专题六 数列
第十六讲 等数列
答案部分
2019 年
1解析：等数列中 2
46aa 265
110a q a q ＞ 1
1
3a 解 3q
()() 55
1
5
1 131 1213
1133S q
aq −
−
−
−

2解析 设等数列 {}na 公 ( 0 )qq 前 4 项 15 531 34a a a+
()4
1
42
1 1 1
1
151
34
aq
q
a q a q a
 −
  −
 +
解 1 1
2
a
q

 
2
3 24a ．选 C．
3解析：（1）题设 114()2()nn nnabab++++ 11
1 ()2nn nnabab++++ ．
a1+b1l   nnab+ 首项1公 1
2
等数列．
题设 114()4()8nn nnabab++−−+
11 2nnnnabab++−−+ ．
a1–b1l nnab− 首项1公差2等差数列．
（2）（1）知 1
1
2nn nab −+ 21nnabn−− ．
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n + + − + −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n + − − − + ． 20102018 年


1．D解析第二单音起单音频率前单音频率等 12 2
第单音频率 f 等数列概念知十三单音频率构成首项
f 公12 2 等数列记 {}na
第八单音频率 1281712
8 (2)2aff − 选 D．
2．B解析解法 l n 1xx−≤ ( 0x  ) 1234123 ln()aaaaaaa+++++
123 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a  等数列公 0q  ．
1q −≤ 2
12341 (1)(10aaaaaqq+++++ ）≤
1231 1aaaa++ ≥ 123ln()0aaa++
1231234ln()0aaaaaaa+++++ ≤ 矛盾
10q− 2
131 (1)0aaaq−− 2
241 (1)0aaa qq−−
13aa 24aa 选 B．
解法二 1xex+≥
1234
1231234 1a a a aeaaaaaaa+ + + ++++++ ≥ 4 1a −≤
等数列公 ．

1 2 3ln( ) 0a a a+ + 
矛盾

13aa 选 B．
3．B解析设塔顶灯 1a 盏根题意层等数构成 首项2 公等数列∴
7
71
71
(12) (21)38112
aSa−−−
解 1 3a ．选 B．
4．B解析 24
1 (1)21aqq 1 3a 4260qq 2 2q
( 2 3q 舍) 3 6a 5 12a 7 24a 357 42a a a ．
5．D解析等数列性质 2
396 0a a a  2 6 9a a a 定成等数列．
6．C解析设等数列  na 公 q ∵ 321 10S a a+ ∴ 12321 10aaaaa+++
319aa ∴ 2 9q 5 9a 4
1 9aq ∴ 1
1
9a ．
7．B解析取特殊值排 ACD均值等式 222
13132 22aaaaa+ ．
8．B解析 1 16 n
nnaa+ 1
1216 n
nnaa +
++ 两式相
1
12
1
16 1616
n
nn
n
nn
aa
aa
+
++
+

∴ 2 16q ∵ 知公 q 正数∴ 4q ．
9．C解析设{ na }公 q 等数列性质知 23141 2aaaaa
4 2a ． 4a 2 7a 等差中项 5
4
知 47
5224aa+
74
15(2)24aa− 1
4 ．∴ 3 7
4
1
8
aq a 1
2q ． 3
411
1 28aa qa
1 16a
5
5
116(1) 2 3111 2
S
−

−
．
10．A解析通 2580aa+设公 q 该式转化 08 3
22 + qaa
解 －2
5
5
2
2
1 1 32 111 1 4
S q
Sq
−+ −−−
．
11．D解析取等数列124 令 1n 1 3 7XYZ 代入验算选项 D 满足．
12．C解析 2 3 4 10 10
1 2 3 4 5 1ma aaaaa qqqq q aq    11m ．
13．B解析两式相减 3433aaa− 4
43
3
4 4aa a q a  ． 14．C解析显然 q  1
36
39(1 ) 1 1 211
qq qqqq
−− +  −−
1{}
na
首项
1公 1
2
等数列 前 5 项
5
5
11() 312
1 161 2
T
−

−
．
15． 8− 解析设 {}na 首项 1a 公 q 11
2
11
1
3
a a q
a a q
+ −
 − −

解 1 1
2
a
q

 −
3
41 8a a q − ．
16．32解析设{}na 公 q 题意 1q 
6
36
3
3
1 191
S q qSq
−+−
2q

3
1
3
(1) 7
14
aqS q
−−
1
1
4a 775
81
1 22324aaq ．
17．1解析设  na 公差 d  nb 公 q 题意 31 3 8dq− + −
3d 2q − 2
2
13 1( 2)
a
b
−+−− ．
18．64 解析设 {}na 公 q 1310aa+ 245aa+ 1
18 2aq
2 4a 3 2a 4 1a 5
1
2a 121234 64na aaa a a a ．
19．1 121 解析 12
21
4
21
aa
aa
+
 +
解 1 1a 11 21nnnnaSSS++−+
1
113()22nnSS+ ++ 1{}2nS + 3
2
首项3 公等数列
113322
n
nS −+  5 121S ．
20． 21n 解析题意 14
2 3 1 4
9
8
aa
a a a a
+
   
