难点36 函数方程思想
函数方程思想重种数学思想高考中占重较综合知识题型应技巧函数思想简单研究问题助建立函数关系式构造中间函数结合初等函数图象性质加分析转化解决关求值解（证）等式解方程讨参数取值范围等问题方程思想问题中数量关系运数学语言转化方程模型加解决
●难点磁场
1（★★★★★）关x等式2·32x–3x+a2–a–3＞00≤x≤1时恒成立实数a取值范围
2（★★★★★）函数f(x)存x0∈Rf(x0)x0成立称x0f(x)动点已知函数f(x)ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）a1b–2时求f(x)动点
（2）意实数b函数f(x)恒两相异动点求a取值范围
（3）（2）条件yf(x)图象AB两点横坐标函数f(x)动点AB关直线ykx+称求b值
●案例探究
［例1］已知函数f(x)logm
(1)f(x)定义域［αβ］（β＞α＞0）判断f(x)定义域增减性加说明
(2)0＜m＜1时f(x)值域［logm［m(β–1)］logm［m(α–1)］］定义域区间［αβ］(β＞α＞0)否存？请说明理
命题意图：题重考查函数性质方程思想应属★★★★级题目
知识托：函数单调性定义判断法单调性应方程根分布解等式组
错解分析：第(1)问中考生易忽视α＞3关键隐性条件第(2)问中转化出方程认清根实质特点两3根
技巧方法：题巧巧采等价转化方法助函数方程思想巧妙解题
解：（1）x＜–3x＞3
∵f(x)定义域［αβ］∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α
0＜m＜1时f(x)减函数m＞1时f(x)增函数
（2）f(x)［αβ］值域［logmm(β–1)logmm(α–1)］
∵0＜m＜1 f(x)减函数
∴
αβ方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)03两根
∴ ∴0＜m＜
0＜m＜时满足题意条件m存
［例2］已知函数f(x)x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)tanAtanB方程f(x)+40两实根AB锐角三角形ABC两角求证：m≥5
(2)意实数α恒f(2+cosα)≤0证明m≥3
(3)(2)条件函数f(sinα)值8求m
命题意图：题考查函数方程三角函数相互应等式法求参数范围属
★★★★★级题目
知识托：元二次方程韦达定理特定区间正负号充条件三角函数公式
错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0tan(A+B)＜0第(2)问中保证f(x)［13］恒等零关键
技巧方法：深挖题意做题意条件明确隐性条件注意列列式周遗漏
（1）证明：f(x)+40x2–(m+1)x+m+40题意：
AB锐角三角形两角
∴＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0
∴∴m≥5
(2)证明：∵f(x)(x–1)(x–m)
–1≤cosα≤1∴1≤2+cosα≤3恒f(2+cosα)≤0
1≤x≤3时恒f(x)≤0(x–1)(x–m)≤0
∴m≥xxmax3∴m≥xmax3
(3)解：∵f(sinα)sin2α–(m+1)sinα+m
≥2∴sinα–1时f(sinα)值8
1+(m+1)+m8∴m3
●锦囊妙计
函数方程思想重种数学思想注意函数方程等式间相互联系转化考生应做：
（1）深刻理解般函数yf(x)yf–1(x)性质（单调性奇偶性周期性值图象变换）熟练掌握基初等函数性质应函数思想解题基础
（2）密切注意三二次相关问题三二次元二次函数元二次方程元二次等式中学数学重容具丰富涵密切联系掌握二次函数基性质二次方程实根分布条件二次等式转化策略
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★★）已知函数f(x)loga［–(2a)2］意x∈［+∞］意义实数a取值范围( )
