1/59 与圆有关的计算与圆有关的计算与圆有关的计算与圆有关的计算 一、 弧长计算 二、 扇形面积 三、 圆锥侧面积 四、 正多边形和圆的问题 一、 弧长计算 1. 【易】（菏泽市 2013 年初中学业水平考试）在半径为 5 的半圆中，30 ° 的圆心角所对 弧的弧长为 ______．（结果保留 π ）． 【答案】 5π 6 2. 【易】（延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷）已知扇形的圆心角为 60 ° ，半径为 6， 则扇形的弧长为（ ） A． 6π B． 4π C．3π D． 2π 【答案】D 3. 【易】（长沙市初中毕业试卷）如图，已知 O⊙ 的半径 6OA = ， 90AOB∠ = ° ，则 AOB∠ 所对的 AB 的长为（ ） A． 2π B．3π C． 6π D． 2π 1 【答案】B 4. 【易】（2011• 宜昌）按图 1 的方法把圆锥的侧面展开，得到图 2，其半径 3OA = ，圆 心角 120AOB∠ = ° ，则 AB 的长为（ ） A． π B． 2π C．3π D． 4π 【答案】B 5. 【易】（2012 平谷一模、河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如 图，在⊙O 中， 60AOB∠ = ， 3cmAB = ，则劣弧 AB 的长为 ________cm ． 图2 120° O BA O B A 2/59 【答案】 π 6. 【易】（2010• 广州，2010 年丰台二模）一个扇形的圆心角为 90 ° ，半径为 2，则这个 扇形的弧长为 ________．（结果保留 π ） 【答案】 π 90 π 2 π 180 180 n rl ×= = = ． 7. 【易】（2011 东城二模）一个扇形的圆心角为 120 ° ，半径为 1，则这个扇形的弧长为 ________． 【答案】 2 π 3 8. 【易】（山东德城初中毕业考试）在半径为 18 的圆中，120 ° 的圆心角所对的弧长是 ________． 【答案】12 π 9. 【易】（2013 年大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧初中学业数学水 平考试）已知扇形的面积为 ，半径为 3，则该扇形的弧长为 ________（结果保留 ） 【答案】 4 π 3 10. 【易】（南充市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）点 A B C，， 是半径为 15cm 的圆上三点， 36BAC =∠ °，则 BC 的长为 _____cm. 【答案】6π 11. 【易】（济宁市 2013 年高中阶段学校招生考试）如图， ABC△ 和 A B C′ ′△ 是两个完 全重合的直角三角板， 30B∠ = ° ，斜边长为 10cm ．三角板 A B C′ ′ 绕直角顶点 C 顺时 针旋转，当点 A′ 落在 AB 边上时，CA′ 旋转所构成的扇形的弧长为 ________ cm ． 【答案】 5 π 3 12. 【易】（湖北省宜昌市初中毕业生学业考试）如图，艳军中学学术报告厅门的上沿是 圆弧形，这条弧所在圆的半径为 1.8 米，所对的圆心角为 100 ° ，则弧长是 ________ 米．（ π 3≈ ） BA O 2π π3/59 【答案】3 13. 【易】如图，△ ABC 内接于⊙ ，若⊙ 的半径为 6， ,则 BC 的长为 _____________. 【答案】 4π 14. 【易】（2013 年遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷）如图，将边长 1cm 的等边三 角形 ABC 沿直线 l 向右翻动（不滑动），点 B 从开始到结束，所经过的长度为（ ） A． 3 πcm 2 B． 22 π cm3  +   C． 4 πcm 3 D．3cm 【答案】C 15. 【易】（2013 年四川省宜宾市中考数学试卷）如图， ABC△ 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A B C、 、 ， 如果 1AB = ，那么曲线 CDEF 的长是 _______. 【答案】 4π 16. 【易】（2013 年安徽省芜湖市中考试卷）如图，将边长为 2 cm 的正方形 ABCD 沿直 线 l 向左翻转（不滑动），当正方形连续翻动 8 次后，正方形的中心 O 经过的路线长 是（ ）cm ． A．8 2 B．8 C．3π D． 4π O O °=∠ 60A O C B A l(A) (C) (B) (B) CB A4/59 【答案】D 17. 【中】（2013 年玉林市防城港市初中毕业数学暨升学考试）如图，实线部分是半径为 15m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池 的周长是 __________ m ． 【答案】 40 π 18. 【中】（延庆县 2011-2012 学年第一学期期末试卷）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 绕 点 A 旋转，当 B 、C 两点恰好落在扇形 AEF 的 EF 上时， BC 的长度等于（ ） A． π 6 B． π 4 C． π 3 D． π 2 【答案】C 19. 【中】（2011 年广州中考）如图， AB 切 O⊙ 于点 B ， 2 3OA = ， 3AB = ，弦 BC OA∥ ，则劣弧 BC 的弧长为（ ） A． 3 π 3 B． 3 π 2 C． π D． 3 π 2 【解析】连接 OB，OC， O1 O2 FE D CB A A BC O5/59 ∵ 2 3OA = ， 3AB = ， ∴ 3OB = ， 60BOA∠ = ° ， ∵ BC OA∥ ， ∴ 60CBO∠ = ° ∵ BOC△ 中，OB OC= ， ∴ BOC△ 是等边三角形， 60BOC∠ = ° ， BC 所对的圆心角为 60 °， ∴ BC = 圆周长 1 6 × 1 32 3 π π 6 3 = × = 【答案】A 20. 【中】（达州市 2013 年高中阶段教育学校招生数学统一考试）如图，一条公路的转变 处是一段圆弧（即图中弧 CD，点O是弧 CD 的圆心），其中 600CD = 米， E 为弧 CD 上一点，且OE CD⊥ ，垂足为 F ， 300 3OF = 米，则这段弯路的长度为（ ） A． 200 π 米 B．100 π 米 C． 400 π 米 D．300 π 米 【答案】A 21. 【中】已知：如图， P⊙ 与 x 轴切于点 O ，点 P 的坐标为 ( )1, 0 ，点 A 在 P⊙ 上，且 在第一象限， 150APO∠ = ° ， P⊙ 沿 x 轴正方向滚动，当点 A 第一次落在 轴上时， 点 P 的坐标为 ________（结果保留 π ）． 【答案】 5 π , 16      22. 【中】（密云县 2010 年初中毕业考试）已知正六边形的边长为 1cm ，分别以它的三个 不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 ________ cm （结果保留 π ）． O C B A x P A x y O6/59 【答案】 2π 23. 【中】（2011 湖南益阳中考）如图， AB 是 O⊙ 的切线，半径 2OA = ，OB 交 O⊙ 于 C ， 30B∠ = ° ，则劣弧 AC 的长是 ________．（结果保留 π ） 【答案】 2 π 3 24. 【中】（郑州市 2010 年数学模拟一）如图，已知扇形 OAB 中， 60AOB∠ °＝ ，弧 AB 长为 4π ， Q⊙ 和弧 AB、OA、OB 分别相切于点 C 、 D 、 E ，求 Q⊙ 的周长为 （ ） A． 4π B．8π C．12 π D．以上都不对 【答案】B 25. 【中】（2013 年恩施州初中毕业学业考试数学试题卷）如图所示，一半径为 1 的圆内 切于一个圆心角为 60 ° 的扇形，则扇形的周长为 _________． 【答案】6 π+ 26. 【中】（西安高新一中初一分班数学真卷）桌面上有一条长 80 厘米的线段，另外有直 径为 1 厘米、2 厘米、3 厘米、4 厘米、5 厘米、8 厘米的圆形纸片若干张，现在用这 些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，则这个周长总和是 ________ 厘米． Q ED C BA O B A O C 7/59 【解析】如图所示，所有小圆的周长之和与大圆的周长相等，所以此题不论使用直径 为几厘米的圆片几张，都与直径是 80cm 的大圆周长相等，因此这个周长总 和就是直径的 80cm 的圆的周长．3.14 80 251.2(cm)× = 【答案】 251.2 27. 【难】（怀柔一模）如图 1，是用边长为 2cm 的正方形和边长为 2cm 正三角形硬纸片 拼成的五边形 ABCDE，在桌面上由图 1 起始位置将图片沿直线 l 不滑行地翻滚，翻滚 一周后到图 2 的位置．则由点 A 到点 4A 所走路径的长度为（ ） A． 10 π 3 cm B． ( )8 3 2 π 3 + cm C．12 2 π 3 cm D．13 π 3 cm 【答案】B 28. 【难】（2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷）如图， A⊙ 与 B⊙ 外切于点 D ， PC， PD， PE 分别是圆的切线，C ， D ， E 是切点．若 CED x∠ = ° ， ECD y∠ = ° ， B⊙ 的半径为 R ，则 DE 的长度是（ ） A． ( )π 90 90 x R− B． ( )π 90 90 y R− C． ( )π 180 180 x R− D． ( )π 180 180 y R− 【答案】B 根据题意，由切线长定理可知： PC = PD = PE， 即点 C 、 D 、 E 在以 P 为圆心， PC 长为半径的⊙ P 上， 由圆周角定理得：∠ DPE =2 ∠ ECD = 2y ． 如图，连接 BD、 BE，则∠ BDP =∠ BEP =90° ， A B C D E A1 B1 D1 E1 A4 B4 C4 D4 E4 …… 图1 图2 P E D C B A8/59 在四边形 BDPE 中，∠ B +∠ BDP +∠ DPE +∠ BEP =360° ， 即：∠ B +90°+ 2y +90°=360° ， 解得：∠ B =180° 2y− ． DE∴ 的长度是： ( ) ( )180 2 π π 90 180 90 yR yR− −= ，故选 B. 29. 【易】（2011 罗湖区初三第二次联考）露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片 （如图），用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 1，扇形的圆心角等于 120 ° ，则此扇形的半径为（ ） A． 3 B． 6 C．3 D．6 【答案】C 30. 【易】（朝阳区 2011-2012 学年九年级第一学期期末统一考试）如图，在纸上剪下一 个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为 1，扇形 的圆心角等于 60 ° ，则这个扇形的半径 R 的值是 ________． 【答案】6 31. 【易】（2010 年北京二中分初三期中上）若一个扇形的面积是 12 π ，它的弧长是 4π ， 则它的半径是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 32. 【易】（2012 广东湛江中考）一个扇形的圆心角为 60 ° ，它所对的弧长为 2πcm ，则 这个扇形的半径为（ ） A． 6 cm B．12cm C． 2 3 cm D． 4 3 cm 【解析】由扇形的圆心角为 60 ° ，它所对的孤长为 2πcm ， 即 60n = ° ， 2πl = ， 根据弧长公式 π 180 n rl = ，得即 6 cmr = ． 【答案】A 33. 【易】（云南省高中招生统一考试数学试题卷）已知圆上一段弧长为 6π ，它所对的圆 心角为 120 ° ，则该圆的半径为 ________． 【答案】9 34. 【易】（东城二模）如图，扇形 OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边 长为 1，则这个圆锥的底面半径为（ ） 9/59 A． 1 2 B． 2 2 C． 2 D． 2 2 【答案】B 35. 【易】（密云二模）如图，现有一个圆心角为 90 ° ，半径为 8cm 的扇形纸片，用它恰 好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ） A． 4cm B．3cm C． 2cm D．1cm 【答案】C 36. 【易】（大连市 2013 年初中毕业升学考试数学）用一个圆心角为 90 ° ，半径为 32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为 _____ cm ． 【答案】8 37. 【易】（2011 福建三明市中考）用半径为 12cm ，圆心角为 90° 的扇形纸片，围成一个 圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（ ） A．1.5cm B．3cm C． 6 cm D．12cm 【答案】B 38. 