解 141 8aa 148 1aa
数列{}na 递增等数列 3 4
1
8aq a 2q
数列 前 n 项 1(1 ) 12 211 1 2
n n
n
n
aqS q
− − −−−
． 21．5解析等数列性质知 2
15243a a a a a 15 4aa 3 2a
12345 32a a a a a 2122232425log+log+log+log+logaaaaa
2123452log()log325aaaaa ．
22．50解析  na 等数列∴ 1201011912aaaaaa 5
1291110 2eaaaa +
∴ 5
1 2 0a a e ∴ 1220lnlnlnaaa+++ 10
1220120ln()ln()aaaaa 50．
23．4解析 设等数列 }{ na 公 q 0q  ． 864 2a a a+
42
444 2a q a q a+解 2 2q （负值舍） 2 1a 4
624a a q ．
24．15解析 1234 1248aaaa−− ∴ 1234||||aaaa+++ 15．
25． 12 2 2n + − 解析 35aa+ ()24q a a + 2q ()()3
2 4 1a a a q q+ + 20
1 2a ∴ () 1212
2212
n
n
nS +−
− −
．
26．12解析设正项等数列 }{ na 首项 1a 公 q：



+

3)1(
2
1
51
41
qqa
qa
： 1a ＝ 1
32
q＝2 62 n
na − ．记 521 2
12 −+++
n
nn aaaT 
2
)1(
21 2
nn
nn aaa
−
  ． nnT  2
)1(
5 22
12 nnn −
−
化简：
5
2
11
2
1 2
212 +−
− nnn 52
11
2
1 2 +− nnn 时 122
12113 +n ．
n＝12 时 1212 T n＝13 时 1313 T max 12n ．
27．11解析 2120n n na a a+++ − 2 20n n na q a q a+ −
1 1a 知 01naq求公 2q − 5S 11．
28．2解析 22
21
12( )5 2(1 )52(1 )5 2 2n n n n naa a aqaq qqqq+++  +  + 解
数列递增数列 1 0 1 2a q q   ． 29． 3
2
解析题意
2
1
1 2
1 1 1
4 4 3
31 1 1 1
1
(1 ) 32 2 3 2 2 01
(1 ) 2 3 2 2 0321
aq aq a q a q a qq
a q a q a q a qaqq
 − +  − + + − −− − + + −  + −

两式相减 423
111122330a qa qa qa q−−+ 42322330qqqq−−+
解 1q  （舍） 0q 3
2q 0q  ．
30．2 1 12 2
n − − 解析 3
41a a q 314 2 q 解 2q
1
12
1 (1 2 ) 12 21 2 2
n
n
na a a −
−
+ ++ −−
．
31．解析(1)设 {}na 公 q 题设 1n
naq− ．
已知 424qq 解 0q （舍） 2q − 2q ．
1( 2 ) n
na −− 12 n
na − ．
(2) 1(2)
3
n
nS −− ． 63mS (2)188m−− 方程没正整
数解．
21n
nS −． 2 64m 解 6m ．
综 ．
32．解析(Ⅰ)设数列 {}nx 公 q 已知 0q  ．
题意 11
2
11
3
2
x x q
x q x q
+
 −
23520qq−−
0q  121qx
数列 通项公式 12n
nx −
（Ⅱ） 1 2 3PPP… 1nP + x 轴作垂线垂足分 123QQQ… 1nQ +
(Ⅰ) 11
1 2 2 2 n n n
nnxx −−
+ − −
记梯形 11n n n nPPQQ++ 面积 nb ． 题意 12(1) 2(21)22
nn
n
nnbn−−+++
123nT b b b + + + …+ nb
101325272−+++ …+ 32(21)2(21)2nnnn−−−++ ①
0122325272nT +++ …+ 21(21)2(21)2nnnn−−−++ ②
① − ②
121132(222)(21)2 nn
nTn−−−−++++−+