A(0 B(0) C［1 D(）
2（★★★★★）函数f(x)定义域Rx≠1已知f(x+1)奇函数x＜1时f(x)2x2–x+1x＞1时f(x)递减区间( )
A［+∞ B(1 C［+∞ D(1］
二填空题
3（★★★★）关x方程lg(ax–1)–lg(x–3)1解a取值范围
4（★★★★★）果y1–sin2x–mcosx值–4m值
三解答题
5（★★★★）设集合A{x｜4x–2x+2+a0x∈R}
（1）A中仅元素求实数a取值集合B
（2）意a∈B等式x2–6x＜a(x–2)恒成立求x取值范围
6（★★★★）已知二次函数f(x)ax2+bx(ab常数a≠0)满足条件f(x–1)f(3–x)方程f(x)2x等根
（1）求f(x)解析式
（2）否存实数mn(m＜n＝f(x)定义域值域分［mn］［4m4n］果存求出mn值果存说明理
7（★★★★★）已知函数f(x)6x–6x2设函数g1(x)f(x) g2(x)f［g1(x)］ g3(x)f ［g2(x)］
…gn(x)f［gn–1(x)］…
（1）求证：果存实数x0满足g1(x0)x0切n∈Ngn(x0)x0成立
（2）实数x0满足gn(x0)x0称x0稳定动点试求出稳定动点
（3）设区间A（–∞0）意x∈Ag1(x)f(x)a＜0 g2(x)f［g1(x)］f(0)＜0
n≥2时gn(x)＜0试问否存区间B（A∩B≠）区间意实数xn≥2gn(x)＜0
8（★★★★）已知函数f(x) (a＞0x＞0)
（1）求证f(x)(0+∞)增函数
（2）f(x)≤2x(0+∞)恒成立求a取值范围
（3）f(x)［mn］值域［mn］(m≠n)求a取值范围
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：设t3xt∈［13］原等式化a2–a–3＞–2t2+tt∈［13］
等价a2–a–3f(t)–2t2+t［13］值
答案：(–∞–1)∪(2+∞)
2解：（1）a1b–2时f(x)x2–x–3题意知xx2–x–3x1–1x23
a1b–2时f(x)两动点–13
（2）∵f(x)ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒两动点
∴xax2+(b+1)x+(b–1)ax2+bx+(b–1)0恒两相异实根
∴Δb2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立
Δ′(4a)2–16a＜0解0＜a＜1
b∈Rf(x)恒两相异动点时0＜a＜1
（3）题意AB两点应直线yx设A(x1x1)B(x2x2)
∵AB关ykx+称
∴k–1设AB中点M(x′y′)
∵x1x2方程ax2+bx+(b–1)0两根
∴x′y′点M直线
∵a＞0∴2a+≥2仅2aa∈(01)时取等号
b≥–b值–
●歼灭难点训练
1解析：考查函数y1y2(2a)x图象显然0＜2a＜1题意a结合指数函数图象性质答案
答案：A
2解析：题意f(–x+1)–f(x+1)令t–x+1x1–tf(t)–f(2–t)f(x)–f(2–x)
x＞12–x＜1f(x)–f(2–x)–2(x–)2–递减区间［+∞)
答案：C
3解析：显然x＞3原方程化
(10–a)·x29必10–a＞0a＜10
x＞3a＞
答案：＜a＜10
4解析：原式化
＜–1ymin1+m–4m–5
–1≤≤1ymin–4m±4符
＞1ymin1–m–4m5
答案：±5
二5解：(1)令2xt(t＞0)设f(t)t2–4t+a
f(t)0(0+∞)仅根两相等实根
①f(t)0两等根时Δ016–4a0a4
验证：t2–4t+40t2∈(0+∞)时x1
②f(t)0正根负根时f(0)＜0a＜0
③f(0)0a0时4x–4·2x02x0（舍）2x4∴x2A中元素
综述a≤0a4B{a｜a≤0a4}