【易】（首都师大附中 2013 学年第二学期期末初二数学考试）如图，把一个半径为 12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面 （衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 ______cm ． 【答案】 4 39. 【易】（荆门市 2013 年初中毕业生学业水平及升学考试数学试题卷）若圆锥的侧面展 开图为半圆，则该圆锥的母线 l 与底面半径 r 的关系是（ ） A． 2l r= B． 3l r= C．l r= D． 3 2 l r= 【答案】A 40. 【易】（北京市顺义区 2013 届初三第一次统一练习数学试卷）如图，扇形的半径为 6， 圆心角 为120 ° ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 ______． A B O θ 10 /59 【答案】2 41. 【易】（郑州四中 2010-2011 学年下期初三年级第五次月考）若用半径为 20cm ，圆心 角为 240 ° 的扇形铁皮，卷成一个圆锥容器的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥容器 的底面半径是 ________cm ． 【答案】 40 3 42. 【易】（石景山区 2011-2012 学年第一学期期末考试试卷）如图，有一边长为 4 的等 边三角形纸片，要从中剪出三个面积相等的扇形，那 么剪下的其中一个．．扇形 ADE （阴影部分）的面积为 ________；若用剪下的一个扇形围成一个圆锥，该圆锥的底面 圆的半径 r 是________． 【答案】 2 3 π ； 1 3 43. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）翔宇中学的铅球场 如图所示，已知扇形 AOB 的面积是 236m ， AB 的长度为 9 米，那么半径 OA = ________ 米． 【答案】8 44. 【易】（北京市第一六六中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试试卷、2010 年北京 171 初三上期中）已知：扇形的圆心角度数 120n = ° ，面积 2300 πcms = ， ⑴求扇形的弧长 l ． ⑵若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径 r 是多少？ 【答案】 20 πcm ；10cm ． 45. 【易】（通州区初三年级模拟考试，成都中考）如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片 剪去 1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆 锥的高为（ ） F ED CB A 11 /59 A． 6cm B． cm3 5 C．8cm D． cm5 3 【答案】B 46. 【易】（黑龙江省龙东地区 2013 年初中毕业学业统一考试数学试题）将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为 _______ cm ． 【答案 2 3 47. 【易】（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）用半径为 10cm ，圆心角为 216 ° 的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 _______ cm ． 【答案】8 48. 【易】（2013 年四川泸州市中考数学真题）如图，从半径为 9cm 的圆形纸片上剪去 1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高 为________ cm . 【答案】3 5 49. 【易】（广安市二 O 一三年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，如果从半径 为 5cm 的圆形纸片上剪去 1 5 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不 重叠），那么这个圆锥的高是 ______cm. 【答案】3 50. 【易】（2010 东城区初三上联考）已知：一个圆锥的侧面展开图为半径为 30cm ，圆 心角为 120 ° 的扇形，求这圆锥的底面半径和高． 【答案】 120 π 30 20 π 180 l ⋅= = 2π 20 π , 10r r= = 2 230 10 20 2h = − = ． 剪剪12 /59 51. 【中】如图，梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 90 4 6C AB AD BC∠=° == =，，，以点 A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形做成的圆锥 底面半径是 ________． 【答案】 2 3 3 52. 【中】（石景山二模）如图，在图 1 所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之 恰好围成图 2 所示的一个圆锥模型．设圆的半径为 r ，扇形的半径为 R ，则圆的半径 与扇形的半径之间的关系为（ ） A． 2R r= B． 9 4 R r= C． 3R r= D． 4R r= 【答案】D 53. 【中】（2011 育才三中一模）如图，矩形 ABCD 中， 4AB = ，以点 B 为圆心， BA 为 半径画弧交 BC 于点 E ，以点 O 为圆心的 O⊙ 与弧 AE，边 AD， DC 都相切，把扇形 BAE 作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是 O⊙ ，则 AD 的长为（ ） A．4 B． 9 2 C．11 2 D．5 【答案】D 54. 【中】（西城 2011 二模）如图，两同心圆的圆心为 O ，大圆的弦 AB 与小圆相切，切 点为 P ．若两圆的半径分别为 2 和 1，则弦长 AB = ________ ；若用阴影部分围成 一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 ________． A CB D E A CB D O A P B O 图 1 图 2 13 /59 【答案】 ， 55. 【易】（门头沟二模）如果圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，那么它的侧面展开图的 圆心角是（ ） A．180 ° B． 200 ° C． 225 ° D． 216 ° 【答案】D 56. 【易】（成都中考）如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为 9 cm ，底 面圆的直径为 10cm ，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角 度数是（ ） A．150 ° B． 200 ° C．180 ° D． 240 ° 【答案】B 57. 【易】（成都中考）若一个圆锥的底面圆的周长是 4πcm ，母线长是 6cm ，则该圆锥 的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A． 40 ° B．80 ° C．120 ° D．150 ° 【答案】C 58. 【易】（2010 年北京二中分初三期中上）已知圆锥的底面半径为 3，高为 3 3 ，则圆 锥的侧面展开图的扇形圆心角的度数为（ ） A．180 ° B．120 ° C．90 ° D．60 ° 【答案】A 59. 【易】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )若圆锥的轴截面为等边三角形， 则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 90 ° B. 120 ° C. 150 ° D. 180 ° 【答案】D 60. 【易】（天津耀华中学 2010 届初三第二次月考）已知圆锥的母线 6l = ，底面半径 2r = ，求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角 α ． 【答案】120 ° 61. 【易】（2011 黑河市中考）将一个半径为 6 cm ，母线长为 15cm 的圆锥形纸筒沿一条 母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 ________ 度． 【答案】144 62. 【易】（北京汇文中学 2010-2011 学年度初三数学）将一个底面半径为 5cm ，母线长 为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 ________ 度． 【答案】150 63. 【易】（2013 年北京市门头沟区初三年级数学第二次统一练习）已知圆锥侧面展开图 的扇形半径为 2cm ，面积是 24 cm3 π ，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为（ ） 32 3 4 9cm 10cm 14 /59 A． 4 πcm 120 3 , ° B． 2 πcm 120 3 , ° C． 4 πcm 60 3 , ° D． 2 πcm 60 3 , ° 【答案】A 64. 【中】（2011 湖北罗田一中自主招生）如右图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1， A 是底面圆周上一点，从 A 点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线长是 ________． 【答案】3 3 二、 扇形面积 65. 【易】（北京 2013 年通州区初三年级模拟考试数学试卷）一个扇形的圆心角为 90° ， 半径为 2，则这个扇形的面积是（ ） A．6 π B．4 π C．2 π D． π 【答案】D 66. 【易】（四川省资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学）钟面上的分针的 长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是（ ） A． 1 π 2 B． 1 π 4 C． 1 π 8 D． π 【答案】A 67. 【易】（2011 ．江苏省常州中考）已知扇形的圆心角为 150 ° ，它所对应的弧长 20 πcm ， 则此扇形的半径是 ________ cm ，面积是 2________ cm ． 【答案】24 ；240 π 68. 【易】（2010 年顺义二模）已知一个扇形的半径为 6cm ，圆心角为 150 °，则这个扇形 的面积为________ 2cm ． 【答案】15 π 69. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，已知扇形的 半径为 3cm ，圆心角为 120 ° ，则扇形的面积为 ________ 2cm ．（结果保留 π ） 【答案】3π 70. 【易】（北京市第八十中学 2010-2011 学年度第一学期初三）已知扇形的半径为 4，弧 长为 8 π 3 ，求这个扇形的圆心角和面积． A O 120°15 /59 【答案】120 ° ；16 π 3 ． 71. 【易】（常州市 2013 年初中毕业、升学统一文化考试数学试题）已知扇形的半径为 6cm ，圆心角为 150 °，则此扇形的弧长是 _______cm ，扇形的面积是 _________ 2cm （结果保留 π） 【答案】5π ；15 π 72. 【易】（2010 东城区初三上联考）如图，求 AB 的长及扇形 OAB 的面积．（结果保留 π ） 【答案】 110 π 40 220 π 180 9 l ⋅= = 2110 π 40 1 220 π 4400 π 40360 29 9S S ⋅  = =⋅⋅=  或 73. 【易】（新疆维吾尔自治区及新疆生产建设兵团初中毕业生学业考试）如图，已知菱 形 ABCD 的边长为 1.5 cm ， 两点在扇形 的 EF 上，求 BC 的长度及扇形 ABC 的面积． 【答案】∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 1.5 ， ∴ 1.5AB BC= = ， 又∵ B C、 两点在扇形 AEF 的 EF 上， ∴ 1.5AB BC AC= = = ， ∴ ABC△ 是等边三角形， ∴ 60BAC∠ = ° ， BC 的长 ()60 π 1.5 π cm 180 2 ⋅= = ， ()21 1 π 31.5 π cm 2 22 8ABCS lR= =⋅⋅ =扇形 ． 74. 【易】(2013 年四川省凉山州高中阶段招生统一考试数学试卷 )如图，在 Rt ABC△ 中， 90C∠ = °， 8AC = ， 6BC = ，两等圆 A⊙ 、 B⊙ 外切，那么图中两个扇形（即阴影部 分）的面积之和为 ______. 40mm 110° O B A B C， AEF FE D CB A16 /59 【答案】 25 π 4 75. 