23 直线面垂直判定性质
231 直线面垂直判定
基础关练
题组 直线面垂直判定
1出列三命题
①条直线垂直面三条直线条直线面垂直
②条直线面直线成角相等条直线面垂直
③条直线面正射影点条直线面垂直
中正确数 ( )
A0 B1 C2 D3
2(广东高二期末)图长方体ABCDA1B1C1D1中侧面AA1D1D正方形E棱CD意点AD1B1E关系( )
AAD1⊥B1E BAD1∥B1E
CAD1B1E面 D
3(福建福州高二检测)△ABC中ABAC5BC6PA⊥面ABCPA8PBC距离 ( )
A5 B25 C35 D45
4果条直线垂直面①三角形两边②梯形两边③圆两条直径④正五边形两边保证该直线面垂直 (填序号)
5图三棱锥SABC中∠ABC90°DAC中点SASBSC
(1)求证SD⊥面ABC
(2)ABBC求证BD⊥面SAC
6图AB☉O直径PA垂直☉O面M圆周意点AN⊥PMN垂足
(1)求证AN⊥面PBM
(2)AQ⊥PB垂足Q求证NQ⊥PB
题组二 直线面成角
7直线a面α成角50°直线b∥a直线b面α成角等 ( )
A40° B50° C90° D150°
8正方体ABCDA1B1C1D1中BB1面ACD1成角余弦值 ( )
A23 B33 C23 D63
9三棱柱ABCA1B1C1中棱长相等侧棱垂直底面点D侧面BB1C1C中心AD面BB1C1C成角 ( )
A30° B45° C60° D90°
10长方体ABCDA＇B＇C＇D＇中ABAD2AA＇22直线BD＇面ABCD成角
11图直角三角形BMC中∠BCM90°∠MBC60°BM5MA3MA⊥ACAB4求MC面ABC成角正弦值
力提升练
选择题
1(四川广安中学高二月考★★☆)三棱锥PABC中PAPBPCPO⊥面ABCO垂足O△ABC( )
A重心 B心 C外心 D垂心
2(★★☆)图正方体ABCDA1B1C1D1中点P侧面BCC1B1边界运动总保持AP⊥BD1动点P轨迹( )
A线段B1C
B线段BC1
CBB1中点CC1中点连成线段
DBC中点B1C1中点连成线段
二填空题
3(沂高检测★★☆)等腰直角三角形ABC斜边AB面αACα成角30°斜边中线CMα成角
4(2018安徽萧县中高期中★★☆)图示面四边形ABCD角线BD折成空间四边形面四边形ABCD满足 时空间四边形中两条角线互相垂直(填认正确种条件必考虑情况)
三解答题
5(★★☆)正四棱柱ABCDA1B1C1D1中已知AA12AB求CD面BDC1成角正弦值
6(2018四川金堂中学高月考★★☆)图直三棱柱ABCA1B1C1中∠BAC90°ABACAA1
(1)求证AB1⊥面A1BC1
(2)DB1C1中点求AD面A1B1C1成角正弦值
7(★★☆)图直三棱柱A1B1C1ABC中ACBC1∠ACB90°AA12DA1B1中点
(1)求证C1D⊥面AA1B1B
(2)点FBB1什位置时会AB1⊥面C1DF证明结
8(★★★)图示矩形ABCD中AB33BC3角线BD△BCD折起点C移C＇点C＇点面ABD射影O恰AB
(1)求证BC＇⊥面AC＇D
(2)求直线AB面BC＇D成角正弦值
答案全解全析
基础关练
1C ①中三条直线定存两条直线相交直线定面垂直②中直线面成角必直角直线面垂直根射影定义知③正确选C
2A 连接A1D正方形性质知AD1⊥A1DB1A1⊥面AA1D1DB1A1⊥AD1A1D∩A1B1A1AD1⊥面A1B1EDB1E⊂面A1B1EDAD1⊥B1E选A
3D 图示作PD⊥BC点D连接AD
PA⊥面ABCPA⊥BCPD⊥BCPA∩PDP
BC⊥面PADBC⊥ADABAC∴BDCD12BC3
Rt△ACD中AC5CD3AD4Rt△PAD中PA8AD4