（2）原等式意a∈(–∞0］∪｛4｝恒成立g(a)(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立须
＜x≤2
6解：（1）∵方程ax2+bx2x等根∴Δ(b–2)20b2
f(x–1)f(3–x)知函数图象称轴方程x–1a–1f(x)–x2+2x
（2）f(x)–(x–1)2+1≤1∴4n≤1n≤
抛物线y–x2+2x称轴x1
∴n≤时f(x)［mn］增函数
满足题设条件mn存
m＜n≤∴m–2n0时定义域［–20］值域［–80］
知满足条件mn存m–2n0
7(1)证明：n1时g1(x0)x0显然成立
设nk时gk(x0)x0(k∈N)成立
gk+1(x0)f［gk(x0)］f(x0)g1(x0)x0
nk+1时命题成立
∴切n∈Ng1(x0)x0gn(x0)x0
（2）解：（1）知稳定动点x0需满足f(x0)x0
f(x0)x06x0–6x02x0∴x00x0
∴稳定动点0
(3)解：∵f(x)＜06x–6x2＜0x＜0x＞1
∴gn(x)＜0f［gn–1(x)］＜0gn–1(x)＜0gn–1(x)＞1
切n∈Nn≥2gn(x)＜0必须g1(x)＜0g1(x)＞1
g1(x)＜06x–6x2＜0x＜0x＞1
g1(x)＞06x–6x2＞1
区间()(1+∞)意实数xn≥2n∈Ngn(x)＜0
8(1)证明：取x1＞x2＞0f(x1)–f(x2)
∵x1＞x2＞0∴x1x2＞0x1–x2＞0
∴f(x1)–f(x2)＞0f(x1)＞f(x2)f(x)(0+∞)增函数
（2）解：∵≤2x(0+∞)恒成立a＞0
∴a≥（0+∞）恒成立令（仅2xx时取等号）a≥(0+∞)恒成立a≥a取值范
围［+∞)
(3)解：（1）f(x)定义域增函数
∴mf(m)nf(n)m2–m+10n2–n+10
方程x2–x+10两相等正根mn注意m·n1需Δ()2–4＞0a＞00＜a＜
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函数方程思想重种数学思想高考中占重较综合知识题型应技巧函数思想简单研究问题助建立函数关系式构造中间函数结合初等函数图象性质加分析转化解决关求值解（证）等式解方程讨参数取值范围等问题方程思想问题中数量关系运数学语言转化方程模型加解决
●难点磁场
1（★★★★★）关x等式2·32x–3x+a2–a–3＞00≤x≤1时恒成立实数a取值范围
2（★★★★★）函数f(x)存x0∈Rf(x0)x0成立称x0f(x)动点已知函数f(x)ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
（1）a1b–2时求f(x)动点
（2）意实数b函数f(x)恒两相异动点求a取值范围
（3）（2）条件yf(x)图象AB两点横坐标函数f(x)动点AB关直线ykx+称求b值
●案例探究
［例1］已知函数f(x)logm
(1)f(x)定义域［αβ］（β＞α＞0）判断f(x)定义域增减性加说明
(2)0＜m＜1时f(x)值域［logm［m(β–1)］logm［m(α–1)］］定义域区间［αβ］(β＞α＞0)否存？请说明理
命题意图：题重考查函数性质方程思想应属★★★★级题目
知识托：函数单调性定义判断法单调性应方程根分布解等式组
错解分析：第(1)问中考生易忽视α＞3关键隐性条件第(2)问中转化出方程认清根实质特点两3根
技巧方法：题巧巧采等价转化方法助函数方程思想巧妙解题
解：（1）x＜–3x＞3
∵f(x)定义域［αβ］∴α＞3
设β≥x1＞x2≥α
0＜m＜1时f(x)减函数m＞1时f(x)增函数
（2）f(x)［αβ］值域［logmm(β–1)logmm(α–1)］
∵0＜m＜1 f(x)减函数
∴
αβ方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)03两根
∴ ∴0＜m＜
0＜m＜时满足题意条件m存