【易】（2011 年河南省重点中学六校调研中考数学一模试卷）如图，⊙O 的半径为 1， PA 切⊙O 于点 A，连接 OA，OP 交⊙O 于点 D，且∠APO =30° ，弦 AB ⊥OP 于点 C， 则图中阴影部分面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 76. 【易】（2012 通州二模）如图所示，已知大正方形的边长为 10 厘米，小正方形的边 长为 7 厘米，则阴影部分面积为（ ）cm 2． A．13 2 π B．12 3 π C．25 π D．无法计算 【答案】C 77. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，在矩形空地 上铺 4 块扇形草地．若扇形的半径均为 r 米，圆心角均为 90 ° ，则铺上的草地共有 ________ 平方米． 【答案】 2πr 78. 【易】（北京市房山区 2013 年初三数学统一练习）如图：⊙ A 、⊙ B 、⊙ C 两两不 相交，且半径均为 1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（ ） C B A B A P C OD 17 /59 A.π B. π 2 1 C. π2 D. π 4 1 【答案】B 79. 【易】（湖南省张家界市 2013 年初中毕业学业考试数学试卷）如图， A⊙ 、 B⊙ 、 C⊙ 两两外切，它们的半径都是 a ，顺次连接三个圆心得到 ABC△ ,则图中阴影部分的 面积之和是 _______. 【答案】 21 π 2 a 80. 【易】（天津耀华嘉诚第一学期九年级第二次月考）如图，五个半径为 2 的等圆，其 圆心分别在五角星的五个顶点，则阴影扇形面积之和为（ ） A． π B． 2π C．3π D． 4π 【答案】B 81. 【易】（北京师大附中 2010-2011 学年度第一学期期中考试）如图， PA、 PB 与 O⊙ 相切，切点分别为 A 、 B ． 3PA = ， 60P∠ = ，若 AC 为 O⊙ 的直径，则圆中阴影部 分的面积为 ________． 【答案】 2 π CB A CB A 6题 P B C O A18 /59 82. 【易】（2011• 泰州）如图， ABC△ 的3个顶点都在 5 5× 的网格（每个小正方形的边长 均为 1 个单位长度）的格点上，将 ABC△ 绕点 B 顺时针旋转到 A BC′ ′△ 的位置，且点 A′、C′ 仍落在格点上，则线段 AB 扫过的图形面积是 ________ 平方单位（结果保留 π ）． 【答案】13 π 4 83. 【易】（广东深圳中考）如图，已知点 A．B．C．D 均在已知圆上，AD//BC，AC 平 分 ， 120ADC∠ = ° ，四边形 ABCD 的周长为 10cm ．图中阴影部分的面积为 （ ） 2cm A． B． C． D． 【答案】B 84. 【易】（2011 平谷二模）如图，在⊙O 中，直径 AB =6 ，∠CAB =40 °，则阴影部分的 面积是 ________． 【答案】 2π 85. 【易】（2010 北京 166 中学初三上期中）如图，Rt △ABC 中∠ABC ＝90 °，AB ＝BC ＝2，以 BC 为直径的圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（ ） A＇C＇ C B A BCD∠ D CB A 3 2 3 2 3 4 3 O C BA19 /59 A．2 B．1 2 π+ C．1 D． 2 4 π− 【答案】C 86. 【易】（延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷）如图，点 A B C、、 在直径为 2 3 的 O⊙ 上， 45BAC∠ = °，则图中阴影部分的面积等于 ________．（结果中保留 π ） 【答案】 3 3π 4 2 − 87. 【易】（重庆市 2013 年初中毕业生学业暨高中招生考试数学试卷 B 卷）如图，一个 圆心角为 的扇形，半径 ，那么图中阴影部分的面积为 ________；（结果保 留 ） 【答案】 π 2− 88. 【易】（重庆市 2013 年初中毕业暨高中招生考试数学试题 A 卷）如图，在边长为 4 的正方形 中，以 为直径的半圆与对角线 交于点 ，则图中阴影部分的 面积为 _________（结果保留 ）． 【答案】 89. 【易】(2013 年东营市初中学生学业考试 )如图，正方形 ABCD 中，分别以 B 、 D 为圆 心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的 周长为（ ） 90 ° 2OA = π O BA ABCDABAC E E D C BA 10 π− O A B C A B C D O·20 /59 A． πa B． 2πa C． 1 π 2 a D．3a 【答案】A 90. 【易】（2013 年广东省中考数学试卷）如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴 影部分面积的和是 _____（结果保留 π ）． 【答案】 3π 8 91. 【易】（北京十五中 2010-2011 学年度初三年级第一学期期中检测，10 年大兴二模） 如图， AB 是 O⊙ 的直径，点 D 、 E 是半圆的三等分点， AE、 BD 的延长线交于点 C ， 若 2CE = ，则 O⊙ 中阴影部分的面积之和是（ ） A． 4 π 3 3 − B． 2 π 3 C． 2 π 2 3 − D． 1 π 3 【答案】A 92. 【易】（北京市第一六六中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试试卷）如图，以 BC 为直径，在半径为 2，圆心角为 90 ° 的扇形内作半圆，交弦 AB 于点 D ，连接 CD，则 阴影部分的面积是（ ） A． π 1− B． π 2− C． 1 π 1 2 − D． 1 π 2 2 − 【答案】A D CB A EA C D B O A C D B21 /59 93. 【易】（2011 东城二模）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为 2，以圆心 O 为顶点作∠MON，使∠MON ＝90° ，OM、ON 分别与⊙O 交于点 E、F，与正方形 ABCD 的边交于点 G、H，则由 OE、OF、EF⌒及正方形 ABCD 的边围成的图形（阴影 部分）的面积 S= ________． 【答案】 2π − 94. 【易】（北京市东城区 2013 学年第二学期初三数学综合练习一）已知每个网格中小正 方形的边长都是 1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为 1 和 2 的圆 弧围成．则阴影部分的面积是 ______． 【答案】 π 2− 95. 【易】（乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图，小方格都是边长 为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两种弧圆成的 “叶状 ”阴影图案的面 积为 ______. 【答案】2π 4− 96. 【易】如图，扇形 CAB 的圆心角∠ACB =90° ，半径 CA =8cm ，D 为弧 AB 的中点，以 CD 为直径的⊙O 与 CA．CB 相交于点 E、F，则弧 AB 的长为 ________cm ，图中阴影 部分的面积是 ________cm 2． 【答案】4π，（ 16 π-32 ） 97. 【易】(泰安市 2013 年初中学生学业考试 )如图， AB、CD 是 O⊙ 的两条互相垂直的直 径，点 1O 、 2O 、 3O 、 4O 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，若 O⊙ 的半径为 2， 则阴影部分的面积为（ ） FOE D C BA22 /59 A．8 B．4 C． 4π 4+ D． 4π 4− 【答案】A 98. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图， AB 为 O⊙ 的直径，CD AB⊥ 于点 E ，交 O⊙ 于点 D ，OF AC⊥ 于点 F ． （1）请写出三条与 BC 有关的正确结论； （2）当 30D∠ = ° ， 1BC = 时，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（ 1） BC AC⊥ ． BC BD= ． BC OF∥ 等（答案不唯一）； （2） π 3 3 4 − 99. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，已知 AB 是 O⊙ 的直径，点C 在 O⊙ 上，且 13AB = ， 5BC = ． （1）求sin BAC∠ 的值； （2）如果 OD AC⊥ ，垂足为 D ，求 AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积（圆周率取 3.14 ，结果精确到 0.1 ）． 【答案】（ 1） 5 13 ； （2） 6AD = （3）36.3 100. 【易】（通州二模，2010 年上海徐汇区九上期中）如图，在 Rt ABC△ 中， 90C∠ = ° ， 30B∠ = ° ， 2AB = ，若以 A 为圆心， AC 为半径的弧交斜边 AB 于点 D ，则图中以 CD 与边 CB． DB 围成的阴影面积为（ ） A B C D O C B A O F D E 23 /59 A． π 6 B． 3 π 2 6 + C． π 3 6 2 − D． 3 π 2 6 − 【答案】D 101. 【易】（2011 福建泉州中考）如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60 ° ， 此时点 B 到了点 B′，则图中阴影部分的面积是（ ）． A．3π B． 6π C．5π D． 4π 【答案】B 102. 【易】（2011• 达州）如图，在等腰 Rt ABC△ 中， 90C∠ = ° ，点 D 为 AB 的中点，已 知扇形 EAD 和扇形 FBD 的圆心分别为点 A 、点 B ，且 2AC = ，则图中阴影部分的面 积为 ________（结果不取近似值）． 【答案】 π 2 2 − 103. 【易】如图，菱形 OABC 中， 120A∠ = ° ， 1OA = ，将菱形 OABC 绕点 O 按顺时针方 向旋转 90 ° ，则图中由弧 BB′ ， BC，弧CA′ ， A B′ ′ 围成的阴影部分的面积是 ________． 【答案】 2π 3 3 2 − 104. 【易】（2011 年郑州市中考数学模拟试卷）如图， PA， PB 切 O⊙ 于 A ， B 两点，若 60APB = ∠ ， O⊙ 的半径为 3，则阴影部分的面积为 ________． FE D BA C A B C O A′ B′ C′ A B B’ 24 /59 【答案】9 3 3 π− 105. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，线段 AB 与 ⊙O 相切于点 C ，连结 OA、OB，OB 交 O⊙ 于点 D ，已知 6cmOA OB= = ， 6 3cmAB = ．求： （1） O⊙ 的半径；（ 2）图中阴影部分的面积． 【答案】（ 1）3cm ；（ 2） 9 33 π 2 2 − 106. 【易】（2013 年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图， ABC△ 中，以 AB 为 直径的 O⊙ 交 AC 于点 D ， DBC BAC∠ = ∠ ． ⑴求证： BC 是 O⊙ 的切线； ⑵若 O⊙ 的半径为 2， 30BAC∠ = ° ，求图中阴影部分的面积． 【答案】 2 π 3 3 − ⑴∵ AB 是直径 ∴ 90ADB∠ = ° 又∵ BAC DBC∠ = ∠ ∴ 90ABD DBC ABD BAC∠ +∠ =∠ +∠ =° ，即 90ABC∠ = ° ． ∴ BC 是圆 O 的切线． ⑵如图连接 OD，由圆心角的性质可知 60BOD∠ = ° ，即 BCD△ 是边长为 2 的等边三角形，所以 260 1 2= π 2 2 2 sin60 π 3 360 2 3 S − °=−阴 × × × × × 107. 【易】(威海市 2013 年初中学业考试 )如图，CD 为 O⊙ 的直径， CD AB⊥ ，垂足为点 F ， AO BC⊥ ，垂足为点 E ， 1AO = ． （1）求 C∠ 的大小； （2）求阴影部分的面积． O A C B D A P B O 25 /59 【答案】解：（ 1）∵CD 为 O⊙ 的直径，CD AB⊥ ，∴ AD BD= ． ∴ 1 2 C AOD=∠ ∠ ． ∵ AOD COE=∠ ∠ ，∴ 1 2 C COE=∠ ∠ ． ∵ AO BC⊥ ，∴ 30C = °∠ ． （2）连接 OB．由（1）知 30C = °∠ . ∴ 60AOD = °∠ ,∴ 120AOB = °∠ 在 Rt AOF△ 中， 1AO = ， 60AOF = °∠ ， ∴ 3 2 AF = ， 1 2 OF = ．∴ 3AB = ． ∴ 2120 11 1 31 π 3 π 360 22 3 4OABOABS S S= − = ×−××=−△阴影 扇形 ． 108. 