PD82+4245
4答案 ①③④
解析 根直线面垂直判定定理面两条直线必须相交①③④中定图形两边直线定相交保证直线面垂直②中梯形两边底边互相行满足定理条件填①③④
5证明 (1)SASCDAC中点
SD⊥ACRt△ABC中ADBD
已知SASB易证△ADS≌△BDS
∠SDA∠SDB90°SD⊥BD
AC∩BDD
SD⊥面ABC
(2)ABBCDAC中点
BD⊥AC(1)知SD⊥BD
SD∩ACDBD⊥面SAC
6证明 (1)∵AB☉O直径
∴AM⊥BM
PA⊥面ABM∴PA⊥BM
∵PA∩AMA∴BM⊥面PAM
AN⊂面PAM∴BM⊥AN
∵AN⊥PMBM∩PMM
∴AN⊥面PBM
(2)(1)知AN⊥面PBMPB⊂面PBM∴AN⊥PB
∵AQ⊥PBAN∩AQA
∴PB⊥面ANQNQ⊂面ANQ
∴PB⊥NQ
7B 根两条行直线面成角相等知bα成角50°
8D 图设正方体棱长1
底面中心分O1OOO1∥BB1OO1面ACD1成角BB1面ACD1成角∠O1OD1cos∠O1OD1|O1O||OD1|13263
9C 图取BC中点E连接AEDEAE⊥面BB1C1C
∠ADE直线AD面BB1C1C成角
设棱长aAE32aDE12a
tan∠ADE3
∠ADE60°
10答案 45°
解析 连接DB长方体ABCDA＇B＇C＇D＇中显然DD＇⊥面ABCD
∠DBD＇直线BD＇面ABCD成角底面ABCD中DBAD2+AB222Rt△DBD＇中tan∠DBD＇DD＇DB1∠DBD＇45°
11解析 BM5MA3AB4
AB2+AM2BM2MA⊥AB
MA⊥ACABAC⊂面ABCAB∩ACAMA⊥面ABC
∠MCAMC面ABC成角
∠MBC60°∠BCM90°
MC532
sin∠MCAMAMC3532235
力提升练
选择题
1C 图连接OAOBOC
PO⊥面ABCAO⊂面ABCPO⊥AO理PO⊥BO
PAPBPOPO
Rt△POA≌Rt△POBOAOB
理OAOCO△ABC外心选C
2A 设P1P2P轨迹两点AP1⊥BD1AP2⊥BD1∵AP1∩AP2A
∴直线AP1AP2确定面α面BCC1B1交直线P1P2易知BD1⊥面α∴P1P2⊥BD1
∵BD1面BCC1B1射影BC1∴P1P2⊥BC1面BCC1B1B1CBC1垂直
∴点P轨迹线段B1C
二填空题
3答案 45°
解析 图设点C面α射影O点
连接AOMO∠CAO30°∠CMOCMα成角
设ACBC1AB2
CM22CO12
sin∠CMOCOCM22
∠CMO45°
4答案 AC⊥BD(四边形ABCD菱形正方形等)
解析 面四边形ABCD中设ACBD交点E假设AC⊥BDAE⊥BDCE⊥BD
折叠(图)AEBDCEBD然垂直BD⊥面AECAC⊥BD面四边形ABCD满足AC⊥BD时空间四边形中两条角线互相垂直
面四边形ABCD菱形正方形角线互相垂直证AC⊥BD
三解答题
5解析 图设AA12AB2连接AC交BD点O连接OC1A1C1点C作CH⊥OC1点H连接DH
BD⊥ACBD⊥AA1AC∩AA1A
BD⊥面ACC1A1
CH⊂面ACC1A1CH⊥BD
CH⊥OC1OC1∩BDO
CH⊥面BDC1
∠CDHCD面BDC1成角
OC1CC12+OC222+222322
等面积法12OC1·CH12OC·CC1解CH23
sin∠CDHCHCD23
6解析 (1)证明题意知四边形AA1B1B正方形∴AB1⊥BA1
AA1⊥面A1B1C1AA1⊥A1C1
易知A1C1⊥A1B1AA1∩A1B1A1
∴A1C1⊥面AA1B1B
∵AB1⊂面AA1B1B∴A1C1⊥AB1
∵BA1∩A1C1A1∴AB1⊥面A1BC1
(2)图连接A1D设ABACAA11
