ）
A B C D
答案A
解析
分析点C作延长线点等高三角形面积性质证明解分求AECE长根面积公式解题．
详解解：点C作延长线点
等高三角形
设
选：A．
9 （2021•黑龙江省龙东区）图行四边形角线相交点E点O中点连接延长交延长线点D交点G连接行四边形面积48面积（ ）
A 55 B 5 C 4 D 3
答案C
解析
分析题意易进然根相似面积关系求解．
详解解：∵四边形行四边形
∴AEEF
∵行四边形面积48
∴
∵点中点
∴
∴
∴
∴
∴
∵高底
∴
选C．
二．填空题
1 （2021•湖南省邵阳市）图矩形ABCD中DE⊥AC垂足点E．sin∠ADE＝AD＝4AB长 3 ．
分析易证∠ACD＝∠ADE矩形性质出∠BAC＝∠ACD＝AC＝＝＝5勾股定理出结果．
解答解：∵DE⊥AC
∴∠ADE+∠CAD＝90°
∵∠ACD+∠CAD＝90°
∴∠ACD＝∠ADE
∵矩形ABCD边AB∥CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵sin∠ADE＝
∴＝
∴AC＝＝＝5
勾股定理AB＝＝＝3
答案：3．
2 （2021•江苏省南京市）图绕点A逆时针旋转位置点落交点E长________．
答案
解析
分析点C作CM交点M证明求根AAS证明求出CM1CM证明△相似三角形性质查结．
详解解：点C作CM交点M
∵行四边形ABCD绕点A逆时针旋转行四边形
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵
∴
∴∠
∴∠
中
∴
∴
∵
∴△
∴
∴
∴
答案：．
3 （2021•宿迁市）图△ABC中AB4BC5点DE分BCACCD2BDCF2AFBE交AD点F△AFE面积值_________．
答案
解析
分析连接DF先根相似三角形判定性质证明进根CD2BDCF2AF根△ABC中AB4BC5AB⊥BC时△ABC面积求出△AFE面积值．
详解解：图连接DF
∵CD2BDCF2AF
∴
∵∠C∠C
∴△CDF∽△CBA
∴∠CFD∠CAB
∴DF∥BA
∴△DFE∽△ABE
∴
∴
∵CF2AF
∴
∴
∵CD2BD
∴
∴
∵△ABC中AB4BC5
∴AB⊥BC时△ABC面积
时△AFE面积．
答案：
4 （2021•江苏省扬州） 图中矩形顶点DE点FG分长________．
答案
解析
分析根矩形性质GF∥AB证明△CGF∽△CAB证明△ADG≌△BEFADBE△BEF中利勾股定理求出x值．
详解解：∵DE2EF设EFxDE2x
∵四边形DEFG矩形
∴GF∥AB
∴△CGF∽△CAB
∴
∴
∴AD+BEABDE
∵ACBC
∴∠A∠BDGEF∠ADG∠BEF90°
∴△ADG≌△BEF（AAS）
∴ADBE
△BEF中
解：x（舍）
∴EF
答案：．
5 （2021•浙江省嘉兴市）图直角坐标系中△ABC△ODE位似图形位似中心坐标 （42） ．
分析根图示应点连线点该点位似中心．
解答解：图
点G（42）求位似中心．
答案：（42）．
6 （2021•黑龙江省庆市）已知 ＝
7 （2021•云南省）图△ABC中点DE分BCAC中点ADBE相交点F．BF＝6BE长 ．9
8 （2021•吉林省）图测量山坡护坡石坝高根长45m竹竿AC斜石坝旁量出竿AD长1m时离面高度DE06m坝高CF m．
9 (2021•蒙古包头市)图中点B作垂足B连接CDAB相交点M点M作垂足N．MN长__________．
答案
10（2021•江苏省连云港）图BE△ABC中线点FBE延长AF交BC点D．BF3EF______．
答案
解析
分析连接ED中线设面积等量关系解根等高三角形性质解解题．
详解解：连接ED
中线
设
等高三角形
答案：．
11（2021•海市）图已知_________．
答案
解析
分析先根等高两三角形面积等边长出根△AOD∽△COB出根等高两三角形面积等边长计算
详解解：作AE⊥BCCF⊥BD
∵
∴△ABD△BCD等高高均AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC△DOC等高高均CF
∴
∴
答案：