【易】（怀柔区 2011-2012 学年度第一学期期末九年级教学质量检测）在 ABC△ 中， 120C∠ = ° ， AC BC= ， 4AB = ，半圆的圆心 O 在 AB 上，且与 AC， BC 分别相切于 点 D ， E ． （1）求半 O⊙ 的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）连结 OD， OC， ∵半圆与 AC， BC 分别相切于点 D ， E ． ∴ DCO ECO∠ = ∠ ，且OD AC⊥ ． ∵ AC BC= ， ∴ CO AB⊥ 且 O 是 AB 的中点． ∴ 1 2 2 AO AB= = ． ∵ 120C∠ = ° ，∴ 60DCO∠ = ° ． ∴ 30A∠ = ° ． ∴在 R t AOD△ 中， 1 1 2 OD AO= = ． 即半圆的半径为 1． O F E D C BA O F E D C BA A B C O D E A B C O D E26 /59 （2）设CO x= ，则在 Rt AOC△ 中，因为 30A∠ = ° ，所以 2AC x= ，由勾股 定理得： 2 2 2AC OC AO− = 即 2 2 2(2) 2x x− = 解得 2 3 3 x = （ 2 3 3 x = − 舍去） ∴ 1 1 23434 2 2 33ABCS ABOC= ⋅ =×× =△ ． ∵半圆的半径为 1， ∴半圆的面积为 2 π ， ∴ 43 833 3 2 6 S π π−= − = ． 109. 【易】(泰州市 2013 年初中毕业、升学统一考试数学试卷 )如图 AB 是 O⊙ 的直径， AC、 DC 为弦， 60ACD∠ = ° ， P 为 AB 延长线上的点， 30APD∠ = ° ． （1）求证： DP 是 O⊙ 的切线； （2）若 O⊙ 的半径为 3cm ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接 OD，BD ∵ OD OB= 60ABD ACD∠ =∠ =° ∴△ OBD 是等边三角形 ∴ 60DOB∠ = ° ∵ 180DOB ODP APD∠ +∠ +∠ = ° 30APD∠ = ° ∴ 90ODP∠ = ° ∴ PD OD⊥ ∴PD 是 O⊙ 的切线． （2）在 Rt POD△ 中， 3cmOD = ， 30APD∠ = ° ∵ 3tan30 PD ° = ∴ 3 3 3tan30PD = =° ∴图中阴影 部分的面积 21 60 π 3 93 3 π 3 3 32 360 22PODOBDS S ⋅ ⋅= − ==××− = −△ 扇形 110. 【易】（2013 年辽宁省沈阳市中考数学试卷）如图， OC 平分 MON∠ ，点 A在射线 OC 上，以点 A为圆心，半径为 2 的 A⊙ 与 OM 相切与点 B ，连接 BA 并延长交 A⊙ 于 点 D ，交 ON 于点 E ． ⑴ 求证： ON 是 A⊙ 的切线； ⑵ 若 60MON∠ = ° ，求图中阴影部分的面积．（结果保留 π ） 27 /59 【答案】⑴证明：过点 A作 AF ON⊥ 于 F ， ∵ OM 是 A⊙ 的切线， ∴ AB OM⊥ ． ∵ OC 平分 MON∠ ， ∴ 2AF AB= = ． ∴ ON 是 A⊙ 的切线． ⑵ 解：∵ 60MON∠ = ° ， AB OM⊥ ， ∴ 30OEB∠ = ° ． ∵ AF ON⊥ ， ∴ 60FAE∠ = ° ． ∴在 Rt AEF△ 中， tan FEFAEAF ∠ = ． ∴ tan 60 2 3EF AF= ⋅ °= ． ∴ 21 60 2• π 2 3 π 2 360 3AEFADFS S S AF EF AF=− = − =−阴影 扇形△ ． 111. 【易】（雅安市二 ○一三年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图， AB 是 O⊙ 的直径， BC 为 O⊙ 的切线， D 为 O⊙ 上的一点，CD CB= ，延长 CD 交 BA 的延长线于点 E . （1）求证：CD 为 O⊙ 的切线； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC△ 周长的最小值； 【答案】（ 1）证明：连接 OD ∵ BC 是 O⊙ 的切线 ∴ 90ABC =∠ ° ∵ CD CB= ∴ CBD CDB=∠ ∠ ∵ OB OD= ∴ OBD ODB=∠ ∠ ∴ 90ODC ABC= =∠ ∠ ° ∴ CD 是 O⊙ 的切线 （2）在 Rt OBF△ 中， ∵ 30 1ABD OF= =∠ °， ∴ 60 2 3BOF = OB BF= =∠ ， ， ∵ OF BD⊥ N M E D C B AO F28 /59 ∴ 2 23 2 120BD BF BOD BOF== = =，∠ ∠ ° ∴ BODBODS=S S− △阴 扇形 2120 π 2 1 23 1360 2 ×= −×× 4 π 3 3 = − 112. 【易】(四川省绵阳市 2013 年中考数学真题试题 )如图， AB 是 O⊙ 的直径，C 是半圆 O上 的一点， AC 平分 DAB∠ ， AD CD⊥ ，垂足为 D ， AD 交 O⊙ 于 E ，连接 CE. （1）判断 CD 与 O⊙ 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 E 是 AC 的中点， O⊙ 的半径为 1，求图中阴影部分的面积 . 【答案】（1）CD 与圆 O相切．理由如下： ∵ AC 为∠ DAB 的平分线， ∴∠ DAC =∠ BAC， ∵OA =OC， ∴∠ OAC =∠OCA， ∴∠ DAC =∠OCA， ∴OC ∥ AD， ∵ AD ⊥CD， ∴OC ⊥CD， 则CD 与圆 O相切； （2）连接 EB，由 AB 为直径，得到∠ AEB =90° ， ∴ EB ∥CD， F 为 EB 的中点， ∴OF 为 ABE△ 的中位线， ∴OF = 1 1 2 2AE = ，即CF = DE = 1 2 ， 在 Rt OBF△ 中，根据勾股定理得： EF = FB = DC = 3 2 ， 则 1 1 3= 2 2 2DECS S = × ×△阴影 3= 8 113. 【中】（北京市昌平区 2013 年初三数学第二次统一练习）如图，从原点 A 开始，以 AB =1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 BC =2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆； 以CD =4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE =8 为直径画半圆，记为第 4 个半 圆；……，按此规律，继续画半圆，则第 5 个半圆的面积为 _______，第 n 个半圆的面 积为 _______． 29 /59 【答案】32 π ； 2 52 πn− 114. 【中】（朝阳区 2011-2012 学年九年级第一学期期末统一考试）如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC，∠C=90 °，AB =AD =4 ，BC =6 ，以点 A 为圆心在这个梯形内画出一个最大的 扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是 ________． 【答案】 4π 115. 【中】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，从一个直径 是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90 的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留 π ）； （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一 个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径 ( 0)R R > 为任意值时，（ 2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（ 1） 2 π ； （2）不能 （3）成立 116. 【中】（昆明市 2013 年初中学业水平考试数学试卷）如图，从直径为 4cm 的圆形纸 片中，剪出一个圆心角为 的扇形 ，且点 、 、 在圆周上，把它围成一 个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 _______cm. 90 ° OAB O A B A B CO ① ② ③ 30 /59 【答案】 2 2 117. 【中】（浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷））如图， P⊙ 内含于⊙ ，⊙ 的弦 切⊙P 于点 ，且 ．若阴影部分的面积为 ，则弦 的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 118. 【中】（大兴区 2011-2012 学年度第一学期期末检测试卷）如图所示，以点 O 为圆心 的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，点 P 为切点，且 4AB = ， 2OP = ，连 结 OA 交小圆于点 E ，则扇形 EOP 的面积为 ________． 【答案】 1 π 2 119. 【中】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市））如图，已知在 中， 90ACB∠ = ° ， ，分别以 ， 为直径作半圆，面积分别记为 ， ， 则 + 的值等于 ________． 【答案】 2π O A B OO AB C OPAB// π9 AB E P BA O Rt ABC△ 4AB = ACBC 1S 2S 1S 2S C A B S1 S2 BA C PO31 /59 120. 【中】(大庆地区 2013 年中考数学模拟试题 )如图，在等腰直角三角形 ABC 中， 2cmAB BC= = ，以直角顶点 B 为圆心， AB 长为半径画弧，再以 AC 为直径画弧，两 弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 ________ 2cm ． 【答案】2 121. 【中】（德州市二○一三年初中学业考试数学试题）如图，扇形 AOB 的半径为 1， 90AOB∠ = ° ，以 AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为（ ） A． 1 π 4 B． 1π 2 − C． 1 2 D． 1 1π 4 2 + 【答案】C 122. 【中】（泰安市高中段学校招生考试）如图，图 1 是某公司的图标，它是由一个扇环 形和圆组成，其设计方法如图 2 所示， ABCD 是正方形， O⊙ 是该正方形的内切圆， E 为切点，以 B 为圆心，分别以 BA． BE 为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图 1 中的圆与扇环的面积比为 ________． 【答案】 4 : 9 123. 【中】（郑州市 2011 年中考数学中招模拟考试）如图，⊙O1 和⊙O2 是等圆，半径为 1cm ，相交于 A、B，⊙O1 经过⊙O2 的圆心 O2，连接 AO 1、AO 2、BO 1、BO 2，则图中 阴影部分的面积是 ________cm 2． O B A 图1 图2 F E O D CB A O2O1 B A32 /59 【答案】 124. 【中】（北京市宣武区 2009-2010 学年度第二学期第一次质量检测）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，将长为 2 的线段 QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑 动．如果点 Q 从点 A 出发，沿图中所示方向按 A B C D A→ → → → 滑动到点 A 为止， 同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按 B C D A B→ → → → 滑动到点 B 为止，那 么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A．2 B． 4 π− C． π D． π 1− 【答案】B 125. 【中】（遂宁市 2009 年初中毕业生学业考试）如图，把⊙O1 向右平移 8 个单位长度 得⊙O2，两圆相交于 A．B，且 O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（ ） A．4π-8 B．8π-16 C．16 π-16 D．16 π-32 【答案】B 126. 【中】（2012 北京西城初三二模）如图，在矩形 ABCD 中， 3AB = ，BC =1 ．现将 矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到矩形 A B CD′ ′ ′ ，则 AD 边扫过的面积（阴影部 分）为（ ） A． 1 2 π B． 1 3 π C． 1 4 π D． 1 5 π 【答案】C 127. 【中】(2013 年山东日照初中学业考试 )如图（a），有一张矩形纸片 ABCD，其中 6cmAD = ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折 叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为 _____________． 