∵AA1⊥面A1B1C1
∴∠A1DAAD面A1B1C1成角
等腰直角三角形A1B1C1中D斜边B1C1中点∴A1D12B1C122
Rt△A1DA中ADA1D2+A1A262
∴sin∠A1DAA1AAD63
AD面A1B1C1成角正弦值63
7解析 (1)证明∵面体A1B1C1ABC直三棱柱
∴A1C1B1C11∠A1C1B190°
AA1⊥面A1B1C1
∵C1D⊂面A1B1C1∴AA1⊥C1D
∵DA1B1中点∴C1D⊥A1B1
A1B1∩AA1A1
∴C1D⊥面AA1B1B
(2)图作DE⊥AB1点E延长DE交BB1点F连接C1FAB1⊥面C1DF点F求
证明(1)知C1D⊥面AA1B1BAB1⊂面AA1B1B∴C1D⊥AB1
AB1⊥DFDF∩C1DD
∴AB1⊥面C1DF
易知AA1A1B12
∴四边形AA1B1B正方形
DA1B1中点DF⊥AB1
∴FBB1中点
∴点FBB1中点时AB1⊥面C1DF
8解析 (1)证明点C＇面ABD射影OAB
C＇O⊥面ABDC＇O⊥DA
DA⊥ABAB∩C＇OO
DA⊥面ABC＇DA⊥BC＇
BC⊥CDBC＇⊥C＇D
DA∩C＇DDBC＇⊥面AC＇D
(2)图示点A作AE⊥C＇D垂足点E连接BE
BC＇⊥面AC＇D
BC＇⊥AEBC＇⊥AC＇BC＇⊥C＇D
BC＇∩C＇DC＇
AE⊥面BC＇DAE⊥BE
BEAB面BC＇D射影
∠ABE直线AB面BC＇D成角
(1)知DA⊥面ABC＇DA⊥AC＇
Rt△AC＇B中
AC＇AB2BC232
Rt△BC＇D中C＇DCD33
Rt△C＇AD中面积关系
AEAC＇·ADC＇D32×3336
Rt△AEB中
sin∠ABEAEAB63323
直线AB面BC＇D成角正弦值23
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231 直线面垂直判定
基础关练
题组 直线面垂直判定
1出列三命题
①条直线垂直面三条直线条直线面垂直
②条直线面直线成角相等条直线面垂直
③条直线面正射影点条直线面垂直
中正确数 ( )
A0 B1 C2 D3
2(广东高二期末)图长方体ABCDA1B1C1D1中侧面AA1D1D正方形E棱CD意点AD1B1E关系( )
AAD1⊥B1E BAD1∥B1E
CAD1B1E面 D
3(福建福州高二检测)△ABC中ABAC5BC6PA⊥面ABCPA8PBC距离 ( )
A5 B25 C35 D45
4果条直线垂直面①三角形两边②梯形两边③圆两条直径④正五边形两边保证该直线面垂直 (填序号)
5图三棱锥SABC中∠ABC90°DAC中点SASBSC
(1)求证SD⊥面ABC
(2)ABBC求证BD⊥面SAC
6图AB☉O直径PA垂直☉O面M圆周意点AN⊥PMN垂足
(1)求证AN⊥面PBM
(2)AQ⊥PB垂足Q求证NQ⊥PB
题组二 直线面成角
7直线a面α成角50°直线b∥a直线b面α成角等 ( )
A40° B50° C90° D150°
8正方体ABCDA1B1C1D1中BB1面ACD1成角余弦值 ( )
A23 B33 C23 D63
9三棱柱ABCA1B1C1中棱长相等侧棱垂直底面点D侧面BB1C1C中心AD面BB1C1C成角 ( )
A30° B45° C60° D90°
10长方体ABCDA＇B＇C＇D＇中ABAD2AA＇22直线BD＇面ABCD成角
11图直角三角形BMC中∠BCM90°∠MBC60°BM5MA3MA⊥ACAB4求MC面ABC成角正弦值
力提升练
选择题
1(四川广安中学高二月考★★☆)三棱锥PABC中PAPBPCPO⊥面ABCO垂足O△ABC( )
A重心 B心 C外心 D垂心