12（2021•山东省菏泽市）图△ABC中AD⊥BC垂足DAD＝5BC＝10四边形EFGH四边形HGNM均正方形点EFGNM△ABC边△AEM四边形BCME面积 1：3 ．
分析通证明△AEM∽△ABC求EF长相似三角形性质＝（）2＝求解．
解答解：∵四边形EFGH四边形HGNM均正方形
∴EF＝EH＝HMEM∥BC
∴△AEM∽△ABC
∴
∴
∴EF＝
∴EM＝5
∵△AEM∽△ABC
∴＝（）2＝
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM
∴△AEM四边形BCME面积1：3
答案：1：3．
13 （2021•四川省南充市）图△ABC中DBC点BC＝AB＝3BDAD：AC值 ．
分析根两边成例夹角相等两三角形相似证明出△ABC∽△DBA根相似三角形应边成例变形出答案．
解答解：∵BC＝AB＝3BD
∴
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△DBA
∴
∴ADAC＝
答案：．
14 2021•浙江省湖州市）沈康身教授著数学家吴文俊作序数学魅力书中记载样事：图三姐妹分块边长1祖传正方形毯先毯分割成七块拼成三正方形（阴影部分）．图中AB长应 ．
答案﹣1
解析图CD＝1DG＝求CG＝根△CDG∽△DEG求DE＝∴AE＝1﹣∴AB＝AE＝﹣1．
三解答题
1 （2021•湖北省黄冈市）图△ABC△DEC中∠A＝∠D
（1）求证：△ABC∽△DEC
（2）S△ABC：S△DEC＝4：9BC＝6求EC长．
分析（1）两角相等两三角形相似判断△ABC∽△DEC
（2）相似三角形性质＝()2＝求解．
解答证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE
∴∠DCE＝∠ACB
∵∠A＝∠D
∴△ABC∽△DEC
（2）∵△ABC∽△DEC
∴＝()2＝
∵BC＝6
∴CE＝9．
2 （2021•湖南省常德市）图中N边点D中点点A作行线交延长线T连接．
（1）求证：
（2）图中取点O作N关边称点M连接图．
①求证：
②设相交点P求证：．
答案(1)见解析(2)①见解析②见解析．
解析
分析（1）先证明出四边形ATBN行四边形△TAD≌△CND应边相等等量代换出结．
（2）①连接AMMN利矩形性质等腰三角形性质证明出△OCM直角三角形证明出Rt△OAT≌Rt△OCM应角相等答案
②连接OP①中∠OTM∠OAP点OTAP圆直径圆周角直角证明出∠OPT90︒根等腰三角形三线合性出结．
详解证明：（1）∵
∴
∴四边形ATBN行四边形
∴
∴∠DTA∠DCN
∵∠ADT∠NDC
∵点DAN中点
∴ADND
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TACN
∵
∴BNCN
（2）①图示连接AMMN
∵点N关边称点M
∴△ANC≌△AMC
∴∠ACN∠ACM
∵ABAC点NAC中点
∴行四边形ATBN矩形
∴∠TAB∠ABN∠ACN∠ACM∠BAN∠MAC∠CANATBNNCMC
∵OAOC
∴∠CAN∠ACO
∴∠TAB+∠BAN∠ACM+∠ACO90︒
∴∠OAT∠OCM90︒
Rt△OATRt△OCM中
∵ATCM∠OAT∠OCM OAOC
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS）
∴∠AOT∠COMOTOM
∴∠AOT+∠AOM∠COM+∠AOM
∴∠TOM∠AOC
∵OAOCOTOM
∵
∴
②图示连接OP
∵
∴∠OTM∠OAP
∴点OTAP圆
∵∠OAT90︒
∴OT圆直径
∴∠OPT90︒
∵OTOM
∴点PTM中点
∵（1）△TAD≌△CND
∴TDCD
∴点DTC中点
∴DP△TCM中位线
∴．
3 （2021•湖北省荆州市）矩形ABCD中AB＝2AD＝4F角线AC点AC重合点F作FE⊥ADE△AEFEF翻折△GEF点G射线AD连接CG．
（1）图1点A称点G落AD∠FGC＝90°延长GF交ABH连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH
②求tan∠GHC．
（2）图2点A称点G落AD延长线∠GCF＝90°判断△GCF△AEF否全等说明理．