2( 3)3 π − F M Q D CB A O1 O2 B A33 /59 【答案】 29 33π cm4  −    128. 【中】(盐城市 2013 年初中毕业与升学统一考试数学试题 )如图，在 ABC△ 中， 90BAC∠ = ° ， 5cmAB = ， 2cmAC = ，将 ABC△ 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 45 °至 1 1A BC△ 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中的阴影部分）的面积为 ______ 2cm ． 【答案】 25 π 8 在 Rt ABC△ 中， 2 2 29BC AC AB= + = ， 扇形 1BCB 面积是： ( )2 45 π 29 29 π 360 8 × = ， 1 1CB AS△ = 1 5 2 5 2 × × = ； 1 245 π 2 π 360 2CAAS ×= =扇形 . 故 1 1 29 π π 25 π = 5 5 8 2 8ABC ABCBCB CAAS S S S S+ − − = +−−=△ △阴影部分 扇形 扇形 . 故答案为： 25 π 8 . 129. 【中】（2010 东直门中学初三上期中）如图，△ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角 形，直角边 AB 是半圆 O1 的直径，半圆 2O 过 C 点且与半圆 1O 相切，则图中阴影部分 的面积是（ ） A． B． C． D． 【解析】 A＇ E A B C D 图(b)图(a) D CB A 2 36 7 a π− 2 36 5 a π− 2 36 7 a 2 36 5 a34 /59 如图所示，阴影面积可转化为梯形 PDEA 的面积计算 【答案】D 130. 【中】（西城一模、2012 密云二模）如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，若将 两条含 120 ° 圆心角的 AOB、 BOC 及边 AC 所围成的阴影部分的面积记为 S，则 S 与 △ABC 面积的比等于（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 【答案】B 131. 【中】（2013 年浙江省初中毕业生学业考试（温州市卷））在 ABC△ 中， C∠ 为锐 角，分别以 AB， AC 为直径作半圆，过点 B ， A ， C 作 BAC，如图所示，若 4AB = ， 2AC = ， 1 2 4S S π− = ，则 3 4S S− 的值是（ ） A. 29 4 π B. 23 4 π C. 11 4 π D. 5 4 π 【答案】 D 132. 【中】（2013 年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt ABC△ 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC C 于点 E 、 B ， E 是半圆弧的三等 分点，弧 BE 的长为 2 π 3 ，则图中阴影部 分的面积为（ ） A． π 9 B． 3π 9 C． 3 3 3 π 2 2 − D． 3 3 2 π 2 3 − 【答案】D 连接 BD， BE， BO， EO， ∵ B ， E 是半圆弧的三等分点， S4 S3 S2 S1 A B C35 /59 ∴∠ EOA =∠ EOB =∠ BOD =60° ， ∴∠ BAC =30° ， ∵弧 BE 的长为 2 π 3 ， ∴ 60 π 2 π 180 3 R× = ， 解得： R =2 ， ∴ AB = AD cos30°= 2 3 ， ∴ BC = 1 2 AB = 3 ， ∴ AC = 2 2AB BC− =3 ， 1 1 333 3 2 2 2ABCS BC AC∴ =× × =××=△ ， ∵△ BOE 和 ABE△ 同底等高， ∴△ BOE 和 ABE△ 面积相等， ∴图中阴影部分的面积为： 23 3 60 π 2 33 2 π 2 360 2 3ABCBOES S ×− =− =−△ 扇形 . 故选 D. 133. 【中】（河南中考）如图，在半径为 5 ，圆心角等于 45 ° 的扇形 AOB 内部作一个正 方形 CDEF，使点 C 在OA 上，点 D E、 在OB 上，点 F 在 AB 上，则阴影部分的 面积为（结果保留 π ）________． 【答案】 5 3π 8 2 − 134. 【中】（2013 年南宁市初中毕业升学考试数 学试卷） 如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切 圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为：_________. 【答案】 43 π 9 − 如图，设该等边三角形是 ABC 及内切大圆圆心为 O ，半径为 R ．上角切圆圆心为 D ，半径为 r ． 过点 A 做 AH BC⊥ 交 BC 于点 H ． Rt AHC△ 中， 1HC = ， 30HAC∠ = ° ， 3AH = ， F ED C B A O E CH O B D A36 /59 ABC△ 面积 1 2 3 3 2 S = ×× = Rt OHC△ 中， 1HC = ， 30HCO∠ = ° ， 3 3 HO R= = ， 内切大圆面积 1 1 π 3 S = ． Rt ADE△ 中， 30DAE∠ = ° ， 2 2AD DE r= = ， 3 2 3AH r R= + = ，求出 3 9 r = ， 小角切圆的面积 2 1 π 27 S = ．三个的面积为 1 π 9 ． 所以，阴影部分面积 1 1 4= 3 π π = 3 π 3 9 9 S − − −阴 135. 【中】（北京市丰台区 2013 年初三数学统一练习二）如图，在△ 1 1OA B 中，∠ 1 1OA B =90 °， 1OA = 1 1A B =1. 以 为圆心， 为半径作扇形 1 1OA B ， 1 1A B 与 1OB 相交于点 2B ， 设△ 1 1OA B 与扇形 1 2OA B 之间的阴影部分的面积为 ；然后过点 2B 作 2 2B A ⊥ 1OA 于点 2A ，又以 为圆心， 为半径作扇形 2 3OA B ， 2 3A B 与 1OB 相交于点 3B ，设△ 2 2OA B 与扇形 之间的阴影部分面积为 ； 按此规律继续操作，设△ 与扇形 之间的阴影部分面积为 ． 则 =___________ ； =__________ ． 【答案】 1 π 2 8 − ； 2 1 π 2 2n n +− 136. 【中】（2012 年石景山一模）已知：如图是斜边为 10 的一个等腰直角三角形与两个 半径为 5 的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中 阴影部分面积的和是． 【答案】 25 25- 2 2 π ； 137. 【中】（宁波市 2013 年中考数学卷）如图， AE 是半圆 O 的直径，弦 4 2AB BC= = ， 弦 4CD DE= = ，连接 OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 _______ O 1OA 1S O 2OA 2 3OA B 2S n nOA B 1n nOA B + nS 1S nS 37 /59 【答案】10 π ∵弦 AB = BC，弦CD = DE， ∴点 B 是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点， ∴∠ BOD =90° ， 过点 O 作OF ⊥ BC 于点 F ，OG ⊥CD 于点 G ， 则 BF = FC = 2 2 ，CG =GD =2 ，∠ FOG =45° ， 在四边形 OFCG 中，∠ FCD =135° ， 过点 C 作CN ∥OF，交OG 于点 N ， 则∠ FCN =90° ，∠ NCG =135°-90°=45° ， ∴△ CNG 为等腰三角形， ∴CG = NG =2 ， 过点 N 作 NM ⊥OF 于点 M ，则 MN = FC = 2 2 ， 在等腰三角形 MNO 中， NO = 2 MN =4 ， ∴OG =ON + NG =6 ， 在 Rt OGD△ 中， 2 2 226 2 2 10OD OG GD= + =+= ， 即 O⊙ 的半径为 2 10 ， 故 ( )2 90 π 2 10 10 π 360OBDS S × = = =阴影 扇形 . 138. 【中】（天津耀华中学 2010 届初三第二次月考发展型试卷）某学校建一个喷泉水池， 设计的底面是半径为 4m 的正六边形，池底是水墨石地面．现用的磨光机的磨头是半 径为 2dm 的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为（ ） 2dm ． 【答案】8 3-4 π 139. 【中】（天津耀华中学 2010 届初三第二次月考发展型试卷）正方形 ABCD 边长为 a ， 分别以 D 、C 为圆心，以正方形边长为半径作弧，则两弧成的阴影部分的面积为 ________． 【答案】 21 3π 3 4 a  −    140. 【中】（北京汇文中学 2011 学年度初三数学）如图，阴影部分甲比阴影部分乙的面积 大 248cm ，直径 AB 长 40 cm ，则 BC 的长为 ________． O E D CB A NM GF O E D CB A D CB A38 /59 【答案】10 π 2.4− 141. 【中】（2013 年遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷）如图，在 Rt ABC△ 中， 90ACB∠ = ° ， 1AC BC= = ， E 为 BC 边上的一点，以 A 为圆心， AE 为半径的圆弧交 于点 D ，交 AC 的延长线于点 F ，若图中两个阴影部分的面积相等，则 AF 的长为 _______． 【答案】 2 π π 142. 【中】(山西省 2013 中考数学试卷 )如图，四边形 是菱形， ， ， 扇形 的半径为 2，圆心角为 ，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 143. 【中】（2013 年十堰市初中毕业生学业考试数学试题）如图，正三角形 ABC 的边长 是 2，分别以点 B ， C 为圆心，以 r 为半径作两条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分 面积为 S ，当 2 2r <≤ 时， S 的取值范围是 ________． 【答案】 π 41 π 3 2 3 S− −≤ ＜ 如右图所示，过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ，易知 G 为 BC 的中点，CG =1 ． 在 Rt CDG△ 中，由勾股定理得： DG = 2 2 2 1CD CG r− = − . A B C 甲 乙 F C EB D A ABCD 60A∠ = ° 2AB = BEF 60 ° 2π 3 3 2 − 2π 33 − 3π 2 − π 3−39 /59 设∠ DCG =θ ，则由题意可得： () 2 2 2 2π 1 π 2 211 13602 180CDGCDE r rSSS r r θ θ = − = −××−= −−  △扇形 ， 2 2π 1180 rS r θ∴= − − . 当 r 增大时，∠ DCG =θ 随之增大，故 S 随 r 的增大而增大． 当 2r = 时， 2 1 1DG r= − = ， 1CG =∵ ，故 45θ = ° ， ()2 245 π( 2) π 2 1 1180 2S∴= − −=− ； 若 2r = ，则 2 1 3DG r= − = ， 1CG =∵ ，故 60θ = ° ， 2 260 π2 4 π 2 1 3180 3S∴= − −=− . ∴ S 的取值范围是： π 41 π 32 3S− −≤ ＜ 144. 【中】（昌平二中 2010-2011 学年初三期中考试试卷）如图，已知扇形 AOB 的半径为 12 ，OA OB⊥ ， C 为 OB 上一点，以 OA 为直径的半圆 1O 与以 BC 为直径的半圆 2O 相 切于点 D ，求图中阴影部分面积． 【解析】 如图所示 连接 1 2O O ，设 2BC r= ， 2AO R= ， ∵半圆 1O ，半圆 2O 相切， ∴ 1 2O O 过 D 点， 1 2 6O O r= + ， ∵ OA OB⊥ ， ∴ 2 2 2 1 2 12OO OO OO+ = ， ∴ ()()2 22 12 6R r r+ − =+ ， ∴ 4r = 【答案】10 π 145. 【中】（平谷区 2009-2010 学年度第二学期初三第一次统一练习）如图，有一块半圆 形钢板，直径 20cmAB = ，计划将此钢板切割成下底为 AB 的等腰梯形，上底 CD 的端 点在圆周上，且 10cmCD = ．求图中阴影部分的面积． O2 O1 O B D C A40 /59 【答案】连结 OC， OD，过点 O 作 OE CD⊥ 于点 E ． ∵ OE CD⊥ ，∴ 5CE DE= = ， ∴ 2 2 2210 5 5 3OE CO CE= − = −= ， ∵ 90OED∠ = °， 1 2 DE OD= ，∴ 30DOE∠ = °， 60DOC∠ = °． ∴ 260 10 50 360 3S π π×= =扇 形 （ 2cm ） ()21 25 3 cm 2OCDS OE CD=⋅ ⋅ =△ ∴ 250 π 25 3 cm3OCDS S S  =− = −  扇 形 △ ∴阴影部分的面积为 250 π 25 3 cm3  −   ． 