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第2章解析函数PPT
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1. 第2章 解析函数2.1 复变函数的导数与微分 1
2. 1、 复变函数的导数 定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义,当变量 在点 处取得增量 时,相应地,函数 取得增量 若极限 (或 ) (2.1) 存在,则称 在点 处可导,2
3. 此极限值称为 在点 处的导数,记作 或 ,即 如果函数 在区域 内每一点都可导,则称 在 内可导. 3
4. 例1 求函数 的导数( 为正整数).解 因为所以,由导数定义有4
5. 例2 求 的导数.解 由例1可知,例3 问 是否可导?解 这里,5
6. 设 沿着平行于 轴的直线趋向于 , 因而 ,这时极限 设 沿着平行于 轴的直线趋向于 , 因而 ,这时极限 所以 的导数不存在.6
7. 2、 可导与连续的关系若函数 在点 处可导,则 在点 处必连续.证 因为知 ,故 在点 处连续.7
8. 反之,函数 在 连续却未必在 可导,例如,例3中的函数 在复平面内处处连续却处处不可导. 3、 复变函数的微分 定义2 称函数 的改变量 的线性部分 为函数 在点 处的微分,记作 或 ,即 8
9. 4、 导数运算法则 复变函数的求导法则(以下出现的函数均假设可导): (1) 其中 为复常数; (2) 其中 为正整数; (3) ; (4) (5) ;9
10. (6) ; (7) 是两个互为反函数的单值函数,且 ..10
11. 例3 求下列函数的导数.(1) (2)解 (1) (2) 11
12. 例4 设 .解 因为所以12
13. 2.2 解析函数2.2.1 解析函数的定义及其性质1. 解析函数的定义定义3 如果函数 不仅在点 处可导,而且在点 的某邻域内的每一点都可导,则称 在点 处解析,并称点 是函数的解析点;如果函数 在区域 内每一点都解析,则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数,区域 称为 的解析区域.区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数。13
14. 如果 在点 处不解析,但在 的任一邻 域内总有 的解析点,则称 为 的奇点.例1 讨论函数 的解析性.解 由例2知, 在整个复平面内处处 可导且 ,则由函数在某区域内解析的定义可知,函数 在整个复平面上解析.例如, 在复平面上以 为奇点。14
15. 2. 解析函数的运算性质: (1)若函数 和 在区域 内解析, 则 、 、 在 内也解析; (2)若函数 在区域 内解析,而 在区域 内解析,且 ,则复合函数 在 内也解析,且..15
16. 2.2.2 可导的必要条件 上面我们判断函数是否可导时使用了定义式,但这样不仅麻烦,甚至对某些函数判断起来会十分困难。能否有更为简单的办法判断一个函数是否可导呢?按照逻辑思维习惯,判断不可导可能会容易一些,(正如判断级数是否收敛,只需使用收敛的必要条件即可),基于这样的思想,我们首先讨论函数可导的必要条件。16
17. 1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件17
18. (1)沿平行于实轴的方向趋于零 ( ) 18
19. (2)沿平行于虚轴的方向趋于零( )两者应该相等,故有19
20. 即 (2.1.7) 可以简写为 即为下述定理 定理2.1.1 若函数 于点 可导, 则在点 必有 (2.1.8) 方程(2.1.8)叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)-黎曼(Riemann)方程,或柯西-黎曼条件(简称为C-R条件). 20
21. 21
22. 2.柯西—黎曼条件的应用 例2.1.3 讨论函数 在复平面上的可导性。 【解】 注意到 ,判断 C-R条件是否成立 即 ,显然在复平面处处不满足C-R条件,故原函数在复平面处处不可导。 说明:上述例题告诉我们,用C-R条件来判断函数不可导是方便的.但当满足C-R条件时,函数就一定可导吗? 22
23. 23
24. 根据函数可导的定义式有 当 ,(且使得 ),那么当 沿射线 趋于0时,上式比值为 ,显然不同的趋向得到不同的值,故原函数在 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件,仍然可能不可导.那么C-R条件还需加上什么条件才能保证函数可导呢?因此需要讨论可导的充分必要条件. 24
25. 2.2.2函数解析的充要条件 定理1 设函数 在区域 内有定义,则 在 内一点 可导的充分必要条件为 在点 处 (1)可微; (2)满足 上式称为柯西—黎曼(Cauchy-Riemann)条件(或方程),简称C—R条件(或方程). 25
26. 26
27. 27
28. 28
29. 29
30. 30
31. 定理2 函数 在区域 内解析的充要条件为 (1) 在 内可微; (2) 在 内满足C—R方程 。定理3 函数 在区域 内解析的充分条件为 (1) 在 内连续; (2) 在 内满足C—R方程。31
32. 例2 讨论函数 的可导性,并求其导数.解 由得则显然,在复平面内 和 的偏导 数处处连续,32