［例2］已知函数f(x)x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)tanAtanB方程f(x)+40两实根AB锐角三角形ABC两角求证：m≥5
(2)意实数α恒f(2+cosα)≤0证明m≥3
(3)(2)条件函数f(sinα)值8求m
命题意图：题考查函数方程三角函数相互应等式法求参数范围属
★★★★★级题目
知识托：元二次方程韦达定理特定区间正负号充条件三角函数公式
错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0tan(A+B)＜0第(2)问中保证f(x)［13］恒等零关键
技巧方法：深挖题意做题意条件明确隐性条件注意列列式周遗漏
（1）证明：f(x)+40x2–(m+1)x+m+40题意：
AB锐角三角形两角
∴＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0
∴∴m≥5
(2)证明：∵f(x)(x–1)(x–m)
–1≤cosα≤1∴1≤2+cosα≤3恒f(2+cosα)≤0
1≤x≤3时恒f(x)≤0(x–1)(x–m)≤0
∴m≥xxmax3∴m≥xmax3
(3)解：∵f(sinα)sin2α–(m+1)sinα+m
≥2∴sinα–1时f(sinα)值8
1+(m+1)+m8∴m3
●锦囊妙计
函数方程思想重种数学思想注意函数方程等式间相互联系转化考生应做：
（1）深刻理解般函数yf(x)yf–1(x)性质（单调性奇偶性周期性值图象变换）熟练掌握基初等函数性质应函数思想解题基础
（2）密切注意三二次相关问题三二次元二次函数元二次方程元二次等式中学数学重容具丰富涵密切联系掌握二次函数基性质二次方程实根分布条件二次等式转化策略
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★★）已知函数f(x)loga［–(2a)2］意x∈［+∞］意义实数a取值范围( )
A(0 B(0) C［1 D(）
2（★★★★★）函数f(x)定义域Rx≠1已知f(x+1)奇函数x＜1时f(x)2x2–x+1x＞1时f(x)递减区间( )
A［+∞ B(1 C［+∞ D(1］
二填空题
3（★★★★）关x方程lg(ax–1)–lg(x–3)1解a取值范围
4（★★★★★）果y1–sin2x–mcosx值–4m值
三解答题
5（★★★★）设集合A{x｜4x–2x+2+a0x∈R}
（1）A中仅元素求实数a取值集合B
（2）意a∈B等式x2–6x＜a(x–2)恒成立求x取值范围
6（★★★★）已知二次函数f(x)ax2+bx(ab常数a≠0)满足条件f(x–1)f(3–x)方程f(x)2x等根
（1）求f(x)解析式
（2）否存实数mn(m＜n＝f(x)定义域值域分［mn］［4m4n］果存求出mn值果存说明理
7（★★★★★）已知函数f(x)6x–6x2设函数g1(x)f(x) g2(x)f［g1(x)］ g3(x)f ［g2(x)］
…gn(x)f［gn–1(x)］…
（1）求证：果存实数x0满足g1(x0)x0切n∈Ngn(x0)x0成立
（2）实数x0满足gn(x0)x0称x0稳定动点试求出稳定动点
（3）设区间A（–∞0）意x∈Ag1(x)f(x)a＜0 g2(x)f［g1(x)］f(0)＜0
n≥2时gn(x)＜0试问否存区间B（A∩B≠）区间意实数xn≥2gn(x)＜0
8（★★★★）已知函数f(x) (a＞0x＞0)
（1）求证f(x)(0+∞)增函数
（2）f(x)≤2x(0+∞)恒成立求a取值范围
（3）f(x)［mn］值域［mn］(m≠n)求a取值范围
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：设t3xt∈［13］原等式化a2–a–3＞–2t2+tt∈［13］
等价a2–a–3f(t)–2t2+t［13］值
答案：(–∞–1)∪(2+∞)