146. 【中】（2013 年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷） 已知：如图， AB 是 O⊙ 的弦， O⊙ 的半径为 10 ，OE、 OF 分别交 AB 于点 E 、 F ， OF 的延长线交 O⊙ 于点 D ，且 AE BF= ， 60EOF∠ = ° ． ⑴求证： OEF△ 是等边三角形； ⑵当 AE OE= 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和 π ） 【答案】⑴证明：作OC AB⊥ 于点 C ， ∴ AC BC= ， ∵ AE BF= ，∴ EC FC= ， ∵ OC EF⊥ ，∴OE OF= ， ∵ 60EOF∠ = ° ， ∴ OEF△ 是等边三角形． ⑵解：∵在等边三角形 OEF 中， 60OEF EOF∠ =∠ =° ， 又∵ AE OE= ， ∴ 30A AOE∠=∠ = ° ， ∴ 90AOF∠ = ° ， ∵ 10AO = ， O D C BA E A B CD O FE D BA O C O A B D E F41 /59 ∴ 10 3 3 OF = ． 1 103 50310 2 3 3AOFS =× ×=△ ． 290 π 10 25 π 360AODS = × =扇形 ， ∴ 50 325 π 3AOFAODS S S= − =−阴影 扇形 △ ． 147. 【中】（2012 学年度第一学期终结性检测试卷，2011 福州中考）如图，在 ABC△ 中， 90A∠ = ° ， O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆分别与 AB、 AC 边相切于 D 、 E 两点，连接 OD．已知 2BD = ， 3AD = ． 求：（ 1） tan C∠ ；（ 2）图中两部分阴影面积的和． 【答案】（ 1）连接 OE． ∵ AB、 AC 分别切 O⊙ 于 D 、 E 两点 ∴ OD AB⊥ ，OE AC⊥ ， AD AE= ， ∴ 90ADO AEO∠ =∠ =° ， 又∵ 90A∠ = ° ， ∴四边形 ADOE 是矩形， ∴四边形 ADOE 是正方形， ∴ OD AC∥ ， 3OD AD= = ∴ BOD C∠ = ∠ ， ∴在 Rt BOD△ 中， 2= 3 BDBO OD D∠ = ， ∴ 2tan 3 C∠ = ． （2）如图，设 O⊙ 与 BC 交于 M 、 N 两点， 由（1）得：四边形 ADOE 是正方形，∴ 90DOE∠ = ° ， ∴ 90COE BOD∠ +∠ =° ， ∵在 Rt EOC△ 中， 2tan 3 C∠ = ， 3OE = ， 9 2 EC = ∴ ∴ 21 1 9π 3 π 4 4 4DOM EON DOE OS S S S+ = = =⋅=扇 形 扇形扇 形 ⊙ ， ∴ () 39 9 π 4 4BOD COE DOM EONSS S S S−=+ + =−扇 形 扇 形影 △ △阴 ， 答：图中两部分阴影面积的和为 39 9 π 4 4 − ． 42 /59 148. 【中】（2013 年钦州市中考学校招生暨初中数学毕业统一考试）如图，在 Rt ABC△ 中， 90A∠ = ° ， O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D ，与 AC、 BC 边分别交于点 E 、 F 、 G ，连接 OD，已知 2BD = ， 3AE = ， 2tan 3 BOD∠ = ． ⑴ 求 O⊙ 的半径 OD； ⑵ 求证： AE 是 O⊙ 的切线； ⑶ 求图中两部分阴影面积的和． 【答案】 （1） AB∵ 与圆 O 相切， ∴ OD ⊥ AB， 在 Rt △ BDO 中， BD =2 ，tan ∠ BOD = BD OD = 2 3 ， ∴ OD =3 ； （2）连接 OE， ∵ AE =OD =3 ， AE ∥OD， ∴四边形 AEOD 为平行四边形， ∴ AD ∥ EO， ∵ DA ⊥ AE， ∴ OE ⊥ AC， 又∵OE 为圆 O 的半径， ∴ AC 为圆 O 的切线； （3）∵OD ∥ AC， ∴ AC =7.5 ， ∴ EC = ACAE− =7.5-3=4.5 ， ∴S 阴影 =S △ BDO +S △OEC-S 扇形 BOD-S 扇形 EOG 21 1 90 π 32 3 3 4.52 2 360 27 9 π 3 4 4 39 9 π 4 ×=××+×× − = + − −= 149. 【中】（2009 年抚顺市初中毕业生学业考试）如图所示， AC 与 O⊙ 相切于点 C ，线 段 AO 交 O⊙ 于点 B ．过点 作 BD AC∥ 交 O⊙ 于点 D ，连接 CD OC、 ，且 OC 交 于点 ．若 30 53CDB DB cm∠ =° =，． （1）求 O⊙ 的半径长； （2）求由弦 CD BD、 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留 ） B DB E π43 /59 【答案】（ 1） 与 相切于点 （cm ） 在 中， 即 的半径长为 ． （2）由（1）可知， 又 ， 答：阴影部分的面积为 ． 150. 【中】（四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷）如图，点 B 、 C 、 D 都在 O⊙ 上，过点 C 作 AC BD∥ 交 OB 延长线于点 A ，连接 CD，且 30CDB OBD= =∠ ∠ °， DB = 6 3 cm ． （1）求证： AC 是 O⊙ 的切线； （2）求由弦 CD、 BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留 π ） 【答案】（1）证明：连接 CO，交 DB 于 E ，∵ 30CDB =∠ ° ∴ 2 60O D =∠ ＝ ∠ ° 又∵ 30OBE∠ ＝ ° ∴ 180 60 30 90BEO = − − =∠ ° ° ° ° ∵ AC BD∥ ∴ 90ACO BEO= =∠ ∠ ° AC∵ O⊙ C 90ACO∴∠ = ° BD AC∵ ∥ 90BEO ACO∴∠ =∠ = ° 1 5 3 2 2DE EB BD∴ = = = 30D∠ =∵ ° 2 60O D∴∠ = ∠ = ° Rt BEO△ 5 3 3 2sin 60 2 BE OB OB =°= ， 5OB∴ = O⊙ 5cm 60 90O BEO∠= ∠ =°， ° 30EBO D∴∠ =∠ = ° CED BEO∠ = ∠∵ BE ED= CDE OBE∴△ ≌△ 2 260 25 ππ 5 (cm)360 6OBCS S∴= = =阴 扇 · 225 π cm6 D B A C E O 44 /59 ∴ AC 是 O⊙ 的切线 (2) 解： ∵ OEDB⊥ ∴ 1 3 32EB DB= = 在 Rt EOB△ 中， cos30 EB OB =° ∴ 33 3 62OB = ÷ = 又∵∠ D =∠ DBO， DE = BE，∠ CED =∠OEB ∴ ( )CDE OBE ASA≅△ △ ∴ CDE OBES S=△ △ ∴ 260 π 6 6 π 360OCBS S= = ⋅=阴影 扇形 2(cm ) 151. 【中】(2013 年山东莱莱芜市中考试题 )如图， O⊙ 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O ， 交 O⊙ 于 C D 两点，直径 AB CD⊥ ，点 M 是直线 CD 上异于点 C 、 O 、 D 的一个动 点， AM 所在的直线交于 O⊙ 于点 N 点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM PN= ． （1）当点 M 在 O⊙ 内部，如图一，试判断 PN 与 O⊙ 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在 O⊙ 外部，如图二，其它条件不变时，（ 1）的结论是否成立？请说明 理由； （3）当点 M 在 O⊙ 外部，如图二， 15AMO = °∠ ，求图中阴影部分的面积． 【答案】解：（ 1） PN 与 O⊙ 相切． 证明：连结 ON， 则 ONA OAN=∠ ∠ ，∵ PM PN= ，∴ PNM PMN=∠ ∠ ． ∵ AMO PMN=∠ ∠ ，∴ PNM AMO=∠ ∠ ． ∴ 90PNO PNM ONA AMO ONA= + = − =°∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ． 即 PN 与 O⊙ 相切． （2）成立． 证明：连结 ON，则 ONA OAN=∠ ∠ ，∵ PM PN= ，∴ PNM PMN=∠ ∠ ． 在 Rt AOM△ 中， ∴ 90OMA OAN+ = °∠ ∠ ，∴ 90PNA ONA+ = °∠ ∠ ． ∴ 180 90 90PNO = °− °= °∠ ． ∴ 180 90 90PNO = °− °= °∠ ． 即 PN 与 O⊙ 相切． （3）连结 ON，由（2）可知 90ONP = °∠ ． 图（三）图（二）图（一） B B N MPO DC A N MO PDC A O P N M D C B A E A C DO P M N B45 /59 ∵ 15AMO = °∠ ， PM PN= ，∴ 15PNM = °∠ ， 30OPN = °∠ ， ∵ 60PON = °∠ ， 30AON = °∠ ． 作 NE OD⊥ ，垂足为点 E ，则 2NE ON= ， 3 3 3sin 60 1 2 2 °= ⋅ = ． 2 2 21 30 1π 1 CO NE2 360 2AOC CONAONS S S S OCOA= + − = +××−△ △阴影 梯形 1 11 311 31 1 π 1 π 2 12 2 2212 4 =××+ −×× =+ − ． 152. 【中】（2013 年临沂市初中学生学业考试试题）如图，在 ABC△ 中， 90ACB∠ = ° ， E 为 BC 上一点，以CE 为直径作 O⊙ ， AB 与 O⊙ 相切于点 D ，连接 CD，若 2BE OE= = . （1）求证： 2A DCB∠ = ∠ ； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留 π 和根号）. 【答案】(1) 证明：连接 OD. ∵ AB 与 O⊙ 相切于点 D ， ∴ 90ODB∠ = ° ， ∴ 90B DOB∠+∠ = ° .∵ 90ACB∠ = ° ，∴ 90A B∠ +∠ = ° ， ∴ A DOB∠ = ∠ ∵ OC OD= ，∴ 2DOB DCB∠ = ∠ .∴ 2A DCB∠ = ∠ (2) 方法一：在 Rt ODB△ 中，OD OE= ， OE BE= ∴ 1sin 2 ODB OB ∠ = = ∴ 30 60B DOB∠=°∠ =°， ∵ sin60 2 3BD OB= ⋅ °= ∴ 1 1 2 23 232 2DOBS OD DB= ⋅ =×× =△ 260 π 2 π 360 3ODE ODS ⋅= =扇 形 2= 2 3 π 3DOBODES S S− = −阴影 扇形△ 方法二：连接 DE，在 Rt ODB△ 中，∵ 2BE OE= = ∴ 1 2DE OB OE= = ， ∵ OD OE= ，∴ DOE△ 为等边三角形，即 60DOB∠ = ° . 153. 【中】（江西省 2013 年中等学校招生考试数学试题卷）如图 1，一辆汽车的背面，有 一种特殊性状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线 OAB，如图 2 所示，量 得连杆 OA 长为 10cm ，雨刮杆 AB 长为 48cm ， 120OAB∠ = ° ．若启动一次刮雨器，雨 刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图 3 所示． EO D C B A A BC D O E46 /59 ⑴ 求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O 、 B 两点之间的距离；（结果精确到 0.01 ） ⑵ 求雨刮杆 AB 扫过的最大面积．（结果保留 π 的整数倍） （参考数据： 3sin 60 2 ° = ， 1cos60 2 ° = ， tan 60 3° = ， 721 26.851≈ ，可使用科学 计算器） 图 1 图 2 图 3 【答案】⑴雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180 ° ． 连接 OB，过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 E 点， ∵ 120OAB∠ = ° ， ∴ 60OAE∠ = ° ， 在 Rt OAE△ 中， ∵ 60OAE∠ = ° ， 10OA = ， ∴ sin 10 OE OEOAE OA ∠ = = ， ∴ 5 3OE = ， ∴ 5AE = ． ∴ 53EB AE AB= + = ， 在 Rt OEB△ 中， ∵ 5 3OE = ， 53EB = ， ∴ 2 2 2884 2 721 53.70OB OE BE= += = ≈ ； ⑵ ∵雨刮杆 AB 旋转 180 ° 得到 CD，即 OCD△ 与 OAB△ 关于点 O 中心对称， ∴ BAO DCO△ ≌△ ， ∴ BAO DCOS S=△ △ ， ∴雨刮杆 AB 扫过的最大面积 ()2 21 π 2S OB OA= − 1392 π= ． 