1
132(12) (21)2212
n
nn
−
−−+−+ −
(21)21 2
n
n
nT −+
33．解析（Ⅰ）题意 111 1 aSa + 1
− 1
1
1a 01 a
nn aS +1 11 1 ++ + nn aS  nnn aaa  − ++ 11 nn aa  −+ )1(1 ．
0 1  0na
1
1
−+


n
n
a
a
}{ na 首项
−1
1 公
1−
 等数列 1)1(1
1 −
−− n
na 


．
（Ⅱ）（Ⅰ） n
nS)1(1 −− 

32
31
5 S
32
31)1(1 5 −− 

−
5)1(

32
1 解 1 − ．
34．解析（I） 1 31nnaa+ + 1
113()22nnaa+ ++ ．
1
13
22a + 1
2na+
首项 3
2
公 3 等数列．
13
22
n
na +  na 通项公式 31
2
n
na − ．
（Ⅱ）（I）知 12
31n
na −
1n  时 13 1 2 3nn−−   1
11
3 1 2 3nn−−
． 1
12
1 1 1 1 1 3 1 3 1 (1 )3 3 2 3 2nn
na a a −+ + +  + + + −  ．

12
1113 2naaa+++ ．
35．解析(Ⅰ)设 {}na 公 q 题意 1
4
1
3
81
aq
aq

 
解 1 1
3
a
q

 

13n
na −
（Ⅱ） 3log 1nnb a n − ∴数列{}nb 前 n 项
2
1()
22
n
n
n b b nnS + −
36．解析（Ⅰ）
23
2n
nnS − 1a 1 1S 2n  时 1 32nnnaSSn −−−
1n 时数列 na 通项公式 3 2 nan−
（Ⅱ） mn aaa 1 成等数列需 2
1nma a a
22(32)1(32)342nmmnn−−−+ 时  Nm mn
意 1n 成等数列
37．解析题意知 21
213
2
43
aa
aaa
−
 +
11
2
111
2
43+
a qa
a qaa q
−
 

解 11
3
a
q

 
1331
132
nn
nS −−−
．
1 1a 3q 31
2
n
nS − ．
38． 解析(Ⅰ)设等数列 na 公 q 22 S− 3S 44 S 成等差数列
3 2 4 324SSSS+ − 4 3 2 4SSSS− − 432aa−
4
3
1
2
aq a − ． 1
3
2a 等数列 通项公式
1
13 1 3( 1)2 2 2
n
n
n na
−
−  − − 
． (Ⅱ) 11 2
n
nS  − − 

122 (21)111 1 12 11 2 (21)2
n nn
n n
n
nn
n
SS
 + ++−−+  −− −
奇数
2+n 偶数

n 奇数时 1
n
n
SS+ n 增减 1
1
1113
6n
n
SSSS++ ．
偶数时 增减 2
2
1125
12n
n
SSSS++ ．
*nN 1 13
6n
n
SS+．
39． 解析（Ⅰ）设数列  na 公 q 2
326 9a a a 32
349aa 2 1
9q ．
条件知 0c  1
3q ．
12231aa+ 12231aaq+ 1
1
3a ．
数列 通项式 na 1
3n ．
（Ⅱ ） 31323nlogloglognbaaa+++
(12)
(1)
2
n
nn
−+++
+−
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n − − −++
12
1 111 1 11 122((1 ) () ())2 2 311n
n
b bbn nn+ ++ − − + −++ −−++
数列 1{}
nb
前 n 项 2
1
n
n− +
．
40．解析（Ⅰ）设{}na 公 q
22
1 2 31 2 2 2 3 3b a b aq q b aq q+ ++ + + 1 2 3b b b 成等数列 22(2)2(3)qq++
2
124202222qqqq−++− 解
{}na 通项公式 11(22)(22)nn
nnaa−−+−
（Ⅱ ）设 {}na 公 q 22(2)(1)(3)aqaaq+++
2 4310(*)aqaqa−+−
20440aaa+ 方程（*）两实根
{}na 唯知方程（*）必根 0代入（*） 1 3a
41． 解析（Ⅰ）设 221 +nlll  构成等数列中 10 01 21 +ntt
2121 ++  nnn ttttT  ①
1221 ttttT nnn  ++  ②
①×②利 )21(102
2131 + +−+ nitttt nin
12lg10)()()()()2(2
12211221
2 + +
++++ nnTattttttttT nn
n
nnnnn 
（Ⅱ）题意（Ⅰ）中计算结果知 1)3tan()2tan( ++ nnnbn
方面利 tan)1tan(1
tan)1tan())1tan((1tan kk
kkkk ++
−+−+
11tan
tan)1tan(tan)1tan( −−++ kkkk

+

+
2
31
tan)1tan(
n
k
n
k
kn kkbS
1tan
3tan)3tan(
)11tan
tan)1tan((
2
3
nn
kkn
k
−−+
−−+ 
+



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