2(★★☆)图正方体ABCDA1B1C1D1中点P侧面BCC1B1边界运动总保持AP⊥BD1动点P轨迹( )
A线段B1C
B线段BC1
CBB1中点CC1中点连成线段
DBC中点B1C1中点连成线段
二填空题
3(沂高检测★★☆)等腰直角三角形ABC斜边AB面αACα成角30°斜边中线CMα成角
4(2018安徽萧县中高期中★★☆)图示面四边形ABCD角线BD折成空间四边形面四边形ABCD满足 时空间四边形中两条角线互相垂直(填认正确种条件必考虑情况)
三解答题
5(★★☆)正四棱柱ABCDA1B1C1D1中已知AA12AB求CD面BDC1成角正弦值
6(2018四川金堂中学高月考★★☆)图直三棱柱ABCA1B1C1中∠BAC90°ABACAA1
(1)求证AB1⊥面A1BC1
(2)DB1C1中点求AD面A1B1C1成角正弦值
7(★★☆)图直三棱柱A1B1C1ABC中ACBC1∠ACB90°AA12DA1B1中点
(1)求证C1D⊥面AA1B1B
(2)点FBB1什位置时会AB1⊥面C1DF证明结
8(★★★)图示矩形ABCD中AB33BC3角线BD△BCD折起点C移C＇点C＇点面ABD射影O恰AB
(1)求证BC＇⊥面AC＇D
(2)求直线AB面BC＇D成角正弦值
答案全解全析
基础关练
1C ①中三条直线定存两条直线相交直线定面垂直②中直线面成角必直角直线面垂直根射影定义知③正确选C
2A 连接A1D正方形性质知AD1⊥A1DB1A1⊥面AA1D1DB1A1⊥AD1A1D∩A1B1A1AD1⊥面A1B1EDB1E⊂面A1B1EDAD1⊥B1E选A
3D 图示作PD⊥BC点D连接AD
PA⊥面ABCPA⊥BCPD⊥BCPA∩PDP
BC⊥面PADBC⊥ADABAC∴BDCD12BC3
Rt△ACD中AC5CD3AD4Rt△PAD中PA8AD4
PD82+4245
4答案 ①③④
解析 根直线面垂直判定定理面两条直线必须相交①③④中定图形两边直线定相交保证直线面垂直②中梯形两边底边互相行满足定理条件填①③④
5证明 (1)SASCDAC中点
SD⊥ACRt△ABC中ADBD
已知SASB易证△ADS≌△BDS
∠SDA∠SDB90°SD⊥BD
AC∩BDD
SD⊥面ABC
(2)ABBCDAC中点
BD⊥AC(1)知SD⊥BD
SD∩ACDBD⊥面SAC
6证明 (1)∵AB☉O直径
∴AM⊥BM
PA⊥面ABM∴PA⊥BM
∵PA∩AMA∴BM⊥面PAM
AN⊂面PAM∴BM⊥AN
∵AN⊥PMBM∩PMM
∴AN⊥面PBM
(2)(1)知AN⊥面PBMPB⊂面PBM∴AN⊥PB
∵AQ⊥PBAN∩AQA
∴PB⊥面ANQNQ⊂面ANQ
∴PB⊥NQ
7B 根两条行直线面成角相等知bα成角50°
8D 图设正方体棱长1
底面中心分O1OOO1∥BB1OO1面ACD1成角BB1面ACD1成角∠O1OD1cos∠O1OD1|O1O||OD1|13263
9C 图取BC中点E连接AEDEAE⊥面BB1C1C
∠ADE直线AD面BB1C1C成角
设棱长aAE32aDE12a
tan∠ADE3
∠ADE60°
10答案 45°
解析 连接DB长方体ABCDA＇B＇C＇D＇中显然DD＇⊥面ABCD
∠DBD＇直线BD＇面ABCD成角底面ABCD中DBAD2+AB222Rt△DBD＇中tan∠DBD＇DD＇DB1∠DBD＇45°
11解析 BM5MA3AB4
AB2+AM2BM2MA⊥AB
MA⊥ACABAC⊂面ABCAB∩ACAMA⊥面ABC
∠MCAMC面ABC成角
∠MBC60°∠BCM90°
MC532
sin∠MCAMAMC3532235
力提升练
选择题
1C 图连接OAOBOC
PO⊥面ABCAO⊂面ABCPO⊥AO理PO⊥BO