154. 【中】(2013 年辽宁省锦州市中考数学试卷 )如图， AB 是 O⊙ 的直径，C 是 O⊙ 上一点， OD BC⊥ 于点 D ，过点 C 作 O⊙ 的切线，交 OD 的延长线于点 E ，连接 BE． ⑴ 求证： BE 与 O⊙ 相切； O A B O O A B C E C BA O O47 /59 ⑵ 设OE 交 O⊙ 于点 F ，若 1DF = ， 2 3BC = ，求由劣弧 BC、线段 CE 和 BE 所围 成的图形面积 S ． 【答案】⑴证明：连接 OC， ∵ CE 与 O⊙ 相切于点 C ， ∴ 90OCE∠ = ° ． ∵ OC OB= ，OD BC⊥ ， ∴ EOC EOB∠ = ∠ ， 在 EOC△ 和 EOB△ 中， OC OB EOC EOB OE OE = ∠ = ∠  = ∴ EOC EOB△ ≌△ （SAS） ∴ OCE OBE∠ = ∠ ． ∴ 90OBE∠ = ° ． ∴ BE 与 O⊙ 相切． ⑵ 解：设 O⊙ 的半径为 R ， ∵ OD BC⊥ ， ∴ 1 2 BD CD BC= = ． ∵ 2 3BC = ， ∴ 3BD = ． ∵ 1DF = ， ∴ 1OD R= − ． 在 Rt OBD△ 中，由勾股定理得 2 2 2OD BD OB+ = ， ∴ ()( )22 21 3R R− + = ． 解得： 2R = ． ∵ 3sin 2 BDBODOB ∠ = = ， ∴ 60BOD∠ = ° ． ∴ 2 120BOC BOD∠ =∠ = ° ， 2 4 cos cos60 OBOE BOE = = = ∠ ° 2 24 2 23EC EB∴ = = −= 21 120 42 223 π 2 4 3 π 2 360 3ECO EBO OCBSS S S °= + − =××× − ××= −°△ △ 扇 155. 【中】（2013 年枣庄市 2010 级初中学业考试）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AC 是弦， 直线 EF 经过点 C ， AD EF⊥ 于点 D ， DAC BAC=∠ ∠ ． （1）求证： EF 是 O⊙ 的切线； （2）求证： 2AC AD AB= ⋅ ； （3）若 O⊙ 的半径为 2， 30ACD = °∠ ，求图中阴影部分的面积． E F D BOA C C A O B D F E48 /59 【答案】（ 1）证明：连接 OC． ∵ OC OA= ，∴ OCA OAC=∠ ∠ ． ∵ DAC BAC=∠ ∠ ，∴ OCA DAC=∠ ∠ ． ∴ OC AD∥ ． 又∵ AD EF⊥ ，∴ OC EF⊥ ． ∴ EF 是 O⊙ 的切线． （2）证明：连接 BC． ∵ AB 是 O⊙ 的直径，∴ 90ACB = °∠ ． ∴ 90ACB ADC= = °∠ ∠ ． 又∵ BAC DAC=∠ ∠ ， ∴ ABC ACD△ ∽△ ． ∴ AC AB AD AC = ，即 2AC AD AB= ⋅ ． （3）解：∵ 30ACD = °∠ ，∴ 60OCA OAC= = °∠ ∠ ． ∴ OAC△ 是等边三角形． ∴ 60AOC = °∠ ， 2AC OC= = ． 在 Rt ADC△ 中， 2AC = ， 30ACD = °∠ ， ∴ 1AD = ， 3CD = ． ∴ ()()1 1 331 2 32 2 2ADCOS ADOCCD= + ⋅=+⋅=梯形 ， 260 π 2 2 π 360 3OACS ×= =梯形 ， ∴ 3 3 2 π 2 3OACADCOS S S= − =−阴影 阴影梯形 ． 156. 【难】(2013 年潍坊市初中学业水平考试 )为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空 地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在 Rt △ ABC 内修建矩形水池 DEFG，使顶点 D E、 在斜边 AB 上， F G、 分别在直角边 BC AC、 上；又分别以 AB BC AC、、 为直径 作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺 设地砖．其中 24 3AB = 米 ， 60BAC∠ = ° ．设 EF x= 米， DE y= 米． （1）求 y 与 x 之间的函数解析式； （2）当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积最大？最大面积是多少？ （3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积等 于两弯新月面积的 1 3 ？ 【答案】解：（ 1）在 Rt ABC△ 中，由题意得 12 3AC = 米， 36BC = ， 30ABC = °∠ ， O FE DC B A G C B F EDA F O E DC B A49 /59 所以 3 tan 60 33 DG xAD x= = =° ， 3tan 30 EFBE x= =° , 又 AD DE BE AB+ + = ， 所以 3 4243 3 243 33 3y xx x= − −= − ，（ 0 18x< < ）． （2）矩形 DEFG 的面积 24 4243 3 3 2433 3Sxyx x x x == − =− +   ()24 3 9 10833 x=− − + ， 所以当 9x = 米时，矩形 DEFG 的面积最大，最大面积是 108 3 平方米 . （3）记 AC 为直径的半圆、 BC 为直径的半圆、 AB 为直径的半圆面积分别 为 1S 、 2S 、 3S ，两弯新月面积为 S ，则 2 1 1 π 8S AC= ， 2 2 1 π 8S BC= ， 2 3 1 π 8S AB= ， 由 2 2 2AC BC AB+ = 可知 1 2 3S S S+ = ， ∴ 1 2 3 ABCS S SS S+ −= − △ ，故 ABCS S= △ ． 所以两弯新月的面积 1 12 3 36 216 32S =× × = （平方米）． 由 ()24 13 9 1083 21633 3x− −+ =× ，即()29 27x − = ， 解得 9 3 3x = ± ，符合题意， 所以当 9 3 3x = ± 米时，矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 1 3 ． 157. 【难】（2013 年湖北省宜昌市初中毕业生学业考试数学试题）半径为 2cm 的 O⊙ 与边 长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧， O⊙ 与 l 相切于点 F ， DC 在 l 上 ． ⑴过点 B 作 O⊙ 的一条切线 BE， E 为切点． ①填空：如图 1，当点 A 在 O⊙ 上时， EBA∠ 的度数是 ________； ②如图 2，当 E ， A ， D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长； ⑵以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图 3）， 至边 BC 与 OF 重合时结束移动， M ， N 分别是边 BC， AD 与 O⊙ 的公共点，求扇形 MON 的面积的范围． 【答案】⑴① 30 ° ． ②如图 1 ∵直线 l 与 O⊙ 相切于 F ， ∴ 90OFD∠ = ° ． ∵正方形 ADCB 中， 90ADC∠ = ° ， ∴ OF AD∥ ． ∵ 2OF AD= = ， O E A B F D C l 图1 图2 lCDF BA E O 图3 lCD F BA M O N50 /59 ∴四边形 OFDA 为平行四边形． ∵ 90OFD∠ = ° ， ∴平行四边形 OFDA 为矩形． ∴ DA AO⊥ ， ∵正方形 ABCD 中， DA AB⊥ ． ∴ O ， A ， B 三点在同一直线上． 方法一： ∵ E ， A ， D 三点在同一直线上， ∴ EA OB⊥ ． ∵ 90OEB∠ = ° ， ∴ OEB EAO∠ = ∠ ． 又∵ EOB AOE∠ = ∠ ， ∴ EOA BOE△ ∽△ ． ∴ OA OE OE OB = ， ∴ 2OE OA OB= ⋅ ． ∴ ( )2 4OA OA+ = ， 解得， 1 5OA = − ± ， ∵ 0OA > ， ∴ 5 1OA = − ． 方法二： 在 Rt OAE△ 中， cos 2 OA OAEOAOE ∠ = = ． 在 Rt EOB△ 中， 2cos 2 OEEOB OB OA ∠ = = + ． ∴ 2 2 2 OA OA = + ． ∴解得， 1 5OA = − ± ， ∵ 0OA > ， ∴ 5 1OA = − ． 方法三： ∵ OE EB⊥ ， EA OB⊥ ． ∴由射影定理，得 2OE OA OB= ⋅ ， ∴ ( )2 4OA OA+ = ． ∵ 0OA > ， ∴ 5 1OA = − ． ⑵如图 2，设 MON n∠ = ° ， ()2 2π π 2 cm360 90MON nS n= × =扇形 ． S 随 n 的增大而增大， MON∠ 取最大值时， MONS扇形 最大． K 图1 lCDF BA E O 图2 lCD F BA M O N51 /59 当 MON∠ 取最小值时， MONS扇形 最小． 过 O 点作 OK MN⊥ 于 K ， ∴ 2MON NOK∠ = ∠ ， 2NM NK= ． 在 Rt ONK△ 中，sin 2 NK NKNOKON ∠ = = ， ∴ NOK∠ 随 NK 的增大而增大， ∴ MON∠ 随 MN 的增大而增大． ①当 N ， M ， A 分别与 D ， B ， O 重合时， MN 最大， MN BD= ， 90MON BOD∠ =∠ =° ， ( )2π cmMONS =扇形 最大 ②当 2MN DC= = 时， MN 最小． ∴ ON MN OM= = ， ∴ 60NOM∠ = ° ． ()22 π cm3MONS =扇形 最小 ∴ 2 π π 3 MONS扇形≤ ≤ ． 三、 圆锥侧面积 158. 【易】（2010 平谷）一个圆锥的母线长为 3cm ，侧面展开图是圆心角为 120 o 的扇形， 则圆锥的侧面积是 ________ 2cm ． 【答案】3π 159. 【易】（2011 ．无锡市中考）已知圆柱的底面半径为 2cm ，高为 5cm ，则圆柱的侧面 积是（ ） A．20cm 2 B．20 π cm 2 C．10 π cm 2 D．5 π cm 2 【答案】B 160. 【易】(2013 年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷 )圆锥的母线长为 6 cm ，底面周长为 5π cm ，则圆锥的侧面积为 ________． 【答案】 215 πcm 161. 【易】（2012 密云一模）已知：圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则圆锥的侧面积 等于（ ） A．11 π B．10 π C．9π D．8π 【答案】D 162. 【易】（2012 年海淀区九年级上期末）已知圆锥的底面半径为 2cm ，母线长为 5cm ， 则此圆锥的侧面积为（ ） A．5πcm 2 B．10πcm 2 C．14 πcm 2 D．20πcm 2 【答案】B 163. 【易】（2012 房山二模）已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 4，则圆锥的侧面积等 于（ ）． A．15 π B．14 π C．13 π D．12 π 【答案】D 164. 【易】（2010 年怀柔二模）圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，则这个圆锥的侧面积 是（ ） A． π B． 2π C． 3π D． 4π 52 /59 【答案】B 165. 【易】（昌平区 2013 年初三年级第一次统一练习）如图是某几何体的三视图及相关数 据，则该几何体的侧面积是 A． 1 2 ab π B． 1 2 ac π C． ab π D． ac π 【答案】B 166. 【易】(娄度市 2013 年初中毕业学业考试数学试题卷 )一圆锥的底面半径为 1cm ，母线 长 2cm ，则是圆锥的侧面积为 ______ 2cm ． 【答案】 2π 167. 【易】（2011 ．福建厦门中考）已知一个圆锥的底面半径长为 3cm 、母线长为 6cm ， 则圆锥的侧面积是 ________cm 2． 【答案】18 π 168. 【易】（2011 ·漳州）如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径 为 5cm ，母线长为 15cm ，那么纸杯的侧面积为 ________cm 2．（结果保留 π） 【答案】75 π 169. 【易】（2011 年昌平二模）圆锥的母线长为 3，底面半径为 2，则它的侧面积为 ________． 【答案】6π 170. 【易】（2010 年九年级第三次质量预测试题）已知圆锥的底面周长为 58cm ，母线长 为 30cm ，则圆锥的侧面积为 ________． 【答案】870cm 2 171. 