分析（1）①矩形性质角余角相等证明△CDG△GAH两组应角相等证明△CDG∽△GAH
②翻折∠AGB＝∠DAC＝∠DCGtan∠DAC＝求出DG长进求出GA长tan∠GHC∠GHC边邻边恰等相似三角形△CDG△GAH组应边求出tan∠GHC值
（2）△GCF△AEF直角三角形tan∠DAC＝分求出CGAGAEEFAFCF长直角边相等判断△GCF△AEF全等．
解答（1）图1
①证明：∵四边形ABCD矩形
∴∠D＝∠GAH＝90°
∴∠DCG+∠DGC＝90°
∵∠FGC＝90°
∴∠AGH+∠DGC＝90°
∴∠DCG＝∠AGH
∴△CDG∽△GAH．
②翻折∠EGF＝∠EAF
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG
∵CD＝AB＝2AD＝4
∴＝tan∠DAC＝＝
∴DG＝CD＝×2＝1
∴GA＝4﹣1＝3
∵△CDG∽△GAH
∴
∴tan∠GHC＝＝．
（2）全等理：
∵AD＝4CD＝2
∴AC＝＝
∵∠GCF＝90°
∴＝tan∠DAC＝
∴CG＝AC＝×2＝
∴AG＝＝5
∴EA＝AG＝
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝
∴AF＝＝
∴CF＝2＝
∵∠GCF＝∠AEF＝90°CG≠EACF≠EF
∴△GCF△AEF全等．
4 （2021•广西玉林市）图中．
（1）求证：∽
（2）求值．
答案（1）见详解（2）
5 （2021•山西省中考）阅读思考请阅读列科普材料完成相应务．
图算法
图算法诺模图根原理某已知函数关系式中变量分编成刻度直线（曲线）定规律排列起种图形解函数式中未知量．想知道10摄氏度相少华氏度根摄氏温度华氏温度间关系：出时．果温度计华氏温标刻度温度计直接读出答案种利特制线条进行计算方法图算法．
例子：设两电阻分5千欧75千欧问联电阻值少？
利公式求值设计种图算法直接出结果：先画出角画条角分线角两边角分线样单位长度进行刻度样制张算图．角两边刻着755两点连成条直线条直线角分线交点刻度值联电阻值．
图算法出数似值数情况够需类公式进行计算测量制图员更体会优越性．
务：
（1）请根材料简说明图算法优越性
（2）请两种方法验证第二例子中图算法正确性：
①公式计算：时值少
②图中角分线学知识求线段长．
（1）图算法方便直观公式计算出结果等（2）①②
分析
（1）根题意直接进行求解问题
（2）①利公式直接代入求解②点作交延长线点题意易然等边三角形利相似三角形性质求解．
详解
（1）解：答案唯：图算法方便直观公式计算出结果等．
（2）①解：时
∴．
②解：点作交延长线点图示：
∵分
∴
∵
∴
∴
∴
∴等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
6 ．（2021•广东省）题图边长正方形中点中点．连接 折叠交点求长．
答案
解：延长交连．
折叠．
中点
正方形
中
勾股定理：．
．
7 （2021•江苏省南京市）图交点OE延长线点点E作交延长线点F．
（1）求证
（2）求长．
答案（1）证明见解析（2）
解析
分析（1）直接利AAS判定两三角形全等
（2）先分求出BEDC长利相似三角形判定性质进行计算．
详解解：（1）∵
∵
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴长．
8 （2021•绥化市）图示网格中正方形边长均1单位长度正方形顶点做格点面直角坐标系原点矩形4顶点均格点连接角线．
（1）面直角坐标系原点位似中心缩作出位似图形作位似图形相似等
（2）旋转中心逆时针旋转作出求出线段旋转程中形成扇形周长．
答案（1）见详解（2）见详解 弧长
解析
分析（1）根位似图形定义作图（定义：果两图形仅相似应点连线交点两图形做位似图形交点做位似中心）
（2）根图形旋转方法：顶点旋转中心连线旋转旋转图形OB旋转扇形半径OB长度坐标网格中根直角三角形勾股定理OB长度然代入扇形弧长公式时加扇形两半径求出答案．
详解（1）位似图形图示
（2）作出旋转图形
周长．
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