2解：（1）a1b–2时f(x)x2–x–3题意知xx2–x–3x1–1x23
a1b–2时f(x)两动点–13
（2）∵f(x)ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒两动点
∴xax2+(b+1)x+(b–1)ax2+bx+(b–1)0恒两相异实根
∴Δb2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立
Δ′(4a)2–16a＜0解0＜a＜1
b∈Rf(x)恒两相异动点时0＜a＜1
（3）题意AB两点应直线yx设A(x1x1)B(x2x2)
∵AB关ykx+称
∴k–1设AB中点M(x′y′)
∵x1x2方程ax2+bx+(b–1)0两根
∴x′y′点M直线
∵a＞0∴2a+≥2仅2aa∈(01)时取等号
b≥–b值–
●歼灭难点训练
1解析：考查函数y1y2(2a)x图象显然0＜2a＜1题意a结合指数函数图象性质答案
答案：A
2解析：题意f(–x+1)–f(x+1)令t–x+1x1–tf(t)–f(2–t)f(x)–f(2–x)
x＞12–x＜1f(x)–f(2–x)–2(x–)2–递减区间［+∞)
答案：C
3解析：显然x＞3原方程化
(10–a)·x29必10–a＞0a＜10
x＞3a＞
答案：＜a＜10
4解析：原式化
＜–1ymin1+m–4m–5
–1≤≤1ymin–4m±4符
＞1ymin1–m–4m5
答案：±5
二5解：(1)令2xt(t＞0)设f(t)t2–4t+a
f(t)0(0+∞)仅根两相等实根
①f(t)0两等根时Δ016–4a0a4
验证：t2–4t+40t2∈(0+∞)时x1
②f(t)0正根负根时f(0)＜0a＜0
③f(0)0a0时4x–4·2x02x0（舍）2x4∴x2A中元素
综述a≤0a4B{a｜a≤0a4}
（2）原等式意a∈(–∞0］∪｛4｝恒成立g(a)(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立须
＜x≤2
6解：（1）∵方程ax2+bx2x等根∴Δ(b–2)20b2
f(x–1)f(3–x)知函数图象称轴方程x–1a–1f(x)–x2+2x
（2）f(x)–(x–1)2+1≤1∴4n≤1n≤
抛物线y–x2+2x称轴x1
∴n≤时f(x)［mn］增函数
满足题设条件mn存
m＜n≤∴m–2n0时定义域［–20］值域［–80］
知满足条件mn存m–2n0
7(1)证明：n1时g1(x0)x0显然成立
设nk时gk(x0)x0(k∈N)成立
gk+1(x0)f［gk(x0)］f(x0)g1(x0)x0
nk+1时命题成立
∴切n∈Ng1(x0)x0gn(x0)x0
（2）解：（1）知稳定动点x0需满足f(x0)x0
f(x0)x06x0–6x02x0∴x00x0
∴稳定动点0
(3)解：∵f(x)＜06x–6x2＜0x＜0x＞1
∴gn(x)＜0f［gn–1(x)］＜0gn–1(x)＜0gn–1(x)＞1
切n∈Nn≥2gn(x)＜0必须g1(x)＜0g1(x)＞1
g1(x)＜06x–6x2＜0x＜0x＞1
g1(x)＞06x–6x2＞1
区间()(1+∞)意实数xn≥2n∈Ngn(x)＜0
8(1)证明：取x1＞x2＞0f(x1)–f(x2)
∵x1＞x2＞0∴x1x2＞0x1–x2＞0
∴f(x1)–f(x2)＞0f(x1)＞f(x2)f(x)(0+∞)增函数
（2）解：∵≤2x(0+∞)恒成立a＞0
∴a≥（0+∞）恒成立令（仅2xx时取等号）a≥(0+∞)恒成立a≥a取值范
围［+∞)
(3)解：（1）f(x)定义域增函数
∴mf(m)nf(n)m2–m+10n2–n+10
方程x2–x+10两相等正根mn注意m·n1需Δ()2–4＞0a＞00＜a＜
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