【易】（2013 年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图，要制作一个母线长为 8cm ，底面圆周长是 12 π cm 的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是 _______ 2cm ． 俯俯图左俯图主俯图 acb 15cm 5cm 53 /59 【答案】 48 π 172. 【易】（延庆县 2011-2012 学年第一学期期末试卷）已知圆锥的底面直径为 4cm ，其 母线长为 3cm ，则它的侧面积是________． 【答案】 6π 173. 【易】（2011-2012 学年度第一学期终结性检测试卷）已知圆锥的母线长和底面圆的直 径均是 10cm ，则这个圆锥的侧面积是 ________． 【答案】50 π cm 2 174. 【易】（2011 年广雅实验初三上期中）圆锥的高 4cm ，底面圆直径长 6cm ，则该圆锥 的侧面积等于 ________ cm （结果保留 ） 【答案】15 π 175. 【易】（浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（湖州市））在学校组织的实践活动中， 小新同学用纸板制作了一个圆锥模型它的底面半径为 1，高为 2 2 ，则这个圆锥的侧 面积是（ ） A. 4π B. 3π C. 2 2 π D. 2π 【答案】B 176. 【易】（朝阳一模）如图，圆锥的高 AO 为 12 ，母线 AB 长为 13 ，则该圆锥的侧面积 等于（ ） A． 65 π B． 54 π C． 45 π D． 36 π 【答案】A 177. 【易】（昌平二中 2010-2011 学年初三期中考试试卷）若圆锥的母线长为 5cm ，高为 4cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A． 210 πcm B． 215cm C． 215 πcm D． 220 πcm 【答案】C 178. 【易】(2013 年绥化市初中毕业学业考试数学试卷 )直角三角形两直角边长分别是 3cm 和 4cm ，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 ________ 2cm ．（结果保留 π ） 【答案】 24 π ， 36 π ， 84 π 5 179. 【易】（黄石市 2013 年初中毕业生学业考试数学试题卷）已知直角三角形 ABC 的一 条直角边 12 cmAB = ，另一条直角边 5cmBC = ，则以 AB 为轴旋转一周，所得到的圆 锥的表面积是（ ） A． 290 πcm B． 2209 πcm C． 2155 πcm D． 265 πcm 【答案】A Ａ Ｏ Ｂ 54 /59 180. 【易】（浙江省 2013 年初中毕业生学业考试（义乌市卷））已知圆锥的底面半径为 6cm ，高为 8cm ，则这个圆锥的母线长为（ ） A．12cm B．10cm C． 8cm D． 6cm 【答案】B 181. 【易】（2010 年朝阳二模）已知一个圆锥的底面半径是 5cm ，侧面积是 265 πcm ，则 圆锥的母线长是（ ） A． 6.5 B．13 C．15 D．26 【答案】B 182. 【易】（2011 年四川省内江市中考数学试卷）如果圆锥的底面周长是 20 π ，侧面展开 后所得的扇形的圆心角为 120 ° ，则圆锥的母线是 ________． 【答案】30 183. 【易】（门头沟 2011 ）若圆锥侧面展开图的扇形面积为 65 π cm 2，扇形的弧长为 10 π cm ，则圆锥的母线长是（ ） A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm 【答案】D 184. 【易】（北京怀柔区 2013 学年度初三数学二模）一个圆锥的底面半径为 6 ㎝，圆锥侧 面展开图扇形的圆心角为 120°，则圆锥的母线长为 ______cm. 【答案】18 185. 【易】（北京市宣武区 2009 －2010 学年度第二学期第二次质量检测）用一个半径为 5cm ，面积为 215 πcm 的扇形纸片，制作成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），那么这 个圆锥的底面半径为 ________ cm ． 【答案】 3 186. 【易】（2010 北京 166 中学初三上期中）小玲制作一个圆锥模型的侧面是一个半径为 9cm ，圆心角为 120 °的扇形铁皮，则这个圆锥的半径为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 187. 【易】（2010 年成都中考）若一个圆锥的侧面积是 18 π ，侧面展开图是半圆，则该圆 锥的底面圆半径是 ________． 【答案】3 188. 【易】(哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷 )一个圆锥的侧面积是 36 π 2cm ，母线 长12cm ，则这个圆锥的底面圆的直径是 _______ cm ． 【答案】6 189. 【易】（2013 年兰州市初中毕业生数学学业考试）圆锥底面圆的半径为 3cm ，其侧面 展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ） A． 3cm B． 6cm C． 9cm D．12cm 【答案】B 190. 【易】（2013 年南宁市初中毕业升学考试数学试卷）如图，圆锥形的烟囱帽底面半径 为 ，母线长为 20cm ，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ） A． 2150 πcm B． 2300 πcm C． 2600 πcm D． 2150cm 15cm55 /59 【答案】B 191. 【易】(2013 年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题)如图，圆锥的侧面展开图是 一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角． 参考公式：圆锥的侧面积 πS rl= ，其中 r 为底面半径， l 为母线长． 【答案】设圆锥的母线长为 l ，底面半径为 r ，则： π 2πl r= ， ∴ 2l r= ， ∴母线与高的夹角的正弦值 = 1 2 r l = ∴母线 AB 与高 AO 的夹角 30° ． 192. 【易】（广西贵港市 2013 年初中毕业升学考试数学试卷）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 θ ，且 1sin 3 θ = ，则该圆锥的侧面积是（ ） A． 24 2 π B． 24 π C．16 π D．12 π 【答案】D 193. 【中】（河南省郑州市 2012 年九年 级第二次质量预测）如图，一把打开的雨伞可近 似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直 径 AC 长为 12 分米，伞骨 AB 长为 9 分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面 料为 ________ 平方分米． 【答案】54 π 194. 【中】一扇形的圆心角为 150 °，半径为 4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥 的表面积是 ________ θ56 /59 【答案】 85 π 9 195. 【中】（2011 ．福建泉州中考）如图，有一直径为 4 的圆形铁皮，要从中剪出一个最 大圆心角为 60° 的扇形 ABC．那么剪下的扇形 ABC（阴影部分）的面积为________； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 r=________ 【答案】2π ； 3 3 196. 【中】（天津耀华中学 2010 届初三第二次月考）一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍， 则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是 ________． 【答案】180 ° 四、 正多边形和圆 197. 【易】（郑州市 2010 年数学模拟一）木匠师傅要把边长为 1.6m 的正六边形木板桌面 改成圆形桌面，则改成的圆形桌面的最大直径为（ ） A． 3.2m B．1.6m C． 0.8m D． 8 3m5 【答案】D 198. 【易】（河南省实验中学 2011 年内部中考数学第一轮复习资料 4）如图，正六边形内 接于圆 O ，圆 O 的半径为 10 ，则圆中阴影部分的面积为 ________． 【答案】100 π 150 3− 199. 【易】（2010 年上海卢湾区初中毕业模拟考试）在⊙O 中，若弦 AB 是圆内接正四边 形的边，弦 AC 是圆内接正六边形的边，则∠BAC =________ ． 【答案】15 ° 或105 ° 200. 【易】（2010 北京 166 中学初三上期中）边心距为 2 3 cm 的圆内接正六边形的面积 为（ ） A．48 3 cm 2 B．24 3 cm 2 C．8 3 cm 2 D．4 3 cm 2 【答案】B 201. 【易】（2010 东城区初三上联考）边长为 a 的正六边形的边心距等于（ ） A． 3 2 a B． 2 a C． a D． 23 2 a 【答案】A 57 /59 202. 【易】（2013 山东滨州，7）若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大 小分别为（ ） A．6， 3 2 B． 3 2 ，3 C．6，3 D． 6 2 ， 3 2 【答案】B. 203. 【中】(浙江省 2013 年初中毕业生学业考试绍兴市试卷 )小敏在作 O⊙ 的内接正五边形 时，先做了如下几个步骤： （1）作 O⊙ 的两条互相垂直的直径，再作 OA 的垂直平分 线交 OA 于点 M ，如图 1； （2）以 M 为圆心， BM 长为半径作圆弧，交 CA 于点 D ，连 结 BD， 如图 2. 若 O⊙ 的半径为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是（ ） A. 2 5 1 2BD OD −= B. 2 5 1 2BD OD += C. 2 5BD OD= D. 2 5 2BD OD= 【答案】C 204. 【难】（2013 年福建省泉州市初中毕业、升学考试）如图 1，在平面直角坐标系中， 正方形 OABC 的顶点 ()6 0A − ， ， ()0 6C ， ，过点 ()2 0E − ， 作 EF AB∥ ，交 BO 于 F ． ⑴ 求 EF 的长； ⑵ 过点 F 作直线 l 分别与直线 AO、直线 BC 交于点 H 、G ． ①根据上述语句，在图 1 上画出图形，并证明 OH EO BG AE = ； ②过点 G 作直线 GD AB∥ ，交 x 轴于点 D ，以 O 为圆心， OH 长为半径在 x 轴上方作 半圆（包括直径两端点），使它与 GD 有公共点 P ，如图 2 所示，当直线 l 绕着点 F 旋转时，点 P 也随之运动．证明： 1 2 OP BG = ，并通过操作、观察，直接写出 BG 长度的 取值范围（不必说理）； ⑶ 在⑵中，若点 ()2 3M ， ，探求： 2PO PM+ 的最小值． 【答案】⑴ 解法一：在正方形 OABC 中， 1 452FOE BOA COA∠ =∠ = =° ∵ EF AB∥ ， 图1 图2 D M O B A C C A B O M B A C y E F O-6 6 x 图1 图2 x 6 -6 O F E y C A B H M D G P l58 /59 ∴ 90FEO BAO∠ =∠ =° ． ∴ 45EFO FOE∠ =∠ =° ． 又 ( )2 0E − ， ， ∴ 2EF EO= = ． 解法二：∵ ( )6 0A − ， ， ( )0 6C ， ， ( )2 0E − ， ∴ 6OA OB= = ， 2EO = ． ∵ EF AB∥ ， ∴ EF OE AB OA = ． ∴ 26 26EF = × = ． 3 分 ⑵ ①解：画图，如图 1 所示 4 分 证明：∵四边形 OABC 是正方形 ∴ OH BC∥ ∴ OFH BFG△ ∽△ ． ∴ OH OF BG BF = ． 又由⑴ EF AB∥ ，得 OF OE FB EA = ∴ OH OE BG EA = ． ②证明：∵半圆与 GD 交于点 P ∴ OP OH= ． 由①得， OP OH OE BG BG EA = = ， 又 4AE AO EO= − = ， ∴ 1 2 OP OE BG EA = = ． 通过操作、观察可知， 4 12BG≤ ≤ ． ⑶ 解：由⑵可得 1 2 OP BG = ， ∴ 2OP PM BG PM+ = + ． 如图 2 所示，过点 M 作直线 MN AB⊥ 于点 N ，交GD 于点 K ，则四边形 BNKG 为矩形． ∴ NK BG= ． ∴ 2PO PM BG PM NK PM NK KM+=+=+ +≥ ． 当点 P 与 K 重合，即 P 在直线 MN 上时，等号成立． 又∵ 8NK KM MN+ =≥ ， 图1 l G H B A C y E F O-6 6 x59 /59 当点 K 在线段 MN 上，等号成立． ∴当点 P 在线段 MN 上时， 2PO PM+ 的值最小，最小值为 8. K N l P G D M H B A C y E F O-6 6 x 图2