33. 且即 和 处处满足C—R条件且处处 可微,所以, 在复平面内处处可导 且33
34. 例3 讨论函数 的可导性.解 因为得显然, 、 处处具有一阶连续偏导数,但仅当 时, 、 满足C—R条件.因此, 仅在点 处可导.34
35. 例4 证明 在复平面上不可微.证 由于 ,于是,从而显然,对复平面上任意一点 , 都不满足 C—R条件,所以 在整个复平面上 不可微.35
36. 例5 讨论下列函数的解析性. (1) ; (2) ;(3) .解 (1)设因为且这四个偏导数处处连续,故在复平面上处处解析.36
37. (2)因为 ,设 ,而所以 在复平面上处处不解析.(3) 因为设 ,由于37
38. 这四个偏导数虽然处处连续,但C—R条 件仅在原点处成立,因而函数 在复平面内的原点处可导,其它点不可导, 可知该函数在复平面上处处不解析.38
39. 2.3 初等函数39
40. 40
41. 2.3.1 指数函数1.定义: 复变量的指数函数定义为2.性质:(1)指数函数 在整个 的有限平面内都有定 义,且处处不为零.(2)(3)指数函数是以 为周期的周期函数.(4)指数函数 在整个复平面上解析,且有41
42. (5) ;(6)因 ,从而(7)虽然在 平面上, 但 ,即不满足罗尔定理。(8)例 2.3.1 证明:对任意的复数 ,若 , 则必有 。42
43. 2.3.2 对数函数 定义5 对数函数定义为指数函数的反函数. 若 ,则称 是 的对数函数,记作 . 令 , ,则有 显然,对数函数是一个多值函数,每一个 对应着多个 的值. 若令 ,则上式中的多值函数便成为了单值函数,则称这个单值函数为多值函数 的主值,记作 ,即.43
44. 例1 求 .解 因为 的模为 ,其辐角的主值为 ,所以而又因为 的模为 ,而其辐角的主值为 ,所以44
45. 复变量对数函数具有与实变量对数函数类似 的基本性质: (1) (2) (3) (4) ; 45
46. 注意: 等式(4)的成立应该理解为 (i) 两端可能取值的全体集合是相等的(即模相等且辐角对应的集合是相等的); (ii) 当等式左端的对数取某一分支的值时,等式右端的对数必有某一分支(可能是另一分支)的值与之对应相等.而对于某一指定的分支上述等式未必成立; (iii) 对于下列等式不再成立,即 不再成立,其中整数46
47. 47
48. 48
49. 例3 取 , 在对数主值 分支中验证上述(1)是否成立? (对应于(ii)的说明) 【解】在主值分支中 但是显然对于指定的分支 。.49
50. 对数函数的解析性 可以证明 在除去原点与负实轴的 平面内解析,所以 的各个分支也在除去原 点与负实轴的 平面内解析(因 的每一 个单值连续分支与 只相差一个复常数),且 50
51. 2.3.3 幂函数 定义6 设 为任意复常数,定义一般幂函数为 它是指数与对数函数的复合函数,是多值函数(因 是 多值的). 幂函数的几种特殊情形: (1)当 为整数时, , 是与 无关的单值函数( ( 为正整数)时, 为 的 次乘方,当 ( 为正整数)时, ); );51
52. (2)当 为有理数 时(为既约分数, ) 只有 个不同的值,即当 取 时的对应值, 因此,.52
53. (3)当 为无理数或复数时, 有无穷多个值. 此时的 与根式函数 的区别是: 是无穷多值函数,而 是 值函数. 幂函数 的解析性: (1)当 ( 为正整数)时, 在整个复平面内单值解析,且 ;53
54. (2)当 ( 为正整数)时, 在除原点的复平面内解析,且 (3)当 ( 为整数)、无理数或复数时,由于对数函数 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,因而 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的,且 .54
55. 例1 求 解:55
56. .即56
57. 2.3.4 三角函数 定义7 设 为任一复变量,称 与 分别为复变量 的正弦函 数与余弦函数,分别记为 与 ,即 正弦函数与余弦函数的性质: (1) 与 都是以 为周期的周期函数,即 , 57
58. (2) 为奇函数, 为偶函数,即对任意的 有 (3)实变函数中的三角恒等式,在复变函数 中依然成立,如 58
59. (4) 在复数范围内不再成立. 如:取 ,则有 可见,当 无限增大时, 趋于无穷 大. (5) 的零点(即 的根)为 的零点为59
60. (6) , 在复平面内均为解析函数,且 其它四个三角函数,利用 和 来定义 60
61. 例1 求解: 根据定义,有61
62. 2.3.5 反三角函数 定义8 如果 , 则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数,分别记为 反三角函数与对数函数之间的关系: (1) (2) (3) 62
63. 证(2):类似可得(1)、(3)。63
64. 例1解64
65. 解例265
66. 2.3.6 双曲函数 定义 , , 分别称为双曲余弦、正弦和正切函数. 显然, 和 都是以 为周期的周期函数. 为偶函数, 为奇函数. 而且它们都是复平面内的解析函数,导数分别为: 66
67. 相关公式:67
68. 2.3.7 反双曲函数 反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切: 68
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