PAPBPOPO
Rt△POA≌Rt△POBOAOB
理OAOCO△ABC外心选C
2A 设P1P2P轨迹两点AP1⊥BD1AP2⊥BD1∵AP1∩AP2A
∴直线AP1AP2确定面α面BCC1B1交直线P1P2易知BD1⊥面α∴P1P2⊥BD1
∵BD1面BCC1B1射影BC1∴P1P2⊥BC1面BCC1B1B1CBC1垂直
∴点P轨迹线段B1C
二填空题
3答案 45°
解析 图设点C面α射影O点
连接AOMO∠CAO30°∠CMOCMα成角
设ACBC1AB2
CM22CO12
sin∠CMOCOCM22
∠CMO45°
4答案 AC⊥BD(四边形ABCD菱形正方形等)
解析 面四边形ABCD中设ACBD交点E假设AC⊥BDAE⊥BDCE⊥BD
折叠(图)AEBDCEBD然垂直BD⊥面AECAC⊥BD面四边形ABCD满足AC⊥BD时空间四边形中两条角线互相垂直
面四边形ABCD菱形正方形角线互相垂直证AC⊥BD
三解答题
5解析 图设AA12AB2连接AC交BD点O连接OC1A1C1点C作CH⊥OC1点H连接DH
BD⊥ACBD⊥AA1AC∩AA1A
BD⊥面ACC1A1
CH⊂面ACC1A1CH⊥BD
CH⊥OC1OC1∩BDO
CH⊥面BDC1
∠CDHCD面BDC1成角
OC1CC12+OC222+222322
等面积法12OC1·CH12OC·CC1解CH23
sin∠CDHCHCD23
6解析 (1)证明题意知四边形AA1B1B正方形∴AB1⊥BA1
AA1⊥面A1B1C1AA1⊥A1C1
易知A1C1⊥A1B1AA1∩A1B1A1
∴A1C1⊥面AA1B1B
∵AB1⊂面AA1B1B∴A1C1⊥AB1
∵BA1∩A1C1A1∴AB1⊥面A1BC1
(2)图连接A1D设ABACAA11
∵AA1⊥面A1B1C1
∴∠A1DAAD面A1B1C1成角
等腰直角三角形A1B1C1中D斜边B1C1中点∴A1D12B1C122
Rt△A1DA中ADA1D2+A1A262
∴sin∠A1DAA1AAD63
AD面A1B1C1成角正弦值63
7解析 (1)证明∵面体A1B1C1ABC直三棱柱
∴A1C1B1C11∠A1C1B190°
AA1⊥面A1B1C1
∵C1D⊂面A1B1C1∴AA1⊥C1D
∵DA1B1中点∴C1D⊥A1B1
A1B1∩AA1A1
∴C1D⊥面AA1B1B
(2)图作DE⊥AB1点E延长DE交BB1点F连接C1FAB1⊥面C1DF点F求
证明(1)知C1D⊥面AA1B1BAB1⊂面AA1B1B∴C1D⊥AB1
AB1⊥DFDF∩C1DD
∴AB1⊥面C1DF
易知AA1A1B12
∴四边形AA1B1B正方形
DA1B1中点DF⊥AB1
∴FBB1中点
∴点FBB1中点时AB1⊥面C1DF
8解析 (1)证明点C＇面ABD射影OAB
C＇O⊥面ABDC＇O⊥DA
DA⊥ABAB∩C＇OO
DA⊥面ABC＇DA⊥BC＇
BC⊥CDBC＇⊥C＇D
DA∩C＇DDBC＇⊥面AC＇D
(2)图示点A作AE⊥C＇D垂足点E连接BE
BC＇⊥面AC＇D
BC＇⊥AEBC＇⊥AC＇BC＇⊥C＇D
BC＇∩C＇DC＇
AE⊥面BC＇DAE⊥BE
BEAB面BC＇D射影
∠ABE直线AB面BC＇D成角
(1)知DA⊥面ABC＇DA⊥AC＇
Rt△AC＇B中
AC＇AB2BC232
Rt△BC＇D中C＇DCD33
Rt△C＇AD中面积关系
AEAC＇·ADC＇D32×3336
Rt△AEB中
sin∠ABEAEAB63323
直线AB面BC＇D成角正弦值23
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